Materi Kuliah S2_MetSam_STRATIFIED RANDOM SAMPLING_ismainizain.docx

STRATIFIED RANDOM SAMPLING (STRA)

Ringkasan Materi/Bahan Kuliah M5-M6 M.K. Metode Sampling S2 Statistika Semester Genap

2015/2016

Ismaini Zain

=================================================================

Learning Outcomes : 1. Mahasiswa mampu menjelaskan teknik pengambilan sampel dengan metode

Stratified Random Sampling (STRA) 2. Mahasiswa mampu membedakan teknik sampling dengan metode SRS dan STRA 3. Mahasiswa mampu mengkaji sifat-sifat dari estimator pada STRA ================================================================

A. Pengantar

Perhatikan studi kasus sebagai ilustrasi (1) berikut ini.

Ingin diketahui rata-rata omzet/penjualan dari supermarket di suatu kota “X”. Dalam hal ini, Supermarket bisa terdiri dari supermarket kecil, menengah atau besar. Supermarket yang besar hanya beberapa saja; tetapi yang supermarket yang sedang dan kecil cukup banyak.

Bahan Diskusi :

a. Bagaimana metode samplingnya? b. Apabila SRS digunakan? Apa yang terjadi? Siapa yang terambil c. Apakah populasi bersifat homogen? d. Apa yang sebaiknya dilakukan? e. Apa metode SRS cukup representatif?

Perhatikan pula ilustrasi (2) berikut ini. Diberikan 3 buah populasi buatan dengan data sebagaimana Gambar 1.

Materi Kuliah Metode Sampling S2/by Ismaini Zain 2

Bahan Diskusi :Apa yang terjadi? Mengapa demikian? Apa intinya? Selanjutnya dilakukan alternatif sampling pada populasi III yaiitu lakukan pembagian kelompok dengan cara sebagai berikut.

Apa yang terjadi? Mengapa demikian? Terasakah perbedaaannya? Ini adalah ide dari Stratified Random Sampling. Artinya, gambaran sampling stratifikasi adalah membuat populasi yang heterogen menjadi homogen dengan cara melalukan

3

stratifikasi

B. Pengertian Stratified Random Sampling

Populasi dengan N unit dibagi menjadi SUB POPULASI (disebut STRATA) masing- masing dengan ukuran N1, N2, ..., NL yang TIDAK TUMPANG TINDIH s.d.h N 1 + N2

+ ...+ NL = N. Apabila STRATA sudah ditentukan, suatu sampel diambil dari tiap STRATUM dengan Simple Random Sampling (SRS). Ukuran sampel dalam tiap STRATUM dinyatakan dengan n1, n2, ..., nL. Ukuran sampel seluruhnya n1+n2+...+nL=n

Prosedur mengambil SRS dari tiap STRATUM disebut STRATIFIED RANDOM SAMPLING atau disingkat STRA.

Dalam bahasa Indonesia baku, seringkali disebut Sampling Acak Berlapis atau Sampling Acak Stratifikasi. Dapat dikatakan bahwa Suatu sampel acak stratifikasi adalah sesuatu yang diperoleh dari pemisahan anggota/elemen populasi kedalam kelompok-kelompok yang tidak saling tumpang tindih, yang disebut strata dan kemudian dilakukan pengambilan sampel secara acak sederhana dari tiap-tiap stratumnya

Perhatikan Gambar 1 tentang visualisasi perbedaan antara SRS dengan STRA. Dari Gambar 1 (a) terlihat bahwa pada SRS, jelas bahwa populasi bersifat homogen; ditandai dengan karakteristik dari populasi; sementara pada Gambar 1 (b) pada STRA, populasi bersifat heterogen.


(a) SRS (b) STRA

Gambar 1 Visualisasi Perbedaan SRS dan STRA

C. Ide dalam STRA

Ide dasar dari Stratified Random Sampling adalah sebagaimana Gambar 2 berikut.

D. Mengapa harus STRA?

Beberapa alasan mengapa harus melakukan Stratified Random Sampling adalah sebagai berikut.

5

a. Dapat memberikan precision / ketelitian untuk sub populasi. Namun, jika diinginkan perkiraan untuk populasi dapat juga diperoleh melalui perkiraan gabungan; artinya : Stratifikasi dapat menghasilkan suatu batas kekeliruan taksiran yang kecil dibandingkan dengan yang dihasilkan oleh SRS. Bila menginginkan precision/ketelitian untuk sub populasi tertentu

b. Biaya Stratified Random Sampling bisa lebih murah, karena kemudahan administrasi; artinya : Biaya per pengamatan dalam survei dapat ditekan dengan mengelompokkan elemen-elemen populasi kedalam strata;

c. Dengan stratifikasi mungkin memberikan precision yang lebih baik. Populasi yang heterogen menjadi sub populasi yang homogen (varians lebih kecil); artinya : Taksiran dari parameter dari populasi dimungkinkan untuk tiap kelompok yang dinyatakan dalam strata;

d. Persoalan sampling bisa saja berbeda di sebagian populasi;

E. Cara Pengambilan Sampel Random Stratifikasi

Perhatikan Gambar berikut!

F.

Struktur Organisasi


G. Notasi yang digunakan dalam STRA

7

F. Sifat-Sifat Estimasi

TEOREMA 5.1


Coba bukti dipelajari!

TEOREMA 5.2

9


Catatan : Teorema 5.1 dan 5.2 digunakan untuk Stratified Sampling umum, tidak dibatasi untuk Stratified Random Sampling.

TEOREMA 5.3



TEOREMA 5.4


11

Ingat!

TEOREMA 5.5



13

G. BATAS KEYAKINAN

H. ALOKASI OPTIMUM dalam STRATITIFIED RANDOM SAMPLING

Inti Permasalahan dalam STRATITIFIED RANDOM SAMPLING adalah “bagaimana pembagian ukuran SAMPEL nh dalam tiap strata sehingga PRESISI MAKSIMUM.

Dalam STRA nh harus ditentukan atau dipilih.

Terdapat dua cara yang bias dipilih, yaitu :a. MeMINIMUMkan V( y st) dengan BIAYA tertentu; ataub. Memberikan V( y st) tertentu dengan BIAYA MINIMUM

Biaya/Cost ditentukan dengan COST FUNCTION C=c0+∑i=1

h

ch nh

Dimana :ch = Biaya per unit dalam strata ke hc0 = Biaya keseluruhan (overhead)

TEOREMA 5.6

Dalam STRA, apabila C=c0+∑i=1

h

ch nh,

maka V=V( y st) MINIMUM apabila nh sebanding atau proposional dengan W h Sh

√ch

Bukti : coba dipelajari di halaman 110-111


Dari teorema 5.6 dapat dikatakan bahwa ukuran sampel nh pada sebuah strata, mengikuti hal sebagai berikut.

nh

n≅

W h Sh/√ch

∑ (¿W h Sh/√ch)=Nh Sh/√ch

∑ ¿¿¿¿

Dalam sebuah strata, sampel diperbesar jika :1. Banyak unit di dalam strata tersebut besar2. Bila Sh di dalam strata tersebut besar3. Biaya pengambilan unit dari strta tersebut lebih murah

Jadi, untuk menentukan ALOKASI SAMPEL digunakan Cost Function C=c0+∑i=1

h

ch nh.

Selanjutnya terdapat 2(dua) pilihan yaitu : apabila C ditetapkan atau V ditetapkan.

a. Bila C yang ditetapkan

n=(C−c0)∑

h=1

h

(N h Sh /√ch )

∑ ( Nh Sh√ch )

15

b. Bila V yang ditetapkan

n=(∑ W h Sh √ch )∑W h Sh/√ch

V +( 1N

)∑W h Sh2

dimana : Wh = Nh/N

Apabila ch = c berarti biaya tiap unit sama dalam setiap strata, maka C=c0+c.n

Artinya :Alokasi optimum untuk biaya tetap memperkecil Alokasi Optimum untuk ukuran sampel tetap.

TEOREMA 5.7Didalam STRA, V( y st) adalah MINIMUM untuk TOTAL sampel berukuran n yang tertentu, apabila

nh=n .W h Sh

∑W h Sh

=n .Nh Sh

∑ N h Sh

Alokasi ini disebut “ALOKASI NEYMAN”

Maka, untuk harga n tertentu :Varians minimum untuk yst (vmin(yst ¿ adalah :

V min=(∑W h Sh )2

n−∑W h Sh

2

N

Suku yang terkait dengan KPT

I. KETELITIAN RELATIF DARI STRA TERHADAP SRSMateri Kuliah Metode Sampling S2/by Ismaini Zain 16

Pada umumnya, STRA menghasilkan varians dari taksiran rata-rata lebih kecil daripada SRS

Namun tidak selalu benar bahwa STRA memberikan varians yang lebih kecil daripada SRS

Jika nilai-nilai nh jauh dari optimum. STRA akan mempunyai varians yang lebih besar.

TEOREMA 5.8

Bila 1/Nh diabaikan, maka,

Vopt ≤ Vprop ≤ Vrandom

Dimana alokasi optimum itu, untuk n tertentu dengan nh ∝ Nh.Sh

BUKTI : Mohon dipelajari!

17

J. PENAKSIRAN UKURAN SAMPELRumus-rumus untuk varians rata-rata dan total mengandung nh dan Sh

Dalam praktek, untuk mennetukan ukuran sampel tidak dapat ditentukan sebelum taksiran Sh dan diputuskan berapa alokasi sampelnya.

Misal, ketelitian yang diinginkan dinyatakan dengan d, jadi didapat :

d2=t 2 .V ( yst )Dimana :V ( yst )=V 2=d2

t2 ; adalah variansi dari taksiran rata-rata yang diinginkan.

K. ESTIMASI UNTUK RATA-RATA POPULASIAndaikan sh adalah taksiran dari Sh dan nh=wh.n, maka nilai varians yst

adalah :

V = V(yst ¿=¿ ∑i=1

L

W h2 . sh

2

nh

- ∑i=1

L

W h sh2

N

= 1n

. ∑i=1

L

W h2 . sh

2

wh

- 1N

.∑i=1

L

W h sh2

Dengan Wh = N h

N ; jadi didapat

n=∑i=1

L

W h2 sh

2/wh

V + 1N ∑

i=1

L

W h sh2

Apabila KPT diabaikan, sebagai pendekatan pertama adalah sebagai berikut.

n0=1V ∑

i=1

L W h2 sh

2

wh


Apabila n0/N tidak diabaikan, maka n dihitung dengan rumus sebagai berikut.

n=n0

1+ 1NV ∑

i=1

L

W h sh2

HAL-HAL ISTIMEWA

Rumus Umum : n=∑i=1

L

W h sh2/w h

V + 1N

.∑i=1

L

W h sh2

*) Alokasi Optimum

nh=n .N h Sh

∑i=1

L

Nh Sh

nh

n=

Nh

N.Sh

∑i=1

L N h

N. Sh

= wh=W h . Sh

∑i=1

L

W h . Sh

Jadi, n=¿¿

Dengan

n0=(∑i=1

L

W h sh)2

V

*) Alokasi Proporsional

wh = Wh = Nh/N19

n0 = 1V ∑

i=1

L

W h sh2

dan

n=n0

1+n0

N

*) Taksiran untuk Total Populasi

Umum n=∑i=1

L N h2 sh

2

wh

V +∑i=1

L

N h sh2

Optimum n=(∑1

L

N h sh)2

V +∑1

L

N h sh2

Proporsional n0=NV ∑

1

L

Nh sh2 ;

n=n0

1+n0

N

L. PENARIKAN SAMPEL UNTUK MENAKSIR PROPORSI Analog dengan permasalahan pada SRS, apabila pada setiap strata, observasi dapat diklasifikasikan pada kelas C dan observasi lainnya diklasifikasikan pada kelas C’, maka pada setiap strata diketahui :


Ph=Ah

Nh; ph=

ah

nh

Jadi, dapat didefiniskan bahwa taksiran proporsi untuk stratified adalah sebagai berikut.

P̂st=pst=∑N h ph

N

TEOREMA 5.9Pada stratified, varians dari pst adalah sebagai berikut.

V ( pst)=1

N2 ∑Nh

2 ( Nh−nh )Nh−1

PhQh

nh

Bukti : Mohon dipelajari!

Kesimpulan 1 :Jika KPT diabaikan,

V ( pst)=∑ W h2 Ph Qh

nh

Kesimpulan 2 :Jika alokasi secara proposional,

V ( pst)=N −n

N1

nN ∑ Nh2 PhQh

N h−1

V ( pst)=1−f

n ∑ W h PhQh

21

M. RUMUS untuk menentukan “n”Jika Varians Minimum untuk jumlah ukuran sampel tetap adalah sebagai berikut.

nh=nNh √Ph Qh

∑ N h√ PhQh

Sebaliknya, varians minimum untuk Biaya tetap dengan C=c+∑i=1

h

ch nh, maka rumus untuk nh adalah sebagai berikut.

nh=nNh √Ph Qh/ch

∑ N h√ PhQ h/ch

Rumus “n” bisa didapat dari rumus sebelumnya.

N. PENENTUAN STRATA DENGAN ATURAN OPTIMAL

Apabila objektifitas dari stratifikasi dianggap akan menghasilkan taksiran / penaksir dengan varians kecil, maka kriteria terbaik untuk menentukan strata adalah menghimpun nilai-nilai dimana keterangan unit sampling dapat diambil.

Sebagai contoh : ingin ditaksir rata-rata pendapatan per rumah tangga dalam suatu komunitas. Selidiki sifat-sifat populasinya. Apakah homogen atau heterogen?

Ide awal dari solusi yang ditawarkan :


Taksiran rata-rata ini akan cukup akurat jika kita dapat meletakkan semua rumah tangga dengan pendapatan rendah dalam satu stratum dan semua rumah tangga dengan pendapatan tinggi dalam stratum lainnya sebelum sampling dilakukan.

Masalah yang timbul adalah :Pengalokasian ini seringkali tidak mungkin dapat dilakukan karena pengetahuan/keterangan mendalam tentang pendapatan sebelum melakukan sampling akan membuat permasalahan statistika tak diperlukan pada penempatan awal.

IDE : Terkadang ada hubungan antara data frekwensi pada broad categories dari variabel

yang diamati atau dalam beberapa korelasi tinggi dari variabel dalam kasus yang bersangkutan.

“Akar kuadrat kumulatif dari metode (distribusi) frekwensi” baik sekali untuk mengelompokkan/strata data yang digunakan sebagai pentunjuk penentuan masuk dalam stratum yang mana ?

Langkah-Langkah Penentuan Stratum• Tentukan secara pasti dan jelas data populasinya • Tentukan jumlah stratum yang akan dilakukan misal sebanyak L stratum. • Buat tabel distribusi frekuensi dari data point 1 seperti Tabel berikut

No. Kelas Interval Frekuensi = if Kumulatip if

1 ......

2 ......

k. ...........

Langkah berikutnya :a. Batas atas stratum 1 ditentukan berdasarkan nilai

Bandingkan dengan nilai pada kolom Kumulatip if , yang paling dekat (selisih terkecil) maka kelas interval dari nilai tersebut merupakan batas atas dari stratum 1. Adapun jumlah atau ukuran dari stratum 1 adalah jumlah frekuensi dari kelas terpilih dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.

b. Batas atas stratum 2 ditentukan berdasarkan nilai

23

∑h=1

L

√ f i

L

2∗∑h=1

L

√ f i

L

Bandingkan dengan nilai pada kolom Kumulatip if , yang paling dekat (selisih terkecil) maka kelas interval dari nilai tersebut merupakan batas atas dari stratum 2. Adapun jumlah atau ukuran dari stratum 2 adalah jumlah semua frekuensi dari kelas setelah batas stratum 1 sampai dengan kelas terpilih sebagai batas stratum 2.

c. Lakukan rangkaian perhitungan di atas sampai semua stratum telah teralokasi.

Contoh :Tabel berikut menggambarkan distribusi frekuensi dari persentase pinjaman bank yang ditujukan untuk pinjaman industru dalam sebuah populasi sebesar 13.435 Bank di AS. Bagaimana cara menentukan/mengalokasikan perusahaan-perusahaan ini ke dalam L = 5 Strata ? Coba Dikerjakan!

Pinjaman Industri(dalam jutaan)

Frekwensi Pinjaman Industri(dalam jutaan)

Frekwensi

0 – 5 3.464 50 – 55 126

5 - 10 2.516 55 - 60 107

10 - 15 2.157 60 - 65 82

15 - 20 1.581 65 - 70 50

20 - 25 1.142 70 - 75 39

25 - 30 746 75 - 80 25

30 -35 512 80 -85 16

35 – 40 376 85 – 90 19

40 -45 265 90 -95 2

45 - 50 207 95 - 100 3

Selamat Mengerjakan


Materi Kuliah S2_MetSam_STRATIFIED RANDOM SAMPLING_ismainizain.docx

Documents

Transcript of Materi Kuliah S2_MetSam_STRATIFIED RANDOM SAMPLING_ismainizain.docx