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¿Cómo contar la matemática? Tal vez el punto de partida adecuado no sea la cronología de los hechos sino la lógica de una creación ex nihilo.

La teoría de conjuntos recoge el guante para establecer el vacío y con él los números: primero el cero y los naturales, luego los enteros, los

racionales e irracionales, hasta culminar con los misteriosos números imaginarios. En el camino, se abre paso también la pluralidad de

infinitos, la teoría de juegos y las intervenciones de la matemática en el arte, la música o la criptografía. El libro, destinado a un público amplio,

se encuentra matizado por las múltiples referencias literarias y tangueras que caracterizan el particular estilo del autor. Haciéndose eco de un poema de Huidobro, Amster nos propone que la matemática

sea, quizás, “una llave que abra mil puertas”.

Pablo Amster (Buenos Aires, 1968) es doctor en matemáticas por la Universidad de Buenos Aires, en la cual es actualmente profesor y en la que fue director del Departamento de

Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. También es investigador principal del Conicet. Es autor de más de un centenar de trabajos de investigación científica y de tres

libros en el área de ecuaciones diferenciales, uno de ellos publicado por Springer. Colabora en diferentes proyectos de investigación en universidades argentinas y de otros países. Dicta con frecuencia conferencias y seminarios de divulgación y escribe textos destinados a un público amplio. Ha dictado diversos seminarios sobre educación, teoría matemática de las decisiones y talleres sobre matemática y música. Ha publicado, entre otros, los libros La matemática como

una de las bellas artes (Siglo XXI, 2004), Mucho, poquito, nada. Un pequeño paseo matemático (Norma, 2007), Fragmentos de un discurso matemático (fce, 2007), ¡Matemática, maestro! Un concierto para números y orquesta (Siglo XXI, 2010) y Teoría de juegos. Una introducción matemática a la toma

de decisiones (fce, 2014, en coautoría con J. P. Pinasco).

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Del cero al infinitoUn recorrido por el universo

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MATEMÁTICAS

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Pablo Amster / Del cero al infinito. Un recorrido por el universo matemático. / La Ciencia para Todos / Matemáticasrefine: . x cm. / pp. ancho de lomo: . cm. / diseño: Neri Ugalde. Ilustración elaborada con imágenes de Istockphoto/Linda Blazic-Mirosevic y Istockphoto/Trifonov_Evgeniy

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Del cero al infinito

LA CIENCIA PARA TODOS

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En 1984 el Fondo de Cultura Económica concibió el proyecto edito-

rial La Ciencia desde México con el propósito de divulgar el conoci-

miento científi co en español a través de libros breves, con carácter

introductorio y un lenguaje claro, accesible y ameno; el objetivo era

despertar el interés en la ciencia en un público amplio y, en especial,

entre los jóvenes.

Los primeros títulos aparecieron en 1986, y si en un principio la

colección se conformó por obras que daban a conocer los trabajos

de  investigación de científi cos radicados en México, diez años más

tarde la convocatoria se amplió a todos los países hispanoamericanos

y cambió su nombre por el de La Ciencia para Todos.

Con el desarrollo de la colección, el Fondo de Cultura Económi-

ca estableció dos certámenes: el concurso de lectoescritura Leamos

La Ciencia para Todos, que busca promover la lectura de la colección

y el surgimiento de vocaciones entre los estudiantes de educación me-

dia, y el Premio Internacional de Divulgación de la Ciencia Ruy Pérez

Tamayo, cuyo propósito es incentivar la producción de textos de cien-

tífi cos, periodistas, divulgadores y escritores en general cuyos títulos

puedan incorporarse al catálogo de la colección.

Hoy, La Ciencia para Todos y los dos concursos bienales se man-

tienen y aun buscan crecer, renovarse y actualizarse, con un objetivo

aún más ambicioso: hacer de la ciencia parte fundamental de la cul-

tura general de los pueblos hispanoamericanos.

PABLO AMSTER

Del cero al infinito

Un recorrido por el universo matemático

Primera edición, 2019

[Primera edición en libro electrónico, 2019]

Amster, Pablo

Del cero al infi nito. Un recorrido por el universo matemático / Pablo

Amster ; pról. de Guillermo Martínez. — México : FCE, SEP, Conacyt, 2019

238 p. : ilus. ; 21 × 14 cm — (Colec. La Ciencia para Todos ; 253)

Texto para nivel medio y medio superior

ISBN 978-607-16-6367-2

1. Matemáticas — Estudio y enseñanza 2. Divulgación científi ca I. Mar-

tínez, Guillermo, pról. II. Ser. III. t.

LC QA40.5 Dewey 508.2 C569 V. 253

La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica,

al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la

Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.

D. R. © 2019, Fondo de Cultura Económica

Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Ciudad de México

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Tel. 55-5227-4672

Diseño de portada: Neri Ugalde

La imagen de la página 96 fue tomada de Caloi, Con todo el humor del alma, Punto Sur,

Buenos Aires, 1987. Agradecemos a la familia de Caloi por el permiso para su reproducción.

Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra, sea cual fuere

el medio, sin la anuencia por escrito del titular de los derechos.

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Hecho en México • Made in Mexico

ISBN 978-607-16-6367-2 (rústico)

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ÍNDICE

Prólogo, por Guillermo Martínez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I. La obra del hombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 La commedia é infi nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Las barbas en remojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 El camino que los sueños prometieron a sus ansias . . 39 La auténtica repulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 La matemática tiene razones (que la razón no com-

prende) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Un gran salto para la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II. Mirabilis, innumerabilis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

III. Los n – 1 hombres que están solos y esperan . . . . . . . . 80

IV. El guerrero en su laberinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Una piedra en el zapato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 La indivisa eternidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

V. Un día cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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VI. Fabricar un bosque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 La generación bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Mano a mano hemos quedado . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

VII. A la cama con Procusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

VIII. Un regalo de Dios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

IX. Dos juegos plenos de signifi cado . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Algo fácil de hacer: los gansos y la hipótesis del con-

tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

X. Dios salve a la Reina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Cartas a un joven matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 El Fermat grande se come al chico . . . . . . . . . . . . . . 170 A mar revuelto, problema no resuelto . . . . . . . . . . . 172 … El objetivo inmediato de mi investigación . . . . . 173 La hipótesis de Riemann, de la A a la ζ . . . . . . . . . . 176 La armonía de los primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 El problema se torna complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Zeta de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 En defi nitiva: ¿ha probado alguien la hipótesis de

Riemann? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

XI. Matemática para tus oídos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 El verdadero principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Primer acto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Segundo acto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Tercer acto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Referencias bibliográfi cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

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PRÓLOGO

¿Cómo contar la matemática? En Alicia en el país de las mara-villas el rey aconsejaría: “Empieza por el principio, sigue hasta llegar al fi nal y entonces para”. Pero el problema de la matemá-tica como corpus es que el “principio” (y la manera de devanar el hilo) puede ser tanto histórico —desde los primeros palotes y piedritas, desde los ábacos chinos, desde Pitágoras y los dilemas griegos— como lógico: partir, literalmente, de cero, y obtener, en progresión rigurosa, primero los números naturales, luego los enteros, los racionales, los reales… para seguir después, en el mismo ímpetu de construcción (o más bien de reconstruc-ción), con las funciones, los diversos infi nitos, las múltiples es-tructuras algebraicas, la defi nición de límite, y así sucesivamen-te hasta rencontrar uno a uno todos los conceptos matemáticos que fueron desarrollándose a lo largo de siglos.

En la primera parte de su libro Del cero al infi nito, Pablo Amster elige tomar este segundo camino, la vía axiomática y lógica, con un argumento atendible. Tal como cuenta en su pre-facio, quienes quieren asomarse a la matemática muchas veces desisten de inmediato porque tienen la sensación de haber lle-gado al cine “con la película empezada”. ¿Qué mejor entonces que convencerlos de que pueden ver y asistir al origen de todo desde la concepción?

Un segundo problema acecha a toda exposición matemáti-ca, y es el del lenguaje. Los objetos y propiedades matemáticos

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requieren recortarse de la manera más nítida e inequívoca, y el lenguaje habitual en que leemos y escribimos no es lo bastante sutil para el grado de precisión necesario, las distinciones delica-dísimas y las cercanías infi nitesimales entre concepto y con-cepto. Por eso la matemática ha desarrollado, también históri-camente, un len guaje propio de fórmulas, signos y convenciones que a simple vista pueden parecer a cualquier lector no inicia-do un embrollo de jeroglífi cos intimidantes. Aun los conceptos que parecen cercanos o intuitivos, palabras como “denso”, “cre-ciente”, “completo”, “acotado”, requieren un esfuerzo del lector para deshacerse del signifi cado vago del uso cotidiano y reapren-derse —reaprehenderse— en los alcances exactos que propone cada defi nición. Si bien los matemáticos siempre se han preo-cupado por asignar nombres que tengan alguna connotación in-tuitiva, este punto de contacto con el lenguaje habitual es sólo una pequeña pista para el signifi cado preciso, y cada defi nición debe aprenderse como si fuera de otro idioma. Pascal elevó este requerimiento a primera premisa del conocimiento matemáti-co: No utilizar términos cuyo signifi cado no se haya defi nido y establecido claramente con anterioridad. Pablo Amster es muy consciente de esto, de la difi cultad y el desafío que conlleva escri-bir con la precisión necesaria, pero logra hacer pasar “sin pena” cada nuevo término mediante asociaciones inesperadas, citas literarias, ráfagas de humor y referencias que van desde el Tal-mud y la Biblia hasta el tango y la cultura pop. Si el lenguaje matemático se separa del mundo para ir hacia profundidades cada vez más abstractas, Amster logra una y otra vez restablecer los vínculos para volver siempre de una manera u otra al plano compartible y más cercano de las vicisitudes humanas.

Estas entreveraciones de matemática y música y de matemá-tica y literatura se despliegan más abiertamente en la sucesión fulgurante de capítulos breves de la segunda parte. En el capí-tulo “Los n – 1 hombres que están solos y esperan” la excusa de la división de una torta, contada en versos de tangos, desembo-ca con naturalidad y maravilla, como en un pase de ilusionismo,

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en la suma de una serie infi nita. Y en “El guerrero en su labe-rinto”, la tortuga de la antigua paradoja de Zenón sale de su línea para caminar primero por un plano y luego por mapas en distintas escalas, y aun por un cuento de Borges, para ilustrar el teorema de la contracción. Enseguida el libro se interna en la explicación de la hipótesis del continuo y los enun ciados inde-mostrables, el sistema binario de numeración, el teorema de pun-to fi jo de Brouwer, y, todavía más allá, en una exposición a la vez rigurosa y accesible de la conjetura de Riemann, el problema abierto más famoso de la matemática.

No debe extrañar que Pablo Amster, quien ha tenido una se-gunda vida paralela como músico y escribió incluso un libro sobre las relaciones entre matemática y música (¡Matemática, maestro!), reserve para el fi nal el capítulo “Matemática para tus oídos”, en el que explica las sutilezas fraccionarias de las escalas y las comas pitagóricas, y comenta algunas de las obras para-digmáticas contemporáneas de música compuesta con esque-mas lógicos-algebraicos, como Herma, de Iannis Xenakis, o por reglas de composición con componentes aleatorios, verdaderas máquinas de generar partituras, como Klavierstück XI, de Stock-hausen.

Sólo algo más diremos: los lectores de Del cero al infi nito, lejos de sentir que la película “está empezada”, podrán compro-bar que tienen la mejor ubicación en el cine, que el telón se abre justo cuando llegan y que la banda musical que suena es tan intrigante como variada. Estas pocas palabras son las del pro-grama que se lee mientras descienden las luces. Que empiece entonces la función.

Guillermo MartínezBuenos Aires, 2018

Este libro está dedicado a todos mis infi nitos:

Noel, Martín, Nico, Seba.

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AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer a Guillermo Martínez, por el prólogo y su cálida lectura del texto. A Alberto Rojo, entre otros. A Karla López y Heriberto Sánchez, del Fondo de Cultura Económi-ca, por confi ar en aquel lejano primer borrador y ayudarme a transformarlo en libro. A Verónica Ramírez, por permitirme el uso de una imagen del Negro Caloi. A Horacio Lavandera, Bru-no Mesz y Vicente Liern, por las investigaciones “matemusica-les”. A Luis Cappozzo, Adrián Paenza, Diego Golombek, Silvia Montes de Oca, María Augusta Friche y los amigos de Aleph. A Enrique Amster, Gabriel Solari, Juan Pita, Azriel Bibliowicz, Nicolás Libedinsky, Nicolás Igolnikov, Rosa Herrera, Mónica Lucas. A Martha Bal, Andrea Amster, Valentina Saievich, Esther Amster, Matilde Kramer. A Yossie Amster (Z’’l), por las lecturas de Luria y otros sabios. A mis amigos matemáticos de aquí y allá, con quienes tengo el privilegio de transformar café en teo-remas: Rafael Ortega, Mónica Clapp, Colin Rogers, Pablo De Nápoli, Gonzalo Robledo, Julián Haddad, Alfonso Castro, Ar-turo Sanjuán, Manuel Pinto, Jorge Cossío, Juan Pablo Pinasco, Andrés Rivera. A los chicos (algunos no tanto) de mi grupo: Al-berto Déboli, Paula Kuna, Melanie Bondorevsky, Julián Epstein, Rocío Balderrama, Carlos Alliera, Carolina Rey. A todos mis estudiantes, de quienes aprendo un poquito más cada día. A los lectores de siempre: en algunos de esos tiempos existen uste-des, no yo.

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PREFACIO

Hace algunos años, al concluir una conferencia, una persona del público se acercó y me confesó: “Cuando escucho hablar sobre matemática, siempre tengo la sensación de haber llegado al cine con la película empezada”. No me atreví a preguntarle a qué género pertenecía la película, aunque es sabido que, para muchos, se trata de una película de terror.

Dejando de lado los aspectos más escalofriantes, el comen-tario de esa persona podría aplicarse a cualquier disciplina, ya que no hay forma de comenzar a hablar sobre ningún tema sin asumir que el oyente posee una aceptable base de información previa. Pero la matemática tiene ciertas cualidades que la ha-cen especial; en particular, su forma de ordenar el conocimiento no es cronológica sino lógica. Si a esto sumamos el hecho de que ese conocimiento, lejos de estar acabado, se sigue produ-ciendo día tras día, entonces la posibilidad de ver la película com-pleta termina por convertirse en una ilusión, comparable a la de leer “El libro de arena” (Jorge Luis Borges, 1975): “Me pidió que buscara la primera hoja. Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano”.

Parece mejor idea volver al concepto del orden no cronoló-gico e interpretar la pregunta sobre cómo empezó la película matemática a partir de la discusión acerca de sus fundamentos.

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Bajo tal perspectiva, según podría suponerse, todo comienza a partir de la nada o —mejor dicho— del vacío.

La última afi rmación nos ubica de lleno, si vale el contra-sentido, en el tema del primer capítulo. Allí veremos, en efecto, que toda la maquinaria matemática puede ponerse en marcha una vez que se postula la existencia de un conjunto con la pro-piedad de no tener elementos. Pero la tarea no resulta sencilla, pues la matemática es incapaz de hacerse cargo de los alcances fi losófi cos de la nada y, en consecuencia, se ve obligada a cir-cunscribirla al ámbito de sus axiomas. Tal limitación nos fuerza a abandonar cualquier pretensión de decir todo sobre la nada para situarnos ante un objetivo más modesto: proponer, como alguna vez lo hiciera el autor metafísico Macedonio Fernández, una suerte de continuación de la nada. Según veremos, el con-junto vacío brinda una forma de establecer el concepto de cero; luego, los números naturales se defi nen simplemente como la posteridad del cero. Y sobre tales números se apoya (casi) toda la matemática de un modo que, volviendo a Borges, podríamos describir así:

En la parte inferior de la matemática, hacia el centro, vi un pe-

queño círculo tornasolado […] Vi los números naturales, vi los

enteros, vi los racionales y los irracionales, vi el infi nito numera-

ble y una infi nidad no numerable de infi nitos no numerables, vi

el continuo, la línea, el plano y el volumen.

La paráfrasis remite a “El Aleph” (1949), y resulta más que apropiada para introducir el segundo capítulo, cuyo protago-nista excluyente es Georg Cantor, fundador de la teoría de con-juntos y los números transfi nitos, a los que designó empleando justamente la letra hebrea ℵ (Álef).

El capítulo subsiguiente narra la historia de un encuentro o, mejor dicho, de un desencuentro entre tres amigos. Los des-encuentros son siempre dolorosos y quizá por ello se ha decidi-do, para contarlo, emplear una clave tanguera. Aunque en este

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caso se trata de una tristeza productiva, ya que los protagonis-tas de la historia aprovechan el mal trance para deducir una de las identidades fundamentales del análisis matemático: la suma de la serie geométrica. En el cuarto capítulo llega el turno de otro desencuentro célebre, el de Aquiles y la tortuga, que abandonan su tradicional pista rectilínea para continuar su loca persecución por el plano o, más en general, en un espacio cual-quiera. Ahora bien: ¿existe un espacio cualquiera? El capítulo siguiente describe algunas de las difi cultades que debemos en-frentar cuando nos hacemos planteamientos de este tipo. Por ejemplo, cuando un presentador teatral dice que nos prepare-mos “para vivir una noche especial”, sin preocuparse por men-cionar que, en cierto sentido, todas las noches lo son. No es lo mismo, claro, aquella noche en la que conocimos al amor de nuestras vidas que aquella otra en la que se nos volcó la copa sobre el traje o esa en la cual cambiamos las baterías al control remoto; sin embargo, asumir que existen noches que no son es-peciales puede ponernos en serios aprietos lógicos. Problemas de otra naturaleza nos ocupan en el capítulo vi, en el que justa-mente la naturaleza toma forma de bosque y permite ocultar, en un claroscuro de hojas y sombras, las nociones básicas de aquel sistema que —desde las sombras— rige casi toda la tec-nología actual: el sistema binario, concebido sobre la simple ló-gica de lo que hay y lo que no hay. Este sombrío territorio se torna aún más tenebroso en el capítulo vii que, en rigor, otra vez remite a un nuevo y más defi nitivo desencuentro. Se trata de la inconmensurabilidad entre dos magnitudes, que horrorizó a los griegos y llega aquí arrastrada por las brutales manos de un personaje siniestro: el malvado Procusto, que torturaba a las víctimas que se recostaban en su célebre lecho. En “Un regalo de Dios” la tensión disminuye un poco, aunque su trama se en-cuentra todavía cargada de intrigas. Hablaremos de los códigos secretos y sus descifradores; en particular, de aquel brillante matemático llamado Alan Turing, cuya tarea resultó decisiva en el desarrollo de la segunda Guerra Mundial. El capítulo ix

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nos aparta de las guerras, pero no del todo, pues está dedicado a aquella teoría matemática en la que, en muchos casos, el obje-tivo es aniquilar al otro (claro está, siempre con la cordial ele-gancia de la matemática). La teoría de juegos, en efecto, jugó su papel central en muchas contiendas; no obstante, nuestro texto viene en son de paz y se limitará a describir la relación de dicha teoría con dos temas centrales de la matemática: por un lado, los teoremas topológicos de punto fi jo; por otro, la teoría de con-juntos y las más profundas sutilezas que encierran sus axio-mas. Acto seguido efectuaremos un breve paseo por esa rama de la matemática en la que conviven los enunciados más elemen-tales con problemas que desafi aron las mentes destacadas de la historia. Nos referimos a la teoría de números, cuya materia básica son los números naturales y, por tal motivo, despierta la curiosidad no sólo de expertos sino también de legos. Pero sus problemas, a menudo fáciles de plantear en términos elemen-tales, suelen presentar enormes difi cultades para resolverse, y varios de ellos continúan abiertos al cabo de muchos años. Tal vez cautivado por estos encantos fue que Gauss, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, dijo que “la mate-mática es la reina de las ciencias y la teoría de números es la reina de la matemática”. Finalmente, el último capítulo está de-dicado a la música; no a los aspectos matemáticos de su teo-ría, que sin duda los tiene, sino más bien al uso expresivo de ciertos recursos provenientes de sus variadas ramas: el azar, las probabilidades o las álgebras de Boole. De algunos temas musi-cales aptos para el baile suele decirse, cuando los oímos, que “los pies se mueven solos”; en las obras que aquí comentare-mos, en cambio, la que se mueve sola es la matemática. Esto quizá nos ponga en alerta respecto precisamente de cómo sue-na todo eso, pero la discusión estética, aunque válida, quedará aquí de lado. Esta vez nos toca, simplemente, comenzar a en-tender a qué se refería el teórico Gioseff o Zarlino allá por el si-glo xvi, cuando dijo que “la música se ocupa de los números sonoros”.

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Este libro está destinado a un público amplio pero requiere, como cualquiera, que el lector posea un espíritu inquieto y cu-rioso. Para encarar su lectura sólo hace falta saber la matemáti-ca básica que se aprende en el colegio, pero con la idea de pa-sarla un poco mejor que en aquel entonces y de que la película se transforme por fi n en una de aventuras, acción o —¿por qué no?— amor. Por tal motivo, se ha optado por un estilo de expo-sición ameno e informal, con abundantes referencias literarias y alusiones a otros discursos. Lo que se pretende, en el fondo, es mostrar que la matemática tiene aquel poder que confi ere al texto poético el chileno Vicente Huidobro:

Que el verso sea como una llave

que abra mil puertas.

Pido ahora al lector que me acompañe, pues la película está por comenzar.

Buenos Aires y 2017

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I. La obra del hombre

El problema de los fundamentos últimos y del signifi -

cado último de la Matemática sigue abierto; no sabemos

en qué dirección hallará su solución fi nal, ni siquiera

si cabe esperar en absoluto una respuesta fi nal objetiva.

El “matematizar” podría ser una actividad creativa del

hombre, como el lenguaje y la música, de una originali-

dad primaria, cuyas decisiones históricas desafíen una

racionalización objetiva completa.

Hermann Weyl

En un lugar de la Lógica, de cuyo nombre no quiero acordarme, cada habitante tiene un club de admiradores. Este club es único y puede ser vacío, tal como ocurre con aquellos individuos que, de tan impopulares, no son capaces siquiera de despertar la ad-miración propia.

La última observación es pertinente, pues nada impide que alguien se haga socio de su club de fans; a tales personas se las llama engreídas y, por lo general, entre sus problemas no se cuen-ta el de tener baja autoestima. A los otros, los que no pertene-cen a su club de admiradores, se los denomina modestos. Claro que siempre hay impostores (aquellos que practican la famosa “falsa modestia”), pero en general se trata de individuos afables, que disfrutan de reunirse a conversar y practicar actividades ar-tísticas o deportivas. Por tal motivo han decidido fundar un club, al que llamaremos M: el club (algo modesto, claro) de todas las personas modestas. Y en una de esas tertulias, conversando de una cosa y de otra, descubren que M no puede ser el club de admiradores de nadie. En efecto, si se tratase del club de admi-radores de cierta persona b, entonces habría dos situaciones posibles:

Situación 1: b es modesto. En tal caso, b pertenece al con-junto M. Pero por otra parte M es el club de admiradores