Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... ·...
Transcript of Matematick´a statistika - karlin.mff.cuni.czhudecova/education/archive11/download/chem... ·...
Matematicka
statistika
Matematicka statistika
Sarka Hudecova
Katedra pravdepodobnosti a matematicke statistiky
Matematicko-fyzikalnı fakulta Univerzity Karlovy
letnı semestr 20121
1Zalozeno na materialech doc. Michala Kulicha
Matematicka
statistika
Organizacnı pokyny k prednasce
prednaskove slidy v tisknutelne forme vizhttp://www.karlin.mff.cuni.cz/~hudecova
zkouska
pısemna,podrobnosti (bodovanı, pocet otazek apod.) budouupresneny ke konci semestru
konzultace
cvicenı
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Co je statistika?
Statistika = veda o zıskavanı, zpracovanı a interpretaciinformace obsazene v empirickych pozorovanıch skutecnehosveta (v namerenych datech, pruzkumech apod.)
Zakladnı delenı
popisna (deskriptivnı)
popis konkretnıch datnekolika cısly a obrazky strucne vystihnout dulezitezavery pouze o danych datech, nelze zobecnovat
induktivnı (konfirmatornı)
na zaklade dat umoznuje odpovıdat na obecne otazky opopulaci! zavery lze zobecnitodhady populacnıch parametrupredpoklady, znalost statistickych metoddulezita je interpretace
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Populace vs. data
Konkretnı data! Cela populace
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Populace vs. data
Konkretnı data! Cela populace
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Kde, kdy a proc se pouzıva statistika?
Zkoumame slozity system
nelze jednoduse pochopit nebo popsat pouze na zakladeteorie (tj. potrebujeme empiricke zkusenosti)
za stejnych nebo podobnych podmınek se muze projevovatodlisnym zpusobem! nahoda
prıklady: lidska spolecnost, ekonomika, lidske telo,ekosystem, sport, vedecky experiment, . . .
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Kde, kdy a proc se pouzıva statistika?
Zkoumame slozity system
nelze jednoduse pochopit nebo popsat pouze na zakladeteorie (tj. potrebujeme empiricke zkusenosti)
za stejnych nebo podobnych podmınek se muze projevovatodlisnym zpusobem! nahoda
prıklady: lidska spolecnost, ekonomika, lidske telo,ekosystem, sport, vedecky experiment, . . .
Druhy statistickych uloh
odhady parametru! vypocet cıselnych charakteristik
testovanı hypotez! overovanı pravdivosti vyroku
predikce! predpovedi
optimalizace! hledanı optimalnıch parametru
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Prıklad: data z prednasek z minulych let
Na zaklade udaju z let 2006–2011 lze usuzovat
ze by tu dnes melo byt 60 % zen a 40% muzu
prıtomne studentky budou v prumeru 168 cm vysoke,s hmotnostı 60 kg a velikostı bot asi 38,5
prıtomnı studenti budou v prumeru 183 cm vysocıs hmotnostı 76 kg a velikostı bot asi 43
pres 30 % prıtomnych bude z Prahy, kolem 11 % zestredoceskeho kraje a jen velmi malo studentu bude zeSlovenska a Moravy
nejvıce z prıtomnych ma narozeniny v kvetnu, nejmenev unoru a breznu
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Statisticky prıstup k resenı problemu
1 realny problem, domnenka apod.
2 plan experimentu
3 sber dat
4 vyber vhodneho pravdepodobnostnıho modelu
5 formulace problemu v reci matematicke statistiky
6 aplikace statistickych metod
7 interpretace, zavery, publikace . . .
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Oblasti aplikace statistiky
Prırodnı vedy
medicına, genetika, farmakologie,biologie, chemie, fyzika, meteorologie . . .
Ekonomie
makro & mikroekonomie, bankovnictvı, pojist’ovnictvı, . . .
Technicke vedy
telekomunikace, doprava, pocıtace, strojırenstvı, kontrolajakosti, rızenı a organizace vyroby, . . .
Spolecenske vedy
sociologie, behavioralnı vedy, archeologie, lingvistika,antropologie . . .
A mnoho dalsıch (sport, marketing, . . . )
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Obsah prednasky
Cıl prednasky= porozumet zakladnım principum statistickychmetod a pochopit resenı vybranych jednoduchych problemu.
Matematicka
statistika
Co je
statistika?
Obsah prednasky
Cıl prednasky= porozumet zakladnım principum statistickychmetod a pochopit resenı vybranych jednoduchych problemu.
Dve zakladnı casti
Zaklady pravdepodobnosti
nezbytny teoreticky zaklad pro vyklad statistickych metodpravdepodobnost, nahodna velicina a jejı rozdelenı, strednıhodnota, nezavislost, . . .
Statistika
popisne statistiky jako odhady populacnıch parametruodhady, intervaly spolehlivosti, testy statistickych hypotezzakladnı metody (vybrane testy)
Dulezite je osvojenı si hlavnıch principu, pojmu, zakladnıchmetod. Nikoliv ucenı se vzorecku.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Teorie pravdepodobnosti
Pravdepodobnost: matematicky model nahody
Pravdepodobnost zkouma nahodne jevy, tj. jevy, ktere mohou,ale nemusı nastat.
S jakou pravdepodobnostı dany jev nastane?
Jsou dane jevy na sobe nezavisle?
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Teorie pravdepodobnosti
Pravdepodobnost: matematicky model nahody
Co to je nahoda?
Kde se s nı setkavame?
Pravdepodobnost zkouma nahodne jevy, tj. jevy, ktere mohou,ale nemusı nastat.
S jakou pravdepodobnostı dany jev nastane?
Jsou dane jevy na sobe nezavisle?
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nahodne jevy
nahodny pokus vysledek predem neurcity (nahoda)
mnozina vsech moznych vysledku Ω
nahodny jev je tvrzenı o vysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω
prvky Ω se nazyvajı elementarnı nahodne jevy
jev nemozny ∅ nenastava nikdy
jev jisty je cela mnozina Ω a nastava vzdy
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nahodne jevy
nahodny pokus vysledek predem neurcity (nahoda)
mnozina vsech moznych vysledku Ω
nahodny jev je tvrzenı o vysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω
prvky Ω se nazyvajı elementarnı nahodne jevy
jev nemozny ∅ nenastava nikdy
jev jisty je cela mnozina Ω a nastava vzdy
Prıklad (Hod kostkou)
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nahodne jevy
nahodny pokus vysledek predem neurcity (nahoda)
mnozina vsech moznych vysledku Ω
nahodny jev je tvrzenı o vysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω
prvky Ω se nazyvajı elementarnı nahodne jevy
jev nemozny ∅ nenastava nikdy
jev jisty je cela mnozina Ω a nastava vzdy
Prıklad (Hod kostkou)
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6
Prıklad (Pohlavı 2 sourozencu)
Ω = KK,DK,KD,DD nebo Ω = KK,DK,DDA = [alespon jeden kluk] = KK,KD,DK neboA = [alespon jeden kluk] = KK,KD
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Operace s nahodnymi jevy
Uvazujme nahodne jevy A,B ⊂ Ω.
podjev A ⊂ B znamena A ⇒ B
jev opacny Ac nastane ⇔ A nenastane
prunik jevu A ∩ B nastane ⇔ nastanou zaroven A i B
sjednocenı jevu A ∪ B nastane ⇔ nastane alespon jeden zjevu A a B
neslucitelne (disjunktnı) jevy: A ∩ B = ∅
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Operace s nahodnymi jevy
Uvazujme nahodne jevy A,B ⊂ Ω.
podjev A ⊂ B znamena A ⇒ B
jev opacny Ac nastane ⇔ A nenastane
prunik jevu A ∩ B nastane ⇔ nastanou zaroven A i B
sjednocenı jevu A ∪ B nastane ⇔ nastane alespon jeden zjevu A a B
neslucitelne (disjunktnı) jevy: A ∩ B = ∅
Podobne prunik a sjednocenı vıce jevu A1, . . . ,Ak :k⋂
i=1
Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak (vsechny musı nastat);
k⋃
i=1
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak (alespon jeden musı nastat).
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Operace s nahodnymi jevy - prıklady
Prıklad (Hod kostkou)
Mnozina vsech vysledku: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6,B = [padne cıslo vetsı nez 3] = 4, 5, 6
jev opacny Ac = [padne liche cıslo] = 1, 3, 5,Bc = [padne cıslo mensı rovno trem] = 1, 2, 3
prunik A ∩ B = [padne sude cıslo vetsı nez 3] = 4, 6
sjednocenıA ∪ B = [padne cıslo sude nebo vetsı nez 3] = 2, 3, 4, 6
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Pravdepodobnost
objektivnı cıselne vyjadrenı”nadeje“, ze nastane jev A
prirazuje nahodnemu jevu A realne cıslo z intervalu [0, 1]
Pravdepodobnost (zkracene pst, znaceno P) musı mıtnasledujıcı vlastnosti:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1
2 P(Ω) = 1, P(∅) = 0,
3 je-li A ∩ B = ∅, pak P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Z techto vlastnostı pak dale vyplyva
4 P(Ac) = 1− P(A),
5 pro B ⊂ A je P(B) ≤ P(A) a P(A− B) = P(A)− P(B)
6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti
Predpoklady:
Ω je konecna, tj. Ω = ω1, . . . , ωN
vsechny elementarnı jevy ωi ∈ Ω jsou stejnepravdepodobne
Pravdepodobnost jevu A ⊆ Ω je definovana jako
P(A) =|A|
|Ω|=
|A|
N,
kde |A| znacı pocet prvku mnoziny A.
Klasicka pravdepodobnost ma zjevne vsechny pozadovanevlastnosti.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 1
Prıklad (Hod kostkou)
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, uvazujeme nahodne jevyA = [padne sude cıslo] = 2, 4, 6,B = [padne cıslo vetsı nez 3] = 4, 5, 6
Pak
P(A) =3
6=
1
2, P(B) =
3
6=
1
2,
P(A ∩ B) =2
6=
1
3,
P(A ∪ B) =4
6= P(A) + P(B)− P(A ∩ B) = 1−
1
3
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6 a tedy
P(B) =6
36=
1
6.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Klasicka definice pravdepodobnosti — prıklad 2
Prıklad (Hod dvema kostkami)
Hazımeme dvema kostkami (modra a zelena). Zajıma naspravdepodobnost jevu A = [soucet je alespon 10].
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6.Vsech moznostı je: |Ω| = 6 · 6 = 36.Prıznive moznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto|B | = 6 a tedy
P(B) =6
36=
1
6.
Poznamka: Kombinatoricke pojmy (permutace, kombinacnıcısla apod.)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nevyhody klasicke pravdepodobnosti
Klasicka pravdepodobnost ma dva velmi omezujıcı predpoklady:
1 konecny pocet elementarnıch jevu
2 elementarnı jevy ω musı byt stejne pravdepodobne
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nevyhody klasicke pravdepodobnosti
Klasicka pravdepodobnost ma dva velmi omezujıcı predpoklady:
1 konecny pocet elementarnıch jevu
2 elementarnı jevy ω musı byt stejne pravdepodobne
Kdy nam klasicka pravdepodobnost nestacı?
nestejne pravdepodobne elem. jevy ω (nesymetricka mince)
Ω nenı konecna (hazıme na kos, dokud se netrefıme)
Ω je abstraktnı, nelze jednoduse popsat ω (chceme mluvito pravdepodobnosti bankrotu banky apod.)
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nevyhody klasicke pravdepodobnosti
Klasicka pravdepodobnost ma dva velmi omezujıcı predpoklady:
1 konecny pocet elementarnıch jevu
2 elementarnı jevy ω musı byt stejne pravdepodobne
Kdy nam klasicka pravdepodobnost nestacı?
nestejne pravdepodobne elem. jevy ω (nesymetricka mince)
Ω nenı konecna (hazıme na kos, dokud se netrefıme)
Ω je abstraktnı, nelze jednoduse popsat ω (chceme mluvito pravdepodobnosti bankrotu banky apod.)
Obou predpokladu se potrebujeme zbavit obecnejsı aabstraktnejsı axiomaticka definice pravdepodobnosti.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Axiomaticka definice pravdepodobnosti
Necht’ Ω je libovolna mnozina. Pravdepodobnostı nazvemelibovolnou funkci P definovanou na podmnozinach Ω, ktera manasledujıcı vlastnosti:
1 0 ≤ P(A) ≤ 1 pro libovolne A ⊂ Ω,
2 P(Ω) = 1,
3 pro vsechny A1,A2, . . . ⊂ Ω takove, ze Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j ,platı
P
(
∞⋃
i=1
Ai
)
=
∞∑
i=1
P(Ai ).
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Poznamky
Axiomaticka definice pravdepodobnosti:
pripoustı konecne, spocetne i nespocetne mnoziny Ω
elementarnı jevy nemusı byt stejne pravdepodobne
pro danou Ω lze zavest mnoho ruznych pravdepodobnostı– mezi nimi si musıme sami zvolit (vetsinou to prirozenevyplyne)
Dale budeme (teoreticky) pracovat s obecnou axiomatickoudefinicı pravdepodobnosti. V prıkladech ale budeme vetsinoupouzıvat klasickou pravdepodobnost.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
⋆ Poznamky
Poznamka pro narocne:Ve skutecnosti se pravdepodobnost zavadı jen pro tzv.meritelne mnoziny, ne nutne pro vsechny podmnoziny Ω(nemeritelnou mnozinu nepovazujeme za nahodny jev). Prinespocetne Ω (treba Ω = R) nelze totiz rozumne zavestpravdepodobnost, ktera funguje pro vsechny podmnoziny Ω.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Podmınena pravdepodobnost
Definice
Necht’ jev B ⊂ Ω ma kladnou pravdepodobnost, P(B) > 0.Podmınenou pravdepodobnost jevu A za podmınky, ze nastaljev B , definujeme vztahem
P(A | B) =P(A ∩ B)
P(B).
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Podmınena pravdepodobnost — poznamky
Nepodmınena pravdepodobnost P(A) vypovıda opravdepodobnosti vyskytu jevu A v situaci, kdy nemame zadnedodatecne informace o prubehu nebo vysledku experimentu.
Podmınena pravdepodobnost P(A | B) vypovıda opravdepodobnosti vyskytu jevu A v situaci, kdy vıme, ze nejakyjiny jev B urcite nastal (tj. mame dodatecnou informaci)
Poznamka
Pozor, jevy A a B nelze prohazovat, protoze obecneP(A|B) 6= P(B |A).
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad – dostihy
Prıklad
Favority dostihu jsou kone Lıvanec a Skobrt’ak. Kursybookmakeru naznacujı, ze pravdepodobnost vıtezstvı Lıvance je0.2 a Skobrt’aka 0.25. Skobrt’ak vsak pred startem spolkl hrebıka nepobezı. Jaka je pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec?
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad – dostihy
Prıklad
Favority dostihu jsou kone Lıvanec a Skobrt’ak. Kursybookmakeru naznacujı, ze pravdepodobnost vıtezstvı Lıvance je0.2 a Skobrt’aka 0.25. Skobrt’ak vsak pred startem spolkl hrebıka nepobezı. Jaka je pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec?
Resenı: Jevy: L = [vyhraje Lıvanec], S = [vyhraje Skobrt’ak].Mame P(L) = 0.2, P(S) = 0.25, L ∩ S = ∅.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad – dostihy
Prıklad
Favority dostihu jsou kone Lıvanec a Skobrt’ak. Kursybookmakeru naznacujı, ze pravdepodobnost vıtezstvı Lıvance je0.2 a Skobrt’aka 0.25. Skobrt’ak vsak pred startem spolkl hrebıka nepobezı. Jaka je pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec?
Resenı: Jevy: L = [vyhraje Lıvanec], S = [vyhraje Skobrt’ak].Mame P(L) = 0.2, P(S) = 0.25, L ∩ S = ∅.Odtud
P(L | Sc) =P(L ∩ Sc)
P(Sc )=
P(L)
P(Sc )=
1/5
3/4=
4
15.
Pravdepodobnost, ze vyhraje Lıvanec, je 4/15 = 0.2667.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Prıklad
Prıklad
V suplıku jsou tri pary ponozek ze stejneho materialu: zelene,modre a bıle. Po tme nahodne vyberete dve ponozky a anizbyste overili jejich barvu, vyrazıte v nich do skoly. Zjistete, sjakou pravdepodobnostı
mate obe ponozky stejne barvy,
alespon jedna obuta ponozka je zelena,
na prave noze je zelena ponozka
mate obe ponozky stejne, jestlize v suplıku urcite zbyl parzelenych ponozek,
mate obe ponozky stejne, jestlize na prave noze matezelenou.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost dvou jevu
Mame prostor elementarnıch jevu Ω a pravdepodobnost P.
Definice
Nahodne jevy A,B ⊆ Ω nazyvame nezavisle, jestlize platı
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
V opacnem prıpade je nazyvame zavisle.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost dvou jevu
Mame prostor elementarnıch jevu Ω a pravdepodobnost P.
Definice
Nahodne jevy A,B ⊆ Ω nazyvame nezavisle, jestlize platı
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
V opacnem prıpade je nazyvame zavisle.
Necht’ jsou jevy A, B nezavisle a P(A) > 0, P(B) > 0. Pak
P(A | B) =P(A ∩ B)
P(B)=
P(A)P(B)
P(B)= P(A)
a podobne P(B | A) = P(B).Jevy jsou tedy nezavisle, pokud pravdepodobnost jednoho jevunenı nijak ovlivnena tım, zda druhy jev nastal nebo ne.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel na obou kostkach je lichy].Jsou jevy A a B nezavisle?
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel na obou kostkach je lichy].Jsou jevy A a B nezavisle?
Mame Ω = (SS), (LL), (SL), (LS), kde S znacı sude cıslo a L
liche. Pak
P(A) =1
2, P(B) =
1
2, P(A ∩ B) =
1
4.
Tj. platı podmınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsounezavisle.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel je vetsı nez 10].Jsou jevy A a B nezavisle?
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad
Hazıme dvema kostkami (zelenou a modrou). Oznacme jevyA = [na modre kostce padlo sude cıslo],B = [soucet cısel je vetsı nez 10].Jsou jevy A a B nezavisle?
Ω je mnozina vsech usporadanych dvojic z cısel 1, 2, 3, 4, 5, 6,|Ω| = 36
P(A) =3 · 6
36=
1
2, P(B) =
3
36=
1
12, P(A∩B) =
2
36=
1
18.
Tj. neplatı podmınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsouzavisle.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad (Vtip o statistikovi v letadle)
Statistik prochazel bezpecnostnı kontrolou na letisti, kdyz bylav jeho kufru nalezena bomba. Vysvetloval: ”Podle statistik jepravdepodobnost prıtomnosti bomby v letadle 0, 001. Takzesance, ze na palube budou dve bomby, je 0, 000001. Kdyz sivezmu svoji bombu, cıtım se pak mnohem bezpecneji. Bez sveosobnı bomby proto nikdy necestuji.”
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost — prıklady
Prıklad (Vtip o statistikovi v letadle)
Statistik prochazel bezpecnostnı kontrolou na letisti, kdyz bylav jeho kufru nalezena bomba. Vysvetloval: ”Podle statistik jepravdepodobnost prıtomnosti bomby v letadle 0, 001. Takzesance, ze na palube budou dve bomby, je 0, 000001. Kdyz sivezmu svoji bombu, cıtım se pak mnohem bezpecneji. Bez sveosobnı bomby proto nikdy necestuji.”
Oznacme A = [ja mam v letadle bombu],B = [nekdo jiny ma v letadle bombu]. Jevy A a B jsou zjevnenezavisle (ja nejsem clen zadne teroristicke skupiny). Proto
P(B |A) = P(B) =1
1000,
a proto si bombu do letadla brat nemusıte.
Matematicka
statistika
Pravdepodob-
nost
Nahodne jevy
Klasickapravdepodobnost
Axiomatickadefinice
Podmınenapravdepodobnost
Nezavisle jevy
Nezavislost— poznamky
Poznamka
Jsou-li A,B nezavisle, pak (A,Bc), (Ac ,B), (Ac ,Bc) jsou tezdvojice nezavislych jevu.
Definice
Nahodne jevy A1,A2, . . . ,An ⊆ Ω nazyvame nezavisle pravekdyz platı
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1)P(A2) · · ·P(An).