Matematicas basicas // basic Mathematics

8/10/2019 Matematicas basicas // basic Mathematics

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L ICENCIATURA EN ADMINISTRACIN

A PUNTESPARA LA ASIGNATURAMATEMTICAS BSICAS

2005


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Coordinacin generalL.A.C. y Mtra. Gabriela Montero Montiel

Coordinacin acadmica

Coordinacin operativaL.A.C. Francisco Hernndez Mendoza

Asesora pedaggicaLic. Sandra Rocha

Correccin de estiloL.F. Jos Alfredo Escobar Mellado

EdicinL.A. Jos Mario Hernndez Jurez

CapturaBeatriz Ledesma Espndola

Israel Morales Herrera

Colaboradores


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Como una labor editorial ms de la Facultad de Contadura y Administracin, losmateriales educativos que conforman el Paquete de Estudio Autodirigido del

Sistema Universidad Abierta representan un esfuerzo encauzado a apoyar elaprendizaje de los estudiantes de este sistema.

Esperamos que estos materiales sirvan de punto de referencia tanto a los asesorescomo a los alumnos. A los primeros para que tengan medios que les permitanorientar de mejor manera y con mayor sencillez a sus estudiantes. Y a los segundospara que cuenten con elementos para organizar su programa de trabajo, se lesfacilite comprender los objetivos de cada asignatura y se sirvan de los apoyoseducativos que contienen, como los esbozos de las materias y sus unidades,cuestionarios de autoevaluacin, lecturas bsicas de estudio, actividades deaprendizaje y apuntes elaborados por los asesores.

As, ponemos estos materiales a disposicin de nuestra comunidad, esperando quealcancen sus propsitos.

ATENTAMENTECiudad Universitaria, D. F., octubre de 2005

C.P.C. Y MAESTRO ARTURO DAZ ALONSODIRECTOR

Prlogo


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Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sinautorizacin escrita del editor.

APUNTES PARA LA ASIGNATURA DE MATEMTICAS BSICAS

Primera edicin, octubre, 2005

Derechos reservados conforme a la ley.Prohibida la reproduccin parcial o total de la presente obrapor cualquier medio, sin permiso escrito del editor.

DR 2005 Universidad Nacional Autnoma de MxicoFacultad de Contadura y AdministracinFondo Editorial FCACircuito Exterior de Ciudad Universitaria,Deleg. Coyoacn, 04510-Mxico, D.F.

Impreso y hecho en Mxico


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Introduccin ................................................................................................................. 7

Objetivos generales de la asignatura .......................................................................... 9

Unidad 1. lgebra ...................................................................................................... 11Objetivos particulares de la unidad............................................................ 13

Apunte ....................................................................................................... 15

Unidad 2. Matrices .................................................................................................... 45

Objetivos particulares de la unidad............................................................ 47

Apunte ....................................................................................................... 49

Unidad 3. Clculo diferencial ..................................................................................... 65


Apunte ....................................................................................................... 69

Unidad 4. Clculo integral.......................................................................................... 95


Apunte ....................................................................................................... 99

Bibliografa............................................................................................................... 115

Contenido


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El propsito de estos apuntes es apoyarte en el estudio independiente deMatemticas Bsicas , ya que en este sistema debes preparar cada unade las asignaturas del plan de estudios por tu cuenta, en el tiempo y lugar que tengas disponibles.

Este material forma parte del paquete de estudio autodirigido de la

asignatura y es una exposicin sistematizada y resumida de cada unidadque contiene, acompaada de ejercicios desarrollados paso a paso, ascomo problemas de aplicacin. Su funcin es permitirte reafirmar ocompletar, a travs del estudio de las lecturas bsicas, la comprensin dealgn tema que no hayas entendido plenamente.

En primer lugar, se te propone revisar con cuidado la gua de estudio paraque tengas un panorama general de la asignatura. Despus, estudiar los

temas de cada unidad en las lecturas recomendadas. Luego, repasar elcontenido en los apuntes y resolver el cuestionario de autoevaluacin(gua de estudio). Finalmente, trabajar con el cuaderno de actividades yresolver los exmenes.

Ten a la mano las herramientas necesarias: lpiz, hojas, cuaderno deactividades de la asignatura y calculadora electrnica, ya que con sta seresuelven algunas operaciones de manera ms segura y fcil.

Si al autoevaluarte no te sientes satisfecho con los resultados obtenidos,revisa de nuevo todo el material hasta que alcances los objetivos. Antecualquier duda, puedes consultar a tu asesor de manera presencial o enlnea.

Introduccin


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Como resultado del aprendizaje que alcanzars gradualmente de laasignatura, sers capaz de integrar los tpicos del lgebra y clculodiferencial e integral en la interpretacin y resolucin de modelosmatemticos.

Objetivos generales de laasignatura


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1.1. Conjuntos1.2. Nmeros reales1.3. Funciones matemticas1.4. Ecuaciones lineales y cuadrticas1.5. Inecuaciones lineales y cuadrticas

Unidad 1. lgebra


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Al culminar el aprendizaje de la unidad, logrars resolver correctamenteoperaciones algebraicas y establecer relaciones entre los conjuntos y suselementos. Asimismo, sers capaz de solucionar problemas de ecuaciones ydesigualdades lineales y cuadrticas en una o ms variables utilizandodiferentes mtodos; y construir grficas de algunas funciones del reaeconmico-administrativa.

Objetivos particulares de launidad


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1.1. Conjuntos

AntecedentesLa teora de conjuntos es un sistema formal de las matemticas que proporciona

herramientas para estructurar conceptos tiles dentro de esta disciplina. Secompone de algunas ideas bsicas, definiciones y operaciones, a partir de lascuales podemos desarrollar y probar teoremas, o resolver problemas tericos yprcticos. Aunque aparece relativamente tarde (sus nociones bsicas sonestablecidas por George Boole s. XIX y Georg Cantor segunda mitad del s.XIX y principios del XX), ha incidido en todas las ramas de las matemticas. Por ello iniciamos el curso estudiando las nociones fundamentales de conjuntos. Adems, as comprenderemos mejor los temas posteriores.

Nocin intuitiva de conjuntoUn conjunto es una coleccin de objetos de cualquier ndole, que pueden o noestar relacionados entre s . Debe tener las caractersticas siguientes:

Definir claramente la coleccin de objetos . Podemos contestar demanera inequvoca si un objeto x pertenece a la coleccin: la respuestadebe ser s o no, nunca tal vez o no s.

Cada objeto debe contarse una sola vez . Por ejemplo, la palabraanagrama, puesta como conjunto, tiene cinco elementos: a, n, g, r y m.

El orden en el que se mencionan los objetos no tiene importancia : elconjunto p, q, r es el mismo que el conjunto r, p, q.

Los conjuntos pueden ser colecciones de objetos reales (reloj, libro dematemticas, calculadora) o ideales (nmeros o personajes de novelas); finitos(los libros de la biblioteca de la FCA), cuando pueden listarse todos los objetos quelo forman, o infinitos (los puntos de una recta), cuando no pueden listarse suscomponentes.


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Notacin

Es indispensable una serie de smbolos que nos permitan manejarnos con solturaen el mundo de los conjuntos, para ahorrar tiempo y evitar palabras engorrosas o

confusas. Por eso, a los conjuntos se les denota con letras maysculas .Podemos decir, por ejemplo, que el conjunto A es el de las cinco vocales delalfabeto castellano; o que el B es el de los once jugadores que alinearon por elequipo de Francia al inicio de la final de la copa del mundo de 1998.

Los objetos que forman parte de un conjunto se dice que pertenecen a eseconjunto , y se denotan con letras minsculas . Si los objetos p, q, r son losnicos que forman el conjunto E, afirmamos que p, q y r pertenecen al conjunto E;

o que a no pertenece al conjunto E. Los objetos que integran un conjunto losdenominamos elementos de ese conjunto; por eso, podemos decir que p, q y r son elementos de E; o que p, q y r pertenecen a E, o viceversa.

Conjuntos especialesConjunto universal Para revisar determinados fenmenos o situaciones, hay un

marco de referencia que incluye todos los elementos aanalizar. Por ejemplo, si consideramos a los estudiantes deContadura de Mxico, el listado de todos los alumnos deesta carrera inscritos en todas las universidades del pas esnuestro marco de referencia o conjunto universal (lodenotamos con la letra U [algunos libros utilizan la grafagriega ]). Sin embargo, el conjunto universal no es nico,depende del fenmeno que estemos revisando y de lasituacin particular que enfrentemos.

La relacin de pertenencia de un elemento a un conjunto la designamos con el

smbolo ; y la de no pertenencia, con . Luego, las relaciones de un elemento aun conjunto, mencionadas en el prrafo anterior, pueden expresarse as:

Aa (indica que a pertenece al conjunto ) Ab (seala que b no pertenece al conjunto A)

A los elementos de un conjunto se les encierra entre llaves:


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Entre los conjuntos especiales, estn los siguientes:

De los nmerosnaturales Sirven para contar (1,2,3,4,5...). Se representan con la letraN.De los nmerosenteros

Incluyen los naturales, naturales con signo negativo y al cero(...4,3,2,1,0,1,2,3,4,5...). Se expresan con la Z.

De los nmerosracionales

Se pueden sealar como la divisin o razn entre dosenteros, como , 2/3, 156/956, 3, etctera. Se representancon la Q.

De los nmerosirracionales

No pueden representarse como la divisin o razn de dosenteros, como la raz cuadrada de 2, Pi, etctera. Sedenotan con la grafa Q.

De los nmeros reales Formado con la unin de nmeros racionales eirracionales. Se representa con la R.

Dos maneras de definir conjuntos

Conjunto vaco No tiene elementos. Puede parecer extrao un conjuntoas, pero es til conocerlo para comprender otros conceptos.Se denota con la letra griega

1. Listando todos los elementos y encerrndolos entre llaves:

;,,,, uoiea A 6,5,4,3,2,1 B

2. Describiendo dentro de las llaves una definicin que manifieste con claridad lascaractersticas que debe tener un elemento para pertenecer a cualquier conjuntodado:

{ x x es una vocal del alfabeto castellano}

B { z z es uno de los primeros seis nmeros naturales}

La simbologa puede leerse as: A es un conjunto de elementos x tales que x es una vocal del alfabeto castellano.B es un conjunto de elementos z tales que z es uno de los primeros seis nmerosnaturales.


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Comparaciones entre conjuntos

Igualdad y desigualdad . Dos conjuntos son iguales si y slo si tienenexactamente los mismos elementos (no importa el orden en que estndispuestos). Y son desiguales si al menos alguno de los componentes de uno noest en el otro. En simbologa de conjuntos, si queremos indicar que A y B son

iguales, lo podemos expresar as: para todo Aa , Ba y para todo Bb , Ab .Si se cumplen ambas condiciones, A=B; en caso contrario, no.

Inclusin, subconjuntos . Si tenemos dos conjuntos cualesquiera, A y B, puedesuceder que todos y cada uno de los elementos de uno pertenezcan al otro.

Si es el caso, decimos que A est incluido en B, o A es subconjunto de B. Eso loindicamos en la notacin de conjuntos con el smbolo . As, tenemos que A B.Por ejemplo, si denotamos como A al conjunto de vocales y como C al de las

letras del alfabeto castellano, A es subconjunto de C: si x x A es una vocal del

alfabeto castellano y x xC es una letra del alfabeto castellano , entonces A C.

De la definicin de inclusin puede derivarse la de igualdad: si para dos conjuntoscualesquiera, A y B, afirmamos que A B y B A, entonces A y B son iguales. O si A=A, entonces A es subconjunto de s mismo.

Conjuntos disjuntos . Se denominan as cuando no tienen ningn elemento encomn. Si C, por ejemplo, es el conjunto de los nmeros pares, y D el de losnones, ambos son disjuntos: no comparten ningn elemento.

Conjuntos no comparables . Cuando dos conjuntos no son iguales ninguno es

subconjunto del otro, y tampoco son disjuntos: si ed cba A ,,,, y

jih g f ba B ,,,,,, , entonces A y B son conjuntos no comparables.


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Diagramas de Venn-Euler

Con diagramas de Venn, describimos a continuacin las relaciones entreconjuntos que vimos en la seccin anterior.

B

B

Conjuntos disjuntos

Conjuntos no comparables

B

AB

B

B B

Estos diagramas son el medio para representar grficamente operaciones yrelaciones entre conjuntos. Aqu, el conjunto universal se representa,

comnmente, con un rectngulo; y los conjuntos particulares, por crculos dentrode ese rectngulo.


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Operaciones con conjuntos

Frecuentemente, se identifica a la operacin de unin con la letra o.Podemos pensar, por ejemplo, en un establecimiento al que pueden entrar laspersonas que se acrediten con cartilla o credencial de elector (desde luego,quienes posean ambos documentos tambin podrn acceder). Damos algunoscasos, con diagramas de Venn, de las posibilidades de unin (los conjuntosconsiderados individualmente se muestran a la izquierda y su unin se identifica,con sombreado, a la derecha):

B

A B

B B

B

B B

B B

Unin. Es una operacin entre dos o ms conjuntos, mediante la cual se generaotro conjunto que tiene todos los elementos que pertenecan por lo menos auno de los originales. En simbologa de conjuntos, se denota mediante elsmbolo . La podemos expresar as: B x A x x B A Ejemplo: ed cba A ,,,, y jih g f ba B ,,,,,, ; jih g f ed cba B A ,,,,,,,,,


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Reconocemos esta operacin con la letra y . Pensemos en una escuela a la quepueden inscribirse las personas que presenten su certificado de primaria ypaguen la inscripcin (slo cubriendo ambos requisitos ser posible el ingreso).Veamos este ejemplo (los conjuntos considerados individualmente se muestran ala izquierda, y su interseccin se identifica a la derecha mediante sombreado):

No hay interseccin, o la interseccin es igual al conjunto vaco.

B

A B

B A

B

B

A

B

A B B

Interseccin . Operacin entre dos o ms conjuntos, mediante la cual se generaotro que tiene todos los elementos que pertenecan simultneamente a todoslos conjuntos originales. Se denota mediante el smbolo :

B Ayx x x B A Ejemplo: ed cba A ,,,, y jih g f ba B ,,,,,, ; ba B A ,


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Esta operacin se identifica con la expresin y no. Pongamos como caso unacampaa para donar sangre a la que son convocados donadores que seanmenores de cuarenta aos y no hayan padecido hepatitis. Por ejemplo (losconjuntos considerados individualmente se muestran a la izquierda, y sudiferencia se identifica a la derecha mediante sombreado. Se presenta ladiferencia A-B):

No hay unsoloelementodeA que nosea tambin deB: ladiferencia daun conjuntovaco.

Diferencia . Operacin entre dos conjuntos, mediante la cual se genera otro quetiene todos los elementos que pertenecan al primero y no estn incluidos enel segundo. Esta operacin se denota mediante el smbolo , la podemos expresar

as: B yAyx x x B A Ejemplo: ed cba A ,,,, y jh fg ba B ,,,,, ; jih g f ed cba B A ,,,,,,,,,

B B

B

AB

B

-

- B


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La operacin de complementacin siempre implica la definicin de un conjuntouniversal, por lo que puede considerarse como la diferencia entre el conjunto

universal y cualquier otro. Por eso, es posible emplear las mismas expresionesverbales de la diferencia, pero el primer conjunto siempre es el universal quehayamos definido previamente.

Ejemplos:

A

B A

B A B

A

Complementacin . Requiere un solo conjunto, adems del conjunto universal.Mediante sta, se genera otro conjunto que tiene todos los elementos quepertenecen al conjunto universal, pero no al original. Se denota mediante el

smbolo : AUyx x x A

Ejemplo: jih g f ed cba A ,,,,,,,,, y x xU es una letra el alfabeto castellano ; A k l m n o p q r s t u v x, y, z


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Para efectuar el producto cartesiano, debemos generar todos los paresposibles. En nuestro ejemplo, hay tres elementos del primer y segundo conjuntos,respectivamente (no es requisito que ambos conjuntos tengan igual nmero deelementos). Asimismo, el producto cartesiano no es conmutativo; es decir, A x Bno es, en general, igual a B x A, pues se da lugar a pares distintos. Tambinpuede realizarse el producto cartesiano de un conjunto con l mismo. Por ejemplo,utilizando el conjunto A del prrafo anterior:

ccbcaccbbbabcabaaa AxA ,;,;,;,;,;,;,;,;,

Es posible tambin generalizar la operacin del producto cartesiano al nmerode conjuntos que se desee. Si utilizamos tres conjuntos, obtendremos tercias; sicuatro, cuartetas, etctera. Siempre debemos cuidar el orden, de modo que elprimer elemento de todos los pares, tercias, cuartetas, pertenezca al primer conjunto, el segundo, al segundo, y as sucesivamente.

Un modo de representar productos cartesianos es mediante diagramas comostos:

Producto cartesiano . Operacin entre dos conjuntos mediante la cual seproduce uno tercero con pares ordenados. En este caso, el primer elemento detodos los pares pertenece al primer conjunto; y el segundo, al segundo. Si tenemos

dos conjuntos cualesquiera, A y B, el producto de A por B se indica como A X B (Acruz B). Se expresa as:

B Ayy x y x AxB ,Si cba A ,, y z y x B ,,

z c yc xc z b yb xb z a ya xa AxB ,;,;,;,;,;,;,;,;,


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Un producto cartesiano muy importante se produce si hacemos el productodel conjunto de los nmeros reales consigo mismo RXR , lo que nos permitegenerar, haciendo uso de un diagrama parecido a los anteriores, el plano

cartesiano. En ste, se trazan arbitrariamente dos rectas, generalmenteperpendiculares una de la otra (ejes coordenados). En el cruce de ambos ejes sehalla el origen cuyas distancias horizontales se conocen como abscisas(convencionalmente, se representan con la letra x ; y son positivas a la derecha delorigen y negativas a su izquierda). Las distancias verticales se conocen comoordenadas (son positivas arriba del origen y negativas debajo de ste). Desdecualquier punto del plano, puede medirse una distancia horizontal o vertical entre

ste y el origen. Estas distancias conforman las coordenadas del punto y estndadas por un par ordenado. Por ejemplo, el par ordenado (2,4) representa unpunto que est dos unidades a la derecha y cuatro arriba del origen; y (-3,5), otropunto que est tres unidades a la izquierda y cinco arriba del origen.


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1.2. Nmeros realesEstn formados por la unin de todos los nmeros naturales: enteros positivos,enteros negativos, racionales e irracionales.

Nmeros naturales. Se utilizan para contar (estn simbolizados con la N).

,......4,3,2,1 N . Tambin hallamos el conjunto de los naturales ms el cero:

,........4,3,2,1,0 No .

Nmeros enteros. Es el conjunto de los nmeros naturales ms su negativo,incluye todos los nmeros negativos, el cero y los positivos:

.......2,1,0,1,2,3...... Z .

Nmeros racionales . Tienen la forma de cociente 0; aaaz (podemos

representarlos como 0,, a Z pa xQ ). Una de sus caractersticas importanteses que pueden ser expresados por un decimal infinito peridico como 0.8333333,

resultado de 65 ; 0.8888, producto a la vez de 9

8 ; 0.714285714285 (la parte que se

repite se llama periodo).

Nmeros irracionales . No pueden ser representados como un decimal peridico.

Se identifican con la cQ . Por ejemplo:

718281.2,141592653.3;41413562.12;732050808.13 e

Como ya sabemos, podemos realizar cinco operaciones importantes con losnmeros reales: suma, resta, multiplicacin, divisin y exponenciacin, que de

igual forma son utilizadas de manera algebraica


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1.3. Funciones matemticas

Relaciones

Cuando hacemos relaciones, el conjunto del que se toman los primeros elementosdel par se denomina dominio ; y del que se toman los segundos, codominio,contradominio o rango (aqu lo llamamos rango). Adems, en cada par, alelemento del rango se le dice imagen del elemento correspondiente del dominio.Ejemplo: en los tres pares que conforman la relacin D del prrafo anterior, y es

imagen de a en el primer par; en tanto que z es imagen de a en el segundo, y x deb en el ltimo.

Funciones

De todas las relaciones posibles de un producto cartesiano, hay algunas en lasque a cada elemento del dominio corresponde una sola imagen. A stas se

les identifica como funciones. A continuacin, mostramos algunos ejemplos derelaciones e indicamos si son o no funciones.

Una relacin es cualquier subconjunto de un producto cartesiano . Si partimosdel producto cartesiano ya obtenido:

si cba A ,, y z y x B ,,

z c yc xc z b yb xa AxB ,;,;,;,;,;, ,podemos elegir a nuestro arbitrio algunos (o todos los) pares que lo forman, yhacer una relacin de acuerdo con nuestros intereses. Ejemplo:

xb z a ya D ,;,;, es subconjunto de AxB, por tanto, forma una relacin.


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Dominio Rango Relacin

3,;1, ca A

Es funcin.

31,;3,;3, pnr B

Es funcin.

a s pbqbC ,;,;,El elemento b tiene dosimgenes, entonces no esfuncin.

Otra manera de expresar las relaciones anteriores es por medio de tablas, comolas que ejemplificamos a continuacin:

Relacin A Relacin B

31

8 113 71 3

a B c D r q n p

13

8

b

dc

37

11

r

n1

a

r

s


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Relacin C

A P

Q

B R s

Una funcin tambin puede ser una variable que depende de otra(s) . Ejemplo:la calificacin de un alumno (una variable) depende de las horas que hayadedicado a estudiar (otra variable). Si vemos la situacin anterior con msamplitud, podemos afirmar, adems, que la calificacin de un estudiante (unavariable) es funcin de las horas que estudi, la atencin que puso en clase y ladisponibilidad de libros en la biblioteca (otras variables).

Aunque las funciones que desarrollamos como subconjuntos de RxR en el planocartesiano pueden representarse por grficas o tabulaciones, es ms comnhacerlo mediante expresiones matemticas, que nos dan implcitamentetodos los valores posibles. Ejemplo: y=2x+4 nos indica que para encontrar elvalor de y , podemos dar cualquier valor a x , multiplicarlo por dos y sumarle cuatro

unidades. Al representar estas funciones en el plano cartesiano, es posible dibujar diferentes figuras geomtricas (puntos, lneas rectas, crculos, etctera).

En notacin matemtica decimos, por ejemplo, que y es funcin de x : y=f(x); yleemos: ye es igual a efe de equis o y es funcin de x. Asimismo, podemosestablecer que los valores de z dependen de los de x , y y t : z=f(x,y,t).


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Funciones linealesEntre todas las funciones que podemos idear en el plano cartesiano, las mssencillas son las lineales (si dibujamos su desarrollo, resulta una lnea recta). Acontinuacin, describimos sus caractersticas principales.

Ejemplo: si tenemos los puntos A (2,6) y B (4,12), la pendiente de una recta quelos une es m=(12-6)/(4-2), es decir, m=6/2; m=3/1; o simplemente 3. Lainterpretacin de ese nmero es la recta que une a los puntos a y b, y sube tresunidades por una que avanza.

Frecuentemente, se duda cul de los dos puntos (A o B) tomar primero paraobtener la pendiente correcta; puede ser cualquiera. En el ejemplo resuelto,consideramos al punto A como primero y al punto B como segundo. Si invertimosel orden, tenemos: (6-12)/(2-4); es decir: 6/(-2), o m=3.

Comprendido el concepto de pendiente, debemos establecer que la caracterstica

fundamental de toda recta es que su pendiente es constante.

Pendiente. Es la razn (o divisin) del incremento en altura entre elincremento en distancia horizontal . Teniendo en cuenta que representamos lasalturas en el plano cartesiano con la y , y las distancias horizontales con x ,podemos decir que la pendiente de la recta que une a dos puntos cualesquiera Ade coordenadas (X1, Y1) y B de coordenadas (X2, Y2) es la diferencia entre susordenadas, dividida por la diferencia entre sus abscisas; es decir, (Y2 Y1) /(X2 X1). A la pendiente se le simboliza en la mayora de los libros con la letra m,en donde m = (Y2 Y1) / (X2 X1).


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Ecuaciones e inecuaciones lineales

Obtencin de la ecuacin de una rectaPara obtener la ecuacin de una recta, necesitamos un solo punto y la pendiente o

dos puntos.

Ejemplo: obtn la ecuacin de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto(2,5).

Sustituyendo en la frmula, tenemos: m=3, x1=2, y1=5, por ello, y5=3(x2). Al multiplicar para eliminar el parntesis, nos queda: y5 = 3x 6. Sumando 5 a ambos miembros: y = 3x-1. Si trazamos la grfica de esta ecuacin en el plano cartesiano, queda:

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1-1

Podemos ver que la grfica de la recta corta al eje de las ordenadas donde y esigual a 1, y que la pendiente de la recta se representa subiendo tres unidades por cada una que se avanza. El coeficiente de x , (3) es la pendiente; y el trminoindependiente 1, la ordenada del punto en el que la ecuacin corta al eje y (esdecir, el punto 0,3).

Pendiente y un punto . Se trabaja con la frmula de la pendiente: m=(yy1) / (xx1). m es la pendiente que conocemos, en tanto que x 1, y 1 son las coordenadas delpunto; y x, y son las coordenadas de cualquier punto de la recta que debesatisfacer nuestra ecuacin. Normalmente, la frmula anterior se usa dejando lasordenadas del lado izquierdo, y las abscisas y la pendiente del derecho: yy1=m(x x1).


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Un caso particular A veces, se proporcionan la pendiente y la ordenada al origen para obtener laecuacin de la recta. Es lo ms fcil que se nos puede dar, pues se sustituyedirectamente en la frmula y = mx + b, en donde m sigue siendo la pendiente, yb, la ordenada al origen.

Ejemplo: si queremos encontrar la ecuacin de la recta que tiene pendiente 2 ycuya ordenada al origen es 4. En este caso, m = 2 y b = 4. Por ello,sustituyendo directamente en la frmula, encontramos que y = 2x4.

Dos puntos . Para hallar la ecuacin de una recta cuando se dan dos puntos,seguimos ocupando la frmula de la pendiente. (x1,y1) es uno de los puntos y(x2,y2) el otro. (x,y) es, como en el caso anterior, un punto cualquiera de la recta.Con estos datos, podemos trabajar partiendo de que:

m=(y2-y1)/(x2-x1), adems, simultneamente tenemos que m=(yy1) / (xx1). Dado que la pendiente es igual en ambos casos, podemos igualar las dos

expresiones, y nos queda: (y2-y1) / (x2-x1) = (yy1) / (xx1). Sustituimosdirectamente los dos puntos y obtenemos, con un poco de manejo algebraico,

la ecuacin de la recta que buscamos. Sin embargo, para simplificar estaecuacin se presenta de la siguiente manera: si y-y1 = m(xx1). Entonces, comoya vimos en el caso de pendiente y un punto, sustituimos la pendiente (m) por su frmula, y nos queda: yy1=[(y2 y1) / (x2 x1)] (xx1).

Por eso, la manera de expresar la ecuacin de las rectas con la y despejada dellado izquierdo y la x y el trmino independiente del lado derecho se conoce comopunto, pendiente. El punto en el que la grfica de la recta corta al eje y es la

intercepcin, intercepto u ordenada al origen. Otra forma comn de presentar las ecuaciones de las rectas es igualndolas a 0, con lo que nuestra ecuacinquedara como 3xy1 = 0. Este modo de presentar las ecuaciones se conocecomo forma general.


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Ejemplo: obtn la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P(2,3) y Q(12,4).

Tenemos que x1=2, y1=3, x2=12, y2=4. Sustituyendo, encontramos que y3 =[ (43)/(122)] (x2); y3 = (1/10) (x2);

y3 = (1/10)x-(2/10); y=(1/10)x(2/10)+3; y=(1/10)x+28/10.

Grficas

Todas las funciones pueden dibujarse en el plano dando valores arbitrarios a x ,que en general representa a la variable independiente, y encontrando el valor dey , que es, asimismo, la variable dependiente o funcin. As, encontramos variospuntos que se unen con un trazo continuo. Para las funciones lineales bastan dos

puntos; para las cuadrticas es mejor hallar cuatro o ms, con el objeto delocalizar de manera ms precisa la grfica de la funcin.

Desigualdades (inecuaciones)Las funciones que hemos visto hasta el momento tienen el signo de igual entre lavariable dependiente y la independiente. Sin embargo, hay otro tipo deexpresiones:

La no igualdad (representada como ). Significa que la funcin es verdaderapara todos los puntos, menos para los de la igualdad.

Si la funcin y=x +4 puede ser representada en el plano cartesiano por una rectacon pendiente 1 y ordenada al origen 4, la funcin y x + 4 se representa por dos reas completas (una arriba y otra debajo de la recta, en las que la funcinse cumple) y una lnea (precisamente y = x +4) en la que la funcin no se cumple.

Desigualdades de mayor o menor que . Se representan con los smbolos >(mayor que) y < (menor que). En el primer caso, la funcin se cumple entodos los puntos por encima de la funcin que los delimita; en el segundo, enel rea por debajo de la funcin. En ambas modalidades, no se incluye la lnea


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Desigualdades de mayor o igual o menor o igual que . Se representan como (mayor o igual que) y (menor o igual que). En el primer caso, la funcin

se cumple en todos los puntos por encima de la funcin que los delimita; en elsegundo, en el rea por debajo de la funcin. (En ambas modalidades seincluye la lnea).

Sistema de ecuaciones lineales

Es comn encontrar el punto donde se intersecan dos rectas, lo que seresuelve mediante sistemas de ecuaciones simultneas. Hay varios mtodos pararealizarlo, expliqumoslos mediante la resolucin del sistema:2xy4 = 0x y+2 = 0

Mtodo grficoEn una hoja de papel milimtrico, hay que dibujar las grficas de ambasecuaciones e identificar el punto donde se cruzan.

Suma y restaSe trata de eliminar una de las variables sumando o restando, miembro amiembro, una ecuacin o un mltiplo de sta para encontrar los valores:2xy4=0 (axy+2=0 (b

Multiplicamos la ecuacin b por (1) y la sumamos a la ecuacin a: x+y2=0(b)

2xy4=0(a)x6=0x=6


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Si lo hacemos en b, sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales ytenemos:6y+2=06+2=yy=8

IgualacinSe despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan los despejes: A 2xy4=0 y=2x4B xy+2=0 y=x+22x4=x+2

2xx=2+4x=6

Sustituimos en A:2(6) y-4=012y4=0124=yy=8

SustitucinSe despeja una de las variables en una ecuacin y se sustituye el despeje en laotra. Luego, se resuelve el sistema:a) 2xy4=0 y=2x4 cb) xy+2=0

Sustituimos el valor de y (2x4) en b:x (2x-4)+2x2x+4+2=0 x+6=0 x=6x=6


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Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo, en b:6y+2=06+2=yy=8

Ecuaciones cuadrticas

A las funciones cuadrticas de dos variables (convencionalmente x , y ) se laspuede representar en el plano cartesiano mediante grficas de diversas curvas:crculos, elipses, parbolas e hiprbolas. Tambin son conocidas como cnicas,ya que es posible generarlas cortando un cono con un plano (al hacerlo endiferentes ngulos, se encuentran las curvas antes sealadas). En esta seccin

solamente veremos la manera como se hallan las races de una ecuacincuadrtica. Debemos recordar que las ecuaciones cuadrticas pueden tener dos,una o ninguna solucin real, dependiendo del caso.

A veces, las variables no estn expresadas a la primera potencia, sino que elexponente es ms alto. En esta seccin, veremos solamente las funciones en lasque el exponente mximo es el cuadrado (por ejemplo, y=x2 4x+8). Por ello, aestas ecuaciones que tienen aplicaciones en los campos de la contadura, laadministracin y la informtica se les llama cuadrticas.

Se llaman races de una ecuacin cualquiera los puntos en los que la grfica deesa ecuacin corta al eje x . Para comprender el proceso de resolucin, debemosconsiderar que en cualquier punto del eje x , y es igual a 0. Por eso, paraencontrar las races de la ecuacin, debemos igualar la y a 0 y resolver lo que

resulte. Si tenemos una ecuacin de primer grado, por ejemplo, y=2x 4; al hacer y=0, nos queda 2x4 = 0, por ello, 2x=4, por lo que x=4/2=2.


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Lo anterior significa que la grfica de la ecuacin antes citada corta al eje x en elpunto en el que x es igual a 2. En las ecuaciones de segundo grado la lgica es lamisma, pero el proceso, diferente.

De acuerdo con la lgica anterior, localizar las races de una ecuacin de segundogrado implica hallar los puntos donde la grfica de esa ecuacin corta al eje x . Por ello, y debe ser igual a 0, entonces, ax2+bx+c=0. Hay diferentes mtodos pararesolver ecuaciones cuadrticas, dependiendo de si b o c son 0. Veamosalgunos casos.

ax2+c=0. Por eso, ax2=c; consecuentemente, x 2=c/a y x es la raz cuadrada

del ltimo valor. Si c/a es un nmero negativo, la ecuacin no tendr solucinreal; en caso contrario, una de las soluciones ser la raz positiva y la otra lanegativa (al signo de raz cuadrada se antepone normalmente un +/ paraindicar que una de las races es positiva y la otra negativa).

Ejemplo: Y=2x2 8; por ello, 2x2 8=0. En esta ecuacin, a=2 y c=8.

Sustituyendo, tenemos: x=+/ (8/2); es decir, x=+/ 4. Debido a lo anterior,

los dos valores de x son x1=2, en tanto, x2=2.Ejemplo: Y=4x2+8, por eso, 4x2+8= 0. En esta ecuacin, a=4 y c=8; y debido aque c/a es un nmero negativo (2), no tiene solucin real.

Podemos presentar la ecuacin de segundo grado como Y = ax2+bx+c. Aqu, a esel coeficiente de la variable al cuadrado; b, el de la variable a la primera potencia; yc , el trmino independiente. En la ecuacin cuadrtica que ya vimos, y = x2 4x+8;a = 1, b = 4, c = 8. Adems, en este tipo de ecuaciones, tanto b como c puedenvaler 0 (es decir, puede no haber trmino a la primera potencia y/o trminoindependiente), pero siempre debe existir el coeficiente del trminocuadrtico.


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Ejemplo: Y= 2x2 8; por ello, 2x2 8=0. En esta ecuacin, a=2 y c=8.

Sustituyendo, tenemos: x=+/ (8/2); es decir, x=+/ 4. En consecuencia, los

dos valores de x son x1=2, en tanto, x2=2.

c=0. Tenemos ax2+bx = 0. Factorizando x , x(ax+b)=0. As, la ecuacin ofrecedos soluciones: x=0 y x=b/a.

Ejemplo: 2x2+5x=0. De acuerdo con lo visto en el prrafo anterior, lassoluciones pueden ser: x1=0 y x2=b/a; en nuestro caso, x2=5/2.

La ecuacin completa y=ax 2+bx+c. Para hallar las races, tenemos queax2+bx+c=0. La solucin a este tipo de ecuaciones puede darse factorizando

en dos binomios o usando la frmula general de la ecuacin de segundo grado:x1=[b+ (b2 4ac)]/2a; x2=[b (b2 4ac)] /2a. Desde luego, la frmula general

puede aplicarse para resolver cualquier ecuacin de este grado aunque noest completa.

Ejemplo: encuentra las races (o soluciones) de x2+2x8=0

Factorizando, tenemos: (x+4)(x2)=0. Podemos resolver dividiendo

alternativamente ambos lados de la ecuacin, primero por x2 yposteriormente por x+4: x2= 0/(x+4) = 0; por ello, la primera x o x 1=2. Alternativamente, 2x+4=0/ (x2)=0, por lo que x+4=0 y x=4.

Aplicando la frmula general, a=1, b=2, c=8. Entonces, al sustituir en la

frmula: x1=[2+ (4-4*1*(8))]/2*1; x2=[2 (44*1*(8))]/2*1]. El resultado

es x1=2, en tanto que x2=4.

Puede suceder que la cantidad subradical (la que est dentro del radical: b2 4ac) sea negativa. En ese caso, la ecuacin no tiene solucin real.


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AplicacionesFunciones lineales de costo

Si estudiamos a la empresa Me Escribe, S.A., fabricante de cuadernos; ydefinimos costos fijos de $50,000.00 por mes y el costo variable unitario de$5.50/cuaderno para un nivel de produccin entre 0 y 100 mil cuadernos por mes,nuestra funcin lineal de costo es: CT=5.50q+50,000. sta nos permite calcular elvalor total al producir diferentes cantidades de cuadernos mensualmente. Ahora, siqueremos generar 40 mil cuadernos, el costo total ser: CT=5.50(40,000)+50,000;

esto es: $270,000. En cambio, si deseamos fabricar 60 mil, el costo ser:CT=5.50(60,000)+50,000; es decir, $380,000.

Funciones lineales de ingreso

Si el precio al que la empresa Me Escribe, S.A. vende sus cuadernos es $10.00,su funcin de ingresos es1:I=10q. sta nos permite calcular el ingreso total al

1 En este caso, hacemos una suposicin simplificadora cuando hablamos de que el precio es fijo,sin considerar que puede haber descuentos por volumen y otras alteraciones, y especulando

Al producir un bien se incurre en costos, que podemos desglosar en dos tipos: fijos(CF), los que hace la empresa independientemente del nmero de unidades del bienque fabrique (por ejemplo, renta del local, energa elctrica de las oficinas, sueldo delos vigilantes); y variables unitarios (CVU), cambian con el nmero de unidadeselaboradas (por ejemplo, mano de obra y materiales directos). Adems estn loscostos totales (CT), relacionados linealmente con las unidades de un bien (q). As,tenemos: CT=CVUq+CF.

Si tenemos un precio de venta fijo (PV), los ingresos de una empresa quecomercializa un solo producto (I) sern del precio de venta por el nmero debienes producidos y vendidos (q). Dado lo anterior, el ingreso de la empresa lo

expresamos como I=PVq.


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vender distintas cantidades de cuadernos mensualmente. Si queremos vender 40mil cuadernos, el ingreso total ser I=10(40,000); esto es, $400,000. En cambio, silogramos vender 60 mil, el ingreso ser de I=10(60,000); es decir, $600,000.

Punto de equilibrio financiero

I=10qCT=5.50q+50,00010q=5.50q+50,0004.50q=50,000q=50,000/4.50q=11,111 cuadernos, aproximadamente, redondeando a la unidad ms prxima

Esto es muy fcil de comprobar, sustituyendo el valor encontrado, tanto en lafuncin del ingreso como en la del costo:I=10(11,111)=111,110CT=5.50(11,111)+50,000=111,110.50

Hemos notado que el ingreso y el costo son prcticamente iguales. La pequeadiferencia es el redondeo.

tambin que es posible vender la cantidad que se desee a ese precio. Esta ltima suposicin esrazonable en tanto los volmenes manejados por nuestra empresa sean pequeos en relacin conel mercado total de cuadernos; de lo contrario, tendr que bajar su precio si desea vender msunidades.

Un punto que les interesa especialmente a los administradores es aquel en que laempresa no pierde ni gana, es decir, cuando los ingresos se equilibran con loscostos: punto de equilibrio financiero. Conociendo las funciones de costo total y deingreso, este punto se calcula fcilmente igualando la funcin de ingresos con lade costos totales. A continuacin ejemplificamos este procedimiento, considerandola fbrica de cuadernos ya citada.


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Funcin lineal de utilidad Aun cuando el punto de equilibrio financiero es interesante, la mayora de lasempresas se esfuerzan por tener utilidades. Con la informacin que poseemos esmuy fcil obtener la funcin de utilidades (U), pues stas slo son la diferenciaentre el ingreso y el costo total. Seguimos este procedimiento: U=ICT.Sustituyendo por sus equivalentes, tenemos: U=PVq(CVUq+CF)=(PVCVU)qCF.

Entonces, en la fbrica citada:U=(10q5.50q+50,000)=(105.50)q-50,000

U=4.50q50,000

Si deseamos saber cul es la utilidad de producir y vender 30 mil cuadernos,debemos sustituir U=4.50(30,000)50,000=85,000.

Funcin lineal de la demanda

La demanda por periodo de un bien normal es funcin de muchas variables:precio del bien, ingresos de las personas, gusto de los consumidores, existencia yprecio de los productos que pueden sustituir al bien, etctera. Si consideramos queslo vara el precio del bien y lo dems permanece constante, encontraremos lafuncin de demanda del artculo en relacin con el precio. Esta demanda, engeneral, tiene pendiente negativa, es decir, a mayor precio del bien menor lacantidad que se requiere del mismo. Si denominamos q a la cantidad de unidadesde ese bien solicitadas por una comunidad en una unidad de tiempo, por ejemplo,

un mes; y p al precio unitario de ese bien, tenemos: q=f(p).


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La grfica de la funcin de demanda puede tener diversas formas, como una lnearecta. As, luego de hacer un estudio, podemos afirmar que la demanda decuadernos durante un ao en una ciudad es: q=200p+20,000.

Lo anterior quiere decir que si la fbrica regalara los cuadernos, la comunidaddemandara 20 mil cuadernos al ao (si el precio es 0, q=200(0)+20,000). Encambio, si los vendiera a $50, slo se requeriran 10 mil durante el mismo lapso,pues q=200(50)+20,000.

Funcin lineal de oferta

Supongamos que en la comunidad del caso anterior los fabricantes estndispuestos a producir cuadernos segn la siguiente funcin de oferta: q=100p1,000. Entonces, si el artculo vale $20.00, los productores estarn interesados enelaborar q=100(20)1.000=1000.

Punto de equilibrio de mercado

q=-200p+20,000 (demanda)q=100p1,000 (oferta)

Si variamos el precio del bien y suponemos que los dems factores permanecen

fijos, hallamos una funcin de oferta del tipo q=f(p). Igual que en el casoanterior, q representa la cantidad de bienes demandados por unidad de tiempo; y p, el precio unitario del artculo. Es decir, la cantidad de un producto que se deseaintroducir al mercado es funcin del precio que pueden cobrar por l. En este caso,la pendiente es positiva, dado que mientras mayor precio tiene un bien, ms lesinteresa a los productores llevarlo al mercado.

Hay un punto en el que se iguala la cantidad de productos que los

consumidores estn dispuestos a comprar y la que los fabricantes estninteresados en vender. Este punto es muy fcil de encontrar igualando ambasfunciones (oferta y demanda). Veamos:


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Si la cantidad ofrecida y la demandada son iguales, tenemos:100p1,000=200p+20,000Y concentrando los trminos que tienen q en el primer miembro:100p+200p=20,000+1000

Si realizamos las operaciones indicadas, nos queda:300p=21,000; o: p=21,000/300=70

Entonces, el precio al que los consumidores estn dispuestos a comprar la mismacantidad de cuadernos que los fabricantes estn dispuestos a producir es $70.00.

Y la cantidad intercambiada se obtiene sustituyendo en cualquiera de lasfunciones, por ejemplo, en la de la oferta:q=100(70)1000=6000.

As, el punto de equilibrio de mercado se alcanzar con un precio de $70 por cuaderno, y sern intercambiados 6 mil cuadernos anualmente.


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2.1. Conceptos bsicos2.2. Operaciones con matrices2.3. Matriz inversa2.4. El mtodo de Gauss-Jordan2.5. Aplicaciones

Unidad 2. Matrices


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Al culminar el aprendizaje de la unidad, logrars analizar la naturaleza

de una matriz, sus conceptos principales y operaciones. Asimismo,podrs efectuar operaciones entre matrices e identificar situacionesrelacionadas con la Administracin y Contadura en las que puedenaplicarse.



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2.1. Conceptos bsicos

Los elementos de una matriz son identificados por medio de subndices. Por ejemplo, 33a es el elemento que ocupa el tercer rengln y la tercera columna de la

matriz A; 21b , el segundo rengln y la primera fila de la matriz B; y, en general,

ijb , el i-simo rengln y la j-sima columna de la matriz B. Para la matriz B, que se

ejemplifica abajo, el elemento 21b corresponde a 1 y 33b a 9.

Las matrices pueden representarse con parntesis rectangulares, circulares ocon doble raya , como se ejemplifica a continuacin:

7502

1243 A

237

654

353

B

390

5312

584

C

Orden de las matricesEl orden de una matriz es el nmero de renglones y columnas que lacomponen, expresado como un par ordenado (m,n) . Por ejemplo, una matrizde orden (4,3) tendr cuatro renglones y tres columnas. Cuando la matriz poseeigual nmero de renglones y de columnas (m=n), decimos que es una matriz

Una matriz es un conjunto de elementos (ordenados en renglones, o en filas yen columnas), que pueden ser funciones, variables o nmeros (nosotros

trabajaremos fundamentalmente con variables y nmeros reales). Asimismo, es unmedio comn para resumir y presentar nmeros o datos; y est formada por mrenglones y n columnas, siendo m y n dos nmeros naturales (1,2,3,4,5...). Lamatriz ms pequea que podemos manejar tiene un rengln y una columna; peropuede tener tantos renglones y columnas como sea necesario. De forma parecidaa lo que se hace en conjuntos, las matrices se denotan con letras maysculas ysus elementos con minsculas.


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cuadrada ; en caso contrario, rectangular . El orden de las matrices ejemplificadasen el prrafo anterior es para A, (2,4); B, (3,3); y C, (3,3). Adems, A es una matrizrectangular, en tanto que B y C son cuadradas.

Igualdad de dos matrices

Dos matrices son iguales si y slo si son del mismo orden y sus elementoscorrespondientes son iguales . Es decir, las matrices A y B son igualesnicamente si tienen el mismo nmero de renglones y columnas, y si 11a es igual a

11b ; 12a a 12b , etctera. Veamos el ejemplo siguiente:

09876 54321 A

jih g f ed cba B

La matriz A puede ser igual a la B porque ambas son del mismo orden (2,5), peroslo lo ser si a es igual a 1; b, a 2; c , a 3; d , a 4; e, a 5; f , a 6; g , a 7; h, a 8; i , a 9;y j , a 0.

Algunas matrices especiales

A una matriz que tiene un solo rengln (orden [1,n]) se le llama matriz rengln ovector rengln ; y a la que tiene una sola columna (orden [m,1]), matriz columnao vector columna . A continuacin, damos un ejemplo de cada una de ellas:

85

3

9

7

es una matriz columna; 62137 , una matriz rengln


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Diagonal principalLa diagonal que va de la esquina superior izquierda de la matriz hacia laesquina inferior derecha se denomina diagonal principal. Se reconoce porque,en los elementos que contiene, los subndices i,j son iguales. Ejemplo:

7653

2491

6509

9432

A

En la matriz A estn sealados los componentes de la diagonal principal: 211 a

022 a 433 a 744 a .

Matriz diagonal

Es cuadrada y todos sus elementos son igual a cero, excepto los de la diagonalprincipal.

500

030

009

B

Matriz escalar En este caso, los elementos de la diagonal principal son iguales, y los dems sonceros. Ejemplo:

300

030

003

B


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Matriz identidad o unidad

Matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son unos. Ejemplo:

1000

0100

00100001

I

Sin importar su orden, a la matriz identidad se le designa ordinariamente con laletra I .

Matriz cero o nula

Matriz que slo tiene ceros en todos sus elementos. Ejemplo:

000

000

000

C

2.2. Operaciones con matrices

Transposicin o transpuesta de una matrizSi en una matriz cambiamos renglones por columnas, la estamos transponiendo.La operacin se hace de manera que el primer rengln se transforme en laprimera columna; el segundo rengln en la segunda columna, y assucesivamente. La transposicin se denota con una T, puesta como exponente enla matriz ya transpuesta. Ejemplos:

Si tenemos una matriz rengln 869 A , sta se convierte en matriz

columna :

8

6

9T A


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53

Pero si tenemos una matriz columna

9

7

1

B , a se transforma en matriz

rengln : 971T B

Ejemplo:

09876

54321 A

05

94

83

72

61

T A

En una matriz cuadrada, el orden se conserva; slo son cambiadas las columnas

por los renglones (la diagonal principal permanece intacta):

821

973

654

B

896

275

134T B

Suma y resta

En general, al transponer una matriz de m renglones y n columnas, sta seconvierte en una matriz de n renglones y m columnas. El primer rengln de lamatriz A es la primera columna de su transpuesta; y el segundo, la segundacolumna.

En general, un elemento a i,j se convierte en un elemento a j,i en la matriztranspuesta.

Estas operaciones son posibles exclusivamente si son del mismo orden (tienen elmismo nmero de renglones y de columnas). Esta condicin es llamada criteriode conformidad.


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Ejemplos:

Si se desea sumar una matriz:

121

74

46

8423

7037

3142

82

73

34

43

07

12

Pero si tenemos:

12

23

58

609

443

512

No hay respuesta en la operacin anterior, pues ambas son matrices de ordendiferente.

Como podemos observar, la adicin se realiza sumando elemento a elemento delas matrices, de tal manera que A + B = aij + bij.

Tal como sucede con la suma, la resta de dos matrices es posible solamente

cuando ambas son del mismo orden, y el resultado es la resta de los elementoscorrespondientes. Ejemplo:

692

233

155431

240352

153

205

541

432

Es decir, tenemos que AB = aij + bij.

Multiplicacin por un escalar

Podemos multiplicar una matriz por un nmero real cualquiera , y el resultadoser el de multiplicar cada elemento de la matriz por ese nmero real. Es decir, el

producto de la matriz ija A por el escalar es una nueva matriz ijb B del

mismo orden que a, donde ijij ab .


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Ejemplo:

Sea la matriz:

43

12 A , su producto por es:

43

2

43

12

Si 3

129

363 A

Producto de dos matrices

Para multiplicar dos matrices, el nmero de columnas de la primera debe ser igual al nmero de renglones de la segunda . El resultado de la operacintendr el nmero de renglones de la primera matriz y el de columnas de la

segunda. Simblicamente, si la matriz A es de orden (m,n) y la B, de (p.r), elproducto es posible si n = p y la matriz que resulta del producto es una matriz deorden (m,r).

Por ejemplo, est la matriz A de orden (4,3) y queremos multiplicarla por una B deorden (3,7). El producto es posible y el resultado ser una matriz de orden (4,7).De estos conceptos se desprende que en matrices el orden de los factores saltera el producto . De hecho, en el ejemplo anterior, el producto de A por B s esposible, pero el de B por A no, dado que B es de orden (3,7) y A de orden (4,3). Elnmero de columnas de la primera matriz no es igual al de renglones de lasegunda.

Al multiplicar una matriz por otra, obtenemos una tercera. Esta operacin sedenota por un punto en medio de las matrices que deseamos multiplicar: A B (selee A por B).


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El caso ms sencillo de multiplicacin de dos matrices se da con el producto deuna matriz rengln con una matriz columna.

Ejemplo:

5

2

4

132 19568512342

El producto de ambas se indica con las flechas. Como vemos, la matriz que

premultiplica es de orden (1,3); y la que posmultiplica, de (3,1). El producto esconformable , dado que el nmero de columnas de la primera matriz es igual al derenglones de la segunda. El producto es, de acuerdo con lo indicado, del nmerode renglones de la primera matriz y del nmero de columnas de la segunda; esdecir, un rengln y una columna (1,1).

En este caso, tenemos que la matriz que premultiplica (de orden [1,3]) y la queposmultiplica (de orden [34,1]) pueden intercambiarse para intentar hacer el

producto de dos matrices (3,1) por (1,3). As, el producto es conformable (unacolumna en la primera matriz y un rengln en la segunda) y debe ser de orden(3,3).

Cuando las matrices son de orden diferente, su producto es una generalizacindel producto que vimos (el de matriz rengln por matriz columna).

A continuacin realizamos un producto y explicamos, paso a paso, la generacinde cada uno de sus elementos. Usamos las matrices 2,22,2 yB A . El producto ser

la matriz 2,2C , de tal manera que A B = C.


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57

853

701

342

A

90

61

42

B

723012056

6304002

27248044

986543081523

976041071021

936442031422

11411

672

430

. B A

Potencia de una matriz

A continuacin ejemplificamos el cuadrado de una matriz de orden (2,2):

43

21 B

2215

107

166123

8261

44233413

42213211

43

21.

43

21

Determinante de una matriz

Determinante de una matriz de 2X2:

Una matriz cuadrada puede multiplicase por s misma las veces que se desee.Si multiplicamos la matriz B por s misma, tendremos B2; si repetimos la operacin,nos da B3, etctera.

Cuando se tiene una matriz cuadrada, sus elementos pueden ser combinadospara calcular un nmero real. Este valor es de utilidad en la solucin deecuaciones simultneas. Se escribe mediante dos lneas verticales alrededor delnombre de la matriz o colocando lneas verticales en torno de los elementos de la


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58

2221

1211

aa

aa A = 12212211 aaaa A

Ejemplo:

53

21 A 1165)2)(3()5)(1( A

Pasos para encontrar el valor de la determinante de un matriz de 3X3:a) Reescribimos las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la matriz

original.

b) Localizamos los electos en las tres diagonales primarias y las tres diagonalessecundarias.

c) Multiplicamos los electos en cada diagonal primaria y cada diagonalsecundaria.

Por ltimo, la determinante es igual a la suma de los productos de las tresdiagonales primarias menos la suma de los productos de las tres diagonalessecundarias:

23

21

13

123

421

213

A

35

35)13(22)12412()4126(

)1)(1)(1()3)(4)(2()2)(2)(3()2)(1)(2()3)(4)(1()1)(2)(3(

A

A

A

Secundarias

Primarias


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59

2.3. Matriz inversa

Podemos comparar la inversa con el recproco de un nmero real en lgebra. Losaspectos importantes sobre la inversa son:

a) Para que una matriz tenga inversa tiene que ser cuadrada.b) La inversa de A tambin ser cuadrada y de la misma dimensin que A.c) No toda matriz cuadrada posee una inversa.

Si tenemos la matriz2

12

312

B , es inversa de 43

21 A

Para probar que B es una inversa de A, se multiplica AB=I y BA=I

10

01

)2/1(4)1(3)2/3(4)2(3

)2/1(2)1(1)2/3(2)2(1

21

23

12

43

21 AB

10

01

)4(2/1)2(2/3)3(2/1)1(2/3

)4(1)2(2)3(1)1(2

43

21

21

23

12 BA

En algunas matrices puede identificarse otra, denominada inversa o matriz inversamultiplicativa. Si se tiene una matriz A cuadrada, se dice que B es inversa de A si

satisface las siguientes ecuaciones matriciales: AB=I y BA=IDonde:I = matriz identidad

Una matriz tendr inversa si todos sus renglones o columnas son linealmenteindependientes; es decir, que ninguno sea una combinacin lineal.


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60

Por tanto, B es la inversa de A. Tambin se puede denominar la inversa de A

como 1 .

2.4. El mtodo de Gauss-JordanUno de los mtodos ms utilizados para encontrar la inversa de una matriz es elmtodo de Gauss-Jordan. El procedimiento es:

a) A la matriz A sumamos una matriz identidad (mxn), lo cual da por resultado

)( I A .

b) Efectuamos las operaciones del rengln en toda la matriz aumentada, demanera que A se transforme en una matriz identidad (m x n). El resultado

ser )( 1 A I , donde 1 se puede leer a la derecha de la lnea vertical.

Ejemplo 1

Encontremos la inversa de

72

53 A .

1001

7253 Tenemos la matriz aumentada.

10

031

72

351 Multiplicacin del rengln 1 por 1/3.

132

031

3110

351 Multiplicacin del rengln 1 por 2, yadicin del producto al rengln 2.

113112

031

10

351 Multiplicacin del rengln 2 por 3/11.

113112115117

1001 Multiplicacin del rengln 2 por 5/3 ysuma del producto al rengln 1.

Ejemplo 2

Sea la matriz:


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61

212

123

112

B

Se forma la matriz aumentada:

100010

001

212123

112

100

010

001

212

123

112

21 R R

100

010

011

212

123

011

13

12

1

2

3

R R

R R

R

122

023

011

210

110

011

23

2

21

R R

R

R R

101

023

012

100

110

101

32

31

R R

R R

101

124

113

100

010

001

La inversa de B es la matriz:

101

124

1131 B


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2.5. Aplicaciones

El uso de inversas para resolver sistemas de ecuaciones es uno de los empleosdel mtodo Gauss-Jordan. En este caso, se le conoce tambin como mtodo dereduccin de renglones, que a continuacin explicamos:

a) Debemos tener la matriz aumentada: del lado izquierdo los coeficientes delas ecuaciones; y del derecho, las constantes de las mismas.

b) Para facilitar la solucin podemos intercambiar los renglones para obtener el pivote igual a uno y evitar tener fracciones al principio.

c) Se multiplican o dividen los renglones por una constante distinta de cero.d) Se suma o resta de un mltiplo constante de un rengln a, o de otro

rengln.

Ejemplo

Usando el mtodo de reduccin de renglones, resolvamos el siguiente sistema deecuaciones:

45342

13432

z y x z y x

z y x

La matriz aumentada es:

4

4

13

153

211

432

El propsito es aplicar operaciones entre renglones hasta que las tres primerascolumnas o la matriz del lado izquierdo formen una matriz identidad. El mejor procedimiento es tratar las columnas una por una, cambiando los elementos dela diagonal principal a 1 (uno) y haciendo que los dems electos sean ceros. En


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este caso, conviene invertir el rengln 1 por el 2, ya que el primer nmero es 1; deesta manera evitamos trabajar con fracciones al principio del proceso. As:

4

13

4

153

432

211

Usamos el primer rengln para transformar los dems elementos de la primeracolumna a cero, aplicando:

13

12

3

2

R R

R R

16

54

720

050211

Luego, resolvemos la segunda columna. En sta debemos tener 1 en el segundorengln, y cero en el primero y tercero (no modifiquemos la primera columna). Aplicamos:

2

1 R

16

14

720

010211

Usemos ahora el segundo rengln para hacer que los otros elementos de lasegunda columna sean cero. Aplicamos:

23

21

2 R R

R R

14

1

5

700

010

201

Estas operaciones no alteraron la primera columna. Luego, reducimos la segundacolumna a la forma requerida, con el uno en la diagonal principal y ceros en losotros dos elementos. Por ltimo, convertimos la tercera columna, donde el tercer


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componente es igual a uno; y los otros dos, a cero. En este ejemplo tenemos uncero en el segundo rengln, por tanto, slo se convierte en cero el integrante delprimer rengln. Aplicamos:

371 R

2

1

5

100

010

201

21 2 R R

2

1

1

100

010

001

As, hemos transformado las primeras tres columnas de la matriz aumentada delsistema a una matriz identidad. La matriz final es:

200

100

100

z y x

z y x, donde

2

1

1

z

y

x

De lo anterior, podemos deducir los siguientes pasos:a) Realizar operaciones entre renglones con objeto de obtener un componente

superior igual a 1 en la primera columna.b) Sumar o restar los mltiplos correctos del primer rengln a los otros

renglones de tal forma que los dems elementos de la primera columnasean cero.

c) Sin alterar la primera columna, ejecutar las operaciones necesarias paratener el segundo elemento de la segunda columna segundo rengln igual a1, y los otros componentes de la segunda columna igual a cero.

d) Respetando la primera y segunda columnas, efectuar las operacionesrequeridas para hallar el pivote igual a uno, y los otros elementos iguales acero.

e) As, sucesivamente, llevar a cabo las operaciones indispensables con cadacolumna, a fin de obtener, del lado izquierdo de la lnea vertical, la matrizidentidad; y, del lado derecho, las soluciones del sistema de ecuaciones.


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3.1. Lmite de funciones3.2. Funciones continuas y discontinuas3.3. Derivada3.4. Derivadas de orden superior 3.5. Mximos y mnimos3.6. Aplicaciones de la derivada

Unidad 3. Clculo diferencial


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Al culminar el aprendizaje de la unidad, logrars integrar los conceptos bsicos

del clculo diferencial (lmite, funciones, derivada, etctera), para aplicarlos en

la resolucin de problemas que impliquen cambios.



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El clculo diferencial es una herramienta ms de las matemticas para losadministradores, contadores e informticos, pues busca las tasas de cambio delos fenmenos, especficamente, la instantnea . Para comprender cmo sepuede calcular sta por una funcin, debemos estudiar primero los conceptos delmite y continuidad .

Ya ests familiarizado con el concepto de tasa de cambio, que se asimila al dependiente, que ya analizamos en la primera unidad y recordaremos con lossiguientes ejemplos:

En un da determinado, la tasa de cambio de pesos por dlar fue de $9.20;eso significa que por cada dlar que yo pueda cambiar me darn nueve

pesos con veinte centavos. En una carretera ascendente, hay una pendiente, que no es ms que larelacin de lo que se sube con lo que se avanza. As, una pendiente de 5%indica que se aumenta cinco metros por cada cien que se adelantahorizontalmente.

El trmino pendiente que se maneja comnmente se refiere exclusivamente a lasrectas. Sin embargo, todas las funciones que pueden graficarse, y no slo larecta, tienen tasas de cambio (lo que sube o baja la funcin en el eje Y por cada unidad que avanza en el eje X) . El inconveniente es que estas medidasde cambio no son constantes, pero pueden ser obtenidas: ste es precisamente eltema de nuestro estudio. Hallar expresiones que representen la tasa decambio de una funcin es el propsito del clculo diferencial . Para conocer este procedimiento, repasaremos brevemente, y de manera no formal, el conceptode funcin.

Funcin es una variable cuyo valor depende de otra variable. Lo que gana untrabajador a destajo en una semana (una variable) depende de las horas quetrabaj durante ese lapso (otra variable). En notacin de funciones, lo expresamosde la manera siguiente:


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Percepcin = f (horas trabajadas) . La expresin anterior se lee as: lapercepcin es funcin de las horas trabajadas.

Si a la percepcin la llamamos P y a las horas trabajadas, h, podemos indicarlo

como P = f(h). En esta notacin, leemos que P es igual a f de h, o P es funcin deh. De esta manera, conociendo que a una persona en particular le pagan$20.00/hora, su funcin de percepciones es P = 20h.

En matemticas usamos frecuentemente las letras x e y para denotar las variablesindependiente y dependiente (o funcin), respectivamente. Por eso, muchasfunciones quedan indicadas como y=f(x). En el ejemplo del trabajador a destajo, lafuncin se escribe y=20x. Si obtenemos la grfica de esa funcin, encontraremosque sta es lineal y su grfica, una recta; sin embargo, hay muchas funcionescuya grfica no es recta, pero son muy importantes desde el punto de vista delclculo.

3.1. Lmite de funcionesEn clculo, uno de los factores que deseamos conocer es el valor al que se acercauna funcin conforme la variable independiente se aproxima a otro valor especfico.

Encontrar el lmite de una funcin en el plano cartesiano cuando la variableindependiente (que normalmente se maneja en el eje horizontal de las abscisas ode las x) se acerca a determinado valor puede entenderse como la respuesta ala siguiente pregunta: a qu altura (sobre el eje y vertical o de las ordenadas)se acerca la grfica de la funcin cuando la variable independiente se aproxima atal valor? A esa altura, si existe, se le llama lmite y podemos expresarla como

a x

x L f lim , cuyos smbolos leemos como El lmite de f(x) cuando x tiende (o se

acerca) al valor a es L. Tanto a como L son valores constantes.

Lo anterior quiere decir que mientras ms se acerque el valor de x al valor a ,ms se aproximar el valor de la funcin a la altura L.


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Por ejemplo, si queremos obtener los lmites por izquierda y derecha de f(x)=x3

cuando la variable independiente tiende a 2:

Aproximacin:Desde la izquierda Desde la derechaValor de x Valor de f (x) Valor de x Valor de f (x)

1 1 3 271.5 3.375 2.5 15.6251.9 6.858 2.1 9.2611.99 7.881 2.01 8.1211.999 7.988 2.001 8.0121.9999 7.9988 2.0001 8.0012.

Examinando la tabla anterior, podemos inferir que en la medida que x se acerca a2, f (x) se va aproximando a 8 (tanto si lo hace por la izquierda como por laderecha). Adems, concluimos que el lmite de f (x), cuando x se acerca a 2, es 8.

Hay muchas maneras de obtener el lmite de una funcin. Una de ellas consiste ensustituir en la variable independiente X valores cada vez ms cercanos a a yobservar cmo se comporta la funcin f(x). Esto puede hacerse acercndose al

valor de a desde otros ms pequeos, a partir de la izquierda (lmite por laizquierda); o tambin desde valores ms grandes, desde la derecha (lmite por laderecha). Si el valor de la funcin se aproxima a L, conforme la variableindependiente se acerca a a desde la izquierda como desde la derecha,decimos que el lmite existe y que su valor es L. Esto, en notacin matemtica, seindica de la manera siguiente:

Por la derecha: a x

x L f lim Por la izquierda: a x

x L f lim l

Los signos (+) o () que aparecen a la derecha de a, como si fueran exponentes,indican, respectivamente, que nos estamos acercando a a desde la derecha odesde la izquierda.


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Por izquierda Por derecha

X )( x

f x X )( x

f x

1 -1 3 31.5 -3 2.5 51.9 -19 2.1 211.99 -199 2.01 2011.999 -1999 2.001 20011.9999 -19999 2.0001 200011.99999 -199999 2.00001 200001

En esas condiciones, dado que el lmite por la izquierda no es igual al de laderecha, ste en realidad no existe.

Los lmites tienen estas propiedades:

Cuando f(x) = c

cca x

lim

Otra manera de obtener el lmite de una funcin cuando la variableindependiente se acerca a un determinado valor es sustituyendo ese valor enla funcin y ver lo que ocurre. En el caso del ejemplo anterior, este mtodoconfirma nuestra inferencia anterior, ya que para f (x)=x3: es cierto que f (2)=8. Sinembargo, esta manera, en apariencia tan cmoda, no siempre resulta. Por

ejemplo, en la funcin 2 x

F x , si tratamos de encontrar el lmite cuando x

tiende a 2, al sustituir, veremos que precisamente para este valor la funcin noest definida, pues nos encontramos ante una divisin por cero. Acercndonospor la izquierda, la funcin toma valores cada vez ms grandes hacia abajo(negativos); pero si lo hacemos desde la derecha, la propia funcin adopta valores

cada vez ms grandes, pero hacia arriba (positivos), tal como lo muestra la tabla


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Es decir, el lmite de una constante es la propia constante, sin importar hacia quvalor se acerque la variable.

Cuando n x x f )(

a x

nn a fxlim nn a x lim

Es decir, el lmite de una potencia de x cuando f (x) tiende a un valor a es la mismapotencia de ste.

xa xa x

x f ccf limlim , siempre que f (x) tenga lmite

Es decir, el lmite de una constante por una funcin es igual a la constante por ellmite de la funcin, siempre que sta posea lmite.

lim )()( x g x f = )(lim)(lim x g x f a x

, siempre que existan ambos lmites

Es decir, el lmite de un producto de dos funciones es igual al producto de loslmites de cada una de ellas tomadas separadamente, siempre que ambos lmites

existan.

lim )()( x g x f = )(lim)(lim x g x f a xa x

Es decir, el lmite de una suma o resta de dos funciones es igual a la suma o restade los lmites de cada una de ellas tomadas separadamente, siempre que ambos

lmites existan.


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a x

x

a x x

g

f x g x f

lim

lim)(/)(lim , siempre que ambos lmites existan y el lmite de )( x g no

sea igual a cero

Algunas veces, el trabajo con lmites lleva a expresiones que no pueden ser evaluadas matemticamente, como divisiones entre cero, o cero entre infinito. Enesos casos, hay artificios que regularmente permiten obtener el lmite. Acontinuacin, se presenta un ejemplo de esta naturaleza.

En matemticas financieras, el valor presente2 de un conjunto de pagos peridicosiguales a recibir en un futuro (anualidad) se obtiene mediante la expresin

siguiente:

i

R An)11(1

R indica la cantidad que se abona peridicamente (mensual, bimestral,

anualmente, etctera), i es la tasa por lapso a la que se invierte el dinero y n elnmero de pagos o exhibiciones y el de periodos que dura la operacin. Paracalcular el valor presente de un conjunto muy grande de pagos que serecibirn en el futuro, se debe evaluar la expresin arriba indicada cuando nse acerca a infinito . Expresado en trminos formales queda:

ii

R

n

x

)1(1lim

Damos por sentado que conocemos los valores de R e i .

2 El valor presente es el equivalente de un pago o de un conjunto de pagos que se recibir en elfuturo.


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Segn las propiedades de los lmites ya vistos, deberamos elevar la expresin(1+i) a menos infinito. En primera instancia, parece que no tiene mucho sentido,pero las siguientes manipulaciones nos pueden orientar:

Sabemos que nn

ii

)1(1)1( . Si n es muy grande, lo ser tambin ni)1( ; y,

por lo mismo, ni )1(1 1/(1+i)n ser muy pequeo. Si (1+i)n se acerca al infinito,

ni)1(1 se aproximar a cero. Por ello, la expresin )1(1 i

n se acercar a 1.

Dado lo anterior:

i R

ii

Rn

x

)1(1lim

Entonces, el valor presente de una anualidad en la que el nmero de pagos seaproxima al infinito (anualidad perpetua) ser simplemente el resultado de dividir el valor de un pago peridico o renta entre el de la tasa de intersconsiderada para la operacin . (Hay diversas tcnicas que nos permiten trabajar los lmites cuando la variable independiente tiende al infinito, pero no es el objetivo

de estos apuntes, por lo que te remitimos a la bibliografa correspondiente).

3.2. Funciones continuas y discontinuasEn el clculo diferencial trabajamos con funciones continuas. El concepto decontinuidad es fcil de entender intuitivamente:una funcin es continua en tantoque no necesitamos levantar el lpiz del papel para dibujar su grfica ; perocuando lo levantamos, se produce una discontinuidad:

Continua Continua


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Discontinua Discontinua

Si 43)( x f x , queremos obtener 19)43(lim5 x x .

Encontramos lo anterior sustituyendo directamente el 5 en la funcin, oacercndonos a 5 por izquierda y derecha:

Derecha ?)43(lim5

x x

Izquierda ?)43(lim5

x x

Resultados:

Por izquierda Por derechaX 43)( x f x x 43)( x f x4 16 6 224.5 17.5 5.5 20.54.9 18.7 5.1 19.34.99 18.97 5.01 19.034.999 18.997 5.001 19.0034.9999 18.9997 5.0001 19.00034.99999 18.99997 5.00001 19.00003

Puntualmente, una funcin es continua en a si el lmite de F(x), cuando x

tiende a a , es igual a F(a).


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Se puede observar que aproximndose tanto por izquierda como por derecha, elvalor de la funcin se acerca a 19. Esto confirma nuestro primer trabajo: sustituir directamente el 5 en la funcin.

En el ejemplo siguiente la funcin no es continua en algn punto:

Tratemos de obtener el lmite de la funcin242 x

y . Se escribe24

lim2

2 x x

x

Si queremos sustituir directamente los valores en la funcin, hallamos una

indeterminacin, pues2

42lim2

2 xnos da 0/0. Si tratamos de acercarnos por

izquierda y derecha, encontraremos los datos asentados en la tabla siguiente:

Izquierda Derecha

X42 x

X42 x

0.5 2.5 3.5 5.51.5 3.5 2.5 4.51.9 3.9 2.1 4.11.99 3.99 2.01 4.011.999 3.999 2.001 4.001

Podemos observar que conforme la variable independiente se acerca a 2, lafuncin se aproxima a 4, tanto por izquierda como por derecha. Entonces, lafuncin tiene una discontinuidad exactamente en el punto donde la variableindependiente (x) es igual a dos .

Desde este punto de vista, para que una funcin sea continua en cualquier punto deben cumplirse las condiciones siguientes: que exista la funcin paraese punto; que haya lmite y para ese valor; y que ambos sean iguales , comose vio en el ejemplo anterior (donde el lmite y el valor de la funcin son 19,respectivamente). Al ser iguales, lmite y funcin, podemos afirmar que en (5,19) lafuncin es continua.


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Podemos decir que 44lim2

2

x x

Esto lo corroboramos por una factorizacin sencilla: )2)(2(42 x x x

422)2(lim)2(

)2)(2(lim22

x x

x x x x

. Se simplifica )2( x en el denominador

con )2( x en el numerador. La funcin es discontinua cuando x toma el valor de

2.

NOTA: la primera funcin no es exactamente igual a la segunda, dado que tieneun punto de discontinuidad. Sin embargo, el ejemplo nos ayuda a aclarar queconforme la variable independiente se acerca a 2, efectivamente la funcin seaproxima a 4 (aunque en este caso el 4 nunca se alcance dada la discontinuidadya citada). De hecho, la grfica de la primera funcin es una recta con unadiscontinuidad, donde x es igual a 4. La grfica de la segunda funcin es una rectamuy parecida, pero sin discontinuidad.

Finalmente, una funcin es continua en un intervalo si lo es para todos lospuntos en ese intervalo. Este concepto es importante para el clculo diferencial

porque la obtencin de derivadas solamente es posible para funciones continuas.

3.3. DerivadaPara comprender el concepto de derivada, debemos unir dos aspectos ya vistos:pendiente o tasa de cambio y lmite. La derivada es el lmite del cociente queresulta de dividir el incremento de la funcin entre el incremento de lavariable independiente cuando ste tiende a cero . Formalmente, se indica:

La derivada y lim se lee como el lmite de delta y entre delta x

Pasos para obtener la derivada de una funcin:


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a) Asignar un incremento a la variable independiente.b) Encontrar el incremento de la funcin.c) Obtener el cociente de los incrementos.d) Calcular el lmite de ese cociente cuando el incremento de x tiende a cero.

Presentamos a continuacin un ejemplo del clculo de la derivada siguiendo loscuatro pasos:

Caso: si 2 x y , encuentra la derivada.

a) Se asigna un incremento a la variable independiente al que denominamos x.

Recordemos que la letra griega (delta may scula) se usa ordinariamente enlas disciplinas cuantitativas para denotar incremento. Entonces, x es ,smbolo con el que indicamos el aumento de la variable independiente de unamanera genrica.

b) Se encuentra el incremento de la funcin. Recordemos que ste esprecisamente lo que aument o lo que se agreg. Para obtenerlo,establecemos el valor final y le restamos el inicial. La diferencia esprecisamente el aumento.En nuestro ejemplo, y=(x+ x)2 x2. Por ello, y=x2+2xx+(x)2 x2.Resumiendo, y=2xxx+(x)2. Ya que x2 se cancela con x2

c) Se obtiene el cociente de los incrementos. Al hacer la divisiny/x=(2xx+ x)2)/x=2x+x

d) Se calcula el lmite de ese cociente cuando el incremento de x tiende a cero.

Lim(2x+x)=2x. Esto se debe a que el incremento de x (x) se hace tan peque o

x (tiende a cero) que pr cticamente desaparece.

Obtenido el lmite, hemos encontrado la derivada de x2 respecto de x: 2x.


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Interpretacin geomtrica de la derivada

y = f(x)

Q(x2,y2)

P(x1,y1) yy

xx

Si tenemos una funcin cualquiera de x , como la que aparece en la figura anterior,

podemos visualizar el trabajo de obtener la derivada de la manera siguiente:a) Partimos de un punto P cualquiera y le damos un incremento a la variable

independiente; esto aparece representado en nuestra figura como x. ( ste esel primero de los cuatro pasos que ya vimos para obtener la derivada).

b) Al darle a la funcin este incremento, su grfica se desplaza tanto a la derecha(el propio x) como hacia arriba, en la distancia que est marcada como y. Lacombinacin de ambos aumentos nos lleva al punto Q. Este el segundo de lospasos para la derivacin.

c) El tercer paso de la derivacin consiste en obtener el cocientey/x. As,damos con la pendiente de la recta que une los puntos P y Q. Si encontramoseste cociente, estamos localizando la pendiente de la recta que une a lospuntos P y Q (secante a la curva).

d) Para el cuarto paso, es decir, la obtencin del lmite del conciente cuandoxtiende a cero, es conveniente observar la grfica siguiente:

Recta (secante) que une al punto Pcon el punto Q.


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En esta figura, el incremento de x se ha hecho ms pequeo. Y si logramos quesea efectivamente tan reducido, de modo que P y Q prcticamente se encimen,

estaremos obteniendo tambin la pendiente de una recta, pero en este caso ya noser secante a la curva (secar significa tambin cortar), sino tangente a sta. Esdecir, simplemente la tocar, pues los puntos P y Q estn tan cerca que la rectano alcanza a cortar ningn segmento de la curva, tal como se puede intuir delesquema siguiente. Entonces, la derivada es la expresin general de lapendiente de la tangente a la curva en cualquier punto que se desee .

Nomenclatura de la derivadaDiversos autores han propuesto maneras de denominar la derivada de unafuncin. A continuacin, presentamos las tres ms comunes (recordemos que laderivada de x2 es 2x).

y

x

Q

P

Q

P

Recta (secante) que une al punto Pcon el punto Q

Recta tangente a f(x) en elpunto P.


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Su tercera derivada es:12 y

Y su cuarta derivada es:

0 IV y

En la nomenclatura de Leibniz, las derivadas sucesivas se simbolizan as: dy/dx;d2y/dx2; d3y/dx3, d4y/dx4; d5y/dx5

3.5. Mximos y mnimosUna de las aplicaciones de la derivacin consiste en encontrar los puntosptimos de una funcin. stos son los mnimos (por ejemplo, en el caso de loscostos), o los mximos (si buscamos, por ejemplo, maximizar utilidades oingresos). De esta manera, el ingreso ptimo es el mximo; y el costo ptimo, elmnimo.

Puede haber varios mximos y mnimos en una funcin, tal como se ve en lafigura siguiente:

Un punto mximo, al que denominaremos (a, f(a)) de una funcin f(x) en unintervalo cualquiera (que contenga al valor a), se encuentra si f(a) es mayor o

igual que cualquier f(x) dentro del intervalo . Esto quiere decir que el punto es elms alto de la grfica de la funcin en el intervalo dado.

Un punto mnimo al que llamaremos (a, f(a)) de una funcin f(x) en un intervalocualquiera (que contenga al valor a), se encuentra si f(a) es menor o igual quecualquier f(x) dentro del intervalo . Ello significa que el punto sealado es el msbajo de la grfica de la funcin en el intervalo dado.


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Para que exista un punto extremo (mximo o mnimo) en (a, f(a)), debencumplirse las condiciones siguientes (necesarias, pero no suficientes):a) La funcin debe estar definida para a, es decir, f(a) debe ser real.b) La derivada de la funcin es igual a cero en a, es decir, f(a) = 0. O la derivada

de la funcin no est definida paraa, es decir, f(a) no est definida.

A continuacin, presentamos los ejemplos de dos funciones que cumplen ambascondiciones:

Funcin y = x2; Funcin y = x2/3

ximos relativos

nimos relativos

Mximoabsoluto

Mnimoabsoluto

Puede haber mximos y mnimos absolutos y relativos .Se dice que un punto (a, f(a)) es un mximo absoluto de una funcin si f(a)>f(x)para cualquier otra x en el dominio de la funcin. Esto quiere decir que, sidibujamos la grfica de toda la funcin, el punto (a, f(a)) es el ms alto de toda lagrfica. Por otro lado, un punto (a, f(a)) es mnimo absoluto de una funcin sif(a)


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Como se puede ver muy bien en la siguiente grfica, las funciones constantesno tienen mximos ni mnimos , pues su pendiente constante es igual a cero:

Funcin y = C

Criterios de optimacinEn la seccin anterior, se definieron las condiciones que necesita cumplir unafuncin para tener puntos extremos (mximos o

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