MATEMATICAS 2012

CURSO PRE-FACULTATIVO 2012

CARRERAS DE

MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION, FISIOTERAPIA,

LABORATORIO CLINICO, RADIOLOGIA,

FONOAUDIOLOGIA, TERAPIA OCUPACIONAL

REVISORES

Bhylenia Rios, Jhemis Molina, Joacir Colombo

Willy Portugal, Zara Yujra, Daniel León

Marco Antonio Paco

MATEMATICAS 2012

CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 MATEMATICAS

FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION Y TECNOLOGIA MÉDICA 2

CONTENIDO

CONJUNTOS ....................................................................................................................... 2

SISTEMAS NUMÉRICOS ................................................................................................ 13

NOTACIÓN CIENTÍFICA ................................................................................................. 17

ÁLGEBRA .......................................................................................................................... 22

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ................................................................. 36

FACTORIZACIÓN ............................................................................................................. 38

EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS ........................... 48

ECUACIONES ................................................................................................................... 50

LOGARITMOS ................................................................................................................... 60

INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA ......................................................................... 70

GLOSARIO ......................................................................................................................... 91



CONJUNTOS Revisado por: Bhylenia Rios

En la teoría de conjuntos definimos a un conjunto como la colección de objetos

que tienen una característica especial que permite que los mismos estén

agrupados. Estos objetos pueden ser: Personas, animales, plantas, números, etc.

De esta definición podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto:

Elementos

Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto.

Ejemplo: José pertenece al Curso Preuniversitario de la Carrera de Medicina.

Los elementos de un conjunto se representan por letras minúsculas del alfabeto,

números o símbolos que nos ayuden a identificarlos.

a, b, c…,1, 2, 3, …, ▲, □, …

Notación

Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras mayúsculas del

alfabeto, tales como:

A, B, C, …, X, Y, Z

Un Conjunto se escribe de la siguiente manera:

Nombre del conjunto = {elementos}

Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO

Los conjuntos se pueden representar:

Por Extensión

Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos que

lo componen siempre y cuando se pueda.



Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Por Comprensión

Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todos

sus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos.

Ejemplo: Usando los conjuntos anteriores

A = {x/ x es una Vocal del Alfabeto}

B = {x/ x , x 0 x 9}

Gráficamente

Se puede representar a un conjunto a través de los Diagramas de Venn, que son

Curvas Cerradas, indicando a todos sus Elementos dentro de la Curva.

Ejemplo: Usando el conjunto anterior

A = {a, e, i, o, u}

A

Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece a

un conjunto determinado se hace uso de los símbolos y , respectivamente.

En el ejemplo anterior podemos decir que:

a A

b A

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto unitario

Un conjunto que tiene como un solo elemento.

Ejemplo: C = {x/ x , x2=4} = {2}

.a .u

.e

.i .o

.e

.i

.o



Conjunto Finito

Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último de

sus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos.

Ejemplo: A= {3, 5, 7, 8} El conjunto A tiene 4 elementos

B= {x/x = 2k, k=0, 1, …, 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto B tiene 5 elementos

Conjunto Infinito

Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se

pueden terminar de contar.

Ejemplo: A= {x/x = 2k, k=0, 1, 2, 3, 4 … } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…}

Conjunto Universo

Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por

Ejemplo: A = {x/x }

Como el conjunto A hace referencia al Conjunto de Números Enteros, entonces

concluimos que

Conjunto Vacío

También conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningún

elemento y es denotado por la letra griega Ø ó { }.

Ejemplo: A = {Números pares cuya última cifra sea impar} = { } = Ø

A



}/{ BxAxxBA

}/{ BxAxxBA

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Inclusión

Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, si

todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relación se la denota de

la siguiente forma:

Igualdad

Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A y B son iguales, si todos los

elementos de A pertenecen al conjunto B y todos los elementos de B pertenecen

al conjunto A . Esta relación se la denota de la siguiente forma:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión de dos Conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o de

B o de ambos conjuntos y se denota por:

B

.a .o

.e

.

.e

.i

.o

.a .o

.e

.

.e

.i

.o

A B

=

B

A



}/{ BxAxxBA

}/{ BxAxxBA

Lo cual se lee: “A” unión “B”, es el conjunto formado por elementos x, tal que x

pertenece a “A” ó x pertenece a “B”.

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Intersección de dos Conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a “A” y a “B” y se denota por:

Que se lee, “A” intersección “B” es el conjunto formado por los elementos x, tal

que x pertenece a “A” y x pertenece a “B”.

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {1, 2}

Diferencia de Conjuntos

La diferencia de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de

“A” que no pertenecen a “B” y se denota por:



}/{ AxUxxAC

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {3, 4, 5}

Diferencia Simétrica

La diferencia Simétrica de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por

elementos de “A” o de ”B” pero no de ambos, denotado por:

Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {3, 4, 5, -2, -1, 0}

Complemento de un Conjunto

Dado el conjunto universo y A . El complemento de un conjunto “A” es el

conjunto formado por elementos de que no pertenecen al conjunto “A” y se

denota por: Ac

Ejemplo: Si = {x N/x < 10} y A = {1, 3, 5, 7}, entonces: AC = {2, 4, 6, 8, 9}

}/{ BxAxxBA



Ejercicios Propuestos

1. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:

a) A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…….}

A= { x / x , x 0}

b) B= { Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

B= { x / x es un día de la semana}

c) C= { 5, 10, 15, 20, 25, 30,…}

C= { x / x x=k*5, donde K= 1, 2, 3, 4……}

2. De los siguientes conjuntos A={ h, o, l, a}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ y, i, n} hallar:

a) A B = { h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o}={ h, o, l, a, s, u, d}

b) A B C={ h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o} { y, i, n}={ }

c) (A C )C = ({ h, o, l, a} { y, i, n} ) C = { h, o, l, a, y, i, n } C = { s, u, d}

3. Indicar como se obtiene el área seleccionada

4. De un grupo de estudiantes: 10 estudian Medicina, 12 estudian Enfermería y 4

estudian ambas materias.

a) Indicar el número total de estudiantes, son 18

b) Indicar el número de estudiantes que estudian una de las carreras, son 14

A- (B U C)



5. Del siguiente conjunto indicar las siguientes operaciones

a) AUB={2, 6, 4, 8, 9, 7, 5, 3}

b) A B={2}

c) B- A={7, 5, 3}

6. Expresar por Extensión los siguientes conjuntos:

a) A= {x/x = 2k+1, donde k=0, 1,…..}

b) B= {x / x2 – 8x + 15 = 0}

c) C= {x / -7 x + 3 13}

d) D= {x / x=2k, donde k= 0,1,2,3, …, 11}

7. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos:

a) A= {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

b) B= { Ene, Feb, Mar, Abr, May, Jun, Jul, Ago, Sep, Oct, Nov, Dic}

c) C= { 3, 7, 9}

d) D={4, -3}

8. Indique si los siguientes conjuntos son Finitos, Infinitos, Unitarios o Vacíos:

a) A = {x / 2x2 – 8x + 4 = 0}

b) B = {x / log2(4x)3 = 1}

c) C = {x / x=2k+1, donde k= 0, 1, 2, 3, …}

d) D = {x / x=2*5+1}



9. Dados los siguientes conjuntos:

}10/{},7/{},104/{ xNxCxZxAxZxU

Hallar:

a) CBA

b) CC

BCA

c) CAB

d) C

CBCA

e) CBA C

f) CBBA

10. Utilizando los diagramas de Venn, sombrear cada uno de los siguientes

conjuntos:

g) CBA

h) CBA C

i) C

CACBA

j) CBAC

k) CC CBA

11. Se llevan 64 niños a un Centro de salud, para vacunarlos sorpresivamente; A

24 se les aplica la vacuna X; a 22 la Y; a 26 la Z; a 7 la X y la Y; a 8 la Y y la Z; a 9

la X y la Z; 13 niños logran escapar sin que se logre vacunarlos. Calcular a

cuantos se les aplicó:

a) Solo la vacuna X b) La X y Y pero no la Z c) La X o Y

d) La X o Y pero no la Z e) Dos vacunas f) No se les aplicó la X

12. En el diagrama a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una

encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los

números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron

a la pregunta en las diversas formas posibles. ¿Cuántas personas no tomaban té?



a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 12

13. De 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 Derecho y 120

ninguna de las dos carreras. ¿Cuántos quieren estudiar ambas al mismo tiempo?

a) 27 b) 22 c) 66 d) 65 e) Ninguna

14. En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron

Matemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que

no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente

una de las materias mencionadas?

a) 15 b) 10 c) 7 d) 8 e) Ninguna

15. De los siguientes conjuntos A={ a, b, c}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ a, e, i, o, u}

que sub conjunto es unitario.

a) unión b) intersección c) A-B d)A-C e) A B



SISTEMAS NUMÉRICOS

Revisado por: Jhemis Molina

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son los que se emplean para contar. Los números

naturales son la sucesión de los enteros positivos cuyo conjunto se simboliza

por N.

N = {1, 2, 3,…}

Los números naturales son cerrados, o cumplen con las propiedades de

clausura, respecto de las operaciones de adición y multiplicación:

Si a ε N y b ε N entonces (a + b) ε N (clausura para la adición)

Si a ε N y b ε N entonces (a × b) ε N (clausura para la multiplicación)

Ejemplo. 2 ε N y 3 ε N

2 + 3 = 5 ε N (clausura para la adición)

2 × 3 = 6 ε N (clausura para la multiplicación)

NÚMERO ENTEROS

Los enteros constan de los números naturales, el cero y los negativos de los

números naturales, cuyo conjunto se designa por Z.

El conjunto de los enteros, de manera concisa, se escribe

Z = { x | x N ó x = 0 ó x = –n para algún n en N }

Se escribe también

Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … }

El conjunto de los enteros Z incluye al conjunto de los números naturales

N. El conjunto de los enteros Z es cerrado respecto de las operaciones de la

adición, de la multiplicación y también de la sustracción; es decir, que la suma,

producto y diferencia de dos enteros es, a su vez, un entero.

Observación. El conjunto de los enteros Z no es cerrado respecto de la

operación de división. Por ejemplo, el cociente de los enteros 5 y 9 no es

necesariamente un entero.

Todos los enteros positivos, con excepción del número uno, se pueden

clasificar ya sea como números compuestos o como primos.

Un entero positivo se llama compuesto si es distinto de uno y puede ser



expresado como el producto de dos o más enteros positivos, los cuales son

sus factores. En ciertos casos, algunos de estos factores se pueden repetir.

Por ejemplo, 6 y 24 son números compuestos porque 6 = 2 × 3 y

24= 6 × 4.

Un número entero positivo se llama primo si es distinto de uno y no es

compuesto; en otras palabras, la única forma en que podemos expresar un

número primo p como el producto de dos enteros positivos es p = p × 1 ó p

= 1 × p.

Ej. 2, 3, 5, 7, 11, … son números primos, mientras que 4, 6, 8, 9, … no son

números primos. Todo entero compuesto se puede descomponer en un producto

de números primos, puesto que cada factor compuesto puede, a su vez,

descomponerse en factores menores hasta que, en último término, todos los

factores sean primos.

NÚMEROS RACIONALES

Un número racional es el que puede expresarse como el cociente de un

entero p por un entero q diferente de cero. El conjunto de los números

racionales se designa por Q, y brevemente se escribe

Q = { x | x = p/q donde p Z, q Z, q ≠ 0 }

El conjunto Q de los números racionales es cerrado respecto de las operaciones

de adición, multiplicación, sustracción y división (excepto por cero); es decir, que

la suma, producto, diferencia y cociente (excepto por cero) de dos números

racionales es también un número racional.

Llevando a cabo la operación de la división, todo número racional se puede

representar como un decimal. Algunas representaciones "terminan" después

de un número finito de cifras, esto es, las últimas cifras son cero. Por ejemplo:

a) 22

4 b) 75,0

4

3

80

60

En cambio, otras expresiones decimales nunca terminan, tales como



c) ....3333,03

1 d) .....571428571428,1

7

8

En estas últimas expresiones decimales, se puede observar que en

cada período, los dígitos, después de un cierto momento, se repiten con

el anterior, formando un grupo como “3” y “142857”. Esto es siempre

verdad para todos los números racionales. Por tanto, la condición

necesaria y suficiente para que un número sea racional, es que en su

expresión decimal con cifras infinitas éstas presenten periodicidad.

NÚMEROS IRRACIONALES

El conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de

los números racionales. Es decir, los números irracionales son aquellos que

no se pueden expresar como el cociente de dos enteros.

El desarrollo decimal de un número irracional es infinito y no periódico, por

ejemplo:

√2 = 1.414213562 …

π = 3.14159265 …

El conjunto de los números irracionales se simboliza por Q’.

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números

que son racionales o irracionales, y está constituido por números positivos,

negativos y el cero.

Los números reales se pueden representar por puntos de una línea recta. Se

elige un punto llamado origen para representar el cero.

Los números a la derecha del cero, son los llamados números positivos, y los

números a la izquierda del cero son los llamados números negativos.

El cero mismo no es ni positivo ni negativo.

Los conjuntos de números, que en forma gráfica se puede observar a

continuación, se relacionan de la manera siguiente:



N Z Q (Q Q’) R

TM1. Conjuntos de Números en forma gráfica



NOTACIÓN CIENTÍFICA

Revisado por: Joacir Colombo

INTRODUCCIÓN

La notación científica es la forma abreviada para expresar cantidades numéricas

suficientemente grandes o al contrario cantidades suficientemente pequeñas. Para

lograr este cometido se usan potencias de base diez (10) con lo cual se permite

que las expresiones, en las mediciones científicas, puedan ser más explicitas,

más compactas y más sencillas de utilizar, para lo cual se utiliza la siguiente nota

notación:

a 10 n

Donde:

a R y puede ser un número comprendido en el rango 1 a 10

n Z ya sea positivo (+) o negativo (-).

La base de la potencia es 10.

La notación científica básicamente consiste en representar una cantidad como

producto de un número por una potencia de 10. Si se quiere escribir un número

ordinario en notación científica o el proceso inverso se procede de la siguiente

manera:

Para números mayores a 1:

Por ejemplo para la cantidad 950 000 (novecientos cincuenta mil), se pone un

punto decimal y se recorre 5 lugares de derecha a izquierda y, de esta forma,

se obtiene: 9.5x105.

Si se quiere realizar la operación inversa, es decir convertir un número escrito en

notación científica a decimal, se recorre el punto decimal hacia la derecha y en los

espacios en blanco se rellena con ceros. Por ejemplo si se tiene la siguiente

cantidad 1.5x106 se escribiría 1 500 000 (un millón quinientos mil).

Para los números menores a 1:

Por ejemplo sea la cantidad 0.00000025 para escribir en notación científica se

recorre el punto hacia la derecha 7 lugares obteniéndose 2.5x10-7. Para realizar



la operación inversa: sea la cantidad 3.8x10-8 se recorre el punto 8 lugares

hacia la izquierda y se obtiene: 0.000000038.

En los siguientes ejemplos se muestra como se puede expresar algunas

cantidades en notación científica:

a) 312.546 = 3.12546 x102 e) 0.000 000 0637 = 6.37 x10-8

b) 1 452.25 = 1.45225 x10 3 f) 17 000 000 = 1.7 x 10 7

c) 0.089752 = 8.9752 x10-2 g) 5 830 000 = 5.83 x 10 6

d) 0.00005 = 5 x10-5 h) 0.000 000 000 007 = 7 x 10-12

Ejercicios (ver 3.4 Respuesta a ejercicios propuestos)

1. Escribir en notación científica las siguientes cantidades: a) 125.265 g) 1 130 000 000 000

b) 2 256.879 h) 9 724 000 000.000

c) 875223.56 i) 0.000 000 008

d) 0.000154789 j) 0.00034

e) 0.123654 k) 0.000706

f) 0.123654 l) 640.000

2. Escribir en notación decimal las siguientes cantidades:

a) 3,14156 x10 4 e) 4,14159 x 104

b) 2,91 x102 f) 2,24 x104

c) 3,2564 x104 g) 5,45 x107

d) 1,89 x 104 h) 3,06 x103

OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.-

Para realizar operaciones como se trabaja con potencias de base diez se usan las

mismas reglas de potenciación.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.-

Para poder efectuar estas operaciones con notación científica, primeramente se

debe asegurar que todas las potencias de 10 sean semejantes, caso contrario

hay que procurar que lo sean.



Ejemplos:

a) 4.28x 10 6 +1.254 x10 6 = 5.534 x 10 6

b) 3.141 x 10 3 – 2.912 x 10 2 = 3.141 x 10 3 – 0.2912 x 10 3 = 2.8498 x 10 3

c) 2.60x108+3.55x107+8.23x106= 2.60x108+0.355x108+0.0823x108 = 3.0373x108

d) 5.6 x 10 3 + 6.56 x 10 3 = 12.16 x 10 3

e) -3 x 10 11 + 9 x 10 11 = 6 x 10 11

f) 2 x10 6 + 4 x10 5 = 2 x10 6 + 0.4 x10 6 = 2.4 x10

6

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.-

Para realizar las multiplicación simplemente se multiplican los valores decimales

y se suman las potencias de 10, con lo cual se obtienen resultados que (en

algunos casos) se debe volver a expresar en notación científica. De igual

manera se procede en la división, con la única diferencia que se deben restar

las potencias de 10 del numerador menos la potencia de 10 del denominador.

Ejemplos:

a) a3 .

a5

= a3+5

= a8

b) 1.589 . 102)x( 4.346

. 103) = ( 1.589

. 4.346) x102-3 = 6.905794 x 10-1

c) = a5-3

= a2

d) 8.44 . 104

= 8.44 x 104-2

= 3.43 x 102

2.46 . 102 2.46

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

3. Sumar y restar los siguientes números decimales:

a) 1.28 x10 4 +3.464 x10 2 + 2.4689x106 d) 1.23x103 -2.945x104

b) 2.568x103 +0.24x10 6 +1.3 e) 9.124x103 -2.945x102

c) 2.912x106 +6.145x104 -2.9145x102 f) 1.25x103 -1.25x101

Multiplicar y dividir los siguientes números decimales:

a) (2.256 x104)(3.56 x10-3)

b) (1.025 x1010 )(0.256 x 105 )(1.658 x103)

c) (5.45 x103)( 1,28 x104 )

d) (7.89 x106)(2.56 x104)



e) (3.65 x1010)/(2.13 x102)

f) (1.36 x10-5)/(0.234 x104)

g) (4.21 x108)/(8.45 x10-4)

h) (2.34 x103)(4.56 x102)/(0.89 x107)

i) (2.5 x103)(4.66 x104)/(1.66 x102)

j) (1.728)(17.28)/(1.728 x10-4)

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Escribir en notación científica:

a) 1.25x102 g) 1.13x1012

b) 2.25687x103 h) 9.724x1012

c) 5.7522356x105 i) 8x10-9

d) 1.54789x10-4 j) 3.4x10-4

e) 0.87452x10-1 k) 7.06x10-4

f) 1.23654x10-1 l) 8x102

2.-Escribir en notación decimal

a) 3.14156 d) 0.000189 g) 0.000000545

b) 0.0291 e) 4145.9 h) 0.00306

c) 32.564 f) 22400

3.- Sumar y restar los números decimales:

a) 2.4820464 x106

b) 2.5693 x103

c) 2.97315855 x106

d) -2.822 x104

e) 8.8295 x103

f) 1.2375 x103

4.-Multiplicar y dividir las siguientes cantidades

a) 8.03136x101 g) 4.98224x1011

b) 4.350592x1018 h) 1.198x10-1



c) 6.976x107 i) 1.30898876x101

d) 20.1984x1010 j) 701807.229 x105

e) 1.71361502x108

f) 5.812x10-9

EJERCICIOS CON SELECCIÓN MÚLTIPLE.-

1) Escribir en notación científica: 0.27569

a) 27.569 x10 2

b) 27.569 x10 -2

c) 2.7569 x10 2

d) 0.27569 x10

e) Ninguno

2) Escribir en notación decimal: 615.9 x10 3

a) 6195.0

b) 619.5

c) 61590

d) 615900

e) Ninguno



ÁLGEBRA

Revisado por: Willy Portugal

DEFINICIÓN.-

El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia las operaciones, como las

sumas, restas, multiplicación y división de conjuntos de números. Estos números

se representan por símbolos o variables.

De igual forma se puede decir que es una extensión de la aritmética cuyo objetivo

es simplificar y generalizar todo lo referente a los números, empleando para ello

letras, números, guarismos, etc.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.-

Es un conjunto de letras, números y signos que indican una serie de operaciones

a realizarse, es decir, son todas aquellas que tienen una parte numérica y una

parte literal.

Por ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un

monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal

a3b2c.

Nótese que los exponentes se consideran parte literal.

Una expresión algebraica esta conformada por dos o más términos.

Por ejemplo los siguientes términos son expresiones algebraicas:



TÉRMINO ALGEBRAICO.-

Es la parte de una expresión conformada por letras y números, el cual, esta

separado de otro término a través de un signo (positivo o negativo).

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO.-

Un término está compuesto por un signo, un coeficiente, parte literal y exponente. Por ejemplo:

Variable.- Es toda magnitud que cambia de valor y puede ser expresada por las

últimas letras del abecedario.

Constante.- Es toda magnitud que tiene un valor y no cambia.

TÉRMINOS SEMEJANTES.

Son todos los términos que tienen la misma parte literal y están elevados a un

mismo exponente. En cuanto al coeficiente y signo, estos pueden ser distintos o

no.



CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES.

Profundizando un poco más en lo mencionado anteriormente, existen

básicamente los siguientes tipos de expresiones algebraicas:

a) Monomios: Es una sola expresión algebraica.

Ejemplos de monomios son:

4x4y2 como se puede ver es un solo término con parte numérica y parte

literal

8a3b2c en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1

m2n3 en este caso aparentemente no hay una parte numérica, cuando

esto suceda sabremos que hay un 1, así: 1 m2n3

b) Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte

literal) que se están sumando o restando.

Ejemplos de polinomios son:

Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las 3x2y +5x3y2 sus

partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los

exponentes no son iguales.

3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio.

a3 -a2b +2ab2 -5b3 Otro ejemplo de polinomio.



GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

GRADO DE UN MONOMIO.-

El grado absoluto de un monomio esta dado por la suma de todos los exponentes

de todas las variables que componen dicho monomio

Por ejemplo: El grado de 12x6 y4z es 6+4+1=11

GRADO DE UN POLINOMIO.-

Esta dado por la suma de todos los exponentes de todas las variables que

componen el término de mayor grado.

Por ejemplo: 5x3yz5 + 7x4y6z5 – 4x2y3z5, el grado del polinomio respecto a x es 4

OPERACIONES ALGEBRAICAS.-

Para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de términos

se respeta los signos de agrupación.

Por ejemplo:

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo

grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x



P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3. Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes

el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Por ejemplo: Sea la siguiente expresión

3 ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2



Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo

polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios

que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

DIVISIÓN ALGEBRAICA.

DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS.

La división de dos monomios (dividendo y divisor) se efectúa hallando el cociente

de los coeficientes y el de los factores literales, multiplicando luego dichos

cocientes.

Ejemplo.



Efectuar la división de:

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO.

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio

entre el monomio y luego se suman los cocientes obtenidos.

Ejemplo: Dividir las siguientes expresiones:

DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Resolver la división de polinomios:

P(x) = 2x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = 3x2 −2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos

huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3



Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo

restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8



10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se

puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

1. Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 +5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

a) P(x) + Q (x) = (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) = x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1

= x3 + x2+ 6x − 3

b) P(x) − U (x) = (4x2 − 1) − (x2 + 2) = 4x2 − 1 − x2 − 2 = 3x2 − 3

c) P(x) + R (x) = (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) = 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 = = 10x2 + x



d) 2P(x) − R (x) = 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) = 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 = 2x2− x− 3

e) S(x) + T(x) + U(x) = (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2

= 3x2 + 11

f) S(x) − T (x) + U(x) =

= (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) = 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 = 1

2. Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 −2 x − 2

Calcular:

a) P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) =

= x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 =

= x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =

= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5

b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

=(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)=

= x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 =

= x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9

c) Q(x)+ R(x) − P(x)=

= (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) =

= x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1=



= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=

= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

3. Resolver :

a) (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =

= x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6=

= x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 =

= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6

b) (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =

= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =

= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x

c) (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =

= 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 − 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x +

+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =

= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 +

+8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =

= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18

4. Dividir el polinomio (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)



5. Dividir (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determinar el grado de las expresiones siguientes

2. Realizar las operaciones solicitadas

3. Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas



4. Realizar las siguientes operaciones combinadas

5. Dividir los polinomios

a) P(X) =(4x2y -2xy2 + 8x3) y Q(X) = 2x

b) P(x) = (x4 +4x3 +x2 -x1) y Q(x) = (x2 + x1)

c) P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8 y Q(x) = 3x2 −2 x + 1

¿Cuál es la solución de los siguientes ejercicios?

6. Resolver

a) xn+1 + 2xn+2 - xn+3 b) xn+1 + 2xn+2 - xn-3 c) xn+1 - 2xn+2 + xn-3

d) xn+1 - 2xn+2 - xn+3



7. Sean los polinomios:

Calcular: 2 M(x)+ 4N(x)+ 3K(x)

a) 11x2 – 8x b) 11x2 + 8x c) 11x + 8x2

d) 11x2 – 3x e) Ninguno.

8. Resolver

a) x2 – b) x2 + c) x2 – 2

d) x2 – 3xy + 5y e) x2 –

9. Resolver

a) b) c) d) e) Ninguno

10. La edad de un padre es m; el hijo tiene 23 años menos y el abuelo tiene 32

años más que el padre. ¿Cuál será la suma de las edades de estas tres

personas dentro de n años?

a) 3m + 3n +9 b) 3m + 3n c) 3m2 + 3n +9 d) 3m +55 e) Ninguno



PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Revisado por: Willy Portugal

PRODUCTOS NOTABLES Los Productos Notables son casos especiales que se ven dentro de la

multiplicación algebraica, los cuales se pueden obtener en forma directa el

resultado, sin necesidad de efectuar la operación.

BINOMIO AL CUADRADO.-

A B2

A 2

2AB B2 ; A B

2 A

2 2AB B

2

PRODUCTO DE BINOMIOS.-

x a x b x 2

a b x ab ; px a qx b pqx 2

aq bp x ab

PRODUCTO DE SUMA Y DIFERENCIA (DIFERENCIA DE CUADRADOS).-

A B A B A 2

B2

BINOMIO AL CUBO.-

A B3

A3

3A 2

B 3AB2

B3

A B3

A 3

3A 2

B 3AB2

B3

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.-

A B A 2

AB B2

A 3

B3

A B A 2

AB B2

A 3

B3

COCIENTES NOTABLES

Son casos especiales de división algebraica exacta (vale decir que no tienen

residuo), donde los divisores son binómicos.

PRIMER CASO.-

12321 .... nnnnnn

bbabaaba

ba

SEGUNDO CASO.-

12321 .... nnnnnn

bbabaaba

ba



TERCER CASO.-

?ba

ba nn

CUARTO CASO.-

12321 .... nnnnnn

bbabaaba

ba



FACTORIZACIÓN

Revisado por: Zara Yujra

FACTORES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES.-

Factorización, es la operación que tiene por finalidad,

transformar una expresión algebraica racional o entera en otra

equivalente que sea igual al producto de sus factores primos o

enteros.

Factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de

sus factores.

5.2 MÉTODOS FACTORIZACIÓN.-

CASO I. FACTOR COMÚN

El factor común de dos o más expresiones algebraicas es la parte

numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. Puede

presentarse de tres formas:

a) Factor común monomio

Se llama así, cuando el factor común a todos los

términos del polinomio es un monomio.

Por ejemplo:

1) ax + ay + az = a(x + y + z)

2) 26x6 – 2x4 + 14x2 = 2x2(13x4 – x2 +7)

3) 100a2b3c – 150ab2c2 + 50ab3c3 – 200abc2 = 50abc(2ab2 – 3bc +

3bc + b2c2 - 4c)

b) Factor común polinomio



Se llama así, cuando el factor común que aparece en la

expresión es un polinomio. Por ejemplo:

1) a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a - b)

2) 9(u + v + w)2 – 18(u + v + w)3 = 9(u + v + w)2 [1-2(u + v +

w)]

= 9(u + v + w)2 (1 – 2u – 2v -

2w)

3) 4m(a2 + x -1) + 3n(x-1+a2) = 4m(x -1 + a2) + 3n(x-1+a2)

= (x -1 + a2)(4m + 3n)

c) Factor común por agrupación

Ejemplo:

1) ax – bx + ay – by = (ax + ay) – (bx + by)

= a(x + y) – b(x+y)

= (x + y)(a - b)

2) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx = (2a2x – 6bx) – (5a2y – 15by)

= 2x(a2 – 3b) – 5y(a2 – 3b)

= (a2 – 3b) (2x – 5y)

3) 2x2y + 2xz2 + y2z2 + xy3 = (2x2y + xy3) + (2xz2 + y2z2 )

= xy(2x + y2) + z2(2x + z2 )

= (2x + y2) + (xy + z2 )



CASO II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Este caso de factorización es de la forma:

a2 + 2ab +b2 = (a + b)2

a2 - 2ab +b2 = (a - b)2

Este trinomio se caracteriza por:

a) Tener dos términos que son cuadrados perfectos y siempre con

signo positivo.

b) El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de

los cuadrados perfectos. Ejemplo:

1) 4x2 – 12xy + y2 = (2x - 3y)2

2) 4(1 + a)2 – 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2 = [2(1 + a) + (b - 1)]2

= [2 + 2a + b - 1)]2

= [2a + b + 1)]2

3) 9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2 = [3(x - y) + 2(x + y)]2

= [3x - 3y + 2x + 2y)]2

= [5x - y)]2

CASO III. DIFERENCIA DE CUADRADOS

Este caso de factorización es de la forma:

a2 – b2 = (a + b)(a - b)

Para factorizar esta diferencia de cuadrados, se extrae la raíz

cuadrada de a y de b y se forma un producto de la diferencia de las

raíces multiplicada por la suma de ellas.

Ejemplo:



1) 4x6 – 81y2 = (2x3)2 – (9y)2

2) 16x2y2 – 81a2b2c2 = (4xy)2 – (9abc)2

= (4xy + 9abc) (4xy - 9abc)

3) a2nb4n – 25n4 = (anb2n)2 – (5n2)2

= (anb2n +5n2) (anb2n - 5n2)

CASO IV. TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c

Ejemplo:

1) x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)

2) y2 + 50y + 336 = (y + 42)(y+8)

3) x2 -2x – 528 = (x - 24)(x + 22)

CASO V. TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c

Ejemplo:

1) 2x2 + 29x + 90

Primera Forma de Solución:

2x2 + 29x + 90

// Multiplicando y Dividiendo entre dos

=((2x)2 + 29(2x) + 180)/2

Factorizando caso IV

= [(2x + 20)(2x + 9)]/2

Simplificando:

= (x + 10)(2x + 9)

Segunda Forma de Solución: Por la Regla de la Aspa

ax2 + bx + c = (mx + p)(nx+q)

m p

n q

Se cumple: 1) mn = a



2) pq = c

3) mq + np = b

El Problema consiste en hallar dos pares de números: m, n, p y q tales

que: mn=a, pq=c y la suma del producto cruzado sea b, es decir: mq +

np = b, estos números se obtienen por ensayos.

Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo:

2x2 + 29x + 90 = (x + 10)(2x+9)

1 10

2 9

Se cumple: 1) mn = 2

2) pq = 90

3) mq + np = 9 + 20 = 29

2) 20a2 - 7a - 40


20a2 - 7a - 40

// Multiplicando y Dividiendo entre veinte

=((20a)2 - 7(20a) - 80)/20


= [(20a - 32)(20a + 25)]/20

Simplificando:

= (5a - 8)(4a + 5)

Segunda Forma de Solución:


20a2 - 7a - 40 = (5a - 8)(4a + 5)



5a -8

4a 5

Se cumple: 1) mn = 20a2

2) pq = -40

3) mq + np = 25a – 32a = -7a

3) 4n2 + n - 33


4n2 + n - 33

// Multiplicando y Dividiendo entre cuatro

=((4n)2 + (4n) - 132)/4


= [(4n - 12)(4n -11 25)]/4

Simplificando:

= (n + 3)(4n - 11)

Segunda Forma de Solución:


4n2 + n - 33 = (n + 3)(4n - 11)

1 3

4 -11

Se cumple: 1) mn = 4

2) pq = -33

3) mq + np = -11 + 12 = 1

5.3 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm).-

El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y

menor coeficiente que es el múltiplo común de cada uno de ellos. Para

hallar el mcm de dos o más polinomios se sigue el siguiente

procedimiento:

Paso 1: Se determina si se puede factorizar las expresiones.



Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores

primos.

Paso 3: El mcm es igual al producto de todos los factores comunes y no

comunes, para lo cual se toma a los factores con mayor exponente.

Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes polinomios: 3x + 3, 6x − 6

Factorizamos cada polinomio:

3(x +1), 6(x −1)

Una vez factorizados los polinomios procedemos a sacar los factores primos de

los coeficientes numéricos 3 y 6.

3 3 6

2 1 3

3 1

Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente con

los cuales obtenemos su producto. De los coeficientes numéricos seria 2 x

3 = 6 y de la parte literal sería (x + 1)(x – 1), con lo cual concluimos que el

mcm es igual a:

mcm = 6(x + 1)(x – 1)

5.4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR.-

El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor

coeficiente que sea divisor de los polinomios dados.

Para hallar el MCD se debe proceder a:

Paso 1: Se factoriza si se puede las expresiones que se estudia.

Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores



primos.

Paso 3: El MCD es igual al producto de todos los factores comunes,

tomando cada factor con el menor exponente.

Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes polinomios: 48r3t 4 , 54r 2t6 , 60r 4t 2

Primero determinamos si se puede factorizar o no los polinomios.

Posteriormente se obtiene el producto de los factores primos.

48 2

24 2

12 2 6 2 3 3 1 54 2 27 3 9 3 3 3 1 60 2 30 2 15 3 5 5 1

Para hallar el MCD solo tomamos el producto de los factores comunes con su

menor exponente, así: MCD = 2 x 3 r2t2 = 6r2t2

5.5 EJERCICIOS.-

Factorizar cada uno de las siguientes expresiones algebraicas, aplicando

según corresponda los casos estudiados:

EJERCICIOS RESUELTOS:

[1] a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2 = a2 (a18 – a14 + a10 – a6 + a2 – 1)

[2] x(2a + b + c) – 2ª – b – c = x(2a + b + c) – (2a + b + c)

= (2a + b + c)(x - 1)



[3] 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx = (4a3x – 3amx) + ( 3bm – 4a2b)

= ax (4a2 – 3m) - b(4a2 – 3m)

= (4a2 – 3m)(ax - b)

[4] m2 – 8m – 1008 = (m - 36)(m - 28)

[5] (a - 1)2 + 3( a - 1) – 108 = [(a - 1) + 12][ (a - 1) - 9]

= (a + 11)(a - 10)

EJERCICIOS PROPUESTOS:

[6] x8y8 - 15 x4y4 – 100a2 Resp. (x4y4 – 20a)( x4y4 + 5a)

[7] (2a - c)2 - (a + c)2 Resp. 3a(a – 2c)

[8] Hallar el mcm y MCD de los siguientes polinomios y factorizar su

resultado

a) 9a2bx, 12ab2x2, 18a3b3x

b) 6y2z4, 24y3z2

Resp.

a) mcm: 36a3b3x2; MCD: 3abx

b) mcm: 24y3z4

; MCD: 6y2z2

[9] 6x4 + 5x2 - 6 Resp. (3x2 – 2) (2x2 + 3)

[10] up+q + vp+q + (uv)p + (uv)q Resp. (uq + vp) (up + vq)

EJERCICIOS CON RESPUESTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE

[11] x16 – y16

Resp. Elegir la respuesta correcta:

a) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x6 + y6)

b) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8)

c) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x10 + y10)

[12] 64a4b8 – 64a2b4c4d6 + 16c8d12

Resp. Elegir la respuesta correcta:

a) (8a2b4 – 4c4d6) (8a2b4 + 4c4d6)



b) (8a2b4 – 4c4d6)

c) (8a2b4 – 4c4d6)2

[13] a8 + b8 + 2a2b2(a4 + b4) + 3a4b4

Resp. Elegir la arespuesta correcta:

a) a4b4 – a2b2 + b4

b) (a4b4 – a2b2 + b4)2

c) a4b4 – a2b2 + b4 + 1

[14] u8 – 14u4 + 25


a) (U4 – 2u2 – 5)2

b) (U4 – 2u2 – 5) (U4 + 2u2 – 5)

c) (U4 – 2u2 – 5)

[15] 12(x – y)2 + 7(x - y) - 12


a) (4x – 4y + 3)(3x – 3y - 4)

b) (4x – 4y - 3)(3x – 3y + 4)

c) (4x – 4y - 3)(3x – 3y - 4)



EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS

Revisado por: Daniel León

EXPONENTES

Exponente natural

Se define:

An

= A.A.A……. A n

“n” veces

LEYES DE EXPONENTES

Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian a las diferentes relaciones,

operaciones y transformaciones que se puedan realizar con los exponentes.

En esta sección se hace un resumen de las propiedades de la ley de los exponentes que

son válidos para cualquier número n con a y b, considerados como expresiones

algebraicas

1. Producto de dos potencias de la misma base:

a m a n a m n

2. Potencia de una potencia:

(a m )n a mn

3. Potencia del producto de dos factores

(ab)n a n bn

4. Cociente de dos potencias de la misma base:

a a m n , m n, a 0

a n

5. Exponente Cero:

a 0 1

LEYES DE SIGNOS

+ * + = + - * - = + + * - = - - * + = -



EJERCICIOS RESUELTOS

1. Producto de dos potencias de la misma base:

a 3a4 = a3+4 = a7

2. Cociente de dos potencias de la misma base:

a6 a6 - 2 = a4

a2

3. Potencia de una potencia:

(a2)6 = a2*6 = a

4. Potencia del producto de dos factores:

(a * b)6 = a6 * b6

RADICALES

Llamaremos radical simple a la expresión n a , cumpliéndose que: Las cantidades a y b serán positivas siempre que n sea un número par.

LEY DE RADICALES

La ley de los radicales se basan en las leyes de los exponentes, pues: m

a n n a m

En base a esta definición tenemos las siguientes leyes:

1.



ECUACIONES

Revisado por: Marco Antonio Paco

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, y se

denominan

miembrosdelaecuación.Unaecuaciónesunaigualdadyelresolverimplicaelencontrar

elvalorde lasvariablesqueestánenla expresiónalgebraica,en las que aparecen

valores conocidos (datos), y desconocidos (incógnitas), relacionados mediante

operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números,

coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya

establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas

generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Las ecuaciones que analizaremos en este curso son:

i) Ecuaciones lineales con una incógnita.

ii) Ecuaciones lineales con dos incógnitas.(sistema de dos ecuaciones)

iii) Ecuaciones de segundo grado con una incógnita (ecuación de segundo

grado)

7.2. Ecuaciones lineales con una incógnita.

Son aquellas donde hay una sola variable en la ecuación y el resolverla implica

encontrar el valor de la variable.

Ejemplo 1: Si la altura de una persona (cm) madura es, dos veces la longitud de

su brazo (cm) mas 15 cm. Determinar la altura de una persona en metros, si la

longitud de su brazo es 75 cm.

Ecuación que relaciona la altura (y) y la longitud del brazo (x) en centímetros:

2 15y x= +

Reemplazamos en la ecuación:



7.2. Ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas.

Son aquellas que conforman un sistema de dos ecuaciones y el resolver implica

encontrar los valores de las dos incógnitas, para resolver esta ecuación existen

cuatro métodos, que son:

i) Método por igualación.

ii) Método por sustitución

iii) Método por reducción

iv) Método por determinantes

i) Método por igualación.

El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones.

Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones,

por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una

incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una

de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y

calculamos la segunda.

Ejemplo 2:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

De ambas ecuaciones (1) y (2) despejaremos la incógnita x

De (1):

De (2):

2 75 15

165

y

y cm

= × +

=1

100

m

cm× 1,65m=

( )

( )

2 1 1

3 1 2

x y

x y

ì + =ïïíï - = -ïî

1 2x y= -

1 3x y= - +



Como:

Entonces:

Despejar y:

Reemplazar en (1):

Solución:

ii) Método por sustitución.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las

ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una

incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y

calculamos la segunda incógnita.

Ejemplo 3:Resolver la siguiente ecuación.

De (2) despejar y:

x x=

1 2 1 3y y- = - +

3 2 1 1

5 2

2

5

y y

y

y

+ = +

=

=

21 2

5

41

5

1

5

x

x

x

= - ×

= -

=

1 2 1 2; ,

5 5 5 5x y o

æ ö÷ç= = ÷ç ÷çè ø

( )

( )

3 2 4 1

8 2

x y

x y

ì - =ïïíï - = -ïî



Reemplazar en (1)

Despejar x:

Reemplazar en (2):

Solución:

iii) Método por reducción.

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los

valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean

los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y

la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una

ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias.

Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones

originales y calculamos la segunda.

Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Conseguir que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos pero

cambiados de signo:

8y x= +

( )3 2 8 4x x- + =

3 2 16 4

4 16

20

x x

x

x

- - =

= +

=

20 8

28

y

y

= +

=

( )20; 28 20,28x y o= =

( )

( )

2 2 7 1

3 8 2

x y

x y

ì - = -ïïíï + =ïî



Reemplazamos en (2):

Solución:

iv) Método por determinantes.

Se resuelve por la regla de Cramer, es un método de álgebra lineal para resolver

sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos

vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes, y da lugar a una forma

operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones

con dos incógnitas.

Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

( )

( )

2 2 7 1 3

3 8 2 2

6 6 21

2 6 16

8 5

5

8

x y

x y

x y

x y

x

x

ì - = - ×ïïíï + = ×ïî

ì - = -ïïíï + =ïî

= -

= -

53 8

8

53 8

8

69

3 8

23 7 2

8 8

y

y

y

y o y

- + =

= +

=×

= =

5 7 5 7; 2 ,2

8 8 8 8x y o

æ ö÷ç= - = - ÷ç ÷çè ø



Para determinar la variable x, sus coeficientes son reemplazados por el resultado

de cada ecuación. Se multiplica en diagonal, la diagonal es positiva y la

diagonal es negativa

Para determinar la variable y:

Solución:

7.3. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Son aquellas ecuaciones que tienen la forma general:

Donde a, b, c son constantes y a es diferente de cero, para resolver se puede

2 7

5 3 8

x y

x y

ì + = -ïïíï + = -ïî

( ) ( )

7 2

7 3 2 88 3

1 2 1 3 5 2

5 3

21 16 5

3 10 7

5

7

x

x

x

-

- × - --= =

× - ×

- + -= =

- -

=

( ) ( )

1 7

8 1 5 75 8

7 7

8 35 27

7 7

27 6 3

7 7

y

x

x o x

-

- × - --= =

- -

- += =

- -

= - = -

5 6 5 6; 3 , 3

7 7 7 7x y o

æ ö÷ç= = - - ÷ç ÷çè ø

2 0ax bx c+ + =



utilizar la ecuación general o el método de factorización del aspa.

Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuación cuadrática por a) formula y b)

factorización.

a) Formula; donde a = 1; b = – 3;c = – 10. Reemplazando en la ecuación

cuadrática:

Hallando los dos valores:

b) Por factorización.

Despejando cada factor:

2 3 10 0x x- - =

2 4

2

b b acx

a

- ± -=

( ) ( ) ( )2

3 3 4 1 10

2 1

3 9 40

2

3 7

2

x

x

x

- - ± - - × ×-=

×

± +=

±=

1 1 1

2 2 2

3 7 10; ; 5

2 2

3 7 4; ; 2

2 2

x x x

x x x

+= = =

- -= = = -

( )( )

2 3 10 0

5 2 0

x x

x x

- - =

- + =

1 1

2 2

5 0; 5

2 0; 2

x x

x x

- = =

+ = = -



7.4EJERCICIOSPROPUESTOS.-

Ecuaciones lineales:

1) El tamaño del cuerpo de un pez es 2 veces el tamaño de su cabeza.

Determinar la longitud de la cabeza de un pez que tiene una longitud de 54

cm

a) 27 cm b) 18 cm c) 6 cm d) 35 cm e) ninguno

2) Hallar x: ba

x

ba

x

a

1

a) a-b b) (a+b)(a-b) c) (a+b)(a-b)/(2a) d) (a+b)(a-b)/(2b) e) ninguno

3) Hallar el valor de x: bc

cx

ac

bx

ab

ax

a) cba

a2

b) cba

c2

c) cba

ba 22

d) cba

a2

e) cba

b2

Sistema de ecuaciones: Resolver por cualquier método.

4)

a) b) c) d) e)

ninguno

5)

a) b) c) d) e)

( )

( )

2 2 7 1

3 8 2

x y x

x y y

ì - = - +ïïíï + = -ïî

45 50,1

101 101

æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø

5 51,

101 101


45 50, 1

101 101

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

47 51,

100 100


1 1

2 31

3 8

x y

x y- -

ìïï - = -ïïíïï + = -ïïî

53,

3

æ ö÷ç- - ÷ç ÷çè ø

1 3,

3 5

æ ö÷ç- - ÷ç ÷çè ø

53,

3


53,

3

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

1 3,

3 5

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø



6)

a) b) c) d) e) ninguno

Ecuaciones cuadráticas. Resolver por cualquier método.

7)


8)


Miscelánea.

9) A nivel del mar un globo tiene un radio de 12 cm, si este sube a 120

m.s.n.m. su volumen se incrementa en un 75 %, ¿Cuál es el radio del globo

a 120 m.s.n.m.? (considerar que 3r3

4v )

a) 1,717 cm3 b) 67,12 cm

3 c) 14,46 cm

3 d) 965,5 cm

3 e) 0,904 cm

3

10) Cierto doctor (mejor mantener el anonimato) fue beneficiado en su salario

con un incremento del 15 % y un bono fijo de 250 Bs. Adquiere de ese

modo un sueldo fijo de 6000 Bs. ¿Cuánto era su sueldo inicialmente?

a) 5000 Bs b) 5500 Bs c) 4500 Bs d) 4800 Bs e) ninguno

11) Cierto granjero tiene conejos y gallinas, este cuenta 50 cabezas y 140

patas. Determinar cuanto tiene de cada especie. (considerar que sus

animales son normales – nada de animales con 3 cabezas ni cinco patas)

a) 30 conejos, 20 gallinas b) 25 conejos, 25 gallinas c) 20 conejos, 30 gallinas d) ninguno

12) En un cultivo bacteriano se observo que una bacteria X “llena” toda la caja

2 2

3 3 1

x y

x y

ìï + =ïïíï - = -ïïî

4 7,

9 9


2 7,

3 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

16 49,

9 9


16 49,

81 81


26 7 5 0x x- - =

5 1;

3 2-

5 1;

3 2-

5 1;

3 2- -

5 1;

3 2

( )2 5 4 4 2x x x x+ + = -

5;4

3

33;

2-

1;4

3

1 1;

3 2- -



Petri en 6 días y que una bacteria Y lo “llena” en 3días. Si se sembrara

ambas bacterias en la caja Petri, ¿en que tiempo lo “llenarían”?

a) 9 días b) 6 días c) 3 días d) 1 día e) ninguno



LOGARITMOS

Revisado por: Jhemis Molina

Definición de Logaritmos

Logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación

Aquí están los nombres que reciben cada uno de los elementos:

Representación gráfica de logaritmos

en varias bases:

el rojo representa el logaritmo en base

e,

el verde corresponde a la base 10,

y el púrpura al de la base 1,7.

Los logaritmos de todas las bases

pasan por el punto (1, 0), esto es

debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los

puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier número elevado a la unidad

es igual a sí mismo.

http://es.wikipedia.org/wiki/NÃºmero_e



El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe

elevar la base para obtener el número.Siendo a la base, x el número e y el

logarítmo. con a>0 y a≠1

Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o

L(x).

Por ejemplo:

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.



El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos:

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el

logaritmo del divisor:

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo

de la base:

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el

índice de la raíz:



5. Cambio de base:

Ecuaciones logarítmicas

1.

2.

3.

4.

5.

Logaritmo natural o neperiano

El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural y se denota ln x, esto

quiere decir, que ln x es la inversa de la función exponencial definida por f(x) =

ex.



e

n

LnA n

Log A n

A e

2,718281828 eLog Log LnA A A

eLog A LnA

El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número

2,718281828…

Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos

decimales, se le ha asignado la letra “e”:

e = 2,718281828…

El logaritmo natural de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para

obtener x.

El nombre de logaritmo neperiano proviene del escocés John Neper, inventor de

los primeros logaritmos y su uso es fundamentalmente en el cálculo diferencial.

Algunas propiedades básicas de los logaritmos naturales son las siguientes:

ln 1 = 0

ln e = 1

ln ex = x

eln x = x

ln (x * y) = ln x + ln y

ln(x/b) = ln x – ln y

ln (x)r = rln x

Así que cuando se aplica la definición de logaritmos a un ejercicio cualquiera

debemos tomar en cuenta este cambio de notación. Por ejemplo:



Otro ejemplo


1) Hallar el logaritmo de:

a) log2 4 =

b) log3 27 =

c) log2 16 =

d) log5 125 =

e) log3 243 =

f) log2 0,5 =

g) log2 0,25 =

h) log2 0,125 =

i) log6 216 =

j) log 100000 =

Respuesta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) – 1, g) – 2,

h) – 3, i) 3, j) 5

2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos.

a) log (5 . 3) = ? b) log (23 . 3) = ? c) log (7 : 3) = ? d) log (2 . 3 : 4)5 =?

e)

Respuesta.: a) log 5 + log 3, b) 3. log 2 + log 3, c) log 7 – log 3,

d) 5. (log 2 + log 3 – log 4), e) ½ (log 3 + log 5) – log 2.

3) Cambio de base:



a) log2 5 = ? c) log3 7 = ?

b) log32 = ? d) log5 24 = ?

Respuesta: a) log 5 / log 2, b) log 2 / log 3, c) log 7 / log 3, d) log 24 / log 5.

4) Ecuaciones:

Respuesta: a) 2 ; b) – 4 y 4; c) 2; d) 2,3 y – 1,3; e) 2.

5) Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido

desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su

interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material radiactivo

encontraremos. C(x) = k. 3 – t es la fórmula que se utiliza, donde C (x) representa la

concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de

años y "k" la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Si k

= 4500 a)¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una

concentración de 1500?; b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos

siglos?; c)¿En qué tiempo se acabaría este material?.

Respuesta: a) como t = 1, pasaron cien años. b) 1,7 .10 – 92 c) La ecuación no

tiene como resultado el número cero, por lo que teóricamente siempre quedaría un

mínimo resto de material radiactivo.

Aplicaciones de Logaritmos en pH.

El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solución. El pH es la

concentración de iones o cationes hidrógeno [H+] presentes en determinada

sustancia. La sigla significa "potencial de hidrógeno" (pondus Hydrogenii o

potentia Hydrogenii; del latín pondus, n. = peso; potentia, f. = potencia;

hydrogenium, n. = hidrógeno).



Este término fue acuñado por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el

logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:

Desde entonces, el término "pH" se ha

utilizado universalmente por lo práctico que

resulta para evitar el manejo de cifras largas

y complejas. En disoluciones diluidas, en

lugar de utilizar la actividad del ion

hidrógeno, se le puede aproximar empleando

la concentración molar del ion hidrógeno.

Por ejemplo, una concentración de [H+] = 1

× 10–7 M (0,0000001) es simplemente un pH

de 7 ya que: pH = –log[10–7] = 7

El pH típicamente va de 0 a 14 en disolución

acuosa, siendo ácidas las disoluciones con

pH menores a 7, y básicas las que tienen pH

mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad

de la disolución (donde el disolvente es

agua).

Se considera que p es un operador

logarítmico sobre la concentración de una

solución: p = –log[...] , también se define el

pOH, que mide la concentración de iones

OH-.

Algunos valores comunes del pH

Sustancia/Disolución pH

Disolución de HCl 1 M 0,0

Jugo gástrico 1,5

Jugo de limón 2,4

Refresco de cola 2,5

Vinagre 2,9

Jugo de naranja o manzana 3,0

Cerveza 4,5

Café 5,0

Té 5,5

Lluvia ácida < 5,6

Saliva (pacientes con cáncer) 4,5 a 5,7

Orina 5,5-6,5

Leche 6,5

Agua pura 7,0

Saliva humana 6,5 a 7,4

Sangre 7,35 a 7,45

Agua de mar 8,0

Jabón de manos 9,0 a 10,0

Amoníaco 11,5

Hipoclorito de sodio 12,5

Hidróxido sódico 13,5 a 14

http://es.wikipedia.org/wiki/S._P._L._SÃ¸rensen



Puesto que el agua está disociada en una pequeña extensión en iones OH– y H+,

tenemos que:

Kw = [H+][OH–]=10–14 en donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno,

[OH-] la de iones hidróxido, y Kw es una constante conocida como producto iónico

del agua.

Por lo tanto,

log Kw = log [H+] + log [OH–]

–14 = log [H+] + log [OH–]

14 = –log [H+] – log [OH–]

pH + pOH = 14

Por lo que se puede relacionar directamente el valor del pH con el del pOH.

En disoluciones no acuosas, o fuera de condiciones normales de presión y

temperatura, un pH de 7 puede no ser el neutro. El pH al cual la disolución es

neutra estará relacionado con la constante de disociación del disolvente en el que

se trabaje.

El valor del pH se puede medir de forma precisa mediante un potenciómetro,

también conocido como pH-metro, un instrumento que mide la diferencia de

potencial entre dos electrodos: un electrodo de referencia (generalmente de

plata/cloruro de plata) y un electrodo de vidrio que es sensible al ión hidrógeno.

También se puede medir de forma aproximada el pH de una disolución empleando

indicadores, ácidos o bases débiles que presentan diferente color según el pH.

Generalmente se emplea papel indicador, que se trata de papel impregnado de

una mezcla de indicadores. Algunos compuestos orgánicos que cambian de color

en función del grado de acidez del medio en que se encuentren se utilizan como

indicadores cualitativos para la determinación del pH. El papel de litmus o papel

tornasol es el indicador mejor conocido. Otros indicadores usuales son la

fenolftaleína y el naranja de metilo.

A pesar de que muchos potenciómetros tienen escalas con valores que van desde

1 hasta 14, los valores de pH pueden ser menores que 1 y mayores que 14. Por



ejemplo el ácido de batería de automóviles tiene valores cercanos de pH menores

que cero, mientras que el hidróxido de sodio varía de 13,5 a 14.

Un pH igual a 7 es neutro, menor que 7 es ácido y mayor que 7 es básico a 25 ºC.

A distintas temperaturas, el valor de pH neutro puede variar debido a la constante

de equilibrio del agua (Kw).

La determinación del pH es uno de los procedimientos analíticos más importantes

y más usados en ciencias tales como química, bioquímica y la química de suelos.

El pH determina muchas características notables de la estructura y actividad de

las biomacromoléculas y, por tanto, del comportamiento de células y organismos



INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA Por: Bhylenia Rios y Willy Portugal

La estadística es una ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos que

se utiliza para recolectar, resumir y clasificar el comportamiento de los datos con

respecto a una característica que es materia de estudio o investigación.

Una vez analizada la información o los datos, la estadística entra en otros temas

como ser tomar decisiones y predecir respecto a la fuente de datos.

Concepto de Estadística.

1. Es un conjunto de métodos que permiten la recolección, agrupación,

presentación de los datos mediante graficas o formulas, con los cuales se

pueden tomar decisiones.

2. La Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para

organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e

inferir conclusiones respecto de ellos.

Tipos de Estadística.

a) Estadística Descriptiva. El objetivo de la estadística descriptiva es

describir un conjunto de datos, organizar los datos de forma tal que se

puedan ver las tendencias y normas, se pueda dibujar gráficos, calcular

estadísticos y redactar informes se llama estadística descriptiva, para esto

se realizan los siguientes pasos:

Ordenar los datos

Recopilarlos en tablas estadísticas: distribuciones de frecuencias.

Gráficos de la distribución de frecuencias.

Cálculo de estadísticos: resumen de datos.

Interpretar resultados: presentación informe.



b) Estadística Inferencial. Es el conjunto de métodos o técnicas que

posibilitan la generalización o toma de decisiones en base a una

información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas, es la

exposición de predicciones y toma de decisiones. El objetivo de la

Inferencia Estadística es hacer afirmaciones sobre la población basadas en

la información disponible en la muestra.

Predicción ó Probabilidad

Estimación de parámetros.

Toma de decisiones.

Variables y sus clasificaciones.

Los datos estadísticos son números que representan objetos concretos,

cantidades o medidas, como ser peso de una persona, número de alumnos,

etcétera, los cuales permiten contarlos y medirlos. Las unidades estadísticas son

todos los elementos componentes de la población que son objeto de estudio, por

ejemplo en el Censo de población la unidad estadística que es objeto de estudio

es la persona.

Las variables se pueden representar con letras como ser X,Y,, ..,Z; por ejemplo se

quiero representar la edad de varias personas se realiza de la siguiente forma.

X: edad de la persona

x1 = 20, x2 = 10, x3 = 19, x4 = 15, ………, xn=21

a) Variables Cualitativas. Son aquellas que no son medibles, que

representan las cualidades de lo que se está estudiando, como ser sexo,

religión, estado civil, nivel de instrucción.



Cualitativas Nominal. Los elementos solo pueden ser clasificados en

categorías, pero no se da un orden o jerarquía, pueden ser color de los

ojos, barrio de residencia, etcétera.

Cualitativas Ordinal. Son elementos que pueden ser clasificados en

categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores no

se pueden realizar o no son significativas, por ejemplo grado de estudio,

cargo en una empresa, etcétera.

b) Variables Cuantitativas. Son aquellas que son medibles o numeradas y se

caracterizan por que pueden ser cuantificables y a su vez pueden ser:

Ejemplo: Edad – Precio de un producto – ingreso mensual – estatura – peso, etc. X = Edad del Individuo

Cuantitativas Discretas. Los discretos son datos puntuales que a simple

pregunta se obtiene una respuesta, pueden ser la edad, números de hijos,

etcétera.

Cuantitativas Continuas. Son datos que se encuentran dentro de un intervalo

para reducir la cantidad de inversiones como ser ingreso, estatura, etcétera.

Población y Muestra.

a) Población (N). Para la estadística población es algo mas general que solo la

agrupación de individuos, es el conjunto de cosas, animales, etc. que poseen

algunas características en común y que conforman la totalidad de lo que se

estudia.

b) Muestra (n). Es un subconjunto de la población total la cual debe ser

representativa, la cual sirve para estudiar a toda la población que es representada

por ella, por lo tanto la muestra siempre es menor que la población.



Construcción de tablas de Frecuencias. Después de realizar una encuesta, el primer paso que se debe dar es ordenar, clasificar

a los datos de una forma simple, obtener conclusiones útiles ya sea directamente o por

cálculos posteriores con la finalidad de hacer un análisis más confiable de los mismos

para lo cual se realizan los siguientes pasos:

1. Revisión y corrección de los datos encuestados

2. Construcción de tablas de frecuencia

3. Representación tabular, cuadros estadísticos o gráficos

4. Interpretación de datos

Datos No Agrupados

Son aquellos datos que normalmente son escasos, para la cual solo se los ordena de

manera creciente anotando las veces que aparece cada datos observado.

Ejemplo. Se obtuvieron 10 notas de estudiantes de su primer parcial sobre 25 puntos de

la materia de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de las siguientes

notas:

16 18 11 19 16 24 23 16 11 18 Obteniendo datos iniciales:

Número de datos(n)= 10 ni= Notas de primer parcial

Por ser escasos los datos la tabla de frecuencias será: Primero se ordenan los datos de manera ascendente

11 11 16 16 16 18 18 19 23 24 Se puede observar que los datos se pueden agrupar de acuerdo a la cantidad de

repeticiones.

ni



Datos Agrupados

Son aquellos datos para los cuales se construye una tabla de frecuencias obteniendo el

rango, número de intervalos, ancho de clase y frecuencias.

a) Rango o Recorrido(R). Permite averiguar el rango o diferencia que existen entre

los datos encuestados para lo cual se halla el dato máximo y mínimo de los

observados.

R = máximo xi – minino xi

b) Número de Intervalos (K). Él número de intervalos proporciona la cantidad de

subconjuntos que agrupa a los datos o cantidad de filas que tendrá la tabla de

frecuencias.

n= número de datos observados

c) Ancho de Clase (C). Indica cuantos valores se tomaron en cada clase los cuales

deben redondearse a un número entero en caso que el resultado sea real.

d) Frecuencia Absoluta (ni). Se llama frecuencia absoluta a los valores que se

obtienen en la encuesta los cuales están agrupados en cada intervalo.

16

18

11

19

16

24

23

16

11

18

Notas ni

11 2

16 3

18 2

19 1

23 1

24 1



Ejemplo. Se obtuvieron las notas de 50 estudiantes del anterior semestre de la materia

de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de acuerdo a los siguientes

datos:

8 81 74 5 40 36 82 31 30 17

59 46 97 41 47 90 38 75 30 36

16 36 66 95 82 10 77 23 78 92

14 19 1 28 49 62 99 28 29 6

100 96 78 84 37 22 84 100 92 22

Obteniendo datos iniciales:

Número de datos(n)= 50

Número Máximo= 100 Número Mínimo= 1 Rango= 99 Numero de Intervalos= 7,071≈ 7

Ancho de Clase= 14,14≈ 14

Trazar la tabla de frecuencias colocando el Límite Inferior (Li) y Limite Superior (Ls), el

numero de filas que tendrá la tabla está determinado por el valor obtenido en el Número

de Intervalos = 7, por lo cual tendrá 7 filas

Li - Ls ni

El límite inferior se debe comenzar con el dato mínimo y a este valor se le suma el ancho

de clase para obtener el límite superior y posteriormente se llena la columna de la

frecuencia absoluta (ni) contando el número de notas que existe en cada intervalo

Para Límites Reales

Li - Ls ni 1 - 15 6

15 - 29 8 29 - 43 11 43 - 57 3 57 - 71 3 71 - 85 10

85 - 100 9

Intervalo 1

Intervalo 2

Intervalo 3

Intervalo 4

Intervalo 5

Intervalo 6

Intervalo 7

Ancho de clase=14

1+14=15

15+14=29

…..



Para Límites Aparentes

Li - Ls ni 1 - 15 6

16 - 30 11 31 - 45 8 46 - 60 4 61 - 75 4 76 - 90 9

91 - 105 8

e) Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni). Esta frecuencia nos permite acumular la

frecuencia Absoluta, lo cual implica ir sumando de la siguiente forma:

N1= n1

N2= n1+n2

N3= n1+n2+n3

.......

Nk = n1+n2+.……+nk = n

f) Frecuencia Relativa (fi). Se llama frecuencia relativa al valor de porcentaje y

proporción que ocupa en la muestra un determinado intervalo de datos.

Cuya ∑ será igual a 1

Cuya ∑ será igual a 100

g) Frecuencia Relativa Acumulada (Fi). Esta frecuencia nos permite acumular la frecuencia relativa. F1= f1

F2= f1 + f2

F3 = f1 + f2+ f3

.......

Fk = f1 + f2 +.……+ fk= 1 ó 100

Ancho de clase=14

1+14=15

16+14=30

…..



h) Punto Medio ó Marca De Clase (Xi). Se lo obtiene para el calculo de algunas formulas y obtiene el punto medio de cada intervalo.

Ejemplo. Del ejemplo anterior hallar la frecuencia relativa y absoluta, sus respectivas

frecuencias acumuladas y punto medio

Li - Ls ni Ni fi Fi fi% Fi% Xi 1 - 15 6 6 0,12 0,12 12 12 8

16 - 30 11 17 0,22 0,34 22 34 23 31 - 45 8 25 0,16 0,50 16 50 38 46 - 60 4 29 0,08 0,58 8 58 53 61 - 75 4 33 0,08 0,66 8 66 68 76 - 90 9 42 0,18 0,84 18 84 83

91 - 105 8 50 0,16 1 16 100 98

Gráficos Estadísticos Para representar la información de manera grafica se pueden utilizar varios tipos de

gráficos estadísticos:

a) Histograma. Es una serie de rectángulos proporcionales a la frecuencia

absoluta, para lo cual se usa en el eje horizontal se usa la clase (Limite Inferior y

Superior) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).

b) Polígono de Frecuencia. Un polígono es un gráfico de línea trazada sobre los

puntos medios de los techos de los rectángulos del Histograma o directamente



graficando en el eje horizontal se usa el punto medio o marca de clase (xi) y en el

eje vertical la frecuencia absoluta (ni).

c) Ojivas. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el

eje vertical una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi% ), por lo cual el grafico se

mostrara la frecuencia de manera creciente.

0

10

20

0 8 23 38 53 68 83 98 105

Fre

cue

nci

a A

bso

luta

(n

i)

Punto Medio o Marca de Clase (Xi)

POLIGONO

ni

0

20

40

60

1 15 30 45 60 75 90 105

Fre

cue

nci

a A

bso

luta

A

cum

ula

da

(Ni)

Limite Superior (Ls)

OJIVA

Ni



Para realizar la ojiva decreciente se usa una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi%) pero

ordenada al revés para lo cual se coloca al nombre de la frecuencia un apostrofe ( Fi%’,

Ni’, Fi’)

Li - Ls ni Ni Ni’ fi Fi Fi’ fi% Fi% Fi% 1 - 15 6 6 50 0,12 0,12 1 12 12 100

16 - 30 11 17 42 0,22 0,34 0,84 22 34 84 31 - 45 8 25 33 0,16 0,50 0,66 16 50 66 46 - 60 4 29 29 0,08 0,58 0,58 8 58 58 61 - 75 4 33 25 0,08 0,66 0,50 8 66 50 76 - 90 9 42 17 0,18 0,84 0,34 18 84 34

91 - 105 8 50 6 0,16 1 0,12 16 100 12

0

0.5

1

1.5

Ls 1 15 30 45 60 75 90

Fre

cue

nci

a R

ela

tiva

A

cum

ula

da

(Fi)


OJIVA

Fi

0

100

200

1 15 30 45 60 75 90 105

Fre

cue

nci

a R

ela

tiva

A

cum

ula

da

en

P

orc

en

taje

(Fi

%')


OJIVA DECRECIENTE

Fi%'

0

50

100

1 15 30 45 60 75 90 105

Fre

cue

nci

a A

bso

luta

A

cum

ula

da

(Ni%

')


OJIVA DECRECIENTE

Ni’



d) Barras. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el

eje vertical la frecuencia absoluta (ni). La característica de este grafico es igual a la

des histograma pero las barras separadas una de la otra.

e) Torta. Para graficar la torta se debe calcular primero el espacio que ocupa cada

clase, para lo cual en la tabla de frecuencias se aumenta una nueva columna para

calcular el espacio de cada área, cuya suma de todas las áreas es igual a 360. De

manera opcional a los gráficos se puede incluir el porcentaje de ocupa que es

simplemente el valor de la frecuencia relativa en porcentaje (fi%).

Li - Ls ni fi% Ai 1 - 15 6 12 43,2

16 - 30 11 22 79,2 31 - 45 8 16 57,6 46 - 60 4 8 28,8 61 - 75 4 8 28,8 76 - 90 9 18 64,8

91 - 105 8 16 57,6

0

5

10

15

15 30 45 60 75 90 105

Fre

cue

nci

a A

bso

luta

(n

i)


BARRAS

ni

12%

22%

16% 8% 8%

18%

16%

TORTA

15

30

45

60



Medidas de Tendencia Central Frecuentemente se necesita tener una sola medida de la información esta medida tiene

que ser representativa de todas las observaciones que indique la tendencia de los datos.

La sumatoria se denota ∑ que implica la agrupación de varios datos del mismo tipo

mediante la suma de los mismos de la siguiente forma.

xi= Variable que representa a los datos

x1, x2, x3, x4,...xn

La suma de los datos x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn

La suma de los datos utilizando una sumatoria

a) Media Aritmética o Promedio ( ). Los promedios son una medida de posición

que dan una descripción compacta de cómo están centrados los datos y una

visualización más clara del nivel que alcanza la variable, pueden servir de base

para medir o evaluar valores extremos o raros y brinda mayor facilidad para

efectuar comparaciones.

Para datos no agrupados

x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn = --------------------------------

n

Para datos agrupados



b) Mediana (Me). Es el valor de la observación que ocupa la posición central de un

conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es el valor medio o la media

aritmética de los valores medios. Geométricamente la mediana es el valor de la

variable que corresponde a la vertical que divide al histograma en dos áreas

iguales.

Cuando determinados valores de un conjunto de observaciones son muy grandes

o pequeños con respecto a los demás, entonces la media aritmética se puede

distorsionar y perder su carácter representativo, en esos casos es conveniente

utilizar la mediana como medida de tendencia central.

Para datos no agrupados

Para calcular la mediana se debe ordenar los datos en forma ascendente.

i) Cuando n es impar. La mediana será el número que se encuentre en el centro

de todos los números.

ii) Cuando n es par. La mediana será el promedio de los dos números que se

encuentren en el centro

Para datos agrupados

Donde: Li = Límite inferior Ni – 1 = Frecuencia Acumulada anterior Ci ó Xi= Ancho de clase ni = Frecuencia de intervalo mediana

c) Moda (Mo). Es el valor de un conjunto de datos que ocurre más frecuentemente,

se considera como el valor más típico de una serie de datos. Para datos

agrupados se define como Clase Modal el intervalo que tiene más frecuencia.

La moda puede no existir o no ser única, las distribuciones que presentan dos o

más máximos relativos se designan de modo general como bimodales o

multimodales.



Para datos no agrupados Es el número o números que más veces se repite Para datos agrupados

Donde: Li = Límite inferior Ci ó Xi = Ancho de clase

= ni menos ni-1

= ni menos ni +1


1. En una encuesta se tomo como referencia las ventas de ropas por semana de las diferentes agencias de una tienda. Y se formo la siguiente tabla:

Li - Ls ni Ni fi Fi fi% Fi% Xi ni * xi

2 - 16 7 7 0,14 0,14 14 14 9 63 16 - 30 7 14 0,14 0,28 14 28 23 161

30 - 44 12 26 0,24 0,52 24 52 37 444 44 - 58 9 35 0,18 0,7 18 70 51 459

58 - 72 4 39 0,08 0,78 8 78 65 260

72 - 86 4 43 0,08 0,86 8 86 79 316

86 - 100 7 50 0,14 1 14 100 93 651

50 1 100 2354

a) Hallar el promedio

b) Hallar la mediana

Ci =Ls –Li = 58-44=14

=44 + (25-26) 1,56 = 44 + (-1) 1,56 = 44 - 1,56 = 42,44 ≈ 42

2354 = -----------=47,08≈47 50

Intervalo de

la moda Intervalo de

la mediana

50 14 = 44 + ----- - 26 ---- = 2 9



c) Hallar la moda

= ni - ni-1= 12-7= 5

= ni - ni +1=12-9= 3 Ci =Ls –Li = 44-30 =14

2. Se tomo una muestra a 12 personas a las cuales se les pregunto cuantas veces se

resfriaron en este invierno:

6 8 5 5 0 6 2 3 8 4 3 8

a) Construir su tabla de frecuencias

ni

6

8

5

5

0

6

2

3

8

4

3

8

b) Graficar las barras

5 = 30 + ------- 14 = 5 + 3

5 5 35 = 30 + ------- 14 =30 + -------- 7 = 30 + ------ = 30 + 8,75 = 38,75 ≈ 39 8 4 4



c) Calcular las medidas de tendencia central Promedio

Mediana Se ordenan los datos de manera ascendente, y como la cantidad de datos es par (12) se debe obtener el promedio de los dos números del centro.

xi

0

2

3

3

4

5

5

6

6

8

8

8

0

2

4

6

8

10

6 8 5 5 0 6 2 3 8 4 3 8

Número de Veces de resfrios

ni

5+5

Me = --------- = 5

2

6+8+5+5+0+6+2+3+8+4+3+8 58 = ------------------------------------------ = -------- = 4,83 ≈ 5 12 12



Moda

xi

0

2

3

3

4

5

5

6

6

8

8

8

3. Calcular el promedio de la siguiente tabla

Li - Ls ni

0 - 14 6

14 - 28 6

28 - 42 11

42 - 56 4

56 - 70 3

70 - 84 10

84 - 98 10 Completando la tabla

Li - Ls ni xi xi * ni

0 - 14 6 7 42

14 - 28 6 21 126

28 - 42 11 35 385

42 - 56 4 49 196

56 - 70 3 63 189

70 - 84 10 77 770

84 - 98 10 91 910 50 2618

Mo = 8

2618 = -----------=52,36≈52 50



4. Indicar cuál es el intervalo de la mediana y de la moda indicando el porque

Li - Ls ni

El intervalo de la mediana será el intervalo 4 ya que se encuentra al centro de

todos los intervalos.

Para la moda se debe conocer el valor de la frecuencia absoluta y el intervalo(s)

será el que tiene la frecuencia mayor.

5. De la siguiente tabla graficar la torta

Li - Ls ni 0 - 14 6

14 - 28 8 28 - 42 6 42 - 56 8 56 -70 4 70 - 84 7 84 - 98 5

Completando los datos

Li - Ls ni Ai 0 - 14 6 49

14 - 28 8 65 28 - 42 6 49 42 - 56 8 65 56 -70 4 33 70 - 84 7 57 84 - 98 5 41

44 360

Intervalo 1

Intervalo 2

Intervalo 3

Intervalo 4

Intervalo 5

Intervalo 6

Intervalo 7



6. Se realizo una encuesta a 80 personas que están escritas en una materia de la

universidad de decimo semestre, a los cuales se les pregunto la edad que tienen:

30 31 31 24 36 37 30 40 35 35 32 23 40 35 38 30 23 37 26 23 24 25 26 33 38 33 29 23 32 29 34 40 29 28 35 37 33 28 36 37 30 25 34 39 27 27 23 24 26 23 25 32 27 32 28 36 40 26 29 40 36 26 31 40 34 31 31 28 40 34 26 33 25 33 26 33 28 36 40 31

a) Construir su tabla de frecuencias b) Graficar las barras y torta c) Calcular las medidas de tendencia central d) Interpretar los resultados

7. Un grupo de fábricas de constructoras invierten en miles de dólares en una

determinada ciudad a objeto de ampliar su mercado en el rubro de construcción.

27 22 26 14 0 38 8 35 12 9 0 40 1 14 28 37 3 6 26 26

15 2 12 13 36 5 23 22 27 5 8 7 38 5 18 7 8 12 17 16

27 19 30 9 37 22 26 40 20 14 10 0 17 10 25 27 20 8 25 15

a) Construir su tabla de frecuencias b) Calcular las frecuencias relativas y absolutas c) Calcular las frecuencias absolutas y relativas acumuladas d) Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo e) Graficar las barras, ojivas y torta f) Calcular las medidas de tendencia central g) Interpretar los resultados

0 - 14

14 - 28

28 - 42

42 - 56

56 - 70

70 - 84

84 - 98



8. A partir de los siguientes datos:

a) Calcular las frecuencia relativa b) Calcular las frecuencias acumuladas c) Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo d) Graficar las barras, ojivas y torta e) Calcular las medidas de tendencia central f) Interpretar los resultados

9. Completar los datos de la siguiente tabla

Li - Ls ni Ni fi Fi 3 - 5 8 8

6 - 10 23 11 – 17 0,225 18 – 24 0,200 25 – 31 70 0,875

32 - 40 80

10. Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas

VARIABLE CUALITATIVA CUANTITATIVA

NOMINAL ORDINAL CONTINUA DISCRETA

Edad de personas

Forma de pago al realizar una compra

Estado civil

Número de habitaciones por casa

Salario mensual percibido por los empleados

Marcas de Automóviles

Grado de estudio de las personas

Número de acciones vendidas

Censos anuales del estudiantes

Longitud de cerrojos producidos en una fábrica

Peso de una persona al nacer



Predicción de las ganancias por acción

11. De los siguientes datos calcular el promedio

1327 1601 1254 874 1636 1427 1661 893 984

a) 1296 b) 1295,22 c) 1290 d) 1294 e) 1293,22

12. De la siguiente tabla indicar cuándo es el valor correspondiente a la frecuencia absoluta 5 (n5)

Li - Ls ni Ni

0 - 13 4 13 - 26 5 9 26 – 39 7 39 – 52 12 28 52 – 65 36 65 - 78 7 43 78 - 91 50

a) 7 b) 8 c) 4 d) 6 e) 5

13. Se tomo una muestra de estudiantes a los cuales se les pregunto cuántos hijos desean tener en el futuro, y de los datos se obtuvo las modas de un total de:

4 3 6 1 4 0 0 6 2 3 5 3 4 2 4 4

a) No Hay moda b) Una moda c) Bimodal d) Multimodal e) Trimodal

14. De los siguientes datos calcular la mediana

11 13 9 10 13 14 13

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

15. De los siguientes notas se quiere construir su tabla de frecuencias y se para lo cual se quiere averiguar cuánto es el Ancho de Clase

a) 12 b) 10 c) 14 d) 13 e) 13,5



GLOSARIO

Conjunto. Colección de objetos que tienen una característica particular.

Elementos. Objeto que pertenece a un conjunto.

Conjunto unitario. Conjunto que tiene como un solo elemento.

Conjunto Finito. Es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último de

sus elementos.

Conjunto Infinito. Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del

conjunto no se pueden terminar de contar.

Conjunto Universo. Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto

tipo y se denota por

Conjunto Vacío. Conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningún elemento y

es denotado por la letra griega Ø ó { }.

Algebra. Rama de las matemáticas que estudia las operaciones, como las sumas,

restas, multiplicación y división de conjuntos de números mediante números y

letras.

Expresión algebraica. Conjunto de letras, números y signos que indican una

serie de operaciones.

Constante. Magnitud que tiene un valor y no cambia.

Polinomio. Dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se

están sumando o restando.

Variable.- Magnitud que cambia de valor.

COEFICIENTE: El coeficente de un monomio es el número que

aparecemultiplicando a las variables.

FACTOR: Uno de los números, las variables, o las expresiones que se

multiplican para obtener un producto.

FACTOR COMUN: Si varios sumandos tienen un factor común, podemos

transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

FACTOR COMUN POLINOLIO: Sacar factor común a un polinomio consiste en



aplicar la propiedad distributiva.

FACTORIZACION: Proceso de re-escribir una expresión como producto de

factores.

MAXIMO COMUN DIVISOR: El MCD de dos o más factores es igual al producto

de sus factores primos comunes en su menor exponente.

MINIMO COMUN MULTIPLO: El mcm de dos o más factores es igual al

producto de sus factores primos comunes en su mayor exponente.

NUMEROS PRIMOS: Son aquellos que tienen sólo dos dividores: la unidad y el

mismo número.

POLINOMIOS: Suma de términos que tienen exponentes enteros positivos.

TERMINO SEMEJANTES: Los términos semejantes de una expresión

algebraica son los monomios que tienen el mismo grado.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado Estadística.- Ciencia que proporciona un conjunto de métodos que se utiliza

para recolectar, resumir y clasificar el comportamiento de los datos.

Estadística Descriptiva. Describe un conjunto de datos de tal forma que se

puedan ver las tendencias, normas y se pueda dibujar gráficos.

Estadística Inferencial. Es el conjunto de métodos o técnicas que posibilitan la

generalización o toma de decisiones en base a una información parcial obtenida

mediante técnicas descriptivas.

Variables Cualitativas. Son aquellas que no son medibles, que representan las

cualidades de lo que se está estudiando.

Variables Cuantitativas. Son aquellas que son medibles o numeradas y se

caracterizan por que pueden ser cuantificables.

Variables Cualitativas Nominales. Variables que pueden ser clasificados en

categorías, pero no se da un orden o jerarquía.

Variables Cualitativas Ordinales. Son elementos que pueden ser clasificados en

categorías que tienen un orden o jerarquía.



Variables Cuantitativas Discretas. Los discretos son datos puntuales que a

simple pregunta se obtiene una respuesta, pueden ser la edad, números de hijos,

etcétera.

Variables Cuantitativas Continuas. Son datos que se encuentran dentro de un

intervalo.

MATEMATICAS 2012

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