Mate Matic A
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ww ww ais . com www . apostilasvirtuais . com www . apostilasvirtuais . com ais . com www . apostilasvirtuais . com www . apostilasvirtuais . com ais . com ostilasvirtuais . com ostilasvirtuais . com Conjuntos Neste cap¶ ³tulo, apresentamos os conceitos de conjuntos, subconjuntos, e opera» c~oesentre conjuntos (uni~ ao,interse»c~ ao, e complementa» c~ ao), juntamente com as regras fundamen- tais dessas opera» c~ oes. Estas s~ ao desenvolvidas em paralelo com o Cap¶ ³tulo 1 sobre l¶ ogica. Fam¶ ³lias indexadas de conjuntos s~ ao discutidas. O Cap¶ ³tulo termina com o Paradoxo de Russel e uma nota hist¶orica. 2.1 Conjuntos e subconjuntos \O que ¶ e um conjunto" ¶ e uma quest~ ao muito dif¶ ³cil de se responder. 1 Neste tratado elementar, n~ ao entraremos em nenhuma abordagem axiom¶ atica complicada da Teoria dos Conjuntos, e conter-nos-emos em aceitar o seguinte: um conjunto ¶ e qualquer cole»c~ ao, dentro de um todo de objetos de¯nidos e distingÄu¶ ³veis, chamados elementos, de nossa intui» c~ ao ou pensamento. Esta de¯ni»c~ ao intuitiva de um conjunto foi dada primeiramente por Georg Cantor (1845{1918), que criou a teoria dos conjuntos em 1895. Exemplos: (a) O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula de Teoria dos Conjuntos. (b) O conjunto de todos os estudantes desta universidade. (c) O conjunto das letras a, b, c e d. (d) O conjunto das regras de uso do laborat¶ orio de inform¶ atica. (e) O conjunto de todos os n¶ umeros racionais cujo quadrado ¶ e 2. (f) O conjunto de todos os n¶ umeros naturais. (g) O conjunto de todos os n¶ umeros reais entre 0 e 1. Um conjunto que cont¶ em apenas um n¶ umero ¯nito de elementos ¶ e chamado um conjunto ¯nito ; um conjunto in¯nito ¶ e um conjunto que n~ ao ¶ e ¯nito. Exemplos de (a) a (e) acima s~ ao todos de conjuntos ¯nitos, e Exemplos (f) e (g) s~ ao de conjuntos in¯nitos. Conjuntos s~ ao freqÄ uentemente designados fechando-se entre chaves os s¶ ³mbolos que representam seus elementos, quando for poss¶ ³vel faz^ e-lo. Assim, o conjunto no Ex- emplo (c) ¶ e fa; b; c; dg e o conjunto no Exemplo (f) pode ser denotado por f1; 2; 3;::: g.
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Conjuntos
Neste cap¶³tulo, apresentamos os conceitos de conjuntos, subconjuntos, e opera»c~oes entreconjuntos (uni~ao, interse»c~ao, e complementa»c~ao), juntamente com as regras fundamen-tais dessas opera»c~oes. Estas s~ao desenvolvidas em paralelo com o Cap¶³tulo 1 sobre l¶ogica.Fam¶³lias indexadas de conjuntos s~ao discutidas. O Cap¶³tulo termina com o Paradoxo deRussel e uma nota hist¶orica.
2.1 Conjuntos e subconjuntos
\O que ¶e um conjunto" ¶e uma quest~ao muito dif¶³cil de se responder.1 Neste tratadoelementar, n~ao entraremos em nenhuma abordagem axiom¶atica complicada da Teoria dosConjuntos, e conter-nos-emos em aceitar o seguinte: um conjunto ¶e qualquer cole»c~ao,dentro de um todo de objetos de¯nidos e distingÄu¶³veis, chamados elementos, de nossaintui»c~ao ou pensamento. Esta de¯ni»c~ao intuitiva de um conjunto foi dada primeiramentepor Georg Cantor (1845{1918), que criou a teoria dos conjuntos em 1895. Exemplos:
(a) O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula de Teoria dos Conjuntos.(b) O conjunto de todos os estudantes desta universidade.(c) O conjunto das letras a, b, c e d.(d) O conjunto das regras de uso do laborat¶orio de inform¶atica.(e) O conjunto de todos os n¶umeros racionais cujo quadrado ¶e 2.(f) O conjunto de todos os n¶umeros naturais.(g) O conjunto de todos os n¶umeros reais entre 0 e 1.
Um conjunto que cont¶em apenas um n¶umero ¯nito de elementos ¶e chamado umconjunto ¯nito; um conjunto in¯nito ¶e um conjunto que n~ao ¶e ¯nito. Exemplos de (a) a(e) acima s~ao todos de conjuntos ¯nitos, e Exemplos (f) e (g) s~ao de conjuntos in¯nitos.
Conjuntos s~ao freqÄuentemente designados fechando-se entre chaves os s¶³mbolosque representam seus elementos, quando for poss¶³vel faze-lo. Assim, o conjunto no Ex-emplo (c) ¶e fa; b; c; dg e o conjunto no Exemplo (f) pode ser denotado por f1; 2; 3; : : : g.
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O conjunto do Exemplo (e) n~ao tem elementos; um tal conjunto ¶e chamado o conjuntovazio, sendo denotado pelo s¶³mbolo ¿.
Usaremos letras mai¶usculas para denotar conjuntos, e letras min¶usculas para de-notar elementos. Se a ¶e um elemento de um conjunto A, escrevemos a 2 A (leia-se: \a¶e um elemento de A" ou \a pertence a A"), enquanto que a62 A signi¯ca que a n~ao ¶eelemento de A.
De¯ni»c~ao 2.1 Dois conjuntos A e B s~ao iguais ou identicos quando cont¶em os mesmoselementos. Isto ¶e, A = B signi¯ca (8x)[(x 2 A)$ (x 2 B)].
A ordem em que aparecem os elementos num conjunto n~ao tem importancia. As-sim, o conjunto fa; b; cg ¶e o mesmo que fb; c; ag, etc. Al¶em disso, como os elementos deum conjuntos s~ao distintos, fa; a; bg, por exemplo, n~ao ¶e uma nota»c~ao apropriada de umconjunto, e deveria ser substitu¶³da por fa; bg. Se a ¶e um elemento de um conjunto, a efag s~ao considerados diferentes, isto ¶e, a6= fag. Pois fag denota o conjunto consistindodo elemento a somente, enquanto que a ¶e apenas o elemento do conjunto fag.
De¯ni»c~ao 2.2 Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A ¶e elemento de B,ent~ao A ¶e chamado um subconjunto de B, em s¶³mbolos: A ½ B ou B ¾ A. Se A ¶esubconjunto de B, ent~ao B ¶e chamado um superconjunto de A.
Assim, escrevendo logicamente,
A ½ B ´ (8x)[(x 2 A)! (x 2 B)]
Obviamente, todo conjunto ¶e um subconjunto (e um superconjunto) de si mesmo.Quando A ½ B e A 6= B, escrevemos A Ã B, ou B ! A, e dizemos que A ¶e umsubconjunto pr¶oprio de B, ou que B ¶e um superconjunto pr¶oprio de A. Em outraspalavras, A ¶e um subconjunto pr¶oprio de B quando todo elemento de A ¶e um elementode B, mas existe um elemento de B que n~ao ¶e elemento de A. Se A n~ao ¶e subconjuntode B, escrevemos A6½ B.
Teorema 2.1 O conjunto ¿ ¶e um subconjunto de qualquer conjunto.
Demonstra»c~ao. Seja A um conjunto qualquer. Provaremos que a proposi»c~ao condicional
(x 2 ¿)! (x 2 A)¶e verdadeira para todo x. Como o conjunto ¿ n~ao tem nenhum elemento, a a¯rma»c~ao\x 2 ¿" ¶e falsa, enquanto que \x 2 A" pode ser verdadeira ou falsa. Em qualquer doscasos, a a¯rma»c~ao condicional \(x 2 ¿) ! (x 2 A)" ¶e verdadeira, conforme a tabelaverdade para a condicional (casos 3 e 4 da Tabela 1.5, Cap¶³tulo 1).
Assim, ¿ ½ A, para qualquer conjunto A.
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O Conceito de Conjunto 29
Teorema 2.2 Se A ½ B e B ½ C ent~ao A ½ C.
Demonstra»c~ao. Demonstraremos que (x 2 A)) (x 2 C):
(x 2 A) ) (x 2 B); porque A ½ B) (x 2 C); porque B ½ C
Portanto, pela Lei Transitiva (Teorema 1.4(c) do Cap¶³tulo 1), temos
(x 2 A)) (x 2 C)
ConseqÄuentemente, demonstramos que A ½ C.
2.1.1 Exerc¶³cios
1. Demonstre que o conjunto de letras da palavra \catarata" e o conjunto de letras dapalavra \catraca" s~ao iguais.2. Decida, dentre os seguintes conjuntos, quais s~ao subconjuntos de quais:(a) A = ftodos os n¶umeros reais satisfazendo x2 ¡ 8x+ 12 = 0g(b) B = f2; 4; 6g(c) C = f2; 4; 6; 8; : : : g(d) D = f6g
3. Liste todos os subconjuntos do conjunto f¡1; 0; 1g.4. Demonstre que [(A ½ B) ^ (B ½ A)] , (A = B) [Nota: FreqÄuentemente, emmatem¶atica, o melhor meio de demonstrar que A = B ¶e mostrar que A ½ B e B ½ A.]5. Demonstre que (A ½ ¿)) (A = ¿).6. Demonstre que(a) [(A Ã B) ^ (B ½ C)]) (A Ã C)(b) [(A ½ B) ^ (B Ã C)]) (A Ã C)
7. De um exemplo de um conjunto cujos elementos s~ao tamb¶em conjuntos.8. Em cada um dos seguintes itens, determine se a a¯rma»c~ao ¶e verdadeira ou falsa.Se for verdadeira, demonstre-a. Se for falsa, mostre-o atrav¶es de um exemplo (um talexemplo, mostrando que uma proposi»c~ao ¶e falsa, ¶e chamado um contra-exemplo).(a) Se x 2 A e A 2 B ent~ao x 2 B.(b) Se A ½ B e B 2 C ent~ao A 2 C.(c) Se A6½ B e B ½ C ent~ao A6½ C.(d) Se A6½ B e B6½ C ent~ao A6½ C.(e) Se x 2 A e A6½ B ent~ao x62 B.(f) Se A ½ B e x62 B ent~ao x62 A.
9. Dado um conjunto com n elementos, demonstre que existem exatemente C(n; r)subconjuntos com r elementos.
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30 O Conceito de Conjunto
2.2 Especi¯ca»c~ao de conjuntos
Um modo de construir um novo conjunto, a partir de um conjunto dado, ¶e especi¯caraqueles elementos, do conjunto dado, que satisfazem uma propriedade particular. Porexemplo, seja A o conjunto de todos os estudantes desta universidade. A proposi»c~ao \x¶e paulista" ¶e verdadeira para alguns elementos x de A e falsa para outros. Empregaremosa nota»c~ao
fx 2 A jx ¶e paulistagpara especi¯car o conjunto de todas os estudantes paulistas desta universidade. Similar-mente,
fx 2 A jx n~ao ¶e paulistagespeci¯ca o conjunto de estudantes n~ao paulistas desta universidade.
Como regra, a todo conjunto A e a toda proposi»c~ao p(x) sobre x 2 A, existe umconjunto fx 2 A j p(x)g, cujos elementos s~ao precisamente aqueles elementos x 2 Apara os quais a a¯rma»c~ao p(x) ¶e verdadeira. Numa abordagem axiom¶atica da teoria dosconjuntos, esta regra ¶e habitualmente postulada como um axioma, chamado o Axiomada Especi¯ca»c~ao. O s¶³mbolo fx 2 A j p(x)g ¶e lido: o conjunto de todos os x em A taisque p(x) ¶e verdadeira. A nota»c~ao da forma fx 2 A j p(x)g, que descreve um conjunto ¶echamada a nota»c~ao de constru»c~ao do conjunto.
Exemplo 2.1 Seja R o conjunto dos n¶umeros reais. Ent~ao
(a) fx 2 R jx = x+ 1g ¶e o conjunto vazio.(b) fx 2 R j 2x2 ¡ 5x¡ 3 = 0g ¶e o conjunto f¡1=2; 3g.(c) fx 2 R j x2 + 1 = 0g ¶e o conjunto vazio.
Por causa de freqÄuente aparecimento, atrav¶es do restante deste e dos demaiscap¶³tulos, e em outros t¶opicos de matem¶atica, os seguintes s¶³mbolos especiais ser~aoreservados para os conjuntos descritos:
R = fx jx ¶e um n¶umero realgQ = fx jx ¶e um n¶umero racionalgZ = fx jx ¶e um n¶umero inteirogN = fx jx ¶e um n¶umero naturalgI = fx 2 R j 0 · x · 1gR+= fx 2 R j x > 0g
Note que N ½ Z ½ Q ½ R e N ½ R+ ½ R.¶E bem poss¶³vel que elementos de um conjunto possam ser tamb¶em conjuntos. Por
exemplo, o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A tem conjuntoscomo seus elementos. Este conjunto ¶e chamado conjunto das partes2 de A, e ¶e denotado
2Na teoria dos conjuntos, a existencia do conjunto das partes n~ao ¶e tida como ¶obvia. Como aexistencia de um conjunto das partes n~ao ¶e conseqÄuencia do axioma da especi¯ca»c~ao, um novo axioma¶e necess¶ario; este axioma ¶e habitualmente chamado o Axioma do Conjunto das Partes e pode ser assimenunciado: Para cada conjunto, existe um conjunto de conjuntos que consiste de todos os subconjuntosdo conjunto dado.
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O Conceito de Conjunto 31
por }(A).
Exemplo 2.2 }(fag) = f¿; fagg, }(¿) = f¿g, e }(fa; bg) =f¿; fag; fbg; fa; bgg.
Teorema 2.3 Se A consiste de n elementos, ent~ao seu conjunto das partes }(A) cont¶emexatamente 2n elementos.
Demonstra»c~ao. O teorema ¶e claramente verdadeiro para A = ¿. Para um conjunto n~aovazio A, seja A = fa1; a2; a3; : : : ; ang. Dado um elemento ak de A, para cada subcon-junto de A temos duas possibilidades: ou ele cont¶em ak ou n~ao o cont¶em. Portanto,o problema de encontrar o n¶umero de subconjuntos de A pode ser considerado como oproblema de preencher uma lista de n espa»cos em branco 2 2 2 ¢ ¢ ¢2, aleatoriamente,com os n¶umeros 0 e 1, um n¶umero em cada espa»co. Cada preenchimento dos n espa»cosdetermina um subconjunto X de A da seguinte maneira: ak 2 X se e somente se 1aparece no k-¶esimo espa»co (para cada k 2 f1; 2; : : : ; ng). Como existem exatamente2n preenchimentos distintos, existem 2n subconjuntos de A.
¶E tamb¶em interessante a seguinte demonstra»c~ao alternativa do Teorema 2.3:
Demonstra»c~ao alternativa. Primeiramente, o conjunto vazio ¿ pertence a }(A). Emseguida, cada elemento x 2 A forma um subconjunto fxg pertencente a }(A). Observeque o n¶umero desse conjuntos unit¶arios ¶e C(n; 1). Continuando, existem exatamenteC(n; 2) subconjuntos de A contendo exatemente 2 elementos de A.3 Finalmente, existeexatamente C(n; n) = 1 subconjunto de A contendo n elementos de A, que ¶e o pr¶oprioA. Contando o conjunto vazio, o n¶umero total de subconjuntos de A ¶e igual a C(n; 0)+C(n; 1) + ¢ ¢ ¢+ C(n; n). Ent~ao, usando a expans~ao binomial para (1 + 1)n, temos
(1 + 1)n = C(n; 0) + C(n; 1) + ¢ ¢ ¢+ C(n; n)
Assim, o n¶umero de elementos de }(A) ¶e (1 + 1)n = 2n.
2.2.1 Exerc¶³cios
1. Exiba entre chaves os elementos de cada um dos seguintes conjuntos.A = fx 2 N jx < 5gB = fx 2 Z j x2 · 25gC = fx 2 Q j 10x2 + 3x¡ 1 = 0gD = fx 2 R jx3 + 1 = 0gE = fx 2 R+ j 4x2 ¡ 4x¡ 1 = 0g
2. Denote cada um dos seguintes conjuntos pela nota»c~ao de constru»c~ao do conjunto.A = f1; 2; 3gB = f¡1;¡2
3;¡1
3; 0g
3Veja problema 9, Exerc¶³cios 2.1.1
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32 O Conceito de Conjunto
C = f1; 3; 5; 7; 9; : : : gD = f1¡p3; 1 +p3g
3. Quais s~ao os elementos do conjunto das partes do conjunto fx; fy; zgg? Quantoselementos tem esse conjunto das partes?4. Seja B um subconjunto de A, e seja }(A : B) = fX 2 }(A) jX ¾ Bg.(a) Seja B = fa; bg e A = fa; b; c; d; eg. Liste os membros do conjunto }(A : B);
quantos s~ao eles?(b) Demonstre que }(A : ¿) = }(A).
5. Sejam A um conjunto com n elementos e B um subconjunto com m elementos,n ¸ m.(a) Encontre o n¶umero de elementos do conjunto }(A : B).(b) Deduza o Teorema 2.3 a partir de (a), fazendo B = ¿.
2.3 Uni~oes e interse»c~oes
Na aritm¶etica, podemos somar, multiplicar, ou subtrair dois n¶umeros quaisquer. Na teoriados conjuntos, h¶a tres opera»c~oes|uni~ao, interse»c~ao, e complementa»c~ao| respectiva-mente an¶alogas µas opera»c~oes adi»c~ao, multiplica»c~ao, e subtra»c~ao de n¶umeros.
De¯ni»c~ao 2.3 A uni~ao de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A [ B, ¶e oconjunto dos elementos x tais que x pertence a pelo menos um dos dois conjuntos A eB. Ou seja, x 2 A [B se e somente se x 2 A _ x 2 B.
De¯ni»c~ao 2.4 A interse»c~ao de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A \ B,¶e o conjunto dos elementos x tais que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Ems¶³mbolos, A \ B = fx j (x 2 A) ^ (x 2 B)g, ou fx 2 A jx 2 Bg. Se A \ B = ¿,dizemos que A e B s~ao conjuntos disjuntos.
Por exemplo, se A = f1; 2; 3; 4g e B = f3; 4; 5g, ent~ao A [ B = f1; 2; 3; 4; 5g eA \ B = f3; 4g; se Im denota o conjunto de n¶umeros imagin¶arios, ent~ao os conjuntosIm e R s~ao disjuntos.
Exemplo 2.3 No que segue, os conjuntos I;N;Z; : : : s~ao de¯nidos como na ¶ultimase»c~ao.
(a) I \ Z = f0; 1g e N \ I = f1g.(b) Z [Q = Q e Z \Q = Z.(c) I [ I = I e I \ I = I.
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O Conceito de Conjunto 33
Teorema 2.4 Sejam X um conjunto e A, B e C subconjuntos de X. Ent~ao temos:
(a) Os elementos neutros:
A [ ¿ = AA \X = A
(b) As leis de idempotencia:
A [ A = AA \ A = A
(c) As leis comutativas:
A [B = B [ AA \B = B \ A
(d) As leis associativas:
A [ (B [ C) = (A [B) [ CA \ (B \ C) = (A \B) \ C
(e) As leis distributivas:
A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)
Demonstra»c~ao. Deixaremos as demonstra»c~oes das partes (a), (b) e (c) para o leitor,como exerc¶³cios.
(d) De acordo com a De¯ni»c~ao 2.3,
x 2 A [ (B [ C), x 2 A _ (x 2 B [ C)e
x 2 B [ C , x 2 B _ x 2 CAssim,
x 2 A [ (B [ C), x 2 A _ (x 2 B _ x 2 C)Pela Lei Associativa (para a disjun»c~ao), (x 2 A) _ (x 2 B _ x 2 C) ¶e equivalente a(x 2 A _ x 2 B) _ (x 2 C). A ¶ultima a¯rma»c~ao, pela De¯ni»c~ao 2.3, ¶e equivalente a(x 2 A [B) _ (x 2 C), e portanto x 2 (A [B) [ C.
Assim, temosx 2 A [ (B [ C), x 2 (A [B) [ C
Pela de¯ni»c~ao 2.1, A [ (B [ C) = (A [B) [ C.A demonstra»c~ao acima pode ser condensada em uma exposi»c~ao limpa de passos
l¶ogicos essenciais, com a justi¯cativa de cada passo escrita µa direita para f¶acil referencia:
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34 O Conceito de Conjunto
x 2 A [ (B [ C) , (x 2 A) _ (x 2 B [ C) Def. de [, (x 2 A) _ [(x 2 B) _ (x 2 C)] Def. de [, [(x 2 A) _ (x 2 B)] _ (x 2 C) Assoc. para _, (x 2 A [B) _ (x 2 C) Def. de [, x 2 (A [B) [ C Def. de [
Portanto, pela De¯ni»c~ao 2.1, acabamos de provar que A[ (B[C) = (A[B)[C.O estudante deveria tentar apreciar este tipo de demonstra»c~ao, ordenada precisa-
mente pela l¶ogica.
Deixaremos a demonstra»c~ao de A \ (B \ C) = (A \ B) \ C ao leitor, comoexerc¶³cio.
(e) Novamente, apenas a primeira parte do item (e) ser¶a demonstrada, sendo a segundaparte deixada como exerc¶³cio.
x 2 A \ (B [ C) , (x 2 A) ^ (x 2 B [ C) Def. de \, (x 2 A) ^ [(x 2 B) _ (x 2 C)] Def. de [, [(x 2 A) ^ (x 2 B)] _ [(x 2 A) ^ (x 2 C)]
Lei Dist. da l¶ogica (Cap. 1), (x 2 A \B) _ (x 2 A \ C) Def. de \, x 2 (A \B) [ (A \ C) Def. de [
Portanto, pela De¯ni»c~ao 2.1, A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C).
2.3.1 Exerc¶³cios
1. Demonstre que A ½ B , A [B = B.2. Demonstre que A ½ B , A \B = A.3. Demonstre as partes (a), (b), e (c) do Teorema 2.4.4. Demonstre a segunda metade do Teorema 2.4(d).5. Demonstre a segunda metade do Teorema 2.4(e).6. Demonstre que(a) A ½ C e B ½ C implica A [B ½ C.(b) A ½ B e A ½ C implica A ½ B \ C.[Sugest~ao: Use o Teorema 1.5, do Cap¶³tulo 1, se desejar.]
7. Demonstre que (A \B) [ C = A \ (B [ C), C ½ A.8. Demonstre que se A ½ B ent~ao }(A) ½ }(B).9. Demonstre que A [B = A \B , A = B.10. Demonstre que se A ½ B, ent~ao A [ C ½ B [ C e A \C ½ B \C, para qualquerconjunto C.11. Demonstre que se A ½ C e B ½ D ent~ao A [B ½ C [D.
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O Conceito de Conjunto 35
2.4 Complementos
Existe, na teoria dos conjuntos, uma opera»c~ao conhecida como complementa»c~ao, que ¶esimilar µa opera»c~ao de subtra»c~ao na aritm¶etica.
De¯ni»c~ao 2.5 Se A e B s~ao conjuntos, o complemento relativo de B em A ¶e o conjuntoA¡B, de¯nido por
A¡B = fx 2 A j x62 BgNesta de¯ni»c~ao, n~ao ¶e assumido que B ½ A.
Exemplo 2.4 Sejam
A = fa; b; c; dg e B = fc; d; e; fgEncontre A¡B e A¡ (A \B).Solu»c~ao.
A¡B = fa; b; c; dg ¡ fc; d; e; fg = fa; bge
A¡ (A \B) = fa; b; c; dg ¡ fc; dg = fa; bg
Embora o conjunto universal no sentido absoluto, o conjunto de todos os conjuntos,n~ao exista (veja o Paradoxo de Russel na se»c~ao 2.7), n~ao h¶a problema em assumirmostemporariamente que todos os conjuntos mencionados, no restante deste e dos demaiscap¶³tulos, s~ao subconjuntos de um conjunto ¯xado U , que pode ser considerado (tem-porariamente) como um conjunto universal no sentido restrito. De modo a enunciar asregras b¶asicas a respeito de complementa»c~oes, do modo mais simples poss¶³vel, assumire-mos, a menos que seja dito em contr¶ario, que todos os complementos s~ao formadosrelativamente a este conjunto U . Escreveremos ent~ao A0 como sendo U ¡A.
Exemplo 2.5 Demonstre que A¡B = A \B0.Solu»c~ao.
x 2 A \B0 ´ (x 2 A) ^ (x 2 U ¡B) Def. de \, Def. de 0´ (x 2 A) ^ [(x 2 U) ^ (x62 B)] Def. 2.5´ (x 2 A \ U) ^ (x62 B)] Assoc. de ^, Def. de \´ (x 2 A) ^ (x62 B) A \ U = A, x 2 (A¡B) Def. 2.5
Portanto, pela De¯ni»c~ao 2.1, A \B0 = A¡B.
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36 O Conceito de Conjunto
Teorema 2.5 Sejam A e B conjuntos. Ent~ao
(a) (A0)0 = A.(b) ¿0 = U e U 0 = ¿.(c) A \ A0 = ¿ e A [A0 = U .(d) A ½ B se e somente se B0 ½ A0
Demonstra»c~ao. As demonstra»c~oes das partes (a), (b), e (c) usam apenas de¯ni»c~oes es~ao deixadas ao leitor, como exerc¶³cio. Daremos uma demonstra»c~ao da parte (d):
A ½ B ´ [(x 2 A)! (x 2 B)] Def. de ½´ [(x62 B)! (x62 A)] 4 Contrap.´ [(x 2 B0)! (x 2 A0)] Def. de 0
´ B0 ½ A0 Def. de ½
Portanto, acabamos de demonstrar que (A ½ B) ´ (B0 ½ A0).
Na demonstra»c~ao acima, novamente s¶³mbolos e leis da l¶ogica (do Cap¶³tulo 1) s~aousados, o que nos permite exibir cada passo da demonstra»c~ao de maneira simples eelegante, com justi¯cativas ao lado direito. O leitor ¶e encorajado a fazer uso total doCap¶³tulo 1, nas demonstra»c~oes, sempre que poss¶³vel.
A propriedade mais ¶util de complementos ¶e o seguinte Teorema de De Morgan.Compare-o com as Leis de De Morgan no Cap¶³tulo 1.
Teorema 2.6 (Teorema de De Morgan) Para quaisquer dois conjuntos A e B,
(a) (A [B)0 = A0 \B0(b) (A \B)0 = A0 [B0.
Demonstra»c~a de (a):
x 2 (A [B)0 ´» [x 2 A [B] Def. de 0
´» [(x 2 A) _ (x 2 B)] Def. de [´» (x 2 A)^ » (x 2 B) De M. da l¶ogica´ (x 2 A0) ^ (x 2 B0) Def. de 0
´ x 2 (A0 \B0) Def. de \
Portanto, pela De¯ni»c~ao 2.1, (A [B)0 = A0 \B0.A demonstra»c~ao de (b) ¶e deixada ao leitor.
4Lembremo-nos que a nega»c~ao de x 2 B, » (x 2 B), ¶e denotada por x62 B.
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O Conceito de Conjunto 37
Exemplo 2.6 Sejam A, B, e C tres conjuntos quaisquer. Decida se o conjuntoA \ (B ¡ C) ¶e o mesmo que (A \B)¡ (A \ C).Solu»c~ao.
(A \B)¡ (A \ C) = (A \B) \ (A \ C)0 Exemplo 2.5= (A \B) \ (A0 [ C 0) Teor. de De M. (Teor. 2.6)= (A \B \ A0) [ (A \B \ C 0) Dist.= (A \A0 \B) [ (A \B \ C 0) Com.= ¿ [ [A \ (B \ C 0)] Teor. 2.5(c): A \ A0 = ¿= A \ (B ¡ C) Teor. 2.4(a), Exemplo 2.5
Portanto, demonstramos que A \ (B ¡ C) = (A \B)¡ (A \ C).
2.4.1 Exerc¶³cios
1. Sejam A e B conjuntos. Demonstre que A¡B = A¡ (A \B).2. Demonstre as partes (a), (b), e (c) do Teorema 2.5.3. Sejam A e B conjuntos. Demonstre que B ½ A0 se e somente se A \B = ¿.4. Sejam A e B conjuntos. Demonstre que (A¡B) [B = A se e somente se B ½ A.5. Demonstre o Teorema 2.6(b).6. Sejam A, B, e C tres conjuntos quaisquer. Demonstre que(a) (A¡ C) [ (B ¡ C) = (A [B)¡ C,(b) (A¡ C) \ (B ¡ C) = (A \B)¡ C.
7. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Demonstre que A e B ¡ A s~ao disjuntos, eque A [ B = A [ (B ¡ A). (Isto mostra como representar a uni~ao A [ B como umauni~ao disjunta.)8. Sejam A, B, e C tres conjuntos quaisquer. Demonstre que(a) (A \B \ C)0 = A0 [B0 [ C 0(b) (A [B [ C)0 = A0 \B0 \ C 0.
Generalize estes resultados a proposi»c~oes envolvendo n conjuntos
A1; A2; A3; : : : ; An:
9. Para conjuntos quaisquer A e B demonstre ou refute que(a) }(A) \ }(B) = }(A \B)(b) }(A) [ }(B) = }(A [B).
10. Demonstre que se A ½ C, B ½ C, A [B = C, e A \B = ¿, ent~ao A = C ¡B.11. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Demonstre que
(A¡B) [ (B ¡ A) = (A [B)¡ (A \B):
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38 O Conceito de Conjunto
2.5 Diagramas de Venn
Como aux¶³lio na vizualiza»c~ao de opera»c~oes de conjuntos, introduziremos diagramas,chamados diagramas de Venn, que representam conjuntos geometricamente. Repre-sentaremos o conjunto universal relativo U por um retangulo, e os subconjuntos de Upor c¶³rculos desenhados dentro do retangulo. Por exemplo, na Figura 1, representamosdois conjuntos A e B como dois c¶³rculos sombreados; a parte duplamente hachurada ¶ea interse»c~ao A \B, e a ¶area sombreada total ¶e a uni~ao A [B.
Figura 1.
A Figura 2 mostra dois conjuntos A e B que s~ao disjuntos. A ¶area sombreada naFigura 3 representa o complemento A0 do conjunto A. O conjunto A¡B, o complementorelativo de B em A, ¶e representado pela parte sombreada na Figura 4.
Figura 2.
Figura 3.
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O Conceito de Conjunto 39
Figura 4.
Figura 5.
Figura 6.
Um diagrama de Venn t¶³pico de tres conjuntos A, B, e C pode ser desenhadocomo na Figura 5. Esses tres conjuntos dividem o conjunto universal U em 8 partes, talcomo indicado na ¯gura 6.
Usando os diagramas acima, podemos dar argumentos heur¶³sticos simples paraa validade de, por exemplo, a lei distributiva A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C),como segue: Da Figura 6, A \ (B [ C) consiste das ¶areas 2, 3 e 7. Por outro lado,(A\B)[ (A\C) ¶e representada pela uni~ao das ¶areas 2 e 7, e ¶areas 3 e 7. Portanto, aigualdade A\(B[C) = (A\B)[(A\C) parece plaus¶³vel. Entretanto, em matem¶atica,um argumento heur¶³stico n~ao pode ser aceito como uma demonstra»c~ao.
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40 O Conceito de Conjunto
2.5.1 Exerc¶³cios
1. Desenhe um diagrama de Venn para A ½ B.2. Desenhe diagramas de Venn para A \B0, A0 \B e A0 \B0.3. Desenhe diagramas de Venn para A [B0, A0 [B e A0 [B0.
Nos problemas de 4 a 10, desenhe diagramas de Venn e de argumentos heur¶³sticosde que cada uma das a¯rma»c~oes ¶e plaus¶³vel.
4. A \ (B \ C) = (A \B) \ C.5. A [ (B [ C) = (A [B) [ C.6. A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C).7. (A [B)0 = A0 \B0.8. (A \B)0 = A0 [B0.9. A \ (B ¡ A) = ¿ e A [ (B ¡ A) = A [B.10. (A [B)¡ (A \B) = (A¡B) [ (B ¡ A).
2.6 Fam¶³lias indexadas de conjuntos
Recordemos que um conjunto ¶e uma cole»c~ao de elementos que s~ao todos distintos.Grosseiramente falando, uma fam¶³lia ¶e uma cole»c~ao de objetos, n~ao necessariamentedistintos, chamados membros. Por exemplo, fa; a; ag ¶e uma fam¶³lia com tres membros,a, a e a. Mas a mesma fam¶³lia fa; a; ag, considerada como um conjunto ¶e apenas oconjunto unit¶ario fag com um ¶unico elemento, a.
Seja ¡ um conjunto e suponhamos que para cada elemento ° de ¡, existe umconjunto associado A°. A fam¶³lia de todos esses conjuntos A° ¶e chamada uma fam¶³liaindexada de conjuntos, indexada pelo conjunto ¡, e ¶e denotada por
fA° j ° 2 ¡g
Por exemplo, a fam¶³lia de conjuntos, f1; 2g; f2; 4g; f3; 6g; : : : ; fn; 2ng; : : : , podeser considerada como uma fam¶³lia indexada de conjuntos, indexada pelo conjunto N dosn¶umeros naturais, sendo An = fn; 2ng para cada n 2 N. Esta fam¶³lia de conjuntos podeser denotada por ffn; 2ng jn 2 Ng.
Uma fam¶³lia arbitr¶aria de conjuntos pode parecer n~ao ser indexada, mas na maioriados casos podemos facilmente encontrar um conjunto ¡ que pode ser usado para indexara fam¶³lia de conjuntos dada.
Exemplo 2.7 Indexe a fam¶³lia F de conjuntos ¿;N;Z;Q;R;R.
Solu»c~ao. Como esta fam¶³lia cont¶em exatamente seis membros (embora dois deles sejamo mesmo), escolhemos ¡ = f1; 2; 3; 4; 5; 6g e fazemos A1 = ¿, A2 = N, A3 = Z,A4 = Q, A5 = R e A6 = R. A fam¶³lia de conjuntos est¶a ent~ao indexada.
Virtualmente todos os s¶³mbolos e nota»c~oes usados para conjuntos aplicam-se afam¶³lias tamb¶em. Por exemplo, ¿ 2 F e R+ 62 F indicam, respectivamente, que ¿
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O Conceito de Conjunto 41
¶e um membro da fam¶³lia F e R+ n~ao ¶e membro de F. Podemos tamb¶em escreverF = f¿;N;Z;Q;R;Rg.
Estendamos agora os conceitos de uni~ao [ e interse»c~ao \, das De¯ni»c~oes 1.3 e1.4, a uma fam¶³lia arbitr¶aria de conjuntos.
De¯ni»c~ao 2.6 Seja F uma fam¶³lia arbitr¶aria de conjuntos. A uni~ao dos conjuntos emF, denotada por
S
A2F A ouS
F, ¶e o conjunto de todos os elementos que est~ao em Apara algum A 2 F. Ou seja,
[
A2F
A = fx 2 U jx 2 A para algum A 2 Fg
Se a fam¶³lia F ¶e indexada pelo conjunto ¡, a seguinte nota»c~ao alternativa pode ser usada:[
°2¡
A° = fx 2 U jx 2 A° para algum ° 2 ¡g
Se o conjunto ¡ de¶³ndices ¶e ¯nito, ¡ = f1; 2; 3; : : : ; ng para algum n¶umero naturaln, nota»c~oes mais intuitivas, tais como
n[
i=1
Ai ou A1 [ A2 [ ¢ ¢ ¢ [ An
s~ao usadas freqÄuentemente paraS
°2¡A°.
Exemplo 2.8 Encontre a uni~ao da fam¶³lia de conjuntos
f1g; f2; 3g; f3; 4; 5g; : : : ; fn; n+ 1; : : : ; 2n¡ 1g:
Solu»c~ao. Esta fam¶³lia de conjuntos pode ser considerada como indexada por ¡ =f1; 2; 3; : : : ; ng, sendo Ai = fi; i + 1; : : : ; 2i ¡ 1g, para cada i 2 ¡. O problemase reduz a encontrar
Sn
i=1fi; i + 1; : : : ; 2i ¡ 1g. Observe que cada inteiro entre 1 e2n ¡ 1 pertence a algum Ai na fam¶³lia, e nenhum outro elemento pertence a qualquerdesses Ai. Portanto,
n[
i=1
fi; i+ 1; : : : ; 2i¡ 1g = f1; 2; 3; : : : ; 2n¡ 1g
De¯ni»c~ao 2.7 Seja F uma fam¶³lia arbitr¶aria de conjuntos. A interse»c~ao de conjuntosem F, denotada por
T
A2F ouT
F, ¶e o conjunto de todos os elementos que est~ao em Apara todo A 2 F. Ou seja,
\
A2F
= fx 2 U jx 2 A para todo A 2 Fg
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42 O Conceito de Conjunto
Aqui, a a¯rma»c~ao \x 2 A para todo A 2 F" pode ser expressada alternativamentecomo \A 2 F ! x 2 A. Esta ¶ultima express~ao ¶e melhor na demonstra»c~ao de teoremas,como veremos no Teorema 2.7 adiante.
Se a fam¶³lia F ¶e indexada pelo conjunto ¡, a seguinte nota»c~ao alternativa pode serusada:
\
°2¡
A° = fx 2 U jx 2 A° para todo ° 2 ¡g
Se o conjunto de ¶³ndices ¡ for ¯nito, ¡ = f1; 2; : : : ; ng para algum inteiro positivon, ent~ao como no caso da uni~ao, escrevemos habitualmente
n\
i=1
Ai ou A1 \ A2 \ ¢ ¢ ¢An
em vez deT
°2¡A°.
Sejam a e b dois n¶umeros reais quaisquer. Por intervalo aberto ]a; b[ entendemoso subconjunto fx 2 R j a < x < bg de R. Segue que se a ¸ b ent~ao ]a; b[ = ¿.
Exemplo 2.9 Encontre a interse»c~ao da fam¶³lia de intervalos abertos
]0; 1[ ; ]0; 12[ ; ]0; 1
3[ ; : : :
Solu»c~ao. Devemos encontrar o conjuntoT
n2N ]0;1
n[. Falando intuitivamente, a fam¶³lia
dada ¶e uma seqÄuencia de intervalos \decrescentes" ]0; 1=n[ , em que o intervalo ]0; 1=n[se \aproxima" do conjunto vazio ¿ quando n torna-se grande. Portanto, podemosconjeturar que a interse»c~ao
T
n2N ]0; 1=n[ deve ser o conjunto vazio. Demonstraremosque nossa conjetura ¶e verdadeira. Suponha em contr¶ario, que existe algum n¶umero reala 2 Tn2N ]0; 1=n[. Ent~ao ter¶³amos 0 < a < 1=n para todo n 2 N. Isto contradiz o fatode que para um n¶umero real ¯xado a > 0, sempre existe um n 2 N, su¯cientementegrande, tal que 1=n < a. A contradi»c~ao mostra que
T
n2N ]0; 1=n[ = ¿.
Teorema 2.7 Seja fA° j ° 2 ¡g uma fam¶³lia vazia de conjuntos; isto ¶e, ¡ = ¿. Ent~ao(a)
S
°2¿A° = ¿.
(b)T
°2¿A° = U .
Demonstra»c~ao. (a) Para mostrarS
°2¿A° = ¿, mostramos equivalentemente que x62S
°2¿A° para todo x (em U):
x62 S
°2¿A° ´»
0
@x 2 S
°2¿A°
1
A Nota»c~ao
´» (x 2 A° para algum ° 2 ¿) Def. 2.6´ (x62 A° para todo ° 2 ¿) N.Q. (Cap. 1)´ (° 2 ¿! x62 A°)
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O Conceito de Conjunto 43
A ¶ultima a¯rma»c~ao ¶e, pelo Teorema 1.7 do Cap¶³tulo 1, verdadeira para todo x 2 U ,pois ° 2 ¿ ¶e uma contradi»c~ao. Isto completa a demonstra»c~ao da parte (a).
(b) Demonstraremos que x 2 T°2¿A° , para todo x em U . Observe que
x 2 T
°2¿A° ´ (x 2 A° ; 8° 2 ¿) Def. 2.7
´ (° 2 ¿! x 2 A°)
A ¶ultima asser»c~ao ¶e, como explicamos na demonstra»c~ao da parte (a), uma a¯r-ma»c~ao verdadeira para todo x 2 U . A demonstra»c~ao est¶a terminada.
Muitos teoremas, a respeito de opera»c~oes de um n¶umero ¯nito de conjuntos, podemser generalizados a teoremas a respeito de opera»c~oes de uma fam¶³lia arbitr¶aria de con-juntos. Por exemplo, o seguinte teorema generaliza o Teorema de De Morgan. Compareeste teorema com o Teorema 2.6.
Teorema 2.8 (Teorema de De Morgan Generalizado) Seja fA° j ° 2 ¡g umafam¶³lia arbitr¶aria de conjuntos. Ent~ao
(a)³
S
°2¡A°
´0
=T
°2¡A0
°.
(b)³
T
°2¡A°
´
0
=S
°2¡A0
° .
Demonstra»c~ao. Demonstraremos apenas a parte (a), e deixaremos a parte (b) ao estu-dante.
x 2Ã
S
°2¡
A°
!
0
´»Ã
x 2 S
°2¡
A°
!
Def. de 0
´» (9° 2 ¡)(x 2 A°) Def. 2.6´ (8° 2 ¡)(x62 A°) N.Q. (Cap. 1)´ (8° 2 ¡)(x 2 A0°) Def. de 0
´ x 2 T°2¡A0
° Def. 2.7
Portanto, pela De¯ni»c~ao 2.1,³
S
°2¡A°
´0
=T
°2¡A0
° .
O seguinte teorema ¶e uma generaliza»c~ao do Teorema 2.4(e).
Teorema 2.9 (Leis Distributivas Generalizadas) Seja A um conjunto e seja F =fB° j ° 2 ¡g uma fam¶³lia arbitr¶aria de conjuntos. Ent~ao
(a) A \³
S
°2¡B°
´
=S
°2¡(A \B°):(b) A [
³
T
°2¡B°
´
=T
°2¡(A [B°):
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44 O Conceito de Conjunto
Demonstra»c~ao. Um elemento x est¶a no conjunto A\³
S
°2¡B°
´
se e somente se x 2 Ae x 2 S°2¡B° , o que, de acordo com a De¯ni»c~ao 2.6, ¶e equivalente a
x 2 A e x 2 B° para algum ° 2 ¡
Esta ¶ultima asser»c~ao pode ser expressa, pela De¯ni»c~ao 2.4, como
x 2 A \B° para algum ° 2 ¡
o que, pela De¯ni»c~ao 2.6, ¶e precisamente x 2 S°2¡(A\B°). Assim, pela De¯ni»c~ao 2.1,A \
³
S
°2¡B°
´
=S
°2¡(A \B°).A demonstra»c~ao da parte (b) ¶e um exerc¶³cio.
2.6.1 Exerc¶³cios
1. Sejam ¡ = f1; 2; 3; 4g, e A1 = fa; b; c; dg, A2 = fb; c; dg, A3 = fa; b; cg, A4 =fa; bg. Encontre o seguinte.(a)
S4
i=1Ai.(b)
T4
i=1Ai.2. Para dois n¶umeros reais quaisquer a e b, por intervalo fechado [a; b] entendemos oconjunto fx 2 R j a · x · bg. Se a > b, [a; b] = ¿. Encontre os seguintes conjuntos.(a)
T
n2N[0; 1=n](b)
S
n2N[0; 1=n]
(c)T99
n=1[0; 1=n]
3. Demonstre o Teorema 2.8(b):³
T
°2¡A°
´
0
=S
°2¡A0
°.
4. Demonstre o Teorema 2.9(b): A [³
T
°2¡B°
´
=T
°2¡(A [B°).5. Expanda(a) (A1 [A2) \ (B1 [B2 [B3) em uma uni~ao de interse»c~oes, e(b) (A1 \ A2) [ (B1 \ B2 \ B3) em uma interse»c~ao de uni~oes. [Sugest~ao: Use o
Teorema 2.9 v¶arias vezes.]6. Expanda(a) (
Sm
i=1Ai) \ (Sn
j=1Bj) em uma uni~ao de interse»c~oes, e(b) (
Tmi=1Ai) [ (
Tnj=1Bj) em uma interse»c~ao de uni~oes. [Veja Problema 5.]
7. Sejam fA° j ° 2 ¡g e fB± j ± 2 ¢g duas fam¶³lias de conjuntos. Expanda(a) (
S
°2¡A°) \ (S
±2¢B±) em uma uni~ao de interse»c~oes, e(b) (
T
°2¡A°) [ (T
±2¢B±) em uma interse»c~ao de uni~oes. [Veja Problemas 5 e 6.]
2.7 O paradoxo de Russel
Neste momento muitos de n¶os achamos que entendemos o signi¯cado de conjunto|pelomenos intuitivamente. A maioria de n¶os, fazendo um curso de teoria dos conjuntos pela
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O Conceito de Conjunto 45
primeira vez, n~ao perceberia o que h¶a de errado em considerar \o conjunto de todos osconjuntos" ou o assim chamado \conjunto universal" no sentido absoluto. Na verdade,por um per¶³odo de tempo (pelo menos de 1895, quando Georg Cantor pioneiramentecriou uma teoria dos conjuntos, at¶e 1902, quando o Paradoxo de Russel apareceu),a existencia de um tal conjunto universal era considerada como certa. Foi o famoso¯l¶osofo ingles Bertrand Russel (1872{1970)5 que chocou a comunidade matem¶atica em1902, declarando que a admiss~ao de um conjunto de todos os conjuntos levaria a umacontradi»c~ao. Este ¶e o famoso Paradoxo de Russel. Apresentaremos este paradoxo naforma de dois lemas aparentemente contradit¶orios, dos quais um teorema ¶e conseqÄuencia.
Lema 2.1 Suponhamos que existe um conjunto U de todos os conjuntos. Seja R =fS 2 U jS62 Sg.6 Ent~ao R62 R.
Demonstra»c~ao. Suponhamos, ao contr¶ario, que R 2 R. Ent~ao, pela especi¯ca»c~aodo conjunto R, devemos ter R 62 R, o que contradiz a hip¶otese de que R 2 R. Acontradi»c~ao prova que R62 R.
Lema 2.2 Suponhamos que existe um conjunto U de todos os conjuntos. Seja R oconjunto fS 2 U jS62 Sg. Ent~ao R 2 R.
Demonstra»c~ao. Suponha o contr¶ario, que R62 R. Ent~ao, como R 2 U , temos R 2 Rpela de¯ni»c~ao de R. Isto ¶e uma contradi»c~ao. Assim, R 2 R.
Teorema 2.10 N~ao existe um conjunto de todos os conjuntos.
Demonstra»c~ao. Em vista dos Lemas 2.1 e 2.2, o conjunto de todos os conjuntos n~aopode existir. Pois, se existisse, levaria µa contradi»c~ao \R62 R e R 2 R".
Paul R. Halmos coloca-o do seguinte modo: \Nada cont¶em tudo."7
5Bertrand Russel nasceu em 18 de maio de 1872, em Trelleck, Wales, Inglaterra. Antes que comple-tasse quatro anos, seus pais faleceram. Foi sempre um garoto quieto e t¶³mido, at¶e ingressar no TrinityCollege, na Universidade de Cambridge, em 1890. Ap¶os tres anos de Matem¶atica, concluiu que o quelhe estava sendo ensinado estava cheio de erros. Vendeu seus livros de matem¶atica e mudou-se paraa ¯loso¯a. No seu Principia Mathematica (1910{1913), um trabalho monumental em tres volumes,em co-autoria com Alfred North Whitehead (1861{1947), tentou remodelar a teoria dos conjuntos, demodo a evitar paradoxos. Em 1918 escreveu \Quero posicionar-me µa borda do mundo e perscrutar aescurid~ao al¶em, e ver um pouco mais do que outros viram. : : : Quero trazer de volta ao mundo doshomens um pouquinho de sabedoria". Ele seguramente o fez, mais do que \um pouquinho". No mesmoano, foi preso por um coment¶ario desfavor¶avel sobre o ex¶ercito americano. Em 1950 recebeu a Ordemdo M¶erito do rei da Inglaterra e o Premio Nobel de Literatura. Em seus ¶ultimos anos, liderou v¶ariasmanifesta»c~oes contra os armamentos nucleares.
6Conforme a regra da especi¯ca»c~ao, R ¶e um conjunto freqÄuentemente chamado \o conjunto deRussel".
7Paul R. Halmos, Naive Set Theory (Teoria Ingenua dos Conjuntos), D. Van Nostrand Company,Inc., New York, 1960, p.6.
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46 O Conceito de Conjunto
2.8 Um coment¶ario hist¶orico
A teoria moderna dos conjuntos ¶e geralmente considerada ter sido criada em 1859 pelomatem¶atico famoso Georg Cantor8 (1845{1918), que notou a necessidade de uma talteoria quando estudava s¶eries trigonom¶etricas. Cantor escreveu: \Por um `conjunto'entenderemos qualquer cole»c~ao dentro de um todo de objetos distintos de¯nidos, denossa intui»c~ao ou pensamento". Esta de¯ni»c~ao n~ao proibe ningu¶em de considerar o\conjunto" de todos os conjuntos, como o fez Bertrand Russel. A di¯culdade real nade¯ni»c~ao de Cantor de um conjunto ¶e a palavra \cole»c~ao". O que ¶e uma cole»c~ao? ¶Eclaro que podemos procur¶a-la em um dicion¶ario e encontrar algo como estas de¯ni»c~oes:
\cole»c~ao: um grupo de objetos coletados."
\grupo: um agregado ou cole»c~ao."
\agregado: uma cole»c~ao."
Estas di¯cilmente nos ajudar~ao. Quando um matem¶atico d¶a uma de¯ni»c~ao, n~ao¶e para que seja um mero sinonimo, tal como o s~ao \cole»c~ao" e \conjunto", ou umade¯ni»c~ao circular como encontrar¶³amos em um dicion¶ario. Aparentemente, Cantor n~aoestava consciente de que o termo \conjunto" era realmente inde¯n¶³vel.
Para evitar qualquer di¯culdade, tal como o Paradoxo de Russel na teoria dosconjuntos, devemos aceitar os termos \conjunto" e \elemento" como termos inde¯nidos,ou primitivos, e guiar estes conceitos primitivos por um n¶umero de axiomas, incluindo oAxioma da Especi¯ca»c~ao e o Axioma do Conjunto das Partes, que foram apresentadosna se»c~ao 2.2. Outros axiomas, tais como \A = B" se e somente se A e B cont¶em osmesmos elementos" (Axioma da Extens~ao), \¿ ¶e um conjunto" (Axioma do ConjuntoVazio), \Se A e B s~ao conjuntos, ent~ao tamb¶em o ¶e fA;Bg" (Axioma do Emparelha-mento), e \Se F ¶e um conjunto de conjuntos ent~ao F ¶e um conjunto" (Axioma dasUni~oes) s~ao freqÄuentemente dados em tratamentos axiom¶aticos da teoria dos conjuntos.
O Paradoxo de Russel n~ao foi o ¶unico a aparecer na teoria dos conjuntos. Logodepois do seu aparecimento, muitos paradoxos foram constru¶³dos por v¶arios matem¶aticose l¶ogicos. Como uma conseqÄuencia de todos esses paradoxos, muitos matem¶aticos el¶ogicos contribu¶³ram a v¶arias formula»c~oes da \teoria axiom¶atica dos conjuntos", cadauma projetada de modo a evitar esses paradoxos e, ao mesmo tempo, a preservar ocorpo principal da teoria dos conjuntos de Cantor. Entretanto, at¶e o momento da escritadestas notas9, ningu¶em apareceu com um sistema axiom¶atico completamente satisfat¶oriopara a teoria dos conjuntos.
Apesar das di¯culdades supracitadas, a teoria dos conjuntos de Cantor j¶a penetrouem todos os ramos da matem¶atica moderna, e provou ser de importancia particularnos fundamentos da an¶alise moderna e da topologia. Na verdade, mesmo os mais
8Georg Cantor nasceu em S~ao Petersburgo, R¶ussia, em 1845, mudou-se para a Alemanha em 1856,estudou matem¶atica na Universidade de Berlim (1863{1869), e ensinou na Universidade de Halle (1969{1905). Um dos interesses de Cantor eram as s¶eries trigonom¶etricas, que o levaram a investigar osfundamentos da an¶alise. Como resultado, ele criou o trabalho revolucion¶ario sobre a teoria dos conjuntose uma aritm¶etica dos n¶umeros trans¯nitos.
91974
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O Conceito de Conjunto 47
simples e bem constru¶³dos sistemas axiom¶aticos da teoria dos conjuntos s~ao inteiramenteadequados para a constru»c~ao de virtualmente toda a matem¶atica cl¶assica (e.g., a teoriados n¶umeros reais e complexos, ¶algebra, topologia, etc.).
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Conjuntos NuméricosOs conjuntos numéricos compõe uma parte fundamental da Matemática, notadamente nocontexto de aplicação a outros campos de estudo. Atualmente tais conjuntos englobam osnúmeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, denotados respectivamente porN, Z, Q, R e C. Os três primeiros podem ser apresentados de maneira direta e simples,como na seqüência:
N = {0, 1, 2, 3, · · · }Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · } = {0,±1,±2,±3. · · · }
Q =
½p
q: p e q ∈ Z, q 6= 0
¾Note que os dois primeiros conjuntos são apresentados com forte apêlo ao bom sensoe a uma espécie de noção intuitiva de recursão, propriedade intrínseca ao conjunto dosnúmeros naturais, "escondida" às vezes sob o apelido de existência de sucessor. Quanto aoconjunto dos números racionais, a apresentação usa o conjunto dos inteiros (Z) e introduzuma simbologia que é a da fração, que por sua vez precisa de uma informação adicional:a equivalência. Duas frações são ditas equivalentes ou iguais de acordo com o seguinte:
m
n=
p
q⇐⇒ mq = np
neste caso dizemos que representam omesmo número racional. Também se torna necessário,no sentido de fazer com que os números racionais englobem os inteiros, que se faça a con-venção de que as frações de denominador 1 representem o número inteiro correspondenteao seu numerador.A construção do conjunto dos números reais é extremamente técnica e foge do escopo
de qualquer texto introdutório de Matemática. Apresentaremos R como sendo o conjuntodos números identificados com os pontos da reta numérica. Esta forma se deve ao fato deque os números racionais são identificados de forma simples com pontos da reta numérica,usando os conhecimentos de Geometria Plana, como ilustrado a seguir.
O conjunto dos números complexos, C será estudado mais adiante.
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1 Operações com números
As operações com números são as usuais, denominadas de Adição e Multiplicação, ficandosubentendidas as operações definidas a partir destas (subtração e divisão). São supostasconhecidas as regras ou algorítmos. São supostas conhecidas as operações com númerosinteiros, porisso apenas apresentamos as definições de adição e multiplicação de frações eenunciamos logo em seguida as propriedades básicas.
Definição 1 Dados os números racionais r = mne s = p
qdefinimos
r + s =mq + np
nq
er × s =
mp
nq
Observação 1 Para os números reais a, b e c são válidas as propriedades a seguir:
(i) a+ (b+ c) = (a+ b) + c (Associatividade da Adição)
(ii) a+ b = b+ a (Comutatividade da Adição)
(iii) a+ 0 = a (Existência de Elemento Neutro da Adição)
(iv) ∃ − a ∈ R satisfazendo à relação a+ (−a) = 0 (Existência de Opostos)
(v) a · (b · c) = (a · b) · c (Associatividade da Multiplicação)
(vi) a · b = b · a (Comutatividade da Multiplicação)
(vii) a · 1 = a (Existência de Elemento Neutro da Multiplicação)
(viii) ∃a−1 ∈ R satisfazendo à relação a · (a−1) = 1 (Existência de Inversos)
(ix) a · (b+ c) = a · b+ a · c (Distributividade)
Estas propriedades têm por objetivo completar a apresentação do conjunto dos númerosreais e são úteis no estudo das expressões algébricas.
2 Potenciação e Radiciação
A potenciação é uma operação que pode ser considerada como notação simplificada decertas operações. No caso de expoentes inteiros positivos isto é feito de maneira recursiva.Uma operação (ou um raciocínio) está na forma recursiva, quando é definida inicialmentepara um número inteiro e, a partir daí se define usando o conceito de sucessor, como noexemplo que segue.
2
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Definição 2 Seja a um número real não nulo e n um inteiro não negativo (ou natural).Neste caso define-se an da seguinte forma:
a0 = 1
an+1 = an · a.
Exemplo 1 31 = 30 · 3 = 3
Exemplo 2 35 = 34 · 3 = (33 · 3) · 3 = [(32 · 3) · 3] · 3 = {[(31 · 3) · 3] · 3} · 3.
Na definição apresentada, o número a é denominado base e n é o expoente, enquantoo resultado é denominado potência. Observe também que, no caso de expoente positivo,a potência corresponde ao produto cujos fatores são iguais à base e o número dêles é oexpoente. A exigência de que a base seja não nula tem uma razão especial que será estu-dada nos exercícios. Para manter coerência com as propriedades conhecidas das potências,define-se potência com expoentes inteiros negativos da seguinte maneira.
Definição 3 Seja a um número real não nulo e n um inteiro positivo (ou natural). Nestecaso define-se
a−n =1
an
Exemplo 3 7−1 = 17
Exemplo 4 2−3 = 123= 1
8
Exemplo 5¡12
¢−5= 32 (verifique).
A definição de radiciação, apesar de simples, é indireta, mas é necessária quando sepretende definir expoente racional.
Definição 4 Sejam a e b números reais não nulos, de mesmo sinal e n um inteiro positivo.Se bn = a, então define-se
n√a = b.
A partir da radiciação se define expoente fracionário.
Exemplo 6 5√−32 = −2; 4
√81 = 3
Definição 5 Se a é um número real não negativo e r = mn, então define-se
ar = n√am
3
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Observação 2 não há coerência na definição dada, se admitirmos a negativo, por exem-plo, se a = −1 e n = 3, sabendo que
2
6=1
3,
teríamos:a13 = (−1)
13 = 3√−1 = −1
e também
a13 = a
26 = (−1)
26 =
6
q(−1)2 = 6
√1 = 1
que é uma contradição inadmissível.
Observação 3 Para os números reais não negativos a, e b e para os números racionaisr e s, são válidas as propriedades a seguir:
(i) ar · as = ar+s
(ii) ar
as= ar−s
(iii) (ar)s = ars
(iv) (a · b)r = ar · br(v)
¡ab
¢r= ar
br
Observação 4 Para expoentes inteiros positivos as propriedades (i), (iii) e (iv) são vál-idas, mesmo que as bases envolvidas sejam negativas ou nulas.
Exemplos 1 Confira os exemplos a seguir
(a) 22 · 26 = 22+6 = 28.
(b) 52
55= 52−5 = 53
(c)³334
´ 23= 3
34×23 = 3
12 =√3
(d) (2 · 3)4 = 24 × 34 = 1296
(e)¡23
¢4= 24
34= 16
81
Exercícios 1 Calcule:
(a) 25
(b) (−2)5
(c) −25
(d) (−2)6
(e) 118
(f) 04
(g)¡−12
¢6(h) (0, 01)3
Exercícios 2 Simplifique as expressões:
(a) 25
432× 34 × 128 23
(b) 25 · 2−3
(c) 5√1 + 6√0 + 4√81
(d) 4√81 + 3
√−125− 3
√64
(e) 212 · 2 13 · 2 16
(f) 253 ·2
72
216
(g) (32)56
Expressões AlgébricasExistem basicamente dois tipos de problemas em que o uso de expressões algébricas simpli-fica sua resolução: aqueles em que se procura um ou mais valores numéricos satisfazendo
4
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certas relações estabelecidas (equações ou inequações) e aqueles em que se busca descrevero comportamento de parâmetros interdependentes. Nos dois casos, os valores numéricosou os parâmetros são representados por letras do alfabeto sendo estas, no primeiro caso,denominadas incógnitas e, no segundo caso, variáveis. O uso de expoentes simplificaa escrita das expressões algébricas. Dentre as expressões algébricas serão estudadas asexpressões polinomiais com "poucas" variáveis.
3 Polinômios
Os polinômios são expressões algébricas obtidas com o uso da adição, subtração e multi-plicação (incluindo potenciação com expoentes inteiros). São exemplos de polinômios:
3xyz3 − 7x2 + 1, s4 + 13t− 1, 55, ax2 − bx+ c, 12xyz2
Observação 5 Quando não há de fato adição ou subtração, o polinômio tem o nome demonômio. Os monômios formam os têrmos dos polinômios. O fator numérico do têrmoou do monômio é denominado coeficiente e a soma dos expoentes das variáveis é o graudo monômio ou do têrmo. O grau do polinômio é o maior dentre os graus de seus têrmos.Para simplificar a classificação dos polinômios, convenciona-se considerar as primeiras
letras do alfabeto como sendo constantes, reservando as letras finais para desempenharemo papel de variáveis. Assim, por exemplo, para se referir a qualquer polinômio de grautrês na variável x, se diz "polinômio da forma ax3 + bx2 + cx + d". As operações compolinômios são definidas partindo das operações com números e, exceto a existência deinversos, as demais propriedades continuam válidas para os polinômios.Também se consideram números como parte da coleção dos polinômios. O número
zero, 0, é também denominado polinômio nulo enquanto que os demais números são ospolinômios inversíveis ou de grau zero.Outra observação: na multiplicação de polinômios, o grau do produto é a soma dos
graus dos fatores correspondentes.como no exemplo¡2x4 − 3x2 + 5
¢ ¡3x2 − 5x+ 1
¢= 6x6 − 10x5 − 7x4 + 15x3 + 12x2 − 25x+ 5
Observe que os graus dos fatores são 4 e 2, respectivamente e o do produto é 6 que é asoma 4 + 2.
As propriedades das operações com polinômios têm analogia com as correspondentesdos inteiros, inclusive quanto ao Algorítmo da Divisão e à fatoração. Desse modo, umaparte dos polinômios admite fatoração. Por fatoração, entende-se um produto em quecada fator é um polinômio de grau positivo.
3.1 Produtos Notáveis
Alguns problemas envolvendo polinômios têm sua resolução simplificada com o uso deprodutos notáveis. A seguir apresentamos alguns deles. Uma igualdade de expressõesalgébricas expressa uma condição ou exigência a respeito das variáveis envolvidas e tem
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o nome de equação. Nem toda substituição de valores de variáveis por números emuma equação a torna verdadeira. No extremo oposto dessa observação, isto é, quandoqualquer substituição torna verdadeira a equação, então esta é denominada identidade.Uma identidade também significa que um membro da igualdade pode ser obtido a partirdo outro mediante sucessivas aplicações das propriedades das operações das expressõesalgébricas. As equações serão estudadas num tópico à parte. Quanto às identidades,estudamos a seguir algumas que, pela sua importância na fatoração de polinômios têm onome de produtos notáveis.
Observação 6 As seguintes propriedades são válidas para as expressões algébricas en-volvidas:
(a) (x+ a) (x− a) = x2 − a2.
(b) (x± a)2 = x2 ± 2ax+ a2
(c) (x± a) (x2 ∓ ax+ a2) = x3 ± a3
(d) (x± a)3 = x3 ± 3ax2 + 3a2x± a3
Nos produtos notáveis, x e a podem ser substituídos por expressões algébricas e fun-cionam como método direto de obtenção de certos produtos. Esse tipo de problema tem,na maioria das vezes, apenas um papel de estabelecer familiaridade com o assunto, nointuito de facilitar a compreensão simples de métodos de fatoração de polinômios.
Exemplos 2 Nos exemplos a seguir se utilizam os produtos notáveis para obtenção diretados resultados.
(a) (3xy2 + 2xy) · (3xy2 − 2xy) = (3xy2)2 − (2xy)2 = 9x2y4 − 4x2y2
(b) (2x2y + 3xy)2 = (2x2y)2 + 2 · (2x2y) (3xy) + (3xy)2 = 4x4y2 + 12x3y2 + 9x2y2
(c) (2x+ y)£(2x)2 − (2x) y + y2
¤= (2x)3 + y3 = 8x3 + y3
(d) (5x+ 3y)3 = (5x)3 + 3 (3y) (5x)2 + 3 (3y)2 (5x) + (3y)3
Exercícios 3 Desenvolva as expressões com o uso de produtos notáveis.
(a) (4x+ 7y) (4x− 7y)
(b) (2xy2 + 5)2
(c) (3x2y − 5x)2
(d) (3x2y − 5x) (9x4y2 + 15x3y + 25x2)
(e) (3x2y + 5x) (9x4y2 − 15x3y + 25x2)
(f) (2x+ 3y)3
(g) (x2 + 4) (x2 − 4)
3.2 Fatoração
Fatorar um número inteiro significa escrevê-lo como um produto de inteiros. Se cadafator puder, por sua vez, ser fatorado, o processo continua. Este procedimento não serepete indefinidamente: para no momento em que os fatores são primos, isto é, nãoadmitirem fatoração não trivial (uma fatoração é dita trivial se um dos fatores é uma
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unidade (1 ou −1) e o outro é o próprio número ou seu oposto). Com os polinômios hámuita semelhança com os problemas de fatoração. Em primeiro lugar, é imediato que oprocesso de fatoração de um polinômio não poderia ser feito indefinidamente se se quizerfatorar com polinômios de grau menor que o próprio, por conta da aditividade do grau namultiplicação de polinômios. Inicialmente se considera como fatoração um produto em quecada fator tem grau maior que zero. Consideram-se os números não nulos como unidades,o que significa que admitem inversos. Por outro lado, o conjunto dos coeficientes tambéminflui nas possibilidades de fatoração. Assim, enquanto que, no conjunto dos polinômioscom coeficientes reais o polinômio x2 − 2 se fatora como
x2 − 2 =³x+√2´³
x−√2´,
o mesmo não acontece no conjunto dos polinômios com coeficientes racionais. Trabal-haremos apenas com os polinômios a coeficientes inteiros e consideraremos apenas asfatorações cujos fatores sejam polinômios a coeficientes racionais.
3.2.1 Regras simples de fatoração
As regras a seguir são úteis como orientação para obter a fatoração de um polinômio. Aprimeira delas se baseia na propriedade distributiva enquanto as outras se baseiam nosprodutos notáveis.
1. Fator monômio comum. Se os coeficientes dos termos de um polinômio têm um fa-tor comum, digamos d, então o monômio de coeficiente d e cujas variáveis são asvariáveis do polinômio, com os menores expoentes é denominado fator monômiocomum e podemos iniciar a fatoração, como no exemplo
36x3y2z − 30x2y + 42x4y = 6x2y¡6xyz − 5 + 7x2
¢.
Note que o fator entre parêntesis não está na ordem padrão.
2. Diferença de quadrados. Se um polinômio se escreve como diferença de quadrados dedois monômios ou, numa situação mais complexa, como diferença de quadrados dedois outros polinômios, então o polinômio se escreve como o produto da soma peladiferença destes, como no exemplo
25x4y6 − 4x2 =¡5x2y3 + 2x
¢ ¡5x2y3 − 2x
¢.
Note que um monômio é um quadrado quando o seu coeficiente é um quadrado e,simultâneamente, os expoentes das variáveis são números pares.
3. Trinômio quadrado perfeito. Um trinômio da forma
M2 ± 2MN +N2,
onde M e N são monômios, então ele se escreve na forma
M2 ± 2MN +N2 = (M ±N)2 ,
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como no exemplo a seguir
25x2y6 + 20xy3 + 4 =¡5xy3 + 2
¢2.
Observe que o quadrado do monômio M = 5xy3 é 25x2y6, o quadrado do monômioN = 2 é 4 e o dobro do produto MN é 2MN = 2 × (5xy3) × 2 = 20xy3, o quemostra a igualdade.
4. Soma ou diferença de cubos. Neste caso, usa-se a Observação 6 item (c) da página 6para fatorar, como nos exemplos
125x3y9 − 8 =¡5xy3 − 2
¢ ¡25x2y6 + 10xy3 + 4
¢125x3y9 + 8 =
¡5xy3 + 2
¢ ¡25x2y6 − 10xy3 + 4
¢Exercícios 4 Fatore os polinômios
(a) 4x2 + 4xy + y2
(b) 4x2 − 4xy + y2
(c) 32x4y2 − 18x2
(d) 9x2 + 24x3y + 16x4y2
(e) 27x3 + 8x6y3
(f) 8x3y6 − 27y3
(g) x2 − 4y2
(h) 8x3+ y3+6xy2+12x2y
(i) 8x3 − y3 + 6xy2 − 12x2y
EquaçõesAs equações são igualdades entre expressões algébricas. Conseqüentemente uma equaçãoconsiste em uma afirmação ou ainda uma restrição a respeito das variáveis envolvidas.Assim, por exemplo, as expressões algébricas 3x+5 e 2x+3 não fazem restrição ao valorque se pode atribuir à variável x, uma vez que nada afirmam a respeito. Se se atribuio valor 1 à variável x, a primeira expressão corresponde ao número 8, enquanto que asegunda corresponde ao número 5 e tudo está resolvido. No entanto, quando se escreve
3x+ 5 = 2x+ 3
e se atribui o mesmo valor a x, a igualdade correspondente a essa substituição seria
8 = 5
que não faz parte das sentenças escolhidas como verdadeiras, ou seja, o valor 1 atribuidoa x não faz com que a igualdade seja verdadeira.A menos que seja explicitado, denominam-se incógnitas as variáveis que compõem a
equação. Uma solução de uma equação consiste numa família de valores atribuídos àsincógnitas que tornam a igualdade verdadeira.
Exemplo 7 A equação3x2y − 5y2z + 57 =
√2x4 + 7
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é uma equação nas incógnitas x, y e z. Também se diz que é uma equação em x, y ez. Neste caso, uma solução consiste num terno de valores (x, y, z) que tornam a equaçãouma igualdade de fato. Desse modo, o terno (1, 2, 3) é solução conforme os cálculos
3× 12 × 2− 5× 22 × 3 + 57 = 6− 60 + 57= 3√
2× 12 + 7 =√2 + 7 =
√9 = 3.
Observe que o terno (2, 1, 3) não é solução, o que ilustra a importância da ordem dosvalores.
Há dois tipos de problemas envolvendo equações: 1) verificar se determinados valorespara as variáveis formam uma solução e 2) encontrar soluções da equação. Inicialmenteestudaremos o primeiro tipo de problema
4 Equações Polinomiais
Uma equação é polinomial se as expressões envolvidas são polinômios. Neste caso, apósa simplificação (estudada adiante), o maior grau dos polinômios envolvidos é o grau daequação. Também serão estudadas as equações a uma ou duas variáveis.
Exercícios 5 Em cada problema a seguir são dados valores às variáveis e pede-se queverifique se os valores dados são soluções das respectivas equações.
(a) 4x2 + 4xy + y2 = 25; (x, y) = (2, 1)
(b) 4x2 − 4xy + y2 = 16; (x, y) = (1, 6).
(c) 32x4y2 − 18x2 = 12, (x, y) = (1, 0)
(d) 32x4y2 − 18x2 = 18; (x, y) = (1, 0)
(e) 27x3 + 8x6 = 2; x = 1
(f) 27x3 + 8x6 = 35; x = 1
(g) x2 − 4y2 = 12; (x, y) = (4, 1)
(h) x2 − 4y2 = 12; (x, y) = (1, 4)
(i) 4x2 − 4xy + y2 = 16; (x, y) = (6, 1).
FunçõesAs funções são relações estabelecidas entre duas ou mais variáveis, de modo que o valorde uma delas fica determinado a partir dos valores atribuídos às demais.e se diz simplifi-cadamente que aquela ”é função” das últimas. Outra forma de ver as funções consiste eminterpretá-las como regras de associação entre as variáveis, inspirando a notação padrãox 7→ y para indicar que a cada valor atribuído à variável x se associa um valor determi-nado à variável y. Estudaremos as funções tentando visualizá-las das duas maneiras, emambos os casos olhando-as dentro do produto cartesiano.
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5 Produto Cartesiano
O termo ”Cartesiano” vem de Cartesius, nome em Latim do filósofo e matemático francêsRené Descartes é uma construção formal de conjuntos a partir de outros conjuntos, ex-pressa da forma que segue. Considere os conjuntos A e B. O produto cartesiano de Apor B é denotado e definido assim
A×B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}
significando que o produto cartesiano consiste de todos os símbolos construídos por paresde valores atribuídos às variáveis x e y de modo que cada valor atribuído a x faça partedo conjunto A e cada valor atribuído a y faça parte do conjunto B. Deve-se observar quenesse tipo de simbologia não são dadas interpretações aos símbolos .
Exemplo 8 Suponha que o conjunto A seja constituído pelos números 1, 3, 5, 7 e 8, eque o conjunto B seja constituído pelos números 0, 1 e 8. Neste caso, estes conjuntospodem também ser escritos da maneira seguinte
A = {1, 3, 5, 7, 8}B = {0, 1, 8}
e o produto cartesiano A×B é constituído pelos símbolos (1, 0), (1, 1), (1, 8), (3, 0), (3, 1),(3, 8), (5, 0), (5, 1), (5, 8), (7, 0), (7, 1), (7, 8), (8, 0), (8, 1) e (8, 8) ou ainda
A×B = {(1, 0) , (1, 1) , (1, 8) , (3, 0) , (3, 1) , (3, 8) , (5, 0) , (5, 1) , (5, 8) , (7, 0) , (7, 1) ,(7, 8) , (8, 0) , (8, 1) , (8, 8)}
O único produto cartesiano que estudaremos será o produto R×R, também denotadopor R2 que é descrito formalmente por
R2 = {(x, y) : x e y ∈ R}
Observe que não se fêz uma lista completa dos elementos que constituem tal conjuntodada a impossibilidade disto ser feito. Este produto é interpretado como sendo um plano,denominado plano cartesiano, mediante a correspondência descrita assim:
(i) traçam-se, no plano, duas retas que representam os números reais, de modo que
• as origens (ou seja, os pontos que representam o número 0 em cada reta) coinci-dem;
• um deles tem a direção considerada horizontal, com o sentido positivo apontandopara a direita (denominado eixo x) e o outro é perpendicular a este (direçãoportanto considerada vertical), com o sentido positivo apontado para cima(denominado eixo y).
(ii) a cada par (x, y) que constitue o produto cartesiano R2 associa-se o ponto do planoque é a interceção das retas rx e ry sendo
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• rx a reta vertical que passa pelo ponto que corresponde ao valor da variável x doeixo x.
• ry a reta horizontal que passa pelo ponto que corresponde ao valor da variável ydo eixo y.
A partir dos conhecimentos de Geometria Euclidiana Plana, pode-se concluir que acorrespondência assim construída é bijetora, o que faz do plano uma representação perfeitado produto cartesiano R2.
6 Funções
Uma função do conjunto A no conjunto B é um subconjunto f do produto cartesianoA×B, que satisfaz às condições:
i. f tem pelo menos um ponto (x0, y0);
ii. dado o ponto (x0, y0) ∈ f , nenhum outro ponto de primeira coordenada x0 pertence af .
O conjunto dos valores de x ∈ A que comparecem como primeira coordenadas depontos de f é denominado domínio de f , denotado por D (f) ou Df . Se (x0, y0) ∈ f ,então se diz que y0 é o valor de f no ponto x0 e se escreve y0 = f (x0). O conjunto detodos os valores de f é a imagem de f , denotado por Im (f). Nesse caso, a função f édescrita assim
f : Df −→B
x 7−→f (x)
Nosso objetivo é o de estudar as funções de R em R, denominadas funções reais de umavariável real. Essas funções serão apresentadas como equações nas variáveis x e y, quevinculam seus valores. Esse vínculo pode ser apresentado de forma explícita, ou seja, naforma y = f (x), ou na forma implícita, como na equação x2 + y2 = 25.
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6.1 Funções especiais
Neste ponto estudaremos alguns tipos especiais de funções e os métodos de fazer um esboçode seus gráficos. São as funções lineares, as funções quadráticas, as funções logarítmicase a função exponencial.
6.1.1 Funções lineares
As funções lineares são as funções da forma
y = ax+ b
onde a e b são números reais fixos. Uma tal função consiste de pontos de uma linha reta,daí o nome função linear, como ilustra a figura.
Se a = 0. então a função é denominada função constante, uma vez que para cadax ∈ R está associado sempre o mesmo valor, b, pela função. Seu gráfico é uma retahorizontal (ou seja, paralela ao eixo x) como ilustra a figura.
Sabendo que o gráfico de uma função linear é uma linha reta, o esboço é uma tarefasimples pois sua determinação é feita com a obtenção de dois de seus pontos, obtidos coma substituição de dois valores quaisquer para a variável x, na equação que a define, comono exemplo.
Exemplo 9 Para obter o gráfico da função y = 2x − 1, atribuindo os valores 0 e 2 àvariável x, obtemos os pontos (0 , − 1) e (2 , 3) e obtemos o seguinte esboço.
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Exemplo 10 Um caso particular das funções lineares é a função identidade, definida pory = x e seu gráfico é a diagonal do primeiro e terceiro quadrantes do plano R2.
6.1.2 Funções quadráticas
As funções quadráticas são aquelas em que a uma das variáveis é expressa como umpolinômio de grau dois na outra. Assim, temos efetivamente dois tipos possíveis: y =ax2 + bx+ c, ou então y =
√ax+ b+ c, onde a 6= 0. Como padrão a literatura considera
como função quadrática apenas o primeiro tipo mas, de fato, o segundo também é, uma vezque, dentro do domínio, podemos expressar x em função de y, assim: x = 1
ay2− 2c
ay+ c2−b
a
que garante, por analogia entre as expressões, que os gráficos são semelhantes. Um esboçodo gráfico de uma função quadrática por analogia com o do gráfico da função y = x2, quepor sua vez pode ser obtido mediante as seguintes observações:
• O valor da expressão x2 é sempre positivo ou nulo, caso se atribua o valor zero à variávelx.
• O gráfico é simétrico em relação ao eixo x, uma vez que o valor de x2 não se altera pelatroca de sinal do valor atribuído a x.
• O valor da expressão x2 aumenta mais rapidamente que o valor absoluto de x.
Com essas observações e usando alguns valores, pode-se concluir que os gráficos dasfunções y = x2 e y =
√x têm o seguinte esboço:
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Observação 7 A título de ilustração, a parábola é uma figura plana definida a partir deuma reta denominada diretriz e de um ponto denominado foco. Nesse caso, a parábolaconsiste dos pontos do plano cuja distância ao foco é sempre igual à distância à diretriz,como ilustrado a seguir. Munido dos conceitos de Geometria Analítica e dessa definição,mostra-se que uma parábola de diretriz horizontal ou vertical é descrita por equações dotipo y = ax2+ bx+ c e x = ay2+ by+ c respectivamente. Um espelho de forma parabólicareflete todos os raios paralelos a seu eixo de simetria na direção do foco. Essa obser-vação permite uma vasta gama de aplicação, inclusive na área de saúde: há um tipo deintervenção, denominada Litotripsia extra-corpórea por ondas de choque que utiliza essapropriedade para quebrar cálculos renais.
De volta às equaçõesNa primeira apresentação das equações descrevemos o conceito de solução (também de-nominada de raiz) de uma equação. Ficou nas entrelinhas que uma solução consiste devalor(es) atribuído(s) à(s) variável(eis) que torna a equação verdadeira. Dessa forma,considerando a condição (ou restrição) que é a equação, ela de fato define um conjuntodentro do universo em questão que é denominado conjunto solução. O número de incóg-nitas define o universo citado. A título de exemplo, a equação x2 − 9 = 0, por ter umaúnica incógnita, define um conjunto ”dentro” do conjunto dos números reais e diz-se queo universo é o conjunto dos números reais, enquanto que a equação x2 + y2 = 4, por terduas incógnitas, define um conjunto dentro do conjunto dos pares ordenados (x , y) deR2, ou do plano cartesiano tal como foi identificado. Quanto às equações, nosso interesseé, de agora em diante, descrever o conjunto solução ou conjunto das raízes de certos tiposde equações ou de sistemas de equações. O conjunto de todas as soluções de uma equaçãoé denominado conjunto solução da equação. Para isso, identificaremos de certa forma oconjunto solução com a equação. Assim, duas equações serão consideradas equivalentesse têm o mesmo conjunto solução. Resolver uma equação ou um sistema de equaçõessignifica obter uma equação ou sistema equivalente, de modo que os valores possíveis dasvariáveis são descritos de maneira evidente.
Exemplo 11 A equação x2 − 9 = 0, por mais simples que possa parecer, não apresentaos valores possíveis para a variável x, no entanto, se escrevemos x = 3 ou x = −3, osvalores possíveis para a variável x são descritos de forma evidente. Digamos que resolvera equação inicial consiste em mostrar que ela é equivalente à sentença ’x = 3 ou x = −3’.
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Exemplo 12 Também, por mais simples que possa parecer, não é evidente que, dentrodo conjunto dos números reais, a equação 27x3− 9x− 52 = 0, seja equivalente à equaçãox = 4
3, sendo que esta última realmente apresenta a única possibilidade de solução, de
forma bem mais evidente que a primeira!
A obtenção de equações equivalentes a uma dada equação é elementare se baseia entreoutros, nos seguintes princípios
• Se uma expressão é obtida de outra por uso das propriedades elementares das operações,então a substituição de uma por outra numa equação leva a outra equação equiva-lente. Por exemplo uma fatoração significa que a expressão fatorada conduz à outrapor meio do uso de tais propriedades. Assim, sabendo que x2 − 9 = (x+ 3) (x− 3)é uma fatoração, concluímos que a equação x2 − 9 = 0 é equivalente à equação(x+ 3) (x− 3) = 0. Ora, essa última equação exibe um produto de dois númerostendo resultado nulo, o que exige que pelo menos um dos fatores seja nulo ou:x+ 3 = 0 ou x− 3 = 0.
• A adição (ou subtração) de um mesmo valor a ambos os membros de uma equaçãoconduz a uma equação equivalente. Exemplos: a equação x + 3 = 0 é equivalenteà equação x = −3 (foi subtraído o número 3 (ou somado o número −3) a ambosos membros da equação), da mesma maneira que se conclue a equivalência entre asequações x− 3 = 0 e x = 3.
• Amultiplicação (ou divisão) de ambos os membros de uma equação por um número realnão nulo conduz a uma equação equivalente. O uso deste princípio exige cuidadoquando se efetua a divisão por expressões como no exemplo: a equação x2 = 2x nãoé equivalente à equação x = 2.
6.2 Equações do primeiro grau
As equações do primeiro grau são aquelas do tipo
ax+ b = 0, a 6= 0
e sua resolução é muito simples: a equação ax+ b = 0 é equivalente à equação
x = − b
a.
Essa verificação é simples e direta, mediante o uso dos princípios citados na seção anterior.
Exemplo 13 A equação x2 − 3x+ 5 = x2 − 5x+ 11 é equivalente à equação 2x− 6 = 0que é do primeiro grau e tem conjunto solução S = {3} (verifique!).
Exemplo 14 Outro tipo de problema que surge com freqüência na literatura consiste emapresentar um parâmetro na equação, de modo a ter uma raiz especificada, como a seguir.Sabendo que −3 é raiz da equação 6− 2 (x+ 1) = 7−m, determine o valor de m.
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6.3 Equações do segundo grau
As equações do segundo grau têm sido utilizadas pelo menos desde o período conhecidona história como babilônico (1700 a1800 AC). O fato é que um papiro desse período foiencontrado e a sua tradução mostrou uma técnica, bastante sofisticada para a época,de obtenção de dois números cuja soma e produto são conhecidos1. Essa formulaçãotem atualmente o nome de forma normal de uma equação de segundo grau. Como onosso objetivo é descrever o conjunto solução, não apresentaremos nenhuma fórmula paraobter raízes de uma equação do segundo grau. Só nos interessa a resolução que utiliza afatoração. Ainda assim, como medida para se ter segurança na obtenção da fatoração,será apresentada a fórmula do discriminante da equação.Uma equação do segundo grau é uma equação do tipo
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0,
sendo que consideraremos apenas os casos em que a, b e c são números inteiros. Odiscriminante é a função dos coeficientes (a, b e c), dada por
∆ = b2 − 4ac
sendo que a expressão ax2 + bx + c admite fatoração quando ∆ ≥ 0 e é irredutívelcaso contrário. Caso se considere a fatoração no universo dos polinômios a coeficientesracionais, exige-se ainda por cima que ∆ seja um quadrado de um número racional.
6.3.1 Fatoração de um trinômio geral do segundo grau
A fatoração de um trinômio do tipo ax2+ bx+ c = 0 é feita com base no produto notável(não apresentado anteriormente)
(Ax+B) (Cx+D) = ACx2 + (BC +AD)x+BD.
Quando a = 1 o trinômio é denominado mônico e vale a seguinte versão simplificada doTeorema de Gauss
Teorema 6 As raízes racionais de um polinômio mônico (coeficientes inteiros) são númerosinteiros.
Sendo mônico o polinômio, o produto notável apresentado pode ser considerado comA = C = 1:
(x+B) (x+D) = x2 + (B +D)x+BD
e o trabalho se reduz a procurar um par de números inteiros B e D cuja soma é b e cujoproduto é c.
1O método é descrito assim:
1. Tome a metade da soma;
2. tome o quadrado do resultado;
3. subtraia o produto;
4. tire a raiz quadrada do resultado;
5. adicione a metade da soma ao resultado eobtenha um dos números.
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Exemplo 15 A expressão x2 − 5x+ 6 se fatora assim:
x2 − 5x+ 6 = (x− 2) (x− 3)
Portanto a equaçãox2 − 5x+ 6 = 0
é equivalente à equação(x− 2) (x− 3) = 0
que, por sua vez, é equivalente a
(x− 2) = 0 ou (x− 3) = 0,
que é equivalente ax = 2 ou x = 3
sendo portanto o conjunto solução dado por
S = {2, 3} .
Exercícios 6 Fatore os trinômios a seguir.
(a) x2 + 2x− 15
(b) 6x2 + 9x− 15
(c) x2 − 6x+ 10
(d) x2 − 7x− 8
(e) x2 − 7x+ 8
(f) 6x2 + 5x− 6
(g) x2 + 4x+ 1
(h) 3x4 − 45x2 + 6x3
(i) 2x3 − 14x2 − 16x
(j) x2 − 5x− 14
(k) 4x4 − 120x2 + 4x3
(l) 30x3 + 25x2 − 30x
(m) 2x6 − 10x5 − 28x4
(n) 24x4 + 20x3 − 24x2
(o) x2 − 4x− 21
6.3.2 Resolvendo uma equação de segundo grau por fatoração
Dada a equação ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, se o trinômio ax2 + bx+ c, tiver uma fatoraçãoesta consistirá no produto de fatores de grau 1, por conta da propriedade da aditividadedos graus em um produto de polinômios, isto é, a fatoração é do tipo
ax2 + bx+ c = (Ax+B) (Cx+D)
o que torna a equação original equivalente à equação
(Ax+B) (Cx+D) = 0
e é evidente que esta última é equivalente à condição Ax+ B = 0 ou Cx+D = 0 que éuma condição que compõe duas equações de primeiro grau. Esse tipo de sentença (que usao termo ”ou”) descreve um conjunto denominado união, cujos elementos são precisamenteos que estão num dos dois ou em ambos. Se, por outro lado, o trinômio não se fatora,isso significa que a equação inicial não tem raiz. Mas a fatoração depende do universo doscoeficientes, se é o conjunto dos números reais (R), dos racionais (Q) ou dos complexos(C), estes estudados adiante. Estaremos estudando os polinômios a coeficientes racionaisembora citaremos entre os exemplos a seguir as outras possibilidades.
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Exemplo 16 Considere a equação x2 − 6x+ 4 = 0. O discriminante é ∆ = 20, que nãoé um quadrado perfeito, mas é não negativo. A conclusão é que o trinômio x2 − 6x + 4se fatora dentro da família dos polinômios a coeficientes reais, como ilustrado
x2 − 6x+ 4 =³x− 3−
√5´³
x− 3 +√5´
o que mostra que a equação tem duas raízes reais, nenhuma delas racional.
Exemplo 17 Considere a equação x2 − 8x+ 17 = 0. O discriminante é ∆ = −4, que éum negativo. A conclusão é que o trinômio x2 − 8x+ 17 não se fatora dentro da famíliados polinômios a coeficientes reais. No entanto, esse trinômio se fatora no universo dospolinômios a coeficientes complexos como ilustrado
x2 − 8x+ 17 = (x− 4− i) (x− 4 + i)
o que mostra que a equação tem duas raízes complexas, nenhuma delas real.
Exemplo 18 Considere a equação x2 − 13x + 42 = 0. O discriminante é ∆ = 1, queé um quadrado perfeito A conclusão é que o trinômio x2 − 6x + 4 se fatora dentro dafamília dos polinômios a coeficientes racionais, como ilustrado
x2 − 13x+ 42 = (x− 7) (x− 6)
o que mostra que a equação tem duas raízes racionais, descritas pelas equações x = 7 ex = 6.
Exercícios 7 Resolva, usando fatoração, as equações seguir.
(a) x2 + 2x− 15 = 0
(b) 6x2 + 9x− 15 = 0
(c) x2 − 6x+ 10 = 0
(d) x2 − 7x− 8 = 0
(e) x2 − 7x+ 8 = 0
(f) 6x2 + 5x− 6 = 0
(g) x2 + 4x+ 1 = 0
(h) 3x4 − 45x2 + 6x3 = 0
(i) 2x3 − 14x2 − 16x = 0
(j) x2 − 5x− 14 = 0
(k) 4x4 − 120x2 + 4x3 = 0
(l) 30x3 + 25x2 − 30x = 0
(m) 2x6 − 10x5 − 28x4 = 0
(n) 24x4 + 20x3 − 24x2 = 0
(o) x2 − 4x− 21 = 0
Sistema de equações linearesUm sistema de equações consiste na composição de uma ou mais equações. Se todasas equações são de grau 1, dizemos que o sistema é linear. Se uma equação representauma restrição aos valores possíveis das variáveis envolvidas, cada equação acrescentadarepresenta mais uma restrição. Por outro lado, cada incógnita (ou variável) da equaçãorepresenta um grau de liberdade a mais. Essa observação permite uma conclusão empíricaque corresponde, de certa forma, ao que de fato acontece:
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Observação 8 Num sistema linear se o número de equações independentes é m e se onúmero de incógnitas é n, sendo m ≤ n, então a diferença n−m é o número de variáveislivres.
Os esclarecimentos sobre os termos equações independentes e número de variáveislivres serão feitos de forma indireta nos exemplos que seguem, uma vez que isso exigeuma análise mais acurada de um sistema.
Exemplo 19 O sistema ½2x− y = 14x− 2y = 2
é constituído de duas equações que são equivalentes. Nesse caso qualquer das duas equaçõesé equivalente ao sistema e dizemos que o número de equações independentes é m = 1. Maso número de incógnitas é n = 2. Conclusão: o número de variáveis livres é 1. De fato, nocaso presente, podemos atribuir qualquer valor a uma das variáveis e temos possibilidadede encontrar uma solução para o sistema.
Exemplo 20 O sistema ½2x− y = 14x− 2y = 0
é constituído de duas equações que não são equivalentes. Nesse caso, o número de variáveislivres é nulo, ou melhor: não há variável livre. Acontece que um par de valores atribuídosàs variáveis, que satisfaça à primeira delas produz o valor 2 para a expressão 4x− 2y, oque nos faz concluir que o sistema é contraditório, não admitindo portanto solução.
Exemplo 21 O sistema ½2x− y = 34x+ y = 9
é constituído de duas equações que não são equivalentes. Nesse caso, o número de variáveislivres é nulo, ou melhor: não há variável livre. Diferentemente do exemplo anterior, estesistema admite uma única solução, dada por½
x = 2y = 1
No exemplo 19 temos um sistema que é classificado como indeterminado, significandoque é compatível, mas as incógnitas têm uma infinidade de possibilidades, ou seja, oconjunto solução é infinito. O gráfico de uma tal solução consiste do conjunto de pares(x, y) que satisfazem à equação que é equivalente ao sistema, no caso, 2x − y = 1 porexemplo, que já vimos tratar-se de uma reta. No exemplo 20 temos a situação oposta, emque o sistema é classificado como incompatível e o conjunto solução é o que se denominaconjunto vazio. Já no exemplo 21 temos a situação padrão esperada em que o sistemadefine de forma inequívoca a única solução possível e sua classificação é como sistemadeterminado. Graficamente cada equação representa uma reta e portanto a solução é oponto comum de interseção de ambas.
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7 Estudo de um sistema de duas equações lineares aduas incógnitas
O estudo a seguir é um método que de certa forma se aplica a sistemas mais gerais (comm equações e n incógnitas, sendo m e n números inteiros positivos quaisquer). Considereo sistema ½
ax+ by = ecx+ dy = f
a, b, c, d, e e f números reais. A matriz do sistema é
A =
∙a bc d
¸e a matriz ampliada é
A =
∙a b ec d f
¸Neste caso, as duas equações são equivalentes se, e somente se, seus coeficientes são
proporcionais, isto é,a
c=
b
d=
e
f
o que, por sua vez, é equivalente a uma linha da matriz A ser múltiplo escalar de outra,ou ainda, se existe um número real k, de modo a se ter
a = kc, b = kd e e = kf
Quando isto acontece com a matriz A e não com a matriz A, o sistema é incompatível,como acontece no exemplo 202. Quando não há proporcionalidade entre as linhas damatriz A, o mesmo acontece com a matriz A, e as duas equações são de fato necessáriaspara descrever o sistema. A conseqüência disto é que o sistema é determinado, sendo seuconjunto solução constituído por um único elemento, como no exemplo 21.
Exercícios 8 Estude cada sistema apresentando as matrizes envolvidas e, caso seja com-patível, descreva o conjunto solução.
(a)½
5x+ 7y = 22x− 3y = −5
(b)½10x− 6y = 415x− 9y = 3
(c)½10x− 6y = 415x− 9y = 6
(d)½
5x+ y = 2910x− 4y = 10
2Isto é equivalente a
det
∙a bc d
¸= det
∙a ec f
¸= det
∙b ed f
¸= 0
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(e)½
5x+ y = 2910x+ 2y = 58
(f)½
5x+ y = 2910x+ 2y = 57
(g)½12x− 6y = 1212x− 6y = 10
(h)½12x− 6y = 1212x+ 6y = 60
(i)½12x− 6y = 126x− 3y = 6
Operações simples com númeroscomplexosOs números complexos surgiram diante da impossibilidade de se resolver equações do tipox2+1 = 0 que não tem raiz real. Parte-se da definição de unidade imaginária, i, definidapela equação i2 = −1, o que, de imediato, resolve aquela definição prossegue, de modoa estabelecer as operações respeitando as propriedades das operações de números reais.Assim, um número complexo é definido como sendo uma expressão (simbólica) da formaz = a+ bi, onde a e b ∈ R, onde a é denominado parte real de z, ou em símbolos Re (z) =a e b é denominado parte imaginária de z, em símbolos Im (z) = b. Identificamos osnúmeros reais com aqueles números complexos cuja parte imaginária é nula denominandoimaginário puro aqueles cuja parte real é nula. As operações, considerando os númeroscomplexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i são definidas por
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i
z1 · z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1) i
Com essas definições pode-se observar que as propriedades listadas na observação1, página 2. Mostraremos a propriedade (viii). Para isso, se z = a + bi, definimosz = a − bi, denominado conjugado de z. Observe que zz = a2 + b2 que é um númeroreal positivo. O valor absoluto do número z é definido como sendo a raiz quadrada dessevalor: |z| =
√zz =
√a2 + b2. Finalmente, se z é não nulo, isto significa que a ou b é não
nulo. Neste caso, o inverso de z é o número complexo
z−1 =1
z=
z
|z| =a√
a2 + b2− b√
a2 + b2i
pois
z · z
|z| =zz
|z| =|z||z| = 1
Formalmente o conjunto dos números complexos é definido assim:
C = {z = a+ bi | a e b ∈ R}
Graficamente os números complexos z = a + bi são identificados aos pontos (a, b) doplano cartesiano R2, o eixo x denominado eixo real e o eixo y denominado eixo imagináriocomo na ilustração.
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. com
Observação 9 Um número complexo z = a + bi também pode ser identificado ao seg-mento orientado ligando a origem (0, 0) ao ponto (a, b) do plano. Desse modo um númerocomplexo pode ser descrito pela identificação do comprimento desse segmento (ρ = |z|)e do ângulo que êle faz com o eixo real, digamos θ, como na ilustração. Assim, z =ρ (cos θ + i sen θ) que é denominada forma polar do número complexo z.
Essa representação é útil, pois se pode mostrar que uma potência real de um númerocomplexo pode ter uma fórmula simplificada3:
zn = ρn (cos (nθ) + i sen (nθ))
e, correspondentemente, para se obter uma raiz n-ésima, a fórmula seria
n√z = n√ρ
µcos
µθ
n
¶+ i sen
µθ
n
¶¶.
Exponenciais e logarítmosDescreveremos as exponenciais e os logarítmos como funções. As exponenciais podem serconsideradas como sendo expressões que contêm variáveis em expoentes. Pelas definiçõesvistas (cf. definições 2, p. 3 e 5, p. 3), os valores das variáveis ficariam restritos aosnúmeros racionais. A maneira de estender os valores possíveis aos números reais uti-liza séries de potências, que são generalizações de polinômios, obtidas com técnicas de
3Esta fórmula tem o nome de fórmula de Moivre.
22
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. com
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. com
aproximações do Cálculo Diferencial. Apelando para a intuição e para o conhecimentode funções contínuas, diremos que a exponencial é a função contínua y = exp (x), quetem a seguinte propriedade: se r é um número racional, então exp (r) = er, sendo e onúmero real cujo valor é aproximadamente 2, 7184. Uma vez feita essa definição, escreve-se exp (x) = ex, sendo que a variável x pode assumir qualquer valor real. Além disso,pode-se estender também a exponencial para outras bases diferentes do número e, maspara simplificar essa extensão, faremos uso dos logarítmos. Os logarítmos são as funçõesinversas das exponenciais5 e foi usado inicialmente como auxiliares em cálculos numéricosmais complexos, devido às suas propriedades (cf. observação 10 a seguir).
Definição 7 O logarítmo natural ou neperiano de um número real positivo x, denotadopor lnx ou log x, ou ainda loge x, é definido por
lnx = y ⇐⇒ ey = x.
Observação 10 O logarítmo natural tem as seguintes propriedades:
(a) ln (ab) = ln a+ ln b
(b) ln¡ab
¢= ln a− ln b
(c) ln ar = r ln a
Observação 11 Para definir exponencial em uma base a diferente de e, usa-se o fato deque as funções ln e exp são inversas uma da outra e a propriedade (c) da observação106. A taxa de variação de uma função exponencial y = ax em relação à variável x éproporcional a x (cf. o tópico 7 a seguir). Essa propriedade torna a exponencial muitoútil em diversas áreas de pesquisa como, por exemplo, na Arqueologia (na estimativa deidades geológicas), nas Ciências Sociais e na Biologia (no estabelecimento de modelos deestudos populacionais).
Razão, proporção, proporcionalidadeUma razão é uma fração numérica
a
b, também escrita na forma a : b, em ambos os casos
exige-se a e b ∈ R, b 6= 0; uma proporção é uma igualdade de duas razões; quando duas4Este valor é o valor limite da soma simbólica
P∞n=0
1n! = 1 +
11 +
12! +
13! +
14! + · · · . Esse número é
denominado base dos logarítmos naturais.5Mais uma vez lançamos mão de conhecimentos anteriores, sem estabelecê-los aqui!6A seqüência define o loga de um número real positivo x:
ar = eln ar
= er ln a
∴ loga x = y ⇐⇒ ay = x
⇐⇒ y ln a = lnx
⇐⇒ loga x =lnx
ln a
23
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. com
variáveis têm uma razão constante entre elas, dizemos que é uma proporcionalidade, porexemplo:
x
y= k é uma equação que estabelece uma proporcionalidade entre as variáveis
x e y. Neste último caso se diz que x varia diretamente com y ou que x é proporcional ay.
Observação 12 (Regras de Proporção) Dada a proporção
a
b=
c
dou a : b = c : d, (*)
a e d são os extremos, b e c são os meios e d é a quarta proporcional entre a, b e c.Quando os meios são iguais, digamos
a
b=
b
c
c é a terceira proporcional. Ainda com referência à proporção (*), são válidas as seguintespropriedades:
(a) ad = bc
(b)b
a=
d
c
(c)a
c=
b
d
(d)a+ b
b=
c+ d
d
(e)a− b
b=
c− d
d
(f)a+ b
a− b=
c+ d
c− d
Permutações e Combinações e oBinômio de Newton8 Permutações, Combinações e Arranjos
Uma permutação de um conjunto é uma função bijetora do conjunto em si mesmo. Umapermutação nada mais é que uma ordenação dos elementos do conjunto. Assim, se umconjunto tem um elemento, então só há uma permutação, se tiver dois elementos há duaspossibilidades. Digamos que o conjunto A seja constituído pelos elementos denominadosde a e b. Nesse caso, podemos tomar a ordenação “ab“ ou “ba“. Se acrescentamosum terceiro elemento c ao conjunto A, teremos, para cada ordenação escolhida paraos elementos de A, três possibilidades de inserir o elemento c, o que indica haver seispossibilidades de ordenação para o novo conjunto: “abc“, “acb“,“cab“, “bac“, “bca“ e“cba“. Note que cada ordenação define uma função bijetora do conjunto {a, b, c} em simesmo, por exemplo a ordenação “bca“ corresponde à função
σ : {a, b, c} −→ {a, b, c}
definida por σ (a) = b, σ (b) = c e σ (c) = a.
24
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Observação 13 A seqüência do raciocínio utilizado no parágrafo anterior leva à con-clusão de que o número de permutações de um conjunto com n elementos (n um númeronatural) pode ser obtido por um procedimento recursivo (cf. citado à página 3, no pará-grafo anterior à Definição 2). Esse número é exatamente o fatorial do número n, comodefinido a seguir.
Definição 8 Se n é um número inteiro natural, então o fatorial de n, simbolizado porn!, é definido por
0! = 1
(n+ 1)! = (n+ 1)n!, ∀n ∈ N.
Desse modo, temos:
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6
4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7!
O fatorial de n aumenta consideravelmente na medida que se aumenta o valor de n. Atítulo de exemplo,
10! = 3628 800
20! = 2432 902 008 176 640 000
45! = 119 622 220 865 480 194 561 963 161 495 657 715 064 383 733 760 000 000 000
No estudo de arranjos, permutações e combinações é importante se ter em mente sea ordem de apresentação dos elementos é fundamental ou não. Já foi visto que umapermutação corresponde a uma ordenação de seus elementos, desse modo, o número depermutações possíveis é o fatorial de n caso o conjunto tenha n elementos. Dados osnúmeros naturais m e n, com m ≥ n, se A é um conjunto com m elementos, entãoo número de subconjuntos de A com n elementos é denominado combinação de m n a
n e denota-se porµ
mn
¶. Por exemplo, se A = {a, b, c}, então os subconjuntos de 2
elementos de A constituem a família {{a, b} , {a, c} , {b, c}}, ou seja,µ32
¶= 3. Outro
exemplo: se B = {a, b, c, d, e}, então os subconjuntos d 3 elementos de B constituem afamília
{{a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} , {b, c, e} , {b, d, e} {c, d, e}} ,
o que indica queµ53
¶= 10. Os elementos das famílias de subconjuntos obtidas são as
combinações, por exemplo, nesta última família, {a, b, c} é uma combinação de 3 elementosdo conjunto B. Um arranjo é uma permutação de uma combinação. Desse modo, asordenações “abc“ e “acb“ são arranjos diferentes de 3 elementos do conjunto B, embora oselementos considerados são os mesmos. Neste caso, para encontrar o número de arranjos
25
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. com
de 3 elementos do conjunto B, basta multiplicar o número de combinações obtido por3! (= 6), ou seja, denotando por Am
n o número de arranjos de n elementos de um conjuntocom m elementos, temos: A53 = 10 × 3! = 60. De uma maneira geral, são válidas asseguintes fórmulas, considerando-se a possibilidade n = 0:µ
mn
¶=
m!
n!× (m− n)!
Amn =
µmn
¶× n!
=m!
(m− n)!
O número de arranjos também pode ser considerado como o número possível de funçõesinjetoras, como ilustra o exemplo 22 a seguir
Exemplo 22 Sejam A = {0, 1} e B = {a, b, c}.a tabela a seguir dá os valores das pos-síveis funções injetoras de A em B
x f1 (x) f2 (x) f3 (x) f4 (x) f5 (x) f6 (x)0 a a b b c c1 b c c a a b
Outro componente importante na formação de “arranjos“ de subconjuntos de um dadoconjunto é a repetição de elementos. Apresentaremos apenas o arranjo com repetição. Istocorresponde ao número de possibilidades de se construir funções. Considere os conjuntosA com n elementos e B com m elementos. O número de possíveis funções de A em Bcorresponde ao número de arranjos com repetição de termos (ou simplesmente arranjoscom repetição) de “n m a m“.
Exemplo 23 Sejam A = {a, b, c} e B = {0, 1}.a tabela a seguir dá os valores das pos-síveis funções de B em A
x f1 (x) f2 (x) f3 (x) f4 (x) f5 (x) f6 (x) f7 (x) f8 (x) f9 (x)0 a a a b b b c c c1 a b c a b c a b c
Observe que as colunas apresentam na verdade arranjos com repetição dos elementos deA, “tomados 2 a 2“. Já a próxima tabela apresenta os valores das possíveis funções de Aem B
x g1 (x) g2 (x) g3 (x) g4 (x) g5 (x) g6 (x) g7 (x) g8 (x)a 0 0 0 0 1 1 1 1b 0 0 1 1 0 0 1 1c 0 1 0 1 0 1 0 1
Novamente, as colunas apresentam arranjos com repetição dos elementos de B, “tomados3 a 3“.
26
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A notação utilizada para o número possível de arranjos com repetição de m n a n é(AR)mn e mostra-se que esse valor é dado pela fórmula (AR)
mn = mn (confira os resultados
dados nas tabelas do exemplo 23, e observe que não é necessário exigir n ≤ m). Umexemplo curioso é o número de possibilidades de resultados da loteria esportiva. São13 jogos com três resultados possíveis para cada jogo: coluna 1, coluna 2 ou coluna 3.Se o conjunto dos jogos for denotando por J = {j1, j2, · · · , j13} e o dos resultados porR = {c1, c2, c3}, então o conjunto dos resultados possíveis pode ser identificado como afamília das funções de J em R, cujo número de elementos é (AR)313 = 313 = 1594 323.Outro exemplo curioso, ligado à probabilidade: Considere as possíveis datas de aniversário(sem levar em conta o ano de nascimento), representadas pelos elementos de um conjuntoA com 365 elementos, e 50 pessoas representadas pelos elementos de um conjunto P .Se f é a função cujo valor é a data de aniversário de cada pessoa, f : P −→ A, entãopara não haver coincidência de datas de aniversário, é necessário e suficiente que f sejainjetora. O número de possibilidades para f é (AR)50365 = 50
365, enquanto que o númerode possibilidades de que não haja coincidência é, conforme a observação que precede oexemplo 22 A36550 = 365!
(365−50)! =365!305!. A probabilidade de que não haja coincidência é
portantoA36550
(AR)50365=
365!305!
50365≈ 2. 413 8× 10−469
Conclusão: é quase nula a probabilidade de não haver coincidência.
9 O Binômio de Newton
O Binômio de Newton é o desenvolvimento de expressões algébricas do tipo (a+ x)n comn ∈ N. Usando as notações da seção 8, o Teorema do Binômio de Newton afirma que
(a+ x)n =nX
k=0
µnk
¶akxn−k
= xn + naxn−1 +n!
2! (n− 2)!a2xn−2 + · · ·
+n!
k! (n− k)!akxn−k + · · ·+ ak
Os exemplos a seguir ilustram a fórmula do Binômio de Newton com resultados já con-hecidos.
Exemplo 24
(a+ x)0 =0X
k=0
µ0k
¶akxn−k =
µ00
¶a0x0 =
0!
0!0!= 1
27
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Exemplo 25
(a+ x)1 =1X
k=0
µ1k
¶akx1−k =
µ10
¶a0x1 +
µ11
¶a1x0
=1!
0!1!x+
1!
1!0!a = x+ a
Exemplo 26
(a+ x)2 =2X
k=0
µ2k
¶akx2−k
=
µ20
¶a0x2 +
µ21
¶a1x1 +
µ22
¶a2x0
=2!
0!2!x2 +
2!
1!1!ax+
2!
2!1!a2
= x2 + 2ax+ a2
Progressões aritméticas egeométricasUma função de N no conjunto dos números reais é denominada sucessão de números. Parase apresentar uma tal função, basta compor a lista de seus valores, desde que se possa teruma “lei de formação“. Assim, apresentar a função f : N −→ R, é equivalente a construira lista infinita
f (0) , f (1) , f (2) , · · · , f (n) , · · ·ou, para simplificar, escrevendo, para cada n ∈ N , f (n) = an,
a0, a1, a2, · · · , an, · · ·
daí o nome sucessão.Estudaremos apenas dois tipos de sucessões de números: progressões aritméticas (PA)
e progressões geométricas (PG). Para simplificar, usaremos as funções de domínio N∗ ={n ∈ N|n 6= 0}, para ter coerência com a expressão n-ésimo termo da sucessão (an).
Definição 9 Uma sucessão a1, a2, · · · , an, · · · de números reais é uma progressão arit-mética (PA) se cada termo é obtido do anterior somando-se um valor constante denomi-nado razão.
Exemplo 27 A sucessão 3, 7, 11, 15, 19, · · · é uma PA de razão 4.
Fórmulas:
28
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
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. com
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w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
1. n-ésimo têrmo: se, numa PA, a1 = a e a razão é d, então an = a+ (n− 1) d.
2. A soma dos n primeiros têrmos de uma PA é dada pela fórmula
Sn =n
2(a1 + an)
=n
2[2a+ (n− 1) d]
Definição 10 Uma sucessão a1, a2, · · · , an, · · · de números reais é uma progressão ge-ométrica (PG) se cada termo é obtido do anterior multiplicando-se por um valor constantedenominado razão.
Exemplo 28 A sucessão 2, 6, 18, 54, 162, · · · é uma PG de razão 3.
Fórmulas:
1. n-ésimo têrmo: se, numa PG, a1 = a e a razão é r, então an = a× r(n−1).
2. A soma dos n primeiros têrmos de uma PG é dada pela fórmula
Sn =a (rn − 1)r − 1 , r 6= 1
=ran − a
r − 1 , r 6= 1
29
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w .
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. com
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1.1. Medidas Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um fenómeno, susceptível de ser medida, i.e. à qual se pode atribuir um valor numérico. A medição de uma grandeza pode ser efectuada por comparação directa com um padrão ou com um aparelho de medida (medição directa), ou ser calculada, através de uma expressão conhecida, à custa das medições de outras grandezas (medição indirecta). Contudo mesmo este último caso engloba medidas directas, pelo que é importante ter alguns conhecimentos básicos sobre este tipo de medições. A medição de uma grandeza é então a comparação dessa grandeza com outra da mesma espécie, um padrão, a que chamamos unidade por convenção.
1.2. Grandezas Fundamentais e Sistemas de Unidades Grandezas fundamentais e grandezas derivadas Unidades fundamentais e unidades derivadas Aos quatro conceitos introduzidos anteriormente estão associadas as unidades fundamentais de comprimento (m), tempo (s) e massa (kg), que podem ser definidas arbitrariamente, e a unidade derivada de força (N). Chamada newton (N), é definida como a força que imprime uma aceleração de 1m/s2 à massa de 1 kg.
Sistemas de Unidades de Medidas
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
w .
apos
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. com
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w .
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A partir da equação F = ma escrevemos: 1 N = (1 kg) (1 m/s2) = 1 kg.m/s2
Como qualquer outra força, o peso de um corpo (ou força gravitacional exercida sobre o corpo) é expresso em newton (N). Da equação
P = mg com g = 9.8 m/s2 segue-se que o peso de um corpo de massa 1 kg é P = (1 kg) (9.8 m/s2) = 9.8 N Sistema Internacional de Unidades (SI de unidades) 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, Paris, 1960 O objectivo de um Sistema de Unidades é escolher um número mínimo de grandezas (grandezas fundamentais) à custa das quais se podem exprimir todas as outras grandezas (grandezas derivadas) e definir as suas unidades. As unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI de unidades) formam um sistema absoluto de unidades, o que significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes do local onde as medições são efectuadas. O metro, o quilograma e o segundo podem ser utilizados em qualquer parte da Terra; podem mesmo ser utilizados noutro planeta. Terão sempre o mesmo significado. Os múltiplos e submúltiplos das unidades do SI podem ser obtidos através do uso de prefixos (Tabela 1.1), evitando-se assim escrever números muito grandes ou muito pequenos (e.g. 424,2 km em vez de 424 200 m). Pode obter-se o mesmo resultado usando a notação científica: 424,2 km = 424,2 × 103 m.
m=1 kg
m=1 kg
ww
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Os múltiplos da unidade de tempo são o minuto (min), a hora (h), etc... Como 1 min = 60 s e 1 h = 60 min = 3 600 s, esses múltiplos não são tão facilmente convertidos.
Tabela 1.1 Prefixos SI Factor de multiplicação Prefixo Símbolo
1 000 000 000 000 = 1012 tera T 1 000 000 000 = 109 giga G
1 000 000 = 106 mega M 1 000 = 103 quilo k
100 = 102 hecto h 10 = 101 deca da 0,1 = 10–1 deci d
0,01 = 10–2 centi c 0,001 = 10–3 mili m
0,000 001 = 10–6 micro µ 0,000 000 001 = 10–9 nano n
0,000 000 000 001 = 10–12 pico p 0,000 000 000 000 001 = 10–15 femto f
0,000 000 000 000 000 001 = 10–18 atto a
Unidades de Área e de Volume (unidades derivadas) A unidade de área é o metro quadrado (m2), que representa a área de um quadrado de 1 m de lado; a unidade de volume é o metro cúbico (m3), igual ao volume de um cubo de 1 m de lado. A fim de evitar valores numéricos excessivamente pequenos ou elevados, no cálculo de áreas e de volumes utilizam-se sistemas de unidades secundárias, obtidas, respectivamente, quadrando ou elevando ao cubo o milímetro e também os dois submúltiplos intermediários do metro – a saber, o decímetro (dm) e o centímetro (cm). e.g. Área: 1 mm2 = (1 mm)2 = (10–3 m)2 = 10–6 m2 Volume 1 dm3 = (1 dm)3 = (10–1 m)3 = 10–3 m3
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Note-se a seguinte regra: quando uma unidade derivada é obtida dividindo uma unidade base por outra, um prefixo pode ser utilizado no numerador da unidade derivada, porém nunca no seu denominador. Por exemplo, a constante k de uma mola que se distende 20 mm sob a carga de 100 N será expressa como:
k = 100 N/ 20 mm = 100 N/ 0.020 m = 5 000 N/m ou
k = 5 kN/m mas nunca como
k = 5 N/mm
1.3. Dimensões e Princípio da Homogeneidade Dimensional Aos três conceitos fundamentais de comprimento, tempo e massa, está associada a noção de dimensão; dimensão de comprimento L, dimensão de tempo T e dimensão de massa M, respectivamente, pois as grandezas fundamentais podem exprimir-se nas respectivas unidades. As grandezas físicas derivadas obtém-se combinando grandezas com dimensões distintas. Ex: velocidade Surge assim uma nova grandeza derivada com uma nova dimensão e uma unidade de medida derivada a partir das unidades de medida fundamentais. Esta possibilidade de combinar grandezas com dimensões distintas permite que o número de grandezas dimensionais (ao contrário do número de grandezas adimensionais) seja muito elevado. Assim todas as grandezas dimensionais podem ser escritas como combinações lineares das três grandezas independentes ou fundamentais – e analogamente as respectivas unidades.
v = dx/dt ; [v] = L / T ; (m.s-1)
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À expressão de uma grandeza física em termos das unidades fundamentais chama-se equação dimensional. Princípio da Homogeneidade Dimensional Vimos que é sempre possível multiplicar e dividir grandezas dimensionais; mas já o mesmo não se passa quando queremos somar ou subtrair. Só podemos somar ou subtrair grandezas com as mesmas dimensões e unidades de medida; é o Princípio da Homogeneidade Dimensional. Análise Dimensional O Princípio da Homogeneidade Dimensional aliado à existência de grandezas fundamentais permite-nos desenvolver uma forma poderosa de testar a correcção de qualquer equação física do ponto de vista dimensional. Este princípio exige que ambos os membros da equação tenham as mesmas dimensões; no caso de haver somas ou diferenças, todos os termos de cada membro terão de ter também as mesmas dimensões.
A fórmula está correcta do ponto de vista dimensional, portanto temos a garantia que está correcta do ponto de vista físico !
Algumas quantidades são independentes das unidades, i.e., são grandezas adimensionais.
e.g. x = x0 + vt
[x] = [x0] + [v] [t] = L1 + L1T -1T1 = L
e.g., medida de um ângulo q em radianos, sendo o comprimento do arco de raio R
Rq = (rad)
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1.4. Precisão e conversão de unidades
Precisão Numérica A precisão de um resultado de um problema depende de dois factores:
• a precisão dos dados fornecidos; • a precisão dos cálculos realizados.
A precisão de um resultado não pode ser superior à do menos preciso destes dois factores. Algarismos Significativos Os algarismos significativos reflectem a precisão com que se obteve um valor. Quando se efectua uma medição, atribui-se a cada leitura feita um intervalo de segurança que, em geral, corresponde a metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Os algarismos que, numa medida, são certos, juntamente com o algarismo lido por estimativa, constituem os algarismos significativos de uma leitura. Um resultado deve ser sempre indicado com o número de algarismos significativos correcto, mesmo que o último, lido por estimativa, seja zero. Regras de arredondamentos Ao efectuar cálculos ou conversões é fundamental ter em conta que o número de algarismos significativos de um resultado não pode ser alterado por nem por manipulações matemáticas nem por mudanças de unidades.
e.g. medição com régua graduada em mm L = 2.10 ± 0.05 cm = 0.0210 ± 0.0005 m (3 algarismos significativos)
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Números e Grandezas Proporcionais
* Grandeza
È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também.
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.
A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.
Grandeza Diretamente Proporcional
È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.
Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”.
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Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.
Grandeza Inversamente Proporcional
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.
Exemplo: Velocidade e tempo.
Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.
* RAZÃO E PROPORÇÃO
RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.
Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12
a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10
a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18
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Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é conseqüente.
Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.
seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.
Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c
PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.
Obs.:
Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extr emos.
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
1 – Propriedade Fundamental
Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.
2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20
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Aplicação:
7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos
Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.
2 – Composição
Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.
Aplicação:
A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números.
a = menor
b = maior
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Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.
3 – Decomposição
Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.
Aplicação:
Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48.
a = maior
b = menor
a – b = 48
Portanto,
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Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36
4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.
Aplicação:
Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4
Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.
5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.
6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.
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Aplicação:
A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas.
a = largura b = comprimento
a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10
a = largura = 10m, b= comprimento = 15m
7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção.
Aplicação:
A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar esses números.
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Logo, a² = 144, a = 12.
Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”.
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Regra de Três simples e composta
Grandezas Proporcionais
Definição: Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado.
Exemplo: Peso, comprimento, custo, tempo.
Exercício resolvido: Um trem a 60 km/h demora 2 horas para percorrer uma distância de 120 km.
a) Qual a distância percorrida em 4 horas?
1ª Grandeza 2ª GrandezaTempo Distância
2 1204 x
Se aumentarmos as horas aumentamos a distância percorrida, dizemos que as duas grandezas sãodiretamente proporcionais. Para resolvermos o problema, basta montarmos as proporções e resolvemos aequação:
24
= 120x
b) A 90 km/h quanto tempo será necessário para percorrer 120 km?
Tempo Velocidade2 60x 90
Se aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrermos um distância fixa.Dizemos que as duas grandezas são inversamente proporcionais.Para resolvermos o problema, bastamontarmos as proporções, invertendo a última,e resolver a equação:
2x
= 9060
Regra de três simples e composta
Definição : Regra de três é o procedimento para resolver um problema que envolva grandezas relacionadasonde determinamos por proporção o valor de uma destas, conhecendo a relação desta proporção com aproporção das demais grandezas. Este procedimento chama-se regra de três simples quando temos apenas 2grandezas e do contrário chama-se regra de três composta , ou seja, quando temos mais de 2 grandezas.
Procedimento:
1ª etapa - Identificar as grandezas e a relação entre elas (diretamente ou inversamente proporcionais);2ª etapa - Montar a Tabela com as proporções;3ª etapa - Montar e resolver as proporções.
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Exercício 1 - Para descarregar 10 vagões de trem em uma hora precisamos de 5 funcionários.a) Quanto tempo os funcionário demorarão em descarregar 60 vagões?b) Quantos funcionários serão necessários para descarregar os 10 vagões em meia hora?c) Quantos funcionários serão necessários para descarregar os 120 vagões em 6 Horas?
Solução 1 a)1ª Etapa:
Tempo Nº. de Vagões1 10x 60
2ª Etapa: Tempo X Nº. vagões => diretamente proporcionais
3ª Etapa:
Solução 1 b)1ª Etapa:
Nº. de funcionários Tempo5 1X 1/2
2ª Etapa: Nº. de funcionários X Tempo => inversamente proporcionais
3ª Etapa:
Solução 1 c)1ª Etapa:
1ª Grandeza 2ª Grandeza 3ª GrandezaTempo Nº. de funcionários Nº. de vagões
1 5 106 x 120
2ª Etapa: Tempo X Nº. de funcionários => inversamente proporcionais Nº. Vagões X Nº. de funcionários => diretamente proporcionais
3ª Etapa:
Exercício 2 – O investimento de R$ 10.000,00 na melhoria da logística de uma empresa gera uma economia deR$2.000,00.
a) Qual a economia se investirmos R$ 4.000,00?b) Para termos uma economia de R$ 2.500,00 quanto devemos investir?
Exercício 4 – Se 21 pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintam um edifício em 6 dias. Nas mesmascondições, quantos dias serão necessários para que 9 pintores, trabalhando 7 horas por dia, pintem o mesmoedifício?
Exercício 5 – Se 10 máquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem 90 000 peças, emquantos dias, 12 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão 192 000 peças?
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Percentagem
Percentagem ou porcentagem é uma medida de razão com base 100. É um modo de expressar uma proporçãoou uma relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é100.
SignificadoDizer que algo (chamaremos de y) é "70%" de x (lê-se: "y é setenta por cento de x"), significa dizer que y éequivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 100 elementos (representando x, que pode terqualquer valor), ou seja, que a razão é a divisão:
Ou seja, a 0,7ª parte de 1, 1 representando o valor inteiro da fração, no caso, x.
Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é obrigatoriamente de 100%, tal qual ocorre naumidade relativa do ar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como quando se refere auma fração maior que o valor (500% de x é igual a 5 vezes x).
Símbolo
Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática
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Porém, alguns documentos antigos altamente sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão latina"per centum ", sendo conhecido em seu formato atual desde meados do século XVII. Apesar do nome latino, acriação do conceito de representar valores em relação a uma centena é atribuída aos gregos.
Símbolo no século XV Símbolo no século XVII Símbolo a partir do século XVIII
Segundo o historiador David Eugene Smith, o símbolo seria originalmente escrito "per 100" ou "per c". Smithestudou um manuscrito anónimo de 1425, contendo um círculo por cima do "c". Com o tempo a palavra "per"acabaria por desaparecer e o "c" teria evoluído para um segundo círculo.
Ponto percentual
Ponto percentual é a diferença (em valor absoluto) em um valor percentual. Ele foi criado para evitarconfusões em percentuais de percentual.
É importante ter em mente a distinção entre "percentual" e "ponto percentual". Quando, por exemplo, umataxa de juros é aumentada de 10% para 15%, pode-se dizer que houve um aumento de 50%, isto é, que opercentual do reajuste foi de 50%. Um uso muito comum porém errôneo é falar que a taxa aumentou 5%. Noteque no exemplo os juros que aumentaram 5%, não a taxa de juros. Para evitar esta confusão foi criado pontopercentual , que é a diferença em termos absolutos entre duas percentagens. No exemplo citado, pode-secorretamente falar que a taxa foi aumentada em 5 pontos percentuais.
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Conceitos básicos
Quando você vê em uma propaganda: "Compre uma televisão à vista por R$1000,00 ou a prazo por 5 parcelasde R$260,00" Você, claro, responde: "A prazo, pois prefiro pagar parcelado, em poucas vezes por mês, e emapenas 5 meses eu acabo de pagar."
Mas você esqueceu de pensar em um "detalhe": 5 parcelas de R$260,00 dá o equivalente a R$1300,00 que é30% a mais do que a oferta á vista (R$1000,00). São em situações como essas que você percebe como aMatemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos oufinanciamentos de bens de consumo. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar aoperação financeira.
C Capital
n número de períodos
j juros simples decorridos n períodos
J juros compostos decorridos n períodos
r taxa percentual de juros
i taxa unitária de juros (i = r / 100)
M Montante de capitalização simples
S Montante de capitalização composta
Juros
Do ponto de vista do conceito econômico, pode ser definido como a remuneração do banqueiro.Analogamente existem ainda o lucro (remuneração dos empresários e acionistas) e aluguéis (remuneração dosproprietários de bens imóveis alugados).
História
Documentos históricos redigidos pela civilização Suméria, por volta de 3000 a.C., revelam que o mundo antigodesenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em dois principais produtos, o grão e a prata. Antesde existirem as moedas, o empréstimo de metal era feito baseado em seu peso. Arqueólogos descobrirampedaços de metais que foram usados no comércio nas civilizações de Tróia, Babilônia, Egito e Pérsia. Antes doempréstimo de dinheiro ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica docomércio.
Teorias que explicam o fenômeno dos juros
Existem diversas teorias que tentam explicar porque os juros existem. Uma delas é a teoria da escola austríaca,primeiramente desenvolvida por Eugen von Boehm-Bawerk. Ela afirma que os juros existem por causa damanifestação das preferências temporais dos consumidores, já que as pessoas preferem consumir no presentedo que no futuro. Juro é uma remuneração ou taxa cobrada sobre algum recurso emprestado. Ele pode sercobrado de duas formas: simples e composta.
Regime Processo de funcionamento
Simples Somente o principal rende juros.
Compostos Após cada período, os juros são incorporados ao Capital,proporcionando juros sobre juros.
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Juros simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre osjuros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valorinicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = C . i . nOnde:
J = juros C = capital i = taxa de juros n = número de períodos
E xemplo : Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de jurossimples e devemos pagá-la em 2 meses.
Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Taxas equivalentes
Duas taxas de juros são equivalentes , se aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo período de tempo,produzem o mesmo juros.
Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicaçãocom a taxa de 33,1% ao trimestre.
Exercício: Calcule a taxa percentual diária, mensal e semestral equivalente a 30% ao ano.
Exercício: Calcular os juros simples obtidos por um capital C=1.250,00
a) durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:
b) durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:
c) durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:
d) durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:
Montante Simples
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em línguainglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por umadas fórmulas:
M = C + j = C(1 + i n)
Exemplo: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o capital é C=R$ 1.000,00 e a dívida foicontraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?
Contagem do tempo:Período Número de dias
De 10/01 até 31/01 21 dias
De 01/02 até 28/02 28 dias
De 01/03 até 31/03 31 dias
De 01/04 até 12/04 12 dias
Total 92 dias
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Fórmula para o cálculo dos juros exatos:
j = C [(r / 365) / 100]nCálculo:
j = 1000×[(100/365)/100]×92 = 252,05
Exercícios:
1) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capitalaplicado através de capitalização simples?
2) Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
3) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
4) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
5) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Gabarito: 1) 8 meses – 2) R$ 72.960,42 - 3) R$ 234,00 - 4) R$ 5000,00 - 5) R$ 116.666,67
Juros compostos
No regime de juros compostos os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos jurosnos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, conseqüentemente, rendem juros.
Exemplo: Considere que um investidor tivesse aplicado $1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos,com uma taxa de juros de 8 % ao ano, no regime de juros compostos. Qual o valor do saldo credor desseinvestidor no Banco XYZ no final de cada um dos quatro anos da operação?
Ano Saldo no iníciodo ano
Juros no início do ano Saldo no final do ano,antes do pagamento
Pagamentodo ano
Saldo no final do anoapós o pagamento
1 1.000,00 8% x 1.000,00 = 80,00 1.080,00 0,00 1.080,002 1.080,00 8% x 1,080,00 = 86,40 1.166,40 0,00 1.166,403 1.166,40 8% x 1.166,40 = 93,31 1.259,71 0,00 1.259,714 1.259,71 8% x 1.259,71 = 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00
Tabela 1: Crescimento de $1.000,00 a juros compostos de 8% a.a.
Observações:
• o rendimento é maior a juros compostos do que a juros simples;
• o montante resultante, S, da aplicação de um capital C, durante n períodos, com taxa de juros, i, porperíodo, no regime de juros compostos, é dado pela expressão:
S = C(1 + i)n • enquanto pelo regime de juros simples:
M = C(1 + in) Valor atual e valor nominal
O montante de um capital (S) aplicado a data zero, à taxa de juros compostos (i), após n períodos, conforme jámostrado, é dado por:
S = C(1 + i)n
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O valor atual corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à data do vencimento. O valor nominalé o valor do título na data do seu vencimento. Vejamos estes conceitos aplicados ao regime de juroscompostos: seja o montante dado (FVn), queremos saber qual é o valor atual do compromisso na data zero.
Sejam:
• V = valor atual na data zero
• N = valor nominal n a data zero (FVn)
N = V 1 in ⇒ V = N1 in
Deve ficar claro que o valor atual pode ser calculado em qualquer data focal inferior à do montante, nãoprecisando ser necessariamente a data zero que utilizamos no exemplo acima. Constata-se que o cálculo dovalor atual é apenas uma operação inversa do cálculo do montante. Nestas condições, o valor atual, aplicado àtaxa de juros compostos contratada (i), da data do valor atual até a data do vencimento, reproduz o valornominal. No Direito os juros está previsto no Dec. 22.626/1933 denominado Lei de Usura. A taxa de juro échamado custo do dinheiro, o que é cobrado para emprestá-lo, basicamente. Segundo a legislação brasileira, évedado e será punido nos termos da lei, estipular em quaisquer contratos taxas de juros superiores ao dobroda taxa legal.
Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:
S = P (1 + i)n
P = S (1+i)-n
Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do capital C de um capital futuroconhecido S.
C=S(1+i) -n
Cálculo de juros Compostos
J = C [(1+i)n-1]Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívidafoi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?
Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.
Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado em umaunidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:
n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 anoPrincipal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é:
J = C [(1+i)n-1]Solução:
J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21
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Taxas
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado financeirobrasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de jurosprincipalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado dessesconceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes.Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira 'poluição' de taxasde juros."Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:
Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital nãocoincide com aquele a que a taxa está referida.Exemplos:
1. 1200% ao ano com capitalização mensal.2. 450% ao semestre com capitalização mensal.3. 300% ao ano com capitalização trimestral.
Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide comaquele a que a taxa está referida.Exemplos:
1. 120% ao mês com capitalização mensal.2. 450% ao semestre com capitalização semestral.3. 1300% ao ano com capitalização anual.
Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa dainflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação )
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu umrendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidademonetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:
vreal = 1 + ireal
que pode ser calculada por:vreal = resultado / (1 + iinflação )
isto é:vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02
o que significa que a taxa real no período, foi de:ireal = 2%
Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona umrendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflaçãoiinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.
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Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e ataxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valorde:
V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77
Taxas equivalentes
Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicaçãocom a taxa de 33,1% ao trimestre.Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :
S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00
Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto,teremos:
S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00
Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre.
Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao anocapitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês amês, porque:
i = 300/12 = 25Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre,aplicada a cada trimestre, porque:
i = 300/4 = 75É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.
Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processosde capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre,1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado porNp . Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:
1 + ia = (1+ip)Np
ondeia taxa anual
ip taxa ao período
Np número de vezes em 1 ano
Exercícios1) Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses?2) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações
de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da
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entrada?3) Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais
consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am,calcular o valor do segundo pagamento.
4) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois mesesmaior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pelaaplicação e o prazo em meses.
5) Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% am e o segundo, a 1,5 am. Oprimeiro capital é R$ 10.000,00 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 orendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais.
6) Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhosnesse prazo, reduz-se a R$ 549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.
7) Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% aa. Após 3 anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e,logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% aa, obtendo-se um rendimento de R$102,30 no prazo de 1 ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.
8) Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses?9) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações
de R$ 80,00 no fim dos próximos 2 meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor daentrada?
10)Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensaisconsecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am,calcular o valor do segundo pagamento.
11)Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois mesesmaior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pelaaplicação e o prazo em meses.
12)Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% am e o segundo, a 1,5 am. Oprimeiro capital é R$ 10.000,00 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 orendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais.
13)Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhosnesse prazo, reduz-se a R$ 549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.
Tipos de descontos
Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculosexponenciais.
Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples,substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.
Desconto por fora Juros simples
D = N i n j = P i n
N = Valor Nominal P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos
O valor atual no desconto por fora, é calculado por:
A = N-D = N-N.i.n = N(1- i.n)
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Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos jurossimples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.
Desconto por dentro Juros simples
D = A i n j = P.i.n
N = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos
O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:A = N / (1 + i n)
Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculodos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.
Desconto composto por fora Juros compostos
A = N(1- i)n S = P(1+i)n
A = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos
Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicaçõesrepetidas do desconto simples para 1 período.
Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:
A1 = N(1-i)
onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo,substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:
A2 = A1(1-i) = N(1-i)2
Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:
An = N(1-i)n
Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:
S = P(1+i)n
Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.
Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , então
D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como ocapital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando emconsideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.
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Exemplos
a) Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo devencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.
Solução:
D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30
b) Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento de R$18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições deresgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxade juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?
Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045
Número de períodos para o desconto: n=12-5=7
Exercícios de DESCONTO SIMPLES
1- Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120.000,00 e com vencimento para 180 diasdescontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% aa.
2- Uma promissória de R$ 450,00 foi descontada comercialmente tendo um desconto de R$ 54,00. Considerando uma taxa simples de desconto de 6% am, calcular o prazo da operação.
3- Um borderô de duplicatas no valor de R$ 2.760,00 foi descontado num Banco, a uma taxa bancária de 6,3%am. Sabendo-se que o prazo médio dos títulos são de 35 dias, calcule o valor creditado a empresa.
4- Determine qual foi a taxa mensal comercial cobrada de um cliente, que recebeu a importância de R$5.230,40 de um Banco, ao descontar uma duplicata de R$ 5.600,00 pelo prazo de 44 dias.
5- Um título de R$ 2.800,00 foi descontado em um Banco gerando um valor líquido de R$ 2.587,20. Sabendo-se que a taxa "por fora" cobrada foi de 11,4%am, determine por quantos dias foi realizada a operação.
6- Uma nota promissória gerou uma quantia de R$ 4.300,00, tendo sido descontada comercialmente a umataxa de 5,4%am, faltando 34 dias para o seu vencimento. Calcule o valor nominal da promissória.
7- Uma nota promissória de R$ 1.400,00 foi descontada em um Banco faltando 48 dias para seu vencimento, auma taxa bancária de 110,4%aa. Determine o valor do desconto.
8- Pelo desconto de 8 títulos que totalizaram R$ 32.000,00, foi creditado na conta do cliente a importância deR$ 30.388,68. Sabendo-se que o prazo médio dos títulos foi de 36,2 dias e que foram cobrados encargos novalor de R$ 105,40, determine a taxa mensal de desconto "por fora" na operação.
Exercícios de DESCONTO RACIONAL
1- Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento,sendo seu valor de resgate igual a R$ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de R$ 24.436,10.
2- Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antesde seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto racional, pede-se calcular o desconto e o valordescontado (atual) desta operação
3- O valor atual de um título é de R$ 159.529,30, sendo o valor de seu desconto racional, apurado a uma taxa de5,5% a.m., igual a R$ 20.470,70. Determine o número de dias que faltam para o vencimento.
4- Qual o valor máximo que uma pessoa deve pagar por um título de valor nominal de R$ 82.000,00 comvencimento para 110 dias, se deseja ganhar 5% a.m.? (usar desconto racional)
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Introdução à amortizaçãoAmortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizadosem função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital oudo pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que
Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!
Os principais sistemas de amortização são:
1. Sistema de Pagamento único:
Um único pagamento no final.
2. Sistema de Pagamentos variáveis:
Vários pagamentos diferenciados.
3. Sistema Americano:
Pagamento no final com juros calculados período a período.
4. Sistema de Amortização Constante (SAC):
A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
5. Sistema Price ou Francês (PRICE):
Os pagamentos (prestações) são iguais.
6. Sistema de Amortização Misto (SAM):
Os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.
7. Sistema Alemão:
Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento quecorresponde aos juros cobrados no momento da operação.
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldodevedor, isto é:
Pagamento = Amortização + Juros
Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao finalde 5 meses à taxa mensal de 4%.
Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informaçõesessenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que estáindicada abaixo, com os elementos indicados:
Sistema de Amortização
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 300.000,00
1
2
3
4
5 0
Totais 300.000,00
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Sistema de Pagamento Único
O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula:
M = C (1+i)n
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.
Sistema de Pagamento Único
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 312.000,00
2 12.480,00 324.480,00
3 12.979,20 337.459,20
4 13.498,37 350.957,57
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0
Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87
Sistema de Pagamentos Variáveis
O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com acombinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cadaperíodo.
Uso comum: Cartões de crédito.
Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma:
No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros
No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros
No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros
No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros
No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros
Sistema de Pagamentos Variáveis
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0
Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00
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Sistema Americano
O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamentodos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o.período.
Sistema Americano
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 12.000,00 300.000,00
2 12.000,00 12.000,00 300.000,00
3 12.000,00 12.000,00 300.000,00
4 12.000,00 12.000,00 300.000,00
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0
Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.
Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação
Sistema de Amortização Constante (SAC)
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00
Sistema Price (Sistema Francês)
Todas as prestações (pagamentos) são iguais.
Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.
Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pelafórmula
onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:
P = K × Vf = 67.388,13
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Sistema Price (ou Sistema Francês)
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65
Sistema de Amortização Misto (SAM)
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistemade Amortização Constante (SAC).
Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.
Cálculo:
PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2
n PSAC PPrice PSAM
1 72.000,00 67.388,13 69.694,06
2 69.600,00 67.388,13 68.494,07
3 67.200,00 67.388,13 67.294,07
4 64.800,00 67.388,13 66.094,07
5 62.400,00 67.388,13 64.894,07
Sistema de Amortização Misto (SAM)
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94
2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11
3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20
4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14
5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0
Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94
Sistema Alemão
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestaçõesiguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira.É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações Ak, k=1,2,3,...,n.
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apos
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. com
Uso comum: Alguns financiamentos.
Fórmulas necessárias: Para k=1,2,...,n.
A prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima.
P = (300.000×0,04)÷[1-(1-0,04)5]=64.995,80A1 = 64.995,80 × (1-0,04)4 = 55.203,96A2 = 55.203,96 ÷ (1-0,04) = 57.504,13A3 = 57.504,13 ÷ (1-0,04) = 59.900,13A4 = 59.900,13 ÷ (1-0,04) = 62.395,97A5 = 62.395,97 ÷ (1-0,04) = 64.995,80
Sistema Alemão
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
1 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,04
2 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,91
3 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,78
4 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,80
5 64.995,80 64.995,80 0
Totais 36.979,02 300.000,00 336.979,02
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. com
PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES
Porcentagem
Praticamente todos os dias você vê na televisão ou lê nos jornais alguma coisa relacionada com a expressão por cento.
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “Grande liquidação de verão na loja X: 40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você tem um desconto de R$ 40,00 para cada R$ 100,00 do preço de um artigo.
Isso nos leva, então, a estabelecer a razão 10040
.
Toda razão b
a, na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem.
Assim, 40 por cento é o mesmo que 10040
.
Em lugar da expressão por cento, podemos usar o símbolo %.
Assim, 40 por cento ou 10040
é igual a 40%.
OBS: Uma razão b
a, com b ≠ 100, também pode ser escrita na forma de %.
Exemplos:
a) Escrever 21
na forma de porcentagem.
Resolução:
Vamos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denominador 100.
%5010050
502501
21 ==
⋅⋅=
ww
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apos
tilas
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ais
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apos
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. com
b) Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 25 mil reais representa quantos por cento de desconto?
Resolução:
ou ou
Usando regra de três simples:
Porcentagem (%)
Preço (R$)
100 25
x 7
%2825700
70025
100725725100
=
=
=⋅=
=
x
x
x
xx
Usando razões equivalentes
razão inicial: 257
%2810028
42547
257 ==
⋅⋅=
%28
74
74
725100
=⋅=
=
=⋅
x
x
x
x
Uma quantia expressa em porcentagem pode também ser escrita na forma decimal. Observe:
• 51,001,05110051
%51 =⋅==
• 072,001,02,7100
2,7%2,7 =⋅==
• 1628,001,028,16100
28,16%28,16 =⋅==
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
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apos
tilas
virtu
ais
. com
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Resolvendo problemas com porcentagem
Consideremos as seguintes situações:
1ª) Em um jogo de basquete, Oscar cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres ele acertou?
Resolução:
Este problema se resume em calcular 65% de 20.
13
2010065
20 de %65
=
⋅=
=
x
x
x
Portanto, Oscar acertou 13 lances livres.
2ª) Durante o ano de 2007, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu?
Resolução:
Vamos indicar por x o número que representa essa porcentagem. De acordo com o problema, podemos escrever:
%843
252
2523
6343
6343
6325:10025:75
6375100
=
=
=⋅=
=
=⋅
=⋅
x
x
x
x
x
x
x
Portanto, a equipe venceu 84% dos jogos.
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3ª) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 76,50 por ele. Nessas condições, qual era o preço original desse objeto?
Resolução:
Como obtive um desconto de 15%, paguei o correspondente a %85%15%100 =− do objeto. Indicando por x o preço original do objeto,
podemos escrever:
9017
1530
153017
5,762017
5,7620
17
5,7610085
50,7610085
=
=
=⋅=
=
=
=⋅
x
x
x
x
x
x
x
ou
9017
1530
153017
5,762017
5,7610017
5,7610085
5,76100
15100
50,7610015
=
=
=⋅=
=
=
=−
=⋅−
x
x
x
x
x
x
xx
xx
Portanto, o preço original do objeto era R$ 90,00.
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EXERCÍCIOS A
(1) Calcule 41% de 54000 votos.
(2) A quantia de R$ 1143,00 representa quantos por cento de R$ 2540,00?
(3) Um aumento de R$ 486,00 sobre um preço de R$ 1350,00 representa quantos por cento de aumento?
(4) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?
(5) O preço de um produto é de R$ 420,00. O vendedor propõe a um comprador as seguintes alternativas de pagamento:
Alternativa 1: pagamento à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela.
Alternativa 2: pagamento em 30 dias com acréscimo de 10% sobre o preço da tabela.
Nessas condições, responda:
a) Se o pagamento for à vista, quanto será pago pelo produto?
b) Se o pagamento for em 30 dias, quanto se pagará pelo produto?
c) Qual a diferença entre essas quantias?
d) Ela representa quantos por cento do preço do produto?
Juros
Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a uma outra pessoa ou a um banco, ela paga uma compensação em dinherio pelo tempo que fica com o dinheiro emprestado.
Quando uma pessoa compra uma mercadoria a prestação, ela paga um acréscimo pelo tempo correspondente ao número de prestações.
Quando uma pessoa aplica dinheiro em um banco, ela recebe uma compensação pelo tempo em que está emprestando o dinheiro ao banco.
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Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo chama-se juros e corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra.
Assim, podemos dizer que:
Toda compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamada juros.
Juros simples
O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é muito importante.
Quando falamos em juro simples, devemos considerar:
Capital (C): o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado.
Taxa de juros (i): a taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro.
Tempo (t): o tempo que transcorre durante o empréstimo.
Juros (J): juros produzidos depois de t períodos, do capital C aplicado a uma taxa de juros, por período, igual a i.
Montante (M): o total que se paga no final do empréstimo (capital + juros)
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:
tiCJ ⋅⋅=
No final de t períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial C adicionado aos juros J produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M) .
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Exemplos:
a) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais, o preço passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida ao juro, qual é a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja?
Resolução:
Devemos marcar os nossos dados:
C = R$ 620,00
t = 5 meses
M = R$ 868,00
J = R$ 868,00 − R$ 620,00 = R$ 248,00
i = ?
Então, aplicando a fórmula, temos:
%81008
i
0,08 i3100248
i
248i3100
i3100248
5i620248
tiCJ
==
=
=
==
⋅⋅=⋅⋅=
Portanto, a taxa é de 8% ao mês.
ww
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apos
tilas
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apos
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b) Uma aplicação feita durante 2 anos, a uma taxa de 18% ao ano, rendeu R$ 1800,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?
Resolução:
Devemos marcar os nossos dados:
t = 2 anos
i = 18% = 18,010018 =
J = R$ 1800,00
C = ?
Então, aplicando a fórmula, temos:
5000 C
36,01800
C
8001C36,0
C36,01800
218,0C1800
tiCJ
=
=
==
⋅⋅=⋅⋅=
Portanto, a quantia aplicada foi de R$ 5000,00.
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EXERCÍCIOS B
(1) Um agricultor fez um empréstimo de R$ 5200,00 e vai pagá-lo em 5 meses, a uma taxa de 1,5% ao mês.
a) Qual a quantia de juros que o agricultor vai pagar por mês?
b) Após os 5 meses qual o total pago pelo agricultor?
(2) Uma loja colocou o anúncio de um liquidificador em um jornal. O anúncio indicava o pagamento à vista de R$ 60,00 ou, após um prazo de 30 dias, de R$ 69,00. Qual a taxa mensal de juros que essa loja está cobrando para pagamento a prazo?
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DESCONTO SIMPLES
Se uma pessoa (ou empresa) deve uma quantia em dinheiro para pagamento em uma data futura, ela dá um título de crédito para o credor, comprovante desta dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porem, pode-se resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isto um abatimento proporcional ao tempo de antecipação e a taxa de juros; Este tipo de operação denomina-se DESCONTO. TÍTULOS DE CRÉDITO Os principais títulos de crédito utilizados nas operações financeiras são: nota promissória, duplicata e letra de câmbio. A) NOTA PROMISSÓRIA: É o comprovante da aplicação de um Capital com vencimento
pré-determinado. É um titulo muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira.
B) DUPLICATA: É um título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes
(pessoa física ou jurídica), para a qual ela vendeu produtos a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, conforme contrato.
C) LETRA DE CÂMBIO: É o comprovante de uma aplicação de capital com vencimento
pré-determinado; porem é um título ao portador, emitido exclusivamente por instituições financeiras.
Embora seja freqüente a confusão entre juros e desconto, trata-se de critérios distintos, claramente caracterizados. No cálculo dos juros a taxa refere-se ao período que incide sobre o capital inicial (ou valor presente) ; no desconto a taxa do período incide sobre o montante (ou valor futuro). Os descontos são também classificados em simples e compostos.
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DESCONTO Com relação as operações de desconto dos títulos de crédito, pode ocorrer :
Quê o devedor pague o título antes do dia do vencimento. Neste caso ele obtém um abatimento (Desconto) correspondente ao juro que seria gerado pelo capital durante o tempo que faltava para o vencimento do mesmo.
Que o credor precise do dinheiro antes da data do vencimento. Neste caso, ele pode vender o título a um terceiro (geralmente uma instituição financeira) que obterá um lucro, correspondente ao juro gerado pelo capital durante o tempo que falta para o vencimento do título; assim sendo, a instituição paga uma quantia menor que a fixada no titulo de crédito .
Em ambos os casos é um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades; este benefício, obtido de comum acordo denomina-se DESCONTO. As operações anteriormente descritas são denominadas operações de desconto, e ao ato de efetuá-las denominamos descontar um título. NOMENCLATURA: Dia do Vencimento: é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da
aplicação. Valor Nominal ( N ): é o valor expresso no título (importância a ser paga no dia do
vencimento). Valor Atual ( A ) : é o líquido pago ( ou recebido) antes do vencimento. Tempo ou Prazo: é o intervalo de tempo ( dias, meses , anos, etc...) compreendido entre o
dia em que se negocia o título e o do seu vencimento, excluindo um dos extremos ( conta-se o primeiro dia e não o último ; e vice-versa).
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Logo: DESCONTO É A QUANTIA A SER ABATIDA DO VALOR NOMINAL, ISTO É, A DIFERENÇA ENTRE O VALOR NOMINAL E O VALOR ATUAL.
Os descontos podem ser Comerciais ( quando considera-se como capital o valor nominal) ou Racional (quando considera-se como capital o valor atual).
DESCONTO COMERCIAL Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada. Fórmula de Desconto
D = N . i . n Onde: D = Desconto N = Valor Nominal i = Taxa de juros centesimal n = Período de tempo ou : D = N - A Fórmula do Valor Atual
A = N (1 - i . n)
EXEMPLO:
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1) Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Determine o valor atual do título e o desconto. N = 60.000,00 n = 45 dias r = 2,1 % ao mês i = 2,1/100 = 0,021 am /30 = 0,0007 a.d. D -= N . i . n D = 60.000,00 . 0,0007 . 45 D = 1.890,00
A = N - D A = 60.000 1.890
A = 58.110,00
2) Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de Antecipação, sabendo que a taxa de desconto foi de 4% ao mês?
N = 6.900, A = 6.072, r = 4% ao mês i = 4/100 = 0,04am A = N ( 1 – i . n )
6.072, = 6.900, ( 1 – 0,04 . n )
6.072, / 6900, = 1 – 0,04 . n
0,88 = 1 - 0,094 . n
0,88 – 1 = -0,04 . n
-0,12 = -0,04 n
n = - 0,12/ -0,04
n = 3 meses
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EXERCÍCIOS – DESCONTOS COMERCIAIS SIMPLES 1. Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, á taxa
de 30% ao ano. CALCULE O VALOE ATUAL E O DESCONTO COMERCIAL.
2. Um título, no valor de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/7. Se a taxa de juros for de 34% ao ano, qual o valor comercial descontado?
3. Um título de R$ 4.800,00 foi descontado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate?
4. Qual a diferença entre "taxa de juros" e "taxa de descontos"? Exemplifique.
5. Uma duplicata de valor nominal igual ä R$123.000,00, com vencimento em l5.7.1997, foi
descontada em 1.2.1997, ä taxa de 3,5% ao mês .Qual o valor creditado ao cliente, e qual o valor do desconto comercial ?
6. Uma duplicata de valor nominal de R$ 150.000,00, com vencimento em 5 meses, ä taxa
de 0,158% ao dia. Qual o valor creditado ao cliente e qual o valor do desconto comercial?
7. Qual o tempo em que uma duplicata de R$628.000,00, ä taxa de 12% ao ano, renderá o valor atual de R$346.656,00?
8. Determine o valor do desconto e o valor atual comercial de um título de R$ 50.000,00 disponível dentro de 40 dias, á taxa de 3% ao mês?
9. Determine o desconto comercial de uma promissória de R$ 30.000,00, á taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes de seu vencimento?
10. Ao pagar um título de R$ 36.000,00, com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$ 4.860,00. Qual é a taxa de desconto?
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11. Um lote de letras do BACEN com valor de resgate de R$ 4.800.000,00 é adquirido por R$ 4.000.000,00. Considerando que o prazo de vencimento é a 120 dias, calcule a taxa anual de desconto deste lote de letras de câmbio ?
12. Um título de R$ 135.000,00 é descontado por R$ 120.000,00. Considerando que o
vencimento é em 98 dias, calcule a taxa de desconto semestral cobrada na operação?
13. O valor atual de um título é de 20% de seu valor nominal. Considerando que a taxa de desconto é de 58% ao ano, calcule o prazo de antecipação desta operação?
14. Qual a diferença entre desconto comercial e desconto racional?
15. Por quanto se deve comprar um título com vencimento em 180 dias, se seu valor nominal for de R$ 120.000,00, á taxa de desconto de 40% ao ano?
16. Qual a diferença entre nota promissória, letra de câmbio e duplicata?
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RESPOSTAS: 1) D = R$ 1.000,00 A = R$ 19.000,00 2) D = R$ 765,91 A = R$ 7.634,09 3) n = 75 dias 4) Taxa de Juros incide sobre o capital inicial e Taxa de Desconto incide sobre o
montante (valor futuro). 5) D = R$ 19.427,85 A = R$ 103.572,15 6) D = R$ 35.550,00 A = R$ 114.450,00 7) n = 44,8 meses 8) D = R$ 2.000,00 A = R$ 48.000,00 9) D = R$2.497,50 A = R$ 27.502,50 10) r = 0,15% a.d. 11) r = 50% a.a. 12) r = 20,41% a.t. 13) n = 1,38 anos 14) O desconto COMERCIAL considera como capital o valor NOMINAL, o desconto
RACIONAL, considera como capital o VALOR ATUAL. 15) A = R$ 96.024,00 16) Nota promissória é o comprovante da aplicação de um Capital com vencimento pré-
determinado. Usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e uma instituição financeira. Duplicata, título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes (físicos ou jurídicos), para a qual vendeu produtos a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, conforme contrato. Letra de câmbio é o comprovante de uma aplicação de capital com vencimento pré-determinado, é um título ao portador, emitido exclusivamente por instituições financeiras.
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1 Método científico
Método: conjunto de meios e rotinas dispostos convenientemente para se chegara um fim que se deseja.
Método experimental: método que consiste em manter constantes todas as cau-sas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que se possa descobrir seusefeitos.
Método estatístico: método que admite todas as causas presentes variando-as,dada a impossibilidade de manter as causas constantes, registrando estas variaçõese procurando determinar que influências cabem a cada uma delas.
Estatística: a estatística é a parte da Matemática Aplicada que fornece métodospara a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para autilização dos mesmos na tomada de decisões.
2 Fases do método estatístico
As várias fases do método estatístico estão delineadas a seguir. As etapas descritasnas seções de planejamento, coleta, crítica, apuração e exposição constituem a Es-tatística Descritiva, enquanto a seção de análise constitui a Estatística Indutivaou Inferencial
∗Baseado em Estatística Fácil de Antônio Arnot Crespo, Editora Saraiva, 1999.
Noções de Estatística
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2.1 Planejamento
A primeira etapa consiste em planejar o modo como serão realizadas as fazes se-guintes, determinando o objetivo da pesquisa e os métodos que serão utilizados.Nesta etapa são definidos os objetivos, as características da amostra, o método deaquisição e de processamento de dados.
2.2 Coleta de dados
Coleta indireta
A coleta direta de dados é quando os dados são obtidos pelo próprio pesquisadoratravés de levantamento de registros (nascimentos, óbitos, notas fiscal, impostos,etc.) ou coletados diretamente através de inquéritos, questionários, etc.
A coleta direta pode ser classificado quanto ao fator tempo como:
• contínua: quando feita de forma continuada, como registro de nascimentose óbitos, frequência de alunos às aulas, etc.
• periódica: quanto feita em intervalos constantes de tempo, como censos (10em 10 anos), avaliações mensais dos alunos, etc.
• ocasional: quanto feitas em determinada situação para atender a um obje-tivo, como pesquisa de mortalidade de um rebanho, pesquisa de um produtono mercado, etc.
Coleta indireta
A coleta indireta é inferida de elementos conhecidos, através de uma coleta direta,ou do conhecimento de fenômenos relacionados ao fenômeno estudado. Por exem-plo, pesquisa sobre mortalidade infantil que é feita sobre a coleta direta de dadosde nascimentos e óbitos.
2.3 Crítica dos dados
Os dados obtidos devem ser criticados à procura de falhas sistemáticas no planeja-mento, aquisição e armazenamento dos dados.
2.4 Apuração dos dados
É a etapa de soma e processamento dos dados obtidos mediante critérios de classi-ficação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
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2.5 Exposição ou apresentação dos dados
Os dados sempre devem ser apresentados de forma adequada, seja através de ta-belas ou gráficos, seguindo os critérios determinados no planejamento e utilizadosno processamento dos dados. A exposição dos dados tem o objetivo de facilitar aanálise daquilo que é objeto do estudo estatístico.
2.6 Análise
A última etapa do processo estatístico consiste em tirar conclusões sobre os dadoslevantados e processados, inferindo conclusões sobre o todo (população) a partirde dados coletados de uma parte representativa da população (amostra)
3 População e amostra
3.1 Variáveis
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.As variáveis podem ser:
• qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos, de forma nãonumérica. Por exemplo sexo (M ou F), cor da pele (branca, preta, amarela,...), etc.
• quantitativa: quando seus valores são expressos por números. Por exemploidade, salário, volume, etc. As variáveis quantitativas ainda são classificadascomo:
– discreta: quando os seus valores podem enumerados. Ex. de conta-gem: do número de pessoas numa sala (1, 2, 3, . . .)
– contínua: quando os seus valores podem ser qualquer um num inter-valo. Ex. de medições: volume de uma caixa d’agua (1 m3, 1.1 m3,1.01 m3, . . .)
3.2 População e amostra
População e amostra referem-se ao conjunto de entes cujas propriedades desejamosaveriguar.
População estatística ou universo estatístico é o conjunto de entes portadoresde pelo menos uma característica em comum. Por exemplo, os estudantes consti-tuem uma população com uma característica em comum: são os que estudam.
Muitas vezes, por motivos práticos ou econômicos, limitam-se os estudos es-tatísticos somente a uma parte da população, a amostra. A amostra é um subcon-junto finito de uma população.
Como todo a análise estatística será inferida a partir das características obtidasda amostra, é importante que a amostra seja representativa da população, isto é,
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que as suas características de uma parte (amostra) sejam em geral as mesmas quedo todo (população).
3.3 Amostragem
Amostragem é a técnica especial de escolher amostras que garanta o acaso naescolha. Assim cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido,o que garante à amostra um caráter de representatividade da população.
3.3.1 Amostragem casual ou aleatória simples
Este tipo de amostragem é baseado no sorteio da amostra. Numera-se a populaçãode 1 a n e depois, utilizando um dispositivo aleatório qualquer, escolhem-se knúmeros desta sequência, que corresponderão aos elementos da amostra.EXEMPLO:
pesquisa da estatura de uma escola com 90 alunos (população: 90 alunos)usando uma amostra de 10% da população:
1. numeram-se os alunos de 1 a 90;
2. sorteiam-se 9 números (10% de 90) usando algum mecanismo aleatório ouatravés de uma Tabela de Números Aleatórios (veja o Apêndice D). Porexemplo escolhendo-se a 5a linha da tabela do Apêndice D), tem-se: 1435 30 19 66 27 77 45 38
3. os alunos numerados de acordo com a lista acima são escolhidos e tomadosos valores das suas estaturas, obtendo assim uma amostra da população dos90 alunos.
3.3.2 Amostragem proporcional estratificada
Quando a população se divide em sub-populações – estratos – é necessário utilizarum amostragem proporcional estratificada, que considera os estratos (subgrupos) eobtém a amostragem proporcional a estes.EXEMPLO: Suponha que no exemplo anterior, dos noventa alunos, 54 sejam me-ninos e 36 sejam meninas. Neste caso precisamos obter a amostra estratificada.Serão dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos uma amostra de10% da população. Assim,
1. Definimos a amostra em estratos:
SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA
M 54 5,4 5F 36 3,6 4
Total 90 9,0 9
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2. Numeram-se os alunos de 1 a 90 sendo que 1 a 54 correspondem a meninose de 55 a 90, a meninas. Tomando a 2 coluna, de cima para baixo, tem-se:56 05 46 74 90 17 75 63 31.
3. Neste caso serão obtidas as características dos seguintes alunos:56 05 46 74 90 – meninos17 75 63 31 – meninas.
3.3.3 Amostragem sistemática
Quando os elementos da população já estão ordenados, não é necessário construirum sistema de referência ou de amostragem. Neste caso a amostragem é sistemá-tica.EXEMPLO:
Suponha uma rua que tenha 500 prédios e desejamos obter uma amostra de 40prédios (8%). Como os prédios já estão ordenados na rua, podemos usar o seguinteprocedimento:
1. como 500/40 = 12.5, então temos de selecionar um prédio para a amostra acada 12.
2. sorteamos um número entre 1 e 12 inclusive, digamos que seja 5.
3. vamos amostrando os prédios iniciando pelo 5o e pulando de 12 em 12. As-sim, iniciamos pelo prédio 5, depois usamos o prédio 12+5, depois 12+12+5,e assim por diante.
4. No final teremos amostrado os 40 prédios.
4 Séries Estatísticas
4.1 Tabelas
A tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. Compõe-se de:
• corpo: linhas e colunas que contém os valores das variáveis em estudo.
• cabeçalho: parte superior que especifica o conteúdo das colunas.
• coluna indicadora: coluna que indica o conteúdo das linhas.
• casa ou célula: espaço destinado a uma só informação.
• título: conjunto de informações sobre a tabela (O quê? Quando? Onde?)localizada no topo da tabela.
EXEMPLO:
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PRODUÇÃO DE CAFÉ
BRASIL
Anos Produção(1000 ton)
1991 12211992 22341993 12541994 14451995 1112
FONTE: IBGE.
Normas para células
• usar um traço horizontal (—) quando o valor é nulo quanto à natureza dascoisas ou resultado do inquérito.
• três pontos (. . .) quando não temos dados.
• um ponto de interrogação (?) quando temos dúvida quanto à exatidão dovalor.
• zero (0; 0,0; 0,00) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pelagrandeza utilizada.
4.2 Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas
Descrevem os valores da variável, em determinado local, discriminados segundointervalos de tempo variáveis.EXEMPLO:
PREÇO DO ACÉM
SÃO PAULO
Anos Preço médio(US$)
1989 2,241990 2,731991 2,121992 1,891993 2,04
FONTE: APA.
4.3 Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização
Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminados segundoregiões.EXEMPLO:
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DURAÇÃO MÉDIA DOS
ESTUDOS SUPERIORES
1994
Países Núm. de anosItália 7,5Alemanha 7,0França 7,0Holanda 5,9Inglaterra < 4
FONTE: Revista Veja.
4.4 Séries específicas ou categóricas
Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminandosegundo especificações ou categorias.EXEMPLO:
REBANHOS BRASILEIROS
1992
Espécies Quantidade(1.000 cabeças)
Bovinos 154.440,8Ovinos 19.955,9Caprinos 12.159,6Suínos 34.532,2
FONTE: IBGE.
4.5 Séries conjugadas – tabela de dupla entrada
Constituem-se da conjugação de uma ou mais séries.EXEMPLO:
Podemos ter a conjugação de uma série geográfica com uma série histórica.
TERMINAIS TELEFÔNICOS EM SERVIÇO
Regiões 1991 1992Norte 342.938 375.658Sudeste 6.234.501 6.729.467Sul 1.497.315 1.608.989
FONTE: Ministério das Comunicações.
4.6 Distribuição de frequência
São dados agrupados de acordo com intervalos de valores das variáveis.EXEMPLO:
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ESTATURA DE 100 ALUNOS
DA ESCOLHA X – 1994
Estaturas Núm. de(cm) alunos140 ` 145 2145 ` 150 5150 ` 155 11155 ` 160 39160 ` 165 32165 ` 170 10170 ` 175 1Total 100
FONTE: dados fictícios.
4.7 Dados absolutos e dados relativos
Dados absolutos são aqueles resultantes da coleta direta da fonte, sem outra mani-pulação senão contagem ou medida. Os dados relativos são resultados de especi-ficações por quociente (razões) para facilitar a compreensão entre as quantidades.
4.7.1 Porcentagem
Os dados relativos são especificados como uma razão relativa ao total, que equivalea uma centena (100) ou uma unidade (1).EXEMPLO:Total do rebanho: 1456 (100%)Bovinos: 860/1456 = 0.59 ⇒ 59%Ovinos: 354/1456 = 0.243 ⇒ 24%Caprinos: 30/1456 = 0.02 ⇒ 2%Suínos: 212/1456 = 0.1456 ⇒ 15%
RELATIVO A 100:
REBANHOS DE UMA FAZENDA – 1992
Espécies Quantidade Porcentagem(cabeças) %
Bovinos 860 59Ovinos 354 24Caprinos 30 2Suínos 212 15Total 1456 100
FONTE: DADOS FICTÍCIOS.
RELATIVO A 1:
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REBANHOS DE UMA FAZENDA – 1992
Espécies Quantidade Proporção(cabeças)
Bovinos 860 0,590Ovinos 354 0,243Caprinos 30 0,020Suínos 212 0,146Total 1456 1
FONTE: DADOS FICTÍCIOS.
4.7.2 Índices
Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.EXEMPLO:
densidade demográfica =populaçãosuperfície
renda per capita =renda
população
4.7.3 Coeficientes
Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total (ocor-rências e não ocorrências).EXEMPLO:
coeficiente de natalidade =número de nascimentos
população total
coeficiente de evasão escolar =número de evadidos
total inicial de matrículas
4.7.4 Taxas
As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000,...) para tornar o resultado mais legível.EXEMPLO:
taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade × 1000
5 Gráficos estatísticos
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos cujo ob-jetivo é o de produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo.
A seguir são apresentados vários tipos de gráficos baseados na mesma sérieestatística apresentada na tabela abaixo.
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Totais de Óleo no RS em 2015Meses Consumo ProduçãoJan 1 2Fev 2 2Mar 4 3Abr 3 4Mai 4 4,5Jun 2 5Jul 2 3Ago 3 2
FONTE: DADOS FICTÍCIOS.
5.1 Gráficos em linha ou curva
Este tipo de gráfico usa uma linha poligonal para representar a série estatística.Para ficar mais claro pode ser hachurado (preenchido).
5.2 Gráficos em colunas ou em barras
Este tipo de gráfico usa colunas para representar a série estatística. Podem serverticais ou horizontais e conter barras múltiplas.
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5.3 Gráfico em setores
É o tipo de gráfico construído com base num círculo. É útil para representar fraçõesem relação ao total.
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Parte II
6 Distribuição de Frequência
6.1 Tabela Primitiva e Rol
A tabela em que os elementos não foram organizados numericamente chama-setabela primitiva. Por exemplo, considere o levantamento de dados da estatura de40 alunos da escola A (variável x), cujos resultados, em centímetros, mostrados natabela a seguir, estão colocados na sequência como foram obtidos.
Estatura de 40 Alunos da Escola A (cm)
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160162 161 168 163 156 173 160 155 164 168155 152 163 160 155 155 169 151 170 164154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
O primeiro passo para a organização dos dados é ordená-los de forma crescenteou decrescente. A tabela assim organizada recebe o nome de rol.
Estatura de 40 Alunos da Escola A (cm)
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169151 155 156 158 160 161 162 164 167 170152 155 156 158 160 161 163 164 168 172153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
A simples organização dos dados em um rol de ordem crescente já permite deter-minar diretamente o menor valor (x = 150 cm), o maior valor (x = 173 cm), ovalor que mais ocorre (x = 160 cm), e a amplitude da variação (a distância entre omaior e o menor, ∆x = 173 − 150 = 23 cm).
6.2 Distribuição de Frequência
Uma maneira mais concisa de mostrar os dados do rol é apresentar cada um seguidopelo número de vezes que ocorre, ao invés de repetí-los. O número de ocorrênciasde um determinado valor recebe o nome de frequência. Por exemplo, a estatura de155 cm ocorre 4 vezes que se escreve f(155) = 4; a estatura de 150 ocorre 1 vezou f(150) = 1.
A tabela que contém todos os valores com a sua frequência recebe o nomede distribuição de frequência. Veja abaixo uma distribuição de frequência cons-truída a partir do rol anterior (separada em 3 partes):
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Estat. Freq.150 1151 1152 1153 1154 1155 4156 3157 1
Estat. Freq.158 2160 5161 4162 2163 2164 3165 1166 1
Estat. Freq.167 1168 2169 1170 1172 1173 1
Total 40
Ainda assim, o processo exige muito espaço em especial quando o número devalores da variável (n) aumenta. O mais razoável nestes casos, em especial quandoa variável é contínua, é agrupar os valores por intervalos. Deste modo, ao invésde listar cada um dos valores que ocorrem, listam-se os intervalos de valores ea frequência correspondente, isto é, ao invés de colocar 1 aluno com 150 cm, 1aluno com 151 cm, etc., coloca-se 4 alunos entre 150 e 154 cm. Este intervalo éescrito como 150 ` 154 que corresponde a 150 6 x < 154 (a variável pode estardesde 150 inclusive até 154 exclusive), portanto valores 150, 150.1, 151, 152, 153,153.5, 153.99 estariam neste intervalo, mas 154 não. Definindo o rol de acordocom intervalos, tem-se a seguinte tabela:
Estatura de 40 Alunos do Colégio A
Estaturas Frequência(cm)
150 ` 154 4154 ` 158 9158 ` 162 11162 ` 166 8166 ` 170 5170 ` 174 3
Total 40
Procedendo desta forma perde-se a informação detalhada das estaturas, mas ganha-se em simplicidade, pois a análise dos dados fica simplificada. Examinando atabela acima, podemos facilmente verificar que a maioria dos alunos tem estaturasentre 154 e 166 cm e que uma minoria é menor que 154 cm ou maior que 170. Estaanálise não é imediata da tabela em que todos os valores são listados. Por outrolado, se desejarmos saber quantos alunos tem 150 cm de altura, esta informaçãonão estará disponível pois somamos os alunos de 150, 151, 152 e 153 cm numaúnica classe da distribuição de frequência.
Frequentemente procedemos desta forma numa análise estatística, pois o ob-jetivo da estatística é justamente fazer o apanhado geral das características de umconjunto de dados, desinteressando-se por casos particulares.
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6.3 Elementos de uma Distribuição de Frequência
6.3.1 Classe
As classes são intervalos de variação de uma variável. As classes são representadassimbolicamente por i, sendo i = 1, 2, . . . , k, onde k é o número total de classes. Onúmero total de valores é simbolizado por n.
Assim, no exemplo, o intervalo 154 ` 158 define a segunda classe (i = 2),o intervalo 166 ` 170 define a quinta classe (i = 5) e assim por diante. Comoa distribuição tem seis classes, logo k = 6. a variável x assume 40 valores, logon = 40.
6.3.2 Limites de Classe
Os limites de classe são os extremos de cada classe. Para uma determinada classei, o limite inferior é simbolizado por li e o limite superior por Li.
O limite inferior da segunda classe é escrito como l2 = 154, enquanto o limitesuperior da segunda classe é escrito como L2 = 158.
De acordo com o IBGE1 as classes devem ser escritas como desta quantidadeaté menor que aquela, usando para isso o símbolo `. Assim, li ` Li significainclusão de li e exclusão de Li. O indivíduo com estatura 158 cm estaria na terceiraclasse (i = 3) e não na segunda.
6.3.3 Intervalo de Classe
A amplitude de um intervalo de classe ou simplesmente intervalo de classe é otamanho do intervalo que define a classe. O intervalo da classe i é simbolizado porhi e é obtido pela diferença entre os seus limites:
hi = Li − li.
No exemplo que usamos, o tamanho do intervalo da segunda classe (h2) vale
h2 = L2 − l2 = 158 − 154 = 4 cm.
Todos as outras classes do exemplo também tem intervalo de 4 cm, pois este é ointervalo entre cada um dos limites inferiores e os limites superiores corresponden-tes.
6.3.4 Amplitude Total da Distribuição
A amplitude total da distribuição (AT ) é o intervalo total compreendido por todasas classes da distribuição, isto é, desde o limite inferior da primeira classe (l1) atéo limite superior da última classe (Lk). Matematicamente, escrevemos isso como
AT = Lk − l1.
1Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
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Ainda no nosso exemplo, temos seis classes (k = 6). O limite superior da últimaclasse (i = 6) vale L6 = 174, enquanto o limite inferior da primeira classe (i = 1)vale l1 = 150. Portanto,
AT = L6 − l1 = 174 − 150 = 24 cm.
Numa distribuição em que as classes que possuem o mesmo intervalo, a ampli-tude total pode ser escrita como o intervalo de classe multiplicado pelo número declasses
AT = hi k.
6.3.5 Amplitude Amostral
A amplitude amostral (AA) é o intervalo entre o maior valor (max(x)) e o menorvalor (min(x)) dos dados da amostra:
AA = max(x) − min(x)
No exemplo a maior estatura é 173 e a menor 150, logo AA = 173 − 150 = 23cm.
6.3.6 Ponto Médio de uma Classe
O ponto médio de uma classe é o ponto que divide a classe ao meio. O pontomédio da classe i é simbolizado por xi e calculado efetuando-se a média entre oslimites da classe:
xi =li + Li
2.
No nosso exemplo, o ponto médio da segunda classe é
x2 =l2 + L2
2=
154 + 158
2= 156 cm.
O ponto médio de uma classe é o valor representativo da classe.
6.3.7 Frequência Simples ou Absoluta
A frequência simples ou frequência absoluta ou simplesmente frequência deuma classe ou de um valor individual é o número de vezes que o valor ocorre numaamostra. A frequência da classe i é representada por fi. Assim, no exemplo temos
f1 = 4, f2 = 9, f3 = 11, f4 = 8, f5 = 5, f6 = 3.
A soma de todas as frequências é representada pelo símbolo de somatório (∑
).∑k
i=1fi significa a soma dos fi sendo que i vai desde 1 até k. Pode-se entender
que a soma de todas as frequências é igual ao número total de valores na amostra:
k∑
i=1
fi = n.
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Quando não há dúvidas, podemos escrever simplesmente:∑
fi = n
No nosso exemplo, escrever∑
6
i=1fi é como escrever f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6,
ou seja:
6∑
i=1
fi = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 4 + 9 + 11 + 8 + 5 + 3 = 40.
Neste ponto podemos reescrever a distribuição de frequência com a seguinterepresentação técnica da tabela:
Estatura de 40 Alunos do Colégio A
i Estaturas (cm) fi
1 150 ` 154 42 154 ` 158 93 158 ` 162 114 162 ` 166 85 166 ` 170 56 170 ` 174 3
∑
fi = 40
6.4 Determinação do Número de Classes e Intervalos de Classe
Quando dispomos de uma tabela primitiva ou de um rol, precisamos estabelecer aquantidade e o intervalo das classes que vamos criar, de outro modo a distribuiçãode frequência pode não ser útil para a nossa análise.
Uma das maneiras de determinar o número de classes é usando a Regra deSturges que determina k em função de n:
k ' 1 + 3.3 log(n)
onde k é o número de classes e n o número de dados. Da mesma forma podemosusar outra regra que associa k e n de outra forma:
k '√
n.
No nosso exemplo, usando a Regra de Sturges temos n = 40, logo k = 1 +3.3 log(40) = 6.28 ' 6, portanto utilizamos 6 classes. Com a outra regra, temosk =
√40 = 6.32 ' 6, cujo resultado para o número de classes é o mesmo.
Sabendo o número de classes (k) que vamos usar, podemos determinar o inter-valo de classes através da amplitude total da distribuição (AT )
h ' AT
k.
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virtu
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Nas equações acima foi usado o símbolo de aproximadamente (') ao invés deigualdade (=) porque estas fórmulas representam valores típicos a serem usadosmas que podem ser alterados ligeiramente de acordo com o objetivo da distribuiçãoou para evitar classes com frequências nulas enquanto outras tem valores muitoaltos. Com relação ao intervalo de classe, lembre-se que a amplitude total (AT )deve ser ligeiramente maior que a amplitude amostral (AA) para que a distribuiçãotenha intervalos para incluir todos os valores da amostra.
6.5 Tipos de Frequências
6.5.1 Frequências Simples ou Absoluta
Frequências simples ou absoluta (fi) são os valores que diretamente representamo número de dados de cada classe. A soma de todas as ocorrências em cada classeé igual ao número total de dados:
k∑
i=1
fi = n.
6.5.2 Frequências Relativas
Frequências relativas (fri) são as razões entre as frequências simples (fi) e afrequência total (n):
fri =fi
∑
fi
=fi
n.
A frequência relativa de uma classe mostra a parcela que aquela classe representada amostra. Assim, a frequência relativa da terceira classe do nosso exemplo é:
fr3 =f3
∑
fi
=11
40= 0.275,
então a terceira classe corresponde a uma fração de 0.275 do total ou 27.5 %.
6.5.3 Frequência Acumulada
Frequência acumulada (Fi) é a soma das frequências simples de todas as classescom intervalos inferiores a um determinada classe:
Fj =
j∑
i=1
fi = f1 + f2 + . . . + fj.
Assim, ainda no exemplo dos alunos, a frequência acumulada correspondente àterceira classe é
F3 =3
∑
i=1
fi = f1 + f2 + f3 = 4 + 9 + 11 = 24,
que significa que existem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superiorda terceira classe.)
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6.5.4 Frequência Acumulada Relativa
Frequência acumulada relativa (Fri) é a frequência acumulada da classe divididapela frequência total da distribuição:
Fri =Fi
∑
fi
=Fi
n.
Logo, para a terceira classe, temos:
Fr3 =F3
n=
24
40= 0.6
que significa que a fração de 0.6 alunos (ou 60%) tem estaturas inferiores à 162 cm(limite superior da terceira classe.)
A tabela completa do nosso exemplo fica assim:
Estatura de 40 Alunos do Colégio A
i Estaturas (cm) xi fi fri Fi Fri
1 150 ` 154 152 4 0.100 4 0.1002 154 ` 158 156 9 0.225 13 0.3253 158 ` 162 160 11 0.275 24 0.6004 162 ` 166 164 8 0.200 32 0.8005 166 ` 170 168 5 0.125 37 0.9256 170 ` 174 172 3 0.075 40 1.000
∑
fi = 40∑
fri = 1
Examinando a tabela, vemos por exemplo que a terceira classe corresponde a maiorfração de alunos (fr3 = 0.275), isto é, a maioria dos alunos tem estatura entre 158cm (inclusive) e 162 cm (exclusive). Também e’possível ver que 80% dos alunostêm estatura inferior a 166 cm pois a frequência acumulada até a quarta classe(L4 = 166) é 0.800 que corresponde a 80%.
6.6 Representações Gráficas de um Distribuição
6.6.1 Histograma
O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos cujas bases selocalizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que os seus pontos médios coinci-dam com os pontos médios dos intervalos de classe e seus limites coincidam comos limites da classe.
Um histograma para a frequência simples é mostrado abaixo:
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Parte III
7 Medidas de Posição
7.1 Média Aritmética
A média aritmética, simbolizada por x, é o quociente entre a soma dos valores deuma variável pelo número de valores
Média simples – dados não agrupados:
x =1
n
n∑
i=1
xi
Média ponderada – dados agrupados:
x =1
n
n∑
i=1
fi xi
Desvio da média – a diferença entre o valore e a média:
di = xi − x
7.1.1 Propriedades
Desvios A soma dos desvios é nula:
n∑
i=1
di = 0
Constante aditiva Somando uma constante C a todos os valores de uma variável,a média do conjunto fica aumentada desta constante2:
valores: xi → média: x
valores: yi = (xi + C) → média: y = (x + C)
2Subtrair equivale a somar uma constante negativa (−C)
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Constante multiplicativa Multiplicando uma constante C a todos os valores deuma variável, a média do conjunto fica multiplicada desta constante3 :
valores: xi → média: x
valores: yi = (C xi) → média: y = (C x)
EXEMPLOS:1. A média do conjunto xi = {1, 2, 3, 4, 5} é x = 3, enquanto a média do
conjunto yi = xi + 10 = {11, 12, 13, 14, 15} é y = x + 10 = 13
2. A média do conjunto xi = {1, 2, 3, 4, 5} é x = 3, enquanto a média doconjunto yi = 10xi = {10, 20, 30, 40, 50} é y = 10 x + 10 = 30
3. A média simples de uma vaca cuja produção ao longo de 7 dias é 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12litros cada dia vale:
x =1
n
n∑
i=1
xi =10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12
7=
98
7= 14.
Assim, uma outra vaca que produzisse 14 litros de leite em todos os 7 dias teria pro-duzido, no final, o mesmo que esta vaca cuja produção tenha sido 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12.
4. O desvio da média dos valores 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12 da produção de leitede uma determinada vaca são:
d1 = x1 − x = 10 − 14 = −4
d2 = x2 − x = 14 − 14 = 0
d3 = x3 − x = 13 − 14 = −1
d4 = x4 − x = 15 − 14 = 1
d5 = x5 − x = 16 − 14 = 2
d6 = x6 − x = 18 − 14 = 4
d7 = x7 − x = 12 − 14 = −2.
Somando todos os desvios:
n∑
i=1
di =
n∑
i=1
(xi − x) = −4 + 0 − 1 + 1 + 2 + 4 − 2 = 0,
conforme esperado pela propriedade.
5. A média ponderada é aplicada quando os dados já estão agrupados. Consi-dere a tabela
3Dividir equivale a multiplicar pelo inverso de uma constante ( 1
C)
21
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
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apos
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ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
Núm. alunos 0 1 2 3 4fi 2 6 10 12 4
∑
= 34
A média vale:
x =1
n
n∑
i=1
fi xi =2 · 0 + 6 · 1 + 10 · 2 + 12 · 3 + 4 · 4
34= =
78
34= 2.29.
Note que n =∑
i fi.
7.2 Moda
A moda (Mo) é o valor que ocorre com mais frequência na distribuição.Quando os dados estão agrupados em classes, a moda correponde a frequência
simples mais alta e o valor da moda é tomado como o ponto médio do intervaloda classe. Se os limites inferior e superior da classe mais frequente são l∗ e L∗, amoda será (l∗ + L∗)/2
EXEMPLO: Considere os seguintes salários: 100, 90, 110, 100, 100, 2500. A modaé o valor que mais ocorre, Mo = 100. Neste caso a média é x = 500.
Distribuição modal: é aquela que possui uma só moda.xi = {100, 90, 110, 100, 100, 2500} → Mo = 100.
Distribuição bimodal: possui duas modas.xi = {100, 200, 100, 100, 150, 210, 200, 120, 200} → Mo = 100 e Mo = 200.
Distribuição amodal: não possui moda.xi = {1, 2, 3, 6, 7, 22, 300} → @ Mo
7.3 Mediana
A mediana ou valor mediano (Md) é o valor que divide a série ordenada em doisconjuntos com o mesmo número de valores. Se a série tem um número ímpar devalores, a mediana é o valor que está no meio (ponto mediano) da série. Se a sérietem um número par de valores, então utiliza-se como mediana o valor médio entreos dois valores que estão no meio da série.
EXEMPLO:Na série ordenada {2, 5, 6, 8, 10, 13, 15, 16, 18}, temos que Md = 10 pois
abaixo de 10 temos 4 números (2, 5, 6, 8) e acima de 10 também 4 (13, 15, 16, 18).Na série ordenada {1, 3, 6, 8, 9, 10}, temos que Md = (6 + 8)/2 = 7, pois não
há um só número no centro da série, assim utilizamos o valor médio dois númeroscentrais.
22
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w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
w .
apos
tilas
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ww
w .
apos
tilas
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ais
. com
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
7.4 Posição relativa da média, mediana e moda
No caso de um distribuição simétrica (caso (a) na figura abaixo), as média, a me-diana e a moda tem o mesmo valor. Entretanto, se a distribuição apresenta algumatendência para valores positivos ou negativos, as medidas de posição poderão di-ferir. No caso de uma distribuição assimétrica positiva (caso b abaixo) tem-se queMo < Md < x. No caso de um distribuição assimétrica negativa, tem-se quex < Md < Mo.
Distribuições: (a) simétrica, (b) assimétrica positiva e (c) assimétrica negativa.
8 Medidas de dispersão
8.1 Variância e desvio padrão
Para determinar a dispersão de uma série de medidas poder-se-ia usar a soma detodos os desvios di = xi−x dos valores com relação a média dividido pelo númerode valores, assim obtendo uma média dos desvios. Entretanto, como esta somaé nula (
∑
i di = 0), usa-se a soma dos desvios ao quadrado, pois elevando-se aoquadrado, perde-se a informação do sinal. Deste modo, define-se a variância como
s2 =1
n − 1
n∑
i=1
(xi − x)2.
Além disso, como a variância é uma medida que envolve o quadrado das quantida-des, é comum usar a raiz quadrada da variância, chamado de desvio padrão:
s =
√
√
√
√
1
n − 1
n∑
i=1
(xi − x)2
Como maneiras alternativas de calculas o desvio padrão ou a variância podemosusar a equação:
s =
√
∑
x2
i
n−
(∑
xi
n
)2
que em algumas situações evita arredondamentos usados nas outras equações pro-duzindo resultados mais precisos.
EXEMPLO:
23
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
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apos
tilas
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ais
. com
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
Considere a série a seguir: xi = {8, 10, 12, 9, 11, 7, 13}, para a qual x = 10.Para calcular a variância e o desvio padrão é útil construirmos uma tabela com osdesvios:
xi di = xi − x d2
i
8 -2 410 0 012 2 49 -1 111 1 17 -3 913 3 9
∑
di = 0∑
d2
i = 28
Deste modo, o desvio padrão pode ser calculado:
s =
√
√
√
√
1
n − 1
n∑
i=1
(xi − x)2 =
√
1
628 ' 2.16
média: x = 10
desvio padrão: s ' 2.16
Do mesmo modo, considere a série yi = {10, 11, 9, 10, 10, 9, 11}, que tem amesma média y = 10. e para cuja tabela de desvios tem-se:
xi di = xi − x d2
i
10 0 011 1 19 -1 110 0 010 0 09 -1 111 1 1
∑
di = 0∑
d2
i = 4
Procedendo da mesma forma, calcula-se o desvio padrão
s =
√
1
64 ' 0.81
média: x = 10
desvio padrão: s ' 0.81
24
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
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apos
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. com
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. com
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apos
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ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
8.2 Interpretação do desvio padrão
O desvio padrão indica a dispersão dos dados dentro da amostra, isto é, o quanto osdados em geral diferem da média. Quanto menor o desvio padrão, mais parecidossão os valores da série estatística. Nos exemplos acima, nota-se que tanto a série xi
quanto yi têm o mesmo número de dados e ambas tem a mesma média, entretantoo desvio padrão de xi é bem maior que de yi, que indica que os dados em xi estãomais afastados da média que em yi. De fato, se examinamos as séries, vemos queem xi há valores que estão até 3 unidades afastadas da média (7 e 13), enquanto nasérie yi o maior afastamento é de 1 unidade (9 e 11).
Numa distribuição normal e simétrica, o desvio padrão é calculado dá umaideia de onde estão localizados os valores da amostra, em torno da média, da se-guinte maneira:
• 68% dos valores da série estão até 1 desvio padrão de distância da média,isto é, estão entre x − s e x + s.
• 95% dos valores da série estão até 2 desvios padrão de distância da média,isto é, estão entre x − 2s e x + 2s.
• 99.7% dos valores da série estão até 3 desvios padrão de distância da média,isto é, estão entre x − 3s e x + 3s.
Assim, para simplificar, assuma uma série estatística relativa a alguma medidade uma população e cujos valores tem média x = 100 e desvio padrão s = 10. Deacordo com as afirmações acima, podemos dizer que 68% da amostra tem valoresentre 90 (100-10) e 110 (100+10); da mesma forma, podemos dizer que 95% daamostra tem valores que se situam entre 80 (100 − 2 · 10) e 120 (100 + 2 · 10);finalmente, 99.7% situa-se entre 70 (100 − 3 · 10) e 130 (100 − 3 · 10).
A média de uma série estatística frequentemente é especificada mostrando-seo desvio padrão junto, da seguinte forma:
x ± s
que indica a dispersão da amostra. Nos exemplos acima, ter-se-ia especificado10 ± 2.16 para xi e 10 ± 0.81 para yi.
No caso de uma série de medidas de uma mesma quantidade, o desvio padrãoindica a incerteza nas medidas, ou o erro associado. Por isso, pode-se usar o desviopadrão para determinar os algarismos significativos de uma série de medidas. Porexemplo, se para várias medidas de uma mesma quantidade em laboratório obteve-se para valor de média x = 15.943 e para desvio padrão s = 2. Um trabalhadordescuidado escreveria x ± s = 15.943 ± 2, entretanto o significado deste desviopadrão é que não temos certeza se a média é na verdade 13 (15-2) ou 17 (15+2),então como poderíamos saber sobre as três casas decimais mostradas? Realmente,a parte decimal 0.943 deveria ser desprezada e escrever-se-ia somente x ± s =15 ± 2. No mesmo caso, se o desvio padrão fosse s = 0.2 então poderíamos
25
ww
w .
apos
tilas
virtu
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. com
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apos
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. com
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virtu
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. com
escrever a média até a mesma casa do desvio padrão, isto é, x ± s = 15.9 ± 0.2, eassim por diante.
8.3 Coeficiente de variação
Para comparar a variação do desvio padrão com a média, usa-se a razão entre odesvio padrão e a média, chamado de coeficiente de variação, que muitas vezes émultiplicado por 100 para dar o resultado em porcentagem:
CV =s
x· 100
Por exemplo, se a média vale x = 980 e o desvio padrão s = 56, temos
CV =56
980· 100 = 5.7%,
que indica a dispersão da amostra.
26
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w .
apos
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Apêndices
A Exercícios Parte I
POPULAÇÃO E AMOSTRA
1. Uma escola abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa corres-pondendo a 15% da população. Descreva o seu método de escolha da amostra.
2. O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 280 meninos e 320meninas, deseja fazer um levantamento das condições de vida dos estudantes. Paradiminuir os custos, resolve fazer um levantamento com 10% dos estudantes. Obte-nhas os componentes da amostra para esta população.
3. Mostre como seria possível retirar uma amostra de 32 elementos de umapopulação ordenada formada por 1920 elementos.
4. Os seguintes bairros de uma cidade apresentam o quadro de eleitores abaixo:Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 eleitores.
Bairro Homens MulheresA 80 95B 102 120C 110 92D 134 228E 150 130F 300 290
Total 876 955
SÉRIES ESTATÍSTICAS
5. Considere a seguinte série estatística: Complete-a, determinando as porcen-
Série Alunos matriculados %1a 5462a 3283a 2804a 120
Total 1274
tagens com uma casa decimal e fazendo a compensação, se necessário.
6. Considerando que Minas Gerais, em 1992, apresentou os seguintes dados(IBGE):
população: 15.957,6 mil habitantes;superfície: 586.624 km2;nascimentos: 292.036;óbitos: 99.281;
27
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w .
apos
tilas
virtu
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. com
ww
w .
apos
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apos
tilas
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. com
Calcule:a) o índice de densidade demográfica;b) a taxa de natalidade;c) a taxa de mortalidade;
7. Uma escola apresenta, no final do ano, o seguinte quadro:
MatrículasSéries Março Novembro
1a 480 4752a 458 4563a 436 4304a 420 420
Total 1794 1781
Calcule:a) a taxa de evasão por série;b) a taxa de evasão da escola;
8. Considere que um rebanho de ovelhas é constituído por animais que pos-suem os seguintes pesos em kg:21 14 21 7 25 13 12 27 19 26 15 14 6 27 11 7 26 24 27 1229 21 20 9 3 12 28 21 9 21 28 13 20 15 25 23 9 26 13 6 423 17 13 17 19 19 26 10 4 28 6 22 5 11 17 8 23 9 24Faça os procedimentos estatísticos nos itens abaixo, explicando suas escolhas emcada passo detalhadamente. Para cada um dos itens, apresente os indivíduos esco-lhidos ordenados, determine o menor e maior valor e a média da amostra.a) Uma amostra de 10% da populaçãob) Uma amostra de 50% da populaçãoc) Uma amostra de 75% da populaçãod) A população inteira.Refaça os cálculos para toda a população e compare os seus resultados com aquelesdeterminados para as amostras.
28
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w .
apos
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. com
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ais
. com
B Exercícios Parte II
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
1. As notas obtidas por 50 alunos em uma classe foram
1 2 3 4 5 6 6 7 7 82 3 3 4 5 6 6 7 8 82 3 4 4 5 6 6 7 8 92 3 4 5 5 6 6 7 8 92 3 4 5 5 6 7 7 8 9
a) Complete a distribuição de frequência abaixo:
i Notas xi fi fri Fi Fri
1 0 ` 2 1 12 2 ` 43 4 ` 64 6 ` 85 8 ` 10
∑
fi =∑
fri =∑
Fi =∑
Fri =
b) Responda:1. Qual a amplitude amostral?2. Qual a amplitude da distribuição?3. Qual o número de classes da distribuição?4. Qual o limite inferior da quarta classe?5. Qual o limite superior da classe 2?6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?
c) Complete (mostrando os cálculos):1. h3 =2. n =3. l1 =4. L3 =5. x2 =6. f5 =7. k =8.
∑
5
i=1fi =
29
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
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. com
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ais
. com
ww
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. com
2. Complete a tabela abaixo:
Número de filhos para uma amostra de famílias
i xi fi fri Fi Fri
1 0 1 . . . . . . . . .2 1 . . . 0.15 4 . . .3 2 4 . . . . . . . . .4 3 . . . 0.25 13 . . .5 4 3 0.15 . . . . . .6 5 2 . . . 18 . . .7 6 . . . . . . 19 . . .8 7 . . . . . . . . . . . .
∑
fi = 20∑
fri = . . .
Baseando-se nesta tabela responda as perguntas:a. Quantos famílias tem 2 filhos?b. Qual a fração de famílias com 4 filhos? E a porcentagem?c. Quantas famílias têm até 3 filhos?d. Quantas famílias têm mais de 5 filhos?e. Quantas famílias têm até 7 filhos?
30
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virtu
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C Exercícios Parte III
MOMENTOS DA DISTRIBUIÇÃO
1. Para as séries abaixo, calcule a moda, a média, a mediana, o desvio padrão e ocoeficiente de variacão:
• 1, 3, 3 , 5, 7, 9, 11
• 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20
• 17.9, 22.5, 13.3, 16.8, 15.4, 14.2
• -10, -6, 2, 3, 7, 9, 10, 8, -2, 0, 8, 2, 3, 2
• 87, 82 ,81, 93, 94, 78, 99, 80, 82, 88, 82, 83
2. Um experimento de laboratório é realizado para medir a viscosidade do azeite,obtendo-se os seguintes valores: 0,040; 0,041; 0,042; 0,039; 0,041 e 0,039 mš/s.Calcule o valor médio, a variança e o desvio-padrão.
3. Dois torneiros, Paulo e João, concorrendo a uma vaga em uma metalúrgica,submeteram-se ao seguinte teste de precisão: cada um deles construiu quatro rodasde ferro, que deveriam ter 5 cm de diâmetro. A tabela abaixo descreve o desempe-nho de cada um.
Diâmetro Diâmetro Diâmetro Diâmetro(roda 1) (roda 2) (roda 3) (roda 4)
Paulo 4,8 5,2 5,0 5,0João 4,7 5,3 5,0 5,0
Qual foi o concorrente mais regular?
4. Um atirador de ferraduras localiza-se a 30m de seu alvo. Os resultados doslançamentos são:
Lançamento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Desvio do alvo (m) 0,0 3,0 -4,2 0,0 1,5 2,4 -2,6 3,5 2,7 0
a) qual é a distância média ao alvo atingida pelo jogador?b) qual é o desvio padrão?c) O que pode dizer a respeito da qualidade do jogador?
5. A seguir, apresentam-se algumas estimativas para a velocidade da luz, determi-nadas por Michelson em 1882 (Statistics and Data Analysis, Siegel):
299.96 299.88 299.90 299.94 299.88299.96 299.85 299.94 299.80 299.84
31
ww
w .
apos
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ais
. com
Utilizando uma máquina que só admite números até 6 digitos a) Determine a médiab) Determine o desvio padrão, utilizando a expressão da definição, abaixo:
s =
√
√
√
√
1
n − 1
n∑
i=1
(xi − x)2
c) Determine o desvio padrão, utilizando a fórmula deduzida para efeitos de cál-culo, abaixo, e compare o resultado com o obtido no item anterior. Qual a respostacorreta ?
s =
√
∑
x2
i
n−
(∑
xi
n
)2
d) Subtraia 299 de cada um dos dados e determine o desvio padrão, dos resultadosobtidos, utilizando a fórmula utilizada na alínea anterior. Comente os resultadosobtidos.e) Calcule a média dos valores com que trabalhou no item d). Adicione à médiaobtida 299. Compare-a com a obtida no item a).
6.Considere os seguintes dados de diâmetro de laranjas (em mm)
40 42 45 45 48 49 50 50 50 5151 52 55 55 57 58 59 59 60 6060 61 62 62 64 64 64 64 64 6565 66 67 68 68 68 69 71 71 7272 73 75 75 78 78 79 80 80 8183 85 87 88 89 91 92 93 96 9698 100 101 101 101 102
Calcular:a) médiab) medianac) modad) variânciae) desvio padrão.
32
ww
w .
apos
tilas
virtu
ais
. com
ww
w .
apos
tilas
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ais
. com
ww
w .
apos
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. com
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. com
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. com
D Tabela de Números Aleatórios
Tabela construída de modo que 10 algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acasonas linhas e colunas. Gerada pelo seguinte programa Perl (a cada invocação doprograma, a sequência de números será diferente):
#!/usr/bin/perl -w
for ($j=0; $j<50; $j++){for ($i=0; $i<50; $i++){
print int(rand(10)), " ";}print "\n";
}
6 5 0 2 1 2 6 5 7 6 5 1 4 3 7 5 2 7 7 0 5 7 3 0 1 2 3 0 7 3 4 3 3 0 6 5 4 0 1 6 4 6 7 6 2 4 4 0 5 35 6 5 3 0 9 1 9 0 9 7 9 6 4 5 8 7 0 5 1 3 3 7 8 7 1 9 3 4 7 8 1 9 8 1 5 2 5 2 3 2 7 9 7 8 8 5 3 1 55 0 6 8 3 4 3 0 2 4 3 9 6 8 8 8 7 7 5 8 1 1 8 8 0 0 6 3 4 1 2 2 5 0 1 3 0 8 7 5 0 0 7 5 4 2 6 7 7 09 5 3 2 7 4 8 1 4 1 5 3 5 1 8 5 6 0 2 4 0 1 1 6 1 6 6 8 4 6 3 0 8 4 8 6 6 0 6 6 9 7 7 5 8 4 9 9 3 21 4 3 5 3 0 1 9 6 6 2 7 7 7 4 5 3 8 4 6 3 9 8 3 9 2 9 1 6 8 2 2 0 0 5 5 0 8 6 4 9 0 9 1 1 2 0 1 4 55 6 6 0 9 3 3 0 4 0 4 5 0 9 0 1 8 5 5 3 9 5 6 8 5 7 7 4 0 1 7 8 6 5 1 3 4 5 6 5 1 3 4 8 0 4 0 1 4 35 7 1 1 5 6 5 6 8 5 9 4 0 9 0 8 0 7 4 9 7 5 8 4 4 5 0 4 8 3 6 9 0 9 0 1 8 4 0 0 0 0 0 7 1 0 1 3 5 43 4 9 1 0 9 2 6 6 0 0 2 8 9 5 5 6 0 4 2 9 4 7 5 6 3 4 7 4 8 2 8 7 7 5 7 0 3 1 5 8 0 3 1 1 6 0 3 2 78 9 3 9 9 7 2 1 2 3 4 6 8 1 5 4 2 8 2 3 0 5 4 0 7 3 1 7 9 2 4 9 0 2 1 7 4 6 0 8 6 2 7 6 9 2 1 2 7 36 0 9 9 2 1 9 1 7 4 0 2 2 0 2 8 6 6 0 9 9 4 1 1 9 8 0 6 0 2 7 0 3 0 6 6 8 9 1 9 7 8 3 9 5 1 5 1 1 57 1 5 5 8 1 5 5 6 5 6 3 3 4 8 2 2 3 7 5 4 9 7 4 9 2 0 3 8 4 3 6 3 0 5 4 5 4 4 0 3 3 1 8 7 3 1 9 1 02 7 8 8 2 2 8 4 1 0 1 9 1 7 2 6 5 0 7 3 9 8 5 9 9 5 2 5 4 3 2 7 7 3 7 0 2 2 6 4 5 9 4 5 5 5 1 2 0 44 7 9 6 2 5 1 8 8 3 9 8 8 1 6 3 0 5 8 6 1 0 7 7 9 8 7 1 3 7 1 8 0 1 1 1 5 8 8 7 5 0 2 2 1 9 4 6 6 05 5 7 8 4 6 5 6 8 6 3 2 0 0 1 5 6 5 2 8 9 2 1 5 6 9 0 1 8 3 8 2 6 5 7 7 0 0 3 3 6 8 3 3 2 4 9 2 0 11 6 4 8 1 8 3 0 3 1 2 3 8 0 1 5 8 7 6 0 8 6 0 7 9 7 2 4 7 1 3 2 7 4 6 4 9 2 6 0 2 9 4 7 7 2 4 3 1 58 3 9 1 7 2 3 1 0 4 4 6 4 3 4 4 1 0 7 9 1 3 8 1 5 3 1 4 1 9 0 1 0 1 4 4 1 3 2 9 6 7 7 3 8 2 4 1 4 32 3 0 6 6 1 4 1 3 3 9 8 3 1 3 7 2 3 3 7 8 9 5 1 1 8 5 7 8 1 3 0 3 5 6 2 6 1 6 3 2 6 5 9 6 9 5 3 7 43 1 2 1 9 6 4 5 0 7 8 7 3 0 7 9 1 3 7 4 4 5 2 3 6 5 2 6 1 8 5 4 7 9 6 8 2 6 1 8 0 0 5 0 1 4 0 5 2 18 5 4 5 9 3 2 8 9 8 4 4 9 4 7 5 4 9 4 4 7 5 2 5 9 0 4 1 2 0 6 0 4 1 5 3 6 4 5 5 0 5 3 1 8 7 7 9 0 35 2 3 8 4 1 2 6 3 9 5 9 8 5 4 2 7 1 0 1 6 3 7 9 1 1 8 1 0 7 2 4 0 1 0 5 3 4 6 5 3 1 1 9 8 0 1 0 5 51 9 4 8 0 4 3 8 3 4 8 8 6 4 7 7 7 2 1 7 7 9 3 3 2 5 1 5 8 4 9 0 5 5 0 6 7 0 2 4 7 4 3 5 7 5 7 0 8 77 2 5 4 0 2 9 6 6 1 3 5 7 1 3 0 8 2 1 5 9 7 8 4 8 4 0 5 7 6 6 7 1 0 0 5 4 5 6 2 2 2 4 5 4 1 4 9 1 53 1 0 1 4 6 2 3 6 2 7 7 5 8 6 1 9 9 5 1 4 4 1 4 0 5 0 2 1 3 9 4 7 1 9 3 5 2 5 5 5 3 9 4 7 0 3 2 3 05 4 0 2 5 2 2 8 6 7 0 8 7 9 2 9 5 2 1 6 2 2 0 9 6 3 0 1 2 6 1 8 2 4 2 9 3 6 9 9 1 4 2 2 4 6 5 3 6 33 2 1 7 6 8 3 3 1 0 0 7 3 7 1 7 2 3 5 0 0 3 5 7 5 4 7 1 3 5 9 6 4 4 5 2 4 1 5 2 2 3 1 9 2 0 5 8 5 17 3 5 1 1 5 5 3 5 3 6 7 7 3 7 7 9 4 8 6 5 4 5 5 9 6 3 3 6 9 0 3 4 3 0 2 9 2 9 0 3 8 5 1 1 0 9 5 2 16 0 5 4 3 4 8 2 3 3 1 2 6 1 3 0 7 6 3 0 3 8 1 2 9 7 6 9 8 2 0 3 7 0 9 8 8 5 6 0 5 5 5 6 8 5 4 2 8 70 8 5 1 3 6 0 9 6 5 9 2 1 4 2 9 3 9 2 6 3 5 3 6 3 1 2 3 6 9 1 9 9 3 3 6 9 5 5 5 0 2 7 6 8 7 6 2 9 83 1 4 8 7 0 0 1 3 2 1 8 8 9 6 7 0 6 3 7 6 7 1 5 1 0 2 4 4 3 6 5 1 3 3 3 5 4 2 3 4 8 6 0 6 1 7 5 7 25 4 2 2 0 3 0 7 2 5 3 9 5 3 5 7 4 0 6 4 5 4 2 3 4 2 9 9 5 5 1 9 1 2 0 4 5 9 2 9 1 4 6 5 6 2 0 0 7 17 0 7 1 6 3 5 7 0 0 5 9 7 6 3 7 3 3 9 1 6 9 2 7 2 7 2 8 3 9 2 9 2 9 6 0 6 0 4 2 9 5 3 9 3 9 2 3 0 57 8 9 9 7 8 8 7 1 7 3 7 6 5 5 9 6 2 4 6 9 7 7 8 6 9 4 9 3 3 9 7 3 4 9 5 1 6 5 5 0 4 8 1 2 5 0 8 9 41 1 5 2 3 5 9 1 8 0 4 2 2 7 1 0 9 2 7 7 6 0 7 5 7 0 5 3 8 7 9 2 6 4 6 7 3 0 2 5 7 6 9 7 2 6 5 8 7 36 4 3 4 7 0 0 6 9 6 2 7 2 6 4 1 1 5 8 0 2 0 1 8 4 8 6 8 2 0 6 6 4 0 3 1 3 5 3 2 3 0 9 2 9 7 8 0 5 78 0 3 6 3 2 7 1 8 4 7 0 4 7 6 7 2 0 5 0 7 3 7 7 8 9 5 1 5 5 3 1 5 5 0 5 9 0 6 6 9 1 0 2 5 3 3 0 7 18 9 6 4 4 3 8 4 7 4 4 7 9 4 6 1 7 0 5 9 5 0 1 2 9 0 3 2 2 9 6 8 2 1 9 1 6 4 6 1 5 8 4 2 6 8 4 2 0 07 1 6 7 7 9 6 0 6 3 4 0 9 5 8 5 6 0 5 6 4 6 6 4 3 0 7 1 9 5 2 6 1 5 0 9 0 3 3 9 8 3 3 2 2 6 6 2 9 46 6 0 5 3 3 7 2 7 7 7 9 4 0 0 5 4 7 0 1 2 9 7 0 6 2 0 2 2 5 4 9 9 1 4 5 6 6 6 6 4 6 6 5 2 0 5 4 1 13 2 5 2 6 1 4 3 7 6 4 6 6 8 9 0 0 3 1 6 4 7 4 6 8 8 2 6 3 7 5 1 0 2 5 7 1 2 1 9 7 3 5 6 2 3 3 5 4 82 2 9 2 9 3 9 3 4 5 1 5 5 8 5 4 4 8 8 2 1 1 3 4 4 1 4 3 7 5 9 4 8 9 3 4 5 2 3 9 7 1 1 5 6 3 7 4 0 99 2 7 8 0 8 4 7 7 9 3 9 7 2 6 4 8 2 5 9 9 6 7 0 2 5 6 8 5 2 9 5 8 0 3 7 7 4 8 9 3 5 0 0 9 2 9 7 7 32 5 3 0 0 0 0 9 7 7 2 6 4 9 3 9 5 5 7 6 8 9 8 9 6 0 2 0 2 2 7 1 6 7 9 8 0 2 4 3 0 8 6 0 3 0 1 5 5 95 6 7 8 7 0 0 6 9 9 2 1 2 5 7 0 2 0 7 0 5 9 0 7 2 5 5 8 4 8 5 1 2 6 3 6 5 3 2 9 7 9 0 5 3 2 4 2 1 49 4 2 5 6 5 3 1 5 9 6 4 3 3 8 3 0 2 3 3 1 6 7 7 2 3 8 4 0 7 1 3 6 2 7 5 1 5 3 7 5 5 9 6 3 4 0 6 0 95 1 9 5 4 0 5 5 9 4 7 7 4 2 3 5 3 0 2 1 4 0 9 3 4 9 8 6 8 2 4 8 4 8 0 7 6 7 9 5 3 9 9 1 3 5 6 2 0 75 9 2 5 6 1 0 4 7 1 6 4 1 5 3 2 1 9 3 2 0 6 8 6 3 3 7 5 6 4 2 4 0 0 9 6 1 6 5 0 2 3 7 1 9 8 3 1 4 86 8 8 2 9 5 4 3 5 4 5 2 9 5 5 2 0 5 3 3 6 2 1 9 4 7 1 3 1 0 2 5 7 8 5 5 7 5 8 9 7 3 0 8 8 9 1 8 8 13 2 5 1 4 0 3 0 1 8 2 5 0 1 0 7 6 0 3 4 1 5 1 9 8 0 3 0 6 3 2 0 9 8 3 3 8 0 9 3 3 7 1 8 2 3 9 9 1 15 6 5 2 9 8 7 1 4 1 3 9 3 2 6 3 8 5 2 1 2 6 4 7 9 7 1 9 0 2 2 8 4 6 4 3 5 9 4 5 9 9 6 1 3 6 5 2 3 16 5 9 8 2 2 3 1 8 1 7 8 0 8 5 4 0 9 1 3 0 2 1 6 7 4 5 1 7 8 2 6 4 3 8 9 9 7 1 0 6 3 4 5 9 0 1 6 1 8
33
ww
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Problema é o resultado indesejável de um trabalho.
A solução de um problema é poss íve l através das anál ises das re lações entre caracter íst icas e causas de um problema, executando ações corret ivas apropriadas.
Entretanto, esse processo de estratégica de soluções de problema pode ser abordado sob diversos ângulos. Consequentemente, quando se usa uma metodologia mal apl icada, não se chega a ações de melhor ia . Sendo ass im, é importante entender as re lações entre as causas atuais e as caracter íst icas do problema ou efei to .
O MASP na verdade é um procedimento uti l izado para a resolução de problemas.
Os procedimentos padronizados são úteis no desenvolv imento deste entendimento.
Para so lucionar problemas em qualquer área, ex istem procedimentos e regras .
Se estes não forem usados adequadamente, não se pode vencer os obstáculos e obter o sucesso. O mesmo é verdade na solução para obter resultados posi t ivos.
É necessár io conhecer as verdadeiras causas para implementar melhor ias e a lcançar as metas .
METODO DE ANÁLISE E SOLUÇÃO DE PROBLEMAS - MASP O MASP aqui apresentado foi estruturado de maneira a a judar o administrador a so luc ionar os problemas, co locando este assunto dentro de um processo adequado de anál ise , e fornecendo aos gerentes meios para :
• Anal isar e pr ior izar os problemas.
• Ident i f icar a lgumas s i tuações que exigem atenção e que às vezes não estão c laras .
• Estabelecer o controle rapidamente em determinada s i tuações.
• Planejar um trabalho que será fe i to.
O MASP é um processo dinâmico na busca de soluções para uma determinada s ituação.
Não é um processo r íg ido e s im um processo f lex ível em cada caso com que de se defrontar .
E le procura encontrar respostas ta is , como:
• Pr ior ização do problema.
• Divisão do problema em partes que possam ser anal isáveis .
• Ver i f icações das s i tuações que necess i tam de atenção.
O objet ivo é aumentar a probabi l idade de resolver sat is fator iamente uma s i tuação onde um problema tenha surgido.
A so lução de problema é um processo que segue uma seqüência lógica, começando pela ident i f icação do problema, cont inuando pela anál ise e terminando com a tomada de decisão.
Cada etapa descreve os objet ivos, as at iv idades a serem desenvolv idas, as pessoas envolvidas e as ferramentas mais usadas , no sent ido que o administrador compreenda e saiba como apl icá- los em seu trabalho.
E le precisa estar informado de todas as s i tuações, e processar todos esses dados a respeito do problema que possa v i r a encontrar .
A anál ise do problema é um processo lógico de estrei tar um corpo de informação durante a busca por uma solução.
A cada estágio, a informação vai surgindo, à medida que o processo se movimenta para o que está errado, passando para o problema a ser tratado e a seguir para as poss íveis causas que f izeram o problema surgir , e f ina lmente para a causa mais provável com uma ação corret iva especí f ica em re lação ao problema.
O administrador precisa organizar o s istema para que os passos s igam uma ordem determinada, e deve também seguir as etapas de acordo como descr i to no roteiro, af im de que o t rabalho possa ser executado.
Diversos autores apresentam uma metodolo gia baseada em uma seqüência própr ia .
Muitas são as seqüências de at iv idades, sendo que cada caso está baseada no rac iocín io e na lógica.
As seqüências de MASP que serão apresentadas a seguir são as ut i l izadas por dois autores consagrados, conforme a tabela a seguir :
Resolução de Problemas
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tilas
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HISTOSHI KUME - QC STORY JURAN
1- Problema - identificar o problema 1- Definir e organizar o projeto
2-Observação - apreciar as características do problema.
3- Análise - determinar as causas principais. 2- Diagnosticar as causas
4-Plano de Ação - conceber um plano para eliminar as causas.
5-Ação - agir para eliminar as causas. 3-Remediar o problema.
6-Verificação - confirmar a eficácia da ação. 7-Padronização - eliminar definitivamente as causas.8-Conclusão - recapitular as atividades
desenvolvidas e planejar para o futuro.
4-Reter os benefícios.
F O N T E : M A T T O S , 1 9 9 8
ATENÇÃO! Como as etapas apresentadas são colocadas de modo seqüencial , é importante que sejam obedecidas cada tarefa c i tada. Fazendo isso, ex iste uma maior probabi l idade de que o problema tenha sua causa corretamente ident if icada, bloqueada e corr ig ida.
Porém, a apl icação do MASP não assegura a so lução def in i t iva dos problemas:
• Em muitas ocasiões, os homens descobrem as causas para os efe i tos indesejáveis e não são capazes de recomendar o remédio que seja tota lmente ef icaz .
• Muitas vezes, o que se consegue é a minimização dos efe i tos indesejáveis a n íve is passíveis de serem suportados e/ou mant idos sob controle .
• No tocante aos problemas de desempenho, de custo e de c ic lo de tempo nos processos das organizações, existem problemas que não tem fác i l solução e que extrapolam muitas vezes o "estado da arte" e conhecimentos dos T imes em ação.
• Às vezes , requerem pesquisas mais profunda com a ut i l ização de técnicas e ferramentas mais sof ist icadas , ou o concurso de consultores e especia l istas .
• Outras vezes , requerem mudanças radicais ou reengenhar ia nos processos para que possam ser e l iminados.
A lém da adequada metodologia , é impresc indível que os prof iss ionais tenham sól idos conhecimentos sobre a f inal idade e os métodos adotados em cada ferramenta, para que delas façam uso com maior efet ividade, poss ibi l i tando apl icações cr iat ivas , inc lus ive através de novas combinações e modif icações.
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MASP SEGUNDO A METODOLOGIA DE HISTOSHI KUME ou QC STORY RELAÇÃO ENTRE O MASP E O CICLO PDCA
PDCA FLUXO ETAPA OBJETIVO
Identificação do problema
Definir claramente o problema e reconhecer sua importância.
Observação Investigar as características específicas do problema com uma visão ampla e sob vários pontos de vistas.
Análise Descobrir as causas fundamentais. P
Plano de ação Conceber um plano para bloquear as causas fundamentais.
D Ação Bloquear as causas fundamentais.
Verificação Verificar se o bloqueio foi efetivo.
C (Bloqueio foi efetivo?)
Padronização Prevenir contra o reaparecimento do problema. A
Conclusão Recapitular todo o processo de solução do problema para trabalho futuro.
F O N T E : F A L C O N I , 1 9 9 2
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3
4
6
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EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO MASP NO GERENCIAMENTO DE PROCESSO
F O N T E : F A L C O N I 1 9 9 2
PROBLEMA
13 24
5
6
7
8
ITEM DE CONTROLE
MEDIR
COMPARAR COM A META
RUIM BOM
MANTERROTINA
PRODUTO
CLIENTE
PAD
RO
NIZ
AÇ
ÃO
Matéria Prima
Meio Ambiente Método
Mão de Obra
Equipamento Medida
Identificaro
Problema
Observar(dados)
Analisar (causas)
Plano de
Ação Ação
Verificação (resultados)
Padronização
Conclusão
GERENCIAMENTO DE PROCESSO
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R ESU MO DO MÉTO DO
ETAPA TAREFA DESCRIÇÃO
1 ESCOLHA DO PROBLEMA
2 HISTÓRICO DO PROBLEMA
3 MOSTRAR PERDAS ATUAIS E GANHOS V IÁVEIS
4 FAZER A ANÁLISE DE PARETO
Etapa 1 IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA
5 NOMEAR RESPONSÁVEIS
1 DESCOBERTA DAS CARACTERÍSTICAS DO PROBLEMA ATRAVÉS DE COLETA DE DADOS
2 DESCOBERTA DAS CARACTERÍSTICAS DO PROBLEMA ATRAVÉS DE OBSERVAÇÃO NO LOCAL
Etapa 2 OBSERVAÇÃO
3 CRONOGRAMA, ORÇAMENTO E META.
1 DEFINIÇÃO DAS CAUSAS INFLUENTES
2 ESCOLHA DAS CAUSAS MAIS PROVÁVEIS (H IPÓTESES)
Etapa 3 ANÁLISE
3 ANÁLISE DAS CAUSAS MAIS PROVÁVEIS (VERIF ICAÇÃO DAS HIPÓTESES)
1 ELABORAÇÃO DA ESTRATÉGIA DE AÇÃO Etapa 4
PLANO DE AÇÃO 2 ELABORAÇÃO DO PLANO DE AÇÃO PARA O BLOQUEIO E REVISÃO DO CRONOGRAMA E ORÇAMENTO F INAL
1 TREINAMENTO Etapa 5 AÇÃO 2 EXECUÇÃO DA AÇÃO
1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS
2 L ISTAGEM DOS EFEITOS SECUNDÁRIOS Etapa 6
VERIFICAÇÃO 3 VERIF ICAÇÃO DA CONTINUIDADE OU NÃO DO
PROBLEMA
1 ELABORAÇÃO OU ALTERAÇÃO DO PADRÃO
2 COMUNICAÇÃO
3 EDUCAÇÃO E TREINAMENTO
Etapa 7 PADRONIZAÇÃO
4 ACOMPANHAMENTO DA UTIL IZAÇÃO DO PADRÃO
1 RELAÇÃO DOS PROBLEMAS REMANESCENTES
2 PLANEJAMENTO DO ATAQUE AOS PROBLEMAS REMANESCENTES
Etapa 8 CONCLUSÃO
3 REFLEXÃO
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Etapa 1 - IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA
Ob jetiv o:
Def in ir c laramente o problema e reconhecer sua importância .
T a refas:
• Escolher o problema.
É a tarefa mais importante, pois 50% do problema se resolvem com a correta ident i f icação do mesmo;
• Levantar o h istór ico do problema, ident i f icando a f reqüência e como o mesmo ocorre ;
• Mostrar as perdas atuais e ganhos v iáveis , ut i l izando-se um histograma, por exemplo;
• Fazer a anál ise de Pareto, pr ior izando temas e estabelecendo metas numéricas v iáveis .
Nessa tarefa , devem-se buscar somente os resultados indesejáveis . A causa faz parte da Etapa 3 ;
• Nomear a pessoa responsável ou nomear o grupo responsável e o l íder , propondo uma data l imite para ter o problema solucionado.
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
ESCOLHA
DO PROBLEMA
DIRETRIZES GERAIS DA ÁREA DE TRABALHO (QUALIDADE, CUSTO,
ATENDIMENTO, MORAL, SEGURANÇA)
Um problema é o resultado indejável de um trabalho (esteja certo de que o problema escolhido é o mais importante baseado em fatos e dados).
Por exemplo: perda de produção por parada de equipamento, pagamentos em atraso, porcentagem de peças defeituosas etc.
HISTÓRICO
DO PROBLEMA
• GRÁFICOS • FOTOGRAFIAS Utilize sempre dados históricos
• Qual a freqüência do problema?
• Como ocorre?
MOSTRAR PERDAS ATUAIS
E GANHOS VIÁVEIS
• O que se está perdendo? (custo da qualidade)
• O que é possível ganhar?
FAZER A ANÁLISE DE PARETO
A Análise de Pareto permite priorizar temas e estabelecer metas numéricas viáveis.
Subtemas podem também ser estabelecidos se necessário.
Nota: Não se procuram causas aqui.
Só resultados indesejáveis.
As causas serão procuradas na ETAPA3
NOMEAR RESPONSÁVEIS • Nomear
• Nomear a pessoa responsável ou nomear o grupo responsável e o líder.
• Propor uma data limite para ter o problema solucionado.
F O N T E : F A L C O N I , 1 9 9 2
J F M A M J J A S O N D
Atual
Viável
A B C D I J K L
A
B E FG H
E
F I
J
MO P Q
R S T U 1 2 3 4
5 6 7 8
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4
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Etapa 2 - OBSERVAÇÃO
Ob jetiv o:
Invest igar as caracter íst icas específ icas do problema com uma v isão ampla e sob vár ios pontos de vista.
T a refas:
• Descobr ir as caracter íst icas através da coleta de dados. O problema deve ser observado sob vár ios pontos de vista: Tempo, local , t ipo, s intoma e indiv íduo.
• Coletar opiniões e ut i l izar o gráf ico de pareto com as perguntas do "5W1H" (O que, quem, quando, onde, porque e como) para coletar os dados;
• Descobr ir as caracter íst icas do problema através da observação no local ;
• Est imar um cronograma para referênc ia, atual izado em cada processo;
• Est imar um orçamento e def in ir uma meta a ser at ingida.
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
DESCOBERTA DAS CARACTERÍSTICAS
DO PROBLEMA ATRAVÉS DE
COLETA DE DADOS
(RECOMENDAÇÃO IMPORTANTE: QUANTO MAIS TEMPO VOÇÊ
GASTAR AQUI MAIS FÁCIL SERÁ PARA
RESOLVER O PROBLEMA.
NÃO SALTE ESTA PARTE!)
Observe o problema sob vários pontos de vista (estratificação):
a. Tempo Os resultados são diferentes de manhã, à tarde, à noite, às segundas feiras, feriados, etc.?
b. Local Os resultados são diferentes em partes diferentes de uma peça (defeitos no topo, na base, periferia)? Em locais diferentes (acidentes em esquinas, no meio da rua, calçada), etc.?
c. Tipo Os resultados são diferentes dependendo do produto, matéria-prima, do material usado?
d. Sintoma Os resultados são diferentes se os defeitos são cavidades ou porosidade, se o absenteísmo é por falta ou licença médica, se a parada é por queima de um motor ou falha mecânica, etc.?
e. Indivíduo Que turma? Que operador?
Deverá também ser necessário investigar aspectos específicos, por exemplo:
Umidade relativa do ar ou temperatura ambiente, condições dos instrumentos de medição, confiabilidade dos padrões, treinamento, quem é o operador, qual a equipe que trabalhou, quais as condições climáticas, etc.
“5W1H” Faça as perguntas: o que, quem, quando, onde, por que e como, para coletar dados.
Construa vários tipos de gráficos de Pareto conforme os grupos definidos na estratificação.
DESCOBERTA DAS CARACTERÍSTICAS
DO PROBLEMA ATRAVÉS DE
OBSERVAÇÃO NO LOCAL
Análise no local da ocorrência do problema pelas pessoas envolvidas na
investigação.
Deve ser feita não no escritório, mas no próprio local da ocorrência, para coleta de informações suplementares que não podem ser obtidas na forma de dados numéricos.
Utilize o videocassete e fotografias.
CRONOGRAMA, ORÇAMENTO E
META
Estimar um cronograma para referência. Este cronograma pode ser atualizado em cada processo.
Estimar um orçamento.
Definir uma meta a ser atingida.
F O N T E : F A L C O N I 1 9 9 2
I J K L 5 6 7 8
Análise de Pareto
• Lista de Verificação (Coleta de dados - 5W1H)
• Estratificação
Escolha os temas mais importantes e retorne
A
B
E F G H
E
F I
J
A B C D
I J K L
MNO P
1 2 3 4
• Gráfico de Pareto
• Priorize
AnáliseAção
Verificação
1
2
3
FFaassee 11 22 33 44 55 66 77 88
Padronização
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Etapa 3 - ANÁLISE Ob jetiv o:
Descobr ir as causas fundamentais .
T a refas:
• Def inir as causas inf luentes , ut i l izando o bra instorming para colher o maior número poss ível de causas a f im de construir o d iagrama de causa-efe i to ;
• Escolher as causas mais prováveis , baseada nas informações colh idas na Etapa 2 (Observação) ;
• Fazer a ver i f icação de hipóteses, confrontando dados e opiniões ut i l izando Pareto para pr ior izar , o Histograma para aval iar a dispersão e Gráf icos para ver i f icar a evolução;
• Fazer o teste de consistência da causa fundamental e ver i f icar a poss ibi l idade de bloqueio. Se for imposs íve l , pode ser que a causa determinada a inda não seja a causa fundamental , mas um efeito dela ;
• Em decorrência da tarefa anter ior , deve-se transformar a causa num novo problema e perguntar outro porque voltando ao in íc io do f luxo do processo.
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
DEFINIÇÃO DAS CAUSAS
INFLUENTES
Tempestade cerebral e diagrama de causa e efeito. Pergunta: por que ocorre o problema?
Formação do grupo de trabalho: Envolva todas as pessoas que possam contribuir na identificação das causas. As reuniões devem ser participativas.
Diagrama de causa e efeito: Anote o maior número possível de causas. Estabeleça a relação de causa e efeito entre as causas levantadas. Construa o diagrama de causa e efeito colocando as causas mais gerais nas espinhas maiores e causas secundárias, terciárias, etc., nas ramificações menores.
ESCOLHA DAS CAUSAS MAIS PROVÁVEIS
(HIPÓTESES)
Identificação no diagrama de Causa e Efeito.
Causas mais prováveis: As causas assinaladas na tarefa anterior têm que ser reduzidas por eliminação das causas menos prováveis baseadas nos dados levantados no processo de Observação. Aproveite também as sugestões baseadas na experiência do grupo e dos superiores hierárquicos. Baseado ainda nas informações colhidas na observação priorize as causas mais prováveis.
Cuidado com efeitos “cruzados”: problemas que resultam de 2 ou mais fatores simultâneos. Maior atenção nestes casos.
ANÁLISE DAS CAUSAS MAIS PROVÁVEIS
(VERIFICAÇÃO DAS HIPÓTESES)
Coletar novos dados sobre as causas mais prováveis usando a lista de verificação. Analisar dados coletados usando Pareto, Diagramas de Relação, Histogramas, Gráficos. Testar as causas.
Visite o local onde atuam as hipóteses. Colete informações.
Estratifique as hipóteses, colete dados utilizando a lista de verificação para maior facilidade. Use o Pareto para priorizar, o Diagrama de Relação para testar a correlação entre a hipótese e o efeito. Use o Histograma para avaliar a dispersão e Gráficos para verificar a evolução.
Teste as hipóteses através de experiências.
HOUVE
CONFIRMAÇÃO DE ALGUMA
CAUSA MAIS PROVÁVEL?
Com base nos resultados das experiências será confirmada ou não a existência de relação entre o problema (efeito) e as causas mais prováveis (hipóteses).
TESTE DE
CONSISTÊNCIA DA
CAUSA FUNDAMENTAL
Existe evidência técnica de que é possível bloquear? O bloqueio geraria efeitos indesejáveis?
Se o bloqueio é tecnicamente impossível ou se pode provocar efeitos indesejáveis (sucateamento, alto custo, retrabalho, complexidades, etc.) pode ser que a causa determinada ainda não seja a causa fundamental, mas um efeito dela. Transforme a causa no novo problema (F) e pergunte outro porque voltando ao início do fluxo deste processo.
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F
F
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Etapa 4 - PLANO DE AÇÃO
Ob jetiv o:
Conceber um plano para bloquear as causas fundamentais .
T a refas:
• Elaborar a estratégia de ação, cert i f icando -se de que as ações serão tomadas sobre as causas fundamentais e não sobre seus efe itos ;
• Elaborar o P lano de Ação para o bloqueio e rev isar o cronograma e o orçamento f inal através do "5W1H";
• Determinar a meta a ser at ingida e os i tens de controle e ver i f icação dos diversos n íve is envolvidos.
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
ELABORAÇÃO DA ESTRATÉGIA DE
AÇÃO
Discussão com o grupo envolvido.
Certifique-se de que as ações serão tomadas sobre as causas fundamentais e não sobre seus efeitos.
Certifique-se de que as ações propostas não produzam efeitos colaterais. Se ocorrerem, adote ações contra eles.
Teste as hipóteses através de experiências.
Proponha diferentes soluções, analise a eficácia e custo de cada uma, escolha a melhor.
ELABORAÇÃO DO PLANO DE AÇÃO
PARA O BLOQUEIO E REVISÃO DO
CRONOGRAMA E ORÇAMENTO
FINAL
Discussão com o grupo envolvido.
“5W1H” Cronograma.
Custos.
Defina O QUÊ será feito (“WHAT”).
Defina QUANDO será feito (“WHEN”).
Defina QUEM fará (“WHO”).
Defina ONDE será feito (“WHERE”).
Defina POR QUÊ será feito (“WHY”).
Detalhe ou delegue o detalhamento de COMO será feito (“HOW”).
Determine a meta a ser atingida e quantifique ($, toneladas, defeitos, etc.)
Determine os itens de controle e verificação dos diversos níveis envolvidos.
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Etapa 5 - AÇÃO
Ob jetiv o:
Bloquear as causas fundamentais .
T a refas:
• Divulgar o p lano a todos os envolv idos;
• Apresentar c laramente as tarefas e a razão delas ;
• Cert i f icar-se de que todos entenderam e concordaram com as medidas propostas ;
• Executar a ação, registrando todos os resultados bons ou ruins e a data em que foram tomados.
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
TREINAMENTO
Divulgação do plano a todos. Reuniões participativas.
Técnicas de treinamento.
Certifique-se de quais ações necessitam da ativa cooperação de todos. Dê especial atenção a estas ações. Apresente claramente as tarefas e a razão delas. Certifique-se de que todos entendem e concordam com as medidas propostas
EXECUÇÃO DA
AÇÃO Plano e cronograma.
Durante a execução verifique fisicamente e no local em que as ações estão sendo efetuadas.
Todas as ações e os resultados bons ou ruins devem ser registrados com a data em que foram tomados.
F O N T E : F A L C O N I , 1 9 9 2
1
2
1
2
TAREFA QUEM O QUEMEDIR ELI PINO
LIMPAR RUI PISO
TROCAR EDU EIXO
MUDAR NEI NORMA
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Etapa 6 - VERIFICAÇÃO
Ob jetiv o:
Ver i f icar se o bloqueio fo i e fet ivo.
T a refas:
• Comparar os resultados , ut i l izando os dados coletados antes e após a ação de bloqueio para ver i f icar a efet iv idade da ação e o grau de redução dos resultados indesejáveis ;
• Fazer uma l i s tagem dos efe i tos secundários ;
• Ver i f icar a cont inuidade ou não do problema. Se os efe i tos cont inuarem a ocorrer , s ignif ica que a so lução apresentada foi fa lha;
• Ver i f icar se o bloqueio fo i efet ivo . Se a solução foi fa lha , retornar a Etapa 2 (Observação) .
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
COMPARAÇÃO DOS
RESULTADOS
Pareto, cartas de controle, histogramas. Deve se utilizar os dados coletados antes e após a
ação de bloqueio para verificar a efetividade da ação e o grau de redução dos resultados indesejáveis.
Os formatos usados na comparação devem ser os mesmos antes e depois da ação.
Converta e compare os efeitos, também em termos monetários.
LISTAGEM DOS
EFEITOS SECUNDÁRIOS
Toda alteração do sistema pode provocar efeitos secundários positivos ou negativos.
VERIFICAÇÃO DA
CONTINUIDADE OU
NÃO DO PROBLEMA
Quando o resultado da ação não é tão satisfatório quanto o esperado, certifique-se de que todas as ações planejadas foram implementadas conforme o plano.
Quando os efeitos indesejáveis continuam a ocorrer, mesmo depois de executada a ação de bloqueio, significa que a solução apresentada foi falha.
O BLOQUEIO FOI EFETIVO?
Pergunta: A causa fundamental foi efetivamente encontrada e bloqueada?
Utilize as informações levantadas nas tarefas anteriores para a decisão.
Se a solução foi falha retornar ao PROCESSO 2 (OBSERVAÇÃO).
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$Antes
Depois $
Antes Depois
LIC
LSC
LC
1
2
3
NÃO
SIM
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Etapa 7 - PADRONIZAÇÃO
Ob jetiv o:
Prevenir contra o reaparecimento do problema.
T a refas:
• Estabelecer o novo procedimento operac ional ou rever o ant igo pelo 5W1H;
• Incorporar sempre que poss ível um mecanismo fool -proof ou à prova de bobeira ;
• Fazer a comunicação de modo a evitar poss íve is confusões: estabelecer data de in íc io da nova s istemática , quais as áreas que serão afetadas para que a apl icação do padrão ocorra em todos os locais necessár ios ao mesmo tempo e por todos os envolvidos;
• Efetuar a educação e o tre inamento, cert i f icando-se de que todos os funcionár ios estão aptos a executar o procedimento operac ional padrão;
• Fazer um acompanhamento per iódico da ut i l ização do padrão.
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
ELABORAÇÃO OU ALTERAÇÃO DO
PADRÃO
Estabeleça o novo procedimento operacional ou reveja o antigo pelo 5W1H. Incorpore sempre que possível um mecanismo fool-proof ou à prova de bobeira.
Esclarecer no procedimento operacional “o quê”, “quem”, “quando”, “onde”, “como” e principalmente “por quê”, para as atividades que efetivamente devem ser incluídas ou alteradas nos padrões já existentes.
Verifique se as instruções, determinações e procedimentos implantados no PROCESSO 5 devem sofrer alterações antes de serem padronizados, baseado nos resultados obtidos no PROCESSO 6.
Use a criatividade para garantir o não reaparecimento dos problemas. Incorpore no padrão, se possível, o mecanismo “à prova de bobeira”, de modo que o trabalho possa ser realizado sem erro por qualquer trabalhador.
COMUNICAÇÃO Comunicados, circulares, reuniões, etc.
Evite possíveis confusões: Estabeleça a data de início da nova sistemática, quais as áreas que serão afetadas para que a aplicação do padrão ocorra em todos os locais necessários ao mesmo tempo e por todos os envolvidos.
EDUCAÇÃO E TREINAMENTO
Reuniões e palestras.
Manuais de treinamento.
Treinamento no trabalho.
Garanta que os novos padrões ou as alterações nos padrões existentes sejam transmitidos a todos os envolvidos.
Não fique apenas na comunicação por meio de documento. É preciso expor a razão da mudança e apresentar com clareza os aspectos importantes e o que mudou.
Certifique-se de que os funcionários estão aptos a executar o procedimento operacional padrão.
Proceda o treinamento no trabalho no próprio local.
Providencie documentos no local e na forma que forem necessários.
ACOMPANHAMENTO
DA UTILIZAÇÃO DO PADRÃO
Sistema de verificação do cumprimento do padrão.
Evite que um problema resolvido reapareça devido à degeneração no ACOMPANHAMENTO cumprimento dos padrões:
• Estabelecendo um sistema de verificações periódicas;
• Delegando o gerenciamento por etapas;
• O supervisor deve acompanhar periodicamente sua turma para verificar o cumprimento dos procedimentos operacionais padrão.
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Etapa 8 - CONCLUSÃO
Ob jetiv o:
Recapitular todo o processo de solução do problema para t rabalho futuro.
T a refas:
• Relac ionar os problemas remanescentes e também os resultados acima do esperado (são indicadores importantes para aumentar a ef icácia nos futuros t rabalhos) ;
• Reaval iar os i tens pendentes , organizando-os para uma futura apl icação do Método de Solução de Problemas;
• Anal isar as etapas executadas do MASP nos seguintes aspectos:
1 . Cronograma - Houve atrasos s ignif icat ivos ou prazos fo lgados demais? Quais os motivos?
2 . E laboração do diagrama causa-efe i to - Foi superf ic ia l? ( I s to dará uma medida de matur idade da equipe envolvida. Quanto mais completo o diagrama, mais habi l idosa a equipe) ;
3 . Houve part ic ipação dos membros? O grupo era o melhor para solucionar aquele problema? As reuniões eram produt ivas? O que melhorar?
4 . As reuniões ocorreram sem problemas ( fa l tas , br igas , imposições de idéias)?
5 . A distr ibuição de tarefas fo i bem real izada?
6 . O grupo ganhou conhecimentos?
7 . O grupo melhorou a técnica de solução de problemas, usou todas as técnicas?
• Ref let i r cuidadosamente sobre as própr ias at iv idades da solução de problemas.
FLUXO TAREFAS FERRAMENTAS EMPREGADAS OBSERVAÇÕES
RELAÇÃO DOS PROBLEMAS
REMANESCENTES
Análise dos resultados. Demonstrações gráficas.
Buscar a perfeição, por um tempo muito longo, pode ser improdutivo. A situação ideal quase nunca existe, portanto, delimite as atividades quando o limite de tempo original for atingido.
Relacione o que e quando não foi realizado.
Mostre também os resultados acima do esperado, pois são indicadores importantes para aumentar a eficiência dos futuros trabalhos.
PLANEJAMENTO DO ATAQUE AOS
PROBLEMAS REMANESCENTES
Aplicação do Método de Solução de Problemas nos que forem
importantes.
Reavalie os itens pendentes, organizando-os para uma futura aplicação do Método de Solução de Problemas.
Se houver problemas ligados à própria forma que a solução de problemas foi tratada, isto pode se transformar em tema para projetos futuros.
REFLEXÃO
Reflexão cuidadosa sobre as próprias atividades da solução de problemas.
Analise as etapas executadas do Método de Solução de Problemas nos aspectos:
• Cronograma Houve atrasos significativos ou prazos folgados demais? Quais os motivos?
• Elaboração do diagrama causa-efeito Foi superficial? Isto dará uma medida de maturidade da equipe envolvida. Quanto mais completo o diagrama, mais habilidosa a equipe.
• Houve participação dos membros? O grupo era o melhor para solucionar aquele problema? As reuniões eram produtivas? O que melhorar?
• As reuniões ocorreram sem problemas (faltas, brigas, imposições de idéias)?
• A distribuição de tarefas foi bem realizada?
• O grupo ganhou conhecimentos?
• O grupo melhorou a técnica de solução de problemas, usou todas as técnicas?
F O N T E : F A L C O N I 1 9 9 2
Aperfeiçoar o diagrama de Causa e Efeito.
Melhorar o Cronograma.
Folhas de Verificação mais
Completa.
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MASP BASEADO NA METODOLOGIA DE JURAN
Adaptado de ROSSATO 1996.
R ELAÇÃO ENTR E O MASP E O CI CLO P DCA
PDCA FLUXO FASE OBJETIVO Problema
ou Definir e
Organizar o projeto
Obter uma visão do problema, sua definição e as metas a serem alcançadas.
Causas
Ou Diagnosticar as causas
Analisar as causas do problema e propor um plano de ação. P
D
Implantação Ou
Remediar o problema Implantação e verificação dos resultados.
C
A
Conclusão Ou
Reter os benefícios Análise dos resultados obtidos.
R ESU MO DO MÉTO DO
FASE ETAPA OBJETIVO 1ªETAPA Identif icar o problema 2ªETAPA Delimitar o problema 3ªETAPA Conhecer as áreas do problema 4ªETAPA Definir o problema 5ªETAPA Organizar um grupo de trabalho 6ªETAPA Criar um grupo de trabalho 7ªETAPA Estabelecer as metas 8ªETAPA Coletar os dados
FASE 1 PROBLEMA
9ªETAPA Organizar um roteiro de trabalho 10ªETAPA Analisar as causas 11ªETAPA Testar as ações para detectar as causas FASE 2
CAUSA 12ªETAPA Pesquisar um plano de ação 13ªETAPA Executar o plano 14ªETAPA Verif icar os resultados 15ªETAPA Padronizar
FASE 3 IMPLANTAÇÃO
16ªETAPA Estabelecer o controle 17ªETAPA Revisar as atividades FASE 4
CONCLUSÃO 18ªETAPA Planos para o futuro
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FASE 1 : PROBLEMA
Esta fase tem como objet ivo geral dar uma visão do problema, sua def in ição e as metas a serem alcançadas , sendo const ituída de nove etapas:
1 º . Ident i f icar o Problema;
2 º . Del imitar o Problema;
3 º . Conhecer as Áreas do Problema;
4 º . Def in ir o Problema;
5 º . Organizar um Grupo de Trabalho;
6 º . Cr iar um Plano de Trabalho;
7 º . Estabelecer as Metas ;
8 º . Organizar um Roteiro de Trabalho;
9 º . Coletar os dados;
1a ETAPA: IDENTIF ICAR O PROBLEMA a- Ob jetiv o:
Conscient izar e reconhecer sua importância , deixando c laro que existe um problema.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Aval iar as rec lamações dos c l ientes .
− Observar os re latór ios d iár ios .
− Procurar por i tens causadores de perturbações.
− Comparar com as especif icações .
− Comparar com s i tuações anter iores .
− Comparar com outros locais de trabalho.
c- Pessoas env olvid as:
− - A l ta gerência.
− - Engenheiros .
− - Chefes de departamentos.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
2a ETAPA: DELIMITAR O PROBLEMA a- Ob jetiv o:
Invest igar as caracter íst icas específ icas do problema com uma visão ampla sob vár ios pontos de vista, e se lecionar o problema dentre os diversos que se apresentam.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Listar o problema.
− Focal izar a atenção em questões como: defei tos , erros , desperdíc ios , danos, desempenhos dos funcionár ios , etc .
− Pr ior izar o problema.
c- Pessoas env olvid as:
− Alta gerência .
− Engenheiros .
− Chefes de departamentos.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
− Diagrama de Pareto.
3a ETAPA: CONHECER AS ÁREAS DO PROBLEMA a- Ob jetiv os:
Organizar as áreas com problemas, e descobr ir em quais áreas do processo, os problemas ocorrem.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Conhecer o gerenciamento do processo.
− Ver i f icar como os problemas estão sendo conduzidos.
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− Quais os problemas de desempenho.
− Ver i f icar se o planejamento proposto está sendo cumprido.
− Ver i f icar se as metas estabelec idas estão dentro do padrão.
− Ver i f icar se o processo está sob controle .
− Obter informações do que se passa nos departamentos .
c- Pessoas env olvid as:
− Alta gerência .
− Engenheiro.
− Chefes de departamentos.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
4a ETAPA: DEFINIR O PROBLEMA a- Ob jetiv os:
Def in ir c laramente o tema em part icular , para ident i f icar os aspectos negat ivos que t razem problema, prejuízo ou di f iculdade na operação do processo.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Descobrir o que está ocorrendo em seu departamento.
− Fazer um levantamento histór ico revelando o passado até a s i tuação presente.
− Def inir o processo e como está sendo anal isado.
− Indicar todas as etapas através de um f luxograma.
− Revisar todos os problemas encontrados em termos de fatos e dados obt idos, considerando os mais importantes.
− Deixar c laro qual o motivo da se leção desse tema.
c- Pessoas env olvid as:
− Alta gerência .
− Engenheiros .
− Chefes de departamentos.
d- Ferramen tas uti l izadas:
− Folha de Ver i f icação.
− Diagrama de Pareto.
− Fluxograma.
5a ETAPA: ORGANIZAR UM GRUPO DE TRABALHO a- Ob jetiv os:
Organizar uma equipe de trabalho que estão atuando nas áreas para atacar o problema.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Reunir as equipes
− Debater , pesquisar e anal isar o tema.
− Integrar o grupo para desenvolver o tema.
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe: engenheiros , chefes de departamento e funcionár ios dos setores onde o problema possa se encontrar .
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Brainstorming.
6a ETAPA: CRIAR UM PLANO DE TRABALHO a- Ob jetiv o:
Estabelecer um plano de at iv idade que será desenvolv ido em todo o trabalho.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Fazer um cronograma onde se inc luem as at iv idades: o estabelecimento das metas, s i tuação atual , l imitação do problema, coleta de dados, exame do local , etc . , a justando-os sempre às necessidades .
− Dividir as responsabi l idades entre cada membro do grupo.
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− Considerar e aprovar o orçamento onde se inc lui : equipamento, instrumento, mater ia is para real ização do exper imento.
c- Pessoas env olvid as:
− Líder do grupo e membros .
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Brainstorming.
− 5W1H.
7a ETAPA: ESTABELECER AS METAS a- Ob jetiv os:
Estabelecer com c lareza os objet ivos a serem at ingidos com a solução do problema.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Demonstrar qual o nível de melhor ia deseja-se at ingir .
− Local izar em fatos numér icos , como: porc entagem de melhor ia , tempo gasto para a lcançar , quanto vamos ganhar etc .
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
− Diagrama de Pareto.
8a ETAPA: COLETAR OS DADOS: a- Ob jetiv o:
Obter dados necessár ios , que através da metodologia de anál ise especí f ica, forneçam bases conf iáveis para a tomada de decisão.
Esta é uma das fases mais importante e cr í t ica na resolução do problema. Importante, porque quanto mais conhecimentos obtidos do problema, mais fác i l será a sua solução. Cr í t ica, pois se os dados não forem coletados corretamente, comprometera toda a anál ise a ser desenvolv ida.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
É enorme a quantidade e a d ivers idade de informações que se pode obter em uma organização, sendo ass im, são fe i tas a lgumas considerações para que os dados sejam ef icazes :
− Qual a sua f inal idade.
− Quais os locais .
− Que t ipo de amostragem.
− Quantidade de dados.
− Quando; dia , semana, hora, per íodo, mês, ano, etc .
− Medir e registrar os dados cuidadosamente
− Cr iat iv idade na hora da coleta.
c- Pessoas env olvid as:
− Alguns dos membros da equipe que foi escolhida para coletar os dados.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
9a ETAPA: ORGANIZAR UM ROTEIRO DE TRABALHO a- Ob jetiv o:
Examinar a s i tuação, descrevendo-se detalhadamente e especi f icando-se os elementos que const i tuem o problema sob vár ios pontos de vista.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
Considerar vár ios pontos como:
I DENTI DA DE - qual o defei to .
T EM PO - Quando fo i observado pela pr imeira vez, quando em termos de horas , d ia da semana, mês , ano, per íodo que vem se apresentando o defei to .
L O CA L - Onde ocorreram, em que posição (parte super ior , infer ior ou no meio) unidade de operação, área geográf ica, div isão e outros.
TI PO - Qual o modelo ou t ipo de produto em que está ocorrendo o defe i to .
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F ENÔ MENO - Como é a aparência do defe i to ; mancha, r i sco , tonal idade, tr inca, etc .
TURNO - Em que turno de trabalho: no pr imeiro, no segundo ou no terceiro .
O PE RA D OR - Quais as pessoas que estão envolvidas onde o defei to ocorre .
EQUIPAMENTO - Quais as máquinas que estão sendo usadas .
QUA NTI DADE - Quantas pessoas, equipamento, unidade estão envolvidas. Qual o tamanho e a forma do problema.
T EMPERATURA A MBI ENTE - Qual a temperatura quando ocorre o defeito .
MÉTODO - Qual o método de trabalho e se está sendo usado corretamente.
E muitos outros pontos que possam contr ibuir com informação para a so lução do problema.
Nesta fase re latam-se somente os resultados do problema e não se tenta descobri r os fatos que o causaram.
Usa-se o máximo poss íve l de dados para ident i f icar o problema.
A especif icação do problema tem como f inal idade sal ientar as d ist inções e as mudanças que possam ser encontradas.
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
− Diagrama de Pareto.
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FASE 2 : CAUSAS
Está fase tem como f inal idade, achar a causa do problema. Compõe -se de três etapas :
− Anal isar as Causas ;
− Testar as Ações para Detectar as Causas ;
− Pesquisar um Plano de Ação;
10a ETAPA: ANALISAR AS CAUSAS a- Ob jetiv o:
Selec ionar as causas prováveis que levam a uma mudança, provocando um efeito .
A anál ise é o ponto essencial da solução do problema, ou seja , se as causas forem corretamente anal isadas , pode se d izer que o problema já é quase resolvido.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Escolher as caracter íst icas .
− Selecionar as causas mais prováveis .
− Anal isar cada elemento específ ico.
− Desdobrar pr ior izando as causas poss íveis .
− Montar e anal isar um diagrama de causa e efe i to s istematizando-se as diversas causas , c lass i f icando-as pela sua or igem.
− Reunir todos os e lementos que venham a ter uma re lação com o efe ito .
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
− Digrama de Pareto.
− Diagrama de causa e efe i to .
− Histograma.
− Brainstorming.
− Digrama de dispersão.
11a ETAPA: TESTAR AS AÇÕES PARA DETECTAR AS CAUSAS a- Ob jetiv o:
Testar as causas para ver i f icar se as mesmas são as causadoras do problema.
b - A tivid ad es serem desenv olv idas:
− Repet ir os testes novamente na área que for a provável .
− Invest igar as interações.
− Testar novamente as causas.
− Maximizar o valor para a caracter íst ica .
− Aval iar , concluir o exper imento por a lgum método estat íst ico exper imental .
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de Ver i f icação.
− Diagrama de Pareto.
12a ETAPA: PESQUISAR UM PLANO DE AÇÃO a- Ob jetiv o:
Estabelecer através da anál ise das causas, um plano de ação corret ivo para e l iminar estas causas.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Cr iar um plano que seja adequado para atacar as causas do problema.
− Especif icar c laramente os i tens como:
Quem real izará o plano.
Onde será apl icado.
Quando será usado.
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Porque será usado.
Como será usado.
− Aval iar o plano de acordo com a magnitude esperada de seus resultados e a fac i l idade ou dif iculdade de sua implementação.
− Considerar os tempos do plano corret ivo e prevent ivo.
− Considerar os custos de melhor ia , sua poss ibi l idade técnica e efe i tos colatera is .
− Colocar peso para cada plano para aval iação.
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe e engenheiros .
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Brainstorming.
− Folha de Ver i f icação.
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FASE 3 : IMPLANTAÇÃO
Esta fase tem como objet ivo implantar um plano de ação e é formado por quatro etapas:
− Executar o P lano;
− Ver i f icar os Resultados;
− Padronizar ;
− Estabelecer o Controle ;
13a ETAPA: EXECUTAR O PLANO a- Ob jetiv o:
Executar o plano de ação de melhor ia .
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as
− Checar pontos essencia is no plano documentado.
− Ver i f icar se a execução está como planejada.
− Se não está , t raçar imediatamente as causas de divergências do plano e tomar providências .
− Padronizar .
c- Pessoas env olvid as:
− Membro da equipe.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Brainstorming.
14a ETAPA: VERIF ICAR OS RESULTADOS a- Ob jetiv os:
− Ver i f icar se as causas foram atacadas e os benef íc ios das ações .
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Considerar pontos como:
− Melhor ia da qual idade.
− Aumento da produtiv idade.
− Redução dos custos.
− Segurança, etc .
− Comparar os resultados com as metas, e observar o grau com o qual estes têm s ido a lcançados.
− Aval iar os efe i tos invis íve is ( re lação de melhor ia no chão de fábr ica, melhor ia de habi l idade, aumento de l iderança, etc . ) e intangíveis que se espera que se desenvolvam durante as at iv idades de melhor ia .
Se o grau de a lcance das metas é insuf ic iente, retornar a ETAPA 2.
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Diagrama de Pareto.
− Gráf ico de Controle .
− Folha de Ver i f icação.
15a ETAPA: PADRONIZAR a- Ob jetiv os:
Padronizar , através de documentos, normas para serem seguidas em todo o processo, para alcançar as metas estabelecidas .
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Montar um padrão of ic ia l temporár io, de l imitado no passo 12 .
− Expor c laramente todos os pontos chaves.
− Anotar nas fo lhas de revisão a razão e a data para qualquer revisão.
− Obter a aprovação de super iores .
− Seguir as d iretr izes of ic ia is para estabe lecer e revisar os padrões da companhia .
c- Pessoas env olvid as:
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− Membros da equipe.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Brainstorming.
16a ETAPA: ESTABELECER O CONTROLE a- Ob jetiv o:
Colocar um s istema de controle que envolve a def in ição das caracter íst icas do controle , def in ir os i tens de controle , estabelecer os l imites de controle e def in ir respostas para s i tuações quando o processo est iver fora de controle .
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Decidir o método de controle , especif icando quais os i tens de controle que devem ser usados e como controlar o processo.
− Educar e tre inar os responsáveis no novo método de trabalho.
− Ver i f icar se os benef íc ios estão sendo mantidos.
− Notar a lguma anomal ia . Se houver , deve-se tomar a lguma providência o mais cedo poss ível .
c- Pessoas env olvid as;
− Membros da equipe.
− Pessoas responsáveis pelo setor .
− Funcionár ios das áreas.
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Folha de ver i f icação.
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FASE 4 : CONCLUSÃO
As fases em questão conduzem ao desfecho do trabalho e resultados obtidos, compondo-se de duas etapas :
− Revisar as At iv idades;
− Planos para o Futuro;
17a ETAPA: REVISAR AS AT IV IDADES a- Ob jetiv os:
Revisar as at iv idades dos passos anter iores para def in ir as at iv idades futuras .
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Devem-se considerar os seguintes pontos :
- efet ividade do método na def in ição do problema;
- n ível apropr iado das metas;
- p lano de ação apropriado;
-cooperação entre todos os part ic ipantes das at iv idades;
- uso adequado do método;
− Ver i f icar se a metodologia das at iv idades está bem descr i ta ;
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe.
− Funcionár io do setor
− Engenheiros e Técnicos .
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Brainstorming.
18a ETAPA: PLANOS PARA O FUTURO a- Ob jetiv o:
Ref let i r nas l ições aprendidas durante toda a apl icação da metodologia , para futuras s i tuações.
b - A tivid ad es a serem desenv olvid as:
− Considerar quais foram as di f iculdades durante o processo, etapas e uso das ferramentas .
− Ver i f icar se os membros das equipes entenderam a meto dologia e quais foram os aprendizados e benef íc ios .
− Demonstrar e fazer a equipe entender qual a parte do processo será melhorada no próximo esforço de melhor ia .
− Ver i f icar se o l íder conseguiu manter a equipe motivada.
− Conseguir di fundir as ferramentas e os dezoitos (18) passos da metodologia no controle da qual idade.
c- Pessoas env olvid as:
− Membros da equipe.
− Alta gerência .
− Engenheiros e Técnicos .
d- Ferramen tas m ai s uti l izad as:
− Brainstorming.
