Mate Ma Tic a Financier A

8/6/2019 Mate Ma Tic a Financier A

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MATEMTICAS

FINANCIERASMDULO

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,

ECONMICAS Y CONTABLES

FUNDACIN UNIVERSITARIA LUIS AMIG

JENNY MOSCOSO ESCOBAR

FERNANDO JARAMILLO BETANCUR

JAIME ANDRS CORREA GARCA


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Especializacin en Finanzas FundacinUniversitaria Lus Amig

MEDELLN, 2008

TABLA DE CONTENIDOIntroduccin.............................................................................................................................................................4

Unidad 1: Introduccin a las Matemticas Financieras ......................................................................................6

1.1 El Valor del Dinero en el Tiempo VDT ........................................................................................................6

1.2 El Concepto de Equivalencia ............................................................................................................... ...........7

1.3 Graficacin .................................................................................................................................... ...... ...........9

1.4 Inters simple ..................................................................................................................................................9

1.5 Inters compuesto ..........................................................................................................................................12

1.6 Consideraciones Finales ...............................................................................................................................16

1.7 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................................................17

Unidad 2: Relaciones Bsicas ............................................................................................................................ ...19

2.1 Relacin de Pago nico ................................................................................................................................192.1.1 Clculo del Valor Futuro dado un Valor Presente .............................................................................. ...202.1.2 Clculo del Valor Presente dado un Valor Futuro .............................................................................. ...222.1.3 Clculo del Nmero de Periodos ...........................................................................................................232.1.4 Clculo de la Tasa de Inters ......................................................................................................... ........24

2.2 Series .............................................................................................................................................................252.2.1 Series Uniformes .................................................................................................................................. .25

2.2.2 Clculo del Valor Futuro dado una Serie Uniforme .............................................................................252.2.3 Clculo del Valor Presente dado una Serie Uniforme ..........................................................................282.2.4 Clculo de la Serie Uniforme dado el Valor Futuro .............................................................................292.2.5 Clculo de la Serie Uniforme dado el Valor Presente ..........................................................................30

2.3 Gradientes ................................................................................................................................................ .....322.3.1 Gradiente Aritmtico ............................................................................................................. ................33

2.3.1.1 Clculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Aritmtico ..........................................................342.3.1.2 Clculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Aritmtico ...................................................352.3.1.3 Clculo de un Valor Presente dado un Gradiente Aritmtico .......................................................36

2.3.2 Gradiente Geomtrico ...........................................................................................................................372.3.2.1 Clculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Geomtrico ........................................................372.3.2.2 Clculo de un Valor Presente dado un Gradiente Geomtrico .....................................................382.3.2.3 Clculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Geomtrico .................................................38

2.4 Consideraciones Finales ...............................................................................................................................38

2.5 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................................................39

Unidad 3: Inters Efectivo ...................................................................................................................................41

Tasa de inters nominal .....................................................................................................................................41

Tasa de inters efectiva ......................................................................................................................................42

Mdulo: Matemticas Financieras II


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Frmulas para la conversin de tasa de inters nominal y efectiva ..................................................................42Para capitalizaciones vencidas .......................................................................................................................42Para capitalizaciones anticipadas................................................................................................................... 45Conversin de tasas de inters .......................................................................................................................48

Tasas compuestas ...............................................................................................................................................50

Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera ......................................................................................50Tasa de inters real ....................................................................................................................................... .51Tasa de inters con UVR ...................................................................................................................... ...... ...52

Consideraciones Finales ....................................................................................................................................53

Ejercicios Resueltos ...................................................................................................................................... .....53

Unidad 4: Activos Financieros .............................................................................................................................56

Intermediarios y Mercados Financieros............................................................................................................ 56

La inversin a travs de la Bolsa de Valores. ...................................................................................................594.2.1 Suscripcin Tradicional ........................................................................................................................ .604.2.2 Oferta Del Mayor Esfuerzo. .................................................................................................................62

4.2.3 Emisiones Con Registros Sucesivos ......................................................................................................624.2.3.1 Las Bolsas de Valores ....................................................................................................................64

4.3 Algunos clculos de rentabilidades ..............................................................................................................65

Bibliografa............................................................................................................................................................87

ANEXO: Frmulas de Matemtica Financiera..................................................................................................88

Mdulo: Matemticas Financieras III


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Introduccin

Las matemticas financieras se constituyen en un aporte esencial en la

formacin en finanzas, ya que a partir de estas nociones preliminares se

desarrollan muchos conceptos que son utilizados en las finanzas corporativas y

en los mercados de capitales. Tambin denominadas Ingeniera Econmica, las

matemticas financieras, posibilitan la comprensin de los aspectos bsicos

para quienes incursionan en el mundo de los negocios y las decisiones

empresariales

El objetivo general del mdulo es desarrollar en el estudiante capacidad de

anlisis y decisin basados en los conceptos de matemtica financiera con el

fin de que pueda resolver los problemas personales y empresariales en el tema

financiero. Por ello es necesario que el estudiante estudie cada unidad de

manera consecutiva y resuelva los problemas planteados en el texto para que

desarrolle la habilidad de interpretacin y anlisis en el momento de realizar

las actividades propuestas en la gua didctica del curso.

Las matemticas financieras son una aplicacin especfica de las matemticastradicionales, buscan resolver mltiples problemas de asignacin y

optimizacin de recursos, ayuda en el anlisis de riesgos y a comprender el

problema intertemporal asociado al manejo del dinero; es por ello importante

que los estudiantes de la especializacin en finanzas tengan muy claro la

aplicacin y anlisis de los resultados calculados por medio de las matemticas

financieras, ya que son una herramienta necesaria para incursionar de manera

ptima en los cursos especficos de finanzas.

Este mdulo inicia con los dos grandes pilares de las matemticas financieras

que son el concepto de valor del dinero en el tiempo y de equivalencia; estos

conceptos simples se constituyen en un gran soporte para el anlisis de

decisiones de consumo y de inversin. Adicionalmente, estos elementos


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introductorios permiten asumir una posicin de indiferencia entre poseer un

dinero en el da hoy (presente) o en el maana (futuro). Se resalta del

contenido del primer captulo que los principales temas desarrollados tienen un

origen eminentemente econmico, los cuales han sido adoptados ydesarrollados ampliamente para ser materializados de manera puntual en los

negocios personales y empresariales. Tambin se destaca la forma como son

introducidos y explicados los conceptos, pues tienen una construccin

progresiva, es decir, en principio se esbozan de manera intuitiva para

posteriormente llegar a planteamientos mucho ms estructurados y

formalizados.

En el segundo captulo se evidencia con mayor fuerza la formalizacin de lostemas desarrollados inicialmente, pues con el anlisis de las relaciones de

pago nico, la comprensin de las series y gradientes; se incursiona en el

anlisis de problemticas mucho ms complejas y estructuradas. Con el

desarrollo de estas tres temticas el estudiante tendr una visin mucho ms

formada para el anlisis y solucin de casos.

En cuanto a la tercera unidad se tiene como objetivo que el estudiante maneje

la conversin de las tasas de inters nominales y efectivas con el fin de realizarlos clculos reales a los problemas financieros planteados en el mdulo. Por

ltimo, en la cuarta unidad se muestran los activos financieros ms utilizados,

as como mecanismos de financiacin y de inversin que pueden utilizar las

empresas a partir de su conocimiento.

Finalmente, el estudiante contar con un resumen con las principales frmulas

utilizadas en matemticas financieras y que fueron aplicadas en el presente

mdulo.

Mdulo: Matemticas Financieras 5


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Unidad 1: Introduccin a las MatemticasFinancieras

OBJETIVO GENERAL

Comprender el concepto de equivalencia y valor del dinero en el tiempo como

elementos fundamentales en el anlisis, determinacin y aplicacin del inters

simple y compuesto en escenarios aplicados de manera especfica.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Comprender los conceptos de Valor del Dinero en el Tiempo VDT- y

Equivalencia y, reconocer su importancia para las matemticas financieras y

las finanzas en general.

Lograr que el estudiante aprenda a graficar los flujos que representan los

problemas enunciados.

Reconocer el origen del inters simple y del inters compuesto.

Analizar comparativamente los efectos financieros de los negocios basadosen inters simple e inters compuesto.

1.1El Valor del Dinero en el Tiempo VDT

Si se considera al dinero como un bien, ste va a sufrir los vaivenes y altibajos

a que todo artculo en un mercado est sometido. As, el dinero posee

diferentes valores de acuerdo con el perodo de tiempo a que se refiera, lo que

se atribuye entre otros aspectos a la variable inters, inflacin, devaluacin

(revaluacin) y a las decisiones de consumo. Es comn escuchar la siguiente

expresin No es lo mismo un milln de pesos hoy, que un milln de pesos

dentro de un ao, por tanto, cuando un usuario racional est aplazando su



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consumo presente por un consumo futuro est renunciando a un beneficio que

debe ser compensado.

1.2El Concepto de Equivalencia

La equivalencia es un concepto de gran aplicacin en el campo de la

microeconoma y busca establecer relaciones de indiferencia para los

individuos entre valores presentes y futuros. En consecuencia se dice que

dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es

indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) al

cabo de un perodo1

El inters se constituye en la variable que permite dimensionar y estimar la

renuncia de consumo presente por consumo futuro, en otras palabras,

representa un enlace intertemporal entre valores monetarios presentes y

futuros. Este concepto de amplia utilizacin en el mundo empresarial,financiero y del comn recibe mltiples acepciones. Al respecto lvarez

Arango2 presenta las siguientes:

Valor del dinero en el tiempo.

Valor recibido o entregado por el uso del dinero a travs del tiempo.

Utilidad o ganancia que genera un capital.

Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en prstamo durante un

perodo determinado.

Rendimientos de una inversin.

En sntesis, el inters puede ser visto como un ingreso o como un costo,

dependiendo del enfoque con el cual se evale.

1 VLEZ PAREJA, Ignacio. Decisiones de inversin: enfocado a la valoracin de empresas.2 LVAREZ ARANGO, Alberto. Matemticas Financieras. Segunda edicin, editorial Mc Graw Hill.Bogot, 1999.



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Para deducir fcilmente si en un negocio existieron intereses (financieros) de

por medio, observemos el siguiente ejemplo sencillo.

Ejemplo 1.1. Suponga que Eliana Jaramillo presta hoy $10.000 a AndrsGarca a un plazo de 4 meses, al cabo de los cuales ste devolver $11.000.

Cul es el inters implcito en el negocio?

Solucin

En primera instancia vamos a extraer las variables relevantes del enunciado.

Valor Presente= 10.000 Denotado por P

Valor Futuro = 11.000 Denotado por FPlazo = 4 Denotado por n

Retomando el concepto VDT podemos observar los elementos que evidencian

el valor del dinero, pues Eliana recibi un valor superior al entregado

inicialmente. Esta diferencia representa el inters ganado por Eliana en el

negocio (ingreso) y el inters pagado por Andrs (costo).

Inters = Valor Futuro Valor Presente

000.1$000.10$000.11$ ===

II

PFI

De esta manera se tiene una aproximacin al concepto de inters. En este

caso se obtuvo en valores absolutos (pesos), pero para saber cunto

representa de una manera sencilla en trminos porcentuales tenemos que:

mesesenGanadoii

PIi

4%10000.10$000.1$

/

==

=



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1.3Graficacin

En el anlisis de problemas financieros es vital su representacin grfica, ya

que de esta manera se logra una mayor comprensin de la situacin y permite

la distincin de los elementos fundamentales para la solucin del caso, los

cuales son: flujos positivos, flujos negativos, horizonte de tiempo y tasa de

inters.

Las grficas financieras o flujos son fundamentales en la solucin de los

ejercicios de matemticas financieras. Los grficos consisten bsicamente de

dos elementos: 1) Una lnea horizontal que representa el lapso total de anlisis

y se divide en segmentos que representan cada uno de los perodos

constitutivos y 2) Flechas hacia abajo que representan flujos negativos (salidas

de dinero) y flechas hacia arriba que representan flujos positivos (entradas de

dinero).

El Ejemplo 1 de Eliana Jaramillo se puede graficar de la siguiente manera.

Grfica 1

1.4Inters simple

Es el valor que se paga (o recibe) por un monto de dinero llamado principal o

capital. El inters simple es el resultado de multiplicar el valor del principal porla tasa peridica de inters, por el nmero de perodos. El monto sobre el cual

se calculan los intereses no sufre modificaciones durante el perodo en que se

recibe el beneficio del inters.

Mdulo: Matemticas Financieras

i =10%

P = $10.000

F = $11.000

i =10%

P = $10.000

F = $11.000

9


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Expresin del inters simple

Ejemplo 1.2. Bibiana Meneses le presta a un amigo $10.000 a un inters del

2.5% mensual a un plazo de 4 meses. Al cabo de los 4 meses cunto es el

inters ganado por Bibiana?

Solucin

P = 10.000

i = 2.5% I = $10.000 x 2.5% x 4

n = 4 I = $1.000

Al cabo de los cuatro meses Bibiana habr ganado $1.000.

Ntese que se trata de un caso igual al Ejemplo 1, pero aplicando la expresin

matemtica para el inters simple. La solucin a este problema se puede

presentar mediante la siguiente tabla:

Tabla 1Perod

oPrincipa

lInter

sSaldo

acumulado0 10.000 0 10.0001 250 10.2502 250 10.5003 250 10.7504 250 11.000

Total 1.000

La grfica para el caso de Bibiana es como sigue:

Grfica 2


niPI =

Donde P = Principal (Monto)i = Tasa de inters peridica (%)n = Nmero de perodos (plazo)

01 2 3

$10.000

$250$250$250

4

$10.250

01 2 3

$10.000

$250$250$250

4

$10.250

10


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Al analizar situaciones en las cuales se plantean la condicin del inters simple,

tambin es pertinente conocer cul ser el valor futuro (F) que se recibir.Este valor futuro (F) ser igual al principal o valor presente (P) ms los

intereses ganados (I), de tal manera que podemos plantear la siguiente

ecuacin:

F = P + I; retomando la expresin del inters simple niPI = , tenemos

que:

)( niPPF += , entonces agrupando trminos se tiene que:

[ ])(1 inPF +=

Es claro que de la expresin anterior se puede despejar cualquiera de las

variables requeridas, de tal manera que se satisfaga la igualdad.

Ejemplo 1.3. Leidy Garca toma un prstamo por $30.000 durante 8 meses a

una tasa mensual del 1.5%. Cunto deber pagar al final de los 8 meses?

Solucin

P = 30.000

i = 1.5% (0.015)

n = 8

F = ?

Aplicando la frmula anterior, tenemos que:

En consecuencia Leidy deber pagar $33.600 al terminar los 8 meses.


F = 30.000 [1 + (0.015 x 8)] F =

11


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1.5Inters compuesto

El inters compuesto es el que se paga (o recibe) por un monto de dinero

llamado principal y por los intereses que se van obteniendo y que no se retiran,

durante los perodos siguientes. Cuando se aplica el inters compuesto surge

un concepto importante en la matemtica financiera y en general en las

finanzas: la capitalizacin.

En trminos simples, se puede explicar la capitalizacin como el hecho de que

los intereses ganan ms intereses, lo que implica que los intereses ganados y

no retirados en los perodos intermedios son adicionados al capital inicial, con

lo cual ste se va incrementando. Esto quiere decir que la base para el clculo

del inters es cada vez mayor.

Finalmente, es necesario aclarar que cuando se trata de inters compuesto se

requiere especificar la periodicidad de las capitalizaciones, ya que stas

pueden ser diarias, bimensuales, mensuales, bimestrales, trimestrales,

semestrales, anuales, etc.

A mayor nmero de capitalizaciones, mayor ser el inters final obtenido

Ejemplo 1.4. Sandra Palacio deposita por un ao $10.000 en una cuenta que

paga el 4.5% trimestral. Teniendo en cuenta que Sandra no hace retiros

parciales de intereses, Cul es valor que recibir al final del ao?

Solucin

P = 10.000

i = 4.5% trimestral

n = 1 ao (4 trimestres)

F1: Valor al final del primer trimestre.

F1 = P (1 + i)

F1 = 10.000 (1 + 0.045) F1 = 10.450



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El inters obtenido en el primer trimestre es:

I = F1 -P I = 10450 10.0000 I1 = 450

F2: Valor al final del segundo trimestre.

El nuevo saldo en este caso se calculan sobre el nuevo capital F1.

F2 = F1 (1 + i)

F2 = 10.450 (1 + 0.045) F2 = 10.920,25

Los inereses obtenido en el segundo trimestre es:

I = F2 -F1 I = 10.920,25 - 10450 I2 = 470,25, que

equivale a

I = (10.000 x 4.5%) + (450 x 4.5%) I2 = 450 + 20,25

Como podemos observar, el capital inicial gan en el segundo trimestre $450 y

que los intereses que haba al final del primer trimestre (no retirados) ganaron

$20,25.

F3: Valor al final del tercer trimestre.

El saldo en este caso se calcula sobre el nuevo capital F2.

F3 = F2 (1 + i)

F3 = 10.920,25 (1 + 0.045) F3 = 11.411,66

Los intereses obtenidos en el tercer trimestre es:

I = F3 -F2 I = 11.411, 66 - 10.920,25 I3 = 491,41,

que equivale a

I = (10.000 x 4.5%) + (920,25 x 4.5%) I3 = 450 + 41,41

Segn esto, el capital inicial gan en el tercer trimestre $450 y que los

intereses que haba al final del segundo trimestre (no retirados) ganaron

$41,41.



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F4: Valor al final del cuarto trimestre (al final del ao).

El saldo en este caso se calculan sobre el nuevo capital F3.

F4 = F3 (1 + i)F4 = 11.411,66 (1 + 0.045) F4 = 11.925,19

Los intereses obtenidos en el cuarto trimestre es:

I = F4 -F3 I = 11925,19 - 11.411, 66 I4 = 513,53, que

equivale a

I = (10.000 x 4.5%) + (1411,66 x 4.5%) I4 = 450 + 63,53

Lo anterior quiere decir que el capital inicial gan en el cuarto trimestre $450 yque los intereses que haba al final del tercer trimestre (no retirados) ganaron

$63,53.

Obsrvese que el ejemplo anterior consisti en desarrollar la siguiente

expresin:

F = P (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) F = P (1 + i)4

Generalizando la expresin anterior se tiene que:

niPF )1( +=

La solucin a este problema se presenta mediante la siguiente tabla:

Tabla 2

Perod

o

Principa

l

Inter

s

Saldo

acumulado0 10.000 0 10.0001 450 10.4502 470,25 10.920,253 491,41 11.411,664 513,53 11.925,19

Total 1925,



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El ejemplo 1.4 se presenta comparativamente con inters simple y compuesto

para que el lector note el efecto de la capitalizacin.

Tabla 3

Perodo

Principal

Inters

simple

Interscompuest

o

Saldoacumulado

simple

Saldoacumuladocompuesto

0 10.000 0 10.000 10.0001 450 450 10.450 10.450

2 450 470,25 10.900 10.920,253 450 491,41 11.350 11.411,664 450 513,53 11.800 11.925,19

Total 1.800 1925,19

Del anterior cuadro comparativo se pueden obtener las siguientes

conclusiones:

a. El efecto de la capitalizacin de los intereses est representado en un

mayor inters bajo la modalidad compuesta que de manera simple. En estecaso, el efecto de la capitalizacin lo constituyen $125,19.

b. Ntese que al finalizar el primer perodo los intereses y los saldos

acumulados son iguales, esto quiere decir que cuando se trata de un solo

perodo no hay diferencias entre el inters simple y el inters compuesto.

c. El lector puede verificar la afirmacin en el sentido de que a mayor nmero

de capitalizaciones, mayor ser el inters obtenido. Realice paso a paso elanterior ejemplo suponiendo que las capitalizaciones son mensuales y lo

podr comprobar. (Respuesta F12 = 11.931,81)



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La expresin sobre valor futuro presentada nos permite, despejar cualquiera de

las otras variables. Por ahora mostraremos cmo sera la expresin para el

valor presente.

nn

iFPiPF

)1()1(

+=+=

Ejemplo 1.5. Milena lvarez recibir en 5 aos una suma de $50.000. Si se

tiene en cuenta una tasa de inters de referencia del 12% anual, Cul es el

valor presente del dinero que recibir Milena?

Solucin

F = 50.000

i = 12%

n = 5

P = ?

El valor presente del dinero que recibir Milena es de 28.371,34. Aplicando el

concepto de equivalencia descrito al inicio del captulo se puede decir que con

las condiciones establecidas para Milena es equivalente o indiferente recibir

esta suma hoy o $50.000 al cabo de 5 aos.

1.6Consideraciones Finales

El Valor del Dinero en el Tiempo y el concepto de Equivalencia estn

soportados en fundamentos econmicos que aportan a la formulacin de

planteamientos financieros, lo que resalta el carcter multidisciplinar

implcito en las finanzas.


P = 50.000 P =28.371,34

5

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El anlisis del inters en los negocios es vital antes de incursionar en el

estudio detallado de fenmenos financieros mucho ms complejos que se

presentan en las relaciones formales e informales de los agentes delmercado.

El inters compuesto es de mayor aplicacin en negocios formales y su

justificacin se encuentra en el mayor rendimiento que genera a los

prestamistas, lo que a su vez implica un mayor costo para los prestatarios.

1.7Ejercicios Resueltos

1. Rosita Muoz toma un prstamo con el Banco Amigable por valor de

$50.000 a una tasa del 2% mensual a un plazo de 5 meses. Responda las

siguientes preguntas:

a. Cunto son los intereses con inters compuesto que pagar Rosita.

b. Cunto son los intereses sin inters simple que pagar Rosita.

c. A cunto asciende el efecto de la capitalizacin de los intereses.

Para responder a estas preguntas elaboramos la siguiente tabla de resumen:

PerodoPrincipa

lInterssimple

Interscompuesto

0 50.000

1 1.000 1.000,00

2 1.000 1.020,00

3 1.000 1.040,40

4 1.000 1.061,21

5 1.000 1.082,43Total 5.000 5.204,04

Solucin

a. $5.000

b. $5.204,04



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c. 204,04 (5.204,04 5.000)

2. Carlos Prez deposita hoy en el Banco Amigable sus ahorros que suman

$350.000, si el banco le paga un inters del 15% anual y Carlos slo retirael dinero al cabo de 4 aos, Cul es el valor que recibir?

Solucin

P = 350.000

i = 15% anual

n = 4

F = ?

Desarrollando la frmula de valor futuro se tiene que F= $612.152,19.

3. Mnica Rincn desea saber cunto debe depositar en una cuenta hoy que

paga el 16% anual, si al cabo de 8 aos ella desea retirar la suma de

$50.000.000.

F = 50.000.000

i = 16% anual

n = 8P = ?

Desarrollando la frmula de valor presente se tiene que P= $15.251.272,84.



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Unidad 2: Relaciones Bsicas

OBJETIVO GENERAL

Deducir e identificar todas las relaciones posibles encontradas en la matemtica

financiera, con el fin de realizar las aplicaciones respectivas mediante ejercicios

enfocadas al campo financiero.


Deducir e identificar las relaciones de pago nico.

Deducir e identificar las relaciones para la serie uniforme. Deducir e identificar las relaciones para las series gradiente aritmtico y

geomtrico.

Interpretacin grfica de la relacin requerida.

2.1Relacin de Pago nico

La relacin de pago nico se debe a que dadas unas variables en el tiempo,

especficamente inters (i) y nmero de periodos (n), una persona recibe capital

una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado

posteriormente.

Para hallar estas relaciones nicas, slo se toman los parmetros de valores

presentes y futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa

de inters. A continuacin se presentan los significados de los smbolos a utilizar

en las frmulas financieras de pagos nicos3,

P: Valor presente en pesos de algo que se recibe o que se paga en el momento

cero.

3JARAMILLO B Fernando. Matemtica Financiera y su uso para las Decisiones en un Entorno Internacional.Editorial Universidad de Antioquia. Medelln. Colombia. 2006



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F: Valor futuro en pesos de algo que se recibir o se pagar al final del periodo

evaluado.

n: Nmero de perodos (meses, trimestres, aos, entre otros) transcurridos entrelo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, perodo de tiempo

necesario para realizar una transaccin. Es de anotar, que n se puede o no

presentar en forma continua segn la situacin que se evaluando.

i : Tasa de inters reconocida por perodo, ya sea sobre la inversin o la

financiacin obtenida; el inters que se considera en las relaciones de pago nico

y anualidades es compuesto.

2.1.1 Clculo del Valor Futuro dado un Valor Presente

Para el clculo del valor futuro dado un presente, es necesario conocer 3

variables: Valor presente (P), inters (i)y nmero de periodos (n),con el

fin de deducir la cuarta variable, que en este caso sera el valor futuro

(F). Es decir, en la matemtica financiera, para la mayora de los casos,

es vlido aseverar que conocidas los datos de tres variables podemos

determinar el valor de la cuarta. A continuacin se representa el modogrfico para una mejor comprensin del concepto:

Grfico 1

Se puede concluir que con el depsito hecho en el momento presente, a

medida que se va liquidando el inters se originan nuevos saldos,


0

1 2 3 4 n

i = tasa de inters por periodo

P = valor presente (se conoce)

F = valor futuro (se calcula)

0

1 2 3 4 n


P = valor presente (se conoce)


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gracias a la utilizacin del inters compuesto en la frmula

(capitalizacin de los intereses), la cual es:

niPF )1( +=

Donde, la expresin matemtica ni)1( + es el factor de la cantidad

compuesta de pago nico, el cual agrega valor a la cantidad P a lo largo

del periodo, como se observa en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.1: Suponga que solicita hoy un prstamo de $500, los cuales deben

ser pagados en un periodo de 4 aos, a una tasa de inters del 10% con

capitalizacin anual. Cunto pagar al final del periodo cuatro?

Solucin

Ao Pago total al

final del ao 4

1 P $ 500 iP $ 50 iP $ 550 0

2 $ 550 $ 55 $ 605 0

3 $ 605 $ 61 $ 666 0

4 $ 666 $ 67 $ 732 $ 732

Saldo a principio

de cada ao

Inters acumulado

cada ao

Saldo a final de

cada ao

3)1( iiP +

2)1( iiP +

)1( iiP +)1( iP +2)1( iP +3)1( iP +

)1( iiP +2)1( iiP +3)1( iiP +

Al final del ao cuatro, el valor a pagar ser de $732.

Adicionalmente, existe una expresin simblica que representa este

factor, el cual se denota (F/P; i%, n) y cuya lectura es: Encontrar un

valor futuro (F),dado un valor presente(P), una tasa de inters(i) y los

perodos (n)". Bajo esta connotacin la frmula de valor futuro dado un

valor presente se puede escribir simblicamente de la siguiente manera:

)%,,/( niPFPF=

Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la frmula se plantea de

la siguiente manera:

732$

)4641.1(500$

)4%,10,/(500$

==

=

F

F

PFF



22/89


2.1.2 Clculo del Valor Presente dado un Valor Futuro

La relacin que vamos a detallar es inversa a la anterior, por lo tanto, las

variables conocidas son el valor futuro (F), la tasa de inters (i) y el nmero de

periodos (n) y la variable a encontrar es el valor presente (P). Con el fin de tener

una mejor visin del concepto, se presenta a continuacin el modo grfico de la

relacin:

Grfico 2

La frmula matemtica de esta relacin se denota de la siguiente manera:

n

n

iFi

FP +=

+= )1(

1

1

En donde, la expresin ni + )1( es el factor de valor presente de un pago

nico el cual desagrega valor a la cantidad F a lo largo del periodo para

hallar el valor presente, para mayor ilustracin realizar el siguiente

ejemplo:

Ejemplo 2.2: Suponga que al final del periodo 3 se deben pagar $1.200, la

persona sabe que la tasa de inters que le asignaron fue del 8% anual, por tanto

es necesario saber Cul es el monto a desembolsar la entidad financiera en elmomento para que la persona pueda pagar en el futuro el valor conciliado?

Solucin


0

1 2 3 4n


P = valor presente (se calcula)

F = valor futuro (se conoce)

0

1 2 3 4n


P = valor presente (se calcula)

F = valor futuro (se conoce)

22


23/89


Ao Saldo a principio

de cada ao

Inters

acumulado

cada ao

Saldo a final

de cada ao

Pago total

al final del

ao 41 $ 877 $ 76 $ 953 $ 953

2 $ 1.030 $ 81 $ 1.111 03 $ 1.114 $ 86 $ 1.200 0

La expresin simblica que representa este factor es

)%,,/( niFPFP = y su lectura es: Encontrar un valor presente (P),

dado un valor futuro(F), una tasa de inters(i) y los perodos (n)".

Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la frmula se plantea de

la siguiente manera:

953$

)7938.0(200.1$

)3%,8,/(200.1$

===

P

P

FPP

2.1.3 Clculo del Nmero de Periodos

Con la relacin de los pagos nicos, se puede determinar cul es el nmero de

periodos necesarios en el momento que no haya ese dato pero se debe tener lasvariables de valor presente, valor futuro y la tasa de inters. La frmula para

hallarlo, se extrae de la ecuacin niPF )1( += , en donde para despejar n se

aplican logaritmos, quedando la ecuacin de la siguiente manera:

)1ln(

lnln

i

PFn

+

=

Ejemplo 2.3: Felipe Snchez le desembolsaron un prstamo de $52.000.000, el

cual debe pagar a una tasa de inters del 1.8% mensual y que al final del periododebe pagar $85.000.000, calcular cul es el periodo de tiempo requerido para

realizar la transaccin descrita?

Solucin



24/89


Teniendo los datos de F= $-85.000.000, P=$52.000.000 y una i=1.8% mensual,

se aplica la ecuacin:

mesesn

n

52.27

)018.01ln(

)52000000ln()000.000.85ln(

=+

=

2.1.4 Clculo de la Tasa de Inters

Para hallar la tasa de inters bajo la cual se realiz una transaccin, partiendo de

la ecuacin: niPF )1( += y, utilizando una relacin matemtica que dice4:

1)(1)(

,tan

)1()1(

,)1(,

/1/1

/1

=+=

=+==+=

+===

nn

n

n

cc

PFii

PF

toPor

nciBFAiF

despejaseiPFecuacinlaparaentonces

BABA

Ejemplo 2.4: A Lina Hoyos le otorgaron un prstamo por valor de $30.000.000

para comprar un vehculo, el cual debe pagar en 4 aos y se conoce que al final

del periodo debe pagar $42.000.000, calcular cul es la tasa de inters

requerida para realizar la transaccin descrita?

Solucin

Teniendo los datos de F= $-42.000.000, P=$30.000.000 y una n=4 aos, se

aplica la ecuacin:

anuali

i

%78.8

1)000.000.30

000.000.42( 4/1

=

=

4JARAMILLO B. Fernando. Matemtica Financiera y su uso para las Decisiones en un Entorno Internacional.Editorial Universidad de Antioquia. Medelln. Colombia. 2006



25/89


2.2Series

2.2.1 Series Uniformes

Conocidas las relaciones de pago nico en el presente y futuro, se introduce eneste apartado el concepto de serie uniforme que se denota con la letra A. Esta

funcin acoge tambin del valor del dinero en el tiempo y hace referencia a una

serie de flujos de efectivo que tienen las siguientes consideraciones5:

Los flujos deben ser uniformes o iguales en cuanto al

desembolso/reembolso, es decir, todos los valores deben de ser iguales.

Los periodos de desembolso/reembolso deben de ser iguales (ej, mensual,trimestral, anual, entre otros).

Todos los flujos deben de ser del mismo tipo: desembolso o reembolso.

Estas series uniformes se pueden calcular de manera anticipada o vencida, en

donde la diferencia radica en cundo se desembolsa/reembolsa el flujo de

efectivo; es decir, la serie uniforme es vencida si el desembolso/reembolso se da

al final del periodo y anticipada cuando es al principio del periodo.Adicionalmente, la serie uniforme (A) permite establecer relaciones entre el valor

futuro y el valor presente.

2.2.2 Clculo del Valor Futuro dado una Serie Uniforme

Para el clculo del valor futuro relacionada con la serie uniforme, es necesario

tener tres variables conocidas (serie uniforme (A); la tasa de inters (i) y el

nmeros de periodos (n)) con el fin de encontrar el valor futuro, ya que se manejael mismo concepto de tener valores equivalentes entre la serie uniforme y el

valor futuro mediante el descuento de dinero en el tiempo por medio de la tasa

de inters.

5 OCHOA S. Guadalupe A. Administracin Financiera. Primera Edicin. McGraw-Hill. Mxico 2003.



26/89


La expresin simblica en este caso es )%,,/( niAFAF= , el cual se lee:

Encontrar un valor futuro F dado una serie uniforme A, con una tasa de inters i

% y periodos n.

Ahora, de acuerdo a las caractersticas que tiene una serie uniforme y sabiendo

que es necesario encontrar un valor futuro al final de n-periodos a una tasa de

inters determinado, a continuacin se muestra la construccin de la frmula6:

Paso 1: La relacin de la serie uniforme con el valor futuro, se obtiene de sumar

los valores equivalentes futuros de cada uno de los flujos de efectivo:

[ ]0121

)1()1(...)1()1(

)0%,,/()1%,,/(...2%,,/()1%,,/(

iiiiAF

iPFAiPFAniPFAniPFAF

nn

++++++++=

++++=

Paso 2: Los trminos entre corchetes constituyen una secuencia geomtrica que

tiene una razn comn (1+i)-1, por tanto la suma de los primeros n trminos de

una secuencia geomtrica es:

11

1

= bdondeen

b

baaS nn

Si a1 es el primer elemento de la secuencia, an es el ltimo y b es la razn comn,entonces se tiene

+

++

=

)1(

11

)1(

1)1( 1

i

ii

AF

n

Paso 3: Al simplificar queda la frmula definitiva de )%,,/( niAFAF=

+=

iiAF

n 1)1(

La representacin grfica de esta relacin es la siguiente:

6 SULLIVAN, William; WICKS, Elin, LUXHOJ, James. Ingeniera Econmica de DeGarmo. DuodcimaEdicin. Editorial Pearson. Mxico 2004.



27/89


Grfico 3

Para entender mejor el concepto, a continuacin se presenta dos ejemplos con

sus respectivos grficos que muestran una serie uniforme vencida y otraanticipada.

Ejemplo 2.5: Maria Rico desea ahorrar $800 al final de cada trimestre a partir de

enero hasta diciembre del mismo ao, sabiendo que el banco le paga una tasa de

inters del 1.5% trimestre sobre lo ahorrado.

Solucin

72,272.3$

)09.4(800$)4%,5.1,/(800$

=

=

=

F

FAPF

Grfico 4

Ahora, tomemos los mismos datos, pero los desembolsos se realizan a principio

de periodo, teniendo en cuenta que al ser anticipado el clculo del valor futuro


0 1 2 3 4 n


A = Serie Uniforme Vencida (se conoce)


0 1 2 3 4 n




1 2 3 4 n




01 2 3 4

i = 1.5% Trimestral

F = $ 3.272,72

-$800 -$800 -$800 -$8000

1 2 3 4

i = 1.5% Trimestral

F = $ 3.272,72

-$800 -$800 -$800 -$800

27


28/89


inicial quedara en el periodo 3, por tanto es necesario tomar el valor F del

ejercicio y aplicar una relacin nica de pago F=P(F/P; i%, n) en donde el valor

real del futuro en el periodo 4 es el resultado F1.

81,321.3$

)015.1(72,272.3$

)1%,5.1,/(72,272.3$

72.272.3$,

,

72.272.3$

)09.4(800$)4%,5.1,/(800$

1

1

1

1

===

==

===

F

F

PFF

PFdondeen

FcalculaseAhora

F

FAPF

Grfico 5

2.2.3 Clculo del Valor Presente dado una Serie Uniforme

El clculo de esta relacin se puede deducir a partir de la relacin anterior, en

donde se tiene la frmula

+=i

iAF

n 1)1(, en donde niPF )1( += , si

reemplazamos la F de la primera frmula, entonces:

++=

+=+

n

n

nn

ii

iAP

Pdespejase

i

iAiP

)1(

1)1(

,1)1()1(


0 1 2 34

i = 1.5% Trimestral

F1 = $ 3.321,81

-$800 -$800 -$800-$800

F= $ 3.272,72

0 1 2 34

i = 1.5% Trimestral

F1 = $ 3.321,81

-$800 -$800 -$800-$800

F= $ 3.272,72

28


29/89


Con lo anterior, se deduce que el factor del valor presente de una serie

uniformees + +n

n

ii

i

)1(

1)1(, en donde la expresin simblica es (P/A, i%, n);

por tanto, la frmula se puede escribir simblicamente

)%,,/( niAFAP =

Ejemplo 2.6: consideremos que existe una cuota de $200 anuales y se generadurante 3 aos, a una tasa de inters del 8.5% anual. Se desea conocer cuntodebe desembolsar hoy para obtener esas cuotas?

Solucin

8.510$

)55.2(200$

)3%,5.8,/(200$

=

=

=

P

P

APP

Grfico 6

2.2.4 Clculo de

la Serie Uniforme dado el Valor Futuro

Con el fin de deducir la frmula de la relacin en cuestin, se toma como

referencia nuevamente lo siguiente

+

= ii

AF

n 1)1(

, en donde al despejar A

se obtiene:

+

=1)1( ni

iFA


01 2 3

i = 8.5% anual

P= -$510.8

$200$200$200

01 2 3

i = 8.5% anual

P= -$510.8

$200$200$200

29


30/89


En esta frmula, el factor es llamado fondo de amortizacin y es

+ 1)1( ni

i, cuya notacin o expresin simblica es (A/F, i%, n). Por

tanto, se puede la representacin de la frmula es )%,,/( niFAFA=

y su lectura es: Encontrar la serie uniforme (A),dado un valor futuro

(F), una tasa de inters(i) y los perodos (n)".

Ejemplo 2.7: Una persona necesita para viajar en un ao al exterior $4.500.000,

sabe que el banco actualmente est dando un inters del 1.2% mensual; por

tanto necesita saber cunto debe ahorrar mensualmente para tener el dinero

necesario del viaje?

45.889.350$

)077.0(000.500.4$

)12%,2.1,/(000.500.4$

=

=

=

A

A

FAA

Grfico 7

2.2.5 Clculo de la Serie Uniforme dado el Valor Presente

Para deducir la frmula de esta relacin, es necesario despejar A en la siguiente:


0 1 2 3 4 12

i = 1.2% mensual

A =$ -350.889,45

F = $4.500.000

0 1 2 3 4 12

i = 1.2% mensual

A =$ -350.889,45

F = $4.500.000

30


31/89


32/89


2.3Gradientes

Las series gradientes (G), manejan el mismo procedimiento de equivalencia de

dinero en el tiempo visto anteriormente; sin embargo se diferencia por que sus

flujos de caja no son uniformes sino que se comportan de una manera creciente o

decreciente, ya sea mediante un valor fijo o un incremento porcentual durante el

periodo de evaluacin. Por ejemplo, se realiza un prstamo de $1.500 que es

pagadera en 5 cuotas mensuales, pero la cuota mensual aumenta $500 cada

periodo, la cual no genera inters. Por tanto, el primer periodo tiene la una cuota

que A=$1.500, la cual permanece todo el periodo como una base de serie

uniforme y el aumento G=$500 a partir del segundo periodo en adelante, es

decir:

Meses

A G Cuota Total

1 $1.500 A1 $1.5002 $1.500 $500 A1+G $2.0003 $1.500 2 *$500 A1+2G $2.5004 $1.500 3 *$500 A1+3G $3.0005 $1.500 4* $500 A1+4G $3.500

La persona debe pagar al final del quinto mes un valor de $3.500.

Ahora, si se plantea un prstamo de $1.500 que es pagadera en 5 cuotas

mensuales, pero la cuota mensual aumenta en un 2% cada periodo, sin generar

inters; se dice que el primer periodo tiene una cuota que es A=$1.500, la cual

permanece todo el periodo como una base de serie uniforme y el aumento

porcentual de G=$2% a partir del segundo periodo en adelante, es decir:

Meses

A G Cuota Total

1 $1.500 A1 $1.500

2 $1.500 (1+2%) A1*(1+G) $1.5303 $1.500 (1+2%)2 A1*(1+ G)2 $1.560,64 $1.500 (1+2%)3 A1*(1+ G)3 $1.591,85 $1.500 (1+2%)4 A1*(1+ G)4 $1.623,

65



33/89


La persona debe pagar al final del quinto mes un valor de $1.623,65.

2.3.1 Gradiente Aritmtico

La serie gradiente aritmtico, se identifica cuando los flujos de caja crecen o

decrecen de una manera fija durante el periodo de tiempo, en este caso la G se

conoce como la cantidad en forma de gradiente uniforme; en donde, si la

cantidad crece a la serie uniforme se le suma el gradiente (A+G), pero si la

cantidad decrece a la serie uniforme se le resta el valor del gradiente (A-G). Con

el fin de tener claridad sobre los conceptos expuestos hasta el momento en el

captulo, se presenta a continuacin dos grficas que muestran las dos

situaciones.

Representacin grfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una

serie gradiente aritmtico creciente de este flujo es el siguiente:

Grfico 9

Representacin grfica para un valor presente o valor futuro equivalente a una

serie gradiente aritmtico decreciente un flujo:

Grfico 10


0 1 2 3 4n


A1

A1+G

A1+2G

A1+3G

A1+(n-1)G

0 1 2 3 4n


A1

A1+G

A1+2G

A1+3G

A1+(n-1)G


0 1 2 3 4n

A1-G

A1-2G

A1-3G

A1

A1-(n-1)G


0 1 2 3 4n

A1-G

A1-2G

A1-3G

A1

A1-(n-1)G

33


34/89


2.3.1.1Clculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Aritmtico

El valor futuro equivalente, de la secuencia aritmtica de los flujos de efectivo, se

representa de la siguiente manera7:

[ ]

( )i

NGniAF

i

GF

i

NGi

i

GF

i

NGiiii

i

GF

i

i

i

i

i

i

i

iGF

bieno

iAFGiAFGniAFGniAFGF

g

n

K

k

g

nn

g

nn

g

g

=

+=

+++++++++=

++

+++

++

+=

++++=

=

%,,/

)1(

1)1()1(....)1()1(

1)1(1)1(....

1)1(1)1(

,

)1%,,/()2%,,/(...2%,,/()1%,,/(

1

0

1221

1221

Dado que la expresin de Fg de nota solamente el valor del gradiente en el

tiempo, entonces si se quiere conocer el valor futuro de todo el flujo de caja, es

necesario sumar el futuro correspondiente a la serie uniforme

)%,,/( niAFAF= , por tanto el Futuro Total (Fg) = )%,,/( niAFA Fg,

dependiendo si el gradiente crece o decrece.

Ejemplo 2.9: Juan Ra espera tener el siguiente flujo de efectivo, con una tasa

de inters del 9% anual, en donde se requiere saber cul es el valor futuro total y

del gradiente:

Aos Flujo1 $8002 $1.0003 $1.200

7 SULLIVAN, William; WICKS, Elin, LUXHOJ, James. Ingeniera Econmica de DeGarmo. DuodcimaEdicin. Editorial Pearson. Mxico 2004.



35/89


4 $1.400

Solucin

( )

5,3658$

)573.4(800$

)4%,9,/(800$

62,273.1$

09.0

200*4573.4

09.0

200

===

=

=

F

F

AFF

F

F

g

g

12,932.4$

62,273.1$5,3658$

,

=

+=

+=

t

t

gt

F

F

FFF

dondeen

2.3.1.2Clculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Aritmtico

La expresin simblica de esta relacin se representa )%,,/( niGAGA = , la

cual tiene la siguiente lectura: encontrar una serie uniforme (A), dado una tasa de

inters (i%) y un periodo (n).

La frmula para encontrar la relacin es:

+

=1)1(

1ng i

n

iGA

En donde, el factor

+

1)1(

1n

i

n

irepresenta la conversin de un gradiente en

serie uniforme. Es por ello, que es necesario tener en cuenta que para hallar la

serie uniforme total (At), se debe sumar o restar la serie uniforme con el Ag

encontrado ( gt AAA = ) dependiendo si el gradiente es creciente o decreciente.

Ejemplo 2.10: Suponiendo que Juan Ra, desea conocer cul seria la cuota

uniforme que debera tener con el flujo de caja mostrado en el ejemplo 2.7.

Bajo ste parmetro es sabido que A = $800, entonces se debe proceder a volver

el valor de G en una serie uniforme.



36/89


37/89


2.3.2 Gradiente Geomtrico

A diferencia del gradiente aritmtico, los flujos de caja crecen o decrecen de una

manera porcentual. Estas variaciones porcentuales se identifican en las frmulas

mediante ig, ya que la tasa de inters comnmente se referencia por medio de la

i.

Como manera de ilustracin se muestra cul es el diseo grfico de estos flujos

de caja crecientes, en donde se representa un valor presente o valor futuro

equivalente a una serie gradiente geomtrica.

Grfico 11

2.3.2.1Clculo de un Valor Futuro dado un Gradiente Geomtrico

El valor futuro equivalente, de la secuencia geomtrica de los flujos de efectivo,

se representa por medio de la siguiente frmula, en donde si la serie es creciente

se aplica iig y si es decreciente la serie se aplica iig + :

+++=

ii

iiAF

g

n

g

n )1()1(1

Al aplicar sta frmula, se calcula directamente el futuro del flujo de caja, es

decir, no hay necesidad de encontrar un futuro total como en el gradiente

aritmtico.


1 2 3 4n


A1

A1*(1+ig)

A1*(1+ig)2

A1*(1+ig)3

A1*(1+ig)N-1

1 2 3 4n


A1

A1*(1+ig)

A1*(1+ig)2

A1*(1+ig)3

A1*(1+ig)N-1

37


38/89


2.3.2.2Clculo de un Valor Presente dado un Gradiente Geomtrico

El valor presente total equivalente a una serie geomtrica de flujos de efectivo, se

calcula por medio de la siguiente frmula

ii

i

iA

Pg

n

n

g

+

+

=

1)1(

)1(1

En donde, si se quiere calcular un gradiente creciente, debe tener el denominador

con signo negativo y, si el clculo es para un gradiente decreciente el signo debe

ser positivo.

2.3.2.3Clculo de una Serie Uniforme dado un Gradiente Geomtrico

La manera de volver una serie gradiente geomtrica en una serie uniforme, se

realiza mediante la siguiente frmula, en donde se sigue las mismas

especificaciones de signo en el denominador del primer corchete cuando la serie

es creciente o decreciente.

+

+=

1)1(

)1()1(1 n

g

n

g

n

i

i

ii

iiAA

2.4Consideraciones Finales

Mediante la aplicacin de los conceptos de equivalencia y valor del dinero en

el tiempo, se estructuraron las relaciones de pago ms comunes basados en el

inters compuesto.

Se determinaron las relaciones de pago nico entre los valores presente yfuturo, as como las consideraciones se las series uniformes con las posibles

combinaciones de variables y las series gradientes planteadas desde lo

aritmtico y geomtrico. Adicionalmente, para cada una de las relaciones se

especificaron los factores y la expresin simblica respectiva.



39/89


40/89


La tasa de inters que se obtuvo en un ao fue del 37%.

3. Juan Carlos Snchez tiene dos cuentas por cobrar, la primera dentro de 2

meses por valor de $1.000.000 y la segunda por $2.000.000 dentro de 5

meses. Simultneamente, tiene que cancelar una deuda con 3 pagos de

$500.000 cada una en los meses 4 y 6. Hallar el valor del saldo dentro de 7

meses, si la tasa de inters es del 1,30% mensual.

Solucin

Dado que los flujos de caja no son uniformes, al igual que los periodos, se debe

trasladar cada valor hacia el futuro con una tasa de inters del 1.30%, para que

en el final del mes 7 se pueda conocer el saldo neto del Sr. Snchez.

338.052.2$

)013.1(000.000.2$

11,712.066.1$

)013.1(000.000.1$

2

2

2

1

5

1

=

=

=

=

F

F

F

F

500.506$

)013.1(000.500$

6,754.519$

)013.1(000.500$

4

1

4

3

3

3

=

=

=

=

F

F

F

F

Para hallar el futuro total se realiza la sumatoria de los valores calculados en cada

una de las F.

51,795.092.2$

)500.506$()6,754.519$(338.052.2$11,712.066.1$

4321

=

+++=

+++=

Ft

Ft

FFFFFt

El Sr. Snchez tendr un saldo a favor en el mes 7 de $2.092.795,51.

Grficamente el ejercicio se representa as:


0 1 2 3 4

i = 1.3% mensual

Ft = $ 2.092.795,51

$1.000.000

-$500.000

$2.000.000

56

-$500.000

0 1 2 3 4

i = 1.3% mensual

Ft = $ 2.092.795,51

$1.000.000

-$500.000

$2.000.000

56

-$500.000

40


41/89


Unidad 3: Inters Efectivo

OBJETIVO GENERAL

Reconocer la importancia y aplicacin del inters efectivo en la toma de

decisiones financieras.


Comprender los conceptos de inters nominal e inters efectivo.

Aplicar las frmulas y procedimientos para la conversin de tasas de inters

efectivo en nominal y viceversa, cuando las capitalizaciones son vencidas yanticipadas.

Identificar los elementos de tasas de inters compuestas.

Tasa de inters nominal

Esta tasa de inters se expresa generalmente anual e indica el nmero de

perodos de capitalizacin que se van a aplicar en el negocio referido, esto

quiere decir que la liquidacin de los intereses es fraccionada. Los perodos de

liquidacin pueden ser diarios, bimensuales, mensuales, bimestrales,

trimestrales, semestrales, anuales. La tasa de inters nominal tiene cierta

relacin con el inters simple, en la medida que no recoge el efecto de las

capitalizaciones.

Ejemplos de la expresin de la tasa de inters nominal:

18% A SV (Anual Semestre Vencido)

18% A MV (Anual Mes Vencido)

18% A TA (Anual Trimestre Anticipado)

Si se conoce la tasa de inters nominal se puede conocer cul es la tasa

peridica. Para el primer ejemplo se puede decir que la tasa de inters



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peridica (semestral) es del 9% (18% / 2). Adicionalmente si se conoce la tasa

peridica se puede calcular la tasa nominal anual, por ejemplo si la tasa

mensual es del 1.5% la tasa nominal anual mes vencido ser del 18% A MV

(1.5% x 12).

De la anterior aclaracin surge una observacin importante: las tasas

nominales se pueden multiplicar y dividir. Esto es importante porque

comparativamente con las tasas efectivas podemos adelantar lo siguiente: las

tasas efectivas se pueden multiplicar, pero no se pueden dividir.

Tasa de inters efectiva

Esta tasa de inters recoge el efecto de las capitalizaciones de intereses

cuando estos no son retirados. La tasa de inters efectiva tiene relacin con el

inters compuesto, ya que ste como se haba definido anteriormente es el

que resulta de ganar intereses sobre el capital inicial y sobre los intereses

ganados y no retirados; se puede decir en consecuencia que la tasa de inters

efectiva es la expresin en trminos de la rentabilidad o costo asociado a

negocios que presenta esta caracterstica.

El anlisis comparativo del inters simple y el inters compuesto presentado en

la tabla 3, sirve de base para decir que anlogamente la tasa de inters

nominal (asociada en cierta medida el inters simple) es inferior a la tasa de

inters nominal (asociada el inters compuesto).

Frmulas para la conversin de tasa de inters nominal y efectiva

Para capitalizaciones vencidas

11ief

+=

m

nom

m

i

Donde:

ief:Tasa de inters efectiva

inom:Tasa de inters nominal

m: Es el nmero de perodo de capitalizacin o composicin del inters



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Ejemplo 3.1. Retomando el ejemplo 1.4 donde Sandra Palacio deposita por

un ao $10.000 en una cuenta que paga el 18% anual capitalizado

trimestralmente de manera vencida. Cul es la tasa de inters efectiva que le

pagaron a Sandra?

Solucin

inom: 18% A TV

m: 4

ief: ?

Reemplazando en la frmula de tasa efectiva tenemos que:

14

18.01i

4

ef += %25,191925,0 ==efi

El anterior ejemplo se puede leer de la siguiente manera: una tasa del 18% A

TV es equivalente a una tasa efectiva anual de 19.25%.

Cuando se ilustr el inters compuesto se plante que a mayor nmero de

capitalizaciones mayor sera el inters obtenido, consecuentemente podemos

afirmar que a mayor nmero de capitalizaciones mayor ser la tasa de inters

efectiva. Veamos la siguiente tabla la cual reafirma esta idea.

Tabla 1

Tasanominalanual

Tasa efectiva anual

m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 6 m = 12m =365

12% 12,00% 12,36% 12,49% 12,55% 12,62% 12,68% 12,75%

18% 18,00% 18,81% 19,10% 19,25% 19,41% 19,56% 19,72%

24% 24,00% 25,44% 25,97% 26,25% 26,53% 26,82% 27,11%

30% 30,00% 32,25% 33,10% 33,55% 34,01% 34,49% 34,97%

36% 36,00% 39,24% 40,49% 41,16% 41,85% 42,58% 43,31%

Ntese tambin en la tabla 4 que cuando m = 1 la tasa nominal anual es igual

a la tasa efectiva, en general podemos afirmar que una tasa nominal es igual a

una tasa efectiva cuando el perodo de capitalizacin es igual a 1.

La anterior afirmacin se puede demostrar de la siguiente manera:



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As como se pasa de una tasa nominal a una tasa efectiva se puede hacer ensentido inverso, es decir, a partir de una tasa efectiva hallar la tasa nominal.

Para esto debemos encontrar una expresin a partir de la presentada para el

inters efectivo.

11ief

+=

m

nom

m

i

( )[ ]11 /1 += mefnom imi

La anterior frmula tambin se puede expresar de la siguiente manera:

( )1)1( += m efnom imi

Ejemplo 3.2. Si se tiene una tasa de inters efectiva anual del 21.5506%

capitalizada trimestralmente, Cul es la tasa de inters nominal equivalente?

Solucin

ief: 21.5506% EA (Efectivo Anual)m: 4

inom: ?

Reemplazando en la frmula de tasa nominal tenemos que:

Lo anterior quiere decir que una tasa nominal anual del 20% capitalizadatrimestralmente es equivalente a una tasa efectiva del 21.5506%.

Ejemplo 3.3. Se tiene una tasa efectiva anual de 26.8242% que fue

capitalizada mensualmente. Cul es la tasa mensual implcita?


ief = 1 + inom 11

-1 ief = 1 + inom - ief =

inom = 4 [(0.215506 +1)0.25 1

inom = 20% A TV

44


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Solucin

ief: 26.8242% EA (Efectivo Anual)

m: 12

inom: ? para un mes.

Se reemplaza en la frmula de tasa nominal y luego se obtiene la tasa

peridica:

El exponente 0.08333 es (1/12). Como ya se tiene la tasa nominal anual mes

vencida esta tasa si se puede dividir y encontramos que la tasa peridica

mensual es 2% (24% / 12).

Para capitalizaciones anticipadas.

Cuando las capitalizaciones son anticipadas el inters efectivo es mayor, esto

ocurre porque el tenedor de los intereses los tendra ms tiempo para

capitalizarlos lo que hace que la tasa sea mayor.

Si la capitalizacin es anticipada la frmula del inters efectivo es la siguiente:

11ief

=

mnom

m

i

Donde:

ief:Tasa de inters efectiva

inom:Tasa de inters nominalm: Es el nmero de perodo de capitalizacin o composicin del inters

Ejemplo 3.4. Retomando el Ejemplo 1.4 donde Sandra Palacio deposita por

un ao $10.000 en una cuenta que paga el 18% anual capitalizado

trimestralmente de manera anticipada. Cul es la tasa de inters efectiva

que le pagaron a Sandra?


inom = 12[(0.268242+1)0.08333 1

inom = 24% A

45


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Solucin

inom: 18% A TA

m: 4

ief: ?

Reemplazando en la frmula de tasa efectiva tenemos que:

Se puede ver claramente como la tasa efectiva es mayor en este caso a la

encontrada en el Ejemplo 3.1 donde con capitalizaciones vencidas se haba

obtenido una tasa efectiva de 19.25%.

Anlogamente como se hizo con la tabla 1, se presentan a continuacin

distintas tasas nominales y su equivalente tasa efectiva, con lo cual el lector

podr comprobar una vez que es mayor cuando es anticipada.

Tabla 2

Tasanominalanual

Tasa efectiva anual

m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 6 m = 12m =365

12% 13,64% 13,17% 13,03% 12,96% 12,89% 12,82% 12,75%

18% 21,95% 20,76% 20,40% 20,22% 20,05% 19,89% 19,73%

24% 31,58% 29,13% 28,42% 28,08% 27,75% 27,43% 27,13%

30% 42,86% 38,41% 37,17% 36,59% 36,04% 35,50% 35,00%

36% 56,25% 48,72% 46,74% 45,83% 44,95% 44,12% 43,36%

Ntese que en este caso cuando m = 1, las tasas son diferentes y no se da elmismo fenmeno de las capitalizaciones vencidas, adems en este caso

sucede lo contrario a lo reflejado en la tabla 1, a medida que m aumenta la

tasa efectiva se va haciendo menor; para finalizar se nota que cuando m es

muy grande (m=365) la tasa efectiva por las dos formas de capitalizacin se

hace muy similar.


ief = 1- 0.18 -44 -1 ief = 0.2022 =

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Una manera alternativa para hallar la tasa efectiva con capitalizacin

anticipada es calcular la tasa peridica equivalente anticipada y luego calcular

la tasa efectiva anual.

La tasa efectiva peridica se calcula de la siguiente manera:

ant

antef

i

ii

=

1

Ejemplo 3.5. Diego Lpez recibe un prstamo de $10.000 a una tasa de

inters del 42% anual, pagadero mes anticipado. Si el prstamo lo paga en un

ao, Cul es la tasa de inters efectiva del prstamo?

Solucin

inom: 42% A MA

m: 12

ief: ?

Primero calculamos la tasa peridica que es 3.5% mes (42% / 12), luego con

esta tasa (nominal) calculamos la tasa peridica anticipada efectiva.

Con la tasa mensual encontramos la tasa nominal anual mes vencida: 3.627%

x 12 = 43.523% A MV. Con esta nueva tasa hallamos la tasa efectiva

utilizando la frmula para las capitalizaciones vencidas.


iant (ef) = 0.0351

0.035iant (ef) = 0.03627 = 3.627%

ief = 1 + 0.43523 12 12 -1 ief = 0.5335 =

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Conversin de tasas de inters

En este espacio se desarrollan ejemplos adicionales que refuerzan los

conceptos hasta aqu tratados sobre tasas efectivas y nominales.

Ejemplo 3.6. Cul es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa

trimestral anticipada del 3,85%?

Solucin

Para resolver este caso utilizamos la frmula para la tasa efectiva peridica.

ant

ant

ef

i

ii

=

1

iant = 3,85%

ief=?

%40385,01

0385,0==

efi Esta tasa es efectiva trimestral.

Ejemplo 3.7. Hallar la tasa anticipada de un bimestre equivalente a una tasa

bimestre vencida de 2,5%.

Solucin

Partimos de la anterior ecuacin y planteamos la siguiente:

ant

ant

ef

i

ii

=

1Desarrollando la frmula para ief tenemos que

ef

ef

ant

i

ii

+

=

1

ief= 2,5%iant = ?

%44,2025,01

025,0==

+anti Esta tasa es anticipada para el subperodo bimestral.



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Con los ejemplos 3.6 y 3.7 se reafirma lo planteado anteriormente, que

cuando la capitalizacin es anticipada la tasa efectiva es superior a la tasa del

subperodo.

Ejemplo 3.8. Juan Garca toma un prstamo por $800.000 a una tasa del 24%A TA. Juan est interesado en saber cul es la tasa efectiva mensual que

equivalente en este negocio.

Solucin

inom: 24% A TA

m: 4

ief-mes: ?

Para resolver este problema obtenemos en primera instancia la tasa efectiva

anual y luego la tasa anual mes vencida con lo cual podemos saber la tasa

peridica para un mes.

Clculo de la tasa efectiva anual

11ief

=m

nom

m

i Tenemos

EA%0821,2814

24,01i

4

ef =

=

Clculo de la Tasa nominal mes vencida

( 1)1( += m efnom imi Tenemos AMVnomi %251280821,0112 12 )( == +

Con lo que la tasa mensual es 25% / 12 = 2,084%.

Ejemplo 3.9. Adriana Gmez invertir $5.000.000 en un negocio que pagar

una tasa efectiva anual de 28%; Cul es la tasa efectiva semestral que

Adriana obtendr por su inversin, si se sabe que la capitalizacin es

anticipada?



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Solucin

ief: 28% EA

m: 2

ief-semestre: ?

Este problema tambin se resuelve por pasos.

Clculo de la tasa nominal semestre anticipada

11ief

=

mnom

m

i

Desarrollando para inom tenemos

+=

m

ef

nom

imi

/1

1

11

SAAinom %22,2328,01

112

2/1

=

+=

La tasa peridica (semestral) en este caso es 11,61% (23,22% / 2)

Luego la tasa efectiva semestral que obtendr Adriana es:

%14,131161,01

1161,0

==efi

Tasas compuestas

Tasa equivalente de una tasa en moneda extranjera

Cuando se tiene una inversin o una deuda en divisas la rentabilidad o el costo

financiero estn dados por una combinacin de la rentabilidad (costo) en el

negocio y la devaluacin (o revaluacin) de la divisa.

En este caso se componen (combinan) la tasa por rentabilidad (costo) y la tasa

de variacin de la divisa y se expresa de la siguiente manera:

1)1)(1( ++= devef iii



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Donde:

efi :Tasa de rendimiento (costo) expresado en trminos de la divisa

devi :Tasa de devaluacin (revaluacin) de la moneda local frente a la

divisa.

Ejemplo 3.10. Cul es la tasa equivalente en pesos de una inversin que

renta el 10% anual en dlares, si se espera que la devaluacin del peso frente

al dlar sea del 18% anual?

Solucin

efi : 10%

devi : 18%

%8,291)18.01)(1.01( =++=i

Ntese que la rentabilidad total obtenida es del 29,8% lo cual es superior a

decir que el rendimiento es 28% (10% + 18%). Esta alternativa de

composicin es ms gil, pero imprecisa.

Tasa de inters real

La tasa de inters real, es la tasa de inters a la cual se le ha descontado el

efecto de la inflacin.

La frmula para la tasa de inters real es:

11

1

+

+=

fl

ef

r

i

ii

Donde:

efi :Tasa de inters que se gana o paga

fi :Tasa de inflacin

Ejemplo 3.11. Cul es la tasa de inters real de un CDT que paga un 10%

anual de inters y la inflacin prevista es del 5,5% anual?



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Solucin

efi = 10%

fi = 5,5%

ri = ?

%27,41055,01

1,01=

++

=ri Tasa de inters real ganada en esta inversin

Tasa de inters con UVR

La unidad de valor real es el cambio que se ocasiona del sistema UPAC a la

UVR. La Ley 546 de 1999 cre la Unidad de Valor Real (UVR) que mantiene

constante el poder adquisitivo de la moneda, actualizando su valor en pesos

con la inflacin. La Junta Directiva del Banco de la Repblica divulga

mensualmente el valor de la unidad para cada uno de los das del perodo. El

cambio fundamental que se origina es en el reconocimiento de la prdida del

poder adquisitivo y el manejo del inters. Nuevamente la prdida del poder

adquisitivo va a estar representada por la tasa de inflacin y se aplicar al mes

siguiente de su ocurrencia9.

Cuando una inversin o un crdito son pactados en UVR, la rentabilidad o costoasociado debe determinarse mediante una tasa compuesta que considere la

tasa de inters y las variaciones en la UVR.

La tasa de inters en estos casos se determina de manera anloga a como se

realiz para negocios en divisas.

1)1)(1( ++= vuu iii

Donde:

ui :Tasa de inters en UVRvui :Tasa de crecimiento (incremento) de la UVR.

9 CARDONA, Ral Armando,Elementos sobre matemticas financieras . Universidad Eafit. 2000 (Citadopor JARAMILLO Betancur, Fernando. En: Matemticas Financieras y su uso en un entorno internacional.Libro en edicin. Medelln, 2006).



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Ejemplo 3.12. Cul es la tasa de inters mensual de un prstamo por el cual

se paga una tasa del 1,5% en UVR, si se espera que la UVR incremente su

precio a razn de 0,7% mensual?

Solucinui : 1,5%

vui : 0,7%

%21,21)007,01)(015,01( =++=i Tasa mensual.

Consideraciones Finales

Se evidencia con los anlisis presentados que la tasa de inters efectiva, en

la prctica, es la tasa que posibilita la evaluacin del verdadero rendimiento

(o costo) asociado a decisiones financieras de inversin o financiacin.

Es necesario conocer dos de los elementos fundamentales en un caso

financiero: perodo de pago y perodos de capitalizacin para lograr

establecer de manera adecuada el inters efectivo asociado.

La tasa efectiva es utilizada en distintos escenarios y se constituye en una

variable para la toma de decisiones financieras, ya que cuando se tienen

tasas nominales con diferentes perodos de capitalizacin no se puede

seleccionar la mejor alternativa hasta tanto no se conviertan en tasas

efectivas.

Ejercicios Resueltos

1. Jorge Palacio tom un crdito con el Banco Amigable por $400.000,

pagando una tasa del 21% A MA. Cul es la tasa trimestral efectiva del

prstamo?

Solucin

inom: 21% A MA

m: 4



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En consecuencia se recomienda a Lina aceptar la segunda alternativa, pues la

tasa efectiva es menor, lo que le implica un menor costo financiero en la

financiacin de su vehculo.

3. Si se espera que la devaluacin del peso frente al Euro ser de 5,78% y larentabilidad de un ttulo en Euros es de 8% A SV, Cul es la rentabilidad en

pesos que se espera obtener en esta inversin?

Solucin

efi : ?

devi : 5,78%

Primero se debe calcular la tasa efectiva y luego la tasa compuesta.

EA%16,812

08.01i

2

ef =

+=

EAi %41,141)0578,01)(0816,01( =++= Tasa de rentabilidad en pesos.



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Unidad 410: Activos Financieros

OBJETIVO GENERAL

Identificar los activos financieros ms comunes que se encuentran en elmercado pblico de valores de Colombia y su uso como mecanismos de

financiacin e inversin, verificando la manera de calcular su rentabilidad y el

precio o el costo que se originan en cada uno de ellos.


Conocer las caractersticas de los activos financieros que se ofrecen en el

mercado de valores de Colombia.

Clasificar bajo diferentes criterios los activos financieros.

Evaluar las tcnicas para tomar decisiones sobre activos financieros.

Conocer aspectos prcticos de los activos financieros.

Identificar algunos rasgos generales del comportamiento del mercado de

capitales de Colombia.

Conocer los aspectos generales acerca de cmo hacer inversin a travs

de la Bolsa de Valores.

Intermediarios y Mercados Financieros.

Mediante el estudio del mercado de capitales, se evala como las unidades del

sector real no se encuentran en equilibrio y por lo tanto, unas unidades tienen

supervit y otras operan con dficit. Es precisamente, en este aspecto donde la

intermediacin contribuye a trasladar recursos de las unidades con supervit a

aquellas que lo requieran.

Vamos a centrarnos entonces en las instituciones, que de una u otra manera

participan en la intermediacin financiera. Una corporacin financiera no acta

como una isla. Por el contrario, se mueve en estrecho contacto con los diversos

mercados e intermediarios financieros. Esta relacin permite a la empresa

10 JARAMILLO , Betancur, Fernando. Matemtica financiera en un entorno internacional. EditorialUniversidad de Antioquia. Medelln. Colombia. 2006



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obtener el financiamiento necesario, al igual que la inversin de fondos ociosos

realizada en diversos activos financieros.

Para las empresas resulta indispensable tener acceso frecuente al ambiente

financiero, aspecto que las grandes empresas cumplen a cabalidad, sinembargo, las medianas y pequeas, lo hacen con menor frecuencia.

Independientemente del tamao de una compaa, ellas continuamente se ven

enfrentadas a la necesidad de evaluar cundo invertir en un ttulo, cunto

pagar por un ttulo, cundo adquirir el ttulo, cundo emitir ttulos, cundo

recurrir a una lnea de crdito o prstamo directo. Todo lo anterior es para

comprender con facilidad que se hace en el sistema financiero y cules son los

ttulos que ms se negocian.

La estructura del sistema financiero colombiano lo podemos identificar por tres

grandes componentes. Un primer grupo est constituido por los

establecimientos de crdito. Un segundo grupo por los inversionistas

institucionales y un tercer grupo integrado por las entidades de servicios

financieros.

Los establecimientos de crdito, se caracterizan por captar y colocar recursos

en forma masiva y habitual; estos estn integrados por bancos, corporacionesfinancieras, bancos hipotecarios y compaas de financiamiento comercial.

Los inversionistas institucionales, se relacionan con las entidades que pueden

captar y colocar recursos, pero que no pueden hacerlo ni en forma masiva ni

habitual. Entre las instituciones que integran este grupo se encuentran:

compaas de seguro de vida general e individual, las sociedades de

capitalizacin, los fondos de inversin, los fondos de cesantas, los fondos de

pensiones, las sociedades administradoras de inversiones, entre otras.

Las entidades de servicios financieros, corresponden a aquellas entidades que

no pueden captar ni colocar dinero. Su papel est restringido a facilitar la

intermediacin financiera, o sea, a un crecimiento del mercado de capitales.

Entre estos ubicamos a las firmas comisionistas de bolsa, los comisionistas

independientes, la Bolsa de Valores de Colombia, entre otras. Sin embargo, en



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los ltimos aos se han presentado modificaciones a las reglamentaciones para

flexibilizar un poco las actividades de estas entidades.

Los mercados financieros se encuentran integrados por otros mercados. Estos

principalmente se distinguen como mercados de dinero, mercados de capitalesy mercados derivados. Los mercados de dinero se distinguen por motivar la

negociacin de instrumentos financieros de corto plazo y, particularmente, de

renta fija. Los mercados derivados se identifican por incentivar el desarrollo del

negocio de instrumentos de cobertura y un nivel ms alto de riesgo. Los

mercados de capitales, como lo veremos, tratan de ttulos de renta fija de largo

plazo (todo tipo de bonos y papeles comerciales) y ttulos de renta variable

(acciones ordinarias o comunes, acciones privilegiadas y acciones con

dividendo preferencial sin derecho de voto).

Adems, en ese mercado existe tanto un mercado primario como secundario.

Un mercado primario es un mercado de emisiones nuevas. Es aqu donde los

fondos obtenidos mediante la venta de nuevos valores fluyen de los

compradores de valores (el sector del ahorro) a los emisores de valores (el

sector de captacin). En un mercado secundario, son comprados y vendidos los

valores existentes.

Grfica 1: Mercado de Capital para los Valores Corporativos

Los smbolos y flechas

utilizados corresponden

a los siguientes:


Suscripcin privilegiada

EMISIN PBLICA

INVERSIN

BANCA DE

INVERSIN

MERCADO

SECUNDARIO

BOLSA DE VALORES

MERCADO OTC

AHORROS

BANCOS

COMERCIALES

CORPORACIONES

FINANCIERAS

BANCOS

HIPOTECARIOS

COMPAAS DEFINANCIAMIENTO

COMERCIAL

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Indica la posible presencia de un acuerdo

provisional;

Las flechas indican la direccin del flujo de dinero (los valores

fluyen en la direccin opuesta);

La lnea discontinua se utiliza para indicar que losvalores de los intermediarios (por ejemplo, cuentas de ahorro, o polticas de

seguros) fluyen hacia las unidades de ahorros.

No hay vnculo directo entre las unidades de inversin y el mercado

secundario; en consecuencia, los valores emitidos antes que sean vendidos en

el mercado secundario no proporcionan fondos nuevos a los emisores de

valores.

Las operaciones sobre estos valores ya existentes nos proporcionan fondos

adicionales para financiar la inversin de capital. En este captulo nos

concentramos de manera primordial en las actividades del mercado primario

dentro del mercado de capital. Usted puede utilizar la grfica 1 como un mapa

que sigue el anlisis de este aparte.

Esta grfica ilustra el mercado de capital tanto para instrumentos de renta fija

como variable. A partir de la misma, podemos observar como ciertas

instituciones financieras tienen la posibilidad de traspasar recursos del sectorde ahorro al sector de inversin, a travs de tres medios principales: una oferta

pblica de valores, derechos de tanto y una colocacin privada. La banca de

inversin, los intermediarios financieros y el mercado secundario son las

instituciones clave que realizan dicho mo

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