DAA

Fasilkom

Design and Analysis of AlgorithmsMaster Theorem

Fasilkom UIAcknowledgement:

L. Yohannes Stefanus and R. Yugo K. Isal

Faculty of Computer Science - University of Indonesia

2010

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 1 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Outline

1 Master TheoremPengantarObjectiveTopic Mind MapBentuk UmumTeoremaPenjelasanContoh PenerapanLatihan

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 2 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Pengantar (1/2)

Ada kalanya kita menjumpai algoritma rekursif, misal mergesort atau quick sort. Untuk menentukan kompleksitasasimptotik dari algoritma-algoritma seperti itu, maka kitamenyatakan algoritma itu dalam bentuk persamaanrekurensi, lalu mencari solusi dari persamaan itu.Sayangnya, belum ada metode umum untuk menyelesaianberbagai jenis persaman rekurensi. Dengan demikian,mencari solusi dari suatu persamaan rekurensi adalah senitersendiri.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 3 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Pengantar (2/2)

Namun,untuk beberapa bentuk persamaan rekurensi sudahada bentuk solusinya. Salah satunya dibahas disini. Untukpersamaan model ini, terdapat cara cepat untuk mencarisolusinya, yaitu master theorem. Untuk menggunakanmenggunakan metode ini, kita cukup mengingat 3 buahkasus, dan selanjutnya kita dapat menentukan kompleksitasasimptotik dari banyak persamaan rekurensi secara cepat.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 4 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Objective

Memahami pola master theoremMemahami syarat-syarat menerapkan master theoremDapat menerapkan master theoremDapat mengenal persamaan rekurensi yang tidak bisadiselesaikan menggunakan master theorem

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 5 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Topic Mind Map

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 6 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Bentuk Umum (1/2)

Pada master theorem, bentuk relasi rekurensi yangdigunakan adalah

T (n) = aT (nb

) + f (n) (1)

dengan konstanta-konstanta positif a ≥ 1 dan b > 1, sertafungsi f (n) yang secara asimptotik positif.Persamaan diatas menggambarkan running time suatualgoritma yang membagi suatu problem berukuran nmenjadi a buah subproblem berukuran n

b . Setiapsubproblem diselesaikan secara rekursif dalam waktu T ( n

b ).Lalu cost untuk divide and conquer adalah f (n).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 7 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Bentuk Umum (2/2)

Ternyata, bentuk T (n) = aT ( nb ) + f (n) bisa terdefinisikan

secara ”tidak jelas”, karena nb tidak selalu bilangan bulat.

Dan menggantikan T ( nb ) dengan T (bn

bc) atau T (dnbe) tidak

mengubah kompleksitas asimptotik persamaan rekurensi.Penghilangan tanda bc dan de adalah untuk mempermudahpenulisan semata.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 8 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Teorema

Diketahui konstanta-konstanta a ≥ 1 dan b > 1, fungsi f (n)dan T (n) didefinisikan oleh bilangan non-negatif sebagai

T (n) = aT (nb

) + f (n) (2)

dengan nb sebagai bn

bc atau dnbe. Maka, 3 kemungkinan T (n)

secara asimptotik adalah :1 Jika f (n) = O(nlogba−ε) untuk suatu konstanta ε > 0,

maka T (n) = Θ(nlogba).2 Jika f (n) = Θ(nlogba), maka T (n) = Θ(nlogbalgn).3 Jika f (n) = Ω(nlogba+ε) untuk suatu konstanta ε > 0, dan

jika af ( nb ) ≤ cf (n) untuk suatu konstanta ε < 1 dan n

cukup besar, maka T (n) = Θ(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 9 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Teorema

Diketahui konstanta-konstanta a ≥ 1 dan b > 1, fungsi f (n)dan T (n) didefinisikan oleh bilangan non-negatif sebagai

T (n) = aT (nb

) + f (n) (2)

dengan nb sebagai bn

bc atau dnbe. Maka, 3 kemungkinan T (n)

secara asimptotik adalah :1 Jika f (n) = O(nlogba−ε) untuk suatu konstanta ε > 0,

maka T (n) = Θ(nlogba).2 Jika f (n) = Θ(nlogba), maka T (n) = Θ(nlogbalgn).3 Jika f (n) = Ω(nlogba+ε) untuk suatu konstanta ε > 0, dan

jika af ( nb ) ≤ cf (n) untuk suatu konstanta ε < 1 dan n

cukup besar, maka T (n) = Θ(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 9 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Teorema

Diketahui konstanta-konstanta a ≥ 1 dan b > 1, fungsi f (n)dan T (n) didefinisikan oleh bilangan non-negatif sebagai

T (n) = aT (nb

) + f (n) (2)

dengan nb sebagai bn

bc atau dnbe. Maka, 3 kemungkinan T (n)

secara asimptotik adalah :1 Jika f (n) = O(nlogba−ε) untuk suatu konstanta ε > 0,

maka T (n) = Θ(nlogba).2 Jika f (n) = Θ(nlogba), maka T (n) = Θ(nlogbalgn).3 Jika f (n) = Ω(nlogba+ε) untuk suatu konstanta ε > 0, dan

jika af ( nb ) ≤ cf (n) untuk suatu konstanta ε < 1 dan n

cukup besar, maka T (n) = Θ(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 9 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Teorema

Diketahui konstanta-konstanta a ≥ 1 dan b > 1, fungsi f (n)dan T (n) didefinisikan oleh bilangan non-negatif sebagai

T (n) = aT (nb

) + f (n) (2)

dengan nb sebagai bn

bc atau dnbe. Maka, 3 kemungkinan T (n)

secara asimptotik adalah :1 Jika f (n) = O(nlogba−ε) untuk suatu konstanta ε > 0,

maka T (n) = Θ(nlogba).2 Jika f (n) = Θ(nlogba), maka T (n) = Θ(nlogbalgn).3 Jika f (n) = Ω(nlogba+ε) untuk suatu konstanta ε > 0, dan

jika af ( nb ) ≤ cf (n) untuk suatu konstanta ε < 1 dan n

cukup besar, maka T (n) = Θ(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 9 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (1/2)

Apa maksud ke-3 kasus tersebut ?Pada ke-3 kasus yang telah disebutkan sebelumnya,kita membandingkan f (n) dengan nlogba. Secara intuitif,solusi persamaan rekurensi adalah adalah fungsiterbesar.Jika pada kasus ke-1 fungsi nlogba memiliki nilaiterbesar, maka solusinya adalah T (n) = Θ(nlogba).Jika pada kasus ke-2 fungsi f (n) lebih besar, makasolusinya adalah T (n) = Ω(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 10 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (1/2)

Apa maksud ke-3 kasus tersebut ?Pada ke-3 kasus yang telah disebutkan sebelumnya,kita membandingkan f (n) dengan nlogba. Secara intuitif,solusi persamaan rekurensi adalah adalah fungsiterbesar.Jika pada kasus ke-1 fungsi nlogba memiliki nilaiterbesar, maka solusinya adalah T (n) = Θ(nlogba).Jika pada kasus ke-2 fungsi f (n) lebih besar, makasolusinya adalah T (n) = Ω(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 10 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (1/2)

Apa maksud ke-3 kasus tersebut ?Pada ke-3 kasus yang telah disebutkan sebelumnya,kita membandingkan f (n) dengan nlogba. Secara intuitif,solusi persamaan rekurensi adalah adalah fungsiterbesar.Jika pada kasus ke-1 fungsi nlogba memiliki nilaiterbesar, maka solusinya adalah T (n) = Θ(nlogba).Jika pada kasus ke-2 fungsi f (n) lebih besar, makasolusinya adalah T (n) = Ω(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 10 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (1/2)

Apa maksud ke-3 kasus tersebut ?Pada ke-3 kasus yang telah disebutkan sebelumnya,kita membandingkan f (n) dengan nlogba. Secara intuitif,solusi persamaan rekurensi adalah adalah fungsiterbesar.Jika pada kasus ke-1 fungsi nlogba memiliki nilaiterbesar, maka solusinya adalah T (n) = Θ(nlogba).Jika pada kasus ke-2 fungsi f (n) lebih besar, makasolusinya adalah T (n) = Ω(f (n)).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 10 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (2/2)

Disamping itu, ada hal-hal lain yang perlu dimengerti.Pada kasus ke-1, f (n) tidak hanya harus lebih kecildaripada nlogba, tetapi juga lebih kecil secarapolinomial, yaitu f (n) secara asimptotik lebih kecil darinlogba sebesar nε untuk ε > 0.Pada kasus ke-3, f (n) tidak hanya harus lebih besardaripada nlogba, tetapi juga lebih besar secarapolinomial dan memenuhi af ( n

b ) ≤ cf (n).Peringatan : master theorem tidak mencakup semuabentuk f (n) !

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 11 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (2/2)

Disamping itu, ada hal-hal lain yang perlu dimengerti.Pada kasus ke-1, f (n) tidak hanya harus lebih kecildaripada nlogba, tetapi juga lebih kecil secarapolinomial, yaitu f (n) secara asimptotik lebih kecil darinlogba sebesar nε untuk ε > 0.Pada kasus ke-3, f (n) tidak hanya harus lebih besardaripada nlogba, tetapi juga lebih besar secarapolinomial dan memenuhi af ( n

b ) ≤ cf (n).Peringatan : master theorem tidak mencakup semuabentuk f (n) !

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 11 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (2/2)

Disamping itu, ada hal-hal lain yang perlu dimengerti.Pada kasus ke-1, f (n) tidak hanya harus lebih kecildaripada nlogba, tetapi juga lebih kecil secarapolinomial, yaitu f (n) secara asimptotik lebih kecil darinlogba sebesar nε untuk ε > 0.Pada kasus ke-3, f (n) tidak hanya harus lebih besardaripada nlogba, tetapi juga lebih besar secarapolinomial dan memenuhi af ( n

b ) ≤ cf (n).Peringatan : master theorem tidak mencakup semuabentuk f (n) !

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 11 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Penjelasan (2/2)

Disamping itu, ada hal-hal lain yang perlu dimengerti.Pada kasus ke-1, f (n) tidak hanya harus lebih kecildaripada nlogba, tetapi juga lebih kecil secarapolinomial, yaitu f (n) secara asimptotik lebih kecil darinlogba sebesar nε untuk ε > 0.Pada kasus ke-3, f (n) tidak hanya harus lebih besardaripada nlogba, tetapi juga lebih besar secarapolinomial dan memenuhi af ( n

b ) ≤ cf (n).Peringatan : master theorem tidak mencakup semuabentuk f (n) !

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 11 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (1/4)

Diketahui : T (n) = 9T (n3 ) + n

a = 9,b = 3, dan f (n) = nnlogba = nlog39 = n2

f (n) = n = O(nlog39−ε) untuk ε = 1Kasus 1 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(n2)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 12 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (1/4)

Diketahui : T (n) = 9T (n3 ) + n

a = 9,b = 3, dan f (n) = nnlogba = nlog39 = n2

f (n) = n = O(nlog39−ε) untuk ε = 1Kasus 1 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(n2)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 12 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (1/4)

Diketahui : T (n) = 9T (n3 ) + n

a = 9,b = 3, dan f (n) = nnlogba = nlog39 = n2

f (n) = n = O(nlog39−ε) untuk ε = 1Kasus 1 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(n2)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 12 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (1/4)

Diketahui : T (n) = 9T (n3 ) + n

a = 9,b = 3, dan f (n) = nnlogba = nlog39 = n2

f (n) = n = O(nlog39−ε) untuk ε = 1Kasus 1 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(n2)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 12 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (1/4)

Diketahui : T (n) = 9T (n3 ) + n

a = 9,b = 3, dan f (n) = nnlogba = nlog39 = n2

f (n) = n = O(nlog39−ε) untuk ε = 1Kasus 1 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(n2)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 12 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (1/4)

Diketahui : T (n) = 9T (n3 ) + n

a = 9,b = 3, dan f (n) = nnlogba = nlog39 = n2

f (n) = n = O(nlog39−ε) untuk ε = 1Kasus 1 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(n2)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 12 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (2/4)

Diketahui : T (n) = T (2n3 ) + 1

a = 1, b = 32 , f (n) = 1.

nlogba = nlog 3

21

= n0 = 1.f (n) = Θ(nlogba) = Θ(1)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(lgn).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 13 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (2/4)

Diketahui : T (n) = T (2n3 ) + 1

a = 1, b = 32 , f (n) = 1.

nlogba = nlog 3

21

= n0 = 1.f (n) = Θ(nlogba) = Θ(1)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(lgn).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 13 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (2/4)

Diketahui : T (n) = T (2n3 ) + 1

a = 1, b = 32 , f (n) = 1.

nlogba = nlog 3

21

= n0 = 1.f (n) = Θ(nlogba) = Θ(1)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(lgn).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 13 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (2/4)

Diketahui : T (n) = T (2n3 ) + 1

a = 1, b = 32 , f (n) = 1.

nlogba = nlog 3

21

= n0 = 1.f (n) = Θ(nlogba) = Θ(1)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(lgn).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 13 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (2/4)

Diketahui : T (n) = T (2n3 ) + 1

a = 1, b = 32 , f (n) = 1.

nlogba = nlog 3

21

= n0 = 1.f (n) = Θ(nlogba) = Θ(1)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(lgn).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 13 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (2/4)

Diketahui : T (n) = T (2n3 ) + 1

a = 1, b = 32 , f (n) = 1.

nlogba = nlog 3

21

= n0 = 1.f (n) = Θ(nlogba) = Θ(1)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(lgn).

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 13 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (3/4)

Diketahui : T (n) = 3T (n4 ) + n lg n

a = 3, b = 4, f (n) = n lg nnlogba = nlog43 = n0.793

f (n) = Ω(nlog43+ε) untuk ε ≈ 0.2Untuk n cukup besar,af ( n

b ) = 3(n4 )lg(n

4 ) ≤ 34nlgn = cf (n)

Kasus 3 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(nlgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 14 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (3/4)

Diketahui : T (n) = 3T (n4 ) + n lg n

a = 3, b = 4, f (n) = n lg nnlogba = nlog43 = n0.793

f (n) = Ω(nlog43+ε) untuk ε ≈ 0.2Untuk n cukup besar,af ( n

b ) = 3(n4 )lg(n

4 ) ≤ 34nlgn = cf (n)

Kasus 3 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(nlgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 14 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (3/4)

Diketahui : T (n) = 3T (n4 ) + n lg n

a = 3, b = 4, f (n) = n lg nnlogba = nlog43 = n0.793

f (n) = Ω(nlog43+ε) untuk ε ≈ 0.2Untuk n cukup besar,af ( n

b ) = 3(n4 )lg(n

4 ) ≤ 34nlgn = cf (n)

Kasus 3 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(nlgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 14 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (3/4)

Diketahui : T (n) = 3T (n4 ) + n lg n

a = 3, b = 4, f (n) = n lg nnlogba = nlog43 = n0.793

f (n) = Ω(nlog43+ε) untuk ε ≈ 0.2Untuk n cukup besar,af ( n

b ) = 3(n4 )lg(n

4 ) ≤ 34nlgn = cf (n)

Kasus 3 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(nlgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 14 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (3/4)

Diketahui : T (n) = 3T (n4 ) + n lg n

a = 3, b = 4, f (n) = n lg nnlogba = nlog43 = n0.793

f (n) = Ω(nlog43+ε) untuk ε ≈ 0.2Untuk n cukup besar,af ( n

b ) = 3(n4 )lg(n

4 ) ≤ 34nlgn = cf (n)

Kasus 3 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(nlgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 14 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (3/4)

Diketahui : T (n) = 3T (n4 ) + n lg n

a = 3, b = 4, f (n) = n lg nnlogba = nlog43 = n0.793

f (n) = Ω(nlog43+ε) untuk ε ≈ 0.2Untuk n cukup besar,af ( n

b ) = 3(n4 )lg(n

4 ) ≤ 34nlgn = cf (n)

Kasus 3 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(nlgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 14 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (3/4)

Diketahui : T (n) = 3T (n4 ) + n lg n

a = 3, b = 4, f (n) = n lg nnlogba = nlog43 = n0.793

f (n) = Ω(nlog43+ε) untuk ε ≈ 0.2Untuk n cukup besar,af ( n

b ) = 3(n4 )lg(n

4 ) ≤ 34nlgn = cf (n)

Kasus 3 terpenuhi !Solusinya : T (n) = Θ(nlgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 14 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (4/4)

Diketahui : T (n) = 2T (n2 ) + n lg n

a = 2, b = 2, f (n) = n lg nnlogba = n1 = nf (n)

nlogba = nlgnn = lg n secara asimptotis lebih kecil

daripada nε untuk sembarang ε positif.Karena itu, n lg n tidak lebih besar secara polinomialdari n.limn→∞

lgnnε = 0

Kasus 3 tidak berlaku !Master theorem tidak berlaku pada kasus ini.Gunakan cara lain.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 15 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (4/4)

Diketahui : T (n) = 2T (n2 ) + n lg n

a = 2, b = 2, f (n) = n lg nnlogba = n1 = nf (n)

nlogba = nlgnn = lg n secara asimptotis lebih kecil

daripada nε untuk sembarang ε positif.Karena itu, n lg n tidak lebih besar secara polinomialdari n.limn→∞

lgnnε = 0

Kasus 3 tidak berlaku !Master theorem tidak berlaku pada kasus ini.Gunakan cara lain.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 15 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (4/4)

Diketahui : T (n) = 2T (n2 ) + n lg n

a = 2, b = 2, f (n) = n lg nnlogba = n1 = nf (n)

nlogba = nlgnn = lg n secara asimptotis lebih kecil

daripada nε untuk sembarang ε positif.Karena itu, n lg n tidak lebih besar secara polinomialdari n.limn→∞

lgnnε = 0

Kasus 3 tidak berlaku !Master theorem tidak berlaku pada kasus ini.Gunakan cara lain.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 15 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (4/4)

Diketahui : T (n) = 2T (n2 ) + n lg n

a = 2, b = 2, f (n) = n lg nnlogba = n1 = nf (n)

nlogba = nlgnn = lg n secara asimptotis lebih kecil

daripada nε untuk sembarang ε positif.Karena itu, n lg n tidak lebih besar secara polinomialdari n.limn→∞

lgnnε = 0

Kasus 3 tidak berlaku !Master theorem tidak berlaku pada kasus ini.Gunakan cara lain.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 15 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (4/4)

Diketahui : T (n) = 2T (n2 ) + n lg n

a = 2, b = 2, f (n) = n lg nnlogba = n1 = nf (n)

nlogba = nlgnn = lg n secara asimptotis lebih kecil

daripada nε untuk sembarang ε positif.Karena itu, n lg n tidak lebih besar secara polinomialdari n.limn→∞

lgnnε = 0

Kasus 3 tidak berlaku !Master theorem tidak berlaku pada kasus ini.Gunakan cara lain.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 15 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (4/4)

Diketahui : T (n) = 2T (n2 ) + n lg n

a = 2, b = 2, f (n) = n lg nnlogba = n1 = nf (n)

nlogba = nlgnn = lg n secara asimptotis lebih kecil

daripada nε untuk sembarang ε positif.Karena itu, n lg n tidak lebih besar secara polinomialdari n.limn→∞

lgnnε = 0

Kasus 3 tidak berlaku !Master theorem tidak berlaku pada kasus ini.Gunakan cara lain.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 15 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 4T (n2 ) + n2

a = 4, b = 2, f (n) = n2

nlogba = nlog24 = n2

f (n) = Θ(nlogba) = Θ(n2)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : f (n) = Θ(n2lgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 16 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 4T (n2 ) + n2

a = 4, b = 2, f (n) = n2

nlogba = nlog24 = n2

f (n) = Θ(nlogba) = Θ(n2)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : f (n) = Θ(n2lgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 16 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 4T (n2 ) + n2

a = 4, b = 2, f (n) = n2

nlogba = nlog24 = n2

f (n) = Θ(nlogba) = Θ(n2)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : f (n) = Θ(n2lgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 16 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 4T (n2 ) + n2

a = 4, b = 2, f (n) = n2

nlogba = nlog24 = n2

f (n) = Θ(nlogba) = Θ(n2)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : f (n) = Θ(n2lgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 16 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 4T (n2 ) + n2

a = 4, b = 2, f (n) = n2

nlogba = nlog24 = n2

f (n) = Θ(nlogba) = Θ(n2)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : f (n) = Θ(n2lgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 16 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 4T (n2 ) + n2

a = 4, b = 2, f (n) = n2

nlogba = nlog24 = n2

f (n) = Θ(nlogba) = Θ(n2)

Kasus 2 terpenuhi !Solusinya : f (n) = Θ(n2lgn)

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 16 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 2nT (n2 ) + nn

Master theorem tidak berlaku, karena a tidak konstan.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 17 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = 2nT (n2 ) + nn

Master theorem tidak berlaku, karena a tidak konstan.

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 17 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = T (n2 ) + n(2− cos(n))

Master theorem tidak berlaku. Ini tergolong kasus 3,tetapi kondisi reguler tidak terpenuhi, Misal untuk n =2πk , dengan k adalah ganjil dan sangat besar. Untuksembarang n, maka berlaku c ≥ 3

2 .

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 18 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Contoh (Lagi)

Diketahui : T (n) = T (n2 ) + n(2− cos(n))

Master theorem tidak berlaku. Ini tergolong kasus 3,tetapi kondisi reguler tidak terpenuhi, Misal untuk n =2πk , dengan k adalah ganjil dan sangat besar. Untuksembarang n, maka berlaku c ≥ 3

2 .

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 18 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Latihan 1

Lengkapi (. . . ) pada pernyataan berikut, upayakan hal inidapat anda lakukan luar kepala!Master Theorem: Diketahui a ≥ 1 dan b ≥ 1, jika f (n)sebuah fungsi bilangan non-negatif, dan jika T (n)didefinisikan sebagai persamaan rekurensi: T (n) = . . .Maka kemungkinan T (n) secara asimptotik adalah :

1 Jika f (n) = O(nlogba−ε) untuk suatu konstanta ε > 0,maka T (n) = . . . .

2 Jika f (n) = . . . , maka T (n) = Θ(nlogbalgn).3 Jika f (n) = Ω(nlogba+ε) untuk suatu konstanta ε > 0, dan

jika af ( nb ) ≤ cf (n) untuk suatu konstanta ε < 1 dan n

cukup besar, maka T (n) = . . . .

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 19 / 20

DAA

Fasilkom

MasterTheoremPengantar

Objective

Topic Mind Map

Bentuk Umum

Teorema

Penjelasan

Contoh Penerapan

Latihan

Latihan 2

Coba terapkan Master Theorem pada persamaan berikut:1 T (n) = 8 T (n/2) + Θ(n2)

2 T (n) = 4 T (n/2) + Θ(n3)

3 T (n) = 8 T (n/2) + Θ(n3 lg n)

4 T (n) = 5 T (n/2) + Θ(n2)

5 T (n) = 27 T (n/3) + Θ(n3 lg n)

6 T (n) = 5 T (n/2) + Θ(n3)

7 T (n) = 27 T (n/3) + Θ( n3

lg n )

c©Fasilkom (UI) 2010 Design and Analysis of Algorithms MasterTheoremDAA.tex 20 / 20