Master Con Guias

Teorıa de los Circuitos I

Roberto Gaston Araguas

20 de marzo de 2012

Indice general

1. Fundamentos 9

1.1. Circuito idealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Ley de Kirchhoff de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Ley de Kirchhoff de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Resistencia - Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Autoinductancia - Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7. Asociacion equivalente de elementos . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7.1. Elementos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.2. Elementos en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8. Potencia y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1. Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.2. Inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.3. Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9. Fuentes ideales de tension o corriente . . . . . . . . . . . . . . 20

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Senales 31

2.1. Senales de excitacion variables en el tiempo . . . . . . . . . . 31

2.1.1. Senales periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2. Senales pseudoperiodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.3. Senales aperiodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Parametros caracterısticos de una senal variable . . . . . . . . 33

2.3. Valores asociados a la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1. Valor instantaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2. Valor maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.3. Valor pico a pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.4. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.5. Valor medio de modulo o Valor medio absoluto . . . . 35

2.3.6. Valor eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.7. Factores caracterısticos de senales periodicas . . . . . 36

2.4. Senales periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1. Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

4 INDICE GENERAL

2.4.2. Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.3. Diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.4. Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.5. PWM (Pulse Wide Modulation) . . . . . . . . . . . . 38

2.5. Senales aperiodicas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1. Impulso o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2. Escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.3. Rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6. Construccion de senales aperiodicas usando las fundamentales 41

2.6.1. Pulso rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.2. Pulso triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Sistemas de primer y segundo orden 49

3.1. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1. Circuito sin fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.2. Circuito RL sin fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.3. Circuito RC sin fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2. Constante de tiempo τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.1. Potencia y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Respuesta a una fuente constante . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1. Circuito RC con fuente constante . . . . . . . . . . . . 57

3.4. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5. Resolucion por superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Respuesta natural mas forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7. Respuesta a una fuente no constante . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8. Alimentacion con fuente sinusoidal. Corriente alterna . . . . . 65

3.9. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.9.1. Solucion natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.9.2. Condicions iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.9.3. Solucion forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.9.4. Soluciones linealmente dependientes . . . . . . . . . . 78

3.10. Sistemas de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.10.1. Solucion natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4. Transformada de Laplace 101

4.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.2. Propiedades de la transformada . . . . . . . . . . . . . 103

4.2. Aplicacion a la resolucion de circuitos . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.1. Funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.2. Circuito equivalente de Laplace . . . . . . . . . . . . . 113

4.2.3. Teorema del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

INDICE GENERAL 5

4.2.4. Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3. Antitransformada o transformada inversa de Laplace . . . . . 118

4.3.1. Desarrollo en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . 119

4.3.2. Formula de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4. Respuesta al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5. Teorema de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5. Metodo fasorial 145

5.1. Calculo fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.1.1. Fundamentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.1.2. Fasor y fasor armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2. Relacion tension-corriente fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2.1. Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2.2. Inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.2.3. Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3. Resolucion de circuitos usando fasores . . . . . . . . . . . . . 150

5.4. Impedancia y admitancia compleja . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.4.1. Conversion impedancia-admitancia . . . . . . . . . . . 154

5.4.2. Asociacion de impedancias . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.4.3. Diagrama fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.5.1. Potencia instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.5.2. Potencia activa, reactiva y aparente . . . . . . . . . . 158

5.5.3. Triangulo de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.5.4. Potencia compleja S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.5.5. Factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.5.6. Correccion del factor de potencia . . . . . . . . . . . . 161

5.6. Senales poliarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.6.1. Desarrollo de senales en serie de Fourier . . . . . . . . 162

5.6.2. Serie en senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.6.3. Serie senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.6.4. Serie compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6. Resolucion sistematica de circuitos 187

6.1. Metodo de las corrientes en las mallas . . . . . . . . . . . . . 187

6.2. Metodo de las tensiones en los nudos . . . . . . . . . . . . . . 188

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7. Teoremas circuitales 199

7.1. Teorema de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.2. Teorema de sustitucion, o teorema de Miller . . . . . . . . . . 201

7.3. Teorema de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6 INDICE GENERAL

7.4. Teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.5. Teorema de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.6. Teorema de transferencia de potencia maxima . . . . . . . . . 204

7.6.1. Carga resistiva pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.6.2. Carga generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.6.3. Carga generica de reactancia fja . . . . . . . . . . . . 205

7.7. Transformacion estrella - triangulo. Teorema de Rosen . . . . 205

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8. Resonancia 215

8.1. Resonancia en un circuito serie RLC simple . . . . . . . . . . 215

8.1.1. Variacion de la impedancia . . . . . . . . . . . . . . . 216

8.1.2. Analisis de admitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.2. Sobretension en circuitos serie resonantes . . . . . . . . . . . 218

8.3. Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.3.1. Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.4. Factor Q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.5. Resonancia de un circuito paralelo de 2 ramas . . . . . . . . . 225

8.6. Lugar geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.6.1. Elementos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9. Circuitos acoplados inductivamente 235

9.1. Autoinduccion e induccion mutua . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.Sistemas polifasicos 247

10.1. Sistemas polifasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10.2. Sistema bifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10.3. Sistema trifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

10.3.1. Generador en configuracion estrella . . . . . . . . . . . 249

10.3.2. Generador en configuracion triangulo . . . . . . . . . . 252

10.4. Resolucion de sistemas trifasicos perfectos . . . . . . . . . . . 253

10.4.1. Cargas en configuracion estrella . . . . . . . . . . . . . 253

10.4.2. Cargas en configuracion triangulo . . . . . . . . . . . . 254

10.4.3. Calculo de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

10.5. Resolucion de sistemas trifasicos deformados . . . . . . . . . . 259

10.5.1. Cargas desbalanceadas en estrella con cuatro conductores259

10.5.2. Cargas desbalanceadas en estrella con tres conductores 259

10.5.3. Cargas desbalanceadas en configuracion triangulo . . . 259

10.5.4. Potencia en cargas desbalanceadas . . . . . . . . . . . 259

Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

INDICE GENERAL 7

11.Aplicaciones reales 265Ejercitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

A. Ecuaciones diferenciales 267

B. Uso basico de Maxima 269B.1. Maxima/wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

B.1.1. La intefaz grafica wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . 269B.2. Operaciones con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

B.2.1. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Fundamentos

Cualquier problema electrico que involucre senales que varıan en el tiem-po puede ser conpletamente resuelto usando la teorıa electromagnetica des-cripta por las ecuaciones de Maxwell. Esta teorıa analiza los campos electri-cos y magneticos del problema, y la disposicion geometrica de sus partescomponentes.

Teniendo en cuenta las siguientes restricciones:

1. las dimensiones del circuito son suficientemente pequenas en compa-racion con la longitud de onda λ de las senales, y

2. los efectos de disipacion y almacenamiento de energıa en forma de cam-po electrico y magnetico que se produce a lo largo de todo el circuitopueden ser reproducidos en elementos idealizados de dos terminales,llamados resistencia, inductancia y capacitancia, que concentran di-chos efectos

entonces se puede aplicar la llamada Teorıa de los circuitos para su analisisy resolucion.

La primera de estas condiciones implica que las tensiones y corrientesinstantaneas a lo largo de un cable puedan ser consideradas constantes pa-ra un determinado t, es decir que no haya diferencia debido al tiempo depropagacion de la onda electromagnetica en diferentes puntos de la lınea.Entonces los parametros se pueden aproximar

v(x, t) ≈ v(t)

i(x, t) ≈ i(t)

Para un sistema con una frecuencia de 50Hz por ejemplo, puede aplicarseel metodo con gran exactitud a circuitos de varios kilometros de longitud.En cambio a frecuencias del orden de los GHz, se debe utilizar la teorıaelectromagnetica cuando la dimension del circuito supera el centımetro.

La segunda condicion es una consecuencia directa de la primera, ya quesi la senal varia lentamente respecto a las dimensiones fısicas del circuito

9

10 CAPITULO 1. FUNDAMENTOS

los efectos de almacenamiento y disipacion de energıa pueden considerarseagrupados sin alterar el comportamiento del sistema.

1.1. Circuito idealizado

La Teorıa de los circuitos consiste en la aplicacion de una serie de leyes,obtenidas de experimentos realizados sobre circuitos reales a lo largo de lahistoria, que relacionan las magnitudes de tension y corriente en cada unode los elementos constituyentes de un circuito. Los parametros distribuidosa lo largo del circuito real son reemplazados por resistencias, inductores ycapacitores con parametros concentrados, las conexiones se realizan con ca-bles ideales y las fuentes de alimentacion se reemplazan por fuentes idealesde tension o corriente. Estos elementos representan todos los posibles com-portamientos de la energıa en un circuito. El resistor respresenta la parte dela energıa que se disipa al medio en forma irreversible, el inductor representala energıa que se almacena en forma de campo magnetico y el capacitor laalmacenada en forma de campo electrico. Las fuentes son las que introducenla energıa al circuito.

Para comenzar a estudiar los circuitos y las leyes que se utilizan enla Teorıa de los circuitos, es necesario formular las siguientes definicionesrespecto de la topologıa de los circuitos:

Rama porcion de circuito comprendido entre dos puntos de conexion oterminales.

Nudo o nodo punto donde concurren varias ramas. Si concurren tres ra-mas o mas se llama nudo principal.

Malla o lazo cualquier trayectoria cerrada dentro del circuito que resultede recorrerlo en un mismo sentido regresando al punto de partida sinpasar dos veces por la misma rama.

1.2. Ley de Kirchhoff de las corrientes

La ley de Kirchhoff de las corrientes (LKI), tambien llamada ley de losnudos, afirma que la sumatoria algebraica de las corrientes en un nudo esigual a cero

n∑

k=1

ik(t) = 0 (1.1)

entendiendose por suma algebraica a la suma de cada parametro con surespectivo signo.

Para representar una corriente se necesita un valor de intensidad i masuna referencia que especifica su sentido de circulacion, como se muestra en

1.2. LEY DE KIRCHHOFF DE LAS CORRIENTES 11

la fig. 1.1. La flecha indica el sentido positivo instantaneo que tendra lacorriente en un tiempo t dado, entonces una corriente que circula en elsentido de la flecha se la representa con un valor de intensidad i positivo,y una corriente que circula en sentido inverso se representa con un valor deintensidad negativo (i < 0).

i1

i2

i3

i4

R

Figura 1.1: Ley de Kirchhoff de las corrientes

Luego, para realizar una sumatoria algebraica sobre un nudo se debeasignar un signo a cada corriente que indique si esta es entrante o salienteen el nudo1. Aplicando la LKI al nudo de la fig. 1.1 y tomando positivas alas corrientes entrantes al nudo tenemos:

i1 − i2 + i3 + i4 = 0

donde si por ejemplo i1 = 3A, i2 = 5A e i3 = 3A, entonces i4 debera sernegativa

i4 = −3 + 5− 3 = −1A

lo que significa que por la rama 4 circula una corriente de 1A de sentidocontrario al indicado por la flecha.

La eleccion de los sentidos de referencias de las corrientes es arbitra-ria, pero debe tenerse cuidado de elegirlos al principio del analisis y luegorespetarlos durante todo el desarrollo.

i1

i2

i3

i4

R

Figura 1.2: Ley de Kirchhoff de las corrientes

En efecto, si para el mismo problema elegimos las referencias como en la

1No debe confundirse el signo asignado a cada corriente para realizar la sumatoriaalgebraica con el signo propio de cada corriente, el cual indica si su sentido coincide o nocon el de referencia.


fig 1.2 la ecuacion de equilibrio del nudo sera2

i1 − i2 − i3 − i4 = 0

luego, al tratarse de las mismas corrientes reales, la i3 valdra −3A debidoal cambio de referencia, y la i4 sera

i4 = 3− 5− (−3) = 1A

de donde i4 = −i4.

1.3. Ley de Kirchhoff de las tensiones

La ley de Kirchhoff de las tensiones (LKV), tambien llamada ley de lasmallas, afirma que la suma algebraica de todas las fuerzas electromotricesaplicadas a lo largo de una malla es igual a la suma algebraica de todas lascaıdas de tension en los elementos pasivos de esta malla. Se puede enunciar deforma mas general sin diferenciar entre fuerzas electromotrices y elementospasivos diciendo que la suma algebraica de las diferencias de potencial a lolargo de una malla es cero

n∑

k=1

vk(t) = 0 (1.2)

Recorriendo la malla de la fig. 1.3 en el sentido de la corriente i a par-tir del generador v1 y tomando como positivas las subidas de tension3, laecuacion de circuito es

v1 − vR1 − vR2 − v2 = 0

v1 v2

vR1 vR2

i

Figura 1.3: Ley de Kirchhoff de las tensiones

Si por ejemplo se conocen las tensiones v1 = 10V , vR1 = 4V y vR2 = 16V ,despejando v2 de 1.3 se tiene

v2 = 10V − 4V − 16V = −10V2Notese que al cambiar las referencias de las variables se eligen nuevos nombres de fun-

cion (i3 6= i3, etc.) para remarcar que se tratan de diferentes funciones aunque representenel mismo parametro fısico

3La asigancion de un signo determinado para las subidas o caıdas de tension es arbi-trario y no altera la solucion del problema, como se vera mas adelante

1.4. RESISTENCIA - LEY DE OHM 13

el signo menos indica que el generador v2 tiene polaridad opuesta a la indi-cada por la referencia.

Si se desea recorrer la malla en sentido contrario, o mas aun, si se tomaarbitrariamente la referencia de la tension en el segundo elemento (R2) enforma contraria al caso anterior (ahora vR2), obviamente que se debe arribaral mismo resultado. En efecto, sean las referencias como en la fig. 1.4, lanueva ecuacion de equilibrio de la malla sera

− v1 + v2 − vR2 + vR1 = 0 (1.3)

donde por tratarse del mismo problema, los valores de tension son v1 = 10V ,vR1 = 4V y vR2 = −16V

v1 v2

vR1 vR2

i

Figura 1.4: Ley de Kirchhoff de las tensiones

Despejando v2 de 1.3 se tiene

v2 = 10V + (−16V )− 4V = −10V

que coincide con el resultado obtenido anteriormente.

1.4. Resistencia - Ley de Ohm

El fısico aleman Georg Ohm publico en 1826 que para casi todos losconductores ensayados la caıda de tension entre los extremos era mayorcuando mayor era la longitud del cable, y que a su vez era proporcional a lacorriente, dando lugar a la conocida Ley de Ohm4.

Originalmente fue formulada en su version vectorial, que relaciona ladensidad de corriente J con el campo electrico E mediante la conductividadσ del material

J = σE (1.4)

Su forma simplificada para el uso en Teorıa de los circuitos es

vR = R iR (1.5)

donde R es el elemento concentrado que representa el intercambio (disipa-cion) de energıa con el medio en un circuito idealizado.

4Aunque se ha demostrado que en realidad esta ecuacion fue descubierta 46 anos antesen Inglaterra por Henry Cavendish.


Esta ley es valida para todos los metales, el factor de proporcionalidadR se llama resistencia, se mide en ohms [Ω] y depende de una propiedaddel material llamada resistividad ρ (inversa de la conductividad σ), de sulongitud ℓ y de su seccion A

R = ρℓ

A(1.6)

La ecuacion (1.5) nos dice que a mayor corriente, mayor caıda de tensionen R, es decir que la corriente debe atravesar al resistor entrando por elextremo de mayor potencial para que esta igualdad sea valida, como semuestra en la figura 1.5. Si una corriente i atraviesa al resistor desde suextremo de menor potencial, es decir que iR = −iR, entonces la relaciontension corriente con iR sera

iR = −iR = −vRR

(1.7)

1.5. Autoinductancia - Ley de Faraday

El cientıfico estadounidense Joseph Henry mientras experimentaba conelectroimanes noto que al circular corriente electrica por estos circuitos seproducıa un fenomeno similar a la cantidad de movimiento mecanico de loscuerpos en velocidad (p = Masa× vel.), es decir que esa corriente electricatendıa a seguir circulando de forma constante en el tiempo. Este fenomenofue denominado momento electrocinetico y se lo represento con la letra λ

λ = L iL (1.8)

la constante de proporcionalidad L, al igual que la masa M , es una carac-terıstica del circuito. Se denomina autoinductancia y su unidad es el Henrio[H].

Del mismo modo que para modificar la cantidad de movimiento p de uncuerpo se debe aplicar una fuerza F , Henry encontro que para modificar elmomento electrocinetico se debe aplicar una diferencia de potencial, es decir

vL =dλ

dt=

d(L iL)

dt(1.9)

donde si L es invariante en el tiempo

vL = LdiLdt

(1.10)

En forma independiente, en 1831 Michael Faraday desarrollo en Inglate-rra su conocida teorıa de la induccion electromagnetica, en la cual utilizandoel concepto de campo magnetico y lıneas de flujo descubrio que al someterun conductor en un campo variable, o al cortar con este las lıneas de flujo

1.6. CAPACITANCIA 15

del campo, se origina una circulacion de corriente. Por otro lado HeinrichLenz comprobo que la corriente tiende a mantener este flujo Φ, es decir quese origina una f.e.m. inducida de signo opuesto a la variacion de flujo

E = −dΦ

dt(1.11)

por lo tanto el voltaje inducido, opuesto a la f.e.m. inducida sera

vL(= −E) =dΦ

dt(1.12)

En el caso que el flujo magnetico sea producido por un arrollamiento de Nespiras, la ecuacion anterior queda mutliplicada por N

vL = NdΦ

dt(1.13)

Igualando los voltajes deducidos por Henry (ec. 1.10) y Faraday (ec.1.13) se puede relacionar el momento electrocinetico con el flujo magnetico

vL = LdiLdt

= NdΦ

dt

L iL = NΦ ⇒ L =NΦ

iL(1.14)

En la figura 1.5 se muestra la relacion tension corriente en un inductorsegun (1.10), es decir con la corriente entrante por el extremo de mayorpotencial. Por el contrario, si una corriente iL atraviesa al inductor entrandopor el extremo de menor potencial, tal que iL = −iL, entonces la relaciontension-corriente sera

vL = −LdiLdt

(1.15)

Segun la (1.10), una variacion de corriente en el inductor provoca en susextremos una tension vL proporcional a esta variacion, es decir que cuandomas brusca sea la variacion mayor sera la tension inducida vL. Esto significaque la corriente que atraviesa un inductor no puede presentar discontinui-dades, pues una discontinuidad en la corriente inducirıa una tension infinitaen el elemento. Esta caracterıstica propia de los inductores se conoce comocondicion de continuidad de corriente en el inductor.

1.6. Capacitancia

El almacenamiento de energıa en forma de campo electrico fue el efectomas tempranamente observado, el experimento se conoce como “botella deLeyden” y fue realizado en el ano 1746. Se descubrio que aislando dos placas


metalicas, una en el interior y otra en el exterior de la botella, se podıanalmacenar cargas electricas, lo que dio lugar al primer capacitor.

Mas tarde se encontro que la cantidad de cargas acumuladas era propor-cional a la diferencia de potencial entre las placas

q = CvC (1.16)

La constande C se llama capacitancia y se mide en faradios (F ).Recordando que la corriente electrica i es igual a la variacion de car-

gas por tiempo, derivando (1.16) respecto al tiempo obtenemos la relaciontension - corriente en un capacitor

iC = CdvCdt

(1.17)

donde C es constante. En la figura 1.5 se muestra la (1.17) con sus referen-cias. Si una corriente iC = −iC recorre el capacitor entrando por el extremode menor potencial entonces la relacion tension corriente sera

iC = −C dvCdt

(1.18)

La relacion tension corriente (1.17) indica que una corriente en el ca-pacitor provocara una variacion de tension en sus bornes, que sera mayorcuanto mayor sea dicha corriente. Si se sigue incrementando la corriente lavariacion de tension sera cada vez mayor, pero para valores reales de co-rrientes la variacion sera siempre finita. Por lo tanto la tension a bornes delcapacitor no puede ser discontinua, pues esto implica una corriente infinita,esto se conoce como condicion de continuidad de tension en el capacitor.

resistor R inductor L capacitor C

vR vL vCiR iL iC

vR = R iR vL = LdiLdt iC = C dvC

dt

Figura 1.5: Relacion tension - corriente en los elementos R, L y C

1.7. Asociacion equivalente de elementos

Muchas veces aparecen en los circuitos ideales varios elementos de unmismo tipo que, aplicando las leyes de Kirchhoff, pueden asociarse en ununico elemento de valor equivalente, de forma que no se modifiquen losparametros electricos en el resto del circuito.

1.7. ASOCIACION EQUIVALENTE DE ELEMENTOS 17

1.7.1. Elementos en serie

Supongamos que una corriente i(t) circula por una rama de un circuitoatravesando una serie de resistores Ri e inductores Lj . La suma algebraicade las tensiones de cada elemento sera igual a la tension entre los extremosde la rama, es decir

vrama = vR1+ vR2

+ vL1+ vL2

+ vR3+ · · ·+ vRN

+ vLM

vrama =N∑

i=1

vRi+

M∑

j=1

vLj(1.19)

luego, suponiendo todas caıdas de tension para la corriente i(t), la ecuacionanterior se puede poner como

vrama =

(N∑

i=1

Ri

)i(t) +

M∑

j=1

Lj

di(t)

dt

vrama = Reqi(t) + Leqdi(t)

dt(1.20)

puesto que la corriente i(t) es comun a todos los elementos por lo que puedesacarse como factor comun de la sumatoria. Es decir que un conjunto deresistores (o de inductores) en serie puede ser reemplazado por un unicoelemento de valor equivalente sin alterar los demas parametros del circuito.El valor equivalente es igual a la suma de los valores de todos los elementosde la rama.

Req =N∑

i=1

Ri (1.21)

Leq =M∑

j=1

Lj (1.22)

Consideremos ahora un conjunto de capacitores Ck conectados todos enserie que son atravesados por una corriente i(t). Analogamente podemosexpresar la sumatoria de las caıdas de tension de la rama de la siguientemanera

vrama =N∑

k=1

vCk

vrama =N∑

k=1

(1

Ck

∫i(t)dt

)=

(N∑

k=1

1

Ck

)∫i(t)dt (1.23)

vrama =1

Ceq

∫i(t)dt (1.24)


es decir que el conjunto de capacitores puede ser reemplazado por uno equi-valente tal que

1

Ceq=

N∑

k=1

1

Ck

(1.25)

sin modificar los parametros electricos de los demas componentes del circui-to.

1.7.2. Elementos en paralelo

Por medio de un analisis similar al del parrafo anterior se pueden re-emplazar varios elementos conectados en paralelo por uno equivalente devalor

1

Req=

N∑

i=1

1

Ri(1.26)

para el caso de resistores, o

1

Leq=

N∑

i=1

1

Li(1.27)

para el caso de inductores, o

Ceq =N∑

i=1

Ci (1.28)

para el caso de capacitores asociados en paralelo.

1.8. Potencia y energıa

En un elemento o circuito en general, con una tension v(t) en sus bornesy una corriente i(t) circulando por el, la potencia electrica p(t) en el elementose define como

p(t) = v(t)i(t) (1.29)

su unidad de medida es el vatio, [W ], y representa la velocidad de cambiode la energıa. Si p(t) > 0 entonces la energıa en el circutio o elemento decircutio esta aumentando, si p(t) < 0 la energıa esta disminuyendo.

La integral de esta potencia instantanea es la energıa w(t), almacenadao disipada en el elemento segun corresponda

w(t) =

∫p(t)dt (1.30)

cuya unidad de medida es el joule [J ], equivalente a [w.s].

1.8. POTENCIA Y ENERGIA 19

1.8.1. Resistor

En un elemento resistivo puro, la potencia instantanea sera

pR(t) = vR(t)iR(t) = Ri2R(t) =v2R(t)

R(1.31)

como el valor de R es siempre mayor a cero, la potencia instantanea essiempre positiva ya que depende de la tension o la corriente al cuadrado.Esto significa que la variacion de energıa en un resistor es siempre positiva (lafuncion disipacion de energıa es monotona creciente), es decir que la energıaen el elemento siempre aumenta debido a que se trata de un elemento quedisipa energıa al medio

wR(t) =

∫pR(t)dt = R

∫i2R(t)dt =

∫v2R(t)

Rdt (1.32)

Por ejemplo, si se trata de una corriente de valor constante iR(t) = I0,la potencia y energıa instantaneas seran

pR(t) = RI20

wR(t) = RI20 t

que como se ve la energıa crece con t.

1.8.2. Inductor

Para un elemento inductivo puro la potencia instantanea sera

pL(t) = vL(t)iL(t) = LiL(t)diL(t)

dt(1.33)

en general la corriente iL(t) y su derivada pueden tener disinto signo, enton-ces habra situaciones en las que la potencia instantanea sera negativa. Estesigno negativo de la potencia instantanea representa una disminucion en laenergıa acumulada en el elemento.

La energıa instantanea en un inductor sera

wL(t) =

∫pL(t)dt = L

∫iL(t)diL(t) =

1

2LiL(t)

2 (1.34)

es claro que la energıa acumulada no puede tomar valores menores a cero,pero a diferencia de la energıa disipada por un resistor, esta esta limitada porlos valores maximo y mınimo que pueda tomar el cuadrado de la corriente.Para un valor maximo de corriente ILmax la energıa acumulada en el inductortomara su valor maximo y sera igual a

WLmax =1

2LI2Lmax

(1.35)


Si por ejemplo elegimos5 iL(t) = ILmaxe− t

τ tendremos

pL(t) = −1

τLI2Lmax

e−tτ

wL(t) =1

2LI2Lmax

e−2tτ

tomando ambas su valor maximo en t = 0

PLmax = −1

τLI2Lmax

WLmax =1

2LI2Lmax

Mas adelante, en la unidad que estudia los sistemas de primer orden, volve-remos sobre este analsis con mas detalle.

1.8.3. Capacitor

Para el caso de un capacitor la situacion es similar a la del inductor, laenergıa almacenada instantanea no puede ser menor a cero pero si puede au-mentar y disminuir, consecuentemente la potencia instantanea podra tomarvalores positivos y negativos. Las ecuaciones son

pC(t) = vC(t)iC(t) = CvC(t)dvC(t)

dt(1.36)

wC(t) =

∫pC(t)dt =

1

2CvC(t)

2 (1.37)

WCmax =1

2CV 2

Cmax(1.38)

1.9. Fuentes ideales de tension o corriente

Introduciremos por ultimo el concepto de fuentes ideales. Una fuenteideal es un elemento capaz de proporcionar una tension o corriente deter-minada, independiente de la carga. En cambio, una fuente real proporcionauna tension o corriente de salida que depende de la carga que este alimen-tando. Esto se debe a que la corriente de salida debe atravesar la resistenciainterna de la fuente, provocando una caıda de tension que se resta a la f.e.m.de la fuente.

Una fuente real puede ser representada entonces por una fuente ideal masuna resistencia conocida como resistencia interna o resistencia de salida. Estaresistencia generalmente es considerada como parte del circuito de carga ypor ende no se la dibuja asociada a la fuente.

Segun sea el valor de la carga respecto de la resistencia de salida la fuentereal se comporta manteniendo cuasi-constante la tension o la corriente desalida

5Como veremos mas adelante esta es una corriente muy comunmente encontrada enun inductor ya que se trata de la respuesta natural de un sistema de primer orden.

1.9. FUENTES IDEALES DE TENSION O CORRIENTE 21

Fuentereal RcRc Rc

Ri

Io IoIo

VoVoVcVc Vc≡ ≈

Ri << Rc

Figura 1.6: Fuente de tension ideal

Si la carga es mucho mayor a la resistencia de salida tal que (fig. 1.6)

Io =Vo

Ri +Rc

Vc = RcIo = VoRc

Ri +Rc≈ Vo (1.39)

entonces la tension aplicada se mantiene aproximadamente constanteante variaciones de la carga. Este comportamiento esta representadopor una fuente de tension ideal cuyo sımbolo se ve en la figura 1.6

Si la resistencia de salida es mucho mayor a la carga que se esta ali-mentando tal que

Io =Vo

Ri +Rc≈ Vo

Ri(1.40)

entonces la corriente de salida permanecera aproximadamente cons-tante ante las variaciones de carga. Esto se idealiza con una fuente decorriente, cuyo sımbolo puede verse en la figura 1.7

Fuentereal RcRc Rc

Ri

Io Io

Io

IoVcVc VcVo≡ ≈

Ri >> Rc

Figura 1.7: Fuente de corriente ideal


Ejercitacion

1. Aplicar la LKV segun las distintas referencias que se muestran en lafig. 1.8. Calcular para cada caso el valor de la tension vR2

i(t)i(t) i(t)10V10V10V 20V20V20V

10Ω10Ω10Ω

20Ω20Ω20Ω

vR1vR1 vR1

vR2vR2vR2

Figura 1.8: Plantear LKV y encontrar vR2

2. Aplicar la LKV y calcular la tension vR3 segun la referencia que semuestra en el circuito de la fig. 1.9.

10V 100Ω

100Ω

20Ω vR3

Figura 1.9: Plantear LKV y encontrar vR3(t)

3. Aplicando LKI calcular la corriente i3 segun la referencia que se indicaen el circuito de la fig. 1.10.

0,5A

i3

5Ω

12Ω 8Ω

Figura 1.10: Planteando LKI encontrar la corriente i3

4. Por un circuito serie RL con R = 5Ω y L = 0, 004H circula unacorriente como la de la figura 1.11. Calcular y graficar vR(t) y vL(t)

5. La tension representada por la fig. 1.12 se aplica a un circuito RLparalelo de R = 4Ω y L = 10mH. Calcular y graficar la corriente totali(t).

6. Una rama RLC, con R = 2Ω, L = 2mH y C = 500µF , es atravesadapor una corriente cuya forma se representa en la fig. 1.13. Calcular ygraficar las tensiones de cada elemento.


5

-5

2 4 6 8 t[ms]

i(t)[A]

Figura 1.11: Corriente circulante por el circuito RL serie

10

20

-10

-20

5 10 15 t[ms]

v(t)[V ]

Figura 1.12: Tension aplicada al circuito RL paralelo

10

-10

1 2 3 4 5 6 t[ms]

i(t)[A]

Figura 1.13: Corriente de rama

7. La caıda de tension en el elemento inductivo del circuito serie de lafig. 1.14a es como se muestra en el grafico 1.14b. Siendo la i(0) = −5Agraficar por lo menos un ciclo de la corriente total i(t), de la caıda enla resistencia vR(t) y de la tension del generador vT (t).

8. Por una rama RC circula una corriente como la de la figura 1.15.Graficar las tensiones de cada elemento considerando que el capacitorse encuentra inicialmente descargado.


vT (t) vL(t)i(t)

5Ω

10H

(a)

100

-100

1 2 3 t[s]

vL(t)[V ]

(b)

Figura 1.14

1 2 3 4 t

i(t)

Figura 1.15: Corriente variable circulante por una rama RC

Soluciones

Ejercicio 4 Planteo y resolucion utilizando Maxima

Para describir la corriente i(t) definida por tramo que circula por elcircuito RL serie

i(t) =

52ms

t 0 < t < 2[ms]5 2 < t < 4[ms]

− 52ms

t+ 10 4 < t < 6[ms]−5 6 < t < 8[ms]

en Maxima, se define cada tramo como

(%i1) i1(t):= 5/(0.002)*t;

i2(t):= 5;

i3(t):= -5/(0.002)*t + 10;

i4(t):= -5;

la salida de Maxima sera

(%o1) i1 (t) :=5

0,002t


(%o2) i2 (t) := 5

(%o3) i3 (t) :=−5

0,002t+ 10

(%o4) i4 (t) := −5

y luego se arma la funcion final de la siguiente forma

(%i5) i(t):= if(t<0.002) then (i1(t)) else (

if(t<0.004) then (i2(t)) else (

if(t<0.006) then (i3(t)) else (i4(t)) ) );

la grafica se muestra en la figura 1.16a, y se obtiene mediante

(%i6) wxplot2d( i(t), [t,0,0.008]);

Para obtener la caıda de tension en la resistencia vR(t) = Ri(t), secalcula el valor de cada tramo (con R = 5Ω)

(%i9) vR1:5*i1(t);

vR2:5*i2(t);

vR3:5*i3(t);

vR4:5*i4(t);

(%o9) 12500,0 t

(%o10) 25

(%o11) 5 (10− 2500,0 t)

(%o12) −25

y se arma la funcion por tramos

(%i13) vR(t):= if(t<0.002) then (vR1) else (

if(t<0.004) then (vR2) else (

if(t<0.006) then (vR3) else (vR4) ) );

cuya grafica se muestra en la figura 1.16b, y se obtiene mediante

(%i14) wxplot2d(vR(t),[t,0,0.008]);

La caida de tension en el inductor vL(t) = Ldi(t)dt

se obtiene de igualforma calculando cada tramo (con L = 0,004H)

(%i16) vL1:0.004*diff(i1(t),t,1);

vL2:0.004*diff(i2(t),t,1);

vL3:0.004*diff(i3(t),t,1);

vL4:0.004*diff(i4(t),t,1);


(%o16) 10,0

(%o17) 0

(%o18) −10,0

(%o19) 0


(%i20) vL(t):= if(t<0.002) then (vL1) else (

if(t<0.004) then (vL2) else (

if(t<0.006) then (vL3) else (vL4) ) );

(%i21) wxplot2d(vL(t),[t,0,0.008],[y,-12,12]);

cuya grafica se muestra en la figura 1.16c


Primero definimos en Maxima la tension v(t) de la fig. 1.12 como

(%i19) v1:20.0;

v2:-20.0;

v(t):= if(t<0.005) then (v1) else (v2);

Luego a partir de esta calculamos la corriente que circula por la ramade la resistencia iR(t) en cada tramo

(%i26) iR1(t):=v1/R;

iR2(t):=v2/R;

iR1:iR1(t), R=4;

iR2:iR2(t), R=4;

iR(t):= if(t<0.005) then (iR1) else (iR2);

y la corriente por la rama del inductor iL(t)

(%i36) iL1(t):=(1/L)*integrate(v1,t,0,t);

iL2(t):=(1/L)*integrate(v2,t,0.005,t) + iL1(0.005);

(%o36) iL1 (t) :=1

L

∫ t

0

v1dt

(%o37) iL2 (t) :=1

L

∫ t

0,005

v2dt+ iL1 (0,005)

la corriente del primer tramo es

(%i38) iL1:iL1(t),L=0.01;


-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

t

(a) i(t)

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

t

(b) vR(t)

-10

-5

0

5

10

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

t

(c) vL(t)

Figura 1.16: Grafica de la corriente, caıda de tension la resistencia y el inductor


(%o38) 2000,0 t

y la del segundo tramo teniendo en cuenta la condicion inicial deltramo anterior

(%i40) iL2:iL2(t),L=0.01;

(%o40) 10,0− 2000,0 (t− 0,005)

Luego se arma la expresion por tramos de la corriente del inductor

(%i41) iL(t):= if(t<0.005) then (iL1) else (iL2);

Por ultimo la corriente total iT (t) = iR(t) + iL(t) se obtiene mediante

(%i42) iT1:iR1+iL1;

iT2:iR2+iL2;

iT(t):=if(t<0.005) then (iT1) else (iT2);

cuya grafica se muestra en la figura 1.17

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

if t <

0.0

05 th

en 2

000.

0*t+

5.0

else

5.0

-200

0.0*

(t-0

.005

)

t

Figura 1.17: Grafica de la corriente total iT (t)


La corriente i(t) que atraviesa la rama RLC se representa por tramos

(%i48) i1(t):=(10/0.001)*t;

i2(t):=10;

i3(t):=(-10/0.001)*t + 30;

i4(t):=-10;

i5(t):=(10/0.001)*t - 60;

i(t):= if(t<0.001) then i1(t) else (

if(t<0.002) then i2(t) else (

if(t<0.004) then i3(t) else (

if(t<0.005) then i4(t) else i5(t)) ) );


La caida de tension en el capacitor vC(t) se calcula para cada tramo(evaluando la condicion inicial del tramo anterior)

(%i64) vc1(t):=(1/C)*integrate(i1(t),t,0,t);

vc1: vc1(t), C=0.0005;

(%i66) vc2(t):=(1/C)*integrate(i2(t),t,0.001,t) + vci1;

vc2:vc2(t), C=0.0005, vci1=10000000.0*(0.001)^2;


vc3:vc3(t), C=0.0005, vci2=20000*0.002 - 10;


vc4:vc4(t), C=0.0005, vci3=-10000000.0*(0.004)^2 +60000.0*(0.004)- 50.0;


vc5:vc5(t), C=0.0005, vci4= 110 - 20000*0.005;


(%i76) vc(t):= if(t<0.001) then vc1 else (

if(t<0.002) then vc2 else (

if(t<0.004) then vc3 else (

if(t<0.005) then vc4 else vc5) ) );

cuya grafica se muestra en la figura 1.18

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

t

Figura 1.18: Grafica de la caıda de tension en el capacitor, vC(t)

Capıtulo 2

Senales

Las senales mas utilizadas en electronica se pueden clasificar teniendoen cuenta su variacion en el tiempo en constantes o variables. A su vez,segun la regularidad de su variacion temporal, se subdividen en periodicas,pseudoperiodicas y aperiodicas

Las senales variables se las representa utilizando letras minusculas comof(t), i(t) o v(t), mientras que para senales invariantes en el tiempo se utilizanletras mayusculas como A o I.

En este capıtulo veremos algunas de las senales mas utilizadas en electroni-ca, su calsificacion y los parametros que se utilizan para caracterizarlas.Luego presentaremos un conjunto de senales llamadas fundamentales quenos serviran para construir con ellas algunas formas de ondas definidas portramos.

2.1. Senales de excitacion variables en el tiempo

Una senal que varıa en el tiempo se la representa utilizando letras minuscu-las, y segun la repetitividad de su variacion podemos clasificarlas en:

2.1.1. Senales periodicas

Una senal periodica es una senal tal que luego de ocurrir una serie devalores determinados y en una secuencia dada, estos vuelven a repetirse deigual forma, cıclica e indefinidamente en el tiempo. La fig. 2.1 muestra dosejemplos de senales periodicas.

2.1.2. Senales pseudoperiodicas

En las senales pseudoperiodicas ciertos arreglos de puntos se repitencıclicamente en el tiempo, pero con diferente amplitud. Estas senales son lasnormalmente obtenidas a partir de una atenuacion temporal de una senalperiodica. En la figura 2.2 se muestra un ejemplo de este tipo.

31

32 CAPITULO 2. SENALES

f(t)g(t)

tt 00

Figura 2.1: Senales periodicas

1

2

3

-1

-2

-3

1 2 3 4 t[s]

vC(t)[V ]

Figura 2.2: Senal pseudoperiodica

2.1.3. Senales aperiodicas

Son todas las restantes senales que varıan con el tiempo sin repetitividad,como la respuesta mostrada en la fig. 2.3

0.125

1 2 3 4 t[s]

i1(t)[A]

Figura 2.3: Senal aperiodica

2.2. PARAMETROS CARACTERISTICOS DE UNA SENAL VARIABLE33

2.2. Parametros caracterısticos de una senal varia-ble

La siguiente nomina de parametros son en general caracterısticas de lassenales periodicas y pseudoperiodicas.

Perıodo tiempo mınimo que debe transcurrir para que ocurra una seriecompleta de valores. Se mide en segundos y se lo denota con la letraT .

Ciclo serie de valores contenidos en un tiempo igual a un perıodo T .

Frecuencia cantidad de ciclos por unidad de tiempo, o inversa del perıodoT .

f =1

T

Frecuencia angular heredada de las funciones trigonometricas, la frecuen-cia angular, o pulsacion angular es la constante que relaciona radianescon tiempo en un ciclo. Se define como la cantidad de radianes por uni-dad de tiempo. Se la simboliza con la letra ω y su unidad de medidaes el radian sobre segundo [ rad

s].

ωT = 2π ⇒ ω =2π

T= 2π f (2.1)

Fase abcisa de un punto arbitrario de la senal que, segun el eje este calibradoen tiempo o en radianes, representa un valor temporal o un angulo.Si se trata de un valor angular se la denota generalmente con letrasgriegas como θ, ϕ o φ.

2.3. Valores asociados a la amplitud

2.3.1. Valor instantaneo

Se denomina valor instantaneo de una senal temporal, a la amplitudcorrespondiente a determinado valor de fase, por ejemplo f(t0) o i(0).

2.3.2. Valor maximo

Este valor se refiere al maximo absoluto de la senal, cuando se tratade senales pseudoperiodicas o aperiodicas, en el caso de senales periodicasel valor maximo se refiere al maximo valor de amplitud del perıodo. Se lorepresenta con letras mayusculas y subındice m o max (Im o Imax).

Si en una senal periodica el maximo positivo es diferente del maximonegativo en valor absoluto, para diferenciarlos se los representa como Im+ eIm− respectivamente.


2.3.3. Valor pico a pico

Este valor representa la excursion maxima de la senal, en el caso de unasenal con maximo positivo igual al maximo negativo, el valor pico a pico es

Ipp = 2 Imax (2.2)

sino

Ipp = Imax+ − Imax− (2.3)

2.3.4. Valor medio

El valor medio de una senal se calcula mediante el Teorema de la media,cuyo enunciado dice:

Teorema Si la funcion i(t) es continua en el intervalo [a, b], existe en esteintervalo un punto η tal que se verifica la siguiente igualdad

∫ b

a

i(t) dt = (b− a) i(η) (2.4)

Si el intervalo [a, b] es igual a un perıodo T , entonces el valor i(η) es elvalor medio de la senal i(t). Como este es un valor constante se lo representacon una letra mayuscula. Despejando de 2.4 el valor medio Imed es

Imed =1

T

∫ T

0i(t) dt (2.5)

Como la integracion de una corriente i(t) a lo largo de un tiempo representala cantidad de cargas transportadas en ese tiempo, el valor medio representael transporte de cargas neta de una senal de corriente.

Observese que la integral (2.5) puede ser nula, es el caso de senales cuyaarea encerrada positiva es igual al area encerrada negativa, por ejemplo lassenales sinusoidales puras. En este caso, se dice que las senales son de valormedio nulo.

Componente de continua

Si a una senal g(t) de valor medio nulo se le suma una senal constantede valor K, el valor medio de la nueva senal f(t) = g(t) +K sera

1

T

∫ T

0g(t) +K dt = K (2.6)

ya que por hipotesis el valor medio de g(t) es cero. Cualquier senal de valormedio no nulo puede ser descompuesta en una de valor medio nulo1 mas unaconstante igual a su valor medio. En general se dice que una senal de valormedio NO nulo tiene una componente de continua igual a su valor medio.En la fig. 2.4 se puede ver lo dicho en forma grafica.

1Simplemente restando a esta su valor medio.

2.3. VALORES ASOCIADOS A LA AMPLITUD 35

+ =

Kg(t) f(t)

t tt 000

Figura 2.4: Senal con componente de continua

2.3.5. Valor medio de modulo o Valor medio absoluto

Para senales cuyo valor medio es nulo, se calcula el llamado valor medio

de modulo tomando la integral a lo largo de un perıodo del modulo |i(t)| dela senal. Se lo representa con mayuscula y el subındice med entre signos demodulo I|med|

I|med| =1

T

∫ T

0|i(t)| dt (2.7)

este valor se calcula solo si el valor medio de la senal es nulo, y se lo utilizaen su reemplazo para las operaciones que impliquen la utilizacion del valormedio.

2.3.6. Valor eficaz

El valor eficaz de una senal variable es igual a la amplitud de una senalcontinua que disipa la misma potencia media2 que dicha senal variable. Porejemplo si se trata de senales de corriente el valor eficaz asociado a la senalvariable i(t) sera igual al valor de la senal continua I que disipe la mismapotencia media.

Consideremos la resistencia de valor R de la fig. 2.5. Segun la definicion,y tomando como ejemplo una senal de corriente, se debe encontrar el valorde corriente continua que produce la misma disipacion de potencia que lasenal variable, ambas actuando sobre la misma resistencia R.

i(t)

vR(t)

I

VR

RRPa = Pc

Figura 2.5: Sistema contınuo y alterno disipando la misma potencia media

La senal variable produce una potencia instantanea dada por

pa(t) = i(t)vR(t) = i2(t)R

cuyo valor medio depende del perıodo T ,

Pa =1

T

∫ T

0pa(t) dt =

1

T

∫ T

0i2(t)R dt (2.8)

2Aquı potencia media se refiere al valor medio de la potencia instantanea.


Tfase

diferencia de fase

ciclo

GefGmed

Gmg(t)

t

t

0

0

Figura 2.6: Parametros de senales periodicas

Por otro lado la corriente continua sobre la misma R disipa una potenciainstantanea

pc(t) = I2R

cuyo valor medio coincide con el valor instantaneo por ser una senal cons-tante

Pc = I2R

si ahora igualamos las potencias medias Pa = Pc obtenidas a partir de lasdos senales

1

T

∫ T

0i2(t)R dt = I2R (2.9)

vemos que el valor de corriente continua que produce la misma disipacionde potencia que la senal alterna es

Ief =

√1

T

∫ T

0i2(t) dt (2.10)

La ecuacion (2.10) representa el valor eficaz de una senal y es la raızcuadratica media de la senal i(t), conocida tambien por sus siglas en inglescomo RMS (root mean square).

En la figura 2.6 se pueden ver algunos parametros y valores de los vistosanteriormente, representados sobre una senal periodica arbitraria.

2.3.7. Factores caracterısticos de senales periodicas

Los siguientes factores se definen a partir de los valores caracterısticosvistos anteriormente. Tienen como objeto representar numericamente la for-ma de la senal.

2.4. SENALES PERIODICAS 37

Factor de cresta

Al cociente entre el valor maximo y el valor eficaz de la senal se lo conocecomo factor de cresta

fc =ImIef

Factor de forma

Es el mas utilizado, se define como el cociente entre el valor eficaz y elvalor medio de la senal. Si la senal es de valor medio nulo, su utiliza el valormedio de modulo

ff =IefImed

2.4. Senales periodicas

Si bien existen una varidad de senales periodicas de uso comun en electroni-ca, es importante destacar que cualquier senal periodica puede ser represen-tada mediante una serie de Fourier, compuesta por senales sinusoidales dediferentes amplitudes y frecuencias, por lo que el analisis de respuestas de loscircuitos se concentrara mayormente a las respuestas a senales sinusoidales.Este tema se vera en detalle en el capıtulo “Senales poliarmonicas”.

A continuacion se definen algunas senales periodicas utilizadas comun-mente en electricidad.

2.4.1. Rectangular

Una senal rectangular es una senal periodica de valor medio nulo definidacomo (figura 2.11a)

f(t) =

A para 0 < t < T

2

−A para T2 < t < T

(2.11)

2.4.2. Cuadrada

Una senal cuadrada es una senal periodica de valor medio no nulo defi-nida como

f(t) =

A para 0 < t < T

2

0 para T2 < t < T

(2.12)


2.4.3. Diente de sierra

Una senal diente de sierra es una senal periodica de valor medio no nulodefinida como (figura 2.11b)

f(t) = At para 0 < t < T (2.13)

2.4.4. Triangular

Una senal triangular es una senal periodica de valor medio nulo definidacomo (figura 2.11c)

f(t) =

4ATt−A para 0 < t < T

2

−4ATt+ 3A para T

2 < t < T(2.14)

2.4.5. PWM (Pulse Wide Modulation)

Una senal PWM es una senal pseudoperiodica de valor medio no nulodefinida como (figura 2.11e)

f(t) =

A para 0 < t < Ta

0 para Ta < t < T(2.15)

para 0 < Ta < T . La relacion entre el tiempo Ta y el periodo T se conocecomo ciclo de trabajo, o Duty cycle en ingles (D = Ta

T). El ciclo de trabajo

D puede variar entre 0 y 1.

2.5. Senales aperiodicas fundamentales

Las senales aperiodicas impulso, escalon y rampa se las conoce con elnombre de fundamentales, puesto con con ellas se pueden construir unagran variedad de senales aperiodicas diferentes. Definiremos a continuacioncada una de las fundamentales, determinaremos como se relacionan y luegoveremos como se utilizan para construir otras.

2.5.1. Impulso o delta de Dirac

La funcion impulso o delta de Dirac se define como

δ(arg) =

0 si el arg 6= 0∞ si el arg = 0

si el argumento de la funcion es t entonces

δ(t) =

0 si t 6= 0∞ si t = 0

2.5. SENALES APERIODICAS FUNDAMENTALES 39

que es un impulso en t = 0. Si el argumento es t− t0 entonces tendremos unimpulso en t = t0

δ(t− t0) =

0 si t 6= t0∞ si t = t0

Un delta de Dirac cumple ademas con que su area total es unitaria∫ ∞

−∞δ(t) dt = 1 (2.16)

t

δ(t)

f(t)

(a) impulso en t = 0

t0 t

δ(t− t0)

f(t)

(b) impulso en t = t0

Figura 2.7: Funcion impulso o delta de Dirac

2.5.2. Escalon unitario

Si definimos la funcion integral del impulso de forma

u(t) =

∫ t

−∞δ(t) dt (2.17)

esta funcion sera 0 para t < 0 y 1 para t > 0. Se la conoce como funcionescalon unitario y se define como

u(arg) =

0 si el arg < 01 si el arg > 0

si el argumento es el tiempo t, u(t) sera

u(t) =

0 ∀t < 01 ∀t > 0

cuya grafica es la figura 2.8a.Si el argumento es t− t0, u(t− t0) sera

u(t− t0) =

0 ∀t < t01 ∀t > t0

lo que significa que el escalon se ve desplazado un tiempo t = t0, como segrafica en la figura 2.8b.


t

1

u(t)

f(t)

(a) escalon unitario en t = 0

t0 t

1

u(t− t0)

f(t)

(b) escalon unitario en t = t0

Figura 2.8: Funcion escalon unitario

2.5.3. Rampa unitaria

Tomando la integral de la funcion escalon entre −∞ y t definimos unanueva funcion aperiodica fundamental que se llama rampa

ρ(t) =

∫ t

−∞u(t) dt (2.18)

La funcion rampa se define como

ρ(t) =

0 si t < 0t si t > 0

si comienza en t = 0, o

ρ(t− t0) =

0 si t < t0t− t0 si t > t0

si comienza en t = t0. En la fig. 2.9 se pueden ver sus graficas.

t

ρ(t)

f(t)

(a) rampa unitaria en t = 0

t0 t

ρ(t− t0)

f(t)

(b) rampa unitaria en t = t0

Figura 2.9: Funcion rampa unitaria

2.6. CONSTRUCCION DE SENALES APERIODICAS USANDO LAS FUNDAMENTALES41

En base a lo anterior, la relacion entre las diferentes fundamentales enterminos de sus derivadas sera

u(t) =dρ(t)

dt(2.19)

δ(t) =du(t)

dt(2.20)

2.6. Construccion de senales aperiodicas usandolas fundamentales

Combinando linealmente las senales pseudoperiodicas fundamentales po-demos construir nuevas senales, a continuacion vemos algunos ejemplos

2.6.1. Pulso rectangular

Sumando escalones desplazados de amplitudes opuestas podemos obte-ner pulsos de cualquier duracion, amplitud y tiempo de inicio. Por ejemploel pulso unico de la figura 2.10 lo podemos obtener como la suma de dosescalones desplazados Au(t− t0) y −Au(t− t1) de forma que

f(t) = Au(t− t0)−Au(t− t1) ; t0 < t1 (2.21)

tt0 t1

Au(t− t0)

−Au(t− t1)

A

−A

f(t)

⇒tt0 t1

Af(t)

Figura 2.10: Pulso formado por dos escalones desplazados

2.6.2. Pulso triangular

Sumando rampas desplazadas podemos obtener un pulso triangular, porejemplo

f(t) = Aρ(t)−Aρ(t− t0)−Aρ(t− t0) +Aρ(t− 2t0)

f(t) = Aρ(t)− 2Aρ(t− t0) +Aρ(t− 2t0) (2.22)

es un pulso triangular de 2t0 de duracion y At0 de valor maximo.


Ejercitacion

1. Calcular el valor medio, valor eficaz y factor de forma de las senalesde excitacion de la figura 2.11

Im

−Im

T2

T t

i(t)

(a) rectangular

Im

T 2T t

i(t)

(b) diente de sierra

Im

−Im

T2

T t

i(t)

(c) triangular

Im

−Im

2π ωt

i(ωt)

(d) senoidal

Ta

T

Ta

2T

D = Ta

T

Im

−Im

t

i(t)

(e) PWM (Pulse Wide Modulation)

Figura 2.11: Senales de excitacion

2. Hallar la potencia media P disipada en una resistencia de 80Ω por laque circula la corriente de la figura 2.12.

3. Hallar el valor eficaz de la senal recortada de la figura 2.13

4. El valor eficaz de la senal de la figura 2.14 es cero. (verdadero o falso?Justifique ).


5

-5

0.1 0.2 t[s]

i(t)[A]

Figura 2.12: Corriente i(t)

π 2π

Im

Im2

ωt

sin(ωt)

Figura 2.13: Senal senoidal rectificada completa y recortada a 0,5 de su valormaximo

5. Encontrar el valor eficaz en funcion de t0 de la senal de la fig. 2.15, develocidad angular ω = 1. Verificar que para t0 = T el valor eficaz es elde una senal senoidal.

6. La forma de onda de corriente mostrada en la figura 2.16 circula porun inductor ideal alimentado por una fuente de tension. Obtener lasenal de excitacion de la fuente de tension expresada mediante senalesaperiodicas fundamentales y calcular el valor medio y eficaz de estatension.

7. Calcular el valor eficaz de la corriente en un capacitor si se aplica a susbornes una tension como la indicada en la fig. 2.17. Operar utilizando

f(t)

tT

Figura 2.14: Senal de valor eficaznulo

f(t) = et sen(10t) 0 < t < T

con T =8

5π


f(t)20

tt0

Figura 2.15: Senal de valor eficaz variable

1

2

3

1 6 7 12 13

i(t)

t

Figura 2.16: Corriente en el inductor

senales aperiodicas elementales para construir el ciclo de v(t)

1 2 3 4 t[s]

75V

v(t)

Figura 2.17: Senal de excitacion v(t)

8. Por un circuito serie RL con R = 5Ω y L = 0, 004H circula unacorriente como la de la figura 2.18. Calcular y graficar vR(t) y vL(t)utilizando senales aperiodicas fundamentales.

5

-5

2 4 6 8 t[ms]

i(t)[A]

Figura 2.18: Corriente circulante por el circuito RL serie

9. Por una rama RC circula una corriente como la de la figura 2.19.Utilizando senales aperiodicas fundamentales graficar las tensiones de


cada elemento considerando que el capacitor se encuentra inicialmentedescargado.

1 2 3 4 t

i(t)

Figura 2.19: Corriente variable circulante por una rama RC


Soluciones


a) Senal rectangular

(%i3) Imed = (1/T)*’integrate(Im,t,0,T/2)

+ (1/T)*’integrate(-Im,t,T/2,T);

Imed_mod = (1/T)*’integrate(abs(Im),t,0,T/2)

+ (1/T)*’integrate(abs(-Im),t,T/2,T);

Ief = sqrt( (1/T)*integrate(Im^2,t,0,T/2)

+ (1/T)*integrate(Im^2,t,T/2,T) );

(%o3) Imed = 0

(%o4) Imed mod = |Im|

(%o5) Ief = |Im|

b) Senal diente de sierra

(%i6) i(t):=(Im/T)*t;

Imed = (1/T)*integrate(i(t),t,0,T);

Ief = sqrt( (1/T)*integrate((i(t))^2,t,0,T) );

(%o6) i (t) :=Im

Tt

(%o7) Imed =Im

2

(%o8) Ief =|Im|√

3

c) Senal triangular

(%i9) i1(t):= (4*Im/T)*t - Im;

i2(t):= (-4*Im/T)*t + 3*Im;

Imed = (1/t)*( integrate(i1(t),t,0,T/2)

+ integrate(i2(t),t,T/2,T) );

Ief = sqrt( (1/T) * ( integrate((i1(t))^2,t,0,T/2)

+ integrate((i2(t))^2,t,T/2,T) ) );

(%o9) i1 (t) :=4 Im

Tt− Im

(%o10) i2 (t) :=(−4) Im

Tt+ 3 Im

(%o11) Imed = 0

(%o12) Ief =|Im|√

3


d) Senal senoidal

(%i30) assume(T>0);

Imed = (1/2*%pi) * integrate(Im*sin(t),t,0,2*%pi);

Ief = sqrt( (1/(2*%pi)) * integrate( (Im*sin(t))^2,t,0,2*%pi) );

(%o31) Imed = 0

(%o32) Ief =|Im|√

2

e) Senal PWM

(%i13) Imed = (1/T) * integrate(Im,t,0,Ta);

Ief = sqrt( (1/T) * integrate(Im^2,t,0,Ta) );

(%o13) Imed =ImTa

T

(%o14) Ief = |Im|√

Ta

T

Ejercicio 3 Planteo

Para obtener el valor eficaz de la senal sinusoidal rectificada de la figura2.13 primero se deben averiguar los valores de abcisa para los cualesla senal es recortada, teniendo en cuenta que el recorte se producecuando el seno llega a la mitad de su valor maximo.

Llamando a1 y a2 a estos valores de abcisa tenemos

0,5Im = Im sin(a1)

a1 = sin−1

(1

2

)(2.23)

por lo tanto

a2 = π − sin−1

(1

2

)(2.24)

entonces la senal sera

f(ωt) =

Im sin(ωt) 0 < ωt < a1Im2 a1 < ωt < a2Im sin(ωt) a2 < ωt < π

(2.25)


El valor eficaz de esta senal definida por tramos es

Fef =

√1

π

∫ π

0(f(ωt))2 dωt

=

√√√√ 1

π

[∫ a1

0I2m sin2(ωt) dωt+

∫ a2

a1

(Im2

)2

dωt+

∫ π

a2

I2m sin2(ωt) dωt

]

=

√√√√ 1

π

[2

∫ a1

0I2m sin2(ωt) dωt+

∫ a2

a1

(Im2

)2

dωt

]

=

√√√√ 1

π

[∫ a1

0I2m(1− cos(2ωt)) dωt+

∫ a2

a1

(Im2

)2

dωt

](2.26)

Resolucion numerica

Resolviendo (2.23) y (2.24) tenemos

a1 =π

6

a2 =5

6π

que llevados a (2.26) nos da

Fef =

√√√√I2mπ

(π

6− sin

(π3

)

2+

5π

24− π

24

)

Fef = 0,44216Im (2.27)

Capıtulo 3

Sistemas de primer ysegundo orden

3.1. Sistemas de primer orden

Un circuito electrico que contenga un elemento capaz de almacenarenergıa, como un inductor o un capacitor, tiene como ecuacion de equili-brio una ecuacion diferencial ordinaria (ODE) de primer orden

dx(t)

dt+ λx(t) = F (t) x(0) = x0

con λ una constante positiva que depende de los elementos del circuito yF (t) una funcion temporal que depende de la fuente de excitacion.

Este tipo de sistemas descripto por una ODE de primer orden se los co-noce como sistemas de primer orden y la respuesta esta dada por la solucioncompleta1 de esta ODE.

3.1.1. Circuito sin fuente

Si se excita un circuito de primer orden durante algun tiempo se alma-cenara en su elemento almacenador (L o C) una determinada cantidad deenergıa. Si luego se quita esta fuente de excitacion es posible observar larespuesta del sistema debido a la energıa acumulada en el elemento almace-nador. El estudio de la respuesta que aparece al dejar al circuito sin fuentees el mas sencillo de realizar ya que al no existir fuente de excitacion co-nectada al sistema este puede ser descripto por una ODE homogenea (conF (t) = 0). Desarrollemos este caso en primer lugar utilizando un circuitoRL como ejemplo.

1La solucion completa de una ODE debe contemplar la solucion particular de la ecua-cion no homogenea mas la solucion general de la ecuacion homogenea

49

50 CAPITULO 3. SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN

3.1.2. Circuito RL sin fuente

Supongamos que el circuito RL de la figura 3.1a se encuentra conectadodesde hace largo tiempo a la fuente de corriente, es decir que el inductorse encuentra totalmente energizado comportandose como un corto circuitoante la fuente de corriente continua que lo alimenta.

I0 L Ri(t)

t = 0

(a) Circuito RL

L Ri(t)

vL(t)

vR(t)

(b) t > 0

Figura 3.1: Circuito RL conectado a una fuente de corriente constante

En un instante t = 0 se abre el interruptor dejando al circuito RL sinfuente de alimentacion. Toda la energıa acumulada en el inductor se disi-para en la resistencia siguiendo la respuesta de la ODE de primer orden quedescribe al circuito. Estamos interesados entonces en conocer la forma de lacorriente i(t) para t > 0.

Para encontrar esta respuesta aplicamos la LKV en la malla RL de lafigura 3.1b, que resulta luego de abrir el interruptor en t = 0, segun lasreferencias indicadas tenemos

vL(t) + vR(t) = 0 (3.1)

Ldi(t)

dt+Ri(t) = 0 (3.2)

di(t)

dt+

1

τi(t) = 0 (3.3)

la ec. (3.3) es una ODE homogenea de primer orden, con τ = LR

una cons-tante positiva, que podemos resolver separando variables

1

i(t)di(t) = −1

τdt (3.4)

e integrando ambos miembros

∫1

i(t)di(t) = −

∫1

τdt

ln i(t) = −1

τt+ k

i(t) = Ae−1τt (3.5)

con A = ek una constante a determinar.

3.1. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 51

La ec. (3.5) es la solucion general de la (3.3), pues cualquier valor de Asatisface la ODE. Si se asigna algun valor particular para A se dice que separticulariza la respuesta encontrada.

Del punto de vista electrico, encontrar la solucion general significa en-contrar la respuesta para cualquier valor de energıa inicial acumulada enel inductor, luego particularizarla significa encontrar el valor de A de larespuesta general que corresponda segun el valor energetico del caso.

En efecto, si analizamos el circuito para t = 0, por condicion de conti-nuidad de corriente en el inductor podemos asegurar que la corriente en lamalla no puede ser discontinua, por lo que

i(0+) = i(0−) (3.6)

siendo 0− un infinitesimo de tiempo anterior a 0 y 0+ un infinitesimo detiempo posterior a 0. Esto significa que la corriente de malla en el instanteposterior a la apertura del interruptor debe ser igual a la corriente circulantepor el inductor en el instante anterior a dicha apertura, como i(0−) = I0,entonces

i(0+) = I0

si llevamos esta condicion a la respuesta general (3.5) tenemos

i(0) = Ae0 = I0 ⇒ A = I0

con lo que finalmente se obtiene la respuesta particular de la corriente demalla de este circuito RL

i(t) = I0e− 1

τt ∀t > 0 (3.7)

En la figura 3.2 se pude ver el grafico de la ecuacion (3.7).

I0

t

i(t)

Figura 3.2: Corriente de descarga del circuito RL de la figura 3.1a


Tensiones en los elementos

A partir de la corriente podemos encontrar la tension de cada elemento,de acuerdo a las referencias ya elegidas (fig. 3.1b). De la ec. (3.2)

vR(t) = Ri(t) = RI0e− 1

τt ∀t > 0

Para encontrar la tension en el inductor podemos despejarla de (3.1)

vL(t) = −vR(t) = −RI0e− 1

τt ∀t > 0

o calcularla segun su relacion tension-corriente

vL(t) = Ldi(t)

dt= L

[−R

LI0e

− 1τt

]

vL(t) = −RI0e− 1

τt ∀t > 0

obteniendo la misma funcion que antes tal como se esperaba.

En la fig. 3.3 se pueden ver los graficos de ambas tensiones, cuya sumaes nula en todo instante de tiempo.

RI0

−RI0

t

v(t)

vR(t)

vL(t)

Figura 3.3: Tensiones en los elementos del circuito RL de la figura 3.1a

3.1.3. Circuito RC sin fuente

Veamos ahora que ocurre con la tension de un capacitor mientras sedesenergiza. Supongamos un circuito como el de la figura 3.4a, el cual estuvoconectado a la fuente de tension durante un largo tiempo tal que el capacitorllego a su carga maxima. El interruptor desconecta la fuente de tension yconecta la resistencia al capacitor en t = 0. A partir de este momento laenergıa acumulada en el capacitor comienza a disiparse en la resistencia. Se

3.1. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 53

V0 C RvC(t)

t = 0

(a) Circuito RC

C R

i(t)vC(t) vR(t)

(b) t > 0

Figura 3.4: Circuito CR conectado a una fuente de tension constante

desea conocer la evolucion de la tension del capacitor durante todo el tiempode descarga, es decir para todo t > 0. 2

Para resolver aplicamos la LKV a la malla de la figura 3.4b que resultade cambiar el interruptor

vC(t) + vR(t) = 0 (3.8)

vC(t) +Ri(t) = 0 (3.9)

la corriente i(t) puede ponerse en terminos de vC(t)

i(t) = CdvC(t)

dt

que llevada a (3.9) nos queda

vC(t) +RCdvC(t)

dt= 0

dvC(t)

dt+

1

τvC(t) = 0 (3.10)

con τ = RC.La ec. (3.10) es una ODE homogenea de primer orden, similar a la que se

obtuvo en el analisis del circuito RL de la figura 3.1a (vease ecuacion (3.3)).Por lo tanto, al tratarse de la misma ODE que la (3.3), tiene la misma

respuesta general, es decir

vC(t) = Ae−1τt (3.11)

solo que para este caso el valor de τ es τ = RC.Para ajustar el valor que toma la funcion (3.11) en t = 0 debemos ana-

lizar el circuito en el tiempo t = 0−, ya que la tension del capacitor en elinstante anterior al cambio del interruptor sera igual a la tension en el ins-tante t = 0+, por condicion de continuidad de tension. Este valor de tensiones V0, entonces

vC(0) = A = V0 (3.12)

2Las siguientes igualdades son validas ∀t > 0, aunque en algunos casos no se especifiquepara mayor claridad del texto.


con lo que la respuesta de tension del circuito de la figura 3.4a para todot > 0 es

vC(t) = V0e− 1

τt ∀t > 0 (3.13)

Observando la ecuacion de equilibrio de la malla (3.8) vemos que latension en R es igual en magnitud y de signo contrario a vC(t)

vC(t) = −vR(t) = V0e− 1

τt ∀t > 0 (3.14)

En la figura 3.5 se pude ver el grafico de la ecuacion (3.13).

V0

−V0

t

vC(t)

vR(t)

Figura 3.5: Tension del capacitor del circuito de la figura 3.4a

Corriente de malla

La corriente de malla puede obtenerse a partir de la tension vR(t) divi-diendo por R

i(t) = −V0

Re

1τt ∀t > 0 (3.15)

y su grafica es identica a la de vR(t) en una escala de corriente. El valornegativo de la corriente nos indica que su sentido de circulacion es contrarioal de la referencia.

3.2. Constante de tiempo τ

La constante de tiempo determina la velocidad de crecimiento (o decaıda3) de la respuesta de un sistema de primer orden. Si se observan lassoluciones obtenidas en el estudio anterior se ve que esta constante τ dependesolamente de los elemtentos pasivos del circuito, es decir que la velocidad

3Para los sistemas sin fuentes como los anteriores la respuesta sera siempre una caıda,ya que al desconectar la fuente de excitacion la energıa almacenada solo puede disminuir(o permanecer constante, en cuyo caso la respuesta apreciada sera nula).

3.2. CONSTANTE DE TIEMPO τ 55

de variacion de la respuesta en un sistema de primer orden esta dada por elvalor se sus elementos.

Esta constante debe medirse en segundos [s], tal que al dividir a la varia-ble t resulte en un numero adimensional como exponente de la exponencial.Por esto recibe el nombre de constante de tiempo.

Es muy comun calcular los valores que toma la respuesta para tiem-pos multiplos de τ , de esta forma el analisis se independiza de los valoresabsolutos de tiempo y puede hablarse los valores que toma la respuesta encantidades de τ . Ası, por ejemplo, se sabe que la respuesta (3.13) caera apro-ximadamente al 36,7% de su valor inicial al transcurrir 1τ de tiempo, puestoque

vC(τ) = V0e−1 = 0,36788V0

y para valores sucesivos de τ

vC(2τ) = 0,13534V0

vC(3τ) = 0,049787V0

vC(4τ) = 0,018316V0

vC(5τ) = 0,0067379V0

· · ·

Como se ve la velocidad de caıda respecto de τ es muy rapida y, si bienmatematicamente la funcion solo vale cero para t → ∞, para aplicacionesde ingenierıa suele considerarse que la funcion vale cero para tiempos ma-yores a 5τ , despreciandose una cantidad menor al 1% del valor inicial de larespuesta.

Se puede determinar la constante de tiempo de un circuito desconocido apartir del grafico de su respuesta. Por ejemplo, si en la figura 3.5 se prolongala recta tangente a la funcion en el inicio hasta cortar con el eje de tiempo,esta cortara en t = τ (fig. 3.6), para verificarlo tomemos la derivada de larespuesta valuada en t = 0

dvC(t)

dt|t=0 = −

V0

τ(3.16)

la (3.16) es la pendiente m de la recta y(t) = mt + b que pasa por V0 ent = 0, es decir

y(t) = −V0

τt+ V0 (3.17)

esta recta corta el eje del tiempo en

0 = −V0

τt+ V0 ⇒ t = τ (3.18)


τ

V0

t

vC(t)

Figura 3.6: Constante de tiempo en un sistema de primer orden

3.2.1. Potencia y energıa

Consideremos el circuito RC serie anterior (fig. 3.4a), la potencia ins-tantanea para t > 0 sera

pC(t) = vC(t)iC(t)

pC(t) =(V0e

1τt)(−V0

Re

1τt

)

pC(t) = −C V 20

τe

2τt (3.19)

como se trata de un circuito sin fuente es de esperar que la potencia ins-tantanea sea cero para t→∞. El signo negativo de la potencia esta repre-sentando una disminucion de la energıa almacenada en el capacitor. El valormaximo de potencia instantanea se obtiene en t = 0 y vale

Pmax = pC(t)|t=0 = −C V 2

0

τ(3.20)

este valor es inversamente proporcional al τ del circuito, es decir que en cir-cuitos con menores valores de τ se obtendra una mayor potencia instantaneamaxima. Esto se debe a que en un circuito con un τ pequeno el tiempo pa-ra desenergizar el capacitor es menor, por ende debe ser desenergizado conmayor potencia.

Un analisis similar nos lleva a encotrar la potencia instantanea en runRL serie

pL(t) = −LI20τ

e2τt (3.21)

cuyo valor maximo en t = 0 sera

Pmax = pL(t)|t=0 = −LI20τ

(3.22)

aplicando para el caso las misma conclusiones que antes. En la fig. 3.7 semuestran las graficas de descarga de un inductor L con diferentes constantesde tiempo (diferentes resistencias conformando el circuito), observese quepara ambos casos se supone la misma corriente inicial I0.

3.3. RESPUESTA A UNA FUENTE CONSTANTE 57

I0

−LI0τ1

t

iL1(t)

pL1(t)

(a) τ1 = 2s

I0

−LI0τ2

t

iL2(t)

pL2(t)

(b) τ2 = 1s

Figura 3.7: Potencia instantanea en un inductor para diferentes valores de τ

3.3. Respuesta a una fuente constante

Una fuente constante aplicada a un sistema de primer orden tiene co-mo ecuacion de equilibrio una ODE de primer orden no homogenea, cuyarespuesta consta de dos partes, la solucion homogenea mas la solucion inho-mogenea. Consideremos para el analisis un circuito RC serie.

3.3.1. Circuito RC con fuente constante

En el circuito de la figura 3.8 se encuentra conectada una fuente detension desde hace un largo tiempo, tal que todo el circuito esta en unestado de reposo cuando se accionan los interruptores en t = 0, es decir queel capacitor ya ha alcanzado su maxima carga. En ese instante se desconectala fuente de tension y se introduce una fuente de corriente. Se desea encontraren estas condiciones la respuesta vC(t) ∀ t > 0

iin(t) = I0 vin(t) = V0

t = 0t = 0

R C vC(t)

iR iC

Figura 3.8: RC paralelo excitado con fuente de corriente constante

El analisis se inicia aplicando alguna de las leyes de Kirchhoff, en estecaso por ser un circuito paralelo se aplica LKI en el nudo principal. Observeseque para t > 0 el circuito queda formado por tres ramas en paralelo, la ramade la fuente de corriente iin(t), la rama de la resistencia R y la rama delcapacitor C. Tomando como positivas a las corrientes entrantes al nudo


tendremos

iin(t)− iC(t)− iR(t) = 0

iin(t) = CdvC(t)

dt+

vR(t)

R

como vC(t) = vR(t) la ecuacion se pone, por conveniencia, en terminos dela respuesta vC(t)

iin(t) = CdvC(t)

dt+

vC(t)

R

reemplazando el valor de fuente iin(t) = I0 y dividiendo ambos miembrospor C

I0C

=dvC(t)

dt+

vC(t)

RC(3.23)

La ec. 3.23 es una Ec. Dif. lineal de 1o orden, no homogenea, de formageneral

dx(t)

dt+

x(t)

τ= k1 (3.24)

con τ = RC y k1 =I0C

en este caso.Del punto de vista del analisis matematico esta ODE tiene una solucion

general formada por la solucion particular de la ODE no homogenea, mas lasolucion general de la homogenea. Luego se vera como estas dos solucionesrepresentan las diferentes respuestas presentes en este circuito.

Una forma de resolver esta Ec. Dif. es separando variables para poderintegrar

dx(t)

dt+

x(t)

τ= k1

dx(t)

dt=

k1 τ − x(t)

τdx(t)

k1 τ − x(t)=

dt

τ∫1

x(t)− k1 τdx(t) = −

∫1

τdt

ln(x(t)− k1 τ) = − t

τ+ k2

y por definicion de logarıtmo

x(t)− k1 τ = e−1τt+k2 = e−

1τt ek2

x(t) = k1 τ + k3 e− 1

τt (3.25)

con k3 = ek2

3.3. RESPUESTA A UNA FUENTE CONSTANTE 59

Para encontrar los valores de estas constantes k1τ y k3 en funcion de losestados iniciales y finales de x(t) se evalua la funcion 3.25.

Primero para t→∞

x(∞) = k1 τ + 0 → k1 τ = x(∞)

Luego se analiza para t→ 0, lo que se conoce como condicion incial delsistema. Sabiendo ya que k1 τ = x(∞)

x(0) = x(∞) + k3 · 1 → k3 = x(0)− x(∞)

se obtiene el valor de la segunda constante.Reemplazando estas constantes en la (3.25) queda

x(t) = x(∞) + [x(0)− x(∞)] e−1τt (3.26)

que es la respuesta general de la ODE (3.24).Observando la (3.26) puede verse que esta compuesta por dos terminos,

el primero es un termino constante y el segundo un termino exponencialdecreciente

x(t) = x(∞)︸︷︷︸xfo

+ [x(0)− x(∞)] e−1τt

︸︷︷︸xna

el termino constante xfo recibe el nombre de respuesta forzada y es el valorque toma la respuesta x(t) cuando t → ∞. Esta parte de la respuesta esla solucion particular de la Ec. Dif. no homogenea y existe solo si existeuna fuente forzante, de ahı su nombre de forzada. El termino exponencialxna se lo conoce como respuesta natural del sistema y es la solucion generalde la Ec. Dif. homogenea. Depende exclusivamente de la naturaleza de loscomponentes del sistema, es decir de los elementos del circuito, y por estose la conoce como respuesta natural. Las fuentes de excitacion y las condi-ciones iniciales del sistema solo determinan su amplitud. Esta parte de larespuesta tiende a cero con el tiempo4 por esto se la llama tambien respuesta

transitoria o respuesta de regimen transitorio. En contraparte, la respuestaforzada existe mientras exista una excitacion, y recibe el nombre respuesta

permanente o respuesta de regimen permanente

La respuesta obtenida representa la evolucion completa del parametroen cuestion partiendo de un estado inicial (x(0)) hasta llegar a un estadoestable final (t → ∞), donde la transicion entre los dos estados se producede una forma que solo depende de la naturaleza del circuito, es decir de larespuesta natural.

Si no se tiene informacion de lo que ocurrio antes del inicio del analisisdel sistema (antes de t = 0), entonces el estado inicial se considera siempre

4Estrıctamente la funcion exponencial e−1

τt se hace cero solo para t = ∞, pero a los

fines practicos esta funcion puede ser despreciada para un valor de tiempo mayor a 5τ


un estado estable, es decir un estado de reposo donde todos los elementosalmacenadores de energıa ya estan cargados al maximo o descargados porcompleto segun corresponda.

Mas adelante veremos que estos estados inicial y final no necesariamen-te deben ser estados de reposo como en el caso de excitacion con fuenteconstante. Estos estados se denominan en general estados de regimen per-manente, y la transicion entre dos estados de regimen permanente se realizasiguiendo la respuesta natural del sistema.

Volviendo a la (3.23) del circuito RC, segun lo visto su respuesta generalsera

vC(t) = vC(∞) + [vC(0)− vC(∞)] e−1

RCt

los valores de las constantes se deben encontrar por analisis del circuito parat→ 0 y t→∞.

Para t→ 0, por condicion de continuidad de tension en el capacitor elcircuito tiene el estado que tenıa en t = 0− (antes de abrir el interruptor,fig. 3.9), entonces la tension inicial sera vC(0

+) = vC(0−) = V0

V0C vC(0−)

Figura 3.9: Estado inicial del circuito RC

Para t→∞ el capacitor habra llegado a su maxima carga comportandosecomo un circuito abierto, la corriente a traves de el sera nula (fig. 3.10). Porlo tanto la tension final del capacitor sera

vC(∞) = vR(∞) = I0R

Reemplazando estos valores en la ec. 3.27 se obtiene

vC(t) = I0R+ [V0 − I0R] e−t

RC (3.27)

que es la funcion respuesta de la tension del capacitor del circuito de la fig.3.8

I0 R vC(∞)

iR

Figura 3.10: Estado final del circuito RC

En la fig. 3.11 se pueden ver las graficas de dos estados finales diferentes,la lınea continua representa la respuesta para el caso que el estado establefinal sea una tension menor a la tension inicial, RI0 < V0, y la lınea a

3.4. SISTEMAS LINEALES 61

trazos es la respuesta para RI0 > V0. En la grafica pueden observarse losestados estables inicial y final y la respuesta natural como transicion entrelos mismos.

RI0

RI0

V0

t

vC(t)

Figura 3.11: Tension del capacitor del circuito de la figura 3.8

3.4. Sistemas lineales

Un sistema es lineal si y solo si se satisfacen las propiedades de superpo-sicion y homogeneidad para todas las excitaciones y respuestas

Superposicion. La propiedad de superposicion se satisface si al excitar elsistema con una excitacion i1 se obtiene v1 y con una excitacion i2 seobtiene v2, entonces al excitar con la suma de las excitaciones i1 + i2se obtiene la suma de las respuestas

si i1 ⇒ v1

e i2 ⇒ v2

entonces i1 + i2 ⇒ v1 + v2

Homogeneidad. La propiedad de homogeneidad se satisface si al multi-plicar una excitacion por un numero real k, se multiplica tambien larespuesta por ese mismo factor

si i3 ⇒ v3

entonces k i3 ⇒ k v3

Los circuitos tratados en Teorıa de los circuitos I contienen solo ele-mentos lineales, por lo que se trata de sistemas lineales y cumplen con laspropiedades de superposicion y homogeneidad. Estas propiedades normal-mente se presentan en forma de teorema


Teorema de Superposicion: en un circuito lineal, constituido por ele-mentos lineales y fuentes, se puede hallar la respuesta total hallandola respuesta a cada fuente haciendo cero todas las demas y sumandodespues las respuestas individuales.

Para hacer cero o pasivar una fuente de tension se debe reemplazardicha fuente en el circuito por un corto circuito.

Para hacer cero o pasivar una fuente de corriente se debe abrir elcircuito en los bornes de dicha fuente.

3.5. Resolucion por superposicion

Consideremos por ejemplo el circuito de la fig. 3.12a. Para encontrar larespuesta total del sistema aplicando el teorema de superposicion se debenpasivar sistematicamente cada fuente dejando solo una activada por vez.Pasivando por ejemplo todas menos la fuente de tension V nos queda elcircuito de la fig. 3.12b. Luego operando para t > 0 y procediendo como enla seccion anterior obtenemos la respuesta completa debido a esta fuente

i1(t) =V

R− V

Re−

tτ (3.28)

notar que para esta respuesta la condicion inicial es cero, ya que la fuenteque provoca la condicion inicial en el inductor esta pasivada.

I0 VL

R

i(t)

t = 0t = 0

(a) Circuito RL con dos fuentes

VL

R

i1(t)

t = 0

(b) Fuente de corrientepasivada

I0 L

R

i2(t)

t = 0t = 0

(c) Fuente de tension pasivada

Figura 3.12: Analisis de circuito RL aplicando teorema de superposicion

Luego pasivamos todas menos la fuente de corriente I0, quedando el cir-cuito como en la fig. 3.12c. Al conmutar el interruptor la fuente de corrientese desconecta quedando el circuito sin fuente, por lo que la respuesta sera

i2(t) = I0e− t

τ (3.29)

3.6. RESPUESTA NATURAL MAS FORZADA 63

como vimos antes.Finalmente se obtiene la respuesta total sumando i1(t) + i2(t)

iT (t) =V

R+

(I0 −

V

R

)e−

tτ (3.30)

3.6. Respuesta natural mas forzada

Aplicar el teorema de superposicion como antes es una forma muchasveces util para resolver circuitos con muchas fuentes. Pero podemos conseguiraun mayor beneficio de este teorema si observamos la forma que se construyela respuesta natural al hacer la sumatoria de todas las respuestas. Cadarespuesta contribuye con su valor en t = 0 a la constante de la respuestanatural, de forma que esta constante en t = 0 cancele los valores de todaslas fuentes y de como resultado el valor inicial del circuito, es decir

iT (0) = if1(0) + if2(0) + if3(0) + · · ·+ ifn(0) + (3.31)

+ [I0 − if1(0)− if2(0)− if3(0)− · · · − ifn(0)] e0 (3.32)

Por ende la respuesta natural puede obtenerse en forma independientecuando ya se hayan obtenido todas las respuestas forzadas debido a cadauna de las fuentes forzantes, ya que su forma depende exclusivamente de loselementos del circuito (el τ es unico) y la constante se obtiene valuando larespuesta en t = 0 y aplicando la condicion inicial del circuito.

Es decir que podemos aplicar el teorema de superposicion para obtenertodas las forzadas y luego la natural unica en un circuito de primer orden.Para aplicar superposicion a un sistema con n fuentes de esta ultima formael procedimiento es el siguiente: se comienza por pasivar todas las fuentesmenos una y obtener la respuesta forzada if1 debido a esta primera fuente.Luego se pasivan todas las fuentes menos la segunda con lo que se obtienela respuesta forzada if2 debido a la segunda fuente. Esto se repite hastaobtener las n respuestas forzadas debido a las n fuentes presentes en elsistema. Luego se calcula la respuesta natural inat(t). Teniendo en cuentaque esta depende solamente de los elementos del circuito y no de las fuentes,para obtenerla se deben pasivar TODAS las fuentes forzantes del circuito yluego operar considerando solo las condiciones iniciales. Con estos pasos seobtiene la respuesta general completa del sistema

itotal(t) = if1(t) + if2(t) + if3(t) + · · ·+ ifn(t) +Ae−tτ

para particularizarla se hace t = 0 y se aplica la condicion incial del circuito,quedando

itotal(t) = if1(t) + if2(t) + if3(t) + · · ·+ ifn(t) + (3.33)

+ [I0 − if1(0)− if2(0)− if3(0)− · · · − ifn(0)] e− t

τ


3.7. Respuesta a una fuente no constante

Un sistema de primer orden que es excitado por una fuente generica,tiene como ecuacion de equilibrio una ODE de primer orden no homogenea

dx(t)

dt+

x(t)

τ= y(t) (3.34)

cuya solucion completa esta formada por una solucion general de la ho-mogenea (xn = Ce−

tτ ) mas la solucion particular de la no homogenea, es

decir la respuesta natural mas la respuesta forzada.

Esta ODE puede ser resuelta por varios metodos, uno de ellos se conocecomo metodo de Lagrange. El metodo se basa en la solucion propuesta pararesolver la ODE de primer orden homogenea. Por analogıa propone comosolucion una funcion de igual forma, pero en lugar de ser C una constante,es tambien una funcion dependiente del tiempo

x(t) = c(t)e−tτ (3.35)

Para probar que esta es solucion, se busca su derivada respecto del tiempo

dx(t)

dt=

dc(t)

dte−

tτ + c(t)

(−e− t

τ

τ

)

y se reemplaza en la ec. (3.34)

[dc(t)

dte−

tτ + c(t)

(−e− t

τ

τ

)]+

c(t)e−tτ

τ= y(t)

dc(t)

dte−

tτ = y(t)

dc(t)

dt= y(t)e

tτ (3.36)

integrando ambos miembros se encuentra c(t)

c(t) =

∫y(t)e

tτ dt+ C (3.37)

siendo C la constante de integracion.

Es decir, para que (3.35) sea solucion de (3.34), c(t) tiene que ser como(3.37). Reemplazando

x(t) =

(∫y(t)e

tτ dt+ C

)e−

tτ

x(t) = Ce−tτ + e−

tτ

∫y(t)e

tτ dt (3.38)

3.8. ALIMENTACION CON FUENTE SINUSOIDAL. CORRIENTE ALTERNA65

i(t)10 + e−2t

t = 0 70Ω

10H

Figura 3.13: RL serie alimentado con una fuente de tension no constante

y (3.38) es la solucion completa (natural mas forzada) de la ODE (3.34)

Por ejemplo, para el circuito de la fig. 3.13 la ecuacion de equilibrio parat > 0 es

v(t) = R i(t) + Ldi(t)

dt

10 + e−2t = 70 i(t) + 10di(t)

dt10 + e−2t

10= 7 i(t) +

di(t)

dt

de donde i(t) sera

i(t) = Ce−7t + e−7t

∫ (10 + e−2t

10

)e7t dt

i(t) = Ce−7t +1

7+

e−2t

50

como en t = 0 la corriente es nula, la constante C vale

i(0) = C +1

7+

1

50= 0

C = − 57

350

finalmente i(t)

i(t) =1

7− 57

350e−7t +

e−2t

50

3.8. Alimentacion con fuente sinusoidal. Corrientealterna

El caso particular de un circuito alimentado con una fuente senoidal esmuy importante debido al intensivo uso de este tipo de alimentaciones en laingenierıa. Se vera en detalle su resolucion aplicando el metodo de Lagrangevisto anteriormente.


i(t)Vmaxsen(ω t+ θv)

t = 0 R

L

Figura 3.14: RL serie alimentado con una fuente de tension senoidal

Si se alimenta un circuito RL serie con una fuente alterna como en lafig. 3.14 la ecuacion de equilibrio para t > 0 segun la LKV sera

vin(t)− vR(t)− vL(t) = 0

vin(t) = vR(t) + vL(t)

Vmaxsen(ω t+ θv) = R i(t) + Ld(i(t))

dtVmax

Lsen(ω t+ θv) =

R

Li(t) +

d(i(t))

dt

que, segun el metodo de Lagrange visto anteriormente, la solucion integralde esta ODE tiene la forma

i(t) = K e−RLt + e−

RLt ·∫e

RLtVmax

Lsen(ω t+ θv) dt (3.39)

la funcion integral de (3.39) se encuentra resolviendo la integral por partes5, haciendo

du = eRLtdt ⇒ u =

L

Re

RLt

v =Vmax

Lsen(ω t+ θv) ⇒ dv = ω

Vmax

Lcos(ω t+ θv)dt (3.40)

y reemplazando en la integral queda∫e

RLtVmax

Lsen(ω t+ θv) dt =

L

Re

RLt · Vmax

Lsen(ω t+ θv)−

∫L

Re

RLt · ωVmax

Lcos(ω t+ θv)dt (3.41)

Esta nueva integral en el segundo miembro de (3.41) se resuelve tambienpor partes quedando

∫e

RLtVmax


L

Re

RLt · Vmax

Lsen(ω t+ θv)−

[L2

R2e

RLt · ω Vmax

Lcos(ω t+ θv)+

ω2L2

R2

∫e

RLtVmax

Lsen(ω t+ θv) dt

](3.42)

5∫

u dv = u v −∫

v du

3.8. ALIMENTACION CON FUENTE SINUSOIDAL. CORRIENTE ALTERNA67

Finalmente, como esta utlima integral tiene la misma forma que la del primermiembro, se halla la solucion por asociacion de terminos

(1 +

ω2L2

R2

)∫e

RLt Vmax


L

Re

RLt · Vmax

Lsen(ω t+ θv)−

L2

R2e

RLt · ω Vmax

Lcos(ω t+ θv) (3.43)

es decir∫e

RLtVmax


1

1 + ω2L2

R2

[L

Re

RLt · Vmax

Lsen(ω t+ θv)−

L2

R2e

RLt · ω Vmax

Lcos(ω t+ θv)

](3.44)

∫e

RLtVmax


Vmax eRLt

R2 + ω2L2[R sen(ω t+ θv)−

ωL cos(ω t+ θv)] (3.45)

Volviendo ahora a la (3.39) de la corriente con este resultado se tiene

i(t) = K e−RLt + e−

RLt · Vmax e

RLt

R2 + ω2L2[R sen(ω t+ θv)− ωL cos(ω t+ θv)]

i(t) = K e−RLt +

Vmax

R2 + ω2L2[R sen(ω t+ θv)− ωL cos(ω t+ θv)] (3.46)

para reducir esta ultima ecuacion se puede utilizar la igualdad trigonometri-ca

a sen(x)− b cos(x) =√a2 + b2 sen

(x− arctan

b

a

)(3.47)

entonces (3.46) queda

i(t) = K e−RLt +

Vmax

R2 + ω2L2

√R2 + ω2L2 sen(ω t+ θv − arctan

ωL

R)

i(t) = K e−RLt +

Vmax√R2 + ω2L2

sen(ω t+ θv − arctanωL

R) (3.48)

Esta solucion general representa la evolucion de la corriente para todot > 0, para considerar el caso particular se debe calcular la constante K. Eneste caso la corriente en t = 0 es nula, entonces

i(0t) = K +Vmax√

R2 + ω2L2sen(θv − arctan

ωL

R) = 0⇒

K = − Vmax√R2 + ω2L2

sen(θv − arctanωL

R) (3.49)


Finalmente

i(t) = − Vmax√R2 + ω2L2

sen(θv − arctanωL

R) e−

RLt +

+Vmax√

R2 + ω2L2sen(ω t+ θv − arctan

ωL

R) (3.50)

que es el resultado particular para este circuito RL serie.En la figura 3.15 pueden verse las graficas de la respuesta completa de

corriente (en color negro) junto con las respuestas natural y forzada (en colorgris), la grafica en lıneas de puntos representa la excitacion.

t[s]

i(t)[A]

Figura 3.15: Corriente en un RL serie alimentado con una fuente de tensionsenoidal

3.9. Sistemas de segundo orden

Si consideramos la interaccion entre dos elementos almacenadores deenergıa deberemos utilizar una ODE de 2 orden para describir su com-portamiento. Cada elemento almacenador introduce una condicion inicialindependiente en el sistema, por lo que sera necesario contar con dos solu-ciones naturales que permitan satisfacer ambas condiciones iniciales. Comose vera a continuacion, estas dos soluciones naturales son las dos solucionesgenerales de la ODE homogenea que describe el circuito.

Comencemos el analisis utilizando como ejemplo un circuito paraleloRLC como el de la fig. 3.16, para este circuito la ecuacion de nudo segun

3.9. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 69

if (t)

v(t) = vL(t)

iL(t)

CR L

Figura 3.16: Circuito RLC paralelo

LKC es

if (t) =v(t)

R+ iL + C

dv(t)

dt(3.51)

donde iL =1

L

∫v(t) dt

if (t) =v(t)

R+

1

L

∫v(t) dt+ C

dv(t)

dt

Esto es una ecuacion integro-diferencial, que debe ser llevada a una ecuaciondiferencial para ser resuelta. Derivando ambos miembros respeto a t, seobtiene la Ec. Dif.

Cd2v(t)

dt2+

1

R

dv(t)

dt+

1

Lv(t) =

dif (t)

dt(3.52)

Si se analiza otro tipo de circuito con dos elementos almacenadores deenergıa, como el circuito RLC serie de la fig. 3.17 por ejemplo, la ecuacionde equilibrio sera:

vf (t) i(t) C

R L

Figura 3.17: Circuito RLC serie

vf (t) = R i(t) + Ldi(t)

dt+ vC(t)

donde vC(t) =1

C

∫i(t) dt

vf (t) = R i(t) + Ldi(t)

dt+

1

C

∫i(t) dt

y derivando se obtiene la Ec. Dif. de 2 orden a resolver

Ld2i(t)

dt2+R

di(t)

dt+

1

Ci(t) =

dvf (t)

dt(3.53)


vf (t) i(t) L2

L1

R1

R2

Figura 3.18: Circuito irreductible con dos elementos que almacenan energıa

De igual forma, con dos elementos del mismo tipo como el circuito RLde la fig. 3.18, se obitene una Ec.Dif. de segundo orden. Este analisis se dejacomo ejercicio para el lector.

Notese que en cada ejemplo anterior la Ec.Dif. puede ser planteada enterminos de cualquier parametro del circuito, por ejemplo si en la (3.51)se pone la tension del circuito en terminos de la corriente por el inductorentonces

v(t) = vL(t) = LdiLdt

if (t) =1

RLdiLdt

+ iL + Cd

dt

[LdiLdt

]

if (t) =L

R

diLdt

+ iL + CLd2iLdt2

la ODE queda en terminos de la corriente por el inductor.

3.9.1. Solucion natural

Consideremos el circuito de la figura 3.19, aplicando LKV para t > 0

t = 0 R

V0 vC(t) i(t) LC

Figura 3.19: Circuito RLC sin fuente

vR(t) + vL(t) + vC(t) = 0

Ri(t) + Ldi(t)

dt+ vC(t) = 0 (3.54)

y la corriente por el capacitor

i(t) = CdvC(t)

dt(3.55)


luego, de estas dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas, po-demos obtener una unica ecuacion diferencial de segundo orden en terminode algunas de las variables de interes. En general se prefiere resolver enterminos de alguna de las variables contınuas del circuito, como la tensionen el capacitor vC(t) o la corriente por el inductor, puesto que son las quecumplen con la condicion de continuidad y por ende las que imponen lascondiciones iniciales.

Si llevamos la ec. (3.55) a la (3.54) tendremos

R

(CdvC(t)

dt

)+ L

d(C dvC(t)

dt

)

dt+ vC(t) = 0

RCdvC(t)

dt+ LC

d2vC(t)

dt2+ vC(t) = 0

d2vC(t)

dt2+

R

L

dvC(t)

dt+

1

LCvC(t) = 0 (3.56)

una ODE homogenea de segundo orden en terminos de vC(t). Resolviendoesta ODE se obtiene entonces la respuesta natural de la tension del capacitoren un sistema de segundo orden.

De igual forma se puede obtener la ODE en terminos de la corrientedespejando la tension vC(t) de la ec. (3.54) y llevandola a la (3.55)

i(t)− Cd(−Ri(t)− Ldi(t)

dt

)

dt= 0

i(t) +RCdi(t)

dt+ LC

d2i(t)

dt2= 0

d2i(t)

dt2+

R

L

di(t)

dt+

1

LCi(t) = 0 (3.57)

Solucion a una ODE homogenea de segundo orden

La respuesta que se obtiene de circuitos como el anterior, al igual quapara los circuitos de primer orden, se la llama respuesta natural, porque esuna respuesta que depende exclusivamente de la naturaleza del sistema yexiste incluso sin la presencia de fuentes forzantes. La respuesta natural deun sistema de segundo orden viene dada entonces por una ODE homogeneade segundo orden, cuya solucion puede encontrarse como sigue.

Sea la ODE

a2dt2x(t)

dt2+ a1

dx(t)

dt+ a0x(t) = 0

d2x(t)

dt2+ p

dx(t)

dt+ qx(t) = 0 (3.58)

se propone como solucion la funcion exponencial, esta funcion tiene la par-ticularidad de relacionar la primitiva con sus n derivadas y es por ende lasolucion por excelencia de una Ec. Dif.


xn(t) = Aest

con sus derivadas

dxn(t)

dt= As est

d2xn(t)

dt2= As2 est

donde A y s son constantes a determinar. Reemplazando la solucion pro-puesta y sus derivadas en la (3.58) queda

As2 est + pA s est + q A est = 0

Aest(s2 + p s+ q

)= 0

es decir que para que la funcion propuesta sea solucion, este producto debeser cero para cualquier t, y como Aest es la solucion propuesta y no puedeser cero para todo t, entonces

s2 + p s+ q = 0 (3.59)

lo que se conoce como ecuacion caracterıstica. Esta ecuacion es en la va-riable s, que es el exponente de la solucion propuesta. Entonces la solucionpropuesta sera solucion de la (3.58) si y solo si el exponente s es raız de laecuacion caracterıstica (ec. 3.59)

s1 =−p2

+

√(p2

)2− q ; s2 =

−p2−√(p

2

)2− q

(3.60)

Normalmente suelen denotarse como

s1 = −α+√α2 − ω2

0 ; s2 = −α−√α2 − ω2

0

donde α se llama coeficiente de amortiguamiento y ω0 frecuencia resonante.La solucion completa de (3.58) sera

xn(t) = A1 es1t +A2 e

s2t (3.61)

Es decir que la respuesta natural dependera de las raıces de la ecuacioncaracterıstica, y sera distinta segun las raıces sean a) reales y distintas, b)reales e iguales o c) complejas conjugadas. Analizaremos a continuacion cadauno de los casos.


Raıces reales y distintas

Si las raıces s1 y s2 son raıces reales y distintas, es decir que

s1 = −α+√α2 − ω2

0

s2 = −α−√α2 − ω2

0

con α2 > ω20, entonces la respuesta completa de la Ec. Dif. homogenea viene

dada por

xn(t) = A1 es1t +A2 e

s2t (3.62)

que es la respuesta natural del sistema y tendra la forma de la fig. 3.20a.Esta respuesta se la llama respuesta sobreamortiguada, las raıces s1 y s2reciben el nombre de frecuencias naturales del sistema y sus inversas son lasconstantes de tiempo 1

s1y 1

s2.

t

xn(t)

(a) Respuesta sobreamortiguada

t

xn(t)

(b) Respuesta crıticamente amorti-guada

t

xn(t)

(c) Respuesta subamortiguada u os-cilatoria

Raıces reales e iguales

Si las raıces s1 y s2 de la ecuacion caracterıstica son raıces reales e iguales,es decir que

s1 = s2 = −α = −p

2(3.63)

esto ocurre cuando α2 = ω20, entonces

xn(t) = Aest (3.64)

y la respuesta natural queda ahora incompleta, ya que lo que antes erandos respuestas linealmente independientes (ec. 3.62), una exponencial conexponente s1 y otra con exponente s2, se transforman en una unica respuestaAest.


Como para que la respuesta de una Ec. Dif. de segundo orden este com-pleta se necesitan dos funciones respuestas linealmente independientes, sedebe buscar una segunda funcion linealmente independiente de la anterior(ec. 3.64) y sumarla a ella. Una forma de encontrar la nueva funcion eshaciendo que se cumpla el requisito de independencia lineal entre las res-puestas, es decir que se cumpla que

xn2(t)

xn1(t)= f(t) 6= cte

o bien

xn2(t) = f(t)xn1(t)

Para que la nueva respuesta propuesta xn2(t) sea tambien solucion delsistema, se debe reemplazar en la (ec. 3.58) y comprobar que satisface laigualdad, para esto se deriva sucesivamente la funcion propuesta dos vecesy se lleva a la ODE

xn2(t) = f(t)xn1(t) = f(t)Aest (3.65)

xn2(t) = f(t)Aest + f(t)As est

xn2(t) =(f(t) + f(t) s+ f(t) s+ f(t) s2

)Aest

reemplazando y sacando factor comun Aest se obtiene

Aest[f(t) + 2 f(t) s+ f(t) s2 +

+p(f(t) + f(t) s

)+ q f(t)

]= 0 (3.66)

igual que en el caso de raıces reales y distintas esta igualdad se debe satisfacerpara todo t, y como Aest no puede ser cero para todo t por ser la funcionpropuesta, debe ser cero entonces lo que queda entre corchetes

f(t) + 2 f(t) s+ f(t) s2 + p(f(t) + f(t) s

)+ q (f(t)) = 0 (3.67)

Agrupando en terminos de la f(t) y sus derivadas se tiene

f(t) + f(t) (2s+ p) + f(t)(s2 + p s+ q)

)= 0 (3.68)

como s es una raız de la ecuacion caracterıstica entonces s2+ p s+ q = 0, esdecir

f(t) + f(t) (2s+ p) = 0 (3.69)

ademas, segun la ec. 3.63, el coeficiente 2s + p es igual a cero por tratarsede raıces reales e iguales, finalmente

f(t) = 0 (3.70)


Una funcion cuya derivada segunda sea nula, debe tener como derivadaprimera una constante y debe ser por ende una funcion lineal. O sea f(t) =K1t+K2

Esto permite concluir diciendo que si se multiplica a la solucion xn1(t)por cualquier f(t) de la formaK1t+K2 se obtendra otra solucion linealmenteindependiente de la Ec. Dif. Entonces xn2(t) sera (ec. 3.65)

xn2(t) = (K1t+K2)Aest

xn2(t) = A1 est +A2 t e

st

pero la segunda solucion encontrada se compone de dos funciones linealmen-te independientes, es decir que esta es ya una solucion completa. Entonces

xn(t) = A1 est +A2 t e

st (3.71)

que es la solucion completa buscada. Este tipo de respuestas se llama res-

puesta crıticamente amortiguada y su forma se grafica en la fig. 3.20b.

Raıces complejas conjugadas

Si la ecuacion caracterısticas tiene raıces complejas conjugadas, es decirque α2 − ω2

0 < 0, entonces

s1 = −α+ jωn

s2 = −α− jωn

donde ωn =√ω20 − α2, que se conoce como frecuencia resonante amortigua-

da.Ahora las soluciones xn1(t) y xn2(t) formadas con los exponentes com-

plejos s1 y s2, son dos soluciones linealmente independientes pero complejas

xn(t) = A1 e(−α+jωn)t +A2 e

(−α−jωn)t

xn(t) = e−αt(A1 e

jωnt +A2 e−jωnt

)(3.72)

Utilizando la igualdad de Euler se puede poner la solucion en terminosde las funciones trigonometricas

xn(t) = e−αt ((A1 +A2) cos(ωnt) + j(A1 −A2) sen(ωnt))

Como las constantes A1 y A2 son constantes arbitrarias que deben serelegidas para complir con las condiciones iniciales del sistema, y como es-tas condiciones iniciales seran siempre valores reales, entonces las A1 y A2

deberan ser tales que sumadas den un numero real puro (A1 + A2 = B1) yrestadas un numero imaginario puro (A1 −A2 = −jB2), de tal forma que

xn(t) = e−αt (B1 cos(ωnt) + j (−jB2) sen(ωnt))

xn(t) = e−αt (B1 cos(ωnt) +B2 sen(ωnt))


es decir que del conjunto de funciones complejas representadas por (3.72)y que son solucion de la ODE homogenea de segundo orden solo tomamoslas que son reales puras, ya que nos interesa representar parametros fısicosreales.

A este tipo de respuesta se la llama respuesta submortiguada y es la queda el nombre a las dos anteriores. Se trata de una funcion trigonometricaque es atenuada por un exponencial e−αt, donde α se llama coeficiente deatenuacion y ωn es la frecuencia resonante amortiguada del sistema. Lagrafica de esta respuesta se puede ver en la fig. 3.20c.

3.9.2. Condicions iniciales

Un sistema de segundo orden tiene entonces dos condiciones iniciales quedeben ser satisfechas, una por cada elemento almacenador de energıa. Lasconstantes que acompanan a cada solucion natural deben ser establecidasde forma tal que la respuesta completa del sistema cumpla con estas doscondiciones iniciales. Es decir, debemos “particularizar” la respuesta.

Volviendo sobre el circuito RLC de la figura 3.19 y suponiendo por sim-plicidad que las raices del sistema son reales y distintas, la tension en elcapacitor dada por la ODE (3.56) sera

vC(t) = Aes1t +Bes2t (3.73)

en t = 0 la tension en el capacitor vale vC(0) = V0, pot lo tanto

vC(0) = A+B = V0 (3.74)

como la corriente por el inductor es nula, tambien lo sera la corriente por elcapacitor para t > 0, entonces

iL(0) = iC(0) = CdvC(t)

dt

∣∣∣∣t=0

= 0 (3.75)

= C (As1 +Bs2) = 0 (3.76)

y de las ecuaciones (3.74) y (3.76) se obtienen A y B para cumplir con ambascondiciones iniciales.

Si observamos la ecuacion (3.75) vemos que la segunda condicion inicialesta determinando la pendiente de la respuesta de tension en t = 0, es decirque en un sistema de segundo orden las condiciones iniciales establecen elvalor y la pendiente inicial de cada respuesta. En la figura 3.20 se pueden verdos graficas de la respuesta vC(t), ambas tienen un valor inicial vC(0) = V0

con V0 > 0 pero la primera es para iL(0) = 0 y la segunda iL(0) = I0 conI0 > 0.


t

vC(t)

V0 iL(0) = 0

t

vC(t)

V0 iL(0) = I0

Figura 3.20: Respuesta de tension en un sistema de segundo orden.

3.9.3. Solucion forzada

Para el caso de sistemas de segundo orden o mas no es posible encon-trar la solucion completa utilizando el metodo de Lagrange propuesto paralos sistemas de primer orden, por lo que la solucion forzada (o la solucionparticular de la inhomogenea) debe buscarse utilizando otros metodos.

Encontrar la solucion forzada implica: del punto de vista matematicoencontrar una funcion que satisfaga la ODE inhomogenea, y del punto devista electrico resolver el regimen permanente del sistema.

Existen varios metodos para resolver el regimen permanente de un siste-ma sin necesidad de resolver en forma directa la ODE, estos metodos varıansegun la forma de la excitacion6 y seran objeto de estudio en capıtulos pos-teriores.

Los metodos para encontrar la respuesta de la ODE inhomogenea pro-puestos por el analisis matematico son varios, de todos vamos a utilizar elmetodo de los coeficientes indeterminados por ser el que mas se ajusta a lasformas de excitacion comunmente utilizadas en electricidad.

El metodo de los coeficientes indeterminados consiste en proponer comosolucion la suma de la funcion excitacion y todas sus derivadas, multiplican-do cada una de ellas por un coeficiente constante a determinar. El metodose basa en el hecho de que existe un conjunto de funciones que no cambiansu forma al ser derivadas, es decir al ser introducidas en una ODE. Esteconjunto de funciones esta formado por las funciones de forma polinomica,exponencial, sinusoidal y producto de estos tipos 7.

6Por ejemplo el metodo fasorial para resolver el regimen permanente de circuitos exci-tados con senales sinusoidales, o el analisis del comportamiento de los elementos ante unaexcitacion continua.

7Notar que la funcion constante esta incluida en el conjunto como caso particular defuncion polinomica, es decir una funcion polinomica de grado cero.


3.9.4. Soluciones linealmente dependientes

Como caso particular debe tenerse en cuenta que la solucion propuestano sea linealmente dependiente de las respuestas naturales del sistema. Estopuede ocurrir cuando la excitacion es de tipo exponencial pura o un pro-ducto de una exponencial con una sinusoidal. Consideremos por ejemplo lasiguiente ODE

d2x(t)

dt2+ p

dx(t)

dt+ q x(t) = Kest (3.77)

si s es una frecuencia natural del sistema tal que s2+ p s+ q = 0, una de lasdos respuestas naturales sera de la forma

xn1(t) = A1est (3.78)

entonces no puede proponerse xf (t) = Aest como solucion forzada ya quees LD de xn1(t). Para evitar esto se propone como solucion forzada xf (t) =tAest, que llevada a (3.77)

(s2tAest − 2sAest

)+ p

(Aest − stAe−st

)+ q

(tAest

)= Kest

tA(s2 − ps+ q) +A(p− 2s) = K (3.79)

y como s es raız de la ecuacion caracterıstica, nos queda

A =K

p− 2s(3.80)

y la solucion propuesta

xf (t) = tK

p− 2sest (3.81)

es solucion de la ODE.En general, si s es raız de la ecuacion caracterıstica con multiplicidad r,

la solucion forzada propuesta toma la forma xf (t) = trAest.En forma similar, si la excitacion tiene la forma de una sinusoidal ate-

nuada

f(t) = e−αt (A cos(ωnt) +B sin(ωnt)) (3.82)

y −α ± jωn son raıces de la ecuacion caracterıstica, entonces la solucionforzada propuesta sera

xf (t) = tre−αt (M cos(ωnt) +N sin(ωnt)) (3.83)

con r la multiplicidad del par de raıces −α± jωn

En la tabla 3.1 se listan las posibles excitaciones con sus soluciones for-zadas a proponer. Observese que los casos en que s = 0 y s = ±jωn seanraıces de la ecuacion caracterıstica implican una resistencia equivalente nulaen el sistema (R = 0), estos casos particulares solo pueden darse en sistemasideales o sistemas no lineales.

3.10. SISTEMAS DE ORDEN N 79

Excitacion Solucion propuesta

f(t) = aptp + · · · a1t+ a0 xf (t) = tr (Apt

p + · · ·+A1t+A0)con r la multiplicidad de 0 como

raız de la ecuacion caracterıstica

f(t) = Ke−αt xf (t) = trAe−αt

con r la multiplicidad de −α como


f(t) = K1 cos(ωnt) +K2 sin(ωnt) xf (t) = tr (A1 cos(ωnt) +A2 sin(ωnt))con r la multiplicidad de ±jωn como


f(t) = (aptp + · · · a1t+ a0) e

−αt xf (t) = tr (Aptp + · · ·+A1t+A0) e

−αt

con r la multiplicidad de −α como


f(t) = e−αt (K1 cos(ωnt) +K2 sin(ωnt)) xf (t) = tre−αt (A1 cos(ωnt) +A2 sin(ωnt))con r la multiplicidad de −α± jωn como


Cuadro 3.1: Lista de soluciones propuestas para el metodo de los coeficientesindeterminados

3.10. Sistemas de orden n

Cuando el circuito contiene mas de dos elementos que almacenan energıala ecuacion de equilibrio sera una ecuacion diferencial de orden n, siendo n elnumero de elementos irreductibles almacenadores de energıa. La respuestanatural de este tipo de sistemas es una combinacion lineal de algunas de lasrespuestas halladas para los sistemas de segundo orden (pag. 70), segun seanlas raıces de la ecuacion caracterıstica. La solucion forzada se obtendra me-diante el metodo de los coeficientes indeterminados, tal como se hizo paralos sistemas de segundo orden (pag. 77)

3.10.1. Solucion natural

Segun las raıces de la ecuacion caracterıstica la respuesta natural delsistema sera construida de la siguiente manera:

Raıces reales: las raıces reales ai aportaran a la respuesta natural delsistema un conjunto de respuestas de la forma

R∑

i=1

M∑

j=1

Ai+jt(j−1)e−ait (3.84)

siendo M la multiplicidad de la raız i-esima y R el numero de raıcesdistintas. Si se trata de una raız simple, es decir de multiplicidad M =1 la respuesta aportada sera una exponencial pura.


Raıces complejas conjugadas: las raıces complejas conjugadas−αi±jωi

aportaran a la respuesta natural del sistema un conjunto de respuestasde la forma

C∑

i=1

M∑

j=1

t(j−1)e−αit (Bi+j cos(ωi) + Ci+j sin(ωi)) (3.85)

siendo M la multplicidad de la i-esima raız compleja y C el numerode pares de raıces complejas conjugadas distintas.

El numero de soluciones LI aportado por las raıces de la ecuacion carac-terıstica debe ser igual al orden de la ecuacion diferencial. Por ejemplo, paraun sistema de orden 5 con ecuacion caracterıstica

(s+ 2)3(s+ 5)(s+ 8) = 0 (3.86)

tendra como respuesta natural

xnatural(t) = A1e−2t +A2te

−2t +A3t2e−2t +A4e

−5t +A5e−8t (3.87)

.


Ejercitacion

1. Hallar y graficar la respuesta i(t) para t > 0 de la fig. 3.21. Demostraren cada caso, la validez del reemplazo de elementos por uno equiva-lente.

i(t)18V

t = 0 3Ω

2Ω

1H

5H 20H

Figura 3.21: Encontrar i(t)∀t > 0

2. Hallar y graficar la respuesta vC(t) para t > 0 de la fig. 3.22, si estuvoconectado a la fuente por un tiempo suficientemente grande como paraconsiderar extinguido el regimen transitorio.

vC(t)80V

t = 0

4KΩ

12KΩ 30Ω

200mH

0, 1F

Figura 3.22: Hallar vC(t)∀t > 0

3. Hallar la respuesta iL(t) del circuito de la fig. 3.23 si iL(0) = 3A

iL(t)80V

t = 0

10mH4Ω

4Ω

Figura 3.23: Hallar i(t) para t > 0

4. El capacitor de la fig. 3.24 tiene una carga inicial de q0 = 800×10−6Ccon la polaridad indicada. Hallar la respuesta completa de la tensiondel capacitor, y la evolucion de las cargas con el tiempo.

q080V i(t)

t = 0 t = 010Ω

4µF

Figura 3.24: Respuesta completa de la tension en el capacitor


40µ(t)Vi(t)

200Ω

120Ω 4H

6A25Ω

25V

Figura 3.25: Encontrar i(t) para t > 0

5. Encontrar i(t)∀t > 0 segun se indica en el circuito de la (fig. 3.25)

6. Utilizando capacitores, resistencias, una fuente de 12V , un pulsador yun comparador de tension como el de la fig. 3.26, disenar un tempori-zador para luz de pasillo de 10s de duracion. La salida del comparadores

vout =

12V si v1(t) > v2(t)0V si v1(t) < v2(t)

(3.88)

v1(t)

v2(t)vout

Figura 3.26: Temporizador para luz de pasillo

7. Encontrar la respuesta total del circuito de la fig. 3.27a aplicando elteorema de superposicion.

if (t) 2Ω 0,2H

iL(t)

(a)

if (t)

5A

0,2s0 t

(b)

Figura 3.27: (a) Circuito RL paralelo excitado por (b) una funcion pulso.

8. En el circuito de la figura 3.28 el capacitor C1 tiene una carga inicialQ1 = qC1

(0) = 300×10−6C segun la polaridad indicada. Si se cierra elinterruptor en t = 0, utilizando las referencias senaladas en el circuitose pide encontrar:

a. la corriente i(t)

b. las tensiones vC1(t), vR(t) y vC2

(t)

c. graficar las tres tensiones en un mismo sistema de ejes


C1

R

C2qC1(t)

t = 0

i(t)vC1

vR

vC2

C1 = 6µF

R = 20Ω

C2 = 3µF

Figura 3.28: Evolucion de la tension natural en un par de capacitores

9. En el circuito de la fig. 3.29a se conecta el capacitor a la fuente de20V en t = 0 (posicion 1), cuando la carga del capacitor llega a 15Vse cambia el interruptor conectando la fuente de 10V (posicion 2).Siendo la respuesta de la tension del capacitor vC(t) la del grafico dela fig. 3.29b, calcular el tiempo t = t′ del cambio de interruptor, y laresistencia Rx del circuito.

10V 20V500µF

vC(t)

1,6KΩ Rx12

(a)

10

20

2 4 6 8 10

t = t′t[s]

vC(t)[V ]

(b)

Figura 3.29: Calcular el tiempo t = t′ en el que conmuta el circuito

10. Hallar para t > 0 la i(t) mostrada en la fig. 3.30

i(t)40V t = 0 4Ω

5Ω

1H1A

0, 5F

Figura 3.30: Encontrar i(t) para t > 0

11. Encontrar y graficar la tension y corriente en la resistencia de cargadel circuito de la fig. 3.31 para todo t > 0.

12. En el circuito de la figura 3.32, encontrar y graficar la corriente iL(t)para todo t > 0

13. Seleccione un valor de L tal que el voltaje del solenoide supere los20V , y la magnitud de la corriente del inductor este por encima de


18V

i(t)

10µFvcarga(t)

80Ω

100Ω

t = 0

Figura 3.31: Encontrar y graficar la tension y corriente en R

30V

10Ω

10Ω2H

iL(t)

t = 0

Figura 3.32: Respuesta completa de corriente en RL serie

los 500mA durante los primeros 25ms. Calcular ademas la energıaalmacenada en la bobina en el momento que se abre el interruptor(fig. 3.33)

60V

t = 0

10Ω

15Ω

L vL(t)

10Ω

Figura 3.33: Calcular el valor de L

14. Del circuito de la figura 3.34 determinar para t = 0+ los valores vC(0+),

vL(0+), iC(0

+) e iL(0+) segun las referencias que se indican en el

circuito. En t = 0 el angulo de fase de la alimentacion es θ = 60.

150 cos(200t+ θ)

t = 0

vR

vL

vCiL iC

R = 22Ω

C = 0, 1µF

L = 100mH

Figura 3.34: Hallar los valores iniciales de tension y corriente

15. El circuito de la fig. 3.35 se conecta en t = 0, encontrar la respuestavC(t) para t > 0


iin

t = 0

vR(t)vC(t)

iin = 10 sen(2π50 t)

C = 10000µF

R = 20Ω

Figura 3.35: Encontrar vC(t) para t > 0

16. En un circuito como el de la figura 3.36 con dos elementos que alma-cenan energıa, se conoce como resistencia crıtica Rc al valor resistivopara el cual la respuesta del circuito es crıticamente amortiguada. En-contrar dicho valor crıtico de resistencia para que vC(t) en el siguientecircuito sea crıticamente amortiguada.

V

t = 0

Rc

CL1

L2

vC(t)

Datos

C = 2000µF

L1 = 18mH

L2 = 32mH

Figura 3.36: Resistencia crıtica

17. Encontrar la respuesta completa de tension de cada componente delcircuito de la fig. 3.37. En t = 0 el angulo de fase de la alimentaciones θ = 30.

150 cos(200t+ θ)

t = 0

vRLvRC

vL vCiL iC

RL = 22Ω

RC = 22Ω

C = 0, 1µF

L = 100mH

Figura 3.37: Encontrar las tensiones de cada elemento para t > 0

18. Hallar, utilizando el metodo de superposicion, la corriente iL(t) y latension vC(t) de la figura 3.38 para t > 0.

iL(t)

12V

t = 0

24Ω 15Ω100mH

65 sen(100t)vC(t)500µF

Figura 3.38: Encontrar iL(t) y vC(t) para t > 0


19. Determinar la tension del capacitor de la fig. 3.39 para t > 0 si al abrirel interruptor en t = 0 el angulo de fase de la alimentacion es θ = 60.

150 cos(200t+ θ)

iL iC

t = 0

vC

22Ω 0,1µF

100mH

Figura 3.39: Hallar la tension del capacitor

20. Encontrar la respuesta completa de tension en el capacitor y corrienteen el inductor para t > 0 del circuito de la figura 3.40. Indicar el tipode amortiguamiento del sistema y graficar las respuestas obtenidas.Realizar un analisis detallado del metodo de resolucion.

2Ω

1H

0,1F

i(t)

10V

t = 0

Figura 3.40: Calculo de la respuesta natural

21. Determinar la tension del capacitor vC(t) y la corriente i(t) del circuitode la figura 3.41 para todo t > 0 si el interruptor se conecta a laposiscion 1 en t = 0 y se pasa a la posicion 2 en t = 1s

60 e−2t i(t)

1

2 vC(t)

100Ω25Ω

1mF

Figura 3.41: Circuito RC con fuente exponencial

22. Se encuentra que las ecuaciones de equilibrio de un circuito de 2 ordenson

v(t) + 8i(t) + 2di(t)

dt= 0 ; i(t) =

1

6

dv(t)

dt

de donde la respuesta general de corriente es i(t) = Ae−t +B e−3t. Sii(0) = 1A y v(0) = 10V , hallar las constantes A y B.


23. Encontrar la corriente iL(t) y la tension vC(t) del circuito de la fig.3.42 para todo t > 0 segun las referencias.

16Ω

2H

130F10e−2tu(t)

iL(t)

vC(t)

Figura 3.42: Circuito RLC con fuente de corriente

24. Calcular vC(t) para t > 0 segun la referencia indicada en el circuito dela fig. 3.43

t = 0

t = 0

25Ω

1H

50mFvC(t)

50V

100V

Figura 3.43: Circuito RLC con excitacion constante

25. Encontrar la respuesta completa de la tension vC(t) para t > 0 delcircuito de la fig. 3.44 operando en el dominio del tiempo

t = 0 5000Ω

200H 10µF vC(t)10 cos(10t)

Figura 3.44: Circuito RLC excitado con senal sinusoidal

26. En el circuito de la fig. 3.45 encontrar y graficar la corriente iL(t) paratodo t > 0

27. Encontrar la respuesta iL(t) para t > 0 segun las referencias de la fig.3.46


30V 10Ω10Ω

2H

iL(t) t = 0

Figura 3.45: Regimen transitorio en RL serie

10 cos(100t) 15e

−75t15Ω200mHiL(t)

t = 0 t = 0

Figura 3.46: Regimen transitorio en RL paralelo

28. Para el circuito de la figura 3.47 encontrar vo(t) para t > 0. Resolveren el dominio del tiempo.

10u(t)

10 sen(100t)

vo(t)

1KΩ

100Ω

2H

1mF

t = 0

Figura 3.47: Regimen transitorio en RLC

29. Calcular la tension del capacitor del circuito de la figura 3.48 en eldominio del tiempo aplicando superposicion.

E√2V sen(ωt)

vc(t)

RL

RC

L

C

t = 0

Figura 3.48: Respuesta completa por superposicion

30. Para el circuito de la figura 3.49 se pide:


Encontrar la corriente iL(t) para t > 0

Calcular el valor eficaz del regimen permanente de esta corriente

90 sen(100t)V 3A

1Ω

18Ω

0,2H

t = 0

iL(t)

Figura 3.49: Corriente en el inductor

31. En el circuito de la figura 3.50 se pide:

a. calcular la tension del capacitor vC(t) para t > 0.

b. deducir del circuito cual es el valor de la tension del capacitorvc(t) para t = 0 y para t → ∞, verificando que se cumple conestos valores en la expresion de vC(t) obtenida antes.

100Ω 200Ωt = 0

10V

20u(t)

vC(t)10µF 100mH

Figura 3.50: Circuito con respuesta transitoria


a. calcular la tension del capacitor vC(t) para t > 0.

b. deducir del circuito cual es el valor de la tension del capacitorvc(t) para t = 0 y para t → ∞, verificando que se cumple conestos valores en la expresion de vC(t) obtenida antes.

33. En el circuito de la figura 3.52 se pide encontrar la corriente por elinductor aplicando superposicion.


100Ω 200Ωt = 0

60√2 cos(ωt+ 10)

20u(t)

vC(t)10µF 100mH

Figura 3.51: Circuito con respuesta transitoria

10Ω

20Ω 20Ω

20Ω

10

40√2 cos(10t)u(t)2u(t)

iL(t)1H

Figura 3.52: Circuito RL con condiciones iniciales.

Soluciones

Ejercicio 1 Planteo y Resolucion numerica

Aplicando LKV en la malla que circula i(t) para t > 0

(2Ω)i(t) + (3Ω)i(t) + (1H)di(t)

dt+ vP (t) = 0 (3.89)

donde vP (t) es la tension de los inductores en paralelo. Para encontraresta tension llamemos ia(t) e ib(t) a las corrientes que atraviesan losinductores de 5H y 20H respectivamente. Entonces, en el nudo secumple que

i(t) = ia(t) + ib(t)

i(t) =1

5H

∫vP (t)dt+

1

20H

∫vP (t)dt =

(1

5H+

1

20H

)∫vP (t)dt

(1

15H + 1

20H

)i(t) =

∫vP (t)dt

(1

15H + 1

20H

)di(t)

dt= vP (t)


y se obtiene la tension vP (t) para reemplazar en la ec. 3.89

(2Ω)i(t) + (3Ω)i(t) + (1H)di(t)

dt+

(1

15H + 1

20H

)di(t)

dt= 0 (3.90)

Agrupando terminos en (3.90) se ve que la malla puede ser reemplazadapor dos elementos equivalentes, uno resistivo de valor

Req = 2Ω + 3Ω

y uno inductivo de valor

Leq = 1H +1

15H + 1

20H

es decir, la ec. 3.90 puede escribirse como

(5Ω)i(t) + (5H)di(t)

dt= 0

Ası tenemos finalmente la Ec.Dif. a resolver. Esta Ec.Dif. homgenea,de primer orden y coeficientes constantes tiene como solucion generaluna funcion exponencial de forma

i(t) = i(0)e−Req

Leqt

en este caso conReq

Leq= 1

i(t) = i(0)e−t

i(0) es el valor de la corriente al momento de abrir el interruptor, estaconstante se conoce con el nombre de valor inicial.

Para particularizar esta respuesta se debe encontrar este valor inicial.Para esto se aplica la condicion de continuidad de corriente en el in-ductor, por la cual se puede decir que la corriente que circula por lamalla un infinitesimo de tiempo despues de abierto el interruptor esigual a la corriente que circulaba un infinitesimo de tiempo antes

i(0−) = i(0+)

Para conocer la corriente que circulaba antes de que se abra el inte-rruptor se debe observar el circuito en t = 0−. En ese tiempo los in-ductores estaban totalmente cargados pues se encontraban conectadosa la fuente un tiempo suficientemente largo. Por lo tanto la corriente


que provoca la fuente de 18V solo se ve limitada por los resistores.Entonces

i(0−) =18

3= 6A

y finalmente la corriente i(t) ∀t > 0 es

i(t) = 6e−t

cuya grafica puede verse en la fig. 3.53.

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

i(0)

t[s]

i(t)[A]

Figura 3.53: Corriente total del ejercicio 1.

Ejercicio 8 Planteo

Teniendo en cuenta las referencias elegidas para tensiones y corriente,se plantea la LKV obteniendose

vC1(t) + vR(t) + vC2

(t) = 0 (3.91)

por ser todas caıdas de tension. Las tensiones en cada capacitor puedeexpresarse tambien en terminos de la corriente de malla i(t), puesto


que

vC1=

1

C1

∫i(t)dt

vC2=

1

C2

∫i(t)dt

llevando a (3.91) y poniendo la tension en R tambien en funcion dei(t) queda

1

C1

∫i(t)dt+R i(t) +

1

C2

∫i(t)dt = 0 (3.92)

La (3.92) es una ecuacion integro-diferencial, que para resolverla sedebe derivar ambos miembros respecto a t

1

C1i(t) +R

di(t)

dt+

1

C2i(t) = 0

di(t)

dt+

1

R

(1

C1+

1

C2

)i(t) = 0 (3.93)

el factor 1C1

+ 1C2

se puede reemplazar por un unico factor 1C

donde

1

C=

1

C1+

1

C2(3.94)

entonces (3.93) queda

di(t)

dt+

i(t)

RC= 0 (3.95)

Esta ecuacion diferencial se puede resolver separando variables. Multi-plicando ambos miembros de (3.95) por dt, dividiendo por i(t) y luegodespejando

dt

i(t)

(di(t)

dt+

i(t)

RC

)= 0

di(t)

i(t)+

i(t)

RCdt = 0

di(t)

i(t)= − 1

RCdt

integrando ambos miembros∫

1

i(t)di(t) = −

∫1

RCdt

ln i(t) +Ka = − 1

RCt+Kb

ln i(t) = − 1

RCt+Kc (3.96)


donde la constante Kc = Kb −Ka agrupa ambas constantes de inte-gracion. La (3.96), por definicion de logaritmo, puede ponerse

i(t) = e−1

RCt+Kc = e−

1RC

teKc

i(t) = e−1

RCtK0 (3.97)

Esta es la solucion general de la respuesta i(t) buscada, como se ve esindependiente de las cargas iniciales de los capacitores. La constanteK0 permite particularizar la respuesta a cada caso, puesto que en t = 0se ve que i(0) = K0.

En este caso particular, analizando en t = 0 la (3.91)

vC1(0) + vR(0) + vC2

(0) = 0

como vC2(0) = 0, entonces la corriente inicial sera

vC1(0) = −vR(0) = −i(0)R

i(0) =−vC1

(0)

R

La tension inicial en el capacitor C1 esta dada por su carga inicial,vC1

(0) = −Q1

C1. El signo negativo se debe a que la polaridad de la carga

inicial es opuesta a la referencia de tension vC1. Entonces

i(0) =−(−Q1

C1

)

R

i(0) =Q1

RC1

que es la constante K0 para este caso particular. Reemplazando final-mente en (3.97) se obtiene la i(t) particular buscada

i(t) = i(0) e−1

RCt

i(t) =Q1

RC1e−

1RC

t

Las caıdas de tension en cada elemento pueden obtenerse de (3.91),donde

vC1(t) =

1

C1

∫Q1

RC1e−

1RC

t dt

vC1(t) =

1

C1

(−RC

Q1

RC1e−

1RC

t

)+K1 (3.98)


y

vC2(t) =

1

C2

∫Q1

RC1e−

1RC

t dt

vC2(t) =

1

C2

(−RC

Q1

RC1e−

1RC

t

)+K2 (3.99)

Para encontrar K1 y K2 se hace t = 0, donde vC1(0) = −Q1

C1y vC2

= 0

vC1(0) =

1

C1

(−Q1C

C1

)+K1 =

−Q1

C1

K1 =1

C1

(Q1C

C1

)− Q1

C1(3.100)

vC2(0) =

1

C2

(−Q1C

C1

)+K2 = 0

K2 =1

C2

(Q1C

C1

)(3.101)

Por ultimo, la caıda de tension en R es

vR(t) = R i(t) =Q1

C1e−

1RC

t (3.102)

Resolucion numerica

Recordando que 1C= 1

C1+ 1

C2se calcula primero el τ del sistema

τ = RC = 206× 10−6 3× 10−6

6× 10−6 + 3× 10−6= 40× 10−6

Reemplazando ahora en (3.98) por los datos numericos

i(t) =300× 10−6j

20 · 6× 10−6e−2,5×104t

i(t) = 2,5 e−2,5×104t (3.103)

Luego las constantes K1 y K2 de las tensiones (ecuaciones (3.100) y(3.101))

K1 =1

6× 10−6

(300× 10−6 · 2× 10−6

6× 10−6

)− 300× 10−6j

6× 10−6

K1 = −33,333

K2 =1

3× 10−6

(300× 10−6 · 2× 10−6

6× 10−6

)

K2 = 33,333


con estas constantes se obtienen las caıdas de tension vC1y vC2

(ecua-ciones (3.98) y (3.99))

vC1(t) =

1

6× 10−6

(−40× 10−6 300× 10−6

20 · 6× 10−6e−2,5×104t

)− 33,333

vC1(t) = −16,667 e−2,5×104t − 33,333 (3.104)

vC2(t) =

1

3× 10−6

(−40× 10−6 300× 10−6

20 · 6× 10−6e−2,5×104t

)+ 16, 667

vC2(t) = −33,333 e−2,5×104t + 33,333 (3.105)

y finalmente la caıda en R (ecuacion (3.102))

vR(t) =300× 10−6

6× 10−6e−2,5×104t

vR(t) = 50 e−2,5×104t (3.106)

En la fig. 3.54 se grafican las tres tensiones dadas por (3.104), (3.105)y (3.106) y la corriente (3.103)

20

40

-20

-40

10 20

vC1(t)

vC2(t)

vR(t)

i(t)

t[ms]

v(t)[V ]

Figura 3.54: Caıdas de tension en cada elemento y corriente total del ejercicio 8.

Ejercicio 16 Planteo

Para t > 0 la suma de las tensiones en la malla es

vC(t) + vL1(t) + vRc(t) + vL2

(t) = 0

vC(t) + L1di(t)

dt+Rc i(t) + L2

di(t)

dt= 0 (3.107)


la corriente en la malla i(t) con respecto a la tension en el capacitor es

i(t) = Cdvc(t)

dt(3.108)

de donde

di(t)

dt= C

d2vC(t)

dt2(3.109)

reemplazando la (3.108) y la (3.109) en (3.107) nos queda solo enfuncion de vC(t)

vC(t) + (L1 + L2)Cd2vC(t)

dt2+RcC

dvc(t)

dt= 0

d2vC(t)

dt2+

Rc

(L1 + L2)

dvc(t)

dt+

1

(L1 + L2)CvC(t) = 0

la ecuacion caracterıstica de esta ec. dif. es de la forma

s2 + p s+ q = 0 ⇒ s1−2 = −p

2±√p2 − 4 q

2

Para una respuesta criticamente amortiguada el discriminante de estaultima ecuacion debe ser cero, entonces debe ser

p2 = 4 q[

Rc

(L1 + L2)

]2= 4

1

(L1 + L2)C

R2c = 4

L1 + L2

C

Resolucion numerica

Reempalzando los valores de capacidad e inductancias segun los datos

R2c = 4

18× 10−3 + 32× 10−3

2× 10−3= 100

de donde finalmente

Rc = 10Ω



Para t > 0 la suma de las tensiones en la malla es

vL(t) + vR(t) = vC(t)

LdiL(t)

dt+R iL(t) = vC(t) (3.110)

la corriente por el capacitor iC(t) es igual −iL(t), entonces

iL(t) = −iC(t) = −CdvC(t)

dt(3.111)

llevando (3.111) a (3.110) nos queda

LCd2vC(t)

dt2+RC

dvC(t)

dt+ vC(t) = 0

d2vC(t)

dt2+

R

L

dvC(t)

dt+

1

LCvC(t) = 0 (3.112)

la ecuacion caracterıstica de esta ec. dif. es de la forma

s2 + p s+ q = 0 ⇒ s1−2 = −p

2±√

p2 − 4 q

2

con p = RL

y 1LC

.

Resolucion numerica

Reempalzando los valores de resistencia, capacidad e inductancias segunlos datos las raices de la ecuacion caracterıstica dan

s2 + 220s+ 100× 106 = 0

entonces

s1 = −110 + j9999,4

s2 = −110− j9999,4

la respuesta de (3.112) es subamortiguada y tiene la forma

vC(t) = e−110t (A cos(9999,4t) +B sin(9999,4t)) (3.113)

Para encontrar las constantes A y B se deben aplicar las condicionesiniciales del circutio. Al abrir el interruptor la tension de fuente vale

v(0) = 150 cos(60) = 75V


que es la tension inicial del capacitor, vC(0) = 75V . Llevado a 3.113nos da

vC(0) = 1(A+ 0) = 75V ⇒ A = 75V

Para calcular B se aplica la condicion inicial a la corriente iL(t), de3.114 tenemos

iL(t) = −C[−110e−110t (75 cos(9999,4t) +B sin(9999,4t))

+e−110t (−749955 sin(9999,4t) + 9999,4B cos(9999,4t))]

iL(t) = −Ce−110t [(9999,4B − 8250) cos(9999,4t)] + (−749955− 110B)

(3.114)

La corriente circulante por el inductor antes de abrir el interruptor sepuede encontrar por el metodo fasorial, ya que se trata de un sistemaalimentado por una senal sinusoidal en regimen permanente, entonces

IL =V

ZRL

=V

R+ jωL

IL =150/√2 6 60

22 + j20=

5,04√2

6 17,73 (3.115)

es decir que en t = 0 la corriente es

iL(0) = 5,04 cos(17,73) = 4,8A (3.116)

que llevado a (3.114) se encuentra B

iL(0) = −0,1× 10−6 (9999,4B − 8250) = 4,8A⇒ B = −4799,5(3.117)

Finalmente

vC(t) = e−110t (75 cos(9999,4t)− 4799,5 sin(9999,4t)) (3.118)

Ejercicio 33 Resolucion numerica

La corriente natural por el inductor es (pasivando todas las fuentes)

in(t) = Ae−Req

Lt = Ae−32t

donde Req = ((10 + 20)//20) + 20 = 32Ω.

Sea if1 la corriente forzada por el inductor que resulta de pasivar todaslas fuentes menos la de corriente

if1 = 2 · (10// (20 + 20//20)) (20//20)

(20 + 20//20) (20)=

1

4


Sea if2 la corriente forzada por el inductor que resulta de pasivar todaslas fuentes menos la fuente de tension de 10V

if2 = −10 20//20

(20 + 10 + 20//20) 20= −1

8

La corriente forzada por el inductor debido a la fuente cosenoidal vienedada por la solucion particular de la ODE no homogenea del circuitoen terminos de iL(t), es decir el regimen permantente de alterna en elinductor

if3 = 1,02 cos(10t− 17,4)

La respuesta general de corriente por el inductor sera entonces la sumade todas las forzadas mas la natural

iL(t) = in + if1 + if2 + if3

= Ae−32t + 0,25− 0,125 + 1,02 cos(10t− 17,4)

en t = 0 la unica corriente por L es debido a la fuente de 10V

iL(0) = −0,125 = A+ 0,25− 0,125 + cos(−17,4)⇒A = −1,204

La respuesta particular de corriente en el inductor es

iL = −1,204e−32t + 0,125 + cos(10t− 17,4) (3.119)

que se grafica en la figura 3.55

1

-110 20 30iL(0) = −0,125

t[s]

iL(t)[A]

Figura 3.55: Corriente total en el inductor, ecuacion (3.119).

Capıtulo 4

Transformada de Laplace

4.1. Transformada de Laplace

4.1.1. Definicion

La Transformada de Laplace es un operador lineal que transforma unafuncion f(t) de argumento real t (t ≥ 0) en una funcion F (s) de argumentocomplejo s definida como:

F (s) =

∫ ∞

0f(t) e−stdt (4.1)

donde s es una variable compleja de la forma s = σ + ω con σ > 0.1

Se lo representa usualmente con el sımbolo L, y se escribe

L[f ](s) = F (s)

La transformada de Laplace opera sobre un conjunto de funciones defi-nidas en el dominio del tiempo y las lleva a otro conjunto de funciones en eldominio de la frecuencia compleja, en el dominio de la pulsacion compleja

o simplemente en el dominio de la variable s. Esta transformacion aplicadasobre el modelo de un sistema permite encontrar la respuesta del sistemade forma mucho mas simple que en el dominio del tiempo, principalmentecuando el modelo del sistema incluye ecuaciones diferenciales, ya que estasse transforman en ecuaciones algebraicas en el dominio de s.

Luego a la respuesta encontrada en el dominio de s se aplica la trans-formacion inversa para obtener la respuesta en el dominio del tiempo. Estaoperacion se conoce como transformada inversa de Laplace o antitransfor-

madad de Laplace y se denota

L−1[F (s)](t) = f(t) (4.2)

1Esta restriccion define lo que se llama region de convergencia de la transformada deLaplace, que asegura la existencia de esta transformada para toda funcion f(t) sin singu-laridades en el semieje positivo, cuyo valor absoluto crece a lo sumo como un polinomioen t cuando t → +∞.

101

102 CAPITULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

L−1 es tambien un operador lineal definido como la inversa de (4.1), esteoperador se vera en detalle mas adelante (seccion 4.3).

Para encontrar la transformada de Laplace de una funcion se debe in-tegrar sobre t entre 0 e ∞ la funcion a transformar multiplicada por e−st,segun indica su definicion (4.1). Como la transformacion existe solo parat ≥ 0, para asegurar unicidad (ver mas adelante la definicion de unicidad,seccion 4.1.2) la funcion a transformar debe ser nula para t < 0. Si f(t) noes nula para t < 0 entonces se define g(t) = f(t)u(t) para poder aplicar latransformada.

Ejemplo 4.1 Sea la funcion f(t) = e−at u(t) , vamos a encontrar su funciontransformada F (s).

Aplicando la definicion (4.1) 2

F (s) = L[e−at u(t)](s) =

∫ ∞

0e−at e−st dt

=

∫ ∞

0e−(s+a)t dt

=−e−(s+a)t

(s+ a)

∣∣∣∞

0=−e−(s+a)∞

s+ a+

e−(s+a)0

s+ a

L[e−at u(t)](s) =1

s+ a(4.3)

No siempre es necesario calcular esta integral para encontrar nuevastransformadas. Haciendo uso de transformadas ya calculadas y de opera-ciones algebraicas se pueden encontrar nuevas transformadas. Por ejemplo:

Ejemplo 4.2 Encontrar la transformada de la funcion escalon f(t) = u(t)Digamos sin demostrar que para el operador L vale lo siguiente3

lımεL[fε] = L[lım

εfε] (4.4)

Entonces, si tomamos lımite al resultado del ejemplo anterior ec. (4.3)para a que tiende a cero

lıma→0L[e−at u(t)](s) = lım

a→0

1

s+ a

L[lıma→0

e−at u(t)](s) = L[u(t)] = 1

s(4.5)

que es la transformada de la funcion f(t) = u(t) (fig. 4.1).

2Notese que la transformada de Laplace de esta funcion esta bien definida, es decir laintegral converge, para todo s tal que su parte real sea estrıctamente mayor que −a.

3Notar que se esta tomando lımite de una funcion Lebesgue integrable, por lo tantolımε

∫

fdu =∫

lımε fdu.

4.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 103

1

t

u(t)

Figura 4.1: Funcion escalon f(t) = u(t)

4.1.2. Propiedades de la transformada

Algunas propiedades de la Transformada de Laplace son de gran utili-dad para encontrar transformadas de funciones compuestas o que de algunaforma se relacionan con funciones cuyas transformadas se conocen. Las masusadas de estas propiedades se describen a continuacion.

Unicidad

A una funcion f(t)u(t) le corresponde una unica funcion transformadaF (s) y una funcion F (s) es transformacion de una y solo una funcion f(t)u(t)

f(t)u(t)L−→ F (s) y F (s)

L−1

−→ f(t)u(t)

Otra forma de enunciar esta propiedad es: si f(t)u(t) tiene como transfor-mada a F (s), y g(t)u(t) tiene como transformada a la misma F (s), entoncesf(t)u(t) y g(t)u(t) son iguales.4 Esta propiedad es de gran importancia yaque permite formar los llamados pares de transformadas que se utilizan pa-ra realizar la operacion de antitransformacion, como se vera en detalle masadelante.

Linealidad

La transformada de la suma de funciones es igual a la suma de las trans-formadas de cada una de estas funciones

a1 f1(t) + a2 f2(t)→ a1 F1(s) + a2 F2(s)

donde F1(s) y F2(s) son las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) res-pectivamente.

4Para que la transformacion sea unica para todo t se debe asegurar que la funcion atransformar sea identicamente nula para t < 0, ya que si f = g ∀t ≥ 0 pero f 6= g ∀t < 0,sus transfromadas seran las mismas y no se cumple la unicidad.


Ejemplo 4.3 Encontrar la transformada de Laplace de la funcionAe−at u(t)

El calculo por integracion es

F (s) = L[Ae−atu(t)](s) =

∫ ∞

0Ae−ate−st dt

= A

∫ ∞

0e−(s+a)t dt

L[Ae−atu(t)](s) =A

s+ a(4.6)

ahora si en lugar de resolver la integral se aplica la propiedad de li-nealidad haciendo uso de la ec. (4.3) se tiene

L[Ae−atu(t)

]= AL

[e−atu(t)

]=

A

s+ a

que coincide con (4.6).

Ejemplo 4.4 Podemos hacer uso de la igualdad de Euler para encontrar latransformada del sen(ωt). Sabiendo que

sen(ωt) =1

2

(eωt − e−ωt

)

aplicando la propiedad de linealidad la transformada sera

L[sen(ωt)u(t)](s) = L[1

2

(eωt − e−ωt

)u(t)

]

=1

2

(L[eωtu(t)]− L[e−ωtu(t)]

)

=1

2

(1

s− ω− 1

s+ ω

)=

2ω

2 (s2 + ω2)

L[sen(ωt)u(t)](s) =ω

(s2 + ω2)(4.7)

Desplazamiento en t

Si una funcion f(t)u(t) se desplaza un tiempo t0 de forma que

f(t)u(t)→ f(t− t0)u(t− t0)

entonces su transformada5 sera:

L[f(t− t0)u(t− t0)](s) =

∫ ∞

t0

f(t− t0)e−st dt

5La transformada se define para t ≥ 0 por lo que la integracion se realiza entre 0 e ∞,si t se desplaza a t − t0 entonces la transformada queda definida para t − t0 ≥ 0, o bient ≥ t0 y la integracion debe realizarse entre t0 e ∞


para resolver esta integral hagamos un cambio de variable6 q = t − t0 demodo que dq = dt

=

∫ ∞

0f(q)e−s(q+t0) dq

=

∫ ∞

0f(q)e−sqe−st0 dq

= e−st0

∫ ∞

0f(q)e−sq dq

︸︷︷︸transf.de f sin desplazar

L[f(t− t0)u(t− t0)](s) = e−st0F (s) (4.8)

La transformada de una funcion f(t)u(t) desplazada en t0 es igual a latransformada F (s) de la funcion sin desplazar, multiplicada por e−st0 . Estapropiedad se conoce como teorema del desplazamiento en el dominio deltiempo.

A

t0 t

u(t− t0)

Figura 4.2: Funcion escalon desplazado f(t) = Au(t− t0)

Ejemplo 4.5 Una funcion escalon de amplitud A se inicia un tiempo t0 > 0(fig. 4.2). Calcular su transformada aplicando la propiedad del des-plazamiento en t .

Como sabemos (4.5), la transformada de un escalon es

L[Au(t)](s) = A

s

entonces, segun la propiedad anterior, la transformada del escalon quese inicia en t = t0 sera:

L[Au(t− t0)](s) = e−st0A

s

6Esto cambia nuevamente el lımite inferior de integracion puesto que ahora q = t− t0y como t− t0 ≥ 0 entonces q ≥ 0


Desplazamiento en s

Si una funcion f(t)u(t) es afectada por una exponencial e−at su trans-formada de Laplace sufre un desplazamiento en s.

L[e−atf(t)u(t)](s) =

∫ ∞

0e−atf(t)e−st dt

=

∫ ∞

0f(t)e−(s+a)t dt

haciendo un cambio de variable de forma que s + a = g, la integral tomala forma de la transformada pero en la variable g, o bien, en la variabledesplazada s+ a

=

∫ ∞

0f(t)e−(g)t dt = F (g)

L[e−atf(t)u(t)] = F (s+ a) (4.9)

El desplazamiento en frecuencia de una funcion transformada se produce almultiplicar la funcion por un exponencial en el dominio del tiempo. Estapropiedad se conoce como teorema del desplazamiento en la variable s.

Ejemplo 4.6 Si afectamos al escalon Au(t) por el exponencial e−at, segunla propiedad del desplazamiento en s la transformada de Au(t) severa desplazada en s+ a

F (s) =A

s→ F (s) = F (s+ a) =

A

s+ a

que es coincidente con la transformada L[e−atAu(t)](s) encontradaantes por integracion (4.6).

Derivacion

La transformada de una funcion y la transformada de sus sucesivas deri-vadas mantienen una relacion en el dominio de la variable s que hacen a latransformada de Laplace una herramienta muy potente en la resolucion deecuaciones diferenciales.Estas transformadas permiten incorporar las condi-ciones iniciales del problema en el dominio de s, lo que justifica el uso dela transformada unilaterar de Laplace en sistemas con almacenamiento deenergıa.

Sea la funcion f(t)u(t) y su transformada F (s), y sea g(t) = dfdt u(t),

entonces:

L[g(t)](s) = L[df

dt

]=

∫ ∞

0

df

dte−st dt

resolviendo la integral por partes∫ ∞

0u dv = uv

∣∣∞0−∫ ∞

0v du


con

u = e−st → du = −se−st

dv =df

dtdt → v = f(t)

la integral queda

L[g(t)](s) = f(t)e−st∣∣∞0−∫ ∞

0f(t)

(−se−st

)dt

= f(∞)e−∞s

︸︷︷︸=cero

−f(0)e−0s + s

∫ ∞

0f(t)e−st dt

︸︷︷︸transformada de f(t)

= −f(0) + sL [f(t)]

Como la variable s se definio con su parte real mayor que cero el terminof(∞)e−∞s sera siempre cero ya que por hipotesis f(t) crece mas lentamenteque la exponencial.

Finalmente nos queda

L[g(t)](s) = G(s) = sL [f(t)u(t)]− f(0)

la transformada de la derivada de una funcion es el producto de s por latransformada de la funcion, menos el valor inicial o condicion inicial de estafuncion f(t). Este valor inicial es el valor que toma la funcion original f(t)en t = 0.

L[df

dt

](s) = sF (s)− f(0) (4.10)

Ejemplo 4.7 Sabiendo que

F (s) = L [sen(ωt)u(t)] (s) = ω

(s2 + ω2)

encontrar la transformada del cos(ωt) aplicando la propiedad de de-rivacion.

Derivando respecto al tiempo t

d (sen(ωt))

dt= ω cos(ωt)

la transformada sera

L[d (sen(ωt))

dt

](s) = L[ω cos(ωt)] = sF (s)− f(0)

= sω

(s2 + ω2)− sen(ω0)

L [ω cos(ωt)] =sω

(s2 + ω2)


es decir que

L [cos(ωt)] (s) = s

(s2 + ω2)(4.11)

Observese en este caso que la condicion inicial del sen(ωt) es 0, peroesto no es siempre ası y se debe tener cuidado de no pasar por alto elvalor inicial de la funcion al calcular su derivada en el dominio de s.

Ejemplo 4.8 La funcion f(t) = e−at tiene como derivada en el tiempo ala funcion f ′(t) = −ae−at cuya F ′(s) es, aplicando la propiedad delinealidad de la transformada de Laplace,

− aF (s) =−as+ a

(4.12)

Resolviendo ahora a partir de la transformada de la derivada tenemos

L[f ′(t)

](s) = sF (s)− f(0)

como f(0) = e−a0 = 1,

L[f ′(t)

](s) = s

1

s+ a− 1

=s− (s+ a)

s+ a

L[f ′(t)

](s) =

−as+ a

que concuerda con la ec. (4.12).

Esta propiedad de la transformada de Laplace permite convertir unaecuacion diferencial (a0f(t) + a1f

′(t) + · · ·+ anfn(t) = g(t)) en una simple

ecuacion algebraica en s, lo que facilita enormemente su resolucion en eldominio de la frecuencia compleja.

Integracion

pendiente

4.2. Aplicacion a la resolucion de circuitos

Un circuito electrico con elementos que almacenan energıa tiene comorespuesta una ecuacion diferencial. El orden de esta Ec. Dif. depende decuantos elementos inductivos o capacitivos irreductibles tenga el circuito.Por medio de la transformada de Laplace vamos a obtener una ecuacionalgebraica en s que representa la Ec. Dif. en el dominio de la frecuencia.

La resolucion del circuito consiste por ahora en encontrar la funcion res-puesta en el domino de la frecuencia (mas adelante veremos como encontrar

4.2. APLICACION A LA RESOLUCION DE CIRCUITOS 109

vL

vR

vin(t) i(t)

Figura 4.3: Circuito serie RL

la funcion respuesta en el dominio del tiempo a partir de su funcion trans-formada).

Supongamos un circuito RL como el de la fig. 4.3 excitado con una fuentevin(t) que tiene una corriente inicial i(0)=I0. Se desea encontrar la funcionrespuesta I(s) = L [i(t)].

Aplicando la LKV y segun los signos de las tensiones tenemos

vin(t)− vR(t)− vL(t) = 0

de donde la Ec. Dif. en terminos de la respuesta sera

vin(t) = R i(t) + Ldi(t)

dt(4.13)

Para resolver transformemos esta ecuacion aplicando L a ambos miembros

L [vin(t)] = L[R i(t) + L

di(t)

dt

]

por la propiedad de linealidad

L [vin(t)] = RL [ i(t)] + LL[di(t)

dt

]

resolviendo por separado cada una de estas transformadas se obtiene

L [vin(t)] = Vin(s) (4.14)

L [R i(t)] = RI(s) (4.15)

L[Ldi(t)

dt

]= L (sI(s)− i(0)) (4.16)

entonces, la Ec. Dif. se transforma en la siguiente ecuacion algebraica en lavariable s

Vin(s) = RI(s) + sL I(s)− L i(0) (4.17)

reordenando terminos y reemplazando el valor inicial de la corriente en elinductor (i(0) = I0), despejamos I(s)

RI(s) + sLI(s) = Vin(s) + LI0

I(s) =Vin(s) + LI0

R+ sL(4.18)


que es la solucion buscada.

Si bien lo que tenemos hasta ahora es la transformada de la respuestai(t), sabemos por la propiedad de unicidad que esta transformada es unicay por lo tanto a partir de ella podremos encontrar una y solo una funcioni(t) que cumpla con

L[i(t)](s) = I(s) (4.19)

o bien, puesto en terminos de antitransformada

i(t) = L−1[I(s)] (4.20)

Ejemplo 4.9 En t = 0 se aplica al circuito RL serie de la fig. 4.4 unatension continua de 55V. Encontrar la transformada de la respuestai(t) ∀ t > 0.

300mH

470Ω

55u(t) i(t)

Figura 4.4: Circuito serie RL que se enciende en t = 0

Segun la LKV, la malla debe cumplir7

55u(t) = 470 i(t) + 300× 10−3 di(t)

dt

Aplicando la transformada a ambos miembros tenemos

L [55u(t)] = 470L[i(t)] + 300× 10−3 L[di(t)

dt

]

55

s= 470I(s) + 300× 10−3 (sI(s)− i(0)) (4.21)

la corriente inicial del circuito es i(0) = 0 en el inductor. DespejandoI(s) queda

I(s)(470 + 300× 10−3s) =55

s

I(s) =55

s

(1

470 + 300× 10−3s

)

I(s) =183, 33

s(s+ 1566, 66)(4.22)

7La funcion u(t) representa la aplicacion de la fuente en el tiempo t = 0.


Ejemplo 4.10 Si ahora queremos obtener la tension en el inductor debe-mos derivar la corriente i(t) en el tiempo y multiplicar por L. Peropodrıamos mas facilmente obtener la transformada de la tension en elinductor aplicando la propiedad de la derivacion. En efecto, sabiendoque

vL(t) = Ldi(t)

dt

la transformada sera

VL(s) = sLI(s)− Li(0)

como ya dijimos, el valor inicial de i(t) en este caso es nulo, entoncescon L = 300mH nos queda

VL(s) = sL I(s) = sL183, 33

s(s+ 1566, 66)

VL(s) =55

s+ 1566, 66(4.23)

4.2.1. Funcion de transferencia

En general se define como funcion de transferencia al cociente entre latransformada de la salida y la transformada de la entrada de un sistema contodas las condiciones iniciales iguales a cero.

H(s) =Y (s)

X(s)(4.24)

donde

Y (s) = L[y(t)]

es la transformada de la salida del sistema, y

X(s) = L[x(t)]

es la transformada de la entrada.

En terminos de circuitos electricos se denomina funcion de transferen-cia a la transformada de la respuesta sobre la transformada de la excita-cion, cuando todos los elementos inductivos y capacitivos del circuito estandesenergizados.

Si analizamos por ejemplo el circuito RL serie de la pagina 109, dondedefinimos la tension vin(t) como excitacion y la corriente i(t) como respuesta,la funcion de transferencia es

H(s) =I(s)

Vin(s)=

1

R+ sL(4.25)


Podemos cambiar el punto de vista de la entrada y salida de este cir-cuito, pensando al RL como una carga por la que circula una corriente i(t)provocando una caıda de tension en sus bornes vcarga = vin como respues-ta. En este caso la funcion de transferencia sera el cociente entre la Vin(s)(respuesta) y la I(s) (excitacion).

H(s) =Vin(s)

I(s)= R+ sL (4.26)

La funcion de transferencia definida como el cociente de las transforma-das de una tension sobre una corriente como la de la ec. (4.26) se la llamaimpedancia

Z(s) =V (s)

I(s)(4.27)

De esta forma se define la impedancia de cada uno de los elementos R,L y C, considerando la caıda de tension sobre cada uno de ellos.

Para la resistencia, la caıda de tension en el domino de s sera

VR(s) = RI(s)

y su impedancia (funcion de transferencia) R(s)

R(s) =VR(s)

I(s)= R (4.28)

que es la resistencia de s o de Laplace.

Para el inductor8

VL(s) = sLI(s)− Li(0)

entonces, su funcion de transferencia sera

L(s) =VL(s)

I(s)= sL (4.29)

que es la impedancia inductiva de s.

La relacion tension-corriente en un capacitor es

i(t) = CdvCdt

(4.30)

transformando ambos miembros

I(s) = C [sVC(s)− vC(0)]

8Recordar que la funcion de transferencia se define con condiciones iniciales iguales acero.


donde vC(0) es la tension inicial del capacitor, como para encontrar lafuncion de transferencia debemos hacer cero las condiciones inicialestendremos

C(s) =VC(s)

I(s)=

1

sC(4.31)

que es la impedancia capacitiva de s o de Laplace.

Como puede observarse en la ec. (4.26), la impedancia total de Laplace enun circuito serie es la suma de las impedancias de Laplace de cada elemento.

4.2.2. Circuito equivalente de Laplace

Si se toman en consideracion las condiciones iniciales y se suponen engeneral distintas de cero, se puede utilizar la representacion de las respuestasde cada elemento para construir lo que se conoce como circuito equivalente de

Laplace. Este circuito equivalente debe permitirnos obtener en forma directala ecuacion de la respuesta en la variable s, sin tener que plantear primerola Ec. Dif. y luego transformar para poder resolver.

Para encontrar un circuito equivalente serie RLC partimos de la suma-toria de las tensiones en el tiempo y luego transformamos

vin(t) = vR(t) + vL(t) + vC(t)

Vin(s) = VR(s) + VL(s) + VC(s)

como ya vimos, la transformada de las tensiones que caen en cada elementoson

VR(s) = RI(s); VL(s) = sLI(s)− Li(0); VC(s) =1

sC[I(s) + CvC(0)]

reemplazando

Vin(s) = RI(s) + [sLI(s)− Li(0)] +

[1

sCI(s) +

vC(0)

s

](4.32)

Analizando los diferentes terminos del segundo miembro de la ec. (4.32)vemos que en algunos aparece la I(s) multiplicada por la impedancia delelemento. Segun la definicion de impedancia vista antes, el producto dela transformada de la corriente por esta funcion de transferencia nos da latransformada de la tension a bornes del elemento. Es decir que R, sL y 1

sCse

comportan como cargas que al ser atravesadas por una corriente producenuna caıda de tension en el dominio de s. Esto es acorde a lo visto antescuando se encontro la funcion de transferencia de cada elemento.

Por otro lado aparecen las condiciones iniciales, tanto del inductor comodel capacitor, que no contienen el factor I(s), y como estamos sumandotransformadas de tensiones estos terminos deben ser tensiones en s. En el


LR

Cvin(t) i(t)

(a)

sLR

1sCVin(s) I(s)

Li(0)

vC(0)s

(b)

Figura 4.5: Circuito serie RLC (a), y su equivalente de Laplace(b)

circuito equivalente se los representa con generadores cuyo valor depende dela energıa inicial almacenada en cada elemento.

Finalmente, agrupando generadores en un miembro y terminos con elfactor I(s) en el otro, la ecuacion de circuito queda

Vin(s) + Li(0)− vC(0)

s= RI(s) + sLI(s) +

1

sCI(s)

Vin(s) + Li(0)− vC(0)

s=

(R+ sL+

1

sC

)I(s)

Vin(s) + Li(0)− vC(0)

s= Z(s)I(s)

Nuevamente, Z(s) es la impedancia de s o impedancia de Laplace, formadapor la suma de cada una de las impedancias de s del circuito.

Z(s) =

(R+ sL+

1

sC

)(4.33)

El circuito de la fig. 4.5b permite obtener en forma directa la ec. (4.32) quees lo que se buscaba. Observese como la polaridad de los generadores detension que representan las condiciones iniciales determinan el signo en laecuacion.

De igual forma, hagamos ahora el mismo analisis con un circuito RLCparalelo. Partiendo de la suma de las corrientes en el tiempo igual a lacorriente total y luego transformando tendremos

iin(t) = iR(t) + iL(t) + iC(t)

Iin(s) = IR(s) + IL(s) + IC(s)

reemplazando

IR(s) =Vin(s)

R

IL(s) =1

sL[Vin(s) + Li(0)]

IC(s) = C [sVin(s)− vC(0)]


la ecuacion de circuito queda

Iin(s) =Vin(s)

R+

1

sL[Vin(s) + Li(0)] + C [sVin(s)− vC(0)] (4.34)

Iin(s) = Vin(s)

(1

R+

1

sL+ sC

)+

i(0)

s− CvC(0)

Iin(s) = Vin(s)1

R+ Vin(s)

1

sL+

i(0)

s+ Vin(s) sC − CvC(0) (4.35)

Como estamos sumado corrientes, los terminos con el factor Vin(s) son lasadmitancias de Laplace y los demas son fuentes de corrientes que dependende los valores iniciales de energıa almacenada en inductores y capacitores.La ec. (4.35) puede obtenerse en forma directa del circuito de la fig. 4.6b

LR C

vin(t)

iin(t)

(a)

sLR 1sC

Vin(s)

Iin(s)i(0)s

CvC(0)

(b)

Figura 4.6: Circuito paralelo RLC (a), y su equivalente de Laplace (b) utilizandogeneradores de corriente para representar las condiciones iniciales

Agrupando cargas y fuentes tenemos

Iin(s)−i(0)

s+ CvC(0) = Vin(s)

(1

R+

1

sL+ sC

)(4.36)

Iin(s)−i(0)

s+ CvC(0) = Vin(s)

1

Z(s)

es decir que la impedancia total de s en un RLC paralelo es

1

Z(s)=

1

R+

1

sL+ sC

Z(s) =1

1R+ 1

sL+ sC

Si en lugar de representar las condiciones iniciales con generadores decorriente queremos representarlas por fuentes de tension como se hizo enel circuito equivalente serie podemos reescribir la ec. (4.34) de la siguienteforma

Iin(s) =Vin(s)

R+

1

sL[Vin(s) + Li(0)] + sC

[Vin(s)−

vC(0)

s

](4.37)

donde vemos que las condiciones iniciales son ahora tensiones que se sumano restan a la Vin(s) para dar la tension aplicada VL(s) y VC(s) a los elemen-tos sL y 1

sCrespectivamente, en el circuito de la fig. 4.7b se representa la

ec. (4.37).


Es decir que en el circuito equivalente paralelo de Laplace cada elementoalmacenador de energıa tendra asociado en serie al mismo, un generador detension igual al de cada elemento del circuito equivalente serie (fig. 4.5).

LR C

vin(t)

iin(t)

(a)

sLR

1sC

Vin(s)

Iin(s)

L i(0) vC(0)s

(b)

Figura 4.7: Circuito paralelo RLC (a), y su equivalente de Laplace (b) utilizandogeneradores de tension para representar las condiciones iniciales

Como regla general podemos decir que la representacion de cada ele-mento en el circuito equivalente de Laplace estara dada por su funcion detransferencia mas un generador de tension asociado al elemento que repre-sente su condicion inicial. Si recorremos la malla en el sentido de circulacionde la corriente, en un inductor este generador debe ser una subida de tensiony en un capacitor una caıda de tension.

4.2.3. Teorema del valor inicial

El teorema del valor inicial permite conocer el valor de inicio de la res-puesta en el dominio del tiempo, estando aun en el dominio de la variable s.Esto es util a la hora de comprobar si la respuesta encontrada cumple conlas condiciones iniciales exigidas por el sistema, sin necesidad de antitrans-formar para la verificacion.

Para encontrar la definicion del teorema partimos de la transformadade la derivada de una funcion f(t). Segun la (4.10) la transformada de laderivada de una funcion f(t) es

L[df(t)

dt

]=

∫ ∞

0

df(t)

dte−st dt = sF (s)− f(0)

si tomamos lımite a ambos miebros para s→∞ el primer miembro

lıms→∞

∫ ∞

0

df(t)

dte−st dt =

∫ ∞

0

df(t)

dtlıms→∞

e−st dt = 0

da cero, es decir que

lıms→∞

(sF (s)− f(0)) = 0

f(0) = lıms→∞

(sF (s))


Esta igualdad nos dice que el valor que se obtiene de tomar el lımite paras → ∞ de la transformada de la respuesta, es el valor que toma dicharespuesta9 en t = 0. Esto se conoce como teorema del valor inicial.

4.2.4. Teorema del valor final

Igualmente importante al valor inicial es el valor final que tomara larespuesta en el tiempo, este valor puede conocerse mediante el teorema del

valor final antes de pasar la respuesta al domino del tiempo.Si a la transformada de la derivada de una funcion le tomamos lımite

para s→ 0 tenemos

lıms→0

∫ ∞

0

df(t)

dte−st dt = lım

s→0(sF (s)− f(0))

∫ ∞

0

df(t)

dtlıms→0

e−st

︸︷︷︸=1

dt = lıms→0

(sF (s)− f(0))

f(t)∣∣∣∞

0= f(∞)− f(0) = lım

s→0(sF (s)− f(0))

f(∞) = lıms→0

(sF (s)) (4.38)

es decir que el valor que toma el lımite para s → 0 de la respuesta en eldomino de Laplace, es el valor que tomara en el dominio del tiempo parat =∞.

La ecuacion (4.38) se conoce como teorema del valor final. Este teoremaes aplicable solo si todos los polos de la funcion F (s) tienen parte realnegativa, menos uno que puede ser cero. La causa de esta restriccion es quesi una funcion en el domino de Laplace tiene polos con parte real positiva (ono negativa) la antitransformada de esta funcion tiene un comportamientooscilante o inestable en el tiempo, es decir que en t =∞ no tomara un valorreal finito. El analisis de estabilidad de los sistemas es materia de estudiode Teorıa de los circuitos II.

Ejemplo 4.11 Encontrar el valor que toma la funcion sen(ωt) para t→∞aplicando el teorema del valor final a su transformada.

La transformada del sen(ωt) es, segun la ec. (4.7)

L[sen(ωt)u(t)] = ω

(s2 + ω2)=

ω

(s+ jω)(s− jω)

pero los dos polos de esta funcion tienen parte real igual a cero

Re +jω = 0

Re −jω = 0

9Siempre que f(t) sea continua en t = 0


entonces si le aplicamos el TVF (Teorema del Valor Final) a esta fun-cion obtendremos un resultado erroneo, en efecto

lıms→0

sF (s) = lıms→0

sω

(s2 + ω2)= 0 (4.39)

nos dice que sen(ω∞) = 0, lo cual no es verdadero porque el valor quetoma la funcion senoidal en el infinito esta indefinido (entre 1 y −1).

sen(ωt)∣∣∣t→∞

= indefinido 6= 0

4.3. Antitransformada o transformada inversa deLaplace

La aplicacion de la transformada de Laplace en la resolucion de ecua-ciones diferenciales (o de sistemas cuyas respuestas se expresen medianteecuaciones diferenciales) se completa cuando luego de obtenida la respues-ta en el dominio de la variable s se obtiene la respuesta en el domino deltiempo. Esto es posible gracias a la propiedad de unicidad que tiene es-ta transformacion, la cual nos asegura que existe una unica funcion en eltiempo cuya transformada coincide con nuestra respuesta en el dominio des.

La operacion que lleva F (s) a f(t) se llama antitransformada o trans-

formada inversa de Laplace y se define como10

f(t) = L−1 [F (s)] =1

2jπ

∫ j∞

−j∞F (s) est ds (4.40)

pero como esta integral es en general de difıcil resolucion, la transformadainversa de una funcion F (s) se encuentra siempre buscando una funcionf(t) candidata, cuya transformada sea F (s). Para facilitar la busqueda deesa funcion f(t) se puede descomponer la funcion original F (s) en una sumade funciones mas sencillas y luego aplicar la propiedad de linealidad. Esdecir

f(t) = L−1 [F (s)]

f1(t) + f2(t) + f3(t) = L−1 [F1(s) + F2(s) + F3(s)]

donde F (s) = F1(s)+F2(s)+F3(s) y f(t) = f1(t)+f2(t)+f3(t). Estas funcio-nes sencillas F1(s), F2(s), F3(s) deben ser ademas conocidas transformadasde modo tal que puedan asociarse facilmente a sus funciones correspondien-tes en el tiempo.

10Siempre que F (s) no tenga singularidades con parte real positiva, si las tiene debeelegirse un camino de integracion tal que contenga tambien estas singularidades con partereal positiva, pero no son casos que se encuentren en los sistemas que aquı se tratan

4.3. ANTITRANSFORMADAOTRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE119

4.3.1. Desarrollo en fracciones parciales

Una funcion en el dominio de la variable s que satisface

lıms→∞

F (s) = 0 (4.41)

si se escribe como F (s) = P (s)Q(s) , entonces se puede asegurar que el grado de

P (s) es siempre menor al de Q(s).El metodo de expansion en fracciones simples permite expandir un co-

ciente de polinomios en una suma de fracciones con una constante a deter-minar como numerador y una raız del polinomio Q(s) como denominador.Las fracciones simples propuestas dependen del tipo de raices de Q(s).

Raices simples. Sea Q(s) = (s + α1)(s + α2) · · · (s + αn) entonces F (s)puede escribirse

F (s) =P (s)

Q(s)=

A1

(s+ α1)+

A2

(s+ α2)+ · · ·+ An

(s+ αn)

Para encontrar las constantes se multiplica ambos miembros por laraız denominador y se toma lımite para s que tiende a dicha raız. Porejemplo

lıms→−α1

[(s+ α1)

P (s)

Q(s)

]= lım

s→−α1

[A1 + (s+ α1)

A2

(s+ α2)+ · · ·+ (s+ α1)

An

(s+ αn)

]

lıms→−α1

[(s+ α1)

P (s)

Q(s)

]= A1

En general, cualquier constante i -esima puede ser calculada

Ai = lıms→−αi

[(s+ αi)

P (s)

Q(s)

](4.42)

y la funcion f(t) sera

f(t) =n∑

i=1

Aie−αit (4.43)

Raices multiples. Sea Q(s) = (s+ α)n, entonces F (s) puede escribirse

F (s) =P (s)

Q(s)=

A1

(s+ α)+

A2

(s+ α)2+ · · ·+ An

(s+ α)n

Para encontrar la constante An se multiplica ambos miembros por eldenominador de F (s) y se toma lımite para s→ −α

lıms→−α

[(s+ α)n

P (s)

Q(s)

]= lım

s→−α

[A1(s+ α)n−1 +A2(s+ α)n−2 + · · ·+An−1(s+ α) +An

]

lıms→−α

[(s+ α)n

P (s)

Q(s)

]= An


Ahora para hallar An−1 se toma la derivada respecto a s de (s+α)n P (s)Q(s)

y luego nuevamente lımite para s→ −α

lıms→−α

[d

ds

((s+ α)n

P (s)

Q(s)

)]= lım

s→−α

[(n− 1)A1(s+ α)n−2 + (n− 2)A2(s+ α)n−3 + · · ·+

lıms→−α

[d

ds

((s+ α)n

P (s)

Q(s)

)]= An−1

En general, para encontrar la constante An−j se toma el lımite de

la derivada j -esima de (s + α)n P (s)Q(s) para s → −α y se divide por el

factorial de j

An−j = lıms→−α

[1

j!

d(j)

ds

((s+ α)n

P (s)

Q(s)

)]

y la funcion f(t) sera

f(t) =n∑

i=1

Ai ti−1e−αt (4.44)

Raices complejas. Si bien las raices complejas pueden ser calculadas segunsean simples o multiples como se vio en los puntos anteriores, es po-sible simplificar las operaciones de antitransformacion si se observa losiguiente:

Sea Q(s) = s2 + ps + q, con raices complejas conjugadas (s1−2 =−α± jω) entonces la expansion en fracciones simples sera

F (s) =P (s)

Q(s)=

A

(s+ α+ jω)+

A∗

(s+ α− jω)(4.45)

donde A y A∗ son constantes complejas y A∗ es el conjugado de A.Segun (4.43) la f(t) sera entonces una funcion compleja, la que me-diante la igualdad de Euler podra ser expresada como una funcion realen terminos de senos y cosenos. Por ejemplo si se desea obtener unarespuesta real en terminos de un unico coseno se puede antitransfor-mar y poner A en forma polar A = |A|ejθ, con lo que A∗ = |A|e−jθ,entonces la f(t) sera

f(t) = |A|ejθe(−α−jω)t + |A|e−jθe(−α+jω)t = |A|e−αt(ej(ωt−θ) + e−j(ωt−θ)

)

f(t) = 2|A|e−αt cos(ωt− θ) (4.46)

Pero si operamos con (4.45) de forma que nos queden las transformadasde estos senos y cosenos, podemos obtener directamente la f(t) real.

4.3. ANTITRANSFORMADAOTRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE121

En efecto, haciendo comun denominador y luego operando tenemos

F (s) =A(s+ α− jω) +A∗(s+ α+ jω)

(s+ α)2 + ω2

F (s) =(A+A∗)(s+ α) + j(−A+A∗)ω

(s+ α)2 + ω2(4.47)

pero (A + A∗) = 2ReA y j(A∗ − A) = −2 ImA, ambos valoresreales, entonces

F (s) = 2ReA s+ α

(s+ α)2 + ω2+ 2 ImA ω

(s+ α)2 + ω2(4.48)

que corresponden a la transformada de un coseno y un seno multipli-cados por un exponencial e−αt

f(t) = 2 e−αt (ReA cos(ωt) + ImA sen(ωt)) (4.49)

Esto nos permite, para el caso de raices complejas conjugadas, plantearen forma directa la siguiente igualdad

F (s) =P (s)

Q(s)= A

s+ α

(s+ α)2 + ω2+B

ω

(s+ α)2 + ω2(4.50)

y encontrar las constantes A y B dando a s dos valores cualquieradistintos de −α± jω.

4.3.2. Formula de Heaviside

Si la funcion F (s) tiene solamente polos simples, existe una formulaconocida como formula del desarrollo de Heaviside que permite obtener laantitransformada f(t) en forma directa.

Sea F (s) = P (s)Q(s) y −αi las n raices distintas de Q(s), entonces la f(t)

se obtiene haciendo

f(t) = L−1

[P (s)

Q(s)

]=

n∑

i=1

P (−αi)

Q′(−αi)e−αit (4.51)

donde Q′ es la derivada de Q respecto de s.Para probar esta igualdad definamos la funcion Qi(s) como

Qi(s) =Q(s)

s+ αi(4.52)

es decir que Q(s) se puede expresar como Q(s) = Qi(s)(s+αi) y ademas la(4.42) se puede escribir utilizando esta nueva funcion como

Ai = lıms→−αi

[P (s)

Qi(s)

]=

P (−αi)

Qi(−αi)(4.53)


Si tomamos la derivada de Q(s) respecto de s

Q′(s) =d

ds[Qi(s)(s+ αi)] = Qi(s) + (s+ αi)Q

′i(s) (4.54)

y hacemos s = −αi obtenemos que

Q′(−αi) = Qi(−αi) (4.55)

con lo que la (4.53) nos queda

Ai =P (−αi)

Q′(−αi)(4.56)

y llevando esta a (4.43) obtenemos la (4.51).

4.4. Respuesta al impulso

La funcion delta de Dirac, o funcion delta, o funcion impulso es unafuncion definida como11

δ(t) =

∞ para t = 00 ∀ otro t

∫ ∞

−∞δ(t) dt = 1

Si un circuito es excitado por una funcion como esta, se obtendra unarespuesta muy particular que analizaremos a continuacion.

1t0

0 t0

− 1t0

Au(t)

−Au(t− t0)

t⇒

1t0

0 t0 t

f(t)

Figura 4.8: Funcion pulso

Empecemos por encontrar la transformada de Laplace de la funcion im-pulso. Para esto definamos previamente una funcion pulso como la sumade dos escalones (Au(t) y −Au(t − t0)) desplazados uno de otro, de igual

11Si bien esta funcion no es realizable fısicamente, ya que su amplitud debe ser infinitay su duracion en el tiempo debe ser cero, es de gran utilidad en el analisis de circuitos,como se vera mas adelante.

4.4. RESPUESTA AL IMPULSO 123

amplitud pero de signo opuesto, de forma tal que se anulen entre sı parat > t0 (fig. 4.8). Con A = 1

t0, la funcion pulso sera

f(t) = Au(t)−Au(t− t0) =1

t0u(t)− 1

t0u(t− t0)

tal que, cualquiera sea el valor de t0, el area de esta funcion es igual a 1

Ahora, si a esta funcion pulso le tomamos lımite para t0 → 0 obtenemosla funcion impulso, es decir

lımt0→0

(1

t0u(t)− 1

t0u(t− t0)

)= δ(t)

transformando ambos miembros de esta igualdad

L[lımt0→0

(1

t0u(t)− 1

t0u(t− t0)

)]= L [δ(t)]

podemos sacar el lımite afuera de la transformada, por la propiedad delinealidad

L [δ(t)] = lımt0→0

1

t0L [u(t)]− L [u(t− t0)]

L [δ(t)] = lımt0→0

1

t0

[1

s− e−st0

s

]

L [δ(t)] = lımt0→0

1− e−st0

s t0(4.57)

para resolver este lımite se puede aplicar la regla de L’hospital, esto es derivarnumerador y denominador respecto de la variable que se esta tomando lımite

L [δ(t)] = lımt0→0

∂(1−e−st0)∂t0

∂(s t0)∂t0

L [δ(t)] = lımt0→0

s e−st0

s=

s

s

L [δ(t)] = 1 (4.58)

es decir, la transformada del delta de Dirac es la unidad en el dominio de lavariable s.

Recordando que se definio la funcion de transferencia como el cociente dela transformada de la salida sobre la transformada de la entrada con todaslas condiciones iniciales iguales a cero

H(s) =Vout(s)

Vin(s)(4.59)


si aplicamos a la entrada un delta de Dirac tendremos

vin(t) = δ(t)⇒ Vin(s) = 1

entonces

H(s) =Vout(s)

L [δ(t)] =Vout(s)

1

H(s) = Vout(s)

es decir que si a un sistema lo excitamos con un delta de Dirac, la transfor-mada de la respuesta sera su funcion de transferencia.

A esta particular respuesta del sistema ante una excitacion delta de Diracse la conoce como respuesta al impulso

respuesta al impulso h(t) = L−1 [H(s)] (4.60)

Si se conoce la respuesta al impulso h(t) de un sistema se conoce entoncessu funcion de transferencia, y por ende se puede calcular la transformada dela salida Vout(s) para cualquier Vin(s)

Vout(s) = Vin(s)H(s)

esto, sin embargo, no es tan sencillo como parece, debido a la imposibilidadfısica de obtener un delta de Dirac. En algunas aplicaciones se utiliza unaaproximacion al delta de Dirac, lograndose en la practica resultados muyaproximados a los teoricos.

4.5. Teorema de convolucion

En el campo de la ingenierıa de control, un sistema se representa normal-mente como un bloque con su funcion de transferencia, tal como se muestraen la (fig. 4.9), donde para obtener la salida Vout(s) se debe multiplicar laentrada Vin(s) por la funcion de transferencia del bloque H(s).

Vout(s) = H(s)Vin(s)

H(s)Vin(s) Vout(s)

Figura 4.9: Bloque de sistema con funcion de transferencia H(s)

En el dominio del tiempo la salida sera la antitransformada de este pro-ducto

vout(t) = L−1 [Vout(s)] = L−1 [H(s)Vin(s)] (4.61)

4.5. TEOREMA DE CONVOLUCION 125

Es decir, la transformada inversa del producto de la entrada por la fun-cion de transferencia nos da directamente la salida en el dominio del tiempo.

Como sabemos

vin(t) = L−1 [Vin(s)]

h(t) = L−1 [H(s)]

Veamos si operando a partir de estas igualdades podemos obtener una rela-cion directa entre la salida, entrada y respuesta al impulso, todo en el do-minio del tiempo. De esta forma, conociendo h(t) se podra conocer vout(t)para cualquier vin(t) sin necesidad de transformar al dominio de s.

Partiendo de la integral de transformacion12 de H(s)

H(s) =

∫ ∞

0h(τ) e−sτ dτ (4.62)

multipliquemos ambos miembros por Vin(s), y como la integral es a lo largode τ , se puede introducir esta funcion dentro del integrando sin modificar laoperacion

Vin(s)H(s) =

∫ ∞

0h(τ) e−sτ Vin(s) dτ (4.63)

el producto e−sτ Vin(s) del integrando es la transformada de la funcion des-plazada vin(t− τ) (4.8).

L [vin(t− τ)] = e−sτ Vin =

∫ ∞

τ

vin(t− τ) e−st dt

Si introducimos esta nueva integral a lo largo de t dentro de (4.63) nos queda

Vin(s)H(s) =

∫ ∞

0h(τ)

[∫ ∞

τ

vin(t− τ) e−st dt

]dτ =

∫ ∞

0

∫ ∞

τ

h(τ) vin(t−τ) e−st dt dτ

Se puede invertir el orden de integracion de esta integral doble, teniendocuidado de adecuar los lımites de integracion para integrar sobre el mismodominio. Integrar a lo largo de t entre τ e ∞ y luego a lo largo de τ entre 0e ∞, es equivalente a integrar a lo largo de τ entre 0 y t y luego a lo largode t entre 0 e ∞.

Vin(s)H(s) =

∫ ∞

0

∫ t

0h(τ) vin(t−τ) e−st dτ dt =

∫ ∞

0e−st

[∫ t

0h(τ) vin(t− τ) dτ

]dt

finalmente, vemos que la integral dentro de los corchetes es una funciondependiente solo de t (ya que la variable τ desaparece al ser valuada en 0 y tdespues de integrar). Entonces esta ecuacion es la transformada de Laplacede la funcion de t entre corchetes

Vin(s)H(s) = L[∫ t

0h(τ) vin(t− τ) dτ

](4.64)

12Se usa la variable τ para mas adelante poder usar t en otra integral


de donde, por propiedad de unicidad, se tiene que la integral entre corcheteses igual a la antitransformada del producto Vin(s)H(s)

L−1 [Vin(s)H(s)] =

∫ t

0h(τ) vin(t− τ) dτ (4.65)

y como vimos en (4.59) el producto de la entrada en s por la funcion detransferencia nos da la salida en s

L−1 [Vout(s)] = L−1 [Vin(s)H(s)] = vout(t) (4.66)

reemplazando en (4.65) nos queda

vout(t) =

∫ t

0h(τ) vin(t− τ) dτ (4.67)

esta integral es la operacion que relaciona salida y entrada en el tiempo, yse llama integral de convolucion. Para representarla se utiliza el sımbolo ∗

vout(t) = h(t) ∗ vin(t) (4.68)

Es decir, se puede obtener la respuesta en el tiempo de un sistema pa-ra una determinada excitacion calculando la integral de convolucion de surespuesta al impulso h(t) con la excitacion deseada.

Matematicamente, convolucionar dos funciones en el tiempo equivale amultiplicar sus transformadas en el dominio de Laplace. Y, viceversa, mul-tiplicar dos funciones en el tiempo es equivalente a convolucionar sus trans-formadas en el dominio de Laplace.

La convolucion es conmutativa (4.69), asociativa (4.70) y distributiva

(4.71) , propiedades que se deducen con facilidad de su definicion.

f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t) (4.69)

f(t) ∗ (g(t) ∗ h(t)) = (f(t) ∗ g(t)) ∗ h(t) (4.70)

f(t) ∗ (g(t) + h(t)) = (f(t) ∗ g(t)) + (f(t) ∗ h(t)) (4.71)

Ejemplo 4.12 Encontrar la salida de un sistema con respuesta al impulso

h(t) = 22 e−2000tu(t)

para las entradas vin1(t) = 12u(t)V y vin2(t) = 12 e−2000t u(t)V

Para encontrar las salidas correspondientes a cada entrada debemosconvolucionar cada una de ellas con la respuesta al impulso del sistema.

Con vin1(t) = 12u(t)V sera

vout1(t) =

∫ t

0h(t− τ) vin1(t) dτ =

∫ t

022 e−2000(t−τ) u(t− τ) 12u(τ) dτ

vout1(t) = 264 e−2000t

∫ t

0e2000τ u(t− τ)u(τ) dτ


ambos escalones, u(t−τ) y u(τ), valen 1 entre los lımites de integracion0 y t, entonces nos queda

vout1(t) = 264 e−2000t

∫ t

0e2000τ dτ = 264 e−2000t e

2000τ

2000

∣∣∣t

0

vout1(t) =264

2000− 264

2000e−2000t

Con vin2(t) = 12 e−2000t u(t)V la integral sera

vout2(t) =

∫ t

022 e−2000(t−τ) u(t− τ) 12 e−2000τ u(τ) dτ

vout2(t) = 264 e−2000t

∫ t

0dτ = 264 e−2000t τ

∣∣∣t

0

vout2(t) = 264 t e−2000t


Ejercitacion

1. Encontrar la transformada de Laplace de la funcion

f(t) = e−αt [A sen(ωt) +B cos(ωt)]

2. Encontrar la transformada de Laplace de g(t) = d2f(t)dt2

en funcion dela transformada de la primitiva f(t)→ F (s)

3. Transformar al dominio de la variable s la funcion excitacion mostradaen la fig. 4.10

1s0 t

3

f(t)

Figura 4.10: Excitacion pulso

4. En t = 0 se aplica al circuito RL serie de la (fig. 4.11) una tensioncontinua de 55V. Encontrar la transformada de la respuesta i(t) ∀ t >0.

300mH

470Ω

55µ(t) i(t)

Figura 4.11

5. El capacitor de la fig. 4.12 tiene una carga inicial de q0 = 800×10−6Ccon la polaridad indicada. Hallar la respuesta completa de la tensiondel capacitor en el dominio de la variable s.

q080V i(t)

t = 010Ω

4µF

Figura 4.12


RL RC

L C

i(t)

V µ(t)

t′

Figura 4.13: Circuito paralelo de dos ramas

6. Encontrar la corriente total i(t) para t > 0 del circuito de la figura4.13. Las condiciones iniciales son iL(0) = I0 y vC(t

′) = V0

7. Un circuito electrico tiene como respuesta la corriente

I(s) =45(

15 s+ 1

)2+ 4

se pide:

a. encontrar i(t)

b. encontrar el valor de i(0) aplicando el teorema del valor inicial ycomprobar en el tiempo

c. encontrar el valor de i(∞) aplicando el teorema del valor final ycomprobar en el tiempo

8. En el esquema de la fig. 4.14 encontrar la respuesta vC(t) para t > 0utilizando la transformada de Laplace como herramienta. La tensioninicial sobre el capacitor es cero.

iin

t = 0

vR(t)vC(t)

Datos

iin = 10 sen(2π50 t)A

C = 10000µF

R = 20Ω

Figura 4.14

9. Para el circuito de la fig. 4.15 se pide encontrar la corriente i1(t). Paramayor facilidad de calculo se aconseja utilizar las variables de estadofısicas del circuito para el planteo.

10. En el circuito de la fig. 4.16 se conecta el interruptor a la posicion 1en t = 0. Luego se cambia el interruptor de la posicion 1 a la posicion2 en t = 85ms. Calcular por el metodo de la transformada de Laplacela tension del capacitor, con vC(0) = 20V . Expresar el resultado en eltiempo utilizando funciones reales de t, validas para todo t > 0.


1H 1H4Ω4Ω

500mF

t = 0t = 0

1V1V i1(t) i2(t)vC(t)

Figura 4.15: Circuito RLC

500H

3KΩ

200µF

t = 0

60V

1

2

vC(t)i(t)

Figura 4.16: Circuito RLC con retardo de tiempo

11. La respuesta de corriente en el dominio de Laplace del ejercicio 4 es

I(s) = 183,33

s(s+1566,66), encontrar la respuesta en el dominio del tiempo

utilizando el teorema de convolucion.

12. Un circuito RL serie tiene como funcion de transferencia

H(s) =I(s)

V (s)=

1

36 + s18(4.72)

si se lo excita con un escalon v(t) = 36u(t)V , encontrar por convolucionla respuesta i(t) = h(t) ∗ v(t)

13. Al circuito RC serie de la fig. 4.17 se le aplica un pulso de tensioncomo el del problema 3. Calcular la tension en el capacitor para todot > 0.

vC(t)3u(t)− 3u(t− 1)V i(t)

10Ω

400µF

Figura 4.17

14. Encontrar la tension del capacitor VC(s) si tiene una carga inicial de12V con la polaridad indicada en la fig. 4.18.

15. Para el circuito de la fig. 4.19 se pide encontrar vR(t)

por tiempo


22Ω

8Ω

5F22u(t)V vC(t)

Figura 4.18: Encontrar VC(s)

por Laplace

por convolucion

R

LAu(t)vR(t)

Figura 4.19: Encontrar vR(t)

16. Aplicando transformada de Laplace, encontrar iL(t) y vC(t) segun seindica en el circuito de la fig. 4.20.

1H4Ω

13F10u(t− 5)V iL(t) vC(t)

Figura 4.20: Circuito RLC desplazado

17. Un sistema es excitado con una senal de entrada vin(t) = e−2t. Se en-cuentra que la corriente de salida vale iout(t) =

43

(e−2t − e−5t

). Hallar

la respuesta al impulso h(t) del sistema.

18. Para el circuito de la fig. 4.21 se pide

a. Obtener el circuito equivalente de Laplace

b. Hallar la corriente I(s) y la tension V (s) a partir del circuitoequivalente

c. Considerando la fuente de corriente como entrada y la corrientei(t) como salida, calcular la respuesta al impulso h(t)

d. Calcular el valor inicial y final de i(t) utilizando los teoremas TVIy TVF

e. Encontrar i(t) y verificar que los valores inicial y final son loscalculados en el punto anterior


240Ω240Ω

80H80H

8Ai(t)

v(t)

t = 0

Figura 4.21: Calculo de la corriente de salida aplicando Laplace

19. Encontrar la respuesta completa de tension en el capacitor y corrienteen el inductor para t > 0 del circuito de la figura 4.22. Indicar el tipode amortiguamiento del sistema y graficar las respuestas obtenidas.Verificar por teorema de valor inicial y final que se cumplen con lascondiciones iniciales y finales impuestas por el circuito.

2Ω

1H

0,1F

i(t)

10V

t = 0

Figura 4.22: Calculo de la respuesta natural de tension y corriente

20. Para el circuito de la fig. 4.23 se pide calcular:

a. la funcion de transferencia H(s) definida como

H(s) =VC(s)

I(s)

con I(s) = L[i(t)] y VC(s) = L[vC(t)]b. la transformada inversa h(t) = L−1[H(s)].

16Ω

2H

130F

i(t) = 10e−2tu(t)vC(t)

Figura 4.23: Funcion de transferencia H(s) y respuesta al impulso h(t)


21. Encontrar I(s) = L[iL(t)] para 0 < t < 210ms y para t > 210ms en elcircuito de la figura 4.24

t = 210ms10Ω

15Ω4H

iL(t)

100V

Figura 4.24: Circuito RL

22. Dado el circuito de la figura 4.25 en el dominio de s

V (s) = 3 s2+s+1s2+1

6

3sI(s)

Figura 4.25: Dominio de s

Encontrar I(s) y su correspondiente i(t) = L−1[I(s)]

Tiene el circuito condicion inicial no nula? Verificar utilizando elTVI.

Encontrar VL(s).

Si la corriente que atraviesa un capacitor de C = 2,5mF en el dominiode s es

IC(s) =5

s+ 200

se pide

23. a. encontrar VC(s) si vC(0) = 10V

b. decir cual es el τ del circuito

c. calcular y graficar iC(t) y vC(t)

24. Para el circuito de la fig. 4.26 plantear el sistema de ecuaciones enterminos de I(s) y VC(s) en el dominio de Laplace.

25. Obtener la respuesta al impulso del circuito de la figura 4.27 conside-rando H(s) = IR(s)

V (s) ; donde IR(s) = L[iR(t)] y V (s) = L[v(t)]


IL(s)V0

VC(s)

t = 0

RL RC

L C

Figura 4.26: Sistema de segundo orden

v(t)

iR(t)

400mH

1000µF 10Ω

Figura 4.27: Calculo de respuesta al impulso

26. Dado L[f(t)] = s−2 − 2s−2e−st1 + s−2e−st2 , expresar f(t) utilizandosenales aperiodicas fundamentales y graficar. Considerar para el graficot2 = 2t1

27. Aplicando transformada de Laplace, encontrar la tension vo(t) indica-da en el circuito de la figura 4.28.

311 cos(100t) vo(t)

t = 06Ω

1000µF 20Ω

Figura 4.28: Tension de salida


Soluciones

Ejercicio 1 Solucion

F (s) =Aω

(s+ α)2 + ω2+

B(s+ α)

(s+ α)2 + ω2


F (s) =3− 3e−s

s

Ejercicio 4 Resolucion numerica

Segun la LKV, la malla debe cumplir13

55µ(t) = 470 i(t) + 300× 10−3 di(t)

dt

Aplicando la transformada a ambos miembros tenemos

L [55µ(t)] = 470L[i(t)] + 300× 10−3 L[di(t)

dt

]

55

s= 470I(s) + 300× 10−3 (sI(s)− i(0)) (4.73)

la corriente inicial del circuito es i(0) = 0 debido al inductor. Despe-jando I(s) queda

I(s)(470 + 300× 10−3s) =55

s

I(s) =55

s

(1

470 + 300× 10−3s

)

I(s) =183, 33

s(s+ 1566, 66)(4.74)


VC(s) =80

s+

120

s+ 2500013La funcion µ(t) representa la aplicacion de la fuente en el tiempo t = 0.



IT (s) =

VRL

s+

I0 − VRL

s+ RL

L

+

V−V0

RC

s+ 1RCC

e−st′

iT (t) =

[V

RL

+

(I0 −

V

RL

)e−

RLL

t

]u(t) +

[(V − V0

RC

)e− 1

CRC(t−t′)

]u(t− t′)


1. i(t) = 2e−5tsen(10t)

2. i(0) = lıms→∞ sI(s) = 0

3. i(∞) = lıms→0 sI(s) = 0

Ejercicio 8 Planteo

Por LKC en el nudo tenemos

iin(t)− iC(t)− iR(t) = 0 (4.75)

iin(t) = iC(t) + iR(t) (4.76)

iin(t) = Cd(vC(t))

dt+

vR(t)

R(4.77)

como vC(t) = vR(t) por ser un circuito paralelo, ponemos la ecuacionen funcion de la respuesta vC(t)

iin(t) = Cd(vC(t))

dt+

vC(t)

R(4.78)

Aplicando L[ ] a ambos miembros

L [iin(t)] = C L[d(vC(t))

dt

]+

1

RL [vC(t)] (4.79)

Iin(s) = C [s VC(s)− vC(0)] +VC(s)

R(4.80)

Iin(s) = sC VC(s)− C vC(0) +VC(s)

R(4.81)

Iin(s) + C vC(0) = VC(s)

(sC +

1

R

)(4.82)

despejamos VC(s)

VC(s) =Iin(s)

sC + 1R

+C vC(0)

sC + 1R

(4.83)


Resolucion numerica

Para resolver la (ec. 4.83) calculamos

Iin(s) = L [10 sen(2π50 t)] = 10100π

s2 + (100π)2

y reemplazando tenemos

VC(s) = 10

(100π

s2 + (100π)2

)(1

s 0, 01 + 120

)(4.84)

VC(s) = 1000

(100π

s2 + (100π)2

)(1

s+ 5

)(4.85)

=A

s+ j100π+

A∗

s− j100π+

B

s+ 5(4.86)

Para calcular A hacemos primero

A = lıms→−j100π

1000100π

(s− j 100π)(s+ 5)(4.87)

A =500

−j (−j 100π + 5)=

−500100π + j5

(4.88)

A = −1, 5911 + j0, 025 (4.89)

A = 1, 5913 ej179

(4.90)

luego para calcular B

B = lıms→−5

1000100π

s2 + (100π)2(4.91)

B = 3, 1823 (4.92)

reemplazando en (ec. 4.86)

VC(s) =1, 5913 ej179

s+ j100π+

1, 5913 e−j179

s− j100π+

3, 1823

s+ 5(4.93)

cada termino de la ecuacion anterior tiene antitransformada conocida,quedando la vC(t) igual a

vC(t) = 1, 5913 ej179e−j 100π t + 1, 5913 e−j179 ej 100π t + 3, 1823 e−5 t

(4.94)utilizando la igualdad de Euler

cos(ωt) =ejωt + e−jωt

2(4.95)


nos queda

vC(t) = 3, 1826

[ej(100π t−179) + e−j(100π t−179)

2

]+ 3, 1823 e−5 t(4.96)

vC(t) = 3, 1826 cos(100π t− 179) + 3, 1823 e−5 t (4.97)

vC(t) = 3, 1826 sen(100π t− 89) + 3, 1823 e−5 t (4.98)

que se grafica en la fig. 4.29.

1

2

3

-1

-2

-3

1 2 3 4 t[s]

vC(t)[V ]

Figura 4.29: Caıda de tension en el capacitor del ejercicio 8.

Ejercicio 9 Planteo y resolucion numerica

Para t > 0, la suma de tensiones en las mallas es

1 = 4i1(t) + i′1(t) + vC(t)

0 = 4i2(t) + i′2(t)− vC(t)

la corriente neta por el capacitor es i1(t)− i2(t) = C dvCdt , de donde

0 = 2i1(t)− 2i2(t)− v′c(t)

transformando por Laplace estas tres ecuaciones quedan

4I1(s) + sI1(s)− i1(0) + VC(s) = 1/s

4I2(s) + sI2(s)− i2(0)− VC(s) = 0

2I1(s)− 2I2s− sVC + vC(0) = 0

o en su forma matricial(s+ 4) 0 1

0 (s+ 4) −12 −2 −s

I1(s)I2(s)VC(s)

=

1/s0−1


La corriente I1(s) se calcula

I1(s) =∆11

∆p

para la cual hace falta calcular el determinante sistituto ∆11 y el de-terminante principal. El deteminante principal de esta matriz es

∆p =

∣∣∣∣∣∣

(s+ 4) 0 10 (s+ 4) −12 −2 −s

∣∣∣∣∣∣= −s(s+ 4)2 − 2(s+ 4)− 2(s+ 4)

= −(s+ 4)[s(s+ 4) + 4]

= −(s+ 4)(s2 + 4s+ 4)

= −(s+ 4)(s+ 2)2

mientras que el sustituto se calcula

∆11 =

∣∣∣∣∣∣

1/s 0 10 (s+ 4) −1−1 −2 −s

∣∣∣∣∣∣= −(s+ 4) + (s+ 4)− 2/s

= −2/s

entonces

I1(s) =2

s(s+ 4)(s+ 2)2

Desarrollando I1(s) en fracciones simples

I1(s) =A

s+

B

(s+ 4)+

C

(s+ 2)2+

D

(s+ 2)

I1(s) =1/8

s− 1/8

(s+ 4)− 1/2

(s+ 2)2

donde A = 1/8, B = −1/8, C = −1/2 y D = 0

Las fracciones obtenidas son trasformadas de funciones conocidas, esdecir que podemos encontrar la funcion en el tiempo cuya transforma-da se I1(s), en efecto

i1(t) =1

8− 1

8e−4t − 1

2te−2t

que se grafica en la fig. 4.30.


0.125

1 2 3 4 t[s]

i1(t)[A]

Figura 4.30: Corriente de la malla 1 del circuito de la fig. 4.15


Con el interruptor en la posicion 1 la suma de tensiones en la malla es

V = Ri(t) + Ldi(t)

dtV

s= RI(s) + L [sI(s)− i(0)] = [R+ sLI(s)]

donde I(s) = L [i(t)]. Despejando I(s) y expandiendo en fraccionessimples

I(s) =V

s(R+ sL)=

V/R

s− V/R

(s+R/L)

i(t) = L−1

[V/R

s− V/R

(s+R/L

]=

V

R(1− e−

RLt)

Al pasar el interruptor de la posicion 1 a la 2 en t0 = 85 × 10−3slas condiciones inicales afectan a las funciones temporales de tensionesy corrientes en un tiempo t = t0, y la transfomada de Laplace estecorrimiento debe tenerse en cuenta. La ecuacion de equilibrio de lamalla se plantea considerando la referencia de vC(t)

vR(t) + vL(t)− vC(t) = 0

Ri(t) + Ldi(t)

dt− vC(t) = 0 (4.99)

como la tension en el capacitor vC(t) es una subida para la corrientei(t), su relacion es inversa aditiva

i(t) = −C dvC(t)

dt(4.100)


Para despejar la funcion incognita vC(t), se transfoman las ecuaciones(4.99) y (4.100)

RI(s) + sLI(s)− Li(t0)e−st0 − VC(s) = 0

I(s) = −sCVC(s) + Cv(t0)e−st0

y se resuelve el sistema de ecuaciones para VC(s)

VC(s) = e−st0

[sv(t0) +

RLv(t0)− 1

Ci(t0)

s2 + RLs+ 1

LC

]

Resolucion numerica

La corriente en el dominio del tiempo es

i(t) = 20× 10−3(1− e−6t

)(4.101)

Para resolver vC(t) se debe desarrollar VC(s) en fracciones simples. Seusa t0 en lugar de su valor numerico para simplificar la escritura

VC(s) = e−st0

[s20 + 80

s2 + 6s+ 10

]= e−st0

[s20 + 80

(s+ 3 + j)(s+ 3− j)

]=

Ae−st0

s+ 3 + j+

A∗e−st0

s+ 3− j

A = lıms→−3−j

s20 + 80

(s+ 3− j)= 10 + j10

A∗ = 10− j10

entonces

VC(s) =

(10 + j10

s+ 3 + j+

10− j10

s+ 3− j

)e−s85×10−3

(4.102)

La transformada inversa de VC(s) es una funcion compleja, mediantela igualdad de Euler se pone en terminos de funciones trigonometricas

vC(t) =[(10 + j10)e−(3+j)(t−t0) + (10− j10)e−(3−j)(t−t0)

]u(t− t0)

vC(t) = e−3(t−t0)[(10 + j10)e−j(t−t0) + (10− j10)ej(t−t0)

]u(t− t0)

vC(t) = 20e−3(t−t0)

[(ej(t−t0) + e−j(t−t0)

2

)+

(ej(t−t0) − e−j(t−t0)

2j

)]u(t− t0)

Finalmente

vC(t) = 20e−3(t−t0) [cos(t− t0) + sen(t− t0)]u(t− t0)



i(t) =183, 33

1566, 66

(1− e−1566,66t

)u(t)


i(t) =(1− e−2t

)u(t)A


vC(t) = 3(1− e−250t

)u(t)− 3

(1− e−250(t−1)

)u(t− 1)

Ejercicio 27 Para t > 0, eligiendo las referencias de tension y corriente en formaadecuada, en la malla RC se cumple

IC(s) + Io(s) = 0 (4.103)

VC(s) = Vo(s) (4.104)

donde

IC(s) = sCVC(s)− CvC(0) (4.105)

Io(s) =Vo(s)

Ro(4.106)

siendo Ro la resistencia de 20Ω. Operando se tiene

VC(s) =vC(0)

s+ 1RoC

= Vo(s) (4.107)

Para determinar vC(0) se puede aplicar el metodo fasorial y encontrarel regimen permanente en t = 0−, o buscar la respuesta forzada resol-viendo la ODE no homogenea del circuito en terminos de la tensionvC(t).

Llamando Ri a la resistencia de 6Ω, por metodo fasorial, en t = 0− secumple

V = VRi+ VC (4.108)

IRi= IC + IRo (4.109)


reemplazando y operando

V = IRiRi + VC (4.110)

=(IC + IRo

)Ri + VC (4.111)

=

(jωCVC +

VC

Ro

)Ri + VC (4.112)

= VC

(jωCRi +

Ri

Ro+ 1

)(4.113)

Luego

VC =V(

jωCRi +Ri

Ro+ 1) =

220

j100 · 1× 10−3 + 620 + 1

(4.114)

VC = 139,512− j64,390 = 153,65 6 − 24,77 (4.115)

en t = 0

vC(0) = 153,65√2 cos(−24,77) = 197,3 (4.116)

entonces

Vo(s) =vC(0)

s+ 1RoC

=197,3

s+ 50(4.117)

Antitransformando, la tension de salida para t > 0 sera

vo(t) = 197,3e−50t (4.118)

.

Capıtulo 5

Metodo fasorial

5.1. Calculo fasorial

El calculo fasorial es un metodo que permite obtener de una forma sen-cilla la respuesta de regimen permanente de un circuito excitado con senalessinusoidales. Es decir, resuelve en forma directa la respuesta forzada de laODE de equilibrio del circuito cuando la fuente forzante es de tipo sinusoi-dal. El metodo se basa en la representacion de la senal electrica mediante unvector complejo o fasor, lo cual permite transformar la ODE en una ecuacionalgebraica.

5.1.1. Fundamentacion

Supongase un circuito excitado con una fuente senoidal de la forma

v(t) = Vm sen(ωt+ θv) (5.1)

esta fuente, segun la igualdad de Euler, tambien puede escribirse como

v(t) = Im[Vm ej(ωt+θv)

](5.2)

si se trata de una fuente cosenoidal se puede escribir tomando la parte realde la exponencial anterior

v(t) = Vm cos(ωt+ θv) = Re[Vm ej(ωt+θv)

](5.3)

Es decir que si se alimenta al sistema con una fuente exponencial de forma

v(t) = Vm ej(ωt+θv) = Vm cos(ωt+ θv) + j Vm sen(ωt+ θv) (5.4)

se estara alimentando con dos fuentes sinusoidales, una real y otra imagi-naria, las que por teorema de superposicion generaran dos respuestas inde-pendientes, una real debida a Vm cos(ωt+ θv) y la otra imaginaria debida a

145

146 CAPITULO 5. METODO FASORIAL

j Vm sen(ωt+ θv). Luego, la respuesta de interes sera la parte imaginaria ola parte real de la respuesta encontrada, segun sea la fuente de alimentacionque excite al circuito de tipo senoidal o cosenoidal respectivamente.

Utilizar una fuente exponencial como la (5.4) para excitar un circuitopresenta ciertas ventajas de calculo que facilitan la obtencion de la respuestaforzada, ya que no se necesita resolver la ODE de equilibrio del sistema.

5.1.2. Fasor y fasor armonico

En ingenierıa, se llama fasor armonico a la representacion compleja deuna senal sinusoidal (como la (5.4)). Este fasor armonico se compone deun vector fijo (ejθv) y un vector rotante que gira a ω radianes por segundo(ejωt). La parte fija junto con el modulo del vector se lo llama simplementefasor, y es la representacion en t = 0 del fasor armonico.

Tomando como ejemplo la (5.4) tenemos

Vm ej(ωt+θv)

︸︷︷︸fasor armonico

= Vm︸︷︷︸fasor

ejωt (5.5)

con

Vm = Vmejθv (5.6)

el fasor formado por la amplitud Vm y la fase inicial θv de la senal querepresenta el fasor armonico1 (5.5).

En la figura 5.1 se puede ver graficamente un fasor armonico, un incre-mento de tiempo positivo se representa por convension como una rotacionantihoraria del vector.

Im

Re

θvωt′ + θv

ejθv

ej(ωt′+θv)

ωt

Figura 5.1: Fasor armonico en t = 0 y t = t′

1En este caso las senales (5.1) o (5.3), segun se tome, respectivamente, la parte imagi-naria o real del fasor armonico.

5.2. RELACION TENSION-CORRIENTE FASORIAL 147

Consideraciones practicas

Para simplificar la notacion el fasor habitualmente se escribe en notacionpolar2

Vm = Vm 6 θv

Debido a que en las aplicaciones electricas se utilizan normalmente losvalores eficaces de tensiones y corrientes, se prefiere la utilizacion del va-lor eficaz de la senal sinusoidal en la representacion fasorial. Esto se hacesimplemente dividiendo el valor maximo por

√2.

V =Vm√2

= Vef 6 θv (5.7)

en adelante se utiliza esta convension para la representacion fasorial.

Segun lo anterior, una senal sinusoidal general de forma

y(t) = A cos(ωt± η) (5.8)

tiene asociado un fasor

P[y(t)] = Y (5.9)

tal que

Y =A√26 ± η (5.10)

la transformacion (5.9) se conoce con el nombre de transformada fasor3.Esta transformada mapea una funcion sinusoidal (dominio del tiempo) enun vector complejo (que se dice esta en el dominio de la frecuencia complejajω), y su derivada (o integral) en otro vector complejo que se relaciona conel primero mediante una operacion algebraica. Por esta propiedad hace queuna ODE en el dominio del tiempo se transforme en una ecuacion algebraicaen el dominio de jω, como se vera mas adelante.

5.2. Relacion tension-corriente fasorial

Para poder aplicar esta nueva representacion compleja de las senales deexcitacion, debemos determinar cual sera la respuesta de corriente de cadaelemento ante una excitacion como esta, es decir determinar la relaciontension-corriente fasorial para cada elemento.

2Aunque para operaciones de suma o resta se prefiere la notacion rectangular3Notar que tanto una senal senoidal como una cosenoidal tiene el mismo fasor asociado,

por lo que la transformada fasor no es unica.


5.2.1. Resistor

La relacion tension-corriente en un elemento resistivo puro, segun Leyde Ohm es

i(t) =v(t)

R

Si la excitacion v(t) es una senal cosenoidal, segun lo visto en el parrafoanterior, esta senal puede ser representada mediante un fasor armonico

v(t) = Re[V√2ejωt

](5.11)

luego

i(t) =Re[V√2ejωt

]

R= Re

[V√2ejωt

R

](5.12)

que tambien es un fasor armonico, ya que al dividir un complejo por elescalar R se obtendra otro complejo con su modulo escalado. Este nuevofasor armonico que representa a la corriente i(t) se puede escribir

Re

[V√2ejωt

R

]= Re

[I√2ejωt

](5.13)

Si ahora consideramos una excitacion senoidal, las ecuaciones anterioresseran identicas solo que se debera tomar la parte imaginaria de cada fa-sor armonico.

En general podemos decir que en un resistor la relacion fasorial tension-corriente sera

V√2ejωt

R= I√2ejωt (5.14)

es decir

I =V

R=

Vef

R6 θv = Ief 6 θi (5.15)

con Ief =Vef

Ry θi = θv.

En base las ecuaciones anteriores vemos que si se multiplica una funcionsinusoidal por un escalar, el fasor asociado tambien se multiplica por elmismo escalar

P[i(t)] = I

P[Ri(t)] = RI = V (5.16)

5.2. RELACION TENSION-CORRIENTE FASORIAL 149

IV R

(a)

IV jωL

(b)

Figura 5.2: Relacion tension-corriente fasorial en una resistencia y un inductor

5.2.2. Inductor

Para el caso de una carga inductiva pura de valor L

i(t) =1

L

∫v(t) dt (5.17)

si la excitacion es un fasor armonico entonces la corriente sera

i(t) =1

L

∫V√2ejωt dt =

V

jωL

√2ejωt (5.18)

esto es un cociente entre dos complejos, donde el denominador es un imagi-nario puro. Operando

i(t) =V

jωL

√2ejωt =

Vef

ωL6 (θv −

π

2)√2ejωt = I

√2ejωt (5.19)

que es otro fasor armonico donde

I = Ief 6 θi (5.20)

con Ief =Vef

ωLy θi = θv − π

2 . Notar el atraso de fase de π2 de la corriente

respecto de la tension aplicada, tal como se espera en un inductor ideal.De (5.19), la relacion tension-corriente fasorial en un inductor sera

V

I= jωL (5.21)

Observando la relacion tension-corriente del elemeento en el dominio deltiempo (5.17) y en el dominio de la frecuencia compleja (5.21) podemosestablecer la regla de integracion de la transformada fasor. La transformadafasor de la integral de una funcion sinusoidal se obtiene dividiendo por jωal fasor de la funcion

P[v(t)] = V

P[∫

v(t) dt

]=

V

jω(5.22)


5.2.3. Capacitor

Finalmente, si se trata de una carga capacitiva pura de valor C tendremos

i(t) = Cdv(t)

dt

i(t) = jωCV√2ejωt = I

√2ejωt (5.23)

de donde la relacion tension-corriente fasorial sera

I = jωCV = Ief 6 θi (5.24)

con Ief = ωCVef y θi = θv +π2 . Notar en este caso el adelante de fase de

π2 de la corriente respecto de la tension aplicada, tal como se espera de uncapacitor ideal.

De las ecuaciones anteriores podemos establecer la regla de derivacionde la transformada fasor. La transformada de la derivada de una funcionsinusoidal se obtiene multiplicando por jω al fasor de la funcion

P[v(t)] = V

P[dv(t)

dt

]= jωV (5.25)

5.3. Resolucion de circuitos usando fasores

La aplicacion del metodo implica la utilizacion de las relaciones tensioncorriente fasoriales deducidas anteriormente. Para esto se plantea antes laecuacion de equilibrio en el dominio del tiempo para despues transformarlaal dominio de la frecuencia.

v(t) = 10 cos(3t)

2Ω

1Hi(t)

Figura 5.3: RL excitado con fuente de tension senoidal

La ecuacion de equilibrio del circuito de la figura 5.3 es

v(t) = vR(t) + vL(t) = R i(t) + Ldi(t)

dt

reemplazando las relaciones temporales por las relaciones fasoriales deduci-das anteriormente, se obtiene la ecuacion de equilibrio en el dominio de lafrecuencia.

V = VR + VL = R I+ jωL I (5.26)

5.3. RESOLUCION DE CIRCUITOS USANDO FASORES 151

Como vemos, la ecuacion diferencial se convierte en una ecuacion algebraicaen terminos de los fasores de excitacion y respuesta, llamada ecuacion de

equilibrio fasorial. De esta ecuacion podemos obtener la respuesta I simple-mente dividiendo ambos miembros por R+ jωL

I =V

(R+ jωL)(5.27)

esto es un cociente de numeros complejos, en forma polar sera

I =Vef

6 θvZ 6 ϕ

= Ief 6 θi (5.28)

donde Z =√R2 + (ωL)2 y ϕ = arctan

(ωLR

), entonces el fasor corriente

tendra

Ief =Vef√

R2 + (ωL)2(5.29)

y

θi = θv − arctan

(ωL

R

)= θv − ϕ

como modulo y argumento respectivamente. Notese que el argumento delfasor corriente θi se forma restando al argumento del fasor tension el anguloϕ, que es el argumento del denominador. El denominador de (5.27) dependede los elementos que conforman el circuito y su argumento puede ser mayoro menor a 0. Si ϕ > 0 se dice que la corriente atrasa a la tension, y si ϕ < 0se dice que la corriente adelanta a la tension. Si ϕ = 0 la corriente y latension estan en fase.

Siguiendo con el ejemplo, el fasor de tension del circuito es

V =10√26 0

el modulo Z y la fase ϕ del denominador (5.27) valen

Z =√22 + (ω1)2 = 3,6056Ω (5.30)

ϕ = arctan

(3

2

)= 0,98279rad = 56,31 (5.31)

entonces

I =10

3,6056√26 − 56,31 = 1,96116 − 56,31 (5.32)


5.4. Impedancia y admitancia compleja

La relacion fasorial entre tension y corriente es en general un numerocomplejo, puesto que como puede verse en la (5.27), V e I son complejos.A esta relacion fasorial se la denomina impedancia compleja o simplementeimpedancia, la unidad de mediada es el ohm [Ω] y se la representa con laletra Z.

La relacion tension-corriente en un elemento resistivo puro es, como sevio en (5.15), el valor resistivo R. Este cociente es la impedancia de unresistor, que usualmente se la llama tambien resistencia por tratarse delmismo valor numerico que en el dominio del tiempo. Si el cociente de doscomplejos, o dos fasores, es un numero real, significa que los fasores estanen fase, tal como se espera que ocurra en los fasores de tension y corrienteen un resistor.

En el caso de un inductor la impedancia sera un numero imaginariopuro (ec. 5.21). Este cociente siempre positivo (ya que ni ω ni L pueden sernegativos). Se lo llama reactancia inductiva, se denota jXL. Si el cocienteentre el fasor tension y el fasor corriente da un numero imaginario mayor a0, significa que entre ellos hay un desfasaje de π

2 , es decir que la corrienteatrasa 90 a la tension en el inductor.

Para un capacitor sera tambien un imaginario puro pero menor a 0 (ec.5.24). A esta impedancia se la llama reactancia capacitiva y se la represenatacon −jXC . El defasaje entre el fasor tension y el fasor corriente es de −π

2 loque significa que la corriente adelanta a la tension en 90.

En un circuito con varios elementos combinados, el cociente sera en formageneral

Z =V

I

esta ecuacion es la Ley de Ohm Fasorial.Si en general se tiene que V = V 6 θv e I = I 6 θi entonces

Z =V

I6 θv − θi

Z = Z 6 ϕ (5.33)

Este complejo esta formado por una parte real y una imaginaria

Z = Ri± jX (5.34)

a la parte real se la llama parte resistiva de la impedancia y a la parte imagi-naria parte reactiva de la impedancia. La parte imaginaria puede ser positivao negativa, si es mayor a 0 se llama reactancia inductiva y se dice que laimpedancia es de caracter inductivo (o simplemente impedancia inductiva),si es menor a 0 se llama reactancia capacitiva y se dice que la impedancia

5.4. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJA 153

es de caracter capacitivo (impedancia capacitiva). Se la representa grafica-mente en un diagrama de impedancias sobre un plano complejo, en el cualse marcan las componentes resistivas y reactivas (fig. 5.4).

ImIm

ReRe

jωL

RR

ϕ1Z1

Z1

Z2

ϕ2

Z2−j 1

ωC

Impedancia inductiva Impedancia capacitiva

Figura 5.4: Diagrama de impedancias

La relacion entre la parte real e imaginaria de la Z determinan el desfa-saje entre el fasor tension y el fasor corriente, o sea el angulo ϕ de (5.33).Este angulo esta definido entre −π

2 ≤ ϕ ≤ π2 , segun el circuito sea capacitivo

puro o inductivo puro en los extremos, pasando por resistivo puro cuandoϕ = 0.

La inversa de la impedancia se define como admitancia compleja. Susimbolo es Y , se mide en Siemens [S] o Mhos []

Y =1

Z=

1

Z6 − ϕ (5.35)

las partes real e imaginaria de este complejo se las representa con las letrasG y B respectivamente, donde G se llama conductancia y B susceptancia.La susceptancia, al igual que la reactancia, puede ser positiva o negativa. Sies positiva se trata de una susceptancia capacitiva, y si es negativa se tratade una susceptancia inductiva.

Y = G+ jB (5.36)

En terminos de tension y corriente fasorial, por ser la inversa de la im-pedancia, la admitancia se define como el cociente fasorial entre la corrientey tension

Y =I

V⇒ (5.37)

I = VY (5.38)

La ecuacion 5.38 es muy importante, ya que la admitancia es directamen-te proporcional a la corriente fasorial. Por lo tanto conociendo la admitanciade un circuito, o la variacion de la admitancia de un circuito cuando en estevaria algun parametro, como por ejemplo la frecuencia ω, se conoce tambienla variacion de la corriente. Esto sera utilizado mas adelante para analisisde variacion de corriente en ciruitos alimentados con un fasor de tensionconstante.


5.4.1. Conversion impedancia-admitancia

Pasar de impedancia a admitancia en forma polar es simplemente hacerla inversa del modulo y tomar el argumento opuesto (ec. 5.35). La mismaconversion en forma rectangular sera

Z = R+ jX (5.39)

Y =1

(R+ jX)=

1

(R+ jX)

R− jX

R− jX(5.40)

Y =R− jX

R2 +X2=

(R

R2 +X2

)− j

(X

R2 +X2

)(5.41)

Y = G+ jB (5.42)

5.4.2. Asociacion de impedancias

Al aplicar el metodo fasorial la ODE de equilibrio de cualquier circuito,esta se transforma en una ecuacion algebraica, al igual que las ecuacionesde equilibrio que resultan de un circuito resistivo puro en el dominio deltiempo. Por lo tanto la asociacion de impedancias en serio o en paralelosigue las reglas de asociacion de resistencias en el dominio del tiempo.

Observando la resolucion del ejemplo anterior (5.26), vemos que la im-pedancia total, definida como el cociente entre el fasor tension aplicada y elfasor corriente total del circuito, se puede formar sumando las dos impedan-cias que conforman el circuito serie, o sea R y jωL, quedando

Z = R+ jωL (5.43)

5.4.3. Diagrama fasorial

Se llama diagrama fasorial a la representacion de los fasores de tensiony/o corrientes de un circuito en un plano complejo. Un diagrama puede serde tensiones o de corrientes, aunque generalmente se utiliza un diagramaunico de tensiones y corrientes, es decir un unico plano complejo, lo quepermite visualizar facilmente las diferencias de fase entre ambos.

Se dice que un diagrama fasorial de tensiones y corrientes es completocuando se representan en el los fasores de tension y corriente de todos loselementos que lo conforman. Ası por ejemplo, en el circuito de la figura5.3, los fasores de tension de cada elemento son V, VR y VL, mientras quepor ser un circuito serie todos los elementos comparten un unico fasor decorriente I. Para poder construir el diagrama fasorial completo es necesariocalcular los fasores restantes, es decir VR y VL, siendo

VR = R I = 3,926 − 56,31 (5.44)

y

VL = jωL I = (j3)1,966 − 56,31 = 5,88 6 33,69 (5.45)

5.5. POTENCIA 155

En la figura 5.5 se grafica el diagrama fasorial completo de este ejemplo.Como puede verse, la corriente total esta atrasada de la tension total, debidoal caracter inductivo de la carga. Ademas la suma del fasor tension en elinductor (que esta adelantado 90 respecto del fasor corriente) mas el fasortension en la resistencia (que esta en fase con el fasor corriente) es igualal fasor tension aplicado. Notar que para construir el diagrama fasorial, losfasores que al ser sumados componen un nuevo fasor (como en este caso queal sumar los fasores de tension en R y en L se obtiene el fasor de tensiontotal) se dibujan uno a continuacion del otro, para mostrar en forma explicitaque la suma vectorial da el fasor resultante.

V

VR

VL

I

33,69

−56,31

−56,31

Im

Re

Figura 5.5: Diagrama fasorial de tensiones y corriente del circuito de la figura 5.3

5.5. Potencia

Un circuito en regimen permanente constituıdo por resistencias, induc-tores y capacitores toma y devuelve energıa del generador en cada ciclo. Detoda la energıa presente en un circuito parte sera transformada en trabajoy parte sera intercambiada periodicamente con el generador, dependiendoexclusivamente de los elementos que compongan el circuito.

5.5.1. Potencia instantanea

Una senal senoidal de la forma

v(t) = Vm sen(ωt)

que excita a un circuito generico de impedancia equivalente Z = R+ jX =Z 6 ϕ, produce una corriente electrica de forma

i(t) = Im sen(ωt− ϕ)

la potencia instantanea producida por esta fuente se obtiene

p(t) = v(t) i(t)

p(t) = Vm sen(ωt) Im sen(ωt− ϕ)


Utilizando la igualdad trigonometrica senα senβ = 12 cos(α−β)−1

2 cos(α+β) se puede expresar la potencia anterior en terminos de cosenos

p(t) =VmIm2

cos(ϕ)− VmIm2

cos(2ωt− ϕ)

con α = ωt y β = ωt− ϕ. Ademas, como Vm√2= V e Im√

2= I se puede poner

en terminos de los valores eficaces

p(t) = V I cos(ϕ)− V I cos(2ωt− ϕ) (5.46)

La ecuacion (5.46) esta compuesta de un termino constante en el tiem-po y otro variable. La amplitud del termino constante V I cos(ϕ) dependedel valor de ϕ, es decir del caracter inductivo-capacitivo del circuito. Cuan-do ϕ = 0 el termino V I cos(ϕ) tomara su valor maximo. Analicemos losdiferentes casos segun la naturaleza del circuito.

Circuito resistivo puro

Si el circuito es de tipo resistivo puro, la impedancia es Z = R y ϕ = 0.Entonces la potencia instantanea queda

p(t) = V I − V I cos(2ωt)

En la figura 5.6 puede verse graficada esta potencia instantanea. Lapotencia en un circuito resistivo puro es siempre positiva y su valor medioes P = V I. Esto es caracterıstico de los elementos disipativos en los cualestoda la energıa entregada por el generador es disipada en forma de calor.

t

vR(t)

t

iR(t) V I

t

p(t)

Figura 5.6: Potencia instantanea en un circuito resistivo puro.

Circuito inductivo puro

Si el circuito es inductivo puro, entonces la impedancia es Z = jωL yϕ = 90. En este caso la potencia instantanea se hace

p(t) = −V I cos(2ωt− 90) = −V I sen(2ωt)

5.5. POTENCIA 157

t

vL(t)

t

iL(t)

t

p(t)

Figura 5.7: Potencia instantanea en un circuito inductivo puro.

En la figura 5.7 se grafica la potencia instantanea sobre un circuito in-ductivo puro. Como se ve en este caso el valor medio de la senal es nulo,es decir la potencia media. Por otro lado la potencia instantanea toma va-lores positivos y negativos, esto representa el intercambio energetico que seproduce entre el elemento inductivo y el generador. Cuando la tension v(t)y corriente i(t) tienen igual signo, la potencia es positiva lo que significaque la energıa se esta trasladando desde el generador a la carga inductiva.Cuando tension y corriente tienen distinto signo, la potencia es negativa yla energıa esta siendo devuelta desde la carga al generador. Evidentementelas cantidades de energıa recibidas y devueltas por la carga inductiva soniguales debido a que se trata de un elemento idealizado y no hay disipacionalguna.

Circuito capacitivo puro

Para el caso de un circuito capacitivo puro el angulo de fase es ϕ = −90y la potencia instantanea sera

p(t) = −V I cos(2ωt+ 90) = V I sen(2ωt) (5.47)

al igual que el caso anterior la potencia instantanea tiene valor medio nulolo que muestra un intercambio completo de energıa entre el generador y elelemento, sin producirse disipacion.

t

vC(t)

t

iC(t)

t

p(t)

Figura 5.8: Potencia instantanea en un circuito capacitivo puro.


5.5.2. Potencia activa, reactiva y aparente

El valor medio de la potencia instantanea esta directamente relacionadocon la cantidad de energıa que un circuito disipa, y por ende con la com-ponente resistiva del mismo. Este valor medio recibe el nombre de potencia

activa de un circuito. La componente reactiva de un circuito determina lacantidad de energıa que se intercambiara en cada ciclo, el valor escalar aso-ciado a esta cantidad recibe el nombre de potencia reactiva, y por ultimose considera un escalar asociado a la potencia instantanea total que se lodenomina potencia aparente. A continuacion deduciremos cada uno de estosescalares utilizando el metodo fasorial.

Potencia en un elemento resistivo

En el calculo fasorial la circulacion de una corriente I y la caıda de tensionen cada elemento del circuito desarrollan una potencia, que por definicion,es el producto de los modulos de ambos fasores eficaces.

En un elemento resistivo, la potencia sera

P = |VR||IR| = VRIR

P = |VR||VR|R

=(VR)

2

RP = |IR|R|IR| = (IR)

2R

como R = |Z| cosϕ, la ultima de estas igualdades se puede poner4

P = (IR)2Z cosϕ

P = V I cosϕ (5.48)

donde V = IRZ e IR = I. Es decir, debido a los elementos resistivos delcircuito se desarrolla una potencia activa P , medida en vatios [W ], dada porel producto de los valores eficaces de tension y corriente total multiplicadopor el coseno del angulo de desfasaje ϕ que hay entre ellos. Esta potenciaes igual al valor medio de la potencia instantanea obtenida en la ec. (5.46),tambien llamada potencia media P , y representa la capacidad del circuitopara realizar un trabajo en un tiempo dado.

4Esto es cierto si se trata de un circuito serie, donde IR = I, corriente total en elcircuito. Si se trata de un circuito paralelo entonces VR = V , tension aplicada total,llegandose al mismo resultado que ec. (5.48)

5.5. POTENCIA 159

Potencia en un elemento reactivo

En un elemento inductivo o capacitivo la potencia viene dada por

Q = |VX||IX| = VXIX

Q = |VX||VX|X

=(VX)2

XQ = |IX|X |IX| = (IX)2X

como el modulo de la parte reactiva X de una impedancia es |Z| senϕ

Q = (IX)2Z senϕ

Q = V I senϕ (5.49)

es decir, debido a los elementos reactivos de la carga se desarrolla una po-tencia reactiva Q, medida en voltamperios reactivos [V AR]. Esta potenciaQ es una medida de la energıa almacenada que es devuelta hacia la fuentedurante cada ciclo de la corriente alterna.

Potencia en una impedancia

En general, un fasor de corriente que atraviesa una impedancia Z comoconsecuencia de un fasor de tension aplicada V, desarrolla una potencia

S = |V||I| = V I

esta potencia se llama potencia aparente, se la denomina con la letra S yse mide en voltamperios [V A], representa las potencias disipadas e inter-cambiadas por los elementos del circuito. Como se ve, este producto de latension por la intensidad, sera siempre igual o mayor que la potencia activa.

5.5.3. Triangulo de potencias

Las potencias activas, reactivas y aparente estan vinculadas entre sı, deforma que si sumamos las potencias activas y reactivas al cuadrado

P 2 +Q2 = (V I cosϕ)2 + (V I senϕ)2 = (V I)2 (5.50)

obtenemos la potencia aparente al cuadrado,

S2 = P 2 +Q2 (5.51)

es por esta relacion que se utiliza un triangulo rectangulo para representarlas,lo que se conoce como triangulo de las potencias.

La construccion del triangulo se puede desprender del diagrama fasorialde tension y corriente del circuito en cuestion. Considerando la tension totalcon fase cero y la descomposicion de la corriente en sus partes activas y


reactivas, es decir, V = V 6 0 e I = I 6 ϕ, la potencia P sera la proyeccion de Isobre V (V I cosϕ) y la potenciaQ la proyecccion de I sobre la perpendiculara V (V I senϕ) multiplicadas ambas por V .

De esta forma la orientacion de la potencia reactiva Q en el triangulodetermina el caracter inductivo o capacitivo del circuito, ya que una potenciareactiva dibujada hacia los negativos del eje de ordenadas se obtiene de undiagrama fasorial en el que la corriente atrasa a la tension, y viceversa.

5.5.4. Potencia compleja S

Se conoce como potencia compleja a un operador complejo que permiteencontrar en forma directa las potencias activas, reactivas y aparente de uncircuito conociendo el fasor tension y corriente total. Sea VT el fasor dela tension aplicada total y sea IT el fasor de la corriente total, entonces lapotencia compleja S se calcula como

S = VT I∗T (5.52)

con I∗T el conjugado del fasor corriente.Desarrollando (5.52) tenemos

S = VT 6 θV IT 6 − θI (5.53)

S = VT 6 θVVT

ZT

6 − (θV − ϕ) (5.54)

S = VT IT | 6 ϕ = VT IT cosϕ+ jVT IT senϕ = P + jQ (5.55)

5.5.5. Factor de potencia

El factor de potencia de un sistema de corriente alterna en regimen per-manente se define como la relacion entre la potencia activa P y la potenciaaparente S.

fp =P

S

En un circuito puramente resistivo recorrido por una corriente alterna,la intensidad y la tension estan en fase, esto es cambian de polaridad enlos mismos instantes en cada ciclo. Cuando estan presentes cargas reactivasexiste almacenamiento de energıa. Debido a que esta energıa almacenadaretorna a la fuente y no es util para realizar trabajo en la carga, un circuitocon un bajo factor de potencia tendra que transferir corrientes mas altas,para una potencia dada, que un circuito con un factor de potencia alto.

Si ϕ es el angulo de fase entre la corriente y la tension, el factor depotencia es igual a |cosϕ|, y

P = S cosϕ (5.56)

5.5. POTENCIA 161

Por definicion, el factor de potencia es un numero adimensional, com-prendido entre 0 y 1. Cuando el factor de potencia es igual a 0, la energıaque fluye es enteramente reactiva y la energıa almacenada en las cargas re-torna a la fuente en cada ciclo. Cuando el factor de potencia es igual a 1,toda la energıa suministrada por la fuente es consumida por la carga. Losfactores de potencia son expresados normalmente como adelanto o retraso,para indicar el signo del angulo de fase.

Por ejemplo, para conseguir 1kW de potencia activa si el factor de po-tencia es la unidad, necesitaremos transferir 1kVA de potencia aparente(1kVA = 1kW · 1). Con valores bajos del factor de potencia, necesitaremostransferir mas potencia aparente para conseguir la misma potencia activa.Ası para conseguir 1kW de potencia activa con un factor de potencia iguala 0,2 necesitamos transferir 5kVA de potencia aparente.

5.5.6. Correccion del factor de potencia

La energıa transportada que no se consume produce perdidas, sobrecargalos transformadores y disminuye la eficiencia. Si el factor de potencia es altoestas perdidas seran bajas, aumentando el rendimiento del sistema. A vecesse hace necesario corregir el factor de potencia para aumentar el rendimientodel sistema, sobre todo en sistemas de grandes potencias instaladas comolas industrias.

La correccion del factor de potencia se logra conectando al sistema car-gas reactivas (generalmente en paralelo para no modificar la tension dis-ponible) de naturaleza contraria a la que el sistema tiene, es decir en unsistema resistivo-inductivo se conenctaran cargas capacitivas y viceversa.Normalmente se trata de sistemas resistivo-inductivos los que se necesitacompensar, debido al uso de motores en la industria.

El calculo de la potencia reactiva necesaria se realiza en base al factorde potencia deseado como sigue.

Supongamos se desea llevar el factor de potencia acual fp0 al factor depotencia fpf

fp0 = cosϕ0 y

fpf = cosϕf

ambos en atraso, sin que varıe la potencia activa P . Para compensar un sis-tema en atraso se conecta entonces una carga capacitiva de potencia reactivaQC tal que

Qf = Q0 −QC ⇒ QC = Q0 −Qf

reemplazando las potencias reactivas segun (5.49) tenemos

QC = V I0 senϕ0 − V If senϕf

= V I0 cosϕ0 tanϕ0 − V If cosϕf tanϕf (5.57)


donde la tension permanece constante porque la carga se contecta en pa-ralelo. Como la potencia activa no cambia, P = V I0 cosϕ0 = V If cosϕf ,entonces

QC = P (tanϕ0 − tanϕf )

de donde se puede hallar la capacidad necesaria para la correccion

V 2

XC

= V 2ωC = P (tanϕ0 − tanϕf )

C =P (tanϕ0 − tanϕf )

V 2ω(5.58)

5.6. Senales poliarmonicas

5.6.1. Desarrollo de senales en serie de Fourier

Una senal f(t) cuadrado integrable5 puede ser representada en un unintervalo [a, b] en diferentes bases o conjuntos de funciones (vectores) orde-nados y linelamente independiantes en un espacio de Hilbert. Por ejemplola representacion en serie de Taylor utiliza como base las derivadas suce-sivas de la funcion. La serie de Fourier permite representar una senal enun intervalo [a, b] mediante la combinacion de senos y cosenos oscilando adistintas frecuencias. Es decir representa la funcion en terminos de una baseortonormal6 formada por

(1, cos(nω0t), sen(nω0t)) (5.59)

con n = 0, 1, 2, . . .∞.La serie resulta periodica de perıodo 2π, por estar formada por senos

y cosenos, y aproxima a la funcion en el intervalo [a, b]. Si la funcion f(t)es tambien periodica de perıodo T = b − a, entonces la serie aproxima a lafuncion para todo t.

5.6.2. Serie en senos y cosenos

La funcion periodica f(t) de perıodo T puede ser representada por laserie infinita

f(t) =a02

+∞∑

n=1

an cos(nω0t) +∞∑

n=1

bn sen(nω0t) (5.60)

5Una funcion es cuadrado integrable si la integral de su valor absoluto al cuadrado esfinita, es decir una funcion de energıa finita.

6Decimos que la base es ortonormal porque cada componente tiene producto internonulo con cualquier otro componente de la base y ademas el producto interno por sı mismoes igual a 1, por lo que su norma ||f(t)|| = 1.

5.6. SENALES POLIARMONICAS 163

con

an =1

π

∫ π

−π

f(t) cos(nω0t)dω0t (5.61)

bn =1

π

∫ π

−π

f(t) sen(nω0t)dω0t (5.62)

Para que la igualdad (5.60) sea verdadera, la serie debe converger af(t), si la funcion f(t) es cuadrado integrable entonces la serie converge yla igualdad se cumple. Una funcion que represente cualquier parametro decircuitos como tension o corriente es siempre cuadrado integrable, por lo quepara teorıa de los circuitos la igualdad (5.60) se cumple siempre.

El termino constante de (5.60) se obtiene de (5.61) haciendo n = 0

a02

=1

2π

∫ π

−π

f(t)dω0t (5.63)

que es el valor medio de la funcion f(t)Para n = 1 se obtienen los terminos que oscilan a menor frecuencia

a1 cos(ω0t) y b1 sen(ω0t)

esta frecuencia ω0 se llama frecuencia fundamental de la senal. Las fre-cuencias superiores a ω0 son todas multiplos de la funtamental, puesto quen = 2, 3, 4 . . . y se llaman armonicas (para n = 2 tenemos la primera armoni-ca ω1 = 2ω0, para n = 3 la segunda armonica ω2 = 3ω0, etc.). La relaciondel perıdo de la serie en radianes (2π) y el perıodo de la f(t) en segundos(T ) determina la frecuencia fundamental ω0

ω0 =2π

T(5.64)

5.6.3. Serie senoidal

Suele ser muy util representar la serie (5.60) solo con senos o cosenos,para lo que se necesita conocer la amplitud y fase de cada armonica. Siponemos la serie en terminos de senos, de forma

f(t) =c02

+∞∑

n=1

cn sen(nω0t+ φn) (5.65)

podemos expandir el sen(nω0t+ φn) en

sen(nω0t+ φn) = sen(nω0t) cos(φn) + cos(nω0t) sen(φn) (5.66)

y llevando a (5.65) nos queda

f(t) =c02

+

∞∑

n=1

[cn sen(nω0t) cos(φn) + cn cos(nω0t) sen(φn)] (5.67)


igualando (5.67) con (5.60)

c0 = a0

cn cos(φn) = an

cn sen(φn) = bn

y despejando cn y φn tenemos

cn =√a2n + b2n

φn = tan−1

(anbn

)

5.6.4. Serie compleja

Una forma mas compacta y moderna de representar la serie de Fourieres utilizando la funcion exponencial compleja ejnω0t como base. Utilizandolas igualdades

cos(nω0t) =ejnω0t + e−jnω0t

2

sin(nω0t) =ejnω0t − e−jnω0t

2j

en la serie trigonometrica (5.60) y operando nos queda

f(t) =∞∑

n=−∞Cne

jnω0t (5.68)

con

Cn =1

2π

∫ π

−π

f(t)e−jnω0tdω0t (5.69)

Los coeficientes de la serie trigonometrica y la exponencial se relacionanacomo

an = Cn + C−n (5.70)

bn = j (Cn − C−n) (5.71)

Los coeficientes de Fourier de la serie exponencial Cn se representannormalmente con otra notacion, por ejemplo en matematica se utiliza nor-malmente la notacion

f(t) =

∞∑

n=−∞f(n)ejnω0t (5.72)

y en ingenierıa

f(t) =∞∑

n=−∞F [n]ejnω0t (5.73)


Ejercitacion

1. Utilizando el metodo fasorial, encontrar la respuesta de estado establede la tension en el capacitor vC(t) del circuito (fig. 5.9).

i(t) = 10 cos(4t)A 4Ω 0, 25F vC(t)

Figura 5.9

2. Utilizando el metodo fasorial, encontrar la respuesta de estado establede la corriente total iT (t) y construir el diagrama fasorial de tensionesdel circuito (fig. 5.10).

iT (t)

1Ω 10mH

5µFv(t) = 1000 cos(100t)V

Figura 5.10

3. Encontrar la iT (t) del nudo de la fig. 5.11, construir el diagrama fasorialde corrientes y determinar la diferencia de fase que existe entre cadafasor de corriente I1, I2 e I3.

i1(t) = 14, 14 cos(ωt+ 45)

i2(t) = 14, 14 cos(ωt− 75)

i3(t) = 14, 14 cos(ωt− 195)

iT (t)

Figura 5.11

4. Dado el circuito de la fig. 5.12 se pide

a. calcular la impedancia total equivalente ZT

b. construir diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes

c. determinar la diferencia de fase entre VT y IT

5. Un circuito RC paralelo como el de la fig. 5.13 tiene una admitanciade Y = 1

RP+ jXCP

. Calcular el valor de cada elemento del circuito

equivalente serie que tenga una impedancia de Z = 1Y.

6. En un circuito serie RC con R = 8Ω y C = 30µF alimentado con ungenerador de frecuencia variable se desea que la corriente adelante 30


2√2 IT

1

2

j1

−j2

Figura 5.12

RP XCP

RS

XCS

Y Z

Figura 5.13: Calculo simbolico

a la tension. Calcular a que frecuencia f debe oscilar el generador paraproducir dicho adelanto.

7. Las tensiones en los elementos de la figura 5.14 son

v1(t) = 70,7 sen(ωt+ 30)V

v2(t) = 28,3 sen(ωt+ 120)V

v3(t) = 14,14 cos(ωt+ 30)V

Aplicando el metodo fasorialse pide

a. calcular la tension vT (t)y corriente iT (t)

b. determinar la lectura delvoltımetro

c. construir el diagrama fa-sorial completo

vT (t) V

iT Z1

Z2

Z3 = 6 + j10

v1(t)

v2(t)

v3(t)

Figura 5.14: Regimen perma-nente senoidal

8. Encontrar la impedancia total equivalente del circuito de la fig. 5.15 yconstruir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes.

9. Para el circuito de la figura 5.16 se pide

a. aplicando metodo fasorial encontrar el fasor de corriente total ITy su correspondiente i(t) (utilizar fasores eficaces)


1506 − 120 IT

10

25

j8

j3−j10

Figura 5.15

b. trazar diagrama fasorial de tensiones (VT, VR1, VL, VR2

=VC) y de corrientes (IT, Ia, Ib). Utilizar si se quiere dos graficasdiferentes para uno y otro diagrama

c. construir el triangulo de potencias del circuito.

50 cos(200t+ 70)V iT (t)ia ib

R1

R2 C

LDatos

R1 = 150Ω

R2 = 100Ω

C = 60µF

L = 500mH

Figura 5.16

10. Dado el circuito de la fig 5.17 se pide aplicar calculo fasorial para

a. encontrar el fasor de corriente total I y su correspondiente i(t)

b. calcular la tension eficaz VAB

c. hacer el diagrama fasorial considerando una Zeq entre los puntosA y B

d. deducir y calcular la potencia activa P entregada por la fuente

40 cos(500t)V

5Ω

16mH

500µF

500µFi(t)

A

B

Figura 5.17

11. Encontrar el valor de capacidad C que produce un atraso de corrien-te de 30 respecto de la tension aplicada en el circuito de la figura5.18. Hallar el fasor corriente total y construir el diagrama fasorial detensiones y corrientes completo.


5Ω0,2H

C =?

i(t)vT (t) = 5

√2 sen(10t)V

Figura 5.18: Hallar el valor de C para que la corriente atrase 30 a la tensionaplicada

12. La corriente de regimen que circula por un circuito serie RLC exci-tado por una fuente vin(t) esta retrasada 30 respecto a la tensionaplicada. El valor maximo de la tension en la bobina es el doble de lacorrespondiente al capacitor y vL = 10 sin(1000t).

hallar los valores de L y C sabiendo que R = 20Ω.

hallar la frecuencia de la fuente de excitacion vin(t). Justificar larespuesta.

13. Dado el diagrama fasorial de la fig. 5.19 se pide determinar:

parametros del circuito equivalente serie Rs y Ls

parametros del circuito equivalente paralelo Rp y Lp

Para ambos casos la frecuencia es de 50Hz.

real

imaginario

V

I

45

−13

150

33

Figura 5.19: Diagrama fasorial

14. A un circuito serie RLC con R = 5Ω, L = 0,02H y C = 80µF , se aplicauna tension senoidal de frecuencia variable, determinar los valores deω para los que la corriente a) adelanta 45 a la tension, b) esta en fasecon la tension y c) atrasa 45 a la tension.

15. Encontrar el valor de R1 en el circuito de la fig. 5.20 para que el factorde potencia del circuito valga 0,891 en adelanto.

16. Calcular el valor de V1 tal que la corriente por la resistencia sea nula


R2 = 4ΩR1 =?

C = −j5Ω

Figura 5.20

V1 106 10IR

−2j

22j

5j

Figura 5.21: Calculo simbolico

1206 10

10

5

−j10j12

A

B

Figura 5.22: Tension en regimen permanente sinusoidal

17. Encontrar la tension VAB e indicarla en el diagrama fasorial de ten-siones del circuito de la figura 5.22

18. En el circuito de la fig. 5.23 la corriente I atrasa a la tension V unangulo ϕ. Bajo esta condicion

a. Dibujar el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes

b. Indicar en el diagrama fasorial de tensiones la tension VAB

19. Para el circuito de la figura 5.24 se pide construir el diagrama fasorialcompleto de tensiones y corrientes para C = 1,66mF y C = 5mF

20. Un sistema capacitivo alimentado con excitacion senoidal disipa unapotencia P = 7200W con un factor de potencia fp = 0, 334. Se sabeque los valores de resistencia y capacidad del sistema son R = 2Ω yC = 470µF respectivamente. Se pide calcular


VI

R1

R2

L1

L2 C

A

B

C

Figura 5.23

16Ω

2H

C√2 sen(6t)

Figura 5.24: Circuito RLC con fuente de corriente

a. la frecuencia de la fuente de alimentacion senoidal

b. la tension eficaz de la fuente y la caıda de cada elemento

c. la corriente eficaz

d. construir diagrama fasorial de tensiones y corriente, considerandola tension de alimentacion con fase 0

21. Sobre un circuito RLC serie se miden las siguientes tensiones VT =220V , VC = 220V y VL = 438,2V . Sabiendo que la componente resis-tiva del circuito es de 10Ω, se pide

a. calcular el cosϕ, el fasor de corriente I y construir el diagramafasorial de tensiones

b. construir el triangulo de potencias

c. si se modifica el valor de C para que el cosϕ sea de 0,95 en atraso,como se modifica el triangulo de potencias?

22. Sean dos impedancias en serie tal que ZT = 1 + j2Ω (fig. 5.25).Sabiendo que las tensiones son v2(t) = 31,6 cos(ωt + 73,4) y vT =20 cos(ωt− 35), se pide

a. calcular el fasor V1

b. deducir que medira un voltımetro colocado en los bornes de Z1,Z2 y ZT

c. construir el diagrama fasorial de tensiones

d. construir el triangulo de potencias


Z1

Z2

v1(t)v2(t)vT (t)

Figura 5.25: Impedancias en serie

23. Mediante la conexion de capacitores en paralelo se modifica el f.p.desde 0,65 en retraso a 0,90 en retraso de una carga de 300W conectadaa la distribucion domiciliaria (220V − 50Hz). Se pide

a. calcular la capacidad C de los capacitores agregados en paralelo

b. determinar el porcentaje de disminucion de la corriente despuesde la correccion

c. construir los triangulos de potencia antes y despues de la correc-cion

24. Se quiere encontrar las constantes R y L de una bobina real. Paraesto se utiliza una resistencia patron de RP = 10Ω. Al conectar laresistencia patron en serie con la bobina real y alimentar el circuito semiden las siguientes tensiones: VRpatron = 20V en la resistencia patron,Vbobina = 22,4V en los bornes de la bobina y VT = 36V la tension dealimentacion. Si la frecuencia de alimentacion es de f = 50Hz, calcularR y L del inductor real.

25. La corriente que circula por un circuito serie RLC esta retrasada 30

con respecto a la tension aplicada. El valor maximo de la tension enla bobina es el doble de la corresponiente al capacitor y vale vL(t) =10 sen(100t)V . Se pide hallar los valores de L y C sabiendo que R =20Ω


a. La corriente total IT, y las corriente en las impedancias ZA y ZB

b. La potencia activa en cada impedancia y la potencia activa totalcon su verificacion

c. El factor de potencia del circuito

d. Diagrama fasorial completo.

27. Dado el circuito de la fig. 5.27 se pide

a. encontrar iT (t)

b. construir el diagrama fasorial completo de tensiones (VR1, VC,

VL, VR2, VT ) y corrientes (IT, IL, IR2

)


V = 1206 0ZA = 9,66 − 51,3

= 6− j7,5ZB = 8,936 26,6

= 8 + j4

ZC = 6,76 65,3

= 2,8 + j6,1

Figura 5.26: Calcular corriente y potencia activa de cada elemento

c. determinar la diferencia de fase entre VT y IT


100√2 sin(1000t+ 30) iT

R1 = 150Ω

R2 = 270ΩL = 200mH

C = 4µF

Figura 5.27

28. El diagrama fasorial de la figura 5.28 se obtiene al aplicar una tensionsinusoidal v(t) = 15 cos(10t) a un cicruito serie, los valores son |VR| =8V , |VL| = 1,03V y |VC | = 8V . Determinar a partir de este:

el valor de los elementos pasivos que conforman el circuito

el cosϕ del sistema

el triangulo de potencias utilizando el metodo de potencia comple-ja y comprobando con el calculo de la potencia en cada elemento.

8V 8V

1,03V

I = 1A

Figura 5.28: Diagrama fasorial de tensiones

29. A que se llama factor de potencia? Como se corrige? Demuestre quela capacidad en paralelo necesaria para corregir el factor de potenciade un sistema viene dada por

C =P (tanϕ0 − tanϕf )

V 2ω(5.74)

con P la potencia activa y V la tension de alimentacion del sistema, ycosϕ0 y cosϕf los factores de potencia inicial y final respectivamente.


30. Si la corriente que atraviesa un capacitor de C = 2,5mF en el dominiode s es

IC(s) =5

s+ 200

se pide

a. encontrar VC(s) si vC(0) = 10V

b. decir cual es el τ del circuito

c. calcular y graficar iC(t) y vC(t)

31. En el circuito de la fig. 5.29 se dan valores arbitrarios a R2 y jXL. Sepide

a. demostrar analıticamente que para cualquier par de valores de R2

y jXL el valor eficaz de la diferencia de potencial VAB es siempre50V

b. construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes para unpar cualquiera de valores de R2 y jXL

c. senalar en el diagrama fasorial el fasor VAB

1006 0

10Ω

10Ω R2

jXL

A B

Figura 5.29

32. Para el circuito de la figura 5.30 se pide

a. calcular la tension VAB

b. construir el diagrama fasorial completo (tensiones y corrientes)

c. indicar en el diagrama fasorial la tension VAB


e. calcular la potencia en los elementos resistivos

33. El circuito de la fig. 5.31 es el equivalente de un motor asıncrono enregimen permanente nominal. Ze y Zr representan respectivamentelas impedancias del estator y rotor. La resistencia Rc representa lasperdidas en el hierro y XM la reactancia de magnetizacion. En es-tas condiciones de funcionamiento el motor consume una potencia de25KW con un cosϕ = 0,77. Se pide


10 + j10I

I1 I2

2

4

j2

j4

−j4A

B

Figura 5.30: Calcular VAB

a. Determinar la potencia de perdida en el hierro (potencia en Rc)

b. Calcular los valors de Rc y XM

c. Calcular la potencia reactiva necesaria para llevar el f.p. a 0,9 enatraso.

RcjXM

Ze = 0,5 + j0,2

Zr = 3 + j3,7220V, 50Hz

Figura 5.31: Potencia y factor de potencia


Soluciones


El fasor de tension es

VC =10√

2(14 + j)

VC = 6,86 6 − 75,96

y la respuesta en el dominio del tiempo

vC(t) = 9,7 cos(4t− 75,96)


El fasor de corriente es

IT =1000

√2(1 + j100 · 0, 01 + 1

j100·5×10−6

)A

IT = 353× 10−3 6 89, 97A

y la respuesta en el dominio del tiempo

iT (t) = 0, 5 cos(ωt+ 89, 97)A

Ejercicio 3 Resolucion Numerica

Los fasores de corriente de cada rama son

I1 = 106 45A

I2 = 106 −75AI3 = 106 −195A

segun LKC, en el nudo la suma sera

IT − I1 − I2 − I3 = 0A

IT = 106 45 + 106 −75 + 106 −195

Para sumar estos fasores, los escribimos en su forma binomial

IT = (7, 0711 + j7, 0711) + (2, 5882− j9,6593) + (−9, 6593 + j2, 5882)

IT = 0A


El resultado obtenido es logico, pues si se observan estas corrientestienen todas la misma amplitud y estan defasadas 120 entre sı. Es de-cir que se trata de tres fasores simetricos, que se anulan mutuamente(vease el diagrama fasorial de la fig. 5.32). Este tipo de corrientes seobtiene por ejemplo al excitar un sistema trifasico de cargas equilibra-das con una senal simetrica.

I1

I2

I3

45

−95

−195

Im

Re

Figura 5.32: Diagrama fasorial de corrientes del ejercicio 3

Ejercicio 9 Planteo

Para encontrar la corriente total IT buscamos primero la impedanciatotal equivalente del circuito.

ZT = R1 + jωL+

(1

1R2

+ jωC

)= R1 + jωL+

(R2

1jωC

R2 +1

jωC

)

entonces el fasor corriente sera

IT =VT

ZT

Con la corriente total se puede obtener cada una de las caıdas detension en los elementos

VR1= R1 IT

VL = jωL IT

Vparalelo = VR2= VC =

(R2

1jωC

R2 +1

jωC

)IT


Con la tension del paralelo se obtienen las corrientes de la rama a y b

Ia =Vparalelo

R2

Ib =Vparalelo

1jωC

Las potencias activa, reactiva y aparente seran

P = |VT| · |IT| · cos(ϕ)Q = |VT| · |IT| · sen(ϕ)S = |VT| · |IT|

siendo ϕ angulo de desfasaje entre la tension y la corriente, igual alargumento de la impedancia total equivalente ZT .

Resolucion numerica

El fasor eficaz de tension de la alimentacion es

VT =50√26 70 = 35,36 6 70V

y con ω = 200 rads

la impedancia total equivalente

ZT = 150 + j200 · 500x10−3 +

(1

1100 + j200 · 60x10−6

)

ZT = 150 + j100 + (40,98− j49,18)

ZT = 190,98 + j50,82 = 197,636 14,9Ω

entonces el fasor corriente es

IT =35,366 70

197,636 14,9A

IT = 0,178926 55,1A

Las tensiones en R1, en L y en el paralelo son

VR1= 150 · 0,178926 55,1 = 26,846 55,1V

VL = 1006 90 · 0,178926 55,1 = 17,89 6 145,1V

Vparalelo = 64,026 − 50,19 · 0,178926 55,1 = 11,45 6 4,91V

y finalmente las corrientes en las ramas a y b son

Ia =11,456 4,91

100= 0,11456 4,91A

Ib =11,456 4,91

83,336 − 90= 0,13756 94,91A


Vparalelo

VL

VR1 VT

70

55,1

145,1

Im

Re

Figura 5.33: Diagrama fasorial de tensiones del ejercicio 9

IT

Ia

Ib

55,194,91

Im

Re


En las figuras 5.33 y 5.34 se trazan los diagramas fasoriales de tensiony corriente respectivamente.

Las potencias del circuito son

P = 35,36 · 0,17892 · cos(70 − 55,1) = 6,1139W

Q = 35,36 · 0,17892 · sen(70 − 55,1) = 1,6268VAR

S = 35,36 · 0,17892 = 6,33VA

El triangulo de potencias es el de la figura 5.35


P = 6,1139W

Q = 1,6268VARS = 6,33VA

14,9

Figura 5.35: Triangulo de potencias del problema 9


A partir del fp del circuito se calcula el argumento ϕ de la impedanciaZT del circuito y de esta la reactancia capacitiva XC , sabiendo que

ϕ = cos−1(fp) (5.75)

XC

R= tg(ϕ)⇒ XC = R tg(ϕ) (5.76)

la frecuencia angular ω se obtiene de la relacion entre XC y C, y deaquı la frecuencia f

XC =1

ωC=

1

2πf C⇒ f =

1

2πXC C(5.77)

El valor eficaz de la corriente y la resistencia determinan la potenciaactiva

P = I2ef R (5.78)

por lo tanto

Ief =

√P

R(5.79)

El modulo del fasor tension total aplicado Vef puede calcularse a partirde los modulos de los fasores de tension del capacitor y la resistencia,

Vef =√V 2R + V 2

C =√(RIef )2 + (XC Ief )2 (5.80)

Para construir el diagrama fasorial se deben calcular los fasores detension y corriente total, el fasor IT sera

IT = Ief 6 − ϕ (5.81)

y el de tension

VT = Vef6 0 (5.82)

Las tensiones en los elementos seran

VR = R · IT (5.83)

VC = −jXC · IT (5.84)


Resolucion numerica

Reemplazando los valores de resistencia, capacidad y factor de poten-cia segun los datos

ϕ = cos−1(0,334) = −70,5 (5.85)

XC = 2 · tg(−70,5) = 5,64Ω (5.86)

observese que de los dos valores de angulo que se obtienen del calculodel cos−1 (uno positivo y otro negativo) se toma el angulo negativopor tratarse de una impedancia capacitiva.

Para la frecuencia

f =1

2π · 5,64 · 470× 10−6= 60Hz (5.87)

La corriente eficaz sera

Ief =

√7200

2= 60A (5.88)

y la tension eficaz

Vef =√(2 60)2 + (5,64 60)2 = 359,26V (5.89)

Por ultimo se calculan los fasores para construir el diagrama fasorialde la fig. 5.36

IT = 606 70,5A (5.90)

VT = 359,266 0V (5.91)

VR = 2 · 606 70, 5 = 1206 70,5V (5.92)

VC = −j5,64 · 606 70,5 = 338,46 − 19,5V (5.93)


a. La solucion se obtiene de aplicar la LKV al circuito serie

VT = VR + VL + VC (5.94)

pero como se tienen solo los modulos de las caıdas de tensioncomo dato, entonces se debe resolver trigonometricamente. Comose sabe que las caıdas en los elementos reactivos estan desfasadas180 entre sı, se puede encontrar el modulo de la caıda de tensionen ambos elementos simplemente por diferencia de sus modulos.Si llamamos a esta tension VX, su modulo sera

VX = VL − VC


VC

VR

VT

IT

−19, 5

70, 5

70, 5

Im

Re


Ademas, se sabe que esta tension en los elementos reactivos tie-ne una diferencia de fase de 90 respecto de la caıda de tensionresistiva, y con la tension total aplicada se forma un triangulorectangulo. Teniendo entonces los modulos de la tension total yde la tension en los elementos reactivos, se obtiene el angulo ϕ

ϕ = sen−1

(VX

VT

)= sen−1

(VL − VC

VT

)

Como no se conoce ningun angulo de fase de los fasores de tension,se puede considerar que la caıda de tension resistiva tiene unafase cero, por lo que tambien tendra fase nula la corriente total,lo que facilita mucho el calculo. Entonces, si VR tiene fase cero,VL como VC tendran fase 90 y −90 respectivamente, y el fasorVT se obtiene con la ec. (5.94)

VR = VR 6 0

VL = VL 6 90

VC = VC 6 − 90

La corriente total se obtiene de la caıda de tension en la resistencia

IT =VR

R

b. Para construir el triangulo de potencias se calcula la potenciacompleja S

S = VT I∗T

de donde

P = ℜeSQ = ℑmSS = |S|


c. Considerando nuevamente a la tension en la resistencia con fasecero, segun el nuevo factor de potencia la tension aplicada sera

VT2 = VT 6 ϕ

y la tension en la resistencia

VR2 = VT cos(ϕ)

por ende el fasor corriente

IT2 =VR

R6 0

finalmente la nueva potencia compleja y las potencias activas,reactivas y aparente se obtienen de

S2 = VT2 I∗T2

P2 = ℜeSQ2 = ℑmSS2 = |S2|

Resolucion numerica

El siguiente codigo de octave permite obtener la resolucion numerica deeste problema. Para obtenerlo copiar el codigo en un archivo resolv.my ejecutar en consola $ octave resolv.m

% Para ejecutarlo, desde consola escribir octave archivo.m

% Declaracion de constantes conocidas

R = 10;

mod_V_T = 220;

mod_V_L = 438.2;

mod_V_C = 220;

cos_phi2 = 0.95

% Calculo de phi en radianes.

phi = asin( (mod_V_L - mod_V_C) / mod_V_T );

% Calculo del modulo V_R. Se deja sin ; para que se muestre el valor por pantalla

mod_V_R = mod_V_T * cos( phi )

% Se calculan V_R, V_L, V_C y V_T, considerando a V_R con fase cero

V_R = mod_V_R


V_L = mod_V_L * i

V_C = mod_V_C * (-i)

V_T = mod_V_R + ( mod_V_L - mod_V_C) * i

% Muestra de V_T en forma polar

% modulo

abs( V_T )

% y argumento

arg( V_T ) * 180/pi

% Calculo de la corriente

I_T = V_R / R

% en forma polar, modulo

abs( I_T )

% y argumento

arg( I_T ) * 180/pi

% Calculo de la potencia compleja S

S_compleja = V_T * conj( I_T )

P = real( S_compleja )

Q = imag( S_compleja )

S = abs ( S_compleja )

% el factor de potencia

cos_phi = P / S

% Calculo del nuevo phi2

phi2 = acos( cos_phi2 )

% Nueva caıda de tension en R, considerando su fase cero

V_R2 = mod_V_T * cos_phi2

% Nueva corriente

I_T2 = V_R2 / R

% Nueva tension V_T2

V_T2 = mod_V_T * ( cos( phi2 ) + sin( phi2 ) * i )

% Muestra de V_T2 en forma polar

% modulo

abs( V_T2 )

% y argumento

arg( V_T2 ) * 180/pi


% Nueva potencia compleja, y potencias activa, reactiva y aparente

S_compleja2 = V_T2 * conj( I_T2 )

P2 = real( S_compleja2 )

Q2 = imag( S_compleja2 )

S2 = abs ( S_compleja2 )


La suma de las tensiones a lo largo de la malla es

vT (t) = v1(t) + v2(t)

VT = V1 + V2

de donde

V1 = VT − V2

V1 = (11,5846− j8,1116)− (6,3836 + j21,4133) = 5,2010− j29,5249V

V1 = 29,98 6 − 80,01V

Las tensiones medidas por un voltımetro a bornes de cada impedanciaseran los modulos de los fasores eficaces

V1 = 29,98V

V2 = 22,35V

VT = 14,14V

Con los fasores obtenidos se construye el diagrama fasorial de la fig.5.37.

Para construir el triangulo de potencias se puede calcular la corrientetotal

IT =VT

ZT

IT =11,5846− j8,1116

1 + j2= −0,92773− j6,25614A

IT = 6,32 6 − 98,43A

de donde

S = VTI∗T

S = (11,5846− j8,1116) · (−0,92773 + j6,25614)

S = 40 + j80


V1

V2

VT

−80,01

Im

Re


Es decir, la potencia activa P = 40W, la potencia reactiva Q = 80VARy la potencia aparente S = 89,44VA. El factor de potencia del sistemaes

cosϕ =P

S= 0,4471

en retraso.

En la fig. 5.38 se construye el triangulo de las potencias.

P = 40W

Q = 80VAR

S = 89,44VA

Figura 5.38: Triangulo de potencias del ejercicio 22

Capıtulo 6

Resolucion sistematica decircuitos

Las transformaciones de Laplace y fasorial vistas en los capıtulos an-teriores permiten llevar las ecuaciones de equilibrio de un circuito en eldominio del tiempo a un dominio (de s o de jω respectivamente) dondelas ecuaciones de equilibrio son puramente algebraicas. A continuacion sedesarrollan dos metodos aplicables a circuitos con ecuaciones de equilibriopuramente algebraicas que permiten encontrar las variables incognitas enforma sistematica.

6.1. Metodo de las corrientes en las mallas

Enunciado

Dado un circuito lineal con n corrientes de malla independientes, la ecua-cion matricial de equilibrio viene dada por

Z11 Z12 . . . Z1n

Z21 Z22 . . . Z2n...

Zn1 Zn2 . . . Znn

I1I2...In

=

V1

V2...Vn

(6.1)

donde los elementos de la diagonal principal son las impedancias propias decada malla y los otros elementos son las llamadas copedancias entre mallas.Las impedancias propias de cada malla se forman sumando los N elementospertenecientes a la malla, para la malla k sera

Zij

∣∣i=j=k

=N∑

n=1

Zkn (6.2)

Las copedancias se forman sumando todas las impedancias compartidas en-tre la malla k y la malla l, es decir todas las impedancias que son atravesadas

187

188 CAPITULO 6. RESOLUCION SISTEMATICA DE CIRCUITOS

por las corrientes Ik e Il. Si las corrientes atraviesan las impedancias com-partidas en sentido contrario, la copedancia se debe multiplicar por −1.

Prueba

Se llama corriente de malla a una corriente ficticia, o corriente de Max-well, que circula por una malla particular del circuito. Para determinar cuan-tas mallas independientes conforman un circuito se debe analizar la topo-logıa del circuito. Una forma practica de encontar este numero es contandola cantidad de cortes mınimos que deben realizarse sobre un circuito paraabrir todas las mallas. El numero de cortes realizados es igual a la cantidadde corrientes de malla independientes que conforman el circuito. Notese queeste numero es unico para un circuito, pero no es unica la forma de elegirlas mallas, es decir que no son unicas las corrientes de malla.

Para mostrar como se obtiene la ecuacion matricial (6.1) vamos a utilizarun ejemplo. Supongamos el circuito de la figura FIG:, representado en eldominio fasorial.

6.2. Metodo de las tensiones en los nudos

Consideremos las tensiones en los nudos principales del circuito de lafigura FIG. Estas tensiones estan referidas al nudo de referencia con la pola-ridad indicada. Si se desarrollan las ecuaciones de equilibrio de las corrientesen cada nudo se obtiene

V1 − VA

ZA

+V1

ZB

+V1 − V2

ZC

= 0 (6.3)

V2 − V1

ZC

+V2

ZD

+V2 − VB

ZE

= 0 (6.4)

Para explicar la constitucion de la ecuacion (6.3) veamos la figura FIGdonde se reproduce en detalle las referencias de las tensiones y corrientesen el nudo 1. Las corrientes que se muestran se eligen arbitrariamente parael desarrollo como entrantes o salientes al nudo, en este caso al ser todassalientes se tiene

Ia + Ib + Ic = 0

la circulacion de la corriente Ia por la impedancia ZA produce una caıda detension VZA

con la polaridad indicada, de forma que la ecuacion de mallaes

VA + VZA− V1 = 0

VZA= V1 − VA (6.5)

6.2. METODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS 189

con lo que

Ia =V1 − VA

ZA

(6.6)

la corriente Ib se obtiene directamente de hacer la tension de nudo sobre laimpedancia ZB, ya que VZB

= V1

Ib =V1

ZB

(6.7)

por ultimo se obtiene la corriente Ic de la misma forma que se obtuvo Ia, esdecir calculando la tension en ZC

V2 − VZC− V1 = 0

VZC= V2 − V1 (6.8)

y luego la corriente es

Ic =V2 − V1

ZC

(6.9)


Ejercitacion

1. En el circuito de la figura 6.1 elegir las corrientes de mallas, calcular susimpedancias propias y copedancias, y armar la matrız de impedancias.Luego resolver el sistema matricial.

8Ω

16Ω

22Ω

−j6Ω

j5Ω

j9Ω546 30V

Figura 6.1

2. Para el ejercicio 1 , elegir mallas diferentes y calcular el nuevo ∆Z,comparar.

3. Para el circuito de la figura 6.2 plantear el sistema de ecuaciones segunlas referencias de corrientes mostradas, obtener la matriz de impedan-cias [Z] y resolver.

12Ω

40Ω

9Ω

18Ω

−j21Ω

j6Ω

j4Ωj3Ω

326 180

266 45

I1 I2

I3

Figura 6.2

4. En el circuito de la figura 6.3 calcular las corrientes I1 e I2, construirel triangulo de potencias y calcular la potencia disipada en cada resis-tencia. Verificar que la potencia activa total es igual a la suma de laspotencias disipadas por cada resistencia.

15Ω

13ΩI1 I2

−j12Ω

j15Ω1806 0V

Figura 6.3


5. Dado el circuito de la figura 6.4, determinar el valor de la fuente EB

para que reduzca a cero la corriente en esa rama.

5Ω

3Ω −j2Ω

j5Ω j2Ω

EA = 106 0V EB

Figura 6.4

6. La figura 6.5 muestra un esquema trifasico de conexion tipo estre-lla. Encontrar por el metodo de las corrientes de mallas las llamadascorrientes de lınea IA, IB e IC.

IA

IB

IC

3− j6Ω

3 + j5Ω 3 + j9Ω

406 30

406 150

406 270

Figura 6.5

7. Del circuito de la figura 6.6 determinar la corriente de rama Ix segunse indica. Resolver aplicando el metodo de los nudos tomando el nudo4 como referencia. Dato adicional: ∆Y = 0,0501

Ix

R1 = 8Ω

R2 = 10Ω

R3 = 7Ω

R4 = 12Ω

R5 = 5Ω

R6 = 4Ω

100V

140V

60V

80V

V1 V2

V3

V4

Figura 6.6: Determinar Ix

8. Aplicando el metodo de las tensiones en los nudos, calcular la tensioneficaz del generador de la figura 6.7 para disipar 75W en la resistencia.

9. Calcular la tension de salida Vout del circuito de la figura 6.8.

10. El sistema representado por el esquema de la figura 6.9 debe ser con-figurado mediante la resistencia de carga Rx para que la tension y


3Ω−j5Ωj4Ω

j4Ω|V| =?

Figura 6.7

5Ω

10Ωj5Ωj10Ω

506 0Vout

Figura 6.8

corriente de entrada esten en fase. Calcular Rx utilizando impedanciade entrada y la tension VAB utilizando impedancia de transferencia.

23Ω

−j2Ω −j2, 5Ω

j3Ω

j7Ω

Rx

126 15

A

B

Figura 6.9

11. Calcular para el sistema del ejercicio 10 las potencias en cada elementoy construir el triangulo de potencias total. Verificar que la potenciaactiva P es igual a la potencia aparente S.

12. Para el circuito de la figura 6.10 calcular la tension de salida Vout si

a. el generador de tension vale Vin = 0

b. el generador de tension vale Vin = 366 30

3Ω −j5Ω

j4Ω 12ΩVin 16 0 Vout

Figura 6.10

13. Calcular la corriente de salida Io del circuito de la figura 6.11 utilizandoel metodo de los nudos.


26 0

5Ω

10Ω

j40Ω

j5Ω

−j10Ω

506 0

Io

Figura 6.11: Determinar Io

14. Dado el circuito de la figura 6.12, se pide determinar la tension VAB

con los datos indicados.

56 30A 5Ω5Ω

5Ω

j10Ω j5Ω

256 90V

A

B

Figura 6.12: Determinar VAB

15. Considere una red de tres mallas independientes tal queZ11 Z12 Z13

Z21 Z22 Z23

Z31 Z32 Z33

I1I2I3

=

V1

V2

V3

(6.10)

a. defina impedancia de entrada e impedancia de transferencia.

b. efectue los desarrollos necesarios para su determinacion.

16. La resistencia de 5Ω consume una potencia de 520W y el circuito total2800VA de potencia aparente con un factor de potencia en adelanto de0,86. Hallar Z

Z =?

5Ω

j8ΩV

Figura 6.13: Calcular la impedancia Z

17. Aplicando el metodo de las corrientes de mallas encontrar el valorde capacidad C que produce un atraso de corriente de 30 respecto


de la tension aplicada en el circuito de la figura 1. Hallar el fasorcorriente total y construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientescompleto. Calcular la potencia disipada por la resistencia y la potenciacompleja en el generador.

18. En el circuito de la fig. 6.14 se pide, aplicando el metodo de corrientesde malla

a. Obtener las matrices de impedancia Z y de las tensiones de mallaV para el planteo del metodo ZI = V

b. Justificar el signo de las copedancias de la matriz Z

10 + j10

10− j10

I1

I2

I3

10

10

10

j5 j5

−j5

Figura 6.14: Corrientes de malla

19. En el circuito de la fig. 6.15 se pide, aplicando el metodo de tensionesen los nudos

a. Obtener la matriz de admitancia Y y el vector de corrientes Ipara el planteo del metodo YV = I

b. Justificar el signo de las coadmitancias de la matriz Y

10 + j10

10− j10

V1

V2V3

4

2

2

2

j1 j1

−j1

Figura 6.15: Tensiones en los nudos

20. En el circuito de la fig. 6.16 se pide, aplicando el metodo de tensiones enlos nudos, obtener la matriz de admitancia Y y el vector de corrientesI segun las referencias.


10206 30

V1

V2

V3

22

1j20

j5−j5

−j20

Figura 6.16: Tensiones en los nudos

Soluciones


I1 = −3, 23 + j0, 43Ω = 3, 256 172, 32, I2 = −2, 93 + j0, 86Ω =3, 056 163, 60, I3 = −2, 2 + j0, 81Ω = 2, 346 159, 76.


I1 = 7, 56 + j1, 88Ω = 7, 796 13, 94, I2 = 4, 15 − j2, 94Ω = 5, 106 −35, 15


EB = −4V


Ix = 5,15A


Codigo en Octave

output_precision = 6

Y11= 1/8+1/10+1/5;

Y22=1/10+1/4+1/7;

Y33= 1/8+1/12+1/7;

Y12=Y21= -1/10;

Y13=Y31= -1/8;

Y23=Y32= -1/7;

I1= 100/8+140/10;

I2= -140/10-60/7;

I3= -100/8-80/12+60/7;

Y= [Y11, Y12, Y13;

Y21, Y22, Y23;

Y31, Y32, Y33]

I= [I1;

I2;

I3]

V= Y\I;

V1=V(1)

V2=V(2)

V3=V(3)

Ix= (V(2)+140-V(1))/10

Salida numerica

Y =

0.425000 -0.100000 -0.125000

-0.100000 0.492857 -0.142857

-0.125000 -0.142857 0.351190

I =

26.5000

-22.5714

-10.5952

V1 = 40.8375

V2 = -47.6626

V3 = -35.0223

Ix = -5.14999


|V | = 24, 2V


Vout = 17, 686 − 45


Zent = 23, 64Ω, Rx = 8, 33Ω, Ztrans13 = 85, 246 136, 15Ω y VAB =1, 53156 − 81, 1



1. Vout = 2,5716 90

2. Vout = 33,1066 117,78

Salida numerica generada por octave

Y =

0.3333 + 0.2000i -0.0000 - 0.2000i

-0.0000 - 0.2000i 0.0833 - 0.0500i

I =

11.3920 + 6.0000i

0.0000 + 0.0000i

V =

16.06 - 0.89i

-15.43 + 29.29i


Io = 0, 88− j1, 34A = 1, 66 − 56, 7A

Capıtulo 7

Teoremas circuitales

7.1. Teorema de Thevenin

Un circuito lineal activo cualquiera con terminales de salida A−B puedesustituirse por una fuente de tension VTh en serie con una impedancia ZTh,donde el valor de la fuente VTh es la tension a circuito abierto entre losterminales A − B y la impedancia ZTh es igual al cociente entre la tensionVTh y la corriente de corto circuito Icc de los terminales A−B. Para calcularel valor de la fuente VTh, llamada tension de Thevenin, se calcula la tensiona circuito abierto entre los terminales A y B, y para calcular la corriente Iccse unen los terminales A− B y se calcula la corriente que circula por ellos.Luego la impedancia ZTh llamada impedancia de Thevenin sera

ZTh =VTh

Icc(7.1)

En la figura 7.1 se ve esta equivalencia esquematicamente.

VABVABSLA VTh

ZTh AA

BB

≡

Figura 7.1: Equivalente de Thevenin

Para mostrar esta equivalencia supongamos un circuito activo con unaimpedancia Zl entre los terminales A−B como el de la figura 7.2. LlamemosIl a la corriente que circula por Zl, y VAB(Il) a la tension entre los terminalesA−B, enfatizando su dependencia de la corriente Il. Si se conecta una fuenteVx de polaridad opuesta a la tension VAB(Il) como en la figura 7.3 y se varıala tension de esta fuente hasta que la corriente por la impedancia se anuletendremos

199

200 CAPITULO 7. TEOREMAS CIRCUITALES

VABSLA Il

ZlA

B

Figura 7.2: Circuito activo de terminales A−B

VAB(0)− Vx = 0 (7.2)

ya que la tension que cae en Zl es nula. Como la corriente total es cero, latension que aparece entre los terminales A−B es la tension VAB a circuitoabierto. Es decir que esta fuente de prueba Vx que anula la corriente tieneel valor de la tension VAB a circuito abierto, Vx = VAB(0).

VABSLA Vx

Il

ZlA

B

Figura 7.3: Fuente de prueba Vx de valor igual a la tension VAB a circuito abierto

Si en estas condiciones analizamos el circuito por superposicion, tendre-mos lo siguiente: llamemos Il1 e Il2 a las corrientes que resultan de pasivar lafuente de prueba Vx y todas las demas fuentes, respectivamente, tal como seindica en la figura 7.4a y 7.4b. La corriente Il2 del circuito 7.4b, que resultade pasivar todas las demas fuentes menos Vx, viene dada por

Il2 =Vx

Zl + Zo(7.3)

donde Zo es la impedancia del circuito pasivado visto desde los terminalesA−B. Luego, como Il1 − Il2 = 0, Il1 = Il2 .

VABSLA Il1

ZlA

B

(a) Fuente de prueba pasi-vada

VABSLP Vx

Il2

ZlA

B

(b) Todas las fuentes pasivadasmenos la de prueba

Figura 7.4: Resolucion aplicando superposicion

Pero al pasivar Vx la corriente Il1 es igual a la que circulaba antes decolocar la fuente de prueba, es decir la corriente por Zl de la figura 7.2.

7.2. TEOREMA DE SUSTITUCION, O TEOREMA DE MILLER 201

Por lo tanto podemos utilizar el circuito equivalente de la figura 7.4b paracalcular la corriente Il1

Il1 = Il2 =Vx

Zl + Zo(7.4)

donde la fuente de pruebas Vx es la fuente de Thevenin y la impedancia Zo

es la impedancia de Thevenin.

Finalmente, haciendo tender Zl → 0 podemos observar dos cosas: pri-mero que la corriente Il1 de la figura 7.4a es la corriente de corto circuitode los terminales A− B, y segundo que la impedancia Zo es la impedanciade salida del circuito de la figura 7.4b definida como el cociente entre latension y corriente de salida con las demas fuentes pasivadas. Combinandoambas observaciones tenemos que la impedancia de Thevenin es igual a laimpedancia de salida del circuito de bornes A−B y viene dada por

ZTh =VABcircutio abierto

Ilcorto circuito

(7.5)

7.2. Teorema de sustitucion, o teorema de Miller

Una rama cualquiera por la cual circula una corriente I y cae una tensionV , puede ser reemplazada por cualquier otra rama que contenga elementosactivos, pasivos o una combinacion de ambos, siempre y cuando circule porella la misma corriente I y tenga a sus bornes la misma tension V .

La demostracion de este teorema es directa y se basa en la ley de Kir-chhoff de las tensiones. La suma algebraica de tensiones en una malla no semodifica si se suma y resta un generador ideal de igual tension V , si los gene-radores incorporados se conectan ambos en la misma rama tampoco se veranafectadas las corrientes del circuito, en estas condiciones todos los elementosde la rama que provocan la caıda de tension V pueden ser eliminados de lamalla junto con el generador incorporado en forma de subida de tension devalor V sin que se modifiquen las corrientes del circuito, quedando la ramaen cuestion formada solamente por el generador incorporado en forma decaıda de tension de valor V .

7.3. Teorema de compensacion

Como una aplicacion muy comun del teorema de sustitucion surge esteteorema de compensacion. Se trata del caso de un circuito que contiene unaimpedancia variable como carga, donde el calculo de la variacion de corrienteque provoca la variacion de esta impedandancia es de interes. Medianteeste teorema el calculo puede hacerse sin necesidad de recalcular el circuitocompleto.


Sea una impedancia Z variable en torno a un delta, si se reemplazala variacion de esta impedancia por una fuente de tension de forma quecompense la variacion de tension producida, la corriente circulante por larama seguira valiendo lo mismo que antes de la variacion de impedancia.Llamemos δZ a la variacion de impedancia, I a la corriente circulante paraδZ = 0 y δI a la variacion de corriente provocada por δZ, entonces la fuentede compensacion debera valer Vs = I (δZ). Si ahora analizamos el circuitoutilizando el teorema de superposicion vemos que al pasivar la fuente decompensacion Vs la corriente sera I+δI y al pasivar todas las demas fuentesdel circuito excepto la de compensacion la corriente sera −δI, de forma queal actuar en conjunto con las otras fuentes la corriente total es I.

Es decir que la fuente de compensacion actuando con todas las demasfuentes pasivadas nos permite calcular la variacion de corriente provocadapor la variacion de la impedancia Z

δI =−Vs

Z + δZ + Zo=

−IδZZ + δZ + Zo

(7.6)

donde Zo es la impedancia de salida del circuito visto desde los bornes deZ.

7.4. Teorema de reciprocidad

En un circuito lineal con una sola fuente la relacion entre la excitacion yla respuesta se mantienen al intercambiar las posiciones dentro del circuito dela excitacion por la respuesta. Para demostrarlo podemos recurrir al metodode las tensiones en una malla.

Sea Vi la fuente de tension en la rama i, que produce una corriente Ijcomo respuesta en la rama j, la relacion entre ambas viene dada por laimpedancia de transferencia Zij de tal forma que:

Vi = Zij Ij =∆Z

∆ijIj ⇒ Ij =

∆ij

∆Z

Vi (7.7)

si ahora trasladamos esta fuente a la rama j, la corriente que produce en larama i segun la impedancia de transferencia Zji sera:

Vj = Zji Ii =∆Z

∆jiIi ⇒ Ii =

∆ji

∆Z

Vj (7.8)

si comparamos las ecuaciones de las corrientes Ii e Ij vemos que solo sediferencian por el determinante sustituto de las respectivas impedancias detransferencia, ∆ij y ∆ji. Pero en una matriz simetrica, como es el caso de lamatriz de impedancias, los determinantes de la fila y columna intercambiada

7.5. TEOREMA DE MILLMAN 203

son iguales 1, es decir ∆ij = ∆ji, y por ende la corriente generada en la ramai sera igual a la corriente que antes se genero en la rama j, Ii = Ij

Las corrientes desarrolladas en las otras ramas del circuito para unoy otro caso no son necesarimente iguales, puesto que las impedancias detransferencias entre ramas diferentes no se mantendran iguales.

El mismo teorema de reciprocidad puede aplicarse en circuitos que con-tengan una sola fuente de corriente.

7.5. Teorema de Millman

El teorema de Millman establece que varios generadores reales de ten-sion a circuito abiero VG e impedancia interna Z conectados en paralelopueden ser remplazados por uno equivalente de tension VM en serie con unaimpedancia ZM , con

VM =

∑Ni=1

Vi

Zi∑Ni=0 Z

−1i

(7.9)

ZM =

(N∑

i=1

Z−1i

)−1

(7.10)

La demostracion de este teorema puede hacerse facilmente representandocada generador real por su equivalente de Norton y despues de agrupar todaslas impedancias y generadores reemplazarlo por su equivalente de Thevenincomo se muestra en la fig. 7.5.

Si la tension a circuito abierto del generador i -esimo es VGiy su impe-

dancia interna Zi entonces la corriente de Norton sera

INi=

VGi

Zi(7.11)

luego todas las corriente de Norton en paralelo daran como resultado unacorriente total equivalente

INeq =

N∑INi

(7.12)

y la impedancia sera el equivalente paralelo de las anteriores

ZNeq =1

∑N Z−1i

(7.13)

1sea Z =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

d11 a c

a d22 b

c b d33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

el adjunto del elemento i = 2, j = 3 es ∆23 = −∣

∣

∣

∣

d11 a

c b

∣

∣

∣

∣

y el adjunto del elemento

i = 3, j = 2 es ∆32 = −∣

∣

∣

∣

d11 c

a b

∣

∣

∣

∣

= − (d11b− ac) = ∆23


Z1Z1 Z2Z2 ZnZn

VG1VG2 VGn

IN1IN2

INn

ZNeqINeq

ZM

VM

· · ·· · ·

≡≡

≡

Figura 7.5: Teorema de Millman

Finalmente, el circuito equivalente de Norton obtenido se pasa a su equi-valente de Thevenin con tension

VM = INeqZNeq (7.14)

ZM = ZNeq (7.15)

y llevando la (7.12) a la (7.15) se obtiene la (7.10).

7.6. Teorema de transferencia de potencia maxima

La potencia activa transferida a una carga ZC depende del valor de lacarga frente a la impedancia de salida del circuito o generador real al cualesta conectada la carga.

7.6.1. Carga resistiva pura

Para una carga resistiva pura se lograra transferir la potencia maximasi el valor de esta resistencia es igual al modulo de la impedancia de salidadel generador real

RC = |ZG| (7.16)

7.6.2. Carga generica

Para lograr transferir la maxima potencia a una carga generica estadebera ser igual al conjugado de la impedancia de salida del generador real

ZC = Z∗G (7.17)

7.7. TRANSFORMACION ESTRELLA - TRIANGULO. TEOREMADE ROSEN205

7.6.3. Carga generica de reactancia fja

Si tiene una carga generica con su parte reactiva fija entonces no sepodra conseguir el conjugado de la impedancia ZG, por lo que la partereactiva de la carga debe considerarse como parte de la impedancia de salidadel generador, lo cual nos lleva al primer caso de carga resistiva pura, donde

ReZC = |ZG + ImZC| (7.18)

7.7. Transformacion estrella - triangulo. Teoremade Rosen


Ejercitacion

1. Encontrar el equivalente de Thevenin en los puntos AB del circuito dela fig. 7.6

5Ω

3Ω

10Ω

20V 106 45V

−j4Ω

A

B

Figura 7.6

2. Segun el teorema de Thevenin la corriente maxima entregada por unasistema esta dada por el cociente entre la tension de salida del sistemaa circuito abierto sobre la impedancia de Thevenin.

Imax =Vo

ZTh

Demostrar utilizando superposicion.

3. Dado el circuito de la figura, encontrar el equivalente de Norton en lospuntos A y B

4, 33Ω

5Ω j10Ω

j2, 5Ω

I1 = 106 0A I2 = 56 0A

A

B

4. El siguiente es el circuito equivalente de la etapa de salida de un am-plificador mas filtro al que se le conecta un parlante de ZL = RL+XL.Si XL = j4, cuanto deberıa ser el valor de RL para que la potenciatransferida a la carga sea maxima?

8Ω

RL

XL = j4Ω

j3Ω

−j2Ω−j5ΩVin

A

B

5. Se desea construir una resistencia para un horno que va a ser alimen-tado por un generador de tension senoidal de Vef = 24V .


a. Calcular el valor resistivo necesario para lograr maxima transfe-rencia de potencia si la impedancia de salida del generador es deZo = 5 + j3, 32Ω.

b. Calcular la potencia transferida.

c. Construir el triangulo de potencias y diagrama fasorial de tensio-nes del circuito generador mas horno.

Rhorno

5 + j3, 32Ω

246 0

Figura 7.7

6. Encontrar el circuito simple en conexion triangulo equivalente del cir-cuito de la figura 7.8.

10Ω 10Ω

j10Ω j10Ω

5Ω j5Ω

Figura 7.8

7. Una carga se alimenta con tres generadores reales de tension en pa-ralelo de 1806 0. La impedancia de salida de los tres generadores esde Zout = 3 + j9. Calcular la impedancia de salida del sistema y latension de salida a circuito abierto.

8. Si la carga del ejercicio 7 es variable en resistencia y reactancia, cuantodebera valer para transferir la maxima potencia posible y cual sera elvalor de esta potencia?

9. Encontrar el equivalente en conexion triangulo del circuito de la fig.7.9

10. Encontrar la maxima potencia que puede recibir la carga Rcarga delcircuito de la fig. 7.10.

11. El circuito de la fig. 7.11 fue ajustado para que el generador real (conimpedancia interna Zi) transfiera la maxima potencia. Encontrar elequivalente de Thevenin del generador si la potencia maxima transfe-rida es de P = 8653, 8W


5Ω

j5Ω

j10Ω

−j4Ω

Figura 7.9

R1 = 3Ω R2 = 2Ω

R3 = 6Ω Rcarga12V 2A

Figura 7.10: Maxima transferencia de potencia

3− jΩ

12 − j 1

2Ω

1 + j3Ω

9Ω

1− jΩ

3 + j5

generador

real

A

B


12. En el circuito de la fig. 7.12 encontrar la tension de fuente V y lacorriente I segun las referencias indicadas.

3Ω

2Ω

2Ω3Ω

6V 8V

2A

I =? V =?

Figura 7.12: Encontrar V e I

13. Aplicando el teorema de Thevenin, para el circuito de la fig. 7.13 calcu-lar la corriente de regimen permanente en R, con R = 10Ω, R = 100Ωy R = 1000Ω


100√2 cos(1000t+ 45)

150Ω

R200mH

4µF

Figura 7.13: Calculo de potencia

Soluciones


VTh = 11, 396 264,4VZTh = 7, 97− j2, 16


El teorema de la maxima transferencia de potencia aplicado a unacarga con parte resistiva variable dice que para transferir la maximapotencia de un circuito o generador a la carga, la parte resistiva deesta debe ser igual al modulo de la impedancia de salida del circuitoo generador mas la parte reactiva de la carga

RL = |Zo +XL| (7.19)

y la impedancia de salida del circuito anterior se puede obtener ha-ciendo el equivalente de Thevenin a los bornes A−B, y RL sera

RL = |ZTh +XL| =√(RTh)2 + (XTh +XL)2 (7.20)

ZTh = RTh +XTh

RL

XL = j4Ω

VTh

A

B

Para obtener la impedancia de Thevenin ZTh se debe pasivar la fuenteVin, de esta forma la resistencia de 8Ω forma un paralelo con el ca-pacitor de −j5Ω,que a su vez estan en serie con el inductor de j3Ω.Llamando a esto Z1 tenemos

Z1 =8 (−j5)8− j5

+ j3 = 2,24719− j0,59551 (7.21)


por ultimo, esta impedancia parcial Z1 esta en paralelo con el capacitorde −j2Ω

ZTh =Z1 (−j2)Z1 − j2

= 0,76263− j1,11916 (7.22)

entonces RL debera ser igual a

RL =√(0,76263)2 + (4− 1,11916)2 = 2, 9801Ω (7.23)

Ejercicio 5 Planteo

El teorema de la maxima transferenica de potencia aplicado a unacarga resistiva variable dice que para transferir la maxima potenciade un circuito o generador a la carga, la resistencia de carga debe serigual al modulo de la impedancia de salida del circuito o generador, esdecir que para este caso

Rhorno = |Zo| (7.24)

La potencia transferida con esta resistencia de carga sera

Ptransf = |I|2Rhorno (7.25)

donde la corriente total es

I =V

ZT

=V

(Zo +Rhorno)(7.26)

El triangulo de potencias se determina como

S = |V| |I|; P = |V| |I| cos(ϕ); Q = |V| |I| sen(ϕ)

Se calculan las caıdas de tension en Zo y en Rhorno para construir eldiagrama fasorial

VZ = IZo; VR = IRhorno


Resolucion numerica

Rhorno =√52 + 3,322 = 6Ω

I =24V

(11 + j3,32)= 2− j0,6Ω = 2,09 6 − 16,8

Ptransf = (2,09)2 6 = 26,2W

S = 24 · 2,09 = 50,16V A

P = 24 · 2,09 · 0,97 = 48W

Q = 24 · 2,09 · 0,26 = 14,5V AR

VZ = (2− j0,6) · (5 + j3,32) = 12 + j3,6V = 12,53 6 16,8

VR = (2− j0,6) · 6 = 12− j3,6V = 12,53 6 − 16,8

En la fig. 7.14 se puede ver el diagrama fasorial completo y el triangulode potencias en la fig. 7.15.

2

4

-2

-4

-6

10 20

I

VZ

VR

VT Re

Im

Figura 7.14: Diagrama fasorial de tensiones

P = 48W

S = 50,16V AQ = 14,5V AR

θ = −16,7

Figura 7.15: Triangulo de potencias


Zout = 1 + j3ΩVT = 180V



ZA = 1− j4Ω , ZB = 4 + j1Ω , ZC = −0, 55 + j3, 38Ω


Pmax = 16W


Un generador real transmite la maxima potencia cuando se lo cargacon una impedancia igual al conjugado de su impedancia de salida. Co-nociendo la impedancia de carga que permite la maxima transferenciade potencia se conoce entonces la impedancia de salida del generdador.

Para encotrar la impedancia equivalente que carga al generador se re-duce el circuito de carga mediante una transformacion estrella-triangu-lo de las impedancia Z1 = 3− jΩ, Z2 = 1/2− j1/2Ω y Z3 = 1 + j3Ω.El circuito resultante es el de la fig. 7.16.

ZA =Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z3= 3− j2Ω

ZB =Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z2= 2 + j16Ω

ZC =Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3

Z1= 2 + j3Ω

3−j2Ω

2 + j16Ω

2+j3Ω

9Ω

1− jΩ

3 + j5

generador

real

A

B

Figura 7.16: Transformacion estrella-triangulo

luego, la impedancia equivalente vista desde los bornes del generadores

Zeq = (9//ZA) //[(1− j)//ZB + (3 + j5)//ZC ]

Zeq = [9//(3− j2)] // [(1− j)//(2 + j16)] + [(3 + j5)//(3 + j5)]Zeq = (2, 4324− j1, 0946) // (1, 12821− j0, 97436 + 1, 2022 + j1, 8764i)

Zeq = 1, 3982− j0, 0184Ω


es decir que la impedancia interna del generador es

Zi = Z∗eq = 1, 3982 + j0, 0184Ω (7.27)

que es tambien la impedancia equivalente de Thevenin.

La potencia transferida a la carga es P = 8653, 8W , entonces el modulode la corriente es

|I| =√

P

Re[Zeq]=

√8653, 8

1, 3982

|I| = 78,671A

Finalmente, la tension de Thevenin se obtiene como el producto de lacorriente total por la impedancia total

Vth = I · (Zi + Zeq) = 220V

220V

1, 3982 + j0, 0184Ω

1, 3982− j0, 0184Ω

generador real

A

B

Figura 7.17: Equivalente de Thevenin del generador real

Capıtulo 8

Resonancia

8.1. Resonancia en un circuito serie RLC simple

Si se alimenta un circuito serie RLC con una fuente de frecuencia ωvariable, los valores de las reactancias inductivas y capacitivas varıan enfuncion de la frecuencia. Es decir, la impedancia Z(jω) compuesta por

Z(jω) = R+ j ωL− j1

ωC= R+ j

(ωL− 1

ωC

)(8.1)

se modifica mientras varıa la frecuencia de excitacion. Observando la partereactiva de (8.1) vemos que para algun valor de ω = ω0 los modulos de lasreactancias seran iguales

ω0L =1

ω0C(8.2)

despejando ω0 de la igualdad 8.2 obtenemos

ω0 =1√LC⇒ f0 =

1

2π√LC

(8.3)

con ω0 = 2π f0. Como L y C son siempre positivos, de (8.3) se sigue quesiempre existe una frecuencia real que anule la parte reactiva de un circuitoRLC serie. La frecuencia ω0 que produce la anulacion de la parte reactivade un circuito se la llama frecuencia de resonancia.

Al anularse la parte reactiva la impedancia total equivalente del circuitose hace Z0 = R, entonces el fasor tension de alimentacion V aparece en fasecon el fasor de corriente I, y el circuito tendra en resonancia un factor depotencia fp = 1 (cosϕ = 1).

Desde el punto de vista practico, que se anule la parte reactiva de laimpedancia equivalente de un circuito significa que ya no habra intercambiode energıa entre la fuente de excitacion y el circuito, sino que el intercambiose realizara internamente en el circuito entre los elementos reactivos. Este

215

216 CAPITULO 8. RESONANCIA

intercambio se realiza de forma que cuando la energıa en el inductor esmaxima, en el capacitor es cero y biceversa, manteniendose constante laenergıa total almacenada.

8.1.1. Variacion de la impedancia

En la figura 8.1 podemos ver la variacion de cada parametro de impe-dancia en funcion de la frecuencia. La resistencia R se mantiene constantemientras que las reactancias inductiva y capacitiva, y el modulo de la impe-dancia |Z(jω)| varıan a lo largo de todo el eje de ω. Para frecuencias bajas ymenores a la frecuencia de resonancia, vemos que el modulo de la reactanciainductiva es menor que el modulo de la reactancia capacitiva, esto hace quela fase de Z(jω) sea negativa, como se observa en la figura 8.2, y el circuitopresenta caracter capacitivo. Para frecuencias mayores a ω0 la reactanciainductiva se hace mayor que la capacitiva y el circuito adquiere caracterinductivo.

Ω

ωω0

Z0 = R

|Z(jω)| =√R2 + (ωL− 1

ωC)2

XL = ωL

|XC |

XC = − 1ωC

X = XL +XC

R

Figura 8.1: Variacion de las parametros de impedancia de un RLC serie en funcionde la frecuencia

En la grafica de fase de la figura 8.2 vemos que la fase pasa por cero enresonancia, es decir que Z0 es un numero real puro.

Tambien puede observarse en la grafica de la figura 8.1 que en el puntode resonancia el modulo de la impedancia pasa por un mınimo de valor R.En este punto la corriente del circuito tendra su maximo modulo ya que

|I| = |V||Z| (8.4)

y en nuestro caso |V| es constante.Un analisis fasorial a diferentes frecuencias alrededor de resonancia puede

verse en la figura 8.3. Para ω < ω0 la tension esta atrasada respecto de la

8.1. RESONANCIA EN UN CIRCUITO SERIE RLC SIMPLE 217

fase

ωω0

90

−90

disminucion de R

aumento de R

Figura 8.2: Fase de la impedancia de un circuito resonante serie en funcion de lafrecuencia

corriente, por el caracter capacitivo del circuito a estas frecuencias. Paraω = ω0 los fasores de tension VC y VL tienen igual modulo pero con 180

de desfasaje, por lo que su suma vectorial es nula, y los fasores de tensionaplicada y corriente estan en fase. La caıda de tension en R es por ende iguala la tension aplicada, VR = VT . Por ultimo, para ω > ω0 la tension adelantaa la corriente por el caracter inductivo del circuito a estas frecuencias.

III

V

V

V

VR = R I

VR

VR

VL = ωL IVL

VL

VC = −j 1ωC

I

VCVC

ω < ω0 ω = ω0 ω > ω0

Figura 8.3: Diagrama fasorial de un circuito serie RLC para ω < ω0, ω = ω0 yω > ω0

8.1.2. Analisis de admitancias

El modulo de la corriente es el producto del fasor tension por su admi-tancia equivalente |I| = |V| |Y |, si se mantiene |V| = cte como en el casoque estamos analizando, la variacion del modulo de la corriente sera identicaa la variacion del |Y (jω)|, y solo habra una diferencia de escala entre susgraficos.

Para graficar Y (jω), definida como la inversa de la impedancia Z(jω),debemos conocer por un lado su modulo y por otro su fase

Y (jω) =1

Z(jω)=

1

|Z| 6 ϕZ

=1

|Z|6 (−ϕZ)


es decir

|Y | = 1

|Z|ϕY = −ϕZ

La figura 8.4a corresponde a la grafica de modulos de admitancias condistintos valores de resistencia de un circuito resonante serie. En el puntode resonancia ω = ω0 la corriente toma su maximo valor y es limitada solopor la resistencia, por lo tanto cuanto menor es el valor resistivo, mayor eseste maximo.

R → 0

R → ∞

|Y (jω)|

ω0ω

(a)

fase

ω

ω0

90

−90 disminucion de R

aumento de R

(b)

Figura 8.4: Variacion de la admitancia en modulo y fase de un circuito resonanteserie para distintos valores de resistencia

8.2. Sobretension en circuitos serie resonantes

Ciertos valores de impedancias en circuitos resonantes serie producen unfenomeno muy particular al variar la frecuencia, este fenomeno se da cuandoel modulo de la impedancia total se hace menor al modulo de las reactanciasinductiva o capacitiva. Como el modulo de la tension aplicada es igual alproducto del modulo de la impedancia por el modulo de la corriente, y elmodulo de la caıda de tension en el inductor o el capacitor es otra vez elproducto del modulo de su impedancia reactiva por el |I|, entonces si paraalgunos valores de frecuencia el |Z| se hace menor al |XL| o al |XC | se tendra

|I| |Z| < |I| |X| (8.5)

|VT| < |VX| (8.6)

y habra sobretension en el inductor o en el capacitor, segun sea la frecuencia.Un analisis mas detallado puede hacerse con la ayuda del grafico de los

modulos de las impedancias, eligiendo valores de resistencia, inductancia ycapacitancia adecuados. En la figura 8.5 se grafica esta situacion. Como seve, el |Z| es para algunas frecuencias menor a los modulos de las reactancias.

8.2. SOBRETENSION EN CIRCUITOS SERIE RESONANTES 219

Analicemos cada elemento por separado empezando por el inductor. Seaωa la frecuencia a la cual el modulo de la impedancia total se hace igual almodulo de la inductancia (figura 8.5), entonces de la igualdad |Z(jωa)| =|XL(jωa)| despejamos ωa

√

R2 +

(ωaL−

1

ωaC

)2

= ωaL

R2 + (ωaL)2 − 2

L

C+

(1

ωaC

)2

= (ωaL)2

(1

ωaC

)2

= 2L

C−R2

ωa =1

C√

2 LC−R2

(8.7)

En ω = ωa el |Z| se cruza con el |XL|, es decir que en este punto el modulode la caıda de tension en el inductor sera igual al modulo de la tensionaplicada. Para frecuencias mayores a ωa, el |VL| sera siempre mayor al |VT|y habra sobretension en el inductor.

Si 2 LC−R2 = 0 entonces la ecuacion 8.7 tiende a ∞, lo que significa que

no habra sobretension a ninguna frecuencia. El valor crıtico de resistenciaque inicia la sobretension en el inductor es entonces

Rc =

√2L

C(8.8)

y para todo valor de R < Rc habra sobretension en L.Haciendo el mismo analisis ahora sobre el capacitor

|Z(jωb)| = |XC(jωb)| (8.9)

R2 +

(ωbL−

1

ωbC

)2

=

(1

ωbC

)2

(ωbL)2 = 2

L

C−R2

ωb =

√2 L

C−R2

L(8.10)

La ecuacion 8.10 indica el valor de frecuencia para el cual los modulo de laimpedancia total y reactancia capacitiva se igualan. Esta frecuencia ωb seindica en la figura 8.5. Para todo ω < ωb hay sobretension en el capacitor.

Si 2 LC− R2 = 0 entonces la ecuacion 8.10 se hace cero, es decir que no

existe sobretension para ninguna frecuencia. La resistencia crıtica obtenidade esta ecuacion es

Rc =

√2L

C


identica a la obtenida para el caso del inductor. Es decir que el efecto desobretension aparece simultaneamente en ambos elementos reactivos y lacondicion para la existencia del mismo viene dada por la ecuacion 8.8.

Ω

ωω0

Z0 = R

|Z(jω)|

|XL|

|XC |

sobretension en L

sobretension en C

ωa ωb

R

Figura 8.5: Modulos de impedancias de un circuito con sobretension

En la figura 8.6 se ve como el modulo de la tension en el capacitor VC esmayor que el modulo de la tension aplicada VT desde ω = 0 hasta ω = ωb.El modulo de la tension VL en el inductor es menor que |VT | hasta ω = ωa

y luego se mantiene superior para todas las frecuencias superiores. Para losvalores de frecuencia ωa < ω < ωb, incluso en resonancia, existe sobretensionen ambos elementos reactivos.

Ω

ωω0

∣∣VL

∣∣

∣∣VC

∣∣

sobretension en L

sobretension en C

ωa ωb

∣∣VT

∣∣

Figura 8.6: Sobretension en los elementos reactivos provocada por el valor de

R <√2 L

C

8.3. Ancho de banda

Segun lo visto en la seccion anterior, la respuesta de un determinadocircuito ante una senal variable depende de la frecuencia de la senal. Estarespuesta tiene una amplitud maxima para la frecuencia de resonacia y de-crece para frecuencias fuera de la resonancia. A medida que la frecuencia dela senal se aleja de la de resonancia la amplitud de la respuesta disminuye,

8.3. ANCHO DE BANDA 221

pero sin llegar nunca a ser nula. A los fines practicos es util definir un valorde frecuencia llamado frecuencia de corte a partir del cual la amplitud de larespuesta toma algun valor particular, este umbral se elige en terminos depotencia y el valor elegido es la mitad de la potencia maxima disipada porla respuesta, llamado normalmente potencia mitad.

Luego, se define como ancho de banda de un circuito al rango de fre-cuencias dentro del cual un senal disipa una potencia mayor a la potenciamitad, es decir

AB = ω2 − ω1 (8.11)

con ω1 y ω2 las frecuencias de corte inferior y superior respectivamente.

8.3.1. Circuito RLC serie

A la relacion entre la frecuencia de excitacion y la respuesta de un sistemase la llama respuesta en frecuencia, la figura 8.4a por ejemplo muestra larespuesta en frecuencia de corriente de un circuito RLC excitado por unafuente de tension de modulo constante, ya que |I| = |V||Y |.

En este caso la maxima disipacion de potencia tiene lugar a la frecuenciade resonancia ω0

Pmax = |I0|2R (8.12)

si llamamos P2 a la potencia mitad e I2 a la corriente que disipa esa potenciatenemos

P2 =Pmax

2=|I0|2R

2= |I2|2R (8.13)

de donde

|I2| =|I0|√2

(8.14)

es decir que la corriente que logra disipar la mitad de la potencia maximatiene un modulo

√2 veces menor al de la corriente I0 que disipa la potencia

maxima. En la figura 8.7 se muestra el ancho de banda de un circuito RLCserie, donde se marca los valores de frecuencia para los cuales se tiene una

corriente de modulo |I0|√2.

Segun la ec. (8.14), el modulo de la corriente en los puntos de poten-cia mitad es

√2 veces menor que la corriente maxima, por lo tanto a esta

frecuencia el modulo de la impedacia sera√2 mayor que en resonancia,

|Z2| =√2R. Por trigonometrıa podemos concluir que para lograr dicho au-

mento en el modulo de la impedancia la parte reactiva debe ser igual enmodulo a la parte resistiva del circuito

R =

∣∣∣∣ωL−1

ωC

∣∣∣∣ (8.15)


|I0|

0,707|I0|

ωω1 ω2

Figura 8.7: Respuesta en frecuencia y ancho de banda de un RLC serie

Esta igualdad se cumple para dos frecuencias distintas, una menor a la deresonancia donde la impedancia total equivalente tendra caracter capaciti-vo, y otra mayor a ω0 que corresponde a la Z de caracter inductivo. Paraω = ω1 < ω0 la reactacia total equivalente es capacitiva, entonces podemosescribir la anterior sin las barras de modulo

R =1

ω1C− ω1L (8.16)

y operando se obtienen dos valores que cumplen con la igualdad (8.16)

ω1 = −R

2L±

√(R

2L

)2

+1

LC(8.17)

de los cuales el valor mayor a cero sera la frecuencia de corte inferior ofrecuencia de potencia mitad buscada.

Mediante un analisis similar para ω2, donde el circuito es de caracterinductivo, se obtiene

R = ω2L−1

ω2C(8.18)

de donde

ω2 =R

2L±

√(R

2L

)2

+1

LC(8.19)

y el valor mayor a cero de estos corresponde a la frecuencia de corte superior

o frecuencia de potencia mitad.

8.4. FACTOR Q0 223

Luego, el ancho de banda de un RLC serie es

AB = ω2 − ω1 =R

L(8.20)

Observando las ec. (8.17) y (8.19) se ve que solo hay una diferencia designo, por lo que de

ω1,2 =

∣∣∣∣∣∣R

2L±

√(R

2L

)2

+1

LC

∣∣∣∣∣∣(8.21)

se obtienen las dos frecuencias de corte, superior e inferior.

La relacion entre las frecuencias de potencia mitad y la frecuencia deresonancia puede verse facilmente haciendo el producto entre ω1 y ω2

ω1ω2 =1

LC= ω2

0 (8.22)

es decir que ω0 es la media geometrica de ω1 y ω2

ω0 =√ω1ω2 (8.23)

8.4. Factor Q0

En un circuito resonante se define un factor Q0 representativo de lascaracterısticas energeticas del circuito. Este factor viene dado por el cocienteentre la energıa maxima almacenada y la energıa disipada por ciclo, por unaconstante de normalizacion 2π

Q0 = 2πEnergıa maxima almacenada

Energıa disipada por ciclo(8.24)

como en resonancia la energıa maxima almacenada en el inductor es igual ala energıa maxima almacenada en el capacitor, se puede usar una u otra enel calculo de Q0. La energıa instantanea almacenada en el inductor es

wL(t) =1

2L(iL)

2 (8.25)

tomando su maximo valor cuando la corriente iL(t) sea maxima

WLmax=

1

2L(ILmax

)2 (8.26)

y en el capacitor

wC(t) =1

2C(vC)

2 ⇒WCmax=

1

2C(VCmax

)2 (8.27)


La energıa instantanea disipada es

wR(t) = R

∫(iR)

2 dt =1

R

∫(vR)

2 dt (8.28)

supongamos una corriente por iR(t) = IRmaxcos(ω0t), la energıa disipada

por ciclo en terminos de la corriente sera

WR =π

2ω0R(IRmax

)2 (8.29)

con 2πω0

= T0 el perıodo de la senal en resonancia. Luego, llevando (8.26) y(8.29) a (8.24)

Q0 =w0L(ILmax

)2

R(IRmax)2

(8.30)

si se trata de un circuito serie la corriente por R y por L sera la misma,entonces el Q0 de un RLC serie queda

Q0 =w0L

R=

1

ω0RC(8.31)

ya que en resonancia ω0L = 1ω0C

De igual forma podemos poner la energıa disipada por ciclo en terminosde la tension en R,

WR =π

2ω0

(VRmax)2

R(8.32)

y utilizar la energıa maxima almacenada en el capacitor para el calculo deQ0

Q0 =ω0RC(VCmax

)2

(VRmax)2

(8.33)

si consideramos un circuito paralelo, la tension en R sera igual a la tensionen C, por lo tanto el factor Q0 de un RLC paralelo es

Q0 = ω0RC =R

ω0L(8.34)

Observando la ecuacion (8.31) obtenida antes para un circuito equiva-lente serie vemos que este factor puede ser definido tambien como el cocienteentre la parte reactiva y resistiva de la impedancia, o como el cociente entrela potencia reactiva y la potencia activa

Q0 =XL

R=

XC

R=

Q

P(8.35)

con Q = XLI2 = XCI

2 la potencia reactiva en el inductor o en el capacitor.

8.5. RESONANCIA DE UN CIRCUITO PARALELO DE 2 RAMAS 225

8.5. Resonancia de un circuito paralelo de 2 ramas

Si tenemos un circuito de dos ramas en paralelo como el de la figura 8.8,es probable que exista un valor de frecuencia para el cual este circuito entraen resonancia. Es decir una frecuencia ω0 a la cual la tension de alimentacionV(jω0) = V0 este en fase con la corriente total I(jω0) = I0.

V(jω)

RC

C

RL

L

Figura 8.8: Circito paralelo de dos ramas

Si el fasor tension y el fasor corriente estan en fase, su cociente sera unnumero real puro

Z0 =V0

I0← Numero real puro

Y0 =I0

V0

donde Z0 y Y0 son la impedancia y admitancia equivalente en resonanciadel circuito de la figura 8.8. Para averiguar si la condicion de resonancia esposible se debe verificar si existe alguna frecuencia para la cual se anule laparte imaginaria de la impedancia o admitancia equivalente.

Si llamamos Y1 a la admitancia de la primera rama y Y2 a la de lasegunda, la admitancia equivalente del circuito sera

YT (jω) = Y1(jω) + Y2(jω) =1

RC − jXC

+1

RL + jXL

(8.36)

separando parte real e imaginaria

YT (jω) =

(RL

R2L +X2

L

+RC

R2C +X2

C

)+ j

(XC

R2C +X2

C

− XL

R2L +X2

L

)(8.37)

como la condicion para resonancia es1 Im [YT (jω)] = 0, entonces en (8.37)se debe cumplir

XC

R2C +X2

C

=XL

R2L +X2

L

(8.38)

1Siendo Im[] la parte imaginaria de . . .


reemplazando las reactancias y operando

1ω0C

R2C + ( 1

ω0C)2

=ω0L

R2L + (ω0L)2

(8.39)

1

ω0C

[R2

L + (ω0L)2]= ω0L

[R2

C + (1

ω0C)2]

(8.40)

R2L

ω0C+ ω0L

L

C= ω0LR

2C +

1

ω0C

L

C(8.41)

luego despejando ω0 tenemos

ω0 =1√LC

√R2

L − LC

R2C − L

C

(8.42)

esta es la frecuencia de resonancia del circuito de la figura 8.8. Para que estafrecuencia exista, debe ser un numero real positivo, es decir que el radicandode la ec. 8.42 debe ser mayor que cero. Habra entonces resonancia si

R2L −

L

C> 0 y R2

C −L

C> 0 (8.43)

o si

R2L −

L

C< 0 y R2

C −L

C< 0 (8.44)

de lo contrario el circuito no entrara en resonancia a ninguna frecuencia.Si los valores R2

L, R2C y L

Cson iguales, tendremos una indeterminacion

en la ec. 8.42 y no se puede determinar si habra o no resonancia a algunafrecuencia. Para analizar que ocurre volvamos unos pasos atras. SupongamosR2

L = R2C = L

C= β y reemplacemos esta constante en (8.41)

β

ω0C+ ω0Lβ = ω0Lβ +

1

ω0Cβ (8.45)

obtenemos una igualdad se cumple para cualquier frecuencia, y como es-ta igualdad implica Im [YT (jω)] = 0 entonces para cualquier frecuencia laadmitancia total sera un numero real puro y habra resonancia a todas lasfrecuencias.

8.6. Lugar geometrico

Se conoce como lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacenuna propiedad. Por ejemplo el conjunto de valores que una funcion pa-rametrica puede tomar al variar el parametro. En el caso de analisis decircuitos se presentan muchas situaciones donde un parametro del circuito

8.6. LUGAR GEOMETRICO 227

puede variar, y la variacion de este parametro determina el lugar geometri-co de otro, como por ejemplo de la impedancia o de la admitancia total delcircuito.

El lugar geometrico de admitancia de un circuito suele ser de particularinteres porque como normalmente la tension aplicada es constante, entoncesla corriente I = VY tiene igual lugar geometrico que la admitancia.

8.6.1. Elementos en serie

Supongamos un circuito con una impedancia Z, cuya parte imaginariajX puede variar. La impedancia total del circuito sera

Z = R1 ± jX

con R1 constante. Todos los valores que puede tomar Z forman en el planoZ una recta paralela al eje imaginario, que corta al eje real en R1, esto es ellugar geometrico de Z con reactancia variable.

En el plano Y, este lugar de Z representara un lugar de Y en funcion dela conductancia G y de la suceptancia B. Para encontrar el lugar geometricode Y tenemos que encontrar la inversa de Z, en terminos de G y B

Z = R1 ± jX =1

G±B=

G

G2 +B2∓ B

G2 +B2


Ejercitacion

1. Encontrar la frecuencia de resonancia de un circuito RLC serie conR = 25Ω, L = 21mH y C = 470µF .

2. Calcular para resonancia la corriente total y en cada rama para elcircuito de la fig. 8.9. Construir el diagrama fasorial.

1KΩ100µF

ω0 = 1000 rads

V = 100V

Figura 8.9: Circuito paralelo resonante

3. Para el circuito de la fig. 8.10, existe una frecuencia de resonancia?Calcular.

220Ω

120Ω

56Ω

15µF 100mH

10mH

V = 60V

Figura 8.10: Circuito RLC generico

4. Explicar el fenomeno de sobretension en los elementos reactivos de uncircuito RLC serie alimentado por un generador de tension constantey frecuencia variable. Graficar en un plano Ω vs. ω (plano |Z|) losmodulos de todas las impedancias y mostrar en el grafico en que zonasse produce la sobretension. Graficar ademas los modulos de la tensiontotal |VT |, tension en el inductor |VL| y capacitor |VC | en otro planoV vs. ω destacando las zonas de sobretension en cada elemento.

5. En un circuito RLC serie se varıa la frecuencia ω del generador hastaobtener la caıda de tension maxima en la resistencia. El valor de ten-sion que se obtiene es VR = 20V y se logra a la frecuencia ω0 = 2000 rad

seg.

En estas condiciones se miden las tensiones en los elementos inductivoy capacitivo dando VL = VC = 30V , y el valor de la corriente IT = 4A.Determinar:

a. Ancho de banda y frecuencias de potencia mitad ω1 y ω2

b. Factor de selectividad Q0


c. Componentes resistivo, inductivo y capacitivo (R, L y C) delcircuito

6. La potencia disipada por una resistencia de 10Ω de un circuito RLCserie es P = 200W en resonancia, y P = 100W en ω1 = 270,16 yω2 = 370,16.

a. Determinar la frecuencia de resonancia, el ancho de banda delcircuito, el valor del factor Q0 y la capacidad e inductancia de loselementos.

b. Existira sobretension en el circuito? Justificar.

7. Deducir y calcular la frecuencia de resonancia ω0 y el ancho de bandaAB de un circuito RLC paralelo simple, con R = 100Ω, L = 10mHyy C = 20µF .

8. En el circuito de la fig. 8.11 se ajusta la frecuencia de manera queel RLC paralelo (formado por R2L2C) este en resonancia. Bajo estacondicion



VI

R1

R2

L1

L2 C

A

B

C

Figura 8.11: Metodo fasorial

9. El circuito equivalente de un capacitor real viene dado por un inductorL en serie con una resistencia llamada ESR (por el ingles EquivalentSerial Resistor) y con un capacitor ideal C que representa la capacidadpropiamente dicha del elemento real. Ademas, en paralelo se encuentrala resistencia de fuga del dielectrico de muy elevado valor.

L ESR C

RD

ω

Figura 8.12

Si los valores de un capacitor real son L = 2nH, ESR = 0, 1Ω, C =4, 7µF y RD = 10MΩ, se pide:


a. graficar el lugar geometrico de admitancia del circuito cuando ωvarıa entre 0 e ∞

b. senalar en el grafico los valores ohmicos de corte del lugar con eleje real y los valores de frecuencia ω para estos cortes

c. determinar el rango de frecuencia para el cual el elemento tienecaracter capacitivo

10. Encotrar analıticamente y graficar el lugar geometrico de admitanciae impedancia del circuito de la fig. 8.13.

5Ω 22Hω

Figura 8.13: Lugar geometrico de impedancia y admitancia

11. Para el circuito de la figura 8.14 se pide el desarrollo completo y calculodel lugar geometrico de admitancia y, si el circuito puede entrar enresonancia, para que valor o valores de XC lo hace.

10Ω 10Ω

j10 XC

Figura 8.14: Lugar geometrico de admitancia

12. El circuito de la figura 8.15 es una representacion aproximada delsintonizador de entrada de un receptor de LF de reloj radiocontrolado(http://en.wikipedia.org/wiki/WWVB). Se pide:

a. Calcular el valor del capacitor para que el circuito este en reso-nancia a f = 60KHz.

b. Calcular el valor del capacitor para el cual se transfiere la maximapotencia a Ri, utilizando para este calculo el lugar geometrico deadmitancia del circuito.

c. Utilizando el equivalente de Thevenin recalcular el valor de Cpara maxima transferencia de potencia en la Ri.

13. En el circuito de la fig. 8.16 se ajusta la frecuencia de manera queel RLC paralelo (formado por R2L2C) este en resonancia. Bajo estacondicion


300ΩRi = 500Ω

1,5mH

Imax cos(ωt) C

Figura 8.15: Sintonizador de reloj radiocontrolado



VI

R1

R2

L1

L2 C

A

B

C

Figura 8.16


Soluciones


ω0 = 318,3 rads


IR = 0,1AIL = 106 − 90AIC = 106 90A

IT = 0,1A


1. La frecuencia de resonancia de un circuito RLC serie es la mediageometrica de las frecuencias de potencia mitad ω1 y ω2

ω0 =√ω1ω2 =

√270,16 · 370,16 = 316,23

rad

s(8.46)

f0 =2π

ω0= 50,329hz (8.47)

y el factor de calidad Q0 viene dado por

Q0 =ω0

ω2 − ω1= 3,16 (8.48)

de donde se puede obtener el ancho de banda AB

AB =f0Q0

= 15,915hz (8.49)

Ademas, el factor Q0 se define en terminos de los elementos delcircuito como

Q0 =ω0L

R

de donde

L =Q0R

ω0= 0,1H (8.50)

Finalmente, la frecuencia de resonancia expresada en terminos deL y C es

ω0 =1√LC


de donde

C =1

Lω20

= 100µF (8.51)

2. La resistencia crıtica para este circuito es

Rc =

√2L

L=

√2

0,1

100× 10−6= 44,721Ω (8.52)

como R = 10Ω es menor a la resitencia crıtica, existe sobreten-sion.

Otra forma de justificar es a partir del valor de Q0. En resonancia,el modulo de la tension que cae en los elementos reactivos es Q0

veces el modulo de la tension aplicada

|VL| = |VC | = Q0|VTotal|

como para este caso Q0 es mayor que 1, en el circuito existira so-bretension.

Capıtulo 9

Circuitos acopladosinductivamente

9.1. Autoinduccion e induccion mutua

La tension inducida en un inductor es, por ley de Faraday, porporcionala la variacion de flujo que abraza las espiras y a su numero de espiras N

V = NdΦ

dt(9.1)

la corriente que atravieza al inductor genera un flujo proporcional al coefi-ciente de autoinduccion L

di

dtL =

dΦ

dtN (9.2)

de forma que llevando (9.2) a (9.1) tenemos la ya conocida ecuacion de latension autoinducida en un inductor

V = Ldi

dt(9.3)

La ecuacuion (9.3) nos da la tension autoinducida en un inductor provo-cada por el flujo que genera la circulacion de corriente por el propio inductor.Si ahora acercamos un segundo inductor por el cual circule una corriente i2,de forma tal que parte del flujo generado por esta corriente se concatene conel del primer inductor, la tension inducida en este sera

VL1= N1

dΦ

dt= N1

dΦ1

dt+N1

dΦ21

dt(9.4)

con Φ1 el flujo generado por la propia corriente i1 del primer inductor y Φ21

la porcion de flujo generado por el segundo inductor que por proximidadabraza las espiras del primero.

235

236 CAPITULO 9. CIRCUITOS ACOPLADOS INDUCTIVAMENTE

La concatenacion de flujo puede ser positiva o negativa, es decir el flujoΦ1 propio del primer inductor puede verse reforzado o deblitado por el flujoΦ21 aportado por el segundo inductor dependiente de la direccion de laslıneas de flujo. La direccion de las lıneas de flujo en un arrollamiento vienedado por la regla de la mano derecha y depende del sentido del arrollamientoy de la corriente que lo atraviese.

Para el caso que los flujos se debiliten la ec. (9.4) sera

VL1= N1

dΦ

dt= N1

dΦ1

dt−N1

dΦ21

dt(9.5)

El coeficiente de autoinduccion L relaciona la corriente y el flujo que estagenera mediante el numero de vueltas N , (9.2), pero al considerar un flujoΦ21 que esta siendo generado por una corriente i2 y abrazando un arrolla-miento N1 se debe intrudicir otro coeficiente que relacine estas cantidades.Este coeficiente recibe el nombre de coeficiente de inductancia mutua M1,se mide en Henrios y relaciona la corriente en el inductor 2 con el flujo quegenera y abraza a las espiras del inductro 1

di2dt

M1 =dΦ21

dtN1 (9.6)

Ahora podemos poner las ecuaciones (9.4) y (9.5) en terminos de lascorrientes por los inductores i1 e i2 quedando

VL1= L1

di1dt±M1

di2dt

(9.7)

donde el signo del termino de induccion mutua dependera de la concatena-cion de los flujos, positivo si los flujos se refuerzan y negativo si se debilitan.

9.1. AUTOINDUCCION E INDUCCION MUTUA 237

Ejercitacion

1. Para el circuito acoplado de la fig. 9.1 se pide encontrar la matriz deimpedancias.

15Ω

10Ω j4Ωj8Ωj3Ω

−j2Ω506 0 I1 I2

Figura 9.1: Hallar la matriz de impedancias

2. Del circuito de la fig. 9.2 se pide

Encontrar I1 e I2

Dibujar el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes.Utilizar un sistema de ejes para cada malla

V1 = 186 0 V2 = 226 30I1 I2

20Ω 20Ω

j9Ω j9Ω

−j5Ωk = 13

Figura 9.2: Determinar I1 e I2

3. Del circuito de la fig. 9.3 se pide

Encontrar I1 e I2

Calcular la caıda de tension que medira un voltimetro a bornesde cada elemento de la malla 1

Dibujar el diagrama fasorial de tensiones y corrientes de la malla1

V1 = 1006 0 I1 I2

4Ω

16Ω

j8Ω

j12Ωj4Ω

Figura 9.3: Encontrar I1 e I2

4. Para el circuito acoplado inductivamente de la fig. 9.4 se pide:


a. Encontrar las corrientes de malla I1 e I2

b. Determinar las componentes de la corriente I2 debido a la fuenteV1 (I21) y debido a la fuente V2 (I22).

c. Construir el diagrama fasorial de cada malla.

V1 = 106 0 V2 = 106 0I1 I2

2Ω −j8Ω

j4Ω j3Ω

j2Ω

Figura 9.4: Encontrar I1 e I2

5. Para el circuito de la fig. 9.5 con ω = 1 y M = 1,2H se pide:

R1 = 2Ω

R2 = 5Ω3H 1H

0,5F

M

12 I1 I2

Figura 9.5: Potencia en acoplamiento inductivo

Resolver I1 e I2 por metodo de mallas. Plantear la matriz de impe-dancias en forma directa explicando brevemente como se calculancada elemento.

Construir el triangulo de potencias.

Calcular las potencias activas en R1 y R2 y comparar con lapotencia activa total.

6. En el circuito de la fig. 9.6 se pide conformar la matriz Z indicando enforma detallada la obtencion de cada uno de los componentes de dichamatriz

7. Dado el circuito de la figura 9.7 se pide

a. Potencia en las resistencias.

b. Triangulo de potencias en el generador.

8. Deducir las impedancias propias de cada malla y la copedancia delcircuito de la fig. 9.8 segun las corrientes I1 y I2, siendo k∗ = 0,6 yk# = 0,8.


2Ω

3H 1H

k = 0,78

500µF

10 cos(30t) I1 I2

Figura 9.6: Acoplamiento magnetico

20

8

4

−j7

j8 j8

k = 0,75

I1 I2

Figura 9.7: Calculo de potencia

1Ω

8Ω

j10

j8 j20

−j15k∗

k# ∗∗

#

#

I1 I2

Figura 9.8: Acoplamiento inductivo

V I1 I2

R1

R2

L1

L2

L3

M1 M2

Figura 9.9: Acoplamiento inductivo

9. Calcular la copedancia Z12 del sistema de la fig. 9.9

10. Se tiene un amplificador de audio de impedancia de salida |ZA| =8Ω, (ZA = 6 − j5,3) y se desea conectar un parlante cuya curva deimpedancia de cono al aire indica que para f = 5kHz → Zp = 4Ω.Se construye el circuito de la figura 9.10 con el fin que el amplificadortransfiera la maxima potencia al parlante en f = 5kHz. Calcular L1

y L2.

11. Encontrar el valor de Rc que maximice la transferencia de potencia en


Amplificador

I1 I2L1 L2

k = 1

Rp

Figura 9.10: Carga con acoplamiento inductivo

el circuito de la figura 9.11.

V

5

Rc

j12

j10

j8

j4

j6

Figura 9.11: Carga con acoplamiento inductivo

12. En el circuito de la figura 9.12 determinar la impedancia a conectaren los terminales A−B para maxima transferencia de potencia.

9 + j11 8 + j5

2 −j2j3 j5

j

A

B



Soluciones


La matriz de impedancia es

Z =

(20 + j9 j3

j3 20 + j4

)

su determinante principal, y sustitutos son

∆Z = 373 + j260

∆s1 = 393 + j14,84

∆s2 = 282,05 + j337,47

El calculo de las corrientes es entonces

I1 =∆s1∆Z

= 0, 876 − 32, 7

I2 =∆s2∆Z

= 0, 976 15, 2

Para los diagramas fasoriales las tensiones en la malla 1 y 2 son

VR1 = 14, 5− j9, 3

VL1 = 4, 2 + j6, 5

VM1 = −0, 7 + j2, 8

VR2 = 18, 67 + j5, 1

VL2 = −2, 3 + j8, 4

VC2 = 1, 27− j4, 67

VM2 = 1, 4 + j2,18


La matriz de impedancia es

Z =

(4 + j8 + 2 · j4 + j12 −j4− j12

−j4− j12 16 + j12

)

y su determinante principal, y sustitutos son

∆Z = −16 + j496

∆s1 = 1600 + j1200

∆s2 = j1600


V1

VR1

VL1VM1 Re

Im

Figura 9.13: Diagrama fasorial de tensiones y corrientes para la malla 1

V2

VR2

VL2

VC2

VM2

Re

Im


El calculo de las corrientes es entonces

I1 =∆s1∆Z

= 2, 31− j3, 3A = 4, 036 − 55A

I2 =∆s2∆Z

= 3, 22− j0, 1A = 3, 226 − 1, 85A

Las tensiones medidas por un voltimetro en cada elemento de la malla1 son

|VR1| = |I1 ·R1| = 16, 11V

|VL1| = |I1 · jωL1 + I1 · jωM − I2 · jωM | = 41, 9V

|VL2| = |I1 · jωL2 − I2 · jωL2 + I1 · jωM | = 51, 6V


Para los diagramas fasoriales las tensiones en la malla 1 son

VR1= 9, 25− j13, 2V

VL1= 39, 19 + j14, 86V

VL2= 51, 56− j1, 66V

V1

VR1

VL1

VL2

I1

Re

Im



Para transferir la maxima potencia al parlante se deben ajustar losvalores de las inductancias para que la impedancia vista desde el am-plificador sea igual a Z∗

A. Es decir, se deben ajustar las inductanciasXL1

y XL2para que la Zi del circuito equivalente de la fig. 9.16 sea

igual al conjugado de la impedancia de salida del amplificador.

I1 I2V XL1

XL2

Zi

k = 1

Rp

Figura 9.16: Impedancia de entrada


Una forma de obtener la impedancia de entrada Zi es por metodo demallas [

V0

]=

[XL1

−XM

−XM Rp +XL2

] [I1I2

]

donde la impedancia de entrada es

Z11 =∆Z

∆11=

RpXL1+XL1

XL2−X2M

Rp +XL2

Z11 =XL1

Rp

Rp +XL2

= Zi

Otra forma es convertir el circuito de la figura 9.16 en el modelo equi-valente acoplado conductivamente (figura 9.17), de donde

XM

XL1−XM XL2

−XM

Zi

Rp

Figura 9.17: Impedancia de entrada

Zi = XL1−XM +

[(XL2

−XM +Rp)XM

Rp +XL2

]

Zi =XL1

Rp

Rp +XL2

Finalmente, para lograr la maxima transferencia de potencia se debetener

Zi = Z∗A = 6 + j5,3

Reemplazando por los valores numericos y operando

6 + j5,3 =4XL1

4 +XL2

24 + j21,2 + 6XL2+ j5,3XL2

= 4XL1


luego igualando parte real e imaginaria

24 = −j5,3XL2→ XL2

=24

−j5,3 = j4,53

−j21,2 + 4XL1= 6XL2

→ XL1=

j27,18 + j21,2

4= j12,1

L2 =|XL2

|2πf

→ L2 =4,53

2π5× 103= 144µH

L1 =|XL1

|2πf

→ L1 =12,1

2π5× 103= 385µH

Capıtulo 10

Sistemas polifasicos

10.1. Sistemas polifasicos

La transmision de energıa de un generador a una carga mediante unalınea bifilar constituye lo que se denomina un sistema monofasico. Si seinterconectan varios sistemas monofasicos de manera definida se obtendra loque se llama un sistema polifasico. Un sistema polifasico esta constituidopor n tensiones sinusoidales de la misma frecuencia, conectadas a n cargas atraves de n pares de conductores. La palabra fase se emplea para denominaruna parte del sistema polifasico como se vera mas adelante, ası los sistemasreciben un nombre de acuerdo al numero de fases que los componen, dandolugar a sistemas bifasicos, trifasicos, tetrafasicos, etc. El mas utilizado delos sistemas polifasicos es el trifasico por tener marcadas ventajas frente alos otros, como mejor aprovechamiento del cobre y hierro en los generadosy tambien del cobre en los cables de distribucion, debido a un eficientetransporte de energıa.

10.2. Sistema bifasico

Una espira en rotacion en un campo magnetico constante genera unasenal de forma sinusoidal con una frecuencia dada por la velocidad angularde la espira

Vesp1 = Vmax cos(ωt) (10.1)

Si se hace rotar una segunda espira en el mismo campo dispuesta a 90

fısicos de la primera, se inducira en esta una tension con la misma frecuenciaangular ω pero desfasada 90 electricos de la anterior, si ademas ambasespiras tiene la misma geometrıa la tension maxima inducida en cada unasera la misma

Vesp2 = Vmax cos(ωt+ 90) (10.2)

247

248 CAPITULO 10. SISTEMAS POLIFASICOS

Esta maquina con dos arrollamientos identicos devanados en cuadraturagenera entonces dos tensiones sinusoidales desfasadas 90 entre sı. Es decirque puede ser representada por dos generadores de tension sinusoidal deigual frecuencia angular, igual tension maxima y con una diferencia de fasede 90, tal como se indica en la fig. 10.1.

N S ≡ Vesp1 Vesp2

Vmax cos(ωt) Vmax cos(ωt+ 90)

Figura 10.1: Maquina generadora bifasica con sus generadores de tension equiva-lente

Vmax

2π ωt

Vesp1 Vesp2

(a) Dominio del tiempo

Vesp1

Vesp2

Im

Re

(b) Diagrama fasorial

Figura 10.2: Tensiones en el dominio del tiempo y diagrama fasorial de un sistemabifasico

Como se trata de senales sinusoidales y estamos interesados en resolver elregimen permamente de estos sistemas, podemos utilizar el calculo fasorialpara su resolucion. Estas dos tensiones tienen su representacion en el dominiodel tiempo y fasorial como se muestra en la figura 10.2

Denotemos con A y A′ los bornes del primer arrollamiento (o generadorsinusoidal) y con B y B′ a los bornes del segundo. Si conectamos los bor-nes A′ y B′ de los generadores obtendremos un sistema bifasico de tensionVAB = VAA′ + VBB′ . Al punto de union de ambos generadores se lo llamapunto neutro y se lo denota con N , es decir VAA′ = VAN y VBB′ = VBN .Entonces, suponiendo VAN = V 6 0 con V = Vmax√

2tendremos

VAN = V 6 0 (10.3)

VBN = V 6 90 (10.4)

VAB = V 6 0 − V 6 90 =√2V 6 − 45 (10.5)

siendo VAN y VBN las llamadas tensiones de fase y VAB la tension de lınea

del sistema. En la figura 10.3 se muestran estas tensiones en el esquemacircuital del sistema y en el diagrama fasorial.

10.3. SISTEMA TRIFASICO 249

A

B

N

VAN

VBN

VAB

(a) Esquema circuital

NVAN

VBN VAB

(b) Diagrama fasorial

Figura 10.3: Sistema bifasico y sus tensiones en el dominio del tiempo y dominiofasorial

10.3. Sistema trifasico

Si consideramos un nuevo arrollamiento dentro de nuestra maquina dis-puestos ahora los tres de forma tal que generen tres tensiones de igual am-plitud y desfasadas 2π

3 entre sı podremos obtener un sistema trifasico. Lastensiones generadas en este caso seran por ejemplo

VAA′ = V 6 90

VBB′ = V 6 − 30

VCC′ = V 6 − 150

Estos tres arrollamientos pueden ser interconectados de dos formas distintas,dando lugar a las llamadas conexion en estrella y conexion en triangulo delgenerador.

A

BC

N

VAN

VBN

VCN

VAB

VBCVCA

Figura 10.4: Esquema circuital trifasico en configuracion estrella

10.3.1. Generador en configuracion estrella

Los tres generadores anteriores pueden ser conectados entre sı por mediode un terminal, como se muestra en la figura 10.4. Esta configuracion recibeel nombre de configuracion en estrella. Como se ve, en esta configuracion sedispone de cuatro terminales llamados A, B, C y N1 de los que se obtienen

1O tambien se los suele llamar R, S, T y N , o 1, 2, 3 y N .


las cuatro lıneas que forman el sistema. La tension entre cada terminal A,B o C y el terminal de neutro N es igual a la tension generada por cadaarrollamiento y son llamadas tensiones de fase, las tensiones entre cualquierade los terminales A, B o C es una tension compuesta por dos tensiones defase y son llamadas tensiones de lınea. Puede mostrarse facilmente que elmodulo de las tensiones de lınea es

√3 veces mas grande que el modulo de

las tensiones de fase. En concreto, si las tensiones de fase para este sistemason

VAN = V 6 90 (10.6)

VBN = V 6 − 30 (10.7)

VCN = V 6 − 150 (10.8)

las tensiones de lınea seran

VAB = VAN − VBN =√3V 6 120 (10.9)

VBC = VBN − VCN =√3V 6 0 (10.10)

VCA = VCN − VAN =√3V 6 240 (10.11)

En la figura 10.5 se puede ver el diagrama fasorial de esta configuracion.Notese que para arribar a estas tensiones se eligio arbitrariamente la faseinicial de los generadores, del mismo sistema trifasico se puede obtener undiagrama fasorial equivalente al de la figura 10.5 pero rotado un anguloarbitrario θ. Para poder homogeneizar la forma de representacion de lastensiones de un sistema trifasico se utiliza la convencion de elegir la fase dela tension de lınea VAB igual a cero.

VAN

VBNVCN

VAB

VBC

VCA

N

Figura 10.5: Diagrama fasorial de tensiones de un sistema trifasico de secuenciaABC

Si se observan las tensiones generadas en el dominio del tiempo, consi-derando como positiva la rotacion en el sentido antihorario, se vera que laocurrencia de los valores maximos de cada senal sigue la secuencia ABC (fi-gura 10.6). Si se invierte el sentido de giro de la maquina, o se intercambian

10.3. SISTEMA TRIFASICO 251

dos de los tres terminales de conexion, la secuencia sera CBA. La secuenciaABC recibe el nombre de secuencia directa mientras que la CBA se la llamasecuencia inversa. Siguiendo la convencion anterior, un sistema de secuenciainversa tiene las siguientes tensiones de fase

VAN = V 6 − 90 (10.12)

VBN = V 6 30 (10.13)

VCN = V 6 150 (10.14)

y lınea

VAB =√3V 6 240 (10.15)

VBC =√3V 6 0 (10.16)

VCA =√3V 6 120 (10.17)

A B CVmax

ωt

Figura 10.6: Tensiones de un sistema trifasico de secuencia ABC.

En la figura 10.7 se representa el diagrama fasorial de tensiones de unsistema trifasico de secuencia CBA.

VAN

VBNVCN

VAB

VBC

VCA

N

Figura 10.7: Diagrama fasorial de tensiones de un sistema trifasico de secuenciaCBA.


Si observamos los diagramas fasoriales de estos sistemas trifasicos, tantosea secuencia ABC o CBA, vemos que la suma de los fasores de tensionde lınea como de fase es siempre nula (figuras 10.5 y 10.7). En generaltodo sistema de tensiones o corrientes polifasico cuya resultante sea siemprenula se lo llama sistema equilibrado. Si ademas de ser equilibrado el sistemaes simetrico, es decir que todos los fasores tienen igual amplitud y unadiferencia de fase constante, se dice que el sistema es un sistema perfecto2.Por el contrario, un sistema de tensiones o corrientes polifasico asimetrico,se lo denomina sistema deformado.

Atendiendo a la convencion de la fase nula de la tension de lınea VAB

mencionada antes, especificando el modulo de la tension de lınea y la se-cuencia del sistema, un sistema trifasico queda unıvocamente determinado.Ası por ejemplo el sistema trifasico de distribucion domiciliaria utilizado enArgentina se especifica completamente diciendo que es un sistema de tensionV = 380V , frecuencia f = 50Hz y secuencia ABC.

10.3.2. Generador en configuracion triangulo

Otra forma de interconectar los generadores es en una configuracion serie,formando un circuito cerrado, tal como se muestra en la figura 10.8. Estaconfiguracion se la denomina configuracion triangulo, y por simple inspeccionse ve que las tensiones de lınea coinciden con las tensiones de fase del sistema.

A

BC

Figura 10.8: Generador trifasico en configuracion triangulo.

Esta configuracion no es muy ventajosa ya que carece de punto neutro ypor lo tanto el sistema no puede ser conectado a tierra para su proteccion.Ademas, los arrollamientos se conectan formando un circuito cerrado, y sibien en principio se trata de un sistema perfecto cuya resultante deberıaser nula, esto puede no ocurrir en la realidad y una pequena asimetrıa enel sistema de tensiones puede derivar en una corriente compensadora muy

2Lo contrario no siempre ocurre, es decir un sistema equilibrado puede no ser perfecto,que es el caso de los sistemas sin neutro cuya componente de corriente debe ser obligato-riamente nula y en consecuencia las tensiones y corrientes en el sistema de cargas se hacenasimetricas, como se vera mas adelante

10.4. RESOLUCION DE SISTEMAS TRIFASICOS PERFECTOS 253

grande en los arrollamientos del generador que se vera limitada solo por laresistencia de los devanados, lo que traerıa aparejado serios problemas en elgenerador. Debido a esto no se utilizara esta configuracion en el generadoren los analisis de carga siguientes.

10.4. Resolucion de sistemas trifasicos perfectos

Considerando ahora un generador trifasico como el de la figura 10.4,si se conectan cargas entre los terminales A-N , B-N y C-N , las cargasquedaran interconectadas en configuracion estrella. Si en cambio se conectancargas a los terminales A-B, B-C y C-A estas quedaran interconectadasen configuracion triangulo. Si las cargas conectadas al sistema son todasiguales se dice que se trata de un sistema de cargas balanceado, sino sera unsistema de cargas desbalanceado. Cuando se conecta un sistema de cargasbalanceado a un generador trifasico se obtiene un sistema de tensiones ycorrientes perfecto. Analizaremos primero el caso de cargas balanceadas enambas configuraciones para luego estudiar los sistemas desbalanceados.

10.4.1. Cargas en configuracion estrella

Cuando se conectan cargas en configuracion estrella a un sistema trifasico(figura 10.9) las tensiones aplicadas a cada carga son las tensiones de fasedel sistema. Por lo tanto, suponiendo una carga inductiva de valor Z 6 ϕ yun sistema de tension V y secuencia ABC, por cada carga circulara unacorriente dada por3

IAN =VAN

Z 6 ϕ=

V√3Z

6 (90 − ϕ) (10.18)

IBN =VBN

Z 6 ϕ=

V√3Z

6 (−30 − ϕ) (10.19)

ICN =VCN

Z 6 ϕ=

V√3Z

6 (−150 − ϕ) (10.20)

estas corrientes son llamadas corrientes de fase y las corrientes que circulanpor cada lınea son llamadas corrientes de lınea. Se ve en el circuito de lafigura 10.9 que para esta configuracion de cargas las corrientes de lınea soniguales a las corrientes de fase

IA = IAN (10.21)

IB = IBN (10.22)

IC = ICN (10.23)

3Recordar que en la tension de fase para esta configuracion tiene un modulo√3 veces

menor al de la tension de lınea, es decir Vf = VL√3.


A

BC

NN

VAN

VBN

VCN

VAB

VBC VCA

IA

IB

IC

INIAN

IBN

ICN

Z 6 ϕ

Figura 10.9: Esquema circuital trifasico con carga en configuracion estrella

La corriente por el neutro IN sera

IN = −IA − IB − IC = 0 (10.24)

es decir, el sistema de corrientes para este caso es tambien un sistema per-fecto. Si la corriente de neutro es nula como en este caso entonces el sistemapuede prescindir de la lınea de neutro, ya que esta no transporta corrientealguna, un sistema de este tipo se lo llama sistema trifasico de tres conduc-tores. En la figura 10.10 se puede ver el diagrama fasorial de tensiones ycorrientes para esta configuracion.

10.4.2. Cargas en configuracion triangulo

Si las cargas se conectan entre los terminales A-B, B-C y C-A de nuestrogenerador trifasico tendremos una configuracion triangulo (figura 10.11). Enesta configuracion la tension aplicada a cada carga es la tension de lıneadel sistema. Suponiendo entonces un sistema trifasico de secuencia ABC,tension V y una carga inductiva de valor Z 6 ϕ, las corrientes de fase vienendadas por

IAB =VAB

Z 6 ϕ=

V

Z6 (120 − ϕ) (10.25)

IBC =VBC

Z 6 ϕ=

V

Z6 (−ϕ) (10.26)

ICA =VCA

Z 6 ϕ=

V

Z6 (240 − ϕ) (10.27)

Para esta configuracion las corrientes de lınea son una composicion de lascorrientes de fase. Por trigonometrıa simple puede mostrarse que el modulode una corriente de lınea es

√3 veces mas grande que el modulo de las

corrientes de fase y su argumento se obtiene restando 30 al argumento dela corriente de fase saliente del nudo en cuestion. En el diagrama fasorial de


VAN

VBNVCN

IA

IB

IC

ϕ

N

Figura 10.10: Diagrama fasorial de tensiones y corrientes en una carga balanceadaen configuracion estrella

A

BC

N

VAB

VBC VCA

IA

IB

IC

ICA

IBC

IAB

Z 6 ϕ

Figura 10.11: Esquema circuital trifasico con cargas balanceadas en configuraciontriangulo

tensiones y corrientes de la figura 10.12 se puede ver esta composicion enforma grafica. Ası por ejemplo la corriente de lınea IA = IAB − ICA sera

IA =√3V

Z6 (120 − ϕ− 30)


Finalmente

IA =√3V

Z6 (90 − ϕ) (10.28)

IB =√3V

Z6 (−30 − ϕ) (10.29)

IC =√3V

Z6 (210 − ϕ) (10.30)

VAB

VBC

VCA

IAB

IBC

ICA

−ICA

IA

ϕ30

N

Figura 10.12: Diagrama fasorial de tensiones y corrientes en cargas balanceadasen configuracion triangulo.

10.4.3. Calculo de potencias

Como vimos en capıtulos anteriores, la potencia activa en una cargaesta dada por P = V I cosϕ, siendo V e I los modulos de los fasores tensiony corriente en la carga y ϕ la diferencia de fase entre ellos. Veamos ahoracomo se aplica este calculo a los sistemas trifasicos con cargas balanceadas.

Cargas balanceadas en estrella

Denotemos con Vf al modulo de las tensiones de fase y con VL al de lastensiones de lınea, y con If e IL a los modulos de las corrientes de fase y lınea


respectivamente. En configuracion estrella la tension aplicada a cada cargaes la tension de fase cuyo modulo es en relacion al de la tension de lıneaVf = VL√

3y la corriente en las cargas es la corriente de fase cuyo modulo es

igual al modulo de la corriente de lınea, If = IL, quedando P = VL√3IL cosϕ.

Como las tres cargas son iguales la potencia total sera tres veces la anterior,es decir

PT = 3VL√3IL cosϕ =

√3VLIL cosϕ (10.31)

Procediendo de forma similar encontramos las potencias reactiva y aparenteobteniendo para un sistema de cargas balanceado las siguientes expresiones

PT =√3VLIL cosϕ (10.32)

QT =√3VLIL senϕ (10.33)

ST =√3VLIL (10.34)

notese que ϕ es el argumento de la carga Z 6 ϕ y no la diferencia de faseentre las tensiones y corrientes de lınea.

Cargas balanceadas en triangulo

En esta configuracion las cargas tienen aplicada la tension de lınea y lacorriente de fase que circula por ellas tiene un modulo

√3 veces menor al

modulo de las corrientes de lınea. Entonces las potencias por cada carga enterminos de las corrientes y tensiones de lınea sera

P = VLIL√3cosϕ (10.35)

Q = VLIL√3senϕ (10.36)

S = VLIL√3

(10.37)

y las potencias totales

PT =√3VLIL cosϕ (10.38)

QT =√3VLIL senϕ (10.39)

ST =√3VLIL (10.40)

que como vemos se calculan de la misma forma que para el caso de cargasbalanceadas en configuracion estrella.


Potencia instantanea

La potencia instantanea en un sistema perfecto presenta una particu-laridad que hace de estos sistemas los mas eficientes para el transporte deenergıa. Un pequeno analisis nos permitira mostrar que su eficiencia es in-cluso mayor que la de un sistema monofasico.

Supongamos un sistema perfecto con las siguientes tensiones instantaneas

vA(t) = Vf

√2 sen (ωt) (10.41)

vB(t) = Vf

√2 sen

(ωt− 2

3π

)(10.42)

vC(t) = Vf

√2 sen

(ωt− 4

3π

)(10.43)

que al ser aplicado a un sistema de cargas balanceado en configuracion es-trella4 se originaran las siguientes corrientes

iA(t) = If√2 sen (ωt− ϕ) (10.44)

iB(t) = If√2 sen

(ωt− 2

3π − ϕ

)(10.45)

iC(t) = If√2 sen

(ωt− 4

3π − ϕ

)(10.46)

las potencias instantaneas en cada carga seran

pA(t) = 2VfIf sen (ωt) sen (ωt− ϕ) (10.47)

pB(t) = 2VfIf sen

(ωt− 2

3π

)sen

(ωt− 2

3π − ϕ

)(10.48)

pC(t) = 2VfIf sen

(ωt− 4

3π

)sen

(ωt− 4

3π − ϕ

)(10.49)

utilizando la igualdad trigonometrica senα senβ = 12 [cos(α− β)− cos(α+ β)]

las potencias instantaneas quedan

pA(t) = VfIf cosϕ− VfIf cos(2ωt− ϕ) (10.50)

pB(t) = VfIf cosϕ− VfIf cos(2ωt−4

3π − ϕ) (10.51)

pC(t) = VfIf cosϕ− VfIf cos(2ωt−8

3πϕ) (10.52)

sumando las potencias anteriores se verifica que la potencia total instantaneaes

pT (t) = 3VfIf cos(ϕ) = PT (10.53)

4Se puede arribar al mismo resultado si la configuracion de las cargas es triangulo sim-plemente transformando el sistema a uno equivalente en configuracion estrella mediante elteorema de Rosen (transformacion estrella-triangulo) que se vio en el capıtulo de Teoremas

circuitales.

10.5. RESOLUCION DE SISTEMAS TRIFASICOS DEFORMADOS 259

es decir que la potencia instantanea en un sistema perfecto es constante eigual a la potencia media total. Esto crea condiciones ventajosas respecto alfuncionamiento de las maquinas trifasicas desde el punto de vista mecanico,ya que se eliminan las vibraciones producidas por los sistemas de potenciapulsantes como el monofasico.

El sistema trifasico es el sistema perfecto que requiere menor cantidad defases y es por eso que es el sistema de distribucion de energıa mas utilizadoen el mundo. Un sistema de distribucion domiciliario trifasico sin embargono es un sistema perfecto en general, porque las cargas conectadas a el, esdecir los hogares, son cargas monofasicas diferentes que si bien se van co-nectando en forma equilibrada a cada fase, nunca puede lograrse un sistemade cargas balanceado debido a la variabilidad de las mismas. En cambioen una industria las cargas son en general balanceadas, lograndose sistemasmuy cercanos a un sistema perfecto y por ende con una alta eficiencia en eltransporte de energıa.

10.5. Resolucion de sistemas trifasicos deformados

Si las cargas conectadas al generador trifasico no son todas iguales, lascorrientes que circulan por ellas seran tambien diferentes, en modulo y/o enfase, con lo cual se tendra entonces un sistema deformado. Analizaremos acontinuacion los problemas de sistemas de cargas desbalanceados en ambasconfiguraciones, con tres y cuatro conductores.

10.5.1. Cargas desbalanceadas en estrella con cuatro conduc-tores

10.5.2. Cargas desbalanceadas en estrella con tres conducto-res

Corrimiento del neutro

10.5.3. Cargas desbalanceadas en configuracion triangulo

10.5.4. Potencia en cargas desbalanceadas

Cargas en estrella con cuatro conductores

Cargas en triangulo - Metodo de los dos vatımetros

Metodo de los dos vatımetros aplicado a cargas balanceadas


Ejercitacion

1. Un sistema trifasico de 60V y secuencia directa alimenta al circuitode la fig. 10.13. Encontrar las corrientes de lınea y de fase, dibujarel digrama fasorial de tensiones y corrientes de lınea y calcular laspotencias activa, reactiva y aparente de cada fase.

A

B

C

VAB

VBCVCA

IA

IB

IC

116 30

116 30116 30

Figura 10.13: Cargas equilibradas en estrella

2. Encontrar para el ejercicio 1 la potencia instantanea p(t) = v(t) i(t)de cada fase y la de todo el sistema con ω = 2π50.

3. Un sistema trifasico ABC de 380V alimenta una carga equilibrada enconfiguracion triangulo de Z = 12 + j22Ω. Hallar las intensidades decorrientes en las lineas y dibujar el diagrama fasorial.

4. Un sistema trifasico ABC de 380V alimenta a dos grupos de cargasen configuracion estrella, conectadas en paralelo entre si. El primergrupo de cargas tiene impedancias identicas de valor Zm = 366 25Ω yel segundo tiene otras tres de valor Zn = 1066 15Ω cada una. Calcularla potencia total erogada por el sistema.

5. Un sistema trifasico CBA de 380V tiene una carga conectada entriangulo de

ZAB = 18 + j30Ω

ZBC = 10 + j25Ω

ZCA = 60Ω

encontrar las corrientes de lınea IA, IB e IC y dibujar el diagramafasorial.

6. Al siguiente sistema trifasico de tension VAB = 3806 0 y de secuenciaindirecta CBA se le conectan dos vatımetros en la lınea A y en la lıneaB como se ve en la fig. 10.14

se pide:

a. lectura de PA y PB y de aquı la potencia total

b. verificacion de la potencia total


A

B

C

VAB

VBCVCA

IA

IB

IC

ZA

ZB ZC

ZA = 206 0

ZB = 506 0

ZC = 256 0O

PA

PB

Figura 10.14: Potencia en cargas desequilibradas

c. diagrama fasorial completo indicando las magnitudes que midecada vatımetro

Si utiliza el metodo del desplazamiento del neutro, como dato adicionalse tiene que VON = 52, 96 − 10, 9

7. Al siguiente sistema trifasico de tension V = 380V y de secuencia di-recta ABC se le conectan dos vatımetros como se ve en la fig. 10.15.Se pide: a. lectura de PA y PC y de aquı la potencia total. b. verifica-cion de la potencia total. c. diagrama fasorial completo indicando lasmagnitudes que mide cada vatımetro

A

B

C

VAB

VBC VCA

IA

IB

IC

ZA

ZB

ZCZA = 80ΩZB = 50ΩZC = 64Ω

PA

PC

Figura 10.15: Potencia en cargas desequilibradas

8. El circuito de la fig. 10.16 es un secuencımitro RC. Deducir el modode operacion. Construir el diagrama fasorial para secuencia directa eindirecta.

A

B

C

VAB

V

IA

IB

IC

R

Zin → ∞

C

Figura 10.16: Secuencımetro RC


Soluciones


IA = 3,15 6 60, IB = 3,156 − 60, IC = 3,15 6 − 180

PA = PB = PC = 94,475W ,QA = QB = QC = 54,545V AR,SA = SB = SC = 109,09V A


pA(t) = 94, 5− 109, 12 cos(4π50 + 150)W ,pB(t) = 94, 5− 109, 12 cos(4π50− 90)W ,pC(t) = 94, 5− 109, 12 cos(4π50 + 30)W

pT (t) = 283, 5W


En una carga en configuracion triangulo las tensiones de fase tiene elmismo modulo que las tensiones de lınea. Para el caso de secuenciaABC y tension de sistema de 380

VAB = 3806 120

VBC = 3806 0

VCA = 3806 240

Estas son las tensiones aplicadas en cada impedancia del triangulo, lascuales determinan las corrientes en cada fase

IAB =VAB

Z= 15,1646 58,61

IBC =VBC

Z= 15,1646 − 61,39

ICA =VCA

Z= 15,1646 178,61

Las corrientes de fase sin embargo son distintas a las corrientes delınea. Para calcular las corrientes de lınea aplicamos LKC en cadanudo del triangulo

IA = IAB − ICA = 23,057 + j12,577

IB = IBC − IAB = −0,63690− j26,25649

IC = ICA − IBC = −22,420 + j13,680


o en forma polar

IA = 26,2646 28,61

IB = 26,2646 − 91,39

IC = 26,2646 148,61

IAB −ICA

IA

IB

IC

VAB

VBC

VCA

ϕ = 91,39



P = 1035, 3W


IA = 9, 566 − 143, 62AIB = 12, 876 − 22, 26AIC = 11, 366 111, 82A

Capıtulo 11

Aplicaciones reales

265

266 CAPITULO 11. APLICACIONES REALES

Ejercitacion

1. Para el circuito de la figura 11.1 se pide:

R1 = 2Ω

R2 = 4Ω L = 20mHv(t) = 141 cos(100t)u(t)Vi1 i2

VR

Figura 11.1: Circuito RL

a. encontrar i1,i2 y vR para todo t > 0 indicando partes transitoriay permanente de la respuesta

b. repetir aplicando transformada de Laplace

c. encontrar la funcion de transferencia y la respuesta al impulsoconsiderando la fuente de tension como entrada y vR como salida

d. encontrar la respuesta de regimen permanente de i1 y vR apli-cando el metodo fasorial y comparar con la obtenida en el puntoanterior

e. construir el diagrama fasorial completo de tensiones y corrientes

f. calcular la potencia activa de cada elemento y la potencia activatotal

g. plantear la matrız de impedancias para calcular I1 e I2 y la matrızde admitancias para calcular VR

h. calcular la impedancia de entrada V

I1y de transferencia V

I2

i. encontrar, grafica y analıticamente, el lugar geometrico de Z si ωvarıa desde 0 a ∞.

j. graficar el lugar geometrico de i1. Indicar en el grafico hacia dondese mueve la corriente cuando ω → 0 y cuando ω →∞

k. conectar un capacitor en paralelo con L y calcular el valor de lacapacidad para que el circuito entre en resonancia a la frecuenciade la fuente

l. en estas condiciones, calcular Q0

Apendice A

Ecuaciones diferenciales

Una Ecuacion Diferencial (Ec.Dif.) es una ecuacion que establece unarelacion entre una variable, una funcion incognita en esa variable y las deri-vadas de esta funcion incognita

F (t, x(t), x′(t), x′′(t), · · · , xn(t)) = 0 (A.1)

si la funcion incognita x(t) es de una sola variable la Ec.Dif. se llama ordi-naria, sino se llama Ec.Dif. en derivadas parciales.

El orden de derivacion mas alto presente en la Ec.Dif. determina el ordende la Ec.Dif.

Toda funcion x(t) que introducida en la Ec.Dif. la transforme en unaidentidad se llama solucion o integral de la Ec.Dif.

Una Ec.Dif. de n-esimo orden es lineal si la funcion incognita y todassus derivadas estan elevadas a la primera potencia (Piskunov 616)

La solucion general completa de una Ec.Dif. lineal no homogenea deorden n se expresa como la suma de cualquier solucion particular xnh(t) de lano homogenea, mas las n soluciones generales xho(t) de la Ec.Dif. homogeneacorrespondiente (Piskunov 631). Para que la solucion sea completa se debeformar con tantas soluciones generales de la homogenea como orden tengala Ec.Dif.

En la Teorıa de los circuitos la solucion particular de la Ec.Dif. no ho-mogenea representa la respuesta forzada o de regimen permanente del cir-cuito, mientras que las soluciones generales de la Ec.Dif. homogenea corres-pondiente representan las respuestas naturales o de regimen transitorio delsistema. La cantidad de respuestas naturales necesarias para representar eltransitorio de un sistema vendra dado entonces por el orden de la Ec.Dif.que lo represente.

267

268 APENDICE A. ECUACIONES DIFERENCIALES

Apendice B

Uso basico de Maxima

B.1. Maxima/wxMaxima

El sistema de algebra computacional (o CAS por sus siglas en ingles)Maxima es un motor de calculo simbolico escrito en lenguaje Lisp publica-do bajo licencia GNU GPL. Maxima esta basado en el sistema original deMacsyma desarrollado por MIT en los anos 70.

Cuenta con un amplio conjunto de funciones para manipulacion simbolicade polinomios, matrices, funciones racionales, integracion, derivacion, mane-jo de graficos en 2D y 3D, manejo de numeros de coma flotante muy grandes,expansion en series de potencias y de Fourier, entre otras funcionalidades.

Maxima funciona en modo consola, sin embargo incluye las intefacesgraficas xMaxima y wxMaxima para facilitar su uso, estos disponen demenus para acceder a los comandos disponibles de Maxima.

B.1.1. La intefaz grafica wxMaxima

wxMaxima permite crear documentos matematicos que incluyan textos,calculos y graficos. Estos documentos consisten en celdas que se representanpor un corchete en la parte izquiera de la interfaz grafica de wxMaxima;dichas celdas constan de partes como el tıtulo, texto, entrada de comandosMaxima y la salida o resultado. En la figura B.1 se muestra una celda deejemplo

El triangulo en la parte superior del corchete que delimita la celda sirvepara ocultar la celda. Una vez introducido uno o varios comandos medianteSHIFT+ENTER las entradas se hacen efectivas y cada una de ellas se representapor %i y el resultado por %o, seguidos por un numero, como

(%i58) 1 + 1;

(%o58) 2

Las lıneas terminadas con “;” indican a Maxima que muestre el resultadoy las lıneas terminadas con “$” le indican que no muestre el resultado (util

269

270 APENDICE B. USO BASICO DE MAXIMA

--> /* this is an input cell - it holds Maxima code and can be

evaluated with SHIFT-ENTER. The code entered in this cell

will be sent to Maxima when you press SHIFT-ENTER. Before

wxMaxima sends code to Maxima, it checks if the contents

of an input cell ends with a ’;’ or a ’$’ - if it doesn’t,

wxMaxima adds a ’;’ at the end. Maxima requires that lines

end with either ’;’ or ’$’.

Any output wxMaxima gets from Maxima will be attached into

the output part of the input cell. Try clicking in this cell

and pressing SHIFT-ENTER. */

/*example Maxmima code: */

print("Hello, world!")$

integrate(x^2, x);

Figura B.1: Ejemplo de celda de wxMaxima

para resultados largos).

B.2. Operaciones con Maxima

Para mantener la precision de los calculos Maxima, a diferencia de losprogramas de calculo numerico (como MATLAB, GNU/Octave, etc.) no eva-lua las expresiones como por ejemplo 1/3 o

√2 al menos que se le indique

mediante el comando float

(%i61) sqrt(2 * %pi);

(%o61)√2√π

(%i62) float(%);

(%o62) 2,506628274631001

La lınea “float( %)” es una forma abreviada de aplicar una operaciona la ultima lınea visible, el sımbolo % significa la ultima lınea. La formaexplicita para este ejemplo serıa “float( %i61)” o “float( %o61)”.

El operador : se utiliza para etiquetar numeros o expresiones, la formade uso es “nombre variable:”, por ejemplo

(%i68) radius: 10 $

(%i69) height: 100 $

(%i70) area: %pi * radius^2;

B.2. OPERACIONES CON MAXIMA 271

(%o70) 100π

(%i71) volume: area * height;

(%o71) 10000π

Maxima incluye algunas constantes utiles como el numero e que se re-presenta por %e, π representado por %pi y i =

√−1 por %i.

Funciones

Se pueden definir funciones mediante “:=” y evaluarlas

(%i75) f(x) := x^2 + a$

(%i76) f(5);

(%o76) a+ 25

(%i77) f(5), a = -5;

(%o77) 20

y funciones definidas por tramos como

f(x) =

x2 , x < 02x− 1 , 0 < x < 41− x , x > 4

(%i1) f(x):= if(x<0) then (x^2) else ( if(x<4) then (2*x - 1) else (1-x) );

cuya grafica se muestra en la figura B.2

Derivadas

Resolver derivadas

(%i54) f(x) := x^2 $

(%i55) diff(f(x), x);

(%o55) 2x

(%i56) g(y) := sin(y)$

(%i57) g(f(x));

(%o57) sin(

x2)

(%i58) diff( g(f(x)) , x);

(%o58) 2x cos(

x2)


-10

-5

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4 6 8 10

if x

< 0

then

x2 e

lse

(if x

< 4

then

2*x

-1 e

lse

1-x)

x

Figura B.2: Funcion definida por tramos

Integrales

Otras de las operaciones que realiza Maxima incluye integrales definidase indefinidas

(%i73) integrate( sin(x), x);

(%o73) −cos (x)

(%i74) integrate( sin(x), x, 0, %pi);

(%o74) 2

A veces Maxima necesita informacion adicional para evaluar una expre-sion, en cuyo caso pregunta, por ejemplo para evaluar una integral con unaconstante positiva

(%i79) integrate( 1 / (x^2 + a), x);

Is a positive or negative?p;

(%o79)atan

(

x√a

)

√a

O bien se le indica de antemano utilizando la funcion “assume” y “forget”para revertir la operacion

(%i80) assume(a > 0)$

(%i81) integrate( 1 / (x^2 + a), x);

(%o81)atan

(

x√a

)

√a

(%i82) forget(a > 0)$

B.2. OPERACIONES CON MAXIMA 273

B.2.1. Ecuaciones diferenciales

Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, y particularizar larespuesta asignando un valor conocido de la funcion con “atvalue”

(%i84) eq1: L*diff(i(t),t,1)+R*i(t) = V;

(%o85) i(t)R+di(t)

dtL = V

(%i86) atvalue(i(t),t=0,0)$

(%i87) desolve(eq1,i(t));

(%o87) i(t)V

R− V e−

RL

t

R

o de segundo orden

(%i96) ode2( ’diff(y, t, 2) + omega^2 * y = 0, y, t );

(%o96) y = %k1 sin (ω t) + %k2 cos (ω t)

(%i97) ic2(%, t = 0, y = A, ’diff(y,t) = 0 );

(%o97) y = Acos (ω t)

Graficos

Se pueden realizar graficos 2D o 3D

(%i98) plot2d([sin(x), cos(x)], [x,0, 2*%pi]);

(%i99) plot3d( exp(-x^2 - y^2), [x,-2,2],[y,-2,2]);

los resultados se muestran en la figura B.3 y B.4. Las funciones “wxplot2d”y “wxplot3d” insertan el grafico dentro de la celda de wxMaxima.


-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6

x

sin(x)cos(x)

Figura B.3: Grafico 2D

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2-1.5

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

%e(-y2-x2)

x

y

Figura B.4: Grafico 3D

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