manual_fundesp_v1-3

7/25/2019 manual_fundesp_v1-3

1/52

Fundamentos de espectroscopa (Clave 1309)

Manual de prcticas

Fundamentos deEspectroscopa

Manual de prcticas

Versin 1.3

Visitanos en: http://fqespectros.wordpress.com/

Este manual es de distribucin gratuita para los alumnos de la materia Fundamentos de Espectroscopa (Clave 1309) dela Facultad de Qumica, UNAM. Ciudad Universitaria 2016.


2/52


Manual de prcticas

2

Tabla de contenido

Reglamento Interno de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de Fsica del Departamento

de Fsica y Qumica Terica ...................................................................................................................................... 3

Prctica 1. Ley de Hooke y movimiento armnico simple ........................................................................... 2

Prctica 2. El pndulo simple ................................................................................................................................... 4

Prctica 3. Ondas transversales en una cuerda ................................................................................................ 8

Prctica 4. Leyes de reflexin y refraccin de la luz .................................................................................... 10

Prctica 5. ndice de refraccin de lquidos .................................................................................................... 12

Prctica 6. Interferencia de Young ..................................................................................................................... 14

Prctica 7. La polarizacin de la luz ................................................................................................................... 17

Prcticas optativas .................................................................................................................................................... 20

Optativa 1. Movimiento armnico subamortiguado ................................................................................... 20

Optativa 2. Fenmenos ondulatorios en una cuba de ondas ................................................................... 23

Optativa 3. Determinacin de la constante de Planck ................................................................................ 26

Optativa 4. ptica sin lentes .................................................................................................................................. 28

Taller de simetra ....................................................................................................................................................... 30

I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetra ...................................................................... 30

Taller de simetra molecular ................................................................................................................................. 36

II. Algunas implicaciones de la simetra ........................................................................................................... 36

Taller de simetra molecular ................................................................................................................................. 41

III. Tablas de caracteres .......................................................................................................................................... 41


3/52


Manual de prcticas

3

Reglamento Interno de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de Fsica del Departamento

de Fsica y Qumica Terica

ARTCULO 1o. El presentereglamento es

complementario delReglamento de Higiene ySeguridad para losLaboratorios de la Facultadde Qumica de la UNAM y esaplicable a los laboratoriosde Fsica de la propiaFacultad.

Su observancia esobligatoria para el personalacadmico, alumnos ytrabajadores

administrativos y no excluyeotra reglamentacin queresulte aplicable.

ARTCULO 2o. Todas lasactividades experimentalesque se realicen en loslaboratorios debern estarsupervisadas por unresponsable, el cual serdesignado por la jefatura dela Seccin de Fsica

Experimental.

ARTCULO 3o. El profesordeber identificar los riesgosespecficos

de cada prctica e indicar lasmedidas y procedimientos

de seguridad adecuados,especialmente al usarequipo energizado y lser.

ARTCULO 4o. Cualquiermedida y/o procedimientono considerado en elpresente Reglamento quedasujeto a lo indicado en elReglamento de Higiene ySeguridad para Laboratoriosde la Facultad de Qumica.

Manual de Seguridad para

Trabajar en los Laboratorios

de Fsica

a) Utilizar instrumentos oherramientas provistas decordones de potencia contres alambres de conexin atierra fsica.

b) Cortar la fuente dealimentacin antes de hacer

conexiones y desconexiones.

c) Revisar todos loscordones y terminales antesde emplearlos, verificando

que no estn daados y encaso de que alguno lo

estuviera informar a quiencorresponda.

d) Evitar pararse en pisosmetlicos o hmedos almanejar equipo elctrico.

e) No manejar instrumentoselctricos cuando la piel esthmeda.

f) No llevar ropa suelta nicabello largo y suelto cerca

de maquinaria enmovimiento.

g) Cuidar los cautines ysoldaduras elctricascuando estn calientes.

h) Cuidar siempre el ltimocable o punta de prueba alpotencial ms alto.

i) No anular ningn

dispositivo de seguridadmediante la instalacin decorto circuito o fusibles dems amperaje alespecificado por elfabricante.

Artculo Transitorio nico

El presente Reglamento, una vez aprobado por el ConsejoTcnico, entrar en vigor el da siguiente de su publicacin enla Gaceta de la Facultad de Qumica.

Aprobado por el H. Consejo Tcnico el 28 de abril de 1994.


4/52


Manual de prcticas

Prctica 1. Ley de Hooke y movimiento armnico simple

Fuente: Manual de prcticas para fundamentos de espectroscopa. Proyecto PAPIME PE10110.

Introduccin

Algunos materiales se estiran cuando se les aplica una fuerza, tal es el caso de un resorte o deuna liga; sin embargo, no en todos los materiales elsticos el estiramiento es proporcional a lafuerza. Cuando la proporcionalidad se cumple para un material, el movimiento puededescribirse clsicamente como un oscilador armnico simple, cuya ecuacin puede expresarsecomo: + =0 Ec.1donde la literal kcorresponde a la constante de fuerza del resorte y ma la masa acoplada almismo. Debido al ngulo de fase

, la solucin a esta ecuacin puede expresarse en trminos

de funciones seno o coseno. = + Ec.2Cuyo trmino xm es la mxima amplitud de desplazamiento u oscilacin, es la frecuenciaangular igual a = k/m. Dado que esta funcin se repite despus de un lapso de tiempo 2/definida como el perodo T enel que realiza una oscilacin, sta puede definirse como:

= 2 = 2mk Ec.3Por lo que sta depende de la masa acoplada al resorte. Cabe mencionar que las vibraciones de

las molculas al analizarse por espectroscopa infrarroja pueden describirse a travs de unmovimiento armnico simple. En el caso ms simple de una molcula diatmica, sta se puedemodelar como dos masas (una de mayor peso que la otra) unidas por un resorte cuya oscilacinser generada por una perturbacin en el sistema.


5/52


Manual de prcticas

3

Procedimiento

Establezca un sistema como el que se muestra en la figura 1 a fin de efectuar las mediciones deelongacin del resorte por cada masa acoplada, de acuerdo a la ley de Hooke, y perodo de

oscilacin del mismo. Considere una amplitud de

oscilacin pequea para minimizar los efectos detorsin del resorte durante su elongacin. Recuerde quedicha fuerza adicional produce efectos que no se hanconsiderado en la deduccin del movimiento armnicosimple (Ec. 2).

Utilice al menos 10 masas distintas para efectuar lamedicin de la elongacin y posteriormente el perodode oscilacin del resorte. Para la medicin del perodode oscilacin del resorte realice al menos 10 medicionesdel perodo para asociar una incertidumbre tipo A con

la estadstica suficiente.

Tratamiento de datos

Realizar una grfica de fuerza F (N) versus elongacin x(cm) y determinar la constante derestitucin mediante un ajuste de mnimos cuadrados.

Construir una grfica de perodo T(s) versus masa m(kg) y determinar si es una relacin

lineal o no. Analizar la dependencia descrita en la teora. Establecer el mecanismo por elcual se puede linealizar la grfica. Una vez que los pares de datos presentan una tendencialineal, realizar un ajuste por cuadrados mnimos a fin de obtener la constante de fuerza delresorte.

Comparar los mtodos por los que se ha obtenido la constante de fuerza del resorte ycomentar al respecto.

Referencias

1. Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane. Physics. John Wiley & Sons, Inc. Volumen1, Cuarta Edicin. 1992. p. 318.

2.

Paul A. Tipler. Fsica. Tomo I, Segunda Edicin. Editorial Reverte, S.A. 1991, p. 379.3. Joseph Christensen, An improved calculation of the mass for the resonant spring pendulum,

Am. J. Phys. 72 (6), June 2004, p. 8184. Ernesto E. Galloni and Mario Kohen, Influence of the mass of the spring on its static and

dynamic effects, Am. J. Phys. 47 (12), December 1979, p. 10765.

Eduardo E. Rodrguez, Gabriel A. Gesnouin, Effective mass of an oscillating spring, ThePhysics Teacher, Vol. 45, February 2007, p. 100

m

Figura 1. Sistema masa-resorte


6/52


Manual de prcticas

4

Prctica 2. El pndulo simple


Introduccin

Un ejemplo importante del movimiento peridico es el del pndulo simple. Si el ngulo formadopor la cuerda con la vertical no es demasiado grande, el movimiento de la lentejadel pnduloes armnico simple.

Figura 1. Conjunto de fuerzas que actan en un pndulo simple.

Considrese un objeto de masa msituado en el extremo de una cuerda de longitud L, como se

muestra en la figura 1. Las fuerzas que actan sobre el objeto son la de la gravedad y latensin T de la cuerda. La fuerza tangencial es y est en el sentido en el quedisminuye el ngulo . Sea s la longitud de arco medido desde el punto inferior del arco. Lalongitud del arco est relacionada con el ngulo medido desde la vertical por:

= Ec.1Donde la aceleracin tangencial es d2s/dt2. La componente tangencial de = es = = Es decir == Ec.2Si s L, el ngulo = s/Les pequeo y puede aproximarse sen .Utilizando sen(s/L) s/Len la ecuacin (2) se obtiene:


7/52


Manual de prcticas

5

= Ec.3Se ve que en el caso de ngulos pequeos para los cuales la aproximacin sen es vlida, laaceleracin es proporcional al desplazamiento. El movimiento del pndulo es armnico simple

para desplazamientos pequeos. Si se escribe 2en lugar deg/L, la ecuacin (3) se transformaen: = Ec.4La solucin de esta ecuacin es:

= + Ec.5En donde s0 es el desplazamiento mximo medido a lo largo del arco de circunferencia. El

perodo del movimiento es

= 2 =2 Ec.6El movimiento de un pndulo simple es armnico simple slo si el desplazamiento angular es

pequeo de modo que sen.El movimiento de un pndulo simple en el caso de ngulosgrandes no es armnico simple. Sin embargo, el movimiento es peridico aunque el perodo yano sea independiente de la amplitud, como en el caso del movimiento armnico simple.

Cuando se tienen ngulos de oscilacin grandes se sabe que sen


8/52


Manual de prcticas

6

Procedimiento

Construya un pndulo simple tal como se muestra en la figura 2. Aqu se utilizar unafotocompuerta electrnica que har la medicin del perodo de oscilacin del pndulo. Aunqueen la grfica no se muestra, es conveniente utilizar un pndulo bifilar para mantener al pndulo

oscilando en un plano y no se impacte la lenteja en lafotocompuerta electrnica.Para efectos de comparacin entre los resultados experimentales y las predicciones de la teoraconviene iniciar las mediciones con un ngulo menor o igual a 10.

Utilice al menos 10 longitudes distintas para el pndulo (se sugiere longitudes mayores a 1 m)y en cada caso registre 10 parejas de valores (L, T) para hacer una comparacin con la teora ytambin comparaciones entre datos experimentales en una misma grfica.

Considere que al efectuar las mediciones correspondientes a > 10 tendra que realizar otro

tipo de ajustes como la interpolacin mediante splines cbicos o interpolacin de Lagrange,pero dichos mtodos numricos estn fuera del alcance de este curso.

Figura 2. Arreglo experimental para determinar el perodo de oscilacin de un pndulosimple.


Realice una grfica del perodo T (s) versus la longitud de la cuerda, L (m) y determine si esuna relacin lineal o no. Analice la dependencia descrita en la teora. Establezca elmecanismo por el cual puede linealizar la grfica.

Determinar el valor de la aceleracin gravitacional.


9/52


Manual de prcticas

7

Referencias

1. Paul A. Tipler. Fsica. Segunda edicin, Tomo I, Editorial Revert, S. A., 1991, p. 387-393.2. Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Fsica, Volumen I, Mecnica. Addison-Wesley

Iberoamericana, S. A., 1986, p. 366-369.

3.

Salvador Gil, Eduardo Rodrguez. Fsica re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 341-342.


10/52


Manual de prcticas

8

Prctica 3. Ondas transversales en una cuerda


Introduccin

Las oscilaciones que se presentan en una cuerda tensa que vibra se pueden estudiar si seconocen algunas caractersticas como la tensin a la que est sometida y su densidad lineal demasa (o masa por unidad de longitud).

Las ondas que se producen en una cuerda son ondas transversales que se propagan con unavelocidad dada por

= (3.1)donde Tes la tensin a la que est sometida la cuerda y es la densidad lineal de masa (o masapor unidad de longitud. Si se miden estas variables es posible calcular la velocidad depropagacin.

Por otro lado, tambin es posible determinar la velocidad de propagacin cuando se producenondas estacionarias y se utiliza la relacin

= (3.2)donde es la frecuencia de oscilacin y la longitud de onda. Debe notarse que la longitud deonda es dos veces la distancia entre nodos sucesivos. Vanse principalmente las referencias 2,3, 6 y 7.

Procedimiento ExperimentalEn el almacn del laboratorio se dispone de un equipo con el que es posible generar ondasestacionarias en una cuerda. Siga las instrucciones de armado del equipo para generar lasondas.

Dado que el equipo no cuenta con un medidor de la frecuencia de oscilacin de la cuerda, serconveniente utilizar un estroboscopio para determinar dicha frecuencia.

Tambin es conveniente fijar papel milimtrico sobre la mesa de trabajo y debajo de la cuerdapara facilitar la lectura de la amplitud de oscilacin de la cuerda. De ser posible, vale la penatomar fotografas de la cuerda esttica y luego durante las oscilaciones.

La medicin de la masa de la cuerda debe hacerse con una balanza analtica para determinar ladensidad lineal de masa.

Es conveniente variar la frecuencia de la corriente manteniendo una tensin fija. Despus sepuede variar la tensin suspendiendo pesos distintos en un extremo de la cuerda ymanteniendo el otro fijo, como se ve en la figura 1.

Para cada tensin deben hacerse 10 cambios de frecuencia y cambiar 10 veces la tensin, porlo menos.


11/52


Manual de prcticas

9

Figura 1. La cuerda de longitud L se mantiene tensa al aplicar una masa m en uno de susextremos mientras el otro se mantiene fijo.

Tratamiento de datos y discusin

1. Analic la relacin de los modos de vibracin con la longitud de la cuerda y con la tensinde la cuerda.

2. Establezca el nmero de nodos para cada tensin y longitud, y diga a que armnicocorresponde.

3.

Determine la longitud de onda, y la velocidad de propagacin de la onda para cada caso.4. Establezca la relacin frecuencia-masa a travs de una grfica.5.

Realic una grfica de frecuencia al cuadrado versus masa para el primer, segundo y tercerarmnico observado, y determine la densidad lineal de la cuerda a partir de la pendiente.

Referencias

1. Experimentos de Fsica, Harry F. Meiners, Walter Eppenstein, Kenneth H. Moore,Editorial Limusa, Mxico, 1980, ISBN 968-18-0432-5, p. 317-320.

2.

Wave Phenomena, Dudley H. Towne, Dover Publications, Inc., 1967, ISBN 0-486-65818-X, p. 5-6 y 322-327.

3. Fsica, Volumen II, Mecnica, Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Addison-WesleyIberoamericana, S. A., 1986, ISBN 0-201-00279-5, p. 712-716.

4.

Physics, Vol 1, Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, John Wiley & Sons, Inc.1992, ISBN 0-471-55917-2, p. 423-424.

5. Fsica re-Creativa, Experimentos de Fsica, Salvador Gil y Eduardo Rodrguez, PrenticeHall, 2001, Pearson Education S. A., p. 170-172.

6. Timothy C. Molteno, Nicholas B. Tufillaro, An experimental investigation into thedynamics of a string, Am. J. Phys., 72 (9), September 2004, p. 1157

7.

Michael Sobel, The Standing Wave on a String as an Oscillator, The Physics Teacher. Vol.45, March 2007, p. 137


12/52


Manual de prcticas

10

Prctica 4. Leyes de reflexin y refraccin de la luz


Introduccin

Cuando un haz de luz incide a un ngulo 1con respecto a la normal de una superficie quesepara dos medios, parte de la misma se transmite y parte se refleja, como se observaesquemticamente en la figura 1. En cada uno de los medios, la luz se propaga con velocidadesdiferentes.

Figura 1. Reflexin y refraccin de la luz.

Como puede observarse, la fraccin que se transmite a travs de un medio con ndice derefraccin n , experimenta una desviacin con respecto a la direccin del haz incidente y setransmite entonces a un ngulo 3 con respecto a la normal. A este fenmeno se le conoce comorefraccin. Por otra parte, la fraccin que se refleja lo hace a un ngulo 2que se localiza en elcuadrante opuesto al del ngulo de incidencia.

En este experimento se pretende establecer relaciones entre los ngulos de incidencia, reflexiny refraccin, de tal manera que sea posible efectuar predicciones al respecto.

Procedimiento

Utilizando una D como en la figura 2, haga incidir un haz de luz, de preferencia el de un lser,con distintos ngulos de incidencia, empezando con -90 y terminando con 90 con respecto ala normal al lado plano de la D, con incrementos de 5. Para cada ngulo de incidencia midatanto el ngulo de reflexin como el de refraccin.


13/52


Manual de prcticas

11

Figura 2. Dispositivo experimental


Construir una tabla en la que la variable independiente sea el ngulo de incidencia y lavariable dependiente sea el ngulo de reflexin en un caso y el de refraccin en otro.

Construir una grfica con los valores obtenidos para la reflexin de la luz, y otra grfica paralos datos correspondientes a la refraccin.

Construir una tabla en la que la variable independiente sea la funcin trigonomtrica senodel ngulo de incidencia y la variable dependiente sea la funcin seno del ngulo dereflexin en un caso y seno del ngulo de refraccin en el otro.

A partir de las grficas anteriores, establecer las relaciones matemticas que relacionen alngulo de reflexin como funcin del ngulo de incidencia y al ngulo de refraccin tambincomo funcin del ngulo de incidencia.

Utilizando el mtodo de cuadrados mnimos, determinar el ndice de refraccincorrespondiente al material del que est hecho la D. A partir del ndice de refraccin obtenido, indicar el posible material del que est hecha la

D

Actividad adicional opcional)

Haciendo incidir la luz de un lser sobre la parte curva de la D, determin ar el ngulo crticopara el cual se presenta la reflexin total interna dentro del material que se est analizando.Estas mediciones requieren de mucho cuidado para determinar apropiadamente el ngulocrtico, ya que no resulta tan fcil distinguir en qu momento se presenta la reflexin totalinterna.

Referencias

1.

Eugene Hetch, Alfred Zajac. ptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-105.2. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,

Inc., 1992, p. 904-909.3. Salvador Gil, Eduardo Rodrguez. Fsica re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 193-194.


14/52


Manual de prcticas

12

Prctica 5. ndice de refraccin de lquidos

Autor(es): Ivonne Rosales Chvez, Elisa Collado Fregoso.

Introduccin

El espectro de ondas electromagnticas abarca una amplia gama de energas que van desdeondas poco energticas como las de radio, hasta ondas de alta energa como los rayos gamma.El estudio del comportamiento y propiedades de una pequea porcin del espectro, la luzvisible, se lleva a cabo por la ptica. En un principio la ptica realizaba el estudio de algunos delos fenmenos de la luz como la reflexin y refraccin a travs de modelos geomtricos. Endichos modelos la ptica geomtrica describe la trayectoria de la luz como un rayo que sepropaga en lnea recta, describiendo los fenmenos de reflexin y refraccin de la luz como unrayo el que al chocar con una superficie rebota o cambia de direccin al atravesar la superficie.

La figura 1 describe la reflexin de la luz, donde la lnea DH

es normal a la superficie AC en el punto B. En tanto que corresponde al ngulo entre el rayo incidente EB y laperpendicular DB y al rayo reflejado BF. En el caso de lareflexin el ngulo equivale al ngulo (Ley de lareflexin).

Para el fenmeno de la refraccin su trayectoria se describepor el cambio de direccin del rayo incidente EB, al pasar lasuperficie cuyo ngulo corresponde a la inclinacin delrayo BG, siendo ste menor que .La desviacin de la luz al pasar del medio aire al agua (o decualquier otra sustancia lquida) se puede calcular pormedio de la ley de Snell al medir el ngulo de reflexin yrefraccin de la sustancia (agua). La ley de Snell se basa en

la propiedad de un material, ndice de refraccin (n) de los materiales por los que pasa el rayode luz.

La ley de Snell establece la relacin entre el rayo incidente y el rayo refractado:

= = .1donde es el ngulo incidente, el ngulo refractado, v1 y v2 la velocidad de la luz en losmateriales o medios, y n1y n2 los ndices de refraccin de stos. No obstante, la ley de Snellconsidera la medicin de los ngulos del rayo incidente y refractado. Para la determinacin delndice de refraccin es posible calcular ste slo considerando una serie de mediciones delongitud y una aproximacin de ngulo pequeo como lo refiere Newburgh et al.

Figura 1. Geometra de lareflexin y refraccin


15/52


Manual de prcticas

13

La determinacin del ndice de refraccin constituye una herramienta sencilla de identificacinde algunos materiales solidos o lquidos por medio de la trayectoria de un haz de luz que pasaa travs de stos.

Procedimiento y tratamiento de datos

Consultar el artculo Using the small-angle approximation to measure the index of refractionof water.En:http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/tpt/38/8/10.1119/1.1329088Referencias

1. Gerald Rottman. The geometry of light. Galileos telescope, Keplers optics. Publicado porGerald Rottman, Baltimore, Maryland. 2008, p. 9-10.

2. Ronald Newburgh, Using the small-angle approximation to measure the index of refractionof water, The Physics Teacher. 38 (2000) p. 478-479.

3.

Nanoprofessor. Introduccin a ciencia y tecnologa de nanoescala. NanoInk, Inc. 2011, p. 96.
http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/tpt/38/8/10.1119/1.1329088http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/tpt/38/8/10.1119/1.1329088http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/tpt/38/8/10.1119/1.1329088http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/tpt/38/8/10.1119/1.1329088


16/52


Manual de prcticas

14

Prctica 6. Interferencia de Young


Introduccin

El principio de propagacin rectilnea de la luz ha sido fundamental para la descripcin de losfenmenos analizados en la ptica geomtrica; gracias a ese principio se ha podido reemplazarlas ondas luminosas con los rayos que representan las direcciones de propagacin de los frentesde onda y obtener relaciones sencillas que dan cuenta, con buena aproximacin, delcomportamiento de algunos sistemas pticos.

Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi haba observado que la luz tena la capacidad debordear obstculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre lasuperficie de un estanque; este hecho contradeca el principio de propagacin rectilnea y

reforzaba la teora acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Thomas Young, en el ao 1803, realiz el primer experimento tpicamente ondulatorio alproducir el fenmeno de interferencia entre las ondas generadas en dos rejillas.

Procedimiento

Interferencia producida por una rejilla.

a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromtica sobre una rejilla.b.

Colocar una pantalla paralela a la rejilla, en donde se formar una franja iluminada que

puede interpretarse como la proyeccin geomtrica de la rejilla.c. Variar el ancho de la rejilla de ms amplia a ms estrecha de tal forma que pueda observar

los cambios que se producen en la serie de franjas que se proyectan en la pantalla. (El anchode la franja de mayor intensidad del patrn de difraccin, disminuye segn la rejilla se hagams estrecha).

d. Localizar el ancho de la rejilla (muy estrecha), en donde la zona de iluminacin se amplaen lugar de disminuir, ste fenmeno es el llamado difraccin y evidencia que la luz no sepropaga en forma rectilnea.

e. Determinar el ancho de la rejilla en que ocurre la difraccin.f. Realizar la medicin del ancho de la franja ms intensa a diez distancias de la pantalla a la

rejilla.

Interferencia producida por dos rejillas.

a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromtica, sobre dos rejillas (S1yS2) las cuales deben tener anchos iguales.

b.

Colocar una pantalla (P) paralela a las dos rejillas, lo suficientemente alejada de las rejillas,figura 1.


17/52


Manual de prcticas

15

Figura 1. Interferencia producida por dos rejillas, el punto indica la fuente de luz

monocromtica, en tanto que S1y S2corresponden a las rejillas (Slits).

a) Medir la distancia entre los extremos ms separados de las rejillas S1y S2, y la distancia deseparacin entre las rejillas y la pantalla (D), as como la distancia del centro de la pantallaal punto (x), Figura 2.

Figura 2. Dos ondas que se superponen en el punto P viajando en lneas de propagacinparalelas.

Los caminos pticos recorridos por las ondas paralelas generadas en las rejillas S1y S2parallegar al punto P son, respectivamente, r1y r2. La diferencia de fase depende nicamente de ladiferencia de caminos pticos, o sea, la distancia entre S2y el punto M, que puede estimarsecomo: |r2 - r1| = S2M = d (Sen , en dnde es el ngulo entre el eje ptico del sistema, FO, y


18/52


Manual de prcticas

16

la lnea FP paralela a las trayectorias de las ondas, bajo ciertas condiciones, sen tan = x /D.b) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos brillantes.c) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos oscuros.d)

Medir el ancho de la franja ms brillante para diferentes distancias de D.


Interferencia producida por una rejilla.

Compare el ancho de la rejilla con de la longitud de onda de la luz incidente. Realice una grfica distancia rejilla-pantalla versus ancho de la franja ms intensa.

Interferencia producida por dos rejillas.

A partir de los valores de d, D y X para puntos brillantes y oscuros, determine las diferencias decaminos pticos para los diferentes puntos. Qu relacin existe entre las diferencias decaminos pticos y el tipo de interferencia que observa?

Referencias

1.

Eugene Hetch, Alfred Zajac. ptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-1052. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,

Inc., 1992, p. 904-909.3. Salvador Gil, Eduardo Rodrguez. Fsica re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 193-194.


19/52


Manual de prcticas

17

Prctica 7. La polarizacin de la luz


Introduccin

Los polarizadores para ondas electromagnticas tienen determinadas caractersticas de diseo,segn la longitud de onda de que se trate. En el caso de microondas con una longitud de ondade unos pocos centmetros, un buen polarizador es una serie de alambres conductores paralelosmuy prximos entre s y aislados unos de otros. Los electrones tienen libertad de movimiento

a lo largo de los alambres conductores, y se mueven en respuesta a una onda cuyo campo E esparalelo a los alambres. Las corrientes resultantes en los alambres disipan energa porcalentamiento de I2R, En consecuencia, una onda que atraviese un filtro de esta naturalezaquedar polarizada principalmente en la direccin perpendicular a los alambres [1].

El filtro polarizador ms comn para la luz visible es un material conocido por su nombre

comercial de Polaroid, el cual se utiliza extensamente en fabricacin de lentes de Sol y filtrospolarizadores para lentes fotogrficos.

Inventado originalmente por el cientfico estadounidense Edwin H. Land, este material contienesustancias que presentan dicrosmo, una absorcin selectiva en la que uno los componentespolarizados se absorbe mucho ms intensamente que el otro. Un filtro Polaroid transmite el80% o ms de la intensidad de las ondas polarizadas paralelamente a cierto eje del material,conocido como eje de polarizacin, pero slo el 1% o menos de las ondas polarizadasperpendicularmente a este eje. En cierto tipo de filtro Polaroid, unas molculas de cadena largacontenidas el filtro estn orientadas con su eje perpendicular al eje de polarizacin; estasmolculas absorben preferentemente la luz que est polarizada a lo largo de ellas, de forma

muy parecida a los alambres conductores de un filtro polarizador para microondas [1, p. 1263].

Procedimiento

En esta prctica se usar la luz proveniente de la pantalla de una computadora porttil comofuente de luz ya polarizada, ver el diseo del sistema en la figura 1.


20/52


Manual de prcticas

18

Utilizar una computadora porttil yajustar el brillo a la mxima intensidad y elmximo contraste (leer el manual de lacomputadora para lograrlo). Como primerejercicio, utilizar cualquier programa (un

editor de texto o de imgenes puede serapropiado) de la computadora quepresente alguna regin de la pantalla enblanco.Con el sensor de luz (light sensor) [2]conectado a una interfase colectora dedatos Vernier Lab Pro [3] y sta a unacomputadora en la que tenga instalado elprograma Logger Pro 3.4.6 [3] para la

deteccin de la luz, colocar

el detector en diferentes partes dela regin en blanco sobre la

pantalla (procurar hacer la menor presin posible con el detector sobre la pantalla de lacomputadora sobre la que se har el anlisis pues podra daarla), ver la figura 2. Observar yanotar el valor registrado por el detector en cada sitio en el que ha colocado la sonda dedeteccin.

A continuacin interponer un filtropolarizador entre la pantalla de lacomputadora y el sensor de luz, registrar elvalor mostrado por el sensor y hacer unarotacin en el polarizador (se sugiere hacer la

rotacin cada 5), ver las figuras 3.

Figura 1. Arreglo experimental paraefectuarlas mediciones del estado depolarizacin de la luz proveniente de lapantalla una computadora porttil

Figura 2. Se coloca el sensor de luz sobre lapantalla de la computadora, procurandoevitar la entrada de luz de otras fuentes


21/52


Manual de prcticas

19

Figura 3. (A) Entre la pantalla de lacomputadora y el sensor de luz se interpone unfiltro polarizador para verificar el estado de lapolarizacin de la luz emitida por lacomputadora. (B) Al rotar el polarizador se

pueden observar los cambios en la intensidadde la luz transmitida a travs del mismo.

En la figura 4 se muestra una seccin de la pantalla en laque aparece el valor de la intensidad luminosaregistrada por el sensor de luz.

Figura 4. En la parte inferior izquierda de la fotografapuede verse la lectura de una de las mediciones hechas

con el sensor de luz. Tambin puede apreciarse parte dela pantalla del programa activo con el que se registranlas mediciones.


Analizar los datos obtenidos, trazar una grfica y escribir las conclusiones correspondientes.

Referencias

1. Fsica Universitaria con Fsica Moderna, Sears, Zemansky, Young, Pearson Education Inc.2.

Vernier, usa un fotodiodo de silicio Hamamatsu 1133.3. Introduction to Molecular Spectroscopy, G. M. Barrow, McGraw-Hill Book Company, Inc.,

1962, p. 61-82.4.

Wave Phenomena, Dudley H. Towne, Dover Publications, Inc. New York, 1967, p. 196-197.5. ptica, E. Hetch, A. Zajac, Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 44, 45, 91, 95, 485.6. Ondris-Crawford R., Crawford G. P., Doane J. W., Liquid Crystals, the phase of the future,

Phys. Teach. 30, 332 (1992).

7. Fakhruddin H., Some Activities with Polarized Light from a Laptop LCD Screen, Phys.Teach. 46, 229 (2008)

8. Ciferno T. M., Ondris-Crawford R. J., Crawford G. P., Inexpensive Electrooptic experimentson Liquid Crystals Displays, Phys. Teach. 33, 104 1995.

( ) (B)


22/52


Manual de prcticas

20

Prcticas optativas

Optativa 1. Movimiento armnico subamortiguado

Autor: Elizabeth Hernndez Marn

Introduccin

En la prctica 1 de este manual se estudi, en principio, el modelo de un sistema que oscilanicamente bajo la accin de una fuerza restauradora lineal1, o considerando que el sistema esafectado por alguna otra fuerza no conservativa (por ejemplo, friccin) despreciable dentro delos lmites temporales del experimento. Sin embargo, en ciertos sistemas oscilatorios se puedenencontrar fuerzas que retardan el movimiento. Una consecuencia es que la energa mecnicadel sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento est amortiguado.1

La ecuacin de movimiento de un sistema oscilatorio bajo la influencia de una fuerza

retardadora puede expresarse como:1

+ + =0 Ec.1donde la literal kcorresponde a la constante de fuerza del resorte y ma la masa acoplada almismo. Los primeros dos trminos de la expresin del lado derecho de la ecuacin 1corresponden al movimiento armnico simple ya estudiado. Notar que se agrega el trmino

debido a la fuerza retardadora = donde b es una constante llamada coeficiente deamortiguamiento. La solucin a la ecuacin 1 es

= + Ec.2Cuyo trmino xmes la mxima amplitud de desplazamiento u oscilacin. La frecuencia angulares igual a:

= 2 = 2

Ec.3es decir

oes la frecuencia de oscilacin en ausencia de la fuerza retardadora.

En esta prctica se estudiar un movimiento armnico subamortiguado, es decir que el sistemaoscila con una amplitud que decrece lentamente en funcin del tiempo.2

Procedimiento

Antes de llegar al laboratorio consiga cualquier aparato que le permita grabar video y asegresede tenerlo a la mano al momento de desarrollar la prctica.


23/52


Manual de prcticas

21

Es recomendable que lleve al laboratorio una laptop con el programa Tracker 3previamenteinstalado y probado.

En el laboratorio establezca un sistema como el que semuestra en la figura 1. El vaso de precipitados deber

tener agua suficiente para cubrir la masa sujetada alresorte cuando el sistema est en equilibrio.

Inicie la videograbacin del movimiento oscilatoriosegundos antes del inicio de dicho movimiento..Considere una amplitud de oscilacin pequea paraminimizar los efectos de torsin del resorte durante suelongacin. Una vez que el sistema deje de oscilar,finalice la videograbacin. Repita un par de veces elexperimento.

Descargue los videos a la laptop e inicie el anlisis dedicho video con el programa Tracker. Es posibleencontrar en internet varios tutoriales para usarTracker.

Figura 1. Sistema masa-resorte

La figura 2 muestra un ejemplo del estudio del video que viene incluido con la instalacin delprograma (archivo ball_oil.mov).

Figura 2. Uso de Tracker para analizar el video ball_oil.mov que se incluye en la instalacin delprograma.


24/52


Manual de prcticas

22

Analice los videos que obtuvo para determinar con cul de los experimentos se trabajar yfinalmente, importar los datos de desplazamiento como funcin del tiempo a una hoja declculo


Con los datos obtenidos, realizar una grfica de desplazamiento (y) versus tiempo (t).Probablemente sea necesario borrar los primeros y los ltimos datos para lograr unarepresentacin adecuada del movimiento subamortiguado. La grfica inicial de todos losdatos determinar los datos que no contribuyan al estudio.

Una vez determinado el intervalo de datos que se van a emplear, asegurarse de corregir eltiempo para que la grfica final inicie en t = 0 s.

Igualmente asegrese de corregir los valores de desplazamiento y para lograr dentro de loposible que el movimiento oscile simtricamente alrededor dey = 0 cm (o mm).

Una vez que se tenga la grfica final, determinar la frecuencia de oscilacin del sistema. Es

la frecuencia de oscilacin constante durante todo el movimiento, o la frecuencia deoscilacin tambin disminuye con el paso del tiempo?

Realizar una nueva grfica con puntos (y, t) correspondientes a las crestas del movimientooscilatorio. Confirmar si esta grfica sigue un modelo del tipo .

En caso de que la grfica anterior s se pueda modelar con el patrn exponencial, determineel valor de y de .

Se puede cambiar la viscosidad del lquido contenido en el vaso de precipitados paraestudiar el efecto en el trmino .

Referencias

1. Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Fsica para ciencias e ingeniera. Physics. Volumen1, Sptima Edicin. Cengage Learning Editores, Mxico, 2008. p. 436.

2.

Paul A. Tipler, Gene Mosca. Physics for scientists and engineers. Volumen 1, Quinta Edicin.W. H. Freeman and Co. Nueva York, 2004, p. 445.

3. www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/


25/52


Manual de prcticas

23

Optativa 2. Fenmenos ondulatorios en una cuba de ondas

Autor: Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.

NOTA. Para mayor informacin sobre el procedimiento a seguir en esta prctica consulte el

Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.Introduccin

Una lente es un sistema que consiste en dos (o ms) superficies refractoras, donde al menosuna es curva. Las lentes se encuentran su mayor aplicacin en la ptica en la cual se usan paradeterminar propiedades de la luz. Sin embargo, aunque en la ptica tienen su mayor utilidad noson las lentes exclusivas de ella, as, existen lentes para microondas, ondas superficiales, ondasde radio, etc. El estudio de las lentes se remonta a la poca de Ptolomeo, ya que los griegosconocan la magnificacin (o aumento de los objetos) al ser vistos a travs de esferas de vidriollenas de agua. As como las lentes uno de los elementos pticos que se conoce desde hace miles

de aos son los espejos. Un espejo es ms sencillo que una lente, su uso se basa en que con l sepuede reflejar una onda. As como las lentes existen espejos para todo tipo de ondas, desde losrayos X hasta las olas de mar, por ejemplo. Cabe resaltar que para conformar un espejonicamente se necesita de una superficie y para un lente se necesitan mnimo dos superficies

Tanto las lentes como los espejos tienen clasificaciones, para el caso de las lentes tenemos:lentes convexas y lentes cncavas. Y para los espejos se tienen convexos, cncavos y planos.

Las lentes convexas tiene la propiedad de ser convergentes, esto es, de hacer que un haz deondas se concentre en un punto despus de pasar por la lente. Las lentes convexas o

convergentes se clasifican principalmente en tres tipos: biconvexas, planoconvexas y concavo-convexas.

Procedimiento

El primer paso de la prctica es nivelar la cuba de ondas, como se muestra en la figura 1, paradeterminar el nmero Af. Primero colocar el pliego de papel e iluminar el rea de trabajocolocando la lmpara al centro de donde se requiere. Despus se coloca el modelo de lente (oespejo) en el centro, de tal forma que las ondas incidan paralelamente al eje transversal de lalente, la lente queda cercana al perturbador y debe cubrirse con la barrera la zona exterior dela lente, para evitar que el paso de ondas a la regin de anlisis como se muestra en la figura 2.


26/52


Manual de prcticas

24

Figura 1. Alineamiento de la cuba de ondas.

Figura 2. Arreglo experimental con ondas planas.

Primero se tiene que generar un tren de ondas planas, para determinar el punto deconvergencia del tren al pasar por el lente. Se debe encontrar una frecuencia a la cual el procesose vea con claridad. Se determina la longitud de onda antes y despus de la lente para sacar elndice de refraccin relativo; posteriormente, se localiza el punto de convergencia y sedetermina su distancia desde el centro o eje.

El segundo consiste en colocar la lente a la distancia determinada en el punto anterior, y en esepaso hacer incidir ondas circulares sobre el lente.


27/52


Manual de prcticas

25


Comprender la accin de una lente.

Determinar la distancia focal de la lente.

Calcular el ndice de refraccin del medio y explicar de qu depende.

Comprender la accin de un espejo Determinar las caractersticas del fenmeno de la reflexin

Se necesita determinar la longitud de onda a partir de fotografas tomadas al pliego de papelcuando las ondas pasen a travs del lente. A su vez, se debe determinar la distancia focal dellente. Segn la ecuacin de la lente delgada. En el segundo paso, determinar qu pasa conla distancia de convergencia del lente al hacer pasar ondas circulares a la distancia focal.Cmo se llama el fenmeno que realiza el lente?

Para complementar los resultados obtenido y completar el anlisis de recomienda que elalumno revise la ley de refraccin y la ecuacin de los lentes delgados. A su vez el siguientecuestionario ser til para el anlisis.

Explicar por qu se estima que el origen de emisin de ondas planas est situado en elinfinito? Qu significa el hecho de que al pasar ondas planas por un lente convergen en unpunto y si por otro lado, al pasar ondas circulares (en el punto de convergencia) y en lamisma lente se transforman en ondas planas?

Referencias

1. Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.


28/52


Manual de prcticas

26

Optativa 3. Determinacin de la constante de Planck

Autor(es): Walls Prez, Xavier, Jimnez Lpez, Cristina

Introduccin

Uno de los conceptos ms estudiados y menos comprendidos en la historia de la ciencia ha sidola luz. El estudio de la misma se remonta a los estudios de Isaac Newton y Christiaan Huygenspara determinar el comportamiento de la luz como onda o partcula. Sin embargo no fue hastalos inicios de la mecnica cuntica que pudo determinarse la dualidad onda-partcula de la luz.Los principales aportes a este descubrimiento se atribuyen a Max Planck al proponer laecuacin de Planck, ecuacin bsica para la realizacin de la teora cuntica y otras grandesteoras, entre ellas el efecto fotoelctrico, teora descrita posteriormente por Albert Einstein.

Desde la formulacin de la Ecuacin de Planck toda la fsica posterior es llamada fsica moderna.La ecuacin de Planck resulta ser un concepto fundamental para la fsica, ya que esta estableciel comportamiento cuntico de la luz. Para poder comprender esta ecuacin es fundamentalconocer al agente principal de esta ecuacin, que es la constante que lleva su nombre, es decir,la constante de Planck.

Material

Fuente de poder

Cables banana-banana

Caimanes

Resistencia elctrica

Multimedidor

Lmpara de luz halogenada

LED de color (se recomienda el uso de LEDs transparentes que emiten luz de color)

Computadora

Espectrofotmetro de pelcula de difraccin (ser construido a partir de distintosmateriales de acuerdo al espectrofotmetro seleccionado)

Consultas recomendadas para la construccin del espectrofotmetro:

http://makezine.com/projects/high-res-spectrograph/

http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast161/Unit4/HandSpec/

Procedimiento

Para realizar este experimento y encontrar un valor para la constante de Planck armar elsiguiente sistema que se presenta en la figura 1, al cual se incorporar el multimedidor paradeterminar la diferencia de potencial elctrico.


29/52


Manual de prcticas

27

Figura 1. Circuito elctrico para la determinacin de la constante de Planck.

Medir la diferencia de potencial elctrico necesaria para encender el LED. Manteniendo ladiferencia de potencial elctrico constante, se utilizar el espectrofotmetro construido paramedir la longitud de onda de la luz emitida por el LED. Para un correcto funcionamiento del

espectrofotmetro se recomienda utilizar el programa de recopilacin de datos en:http://spectralworkbench.org/


Determinar la energa elctrica del sistema a partir de la diferencia de potencial elctrico.E=eV Ec.1Dnde representa la energa elctrica, representa a la carga del electrn y representala diferencia de potencial elctrico.

Determinar la frecuencia de la onda de luz a partir de la velocidad de la luz:

c= Ec.2Dnde representa a la velocidad de la luz en el vaco, representa la longitud de onda y representa la frecuencia de onda. Establecer la relacin entre la energa elctrica y la frecuencia de onda de la luz del LED con

lo cual es posible determinar la constante de Planck.E=h Ec.3Dnde representa la energa, representa a la constante de Planck y representa lafrecuencia de onda.

Referencias

1.

The physics of vibrations and waves, Sextaedicin, Pain, H.J. Wiley & Sons, 2005, p. 367-376.2. Vibraciones y Ondas, Segundaedicin, French, A.P. Massachusetts Institute of Technology:

MIT, 2002, p. 324-335.


30/52


Manual de prcticas

28

Optativa 4. ptica sin lentes

Autor(es): Ernesto Ladrn de Guevara.

Introduccin

La distancia focal de una lente o de un espejo depende de su curvatura y del ndice de difraccindel medio (para el caso de la lente). De esta manera se utilizar una lente plana convexa paratomar fotos de objetos pequeos y determinar el poder magnificador de la lente al tomar fotosde un objeto de tamao conocido.

Material

Telfono celular

Pizeta de agua

Jeringa

Rejilla de difraccin Soporte universal

Pinzas

Procedimiento Experimental

Se deber montar el telfono celular sobre un soporte que permita manipularlo y que la cmarafotogrfica se encuentre hacia arriba. Se le pondr una gota de agua sobre la cmara fotogrficay se buscar la distancia ideal a la cual las imgenes estn enfocadas.

La cmara se deber configurar con sensibilidad a la automtica a la luz y en los siguientes dosestados:

al mnimo aumento,

al mximo aumento.

Solo se deber utilizar una sola resolucin, de preferencia menor a 2 megapxeles, para que lasimgenes sean fciles de manipular.

Sobre un vernier se debern poner 3 ms muestras pequeas pegada a la escala de pulgadas,y se debern tomar imgenes en foco de las muestras.

Para calibrar los aumentos de una lente se deber tomar la foto de una rejilla de difraccin. Asu vez, para conocer la separacin entre las barras de la rejilla se deber medir el patrn dedifraccin con un lser (de longitud de onda conocida) y se deber determinar la separacinque tiene cada lnea de la rejilla por medio de la ley de difraccin.


31/52


Manual de prcticas

29

Demostracin en el laboratorio.

A travs de una gota (de agua de la llave) que cuelga de la punta de una jeringa, hacer pasar unlser verde por la gota y proyectar imagen en una hoja blanca. Explique de qu depende lamagnificacin que se observa en la pantalla.


El alumno deber reportar:

Las imgenes tomadas por su cmara de varios objetos pequeos.

Las imgenes de una rejilla de difraccin que le ser entregada por el profesor.

La imagen del patrn de difraccin de la rejilla proyectada sobre una superficie oscura.

El anlisis del patrn de difraccin que indique la separacin de cada elemento de rejilla,tabulado y con las incertidumbres del instrumento con el cual se determin.

Sobre la imagen de la rejilla se deber dibujar (in silico) una barra o cuadro del tamao dela separacin, esta barra se debe copiar a las dems imgenes para determinar laamplificacin del lente.


32/52


Manual de prcticas

30

Taller de simetra

Autor: Elizabeth Hernndez Marn

I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetra

Introduccin

La simetra molecular es til en la clasificacin de molculas, para simplificar clculos demecnica molecular, determinar la presencia de ciertas propiedades moleculares tales comopolaridad y quiralidad, etc. La importancia de la simetra se har evidente en cursos msavanzados que contemplan tpicos tales como cristalografa de rayos X, la derivacin de lasreglas de seleccin para diversas espectroscopas, entre otros.

Este taller no pretende ser una revisin detallada de los principios que rigen el estudio de lasimetra molecular, sino una introduccin a algunos de los conceptos relevantes.

Luego de una exposicin de los conceptos que se desea introducir, se incluyen ejercicios aresolver durante la clase.

En esta sesin sern introducidos los conceptos bsicos de simetra molecular.

I. Definicin de grupo

Sea Gun conjunto no vaco y "" empleado para expresar una operacin binaria en G. EntoncesG es un grupo bajo "" s y slo s se cumple lo siguiente:

i) Hay cerradura.

Para todo elemento giy gjque pertenecen al conjunto, el producto de la operacin g i

gj

tambin es un elemento del conjunto.

ii)

Hay asociatividad.

Para todo elemento gi, gj, y gkque pertenecen al conjunto se cumple que:

gi(gjgk) = (gigj)gkiii) Existe el elemento identidad o idntico expresado con el smbolo "e" tal que:

gie = e gi=giiv)

Existe el inverso (gi-1) de cada elemento gital que:

(gi-1) gi= edonde gi-1tambin debe pertenecer al conjunto.

Ejemplo. Sea el conjunto C = {1, -1}. Su tabla de multiplicar es entonces:


33/52


Manual de prcticas

31

1 -11 1 -1-1 -1 1

Notar que se cumple la cerradura porque todos los elementos de la tabla pertenecen al

conjunto C.

Adicionalmente, en este ejemplo, el elemento identidad es el nmero 1 porque:

1 1 = 11 -1 = -1 1 = -1Tambin, cada nmero es su propio inverso:

-1

-1 = 1

1 1 = 1EJERCICIO 1

1. Sea A un conjunto tal que A = {1, -1}.

(a)Llene la siguiente tabla

1 -1

1-1

(b)

Indique si el conjunto A es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea ungrupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.

2. Sea C el conjunto de los colores primarios, C = {verde, rojo, azul}.

(a)Llene la siguiente tabla

verde Rojo azulverde

rojoazul

(b)

Indique si el conjunto C es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea ungrupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.


34/52


Manual de prcticas

32

II. Elementos y operaciones de simetra

Un elemento de simetra es una entidad geomtrica tal como un punto, un plano o una lnea conrespecto al cual se llevan a cabo las operaciones de simetra. Una operacin de simetra implica'transformar' un objeto en el espacio, de tal forma que la apariencia de dicho objeto es

indistinguible de la estructura original. La correspondencia entre los elementos y operacionesde simetra se muestra en la siguiente tabla:

Elemento Operacin

- identidad (e)punto inversin (i)

lnea (eje) rotacin (Cn)plano reflexin o imagen

III. Operaciones de simetra

a)

Identidad e)

Consiste en la realizacin de ninguna accin.

b)Rotacin C

n

)

Esta operacin se lleva a cabo alrededor de un eje de rotacin. El objeto es rotado un ngulo de2/n radianes n es un entero. Por ejemplo, para una molcula de agua la rotacin es 2/2 = radianes o 180.

Algunas molculas tienen ms de un eje de rotacin, por ejemplo en la molcula que se muestraa continuacin existe un eje C4 y otro C2 perpendicular a C4. La convencin dicta que el ejeprincipal con el valor mayor de n sea designado como el eje principal. En este ejemplo, el eje C4es el eje principal.


35/52


Manual de prcticas

33

Existen casos en que una molcula contiene ms de una rotacin sobre un eje. Por ejemplo, lamolcula cuadrada plana XeF4 tiene un eje C4 que atraviesa al tomo de Xe y que esperpendicular al plano de la molcula. Si se llevan a cabo dos rotaciones consecutivas de 90, esdecir (C4)2= C4C4, el equivalente sera realizar una rotacin de 180 alrededor del mismo eje.De este modo, el eje C2coincide con el eje C4.

En las molculas diatmicas se puede realizar una rotacin para cualquier valor de ngulo atravs del eje internuclear. Este eje se llama Cy es el eje de rotacin principal.

c)

Reflexin a travs de un plano ()

Una reflexin se lleva a cabo en un plano de simetra (algunas veces llamado plano espejo). Losplanos de reflexin pueden contener ejes de rotacin o ser perpendiculares a un eje de rotacin.Cuando un plano es perpendicular al eje principal, dicho plano se designa con el smbolo h.Cuando un plano contiene al eje de rotacin principal, dicho plano se denota como v. De estemodo, un vse considera paralelo al eje de rotacin.

Un caso especial es el plano diedral, denotado con d. Este plano es paralelo al eje principal ybisecta el ngulo entre dos ejes C2que son perpendiculares al eje principal.

d)

Inversin i)

La inversin ocurre a travs del centro de simetra, i. La operacin de inversin transforma unpunto (x,y,z) de la molcula en otro punto (-x,-y,-z). Notar por ejemplo que el agua no posee uncentro de inversin, mientras que el XeF4s lo tiene.


36/52


Manual de prcticas

34

e)Rotaciones impropias S

n

)

Una rotacin impropia consiste en la aplicacin de dos operaciones sucesivas:

1) Una rotacin de 2/n radianes alrededor de un eje llamado eje Sn) y2) una reflexin en un plano que es perpendicular a Sn.

En el ejemplo anterior el eje de rotacin no es necesariamente un eje Cnde la molcula. (Notarque un rotacin de 90 por s sola no da como resultado a la molcula original).

Entonces, la reflexin en un plano que pasa a travs del carbono central, es necesaria paracompletar la operacin de simetra.

IV. Grupos puntuales

Un conjunto de operaciones de simetra particulares para una molcula cumple con los'requisitos' para formar un grupo. De acuerdo a las operaciones de simetra contenidas en elgrupo, es posible obtener una gran variedad de grupos.

Las molculas son clasificadas de acuerdo a los elementos de simetra que poseen (es decir, deacuerdo al grupo al que pertenecen). Existen dos sistemas de notacin: el sistema Schoenflies(en el cual un grupo puntual es llamado, por ejemplo C4v y el sistema Hermann-Mauguin quese usa ms en cristalografa.

EJERCICIO 2

Se le proporcionarn 5 molculas, determine su grupo puntual siguiendo la nomenclatura deSchoenflies. Utilice el diagrama de flujo proporcionado en el Anexo 1.

Bibliografa sugerida

1.

P. Atkins, J. de Paula, Physical Chemistry, 9a ed. 2010, Freeman and Company. Revisar elcaptulo titulado "Molecular Symmetry" (en esta o en ediciones anteriores).

2.

F. A. Cotton, Chemical Applications of Group Theory, 1990, Wiley.


37/52


Manual de prcticas

35

ANEXO 1. Diagrama de flujo para determinar el grupo puntual de acuerdo a la nomenclatura deSchoenflies.


38/52


Manual de prcticas

36

Taller de simetra molecular

II. Algunas implicaciones de la simetra

Polaridad

Una molcula polar tiene un dipolo elctrico permanente, , el cual tiene una orientacinespecfica en la molcula.Si una molcula tiene un eje de rotacin, entonces el momento dipolar debe encontrarse a lolargo de dicho eje. Esto es porque el momento dipolar no puede cambiar bajo una rotacin.

Por ejemplo, el momento dipolar de una molcula de agua se encuentra a lo largo de su eje C2:

Si una molcula posee al menos un eje secundario o un plano perpendicular al eje de rotacinprincipal, entonces no puede tener momento dipolar. Lo contrario implicara que deberaencontrarse a lo largo de todos los ejes de rotacin y sobre todos los planos de reflexin. Estono puede ocurrir y por lo tanto = 0.Por ejemplo, XeF4tiene un eje principal C4y un plano secundario C2, perpendicular al principal.Los momentos dipolares individuales a lo largo de cada enlace Xe-F se cancelan unos a otros yel resultado neto es = 0.

Siguiendo el mismo razonamiento, si una molcula tiene un centro de inversin entonces nopuede tener momento dipolar. Entonces, molculas cuyo grupo puntual es O he Ihno tendrnmomento dipolar. Adicionalmente, molculas bajo el grupo puntual T d tampoco tienenmomento dipolar.

Quiralidad

Si una molcula es quiral, es pticamente activa. Una molcula es quiral cuando las imgenesespeculares de la molcula no pueden ser superpuestas. Una molcula con rotacionesimpropias no es quiral. Notar que la rotacin impropia S2(rotacin C2, seguida de una reflexina travs del respectivo plano !h es la operacin de inversin. Por lo tanto, si una molcula tieneun centro de inversin, y/o planos de reflexin no puede ser quiral. Molculas que pertenecena los grupos puntuales Dnd, Dnh, Td, y Ohno son quirales.


39/52


Manual de prcticas

37

EJERCICIO 1

1. Indique si las molculas que le son asignadas son polares y/o quirales. Justifique usandoargumentos de simetra.

Tablas de multiplicacin de un grupo

Ya se ha mencionado que un conjunto de operaciones de simetra particulares para unamolcula forma un grupo. El nmero de elementos en un grupo se define como el orden delgrupo. Frecuentemente, el orden del grupo se denota con el smbolo h.

Por ejemplo, podemos llamar C2va un conjunto que contiene las operaciones de simetra E, C2,xz y yz, es decir, la operacin identidad, un eje de rotacin C2y dos planos de reflexinv). Por lo tanto, el orden del grupo puntual C2ves 4.La operacin de multiplicacin dentro de un grupo se denota como A

B y puede 'leerse' como

"primero se lleva a cabo, sobre la molcula, la operacin de simetra B. Enseguida, se realiza laoperacin A. El resultado neto de la accin consecutiva es otra operacin de simetra. Parailustrarlo, tomar al diclorometano orientado como en la siguiente figura:

Siguiendo el diagrama de flujo proporcionado anteriormente, se puede comprobar que al

diclorometano le corresponde el grupo puntual C2v.

La operacin identidad, E, deja a la molcula sin cambios.

El eje C2se encuentra a lo largo del eje-z. La operacin C2transforma la molcula de la siguientemanera:

Llevar a cabo dos operaciones C2 consecutivas, es equivalente a haber aplicado la identidad:

C2 C2 = E.La molcula de diclorometano tiene dos planos de reflexin (ambos paralelos al eje C2). Uno delos planos contiene a los tomos Cl-C-Cl. Llamaremos a este plano yz. El otro plano ser


40/52


Manual de prcticas

38

entonces xz. La aplicacin de la operacin yz intercambia la posicin de los 2 hidrgenosmientras los dems tomos no se mueven. Por otro lado, la operacin xz permutanicamente a los tomos de cloro.

Si se aplica dos veces consecutivas la operacin yz, encontramos que es lo mismo queaplicar la identidad: [yz]2= yz yz = E.Lo que quiere decir que yz es su propio inverso. Lo mismo ocurre con xz.Ahora, la multiplicacin yz xz da como resultado:

Este resultado es equivalente a la aplicacin de una rotacin C2, entonces

yz

xz = C2

EJERCICIO 2

(a)Muestre, con diagramas como los del ejemplo de arriba, que xz yz = C2.(b)

Encuentre el resultado de la operacin yz C2:

(c)Utilizando diagramas como los anteriores, encuentre xz C2.(d)Encuentre el resultado del producto C2xz.

(e)A partir de los resultados anteriores y realizando las operaciones adicionales necesarias,construya la tabla de multiplicacin para el grupo C2v.


41/52


Manual de prcticas

39

Algunas reglas para tener en cuenta:

1. Para la multiplicacin, realizar primero la operacin sobre la columna y luego la operacinsobre la fila.

2. En una fila o columna no se puede repetir ningn elemento del grupo.

C2v e C2 xz yze eC2 C2xz xzyz yz

Nota: La conmutatividad no es una condicin necesaria para que un conjunto sea un grupo. Sinembargo, la conmutatividad se puede cumplir en algunos casos.

El conjunto C2vcontiene a la identidad y cumple la cerradura. Para que C2vsea un grupo, esnecesario que cada elemento del grupo tenga su inverso (que debe ser parte del conjunto) y sedebe cumplir tambin con la asociatividad.

EJERCICIO 3

(a)Recordando que gi-1gi= e, donde gi-1es el inverso de gi, identifique al inverso de cadaelemento del conjunto C2v. Llene la siguiente tabla:

Operacin Inversoe e

C2xzyz(b)A partir de la tabla que construy en el ejercicio 2, compruebe que para las siguientes

operaciones se cumple la asociatividad:

1. C2[xz yz] = [C2xz] yz2.

[xz xz] yz = xz [xz yz]Ejemplo: E [C2yz] = [EC2]yzlado izquierdo de la igualdad: E[C2yz] = E[xz] = xzlado derecho de la igualdad: [EC2]yz= [C2]yz = xzDado que en el lado derecho e izquierdo de la igualdad se llega al mismo resultado, la igualdadse demuestra como verdadera.


42/52


Manual de prcticas

40

TAREA OPCIONAL. Construya la tabla de multiplicar para el grupo puntual C3v.

La molcula de amoniaco corresponde al grupo puntual C3v. Esta molcula tiene un eje derotacin C3y tres planos de reflexin.

Para este ejercicio, se establece la siguiente convencin: cada plano de reflexin ser etiquetado

de acuerdo a la posicin (1,2, o 3) que contenga a dicho plano. Por ejemplo la aplicacin delplano 1resulta en:

Notar que las etiquetas 1,2 y 3 no cambian y que el plano 1ocasiona el intercambio de loshidrgenos denominados HB y HC.

Se puede mostrar que cada plano es su propio inverso y que (C 3)3= (C3)2

C3= C3

(C3)2=E,

y por lo tanto (C3)2

es el inverso de C3.Algunos ejemplos para ayudar a completar la tabla de multiplicar:* C3C3= (C3)2

*23= C3

* 1C3= 2


43/52


Manual de prcticas

41

Con la informacin proporcionada, se puede comenzar a llenar la tabla de multiplicar para C3v.

C3v e C3 (C3)2

1

2

3

eC3 (C3)2 e(C3)21 2 e2 e C33 e

Algunas reglas para tener en cuenta:

1. La rotacin C3va en contra de las manecillas del reloj.

2. Para la multiplicacin, realizar primero la operacin sobre la columna y luego la operacin

sobre la fila.3. En una fila o columna no se puede repetir ningn elemento del grupo.

Taller de simetra molecular

III. Tablas de caracteres

Introduccin

Cuando una molcula tiene simetra, es posible hacer uso de esa simetra para clasificar a losorbitales atmicos y moleculares correspondientes. Esto resulta importante para simplificar el

clculo de algunas propiedades moleculares tales como momentos dipolares. Tambin facilitala evaluacin de reglas de seleccin para transiciones electrnicas.La simetra molecular es una herramienta valiosa al clasificar el movimiento vibracional de unamolcula y es til en la prediccin de transiciones vibracionales permitidas.

Las operaciones de simetra estudiadas anteriormente tambin se pueden aplican a losorbitales atmicos:


44/52


Manual de prcticas

42

Notar que al aplicar una rotacin C2sobre un orbital s, no hay cambio de signo sobre dichafuncin.

La misma operacin sobre uno de los orbitales p, digamos el py, causa un cambio en el signorespecto a la funcin original.

El enlace qumico se puede describir en trminos de la distribucin electrnica sobre los

orbitales de una molcula. Estos orbitales moleculares (OM) pueden ser escritos como unacombinacin lineal de orbitales atmicos (CLOA). A continuacin se presentan un par dediagramas de OM para la molcula de H2y el in H2+, respectivamente.

De acuerdo a la representacin esquemtica de arriba, es posible escribir cada uno de losorbitales moleculares y *. No confundir con el smbolo para planos de reflexin como unacombinacin lineal de dos orbitales atmicos 1s centrados en cada uno de los tomos dehidrgeno.

Denominando a cada uno de los hidrgenos como HA y HB, la combinacin de enlace es: = 1/2 (1sA+ 1sB)

Mientras que la combinacin de antienlace * es:

= 1/2 (1sA- 1sB)

La descripcin anterior de la distribucin electrnica en las molculas se basa en la teora delorbital molecular. Y expresar a los orbitales moleculares como una combinacin de orbitalesatmicos es parte del mtodo MO-LCAO (molecular orbital- linear combination of atomicorbitals).

En esta sesin se pretende mostrar cmo el uso de simetra permite derivar y leer tablas decaracteres que ayudaran en la aplicacin del mtodo MO-LCAO.


45/52


Manual de prcticas

43

Transformaciones

En sesiones anteriores se trabaj con las operaciones de simetra (rotaciones, reflexiones, etc.)sobre los tomos de una molcula. Ahora, a cada uno de los tomos se les asociar un conjuntode objetos (por ejemplo, orbitales atmicos, o un sistema coordenado) y se estudiar el efecto

de la aplicacin de las operaciones de simetra (transformacin) sobre esos objetos.Por ejemplo, agregar un sistema coordenado a cada uno de los tomos en una molcula de SO2que se localiza sobre el planoyz:

donde xSes el eje-xasociado con el tomo de azufre, xAes el eje-xasociado con el tomo de

oxgeno A, xBes el eje-xasociado con el tomo de oxgeno B, etc.

La molcula de SO2pertenece al grupo puntual C2v. Dicho grupo contiene 4 elementos, a saber,las siguientes operaciones de simetra: E, C2, vxz y vyz.Ahora, considerar el efecto que tiene sobre los ejes coordenados sobre cada tomo, cada uno delas operaciones del grupo C2v. Es claro que la identidad E deja cada eje coordenado sin cambio.

Para el plano vyz tenemos lo siguiente:

eje-x Cambio de signo para todos los ejes-xde cada tomo (la coordenada +x pasa a -x).

eje-y No hay cambio de signo para ningn eje de ningn tomo.

eje-z No hay cambio de signo para ningn eje de ningn tomo.

Los resultados pueden escribirse como:

vyz xS = -xS vyz yS= yS vyz) zS= zSvyz xA= -xA vyz yA= yA vyz zA= zAvyz xB= -xB vyz yB= yB vyz zB= zB

Se podra representar a todas las coordenadas como un vector de 9 componentes y cadatransformacin como una matriz de 9x9. Sin embargo, esto puede llegar a ser complicadoconforme aumenta el nmero de tomos. Pero hay que notar que los ejes-x siempre setransforman a ejes-x, los ejes-ya ejes-yy los ejes-z a ejes-z. Esto reduce entonces la posibilidadde representar la transformacin con matrices de 3x3.


46/52


Manual de prcticas

44

Entonces, para la reflexin debido a vyz se tiene: , , = , , 1 0 00 1 00 0 1

, , = , , 1 0 00 1 00 0 1, , = , , 1 0 00 1 00 0 1

Se puede ver que cada lnea en la matriz representa el valor del signo de la transformacin, ascomo la posicin en el espacio de cada eje.

Ahora, para la rotacin C2:

eje-x Cambio de signo para todos los ejes-x de cada tomo.

Notar tambin que los tomos OB y OA intercambian posiciones.

eje-y Cambio de signo para todos los ejes-y.

Los tomos OB y OA intercambian posiciones.

eje-z No hay cambio de signo para ningn eje-z.

Los tomos OB y OA intercambian posiciones.

Los resultados pueden escribirse como:

C2xS= -xS C2yS= -yS C2zS= zS

C2xA= -xB C2yA= -yB C2zA= zBC2xB= -xA C2yB= -yA C2zB= zA


47/52


Manual de prcticas

45

y en trminos de matrices:

, , = , , 1 0 00 1 00 0 1

, , = , , 1 0 00 0 10 1 0 , , = , , 1 0 00 0 10 1 0

Todas las matrices reflejan tanto el cambio (o no cambio) de signo, como el intercambio de lasposiciones A y B (prestar atencin sobre todo en la segunda y tercera lneas de cada matriz).

La transformacin de los orbitalespx

debida al plano v(xz) queda de la siguiente manera:

, , = , , 1 0 00 0 10 1 0

Nuevamente, las matrices reflejan el cambio de posiciones A y B.

EJERCICIO 1

Escribir las transformaciones a las que son sujetas los orbitalespyypzal aplicar el plano v(xz).Escriba tambin las matrices asociadas a dichas transformaciones.

Ahora, considerando todas las transformaciones debidas a las operaciones de simetra para losorbitalespx(xS, xA,xB), se tienen 4 matrices que representan todas las operaciones de simetraevaluadas anteriormente:

= 1 0 00 1 00 0 1 = 1 0 00 0 10 1 0

= 1 0 00 0 10 1 0 = 1 0 00 1 00 0 1


48/52


Manual de prcticas

46

Las 4 matrices anteriores forman una representacin (reducible) del grupo C2v. De hecho, estasmatrices reproducen el efecto de las operaciones de simetra.

Cada conjunto de objetos sobre los tomos (sistema coordenado u orbital atmico) produceuna matriz. Ahora, si colocramos un orbital pxsobre cada tomo se generaran las mismas

matrices que las anotadas anteriormente.EJERCICIO 2

Escribir las 4 matrices De, DC2, Dvxz, Dv(yz)) que representan lastransformaciones de los orbitalespysobre cada tomo.

Es posible tener varias representaciones matriciales diferentes, y mientras ms elementostenga el grupo puntual, ms matrices son generadas. Entonces, es ms sencillo trabajar con unacantidad ms invariante -la traza de la matriz-. La traza es la suma de los elementos diagonalesde una matriz. Por ejemplo, las trazas de las matrices de la pgina anterior son:

TrD(E) = 3, TrD(C2) = -1, TrD(v(xz)) = 1, TrDvyz = -3.La traza de la matriz se llama el carcter de la representacin. Entonces, para la representacindefinida por (xS, xA,xB

se tiene la representacin reducible es decir, es un smbolo quedenota a una representacin reducible):C2v e C2 v(xy) v(yz) 3 -1 1 3Una ventaja de usar caracteres, es que las trazas de matrices que representan elementos en lamisma clase son idnticas. Por ejemplo, en el caso del grupo puntual C 3v, se incluyenoperaciones del tipo C3y (C3)2. Estas operaciones pertenecen a la misma clase y entonces seespera que las trazas de sus matrices sean similares.

Regresando a las matrices relacionadas con (xS, xA,xB), se observa que dichas matrices puedenser subdivididas:

= 1 0 00 1 00 0 1De este modo, es posible separar 4 matrices de 1x1 para el tomo S y 4 matrices de 2x2 para lostomos de oxgeno OA y OB.

Para S:


49/52


Manual de prcticas

47

TrD(e) = 1, TrD(C2) = -1, TrD(v(xz)) = 1, TrD(vyz = -1.Para A y B:

= 1 00 1 = 0 11 0 () = 0 11 0 () = 1 00 1Traza = 2 0 0 -2

Entonces, se ha logrado reducir la representacin matricial de 3x3 a una representacinmatricial 1-dimensional y una representacin 2-dimensional. De este modo la matriz de 3x3 esuna representacin reducible. La matriz unidimensional no puede ser simplificada ms por loque se dice que es una representacin irreducible. En la Tabla 1, esta representacin irreduciblese presenta con el smbolo 1.

Tabla 1. Representacin reducida 1.C2v e C2

v(xy)

v(yz)

1 1 -1 1 -12 2 0 0 -2EJERCICIO 3

Usando las matrices del Ejercicio 1, encontrar los caracteres de las representaciones reduciblespara los orbitales py. Llenar la siguiente tabla:

C2v e C2 v(xy) v(yz)

1

2El nmero de representaciones irreducibles es igual a nmero de clases. En el grupo puntualC2v hay 4 clases, una por cada operacin de simetra. Por lo tanto en C 2v deben existir 4representaciones irreducibles. Hasta el momento slo se ha identificado una, con sus caracteres(trazas) asociados. Pero una vez formadas todas las representaciones irreducibles, es posiblecrear una tabla de caracteres del grupo puntual.

La tabla de caracteres de C2vse muestra a continuacin:

C2v e C2

v(xy)

v(yz) h=4

A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2A2 1 1 -1 -1 Rz xyB1 1 -1 1 -1 x, Ry xzB2 1 -1 -1 1 Y, Rx yz

La fila inicial indica el grupo puntual y las operaciones de simetra. La primera columnacontiene el nombre de las representaciones irreducibles (4 en este caso). La nomenclatura quese sigue para nombrar a las representaciones irreducibles es la siguiente: A y B se usan para


50/52


Manual de prcticas

48

indicar que el caracter de la rotacin principal es 1 o -1, respectivamente. Cada representacinirreducible es unidimensional porque el caracter de la operacin E es 1. Si la traza (el caracter)fuera 2, entonces la representacin sera una matriz bidimensional. Si el caracter fuera 3, setendra una matriz de 3x3. El orden del grupo (h) se encuentra al sumar los cuadrados de loscaracteres de cada clase.

En las dos ltimas columnas se indica qu funciones en un punto fijo son transformadas deacuerdo a la representacin irreducible. Por ejemplo, la coordenada x y el orbital pxsobre untomo que queda fijo se transforma como la representacin irreducible B1. El producto xy setransforma como A2. Los trminos Rx, Ry, Rz se refieren a operadores tales como los delmomento angular.

Si se compara 1de la Tabla 1 con las representaciones irreducibles de la tabla de caracterespara C2v, se puede notar que 1corresponde con B1. Esto es porque el tomo S se encuentra enun punto fijo del grupo puntual. Tambin se vio que x Ay xB, forman una matriz bidimensional.Esto implica que 2 en la Tabla 1 es reducible.EJERCICIO 4

Siguiendo el ejemplo dado en clase, determinar la representacin irreducible de la combinacin[pxA - pxB].

Se ha visto que para la molcula de SO2, el orbitalpxdel azufre transforma como B1 (1, Tabla1). Tambin se ha visto que existe una combinacin lineal de los orbitales pxdel oxgeno quetransforma como B1. Entonces, los orbitales px de azufre y oxgeno se pueden combinar de dosmaneras:

apxS+ b(pxA+pxB)-apxS+ b(pxA+pxB)

La primera combinacin representa un orbital molecular de enlace, la segunda combinacines un orbital de antienlace *.

Algunas aplicaciones

Una aplicacin de la teora de grupos se encuentra en el clculo de valores esperados y reglasde seleccin (espectroscopa).

Producto directo. Se obtiene al multiplicar los caracteres de cada representacin irreducibleinvolucrada en el producto.


51/52


52/52


Manual de prcticas

Por lo tanto, la transicin * con luz polarizada nicamente en la direccin x no espermitida.

EJERCICIO 5

Siguiendo el ejemplo anterior, determine si la transicin * es permitida cuando se irradiacon luz polarizada en la direccin y z. Es decir, resuelva los siguientes productos:y=z=

y determine si en alguno de los dos casos anteriores se obtiene como resultado larepresentacin A1. Recuerde que = A1estado basal, = A1estado excitado, y que yy z(direccin de la luz polarizada) se puede encontrar en la tabla de caracteres.

EJERCICIO 6

Para las 3 vibraciones normales de la molcula de agua (tambin perteneciente al grupopuntual C2v), determinar la representacin irreducible de cada una de dichas vibracionesnormales. (Revisar el ejercicio 4)

Nota: Taller de Simetra Molecular,partes I, II y IIIestn basadas principalmente en "Chemistry

373: Quantum Mechanics and Symmetry. Laboratory Manual", Department of Chemistry,University of Calgary, Fall 2007, pags. 17-29.

manual_fundesp_v1-3

Documents

Transcript of manual_fundesp_v1-3