Manual Yupana por A. Chirinos

MANUAL DE USO BSICO DE LA YUPANA

Mtodos de suma y resta de un solo dgitoymultidgito

Mtodosdemultiplicacinydivisinenyupana

Editorial Commentarios

ADOBI(AsociacindeDocentesBilinges)

Iquitos, 2012

Yupana

La Asociacin de Docentes Bilinges (ADOBI) est integrada por: Jos Pua, Marlon Ramrez, Zadith Retegui, Martha Zegarra, Jos Luis Shimbucat, Rafael Snchez, Robelso Noriega, Andrs Chirinos, Hugo Wipio, todos ellos docentes de educacin bilinge que trabajan principalmente en la Amazona norte del Per. La sede de la Asociacin es Iquitos. Cualquier comunicacin puede dirigirse a:

[email protected]

El presente manual ha sido elaborado por Andrs Chirinos con la colaboracin de los arriba nombrados.

Actualmente ADOBI realiza labores de capacitacin de maestros en el uso de la yupana.

Agradecemos el apoyo que la Agencia Espaola de Cooperacin Internacional para el Desarrollo (AECID) y el Mi-nisterio de Educacin, a travs de la DIGEIBIR dieron al proyecto PEIBILA entre los aos 2007-2011. donde se dio inicio al uso de la yupana que desarrollamos en este manual. En el proyecto PEIBILA se dio inicio, en el ao 2008, al uso moderno de esta yupana.

Iquitos, mayo del 2012

3IntroduccinLayupanaquepresentamosesuninstrumentobasadoenlosvaloresasignadosalayupanaqueacompaaeldibujorealizadoporGuamanPomaenelao1600aproximadamente.

Enbasealestudiodelosvaloresquepudierontenercadaunodeloscasillerosrepresentadoseneldibujomencionado,elequipodelproyectoPEIBILAdelaAECID,enconvenioconelMINEDUinicienel2008laaplicacinpedaggicadeesteinstrumento,desdeelao2012laAsociacindeDocentesBilinges(ADOBI)continuadifundiendoelusode la yupana. Al inicio de su aplicacin (2008-2009) se us el diseo original, hasta que a travs de la prcticadesarrolladalosaos2010y2012,sefuemodificandodichodiseoparadarlemayorfuncionalidad.Enelpresentemanualcontaremosbrevementealgodeestahistoriaademsdelosprocedimientospararealizarlasoperacionesbsicasdesumayresta(lamultiplicacinydivisinsedesarrollarnenunsegundomanual),integrandoantiguosconocimientosymodernosbasadosenavancesrealizadosenotrospasescomoChinayJapn.

4Los valores de la yupana de Guaman PomaDeacuerdoalestudiobasadoeneltrabajodela yupanaenescuelasde Loreto yAmazonasy que fue publicado en el libro Quipus delTahuantinsuyo,losvaloresdecadaunodeloscasilleros de la yupana pudieron haber sidoestos u otros muy similares:La lgica de la yupana est basada en lacombinacin de dos principios: el quinario(teniendo como base el 5) y el decimal, quetienecomobase10.Labase5sereflejaenlaconstruccinlingsticadenmeroscomo7y8que en aymara y en otras lenguas indgenas se expresancomo5y2(paqallqo)5y3(kimsaqallqo). El uso de la base decimal por partede los incas est ampliamente demostradoenlosquipusqueaunsobrevivenendistintosmuseosdelPeryotrolugaresdelmundo.

Mostraremos los valores de la segunda filaparaapreciar la lgicadel funcionamientodelayupana.

5Valores de la Segunda Fila en la yupanaCuandoanalizamosestosvaloresdemanerasistemticapodemosapreciarsusparticularidadesyorganizacin.

Valores de los casilleros nicos o chulla.:La primera constatacin es que dichos casillerosprogresandel1al10ytienenel5almedio.

Los casilleros emparejadosLa segunda constatacin es que todos los casillerosemparejados,cuandosesumansusvaloresverticalmenteresultanenmltiplosde5.Apartirdeestaorganizacinlgicapodemosapreciarquesetratadeuninstrumentodeundiseomuyelaboradoyalavezsencilloyapropiadoparacalcular.

Los casilleros ms usadosLaprcticaenlasescuelasbilingesdelareginLoretoy Amazonas y el estudio de las formas de clculodesarrolladas enChina y Japnprincipalmentenos fueconduciendoalusodeunospocoscasillerosyeldesusode otros casilleros. Durante los aos 2009 y 2010 nosdimoscuentaquesolousbamoscincocasilleros.

6Los valores de la yupana promediados: un criterio pedaggicoMediantelaprcticaenaulaconniosydocentesapreciamosquesepodapromediaralgunosvalores,concretamente lasumade9+10+11=30y303=10.Por loqueen lugardeconsiderar3valoresdistintos(9,10,y11)asignamosunsolovalorde10paracadaunodeloscasilleroscorrespondientes.Fueunprimerpasoencaminadoyanoadescubrircmofuncionexactamentelayupanainca,sinocmo,basadosenla lgicanmericaquesedesprendedelayupanadeGuamanPoma,logrbamosdisearuninstrumentoquefueralomsprcticoposibleparadesarrollarlopedaggicamente.

La yupana pedaggicaElresumendelasmodificacionesintroducidaseselsiguiente:

1. Encadafilaquedarnsolo5casilleros(cuatroconvalorde1yuncasilleroconvalorde5almedio).

2. Girar90gradoseltablerodemaneraquesefacilitalacolocacindelassemillas.

3. Enlugardeenfrentar3casillerosa1,colocardoscasillerosencadaladosituandoel5siemprealmedio,comoeneldiseooriginal.

4. Cambiardesdelalgicadiagonalalalgicadefilas.

5. Incorporareneldiseodoscanales(superioreinferior)paratrasladarlassemillas.

6. Relievesyconexionesentreloscasillerosyloscanalesquefacilitanelmovimientodesemillas.

Eldiseoresultanteeselqueahorapresentamos:Cadavezquesepasadeunafilaaotradeizquierdaaderecha,horizontalmente,sesube10veceselvalor.Almismotiempodentrodeunamismafilaelcasillerodelcentrotieneelvalorde5(50,500,5,000,etc)ylosotroscasillerosdelosladostienenelvalorde1(o10,100,1,000,10,000,etc.).Todoestonosllevaaqueesmuyimportantedestacarquelaorganizacindelayupanatieneunadisposicindecimalenfilasydentrodecadafilaelcasillerodelmedioes5(50,500,5,000,50,000,etc.).

7Lasunidades,decenas,centenas,etc.,estndispuestasencadafila.Aliniciodebemossealarculserlafiladeunidades,normalmenteusaremoslatercerafilacontadadesdeladerecha,quetieneunaseal,dejandolasdosfilasqueestnmsaladerechalibresparalosvaloresdecimales:dcimasycentsimas.

Dos tipos de casilleros segn su valor ( 1 y 5 )

Esimportanteapreciarquehaydostiposdecasilleros.Loscasillerosdelosladospuedensersuperioresoinferioresytienenvalorde1(bien10,100,1,000,10,000,etc.).Loscasilleroscentralestienenvalorde5(bien50,500,5,000,50,000,etc.).

Centsim

as

Canal superior

Canal inferior

8Casilleros de los ladosEnunafilasepuedencolocarunmximode2semillasacadalado,cadasemillaconunvalorde1(bienseanunidades,decenas,centenas,unidadesdemillar,decenasdemillar,centenasdemillar,etc.)

Segnelladomscercanoomsalejadodenuestraposicinpodemosclasificarestoscasilleroscomoladoinferior(mscercanoanosotrosyladosuperior(msalejado).

Casilleros centrales

Lado superior

Lado inferior

Medio

9Loscasilleroscentralessecaracterizanporsernicos,esdecirhaysolounodeellosencadafila.Tienenvalorde5(0.05,0.5,5,50,500,5,000,50,000,etc.)

Cul es la fila de unidades?

Aunquealprincipioresultealgodifcilesimportantenotarquecualquieradelasfilaspuedenserasignadaalasunidades,vaadependerespecialmentesitrabajamoscondecimalesydeltipodeoperacinquerealicemos.Detodasmanerasparaayudarnosasituareneltablerosehancolocadounasmarcascadatresfilasquenospermitirnsaberdemanerarpidaquesiasignamosunidadesalamarcaqueestmsaladerechaporejemplo,lasiguientemarcahacialaizquierdasernmillaresylasubsiguientemillones.

La representacin de nmeros en yupanaCon lo ya mencionado podemos ensayar a representar diversos nmeros en yupana. Por ejemplo36,542, 438,057, 3,546,229, etc. Almismotiempopodemos ensayar a reconocer diversos nmerosrepresentadosenyupanasdibujadas.

Presentamosdosejemplos:

676,154.3 1,234,567.89

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El uso de las manos y dedos para colocar nmeros con semillas (achiras)

Elmovimientode losdedosen layupana,alzando,empujando,moviendo,poniendooquitandoenmltiplescombinaciones ledana layupanaunadesuscaractersticasmscomplejasydivertidasalavez.Lasformasdeoperarcon losnmerosseprestanaquecadaunodenosotros,bienseanioo adulto, las explore. Las combinaciones demovimientos de semillas que pueden hacerse son tanvariadasquecuandollegamosadesarrollarunaoperacindevariosdgitosesprcticamenteimposibleque la desarrrollemos igual dos veces. La colocacin de los nmeros requiere cierta habilidad y enun principio resulta algo lenta. Sin embargo, esta caracterstica de la yupana hace que se estimulela imaginacinyqueeldesarrollodeoperacionesseconviertaenun juego: cadaoperacinesunasituacinproblemticaensdondesiemprepodremoshallarformascadavezmsrpidasdehacerlasdependiendodecmousemoslosdedosencombinacinconnuestrosclculos.

Ejemplo:4+3=7.

Paso 1

Enlayupanacolocamos4:

Paso 2Clculomental:Puestoquenohaysitioparaaadircalculamoselparcomplementodel3para5;quees2.Portantoparasumar3tendremosquequitar2yponer5.

Paso 3En la yupanaquitamos 2...

Paso 4...yponemos5.

Paraestaoperacintambinpodamoshabersacadodossemillasdelladosuperior,ounadelladosuperioruotradelinferior,oalrevs...Tambinpodramosempujarunasemillahaciaelcasilleroconvalorde5ysacar laotra.Parasacar lassemillaspodemosalzarlasconlosdedosoempujarlashaciaunodeloscanales:esdecirhaymuchasposibilidadesaunquenotodasresultenprcticas:elobjetivoserbuscarlasqueresultenmsrpidasyeficientes.

a) Usando una sola mano y las dos manos al mismo tiempo

Otro paso esencial en elmanejo de la yupana, aun antes de entrar en la prctica de operacionesconsistirenaprenderpocoapocoausardelamaneramseficazposiblelasmanosylosdedos.Conlaprcticaveremosquesepuedenponermuchosnmerosconunasolamanooconambasmanosdeformascadavezmsrpidasyeficientesdemaneraquenosfacilitenlosclculos.

Aliniciopracticaremoscolocandounasolasemilla,porejemploel1, el 5,el10yel50,etc.Continuamoscolocandodossemillasalavezusandosolounamano.Deesamanerapodemosponerel2 y el 6.Unpasomsserusarlasdosmanosalmismotiempoponiendo2y6paraasicolocarel8.Tambienpodemosponer2semillasacadaunodeloscasillerosdelosladosparacolocarel4.Msadelanteprobaremosdeponer:26,62,66,22,usandoambasmanos.

Laprcticadecolocardossemillasalavezconcadamanonosllevartambinacolocarcifrasdetresomsdgitosenunsolomovimientocoordinadodeambasmanosalavez,comoporejemplo:611,215,152,161,5,555,1,111,1,515,5,151

b) Colocando tres semillas a la vez

La colocacin de tres semillas a la vez de forma coordinada con cada mano nos ir convirtiendoprogresivamente enmanipuladores expertos de la yupana. Podremos colocar el 3 y el 7 de formaindependienteconunasolamano.

Tambinpodremoscolocarel8 y el 9enunmovimientocoordinadodeambasmanos:7conunamano(esdecirtressemillas)y12semillasmsconlaotramano.

Sepuedepracticarcolocandoel77deestaforma:70conlosdedosdelamanoizquierday7conlosdelamanoderecha,deestamanera:

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Otrosnmerosquepuedenpracticarseagarrandotressemillasconcadamanoson:42,82,91,527,622,712,6161,5252,1616,etc.Ejemplos:

c) Colocacin de 4 ms semillas a la vezLacolocacinde4semillasconunasolamanorequieremayorprctica.Alhacerlopodremosponerel8 conunasolamanoytambinotrosnmeroscomoel17,22.26,71,62,etc.Sinembargo,segnnuestraprctica,consideramosquenosiempreesconvenienteintentarmanipular4mssemillasconcadamanoyaquerequieredeunesfuerzomayorytambindelaexistenciadelassemillasjuntasenalgunodeloscanalesparanoperdertiempoenjuntarlas.Enmuchoscasospuedesermsrpidousarlasdosmanosparacolocar4mssemillas.

d) Otras formas de poner semillasAdemsdelacolocacindesemillasagarndolasdeunodeloscanalesycolocndolasenlosagujeroscorrespondienteshaydosformasms:empujndoladesdeunodeloscanalesotrasladndoladesdeotroagujerodondeseencontraba.Otras formas implicancombinarvariasmaneras:empujarunasyagarrarotrasenunsolomovimientocoordinado.

e) Sacando semillasAsi comopracticamosaponer cifras sernecesariopracticar aquitar cifras.Hay variasmanerasdequitarlassemillasquesecorrespondenalasformasdeponerlas:a.agarrandolasemillaconlosdedos,b.empujndolaaunodeloscanalesdesemillasyc.llevndoladesdeunagujeroaotroagujero,esdecirsacaryponeralmismotiempo.Empujarsemillashaciaunodeloscanalesesunaformarpida,conpocaprcticaveremosquepodemosempujaracualquieradeloscanales4semillasalavez.

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MTODOSDEUNSOLODGITOPARALASUMAYRESTAENYUPANA

En el clculo con yupana utilizaremos procedimientos que estn basados en la composicin ydescomposicin del 5 y del 10. Son procedimientos basados en conocimientos antiguos pero a loscualessehanincorporadomtodosmodernosdesumayrestarpidos,especialmentedesarrolladosparasuaplicacinconelbacochino,loscualessonperfectamenteadaptablesasuusoenyupana.

Los nmeros complemento de 5 y de 10

Paracomponerel5utilizamosdosnmeroscomplemento (llamamoscomplementosde5adosnmerosquesiseaadenelunoalotrosuman5,estepardenmerosrecprocamentesecomplementanyporellosonnmeroscomplemento).

Porejemplo:1y4,2y3,3y2,4y1(pardecomplementosde5)cuandosecombinanoaadenentresdancomoresultado5.

Paracomponerel10tambinutilizamosdosnmeroscomplemento(llamamoscomplementosde10adosnmerosquesiseaadenelunoalotrosuman10,estepardenmerosrecprocamentesecomplementanyporellosoncomplementosde10).

(Importante:Lacomposicin-descomposicindel10ylacomposicin-descomposicindel5tienenelmismorazonamiento)

Los procedimientos de suma y resta que usamos en la yupana se pueden clasificar en:

(1) Sumaaadiendoyrestaquitando,

(2) Convertira5(suma)yconvertirdesde5(resta),

(3) Convertira10(suma)yconvertirdesde10(resta),

(4) Convertir5en10yaadir(suma)yconvertir10en5yquitar(resta),

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(5) Aadir10yrestarconvirtiendoel5(suma)yquitar10ysumarconvirtiendoa5.

Enlarealizacindelosclculosdesumaesesencialqueobservemosloscasillerosvacos,sihayespaciose puede hacer la suma aadiendo. Por otro lado, al restar se observan los casilleros ocupados, sialcanzansehacelarestaquitando.Encasodequenohayaespacioparaaadir,seaade5yserestasucomplemento,cuandonoalcancenlassemillasparaquitar,sequitael5yseaadesucomplemento;sinohayespacioparaaadirenlafilabase(unnmeroquellegaopasade10),entoncesseaadeunasemillaconvalorde10enlafilasuperioryserestaelcomplemento(loqueseaadidems);sinohaysuficientessemillaspararestar(quitar)enlafilabasesequitaunasemillaconvalorde10delafilasuperiorysesumaelcomplemento(loquesequitdems).

Senecesitaeldominiodelosnmeroscomplementosde5y10,yaquesonesencialespararealizarlosclculosconyupanayparamejorarnuestroclculomental.

I. Mtodos de suma y resta de un solo dgito.Elprocedimientoparalasumayrestacondosomsnmerosdeundgitolollamamosmtododeunsolodgitodesumayresta.Elestudiodeestemtodoeslabaseparaelmtodomultidgitodesumayresta,senecesitaundominioexpertodelmtododeunsolodgitodesumayrestaparapoderpracticarprovechosamenteelmtodomultidgito.Elclculoenyupanaconestemtododeunsolodgitodesumayrestasepuedeclasificarenlossiguientestipos.

(1) Suma aadiendo y resta quitando.I. Sumaaadiendo:Cuandosobreelprimernmeroqueestpuestoenyupanahayaunespacioparaaadirsemillasdeunsegundonmeroquesesume,entoncesalprocedimientoqueutilizamoslollamamossumaaadiendo.Porejemplo:3+1,2+2,4+5,etc.Paraaplicarestemtododesuma,antesdeaadiresnecesarioobservarprimerosihayespaciosuficienteparaelsegundonmeroquequeremossumar,siesquehayespacioseaadendirectamentelassemillasqueequivalenaesenmero.

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Parasuaplicacinesesencialrecordar:hayquefijarseenloscasillerosvacosdelayupana,sialcanzanparalasumaquequeremosrealizarseaadenlassemillas.Elmtododesumaaadiendoenyupanasepuedeclasificarentrestipos.

a. Slo se utilizan casilleros de los lados (con valor de 1). Ejemplo3+1=4

Procedimientoparamoverlassemillas:

(1) En primer lugar se establece la fila de unidades sobre la cualtrabajaremos,seguidamentealzamos3semillasysecolocanenloscasillerosdelafiladeunidades.

(2) Despusseaumentaunasemillaenlamismafiladeunidadesenelcasilleroconvalorde1queestaunvaco.

(3) Enlayupanaestelresultado:4

b. Sloseutilizaelcasillerocentral.Ejemplo:3+5=8


(1) Alzamos3semillasylascolocamosenloscasillerosdelafiladeunidades.

(2) Despusseaumentaunasemillaenlamismafiladeunidades,enelcasillerocentralutilizandocualquieradenuestrasmanosparadejarunasemillaenelcasilleroconvalorde5.


c. Seutilizanelcasillerocentralyloscasillerosdeloslados.Ejemplo:2+6=8

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(1) En primer lugar se establece la fila de unidades, entoncesalzamos2semillasutilizandounamanoylascolocamosenloscasillerosdelafiladeunidades.

(2) Para sumar 6: Se puede poner el 6 (o sea 5 y 1) utilizandotambinunasolamano.


II. Restaquitando.Enlarestaconyupanapodemosutilizarelmtodoqueimplicaquitarsemillasdirectamentequellamamosmtododerestaquitando.Porejemplo42,85,97,etc.Antesdelaaplicacindeesteprocedimientoesesencialquenosfijemosbiensilassemillaspuestasenlayupanaalcanzanparalarestaquevamosahacer.Elmtododerestaquitandoenyupanapuedeclasificarseentrestipos:

a. Soloseutilizanloscasillerosdeloslados.Ejemplo:42=2


(1) En primer lugar se establece la fila de unidades, entoncesutilizando (simultneamente) las dos manos se colocan dossemillasenloscasillerosdelladosuperiorydossemillasenloscasillerosdelladoinferior.

(2) Restade2:Utilizandounadenuestrasmanossesacanalmismotiempodossemillasdeloscasillerosdeunodeloslados.


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b. Soloseutilizaelcasillerocentral.Ejemplo75=2

Procedimientoparamoverlassemillasdelejemplo:

(1) Para colocar el 7 podemos utilizar dosmaneras: a)Utilizando(simultneamente) lamanoderechae izquierdasecolocaunasemillaenelcasillerocentral(manoizquierda)ydossemillasenloscasillerosdeloslados(manoderecha).b)Conmayorprcticasepuedenponerdegolpe las tressemillas requeridascon losdedosdeunasolamano.

(2) Restade5:Utilizandocualquieradelasmanossequitalasemillaubicadaenelcasillerocentral.


c. Seutilizaloscasillerosdelosladosyeldelmedio.Ejemplo86=2

Procedimientoparamoverlassemillasdelejemplo:

(1) Utilizando (simultneamente) la mano derecha e izquierdasecolocandossemillasconcadamano (poniendo6y2)paracolocarel8.

(2) Resta de 6: Puede utilizarse una sola mano para sacar el 6de golpe. O tambin utilizando (simultneamente) la manoderecha e izquierda se quita la semilla del casillero central(manoizquierda)yunasemilladelcasillerodeloslados(manoderecha).


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(2) Convertir a 5 y convertir desde 5.

I. Convertir a 5.

Enelprocesodesumardosnmeros,cuandoelprimerodeellossloocupaalgunooalgunoscasillerosde los lados, y el otro nmero que se le suma est entre 1 y 4, entonces es posible que no hayasuficientes casilleros vacosparahacer la sumaaadiendo (decimosnohayespacio); entoncesesnecesarioaplicarelprocedimientodesumaquellamamosconvertira5.Porejemplo2+4,4+3,3+3,etc.Paraaplicarestemtodoesesencialrecordar:Sinoalcanzaelespacioparalasumaseaade5yserestaelcomplemento.Ejemplo4+3=7


(1) Enprimerlugarseestablecelafiladeunidades,entoncesutilizando(simultneamente)lamanoderechaeizquierdasecolocandossemillasenelladosuperior(unamano)ydossemillasladoinferior(laotramano).

(2) Suma de 3: Como no hay espacio se aade 5 y se resta elcomplemento.Entoncesseempujaunadelassemillashaciaelcanalsuperiorylaotrasetrasladaalcasillerocentral.Tambinsepuedepensarestasumadeestamanera:sacamos2yponemos5,esdecir2seconvierteen5(25).Deacuerdoalniveldelosalumnosaplicaremosunauotraformadepensarlaaunqueenamboscasosdebemosprocurarrealizarlosmovimientosdeformasimultneaenlayupana.


Paraestasumashayqueaplicarloscomplementosde5deestamanera:

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+1=+54,sumar1eslomismoqueponer5yquitar4(45)4seconvierteen5+2=+53,sumar2eslomismoqueponer5yquitar3(35)3seconvierteen5+3=+52,sumar3eslomismoqueponer5yquitar2(25)2seconvierteen5+4=+51,sumar4eslomismoqueponer5yquitar1(15)1seconvierteen5

Esimportantedestacarqueexpresamosestassumasalmenoscondosexpresionesdistintasquedanelmismoresultado.Unadelascaractersticasdelaprcticadelayupanaesquenospermitedescubrirquehayvariasmanerasderealizarlasoperaciones(ynounasolacomoavecesseensea).

II.Convertir desde 5

En la resta entre dos nmeros, cuando el que se va a restar es unnmeroentre1y4,ylassemillaspuestasenloscasillerosdelosladosnoalcanzanparalaresta,entoncesseaplicarelmtododerestaquellamamosconvertirdesde5.Porejemplo:53,64,73,etc.Paraestos clculosesmuy importante tenerenmente: si noalcanzaparaquitar,sequitael5ysesumaelcomplemento.Ejemplo:84=4

Paraelmovimientodesemillasdeesteclculosequitael5ysesumaelcomplemento,enestecaso1.Esdecir5seconvierteen1(51).Nosguiaremosporlosnmeroscomplementode5:

-1=-5+4,restar1eslomismoquequitar5yaadir4(54)5seconvierteen4-2=-5+3,restar2eslomismoquequitar5yaadir3(53)5seconvierteen3-3=-5+2,restar3eslomismoquequitar5yaadir2(52)5seconvierteen2-4=-5+1,restar4eslomismoquequitar5yaadir1(51)5seconvierteen1

(3) Convertira10yconvertirdesde10

I. Convertir a 10: En la suma entre dos nmeros, cuando lasumadeambosalcanzaopasade10,esnecesarioaadiruna

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semillaenlafilainmediatamentesuperior,almismotiempoesnecesariorestarloquesehasumadodems,porelloesqueesteprocedimientodesumasellamaconvertira10.Ejemplo:9+5,8+7,4+6,etc.Paralaaplicacindeestemtododeclculoesesencialrecordar:cuandoalcanzaopasade10enlafila,seaadeunasemillaenlafilasuperioryserestaelcomplemento.Ejemplo:8+7=15.

Estaoperacinenyupanaconsisteen sacar3yaadirun10. Loquepodemosexpresar como3 seconvierteen10(310).

Elprocedimientopararealizarestassumassepuederesumirenlaaplicacindeloscomplementosde10 de la siguiente manera:

+1=+109,sumar1eslomismoqueponer10yquitar9(910)9seconvierteen10+2=+108,sumar2eslomismoqueponer10yquitar8(810)8seconvierteen10+3=+107,sumar3eslomismoqueponer10yquitar7(710)7seconvierteen10+4=+106,sumar4eslomismoqueponer10yquitar6(610)6seconvierteen10+5=+105,sumar5eslomismoqueponer10yquitar8(510)5seconvierteen10+6=+104,sumar6eslomismoqueponer10yquitar8(410)4seconvierteen10+7=+103,sumar7eslomismoqueponer10yquitar8(310)3seconvierteen10+8=+102,sumar8eslomismoqueponer10yquitar8(210)2seconvierteen10+9=+101,sumar9eslomismoqueponer10yquitar8(110)1seconvierteen10

II. Convertir desde 10: En la restaentredosnmeros,cuandoenelminuendo, loqueesten lafilabase no alcanza para quitar, entonces es necesario quitar una semilla de la fila inmediatamentesuperior,almismotiempo,sedeberaadirenlafilabaselacantidaddemsquehasidorestada;alprocedimientoderestarealizadodeestamanerallamamosconvertirdesde10.Paraesteclculoes

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esencialrecordar:Cuandonoalcanzaparaquitarenlafilabase,sequitaunasemilladelafilasuperiorconvalorde10ysesumaelcomplemento.Ejemplo135=8.Loquehacemosesmoverlasemillaquevale10alcasilleroconvalorde5,esdecir,10loconvertimosen5.

En el mtodo de convertir desde 10, el movimiento de las semillas se har de acuerdo a loscomplementosde10:

-1=-10+9,restar1eslomismoquequitar10yaadir9(109)10seconvierteen9-2=-10+8,restar2eslomismoquequitar10yaadir8(108)10seconvierteen8-3=-10+7,restar3eslomismoquequitar10yaadir7(107)10seconvierteen7-4=-10+6,restar4eslomismoquequitar10yaadir6(106)10seconvierteen6-5=-10+5,restar5eslomismoquequitar10yaadir5(105)10seconvierteen5-6=-10+4,restar6eslomismoquequitar10yaadir4(104)10seconvierteen4-7=-10+3,restar7eslomismoquequitar10yaadir3(103)10seconvierteen3-8=-10+2,restar8eslomismoquequitar10yaadir2(102)10seconvierteen2-9=-10+1,restar9eslomismoquequitar10yaadir1(101)10seconvierteen1

(4) Convertir 5 en 10 y aadir y convertir 10 en 5 y quitarConvertir5en10yaadir(suma)yConvertir10en5yquitar(resta)eslaaplicacincombinadadedosdelosmtodosdesumayrestaantesdescritos.

I. Convertir 5 en 10 y aadir

Esteprocedimientosoloserealizaenloscasosenquealsumar6,7,8,9noesposibleaplicar losmtodosantesdescritos.Elprocedimientoenlasumaconsisteenlaaplicacininicialdelprocesode

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convertira10,convirtiendoel5yaadiendoloquefaltaparaalcanzar6,7,8y9.Esdecirhayqueentenderque6,7,8y9tambinpuedenserentendidoscomo5+1,5+2,5+3y5+4,respectivamente.

Ejemplo:6+6=12

Pararealizarelejemploloquehacemosesllevarlasemillaquevale5alcasillerodel10(5loconvertimosen10)yaadir1semillaconvalorde1.Esdecirsumamosel6endospasos:+5y+1.

Elmovimientodelassemillasdelmtododeconvertira10yaadir(suma)seguirestasreglas:

+6=+5+1=(510+1),sumar6eslomismoqueconvertir5en10yaadir1+7=+5+2=(510+2),sumar7eslomismoqueconvertir5en10yaadir2+8=+5+3=(510+3),sumar8eslomismoqueconvertir5en10yaadir3+9=+5+4=(510+1),sumar9eslomismoqueconvertir5en10yaadir4

II. Convertir 5 en 10 y quitar

Estemtododerestaseaplicaenloscasosenquehayquerestar6,7,8,9ynoesposibleaplicarlosprocedimientosderestaantesestudiados.Elprocedimientoderestaconsisteenconvertirprimeroun10en5ydespusquitarloquefaltaparaalcanzar6,7,8,9.

Ejemplo:13-7=6

Loquehemoshechoenlayupanaesllevarlasemillaquevalia10alcasilleroconvalorde5(convertimos10en5)ydespusquitardossemillasms(105-2).Esdecirhacemoslarestadel7endospartes:-5y-2.

23

Elmovimientodelassemillasenelmtododeconvertirdesde10yquitarseguirlassiguientesreglas:

-6=-5-1=(105-1),restar6eslomismoqueconvertir10en5yquitar1-7=-5-2=(105-2),restar7eslomismoqueconvertir10en5yquitar2-8=-5-3=(105-3),restar8eslomismoqueconvertir10en5yquitar3 -9=-5-4=(105-4),restar9eslomismoqueconvertir10en5yquitar4

(5) Aadir 10 y convertir desde 5 y Quitar 10 y convertir a 5 Lametodologaescasi lamismaqueConvertir5en10yaadiryConvertir10en5yquitar.Ladiferenciaprincipalradicaenlaformadeentenderla.Esunmtodoquecuestamsdedominarporqueimplica quemientras sumamos tengamos tambin que hacer una resta, lo que se aleja de nuestraprcticahabitual.Sinembargo,acambiotienenlaventajadequenospreparanparaaplicarlosmtodosmultidgitoyportantoparaqueseamosmsrpidosyeficientesenclculomental.

I. Aadir 10 y convertir desde 5 (de forma combinada para la suma).

Elprocedimientoeselsiguiente:Aadir10yrestarelcomplemento,esdecirloquehemossumadodems.Alhacer la restaveremosquenohay semillas suficientesen lafilabase,entonces sehacenecesarioaplicarlaconversindesdeel5,esdecirquitar5ysumarelcomplemento.Afindeilustrarlalevediferenciaconloqueanteshicimosponemoselmismoejemplo:6+6=12.

Loquehacemosenyupanaesaadir10yrestar4.Perocomonoalcanzanlassemillasparaquitar,tenemosqueconvertirel5en1.Enresumen,parasumar6hemosaadido10yconvertidoel5en1.

Ladiferencia conelmtodoanterior (Convertir a 10 y aadir) esque conestemtodopodemoscambiarelordendelmovimientodesemillasconmscomodidad.

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Elmovimientodesemillasdelmtododeaadir10yconvertirdesde5(suma)seguirestasreglas:

+6=(+10,51),sumar6eslomismoqueaadir10yrestar4(convirtiendo5en1) +7=(+10,52),sumar7eslomismoqueaadir10yrestar3(convirtiendo5en2)+8=(+10,53),sumar8eslomismoqueaadir10yrestar2(convirtiendo5en3) +9=(+10,54),sumar9eslomismoqueaadir10yrestar1(convirtiendo5en4)

II. Quitar 10 y convertir a 5 (de forma combinada para la resta)

Para aplicar este procedimiento primero quitamos 10, y despus sumamos el complemento. Sinembargoveremosquenohabrespacioparaaadirelcomplemento,entoncesusaremoslaconversinal5.Usaremoselmismoejemploderestaanteriorparaqueseaprecielalevediferenciaentreambosmtodos.Ejemploderesta:137=6.

La diferencia es que este procedimiento nos permite cambiarel orden de movimiento de semillas; quitamos primero el10; seguidamente sumamos 3, pero como no hay espacio,convertimos2en5.

Elmovimientodelassemillasenelmtododeconvertirdesde10yquitarseguirlassiguientesreglas:

-6=(-10,15),restar6eslomismoquequitar10ysumar4(convirtiendo1en5)-7=(-10,25),restar7eslomismoquequitar10ysumar3(convirtiendo2en5)-8=(-10,35),restar8eslomismoquequitar10ysumar2(convirtiendo3en5) -9=(-10,45),restar9eslomismoquequitar10ysumar1(convirtiendo4en5)

Aadir 10 y convertir desde 5 y Quitar 10 y convertir a 5,nosonmasquevariantesdeconvertira10yconvertirdesde10.Lasconversionesa10ydesde10sonlosmtodosdesumayrestamsgeneralesytienencomobaselosmtodosdeconvertir a 5 y convertir desde 5.

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Tabla de las conversiones a 5 y 10 de los metodos de suma de un solo dgito (Enlacolumnadelaizquierda:elprimersumando(puestoenyupana).Enlafilasuperior:segundosumando)

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Tabla de las conversiones desde 5 y 10 de los metodos de resta de un solo dgitoEnlacolumnadelaizquierda:Minuendoenyupana

Enlafilasuperior:Sustraendo

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Mtodos de suma y resta multidgito

Sobrelabasedetenerundominioexpertodelmtododesumayrestadeunsolodgitoesposibleavanzarenejercitarseenelmtododesumayrestamultidgito.Elpropsitodelmtododesumayrestamultidgitoeslarealizacindeclculosqueincluyennmerosdedosomsdgitos.

(1) Mtodosdesumamultidgito

Laprimeraregladelosmtodosdesumamultidgitoesguardarelmismoordenquetienenlosdgitos,comenzarporeldgitomsalto.Empezaremosporcifrasdedosdgitos.Parahacerlassumasveremossienlafiladeunidadesodecenashayespacio.Sihayespaciosesumaaadiendosemillas.sinohayespacio,seconviertea550obiena10100.Sin embargo el clculo del espacio implica calcular dicho espacio para los dos dgitos que se estn sumando.Puestoqueyasabemoslasreglasdeconversina5y10noesnecesarioinsitirenello.Cmopodemoshacerconversionesa50100?Esposibleaprenderdememorialoscomplementosde50y100.Sinembargomuchomejoresaprenderuntrucoquenospermitirsabernosololoscomplementosde50y100sinoloscomplementos500,5,000,1000,10,000,etc.Paradominardichotrucoesnecesarioundominiodeloscomplementosde4y9.

I. La conversin a 50

Llamamosconversina50cuandoelclculomentalparahacerlaimplicaunacifradedosdgitos.Esdecir,nollamaremosconversina50alprocesoquesoloimplicaunacifradeundgito.

EjemploA:45+32=77

Paso1:Primerosumaremoslasdecenasydiremos2seconvierteen5:

Aunque estemos endecenas diremos 2 se convierte en 5 yno20seconvierteen50.Estoesdelamismamaneraacuando

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sumamosconlapicero,aunqueestemosendecenasdecimos4ms3es7(yno40ms30es70,elresultadoalfinalsloleemoscomodecenas.)

Paso2:Para sumar las2unidades (de32) solo aadimosdossemillas.Elresultadoes77:

Lasconversionesa5y10nossirvenparacualquierposicinenelsistemadecimal(unidades,centenas,unidadesdemillar,etc.).Llamaremosconversin a 50solosihayporlomenosdosdgitosimplicadoscomoenlosejemplosquemostraremosacontinuacin.

Laconversina50esnecesariohacerlacuandonienlafiladeunidadesnienlafiladedecenas,vistas en conjuntonohay(onovaahaber)espacioparaaadiry/oconvertira5a10enalgunassumascuyoresultadoesde50omayor.Enesoscasosesnecesariopreguntarnosqulefaltaalnmeroqueestamossumandoparaalcanzar50.Parasaberloscomplementosaplicaremosunprocedimientootrucoquenospermitirhallarloscomplementosa50deformainmediata,unavezquepractiquemos.

Elcomplementoa50decualquiernmerodeunoodosdgitosentre1y49lopodemoshallaras:

1.Cualquiercifradeundgitolaconsideraremoscomodedosdgitos:el1,2,3,4,5,6,7,8,9sernentonces01,02,03,04,05,06,07,08y09.

2.Calculamosmentalmenteelcomplementoa4delprimerdgito(aunqueelprimerdgitosea04)yelcomplementoa10delsegundodgito.Eseserelcomplementoa50.

3.Losparescomplementode4son0-4,1-3,2-2,3-1y4-0.Consignamosloscomplementosde0(quees4)yde4(quees0)puestoquetambinestildominarlos.

Ejemplos: 05 34 23 28 08 48

Suscomplementosa50son: 45 16 27 22 42 02

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Comosepuedevertodosloscomplementoscumplenlaregla:elprimerdgitocomplementaa4eldgitodetodoslosejemplosyelsegundodgitocomplementaa10.Enalgunasocasioneselcomplementodelprimerdgitopuedeser0elmismo4.Elcomplementodelsegundodgitosiempresecalculaa10.

EjemploB:43+8

Paso1:Loquehacemosenlayupanaescalcularmentalmenteel complementode8 (para50). Seguidamenteponemos50 yquitamossucomplemento,esdecir42.

Puestoquehaydosdgitosimplicados(42).Lollamamosconversina50.Sinembargopuedeaplicarsetambinencualquierposicindecimal(unidadesdemillas,centenas,etc.).

Esdecirsisumamos430+80seguimosexactamenteelmismoprocedimientoperounafilamsarriba.

EjemploC:18+39

Paso1:Calculamosmentalmentecuanto lefaltaa39para50.Aplicando el procedimiento descrito encontraremos que sucomplementoes11.

Paso2:Ponemos50yquitamos11.

El principio de ahorrar esfuerzo en la conversin a 50

Conlosmtodosdeunsolodgitohubiramosdesarrolladolasumadeotramanera.

EjemploD:18+39(sinaplicarelmtododeconvertira50)

Paso1:Aadimos3decenas(verfigura):

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Por tanto un principio importante que rige el mtodo multidgito ser ahorrarnos esfuerzos y nodesperdiciarenergiaytiempoenponerloqueinmediatamentedespustendremosquequitar.

Loanteriorimplicaquementalmentehagamoselclculoparasabersilacifraquevamosasumaren conjunto,esdecir,unidadesydecenas;tienenelespaciosuficienteparaaadiroconvertirsinnecesidaddevolveraquitarloqueacabamosdeaadir.

EjemploE:47+25

Si convertimos 3 decenas en 5 decenas primero estaramossacandounasemillaquedespustenemosquevolveraponercuandosumemoslas5unidadesquefaltan.Ahorramosesfuerzosidirectamenteponemos50yquitamoselcomplementode25,esdecirtambin25.

EjemploF:43+33

Elmismo principio de ahorrar esfuerzo se aplica para el casocontrario. Si hay espacio para aadir y convertir de maneraindependientelosdosdgitosqueestamossumando,entoncesesmejorhacerloynocansarnosenbuscarelcomplementoa50.

+ 25

Paso 2: Parasumar9tenemosquevolverasacarloqueacabbamosdeaadir.Yanotenemosotraopcinqueponer50yquitar41:

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Primero convertimos 2 en 5 (en decenas) y despus hacemos lo mismo en unidades. Buscar elcomplementode33enesteejemploseraunesfuerzoqueenvezdeayudarnosdificultara.

II La conversin desde 50

Laconversindesde50para larestaseaplicacunadonoalcanzan lassemillasenelminuendopararestar(bienseaconvirtiendodesde10,desde5oquitando)elsustraendo.Elminuendodebeserunnmeroigualomayorde50.

EjemploA:74-26=48(aplicandolaconversina50)

Paso1:Calculamosmentalmentedoscosas.Primeroquesiquitamos2decenasdespusnopodremosquitar6unidades.Segundo,vistoloanteriorcalculamoselcomplementopara50de26,osea24.

Estamisma resta puede ser pensada de otramanera que resulta algoms sencilla. La variante delmtodoconsisteenconvertir50enunmultiplode5ydespusdequitarloquefaltaparacompletarlaresta.Esdecir,enelcasoderestar26,primerorestaremos25ydespus1.

Paso 2: Quitamoslasemillaconvalorde50

Paso3Sumamos el complemento24.Aadiendo2decenasyconvirtiendo1en5.

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EjemploB:74-26(2a.alternativa:aplicandolaconversinde50aunmltiplode5yquitando)

Paso1:Calculamosmentalmenteyviendolayupanaquesiquitamos2decenasdespusnohabrcomoquitarlas6unidades.Portantocalculamoselcomplementoa50de25,esdecirelmltiplode5quemsseaproximealos26quequeremosrestar.

Paso3:Quitamosunasemillamsparacompletarlarestade26.

Paso 2: Restamos25,quitando50ysumando25.

Cualquieradelasformasquesigamosnosdanelresultadocorrectoeimplicancasielmismomovimientodesemillas.Decimoscasi,puestoquedelaprimeraformasolonecesitamosaadirunasemilla.Lamismaqueindicamosconlaflechalarga.Lasotrasdossemillas(conlaflechacorta)sonmovidasentrecasilleros:

Sinembargoen la segundaalternativanecesitamosaadirdos semillas alconvertir50en25.Lasmismasque indicamoscon lasflechas largasenelpaso2.

33

Parafinalmentequitarunasemillaenlarestade1enelpaso3.

Esdecir,ahorramosesfuerzoyhacemoselclculomssimplecon laconversina50directaynoatravsdeconvertirprimeroa25(comoenelejemplo)ydespusquitar1ms.Sinembargoestonoquieredecirquemetodolgicamentepuedaresultarmssimpleaplicarlasegundaformadescrita,yaquelaprimerapudieraresultarmuydifcilenuninicio.

Cadaalumnoyprofesorqueestacargotendrqueverculesloqueconvieneaplicar,sinolvidarquesielegimosunaformamslargadehacerdebesersoloamaneraprovisional,hastaquepodamosaplicarelmtodoqueresultemsefectivo.Estemtodomsefectivo,ciertamente,implicaunmayoresfuerzomentalyhacerlosclculos,enuniniciomslentos.Losresultadosdeaplicarmtodosmscomplejosyeficientessolosenotandespusdeciertotiempodeprcticaconellos.

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III. La conversin a 100

Cuandoelproductodelasumaentredoscifrasalcanzaopasade100ynohayespacioparaaadiroconvertira5,1050,entoncespuedesernecesarioaplicarlaconversina100.

Laconversina100siguelosmismosprincipiosquelaconversina50:

1.Considerarlosdosdgitosenconjunto(unidadesydecenas)parahacerelclculomentalslocuandoseanecesarioyconvenienteparaahorraresfuerzoenquitaroponersemillas.

2.Enloscasosqueseanecesarioseaade100yserestaelcomplementodedosdgitos

Procedimiento para calcular mentalmente los complementos a 100.

Elprocedimientoparacalcularelcomplementoa100decualquiernmeroenteroentre1y99consisteencalcularelcomplementoa9delprimerdgitoyelcomplementoa10delsegundodgito.Debemosconsiderarlossiguiente:

1.Cualquiercifradeundgitolaconsideraremoscomodedosdgitos:el1,2,3,4,5,6,7,8,9sernentonces01,02,03,04,05,06,07,08y09.

2.Calculamosmentalmenteelcomplementoa9delprimerdgito(aunqueelprimerdgitosea09)yelcomplementoa10delsegundodgito.Eseserelcomplementoa100.

3.Losparescomplementode9son0-9,1-8,7-2,6-3,5-4yviceversa.Consignamosloscomplementosde0(quees9)yde9(quees0)puestoquetambinestildominarlos.

Ejemplos: 08 34 53 78 07 98

Suscomplementosa100son: 92 66 47 22 93 02

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EjemploA:67+34

Lo que hacemos es calcular mentalmente dos cosas:Primero, si habra espacio para el segundo dgito. Encasoqueaadiramos3decenasyanohabraespaciopara aadir las 4 unidades). Como no habr espaciocalculamosmentalmenteelcomplementoa100de34quees66.Seguidamente, despus de hacer los clculos mentales, movemos las semillas. Colocamos 100 yquitamos66(complementode34).elresultadoes101.

EjemploB:96+7

Este caso implica los siguientes clculos mentales:Primero vemos que no hay sitio para sumar 7 ni paraconvertir a 10 ni a 50. Seguidamente calculamos elcomplemento de 7 para 100: 93. Ponemos 100 yquitamos el complemento. Para quitar 90 no hayproblemaperoparaquitar3deberemosquitar5yponer2.

Esdecirparaesteclculohemosconvertido93en100yparaellodelasemillaquevale5hemostenidoquetomar3(mentalmente)ydejar2semillas.

Puedeserqueparaalgunosresultemuycomplicadoelprocesoqueacabamosdedescribir.Porejemplopodra serms fcil pensarelprocesoendospartes.Primero sumamos5 (95 se convierteen100)ydespusaadimos2semillasms.Loqueserasimilaralprocesoqueanteshemosdescritocomo

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convertira10yaadir.Losdocentesdebemosfomentarladiversidadderespuestasymtodos.Enrealidadhaymuchasmanerasdehacerloen layupana. Inclusoelmovimientode lassemillaspuedeserrealizadodevariasmaneras.Loimportantesesirconociendotodasesasmanerasyhacerlassegnnuestroniveldeavance.Ahorabien,igualmentequesealamosqueeldocentedeberespetaryvalorarlasformasdeentenderyhacerdecadaestudiante,tambinsealamosqueesimportantefomentaraquesedescubrannuevasformasmseficientesdehacer losclculosynoquedarnoscon lasmssimplesporevitarelesfuerzodeaprenderalgonuevo.

El principio de ahorrar esfuerzo en la conversin a 100

Tambinenelcasodelaconversina100esnecesarioguardarelprincipiodelahorrodeesfuerzoen la colocacinde las semillas. Esnecesariopracticar concientementeparadarnos cuentacuntosmovimientosdesemillaspodemosahorrar.

EjemploC:57+98

Paso1:Dehacerlosinelmtododeconversina100tendramosquesumarprimero9decenas.Comonohayespacioaadimos10(decenas,esdecir=100unidades)yconvertimos5decenasen4decenaspararestar1.Deestamaneratenemoselresultadoparcialde147,afaltadesumarlasunidades.

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Paso2:Parasumar8nohayespacioportantonecesariamentetenemosqueconvertira50.Entoncesponemos50yquitamos42.

Si repasamoselprocesoaplicadonosdaremoscuentaqueenelpaso1hemosquitadounasemilla(laquevala50)yhemosaadido4(lasquevaan40).Yenelpaso2hemosvueltoaquitarlasquehabamosaadidoyademshemosrestituidolaquevala50.Esdecirinnecesariamentehemosmovidotodasesassemillasyaquedehaberusadolaconversina100simplementetenamosqueaadir100yquitar02,yaqueelcomplementopara100de98es02:

III La conversin desde 100

Laconversindesde100para la resta implicaquitar100yaadirelcomplemento.Laaplicamosenloscasosquenoesposibleaplicarlosmtodosdeunsolodgito,oaunquepodamoshacerloimplicanmovimientosdesemillasdems(quitaryvolveraponeroponeryvolveraquitar).

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EjemploA:170-74

Paso1:Estepasoimplicaundobleclculomental:siquitamos7decenasdespuscomononosalcanzatendremosquevolveraponerloquehemosquitado,entoncesvemosquenecesitamosrecurriraestemtodoqueahorramovimientosdesemillas.Elsegundomomentoescalcularculeselcomplementode74,quees26.

Paso2:Quitamos100ysumamos26(elcomplementoa100de74).

La multiplicacin en yupana

Paramultiplicarenlayupanaserequiereelmanejofluidodelatablademultiplicardel1al9.Esposibleusarlayupanapararepasarlatablademultiplicacinmediantesumasrepetidasuotrosjuegosperolamultiplicacindenmerosmayoresrequieredelmanejodelatablademultiplicardemanerafluida.Ademsdeellosenecesitaserconcientedelvalorposicionaldecadanmeroquemultiplicamosparaubicarlaenlafilaposicionalquelecorresponda.Laprincipaldiferenciaqueguardaconlamanerademultiplicartradicional(escrita)esqueseempiezaamultiplicarporlosnmerosmayores,alrevsdecomosehaceconellapicero.

Sinembargoaligualqueconlasumayrestahaymuchasmanerasposiblesdemultiplicarenlayupana,aunquenosotrosmostraremoslasqueennuestraprcticanoshanparecidomseficientes.

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Multiplicacin de dos dgitos por un dgito

Al multiplicar dos dgitos por un dgito implica dos clculos: multiplicar unidades por decenas yseguidamente unidades por unidades que sumamos entre s ubicando los resultados en su valorposicionalrespectivo.Enlayupanadebemosserconcientesdeculvaaserelvalorposicionalcuandomultiplicamosporejemplo8unidadespor7decenas.Elresultadoes56quetendrqueserubicadojustoarribadelasunidades,yaquedichovalor,aunquedigamosquees56esenrealidad560.

Ejemplo74x8=592

Tantoelmultiplicadorcomoelmultiplicandopuedensercolocadosaambosladosdelayupanaaunquesealamosqueenrealidadnoesnecesariorepresentarnielmultiplicandonielmultiplicadoryaqueyaquesersuficientetenerlosenunpapelescrito.

Decidimosenprimerculserlafiladeunidades,enestecasolaprimerafilaconlamarcadesdeladerecha.

Paso1:8x7=56colocamoselproductoobtenidomentalmentedejandolafiladeunidadesvacia,yaqueenrealidad56serefierea5centenasy6decenas.

Fila de unidades vaca

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Paso2:8x4=32colocamoselproductoconelvalorposicionalde3decenasy2unidadesyaqueenestecasoestamosmultiplicandounidadesporunidades.

Al colocar el producto de las dosmultiplicaciones realizadas en sus posiciones correspondientes loestaremossumandoteniendoencuentasuvalorposicionalrespectivo.Enelejemplomostradonoesnecesariohacerningunaconversin,yaqueesposiblehacerlasumaaadiendo.Elresultadoes592.

Laprincipaldificultadaliniciarseenlamultiplicacinenyupanaestenerencuentaelvalorposicional.Paraserconscientesdedichovalorposicionalaconsejamosunaestrategia:Considerarqueelresultadodeunamultiplicacindecualquiernmero(entre0y9)porcualquiercualquierotronmero(entre0y9)serunresultadodedosdgitos.Esdecirconsideraral0,1,2,3,4,5,6,7,8y9como00,01,02,03,04,05,06,07,08y09.Siendoas,alubicarelproductoinmediatamentesabremosenqufiladebemosconsiderarlo.Enelcasoquemultipliquemosdosdgitosporundgitosabremosqueelprimerproductolocolocaremossiempreencentenasydecenas(dejandolafiladeunidadesvaca)yelsegundoproductoenlafiladedecenasyunidades.Sernecesarioprestarmuchaatencinaloscasosenqueelproductotengaun0delante(ejemplo06,04,etc..)un0alfinal(como10,20,30,etc.)yaqueenyupanael0consisteenno poner semillaenlafila,loquenoquieredecirquepodemosdescuidardeconsiderarlaubicacindeacualfilalecorrespondeesevaco(esdecircul filaes0)paraobtenerelproducto.

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EjemploB:48x6=288

Paso1:Enlayupanaubicamoselprimerproducto6x4=24dejandovacalafiladeunidades:

Paso2:Elsegundoproductoes6x8=48peronotenemosespacioparacolocarlasdecenas,porlotantodeberemosconvertir1en5enlafiladedecenas,parapoderlosumaralproductoanteriormenteobtenido:

Elresultadoes288.

EjemploC:78x7=546

Paso1:Elprimerproductoes7x7=49,elcualcolocamosdejandolafiladeunidadesvaca:

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Paso2:El segundoproductoes7x8=56.Parasumar las5decenasdeesteproductono tenemosespacioendecenasytampocopodemosconvertira10puestoquelos4espaciospara10(decenasdedecenas,esdecircentenas)estnocupados.Por tantodebemosaplicarelmtodomultidgito:parasumar05(decenas)ponemos50(decenas)yquitamos45(decenas).Seguidamenteaadimos6enlafiladeunidades:

Elresultadoes546.

Multiplicacin de 3 dgitos por un dgito

Paraestasmultiplicacionesdebemostenerencuentaqueelproductodelamultiplicacindeunidadesporcentenasdebemoscolocarloenlayupanadejandodosfilasvacias,lasdeunidadesydecenas,Al

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multiplicarunidadespordecenasdejaremoslibrelafiladeunidadesylosumaremosalvalorobtenidoanteriormenteyalmultiplicarunidadesporunidadescolocamoselproductotalcomoselee,esdecirenlafiladedecenasyunidades.Apartirdeahora,enlosejemplosquedamosyanocolocaremoselmultiplicandonielelmultiplicadorenlayupana.

EjemploD.316x4.

Paso1:4x3=12.Colocamoselproductoobtenidodejando libreen layupana lafiladedecenasyunidades.

Paso2:4x1=04.Colocamoselproductodejandolibrelafiladeunidades.Parasumarlosolodebemosaadirlopuestoquehayespacio.

Paso3.4x6=24.Elproductolosumamosendecenasyunidadespuestoqueestamosmultiplicandounidadesporunidades.Puestoquenohayespacioendecenasdeberemosconvertir3en5yaadirlasunidades.

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Elresultadode316por4es1,264.

Colocacin posicional de los productos en la multiplicacin simple:Teniendoencuentaqueencualquiermultiplicacinelproductopodemosconsiderarlodedosdgitos(ver atrs) suubicacinen la yupana seguirunorden enescalera similar al queusamos cuandohacemoslamultiplicacinescrita,ladiferenciaestenqueempezamosporeldgitomsalto:

DM M C D U A B 0 0 0 Almultiplicarunidadespormillares A B 0 0 Almultiplicarunidadesporcentenas A B 0 Almultiplicarunidadespordecenas A B Almultiplicarunidadesporunidades

TeniendoencuentaqueAyBson losdosdgitosdecadaproductoyqueel0 indica lasfilasquedebemosdejarvacas.AdemshayquetenerencuentaqueAy/oBpuedeser0,encuyocasohabrqueconsiderarla/lasfila/filasquecorrespondanadichosceros.

Lodichohastaahoraconciernealamutiplicacindeunacifracualquieradedecenas,centenasomillaresporotrascifradeunsolodgito.Parahacerestasmultiplicacionessonnecesariastrescondiciones:

1.Dominarlosmtodosdesumaunsolodgitoylosmtodosmultidgito

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2.Dominarlatablademultiplicardel1al9.

3.Dominarelvalorposicionalposicionalquedebemosasignaracadaproducto.

En un inicio de nuestra prctica con yupana seguiremos los pasos descritos, pero tras una prcticarelativamente breve nos daremos cuenta que ya no ser necesario colocar los productos de cadamultiplicacindgitopordgito.Comenzaremosadarnoscuentaquelapracticaconyupanadesarrollapoderosamentenuestroclculomentalypodremoshacerlasmultiplicacionesdedecenasporunidades,centenasporunidadesomilllaresporunidadesdemanera rpidade formamental.No tendremosnecesidaddeusarlayupanaoellapicero,directamenteobtendremoslosresultadosdenuestroclculomentalayudadosporelesquemamentalquenosproporcionalayupana.Enesemomentoestaremospreparadosparamultiplicarcifrasdedosdgitospordosdgitososuperiores,alasquedenominaremosmultiplicacioneslargasomultidgito.

Multiplicaciones largas o multidgito

Llamamos multiplicaciones largas o multidgito a las multiplicaciones donde el multiplicando ymultiplicadortienenalmenosdosdgitoscadauno.Noesnecesariorepresentarnielmultiplicandonielmultiplicadoren layupanapuestoque lospodemostenerescritosenunpapel.Ademsde lascondicionessealadasparalamultiplicacinsimpleesmuyrecomendabletenerundominodelclculomental(conesquemadeyupanavirtual)delamultiplicacinsimpleyaqueesoaseguramayorvelocidadyprecisinen losclculos.Sinusarelclculomentalde lamultiplicacinsimpleestambinposiblehacerlosclculosperosonalgolentosyesfcilcometererrores,porloquenotrataremosesaformaenestemanual.

EjemploA:47x38=1,786

Estetipodemultiplicaciones losdesarrollaremosendospasos:primero calcularemosmentalmenteel producto de 3 x 47 y como segundo paso 8 x 47, que lo sumaremos al primer cculo obtenido.

46

Debemos ser concientes de la ubicacin posiscional de ambos productos: el primer producto dedecenaspordecenasyunidades(3decenaspor47)locolocamosdejandolibrelafiladeunidades;elsegundoproductounidadespordecenasyunidades(8x47)estarunaposicinmshacialaderecha.Desarrollamoslospasosde47x38:

Paso1:3x47.Mentalmentecalculamos3x43:Primero3x4=12y3x7=21,esdecir,sumadoenescalerada141quecolocamosenyupanadejandolasunidadesvacas:

Paso2:8x47.Mentalmentecalculamos8x43.Primero8x4=32y8x7=56,esdecirsumadoenescalera376quelosumamosenlayupana:

Elresultadoes1,786

EjemploB:387x54.Lodesarrollaremosendospasos:5x387y4x387.

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Paso1:5x387.Mentalmentecalculamos5x387.Primero5x3=15,5x8=40porloquedemomento,sumadoenescalerava190;yfinalmente5x7trescinco(35),quesumadoenescaleranosda=1,935quecolocamosenlayupanadejandolafiladeunidadesvaca.

Paso2:4x387.Mentalmentetendremos4x3=unodos;4x8=32,quehacedemomento152(unocincodos);4x7=28(dosocho)quehacenentotalunocincocuatroocho(1548)quesumamosaloyaobtenidoenelpasoanterior.Solosernecesariohacerunaconversinocanje:puestoqueenlafiladeunidadesdemillarnohayespacio,sernecesarioconvertirlos9millaresaunadecenademillar(9seconvierteen10),elrestopuedeseraadidosinnecesidaddeningunaconversin.

Elresultadoes20,898.

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Colocacin posicional de los productos en la multiplicacin larga:Teniendoencuentaloanteriormentevistorespectoalamultiplicacinsimple(veratrs)suubicacinenlayupanaseguirunordenenescalerasimilaralqueusamoscuandohacemoslamultiplicacinescrita. Las diferencias principales son dos: a) Empezamos por el dgito ms alto y b) calculamosmentalmentecadaproductocompletodevariosdgitosynoavanzamosdgitopordgitocomoenlamultiplicacinescrita.Estaprcticareforzarnuestroclculomentalynosharcadavezmsvelocesyseguros.Ponemosunesquemadeordenenescaleraquecorresponderaamultiplicarporejemplo387x496.Primero387x4,despus387x9yfinalmente387x6quesevanponiendoysumandosucesivamenteenlayupana.Elesquemapuedeserampliadohacialaizquierda,derecha,haciaarribaohaciaabajodependiendodelosdgitosquemultipliquemos.Loimportanteestenqueantesdecolocarlamultiplicacindeberemoshacerunbreveclculomentalporelcualsepamoscuntosdgitostendrnlosproductosycuntasfilasdeberemosdejarvacasalcolocarlos.Mantenerelordendeldgitomayoralmenor,lacolcacinenescalera,laaplicacindelosmtodosdesumamultidgitoestudiadosynuestrahabilidadentrasladarsemillasharnelresto.

CM DM M C D U A B C D 0 0 Almultiplicaralguna/ascentena/sporcifradecompletade3dgitos. A B C D 0 Almultiplicaralguna/asdecena/sporcifradecompletade3dgitos A B C D Almultiplicaralguna/sunidad/esporcifradecompletade3dgitos

Losproductosparcialestendrnsiempre43dgitosyelresultadofinalsersiemprede65dgitos,teniendoencuentaqueeldgitoAdecadaproductoparcialpuedeser0.

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La divisin simpleLlamamos divisin simple en yupana a la divisin donde el dividendo tiene dos oms dgitos y eldivisorunsolodgito.Parasurealizacinesnecesariodominarlosmetodosderestadeunsolodgitoymultidgitoascomoserconcientesdelvalorposicionaldecadacocienteparcialytotalobtenido.

EjemploA:3609

Enlayupanasernecesariocolocareldividendoperonoeldivisorquesersuficientetenerloanotadoenpapelollevarlomentalmente:

Paso1:Puestoqueelcocientede39noalcanzaaserunidadseleccionamosdosdgitosdeldividendo:369.Elcocientelocolocamosenlafilainmediatamentesuperioraldividendo:

Paso2:Multiplicamosmentalmenteelcocienteporeldivisor:4x9=36ylorestamosdeldividendo:

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Paso3:Leemoselcocienteoresultadobajandodosfilas.Deesamanerapodremosleer40.

Explicacin del proceso

Aldividir cualquiercifradecentenasydecenas (queenejemploson3centenasy6decenas)entrecualquierdivisordeunidadesdedenominacinmayoraldgitodecentenas(enelejemplo9>3)elcocientesiempreserdedecenas.Sinembargoelcociente lohemoscolocadoenlafilademillares,esdecirdosfilasporencimadedondedebieraestarcolocado.Esasdosfilasquehemossubidoelcociente son las que despus deberemos bajar al leer el resultado. Se sigue este procedimientopuestoqueasesposiblerealizarrestassucesivaseneldividendoteniendoelcocienteseparado,comoveremosenotrosejemplos.

EjemploB:1337

Paso1:Colocamos133enlayupana:

Paso 2: Elegimos dos dgitos del dividendo, es decir 13, para dividir entre 7. El cociente es 1 que

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colocamosunafilamsarribadeldividendo:

Paso3:Multiplicamoselcocienteporeldivisoresdecir1x7=7ylorestamosaldividendo.Comonoalcanzaparalarestaenlafiladedecenasdebemosquitar10ysumar3.Alsumar3convertimos2en5.

Paso4:Eneldividendoquedaaun63quedividimosentre7.Elcocientees9quecolocamosunafilainmediatamentearribadeldividendo:

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EjemploB:4932

Paso1:Ubicamoseldividendoenlayupana

Paso5:Restamoselproducto7x9=63yleemoselresultadobajndolomentalmentedosfilasenlayupana.Elcocientees19:

Paso2:Seleccionamossolo un dgitodeldividendo,esdecir4entre2.Esmuyimportantefijarnossiseleccionamosuno o dos dgitos,puestoquealseleccionarsoloundgitodeldividendopondremoselcocientedos filas arriba del dividendo,esdecirdejandounafilavaca.

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Paso3:Restamoselproductode2x2delafiladecentenas:

Paso 4: Seleccionamos el 9 del dividendo para dividir 9 entre 2. Puesto que tambin estamosseleccionandounsolodgitodeldividendovolvemosacolocarelcocientedosfilasarribadeldividendo,esdecir,dejandounafilavaca.

Paso5:Restamoselproductode4x2deldividendo.

Paso6:Seleccionamosestavezdos dgitosdeldividendoesdecir13entre2.Puestoquesondosdgitos,

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Paso7:Restamosdeldividendoelproductode6x2.Encasohacerladivisinsindecimalespodramosconcluirlaleyendoelresultadocomo246conresiduo1.Perotambinpodemoscontinuarlahastasacarelresultadoexactocondecimales.

ubicaremoselcocientesolounafilaporencimadeldividendo.

Paso8Selecconamosel1deldivendoaumentandouncero,esdecir10,comosondosdgitosubicamoselcocienteunafilaporencimadeldividendo.

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Paso9:Restamoselproductode2x5deldividendoy leemoselresultadobajandodosfilasenlayupana,esdecir,246.5.

Explicacin del porqu debemos leer el resultado situndolo dos filas ms abajo

Aldividirunsolodgitodellayupanacomohaocurridoenelejemplocuandohemosdividido4centenasentre2,elcocientees2,quesontambincentenas.Porrazonesprcticas(parapodertenereldividendoseparadodelcociente)ubicamosloscocientesdosfilasarribadelaposicinquedebieranocupar,enalgunoscasoscomoenelejemploqueacabamosdecitar(42)elcocienteestaraenlamisma fila deldividendoysinembargolosituamosdos filas arriba,enlosotroscasos(msfrecuentes)elcocienteestara una fila ms abajodeldgitomayordeldividendo(como132)ysinembargolosituamosuna fila ms arriba.Porelloesmuyimportantefijarnossiseleccionamosuno o dosdgitosdeldividendo.Porejemploenelcasodeladivisinde13entre2elresultadosesituaraenunidades,aunqueeneldividendohayaunadecenaytresunidades.Lareglaprcticaatenerencuentaesquealseleccionareneldividendolamismacantidaddedgitosquetieneelcociente(enlosejemplosunsolodgito),elcocientelosituaremosdosfilasarribadeldividendoyalseleccionareneldividendoundgitomsqueelcociente(enelejemplodosdgitos)elcocienteloubicaremossolounafilaarriba.

La divisin largaLlamamosdivisin largaen yupanaa ladivisinentreundivisordemsdeundgito. Pasamosadesarrollarunejemplo:81743.

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Paso 1: Situamos en primer lugar el dividendo en la yupana (817), el divisor 43 lo podemos tenerapuntadoenunpapelorecordarlodememoria.

Paso2:Tomamossolodosdgitosdeldividendo,esdecirlamismacantidaddedgitosqueeldivisor,porellosituamoselcocientedosfilasmsarriba.Enestecasoelcocientedaa1:

Paso3:Restamoselproductodelcocienteporeldivisor,esdecir43x1.Paraello,siguiendoelmtodomultidgito,quitamos50(decenas)yaadimos07(decenas).

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Paso4:Clculomental.Dividimos loque restaeneldividendo,esdecir38743.Enestepuntoesimportantefijarnosqueparahacerloenyupana,sibiensepuedehacerporunadiversidaddemtodoselmejor es el que incluyeel clculomental, yaquedenohacerlo as, almenosenmi experienciadebodecirquelaposibilidaddeerroralmanipularlassemillasesmuygrande.Enrealidadsiempreesnecesariaciertahabilidaddeclculomentalparaestetipodedivisin.Paracalcularmentalmenteunproductocomo43x9empezamosdeldgitomayoresdecirmentalmentecalcularemos:

9x4= 369x3= 27Total 387

La imagenmental de la yupana nos ayudar arealizaresteclculo:

Paso5.Colocamoselcociente9solounafilaarribadeldividendoyaqueestamosseleccionandotresdgitosdeesedividendo,esdecirunomsqueeldivisorquesolotienedos:

Paso6:Restamoselproductoobtenidomentalmentede43x9,esdecir387y leemosel resultadobajndolomentalmentetres filas,esdecir:19

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Explicacin de la ubicacin del cociente y su lectura tres filas ms abajo

La ubicacin del cociente sigue las mismas reglas ya vistas en el caso de la divisin simple: siseleccionamoseneldividendolamismacantidaddelosdgitosdeldivisorsituaremoselcocientedosfilasarriba.Enelejemploanterioreldivisortienendosdgitos(43),portantocuandoseleccionamossolodosdgitosdeldividendosituamoselcocientedosfilasarribaycuandoseleccionamostresdgitosdeldividendo solo lo situamosunafilamsarriba.Porotro lado,aldividir81entre43estamosenrealidaddividiendo81decenasentre43,elcociente1correspondeadecenasperoloubicamosdosfilasmsarriba,esdecirloestamosenrealidadsubiendotresfilas.Deigualmaneraaldividir387entre43elcociente9loubicamosunafilamsarribadeldividendoperolecorresponderaestarenunidades,esdecirtresfilasmsabajo.Paratodaslasdivisionesengeneralsesubeelcocientesiempreundgitomsdelosquetieneeldivisor.Enelejemploeldivisortienedosdgitos,portantoelcocienteestarsituadotresfilasmsarriba.Cuandoeldivisortengatresdgitoselcocientelosituaremosunafilamsarribasiseleccionamos4dgitosdeldividendo,obiendosfilasmsarribasiseleccionamostambintresdgitosdeldividendo;esdecirelcocienteenestecasoestarsituado4filasmsarriba,loquetendremosquetenermuyencuentaalleerelresultado.

EjemploC:313,866846

Paso1.Ubicamoseldividendoen la yupana.Puestoquenohabra lugar suficientedeotramaneraconsideraremoscomounidadeslafilamsalaizquierda:

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Paso2.Seleccionamos3138quealdividirentre846dara3decociente(clculomental)queponemosunafilaporencimadeldividendo,yaque3138tieneundgitomsqueelcociente.

Paso3.Calculamosmentalmenteelproductode3x846=2538,querestamosdeldividendo.Nosqueda60066eneldividendo:

Paso4.Seleccionamos6006deldividendocalculandomentalementequealdividirentre846debedara7,quecolocamosunafilaarribadelmismodividendo:

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Paso5.Multiplicamosmentalmente7x846=5922,querestamosdeldividendo,demaneraquenosqueda846:

Paso6.Dividimos loquenosquedadeldividendo,846,entre846dara1,quecolocamosdos filas arribapuestoquesonlamismacantidaddedgitosqueeldivisor:

Paso7:Restamoselproductode846x1=846yleemoselresultadodeladivisinbajndolocuatrofilaspuestoqueeldivisortienetresdgitos,esdecir371yaquelafiladelextremoderecholahemosconsideradocomounidades:

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Raz cuadrada en la yupana

Elmtodoalgebraicousadoenloscolegiossehaadaptadoalusodelbacochinoyjapons.Hemostomadodeahlametodologayhemoscomprobadoqueesposibleadaptarloalayupana.Explicamoslospasos,queestnadaptadosdelospublicadosenTejn2007:50:

1.Elradicandoseanotaenlapartederechadelayupanadejandoaladerechadosfilasvacasparasacarundecimal(senecesitaunayupanademsde9filasparasacarmsdecimales,aunquetambinesposibleusarcualquierespacioparacolocarlassemillasfueradenuestrayupana).Seseparamentalmenteelradicandoengruposdedosdgitoscomenzandoporelpuntodecimaldederechaaizquierda.

2.Seanotaenlaparteizquierdadelayupanaelnmeromsaltoposiblequecumplaconlacondicindeque su cuadrado sea igual omenorqueel grupodedos cifras del radicandoqueestms a laizquierda,oalquellamamosgrupoactivo.Alnmeroanotadoselellamanmerodoble.Serestadelgrupoactivodelradicandoelcuadradodelnmerodoble.Seguidamenteduplicamoselnmerodoble.

3.Elresiduodelprimergrupoactivodelradicandoseguidodelsiguientegrupodedoscifrasformanelnuevogrupoactivo.Enlafilainmediatamentealaderechadelnmerodobleseanotaunnmerodemaneraqueelnuevonmerodobleasformadomultiplicadoporelnmerodeunacifrarecinanotado(laltimacifradelnuevonmerodoble)seaelmayorposiblequesepuedarestardelgrupoactivodelradicando.Sehacelamultiplicacinylaresta.

4.Seduplicalaltimacifradelnmerodoble(eselpasomsdifcilderecordar,untrucoquemeharesultadotilesquesinosquedaunnmeroimparenelnmerodobleesquenohemoshecholaduplicacin).

5.Sesiguenaplicandolospuntos3y4hastahaberusadotodoslosgruposnecesariosdedoscifrasdelradicando.

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6. Finalmente la raz cuadrada seobtiene calculando lamitaddel nmerodoble. Esun clculoquepuedehacersementalmente.Laparteenteradelresultadoestformadaportantascifrascomogruposdedoscifrastenaelradicandoala izquierdadesucomadecimal,elrestodecifrasformanlapartedecimaldelresultado..

Ejemplo:7569 = 87Paso1:Seanotaenlayupana7569dejandolibreasuizquierdadosfilasparacalcularundecimalsiresultanecesario.Separamosmentalmenteelnmeroanotadoengruposdedoscifrascomenzandodesdeelpuntodecimalsegnelpunto1:75-69-00.Haydosgruposalaizquierdadelacomadecimalporloqueelresultadodelarazcuadradaserunnmerocondoscifrasensuparteentera(unidadesydecenas)ylasdemscifrassilashubieraserndecimales:

Paso2:Elgrupoactivodelradicandoes75.Elnmero8eselmayorcuyocuadradoesmenoroigualal grupoactivo. Segn indicaelpuntodos seanota8en lafilahacia la izquierda (eneste caso lapenltimafilahacialaizquierda)yserestaelcuadrado(64)delgrupoactivo(75);inmediatamenteseduplicael8quehemosanotadoalaizquierdaquedando16(ojoconestapartemuyimportante):

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Paso3:Segnelpunto3elnuevogrupoactivoes1169.Ahorabuscaremosunnmeroqueseanotainmediatamenteabajodelnmerodoble(16)elcualmultiplicadoporesemismonmeropermitaobtenerlamximacantidadquesepuedarestardelgrupoactivo.Sianotaramos8elnmerosera168quemultiplicadopor8da1344,elcualesdemasiadograndeparaserrestadode1169,portantoanotaremos7.Entoncestendremosque167x7da1169,loquehacequeserestetotalmenteelgrupoactivo,porlocualestarazcuadradaesexacta:

Paso4:Ahorafaltadoblarelsietequehemosanotadoenelnmerodobleydividiresenmerodobleentredosparatenerelresultado:

Podemosdividirmentalmente174entre2,loquenosdar87,queeslarazcuadradade7569.Tambinesposiblehacer ladivisinenyupanade174entre2 siguiendoelmtododescritopara ladivisinsimple.

Manual Yupana por A. Chirinos

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