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Manual de Precálculo
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*, El on%"nto &e los nmeros enteros se &enotan on la letra Z # $ son to&o los nmeros
enteros pos!t!os $ ne)at!os !nl"!&o el ero+ (,,3,2,1,0,1,2,3,,)
, El on%"nto &e los nmeros ra!onales se &enota on la letra Q son a-"ellos nmeros
-"e se p"e&en e4presar en la (ormaa
b &on&ea ,bR # $ b0 .
Los nmeros ra!onales p"e&en representarse en (orma (!n!ta o no (!n!ta $ repet!t!a
5per!6&!a, por e%emplo+5
4=1.2,
1
3=0.333 3 .
Observacin: To&o nmero entero es ra!onal# por e%emplo+
5
1
=5,9
1
=9, etc.
&, Los nmeros !rra!onales se &enotan on la letra H (RQ) # son a-"ellos nmeros -"e
t!enen representa!6n &e!mal no repet!t!a 5no per!6&!a,# por e%emplo+
2,3 ,5 , , e , e t c .
e, E4!sten otro t!po &e nmeros -"e se onoen omo Nmeros Comple%os $ se &enota on la
letra C # se ompone &e "na parte real a $ "na parte !ma)!nar!a bi, &on&e i=1 . La
(orma &e "n nmero omple%o es :a+ib # &on&e a , bR $ i=1 . Por e%emplo+
58i ,3
4i2 ,
65
+7
3i # entre otros.
O*sera!6n+ To&o nmero real es "n nmero omple%o on parte !ma)!nar!a ero# por
e%emplo+ 5+0 i=5,
2+0 i=
2.
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Tipos de nmeros
Figura 1.Es-"ema &el on%"nto &e nmeros "t!l!7a&os en 'l)e*ra.
Ejercicios.
Intruccione& Esr!*e a -"8 on%"nto 5s, pertenee a&a "no &e los s!)"!entes
nmeros.Nmero Respuesta
2 e
3
2+
2
2
1. 275
38
8
-
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16
33
4
12
ropiedades de los nmeros nega!ivos
Pro'iedad E#e%'lo
(a )=a (4 )=4
(a ) b=(ab )=a(b) (5)(2)=10
(a)(b)=ab (3)(2)=(3)(2)=6
(1)a=a (1)8=8
ropiedades de los nmeros reales
Pro'iedade (a#o la u%a.
La a&!!6n es onm"tat!a+ a+b=b+a
La a&!!6n es aso!at!a+ (a+b)+ c=a+(b+c)
9 es la !&ent!&a& a&!t!a+ a+0=a
a es el !nerso a&!t!o ne)at!o &e a+ a+(a)=0
Pro'iedade (a#o la %ulti'licaci)n
La m"lt!pl!a!6n es onm"tat!a+ ab=ba
La m"lt!pl!a!6n es aso!at!a+ 5 abc=a(bc)
/ es la !&ent!&a& m"lt!pl!at!a+ (a)(1)=a
S! a 0,1
a es el !nerso m"lt!pl!at!o o re:proo &e a.a( 1a )=1
La m"lt!pl!a!6n es &!str!*"t!a so*re la a&!!6n+ a (b+c )=ab+ac , (a+b ) c
ac+bc
Pro'iedade de lo cociente E#e%'lo
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a
b=
c
dsiad=bc
2
5=
6
15porque215=56=30
ad
dc=
a
c
ab
=ab
=ab
25
=25
=25
4;/9
-
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*once'to de Dei+ualdadEs el en"n!a&o -"e e4presa -"e &os ant!&a&es o e4pres!ones no son !)"ales. Al resoler
"na &es!)"al&a& se o*t!ene "n on%"nto &e alores -"e sat!s(aen la &es!)"al&a &!@o
on%"nto se e4presa omo &es!)"al&a& o omo !nteralo. Ense)"!&a se m"estra la
&e(!n!!6n &e !nteralo $ los t!pos &e !nteralos.Intervalo&Es "na por!6n &e reta on !ertas arater:st!as# se &eterm!nan so*re la reta
real# los !nteralos p"e&en ser a*!ertos# erra&os $ sem!a*!ertos.Intervalo cerrado&Es "n se)mento A en el -"e se !nl"$en los e4tremos $ se representan
omo Ba# *# ompren&e los nmeros reales &entro &e &!@o !nteralo# es &e!r#
[ a , b ]= {! /a " !" b} .
Interalo a*!erto+ Un !nteralo a*!erto &e e4tremos a#* se &enota omo
(a , b )={! /a
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2+(3 )
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E0'onenteSe sa*e -"e+
54=5 5 5 5=625
(1
2
)
5
=
(1
2
)
(1
2
)
(1
2
)
(1
2
)
(1
2
)=
1
32
(3)3=(3 ) (3 ) (3 )=27
(13)4
=(13) (13) (
13)(
13)=
1
81
De1inici)n E#e%'lo , E#e%'lo ,
a0=1 ( 23 )
0
=1 (2!3$)0=1
an=
1
an
(8)2= 1
(8)2=
1
64 ( 37 )3
= 1
( 37 )3=
1
33
73
=7
3
33=
3
2
Le2e de lo e0'onente
Le2 de lo e0'onente E#e%'lo
a%
an=a%+n y5y 9y2=y5 +9+2=y16
(a%)n=a%n ($4)3=$4 3=$12
(ab)n=an bn (3 &)3=33&3=27 &3
( ab )n
=a
n
bn ( 34 )
4
=34
44= 81
256
a%
an
=a%n !
8
!3=!83=!5
!8
!11=!811
=!3
=
1
!3
Ejercicios resueltos:
Intruccione&S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones.E#e%'lo ,&
-
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(3 r2t)4
Soluci)n&
(3 r2t)4=(3)4(r2)4 (t)4=81 r8 t4
E#e%'lo -&
( 2r3)3
( br 3 )3
Soluci)n&
( 2r3)3
( br 3 )2
=( (2r )3
33 )( b
3
(r3)3 )=23r
3
33
b3
(r3)3=
8 r3
27
b3
r9
=8 r
3b
3
27 r9=
8 r39
b3
27 =
8 r6
b3
27 =
8 b3
27 r6
E#e%'lo &
(3u2 v3 &4)2
(2uv2 &2)4
Soluci)n&
(3 u2 v3 &4)2
(2uv2 &2)4=
32 (u2)
2(v3)2(&4)2
24u
4(v2)4(&2)4 =
9u4v
6&
8
16 u4v
8&
8=
9 u4 4
v6(8 )
&88
16 =
9 v14
&16
16 =
9 v14
16 &16
E#e%'lo /&
(3!3y4 )(4!y5)2
Soluci)n&
(3!3y4 )(4!y5)2=(3!3y 4 ) (42!2 y10 )=(3 16!3+2 y410 )=48!5y6=48!5
y
6
Ejercicios
Intruccione& S!mpl!(!a la e4pres!6n# e4prese s!n e4ponente ne)at!os./.
2b5(b3)4
(2b2)3
0.
(3!2 )4(3!2)5
(3!6
)7
1.
(a3b
2
c4 )
3
(c2
a6b )
5
2.
-
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(32! y
2
$3 )
2
( 13!2 )0
>.
(u
2
v
3
)
3
.8!
3y
5
4!1
y2
.
(2! y1
!2 )
1
8.
(3u2 v3 &4)2
(2u v2 &2)4
9.
( 2rb)2
(br3 )3
10.
24! y6$3
6!2y1
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Radicale
De(!n!!6n+ Sea n>1 # &on&e nes "n entero# $ sea a"n nmero real# entones+
a, S! a=0 F entonesna=0
*, S! a>0 F entonesna es el nmero real bpos!t!o tal -"e b
n=a
, S! a
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%
na=
%na
364=
2 364=
626=2
Ejercicios resueltos
S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones
E#e%'lo ,&3320
Soluci)n&3320=
364 5=
364
35=4
35
E#e%'lo -&316!3y8$4
Soluci)n&316!3y8$4=324!3y8$4 al apl!ar la le$ a
na
%=a%+n &e los e4ponentes se o*t!ene+
3232!3y3y3y2$3$ al apl!ar la le$
nab=
na
nb &e los ra&!ales se o*t!ene+
323 32 3!33y33y33y23$3 3$
Al apl!ar la prop!e&a&nan=a se o*t!ene+
232 ! y y
3y2 $ 3$ # al s!mpl!(!ar $ reaomo&ar los t8rm!nos se o*t!ene+
2! y2$
32y2$
E#e%'lo &3a2b36a5b
Soluci)n&
3 a2b36 a5b=3 6 a2 +5b3+1=18 a7 b4=9 2 a2 a2 a2 a b2 b2=9 2 a2 a2a2 a b2
3 2 a a a ab b=3a3 b22 a
Definicin de exponentes racionales:Sea%
n "n nmero ra!onal &on&e n es "n entero
pos!t!o ma$or -"e /# S! a es "n nmero real tal -"ena e4!ste# entones+
a1
n =na
a%
n =na%=(na)
%
-
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a%
n =(a1
n )%
=(a% )1
n
E#e%'lo& Reesr!*e las s!)"!entes e4pres!ones on e4ponentes ra!onales.4
!3
!3
4
3!+y (!+y1
2 )1
3
4 3!2
4!+scribe )as siuientes e!presiones cone!
4(8y ) 8y
Para al)"nos asos# es neesar!o ra!onal!7ar el &enom!na&or o el n"mera&or se)n sea
onen!ente# ra!onal!7ar s!)n!(!a -"!tar la ra:7 n;8s!ma &el &enom!na&or o n"mera&or
se)n sea el aso# esto se lo)ra al m"lt!pl!ar la e4pres!6n por "n / en la (orma -"e se t!l#
es &e!r# s! se -"!ere ra!onal!7ar el nmero10
5 entones se &e*e m"lt!pl!ar la
e4pres!6n por 5
5 F
10
55
5=
10552
=105
5 =25
O*sera!6n+ en este e%emplo se ra!onal!76 el &enom!na&or.Ejercicios resueltos
Ra!onal!7a el &enom!na&or en a&a "na &e las s!)"!entes e4pres!ones.E#e%'lo ,
3
ab2
Soluci)n&
-
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3
ab2=
3
ab2=
3
ab2=
3
ba omo la e4pres!6n $a est' s!mpl!(!a&a# $ se o*t"o "na
ra:7 en e &enom!na&or por lo -"e &e*e ra!onal!7arse la e4pres!6n omo se m"estra
ense)"!&a+3ba
a
a=
3a
ba2=
3 a
ba
E#e%'lo -&
4
16!
2y
2$
5
!3y $
2 =
4
16y $
3
! =
416y $34!
Al ra!onal!7ar el &enom!na&or se o*t!ene+416y $3
4!
4!34
!3
, &e esta (orma el res"lta&o &e la m"lt!pl!a!6n es+
416y $3!34!4
=416y $3!3
!
E#e%'lo &55
5a2b3c
Soluci)n&55
5
a2b3c omo no se p"e&e s!mpl!(!ar# &!retamente se proe&e a ra!onal!7ar el
&enom!na&or omo se m"estra ense)"!&a+55
5a2b3c
5a3b2c45a3b2c4
=55 a3 b2 c4
5a5b5c5=
55 a3b2c4abc
E#e%'lo /&!
5!2y3
Soluci)n&
!5!2y3
5
!3y25!3y2
=!
5
!3y25!5y5
=!
5
!3y2!y
Ejercicios
Intruccione& S!mpl!(!-"e la e4pres!6n $ ra!onal!e el &enom!na&or s! es pos!*le.
/. 27!11
y9$
7
-
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0.4!5 y8$11
1. !
2y
3
$4&
5
2.3
$5 y11
!9
&6
>.5
!
5y
11
$2
.4
v
4&
7
%13
n10
.
3
a10
b6
a4 b8
.
44!y
42! y24!2$3
-
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3'eracione con 'olino%io
Un pol!nom!o &e )ra&o n en la ar!a*lex t!ene la (orma *scriba aqu+ )a ecuacin. +
n(! )=-=0
na-!
-=a0!0+a1!
1+a2!2+a3!
3+a4!4++an!
n
a0+a0!+a2!2+a3!
3+a4!4++an!
n
&on&e a$' son onstantes.
E#e%'lo
6!2+3!1 ' Pol!nom!o &e )ra&o 0
!3+ 8=1 ' Pol!nom!o &e )ra&o 1
(uma de polinomios
La s"ma $ resta &e pol!nom!os es m"$ sen!lla# p"es se s"man o restan los t8rm!nosseme%antes.
Ejercicios resueltos
Intruccione&E(ete las s!)"!entes opera!ones.
E#e%'lo ,&
!(32!2+7!)+(!
4+6!35!+1)
Se s"man los t8rm!nos seme%antes# es &e!r# !4+(!3+6!3 )2!2+(7!5! )+1
!4+7!32!2+2!+1
E#e%'lo -&
(6!82!2+3!2 )(3!23!5+!8+6 )
(6!8!8 )+(2!23!2 )+3!(3!5 )+(26)
7!85!2+3!+3!58
-
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Mul!iplicacin de polinomios
Para m"lt!pl!ar "t!l!7amos la le$ &e los s!)nos# se m"lt!pl!an ar!tm8t!amente losoe(!!entes $ se s"man los e4ponentes s!empre $ "an&o ten)an la m!sma *ase.
*ao ,& Mono%io 'or %ono%io.
Intruccione& e(ete las s!)"!entes opera!ones.
Ejercicios resueltos
E#e%'lo ,&
(13 !4) (6!5 )=2!9
E#e%'lo -&
(2! y 2 )(6!3y )=12!4y3
E#e%'lo &
( 25!5$ y 3)(3
4!
2$
2y
4)= 620!7$3y7= 3
10!
7$
3y
7
*ao -& Mono%io 'or 'olino%io
E#e%'lo ,&
(7!8+ 12!63!2)( 6!5 )
Soluci)n& Se m"lt!pl!a a&a "no &e los t8rm!nos &e la pr!mera e4pres!6n por a&a t8rm!no&el se)"n&o.
Es &e!r+ (7!8
)(6!5
)
-
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(3!2+5!+1)( 12!37!)
Soluci)n& Se m"lt!pl!a a&a t8rm!no &el pr!mer t8rm!no por a&a t8rm!no &el se)"n&o+ es
&e!r+
(3!2 ) (12!3)+(3!2)(7! )+ (5! )( 12!3)+(5! ) (7! )+ (1 )( 12!3)+(1 )(7! )
3
2!
521!3+5
2!
435!2+1
2!
37!
Ense)"!&a se s"man los t8rm!nos seme%antes+
32
!5+(21!3+ 1
2!3
)+52
!435!27!
3
2!
541
2 !
3+5
2!
435!27!
)ivisin
Para &!!&!r se apl!an las le$es &e los s!)nos# se &!!&en ar!tm8t!amente los oe(!!entes $
s! se t!enen las m!smas *ases# los oe(!!entes se restan.*ao ,. Mono%io entre %ono%io.
E#e%'lo ,
3
2!
7
2
5!5
Soluci)n&
3
2!
7
2
5!5
=(3 )(5)!75
(2 )(2) =
15!2
4
-
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20/85
*ao -& Polino%io entre %ono%io
E#e%'lo,
3!2+6!12+8!4
2!
5
Soluci)n& Separamos los o!entes para o*tener monom!os entre monom!os $ se apl!a laopera!6n omo en el aso /.
3!2+6!12+8!4
2!5
=3!
2
2!5+6!
2!5 12
2!5+
8!4
2!5
3!
3
2 +3!46!5+4!1
Al reesr!*!r el res"lta&o on e4ponentes pos!t!os se t!ene+
3
2!3+3
!46
!5+
4
!
*ao & Polino%io entre 'olino%io
Para e(et"ar la &!!s!6n &e pol!nom!o entre pol!nom!o# se "t!l!7a la &!!s!6n Hlar)a# se!l"stra "n e%emplo ense)"!&a+
E#e%'lo ,
3!2+!24!+3
Soluci)n& Para este aso no es neesar!o# pero antes &e omen7ar se &e*e or&enar tanto eln"mera&or omo el &enom!na&or# &e tal# manera -"e en el pr!mer t8rm!no se ten)a ale4ponente m's )ran&e $ el "lt!mo t8rm!no sea el e4ponente menor.
Ense)"!&a se aomo&a la e4pres!6n omo se !l"stra en se)"!&a+
!+ 3| 3!2+!24
!+ 3| 3!2+!24
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
21/85
Se toma el t8rm!no on el e4ponente m's )ran&e &el &!!&en&o $ el m's )ran&e &el &!!sor
$ se apl!a la opera!6n monom!o por monom!o# es &e!rF3!
2
! =3! $ se esr!*e en el
o!ente+
3!
!+3| 3!2+!24
L"e)o se m"lt!pl!a 14 por a&a t8rm!no &el &!!sor $ se esr!*e el res"lta&o on el s!)noontrar!o &e*a%o &el t8rm!no -"e le orrespon&e+
3!
!+ 3| 3!2+!24
3!
2
9!
J se s"man lo t8rm!nos+
3!
!+ 3| 3!2+!243!29!
08!
J se *a%a el s!)"!ente t8rm!no+
3!
!+ 3| 3!2+!243!29!
08!24
L"e)o se "ele a &!!&!e el t8rm!no on el ma$or e4ponente res"ltante entre el t8rm!no
on ma$or e4ponente &el &!!sor# es &e!r+8!
! =8 # $ se esr!*e el res"lta&o en el
o!ente+
3!8!
!+ 3| 3!2+!243!29!
08!24
-
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22/85
L"e)o# se m"lt!pl!a el ; por a&a t8rm!no &el &!!sor $ se esr!*e el res"lta&o on s!)noontrar!o+
3!8
!+ 3| 3!2+!243!29!
08!24+8!+24
J n"eamente se s"man los t8rm!nos seme%antes.
3!8
!+3| 3!2+!243!29!
08!24+8!+24
0
Se term!na la &!!s!6n "an&o el e4ponente &e la e4pres!6n res"ltante sea menos -"e ele4ponente m's )ran&e &el &!!sor.
Por lo tanto el o!ente q(!)=3!8 $ el res!&"o r (! )=0
Ejercicios resueltos
Intruccione& E(ete las s!)"!entes opera!ones
/. (!2+3! 12 )+(2!41
3!
2+3
7 )0. (!
2y+! y2+6!7y )(3!+8y!2y+! y 2)
1. 2!y (3!2!y+y )
2. (!+y )(!3!2 y+! y2y3)
>. (c2 d ) (c+2d 1 )
.108
4n
2144 3 n3180 2 n4
36 n
.2!
4+!3+6!2+7!8!
2+4
-
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23/85
.!
2+!10!2
K.!
34!2+ 7!32!1
-
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Producto nota(leC!ertos pro&"tos &e *!nom!os se presentan on tanta (re"en!a -"e es t!l apren&er a
reonoerlos para s!mpl!(!ar &e manera ('!l !ertas e4pres!ones al)e*ra!as. Ense)"!&a se
m"estran los pro&"tos nota*les.
*inomio al cuadrado(a+b )2=(a+b ) (a+b )=a2+2ab+b2
Ejercicios resueltos
Intruccione& Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os.E#e%'lo ,&
(6!4!2y)2
Soluci)n& Al omparar el *!nom!o )eneral (a+b )2
on el *!nom!o (6!4!2
y)2 # se
o*sera -"e+ a=6! $ b=4!2
y # al s"st!t"!r en la (6rm"la se o*t!ene -"e+
(6!4!2 y)2=(6!)2+2 (6! )(4!2y )+(4!2y )2=36!2+48!3y+16!4 y2
E#e%'lo -&
(2 r23s2)2
Soluci)n& En este aso se t!ene -"e a=2r2
$ b=3 s2
# por lo -"e se o*t!ene+
(2 r23s2)2=(2 r2)2+2 (2 r2 )(3 s2 )+(3 s2)2=4 r412r2 s2+9 s4
E#e%'lo &
(3! y14
1
6!
2)2
Soluci)n& A-": a=3! y1
4 $ b=1
6 !
2
# al s"st!t"!r am*os e4pres!ones en la (6rm"la
se o*t!ene+
(3! y1
41
6!
2)2
=(3! y1
4 )2
+2(3! y1
4 )(16 !2)+(16
!2)
2
=9!2y1 /2!3 y1 /4+ 1
36!
4
EjerciciosIntruccione& Desarrolle los s!)"!entes *!nom!os.
/. (9 a4+ 6 b12 )
2
0. ( 14r+3 s )2
-
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1. (3a1/6+5b)2
2. (3!y $28!2$ )2
>. (2 a2b2 a2 b5 /2 )
2
O*ten)a la (6rm"la para &esarrollar "n
tr!nom!o al "a&ra&o+ (a+b +c )2
O*ten)a la (6rm"la para &esarrollar "n
pol!nom!o al "a&ra&o en la (orma+(a+b+c+d )2
*inomio con'ugado(a+b ) ( ab )=(ab) (a+b )=a2b2
Ejercicios resueltos
Intruccione&Desarrolle los s!)"!entes *!nom!os on%")a&os.E#e%'lo ,&
(7!6y3 ) (7!+ 6y3 )
Soluci)n& al omparar la (orma )eneral &e &el *!nom!o on%")a&o on la e4pres!6n
(7!6y3 ) (7!+6y3 ) # tenemos -"e a=7! $ b=6y
3
# al apl!ar la (6rm"la se
t!ene la s!)"!ente e4pres!6n+(7!6y3 ) (7!+6y3 )=(7!)2 (6y3 )2=49!236y6
E#e%'lo -&
(2!2+ 4y3 )(2!2+4y 3)
Soluci)n&En este aso# a=4y3
$ b=2!2
# al &esarrollar el *!nom!o on%")a&o se
t!ene+
(2!2+4y3 ) (2!2+4y 3 )=(4 y3 )2(2!2)
2=16y 64!4
E#e%'lo &
(6 ab3c1
32 ab)(2 ab+6ab3 c1
3 )
Soluci)n&A-":# a=6a b3
c1
3 $ b=2ab # al &esarrollar el *!nom!o on%")a&o se
t!ene+
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(6 ab3c1
32 ab)(2 ab+6ab3 c1
3 )=(6 ab 3 c1
3 )2
(2 ab )2=6 a2 b6 c2 /32 a2 b2
Ejercicios
Intruccione+ Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os on%")a&o.
/. (6!23y
1
6
)(6!2+ 3y
1
6
)0.
(5! y 1/ 2+4!2y3 ) (5! y1 /24!2y3 )
1. (4 ab2+3! ) ( 4 ab2+3! )
2. (8p3+5p2q ) (8p35p2 q )
>.
(10!33! y3 ) (10!33! y 3 )
*inomio al cubo(a+b )3=a3+3 a2b+3 a b2+b3
Ejercicios resueltos
E#e%'lo ,&
(2!+3y )3
Soluci)n&
Al omparar la (6rm"la on la e4pres!6n &el e%emplo /# se t!ene -"e a=2! $ b=3y #
&e a-": -"e+(2!+3y )3=(2!)3+3 (2!)2 (3y )+3 (2! ) (3y )2+(3y )3=8!3+ 36!2y+54! y2+27y3
E#e%'lo -&
(6 r2 s t2 )3
Soluci)n& Se t!ene -"e a=6 r $ b=2 s t2
# &e a-": -"e+
(6 r2 s t2 )3=(6r )3+3 (6 r )2 (2 s t2 )+3 (6 r )(2 s t2 )2+(2 s t2 )3=216 r3216 r2 s t272 r s2 t4
E#e%'lo &(3 q+2p )3
Soluci)n& En este e%emplo# a=3q $ b=2p # &e a-": -"e+
(3 q+2p )3=(3q )3+3 (3q )2 (2p )+3 (3q ) (2p )2+(2p )3=27 q3+54q2p36q p2+8p3
Ejercicios
-
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Intruccione&Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os al "*o.
/. (2 c2d c d2 )
3
0. (5y1/2
$+3y2$2 )3
1. (2!y3!2
y1 / 4
)3
2. (7 s8 r )3
>. (6!2y+2$2)3
*inomio con !+rmino comn(!+a ) (!+b )=!2+ (a+b )!+ab
Ejercicios resueltos
Intruccione&Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os on t8rm!no omn.(!+a ) (!+b )=!2+ (a+b )!+ab
Ejercicios resueltos
Intruccione& Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os.E#e%'lo ,&
(r2 )(r+ 8)
Soluci)n+ Al omparar la (orma )eneral &el *!nom!o on t8rm!no omn on el pro&"to &e
*!nom!o &a&o# se t!ene -"e+ !=r ,a=2,b=8 # al s"st!t"!r los alores en la (orma
)eneral &el *!nom!o# se t!ene+(r2 ) (r+8 )=r2+( (2 )+8) r+(2 ) (8 )=r2+6 r16
E#e%'lo -&
(4+/ ) (8+/ )
Soluci)n&
Al omparar la (orma )eneral &el *!nom!o on t8rm!no omn on el e%emplo /# se t!ene
-"e !=/ ,a=4,b=8 # al s"st!t"!r &!@os alores en la (6rm"la )eneral se o*t!ene -"e+
(4+/ ) (8+/ )=/2+((4 )+(8 ))/+(4 ) (8 )=/212 /+32
E#e%'lo &
(2!3y )(2!+4y)
-
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Soluci)n& De la m!sma (orma -"e el e%emplo / $ 0# se ompara la (orma )eneral &el
*!nom!o on la e4pres!6n &a&a# &e esta manera# se t!ene -"e+ !=2! , a=3y , b=4y #
Al s"st!t"!r &!@os alores en la (6rm"la )eneral# se o*t!ene+(2!3y ) (2!+4y )=(2!)2+ ( (3y )+(4y ))2!+ (3y ) (4y )=4!2+2!y12y2
Ejercicios
Intruccione+ Desarrolle los s!)"!entes pro&"tos &e *!nom!os.
/. (y3 )(8+y )
0. (5+c )(c+6)
1. (3$& )(&+4$)
2. (q2 )(q+ 4)
>. (6!2 )(6!8)
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4actori!aci)nEn el tema anter!or# se m"lt!pl!aron e4pres!ones al)e*ra!as# a@ora se !n!erte el
proe&!m!ento# es &e!r# se esr!*!r' "na e4pres!6n omo pro&"to &e otras e4pres!ones#
este proeso se llama (ator!7a!6n $ a&a e4pres!6n en el pro&"to se llama (ator &e la
e4pres!6n or!)!nal# por e%emplo# 3!2+6!=3! (!+2 ) , en la -"e 3! $ !+2 son
(atores &e 3!2+6! .
E4!sten al)"nas t8n!as para (ator!7ar "na e4pres!6n# las "ales se m"estran ense)"!&a+
Fac!or comn.El (ator omn p"e&e ser "n s!)no# "n oe(!!ente# "na o m's ar!a*les# "n pol!nom!o$ la
om*!na!6n &e las m!smas.Ejercicios resueltos:
E#e%'lo ,&8+2!=2(4+! )
E#e%'lo -&
!+!y!$=! (1+y$ )
E#e%'lo &
11!4y
1422!2y7+33!7y9=11!2y7(!2y72+3!5y2)
E#e%'lo /&
12! (y+4 )6!2 (y+4 )18!3 (y+4 )=6! (y+4 )[2+!+3!2]
)ierencia de cuadradosa2b2=(a+b )(ab)
Ejercicios resueltos
E#e%'lo ,&
4!2=(2!)(2+! )
E#e%'lo -&
!2y1/4=(!+y
1
8 )(!y1
8 )
E#e%'lo &!
4ny8=(!2n+y 4 ) (!2ny4 ) # o*sere -"e el t8rm!no (!2 ny4 ) es "na &!(eren!a &e
"a&ra&os# as: -"e (!2 ny4 )=(!n+y2 )(!ny2) # &e esta (orma+
!4ny8=(!2n+y 4 ) (!n+y2) (!ny2)
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Trinomio cuadrado perec!oSon tres t8rm!nos# &e los "ales &os &e ellos t!enen ra:7 "a&ra&a e4ata $ el terer t8rm!no
es el &o*le pro&"to &el esas ra:es# es &e!r# a2+2ab+b2=(a+b)2
Ejercicios resueltosE#e%'lo ,&
16 a256 ab2+49 b4=(4 a7 b2)2
E#e%'lo -&
64y8+81!12144!6 y4=(8y 49!6)2
E#e%'lo &
!22! (y+2 )+(y +2)2=(!(y+2))2=(!y2)2
-grupacin
En al)"nos asos# e4!sten m's &e tres t8rm!nos -"e no orrespon&en a "n *!nom!o al "*o#s!n em*ar)o# es pos!*le a)r"par t8rm!nos -"e p"e&en ser (ator!7a&os por t8n!as
&!(erentes.Ejercicios resueltos
E#e%'lo ,&!y+5!+2y+10
Soluci)n&
Se o*sera -"e no t!enen t8rm!no omn n! es "n *!nom!o al "*o# pero se p"e&en a)r"par
el pr!mer $ se)"n&o t8rm!no $ (ator!7ar la ! $ a)r"par el terer $ "arto t8rm!no $
(ator!7ar el 2 # omo se m"estra en se)"!&a+
!y+5!+2y+10= (!y+5! )+(2y+10 )=! (y+5 )+2(y+5) # &e a-": se o*t!ene "n t8rm!no
omn por lo -"e la (ator!7a!6n o*ten!&a es+(y+5 )(!+2)
O*sera!6n+ En asos omo el e%emplo /# se o*t!ene lo m!smo s! se a)r"pan &e manera
&!(erente# por e%emplo# s! a)r"pamos el pr!mer $ terer t8rm!no $ (ator!7ar la y # $ al
a)r"par el se)"n&o $ "arto t8rm!no $ (ator!7ar el ># se o*t!ene+!y+5!+2y+10= (!y+2y )+(5!+10 )=y (!+2 )+5 (!+2) # &e a-": se o*t!ene el (ator
omn (!+ 2 ) # por lo -"e la (ator!7a!6n es+
-
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(!+2 )(y+5)
E#e%'lo -&4 ac+2bc2adbd
Soluci)n&
(4 ac+2bc )(2ad+bd )=2c (2a+b )d (2a+b )=(2a+b )(2cd )
E#e%'lo &
3!2+2!212!8
Soluci)n&
3!2+2!212!8=(3!3+2!2 )(12!+8 )=!2 (3!+2 )4 (3!+2 )=(3!+2 )(!24 )
Note -"e el lt!mo t8rm!no orrespon&e a "na &!(eren!a &e "a&ra&os por lo -"e la
(ator!7a!6n ompleta es+ (3!+2 )(!24)=(3!+2 ) (!2 )(!+2)
Trinomio de la orma a!2+b!+c con el m+!odo de ensayo y error.
*ao ,.
C"an&o se t!ene "n tr!nom!o &e la (orma !2+b!+c # se *"san nmeros -"e al
m"lt!pl!arlos se o*ten)a c $ al s"marlos se o*ten)a b # omo se m"estra en los
s!)"!entes e%emplos.E#e%'lo ,&
!2+11!+30
Soluci)n&Nmeros -"e al m"lt!pl!arlos se o*ten)a 19 $ al s"marlos //# son los nmeros
$ ># por lo -"e la (ator!7a!6n es+!
2+11!+30=(!+6 )(!+5)
E#e%'lo -&
!29!+14
Soluci)n&Nmeros -"e al m"lt!pl!arlos se o*ten)a /2 $ al s"marlos ;K# son los nmeros
; $ ;0# por lo -"e la (ator!7a!6n es+
!
2
9!+14= (!2 )(!7)*ao -.
Los tr!nom!os -"e t!enen la (orma a!2+b!+c # no son tan ('!l omo los e%emplos / $ 0#
eamos el s!)"!ente e%emplo.E#e%'lo &
5 b2+7 b+2
-
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Soluci)n&
5b 2
b 1
Vemos -"e los nmeros &!sp"estos ert!almente emos -"e se o*t!ene 5 b2
$ 0# a@ora
lo -"e se t!ene -"e er!(!ar es -"e la s"ma &e los nmeros &!sp"estos &e manera @or!7ontal
sea !)"al al t8rm!no (altante# en este aso 10b+b es &!(erente &e *# as: -"e se
!nteram*!an los alores omo se m"estra ense)"!&a+
5b 1
b 2
De 8sta (orma se o*t!ene >*
-
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!3+1=(!+1 )(!2!+1)
E#e%'lo -&
64 a61
Soluci)n&
Al omparar on la (6rm"la# se t!ene -"e a=4 a2y b=1 # entones+
64 a61=( 4 a21) (16 a4+4 a2+1 )
E#e%'lo &
$3+&3y12
Soluci)n&
Al omparar on la (6rm"la# se t!ene -"e a=$ y b=& y4
# entones+
$3+&3y12=($+& y4 ) ($2$& y4+&2y8 )
Ejercicios
Intruccione& ator!7a las s!)"!entes e4pres!ones al)e*ra!as.
/. 2a3
b24a3 b+6 a2q3
0. 6 r2
s515 r3 s4+18 r5
1. q29p
2. r2
s
2
25 t2
>. p2+ 4p+ 4
. a212a+ 36
. a2+10ab+25b2
. 225!230!y+y2
K. y2+y20
/9. 3$2
19$40
//. 5 241 +8
/0. 27 b33 b2 c+ 9 bc2c3
/1. 4 ab+8ac+3b+6 c
-
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/2. 3aa!6b+2b!
/>. 8b3+c3
/. 64 a627 c12
-
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Si%'li1icaci)n de 1raccione al+e(raicaLas e4pres!ones al)e*ra!as es "n o!ente &e &os e4pres!ones# -"e p"e&e !nl"!r
e4pres!ones $?o nmeros.Ejercicios resueltos
Intruccione& S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones+E#e%'lo ,.
1
2
2
5
1
2+ 3
10
Soluci)n&
Para s!mpl!(!ar la e4pres!6n se al"la el omn &enom!na&or en am*as partes+1
2
2
5
1
2 + 3
10
=
5410
5+310
=
1
10
8
10
Al m"lt!pl!ar e4tremos por e4tremos $ me&!os por me&!os# se t!ene+1
10
8
10
=1 10
8 10=
1
8
E#e%'lo -&1
!+23
4
!!
Soluci)n& En pr!mer l")ar se &eterm!na el omn &enom!na&or en en am*as partes &e la
e4pres!6n $ se proe&e a s"mar las e4pres!ones omo se m"estra ense)"!&a+1
!+23
4
!!
=
13 (!2)! +24!2
!
Se s"man los t8rm!nos seme%antes $ se m"lt!pl!an e4tremos por e4tremos $ me&!os porme&!os+
13!+6!+2
4!2
!
=
3!+7!+2
4!2
!
=
3!+7!+2
(2+! )(2!)!
= (3!+7 )(! )
(2+! ) (2! )(!+2)=
!(3!+7)
(!+2 )2(2!)
E#e%'lo &
-
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b
a
a
b
1
a
1
b
Soluci)n&Cal"lamos omn &enom!na&or en am*as partes &e la e4pres!6n $ se s!mpl!(!ala (ra!6n+
b
a
a
b
1
a
1
b
=
b2a2
ab
baab
Se m"lt!pl!an e4tremos por e4tremos $ me&!os por me&!os $ se o*t!ene+b2a2
ab
baab
=(b2a2) (ab)(ab) (ba )
Se o*sera -"eab
ab=1 $ -"e b
2a2=(ba ) (b+a ) , por lo -"e se o*t!ene -"e+
(b2a2 )(ab)(ab) (ba )
=(ba )(b+a)
ba =b+a
E#e%'lo /&
y1
!1 +
y
!
!2
y2
!2
y2
Soluci)n&pr!mero se reesr!*e la e4pres!6n s!n e4ponentes ne)at!os# l"e)o se al"la el
omn &enom!na&or en am*as e4pres!ones $ se s!mpl!(!a+!
y+
y
!
!2
y2
y2
!2
=
!2+y2
!y
!4y4
y2!
2
Al m"lt!pl!ar e4tremos por e4tremos $ me&!os por me&!os# se o*t!ene -"e+!
2+y2
!y
!4y4
y2!
2
=(!2+y2 )(y2!2)(!y )(!4y4)
Al apl!ar las le$es &e los e4ponentes para el o!ente $ (ator!7ar !4y 4 , se t!ene -"e+
-
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y
(!2+y2 )( 21!21)(!2y2 ) (!2+y2 )
= y!
(!2y2 )=
y!
(!y )(!+y)
E#e%'lo 5& Ra!onal!e el n"mera&or en la e4pres!6n+aba2b2
Soluci)n& En este aso emos -"e @a$ "na s"ma &e ra:es en el n"mera&or# para
ra!onal!7ar el n"mera&or 5o &enom!na&or se)n sea el aso,# se m"lt!pl!a por el
on%")a&o &el n"mera&or 5&enom!na&or,# es &e!r# s! te t!ene ab el on%")a&o es+
a+b # entones# para ra!onal!7ar el n"mera&or m"lt!pl!amos por el on%")a&o# tanto
al n"mera&or omo al &enom!na&or# es &e!r#aba
2b2=
a+ba+b
= ab
(a2b2 )(a+b)=
ab(a+b )(ab)(a+b)
= 1
(a+b )(a+b)
E#e%'lo 6& Esr!*a las e4pres!6n (!+y )(!1+y1) en la (orma
a
b
Soluci)n& Se reesr!*e la e4pres!6n s!n e4ponentes ne)at!os+
(!+y )(!1+y1 )=(!+y )( 1! +1
y )=(!+y )(y +!
!y)=(!+y )(y+! )
!y =
(!+y)2
!y
Ejercicios:
Intruccione& S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones# e4presa s!n e4ponentes
ne)at!os.
/.
!+2(2!3)
!24
2!23!
0.
1
!2!
1
!2+!
1.a+b
a1+b1
-
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2.
1
s+
1
t
1
s
1
t
>.
q21
q2+2q3
q4q+3
. 1+2
!
3
!+2
. !y (!2+y2)
.
9
!2y2
3!1
1
y
9.
12
b
14
b2
/9.
2
r2r12
+ r
r+3
-
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Ecuacione LinealeUna e"a!6n es "na a(!rma!6n &e -"e &os e4pres!ones son !)"ales. La ma$or:a &e los
pro*lemas p"e&en e4presarse omo e"a!ones. Ense)"!&a se m"estra la term!nolo):a para
"na e"a!6n l!neal.
7er%inolo+8a+ C"an&o se !)"alan entre s: &os e4pres!ones# $ al menos "na &e ellas ont!ene"na ar!a*le# entones la propos!!6n matem't!a es "na ecuaci)n en una varia(le. Por
e%emploF !1=2 # !21=(! +1 ) (!1 ) $ 3!2=!+2 son e"a!ones en la
ar!a*lex. Una oluci)n o ra8!&e "na e"a!6n es "al-"!er nmero -"e# s"st!t"!&o en ella#
la on!erte en "na propos!!6n er&a&era. Se &!e -"e "n nmero ati1ace una ecuaci)n
s! es "na sol"!6n &e la e"a!6n. Reolver una ecuaci)ns!)n!(!a enontrar to&as s"s
sol"!ones.
E#e%'lo ,&Compr"e*e -"e el nmero 0 es "na sol"!6n &e la e"a!6n+ 3!2=!+2
Sol"!6n+Para ompro*ar -"e el 0 es sol"!6n &e la e"a!6n &a&a# se s"st!t"$e el alor &e 0 en l")ar
&e 4# omo se m"estra ense)"!&a+3 (2 )2=(2)+2
62=2+2
4=4
Como la a(!rma!6n 2=2 es er&a&era# se onl"$e -"e 0 es sol"!6n &e3!2=!+2
E#e%'lo -& Res"ele la e"a!6n!
21!1
=!+1 #
Sol"!6n+
Se m"lt!pl!a la e"a!6n por !1 # (!21
!1=!+1)(!1)
!21=(!+1 )(!1)
!21=!21
!2!2=1+1
0=0
En este aso# se &!e -"e la e"a!6n es "na !&ent!&a es &e!r# -"e la e"a!6n se "mple
para "al-"!er nmero real ! # s!n em*ar)oF se o*sera -"e s! !=1 # se o*t!ene -"e el
-
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&enom!na&or es !)"al a ero# lo "al no est' &e(!n!&o# &e esta (orma# la sol"!6n &e la
e"a!6n son to&os los nmeros reales 4 -"e perteneen a los nmeros reales e4epto
!=1.
Observacin:Al resoler "al-"!er e"a!6n en la -"e la ar!a*le est' el &enom!na&or# se&e*e er!orarse -"e el?los alor5es, enontra&os no @a)an -"e el &enom!na&or sea !)"al a
ero# s! esto s"e&e# se &!e -"e ese nmero no es sol"!6n &e la e"a!6n &a&a.E#e%'lo &2!7=5!+6
2!5!=6+7
3!=13
Al m"lt!pl!ar la e"a!6n por1
3# se t!ene+
(3!=13 )(13)!=
113
E#e%'lo /&1
!+
1
!4=
2
!24!
Soluci)n& Se o*sera -"e el &enom!na&or &el la&o &ere@o &e la e"a!6n p"e&es!mpl!(!arse# omo se m"estra ense)"!&a+1
!+
1
!4=
2
! (!4 )
Por lo -"e el omn &enom!na&or es ! (!4 ) $ es por este -"e se m"lt!pl!a la
e"a!6n# es &e!rF
(! (!4 ))( 1!+ 1!4= 2! (!4 ) )!4+!=2
2!=2+4
2!=6
!=3
-
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Como la ar!a*le 4 est' en el &enom!na&or# se &e*e er!orarse -"e !=3 no @a)a -"e el
&enom!na&or sea !)"al a ero. Al s"st!t"!r 4=1 se o*t!ene+1
3+
1
34=
2
324 (3 )
1
31=
2
912
23=
23
Por lo tanto , !=3 es sol"!6n &e la e"a!6n &a&a.
Ejercicios
Intruccione&Res"ele las s!)"!entes e"a!ones.
/. !(2! )=3 (!+1 )+!
0. 2+1
!=3+
2
!
1.2!
!22=
42!
2.3!
!2=
6
!2+1
>. p2+ 6p1=p2p +6
.2
3 a+9
7
2 a+6=
1
3
.1
5!3=
2
10!6
. 2 (a1 )+6 (a4 )=7
K.1
2( u3 )=2u
3
2
/9. 3!+5 1!2 = 7!2+3!10
-
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Site%a de ecuacione linealeM"@os pro*lemas &e 'l)e*ra !nol"ran la sol"!6n &e e"a!ones on ar!as !n6)n!tas $
no s6lo "na e"a!6n on "na !n6)n!ta . Un on%"nto &e e"a!ones on ar!a*les
om"nes se llamasis!ema de ecuaciones# se &!e l!neal por-"e las ar!a*les -"e apareenen &!@o s!stema est'n elea&as a la pr!mera poten!a.E%emplo+
3!+ 2y=5y=2!+ 4 S!stema &e e"a!ones l!neales on 0 !n6)n!tas
!+3y2=56!+3y=10 S!stema &e e"a!ones no l!neal ar!a*le elea&a a "na poten!a
Pr!mero est"&!aremos el aso m's sen!llo -"e es "n par &e e"a!ones on &os !n6)n!tas.D!@os s!stemas a&m!ten tres t!pos &e sol"!ones los "ales son+
n!a sol"!6n In(!n!tas sol"!ones S!n sol"!6n
La representa!6n )eom8tr!a &e este t!po &e s!stemas es "na l:nea reta esto &e*!&o a -"e
"al-"!er e"a!6n &e los e%emplos anter!ores p"e&e trans(ormarse al)e*ra!amente por
e%emplo+
3!+ 2y=5y=2!+ 4 D!@as e"a!ones p"e&en trans(ormarse en
y=53!2
y=2!4L!neas
retasPor tanto es laro -"e "al-"!er s!stema &e e"a!ones &e &os !n6)n!tas representa l:neas
retas. A ont!n"a!6n se presenta la representa!6n )r'(!a &e "n s!stema &e e"a!ones
&epen&!en&o s" t!po &e sol"!6n+
Site%a con $nica
oluci)n
Site%a con in1inita
olucione
Site%a in oluci)n
-
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4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
x
y
Para resoler "n s!stema &e e"a!ones &e &os !n6)n!tas est"&!aremos los s!)"!entes
m8to&os &e sol"!6n+
M8to&o &e s"st!t"!6n
M8to&o &e !)"ala!6n M8to&o &e el!m!na!6n
(is!emas con nica solucinA ont!n"a!6n se m"estran al)"nos e%emplos -"e t!enen n!a sol"!6n# los "ales ser'n
res"eltos on los &!(erentes m8to&os &e sol"!6n.Mtodo de sustitucin
/. Despe%ar "na &e las ar!a*les. Se el!)e "na e"a!6n p"e&e ser "al-"!era $ se
&espe%a "na &e las !n6)n!tas la -"e sea m's sen!lla &e &espe%ar.0. S"st!t"!r. Se s"st!t"$e la e"a!6n &el paso "no en la otra e"a!6n# se res"ele
esta e"a!6n -"e es a@ora &e "na ar!a*le.1. S"st!t"!6n @a!a atr's. Una e7 -"e se o*t!ene el res"lta&o &e la ar!a*le &el paso
0 este res"lta&o se s"st!t"$e en la e"a!6n o*ten!&a en el paso / $ se o*t!ene el
res"lta&o &e la ar!a*le (altante.
E#e%'lo ,&
-
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Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones on el m8to&o &e s"st!t"!6n!+y=8
!3y=0
Soluci)n&
Despe%amos!
&e la pr!mera e"a!6n!=8y
S"st!t"!mos este res"lta&o en la se)"n&a e"a!6n(8y )3y=0
A@ora al tratarse &e "na e"a!6n &e "na sola !n6)n!ta se res"ele para enontrar el
alor &e la ar!a*le y
84y=0 S"mamos t8rm!nos seme%antes
8=4y 8
4=y Despe%amos $
2=y O*tenemos el alor &e la ar!a*le *"sa&a
A@ora omo $a onoemos el alor &e $ lo s"st!t"!mos en la e"a!6n -"e &espe%amos
para la ar!a*le 4!=8y
!=82
!=6
Compro*a!6n s! !=6 $ y=2 +
6+2=863 (2 )=0
Mtodo de igualacin
/. Despe%ar. Se &espe%a "na ar!a*le &e la pr!mera $ se)"n&a e"a!6n &e*e ser la
m!sma ar!a*le en am*os asos.0. I)"ala!6n. Se !)"alan estos res"lta&os $ esto on&"e a la o*ten!6n &e "na
e"a!6n &e "na sola !n6)n!ta la "al se res"ele para o*tener el res"lta&o &e "na
ar!a*le.1. S"st!t"!6n @a!a atr's. Se s"st!t"$e el res"lta&o o*ten!&o en el paso 0 en
"al-"!er e"a!6n &e las o*ten!&as en el paso /.
-
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E#e%'lo ,&
Cal"lar la sol"!6n &el s!)"!ente s!stema+2!+y=1
3!+ 4y=14
Soluci)n&Despe%amos y &e am*as e"a!ones
y=12!
y=143!
4
I)"alamos am*os res"lta&os
12!=143!
4
Resolemos &!@a e"a!6n -"e a@ora s6lo ont!ene "na !n6)n!ta4 (12! )=143! M"lt!pl!amos por 2
48!=143! M"lt!pl!amos
8!+3!=144 A)r"pamos t8rm!nos seme%antes
5!=10
!=10
5 Despe%amos!
!=2
A@ora solo s"st!t"!mos este res"lta&o en "no &e los &espe%es -"e se @!!eron para y
y=12!
y=12(2)
y=1+4
y=5
As: el res"lta&o es !=2 $ y=5
Compro*a!6n+2 (2 )+5=1
3 (2 )+4 (5 )=14
Mtodo de Eliminacin
/. I)"alar oe(!!entes. Se m"lt!pl!a "na o am*as e"a!ones por al)n nmero -"e
-
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sea onen!ente para !)"alar los oe(!!entes &e "na ar!a*le &e manera -"e
ten)an s!)nos ontrar!os.0. S"mar las e"a!ones. Se s"man las &os e"a!ones $a -"e "na ar!a*le @a &e
el!m!narse )ra!as a lo @e@o en el paso /# se &espe%a la ar!a*le -"e no se
el!m!n6 para o*tener "n res"lta&o.1. S"st!t"!6n @a!a atr's. El res"lta&o o*ten!&o en el paso 0 se "sa para o*tener el
res"lta&o &e la otra ar!a*le# el "al se s"st!t"$e en al)"na e"a!6n &e las
or!)!nales para (!nalmente o*tener la sol"!6n &el s!stema.
E#e%'lo ,&
Resoler on el "so &el m8to&o &e el!m!na!6n el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones+4!3y=109!+4y=1
Soluci)n&
Ja -"e el t8rm!no en $ t!ene s!)nos ontrar!os el!m!naremos esta ar!a*le# para @aerlo
!)"alaremos oe(!!entes eso se lo)ra m"lt!pl!an&o la pr!mera e"a!6n por 2 $ la
se)"n&a por 14!3y=109!+4y=1
(4)(3)
16!12y =4027!+12y=3
Se o*sera -"e a@ora los oe(!!entes &e y son !)"ales on s!)no ontrar!o lo -"e al
s"mar las e"a!ones arro%a omo res"lta&o16!12y =4027!+12y=3
43!=43
!=43
43
!=1
A@ora on el alor &e !=1 s"st!t"!mos en "al-"!era &e las e"a!ones or!)!nales
para o*tener el res"lta&o par y
4!3y=10
4 (1 )3y=10
-
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43y=10
3y=104
3y=6
y= 63
y=2
Por tanto la sol"!6n &el s!stema es !=1 $ y=2 .
Compro*a!6n+4 (1 )3 (2 )=109 (1 )+4 (2 )=1
Sistema con infinito nmero de soluciones
asta a@ora s6lo se @an anal!7a&o el t!po &e s!stemas &e e"a!ones -"e t!enen n!asol"!6n a ont!n"a!6n se presenta el aso &e los s!stemas -"e poseen "n nmero !n(!n!to
&e sol"!ones.E#e%'lo ,&
Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones por el m8to&o -"e se ons!&ere m's
onen!ente!+ 3y=103!+ 9y=30
Soluci)n&
Para resolerlo "t!l!7aremos el m8to&o &e el!m!na!6n $a -"e s6lo *astar' on m"lt!pl!ar
la pr!mera e"a!6n por 5;1, para !)"alar los oe(!!entes &e !
3!9y=303!+9y=30
Al s"mar am*as e"a!ones o*tenemos3!9y=30
3!+9y=300=0
O*seramos -"e 9=9 es "na !)"al&a& !erta por lo tanto esto nos llea a la onl"s!6n &e
-"e am*as e"a!ones son !)"ales o*sere -"e la pr!mera e"a!6n es mlt!plo &e la
pr!mera.Por tanto s! tomamos la pr!mera e"a!6n
!+ 3y=10
Despe%amosx
-
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!=103y
Como el alor &e ! &epen&e &el alor &e y este p"e&e ser "al-"!er nmero real#
as: la sol"!6n &el s!stema es(103y , yR)
Una sol"!6n p"e&e ser' s! $=9(10,0 )
Otra sol"!6n ser' s! $=/(103 (1 ) , 1 )=(7,1)
Por tanto# se o*sera -"e el s!stema t!enen !n(!n!tas sol"!ones $ to&as estas &epen&er'n
&el alor -"e tome la ar!a*ley.Sistemas sin solucin
Los s!stemas @asta a@ora !stos propor!ona*an "na n!a sol"!6n o !n(!n!to nmero &e
sol"!ones# s!n em*ar)o e4!ste "n t!po &e s!stemas para los "ales no es pos!*le o*tener "na
sol"!6n a ont!n"a!6n se presenta "n e%emplo.E#e%'lo ,&
Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones6!+3y=102!+y=5
Soluci)n&
Ut!l!7aremos el m8to&o &e el!m!na!6n# as: m"lt!pl!an&o la se)"n&a e"a!6n por 5;1,
para !)"alar oe(!!entes $ tener s!)no ontrar!o se t!ene6!+3y=10
6!3y=15
S"man&o las e"a!ones se o*t!ene6!+3y=10
6!3y=150=5
Ja -"e se o*t!ene "na !)"al&a& (alsa 05 se onl"$e -"e el s!stema no t!ene
sol"!6n.(is!emas de ecuaciones lineales de $x$A@ora trataremos s!stemas &e e"a!ones l!neales on tres e"a!ones $ tres !n6)n!tas#
estos p"e&en ser res"eltos on "al-"!era &e los m8to&os antes est"&!a&os# a@ora
resoleremos s6lo on el "so &el m8to&o &e El!m!na!6n.E#e%'lo ,&
-
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3y5$=63y5 (3 )=6
3y=6+15
3y=21
y=7
Una e7 o*ten!&os los alores para y=7 $ $=3 se s"st!t"$en en "al-"!er
e"a!6n &e las &el s!stema or!)!nal $ se o*t!ene!y+3$=4
!7+3 (3 )=4
!=4+79
!=2
Por tanto la sol"!6n &el s!stema &e e"a!ones es+ 5 2,7,3
Compro*a!6n+27+ 3(3)=4
2+2(7)2(3)=10
3(2)7+5 (3)=14
E#e%'lo -&Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones
3!5y+36$=10!+7$=5
!+y10$=4
Soluci)n&
Para resoler el s!stema on el m8to&o &e el!m!na!6n "saremos las e"a!ones / $ 1 $
el!m!naremos la ar!a*le $# esto &e*!&o a -"e la se)"n&a e"a!6n no ont!ene este
t8rm!no $ res"lta m's sen!llo# as: m"lt!pl!an&o la terera e"a!6n por >3!5y+36$=105!+5y50$=20
2!14$=10
As: el n"eo s!stema se (orma on la se)"n&a e"a!6n &el s!stema or!)!nal $ la o*ten!&a
anter!ormente
-
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!+7$=52!14$=10
Al m"lt!pl!ar por 0 para el!m!nar ! $ s"mar las e"a!ones tenemos
2! +14$=102!14$=10
0=0
Como o*t"!mos "na !)"al&a& er&a&era se onl"$e -"e el s!stema t!ene !n(!n!tas
sol"!ones# por tanto al &espe%ar "na ar!a*le &el s!stema &e 2! 2 o*tenemos
!+7$=5
!=7$5
Ja -"e el alor &e ! &epen&e &e los alores -"e se le as!)ne a $ # se onl"$e -"e
$ p"e&e tomar "al-"!er alor real. As: s"st!t"$en&o estos res"lta&os en la pr!mera
e"a!6n &el s!stema or!)!nal3!5y+36$=10
3 (7$5 )5y+36$=10
21$+155y+36$=10
5y+15$=1015
5y=515$
y=515$
5
y=1+3$
As: el res"lta&o para el s!stema on !n(!n!tas sol"!ones es+!=7$5
y=1+3$
$= "al-"!er nmero realEsr!ta &e otra (orma
7$5,1+3$ , $R ,
-
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Ejercicios
Determ!ne la sol"!6n &e los s!stemas &e e"a!ones l!neales
/.
!+y+$=2y3$=1
2!+y+5$=0
0.5!+2y=27!+3y=6
1.
!+y+6$=3!+y+3$=3
!+ 2y+ 4$=7
2.8!2y=5
12!+3y=7
>.
2!3y9$=5!+3$=2
3!+y4$=3
.3!6y=124!8y=16
-
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Ecuacione cuadrtica
Una e"a!6n "a&r't!a es a-"ella "$a ar!a*le se en"entra elea&a al "a&ra&o# s"
(orma )eneral est' &a&a por la e4pres!6n+
a !2+b!+c=0
Don&e a ,b $ c son nmeros reales $ a0
Las s!)"!entes e"a!ones son "a&r't!as+
2=5!+!2
La e"a!6n p"e&e reesr!*!rse en la (orma !25!2=0
!
2+10=0
La e"a!6n no ont!enen t8rm!no l!neal# s!n em*ar)o es "a&r't!a
6!
2+!=0
La e"a!6n no ont!ene t8rm!no !n&epen&!ente o onstante# s!n em*ar)o es
"a&r't!a.
!10=3
No es "na e"a!6n "a&r't!a $a -"e ! se en"entra elea&a a la pr!mera
poten!a
Las e"a!ones "a&r't!as t!enen &os sol"!ones# las "ales p"e&en ser reales &!st!ntas#
reales repet!&as o !ma)!nar!as# m's a&elante se presentan al)"nos e%emplos &e a&a aso.
E4!sten &!(erentes (ormas &e resoler "na e"a!6n "a&r't!a por e%emplo+
ator!7a!6n Completan&o tr!nom!o "a&ra&o per(eto 6rm"la )eneral
Solucin de una ecuacin cuadrtica por factoriacin
Para resoler la e"a!6n "a&r't!a por (ator!7a!6n se @ae "so &e la s!)"!ente prop!e&a&
-
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01=0 s! $ s6lo s! 0=0 6 1=0
Por tanto# s! po&emos (ator!7ar la e"a!6n "a&r't!a 5!)"ala&a a ero,# resoleremos la
e"a!6n !)"alan&o a&a "no &e los (atores a ero.
Ejercicios resueltos
E#e%'lo ,& Resoler la e"a!6n !2+5!=6
Soluci)n& Pr!mero es neesar!o -"e la e"a!6n este !)"ala&a a ero entones se t!ene
!2+5!+6=0
ator!7an&o la e4pres!6n anter!or
(!+2 ) (!+3 )=0
Ut!l!7amos la prop!e&a& en"n!a&a anter!ormente e !)"alan&o a&a (ator a ero
!+2=0!+3=0
Resol!en&o estas e"a!ones se t!ene -"e
!=2
!=3
Como se trata &e "na e"a!6n "a&r't!a# esta &e*e tener &os sol"!ones. Compro*an&o
am*as resp"estas se t!ene
(2 )2+5 (2 )=410=6
(3 )2+5 (3 )=915=6
Con lo "al -"e&an ompro*a&as am*as sol"!ones para la e"a!6n.
E#e%'lo -& Resoler la e"a!6n "a&r't!a 2!2+7!4=0
Soluci)n&La e"a!6n $a se en"entra !)"ala&a a ero# por tanto proe&emos a (ator!7aron lo "al o*tenemos
(!+4 ) (2!1 )=0
Apl!an&o la prop!e&a& e !)"alan&o a ero a&a (ator
!+4=02!1=0
-
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!=4
!=1
2
Compro*a!6n2 (4 )2+7 (4 )4=32284=0
2( 12 )2
+7( 12 )4=2(1
4 )+7
24=
1
2+7
24=0
Mtodo de completar trinomio cuadrado perfecto
C"an&o no es pos!*le (ator!7ar la e"a!6n "a&r't!a se "t!l!7a la t8n!a &e ompletar el
tr!nom!o "a&ra&o per(eto la "al ons!ste en a)re)ar la m!ta& &el oe(!!ente &el t8rm!no
l!neal# a&em's se &e*e tener en "enta -"e para po&er "t!l!7ar esta t8n!a el oe(!!ente &el
t8rm!no "a&r't!o &e*e ser !)"al a /.
C6mo ompletar el tr!nom!o "a&ra&o per(eto
!2+b!+c=0 a)re)amos 2( b2 )
2
Ejercicios resueltos
Intruccione& Determ!na el oe(!!ente -"e se ten&r' -"e a)re)ar para ompletar eltr!nom!o "a&ra&o per(eto para+
E#e%'lo ,&
5!2+10!+25=0
Soluci)n&Ja -"e el oe(!!ente &el t8rm!no "a&r't!o no es !)"al a / &!!&!mos to&a la
e"a!6n entre >
!2+2!+5=0
Para ompletar el tr!nom!o "a&ra&o per(eto a)re)amos
!2+2!+( 22 )
2
( 22 )2
=5
a, !25!+1=0
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
56/85
Para ompletar a)re)amos
!25!+( 52 )
2
(52 )2
=1
Intruccione& Resoler las s!)"!entes e"a!ones ompletan&o el tr!nom!o "a&ra&o
per(eto.
E#e%'lo ,&
!28!+13=0
Soluci)n&Como el oe(!!ente &el t8rm!no "a&r't!o es / proe&emos a)re)ar
!28!+( 82 )
2
( 82 )2
=13
!28!+1616=13
Los pr!meros tres t8rm!nos (orman "n tr!nom!o "a&ra&o per(eto -"e se (ator!7a
(!4 )2=13+16
(!4 )2=3
Toman&o ra:7 "a&ra&a &e a&a la&o
!4=23
As: tenemos -"e
!=4 23
Las "'les son las sol"!ones &e la e"a!6n "a&r't!a.
E#e%'lo -&
3!212!+4=0
Soluci)n&Como el oe(!!ente pr!n!pal &e la e"a!6n no es !)"al a / &!!&!mos la
e"a!6n entre 1
!24!+
4
3=0
A)re)amos la m!ta& &el oe(!!ente l!neal al "a&ra&o $ o*tenemos
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
57/85
!24!+( 42 )
2
(42 )2
=43
!24!+ 44=
43
Los pr!meros 1 t8rm!nos (orman el tr!nom!o "a&ra&o per(eto -"e (ator!7a&o es
(!2 )2=4
3 + 4
(!2 )2=8
3
Toman&o ra:7 "a&ra&a en am*os m!em*ros &e la e"a!6n
!2=2
83
!=22 83!=22
22
3 Apl!an&o prop!e&a&es &e los ra&!ales
!=2 226
3 Ra!onal!7an&o
Observacin:
83 =83 =423 = 223 (223)(
3
3 )=26
3
Solucin con la frmula cuadrtica
Las sol"!ones a "na e"a!6n "a&r't!a &e la (orma a !2+b!+c=0 est'n &a&as por
!=b2b24 ac2a
-
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La ant!&a& b24 ac es ono!&a omo &!sr!m!nante &e la e"a!6n "a&r't!a $
&epen&!en&o el alor &e &!@a ant!&a& es omo ser'n las sol"!ones &e la e"a!6n
"a&r't!a a ont!n"a!6n se presenta los asos -"e se p"e&en presentar
b24ac>0 la e"a!6n ten&r' &os sol"!ones reales &!st!ntas
b24ac
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
59/85
2 !2+12!+ 9=0
Soluci)n&
a=4,b=12,c=9
Al s"st!t"!r estos alores en la (6rm"la )eneral se o*t!ene
!=12212
24(4)(9)2(4)
!=122144144
8
!=1220
8
!= /0
De*!&o a -"e el &!sr!m!nante ("e ero la e"a!6n t!ene "na ra:7 real repet!&a.
E#e%'lo /&
!2+!+1
Soluci)n&
a=1,b=1, c=1
Al s"st!t"!r en la (6rm"la tenemos
!=12124(1)(1)2(1)
!=1214
2
!=123
2
Como el &!sr!m!nante es "n nmero ne)at!o las ra:es son !ma)!nar!as as: p"e&e
resr!*!rse
!=123 i
2
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
60/85
As: las sol"!ones son+
!=1+3 i
2
!=13 i
2
Ejercicios
/. O*tener la sol"!6n &e las s!)"!entes e"a!ones por el m8to&o &e (ator!7a!6n
a) 8!2+10!+3=0
b) 6 a2+5 a+6=0
, !2
14 a+ 48=0
0. O*tener la sol"!6n &e las s!)"!entes e"a!ones por el m8to&o &e (ator!7a!6n
d) 8!2+10!+3=0
e) 6 a2+5 a+6=0
(, !214 a+ 48=0
1. O*ten)a la sol"!6n &e las s!)"!entes e"a!ones on el m8to&o &e ompletar el
tr!nom!o "a&ra&o per(eto
a, 6!2
5!+6=0
*, 0 !2+8!+1=0
, !2+!=4
2. Ut!l!7an&o la (6rm"la "a&r't!a res"ela las s!)"!entes e"a!ones
a, !2+1=0
*, !2+ 8!+16=0
, 9!26=2!
>. Determ!ne los alores &e Q -"e @aen -"e la e"a!6n ten)a sol"!6n real
a, 4!2+!+25=0
*, !2+36!+=0
. Determ!ne s! el s!)"!ente par &e nmeros es sol"!6n a la e"a!6n "a&r't!a &a&a
a, !2+7!+12=0 !=3,!=5
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
61/85
*, K !2+3!2=0 !=2/3,!=1/3
4raccione 'arciale
4raccione Pro'ia e I%'ro'ia
Se &!e -"e "na (ra!6n ra!onal,5
,5
x.
x
es "na (ra!6n prop!a s! el )ra&o &el n"mera&or
es menor -"e el )ra&o &el &enom!na&or. En aso ontrar!o# es &e!r# s! el )ra&o &el
n"mera&or es ma$or o !)"al -"e el )ra&o &el &enom!na&or entones se le llama (ra!6n
!mprop!a. Por e%emplo+
/.22
/1>0
01
++
+++
xx
xxx
0./
000
0
+
+
x
xx
1.xxx
xx
10
K/1201
0
+
+
2.2>/2K
/0
+
xx
x
5/, $ 50, son (ra!ones !mprop!as m!entras -"e 51, $ 52, son (ra!ones prop!as. To&a
(ra!6n !mprop!a se p"e&e esr!*!r 5e(et"an&o la &!!s!6n &e pol!nom!os, omo la s"ma &e
"n pol!nom!o mas la ("n!6n prop!a# es &e!r
,5
,5
,5
,5
x.
x/olinomio
x.
x+=
&on&e,5x/
es res!&"o o*ten!&o &e la &!!s!6n $ elolinomio
o*ten!&o es el o!ente &e la
&!!s!6n. E%emplo e4presar 5/, en "na (ra!6n prop!a
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
62/85
La (ra!6n prop!a -"e&ar:a representa&a &e la s!)"!ente manera
22
K1/
22
/1>00
01
++
+++=
++
+++
xx
xx
xx
xxx
Deco%'oici)n en 1raccione 'arciale
Las (ra!ones par!ales se "t!l!7an para a$"&ar a &esomponer e4pres!ones ra!onales $
o*tener s"mas &e e4pres!ones m's s!mples. Para la &esompos!!6n &e (ra!ones par!ales
es neesar!o representar el &enom!na&or,5x.
(ator!7a&o para o*tener "n pro&"to &e
(atores l!neales &e la (orma0px +
o (atores "a&r't!os !rre&"!*les &e la (orma
cbxax ++0
. A)r"par los (atores l!neales repet!&os o*ten!en&o 50px +
,mo los (atores
"a&r't!os !rre&"!*les o*ten!en&o 5cbxax ++0
,n# &on&e m $ n son nmeros ma$ores a
"no $ no p"e&en ser ne)at!os. Cons!&eran&o lo anter!or po&emos &!st!n)"!r los s!)"!entes
asos+
*ao I&El &enom!na&or,5x.
est' omp"esto por (atores l!neales &!st!ntos.
*ao II+ El &enom!na&or,5x.
est' omp"esto por (atores l!neales repet!&os.
*ao III+ El &enom!na&or,5x.
est' omp"esto por (atores "a&r't!os !rre&"!*les
&!st!ntos.
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
63/85
*ao IV+ El &enom!na&or,5x.
est' omp"esto por (atores "a&r't!os !rre&"!*les
repet!&os.
*ao I& El deno%inador
,5x.
et co%'ueto 'or 1actore lineale ditinto.Esto s!)n!(!a -"e po&emos representar el &enom!na&or omo
,....5,.........,55,5 00// 11 0xp0xp0xpx. +++=
en &on&e no @a$ (atores -"e se rep!tan. En este aso la &esompos!!6n en (ra!ones
par!ales -"e&ar:a
11
1
0xp
-
0xp
-
0xp
-
x.
x
+
++
+
+
+
= .........,5
,5
00
0
//
/
donde/-
,1--....0son constantes.
E#e%'lo ,&
Determ!nar la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales &e+
xxx
xx
10
K/1201
0
+
+
Soluci)n&
Pr!mero se er!(!a -"e el n"mera&or ten)a menor )ra&o -"e el &enom!na&or. Para este
e%emplo el n"mera&or t!ene )ra&o 0 $ el &enom!na&or )ra&o 1 por lo -"e no es neesar!o
@aer &!!s!6n. Se (ator!7a el &enom!na&or &e la (orma
( ( )( )/1,510,510 001
+=+=+ xxxxxxxxx
La &esompos!!6n en (ra!ones par!ales -"e&ar:a omo se presenta a ont!n"a!6n
( )( ) /1/1,5K/12 0
+
++=
+
+
x
C
x
*
x
-
xxx
xx
-
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64/85
Para enontrar los alores#-
*
yC
# m"lt!pl!amos la !)"al&a& por el m:n!mo omn
&enom!na&or( ) ( )/1 + xxx
$ s!mpl!(!amos
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/
/1,5
1
/1,5/1,5
/1,5
/1,,5K/125 0
++
+
++
+=
+
++
x
xxxC
x
xxx*
x
xxx-
xxx
xxxxx
( )( ) ( ) ( )1,5/,5/1K/12 0 ++++=+ xxCxx*xx-xx Ecuaci)n Bica
Se &esarrolla la e"a!6n *'s!a $ a)r"pan t8rm!nos seme%antes
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) -C*-xC*-xxx
-Cx*x-xCx*x-xxx
CxCx*x*x--x-xxx
CxCx*x*x--x-xxx
xxCxx*xx-xx
110K/12
110K/12
110K/12
110K/12
110K/12
00
0000
0000
0000
0000
++++=+
++++=+
++++=+
++++=+
++++=+
Para la obtencin dels!stema &e e"a!ones# se toman los oe(!!entes omo se !n&!a
a ont!n"a!6n
C*-x ++==20
C*-x 10/1/
+==
-x 1K9 ==
El s!stema &e e"a!ones o*ten!&o p"e&e ser res"elto por matr!es o por el m8to&o -"e m's
onen)a# en este aso se "t!l!7ara el &e s"ma $ resta para s" sol"!6n. Toman&o la terera
e"a!6n se p"e&e &espe%ar para enontrar el alor &e-
.
K1 = -
1
K
=-
1=-
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
65/85
El alor &e-
enontra&o se s"st!t"$e en la pr!mera $ se)"n&a e"a!6n# para po&er
enontrar los alores (altantes.
C*- ++=2
C* 1,150/1 +=
C*++=12
C* 1D/1 +=
C*+= 12
C* 1D/1 +=
C*+=/
C* 1E +=
C*+=/
C*+=/
C* 1E +=
0/ += *
C2G =
A0;/ =
C0=
A/; =
Por lo -"e la &esompos!!6n &e (ra!ones par!ales -"e&a+
( ) ( ) /
0
1
/1
/1,5
K/12 0
+
+
=
+
+
xxxxxx
xx
Ejercicios
/.( ) ( )10
/G
+
xx
x
0.
( ) ( )/20K
+
xx
x
1./02
120
+
xx
x
2.xx
x
2
/0>0
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
66/85
>.( ) ( ) ( )10/
//>2 0
+
xxx
xx
.( ) ( )>0
09/K0
+
++
xxx
xx
.xxx
xx
>2
/>>201
0
.( )( )D>/
//1E0
++
xxx
*ao II& El deno%inador
,5x.
et co%'ueto 'or 1actore lineale re'etido.
S!,5x.
t!ene "n (ator l!neal repet!&o1
ees &e la (orma
10px ,5 +
# entones la
&esompos!!6n en (ra!ones par!ales ont!ene1
t8rm!nos &e la (orma+
1
1
0xp
-
0xp
-
0xp
-
x.
x
,5.........
,5,5
,5
//
0
//
0
//
/
+++
++
+=
donde/-
,1--....0son constantes.
E#e%'lo -&
Determ!nar la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales &e+
xxx
xx
++
++
01
0
0
D09>
Soluci)n&
Ut!l!7an&o la meto&olo):a "t!l!7a&a en el e%emplo anter!or# pr!mero er!(!amos -"e le
n"mera&or sea menor -"e al &enom!na&or# en este aso se o*sera -"e s! "mple esta
on&!!6n. Se (ator!7a el &enom!na&or &e la (orma
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
67/85
,/050 001 ++=++ xxxxxx
0,/5 += xx
La &esompos!!6n en (ra!ones par!ales -"e&ar:a representa&a omo se m"estra aont!n"a!6n
00
0
,/5/,/5
D09>
++
++=
+
++
x
C
x
*
x
-
xx
xx
M"lt!pl!an&o por m:n!mo omn &enom!na&or
0,/5 +xx
&a la e"a!6n *'s!a
0
000
0
00
,/5,/,55
/,/,55,/,55
,/5,/,5,5D09>5
+++
++++=
++++
xxxC
xxx*
xxx-
xxxxxx
Cxxx*x-xx ++++=++ ,/,55,/5D09> 00
Ecuaci)n Bica
Se &esarrolla la e"a!6n *'s!a $ a)r"pan t8rm!nos seme%antes
Cxxx*xx-xx +++++=++ ,5,/05D09> 000
Cx*x*x--x-xxx +++++=++ 000 0D09>
-Cx*x-x*x-xxx +++++=++ 0D09> 000
-C*-x*-xxx +++++=++ ,05,5D09> 00
El s!stema &e e"a!ones o*ten!en&o es le s!)"!ente
*-x +==>
0
C*-x ++== 009/
-x ==D9
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
68/85
Se p"e&e o*serar -"e en la terera e"a!6n esta el alor &e-
. Toman&o el alor &e-
$
s"st!t"$en&o en la se)"n&a $ terera e"a!6n se o*t!ene los alores &e*
$C
*-+=>
C*- ++=009
*+=D>
C++= ,/5,D5009
*=D>
C+= //009
*=/
C=//09
C=K
Por lo tanto la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales res"lta
00
0
,/5
K
/
/D
,/5
D09>
++
+=
+
++
xxxxx
xx
Ejercicios
/.
( ) 0/
10
+
x
x
0.( )0
2>0
0
+
xx
x
1.
01
0
>1
0>>9/K
xx
xx
+
2.0>/9
/90
++
xx
x
>.( ) ( )/00
D0
+
xxx
.( ) ( )00
0
//
0
+
+
xx
xx
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
69/85
*ao III& El deno%inador
,5x.
et co%'ueto 'or 1actore cuadrtico irreduci(le
ditinto.
S!
,5x.
t!ene "n (ator "a&r't!o no repet!&o &e la (orma
cbxax ++0
# entones la&esompos!!6n en (ra!ones par!ales ont!ene "n t8rm!no &e la (orma+
cbxax
*-x
x.
x
++
+=
0,5
,5
&on&e-
$*
son onstantes.
E#e%'lo &
Determ!nar la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales &e+
2G0
0K/>201
01
+
+
xxx
xxx
Soluci)n&
Para la sol"!6n &e este e%er!!o se o*sera -"e el )ra&o &el n"mera&or es ma$or -"e el
)ra&o &el &enom!na&or# por lo tanto# se t!ene "na (ra!6n !mprop!a $ se t!ene -"e e4presar
en "na (ra!6n prop!a.
2G0
0/0
2G0
0K/>201
0
01
01
+
+=
+
+
xxx
xx
xxx
xxx
ator!7an&o el &enom!na&or se o*t!ene
( ) ( ) ( ( )/02/02/02G0 0001 +=+=+ xxxxxxxx
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
70/85
Por lo tanto# s" &esompos!!6n en (ra!ones par!ales es+
( )( ) /02/020/
00
0
+
+
+=
+
x
C
x
*-x
xx
xx
M"lt!pl!an&o por el m:n!mo omn &enom!na&or( ( )/020 + xx
se o*t!ene la e"a!6n
*'s!a
( )( )( )( )
( )( ) ( )( )/0
/02
2
/02,5
/02
/02,0/5 0
0
0
0
00
++
+
++=
+
+
x
xxC
x
xx*-x
xx
xxxx
( ) ( )2/0,50/ 00 +++= xCx*-xxx Ecuaci)n Bica
Se &esarrolla la e"a!6n *'s!a $ a)r"pan t8rm!nos seme%antes
( ) ( ) ( )C**-xC-xxx
C**x-xCx-xxx
CCx**x-x-xxx
2000/
2000/
2000/
00
000
000
+++++=
+++=
+++=
El s!stema &e e"a!ones o*ten!en&o es el s!)"!ente
C-x +== 0/
0
5/,
*-x 0//
+==
50,
C*x 20/9 +== 51,
Se toma las e"a!ones 5/, $ 50,. La e"a!6n 50, se m"lt!pl!a por 0 $ se s"ma $ resta on
la e"a!6n 5/,.
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
71/85
*- 0/ +=50,
*- 200 +=
C- +=0/
C*+= 2/ 52,
Con las e"a!ones 51, $ 52,# se pros!)"e a enontrar los alores &e*
$C
. La e"a!6n
51, se m"lt!pl!a por 2 $ se s"ma $ resta on la e"a!6n 52,.
C* 20/ +=
52,
C* /D2G2 +=
C*+= 2/
C/EG>=
C=
/E
G>
C= >
S"st!t"$en&o el alor &eC
en las e"a!ones 5/, $ 52, para enontrar*
$-
C*+= 2/
C- +=0/
>2/ = *
>0/ = -
*=+
2
>/
*=/
-=+
0
>/
-=1
Por lo tanto la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales res"lta
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
72/85
-
7/24/2019 Manual de Preclculo
73/85
00000
1
,050,05
/1G
+
++
+
+=
+
+
x
)Cx
x
*-x
x
xx
M"lt!pl!an&o por el m:n!mo omn &enom!na&or
( ( )/020 + xx
se o*t!ene la e"a!6n*'s!a
00
00
0
0
00
001
,05
,0,55
0
,0,55
,05
,0,5/1G5
+
+++
+
++=
+
++
x
x)Cx
x
x*-x
x
xxx
)Cxx*-xxx ++++=+ ,0,55/1G 01
Ecuaci)n Bica
Se &esarrolla la e"a!6n *'s!a $ se a)r"pan t8rm!nos seme%antes
)Cx**x-x-xxx +++++=+ 00/1G 011
)*-xCx*x-xxx +++++=+ 00/1G 011
,05,05/1G 011 )*C-x*x-xxx +++++=+
I)"alan&o oe(!!entes &e t8rm!nos seme%antes en am*os la&os &e la e"a!6n# o*tenemos el
s!stema &e e"a!ones.
-x == G1
*x ==90
C-x +== 0/1/
)*x +== 099
Usan&o los alores ono!&os &e-
$*
C- +=0/1
)* +=09
C+= ,G50/1
)+= ,9509
C=/D/1
)=9
C= 1
-
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Por lt!mo onl"!mos -"e la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales es la s!)"!ente
00000
1
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1
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G
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/1G
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Ejercicios
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-
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Ecuacione al+e(raica de orden u'eriorEn el ap:t"lo &e opera!ones on pol!nom!os# se "t!l!76 el proeso &e &!!s!6n lar)a para
@allar "n o!ente $ "n res!&"o# s!n em*ar)o# el proeso &e &!!s!6n lar)a term!na "an&o
lle)amos a "n pol!nom!o 5res!&"o, -"e t!ene menor )ra&o -"e el pol!nom!o &el &!!sor.
Un aso t!l $ espe!al &el al)or!tmo &e &!!s!6n para pol!nom!os se presenta s! 3(!) se
&!!&e entre !c # &on&ec, es "n nmero real. S! !c es "n (ator &e 3(!) #
entones+3(!)=(!c )q (!)
Para al)n o!ente -54, $ res!&"o !)"al a ero. S! 4; no es "n (ator &e (54,# entones el
)ra&o &el res!&"o r54, es menor -"e el )ra&o &e 4; $ por tanto r54, &e*e tener )ra&o ero.
Esto s!)n!(!a -"e el res!&"o es "n nmero &!(erente &e ero. En onse"en!a# !c #
se t!ene -"e+3(! )=(!c) q (! )+d # &on&e & el res!&"o $ "n nmero real. E4!ste "n teorema -"e
perm!te al"lar el res!&"o &e manera &!reta. El teorema se m"estra ense)"!&a+!eorema del factor
S! "n pol!nom!o (54, se &!!&e entre 4;# entones el res!&"o es (5,.
Ejercicios resueltos
Intruccione& *alcule el reiduo de&E#e%'lo ,&
!33!2+!+5
!2
Soluci)n&
Se t!ene -"e !c=!2, por lo -"e c=2
Al apl!ar el teorema &el res!&"o# tenemos -"e+r (!)=3(c)=(2 )33 (2 )2+(2 )+5=3
E#e%'lo -&
!34!2+3!+2!2
Soluci)n&
Se t!ene -"e !c=!2, por lo -"e c=2
Al apl!ar el teorema &el res!&"o# tenemos -"e+
-
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r (!)=3(c )=(2)34 (2)2+3 (2 )+2=0
En el aso "an&o 3(c)=0 # es &e!r# el res!&"o es ero# se apl!a el s!)"!ente teorema+
!eorema del factor
Un pol!nom!o 3(!) t!ene "n (ator !c s! $ solo s! 3(c)=0.
E#e%'lo &
Al retomar el e%emplo 0# omo el res!&"o es !)"al a ero# se t!ene -"e (!2) es "n
(ator &e !34!2+3!+ 2 .
Soluci)n&
Ense)"!&a se m"estra el al)or!tmo &e la &!!s!6n s!nt8t!a -"e es t!l para onoer el
o!ente $ res!&"o &e "na e4pres!6n &e la (orma3(!)
!c # &on&e (54, es "n pol!nom!o &e
)ra&o n.
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Divii)n int9tica
Apl!ar el teorema &el res!&"o s!)n!(!a &!!&!r "n pol!nom!o (54, entre !c . El m8to&o
&e &!!s!6n es el s!)"!ente+Se om!en7a por esr!*!r el alor &e # $ los oe(!!entes &el pol!nom!o (54, omo se
m"estra ense)"!&a+Paso /+
c an an1 an2 a1 a0
Paso 0+
Se m"lt!pl!a an por $ el pro&"to an se anota *a%o an1 . A ont!n"a!6n se
en"entra bi=an1+ an $ se oloa *a%o la l:nea# omo se m"estra ense)"!&a.
Paso 1+
Se m"lt!pl!a b1 por $ el pro&"to cb1 # se esr!*e *a%o an2 # l"e)o se @alla la
s"ma b2=an2+cb1 $ se pone *a%o la l:nea.
Paso 2+Se ont!na este proeso se)n lo !n&!an las l:neas @asta o*tener la s"ma (!nal
r=a0+cbn1. Los nmeros an , b1 , b2 ,,bn2, bn1 , son los oe(!!entes &el o!ente+
esto es+q (! )=an!
n1+b1!n2++bn2!+bn1 $ r es el res!&"o.
E#e%'lo ,&
Cal"la el o!ente $ res!&"o res"ltante s! 2!4
+5!3
2!8 se &!!&e por !+3
Soluci)n&
Para al"lar el alor &e # !)"alamos+!c=!+3
Al &espe%ar # o*tenemos+c=3
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Al apl!ar el teorema &el (ator tenemos -"e los (atores &e 3(! ) son
(!+ 2 ) (!2 ) (!3 ) , al e(et"ar el pro&"to &e &!@os (atores o*tenemos+
3(! )=!3+3!24!12
Ejercicios
Intruccione& Apl!-"e el teorema &el res!&"o para al"lar el res!&"o res"ltante &e
&!!&!r+
/. !38!5 entre !+ 3
0. 3!5+6!2+7 entre !+2
1. 4!45!2+1 entre !
1
2
Intruccione& Cal"la el o!ente $ res!&"o res"ltante &e &!!&!r+
/. 2!33!2+4!5 entre !2
-. 4!45!2+1 entre !
1
2
. 2!3+3!24!+ 4 entre !3
4uncione e0'onenciale
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La ("n!6n e4ponen!al ( &a&a por 3(! )=a!
para 0
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2100!=( 12 )
!4
2
100!=2(!4)
De esta (orma# omo $a se t!enen las m!smas *ases# $a es pos!*le !)"alar los e4ponentes
para enontrar el alor &e 4.100!=(!4 )
100!=!+ 4
4=!+100!
4=99!
4
99
=!
E#e%'lo &
e!
2!=1
Soluci)n&
Se o*sera -"e no se t!enen las m!smas *ases# s!n em*ar)o# "an&o se t!ene el /# es ('!l
esr!*!rlo omo "al-"!er *ase $a -"e to&o nmero elea&o a la ero# es "no# &e esta (orma
se t!ene -"e+e
!2!=e0
Al !)"alar los e4ponentes se t!ene -"e+!
2!=0
Al resoler la e"a!6n "a&r't!a se t!ene+ -"e !=0 $ !=1
Nota+ No ol!&es ompro*ar los res"lta&os.
-
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/. loga(uv )=logau+ loga v
0. loga( uv )=logauloga v
1. loga uc
=c loga u Para to&o nmero real c .
Observacin:
loga(u+v ) loga u+ loga v
loga(uv ) logauloga v
Sol"!6n &e e"a!ones lo)ar:tm!as.De manera s!m!lar -"e en las ("n!ones e4ponen!ales# s6lo es pos!*le !)"alar los
ar)"mentos s! se t!enen las m!smas *ases &e lo)ar!tmos# pero se &e*e tener "!&a&o al
resoler la e"a!6n $a -"e se t!ene -"e er!(!ar -"e los alores enontra&os no @a)an -"e
el ar)"mento se ne)at!o o ero# &e ser as:# se &e*er' &esartar &!@a sol"!6n.Ejercicios resueltos
Res"ele las s!)"!entes e"a!ones lo)ar:tm!as.E#e%'lo ,.
ln (!2 )=ln (12! )
Soluci)n&
Como se t!enen las m!smas *ases# es pos!*le !)"alar ar)"mentos# esto esF!
2=12!
!2+!12=0
(!3 ) (!+4 )=0
!=3,!=4
Comprobacin:
Para !=3
ln (32 )=ln (123 ) ' ln (9 )=ln (9 )
Por lo tanto
!=3
s! es sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a &a&a.Para !=4
ln(4)2=ln (12(4))' ln (16 )=ln (16 )
Por lo tanto !=4 s! es sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a &a&a.
E#e%'lo -&
-
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log4(5+! )=3
Soluci)n&
Se o*sera -"e no @a$ lo)ar!tmos en am*os la&os &e la !)"al&a por esta ra76n no se
p"e&e !)"alar el ar)"mento &el lo)ar!tmo on el nmero 2# lo -"e s: es pos!*le# es apl!ar la
prop!e&a& 2 &e los lo)ar!tmos# es &e!r+4
log4 (5+! )=43
Nota -"e lo -"e le @a)as a "n la&o &e la !)"al&a& se lo @aes al otro tam*!8n.Al apl!ar la prop!e&a& se t!ene -"e+5+!=64
!=59
Comprobacin:
log4(5+59 )=3
log4(64 )=3
Lo "al es !erto# por lo tanto la sol"!6n &e la e"a!6n es !=59
E#e%'lo &
log2!+ log2 (!+2 )=3
Soluci)n&
En el la&o !7-"!er&o po&emos apl!ar la pr!mera le$ &e los lo)ar!tmos+log2(! ) (!+2 )=3
log2(!2+2! )=3
Al apl!ar la prop!e&a& 2+
2log2(!
2+ 2! )=23
!2+2!=8
!2+2!8=0
(!+4 ) (!2 )=0
!=4,!=2
Compro*a!6n+
Para !=4
log2(4 )+log2 (4+2 )=3
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log2(4 )+ log2 (2 )=3
Se o*t!enen ar)"mentos ne)at!os# los "'les no est'n &e(!n!&os# &e a-": -"e !=4 no
es sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a.
Para !=2log2(2)+log2(2+ 2 )=3
log2(2 )+ log2 ( 4 )=3
log2(8 )=3
Lo "al es orreto# por lo tanto la sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a es+ !=2 .
Ejercicios
Intruccione& Res"ela las s!)"!entes e"a!ones lo)ar:tm!as. No ol!&es ompro*ar los
alores enontra&os.
/. log3(!+3 )+ log3(!+5 )=1
0. log2(!+3 )=1log2 (!2 )
1. ln (2!+3 )=ln11+ ln3
2. log!+ log (!+2 )=3
>. log5(2!3 )=log5 12log53
. log!log (!+1 )=log4
. ln (4! )+ ln (3 )=ln (2!)