Manual de Matematicas Aplicada III Para II BTP

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INSTITUTO DEPARTAMENTAL EVANGELICO COFRADIA ASIGNATURA: MATEMATICAS APLICADA III I PARCIAL LICDA. LAURA MIRANDA CURSO: SEGUNDO AREA: BACHILLERATO TECNICO PROFESIONAL EN INFORMATICA 1

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Manual de Matematicas Aplicada III Para II BTP

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INSTITUTO DEPARTAMENTAL EVANGELICO COFRADIA

ASIGNATURA:

MATEMATICAS APLICADA III

I PARCIAL

LICDA. LAURA MIRANDA

CURSO: SEGUNDO

AREA: BACHILLERATO TECNICO PROFESIONAL EN INFORMATICA

JORNADA: DOMINGOS

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PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

(a ± b)2  = a2 ± 2ab + b 2

(x + 3)2  = x 2  + 2 · x · 3 + 3 2  == x 2  + 6 x + 9(2x − 3) 2  = (2x)2  − 2 · 2x · 3 + 3 2  == 4x 2  − 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) (a − b) = a 2 − b2

(2x + 5) (2x - 5) = (2x) 2  − 52  = 4x2  − 25Binomio al cubo

(a ± b)3  = a3 ± 3 a2 b + 3 a b2  ± b3

(x + 3)3  = x 3  + 3 · x2   · 3 + 3 · x· 3 2  + 33  == x 3  + 9 x2  + 27 x + 27(2x - 3)3  = (2x) 3   - 3 · (2x)2   ·3 + 3 · 2x· 3 2   - 33== 8x 3   - 36 x2  + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c(x2 − x + 1)2 == (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) ·  1== x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x== x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

Suma de cubosa3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubosa3 − b3  = (a − b) · (a2  + ab + b2)8x3  − 27 = (2x − 3) (4x 2  + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x 2 + ( a + b) x + ab(x + 2) (x + 3) == x 2  + (2 + 3)x + 2  · 3 == x 2  + 5x + 6

 Producto notable Expresión algebraica Nombre

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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cuboa2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadradosa3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubosa3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubosa4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +

2bcTrinomio al cuadrado

FORMULAS DE FACTORIZACION Factor común.Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:1.  Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.2.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.3.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.4.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnitaPara resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:Resolver la ecuación 2x – 3 = 53Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).Entonces hacemos:   2x – 3 + 3 = 53 + 3En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:    2x = 53 + 3    2x = 56Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:   2x • ½   =  56 • ½Simplificamos y tendremos ahora:   x = 56 / 2   x = 28Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.MÉTODOS DE   RESOLUCIÓN

Método de sustituciónEs aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes   o  .

1. Despejamos la   de la primera ecuación: 2. Sustituimos en la otra ecuación:3. Resolvemos la ecuación resultante:

4. Para averiguar el valor de   sustituimos el valor de   en la expresión obtenida el el paso 1

Método de igualación

1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones

2. Igualamos las dos expresiones anteriores

3. Resolvemos la ecuación resultante

4. Para calcular el valor de x sustituimos   en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1

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Método de reducciónCombinación lineal de ecuaciones: se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema.El método de reducción consiste en eliminar una incógnita del sistema.

1. Vamos a eliminar la  . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:

2. Sumando ambas ecuaciones desaparecen las x y nos queda

3. Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda

ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULOLos ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:

 1.- La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º. En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar que γ = β  y que ε = δ por ser ángulos alternos internos.

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2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.En la figura, α + β = 90º

 3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos (opuestos).En la figura, β = α + ε

 

4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente.En la figura,β > (es mayor que) αβ > (es mayor que) e

 5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos; es decir, suman 360º.En la figura, α + β + γ = 360º

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras:

1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

     

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

 

2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

     

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

 

3 Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

Ejemplo: Determinar si el triángulo es rectángulo.

 

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4. Se tienen los lados de un Triángulo Rectángulo a = X cm.

Aplicamos la Fórmula:

 

1. Sustituimos los valores dados;

 2. Resolvemos las fracciones mixtas:

 3. Despejamos la Ecuación y resolvemos los cuadrados:

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 4. Pasamos el cuadrado al otro lado, convirtiéndolo en raíz cuadrada:

 5. Obteniendo como respuesta 2.14 = X = a

 

NOTA: La Hipotenusa siempre debe ser mayor que los catetos. Si cualquiera de los catetos es mayor no es Equivalente, también no lo es si la Hipotenusa es igual a los catetos.

RAZONES O RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

La trigonometría, enfocada  en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante  siglos en topografía, navegación y astronomía.Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos".

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Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:Los ángulos con vértice en  A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.Este triángulo se caracteriza  por que los lados de los ángulos agudos (α y γ)son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:

Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:

Fundamentales Recíprocas

sen seno cosec (csc) cosecante

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cos coseno sec secante

tan (tg) tangente cotan

(cotg) cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BAC de medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC.Los lados BC y BA son los catetos y AC, la hipotenusa.

 RAZONES TRIGONOMETRICAS

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Ahora, hagamos un ejercicio:Dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la derecha).Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es:82 + 62 = 102; o sea, es igual a 10 cm

Entonces podemos calcular las razones trigonométricas:

 

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