Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas Murray R. Spiegel

Trata lemas elementaleslrigonometría, geometría

Contiene un conjuntomatemáticas de gran

de fórmulas y lablasutilidad práctica.

Incluye definiciones, te0remas, gráficas y diagramaspara la correcta comprensión y aplicaciónde las fórmulas.

MANUAL DE FORMULASY TABLAS MATEMATICAS

Murray B. Spiegel

como álgebra, geomelría,analí t ica y cálculo.

. El objet¡vo de este manual es presentar un conjunto defórmulas y tablas matemáticas que seguramente seránde gran valor para los estud¡antes e invest¡gadores enmaterias como matemáticas, física, ingeniería y otras.

. Los temas tratados oscilan desde los elementales has-ta los avanzados.

. Entre los temas elementales figuran el álgebra, la geo-metría, la trigonometría, la geometría analítica y el cá¡culo.Entre los temas avanzados figuran las ecuac¡ones dife-renciales, el anális¡s vectorial, las ser¡es de Fourier, lasfunciones gama y beta, las func¡ones de Bessel y de Le"grende, las transformadas de Laplace y Fourier, las fun-ciones elípt¡cas y algunas otras funciones especialesimportantes.

. Este manual está dividido en dos pades principales: enla pr¡mera están contenidas las fórmulas matemáticas altiempo que se tratan otros asuntos, tales como definicio-nes, teoremas, gráficas, diagramas, etc., que son esen-ciales para la correcta comprensión y aplicación de lasfórmulas. La segunda parte contiene tablas numéricas,tales como los valores de las lunciones elementales(trigonométr¡cas, logarítm¡cas, exponenciales, h¡perbó-licas. etc.).

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McGraw-Hilllnteratneitrana -,Eütores. S.A. ¿le CY.

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MANUAL DE FORMULAS YTABLAS MATEMATICAS

2 4OO FORMULAS Y 60 TABLAS

MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D.Llolso¡ de Mateñótica' del

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TRADUCCION Y ADAPÍACION

oRL Nio Gu¡BRÉRo RBE¡oqtu¡¡co d¿ t! V¡itati.h¿ d. Al,std

MccRAW-HtLL

Éxrco. EuEttos atFEs . ca8Acas . cuarEiraLA . L6aoa. MADR|D. NUEva yoBKSAI{ JUAI¡. SANTAFÉ DE EOGOTÁ. SAIÍIAOO. S¡O PAULO. AUCKLAIiO

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Gerente de Producto: Carlos cranados IslasSup€nisor¡ d€ ed¡ciótr: Lcticia Mcdina VisilSupervisor de prodücción: Zeferino carci;Carcu

MANUAL Df, FÓRMULAS Y TABLAS MATf,MÁTICAS

Prohibida la reproducción total o pa¡cial de csta ob¡a.por cualqurer nedio. sin autorización escrita del edior

DERECHOS RESERVADOS aO 1998, 1991. 1968 respeclo a la pnmera €drcjón cn espaiiot porMCGR-{W-HILLINTERAMERICANA EDITORES. S.A DE C V.Una Di\isión dc The Mccraiv-Hill Companies tnc.

Ced¡o Num 512, Col. ArlampaDelegación Cuauhtémoc06.150 México, D.F.Mjembfo de la Cám¿ra Nacional de lá Indust¡ia Editorial Meücana. Reg Núm 7j6

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Traducido de la pr mera ed ción en Ino és deSCHAUf\4 'S OUTL NE OF MATHEMATiCAL HANOBOOK OF FORÑIULAS AND TABLEScopyr ight o McMLXvl, by McG.aw,Hi , t ¡c. , u. s a.

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hp€so en México P nred in Mexico

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LIfOGRAFICA INGR¡MEX

oal:. t". . i ,0BiC0 )u¡.rEru "" , .-PROLOGO B!€ú¡ PROPTEDAD DEL

YAr CENTRO DE |NFORMACtól

El objeto de est¿ nanüal es el de presentar un conjunto de fó¡mulas y tablas matenáticasque seguramente se¡á¡ de válor para los e8tudiantes e investigádo¡es en materias .ono lasmaten¡iticas, ñsica, i.geni€ría y otras. Para cumpli¡ este propósito, se ha t€nido el cuidadode escoser aquellas fórnulás y tablas que puedan se¡ de ¡¡ayor urilidad pníctica pres.i¡diendo de las fórnulas altanente esp€cialiadas que .a¡ament€ se eúple¿¡.

No se ha ahor¡ado esfuerzo para presenta¡ los datos y fóimulás en form¡ pre.isá á la vezque concisa pa.a que se pue¿¡¡n en.ontrer con la mayor confia.za y f¡cilidad.

Los teñas t¡ai€dos oscilan desde los elementales hasta los ava¡zados. Ent¡e los temas ele-mentales figur¡¡ el álgeb¡a, la geometríá, lá higononetra, la geomet.ía analitica y el cálculo-Entre los iebas avanzados fisr¡.an las e.uá.io¡es diferenciales, el análisis vectorial, las se.iesde Foürier, l¿s funciones gamma y betá, l¡s funciones de Bessel y de lasendre. las t'ansfoFúádas d€ Fourie¡ y de lÁplace. las fún.iones elipticas y álcu¡as ot.as funciones especiálesimpo¡tartes. Este anplio cont€¡ido de teú¡s h¡ sido acosido con el fi¡ de poder p¡opó¡cionat,en un solo volumen, la mayo. parte de los dátos malemáticos impo.tantes de utilidad para elest,¡diánte o investigado., cuálquiera que se¿ su ¡área particula. de interés o su nivel de apren-

Este libro est¡í dividido en dos pa¡tes principales. En la parte I esrín conte¡idas las fó.mulas mateñíticss al ti€mpo que se t.atan ot.os asuntos táles coho defini.iones, teoremas.giÁficss, di¡gmmas, €tc., que son esenciales para la co.rectá cohp¡€nsión y aplicación de lasfór¡¡¡ulas. E¡ ¿sta prinera pa¡te ñsuran además ampliás tablas de int€grales y transformadasde Laplace que pueden ser de g¡an valo. pa.a el estudiante o i.vesiig¡dor. I¡ p¡¿e trcontienetablss numéricss ¿ales cono los lalo¡es de las funciones el€nentales (t¡iso¡ométiicas, logaritmicas, expone.ci¿les, hipe¡bólicas, etc.) así cono tanbién de las futrciones de carácte¡ avañ za-do (d€Bessel, de Iagendre. elípticas, etc.): I¡s tabl¡s nuñéricas correspondiente a cada tunción se prese¡tan por separado con el objeto de evit¡¡ confusiones, especiálnente para el p.i¡cipiante en matemáiicas. Aaí por ejenplo, las funciones seno y coseno pa.a ánsuiG en sradosy minutG s€ presenran en tablas sepa.adas más bien que en una sola tabla, lo cual evita al€studiante el tene. que preocuparse acérca de la posibilidad de incurrü en alsú¡ e¡ro¡ po¡ nobuscár e¡ la columna o ñla aproDiadas.

Deseo e+resár his aSradeimi€n¿os a los diversos auto¡es y editoEs po. habermeotorgadoel p€r¡niso de tomár dátos de sus libros para emplea.los en vá¡ias de las tabla! de este manual.Las referencias apropi¡das ¡p¡recen júnto con las tablás .orrespo¡dientes. Me hállo especiálnente agradecido del red¡ctor, del eltinto Sir Ronald A. Fishe., l. R. S., del D.. ¡rank Yates,I' R. S., y de Oliw¡ end Boyd Ltd., EdimburSo. por el p€rniso pár¡ empleár datosde la tabla III de su libro S¿¿¿;s¿icol TabLe, lot BiotosicdL, Asri.ultural and Medicot Reseatch

Deseo ademÁs e¡presár ni grat¡tud a Nicola Monti, He¡ry Hayde. y Jáck Márgolin porsu magnífi ca coope.ación editoriáI.

M. R, SPIEGEL

TABLA DE MATERIAS

Pfuina

Co.stsnt$ notsble. I

hoducros y fscto!6 notables . 2

Fónula del binomio d€ Newtor y c@ficienks binoñiales 3

Fó¡ú¡ülas SeonéÚicas 5

Funcionq tritononétú@ ll

Nú[ems conplejo. 2l

Fu¡cio¡es €ryoncmial€. y loslrítnic¡! . .23

Funciones hiperbólicas 26

L

a.3.a.t.a,,.l.

9.

to.r t .r?"t3.t t .t t -tó.t r .ta.t9.20,21.22.

lt.A,2t,26.27.24,29,30,3t .

Soluciones de l¿s eascion4 ¿k€br¿ic¡s . 32

Fórhul¡s de 8eo¡netría ¡¡allica planÁ . . 34

Cuw¿s pl¿nas notabl$ . ¡1O

Fórnulas de gponetrí¡ analftr@ del esp¿cio 16

Deivad,s. . . . . . . . . . . .63

I¡t€eráles irdefinid¡sInt¡sáles definidas .t¡ runcid¡ CammaLá tunción Bets .Fauaciones d;ferenciales Msicas y sus soluciones

94101l031O¡1t07

155

Series de coNtantes

Se¡i€. de Taylor 1lO

NúnercB de Be¡noulli y d€ Euler 1l¡l

Fórnulas de anál is is vectol ia l . . . . . . . .114

Seri$ de Fourie¡ lSl

Funciones de Bessél . . . . . . . . .136

Funciones de Les€ndre . t¡16

Funciones asociadas de l¡8c¡dre 1,19

Polinonios dé Hernite . 16l

Polinonios de Laguere 153

Polinonios asociados de Lasu€re

Polidonios d€ Chebyshev . 157

Fun.io¡e3 ir¡?rgeomót¡i 160

I AALA I)FJ MAI ERIAI

12.

33.

3¡1.

35.

3ó.

37.

36.

39.

ao,4t.

]\a¡sfb.madds dc Lápl¿{,e

'I ranslbn¡¡d¡s de t'ou¡ier

l 'un. iones norables div€rsas

l6t

174

t7sla3145la71aata9t90192

Desa¡rol lus en kaccinnes pá¡c,ales

Disi.ibuciones de probabiLidad

Momentos de iner.¡a imporrantes

Iácrores d€ conversión

Ejemplos de problenas pa¡a itust¡arelusode lastablás 194

t. Losaritnos coñunes dé.uatrc cif.as 2O2

2. Antiloga¡itmos comünes de c!átro ciifls 2O4

3. Sen ¡ (r en s.ados ! minutos) 206

¡1. Cos r (¡ en grados Y ninulos) 2O7

5. Tan r (¡ e¡ s.a.los y ninutos) 2Oa

ó. Cot ¡ (¡ en erados y minulos) 2OS

7. Sec r It en grados y ni¡ütos) 21o

a. Csc ¡ ( ' en srados y mi.utos) 211

9. Fün.iones t.isonomélricas natu.áles (en radianes) 212

lO. log sen r (¡ e¡ srados y ñinubs) 216

t f. los cos '

(r en sfados ) minutos) 21a

12. 1og taD , (¡ en gr¡dos y minutos) 22o

13. Coneefsión de.adianes en srados, minutos y segundos o frácciones de s.ado 222

14. Conversi¡in de sfádos, minutos y segundos en .adiáres 223

15. Log¡r i tmos ¡r turáles o neper ianos los.r o ln t 224

ló. Funciones exponenciales ¿' 226

17. Funciones exponen. ia les e 227

ra6. FuDciones hipe.bólicás senh ¡ 224

lab. fu¡ciones hipe¡bólicas cosh r 23O

t8c, t 'únciones hiperból i .¿s lanh ¡ 232

tt. Fácto¡ial .le n 2:¿4

TAALA DI.J MAT¡RIAS

20. Función Ganmá

2l, coet i ¡ icnre. b,nomi¡ le.

22. Cuadrado.. .ubos, rsi.er ) mciprocos

23. Faclor de ,sn¡ idád compueita: r l ¡ l

2¡1. Fa.ror dc \á lo. presenre: ( t ¡ r

2¡ . Faclo¡ de.snr idád compuesra psra ser ies un' fo¡meq 1- l 1 l

2ó. Iacto. .le valor prese¡te par¿ se¡ies uniformes I (l +

') '

;i ilH:::tr;:::i?J:,¡O. Fúhcioneq de Bessel y r¡r3r. Funciones de Bessel lo(rr .

2itat2362ila2,tO211

212

213

24424121ú24524621824724724A2442492492AO261252253254255255264

264259260281262263265

¡ ¡ . Funciones dc Aessel K¡ i i l

3a. Fun. ioncs de Bessel K, r t r¡5. Funciones de Bessel Bfr r i r

3ó. Funciones de Bessel Bei (¡)

17. Fun. iones de Bessel Ker (¡ l

3! . Funciones de Bessel Kei ( r ,

39. ValoEs apro¡imados de l¡s tu¡cion€s de Bessel por isualación a .ero40. I¡leg.ales exponenci¡I, de s€no y de cosero .¡ l l . Pol inomios dc tacend¡e P t¡r

¡2, Funcio¡es de B€ssel I1(¡)

12. PolinoDios de Lesendre P" (cose)

43, Inreg¡ales elípti.as coúpletas de p¡inera y segunda especies

Indi.e de símbolos y notácio.es esrFciales

44. lntes.al elípticá incohplet¡ de primera esp€cie45. Int€s¡al el'pr¡.á incomplera d. secunda especie4ó. O¡denadas de la cur!á dórnal47. A¡eas bajo la curva no.nalaa. Valo¡€s percentiles (¿,) de l¡ dist.ibución ¡ de Student49, Valore! pereniiles (xi) de la disr¡ibución Ji-cuadrado¡O. Valoes pe¡cedtiles 95! de la dist.ibución r,51. Valo.es p€r.€nt;les 99ú de la disrribución ¡12. Núúéros aleabrios

Parte I

FORMULAS

tt alfaltfo Gt|loo

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r .2 . - z,?l8za iB28{ 5oo{5 23ss6.0¿a?.. . - l ¡ ¡ i ( , , : ) '= b.s de lG loc"¡itnd natuáLs

1.3 VZ = 1,4142¡ 36623 ?309ó 0¡33.-.

l,¡l v6 = 1,?3205 030?5 üa?? 2935...

1.5 \,/' = 223€06 ?9??{ 99?a9 6064, . .

l .ó h = 1,26e921060.. .

1.7 13 = ¡uzzt sszo. ..

t.8 i/z = 1,1,1869 s366-,,

t.9 VE = 1,2't 6?3 o9ro.,.

l.lo .- = 23,1¡069 2632? 79269 006,..

l.ll . = 22,469ró 7?!83 610.15,r?3,r2 715,.,

l,l2 .. = !6,16126 224L ?926¡ 190...

l.l! logú 2 0,30t02 99956 63SaI 19621 3?¡¡9...

l.l¡l losú I 0{??12 126¿? 19662,13729 601?9 .

l.l5 ¡oso. = 0,'13rt9,L819 032618t?66.,.

l . ló logro r = 0,¿971{ 04726 01183 86436 12633,. ,

l.l7 los.l0 = I¡ 10 = 2,$025e 6092' t1046 68.101 ?991.,.

ll8 los.2 = ltr2 = 0,6931a 71305 509$ 4u94I1232..

l.l9 los,8 - I¡S = r,09361 22886 68109 69139 6245...

l.2O t = q6?721 666a9 01632 a6060 6612. : = únstonte¡|z EuLl

= hn 1¡aJal . , . . . +!_r, , )

l.2t ¿' = 1,7810? 2¡t?9 9019? 9862,.. Jv&e 1.201

1.27 lZ - 1,6!8?1 12?o? oot2¡ 1468..-

1.23 \/; = r(tr) = 1,??2.16 $609 05516 02?29 3lG?..donde I denot! la fu¡c¡ó¡ s¡a¿d Ivé,n* lss liginas10r.1021

| .24 r(t) = 2,61a93 3534? 077¡t3 . . .

1.25 r(1) = 3,62560 99042 4903.. .

¡.2ó i radión - 1300/' = 67,296fl 95130 a232

1.2, ló =,/130 ridianes = O,0l?t6 32926 1S9d3 295?... radianes

2.1 \ t + yr t = t t+zty+!,2,2 l , - v l2 = t t -z¿!+ú2.3 t2+ l t ) t = ¡é+3¿,+aryt+t t2.4 \, !)t = ,s - 3¿, + 3"2 - yr2.3 (t + yrr = t1+ 1,.y + a¿zyt + 1t!1+ v.2.6 l. yl1 = tr - &ry + 6.2s2 - &tr + v.2.7 ( t +! ls = t r+6t4y+ro¿rt¿+ro¿ztt+6.ar+yt,.4 l. ---y)r = é - 6tr! + Lottyt - ro,tf +6xl tt2.9 l. + y).

- .. + 6,ry + r5¿1u2 + z¡J¿tit + t6.2v1 + 6.ts + vn2.lo l'- y).

- .r - 6ttt + r6r!t2 - 2ota:,' + L6.2ua - 6.tt + {LG rsulbdc anier¡oEs con3rilqy.n cass €sF.ial* d¿ la lórn¿ld &l áinon¡d lvé..e ¡a sósin' 31.

2. l l , '_ r t = Q_rx¿+rl2.12 . t -1f =t - r l t , ! +,y + r¡zl2. l l , '+t = l ,+!x. '_,y+!21z.rt t , t_t = \ ,_r)( .+r\¿t+f l2.f5 r¡-!5 = (, - yN,.+ d! +.'1¡' + ttt + /)2. fó ¿6 +rr = (¿+v)\ .1- 'Jy+t\ t - .yt+vr)2.17 . t - t = ( . - ! ) l ' + y)( .2 +,y + yz)t

' - xr+, t )2,r l .4+.v+t = 1. , +.y + y lx. . n+úlZ.l9 1+ 1ty' = (.2+2¿v+2t\f,z-2t!+2y,1

Acorr inu,c jóngd,. ' lgua3'orma9g€nebl.sd¿l¡sfdctonbc'onesanhnÓÉs,dÚnd.nmpE

2.4t .^+r - s^+t = @-y)\ t^+¿tr ty+.2.- \ ¡ t+. . . + vt^ l/ 2. _\ / " - . , - \= k,)( t - ¿¡r@r- - u1 ) \4

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3.2

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Pór dn p.¡1., .l l@¿o.ü/ d¿ @b $ d.li n. ¡6i

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!,! @+ú = .r + N.-tt + !O:!r"-'¡¡ + n(' - lxn - ¿) ,.-qr' + ... + y.

Er deerDl¡c .nr.¡iq e¡ llabldn lónuL ¿¿t bi^o^ío S. pu.Aeh €nplea¡ o.rc. htoÉs d€ n y&!ie iñlinita fv¿¡$.¿¡¡¿5 6i¡o¿¡dt¿., !¡sina t101.

1¡ forE!1. 3.3, pu.d¿.rnb'r umbian

3.4 (. +r',' = ," + (l),.-'. (;)- ,,,. (l)". 'r. . (l)"donds ld ceaici.nt.s, lL-¡doe (@l¡.i¿n¡?r 6¡¡¿n¡¿¿.s, est¡¡ dadd p.¡

¡ .s ( , ) = ¡( i -1xn-?); . . ( , - ¡+1) = "_-, ,_rr ,

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I.A fORMULA DEL BI\OMIO \ COEFICIE}¡TES BINOMIALES

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FORMOLAS GEOMETRfCAS

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FORMULAS CEOMETRICAS

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4.2! Ps¡iú.ib =

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¡r.2. Are. - lcü ,,,-T.-\t¿" + lFlíú¡ / " \

4.25 Longirud.hl,ro lac = +!n + 14o, + ful'{-------¡l^/ | \"F--¡_ ' ' - . - ¡

F¡t t-11

FORMULAS CEOMETR¡CAS

1.26

4.27 A¡Éa de ra süp€riici. = z(ab +da+ ó.1

vo¡un.n = ¡^ = . ¡ .&n.

A$¡r.L¡up€rñci. = ¡rr¿

x,--l----i

4.21t

4.30

¡r¡l

1.32 AE dc l. ¡up.rlicié Lt¿¡al = 2r¡

4.33

a.3a

vorün¿n = '*¿ = ft = "+n"*,

^Ea.¡¿ ¡asup.rñci.r¡1e'ar = 2d¡ =

{! = x,t,"*,

Fia. a-19

TORMTJLAS CEOMETRICAS

¡1,35 volunen = Á¡ = 4+ = ¡¡cst

4.3ó AE,d€ l, súp¿iri.i¡ l,l¿¡al = pt = *4

= ¿"*t

Obi¿rve¡.quelás fórhúbs a ¡l ¡ 4 34con{itüte¡ casos ¿sp¿ciales

¡ia,l-m

4.97 vollmen = tr,r[

a.l! A¡cá de ia sup€rfi.ie r¡r*^t = *vF+¡z = "d

Fis. a-tr

¡1.3t

f¡¡ &rt

a.¡lo vatun.n (d€ ra EgiónsombEdsr = i'¡r(3r-¿,

4,al AEa de lasup€rri.,e = 2"ñ

f¡a.¡.tt

1.42 voluhe¡ = +rA(¿:+@b+ ó.)

¡1.¡13 aF,de tá!uÉ¡ric!.larsrat = ,k+¿)V;tGF

t0 FORMULAS CEOMBTRICAS

a.¡¡{ AE..t rirt¡no¡o AAC = lA+R+C-r\tt

Pla. a-t5

145

a,ttó

vo¡ua¡ = l"{¿ + ü)(¡ -.)'

AE. r¡.l. áuF lict = '¡(¡t-al

na.¡.t

a.a7 voru¡.n = fr&

a¡l votuan = |'¡ra

El r.ü¡Bnlc,4AC ti¿ne ub ábsula Ecia (qtl cn Cy lados de lonsirudd, b, c l¡s bnciones l¡iso.oméhi@s del

'insllo A ¡e d€,inen d€ l. eisu¡ñt¿ naner¡:

s¿¡ode¡ =,e¡/ =

ocate|oadya.e¡t€

5.t

5,2

5.3

5,1

5.5

5.6

c¿,¿¡o d. , = coá

ton¿.nr2de a = 6^a

cotoneelre dr A = catA

3...¡¡¿d¿ Á = s,{

cokenred¿ A = c*A

- ;Gb;6;"fu

Fi& 5-l

co¡sidéE3. ün 8i3t ñ. dc @rdeh.dás ry lvern* l$ ¡t. 5.2 y 5,31. lÁs caord¿n¡dad de ub plnto P cn.lpláno ¡ Bon rt.yr rcn r pdiriw BobF OX v n.3sriva sobm /¡X. y \ posi,,va eobr ¿rYr ñ.sátiva sobÉ uy. t¡ digkn.r d.l pünlo P.l o¡jsrn o

"s posirir ) * d.od¡ po¡. Vt . ,r Un úcllo ,a ro¡n.do o p,ñrr de ux .¡

el&ntidoconlra oal novi6ieñ1o d€ L¡ nán.cillá6 d.jEloj I oo¡s¡dersdoposi¿¡r, Siel,ínguloselornaapa.tirdeOX .n ¿l nirno aéniido de dicho Dovinisnio, ¿nionc8 Ee coñside'¿ ¡¿sdt¡ro Sc ll¿n$ ej¿ : y .je y a X OX r .

h3 difeE¡i¿s dadññt¿r, indimdos con los núnt¿ros bná.os I Il IlL IV, son llrnado! Esp€c'imm¿nte. pn-o cud.¡bt€s. Por ej¿np¡o, .¡ la fig, 5.2, el í¡s!¡o A e.tá en el r¿glndo d.dr.nr€,

ñicnl¡& qü€ e. la Fig.5-3 ca¡i e¡ ¿l t¿dD.

t

II ¡

x

",,.IVIII

v.Fig.5-,

11

¡is,5-3

12 ¡IJNCbNEA TB¡CONOMETBICA5

l¡¡ &nc¡ó4¡ in!6ñ&rnr¡ ¡t un ¡¡t¡¡o ¡ d. dlqu¡! cudE.. É d€fin6¡..1

5.7

5.4

5.t

5.ro

5.t t

5. l t

Un d¿ii .' 'qúl

¡r!rl. , abt ndAo .n .t antB O de !E cirnnr.E¡ci.F¡ ún .rco MIV ¡4.1 .l ñdio ¿

C@. ¡' ndr¡á = ad)o lddd qú,

lll 1á¡ti¡n = 180o/r = 5?,O5r?061303t3¿,,,o

t.l{ l" = '/180

ndi.m = 0,1?'15 ¡r¡t6 199¡3 lgat. , . r¡diináF|. ¡-a

t.lt t¡¡¿

t.l¡ @a¡

t l ¡ a¿

-d7 l.lt rnt¡ + 4r¡ = 1

t¡o 4r¿ _ r¡rr¿ = 1

t.ll er¡ -@e¡ = r

+ + + +

u + +

trf +

+

¡ . I INCIONES TRICONOME'TRICAS 13

J0o

| 'u"II 30'I| 15'

1,.Il "*II|

1204

1360

l50a

lr60

2250

266.

2a5q

315e

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-('/6 - \t2)

-1,t4-.,/z¡

-t.ut6

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<\G + \E)

l¡31abl¡sd.laspíeinas20c2lscohri¿n€n IN v¡toÉsco¡res!.ndi€¡tes s o1ú¡á¡nlcs

s.ta

Fl& ¡{ ¡i!.5.6

5.30

5.1¡

5.29

5.32

5.21

5.31

¡,U NCIONES TRICONOMETRICAS

5.&t

5.t5

5.3ó

5.t7

ú-, l .orB I co.¡ cna

cor 4 @.4 + en1-.4

i= tuTt ¡8

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¡ti¡=it¿It\6=.-tLr

"t,,/A=\hi;,.

P¡6 ¡c ortu @dE¡ts. ü..e ¡os .ig¡o. lp¡opüdos esrin s indic. ¿¡ b t¡bl¡ plwdenL.

15 f U N C¡ON¡]S'f RICONOMETRICAS

t.¡l

t.tt

5.¡lo r - túr.{

= 1- 2sb¡/ = 2.o.2 A _ |

t.al

t4

5.¡tl

T

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I | _ dA ) + aiAt2.r I¿.nel IoUcuidr.n¿¿s- V ¡ -3 i ¡ l2¿¡r-á.n. l ln o rvrEdEnbs

r./!le!-4Y t L-n¡/26r¡.h.t tro md¡dññr¿.1

r . i1 - cd¡ l+r¿lzsodd¡óurudmn¿¡ lYr+d^ L- r i A/2 6u.n ct n o rvtuad¡¡nt t {

4na l -d¡r+d¡-

= -e-f

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Lal cd¡¡

5.¡r t¡¡ t-¡t

t,a7 $'¡¡

l¡l co¡Ll

5.¡l' ts.¡

IJO e61

ljt .65¡

5.52 t¡r6Á

V¿..F r-l,i¿n l¡. fór¡ulft 5.63 y 5.@.

3 t¡tr¡ - tst¡

¡&h¡ d¡ - 8e¡t¿cor¡

8a.¡-gqt¡+1

i -3tn7=tn¡r(-ién¡-20-n¡¿+L-r .á

16oé¡-to@¡¡+66¡

t ¡¡4 - 10 t¡¡t:{ + 5 ts¡1 - l0 itnr ,{ + 5 ttn¡ -/i

5. l l F¡r¡ = t - ¡@2¡¡54 cct¡ = l+ td2¡r55 , , ! ¡ = axn, _ ls¡3¡5¡a .or¿ = lcq¡ +¡$a¡V¿.n& t.bbi¿n l¡¡ fó¡bul¡. 5.m y 5.?3.

| - *e¡¿¿ + ¡c6¡_¡

I + *@2¡ + ¡@.¿

l*n-4 ¡r. *n 3¿ + lt*n6¡

l@Á + t co!3r + t .0!6¡

II'NC¡ONES TBIGONOMETR¡CAS 17

t.ót

5.&l

5.Ál

t.4

5.ó5

1.6ó

5¡7

= 2 6*{¡ + t) d*(¡ - a)

= 2sl(¡+t)-n¡{¡-a)

= ¿@t(r+4@¡(,r-a)

= 2 e¡l(¡ +t) ú!+(B-¡)

*{e!( ,1-r) - @{¡+t)}

{{q(¡ -A +.oür+4}

l(G¡(¡ - a) + *n(¡+a))

5.6! &¡n¡ = *"r{rr"*..r.-, - (";t), ,-r"- *(", ")r"-.rr"- - }

!¡t di,r = i{t '-,.r'- it,-r¡- * É('; ')r,.-rr' '

- l ( - ; ' )o-"-" , . " ;

- 1)7/

lm *¡h-¡¡ = gl+{-.r*-ru - (,".-')**-o, * ... t-u-'(}--,')*.r}

t.7,

*--, = ,"---r{-r""-rx *(,"

-"" = *(?) ' $+4{-'- -

-.. = $(|) .¡5{-'*.

d(2, s)¡+ -(i:rt)*r)

s(rn-z)¡ + . r-tr- '(.,:r)*-)

s (2i-2)¡ + '. -

("ir)-*)

A¡¡-enren¡o¡dr:rn-rt,e.d.cir,et¿deuloculo¿^o6'o.lMoñ.tptuo., t.tnttu¡ció¡ú¡l¿¡f'F

m d. ¡ q& !ú.rt con.i.t n¡@ @Do un 6¡¡ú0 dá tuncioM u¡ilom.. ll¡E.iLs dI@ l¡. d.Ef¡ turci@'¡ tn'

.!noD&n63 Ét llud Lúb¡an.o. Bultifotu.r.

A @. @nvi¿.¿ eLcción¡¡ úh. ti¿t mi.rd. ¡rbr pln ¡Iaúr púD¡tito .!!..iñco. T¡l úb¡ s d.¡oEiu mtup'i¿.Ao¡ y ñ. e.fm e ¡laúún úL¿t pn^ci'¿Lts.

18 FUNC¡ONES TRIGONOMETRICAS

V.loÉ! pnncip.¡é p..a ¿ = 0 V.lores pri¡cip¡los par¡, < 0

En todo¡ ld d3o¡ & d! Dor..t n.lido que c tFt¿ d. v.loÉ¡ princip.lc..

t.7a an-." + @-1. = ,t2

t.l' tt -rt + cot-1t = '/2

5.76 É-t, + .*-1. = rtz

5.77 .4_t' = *n,\ (r/,.)

5,71 G..r' = @ t\rlxt

t.v, c.^ t' = t¡r-,o/,)

5. lo sn-,{- , ) = -*n ' ,s.at d- ,1 , ) = , _ co. r ,

5.12 t¡n r(_,) = _t¡¡ ,,

5.83 cot. ' ( - , ) =t .ot- ' .

5.84 áe-I (-¿)

5.15 .s-¡ ( -¿) = -e-¡ ,

En todas L3 dficrr] e¡li dado eb r.di!m!. L¡ paft. co¡tirua de las curvas cor6rpónde I 16 valo¡es p¡in

¡t¡- tl1 Fi!. t-|2 fia.t-r3

¡IJNCIONES TR¡CONOMETRICAS

ll¡.5-¡t

l9

5,!t 5.tl

¡iA.5la Fis.5Ja

l,| I€y6 !ig!ürr.¡ ¡on ld¡¡.|¡. Fr. ulqrri.r a¡i¡¡!!b pri¡o.4AC d.l.do ¿, 4 . r d. lnlulo. 4 4 C

5.9i1 Ly d.rd¡aú

5,99 lay d. ¡o. cd.n6é = é+6,-%tcqC

lG ó¿m¡ ¡¡dor y ¡nguld ..t¡¡ ELciomdd d forn !ibit.r.

5.t{ l¡v d€ L. rúftrter;+¡ L¡M¿+a) D¿-ó t¡¡ l l ¡_A)

tdor@ I¡do'y¡.!ulo..ár¡nÉt¡.ioDdo..n fomsiEit r.

5.e5 6¡ = ¡¿¿V;G:AG=)¡i).to¡d. . = l(¡+ ó +ó) €. €l 6¡ip.rrúró.t l r¡i¡n¡uta S. ¡r.d.f obi.n r Dt*jon ¡ ¡iú¡t.E. cón lo

Vó.n* rd¿d& 1.. tómuh| 4,5, p¡Si.. 5; a.16 y !.¡6, p¡si¡. 6.

¡¡ ¡i¿- 6¡3 bú¡¿á .l rria¡Suto .sLri6 A¿C sobE l. .úts¡fci. dc un...hn. t¡ mdilr dc ld l&tor d, ó, . lqu. son .@ .i. ciqto na¡iúo.l..t¡ d.d¡ por lq ¡¡lufor qu subaicn¡Ln .n €l e¡rb ¡r. h c.f.É. I¡¡ ¡n{¡oiA I C son otMrh ¡ lo. l¡de 4 ó, . F.F.riúb.n¡. E¡b@. ñn v¡rid.¡

5.9ó Lydc¡o. r.¡d

5.97 r-y d. ro..d..6

4¿ = c6ú co!o + sn Ú*n ¿ @¿c6¡ = -c6A d.C +*nBseñCsa

e pwdcn éxpEú¡ !cy¿. .inilrB @n lG or¡o. lrdc y ¡¡guld.

¡ta.6Jt

FiA.5.l8

20

5.94 L.ydél.si¡nÉen.es

5,99

5.too

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

t3n t(.4 + 4 t¡n +(o + ¿)t¿ñ la Rt t¡n ¡r¿ ,r

¡€suliados srDilars * obnen.r con los¡1rs ladNy¿.sulc.

¡ , " fu*" \ ' , . ,

dond¿ r=ll¿+ü+.). R.sul¡,¡ós siñil,Es E¿ abti¿¡¿¡ con lNotrcs ladosyinsulo3

"""q -.os(s B) cos (S C)

d¡nd€ S=*(-4+a+c). R¿sullados simil¡Es s¿ obrienen con lo¡ olros hdGyángulos.

vé,s¿ ddeñ¡¡s l, fórmüI,¡ {¿. prs'na lo.

Prcs.indietrdo d€l Ánsxlo ndo q rl triángulo ¿sfé¡icoAaC erá rarmadc po¡ ¿incopad$co¡ditny€nb8 qn¿, si Becolocsn ud 1i.s oús seFln sFre.en €n Ir Fig.5 19, qü.darhn.n elgisienle.rdeh: d, b, ,,t, c, A.

f is ,5¡9

,eña = ten b t¡n (cc¡) . sen ¿ = t ¡nücoi8

r¿n (co-Á) =.os¿ms(có-¡) o co.-4 -

cos¡Jbna

Na¡r¡rlmtote que e¡os rcsulrador N.den oblen€Be i8¡rln¿nba padi¡ de las leJ€s 5.9? d¿ la stina 19.

¡it, t-¿)

Supóns¿s¿¿hora que eshs ctdrid¡des s orde.,. e. un ciKülocoBo se mu6in¿¡ l¡ Ft t20 én dobde heno!

aá¡dido ¿l prcrrjo ú lpa¡r indi.rr conp¡¿u¿n¡ol ! Ia hipote¡ús, ¿ y a lm á.!xlc A y ACualqui€ra de l0s pines d¿ €re.imulo s¿ pü€de llam.rpo¿¿ n¿dú, la3 dG pale6 recin$ e ll.nad¡n e¡loncs

F¡¡.r ddrd.pn¡¿r nicnrds quc l.s dór r¿sbnies se llanaríen p¿áp' oA4rdl. Eñro¡¡¿spod¿nm¿lpEs¡rl$ Éshs dr

5.101 El s¿no de cürlquier padc m.diaes igu¡l al produda d¿ las 1¡¡g¿nbs de las p,nes odyacent¿$.

5.102 El s€¡ode cualqtrie¡prre nediaes isnal alprodurto d¿ los co$n@de l¡s p¡¡le.op!Ata3.

E¡.mplo: Pue¡o qup co-, l =90o Á, ccA-900-4, bnenos

92 NUMEEOS COMPLEJOS

Un nún.ro compl¿jo r + ó¡ * pu¿de epEsenh. Ded¡ante un Ftñ1o{o, ó) sobre un pl¡no¡J lt¡Drdo ¿i4mno d. Arsd^¿ . plano d2 CoLss Lti,por cjsñplo. en la Fis.6l P 4pEeno el núneó coDplcio -g + ¡fi.

Un rúme¡o.onplejo bDbié. pu.d. inl¿¡pÉbre.omo ún r¿.¿rr que

¡i!.5.t

En l. Fig.6'2 el punro Pcuyas coo¡den.d,s so¡ (¡, ]) EpEsnb al nún¿rc coDpl€jd r + i. El D!.b Ptambién 3¿ pu.d..¡p8!t por n.dio decood. natu: pt) ttts l¡,.J, Púslo qu¿ ¡ -

r cG r,, -

r *n, s 3i3ue qu.

6Á r+i , = l .6r+i* . r )

3i.ndo 6to ld /orndpo¡¿¡ d€l núñ.ro únplejo. Con lro.n¿¡ci¿ decind que

r= J7 + yt...r nóduto y t t' anptitu¡t d2' + it.

l' A'\t:ti, ( l

- -"

I

6,7

ó.8

f'lc6 .¡ + i *n ,r)l l"(.6 rr + i sn ,¡)l = ''l,tco.

(,r + ,¡) + i en (r¡ + ,rl

#+;#, ",¡r

= rahG'"-'r+imno,-d.

srndopun nueú Érl.ualqu'er¡, eltmEn, d. D. Mo,vr.ú,blecequc

Ilc6t + i senr)lr = r,(co!r, + ienpr)

ó.to

S.! ¡ clrlcú,er ¿¡rÉm posrivo y r = 1/n,.rto¡c.6.9 pu..i...cribü&

h(cos, + ir, ,)r, ' = ,^l*t:"b,-¿sinas de un nús¿ro coDpl¿jo h,ci.ndodond¿ * en cu¡lquier .n!dro. De lqui se pueden oblener 18 , raí.€s

a c.n inq.ión viid ¡ .'4or.r qü.]¿,, r .ó túa.ro¡t{¡¡t ,Al ¡.¡t!d tdi¿lq E ródd Id oG qüd. .L¡_oÍ¡d¡ L dlü.ión Dor é¡o.

a.r , te l l 'm'e 'poa¿ate. t€.1¡b¡sy. ,*de¡oñin, l ¡ ¡otencíopded. l^ lo¡( ió^!-o '*üñ.fñ. idn

Sidt. ¡¡ donde d t 0, y. 1 1, ¿nton@. ¿ F ¿l lo¿dri¿mo ¡lé N.. b.* ¿, !ocu¡l*$.rib.p: ¡ lV El núñ._

m ,v -

.' d il¡úÍto .l d¿r¡¡oúla¡ro d. p .r b.* o y * 6crib€ ú.iilo& ¡.

Ei.6rro! Pu..toqw 8r -

0 ie¡€no¡ lo3¡g = 2, ¡ntilosrz = I

L, ru¡c'ó¡ t - lúz.z * ll.n.luncion Lrod ana

7.1 iP. d. = s,+4

, ,4 .o=1, ar0

7.7 iG= ¡^

7.10

2.t t

, ,12

f,2 d'túc = 6,-.

,.a l/* = *^ 7,e i,Alt =i,GtW

ro¡" i loa, ¡l - lor. N

L. lo¡'ritúos 6hu..! y .ü.,niilo!¡út¡or {tlnbión llhdd bnis¡¿¿o4 do. qu.llo¡.' ld @}.¡ L b¡-¿ = r0. El los¡'nho conún d. N c 6cn¡. bsúN o !¡ñpl€ñé.t. log ¡¡. f¡. !¡!i!.r 2i)2-m5 o¡ti.r.n l!hL. d. lor}ntños, utilo¡¡;tnú eñürer. El.ñ!l.o.lc e{ar labl$ $ ilusto con +mplod eñ las ÉBjn.s 1s.r96r

2A

24 TUNCIONES EXPONENCLALES Y LOCARITMI€AS

Los k*,nrños v lnrnog¡r(mos naiuÉlé¡ llambién llamsdos nep€d¡nosl son 'qüellos

€n lDs dal€s la baseo - .: 2,irs2¡ 13 fvó¡* l. p¿3in8 lj.

El l.¡F¡rirno naru¡ald¿,V E. esc¡bc !oe.¡ú o ln.V. tjs písihas !24-22á c.niien¿n abl¡s d¿ log¡ri.nd narur.l*.l,as tdblas d. arrilo*rrirmos ¡rlunl8 lo *, Ias ,rL¿ nos ddr .l val6 de €, pah difeÉnr4 eálor* d. ¡l ¡ÉÉencr l¡s ¡isinas 226 22t. Dl¿npl€od€.s!rs rabl$ s¿ ilusre oñ ej.ñplos.¡ ¡.. p¡einás lS6y 2&.

t¡ rela.ió ¿ire el lq¡¡nmo d" nn .ún¿ro ,V ¿¡ bos. o ) ¿l ¡oar¡ilmo d€ €* misno núne¡o N ¿n bae ¿ est¡

lor^ ¡Vro3. rv = i;-

¡oA.N = lnN = 2,30268 ó0129 ...loaro]v

logioN = loaN = 0,.f3429¡¡81t..-loa.¡v

7,13

7.t1

7,15

7.16 ¿ú = @., + isrr , . -b = q. - iÉ¡.

E{ár F¡scn,n€s r,n ll¡midar ¡d2ntid¿d¿s d2 Eubt E¡ a.ras, i EpÉ*nt.la uniüd iñrgi¡'ri¡ lvéa¡. ta pc¡ino

I Jt - .-o \4D' = {."-T;:q

= a\.or _{-/

. l . t + . - t \or, = ¡ \ ; r¡- ; - /

234. - A+-{

*, = F+;-

2\

7,1,

7, la

7. t t

7.20

7,21

7,22

,.rt 4..+*" = ¿LDe lo,nt¿rnf * d.¡pFnd. qu¿el p€liodo ¡L.¡ e5 2,4

FUNCIONES EXPONENCIALES Y T,OCARTTM¡CAS

Ij ro.Di pola. de nn nú-éú conp¡.io ¡ + i e pü.d. *eibn como .rF¡en.i.l fvé's 6.6, pasiru 221 "si

, .2a r+ir = r tcdr+i*n.) = ' . .

Irs fórnola¡ 6.7 a 6.10 de l¡ pfarna 22 eqüival¿n a hs que se don ¡coniinu¡ción.

7,25

7.24

f .27

7.24

opúl( f , . r ' l = ' Í?rct+ o, l

(¡at')' -

f¿4 troEnad¿ De MoivEl

(f¿t ')u. = lr¿ú+*ryh

7,29 I t r ( '¿9 = ¡ . r+ir+2¡ ' i l=ent€rc

t.I

4,2

l.!

l.a

t.5

t.ó

2

2

4,7

!.1

Tonz2nt.htp.rbólt tdz r = ttah,

catons¿nt. h¡p.tb¿lito d¿ '

= coth t

S¿e¡le h¡p¿¡¿ó¡i¿d de ¡ = &ch ¿

Cos¿c¿¿¿¿ n¡¡¿úól¡.¡ d¿: = c*h,

!9!!!

t.9

l.t0

t . t l

a.r2

t t l

a. la snhl- , ) = -knh,

! .17 ceh (- . ) = -ceh'

l . l5 cGh( , ) = c@h,

l . r l ñchl , ) = .eh,

E.ló i¡nh (-,) = -r¡nh,

E.l? cotn (-,) = -coü,

26

FUN CIONES HI?ERBOLICAS

l.rot.2l

a.zt

a,n

snh t .4h y i qh, s¡i /

@ü, ú!h/ ! snh, s¡h,

@¿h (, ! ,) = otl '

cgtb Y:a 1

ag

t25

426

¿.o¡Irrr-1= 1+2¡enbt,

4.2,

a.2a

t,ztt

[+ s i r>0, - ! i r<01

I+ 3i '>0,

- 3 i ¿<01

t.¡o

l.lt

t.32

1.33

t.ta

r.35

G-¡ t.iht,

8 snhl t cqh, + ¡s¿hh.c6h,

3.osh{, - Acorhr¡ + 1

1+6t. .ht-+t-ht

2a IA'\C¡ONES H¡PERBOLICAS

l.ló

a.37

l.3a

t.l9

!.ao

¡.al

* | có¡hrz + üc6baz

| + 1@h2r + *@h¡r

4,12

l.¡ül

l.¡L

1.45

!.¡|ó

at,

l./¡!

= 2 enh*(,+r) co.h *(' - r)

= 2 cdh *(¿ + r) s.h*(, - r)

= 2 co.h *(, + !¡) coü¡(,-r)

= 2 &nn*(, + r) *nh ¡(, - r)

*{.o.h (, + r) - .o.ü (, - !))

*{dn (t + ,) + .o.h (, - r))

l {ehhL¿ + r) + enh(¿-r))

8n -¡!ü.

rEo. .uposlr qs t > 0.

4.19_

Si ¿ < O rr..¡ .l ,i!no .propi.do ..aún tó indic¡¡ L. ¡ó6üL. 3.14 !

Itiaü'ltii,FAinr,/ira,

\G=

"ttG=

u,,/a=

ü,,/14\l=a

\E=A,/i=F/"

:.t,lt' 4

"t l 'E-|

t6=

,/l=7t"

,ra1^6=A

lfú.u\ElAr'iT-

.!,/í +7

FU\CIOÑÉS HIPERBOLICAS 29

t.50

8.53

l.5l

¡t¡. tJ

¡L. t-l

¡i!. &t ¡ tt g-!

8.54

¡i!.35 Fla.,-,

Sir- e¡hJ, e!¿o¡@rr - senh ¡ ¡..ll¡ndo.l,.¿o hiEt\óli.o Rítúo d2 r Dr D¡ren 3inil.r.¿d¿.

liE¡ l¡. d€D¡¡ tuncioné6hip¿rbólic$ Ecbea6. L$ funcio..6 hip€¡bólic,s @[email protected] núllifo¡n.rysl i¡ü¡lqu.n €l ..m ds l* tutrciond tüonoñéhic.¡ Fciprc.d Jv¡r* l, D¡:¡n. 11. ¡o. Iin ¡End ¡ lG v.loDs pri¡cip.¡.s!.¡. lo. ruL. el¡.6 pu.d.. omid.¡¡rs unilomes.

I¡ ¡i8t¡ ¡i8üidh .it¡ ld v¡lo@ p.in.jpáLr Ir no ser que se indiqü¿ to conrñ¡iol d. l¡¡ tuncionE bipe¡bóli@sqbr@3 ctpwdo. p.r D.¡io d. funcio.¿r loc¡rlnid..r ¿l doñinio.¡ que $n Ea¡.s.

,¿ I [mh-rr>0.rv l lorpr incip. l l

a55 e¡h-., = tn {, + }G'+ r- )t,5ó cqh-l, = rn(, + lGi=i)

..r, .*-', = ;r(i*;)Lll

!.5t

t,60

.*-', = "1'(il-l)

/1 t - \cb-, , = ' t rF+ ! ;_r /

"*¡ , - , , = ," /1*. f i "*r)\ ¡ t r ' , /

f3rb rr > 0 *ralo.pú.cip.l1

30 fUNCIOÑES HIPEI{BOIICAS

l.ól

4.62

t,óil

tÉa

t.ó5

4,6

4,67

t.ól

a,7l

l.ó9

t,72

t.70

Fia. &z ¡i& 3.3 Fb.8-9

4,79 ? = c*h_' ,

Fia.8.I0 Fi!.311 ¡itll2

FUN CIONES ¡IIPERBOL¡CAS 3l

8.75 cú(i,) = co¡h r

8.70 s& (i¡) = sech,

8.81 co,n (i,) = .osr

E.l4 s€ch (i,) = sr

1.7ó t¡¡ (i,) = ¡t¡¡h,

¡.79 coi (i¡) = i.oth,

8.12 t¡nh (ü) = it¡n,

8.85 corh (¡,) = -¡coi¿

En es!id. consúer!Enos que A * cuslqüi.r e.bro.

l.ló enh(¿+2¿") = *nh¿ !.t7 corh('+tti,t

l.a9 ce¡ (¿ + 2Ér¡l) = ceh, 8.90 ren(¿+z*'i)

có!h, E.ll t¡hh (, + k',

ech, !,tl .oth (, + irr)

-b.,lF=7li

Si a t. son E r.¡ y ú D = ¿t- 4@ ¿! sl d¡s.¡¡ñ¡¡¡¡t¿ c¡lo

(i) E.L.r &.¡.úL.3i D > 0

{ i i ) E8l* . tu¡*3i D:0

(iii) dnjq.da..onpr.j$.i D< 0

i.a 8¡,r,,..onI..Éis,.ntoncs ¿t+ t. = -b/L v t\,t ='lú'

ta sol¡c io.¡ . tD<0

don¡L rr, ,2, ,r .o¡ I!. aE¡ niel

g6,a.- 27n, - zdln=-- '

dond. cc r = -Ely':4

s= { f+Ve+Er. r= {F-VQ3+E

f " , = s+r-¡" ,

j , , = +(s+ f i *d, + +iv3(s- nl,r = -*(s+D - i¿¡ - +¡V3(s-D

Sid!¿:,¿! .on E l¿s r t i ,=4ú+¡! cseld¿6. ' iñtn¿nr¿ enlonÉ.

(ü ün. it L¡ ñi¡x d Erl y dos ron mDpl.¡s @njüsldts si D > 0

(ii) io.Lr l¡' Fil¡ rón d¡.r y por ¡o n.n6 dG.!. eu¡s son isr.l.! !i D - o

(iiil .od¡. L. ña*$n éd&ydietintü ¡i D < 0

SiD < O,.l.¡¡c!lossinplific.ú.di¡'t .l uso d. la tnsonom.ti¡

,V- cd( la2V=O c6 ( i, + 120.)

2V:O cor I l, + 2aoe )

r'1:'

9.5

32

SOLUCIO\ES UE I-AS ECUACIONES ALGEBRAICAS 33

S.. ,¡ un¡ ¡¡íz r$l d€ l, .cuación cüticr

tó f azv2+(úú'-1ú)v+(a¡'s¡-¿i-4i., = 0

e.7 soh.¡o.€,: r¡.i úíc.sdc ""+ tl", ' J4:Gl;,x + ¡tr,,. r4', -r'.1 = o

Si todr6 las r.iÉs de 9.6 s¡ n¡lA. €l c¡lculo áe rinpljÍca ned¡.nt¿ el cñpLo d. .4u.ll! déi.min..t t.i¿ Ea¡co¡ la cual s pü.dr. obbn.r nún.M ul$ coDo ca6ci€nbd d. l¡ écú.ióñ d.dt&io 9.?.

9.1r',z+ tStt + ti\+ ,$r + .F +.t4 = tt

tptr. + rrtt4+ tÉt .+.t t . = -at

to, l d = v(¡r - '¡)' + (r,-yr)¡

,P. t , ' r )

Fis.10-l

lo¡

to,t

to.a

Ht=.t- \= ñ o

I = @+o

t.lr - t\tt ... to¡d. ü=rr- tu¡=- ú l ¡ iar . ¡ ¡ r . ¡on rc¡ . l . i v .

to.5

34

ÍORMULAS DE CEOMEAR¡A ANALITICA PLANA 35

t0.6' .o3o+ysenc

=,

dontré p: dttancia!É4ndi.uhrd*d.¿lo¡4€. o h¡st l¡ tin.¡y a: án3llo qu lo.ño l3 pe¡p€ndidlá¡ con I¡ po¡i. posniw

fln I0.l

to.7

¡0. !Atr + Err + C

! la2+ B'

dond€ €l stsno ha .is €@ogcEs dé t l naner. qE Iá dis.ancia no rc¡u¡t¿ n¿s¡¿iva.

to.9 ^", _ ##ta Edrs coincide. o.on p.Ál€l¡t ¡it.ólo ¡¡ d¡=n.

Ijr Ect¡! ,oñ DUfüaE€nt6 p¿rp.rdislaH ¡i y !ólo d ;, : -1lrr.

Fit. rla

. t " ' u ' 'fo.fo ^rq

= ,;P, * :

= ! ; \ 's t+y\ i r+ yt"-v ' , r -u," ' f l ' )

donde ¿l rtho ha d¿ Bcos€rs dc t.l mr¡.¡a qn€ e¡ íEa no Esult

Si €l óa. e €b iodG ld punioE ert¡¡ sobre !n! &u. Fis,lt¡

36 fO'tMUI-ÁS DE CEOM¡]TRIA ANA¡,ITICA PLANT,

lo. l l

d¡¡¿e (¡, t) d¿¡obn t'6 coorde.ad.s prinirivss io see l¡s cÑ'

d.n'd¡€ Elati%3 al3ú1ema ¡Jl. i ' ',r') d€no1a¡ las.u€!as 'mr

dendas lElativa3 ¡l 3is1¿n' ¡rl, (,0,1/o) ¡oi rrs cs'd¿n&

d,s d¿l ;ü€vo oris¿n o' @¡ r.s!.do !l ¡isr€n. pi¡D ivo de

- - ia ' - - - '

¡ig.le-6

f t = , ' c6o - y '*rorof2

1, = ¿'*nn!v 'cuo o r '

= . ú.¿+ r eaalu = t6¿.- .sad

do¡d€ ¿l orkln det ¡nt.nr i¡icill {r}1 ói..idc con ¿l d.l rü¿rc

snl¿nr d¿ cm'd€n.d.s I']' l p.to el ¿¡ ' '

fo'nr ún {.3!lo o

Fit.l0-?

to.t3 f , _

' ,@¿_,,eia+,0\ t =

' ' * .c+y' .o. '+trf', = (,-¿o) co.q + 1/ ,J *nr

' 1v' = (v-r"r -'"

- t, ,¡ *""dond. l¡s @¡d.nada. del nuevo o¡ige' O del sbt m. de cmrd€

n.d$ 'y

ton (d,o) ¿. El.ción co¡ .l sisléna prini¿iv' d¿

c6rd¿¡.dN ',

e .dc!¡Á ¿l .jó '

rorn¡ u' 'i.8u¡o

o con ¿t e].

li& la"A

Un Fnb P e pird¿ lúli¿r Do¡ n dio d. @td¿¡.d$ ebnrlt¡É.(¡, rl o Doi @id.tud.. D.hH (t, ,) k. .cucion& d. ¿¡¡n.forDación ¡on

to.ta I, = ra+}

F¡t.la¡

FORMUI,AS DE CEOMETR¡A ANALM¡CA PLANA 47.

to. f l (r-rd' + (,-r!)r = ¡r

FL. ro¡a

lotó"

5 l ¡ o(r-d)

don.t (r, ,) ¡on lr. @i¡.n..t¡¡ DohE. dc .u.hui.r pu.r¡ d€ciE¡nGEnci. y (n, !) li. cm¡d.n¡d.¡ po!¡É d.l e¡rb.

Ft ta-u

Si ün pnnto P .¿ bu.€ d. t¡l h.n.É q@ t¡ di.¡n.¡. .n¿E p y unptnto f'jo lu¡n.do tocot dividid. ¡br h di¡r.nci. d. p. n.. Ec¡ füflltE¡d¡ d¡e,¡¡rl Es¡lt! &¡ ¡ni con.t .r. I l¡Ltud¡ .¡..¿¡r¡cidzdl.

.¡ noDbE d. .ó¡iÉ ft¡t ¡ @n¡¡ * ll.D..a.i debido ¡ qü. e oblis¡s¡ co.t ¡do u¡ 610Í.ru. pLno.dit Enr.¡ a¡

Si c¡ ftu É siril¡ . ¡bitn¡i¡ ñ.¡r. .n .l o'L!. O, y .i oe -

p y ¿M -¿ f'ó.e l¡ !is. r0r4, treeión ¡l. un. córi.! .¡ mrd...d.¡ pot,E¡

IIIII

to. t7 ,= o = .Dl - rco. . 1- . . f l .

li) unt.lip.¿ ri . < 1(ri) una p.¡lb.l¡.i .= 1(iii) una hip¿.bol¡ .i t > r. ¡i3.10¡2

38 FORMULAS DE GEOMETRIA ANALITICA PLANA

lo,la Lórgtld d.¡.t Dáyor

lO.lt Lonsitud del ¿j. ¡enor

10.20 l¡ dühnoi¡ d.l óDt'o

lo.2l E¡c.n¿riciüd = . =

to.zó

t0.27

=,,/a=E

l0.l,l Esúió. .¡ cod€n.d¡¡ Eciitr3ul¡¿r:t -,^l ly - t.l'---;--+ --¡- = r

to¡t E u¡¡ó!.' úü.r.t¡. pol.E..' cdr¡.ñ o ¡ = -----44-

lo¡. E uúiód .¡ cóxt€n.d¡¡ Dob ¡ic.r¡.obFcrer.¡vFedro '

= #;*

lO.Z5 Si P...ulqu¡.r punto d.la ¿l¡p€., P¡'+P¡' = ¿a

si . l . tDrror6p.r . l . lo. lc jey,espúisoinbuEbiártyroÉñp¡¡4. .port ' - r ioto"- ,1

Si .l vónie .'r¡ d¡údo .n ¡(¡., ,r) , l. di.t .ci. d¿ ¡ ál fm ¡ .! a > 0, I¡ ..úcióñ d. I. p.táboL .!

¡¡a.lolt

fu-tdt = 141.- td l, p.¡¡bol. ¡e óE hlci. la d.Écn¡ fn5. r0 ral

U-t.P = -bk-tl d l. p.dbol. & ¡bE hda L izqüied¡ l¡is- tG¡51

to.2t

S¡ .l fo.o r hdl..¡ .l o.i!.n l¡rr 1c16l L éwió..n @rr}¿n.d.¡ pol.E3.¡

¡rL. r0-r¡ Fia. r0.rt Fls.loJa

,'

E .t aD .d qu. .l + e. p.ÉLlo .t .i. r, h¡y qu. i.t uEbi.r '

y, o EDDhr. t lor l' - t lj 00" -.r1.

¡ORMULAS DE CEOMETruA ANALIT¡CA PLANA 39

Elr t+1?

lo.tt hn¡itnd d.l .¡ ú.yor ¡? = t

lOlO r¡nsiiúd d.l .F úor ,'a = 2ó

lo¡l Dr.Enci. d.l 6núo c.l rdo f o F = . = y'-.t¿ ót

- ,JiiFfo.t2 Er€nrnc'd¡d , =

í= "

to.t¡

to.L

to.t5

to.ta Ecu.cióú.¡ córd.n.ür lolrd .i c..t¡.obE.l €já x y F s háll..n o, r = ¡ _. a.-4i-ll

lO.¡7 Si ¡.r ú puto uhui.¡ .L L hip¿.üo¡., Pf-Pl" = f.l ¡kró d.!.'d. ¡1. I¡ óD¡l

si.l.j. uyo..! p.n¡.lo.l.j.r, h.y qÉ int¿uDbi.¡ t y, o ¡ÉDl¡-ra Do. l' -, Io 90ó - r],

ll.l E u¡ción én cordenldas poLÉ!:

r. = a2 s2.

ll.2 E w¡ór.n cod.nrd¡¡ Ectl¡3uláú:

l"+ t')' = d\"- i'l

l ! ¡ An, l lo forñ.do p.r ¡a nABy. l .F ' =

ll.a ¡q @mpE¡d¡d. D.r u¡o.ir lo¡ l.rot = Fit.lll

It.l E uftion€ cr rorna p.r¡nédca:

1¿ = 4t6 - É. o)

t , / = ¡(1-cdr)

l l.ó AÉ. conpÉ¡dida por.l dto = 8rút

ll.7 Lngitrd d. c.d¡.ñ = S,

E.¡ c. l. dm d.!.nla po¡ u. prnlo Pd¿ ün¡.imnl|Éóci. dc r.dio. úndo ru.d. ¡¡n F.b.l¡r .obÉ .l .j. r. Fit n-,

l l.l E !¡iór .n m¡d¿r¡das Eúngul.E.:

.zt t+y. t , z. . t t

ll.9 F¡u¡cion8 en ro¡n. !¡on¿tt¡6:

f' = 4c'c,

11/ = ¿ e¡ ' ,

ll.lo AE .nemd.pór Ir cum = tdt

ll.ll Lonlitud dG arc. de 1od.l. cu¡v. = 6o

E3ú .5 ¡ cum d.s.ila p.r u. gnnlo P d. un. cim¡r.En.i. d€ ,.dio ¡/!cu.do ñ€d¡ inr.¡idn..t.6in nFb¡la¡ $bFün¡ cjnnf.Én.i. oyo ndio ¿s ..

40

F¡¡.rt¡

CURVAS PLANAS NOTABIES 1l

ll.l3 AEa.nÉa.d.por l,dru¡ = ¡*t

ll.l¡l l¡rs¡tud d¿ r*o de l. Éryr = 8.

E¡r¡ .r l¡ oM d.6.¡i1. p.r uD pún¿o P ¡|. un. cibn f.Fncj. d. 6dioa . b¿did¡ que ru.d¡ pór ñÉñ d. orú .¡hnñútui¡ f'¡ d. ndió a. E.t¡cu¡v. e. u¡ oo áFcid del crml ¡l€ P¡nl lvóru r13r1.

fL. I r.r

l t r i l

f f . f5 Eañión: s = i \ét"+rt4

=.&É2

E h .r h oF¡ qú forna o¡ ób¡. !e.o¡L y dc d.¡¡¡i¡¡rl un¡forsecundo s m.k! !.¡ Bü6 .rÉbc,( y a

t l . tó E u&¡ó¡: r=¿at

I¡.d.ció6 r = ¿ cn L coiÉir¡nd. ¡ l. iL u¡ @ry¡ liñil,r qü. *obtien l'rü¡dó fiñr l¡ du .L L ñ!- rr¡ g)oo

'/6 Édi.¡d ¿n en i-

do @¡¿n.¡o .l d. L. @il¡¡t .l¡ Eloj.

E¡ta¿l r=¿dr¡ o r=.6ra l ic , raa¡ ld.¡na¡np.r .

Ft rr-6

l l . l7 F¡!&¡ón: t =. .o¡?,

t¡¿cwió. r=¿*n, d¡E pond.. ¡. de un. cud¡ siDil.r qú€ &ob¿¡.n h¡.¡sn¡t g¡¡ú l. cúro ¡L ¡¡ ns. rl ?¡600r/a radi.n.3.!

-ntirto@ nno d d. ¡d laneill$ ¡lál Étoj.

E¡t ¡.ñ¡ r = o.o.i, o r = ó¿nn, ¿nñe2¡pét¡lo.!i¡.sp..

FL.1l-?

42 CURVAS PLANAS NOTÁBLES

ll.ta F¡@ione¡ psBméric..:

l " = ¡"r ¡ r - ¡ - ü* l r : "1,I \o/I . . /c+¡\t, = (¿ + o, *n . _ o *n I ---i_ j .t \ " /

E.r. .. l. cü'h d¿¡c¡ ¡ F¡ ün punto Pd. un. cjdnñE.ci. d€ rdio6 cú.do tu€rL rin résb¡ht po¡¿l¿te¡io¡dé órá Nyó Édio €3 ¿.

L @¡dioi{te IFis. 11'rl6 nn ms.rp..i!l & ¡..picic¡oid€-

rt, rr-a

ll.lt Ecuúioú ñEnand:

A.¡ .. ¡r o:r d.¡cnh po¡ ü. purto P d. uu ciEunbÉnci. d. i.dioó. nd¡.l¡ qú ó.¡ Ned. ¡in É.h.lii por.l ini.no! ¡t oaÉ cuyo r.dio.¡

'.Si ¡

- o/a, L orva d la qu. s nu.3tÉ.n ¡¡ ¡ig, 11.3.

¡L.llra

r r -

u- ó lA.!l.lO Filniom¡ púrm&rh..: {

E!¡ .r l¡ drv. dcerit¿ lor u' Dunb P 3itüdo r nna dbranciá b d.¡ enko de una ciEunleEncia de .¡¡¡o d ¡ú.¿id. qu. étl¡ Eda.in É.b.l.t slE.¡.j. ¡.

Si ü < ¿, l. .or. t¡.n. ls lo¡ú qú Dú.iÉ l. Ft. Il I0 y * L cond.on ¿l nombE d. c¡.loid¿ Ed!¿¡¿¿.

Sib > q l¡cünálid.Lfor¡.qú.¡u..iEl.¡¡9, lt rryebllúacícloi¿¿ olieoda

S¡ ¿ - ¿, h cury. .r L cicloid. d. l. Fir. ¡1-2,

ñt lI., ¡l¡. rt-11

CURVAS PLANAS NOTA¡LEs {3

.2t E ucioná D.hn¿,.ica. ft =

' h(cotló -

'o¡.)t ¡ , = ¿ enú

E3t! o Il o¡v¡ d.e¡it p.¡ ¿l pnnro etrEmo P d. ü.¿ cu.útúa'té PQ d. lonsitrd. a n€didr qne el olro ¿íEno e se nu.v.

ll.2:l E uociób cn Mrd¿ndÁ Er¡.gut.És: !=dlG

,t.rr t".*t*" *..u,n*", {l

En ¡. Fig. It 13 ¡¡ lítr€o v¿rjábl. O-,1 m¡i¡ h ¡í¡.! J, : % y lacirunr.Enci' d€ Ddio¿r €nr'o en (0. ¿) eb ¡@ pontos,,!y B E$périÉnc ¿, Cuh¡i¿¡pü.to Pde la..btuj! 6.loolis k¿ ndo!oul.l... lor éje r y y d€ ñodo qu. D.*n por I y ¡ E¡tsdiq.D.nt d.t.úi¡ondo.¡F¡ o P d. int¿É.@ió¡. ¡¡i¡ rr-rt

ll.2a Ecueió¡.n mrd.mdar Ed.rgüIlEs:é+Yt = e@r

11.25 Ei!.óiones p.6ñétrid:

ttr¡t As @bpÉnd¡d¡ po.a r.- = |".

f f .27 Ec'mión de f . ! . inbra: t+y+a= o FL. rr-¡¡

l l.tl E Ucion6paÉh¿t¡¡c&:

l , =.( .o.{+éeno)

ty = a{*.r_éc6t)Esta * l¡cuM d*cn|o Dor c¡ punró¿rtEoo Pdc una.uerda

€n.o¡l¡d! cn ünd ciEu¡tcE¡.id .iá mdio ¿ . b.dirtr qüe se d¿sen-vuek D¡.nrhs s nanrüne tüanié.

Fi& f-15

44 CURVAS PIANAS NOTABLES

I1.29 Ecumión on cürd.Md$ Ec¿ánslr¡Ds:

l@).¡' + lwP6 = l.i' -w1.

ll.8O Ecueio.es p.¡oBét;c.r:

l.' = (!¡ - 6') coc.

1', = to'-"1*¡'E¡l¡ cuú .r ¡. .nvolÉnl.' .L l[ mrúl€. ¡ l¡ .litÉ

t la, + 1tl6t = | b6tr'ü por l. liná . tn¿o. .D li

lf.3t Fn¡¡ó¡ eb rorn. poL. 1'+.¡-'!,'¡69t = b'

Est es h dd d.&rit' Dór un pu.to ¡ qu. s búw d. t¡¡ n.reñ qü. Gl produ'ro d€ ¡'s ditl'¡ci'¡ 'ntÉ

P v

dor puDt6 fiio. ld¿ü¡¡o..n.. d ¡ utu d¡.¡nci. 2tl.¡ ur. co¡.¡nb Ür.

t ¡cü¡v.s¡dL.doptrr l ¡ for¡ .d.1.¡¡¡ .11.Ú¡af!qu.ü<¿oqüoü>d¡sD'c ' l iv iñ 'nt . 'Siü-d 'bté_ñ.Eo¡ L @ryr Il.E.d. ¡"n¡¡'@!d [¡ig. 1l.11.

a

l ¡J2 Eaueión.n forD. p. l . r : t = ó+44.

56 lrQ urá l'¡eú qu. un€ .l ot¡sen O con ú¡ p!¡io culqu¡.¡. 4 tL u'¡ cinnr'F¡ci' d¿ di¡rn'{¡o d qu' p¡u

For o. É¡t ¡e¡ .d! dun .. et tu¡¡r 3Fn¿tri@ d. todo. lo¡ Dr¡¡or P 'tr¡

ld cuL. Al - ¿IrdM ion. ¡! lore..L l¡ F¡¡. rr-r9o¡. F¡a.11_20.€túú qúó> ¿ oü <¿ 6.Fctiqent' Si ó-¿' E

óbti.n. ¡. curvr ll¡ú!ü ..rd@¡.¡. I¡ig. rr-{.

"(

¡lr.l1-1? ñt rr-t¿

¡'lt ltJ6

Ft flJg n¡.11-t

CURVAS PT¡NAS NOTABLES 45

l l.!l F.!tuión.n c@¡d.n.di. EtaryüLÉ.:

! '==L

l ! .L E úióna p.nn&nc..:

l ' = eú.1 2d úr'.t, = .;;,

E t¡ 4 L @N¡ dsetit pór ú¡ pu¡t Pqü. s nu€v¿ de t'l

n.¡.n qú l. di.r¡ncú OP - di.t r.ü ¡S. g. ¡..8p¡€' 'n

ál pÓ_

ht¡ú d. lr.tati¡dció^ .Ll cubo, qe cofui.¡. .n anon¿hr 'l

ládo

.L un dbo qE t n¡¡ .t@ v@¡ .l rcluD.¡ d. ún dbó d'do- Fit.ll-!t

ll.ll Ecúió¡ PoLc t = d

Firll-t2

l2, l l,' r)z + lu2 ut, + k, z)1

t2.2 ' = * ' , = ' " i " , ñ = co.p = +, " = * , =+dondc ¿,p, ?.t€noro¡ lós ángu¡N que lorma Ir lin€a PrP' .on la pañe posúiv¡ de lós ejes:, r, z Esp€crivoDe¡tt y d erá d.da por D.r l!óase fis. 12 11.

¡2.! co.z¿+cor¡¡+corr? = ¡

Ld nún€ós ¿, ¡¿, Nqu. son p¡oporio.sles a Ios cosenos dü€do@s | ¿, a, €on lt.m.dór ¡¡r'¿ros d¡r¿c¿rEr.h Ela.ión.ntn ellos ¿6tá dads Dor

r= ==:: . ^= ^¡y17i Mr' N"'

46

t2.avE+M"+N"

FORMLLAS D¡, CJ]OMETRL{ ANALÍTICA DEL ESPACIO 47

Esbs ecüacionB tambión 6on úlidas sise Émplaz.l, n, ¡ Fo¡ ¿, ff, N E$..livan nie.

12.ó .= \+tr , 1, = u,+ñt, z=^+ht

E6t 6m.cjone ianb¡én soñ volidas si se @hplaza l, n, n !.¡ ¿, M, N Esp€d¡vrncnt..

t2,7 .@Ó = Irlt+ mrm|+ iflz

l2. l At+B!+C.+D = 0 [,{, a, C, ]t ¡i..doondantal

12.9

tz. to 1" ' , " + .¡ : 4-r ' ly , , , ) , l ' " - , , r " - , , |p , ¡ -_ o. r . -? ' r ¡ - ¡ r t t , t - , t yr-r t \

t2. t t r - ! - !

do¡de o, ó, . son hs inren{ciones .o. los ejes r, !, z Espe.

F¡a. l2. t

48 FORMULAS DE GEOMETRIA ANALIT¡CA DEL ESPACIO

r2.12

t2. t l

'A = B

= c o r =.0+At. 1t = h+Rt. . = to+Ca

Mviért¡le qu€ los .úñcrG diEdoEs d. una üne. perp.ndicnl¡¡ ¡t Dlaro A¡+ Ay + C2 + D: o son

- l7¡a¡:ae¡ l¡ cu,l ¿l Eigno deb. ecos..se d€ tál naner¡ qu¿ ta dbt¡ñ.i. no Ehult€ negativ.

t2. ta ,coc + l / .o38 +. .o¿' t = p

dond.p disr'nri, FDeñd'cu¡r;&sd. O h¡rb.t punbPd¿¡ phno. D'snrms que r,p,y sor lG ,ns!lo. que fom¡OP cor lo. ojer pos¡liYos r,r, ¿.

Fr¡.r'¡

1v = {+vo .

¡tod. (r,:y,2) deholan lls cdrd€nad.s pnnilivás t¡ sea lscoord¿ddae El!.ivas ¡l.hr.m. ¡]:1.1i,,,,: ) dend¡¡ ¡¡!¡uvas cm¡d€¡rda3 IÉl¡iiEs rl sisieñ. ¡]]"1y (,0, r0,,0)dc.olan las Mrdenád,Bd.l nlevo.'iFn ¿¡,mb ÉrFro

"leirieñ8 primnivo d. cm¡d.nad.s ¡yz.

t2. t5

Fir. tt-¡

FORMUIAS DE CEOMETRLA ANALTTICA DEL ESPACIO 19

t2, tó[ ,

= t&'+t2y,+r, ' '

1e =

^] ,¡ '+ ̂ { '+ nrz '

l. = n\'. + r*' +,a.'

f. ' = t,, +.,1+ ",.

1t .= ?+^a'+n'L:

= h¡+n! '+ ' '

dond. lo¡ ol¡c¡¿s ¡t¿ ld ¡i¡r.D.3 rt: y 'r'z

co¡ncienn¡nr¡oqú. lr,ñ!ir: ¡r,ir,rd; ¡r,ñri. rón ld e¡o.diñtoE. d. lú ..ié3 r', y , 2' .¡ rl..ión cd ln .ir r ,, , B-

nA. rt{

12,17[ ' = td +tt '+t t ' ' +.r

] t = ñ,¿+ñ/+^.¿+to

l. = \.' +,1' + ñ.,¡ + to

I a, = tt(r -'n + \u - t¡ + i,(.-.0). l/,

= ¡¿(" - "") + -¿(,

- td + "Á.- d[,' = 4(, - 'd + ñ¡(, - ,o) +

'.(' -,0)do¡it ¿lori$n O'd€l !i3bú. ry: ü.n. mrd.n.dls (ú¡,r0,,o) ñn 6F.to rl ¡i¡br! ¡r,r Eie¡tE! qú ¿!, n! r¡r ¡, ñ,,t ¡ : ¡ r , ñ¡ , i . sn lmd.nGdiEctoÉ.d! 16. j€¡r ' , . ) , r 'en Er¡ción co¡ lo. ejú ¡, y, z E.F.iifu.nt .

¡'iÉ rt¡

U¡ ¡rnto P pa.t r.r lúlir.do poi D.dio d. [email protected]¡-d.. .i¡i|dtt@ (¿r,r) Ie¡¡!. n!. P-I lo bisbo qu. porMrd.n.d¡r @t n!!Ls (r y, r).

Ir¡ écIEior* d. iüntfotuáción .on

t .tr.t¡ 1:

-rl::¡[. = .o+a

Fia.l2-z

FORMULAS DE CEOMETRIA ANALITICA DEI, NSPACIO

Un pu¡tó P9ued.5er localizadoFrr nedio d¿ .mdenad.s .sf¿.ic$ (t,r,o)lváds¿ Íis. 12'31 lo nismo que por cóordenadas redr¡.

t.r¡ daciones d. 1¡snslorñ¡ciór son

r2. t t

| = y*a+a

lt = có. I l,/l t, + t2 + 'r')

Fi:.11.3

12.20 t - 'o)2+(y-t /o) '+( . -zo), = E,

dond. el e¡iro d¿ la €.réá és (,0, r0,,0) y el hdio n.

¡ir. r¡-9

12.2r 12 - zrotc@lc oot+ r3+ e .o)z = Erdond¿ ¿l cerim d.l..sf.¡a án mrd€nad¡s .itindncar s (ro, ro,,0) y el radio fi.

Cundo.¡enrror. h. t tocn etors"n tspcu.. iónc¡

12.22

1r,23 /! + ró - 2ro' sen, sen ,o cG (o - eo) = ¿r

do¡d..1enlrode la€sr¿Ee¡ cooidenadrs¿réric.s.s ('0, r0, Ío) y¿t ¡"djo n.Cu¡¡doelc¿ntrcshal l ¡eb.¡o senl !ecuaciónes

12.21

fORMULAS DE CEOMETRLA A\ALÍTICA DEL ESPACIO

12,25( r - ¡ ¡ ) ¡ (y ,0F (z - znr

;' + --¡- + ., : I

12.26

do(le a ¿ dendan lG sGEr+. dc l. *.ció..üpaiú.si ó = o e 1¡dlá d€ u. cilind¡o ci¡@l¡r d. Édio ¿.

Fi¡.lll l

12.27 a+ i =c,

12,21

52 FORMULAS DE CEOMETRL{ ANALTTICA DEL ESPAC¡O

12.21, ;r- i r ¿ = 1

Ob.¡rw¡elaor i .nr¡ ! io.de¡G. j€.en l ! F 's l2 l ' l

t2.30" '

* ; t =

¡i!. r2-$

f2. l l + - : - = I

Ohpm* L orierBoon dp lo5 €je ¿. l¡ ¡js. 12.lu.

Fb.rrJ6

rt. l

si r = l(,), l. ddhd. ¿.y o ¡r. l(r) co¡ E.D.cro a, * ¡r.n...ono

+ = ,n1.+L!-l@) = xñ /(:r a, '- l( ' )

i# jo;?;if"*-'Dbiún r &'im¡ po¡' drld' o¡t¡' Er p'*so *su¡do pá¡' hrur¡ r¡ d.rihü -

, "J 11.*"i"."." : -l t.ci@' d. ¡j4 ü. .. 4 onf..b¡ tco¡ É.rriccion.. !i¡¡ir ind iút.,2 - 2,1tr/¿

::-" y Tlll*,-.,"1"rDd. In u d..r ro!¡rftDo úturd d., ro *, e¡ roslri, bo en b.¡. "t¡ond.

* "upon.I ¡ d¡¡ .n F.tütr.

rr.2 *(.) = o

rr.¡ *(d = ó

r!¡ #(@..) = @"-

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É., *@, =

"*- ,*

rr.r $r"-r = "#+*#+**f¡.t E l¿1\ = at¿at¿¡:) -.(¿.t¿t¿l

d' \ } /o '

r!.ro *(¡') = ..',{g

rr.r $ = ft$ e.',a"r.",a"-rr¡.rz * - J-

tt.tt * = *!*.

64 DBRIVADAS

r3.r. á&nú =

r¡.r5 j :cd" =

t t . ló áh¡¡ =

13.20 dr¿ *n-'¡

r¡.2r á@-,*

l ! .22 * t ¡n ' ¡ ¡

B,A !d,@r-tl

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[+ ri co.[-r¡ > 0, ¡ > 1lL- si co!h-r! < 0, r > rl

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f- . ¡sh- l ¡>0,0<ú<1lL+ 3i Gh_¡¡<0,0<!<r l

[ - r i ¿>0, +. i ¿>01

l¡ *3ud& té@É, hr .irnv.d.. d. ord.ñ .úFno. c delin€n $í.

tl.al s¡.únd.d.dúd¡ = á

t¡.a4 rédÉd.¡ind¡ = á

!r¡5 ¡-ó.iMd€.ied¡ = *

(*)=#=r\¿)="

F)=*=f, , ( . )=, , , ,(*+)=*=ra\¿,=,6,

'supón¡!* qÉ ,' ÉpEúnt¡.' *.-, $ t"to* o'" =

# = l.p-é.in. den"d, dé¡. Enroré!

f¡.¡ró .!tur

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0""o" /l), 1:), ... -.

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¡¡o-i"ro rpc,^" q

CoDoc.sr ¡o¡b¡e¡ e¡t¡n

rtr,.t 4r"r = "* + z*¿! t 't4

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dond¡ . r 0 r nedid.qus Arjo. ¡d

13.50 at = l'lr) ^¿

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Si sl¡.ñ. A, = d, L dif.énc¡r¡ d. r, .nbncr llditEncúld¿r se d.iine cono

tl.5l

13.52

t3,53

13.5¡l

t3.55

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t3.5t

L's p.las rara óbr€n¿rdif¿r..i!l€s so. ¿ractam¿n1é .ri¡oges a lmd¿d.¡ivoci¿n. CoDoej¿nplú¡ se ob*rvr que

d\! ! ! !e! . . ) = dLtd! ! . te! "

d@a) = u.ra + Drr.

S¿, /(r, rl u.r lu¡ción de dos varilbl* r yy. E¡toncs la d¿linición d. ti d¿riúd. p.É¡.1dc 1(¡ y) con tup.ctr,n&,6rída.bFr

t!.51 At . . r+^r-r \ - I t . l ta,=¿Y"- ' - - - - - ; - -

A¡ilac¡menle la de.ivsda párill d¿ /(¡, :y) mn 6p€do a ',

ñien1r.¡ ¡ e @mere¡ corutlnie, se .lclin¿ ,.¡

t t .59 != tu I l ' ' !+41- tb ' t l

l¡sde¡¡wd¡s paaiale¡ de o¡de¡ suD€¡io¡ *defiDen de ¡¡ ¡isli.nL ¡an n,

t3.óo

r3.ól

I ¡.ó2

dnrde dt -

Lt y du = ^y.

a' t d /at \ ú l a /at \; ¡ = t \¿. / F=t\ t i .arl a /dl\ a^l a /¿l\

¿'ry- = t\ t / drd. = t\¿' l

at = {a"+fid

Lc Esulladü e¡pÉsddG.n 13.613on k!'l* 3i la lunción y rü. d.núd* p.rci.l.. lon mnt¡nus, o ¡ea que e.es1¿ c,8o noiDpod¡€lod.n e.que se elRi,í.1¡ difeE¡ci,c,ón.

I¡dife¡c¡.i¡lde /{¡, vJ s€ dennc.omo

D¿ mncm es.t¡nenb rn'ilos¡ * d¿ñn. l¡ di&encül de !n tun.iorc¡ & aá. d. d$ vr¡iiblét.

s' á = t(.),enroneb \ .s ü tunción cuya denvt¿a c. /rrt \ v der oñ¡' drh.da \ odo ¿? |

dplrnid¿d.¡u, . loculsc.r . ¡ rbeJ/k 'd¡Pordmp3nc..¡y. t / r ¡ ¡du," . -*" ; :=/{u).Puc$oqf

Ir d€riv.dá d. uni co$t ¡b.3 am, aodlE l'E de¡iÉd,s i¡deli¡id.sdifi¿Fn ertre siDorunacorst¡nt.rrbitn¡ia.

V¿ft¿ L d.li nició¡ rl¿ i¡t¿gEl d.finid. .n la Éaina 9,1. El prcc€diniento $suido !a6 lu¡¡¡r ¡a iniqr.¡ se llara

^dnr¡ru..ió¡ a a ú son tun.ione8 d¿ tj ¡, ó, p, q. a son conslanis,con I's rst¡iccio¡¿sque ¿n casod.do*

indiqún; ¿: 2¡71&a 6 la b¡s n.lur!¡ d. ¡os lq¡rirnci In u es el loerrilno n¡¡uml de u suponi¿ndo queL>ofe. !€.eal, p{¡ padd ap¡icá. ¡.s fómulss e¡ lor osos ¿. qle ! < 0, Enllade ln ¿ por ln ulli to¿os rosúng!¡os et¡n G¡pb.dos €r ¡.dirn¿r. S. han omitido 1od$ l¡s constánt s d¿ intesrsció¡ p.r6ia¡ subenbndidas

r . . r J.d, = e

la,z I a l l r ldr = al ^r \d,

r . r J¡¿! = *-J"o" l rnt¡gÉció. po. p¿tuq

t . .3 J{¿=úa¡r ' . . )a" = l "a,= Í ,¿" ' Í -d, ' . .

57

V6$ lo rf.Fnrc¿ l, intsgEc,on g€n.¡,1tr,&¡orp¿üren Ir.43

vs ! ¡\út¿, =lf no^

r.c t rq"1¡a" = I"n#,^ = I *ry,*vt ! " .a"

= .* 1411, " , . -r {p¡E¡= r,vóas.r l .s l

ta.l

ta.t

ta.!0

Í+=l *^l*^

ln¡ s i r>0 o ¡n( a) s i ¡<0

=J¿h"dr=iM

68 INDEFN¡D¡S.

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ra.r2 .f c@,dü = * '"

r . . r ¡ Jt r¿¿¿ = rn! .cr ; .

l . . la J ei¿ d" = tneó¿

r..15 J@¿du = r¡(e¿+ t¡ tr¿) =

l . . tó Jc&¿¿¡ = In(c*ü-cot¡) =

v.t7 ! w'úda = t^t

r . . l ! fc. ' r¿s = -@t!

l . . t t J ts ' ¡¿¡ = r .{r ts¡

1..¡ú J oc¡dú = -@!¡-r

v.2t Í*¡ 'bdÁ =;-*? = í ¡ -e¡rú¡)

v.n I @..,tu = É*AA = ¡(¿+anr.or¡)

rr.n J "*"t'""a" = *,

r+zr Jo"-ruau = -"."

ra.25 J* 'h!¿¿

= dh¡

14.2ó f.dh!¿¡

= *'h*

14.27 J

t$ü¡d¡ = lnq[!

t4,2t J.othr

¿a = In*nhú

r.29 Í Étudr:= erl(t$ür) o 2 t¡ú-¡.r

rr.ro J"*u"a, = r"t.r'| o --rr-'".

l43l J 4ch,¿du = t¡¡¡¡

tr.az J "*r,"" a" = -"ar'"

r l .rr J *.r, , , a, = ¡- i lnh¡

r ,., 1: * l)

IN,I'ECRALES INDEf INIDAS 69

l¡1.3¡l

t4.35

14.36

la,tf

l¡t.31

t¡t.39

14./o

la.al

taaz

la.¡l¡l

la.a1

l¡1.¡t5

ra.¡|ó

11.47

ta.al

*..n-'i

J -*'"a" = "--*"

I *"^,"a" = =ir"-; =

!*"*"a" = *Y.t =

J "*¡" ¡'r'" ¿" = -o"r'"

J c&ü" @th, d¡ = -ce¡¿

f dt t . r

f dn r . / " " \J , ' - " ' = ,"- \ " * . /

Í#; = *'(::*) =(¿uJ u5--

= *'-' t

l - : = r¡{¡+V¡r+")

l -É = rn(r + Vrt-¿¡)

f . fu 1 - l r lJ .úr=?

= ; a-l; l

' /" + \/7+7\

)ñ#- - ;h\ " /

' / . + 16 -,¡ \

Jff i=- ; r ' \ " /! r"oa. = t.-l's - tn ."¡ + tt, .,0" - . - t.+I ¡s",¿"

Esta úLltinr * nrnada I'j¡n!¡a ee^.mlizdú de inteqmrión Dot pat|¡s.

OcurÉ en L p¡á.1i.¡ qu¿¿s posibl¿ sibplilieru¡s inre8nl bedianre¿l enpl€o d. nna rrandforña.ión o rurnu-ción

'p¡opirda jünto cor I' fórnul.14.6, p¡CiD 57. En la lhta sisui.nt * da¡ algun¡s t[n

v.a ! ¡o"+¿¡* = IÍ"*r*v.n f rg*+t 1a. =2f "4"¡a"v.sr J qilartta" = tf "*,r¡"¡a"v.sz I r6/6-;"¡a, =

"l r6-."t-."a" do¡de ,=¿sen¿

v.st J 4¡a+a¡a" = "l ra.*"t*"""a" don{ie z=ctn¿

60 ¡NTACRALES INDEFINIDAS

1..5. J

Ft \ / r , - t1t¿r 'J Frd t ¡n ! ) rc u t¿n u d¡

u.5s J Fa-td" =i ÍP*

rr.rc J"r',1a, - J no"a"

v.st (o(*^ ' r )¿, =, f rp¡"*"a,J \ dt r

R¿sulrados siúila res se $¡i.¿n Dáraotas fu.(i.nes risonométics F.íprcds

rr.:r J.r"*,,*,ra, =,J.(#-,#")# ¡""¡",=t"i

t\ la$ pÁgrn.s 610 . 93 se ?..ü¿núa u¡¡ l¡blr de inl€sr.lé clasificads por r¡p@ ndabl.s l¡3 obseNacibn6

h*his ¿n l' eásin¡ 5? son iPu.ln¿nle aplicabLs eñ 4i€ caso En lodos las osos * ¡upone erc¡ui'h b divi¡iób

vse Í *1 = ln(**¿)

va Jffi = 2 - jnp+r'1

v.6r t#* = (@-iü)¿ - 2ü(df¡+ ó) +5h(@+ü)

v,62 Í#h = (¿,-r-üP - 8ó(sji ¡)' + 3ür(qs+ t) -5h(¿.+ü)

v.a ! 7-Pt, = it(r* r-)

v.u Irffo = -#-;r(=#)vs' Í F#a = *#t#'(r*,-)

-'* [#rF = #r¡,r.", lfif* = ;r!¡+ir'r.,+ov.o lff i = - jó ,f ir-$r.r.,+orv.o l f f i = tú-ü) '-3btg+út +"6fir*$r.r-*o

u.zo J;6ft¡e - 1 + +h(-i¡)

vt !*!¡6 = F*¡-#.#"(*#)

IN TI.]IiRAI,ES ¡\DFJf ¡NIDAS

hrz J ,"r^l'_ u1" tE b\" - 3dt'

r h

v.ta lrft. =;fta,r.r, t fif* = éá$-,a¿Tñ

" '" !f f i = t#rr,-*ff,+]"nw+ot,,l" Jfi# = á a#h - 4J_.uoL-g"o;*av.n l*fr* =

'F#+*-"*-*'(*#)"" fvffiw = tFX¡¡ FG-.

"!- -;t-*"(*#)

r.n Í -,!:-

= d,:_ {o', jsrl_D: 6¡, ," /d' . 0lJ Fid¡ ¡ 0r¡ 2ós(dr+ üt: b6r¿r+ ¿r 2htrt ür \ ¡ /

rr.ro J r*+ora, = !## si ¡= -r, vús¿ r4.be.

rr.rr J,,*+rla, = 'T,:ii:: o';i,u,,; .. ,. '

Siz - 1, 4 véat. r4.l',14.67

l¡ . ¡ l f ¡ r* , ¡ t .¿, rd rJf l_ 2¿(d+óF t , ü¡rd+ó)" ' r"- - J ' ^ ' ' ' 14 3)dr ( ' | 2)¿r

T {n+ l )dt

Sin - t, 2, 3, vóa* l{.61, l{ 64, 1,1 7s.

¡r.¡¡ J *r* * ¡¡¿, = ¿r\a, + hl'+ |

_, ,+r(¿,+ó¡+r

_-¿J*r**ot , , r ,

\*# \" f '^- \* + b)' d"

* lfiff [ "'w* ts"a"

tt.u ( _L

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v.w (44

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l r /Vd+ü-Vü\

I ' lz \vant+ftI| 2 t*Ttt - : tan ¡11 _-

\ /*+b "

I d,- b'- t6 )

"l;+6

v.¿a f d'J ,.,lAti

I :TTICRALES INDEFINIDAS

vse l6+01^.a. =

tt.too J ,1"n + o¡-," a" =

2lat + h)<r+zrt

2\dr + bI-+r" _

rr.ror J,"* u,",,a, - 4"i: !l+jl3 - "'T#i:;"'" " a$fi$fr,'

l¡ro2 ! !!t-l-!r!a,d, -

2(ú !.üñn t o J @1ff!a"

t1.to. t'h!+):!d" -a.*q[" -H !

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tr.r- t ;6" *36, .I l a-#*'*

r1.ro5 J G,rj;;rór¡.¡o¿ l ------:j'-

v.tv J * *ffi-,,o.toe J ,", ¡fffo*a

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r I o / . '+u\ ü Itp - ,4 ttp - "{ ' \ p' + c )

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b, , -,- l---

j-cr,, , ,-0, , ü,óp =3gg)rnr-+oll'rp

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Y.tn !ffid" =

II.iTEGBALES ¡NDEF¡\IDAS

= | J--,--- ,,-tln-rXü!-dq) l ( . , + tF \pr+ q) i - ¡

'L-l-dr,:¡ ,rJ G¡_TFir, - cr*_rj+ !a;J9 r" 1p, + q¡

G=r",-l{#+_ . u ^-a"JSffi*}.=*.{,ffi * ̂ on-oJfflfr*}

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INTECRÁLES ¡\DEFINIDAS 67

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72 INTECRA¡,¡]S IND!FIIiIDAS

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INTECRALES INDEFIN¡DAS 13

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S.a r¡(!) d¿fnida.n €l jntervalo d =, = ü, Dividase este intelv¡loen, patss isüal.s de loncilud a, = (ü-¿)/n

En!o.d6 ¡a inretr¡l delibid! d.l(rJ.n1re ¡ - ¿, ¡ - b 3. d€finecomo

l5. f I l ( ¡ ) d, = I ¡h t fc,a ' . l (¿+ar)a: - ^da26tt¡ .¿

+ + / r ' , ( ' - r ,a¡)a. ,

fl Ímn. cien.n¡n!¿e¡ht.3i l(¡).¡ rsiconlinua.

si lk) = ;r(r), enlon@s po¡.¡ l-.oÉn. tuld¡rnl¡l de¡ olculo inbsrl ¿l wlo¡ d¿ I' i.k8ál ánt rior s

px.dé halLr.npl.¡ndo Ir fó@uh

15.2 | h') ¿' - | :-ctttú st'tl - tt6t - ttd,

Si .¡ inta¡v'lo 6 infnito o .i /(¡) lien€ akr.o sinsularidad en dlsúñ punlo del inl€¡va¡o, Ia jnt€g¡al deñnidges llamrds ;¡!¿!ú¡ inp¡opid. Trl.s inl€g¡.L. pú€den 1D1¡se.oñ. ¡as d¿fi.idas nedü¡te el.npleo d¿ ddeüad¡sop€r.c n¿s d€ linit¿. Por ejenplo.

15.3 | l(¡) d, = rin | /(¡)d¡

t5.. ( ' n,¡¿, = r¡m flr-r¿¡

15.5 l l ( ¡ ,d¡ - Ln I t i , rd¡ sbAunpud"rnsul ' ,

^ .n15.ó | / ( ¡ )d¡ . l im | , ( ' )d¡ s d * un podo r i ' (L l ' .

É.7 f u@),:r( ' ) ! ¡ (¿)! . )¿¿ = f"r<"tu". f "o*= l rat*- . . .

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c^,)¿, = , f or* dond.¡*u¡aconsrrn,e.us,quiera

É9 !" n¿d" = o

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vtv f xa* = f ua'+ ! ' rca"sn

f non = (ó-c) l (¿) do¡dec€¿noen,ne. l*or¡

la larnulr a.terior *.onde con €l noDbrcd. r.or.n¿ d¿l r"¡¡f n¿dnl p!m,ntegr¿les definidas y6víli¿, siehpÉ que f(¡) sr co¡1inua €n ¿ É ¿ = t-

94

I \TECRAI,ES DÉFIN¡DAS 95

¡L ir5.r3 | / ( , )e(x)dr = lc) l r (r)d¡

l j anrerb es un¡ lnrma ¡¿trcrald=rÉt y cuc a(¡) = 0.

dondo¿$.ncwnr6.niFdyü

dc 15.12 r I v'ilida si¿npE qu¿ /(:) y ¡(r) sean conrinuar .n

t5. t4 !''"'{o" * rt ,,aff - .o".aff

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En lds fó¡nulas sisüi€nts €l int¿nalo ronpnndido enrE r : d y i: b Ee considiE dubdividido e¡ ¡ padesigu.los ¡o¡ los punios

Fórnul¡.lel r€cl¡trg!lo

r5.r5 | l ( , ) d, - h lv¡+y1+ue+ +t^ i

!5.1ó | / r r ,dr - : ( r !+2r,{ 2y2t . . -2v" t -v, \

Fórnül¡ d€ StnDson (l¡nbiéh ll¡ñád¡ fórñul¡dc la pa.ábol¡) p¡r¡n par

!5. l7 | nf ldr - + tv¡ t 4^ t 2v t + 1ya - l2r . - ,+,ry", ¡{ . )

r5.rs f- ',,4{,--

rs.re f- :l-1!:

r¡.m f- -{4r

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, s in l (z+l) ' / , l l r -1) l l L(n+l) / I - r+ r l '

96 INTECRALAS DENN¡DAS

To&¡ lú hlar s co.rid€án positi%s a no Be¡qu¿ s¿ ind¡qu.lrconrá¡io.

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97

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98 rNTE(;RALES DE¡INIDAS

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15.72

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v.cr J"- ; { =á-}**-*a*. =É

ts..z Í , '#* = ",".r(;-"r**- )h runá de Bte úlrina s.ie puode enconrsr* p,r¡ ci€nN valores e.lercs posilivos ¿e n tv6ans¿ las prgj.n¡s rm r09y¡11ü51.

rs.rs J'p:ia, = i-rh?-,.1

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INTECRA!ES DE¡¡NTDAS

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99

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101) INTECRAI,ES DE¡¡N¡DAS

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l5,rs J- ¿#, ú,!a d" = 2ú¿ oh,e;

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rr.trc f ffia" = **i-i"r

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y "i ¡f'

tt'l : lt.l ¿, "o.**.rs.rD J ' f ; = ur*á***. . .

rr.rzo .]f' t"*,t--r"-¿-'a" = rz,l.'*'ffii$

la.2

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"1") =

{- ' . ,¿.¿t ñ>o

* l r ¡ r=0,1,¿, . , . ¡ londe 0!=r

¡G) = IEI-lltó.4

ró.5

16.6

16.,

r(*) = V;

(n+l) = 1: !:!;ELllC

¡ l {+¡t = f - ! ,q2¡V;' t .3.s (2r - l )

101

102 I¡ FUNCION GAMM

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2& | r(').(, + t) =EEb ú rimr B¿ l amr lórñuh de ¿upliúaón

r{,)r l , +r I¡¡¡ +i l l . r l¡ + a-:---L I\ ñ/ \ ñ/ \ ' /

que qu€d. Educ¡d¡ . l. fórnlla 16.9 mndó a - 2.

_,!_

,l; rt2.l

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tó.1

tó.9

l6. to

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tó.12

¡(,+r) = Ji-n- E:F'#+ag;++¿) ¿.

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= ""' "tl ' 1 1' * 't¡.¡t rior.. ¡a a.rcr¿ de ÉpE3.¡trr la tunción cañmá úmo p'tducto inliniió. L¡ const¡nre 1 es la

*t = !"'.-u"a" = -ttó, t¡

t6. ta

ló.t5 "a*u

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E¡t .6¡.ll.m.drr¡¡.dr¡¡.óric¡d?S¿i¡lin¿.

13' I;iM;r - I

Si.n 16.15 Éhc ¡ - n.¡t F y poájt¡vo,.nro.6. L lórDut, de S¿¡rtif3 dá u,a ¡pro¡imación ú¿j¡ !.r.n!

cu.do ¿ .. .uf¡ctr.i.n.nt s¡nd. Ip. .j, ¡ > rq.

"t - ''lr-"c,"-"

1253"" '

!6. tó

donde - e.Ep¡c. p¡r. indico¡ qu¿ la ra¿ón ¿nln tcré¡hi¡os. rmbc tados *aerorjñ¿ a t6 m.did, one n e ..

tó. t t

t7.t a1,a¿ = J ' . - ' 6 - a ' -1d' ¿>0,,>o

tr.2 ¡t.,"r = ll-rq+

e6^,"1 - z 1""'" *c^',"-""^ ,,a"

¡(^,") = J-¡i#]; d'

rr-."r = "r'+ rr". J 'ai${- ar

Mediank .l .npl¿o .t¿ 16.¡. ¡igi¡! 101, e pú.de modiñcar Ir d¿finición d. a(n, ¡) p!¡! inclun bnbién los

tt.¡

l7,a

lr.5

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103

!H'*. !"#* = "l¡.1 s€p¿¡lción.leva¡übles

hlrl tltl.tr + t.l.rt{t}.ty = 0

ll.2 E{uúció. li¡al de er¡er o}d.r

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l!.1 Ed&ión ¿ B.ñdlli

o¡ ' - .JPe = ¡ . -n) Í eatn tP&d' + ¿

dond. r=rr-¡ . Si n=l la¡olüciónB

h" = te-ef i "+"

f r ia,+ f fN-+lMr.)¿y = "J J\ /

donde¿rind¡.¡ que l¡ i.iegmció¡ .l¿b€ E lin¡*.o. Élpecto

ll,a F,lución €Ect¡

M(',y)¿, + N(.,rl¿t = o

dotd. ¿Mldy = dN::!.

n' = J 'P-"'

+"aó^de a-yl t . s ¡( , )=r, ¡ ' ¡o lucióncer-cr .

l l,5 Ecua.'dnhoños¿n€¡

* = r(z\

104

EI-UACTONNS D|FERENCIALES BASICAS Y SUS SOLUCIONES 106

t F(al . t t +.A\a).r t = O ^" = I#!i---"

ta.Z E¡{.ción_lin*l hono!¡n.!S..n nr,ñ¡ l ¡¡i.¿. d¿ r¿ + dn + 6 = 0. E¡ior6 ¡{v

C.ro l. ñr,n¡ E t¿sydjsrinhs:

I = . t . " +.2.4

C$o 2. ñ¡,rr E IB¿is!alc.:

t = .r.D] +.Ct.nF

C¡.o 3. r ¡ = p+?i , ñr=r-qi

, = .E(!r có! q, + ,, en q,)

d.a& t = -.!2, c=\6=An.

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ta.a Ecuació. ljnal no nohosó¡ead€ re4ndo o¡d¿¡ Hay 3 c6os qü¿.o¡ÉpoDden ¡ lmd¿ 13.7.

t - o'.r\. + cz.v

+ "' f" -oF(')d,

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t = .p\.+ orr.-¿

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-*"1*^"a1,¡a,

r/ = .E{¿r co. q, + q *n {,)

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er, t * .c" d"

_ "* ":.c, J.,* a@t *"t" d"

#t"**u = nt t

ll.9 E u&ión de EuLr o de Cruc\vHáci¿ndo, = .¡, l, truación * conli¿ne e¡

S+t.- t t r r4+t, = st" , ty€niónc6 pu¿de EsolE¡se coeo s¿ indio ¿¡ 13.?y r3.3.

"S**fr+o, = sr , r

106 ECUAC¡ONES DI¡ERENCIALES BASICAS Y SUS SOLUCIONES

la.lo Ecu.c¡ón ¡t€ B¿r*l

y = .J.(\''l +..Y.1')

Vó¡nc I.s Fisinrs 136¡3?.

, ' f i * . t*(r4 ' - i ' , ,=or

la.ll &u¡ción tÉ¡,rorm.ü .¡. B.!sl

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l!.12 E ució. d. t !.ndÉ

l ' - . t f ;-z'¿],-*a^+u = o | , = 6,p.(¡) +.re,rr)

l t l . t b+d)+(.+r4+.. . + {o+{,_r)¿)do¡iL ¡ = . + (i - ¡)d .¡ .t úh¡ho ianiño,

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:ntilii'ülilli:¿"J; ú".'l'iifi"'"*,**.,se.p.roimp¿¡. r¡s,.iñ. '¡d.¡ohnro

tt.l

r07

t0E SER¡ES DE CONSTANTES

^m¡linución s. pEs.nhn ¡lsum.rstu spe¿iales

l9. t l+9+s+ . .+i = i ( i ¡+ D

t9. to rr+r '+¡ t+. . . +d = di+¡ lJzi+l)

t9. l l t t+r .+8.+. . .+ i r = i { r ¡+lF = (¡+z+r+,, .+,)r

re, t2 r .+2i+s¡+. . .+i . = efG %!f !41! ! :1)Si 8¡ = 1r + 2¡ + ¡* + . . . + r¡ do'd.l t n son €nr¿rcs posiijvor,.nto¡@3

rr.r¡ l¡ 1 r)& * /* 1t)s, * ... * /¿ I ')". = (,+r)¡.¡ - (i+r)\ , , / ' \ . / - \ ¡ /

t r . t r r - |+ l - l+|- . . . = r¡ !r r . r r r - |+!- f+|- . . . =;re.ro r- l+|-+.*- . . = +r r . rz r- l+|-$+," f - =+rr . r r | - |+ l - f , - i - . . .= *rr . r r f i+|+$+|+. . . = *tuo f i+f +ol* i* =#tr : r $+$+$+j. . =*p:z ro_|+$_|+. . . = $rr : r | - |+{-}+. . . = Sr r : r , . ! -$+#-+r . . = *#t r .zs $+$+$+f i+. . . = ft t rc r !+*+á+++ . =*

tr .zz f t+$+o, l+f i+. . . = $tr : r f ' -$+$-|+. . . = $rr . r |+$-$-|+ = #tr .o ¡ l ¡+¡ l+S+¡l* . = trmt fr + ,l- + ,.r-J- + }.. . =:rr.!2 r.*--L + $ +

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l14

NUM'ROS DE EERNOULLI Y DE EU¡,ET u¡

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n *r,l lm:,***ji: ;'.1;uTü."tí:: * $J:r;,?f#i"fl,ltr*:"ilT,ff s."trj

", ".",iJi::ii:f::i1#Jfl;i?;:,l1il"itll.:i;..ff"il:i";,:.'];f"HlJ:".*,e¡o'ápo.r^r o¡.

2l. rru¡ld¡d enk d6 vc.t rB. DG tdoEs son

mrm¡ h4nfud v diñioñ. por ei .nDlc .o ¡¡ f is . 221, a - B.

2. M¡lt¡piic¡c¡ó! ¡tr ¡. vé¿ror ro, ¡¡ úqt.¿ Si ñ .. ddqüi.r r,íh.mE t { .4.L¡ m,dFs4acaunvecro,ruy.ñ5rnnudr. ,a, E!

rur, d:Rc,on A td m,¡m que u opueih , ta d.

, r¿ú8do.r ,¿¿ú¡ r¿.u o nL¡¿

¡. sum. d. veror*. k suns o rcsurb¡k de a v B ¡,t ¡tr

:jr..,-,"* d" B,- ",;;;.;.;;;"il.:;.",".I"n1'.1;1""i"ili"f"Tllti"*511i"ülli:';l,llT,:lTl'x-t,;:1".ji,",i *|fl",".**" *_ n,"., ¿,*."" *s,, _ ;;".." ü ijs

1 4;i-.-(.)

t¡l&t-,

r16

FORMULAS DB ANALISIS VECTORIAL 11?

E3 djd¿rb qu s1. d€fi¡ic¡ón e !!.d€ áptir¡¡ p¡B .únsr ñ¡is d. do, HtoR. ¡ri Dor +nplq .n t¡ Fia. 22-3* i¡.t¡d li mrc6 d. háll¡¡ lr ¡!h. E d. tG v@¿oEe ,{ B, C y D.

i i"(¿)

¡L. 'a¡

¡. vÉr-@ uni¡.r¡@. un L.¿or ¡¡nono.s ün dor dya nrsnitud¿nlon€.. *rn un w.roi unit¡rio.n li nüm¡ diEión d€

^ si ¡ =

€e igúl a la uid.¿. Si A.r ün do4

l6Tc+ ¡

Si .{ a, c don wciores y ñ, ¡ 3on edcalrEs. e¡t¡ne!

22.! a+l t =r+a l2y ñnDubt iva d€ t ' ¿dic ión

22.2 A+\n+Cl = (A+a)+C L¿y '3qi , r ih

d. h dic ió,

Z¿¡ 6{i¡) = (ü)A = n(rA) L€y *@¡a1¡{ d€ ta Du¡liptiec'ón €Mhr

22.a (r + i)A = iA + nA L.y diri'ibu¡v.

22-5 ñ(A+B) = ñA + iB L€y dürriburjv¡

Ub rcc.o¡ ^

s pued. EpEsenr.r coleindo su o.ig.h én .lot¡g.n O d. u¡ sid¿nr d. coo¡d.ú{¡¡s Er¡ns¡l.r* si t. j, ¡Ep-s.t n vrroE ¡¡it¡rio¡ eyr dieaión .s ll DisDa q@ t¡d¿ rG cj.. p.¡itim. r, t, : E3p€.r¡%n nte. enionc¿.

22.6 ^

= ,4.¿+Ay'+A*dondc ¡rl,¿¡t,/+ 3ón los l¡anodd ,r¡ousA.n Ias tEs diF¡on.s i, j, hy ¿!,¡r,¡, ro¡ hs lr.D¡d.s.o,,

AB.ü. 0Ér5r

Fl¡. t-¡

22.7 A. B =

d.nd. ,* ¿l ríngllo fornldo por A y L

1lt

Iry.¡ tund.ftr¡.Lc:

22.4

xr,,

22.1O

dond€ A = ¡¡+¡t i+,r*,

FORMIJ¡,AS DE ANALISIS VECTOR¡AL

^.1 = t ia

A. O+C) = A' l + A'c

A.a = AtEt+ A,Bt+ Apt

ZZ. l l ^xt

= AB*^.a 03.1,

dond. ra.l¡nsulo rorbrdo.ntEAy Ayr.iún vlctorun¡l¡.io r.¡Dé.di.ú¡.f ¡l pl¡no d.

^ y B.t rr¡ ñ¡n.¡

qu.a B, r lomon un ¡nl¿m. d.¡lz).¡o lro¡ tÉ. v€do.s A B ú rorm.¡ un lisr.m d.tinM ¡¡ un d.$orch¡do¡ d. hélid .¡e..d. h..i. L d.dh4 .¡ o.r un¡io enó. d. l3O & A h¡ci. B, .r¡r¡ .' l. dift'ciór & r ..¡tn a ¡ndi6 .r l¡ Fi¡. 2251.

So¡ ñrlrb.,únd.údt.¡.t

I r l2t. f t Ax¡ = lAt h A. l

lar t ¡ t ¡ l

= t/rjt.-A.B)r + ltpt- A,B)I + U,at-ateú

t l , l l ¡x¡ = -txa

12.14 ax(r+c) = axt + axc

'2.fl hx tl = ¡É..t 1p.ÉL¡otFDo cw6 Ld6 ¡on Ay E

ll& ¡a¡

lat ^.

a, lt.fa A.(txc) = lBt t. B.l = ,té¡cr+ i}&t+ tp'c.- tg,q- app.' ll,.cr

14 c¡ c.l

2¡.lt l^.(lxC)l = volu-.r.t l ps-l¿lepip.do cuyor ldn son ^,

B, c

¡ l . l l Ax( lx c) = t {A.c) - c{^. ! )

z l . l t {^x l ) xc = r(a.c)-a(r .c)

,2.2O (¡xt) ' (cxD) = (A.cxl .D) - (A.D)O.c)

22.21 (^xr)x(cxD) = C{A.( !xD)} - ¡ r {A.( lxCD= r{a. (c x D)} - a{r . (cxD)}

FORMULAS DE ¡NALIS¡S VECTOR¡AL 119

rt I¡ d.nv'd. de una rünción lerod.r A(¡) = /r(¡)t + ¡,(¡)J + ¡,(¿)¡ ¡ré t¿ v.rirhre c.Étr¡ ! e ds6r.

22.22 # =,]s,1tlp = ff,*fft*ffoI¡r d.rir¡r¡ pádales d. ün. funció. rc.r.ri,¡

^1n l. :t se deÍn.n de nar.¡! sioi¡.r. D,Dü F...reñdidoqu. ¿od,¡ h¡ d.riud¡s sris.en .

-.""" qu. * *F.cifiq,t i. r..tr.i..

n,a

^'(* 'C.^.G'f f )

f t^.ar

-1{e r r)

j t^'t" 'e.$ =

^.h =

= e.S + ff .r= a,d,4+#"s

c¡ = $.1r"c i +

z7.a

xt,25

22.N

z\27

El oFndor m¿h * d.fine .st

2r.2. v = t jn+¡"- ta¡$

- En lk ¡ómüIá¡ qu. vi.n n . ún.i¡u.ción ED@ . ¡upon.. qú U_ ¡/(¡, !, .), y- yt¿ r, ¿)

^ _ A(,'' ,)y A = a(¡ y, .) r¡.n€n dedv.d¡s p.ri.l€¿.

22.29 cr.di.rb.t€U = sudU = VU dv, au. au?Et+ ¿yt+Et

= ( '*1*t** '*)u =

9IVEROENCIA

22.¡O Div.rs¡n. i ' d? A = djvA - .V.^ = / '( i* * jú * rr,=) t¡¡ * '¡ * ¡"r

ü - a;- d"

120 FORMUT_AS UD ^NÁl,lsts

VECTORtAt,

(id¡ +,t + ¡i/ x (¡rr + ¡.,J + /r¡¡)

l ¡ , L lt¿ a al

lar ^, a,l

/¿¡t ¡¡,\. /¡¡t a¡¡\. . /.á, .¡,\-

\; i--a 7'. \E- - -¿"/' r \E:- E/¡

= v.(v¡¡ = *r*+*

- a¿-ú'¿a

22.&l kp¡.c¡rno d. U = VtU

2:l.llt t¡pkcúno de A = VtA

1l.l¡1 OrpBdorbi.srbó.icoaplicodoo U¿.v, lu,e.u - tv - dru - a.uF' 6t r 77 a .rr-

zl¡s v(u+y) = 9u+Yy

2¡.¡a v.(A+E) = v.a + V, l

2232 v x (a+!) = vxa + trx!

* l .aa 9.(V^) - (V¿4.^ + U(V,a)

22¡t vx(UA) = (v¿r)xÁ + ¿¡(vxa)

¡¡ . ¡10 v.(Ax¡) = a.(vxA) - A.(vxB)

22.4r vx(a)(B) = G.vla - a(v.^) - (¡ .v)r + ^{v.¡)

2"a, i ¡6.4 = G.v)a + (^.9)r + Ex(vxA) + Ax{vxD)

22./F vx(v¡, = c, ó s.a que el r.1o¡ dets¡ádi¿,red€ t/eserc.

22.¡L V.(VxA) = 0, o sea qw tadiw¡e€ncüdet D¿ord€A4c.ro.

zL¡15 Vx(Vxa) = v(v.a) - vta

FORMULAS DE ANALISIS VECTOR¡AL

en|ú@ t i^t.¿mt inLli\i¿¿.le a(¿) 6 ¡. ¡iglie¡l..

12l

si a(r) = *E(¿),

22lÁ

b i .¿4t d¿liaidí ¿r L/0)

2t7

J^n,* = B(ú) +. .de ¡ : ¡ ¡ ¡=¡ . . t ¡ d¡ .h por

J'e1*¡a. = qr¡ - E("¡En Bi. és I¡ inlqrd d.tinida puedé definiée d. ls D¡sna D¡.€E s-o !!.É.n r! pasjü 9a.

Co¡lidó@eüF oe Co¡ €l épocio tndi.e¡.iona qu¿ u¡, r@ pun_t@ Plq,!r,!.) y P,(4,ór¿.) @Do .n ta !is. 22-6. Divíü@ L c;F..n ¿ Fri€r por rú ellñd ink,E€di* (rr,r!,,J, ..., (!r_r, r¡_ r,,i_r).

. t t wcrorAr4y, .J. to ¡ , rgod. l ¡ .unr C

zz.4 | ^.ü

= | A.d¡ = üb >

^(!,, yp.,,). ¿ü,

donde Ar, = A.,f t Ar,, +aat, ^t,=%+l

l . ' . t . , - , , r sd?b.. * ¡uDon. qu. L D.yor.nrF t . ¡ Drsniud.3l4,l ¡. apFrib.

' erc. d.drd. qu. ,

- ..Et Frut¿odo 22.4a ee un. e.

ocEli¡ción d. I¡ irr.snl d.fioidr comrtn lpts¡na gat.Il iDr.gül tupihná 22.¡A t¡mb¡án ¡. Du.d. 6c¡b,r

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uñk pr y ¡t de una Fsron dldrq. s_ ,-b,@, ., .t c.r" -

.," a _ t. "ruando,A,A 0 dDnd.ry.us d.nwdñ p, .cr¿¡es son c.nr inm ¡rA, t . rnelr . ¡

" ,* ,1. . . f ¡ .¿.*ln@peñd¡.nrp e ¡a i¡'ycour;á. En brqso J"

xr.52 t,^.a, - t""'t.* = orP¡r - r(P,,

tz¿ ¡OBMULAS DE ANAIIS¡S VECTORI¡I

dond. a(PJyi erd.¡ó¡n ¡d uloF¡ dt a.n Ptv Pt ñFci¡rent En p¡nidLr, ái céuud4Érdl¡¡

22.í'

donii. .l .l¡u]o ebE .l .i!no & ini.!r.l ¡.€ arn¡i¡ .n .¡ heho d. {e C .r ér¿dÍ

l " t .a,=$"t .a,=o

S.¡ ¡(r y) uú tun.ión d.iinnü .¡ un. 6sión td.¡ P¡¡.o¡r ..@

- Duátn .¡ ¡¡ F¿. 22.7. SubdivthF l¡ Etión .n t

NbEgiúó tor !.dio d. liú¡ p¡¡L|.. . lo¡ .j.¡ t y J, óúo ¡indiú .ú l¡ li3!n. S.. A,|, = ar, ar, ¿l ¡s r¡. uE d. .¡b¡rubqioú: E¡toE. L ini.rr.l ¡| F(r r) obE I . i¡fD .l

/t.!1 | rE,nda = üE > F(¡.,r.)M,

.i.DpE y dÍto qú. .l llEir..ri.t!-

En t¡l uo l¡ int !¡l ¡¡.i. t Dbiár.enb¡4 cobo

.b?l ' |ú/t.'t | | Ft,tt.h.k

.h ( /^t 'kl l= I { l F l . ,y l¿t t dr

¿.4l¿'¿^ 'n )

do¡d.t = rlr)yy= /r(,) @n l¡r éuoon.. it l¡¡ cur.. PtlQy ¡d€ Brpétiv.D..t .¡ntÉ¡qu.cyó.d 1...h.ci{¡ d. 16 Du¡t4 P y e Eú. irt sd l.Db¡ó. !e puede .enbü d

.. ( ¡"(') .t2: t -Eú I t Fl . , t )¿.¿t = | 1 l f i ' , r ) . ¡ ¡ ldy

J

núd. t = slt\, t = tJj bn I.r é.úcionó ¡|. lr. oaú tPc y PcQ E¡pe¿iuD.¡t Die¡tnr qüe c y d &nlú od.úü¡ ¡r. t y c.

E¡¡. o. ¡¡r lll.D¡fr. i¿..rnl¿t daób. o i^t¿ttul¿. .b d8. fn .ni€rioE. co¡c.p¿d @ pwd.n ¡Ep¡nr p¡rúid.^¡ ¡¡r.tdb. ttipL. o .L uo¡¡i4.n ¡i @Eo !.n i¿r¿trLr

'ú¡1¡¡¿r .n bl¡. .i. tE. di¡.n.¡on.t.

Subdivi<ld l. .u!.¡ñ.i. s lr¡.& l. ¡is. 22-31 .. ¡ .¡eneltd rl¿¡F. ¿S,, ?= 1.2,...,* Il*e. Att ,rrt = rrr dúd. (tr, t, t).¡ dtrh púnro P d. ÁAr. ¡jd rarun. .oru¡¡ unir.¡i¡ ¡ ¡.gr.n .¡lunt P' Entotrer, l¡ i.t.!Él d€ ,!FrfE¡. d. L conF¡.¡t€ norn.ld. A .obE S .e {refn¿ $l

A.NdS = l i r > ¡r , .N,aS,ns| l"

¡l!, ¿{

FORMULAS DI: AÑ"AL¡sIs vECToRIAL

si ? ¿¡ t. proycción d¿ s3obÉ.lplanaD,..to¡c¿s tvó,s¿ t¡ Fi*.22.s1

Je.xas = {^. . f fg

123

22.54

. .s¿a sunr Npdfioe anada qüe ¿¡.ierÉ u., sgión dc votunen v;.nrones si N es la no¡nalpcjrivr (dingiüb¡ci¡ et .¡Énot y ds - N dg s¿ tie¡e qüe tvéd6€ la Fis. 22.e1

22.5t f v.^nr = f ^.o"

E.t¿ hEba t,nbién s. conG con cl nonbre dé ¿¿oEñd d¿ co u,s otz¡ftño tl¿ c?en.

¡t. r+t nt. &ra

Er, 'eo'pm¿ c Í q iL.¿ Jn, , .o, .p.r¡ t d" .p,¡r" , r . t "

l:¿1 FORMULAS DE ANALISIS VECTOB¡AL

22r, Jt o+ r to.t.torllrv = Í \rarr.Édond. t y ú EpE3e'bb ¿ubcionee 6caLÉs.

!,rno+ - ro'nr* =z6 J (r v* - *ed.¿r

za ! ,v,a,av = t ,e,r . n.u !"ta, = J ar,. vr

U¡ púnlo P sr .l .rp¡cio Ivé¡* Ir Fis. 22¡11 pre-& ¡d.üa* nó sló po. D.dio d. coo.de.¡dd E.t:n8ut!-¡ (a ,, .) .iro i.Eb¡ó¡ Fr @r.L¡.dar mnilínd¡(¡¡ rr ú!). L¡t eúcion.t d¿ ¿nm6¡D,dó¡ p.np.¡r i¡.! üno .l dm 3tui¿nr de coorde¡.rk $n r..

2,6

Si !¿ y ¿3 .ob orrt¡¡ica, ..to¡e¡ ,l v¡i.! ¿, . s¡Étoi d. potición ¡

- 'i + r/j + uL d.l punt¡ p, &l

cnb. !m cuo¡ l¡.b..t¡ Nrv¡ c@rd.¡¡ü ¿,. D. ún.,á ¡nro¡ e ¡úd.. d.ñ.ir ¡.r dM¡ cootdeúür 4, yurqlep.s¡po.¿ l@rEt¡ú ,rtdlb &t4 atla.

¡v!. coord.n¡d¡r ¿,, ¿!

L6'

zr.8

3on ll.b..t@ ld¿¡opr d¿ ¿¡.!r¡.

rt r&u

- l r ¡ l l r r l l&l.,= ld"-,l, ", = Iril, ",

= l*.-,1Si.! ., €. 6on perp.ndicur¡a ¿nrE 3i ¿l t¡rrén, @¡den.rlo tuwilin€o se

¡ORMUI,AS DE ^¡\¡AL¡S¡S

VECTORI^¡- rt6

2e & = ü&.¡ +f;dtq +f;a". = r,a.,.,+qó{q+¡r.¿¡...

Ztm ¿r = ¿r.¿r = ¡id.i+¡,id,l+¡ld.¡ilond. & d el .¡.n n o d€ lo¡litud d¿.rco.

Si dy.5 el elenén1o d. rclun.n..nt n..s

ZrUl ¿y = | {¡h.! ú¿r. (¡rr ¿d x (¡r.¡ &¡J I = ¡!¡q¡rdlr úh¿¡.

l*,"*-@lt'-*= 1..-"#1,",0",,* =

n.7,

F ¡¡rD. el.Ácoüüno d. l¡ iñn.fo.me¡ór_

ld,h", a'ta a"lal

= lata"' ** ,,^,le.l t a.taa. d.lar.l

L lórDrlá 22.72 !!.d€ €npl¿aE. p6ñ rnnsforha. inrcsnl.¡ Dilltjpl* d.l r¡.1€-¡ cr..sut¡, al 3¡5r.n! d.tuxreuüd onili¡a.. Po¡ ¿i:nplo, * ti€'. qú

z2.r' fÍt"r.'.,,*** = ffJ<",,*,",rlfffil-,0",0"- i - - i rrlond. {€.la E¡ión c¡ l¡ o"l qued¡ conv€nid" td&p!é. d. la .nnsto¡D,.ión y c(¡¡,rr, ¡J.. er úlo. qe @¡D.Do¡d. ¡ r(¡' r, z) d4ru& rL t¡ rr..r¡om..ión.

-- i Tlllnud9n,. ReÉúnr,. una fun.ion ....hr y a = ¡l.r + ¡A +

^..¡ uo fun.ron 6ori¡r oyrl

ztjt a',aie6t d.. = !.do = * = i#-¿ü.i#

zlzs Din¡s¿nci. d. A = di'a = v.e = .^r--f ffir,o"a,r + f;rr.r,e,r * ;lrr.,r,r.r]

22'7ó Rdo'd'^ = da = vxa = r*|fi tr ^T,1=¡fu f *:-r,,".r-{r^,,,r].,**-.r[fi o,.,r-f, o"..r]"

*frffirla'r-fioa,r]..zr.7' r¡p,in.ñ. d.r ='" = # [*,(+fr) - +(+#) - *(*#)]

obs¡r€e qü. el op.r¡do¡ bi..rnó¡ico 9ro = Vr(Vra) ¡¿ p!€dé obr¿nerá p¿rn de 22.2?.

126 FoRMULAS DE ANAL¡SIS VIiC'¡ORLAL

C@rden¡d¡s cilírdric¡s {i, ,, z) [Véase l¿ Fis: ]¿'r2l

22,74

z¿,v,

22.ú

n&¿-ll [email protected].ü. c¡li¡dnq¡. F¡t tnt cdd.¡.rti¡..1¿r¡c.¡.

Coorden¡d¡r eslérica¡ (¿r,ó) lvqse la Fis. z'13]

2t. f r ,=r* .6. , t=rsn.*¡r , .=rq.

22.a2 ¡i = r, ¡: = /., ra = '¡e.'.xt..t v'o = -13l¡9) +

-L¿ t ¿o\ t á'ó' ' ¡&\' ó¡/ ¿*".iar^' ü)* ¡ *"'-¡ td¡-

Cootd€tr¡d¡! ciü¡dlic¡6 p¡labólic¡s (r.,r,z)

n.4

n,t5 r i = ¡ : = ¡¡+,t , ¡ : = I

-- r /¿ro a+\ ¿ov+ = ;q_É \¿¡¡_

+ a,r_/ + ,r,

l¡¡ ú.ra de ¡$ Bnpülic¡¿¡ c@ rdcn.d.¡ .n .1 pt¡no ¡}.¿ mu*1r¡n en l¡ Fig. 22-t,t. Di.h!¡ 1rs! s¡ D.ribol..hoEor@¡cs qu. ti.nen nr ej¿ c.ñún. Fi!. tt-r¡

FORMULAS DE Añ"AI-ISIS VECTORIAL

coorden¡d¡s pa.sboloid¡tes (!r, r, ó)

22,ef

22,44

22.4'

¿ = t co.o. 1t =! 'snó,,=*(4!_, : )

¿E0, r?0, o=é<2.

h! = ni = 4.+dr, ^,

=, , t '

1 á/ tu\ r , / I \

'* - ;i;:",- *a(,#) - **----r-"'i * t*) - # #_Por

Evotucióh d¿ las prúbohsde t, Fig. "2-1,,

llEdedo, del eje:, ¿l crdl p$a éntones . lt!D{¡* e¡ z,s¿ obtien¿r dG sGtema¡ de slp€.fici€s coordenad$

Coo.denad¡s cilíndricas elíp.icas (¿,|,,2)

¿ = o@h¡co.r i , =.snh¡3¿nr, z - :

e¿0,0=o<2r. -d<t<p

¡ i = ¡ i =,r(&nh!¡+*n¡!) ,

^ l = I

z2!n v,+ = . I /!¡r ¿,+\ ¿,s" ' (*"h,¡_ É",¡ \ t ¡ . ¿;/ - á7

""""3"" f';:r:i,:"i."Jf,[i,.j," coo'd¿¡adas en er prs'o ¡' s ñu'stmn en ra Fis 22 r5 r{16 cu¡vrs son

Fis.22nt. Coordeúadas citindricas eliptic,s.

22,90

22.91

128 ¡.ORMTJI,AS DD A\ALISIS VEC'I'ORIAI,

Coordeóadas esferoid¡ les ¡ l ¡ raada6 (¡ . r ,8)

22.94 ¿ = ¿s¿nh¡snr@r9, , = orDh.sen,s€¡o, '

= aesn¡co.,

l=0,0=r<_r, O=O<2Í

22.9a ¡ i = ¡ i =. ' (s¿,hr¡+e.¡ , ) , ^3

=. ,senb,¡rn, ,

22.95 v'ó : : ,¡ r ¡ -¿ /snh¡i9\¿:(snh:¡ + sn'r t rnh¡ a{\ . r ¡ l

, r ¿/ ¿. t \ r ¿¡o- ;6;h'l*.n-t;;

';\4h!¿r/ - r;..h!¡*"',-;F

Por Evolución d¿ l¡s cufrls d¿ l, ¡ig. 22 rs ahdedor del ¿j€ ¡, €l eal p!¡á .nionc8 a ll¡ñaE. +:,e obrie¡c¡ dd s¿iie d¿ suF¡ficie¡ [email protected]¡s. Un. r¿rc.¡a sene de 3urErfici.B coordeb¿d., *t¡i conpú€si¡por Dl.nc qü¿ p.*n p.r dichó .j¿.

Coorde¡odas esfercidales ¡ch¡tad¡s (a, r,t)

,=.4nacqrcola, r=¿@!h¡@¡r*né, r = renhtsn,

a¿0, _, /2 É, =, /2, o1ó<

¡? = ¡ ! = ¿r(@nhr¡+*n' , ) , ¡ ¡ = ¡¿co.h. td, ,

v+ = __-] i : : 4 l co¡h r s! I¿13enF{ + pf r).ü¡ f d{ \ rlJ

a/+ ;'i*^h\ n;;'", ""* &3 t- ';:) . a

-;r;i *- ,¿,F

. Po¡ Évo¡ució¡ d. Ilr cun.. de L ¡is. 22.15 ahdedor det + y, ¿t cut Dá6a ¿niobce¡ a IIID¡g e¡ z, ¡¿o6¿i..d do. F.i6 d. iuperfti.! cdrden¡das. Uno ieee.! se¡i¿ de supérffci¿¡ codenad* *ni conpu.rraF¡ pranor qu. pá¡u po¡ djcho +.

22.1t6

zr,tn

22.t4

CoordeDad¡s bip¡rlarca (L, o, z)

n.tt

22.1O

zl.t0l

zr.la

¡i = ¡! = G;¡;{;,¡, ¡3 = r

e4 - G6h'-cd¡r ' /¿4+rro\ ¿d,ó¿: \¿¡¿ d"/ d¡,

l¡¡ r¡!¿6 d. ¡,s.up€¡ñcie¡ coordeb¡d.d sob¡e el planoí so n

FORMULAS DE ANALISIS V!]CTOR¡AL 129

rt¡. ¿-16. Co.rd.nad^¡ bip.t¡fts.

Coorde.adas toroidare6 (a r, ó)

a¿.¡Gl

zt.ra1G;ü!.-@D

- !,*#To)r*(..ffi9

- r*=*r#

,", ff."1,T:i'fr"n*1",T e obiüren he*ndo sn* Irs cud.' que ap"E.e. en I¿ ¡is. 22.16 s¡Edcdo¡

Coordenad¡s cón¡cas (r,rr.,

"=+.

¡ i=r ,

I ft:¡5r,r=¡¡tI-¡r:;-=

22.106

22.r07

130 ¡ORMUI,AS DE ANAIISIS VECTORTAL

Coorder¡dd eliD6oial¡le6 (honofocares) {^,A,,)

zt.to

tét lUl¿t-r t r - r ¿-rl * ! . ' .1 ;r1+ F= +

" '=l r ' r ¡ . it ; t=rór.- t ; ;

t2.lotrl ¡ i =

] "=

[^ ! =

(o' - rx¡, - ¡)(!' -.)

(¡t - ¡xüt - ¡xút -,)

(é-rxc-¡xd-,

xt. o

Coorde¡¡d$ paraboloid¡les (honofocal6) (r,p,,

22. 1

| --L, -Jt-

I --cL ^ --¿-

t__c_- -_L

22.t12f "=t - -t " -

l^ ;=t -I t i =

(cr-rX¿'-¡Xd-,

(ü¡-¡x¡:-¡xü,-,

I+¡+r-¿t-ü¡

¡O-t- rnü-r5{ , -d(r - ¡)

0-rtu-,

22.tlt

I¡ ene d€ Fouúci corespondie¡¿c . la funció¡ /(¡), ri cúl s 6upon .t¿ñniü en ¿l int€¡vllo . S . t . + tLdonde. y ¿ > 0 ¡on co.rbnÉs. $ d¿6n.,Bi

23.t

23.2

?* 3 1." -' Yr + ¿" *" +r)' r=| \

l^ = il.'.""rc"-rya"

l '" - i¡" '""no^,;*si lG) y /(¡) $¡ osiconiinu¡s y si lG) cstrr pdjódidn.ntr d€rinid. co. u¡ período dc 2¿, o s qu¿ l(r + 2¿)

: rG), c¡toner k s:ú cobv€'se h¡ci¡ /(¡) 3i ¡ I un pubto de conrinüidd y t'cia lu(, + 0) + Í' - 0)) .¡ I.s un Dünio dc dúco¡ii¡úidad.

SüDoni¿ndo que Iá *rie 23.r convdg. h.cia l(r), se ti€.¿ que

23.3 na = ,3_."","".-

I lr '"'23.1 . .=; l f r \ . - t t$tLd¿ 1l ' ,

[ ,*

@i+ 4)iJ.28.5

23.ó 1,t."."'tatooo' = + + j, G"""+ ó"d")

donde di,6" r ci,d" son los.oelicienies de ¡oürieiqu.co{.spond€na/(rrJsla) Esp€divameore.

l3L

132 SERIES DE FOURIER

2r ' , t t¿ = { | ot '< '

[ - r - .<,<0

.{ /a"' . ent. . e"6¡ \; \ r - - - -s ' - -u - )

2t.¿ t , \=, t= { ' ot" t '

' l - r - '< '<0

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2 | /*2, cd ¡¡ , .o¡Gt ,; - ; \1s-s.ó-6.?- )

SERIES DE FOURIER 13¡l

2..12 . , = f - ' " " ' "L 0

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23.15 l t l=, l Í , ) ,0<,<,

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2t.16 fl') = ¿G -.)(, +.), -t < . < .

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13{ SERIES DE FOURIER

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-"("*", *t-"* t{".. '" * . .)

23,23

SERIES DE FOURIER 136

23.24 ^'t

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. - " , -$"-s,* f*r , - .

23.25

^.)

= eú, - .<.<t

l-9SI!-4: l+ + > (-r)io dú '

pn n')

23.26 t ( t ) = e. t1r t , - ,<r<,

2Fnh! ' / er , 2Pn2, 3rnsr \, \F*7- Ft ; r - -

)

23.2' l ( ' l - @.ntt , -"< '<"

2t$nh', / | mr2t 6¡3¡ \

' \2¡ t 1¡+¡t P+rt 82+pt /

24,24 lk) = rú lÉ.* ,1, 0<,<,

/ . ^ o¡¡ co¡¿¡ . coss¡ \- \ . . , ' ' - - -*--T- ' . ' )

23.29 l(.1 = ln co. ¡,1, -' < , < r

)

23,30 ¡+ - l r , + l ¡ ' , 0 =,5 2,

-T--A--

23.! l ^r t

= l t t , - . |z-2t t . o=t=zt

.t = t,,-L,.é++."'-*.a, os¿=2.

.6. 62t .o.r¿ ,

-,

+ r + --¡.- -

23,t2

| ' r , '+ 4,+ ld-¡ t ty = o i=0

L. &lú¡on¿á d. ll an¿dor ecuació¡ s. lrtn¿¡ fuBiú.r d. B.tt¿l ¿¿ oñ¿n r.

4.2)

* J,- * -¿r ¡(¡ + 1) [- 2(2n + 2'

É- ¡ti{" + ZElt

2'1{,i.+2llb+41

a.t ,-.(', = -#-ni

- m3¡;¡ - ¡¡a=*a=m -- € (-l)r('/a¡-'- É.¡Tr(¡+l- i ) -

214 J_r( , ) = (- lFJr(e) *=0,t ,2, . . .

Si ¡r.0,1,t,..., Jr{r) y J-,(r) don linalmnt in.Lr.rdi€nk3.3i i t¡ 0¡1,2,..., ,¡(d.Í¡ .i.6niü .n ¡ - o nisn¿É¡ qu. J-i(,).s ¡|€rinü¡.P.¡r r=0,1 Ét i6.

Ar rct , t =,- i* ;+-ñ+16- '

z.r u" = i-$'..F*a-s6dr." ..

aJ Ja\.) = -J¡t )

)

2a.a rret :f J.k) qk - J- . ( ' ) , r0, t ,2, . . .

{.* r,1,".13;.t" n=0,,.2, .

I¡ roh. ánl€¡ior 6ñbién ¡. conee co..t nonbÉ d. /¿¡ció^ de webet o lunció^ d. N.!,¿¿¡ Jt, d.¡&.co.1uñbn ¡ d.nob. F' Nr(¿,

186

¡'UN CIONES DE BESSEL

P.É r = 0, l, ,, , . ., l¡ E l, d! L Ho¿tii¡I ü

ao r"(,) = ! 0r (,/2) + r J, t,t - ] .!l r" -, - t) ' ("/r¡"-

137

2a.to

21.12

P.É .úhui¿i v.lo¡

- I .! t-uNnrrr + 'r" + r'¡9, * *tr:6 ra con¡i¡nr€ d€ Eül¿¡ tp¡gin¡ 1l ,

o{P) = r+t+d+ +; , o(o) = o

A- cG, a . . l:f ln(',4) + y)r¡(:) - i lr,=-¡fuo F{) + d¡Ac+l¿l) -...}

¡ . ( ' ) = (-1F¡¡( ' ) ¡=0,1,2, . . .

i = 0, J¡(,) *l d.firi{¡, e¡, = 0 aicniÉ¡ qu. y,(,) *r¡ l!de6¡¡d¡.

2¡tl¡ , = ¿J.(d + aJ-rG)

A,l1 t = At.lr, + ty"l.)

A. l5 | = A¿.ls l + 8J.t4 J,r ,Jadond. z{ y I sof .onst¡nr€s ..bit¡¿.ia3.

2{t6 .r¡-v,r = > J,(,).r

a.l7

a. l t

21.19

4.20

?4.21

21.t

t.,,1,¡ - 146¡- t. '¡4

J:(,) = lu"_¡(,) _ Ji+r(,))

'tal'l =

't'-l¿l - ^J"(.1.J'"|'J = ¿t.le) -

"J.+t(.1

*t .¡,a¡¡ = *t.-,t¿

!*t"-"t"Atl = -n .t"*,1"¡

r¡(¿) salkrrc¿n idé¡tica¡ r¡lcion¿s

18t FUNC¡ONES DE BESSEI

Eñ .¡¿. a.o l¡. tuncioñ.¡ i¿ ldrt ¡ .¡DE .r .o¡ .utilio dc s¡@ y @enm.

tlg ¡a.l') -

z'2t ru.@ - \f2 -""a.26 r-.Ba) = r/-*(+ -*'¡2t .2t ru, t) = {-*( i - ' )* ,- :*+a.2. taAt, = {={:*"-(*-r*" i

t+a t',ú,1, = ffr*-"

Enplá.* l. fór¡ul. do Gu.Enci¡ o& E que ¡e de@ oh¿n.¡ E8ultldG dicion.l€s. A p.ñú de 2,(3 P pu.-dén óbt¿r.r lo. ú¡ultldor e¡Égpordi€nL. . fú(r), v¡r(r), ...

,a.zt l:'l'l = t.(.1 + tY.l6l 2a.lo t1'\,) = riF) -.YJ')

ta.tl *t" +.1 ' - lé+r1t = 0 iEo

r¡¡ elucione¡dcr. ¡nkñorecu,c'.n p lr¡E,n t¿r.,o&r aodtlt d¿.x.h B.ss.l d? o".l?n n.

^1.t2 l.ld = l-rJ¡(&) = .-¡dtJ,(1,)

. . ( . , ¿= ñcfrt I' - 1(,.T¡ -+ l -3 c/ 'Ft*

j r - { t r ¡ I ( r+}+O

2¡1¡l

¡-"(a) = tn.r-Ji,) = dd'J-"14,

= -" L- é -

n - . . . t , 3 @Iaú-,

1-.r0-r) t_ 212-2nl 2..12-r^)11-2r) J ¡-a &l r{* I r- i)

A, t1 L.(r , = \ ( n = 0,1,2, . . .

si rr0,1,2,..., cnronc6 t,{r) y r-i(,) e¡ lincálncntl ind¿p€ndieni¿r.

Prár=0,1,* i i .nc

24.15 ¡oF) -

Lt - i ' t 4:-a, t6fr .é1. . .

2Llr r , t¿) = i+f i r+¡f ta+ 6éou+ . .

za.t7 4/¡t = I.(.,

2. r(2r + 2')l2r + al

FUNCIONES DE BESSEL 189

| .- r 1r "1,¡ _ r"¡,¡

2..ü rrk) = j

[ , ]h ¿* '*- t¡- ' t ' l - t ' t ' ) ) ¡-0r '2 ' '

C¡ando t=0,1,2,..., aplic.¡do la Éslá d. L Hospital seoblienc

za.t9 t<rl', = (-t)¡+r{rn('p) + y)ri(,) * !'>'t-tl.t,-r.-r¡t tzt"-.

-¿*!("+" ' . : t

lo(*) - or" l ¡D

do¡d. o(r) Bá &d, r.¡ ?.1.10.

21/o r¡{,) = -0n(:/a r .,rt.tu +*- fforr- * ¡urÍ.",,r*l*¡, * ...

A.1l K-.('l = K"t') n = o, t, 2, . . .

4.12

21.1t

a.a4dond€ r( y A !oó comr¡n&3 a¡bi¿Ériá¡.

¡¡,pr + ¡¡,r.r J4 .*,.a..

21.a5 ,:<¡+u|t = 2 t.tx)e

2+6 I.+í.1 = t"-,@ - ?rJ,tAA7 li,l"t = *{¡"_r(,) + ¡"+rk)}

AAa ,I',1.1 = ,t"-t(.| - rl.k)

A.4, tt:(') - .t.+í.1 + ^r"lr)

2+,5o Ltuú"(.)l = ,a.'jc,

u.sr !p-.t"tatl = '-".¡,+¡(,)

?('s, k"+,t ) = x"'t"t ++Kt)

24,5¡ x;(¿) = t{r"-,(,) + r,+¡(,)}

21,54 .K'rl.l = -.1<" tltt - rK;(.|

2a.55 .E:rld = ^t<rl"

- .K.+t('l

24-|6 *ld'x.\'J\

= -'"Kr ,t )

a.57 *ie-"K.l,D

= -,-.K.+r(,)

140

2tt.6,

FUNC¡ONES DE BESSEL

En csi€ olo l& füncio¡eG 6e p!.d€r .tpEer !.¡ h.dió d. end y coenor hiFtbótico3.

?ast r,,tet = G-""

2..5. t-vr@t = G"*,

21.6t r-,,\,) = GG*,-*Ja.62 r,n@) =

n[{("r.)*',-*-""}

A.e r,,t t - .f¿1""*, * t¡¡:\ r.." t; I t "v.¡ \

| t -vt ' )= {-={\É' t , ¡*r ' - ;* ' r " ¡

S. puedcn obl€n€. Fiültados adicioml8 emp¡ea¡.lo l! tóoul¡ 2,I.,tti. A p¡fir d. 2¡t.A3 s pu.den obi.nd lorEsürrrdos s¡psp.ndi€ntes !

'(u,1.), K,Dl'),...

I¡s p.ri6 el. i@ri¡.d. d. J¡{,én¡) s do¡o1u po¡ B.¡¡ (') y B.i. (,) ¡ic¡do

B-.k) = á¿!-ffi*('g"1'¿&)'a.q

4.65

4,6

4.67

ra,r,r = .i"¡ffi-t -"tc+rr¡r'

,* t i - . ¡ ! , - . .

@ny_@{l '+/Ft?" _. . .

, r i:' ('- ¡- r)! (4/r)*_¡ {si+¿¡,,- t.á ------- ¡r- *- o

. I ¡ {r/rF+r ,. . . . . , . , {8¡+¡¡},+t2 i¡G?Ej r.rtr +.{r+ ¡)l s -i-K.ri(') = -{l! (,¿) + 1} B.L (.) - ¡, Bdi(,)

r \ r (n- , - t ) ! ( r2)*- . r3 i+ 2¡) '- t ki.--¡! rn-l-

+ ti ffiorrr + 't"+¡rr *"f!¡1!4rdonde o 81¡¡ d.do 6ecún 24.10, Ft¡m ú?.

2.-ro *.t(.) = -0¡('a + r) E¿¡(') +;r.i1"¡ + I - $f 1r+¡t + Srr*1+¡+¡t2¡Lzf K.i(') = -ir¡ (¿¿) + r) B.i(,) - is*t"t + 6ny - lz4)4¡r+*+¡) + ...

PU\CIONES DE EESSEL 141

,L12 ¿ty, 1 t!' - lit2+,\1t - 0

L! rólució¡ ge¡e¡¿! de Ir rnlerior .cú¡ción ¿s

21,71 / = .4{Bér"(,) + i Eei"{¡)} + a{Kd"(') + i rC.L (,)}

Fl!.2'.1 ¡ta. x-a

742 F'UNC¡ONES DE BESSEL

2..A Í , rot¿d'

= .r t )

A.75 I , . r¡@)a. - ér;0) +.ro@) - I rokt d '

A.7. ! '-r6@rd.

= n^tl.) + (i-1)l--!r0(,) - 1--rr ! "'-t"6ta"

2..77 I +¿, = ,,*, t-_4- l'"otu

n.n J'g* = 6!#-a!#-#rÍ'#*x.tt Jt,1aa

= -t"1"t

A.o í 'r\(.)¿' = -"toto * lt"et*

2.-.r Í.-rf.td' = -*¡"t ¡ * * Í *-¡"t"¡¿'

u.a ! !9 a" = -t,1"¡ + [ 4ot a.

n.n ! '$0. = -#t*Í '#*

u.u 1,4-¡¡Ja' =

-'t- l ' tA..5 ! '-"t.+Jd

d, = --'t,t

)

2aú [ * ' r"Oat = - ,¡J,- ,{ , ) + t*+^-t1 ! o- ' ' r ' - ,6¡ a"

,1o ! . t.(ú) lalp.t d' ='lal "l

J:'t{'] - !!Ja" t|'Jú,"''

u.u !,twta' - {t:r",rr * f,('-$)t'"r-rr'I¡¡ r'b¡ioÉ Fiülhdos ¡nbién sr !¡¡idos €i e Eñpl'a a ,¡(,) Por vi(r) o,

-¡¡ 3tó.6¡Ecni¿, po'

A. t.l.') + B vrl.l dond. ¡ y I 5on comt¡ntá.

2.,o f --tolb,l d' =

zr.eo f -u 4<04 a =

z'st J"' ** t"too a =

I

(y'aTu - ").b,,/dlÉ

f t),tE=Rt^

xn f, 4¿",a = I*n f,9.* = iu.x f, --a6¡a¡

a" =

x.x t' .41*¡t.1p'¡ u = d,tatr9=F't¿t|t¡¡

t.te !' .l,t*t a" = ](4(¡)p + Ír-¡,/é)(r.(¡))!

u.n !' .41-¡41p,¡ an = p rú'tlttet =:!í/".r\@

i { ' ;r"-o"

!!, '-,u-.^n.,

2..roo r¡(,) = Gft_t, {'-,,-¡,) cor,, d,, i>-l

r{ror r.(.) = -3d'*a*or,

2..rc2 rc ,t = I f '."rr,-,,1¿ = +f".-.d,

2..ror J.(.) - -t/q\'Vrrr \¿nl

2+¡ó tu.{r)

A.rt \l',

ta,loa r.(.)

FUNCIONES DE BSSSEI,

.-9tr

do¡& ¡ €¡ áufci..t Ddt an L

dond. r é ¡ür¡cú¡r.E.rL ;ñn.t

do¡d. ¡ a ¡uñcntri.b.nt !nrd.

don& ¡ é !úfri.¡bD.¡t añn&

don& , 6 d6cicñt D€nt AÉnd.

do.de ¡ a ¡ülici.¡t úsnL ¡únde

1t3

U,l6 t.l.l -

a.Lrl y.k -

{*E*G-r-.).,f*-(.-?-,

-^ l - ! l g\

r=lú;

FUI\CI(J\ ! ]S OE BESSEL

tivas de rBJ"(,) + sr./r(r) = 0¡ r > -1. ¡i,non.¿s. h,jo lls.ondi.i.r€s indi.adas, ún válidos l,r sisi€.tesdesarolios¿i sé¡¿s

,9 : 0, n + 0, o sea que ¡ , ,^r&,. . . son .aices posi t ivas de ¿ (¡) :0

21.tot' J\.)

24. t t0

¡ ln parúub¡. s i n=0,

21.lll t(")

24,1t2

¿¡J.(x'¿) + ¡!r¡(r!,) + /rJ.(Is') +

^- =; t - f ¡ lc)r .or , r dr

4rro(rr¡) + ¿,J00,,) + ,,l!Jo(^!¿) +

, , = ¡ ,^_) J" ' tk t rotre)d '

RIS > n

2a.ff3 ^')

= atJ"(^\¿) + /4,./"(r,') + -4¡Ji(rsr) + ...

A. l la ¿, = -J

l ' ' , t ,a l^\ ,$)dr- J: l \ ¡ ) - J"-r(^JJ^. , ( r . ) Jo ^

En panicular. si t = 0,

U,ll3 f\,) = a,Jo(^p) + -4,100,,) +,.rrJ'(¡!,) + ...

2a.rfó a, = =---3- "',i'^., , rit^¡ J" ¡/(¡)J'l^¡'l d'

21.117

2a.t t t tÁ0=I

= A¡t + ArJ"(^p) + /eji(r",) + .

26 + r) Jr' ,"+ ' 1.) dz

ñ-t^,r JJr.,J".rtJ Jo '/r¡) J. o'.'r ¿'

n-0 de nine¡a que Á:0 lo seq crando rr , r ! , rs, ,

= ,{o +,{,.r.(rr,) + A)Jo(\r') + .

f" = z f'.n"¡a,.t -'ln, = fi;J"''tto'"aa",

2¡t . t ¡9

24.12l¡

¡'UNCIONES DE BESSEL 145

&S < -rr

En ¿sb sso h¡y dos ¡aíÉs in.gimriás puá. iiro.denCa de l¡s aím p3itivas )ir¡ \¡ rr ... y e¡ionc¿¡

aa.r2r í¿J = Anr"(^ú) +,r:Jn(rr,) + .4¡Jr(r*) + ...

le

21.122 l a =

aut * r,-¡ar r..ru, J" "(') L(r"') d'

l . 2,¡¡ - i r - I r / ( , )r , (r¡ ' )dr

2a.t2l s(,enr) = tolr) + 2tt\r', @2t + zJ¡k)@¡t + ..

24.124 6e¡( ,s.nr) = 2J¡(¿)seh, + 2.¡ ! ( r )*n3, + 2J¡(¿)*¡6, + . . .

2|-125 t , l '+ t ) = . j . r , t ' l r , - - t l

'=0,a1,12,. . .I¡ lnt no. & lLDida /ór'ü¡d d¿ ddició¡ pan !ft tuncio.6 de lc.*¡.

21.124 | = J{a)+ 2J,\.) + ... + 2Jh(,) r .

21.127 . = 2{rr{r) + 8J,(r) + 6J.(r) + . . + (¡r+l)rh+¡@) + . }

24f24 r¡ = |t(Jt(r) + roJ.l.) + 80r.(,) + ... + (2n)tJh(r) + ..,

A. ln i : = J, \ .1- z l . t ' l + 8J.r¡) - . .

2a.r3o 1 = Íot"l + ¿t1@r + ¿¡1t"1+ ztll"t +.

,+rtr l:l.l = ¡{Ji-.(,) - ¿r.(r) + J.+'kD

A.rsir J:'l'J = l{ri !(') - ¡ri,!k) + 3J"+!(,) - r,+l')}

L¡s fó¡nul$ 24.131y 2r.82 * pú.dén gcn€ml¡a¡.

2 €n&A.t$ r,\,)t-r\t - ¿,,rr\t) = -

24.¡L J i ( ¡ 'J-¡+,( , ) ¿ J."( ' )J"- ,k) = =-

21,rt5 J,+tlrly,Ll - J.@lYa+ tl,l = ;

2a.lló *r, = l{r¡{') - ry') + 4(,) - ...}

2t1.137 6. = Jol,) ' 2J,1.) + 2J¡,) - ..

24131 Pnb, = 2{¡ l&)+¡ l r )+¡1,)+. . }

24.f39 c@n, = 'l',

+ 2(1,1" + It , + \1., a -..'

25,1 lr t?lu" - 2.y'+ n(r+ r)1! = 0

l¡s solucio¡os de l!an!.riorecuación !e lldnan tn.ion¿sd¿ ¿¿t?ndte de oden n

En€l$ú er qle n : 0, r ,2,

25.2

,l.! eolucion.s d.25.r sonpolinonic de ksendEP¡(¿)que s pueden hall,.pD¡

p"t"t = 2+i#\," r)"

25.5 Pt(')

25.6 Ptlr)

1

*(8, ' -1) 25.9 P.l.)

25.10 P?(,)

*(231,.- 316.i+ 10ó,¡ - 6)

*(.!29r? - 69s,5 + 316r. - 36r)

¡5.12 Pr (cor.)

25.14 P,(co¡r) = ¡(3.o!r+6co'34

25.t5 Pt(co¡r) = t(9 + 20 co!2, + s6.c4r)

25.16 P!(co.r) - ; t30co!, l36cor3r-63s6r)

¡i¡(60 + 106 cd2, + r25.d¿, + 2¡1 c@6r)

#0?6co., + 139 co.3, + 281 66, I .129.oú?r)

25.t9vf-zr .+t"

146

FI]NC]ONES DE LEGENDRE t47

25.20

25.21

25.22

45.23

25,21

(n+1)P"+r(¡) (2n + r)r P¡1,) + nPt r \ , )

P:+11.) - ,P"( , ) = 1¡ + 1)P"( ' )

¿P;\ ' ) P;- t (z) - nP¡k)

P;Ir( , ) P; r ( r ) = 122+1)P"(r)

\., -r) P:\r) = nxPrl') - tP"-J'J

25.25

25,26

En r^zón ¿e 25.25,Pn@) -e P-1,) se pueden ll¿ñar odoson¿l¿sen _1=, = I

25.27

25.24

25.29 P"(1) = r

25.32

25.33

25.3,1

25.35

25,36

t<.) = AoPú(¿) + AtPtl,t + A.P'l') + '

or = lj} t, , na e¡a a,

25.30 P.(-1) = (-1). 25.31 P,(-¿) = (-1)^P,(,)

f o n inpár

P"(o) = 1. _."r .s.6. .1r tJt z.{ .b r

r ,at = ;J" r ¡+vr-1co¡ÉFdc

t"^,.'¡0" = '-t$#;f'-gP"(,)l = 1

""at = jaS"$1ll*

( es una.urva c€rad¡ simDl¿ quelien¿ ¡ ¡.oño pünto interior

148 FUNCIONEA DE LEGENDRE

l¡ solu.ión B.nÉol d. Ii auciól d€ lrs.ndE é

4.3,

25.¡a

25.t1t v"\¿t = .-

25fi

t5¡l".or

= r-'r.'"[(;),]/"'

I u.\ 'Jtv " lr) n = o,2,a,.. .

LY¡(,) /Y¡(1) ' = 1,3,6. .

l i rnterio¡ erie .e convs4 nr. ¿n -1 <, < 1.

S¡ ¡ - q | 2, . .kun. d. ll3 p;* 25ia, 25.39 .s 6nitr. En tal€¡ c¡3os.

25..2 vo) - r-¡r,.-,,,,r-.,[(-J']7,'Pd dro l¡do, b Rn. no li¡ib. ,comps'id! & un sdrodo r¿cbr o.rE¡b, m d.n@ !o. C.G) v ,

-n@ ñn .l noDbE r¡€ /¿¿c¡'tn de I2s.^dE d. xquad¿ espe.i¿.) ¿rd¿n ¿. por def¡¡.ión,

I U"( t ) Y"(¡) n = 0,2,¡ , . . .eJ') = I

I y. l r ) u¡( ' ) i = 1,3,6. . .

' . : . ' , ; .

25.¡l¡

?t... c,r"r = i'(ji)

7c'At er,) = ir(u,J -.

25.4 o,o, - _7-* r(i=) ,;

u¡..t c,*, = -i* '( i*:) -u#*i

L¡r turcion* Q,O) sllisr¡c.n rórnulss de reuíencia es.t¡ne¡t ¡n¡losls a las que ¡e dan en 25.20,25.24.Empleandoés1as sepüed.€rpEs{¡ ls $olu.i¿o ineh¡dé la 4uació¡ de l¡3éndre de 8b dr. marer

25.lt y = 4P"@) + BQ,(.)

26.1

d¿ ¿¿Á¿¿dre Nos ocup'Ebos únna

26.2

26.1

26.4

P:(")

i DEIEGENDRE DE PnIMERA EsPEclE

26.5 Pll,l = lr - r')!z

26.6 Pi@) = 3.\r- ")"

26.7 Pil') - 3(1- ¿,)

2ó.8 Pl(¡) = l\t"'- \1t '"¡""

2ó.e Ptrlx) = r5!(r ,,)

2ó. lO P!(¿) = 15(1-¿¿)3/ '?

26.11 2ññt \1- 2tr + t2)ñ+ !2

FOR|uULA

( ¡ r1 z)ÉT+1(¡) (2a+1)zPÍk) +

P:.\n ?\ifrP:"t') + (¡ n)(n+ñ+ r)Pl(r) = o

26.12

2ó.t 3

149

160 FUNC¡ONES ASOC¡ADAS DE LECENDRE

26.14

24.15

16,t6

26.1'

Í ' ,P:\nPi@td" = o

J-,e:an" * = ;

dord. 0.(r) úr turcio!á d. I4t¡dE d¿ ¡¿¡udá éFci€ [pd:¡ú rra]

Di.hD tuNidn.r en iÍLlini.I¡s.n t = il, ni.nlÉ¡ qG ¡3r) &n ¡r.ñ¡id¡..¡, = tl.

rlr tu¡.iond Ql(,) *iüf¡@¡ bt nisnar Elacion s d¿ @rEncia qu€ ¡3t) Ivé¡u 26.12 v 26 Ú1.

26,14

2llt

tl,t = a^Pil¿ +,{-+1P:+¡(,) + /-*!Pl+!(') + '

^, = ?!+]## Í-,,(,t Pi@r ¿x

4-1,¡ = 6-a¡."*,4o.1"¡

, = áPl(') + B€;(')

t " -2. t '+2nt = o

En ¿l a@ .ñ qué n - 0, 1, 2, I¡s soluc¡o.e¡ d¿ L ¿cució¡ d. He¡nii€ e con@¡ coDo Doti¡oD¡d {t tüúii.

¡¡i(,) qu€ & p!.d.¡ h¡¡t,. Dor l, lónuta d. Bo¡rritw.

E"(,) = t-ry¿ -E,..t,

7f.l

zr,2

27.11

2r'¡ Et\'l

27.4 Ht(e:)

27.5 ¡r,1.)

2r.6 E.(rJ

2r.7 Ir.(")

27.t E.(.,

2r,9 H.(.)

27.10 sÁr\

= 42.! - L64'¡ + r20t

= ütt - 1e0t +1¡2a,t-t'0

= 12817 - 18¡.¡rr + 336¡tt - 1680,

i ¡r.(.) ¿"

2f,12

27,19

H,+tl.') = 2'E,l4l - zrE,-'lr')

u:ld z"E.-!')

161

POLTNOMIOS DE HERMITB

z.l1

t.l,

f;i'-r a-qsrP *

!' --t t"'a¡' o

2t.t6

,r,ll

flr') Í A.tlo/') + Ar,¡!(.t + A.IItl.) +. .

¡, = --l= f..r'ros,t ¡¡.

D.1a

n.r9 n.F.l

2r.zr

27.24

2r¡]¡

a,ta

272!t

27

r.¡,¡ = 6"¡. - !!!:11¡,).-' +'{"-r)k-:lx"-o(2n)'-. -...

= (-r)r¡ri(¡) t,2O Er-'\o, = o

t ¡ t (o) r l - l ) ¡C¡. r .3.6. . . O¡- 1,

t' -. ¡r.. rl,) ¡t , r(o),("+ü - ,O+ D-

$r-t n"ell = -.-¿ É,*,\nl

f ié a.trl rr = rr¡-la) : .-¿ ¡."-¡o'

f "tu-t 'IJ.ttd¿

= v;r!Pr(')

4("+,, = ár*!(l) n,ktz) E.-,¡r,,/z)

E¡¡ úlri4..l¡D¡d¡ ldr'.ü ¿...1ü¡!h !.{ lo. Dóün¡ún¡ ü H.!¡nt ...

g ¡Jt(¡) ¡t¡(y) t¡{í,)dJr) - rJ¡}¡rr+ro)

'?.---7F¡- = ,r¡ri'. (. -r)1r,27

. t "+(L-.} , '+q = o

En €l ds en qu. n : q ¡, 2, . . h¡ biu.ion.r dé L aü.oón de lls!.r€ de conwn cóno potrboñiG d€ hsu..rE ¿¡{r) qe .. pDden n¡¡hr pot tt lórbuta ¿2 nodick.

L.kJ = É#rú'-.242

21.3 &(¿)

,t,1 Ltt l

21.5 ¿¡(r)

24.6 L,t t

24.7 Lt(4)

7a,a r,5@)

, r -15t4+12d-g6a+2a

-¿q + 26,. - 200¿t + 600rt - 6{x)¿ + 120

2t,, L¡ltl = I - ¡f,L! + afur - zratott + 6rOOr - $206+ ?20

za.lo LAt' = -ú' + aú. - f¡2é + 7360.. - 2O,,rOO,r + 62.020,r _ 36.284, + 6O,tO

28.t t -l=- = i ¿"k) t"

24.12

21.t3

24.11

L"+r(r) - l2r+r-tlLrl.) + i'¿¡-¡(r) = o

L:@ - ñL:. t¿) + n¿¡-,( , ) = o

'Lilx) = rL"(.) - a¿ L^-,t¿l

153

154 POLINOMIOS DE LAGUERRE

2ü!l

2t ¡ó

f -.LJ')4t,d. = o

t .-{¿.k))'d, = (rrP

24.t,

tt tl

. t = AoLÁ', + , , rLl ' \ +á'¡ .( . )+.. .

^' =

é¡¡ Í,- ''tto'^at *

24.19 ¿.(o) = it zt.zo t'4p¡a' = 4(") - *+3

¿J,) = r-r).{,. - t;-¡ + 4"1)""-' _ ... (_r),",}2a,tl

24.22

2L2g

2|21

24.25

f * - . " . r ,* = { o s i?<¡

-" L(-l).(rr' 'i r=,

i ¿lr) ¿¡(rl _ L.I"L.+1A - L.+tl')4tu1

.:"i#4t", = f'

= ,, J,12,/at

ry" + (ñ+r-¿),/ + l,-ttd = o

Cnando n y ¿ son .nte¡os bo-n.gárivc l¡s ¡olncjone dé 29,1 són d¡.trs po¡ los poli¡omios asoci.dos d€ tjgu.¡F

21.2 L:bl = #L"r,)

dónds ¿¡(&) ¿énoi. Fli.oñi@ ds I¡su.R tvó,e I¡ pásin" 1581.

2.t,t

2r.a

Lll.t = L"(')

¡ l ( r) = o si '> i

zts LiG) = -\

29.6

^et

= z.-1

!r.7 tÁ1., = 2

,E.a Latd = -s,' + 18, - 18

U).9 Ll') = -a, + 78

29.10 ¿¡(,) = -¡

¡c. l l ¿lpl = t . -$i t+rt l r - ts

zg:z tlt"¡ = t2,t - 06, + 1¡,r

D.lt Lll4 = 2L-96

2.t.la Ll.,.t =

¡{#.*"*' =.i+"29.t5

POLINOMIOS ASOCIADOS DI] LACUERRE

vr,t6

29.17

29.11

29.19

!-++!¿i+,{,) + (, r d-zr-r)¿l(,) + nt¿l-t ) = 0

f rzft"rr - r,i-'r,l

t t '^",*att = 1n-r-r¡a- ra 'r, i 11"¡

"*u;t ¡ = t¡ -*t¿it"l + t¡-*-¡l¿i-\¡l

vr,20

2?.21

=0fo- ,.'-'r'lt t Áat a"

f "' **'r'':att' * =

21,22

2t.zt

^¿t = A^r,A@t +.{-.r¿*+t¡) +,{-*¡¿l+ú} + .. .

+ = ffi t"'--"rtetnoa

29.24

L;G)

2tr.2s

= (-D"c]:x1/, . - "(-"1i.),*--' + nln- 1x'1'.t)("-i- 1),r---r +]

l"',^.," . tLit.i' d" = (¿"i#+;il("t)¡

{ t - . ' fu"-4+tLt = 0

l¡. &lu.ion.5 d€ m.l Eon d¿da8 p.¡

r.(.) = co.( 'q-,,) = -

- (;) '"*o-"¡ * (:), .-o-,r - . . .

10.¡ to(,)

na rt@)

$5 rt(,)

¡o.ó t(r)

l.l.7 rt(.t = a'a-á.,+|

lo,l l'¡{,) = ¡6cr - lo,. + ó'

lo.? f . (r) = 82,.-¡8r+18,t-r

lO.lO fr(¿) = u.r - rr2" + a,r -7.

¡o.t I ¡!ffiv = i,"o"

lo.l2 rr(-.) = (-t)iri(,)

¡o.l¡ r.(1) = I

¡o.r4 fr(-l) = {-1F

lo.l¡ rb{o) = (-r).

167

lo.ló fr+r{o) = 0

15E POLINOM¡OS DE CHEBYSHEV

r-.t(.) - zar.kl + ?.-¡(,) = o

30.t1

to.tt

l -@=

( ' f ! -* = I 'J _\ {r-¿ l , t2

¡0.20

lo.2t

,l') = lA¡ro\') + Ltrtl.) + A,r.(c)+..

^,=?I_,f f i*

s.zz y.1¡¡ = :ef01J!9!ilfl

= (" i ) - - (" i ) - 'o- .e + (" ;1)"-o-. ' ) ' - "

gr.at vt\'l

90.24 Urb)

?t ,25 Vr\,t

4t,26 VJ.t

ür.n u.Ql

lo.2l a,(')

10.!t v.(.)

30.30 ul,)

= 6¡tr - ao¿ + ¿t-l

= t98tt - L92t +ao¿t-8¿

, - r**o! - . ! ,u ' t " r"

POLINOMIOS DE CHEBYSTIEV 159

!O.12 ot(-,) = (-t)¡¿¡ib)

¡O.ll u"(t) = n+r

to.!a u"(-t

90.35 uh(o)

3O.¡l u,¡]r(o) - o

A'+|lF) - zrvn@) + Ui-r{r) = o

ll=av-\4 a"k) d' = o

l ' ,,fi=ao¡'¡, * =lo¡92

ao.ao

¡o¡t = it_,^rv\ tJ+^zad')+. . .

,/i=6 ¡t"¡ u"t"t ¿'

30.¡12

¡o,+t

lo.¡t¡t

to.a!

trl.) = u,l.) - 'vr-tl')

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162 TBAN SFORMADAS DE LAPLACE

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TRANSFORMADAS DE LAPLACE 163

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166 TRAN SFORMA¡AS DE LAPIACE

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TRANSFORMADAS DE LAPLACE 167

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1?0 TRANS¡'ORMADAS DE LAPLACE

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172 TRANSTORMADAS DE LAPLACE

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lii) I l/i') d: cohr,¡!

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174

TRANSFORMADAS DE FOUR¡¿R

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r76 TRANSFORMADAS DE TOURIER

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180 FUNCIOT,IÉs ÉLJPTICAS

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Y(i-*-$- ' ) -T( ' -#.#- . )o

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- 2\ ! a-' t(.t.ú l,tlz) ilr) llp¡i.d:rlerorrc.*toasl

_iF r=123 '

t5.21 tt'J =

¡5.25 tr -¡)

?5,26 tt2kl =

3ó.t

ló.2

l¿,t - l¿:1 = t¡!+d,l = l¿¡t + L¡,]

l¿ '+.¡+ +¿"1 = la ' + dl l + .+o.

ló.¡ hrq+d'¡'+...+.rüiF = (o#+l¡,li+. + l..l')(útF + lütF + . . + lr,l')

ri isnrrd.d ¡¿ cuDpre.u.do y doLn.rr€.u¡ndo a,!6r=dJÚt= =.,/ú*

Sán ¡, Cy íln n¿di.. ari|n&io, geobétnc¡ y rrnóói.. d. lo. nr¡h¿ro3 p..ttivc 4r..,...'úr, ¿ñtonces

1ló.4

!ó.5 ¡ = .r+..+- '+¿¡ 16.6 c = i;G::A !ó.,

L igu.ldád s cümple cu¿ndo y soltbeni€ cuando q = .r = = dr.

r r / r r r \j '=; \ , , f ar" r - l

tó.t

36.9

1.,¿,+¡'ü!+ .+ihó.| = {ldi'+1¿'1,+ .+ d!|,)r, (trl{ + lür:. + " + lürle)t^

!+! = r ¡>r.¿>r

La iso.ldad se cunel€ cu¡¡do y sohm.úe .londol¿¡F-V ü,1= l'¿l'-'/lü'l = = l."l' '/ló'l cu'ndo, = !¡ =, ¿.h qú€da Educid' ¡ 363

lE5

tE6 DESMUAI.D DÉS

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¡6.t0

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q,e ¿, ¿ ... . di- :y ¡r e f,, i ... : ói, srio|6

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(¿¡ + a, + . . . + 6J(rr + ü, + . . + ór) = i(.t¿r + d!¡, + , , . + aiü,)

6i ¿t , . r , , , . ,¿n,ó¡,¿r, . , . ¡ ¡mn todtr !@i¿¡vú y ¡ i ¡ > l ¡ .nao¡&

¡4. t2 (¡¡ + üJ' + ( . , + rr ' + . . . + (¿i+üJ')r , = (di+d¡+.. .+4)¡e +

l¡ ituf¡b.f *.ú60r. ¡iy &¡.ñ.¡tt.i o,l\=.J6,= ,,. = 6Jbí

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L¡rabl,qu€ vien€¡cotrtinu..ión hae los monenios d. in.rcia d. dil¿Enies cuelpos.Í{dos de m¿$ M Entodo!

lG c¡rs sG suü,ne que el cue4n ri.h¿ de¡sidrd unilorme les dsir. conran(el.

V'rilla dels¡ds d¿ ldtitúd ¿

(d) ,lFd¿dordeun eJ. p.rD€ñdicula¡ a la varil]lyqu. da* pn¡.¡ cenÍ.

(b) olErledo¡ de u' .¡ Fo€¡dicul,¡ ¡ L {r¡lh y qü6 p¡3. po. una dt

Pa¡alel¿pip€do recl,óngnlo d€ lddor d, ó, .

(d) alÉd.dor de un ej¿ paál.ló á c y que pas' po¡ el ce¡l¡o de lá cad ¿ó,

(6) ¿lr .d¿dord.üneiepsEl¿loa¿yqnepas!porelenlrodel¡ . ¡ ¡sb(

t¡n,n' Éct.ng!l¡r delFd¡ d.lad.6 o, ó

(d) .lrcdedo¡ de un €j¿ que ptsa po.el c¿nld d€ la lánib¡v pe¡p€ndicü

(ó) rlededo¡ d¿ un .j. p.Elelo al lado ó v qü¿ p¡sa po¡ el c€ntrc'

lMo'

Cili¡dro ci4ul¡r d. r.dio d y aliür. h

(d) ,lndedo¡ del ej€ del cilindm,

(ó) alÉd¿do¡ d. un €j. D.rp€ndimla. ál €j¿ d.l .ilindF y que pasa por €l

(.) .lE¡¡edo. d. ün .j. qú. .oircide co. .l dlD.t¡o.n úno d. ¡6 ertÉ

l¡r(¿r + ór)

Cili¡d¡o cncuhr hu*o d. ¡¡dio €:te¡io¡ ¿, ndioint rio¡

(¿) .l¡.{i.dói d.l et¿ del cili.d6,(ó) .lEiLdor d. un .j¿ Ftlondidlir d .F del cilindtu v qu. pá{ Dor ¿l

(.1 alEde¿o. de un.iqüe coincid. con el diálerroen ünod€ lü.tlF-

190

MOMENTOS DE INERCIA IMPORTANTES 191

ao.ó lámira circulr¡ de ndio d

(d) ál*d€dor dc un ej€ p€.p.ndicub¡ ¿ h limina yque p88a p.rol centó

(b) alEd€d..d€ un ei. que coincid. con el dián¿tro.

d¿ rsdio exlerior¿ y Edio

(d) alredédor de un .je p€.Fndi.ul,f al plano de Il tíñird y que Fss

tá) ahededor de ui e¡ qüe.oincide con un diÁner¡o.

40,4 Anillo circulal delgado de ¡adio a

(¿) alrededo¡ de utr eje ,rue psa por ¿l cenha, y p¿4pndiculdr ál pláno

(á) alrcdedorde un ¡je qüe coincid¿ co. €l diáner¡o.

40.9 Esfera d. radiod

:Md'

|M""

lo) alrededord€ un eje que coin¿ide con un diánelro,

(r) ,l¡ededo.dé ün ejelá¡c€rte a l¿ su!€rficie.

40,I0 Esten hu{a de.adio e(erior d v adio inbrior ó

lM(dr - d5y(¿! - ü,

zM(05 br/(d' b\ + tra'(ó)alEdedorde un ejequecoincidecon un didn€t¡o,

.h€d.do¡ de un ejé b¡genle ¡ li suxrficie.

¡rc.11 conchr eslé¡id hu{s de id,o o

al¡€d.dor de un ej€ qüe cDincide con u¡ diámetru,

rh¿d.dor de un ej€ lan8rnte a lesüp€¡ñcie.

40.12 Elipsoide d€ !.ni ejes d, ó, ¿

ldJ ¡lÉd¿dorde un ¿j. que coincide co¡ el seni.j.c,

(r) almd€do¡de un sje bns€nle a r, sup€rñcie, pa¡¡rero al s.Di{j¿ . y,una dhlaNia o deledtú.

/ to, l3 cuñu omula¡ de mdLo d ) ar túru ¡

*¡r'I", + 4¡,')

AM(16, + r')

10) alrededo.del ¿j¿ del cono,1r) alEd¿dor{te un.je peFéndiculár rl ¿je d€l.onoy qüe psa p.rel !¿r

{.) alEdedorde un eje pfi!€ndicul.r al.je d€l únoy qü¿ pasa p.relen.

¡O.14 To¡a de ¡sdio erre¡ior¿ r ¡adioinle¡io¡ b

(¿) alE.l¿dor d€ úñ ¡jequ.p¿sapor el c¿nrro de Drsay pe¡!.ndicul rl

(b) alÉdodorde un¿je sirüadoen elph¡o del toroyque !¡s. po¡¿l c¿n

I pukül¡ (!u¡.) : 2,5¡0 cD: 90,,|¡' cE

I Dil¡. (Di) : ¡,609 h8t Dil : t0_, pulaI e¡tíneiro : 0,1ts37 Du¡!I netrc : 39,37 pultI h¡ón.iro : 0,621¡ e¡ll.

I nilhcüdúd. (úit) - 6¡() ..d

I a.E - a:r.660 D¡dr

1 ¡itr (¡ - Im.b' : r,06? mnillo¡ (q.) - 61,02 pu¡gr= 0,6532 piét h.lF d¡bico (n!)= rom ¡ -?,5,32 pie¡¡I p¡¿ crllrio (pi€!) = ?..lal Srlond (D.8. U.U.) - 0,02332 nt - 2g32 ¡I 3¡lón (8.8. U.U.) = 23r pnkt= 3,736 ¡i I c.lón bril¡nico: r,20r ¡rtore (E.8, U,U,)= 227,¡ Dúlat

I ti¡oet.no (k) = 2,20{6 ¡ibE .v (lb),0,06352 slusi 1 lb (¡v) -.53,6 3D - 0,@108 .¡u¡

¡ .lug - 32,12 lb :14,60 ¡!

L rú /tt - 0,n74 ú /q = 0,62Ir ¡¡ / hr - 0,9r 13 pi€g/¡¿g1 úi/h¡ - r,46? pjól¡r: r,@ \a/h. = 0,470 ñ /a.s

¡ gnlm¡ - 10t ISld= 62,13lb/pid= 1,9,10 !lüg/p¡.¡I lblpié:0,0160¿ ¡nlcnt: r slü3 /pt€¡= 0,511 gnlcñt

¡ rewt ¡ (n0 = 10! diúr: qr{r20 kl- 0,22¡3 lbrI ¡¡bn tu.¡¿ (lbo

- {,{.É nt : 0,4536 kl : 32,ú po¡rLllI t¡¡ogÉbo tu.rzá (Lsf) = 2,205 lbl - 9,&? ntI toftl¡.t¡ {8.8. U-U.):2m0¡bf; r bn.l.rt g¿nd.:2210 Di r úo¡.ndr D¡,tri6:2206Ib1

¡ ¡lio - ¡ !¿ ¡ - ¡0? .ryi@ - 0,73?ú pie lbl - 0,233S úl : 9,¡31 x ú-. B¿u1 Di. lbl = 1,366 ju¡io.

- O,32rg dl = ¡,235 x 1O-r Btü¡ 6¡0r¡ (ol)

- a,r36 iu¡iq - 3,6? D¡e lbr : 3,s64 x 10-t atu¡ &ü (uni.l¡d i¡tuid br ¡nio) - ??3pi.lbf = 1066 juli6

- 0,293 v.r¡o h¡I ¡.ilov¡rioüoo (¡v trt = 3,@ x ror juüm: 360,0lr6t - 3a¡3 Brur .¡atrór úliio (d) : 1,@2 x 10-re ju¡¡c

r ú60-¡ juf¡o/s.a= 107.¡sior/'4 - o,88 6r /s.zI db.llo d. fúra (Ilp):550 pi. lbf/..c = $.m pi. lbtlai¡ =?,t5,7 ui¡¡r L¡bv¡tio (Lv)

- l¡{r ho - 737,6 pi. ¡bf/.€¡ = 0.9t33 Bu/es

r /ñt - r0 di... /cmt = 9,3€ x ro-..¡m'i,f¿rá : 2,Cúo x rO-, tbf/pi€tr ¡bl/pulrt =63€6 nt/út =5r7r cD d€ b.mno : Zr,6A tu¡g .su.r !tñó.1e6 (.¿E|

- r,0ú x r0¡ /d't = r,ol3 x ro. di¡!s/cñt=r...?O tb¡/putat - i6 cEd¿ nercu.io : 406,4 puk .3u

152

Parte II

TABLAS

LOCANITMOS COMUNES

N€eci t ¡mos enconlm¡.1 núñem p ls l que 10' = 2.36 = lV, Pü¿sroqu¿l0o=1v101=lO,ps¿encon

t¡árÁ on¡e 0 y I t su valor se p.dníhallar rn las l.blas de losarnmos comün¿s, págira m2

Asi pDes, para€nconÍa¡ los 2,36 bus.,nos d€ arribd hs.ia abaio en l¿ colrmna de la ¡q¿t.rd¿ ¿nc'bezádi

.on un, N hara que encontremos lo5 dos p¡ine¡os díFitos, 23. Luego p¡osc$imos h¡'js la detch' hana en

.onlrar el núhero 3729 eo Ia.olDDna encabezado con el.úD.¡o 6. ¡lnlonces iencnos que los 2.3¡i:0,3?29 o

se, que 2,96 = 10¡dre.

t, H'll¿se (d) los 23,6, (6) tos 236, (c) los 23dJ.

Po¡ el F¡obl¿na I srb€nos qué 2.36: 10',8 Entonc4,

23,6 = 10¡.¡?,¡ 236 = 102,rm¡

ñrliipl¡¿s.do s¡c€sivimen¡e po¡ 10. k..m.s

ld) tog 2316 = 1,3129

{¡) ¡og 236 = 2,3?rg

1r) roa 2360 = 3,3729.

E1 núnero 0.3729 qur heF.s iom¡do de la tabla, se llan, ñ¿¿risd del log¡¡ilno.antes dr i¡.oú! es ls.¿rdd€ñs¡ica A.si sr¡ ei¿npla, ¿n (6)la.

La ¡.sk sipienLé ¿s útil y de lácil.onp*nsión

R€gla r. ll .arade¡iri¡a ds al al nún€rc de djgitos anies duno Po¡.jenplo, pu¿sio qDe 2360 1ien. cu.rú dícilas enies de la cona, h.r¡a.teíric¿ seE

3. till.se (.) lóg 0,236, ib) log 0,0!16, (.) l.g 0.0n236

Po¡ el prubl.m¿ I saD€hos que 2,36: 10q*t. Enioocts, d,rdisndo sucecivañ¿nre po¡ 10 t€nen.3

0,231j = 100,t*-r = 10!,14 a = 10 odn

0,02J¡j = 10qr2t, = 10.,fÉ-ú = 10 ldrr

0,m2¡6 = 100,t!e-3 = 10r.tF ú = 10 :¡tl

(¿) log 0,236 = 9,3729 - 10 = 0,62?1

(¿) los 0,0236 = 8,3729 10 = r,62?l

(¿) lóg 0.m236 = 1,3729 - l0 = -2.6271

El núneñ 0,3i29 es la manlisa dcl losaritno. Fjl núm¿ro qu¿ aconpaña ¡ la man¡sa ftales .ono: I 1r.

3 10. o 7 l0les la caraciernri.s

h Rsla lisi.nl. es i(,Ly de ticil conprcnsión

Regh 2. l¿ .araderilic¿ d¿ un núm¿i. posiLlo ñeno¡ quelgrrl 3l trüh¿m de ceros qu. sisuen innedialan.d¿ d¿spLás de la.ona nis uno A-si po¡ ejenplo:pue{o que 0.00236 ii¿ne .los .eros ¡lú¿

'sn d¿spués dc la ¡,m4, l! .áE.le¡istiG s.rá 3 ó k ¡lu¿ e'

194

EJEMPIOS DE P&OBLOMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS 196

.1, V¿ri¡E!4e cada uno d€ lc sisuienk los¡n¿no¡.

(¡) los 37.2. Mrnliu : qs{o5. c,r,cier¡ric. = 1! enlonc¿s lo¡ 3?.2 : r,e,{o5.

l¡) log 395.ü)(J = 5,596¡i.

(.) lo3io0,0{42. Mr.iüa: 0,6330, ca."cb¡isiica = a r0! eblonc¿d losro0,0¡42: 3,$30 r0

(di lóg 0,m$2r = 6,9175 _ 10.

Pucato qüe el núDeD ti¿ne cuat¡o dtiid¡ ren¿Dos q!€ i¡1¿rpó¡¡¡ p.- hdl¡¡ L bs.tis. k n.hiba elos ,l63a e encú.nt¿ .niÉ la. nanlis. d. los,1630 y d€ los ¡6,10 y I ñ¡yó. qlc I. b.nli.. d€l plim€ó.r 0,3veo l¡ .tir¿s¡cia eniE l¡s d@ eontis.3.

Ma.tirá d€ los,l6,lo - 0,6666 M¡nr¡¡a d. log,!,mA : 0,6656 + (0,3) (0,ün0)

M,biü. d. Io¿ ¡6$ - 0,6656 : 0.6663 h.6L la oarlá cifÉ

Dif¿Enci, iabuhr : 0,OXl9 Enlor.6 los ¡I.633 - 0,6663

Si üi se d€@, p¡€d. €hpldÉ¿ lá tlbl¡ d€ ples p¡oporcion¡les d. L !aei¡. t !.É oblen¿r diÉd¡n..t¿la n¡niis¡ (6666 + 7),

6, v.¡i&ü6. cdr üno de lG 3tni.nr€ lo$.iin6.

(¿) loe 183,2 = 2,2630 (2626 + ó)(b) losa7,610 = 1,9421 19125+2)(¿) 1oa0,25,r3 = 9.40€2 - 10 (!0¡!a + 1¡)

(4 bsq00$,{, = 7,039 l0 (99s0+3)

^¡¡'rll,ocABtrilos @MUNÍ s

7. rltilles¿ G) ¡¡tilog 1,7530, (ó) ¡nri¡oe (?,?5m 10).(¿) T.n€oG qüe ¿montá. €l valóf dcl0!,ñ30 ?!.elo qu. la naniis és 0,?t3o nirnG d¿ ¡.rib, LciMb,io

e¡ la colum¡. d. h iu q¿t¿¡d¿ .neb¿ádi con ünr p en la t¡bl! d€ l! ¡iAñ. 205 hast qú cnonrÉbo. lo¡dG pnD¿ü dígiid, 7s. Lu¿go pm¡eguiDú i&i. ¡. d¿¿.¡¿ h.¡ld én.onir¡ et rúme¡o 666, e. L ólnú-na ¿nc¡b€rad, con u¡ 3. Pu.Élo qu. lá c!áe.tutio 6 1. Bto qui¿E .tecn qu€ lay d@ dí¿.i¿o. .¡1¿. d. l¡oEa. EhtoñÉ..1nún.b büscddo sení s.c2.

(ó) hl uü"1que én (4) €hconr6ño. cnÉ *z.l númerc 5€42 qü¿ co.r$ponde ¡ L ünti{ 0,75.?0. Erton6,pu$to qú l. c.r..telátic. $ ? - r0, el n'iné¡o t¿nd.ú que ren¿¡ d6 erd inn.diatrD.nt¿ .lespüós d€ Ircoh.. Po! lo hnto el núnembuscado sú 0,m5662.

a. HÁll.a. lnlilo8 {9,$¡2 r0)La manris 0,3342 * ¿ncuntm enrE 0,34¡(} y 0j3$ lor I¡ cúl t.n¿úo¡ qu€ int eolár. D. .cü..do .o¡ lr

6bl. d¿ 1. pási.. 20,1 ienemas,

Núñ€ñ co¡Hpondient. a oja$ : 2427 Manrú8 dadr : 0.3412

Nún€rc corHpondient€ a 0,3340 = 2,121 M¡¡ti3. ñ€no¡ ní¡ próina : 0.3&O

D'f .Én, i , r rbuhr d D'Fm. 's 0,0m,

F,aronÉa 212t + t 12121 - 2421) = 2¡22 hosta I' cuora ci frá, lu.so ¿l {tjm.¡o bur¡do st 0,222.

Ere pmbLns podríe ¡esolve¡Ee isulrnente con arad! de la tabla .t¿ p¡rtA p¡oporcionale¡ de la p¿giM 20¡.

9- Vé¡i&n€se cad¡ üno d¿ los sisui¿ntas onrt¡og¡rtrhos.

(¿) aniilos 2,67t5

(6) aniilos 9,6039- t0 : 0,,1063

k) ,niilog {,r23

196 U'EMPLOS D¡: PROBLEMAS PARA II,USTRAR EI USO DE LAS TABLAS

CALCU¡,OS QUE SE PÚEDEN EFECTUAR MEDIANTE EL EMPLEO DE LOCARITMOS

r0. P -- - -

, IoAr tos?3{.6 , toqO.O.{Jt . toq2B23,

log?31,6 = q394?

{+l log0,0,t3t :: 3,63r¡t _ lur1.5292_ 10

(-)log2a,23 = r..r5o?¡óEp - loiiss:lt = qors¡ Lu.so p = 1,re3.

Nót€s€ et cáñi.bre¡ponencialdet lnlerior cónputo, ¿s deci¡:(73a,6110,041t) (lor.srtrlo!,e¡ ror

l ¡ t - = _

r i r ' - i t - ' : l0 ' ¡s7 ¡ tq:

'0 r ' ¡s ¡004r r , ts3

u. P= (5,895r¡_ logP - 3lós5,396 = s(0,?B2O) = ¡.s56o, y p = ?r?.800.

l¿ P = \,/s¡Z¡ = (38?,2)'/,. tosp= *ioe3g?,2 = *(2,ó8?o) = r_29.r0 y p= 19,68.tt. P

^= i6ñlii = 1o.o$r7 ),tt. tosp = t losu.osrtT = *(s.e200_ 10) = *(,rs,e2oo _ 50) = 0,?s,r0 _ 10Y P = 0,6orql.

,, "

_ \, 3@¡36v(tS3?)r -* ' -

{sJ¿;Esj rÓ3r: I roF0rDr6s4 3lost33? { tos3.72{

' I los?13.8

)\un.ñd.t N

i¡ rog 0,003614 - l(?.6623 ro)D?nontudot D

1)ose,124 = al.O,91O7) = A.7625= !(1?,5623-20) = 3,?814 - 10 1los?43,6 = ¡(qs?14) _ o,?1?s

3losla,37 - 3, .26,11r = 87923-Suna¡do: tosD = ,4,a8OA

loFN = 12.67¡?_ 10

los¡J = 12,573? 10(-l IogD = 4,¡1806

r"gp -¡ osii:l; c,lun"er p qoj23e

LOGA¡rIMOS NATU¡ALES O Nf,PERIANOSr5. tldt.s¿ (d) ln ?,236, (á) l¡ &16,2, tcr ln 0,0o25,ra.

(d) Empl!íAe lá tablt d¿l' pásina nS rn?.240 = 1,91962t^1,230 = 1,97A24

Dif .En. i r ' rbular ¡¡)0l1l -Enrones tn?.236 = 1,9?a2¡ + t(o,011&9) = 1,9?90?

n€.cie¡*, significa qu. .t,t1ú1 = 7,286.(ó) Al icualcu€e.la páfr¿ (¿), en¿on1¡aDos l. sis!ienk:

j¡3,362 = 2,123r¡6 + {¿(2,12165 2,t2346) = 2)2A7OEni,n.c!

lbl36,2 = ¡n(B.g62xror) = bga,362+21n10 = 2,t2B7O + a,6lf,t.' = 6,1ZaAiLoan¡e¡io¡, erpE adoéh exponenciales. sjgnifi., qüe .r,ü¿t = ag6,2.

(.) Al igurl qúern la radc (o) eDconÍ¡ñGlo sisuienr..tn2,5!!8 = 0,93216 + t(0.93609 0,93216) = 0,93630

l¡ 0,0o2s43 = ln (2,6.13 x 10 3t = ¡¡2,5{B 3tnt0 = 0.93690 _ 6,90??6 = -6,9?246l,o ¡¡rero¡, cxpresado ¿n txpon¿,ciales. sjsnitúr que ¿

FJJEMPLOS DE P¡IOBLEMÁS PARA ¡LTISTRAR ¡]L USO DE T,AS TABLAS

FUNCIONIS TRICONOMETRICAS (GNADOS Y MINUTOS)

16. Hól lese(o)sen?4,23' . (b)crsu.t . . t2, . 1.1lan82.56,.

(¿) vérs¿ ¡a tabl¿ de la pdsins 2¡xsn7,tq30, = 0,9iii6

3€n 7{020, = 0,9623

O'r.n." ubua¡ ¡ uro¡

l9?

Entones sn?,fo23, = 0,s623 + +(0.063) = 0,s6¡o

(b) véas. ¡a r.blá d€ L sísina m7.

1.) Vé,s L tabt, de lo !¡gin¡ m6.

c&36o.10' = 0,312{

6¡36050' = 0,3107Dir€E¡.¡. rabular

- ¡6ñ

.d35o¡12'=0,3124 - ra{0,00¡7) = 0,3r2r

.o¡35o¡2' = 0.3107 + *(0.0017) = 0,3r2r

trn32o60' = tán3300, = &1¡¡43fan82o60'

- 7,t630DileEncia t¡buL¡ = OJrl3

t¡n32o66, = ?,9530 + r!(0.r9t3) = 3,06?a

17. Háll*e (¿) col45'16', (r)str?Í1a,, (c).sc 23"33.

{d) Vóase h r¡bla d¿ ¡a página t09.

lot46010, = 0,9942

rot ¡t6o20, 0,e834

o¡r"**,u,"o¡- . -opo¡s

(6) Véas ¡á tábls d€ l, priginá 210.

(.) Vé,se la rabla de l, ll¡si.&2r1.

m¿¡16o16' = 0,99,(2 1100053) = o,smz

6t45or6' = 0,9€3¡ + á(0,053) = 0,s07

.*73o60, = 3,592

s?3e40, = 3,ó56Dif€rencia rabuh' =

-¡ñ&c?3o¡8' = 3,556 + !!(0,66) = 3,545

c*23o30' = 2,096

c& 23o,r0' -

2,0a5

Dir.renci. táhuh¡ = ;.d;

crcnq33 = 2,096 - ¡n(0,0]l) - 2,093

esc28'33' = 2,086 + t(qoll) = 2,093

198 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA IIUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS

FUNCIONES TRTGONOMETRICAS RECIPROCAS (GRADOS I MINUTOS)

13. RÁtlese (d)sñ-r(0,21{]), (ü) c@ ¡(0,54r2J,(¿) i,¡ '(1,1536)-

(a) Vórs. k ldbla de la pí¿ins 206.

"e. 12"20, = glqDireEncia ¿¡bul¡¡ = 0,0023

o 2l4J 02r16Pu.{¡ qur02i43"e¡rcuen,B,

, im.ñ id.Lo,r .Fn' . .en,40.?r16v0.2rb4.cl¡nelobu¡

.ado &ñí 1220 + ¿{10') = r?22.5'.

(ó) véos la 1'bla de I' página m7.co¡5?ol0' = 0,5¡22

co¡sr.zo, = !!91Di¡ePncia t,bula¡ = 0,1)02,1

,05{r2r= 6?'ao, 0:l!3--9-!I9lro ) = s?"r,r,2'

(o.s{r2r = 5?.10 +04 !IAJ11¡ ) = 6?'14,2'

(c) véa* la tabl¡ de lo üigiu 203.

DiLÉncia labüLr = 0,0067

bn , ,1.1s36. nt"p ¡ I l$6 f f i ¡ ¡ to,r 490{,8

Se pFcede d¿ nane¡a sinilarcon 1.3 orms bñ.ianes tns.nonétiids Ecíprccas.

FUNCIONES TRICONOMEIRICAS Y TRICONOMET¡ICAE RECIPROCAS (RAD¡ANB6)

19. H l€s€ (¿) sen (0,627), 1ó).os (1,056). (c)t¡n (0,153).

id) VúE€ Ia iábla de la p.gina 213.*n (0,630) = 0.53914

s¡ (o,6m) = 0,5aro{Dif€Encia labu¡$ = 0N410

Ento¡ces en (0,62?) = o,5ar0I + fd0,00610) = 0.$67r

(b) Vóa* la t¡bla de la pigi.¿ 2r{.

Ento¡c.s

(.) V&Be la labla de la póeina 212.

¿ó¡ (1,(50) -

J,,t975?

co¡ 0,000) !1$IDifeP.ci' t¡bul& = 0,0{1370

co.O,056) = q4?57 - 15(0,004m) = 0,¿9235

c6(1,056) = 0,{333? + trc,006?t¡) = 0..1s235

lan (0,1m) = qr¡jr33

tan (0,15o) = 0,15r1,1

Dif¿renc¡o t'bullr = 0,01024

t .0,153) = 0,1511{ + ¡a(0,0102{) = 0,lr2r

Se po..de é.i¡rns siDilár.¡n las ótás tuncion¿s Iryononctncss

EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAK EL USO DE LAS TABLAS I99

20. E¡ill6es¿n_1(0,512).¡ ridio¡es.

véás€ la 1¿bl¡ d€ l¿ Dágiñ. 21js.n l0.i{0) 0 tr4r4

' ' . - " ,1

En'or"c. sr ' r \ ¡ , r '2 osro -- - - l -

¡ , u. . t :cmd.én¡.

lk pro@de cn forúr siEilár.an l¡s otas tun.in¿s tisonomóticar ecí!ñcas

LOGARITMOS COMUN¡JS DE LAS I'UN(1ONES'IRICONOMETRICAS

2r. Hállece (o) logse¡ a}'r?', (ó) loscG44 44'.

(d) Vóae la bbla d. la DúAiná 2lr_.lo!¡ sen63020' = 9,e512 I0

los serrl3ol0' = 9.9505 10

m'

Entonú los sen63o17 - 9.9505 10 e idi0,0üJ7) = 19510 r0

(ó) VABe la 6bl. d€ h pás'¡, 2r9.loe cos43'40 = 9,3193 1o

los.os 13"50' = 9,3131 - 10

DileÉnci¿ r¿buldi

Entones l¡scos43"4¡' = 9.3193 10 rt(0.0oll) = s.3192 10

o log cos43"J4' = 9,3131 10 + ¡!(0,0014) = 9,31S2 10

S. pócede en torDs siDild.p.E h¡ll¡r los losarihc de l,s o1¡'s lun.i.¡es figononér¡i.as. Ob¡éNes¿ qü.

loaecr= loAccr, logcor, = * log lant , logcsc: = lossenr.

22. Si lag bn t : 9,6a.l5 10, háll8s. :.

Véase la bbla de la ¡rgina 2m.

los tán25c50' -

9.6350 - 10

los tán25' '10' = 9631? 10

Dilrenci¿ rdbul¡r -

o.r,t)il3

Enton*s '

2t no , 1!!16 eisl? ro , 2i {F r0.t{)ll

CONVERSTON DE GBAT}OS, MINUTOS Y Sf,CUNDOS EN RADIANtrS

23, Convió¡tas?s'23 47 enrdianes

Véss la r'bla d¿ l, ¡¡siM 223.

100

5) 0,047267

20 0,005313

3', . 0.00232r'

.10' = 0,1i00194

?" = 0,0110014

16'2a 41" -

r .3 l?370 radiaoes

200 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR E¡, USO DE LAS TAB¡,AS

CONI'ÍTSION DE RADIANES EN CRAI'OS, MINUlOS Y SE]GUNDOS

2zL Convién.!. 2,547 radia¡es¿n sisdós, minulosy s¿gundos.

V¿&e la bblr d¿ ¡¡ !úgin. 222.

@NVE¡SION DE RÁI'I,INES EN FRACCIONES DE CRADO

25, Convién.eé 1,3a2 adianes en eradG.

V¿.s la t¡t¡a d¿ la písin¡ 222.

0,m2

FIINCIONES HIPE&SOLICAS t EIPONENCL{LES

to. tl¡ll€s (d).it¡, (ó).-a'r.

(c) Vó.& l¡ l¡bh de tr p¡isina:26.

2,54?.ad¡anes = 1140114'116.5" = 1{60 66' t6,5-

6?,29ó80

t7,1AA1q

4,$3?q

79.14244

(t) Vó.E. h bblr de l. púsiru 22?.

.ó,s = 200,34

é,¡0 = 131,2?Dif¿¡encia labura. = -ñ¡t

¿'¡¡ = 13r,2? + +(19,C?) = 133,90

¿ Es = 0,36071

¿ qla = 0,3521¡Dif.Encü 1¡bular = ¡.0066?

¿ o.rt = 0,360?l - *(0,0035?) = 0,35335

.-4rt= 0,3521¡ + i+(0.oo6s?) - o,s6is5

B¡lL.¿ (o) *nh (!,3a6), (¿) ¡¿ch (0,163).

(d) V¿... l! t¿bl. d. l. pi¡jnr 2t¡95¿¡¡ (4,350) = €3,866

r.nh{4,340) = 63,231

D,rpFn4¿,.bLt,r 0.63,

E,.obc.6 nnh (¡,8,16) = ,r,3,t0 + 10ó0,635) = 6,221

(á) Vé.F l¡ 1.blr d¿ la pásiru 2¡o.cor¡(0.r70r

- 1,0t,!5

cosn (0, rdr) = 1,0123Oif"rn.i¿ r,bula. = O,00rz

cGh (0,rü) = 1.0128 + r!10,00j7) = ¡¡133

sdhl0.r6rr = ,r = L = o.vrorzcoltr (0, t63t 10133

EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS 2OI

24. üállés€ tanb r(0,71{23).

véase l! labla de la plfina.¿32.tonh (0.900) = 0,?1630

tanh(0.380) = 0,711¡9

Dii . , . ' ' * , "b, , , tñ9|

E ion,c. bnl Ln,7.4¡,

INTERESES Y ANUALTDADES

29, U¡ hombE dep.¡ib ¿n el banm $2300, u¡ in¡erés.¡mpu.{o d¿I5,, capiralúrble lrim¿siralbont¿. ¿Cuil se.Áls c¡ntid¿d dcumuhda al .abo de 3 ¡ños?

H¡y ün totál d. n :a. {= 32 ¡€¡íodo3 de p,so a la iss, de int.¿¡ d. r: 0.¡),5/{ : 0,0125 p..ca.t¡ períódo. Por consisüi¿nle el ñonro ¡erá d¿

a = t2400(1+0,0r25t2 = $2300(1,43s1) = s¡t166,63d¿ ¡cu¿rdo c.n lo! &los óbienidós en lá iábla d€ l¡ pisin' 240.

30. Un hombre dc¡e. Eünü $t2.0m al cabo d€ 10,ños. ¿cuáñlo dinero rendrá qu¿ coloc'r a u.s 1as d€ inr¿rósconpuero del 61 apilalizabl¿ sr¿rrálh€nl.l

El prcbleh5 ¡os pide ha¡l!¡el valor acluál Pqü¿, al cabode 10,ños, ascerd€niá lá cantid¡d d¿ M = ¡12 m0Pwsto quó hay un rúal de n = 10.2 =20 peíodos de paso ¡ ta lasa d. inrerés d¿ r-0,06/2=0,03por cda p¿¡íodo. el valarprés¿n1e seií.le

P = 512.0000+0,03) s = tt2.000(055363) = t66,r{,16

de acu€do con Ir bbt¡ de l, Égiña 2{t.

3r. Un hombs invierta l5¡l0 dnu¡l€¡ ál 6nal d€ cada,ao Si l, !a¡á d€ inlerés conpu¿rc ¿s dcla¿; r to. inr.Fsson.¿pilalizabl$ anuln€nk, ¿a ¿u¡nio,E¿e¡derÁ l¡ c¿nlid¡d rcDnulad! ¡l c,ho de ñ rñG?

En ¿dt¿ aso ¡:0.0r, n = m y Ia .¡nlidád scunulds *ió d¿ fvéa* to l¡btá d¿ ll p¡sjno 2¡21,

.s 'ofrr '0041{ r l - ¡moizsrzr, = ¡rr .sssoo

L 0,04 I

32. ¿Cuál es cl v,lo¡ pns¿¡k d€ un. seri. uniloh. dé p¡sos d€ i120 @da uno hech...t final d. c¡da p€ríDda d€3nés* du¡anb 12 ¡ñós¡16.; d¿ i.te¡ós conpuefo .,rira li ¿a ndo l.i i¡t¡Éi.. trincdnlnenie?

En este Ém h¡y z -

¡.12: 43 p€rñd6 d. paso. r -

0,06/1= 0,015 r el utor p¡Bente cs de

T, - , r n, \ ' -d l¡ t20 : : . - | i120(34.0426) t409s, ' r

L .uD Id. acft¡do .o. ls tabld d¿ l, És,na 213.

,' 5Partes !rcporcronahr

123,r 5 6 7 3 9

t7

23

35

3?

12

45

1743

53

26

0000 00c3 0036 0123 01700414 0453 0,192 0t31 05690?92 0323 0364 0399 09341139 11?3 1206 1239 12?rt.¡61 1492 1523 155s 1131

1?6r t?90 1313 134? 13?á2041 2064 2495 2122 2]4A2301 2330 2255 2380 24052663 2611 2601 2625 264A2?33 2310 2333 2356 2378

3010 3032 305! 30?5 30963222 3243 3263 3244 33013421 3444 3461 3443 36023617 3636 3665 36?4 36923302 3320 3333 33ó6 33?¡r

4112

531á

6632 6542

7243 12úl

4513 4á33

5611

5343

65?166656?63

12it?356

6661 6561

6111 6,!53 t16t 54136á63 55?5 6537 5599

5?93 5309 6821 5332

6232 62,!3 6253 6263

0212 0253 02Ct 0334 A3710ri0? 06,rt 0632 0?r9 0?t50960 1004 1033 1072 11061303 1335 136? 1399 1,13016M644 16?3 1?03 1?32

1903 1931 1969 1937 20r42175 2201 2227 2253 22192430 215t 2440 250t 2t)292672 2696 271a 2142 27652900 2923 29,15 296? 2939

3113 3139 3160 3131 3201332,r $,!5 3365 $a5 340¡t3622 3541 36ri0 3679 35933711 3t29 374? 3?66 3?343192 3909 392? 39.!5 3962

,!065 4032 ,t090 C116 41334232 42¡!9 4265,1231 42S34393 4,109 {¡25 ,!¡,10 4,t564543 ,!661 45?9 ,159{ ,160S$94 4113 1724 1742 1757

5502 55t1 6521 6n395623 6635 5647 5653

5356 t366 53?7 6333

60?6 6035 6096 6107 611?6130 6191 6201 6212 6222623,1 6294 630{ 631¡ 63256335 6395 6,t0t 6415 6.1256434 6493 6503 6613 6522

6t30 6590 11599 6609 661366?5 66a4 6693 6?02 6712676? 6?76 6?3t 6t9,1 6303635? 6366 63?5 638¡ 63936046 6955 6t64 6972 6931

7033 70C2 7050 1059 ?06r7113 ?126 f13t ?1,13 ?1521202 1210 12ta n26 12X5723,1 ?292 7300 t303 1316?361 r3?2 ?330 ?333 ?396

5t36

4 't

12 17 21 25 29 33 314 311 15 19 23 26 30 343 7 tO14 11 2r 24 2a 3l3 610 13 16 19 23 2€ 293 6 912 16 13 21 24 2?

3 6 A t t ]4 lT 2022263 5 31r1316 la 21 2¡r2 6 710 t2 15 t7 20 222 51912 14 16 t9 212,1 ? 911 13 16 13 20

z 4 6 311 13 15 1? 192 4 6 310 12 14 16 13z,t 6 310 12 14 16 1?2 4 61911 t3t5 t12 4 5 7 9t t t2 14 16

2 2 5 7 91n12]! l t2 3 5 ? 310 11 13 152 3 5 6 3 $11 l3 142 3 5 6 3 91r121413 ¿ 6 ? t10 12 13

13 4 6 ? 910 11 1313 ! 6 ? 310 11 1213 ¡ ! 5 7 3 911 1213 4 6 6 3 910 1213,1 5 6 3 910 11

12 4 6 6 t 910 l t12, ! 5 6 ? 410 1112 3 6 6 7 a 91012 3 5 6 ? I91012 3 4 5 ? 3 910

12 3, ! 5 6 3 S10123166?39123,t56?3912 3.1 56 ?49123466?3S

r23156?49123,!56?73r23455€78123!. !56?31234456?3

1233,t56?312 3 3.1 5 6? 3\223!5677r2234666?1223.45667

3 5 123,I 5 6 7 39

202

3 I 3Pat¿! r¡oporcio¡ele3

l2¡r56?39

66

ó3

61

7l

17'14

l1a2

34

a73a

92

95

9?

7404 74t2 7419 1427 11357442 7490 7197 160t 75t37669 1686 1574 75A2 7ó891634 7642 1A& 7657 76617705 1716 1723 113\ 773a

1182 77a9 n96 7803 7al0?a$ ?360 ?363 ?3?6 ?8827924 7931 1938 1945 1952?993 8000 3007 3014 30214062 30€9 8t)?á 3032 3039

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1503,91 3.0e 2.?0 2,16 2.50 2,19 2,ú r,35 1,?5 1,63 1.5? 1.61 1,.!3 1.39 1.233,91 3 06 2.6? 2.13 2.27 2,16 2,00 1,32 1,?r 1,6¡ 1,54 1.47 1,14 1,34 \,223,39 3,0{ 2.65 2.1t 2,26 2.14 1,98 ¡,a0 1,69 r,62 1.52 1.,16 1,12 1,32 1.193,36 3,02 262 2.t9 2,23 2,12 1,96 l,?a 1.6? 1,60 1.¡9 1.¿2 1,33 ¡,23 1,133,84 2,99 2,60 2.37 2,2t 2.09 1.9.t 1,76 1,64 1,57 I.46 1.40 ¡,32 1.2¡ 1,00

Tono¿o de: C. \'l S.ede.di y W C. Cochr¡n, Slolnrt.d¡ M¿¿¡odr (e. ¿dición, lg{j?). inrÉnrá d. la univexidad d¿l Es.ado d€ lo*a. Áhes, rNa, en p.rmiso d¿ tos

260

' I ARl._{

5t

X 12 3 4 5 A A 12 16 20 J0 40 50 100 -

I234

4062 49!| 5113 5625 5?61 53á9 593193,49 99,01 99,r? 99,25 9S,30 99,33 99,3631,12 30,31 29.,16 24,11 24,21 21,11 21,1e21,20 1300 16.69 15,93 15,52 15,21 14,3016,24 12,27 12,06 11,39 10.97 10,6? 10,2?

6302

26,35

6106 6169 6203 62539r,42 99,1,1 99,,r5 99,.!?27,05 24.$ 26,69 26,5014.37 14.15 14,02 1r.330,39 9,63 9.65 9.33

13,?426,23 24,1213,57 13,¿6

3I

5.355,06

13.74 10,92 9.?3r2,2ó 9,65 3.4t11,?6 3,65 7.59

10,04 ?,56 6.55

7.72

5,11

1,39 1,23 7.t1

5,36 5,20 5,11

4,4\ 4,25 4,11

7.526,27

4,92

9,1t?,357,016,126,99

3.?6

5.64

5,75 5,65

t,3l3,91

¡3

r5

9.45 1,20 t),22 5.6? 6,32 6,0? 4,74 4,4O 4,2t 4,10 3,9¡ 3,36 3,80 3,70 3,609.33 6,93 6.95 6,41 5.06 ,!,32 4,50 4,16 3,94 3.86 3,?0 3.61 3,66 3..t6 3369,07 6.70 5.14 5,20 4.36 4,62 .!,30 3,96 3,?3 3.6? 3,51 3,,I2 3.37 327 3]63,36 6,51 5.56 É.03 .1,69 ¿,46 ¿ 14 3,30 3,62 3,51 3,3.1 3,26 3.2r 3,11 3,003,63 6,36 5.42 4.39 4,56 4,32 4,00 3,6? 3,43 3,36 3.20 3,12 3,Ol 2,97 231

r?131920

353 6.23 5,29 1,71 4,44 4,20 3,39 3,55 3,3? 3.25 3,r0 3,01 2,96 2,a6 2,763.40 6,11 5,13 ,t.6? 1,34 4,10 3,?9 3,.r5 3,2? 3.16 3,00 2,92 2,a6 2,16 2353,23 6,01 6,09 ¡,ó3 .!,25 4,01 3,?t 3,3? 3,19 3.0? 2,91 2,33 2,7A 2,AB 2.673,13 6,93 5,01 4,50 4.1? 3,94 3.63 3,30 3,12 3,00 2,a4 2,76 2,70 2,60 2A98.t0 5.35 4,9,{ 4,43 ¡¡,10 3.37 3.66 3,23 3,05 2,94 2,17 2,69 2,63 2,53 2.t2

2224

2A

1.54 5,12 142 !,31 3.99 3,76 3,45 3,12 2.94 2,A3 2.81 2,6A 2.63 2,42 2,gl1,42 5,61 4,72 4.22 3,90 3,6? 3,36 3.03 2¡5 2,14 2.6a 2/9 2,44 2,33 2,21'¡,72 6,53 4,61 4,1¡t 3 82 3,6S 3,29 2,96 2.11 2,66 2.50 2.11 2,86 2,26 2,13?.64 5,16 1.67 .!.0? 3.?6 3.53 3,23 2.90 2.11 2An 2,t4 2,36 2.30 2,¡8 2.067.t6 6.39 4,51 4,12 3,70 3.41 3.r7 2,3,! 2.66 2,55 2,3a 2.t9 2,21 2,1t 2,01

30

1,327.14

1,65

2,37 2,20

2.20 2,0X

2,11 1.9,!

2.332,42

3,413,3{

3,25

2,66 2,¿9

2,50 2322,43 2,2A2,11 2.21

7,31 t .13 2,11 2,05

1,93 1,37

1.44 1,?a

3333,123.65

3,131,41t,6a

1,531,49

6.90 4.32 3.93 3 51 3.20 299 2,69 2.36 2.19 2.06 r.3C 1.?S 1,73 1,59 1,,¡36.31 .t.?5 3.91 3.,1.! 3.14 2.92 2,62 2,30 2,12 2.00 1,33 1.?2 1,66 1.51 1,336.?d 4.?l 3.43 3,,!1 3.11 2,90 2,60 2.23 2.0! 1.97 1.?0 1,69 r,62 1,¿3 1,2t6.?0 4.66 3.33 3.36 3.06 2.35 2,65 2,23 204 1.92 1.?¿ 1,64 1.6? 1..t2 l_196.61 4.60 3.?3 3.32 3,02 2.a0 2.51 2,r3 1.9!r r.A7 1,69 ¡.59 1..52 1,36 1.00

' l¡Dod,..r. c \!. sned¿.or ! $¡ G (io.hnn, s¡d¡q¡(o¡ M.¿rod\ 16. edi.ión. 1967). in0(¡rd d. la LoiveFlddd d¿l Erad. d? Io*a, aDes. L*r. co¡ n€rmis. d¿ los

261

6L172 71610

¿409s 2s191,16989 601?3

10686 02133

03535 793ó3

4662t 62498

21960 21347

11646 55370

31041 36?07

96?99 85669

93632 01186

76105 10363

5697{ 37124

12974 1?169

97153 90531

03507 94271

48116 42181

11322 15304

21034 6?283

41982 49169

16169 l¡IA?6

35633 472Á0

62934 ?6163

,4921 tó936

60905 20501

12\39 ?0145

8a714 S8?2S

84a21 68886

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86916

64083

957\5

66644 843?t

08208 86962

¡081? 67906

62261 01017

68298 gA2f6

262

INDICE DE S¡MBOIOS Y NOTACIONES ESPECIATES

En la lüt! qu€ 6isxe Be ¿ncuentnn los simbolú y notaciones p,nicular* que se ha¡ .nDleadjurto @n las pd{ina6 en l¡s curles se hall¡ su de6nició¡ o en las que aparecen por p¡in¿¡a vez. Los cásos€. ¡oscualesun ni¡no !¡gno puedr da¡ lugar a m¡s d. un. sol! inle¡pEroció. podón s¿!,.|,rádos por ¿l conr¿¡ido.

Símbolos

Bd,('),8.i.(,) 1.{o

,(ñ,') funció¡ b¿ia, r03A, ¡ún€¡6 dc B.r¡oülli, rr4

C(,) i¡bsral de cseno d. FB¡.I, ú.{t (,) i¡14rál d¿ cd.no, úa

. brs d€ lc los'¡irnos ¡arür¡l¿s, I

.j,.r,.3 Ktoe8 nnla.ios en .m.dc¡ád& c!ryiljne$, r2r

rer (') funció. d¿ e¡D., 133

lc.¡G) lnnció¡ dnpl¿n¿nt¡¡i¡ d. eror, 133

t = AG,'/2) intésÉl.lípiicá coñpkla do seslnd.6p..ie, l?9

¡'(¡, t) int gÉl.lidi6 inconpld¿ de 3esx.da Bp€ci€, 1?9

/€(t) iniegr¡l.tFb¿nci.l, r33

tr ¡úne¡or de Eu¡e., 11.1

¡(¿,d; ¿i t) tunción hip¿¡s€onólrict, 160

¡'(*, é) inr€s¡rl ¿líptica irmnpl¿ta de prir.n ¿tp¿ci., I79

t,t r t¡anslo¡bade de Fou¡i¿r y 1¡rnslo¡nad¡ inw¡s, d¿ Foun¿r, 1?5, 176

¡r,12, is l¡doB d€ ¿sala ¿n cao¡denadas cüúilína3, 12a

¡ti(¿) pó¡irónn de H¿¡nii€, 151

'¡?(,) run.'on€. de Hanl¿l d¿ prin.É y rcgunda 6p.cies, $a

i uni.t d is.ginaria, 21

r,J,|( velo¡r únitlrio! .n cñrd.turtid Écr.ngul.Es, 117

¡¡(r) tunción nódificlda d€ B€$el .t¿ pnne¡a ápéci., 134

J,(r) furción de B4a¿l d¿ p¡in.¡á ¿sp€cie, 136

X = ¡'(¿,'/2) i¡tsgnl elipiic. canplel¡ de priñd¡ 6pccie, 17s

K.r,{,), K.ii (,) raoK¡b) runción Fodifi.áda d¿ B¿ss¿l d¿ 6¿str¡& BF.ci., l3e

l¡, o log., log.rtmo naiur¿l d¿ ',

24

log, o loa¡or losa¡itDo común de ¡, 23

¿i(r) p.linonios d. Las!¿.¡e, 153

¿l(,) p.linomiñ dsociudos d¿ Lasxer€. 155

{,4-1 i¡ansfo¡náda d. ljplae y lmnsformada inv€na dc kpla@, ¡61

Pn(,) poiinoúiG d¿ l?sendE. ra6

Pf(,) tuncions asocirdN de l¡ge¡dre de p¡in€B esp€ci., I,l9

Q¡(,) ru¡¿ion€s de rigendÉ de s*unda .sp.cie, l4a

Ql(,) rüncions,soosds de l2se.dn d¿ sqnndt .sp€ci€, r50

r cmrdenr.ta ¿iünd¡icr, .19

t coord€nadr p.la¡, 22, 36

r coo¡de¡a& $téih¡, 5¡S(,) inlegral de q.ho d¿ aresñ¿l. 13!

/s(t) integ¡ar de s€no, la3

?"(¡) tolinoniG de cheblshev d¿ prinera esp€.ie. 157

U"(¿) porinomios d€ chebyshev d¿ sssxndae6p€c¡¿, 15€yi(¡) lun.ió¡ de Besél dé sesnndr espe.ie, 136

263

264 ¡NDTCE Dl STMBOI,9S Y j\_!qIACTONES ES?Eet tES

Gríegos

bruE. r+i+a+. .+: , . (0) = 0, lszlu.ció¡ de diEt.ibuión de lap¡ob.bilid.d, ú9

Símbolos

? 6.11¡¡1. & Eul.r. r

r(¿) tu¡.ión s¡ru, r, r0r¡(,) r¡.ción zér¡ d. Ri.n.¡r, l3r

. co¡deu¡lt ciünd¡io, ¡9

. ñrdcn.d¡ po¡rt, 22, 36

A=BA>RA<BiaaA3BA-Ba-a

t¡l

/ " \\k./

!,', = H= t.'t"t,r.a.l

ú=e*at

al.,!,2)a{¡r, rr, ¡r)

| !('\ d'

| 1,)d¿

| ^ 'd¡A.E

Notaciones

¡ .. D¡tor qú A o A a b.nor qa Á

A é aeho¡ qu¡ B o a sr n¡Jor q* ,{

¡ d myor que o tu¡l . I

A t n.no¡ qu. o isut . A

¡ .¡ ¡pDtib.d!c¡1. ¡u¡ ¡ ¡

Á ü ¡s¡¡tó.io. ¡ o ¡/A e.pEnu ¡.1, r02

( A. i A¿Oe.lú ttsluto d. ¡ = I

t*Á ¡ i ¿r=0

ccn.ienlor biroDül.s. 3

¡l.rivádú d.r, o de lt) @n E¡F.t ¡r,53,55

,'&iE¡ d.nwd¡ en E.!€do . ,, 55

ini€gr.l úrvilln.a d€ A r lo la.so de C, 121

p¡ldncio esc,lá. de A y B, l)?

oódu.ro v.ctorúl rte A y B, lla

op.rdd.¡ laphcirno, l2O

ope¡ad.r bi árnónico, lz'

INDICE

AchdLdas, cm¡d¿¡adas.sl€Didal6, r%

Adición, fórnulas d¿, pl¡' 116 fún.iobe3 .l¿ 843.1, 145para las funcio!8¿lipricas, r3{)pa¡a Ls fu¡cidne hip..hólicas, npa¡a l¡! funcioné

'igobom¿t.ic*, lá

p¡ra lm poli.omi@ de Hermie. rt2

N¡¡sadls, coorden.dG es fercidáI4, tla

Al€áiori6. hbL d. númems, $zAlgeb¡ai.ss, lolúcion$ d¿ lG ecúcionés, 32, 33Amplitud, d. ün nrimero @npl.jo, 22

d¿ Ir ibiesrd €liptica, r?9A¡rlí1ica, geonei¡ú' pl.na (vé$e pl,na, s€oner¡i¡

analitic.); del Bpacio {v¿.e eEp¿cio. 8€on.lrú

A¡sllae.rEdos lin¿¡.,€bclpll.o, 35

Arli¡os,¡i¿nos, coDun¿¡, 23, 195, 20{ m5natü¡lles o nep€¡ianü, 2,1, 226, tÚ7

A'ulidad, felo' de crntidld c

A¡itnóticó gdnéió@s, *;e6, r0?

ñquin€r'*, 6pi.!l d€, 15asinrote de Ia hiDé.bolq 3skinióiicos, d.saróllc o lórDül*, ¡t los ¡r¡he8 d¿

d€ las tunciong d. Aésel, 1{¡tl€ l. fu¡c¡óngañn¡, tm

{!miad*,lurcio¡e d¿ lis¿ndE, raq ú0 (vérs¿

ldcEtu LB€ndE, füncion8ld.prin€la€Gp€ci¿,149.t¿ sÍü.d, ep€ci., 150

fórúúlas de m!¡Enci' pár., 1,I9

3¿ri$onosoraldd¿,150Aleiados, polinomiod d. kg!€re, 155, 156

(ré.se ¡deDd¡ trsu¡É, polj¡onias d¿)skunú cieñp¡@ de, 155ló¡Dül,s dé HüEnda de, 156func¡ón g¿n¿.¡dor dé, r55

E3trl6dor ép.ciale! que co.ri¿nén, 1563e¡i¿E odoÍonaLs d¿, 156

Bas d¿!n los¡rirno. 23

B.ry B€i, funciones, 1,10, 1!rdelinición de l.s, l,to{uación dif¿r€ncül corÉspondieni¿

" 1,3, r{l

r¿pÉ¡.nración giíai@ de tas, I,1l

B€monlli, euoción dif€Érci¿l de, 1O1B.¡ndlli, números de. 93, lo?, Ir4, rl5

fó¡mülá $i¡1óric' páá los, ll5nl'ció. co. Iñ núne¡Gd¿ Fuler, rr5

Irbla de 'lsünod

d. los 9rimerc, Ir{B*¡.1, fúb.ion8de, 136, 115

de ord¿n isú.1 ¡ l, nilad de ub ¿nt.tu inp.r,de p¡ine¡s .spccie y orden ¡, 136, 13?dclarollos asiñtó1icos de l3s, r13{t s.sxnd..spcci¿ J o¡den n. 136, 13?eú.ióñ dif¿E'cirl nod¡licoda d¿. $ató.nula. de adición pa¡a ld, 115fó¡nul& d¿ EcufEnci¡ p¿a l!¡, ú7funciones s€..¡.do¡.s de l'6. 13?, r39ióreghtesdeñnids.queconr¡n€n, l{2, 113inl€s¿lc! indelinidüqu.co¡1ie.¿n, 142hodificad!. {!¿$e nodiñc.d.s, funcion¿¡ d¿

¡rcduc¿o¡ inñnnos de las. 134¡epÉ*ni.ción gi6cr d¿ la8, 141EpEs¡t¡ción int¿g{l d€ h3. 1.13seri.6 onog.n¡16 de Iu, 14{ 14ásolnción s!ó.t.1 d¿ las, 139t¡bl.e ds las, 2r{, 2,19v.loEs apFlin¡d€ pü igüdrción r cm, 25o

relación de l¡, con L función !¡nm., t03Bi.armó.ico. op¿r.do., 120

¿n c@denadft curili¡.as, 12tBinonú1, dier?ibuOón, r30Bi.oDi.L!, s.¡i4, A 110Binoniode N¿ston, ccfici€nb d¿I. 3

l.bla d¿ mloÉr dcl, 26, 237Bipol¡é, cord.¡¡d.s. r4, r29

Brigli.nG. lq.tilbos, 23

C¡den¡. Esl! ¡l¿ d¿ri!¡ción ¿n, 53q.la@l d¿ Púc'L4r,4,1

c6t¡l¡¡, @n6i!nr¿ d., úr

C.uchyo Eule¡. ¿NációndifeE¡ciald€. 105C¡uchy, Estode.¿n3¿.i.¡ d. T.!lo¡, 110C¡uchy Sch*t\ dcsigü,ld"d de. 135

C.ú, isul..ió¡ a, d¿ las fnnciones de A8sel, 25o

Cilind¡ic,3, óodé¡¿dás, ¡9. 126

265

266

e.d€ l¿ sup.'f¡c¡. hr.r.ldel,3,9

¡¿cior d€ (véa* serord¿ un círcolol¡.smenro d. (véa* segñenru de un cirulo)

Cüclnf.En.i. lpcíñ.tó d. l!), 6

coDpL¡. lóraul., par. I¡ trnsrorn¡dr inveEa de

coñphic, únjusd6. rlcomp¡.jc. nún.ror, 21, 22. 25

.t finicionB Fh1¡v.3 I ¡os, 2r

ror¡. po¡.r d. lG, 22, 25

hülrip¡ic,.ión de. 21, 25

roPÉPnlrciór súñc. de lo, 22EpPsnl,c¡ón E.o¡i.l d¿ lG, 22

Conpl.n¿nbria, fúnció., d€ .roi ü3

Cohp.r.r..r d€ un v€dor, ll?Compon.nns, vedo¡A, lt?Coñpu.d¿, r.b¡¡ d. f.cro¡.. d. c¡nlid'd, 2.roCoDun.s. ¡ñtilog.ritños, 23, 15. m4 205

ejebplord.phbl.m&en Elaciónco¡, 195

Comun.s, loar¡iinor, 23, 19¡, ?02. m3¿ildlñ n.diant. .ñple d€, 196ejeñplGd.pób¡.nas.¡ Elrc¡ón con, lg,t

cónic,r, cmd¿nadas, 129

cónicas,37 (v&3e sdenís dipse, plÉbol4 hipó'bol')coñjle¡dos smpl.jos. 2rCobñubriva, l.y, p¡n produús esc.¡a¡es, 3

pa¡. lá adición vriori{1, ll7

rec(o cirular (vé,s¿ EtoL snocncuhtConsranre de inrcg¡áción, 5?C.nvéreéñcia, inre alo d¿. ll0

d. seri€s de nouder, l3lConrelg¿n.i,, r.hla dé ladores d¿, 192

coordcndas ¡urvilí¡€!s, 124 lrjo

onosonal$nor¿bres, 126. r3!

h ns nrnación d?. i!6, 4a. i9

i¡bl¡ d¿ v¡loros del. 251CGnc.ley d¿ ¡G. pan riíng!¡6 pláror, l9

l€y d¿ los, paro lri¡¡gutós ¿¡fé¡icc, 19Cu¡dEda, función d€ ondi, 172Cu¡draüs, lab¡, d€ mn$, xq 239Cüld¡adc. bb¡¡ dG, 233, Zl9

Cuodníiica, solucion d€ la..wió¡, 32Cu.¿og1do,h¡ucióntt l¡.curció¡ds,33Cúb¡.a,3o¡ución d. l,.cueió¡, 32c(rbi.*, t¿b¡l d¿ ,¡í@¡, zt8, 239Cübo, dulic¡.ión d.l, ¡15

Cu¡v¡lin.¡s, ln¡den¡d¡!, 124, r25

C! rviltn.ae, i¡t€$.L¡, r21, ú,

ind.perd¿nc¡. d.¡ qh¡¡o d€ 1.., r2r, r22

Ch¿h$h.v, d.r¡gü.ldrd d.. r€6Ch.bFh€v, óu¡ción diLEnc¡.¡ d., 15?

mlución ¡...n¡ & I., r59Ch.by3hcv, po¡inúiú .L, ¡57, 159

d. ¡4u¡d¡ *p€.i., rsa¿d.ción dif.Éncial d., r57

fó¡nulft d. lunnci. p..., l54, 159fünci onA ¡.n¿r.do6s d., 15?, l5aodo{.Dlid.d d., l53t $eE¡,cio¡éqú. 6.ii¿rén, r5sseri€e or¿oson.¡4 d., r5a, 1593olución sen.6¡ dG, 159valo6 .5p..id6 d., r57, r5e

D€fi rid.r, i¡i¿lFl€e, 9¡100

fó¡nul$ s€ne¡alB qüe co,riencn, 9¡, 95oétodoe ¿9rcrthado¡ par. clld¡¡¡ l¡r, 95

D.Moin, büeDo dei 2q 25D.rivación, 53 (véd¿ .dcñ& ¡tsrivldsd)

b¡jo¿l signode int€s¿1,95Fgla! 3Éner.l€s p&á 14 53

DcriEdá6, 5t56 {véa* !den& d€¡ivaciór)

.t¿ I¡s tuncion4.lbric&, 131d. la3 funcio..s.xpon¿nciolBy logalnnicá3, 5{d¿ la8 lunciones hip€rbó¡ica! y d€ lá6 hip€¡bólicas

de las tub.ione¡ trisoron¿l¡icar y d€ ld ttisonoñét¡...*dprcm.54

I¿sl! d.la cad.n.páá, á3

INDICE

Dit€En.ü16, htu¡oré, M.¡c.. y .!! ¡olu¡o¡..,

DiEdoEq a@ñ6, a6, 17

Dütl¡ci!, ériÉ de puntd .r .l ri6oo pl¡ro, 3.1d. un Dunto r !m lina 36d. u. pi¡nto { u' phno, ¡lB.ntE dos D!¡r@ en el dp¡cio, a6

Di¡lribúion* d. h pbbabili¡¡¡d, r39

p.r¡ prcducid esc.t s,113

.tr cúdér¡d¡. cuviliner, 125Diw.8r¡ci., ¡.oEE. d€ la, 123Do¡ls, fónul¡¡ .l.l ¡nFlo, e¡ fu¡cioncs hi!€rüóli.

e¡ tunc¡o¡e rriso¡oDéaúo, 16

Drplicú¡ón, lónüI, iir, p¡r. L. tunc¡on.r .i.

Eo¡¡c¡ór d. ü¡. re4 3,1

.r lo¡nr p6Ér&nu, {7en lo@. É:@ni.iú, o i¡t44eptu.r, 3¡fom. nod.l d¿ L, 35

F¡P.ndiol& á ún pl,nó, 16Ecu.ción d¿l Dhno, lo¡D¡ gln¿¡,I, ¡7

qu. P.ú Por tE6 pu.to¡¡ ¡?

ercenÍicidrd d¿ I., 3a

8.mi-¡. D¡yo¡ y -.no¡

dé 1., ?. 33

El¡páojd¿, m&ión d.l 5r

Elbri@, cmrdcnad.e cilr.dnc¡s, 1?7

ElÍpti6, tuncion6, t?9 rA2 (vó'* dér'l¡ €lipiic¡3,

d6rmll6 .n 6¿ri6 da, úrló¡ñülm de dición p6É, ú0i.lenlid adee qu€ coniienen, I3l

v.loEs esD€ci¡16 d€, 132

2c1

Elíotiot, intqr!16, r?9, I3o (vérp rd.D¡¡ ¿liDaic¡.,

de !.!u¡d..¡p.cié, 1?9d. br.r .Bp.ci€, l?9. l3OEbción d€ L¡a€ndrc púo, ¡32lab¡. d. v.¡ores d. ¡.¡, 25¡, 255tlln.fornúión d. I¡nd.n p.n, l3¡l

t.bh d€ valorc¡ d€, 25?

üc.la¡, p¡ddüc.o, r17. rú

DEcaloud., función, 1?3E! f¿¡¡, auación d. 1,. to

tnr d€ L rürf.ti.i¿ d. ta, 9¿r¡dngulo sbÉ (v&sé €sférico, ilüngoloJ

E3lé¡ica. cMde¡ad$. 50, l rG

Esfé¡ico, Árár d. ¡r $p.rlici. del mqu.t , Ivolumn cobpEndido p.r.l 6quet¿. I

E¡téncq ¿riárgllo, á8. de u¡, 10E3li6 db Nápi.t p.¡a un, qu. ti.n. ur .ryxlo

El.cion.s c¿iÉ lo¡ lado¡ y á4!¡or de un, 19, mEapacio, lóróular d. sKndrñ

'mlítica del, ¡6'52

Espidl d¿ Arquined$, ¡6

EulcFMlcl¿u¡ir, fórnul¡ rümltórir d€, I{)gA¡le. o C¡uchy, cu!.ión diteE¡ci.l de, 105Eülsr, núm.r6 d€, lla, rú

Étmión de. co, ld n¡iñ¿rm d€ B¿r.oulli, 11ás.ie8 qüe conrienen, 115labl. dc a¡slhos de [email protected]€tus, rr.{

En ta, mación dileEncial. 104E!@nl¡i.idad, detiñiciób de l¡, 3?

Erpon.n.iá1, int.¿ral, 1a3

E:por.ncialÉ, tunciones, 23 21 200€jenptc d. prcbleD,s qu¿ i.cluy€n ¿l oílculo d¿,

d4arol loensr ie¡de, l r l

el¡ción ¿nr€, y lasbtononé1.icas. 2{

Eltr¿mo de un vedor,116

valoÉs pe¡enril¿s 95¡ y 99 d. ló, 260, xl

INDICE

268

lablade v¡loÉsde.23,l

F.uher, s€rieide, 131 135

ro¡Dacomrlejad¿,131id¿¡tidsd de PádevalpaB. l3r

f ouri.r, túnD, de I' intg'.l do, 1?¡Fourier, rransforn¡das d€, l7,t 1?3

ide¡1idld de P,B¿lal pa.., l?5

!éoreú, d€.onvólu.iór p!¡s, 175Fnsn.l, inregnleBd¿s.noyde.os¿¡q 134¡¡ullani, inlegralde, 100

c'n ma. lurción, l. l0t, l(D¡lsnnG valor.s dc la, r01como produdo infinno, r02, 133d¿fnición de la. 1o1, 102

d*arolló5 ¿.inrólicos de la, ¡02fó¡ñula deduplio¡ióñ p'ro l¡. 102fó¡nulad¿ EcurEnciapár. h, r01pqrá valoE! beg¡livos. 101El¿ción con l. fünció¡ bct¡, 103ElacioneB qu. contien.n b, r02Eeresenl,ción s.ófica de la. loltablddé v.loFsd. la, 235

C.n.ádo63, furcio¡c8, t3?, 139. 146, 1¡9.

Gen¿rali4dr, ló¡nu¡8, d. int¿eúció¡,por

C¿on¿lric.s, fó.nul$. 5 10C.omótic.., s€'i.5, rü¡

.¡ c@rd€n¡das curvilínas. l%crád6, r,194,2ü)

conv€Gión d., en ¡rdi.n$, rga, ¡r,223r¿l¿ción¿nté.y ¡adirn$, 12, 190, 2m

C€n.priho¡¡yseglnds id¿ntid¡der d., r24

H¿avisid¿, funció. unilarú d., 173H¿rhile. ¿cu,ción dil¿ro..ial de. 151He.mne,po¡iñ.niosd., ¡51, r52

ej€nplos cp¿s.ntalivos d., $rlórDulasdedición parr, 152

fórbu¡a de R.driguep!¡a. l5¡

rusülbdos ¿sp€ciales que.onri€n¿n, 152

¡NDICE

s€¡i€s odqonales de. 152

loDsitud de los ¿j¿5 6ryfi y neno¡d¿, 39H ipó¡bolas h on ofo..les, 127Hip¿rbólicas, lun.iones, 26Jl

de orclb¿¡1os .e3arivd, 26

desarrc¡lo¿¡ s¿riss d¿ las, 112ejeDplos d¿ prcbleDas pá¡r crlcuk¡ los valoÉtde,

fórnulas d¿ adició.párá,,fó.nülás &l Á¡sülo dobl¿ pá6 las, 2?ló¡ñulas d€l lngulo hil¡d pan las, 2?lóinulas del ró¡sulo núlriplo p¡D l$. 27

recíprcas {véas tuites, au.cion8 hip€rbóli.$)Élació¡ enl¡e,y las riso'ob&tic8, 31r¿l'ciones ¿n1É 1.3, 26, 23ep¿entación g¡fica dc rosi 293um., dil¿Encir y p¡oducto d¿,23tábl. d. v¡loEe d¿, 2rP-233

Hip€¡bólico, p.6boloide. 52Hip€¡botoid¿ de una dol. hoja, 5I

Hip€rgómét¡ica. mución difcÉncto! lm

HiD.¡g@nékic¡á, lunc¡oreE, 160c.¡o3 ¿sp¿cül* d., 16¡)p¡opi.drd¿s va¡¡N d€ ls, 160

Hipdicloid€ en tÉier.l,,12

Holde¡, dédigurldad d€, 1a5

HonofGl8, elip#, Lcoo¡d.nad¡s elipsi.tales, Im.mrd€nadm par.boloid,ld, $0

Honosónea, rüa.iób direEncia¡, 104Ii¡c.l d€ s4nndo o¡d.¡, 105

InaÉi¡!¡ia, pan€, de un núeb .onpl.jo, 2I

Lnpopi.s, iniésnl*, 94Ldefi nidas, inlegr¡l¿¡, 5?'93

tÉñslorneión d¿, 5s. mIn fi ¡itG, prodüdo¡, 102, l3a

*¡ics dc, (véas 3e¡i4)Int.sración, 5? (!¿,s además ini.gld..)

Esl'8 s¿n€rala p.6 la, 5? 59Inl¿sr¡ción pd paréd, 5?

lórruh g.¡€¡!li4.I¡ pon l!, 59I'EgBI, leená fuhd¡ne.tal d€ dlelo, 91

I'lésÉl.s d€finids¡ (vé.e deñnid.6, irtlgñl@)

o¡vilín¿as (véas. cuNilin€as, in1e38tes)

indofinidas (vóase inderindas,,nt¿srat¿s)

I¡teGec¿ión co. el eje r, 3'lInr¿Bec.ió¡ con ¿r€j. y, 34

I¡t¿rv{lo de convérc€ñcid, lt0I.wxión de seri¿sd.ook¡cias. r13¡nvolut! de la cjrcúdr¿Énci¡, 43

Jácobi, lunciob* elipticas de, l3o

Ji..uad¡ádo. dútibu.ión, t39valoros p€r@ñtiles,259

K¿¡ y X.i. füncion¿s,l10, r4l

¿cua.ión dif.¡encial pr¡a las, 1¡1

l¡grs¡se. re.lod¿, ¿n se.i€s de Tlylq,110las!.¡e, ¿cuación direren.isl ¡eo.idda d¿, r55l¡3ü.¡8, ecurió. diferehci.l d¿, t53I!8n€n¿, p.li¡omios d., t53,l5r

as@iodG (véd6. rsociados, polinoñ¡G d. Lasüexe)

fórhulas de re.ur.ncie para lG, 153fó.nula de Rod¡isue pa¡a lG, r$función sene¡ado!, d¿ tos, 153o.rosóna¡idad de los, 151sé¡i8 orogo¡á14 Éra lG, t54

l¡nde¡, rEnsfo.nación de, Éot pkce, tó.ñüld pa8 h ha¡slorm¡d. inlerea de,

I¡plac¿, kanslorn¿dae d., t61 1?3defini.ión d.las, 161

€ncoddeud.s.uivilin¿¡s. rLeg€ndre, hadón dil¿rencial á3kiad¡ de, r,I9

slución B€.eral de la, 150l*3€nd¡e. ¿cüa.ión diterencial de, 10q ¡46

3olu.ión 8€n€rEl de la. 1¡li9Irs.ndÉ, fü.cionF de, 146 u3(v¿!s.ad.nás

Irs€ndE, lolinonios)Nci{da¡ (yéas¿ as(iadas. runciones de L¿s¿ndr¿)desesrhdá¿Bp€cie, l1a

lrs€ndE, po¡inonios d¿, 146, 11? (vérse ademó!Les€¡d¡.. funciones de)

fúnüt, de Rodrisu¿ pa¡e tos, l,16fórnul, de B.ure.d, pdr¡ los, t¡?lunción seneradoa dé los. 146orlogonalided de los, 147r€sulbdos esp¿.iales qN .oñtienen, l,r7sene¡ odosonales de, l,l7tablad€valorésde los, 252, ?$

l¡s¿ndE. relaciónde,p&, tas iñésrat€s ¿lipricss, 182

269

¡¡ibnlu, rcsla d¿. pa¡a d¿rnaf ba¡, ¿l sisno de ihte.

par¡ defivsd¡s superior$ de produ.tos, 55

Line¡ Écta, eúaoón de üna (vésse ecuación dr una

Llneal, ¿.ua.iótr drrer¿nci¡1, de r¡in.¡ o¡den, 10¿¿.!r.ión dir¿¡encial, d¿ s€FUndo orden, 105

Losaritnica8, lun.iones, 21.25 (véas. adrmis losarii-

d.saBollo en series de lar, r1lLosarirmos, 21 (vé¿s¿ adcmás tos'¡nDicas. luncionet

a.hlagarnh.s y (v¿.se ánrilqa¡it'osl

canbio dé base de los. 2.t.,n.1eristica d€ los, 19¿coDunes (véase o nü n€!, losarnnG)de r0no0r¿¡ rigonomáricas, 2lÉ221de núm.ros .omplejos, 25

M€dio, t¿o¡€n¿ del v,lor, per¡ int.s¡als d€fi.idss,

Miad, fó¡nula del n¡sllo, p¡ú funciores hip¿rbó

pan Iuncio¡es triSonom¿hi.as, l6M in ko*6Ly, de¡kxaldad de. 136

Modúú&s, run.ianes de Eb3s¿1, úa, 139ecu,ción düee¡ci.lpara la3, 133d€ odeó ipñl

' la mir'd de un e¡lero inpár. l{0

fó¡mulás d. Ecun€ncir p8n las, 139función s€.e¿dora de las, 139¡ep¡¿senb.ión g¡i¡c. d. lds, 1{l

Módulod¿un núnemcohpl.jo, 22Mon€n1os d¿ i.¿rcia inpof rnte5. 190, ¡91MoviFienlo en s¿ntido cont¡rrio al de l.s mdn.cillss

Muhinonial rórhuta, {Mütlplo, fó¡nulapara ¿llingulo, en fün.iones hip¿r

en funcion* úisononébicas, l6Múlripl€s, inlesra16, 122

rsnsror6ociónd¿, l%

lórhul,s !ad.s qu¿ co¡1i€n¿n, lm

Nátu¡á16. lqariimos y a¡tilo3¡riimc. 24. lgj

¡'ep.¡ianos, los!nlñoc, 24, 196

Neuma.n, Iunciónd€. 136No honosónea, ecusci¿n li¡.¡td. sesnndo o¡den. lotNormsl,n¡é,sb¡to lá ou.va. 257

No¡mal d. diE¡oón positivd (dirisida h¡cia et exre

274

lornrl, dbi¡ibució¡, 139Nlm¡L¿cuión d¿ uru li¡.¡ edr.n ¡orñq 3ó

.{uió¡ dcl pl.no.¡ forDo, {3

N'tn.M coñp¡.ioo (ú.* compl¿jo., núm¿ús)

Orrogoú1.¿, óo¡d€n.d¡. curilin.á¡, ¡24.130fórnullr ¿n larqu..¡táó, t25

Ot|q.ruliüd y orosoi¡rLr, 3¿¡i€r, t.14, 145. t|?, l5o.152, ¡6,r, 156, r53, 159

.ranlricidad de la, 37

e5D¿nto ds (vó$¿ csD¿nio de p.¡íbol¡)P¡lbo¡r. hoñofdrl.i, lmP,¡,bóli.!, lórau¡¡, prd ca¡cul.r ¡¡i.g..Ls d.fini

P.r.bó¡ic..,@rd.nd.¡c¡¡fnd¡ic&, 126

Plr.boloidd.q @.de.¡d.!, ¡2?

Pü.boloidc d. Evolució¡, vo¡u¡¿r d.l, l0

P..rL¡¡¡, condición po!¡ que do! ¡iñea. 8l.. En,

P.¡.¡.l.Db.do Ect¡¡a!¡o (vá4. É.íñsulo, p¡¡¡l€L,

P.¡.LlqriDo, lE¡ d.l, 6

P.t L¡or¡.Eo, ¡.y d.¡, p.r¡ ¡. .di.ión ¡t. vc.o¿1 l¡6

P¡E¡¡L¡, d.!.rollo.n i@io¡e., ú?Pu.v.¡, ¡d.n¿iüd r¡.. Fu 1Éhárom..t! dé

pü.¡.ri€r.t Foori.4 Úr

P.eil, iri¡n¡ulo d., ¡, 236P.rdi. ¿d. uD lín@ Er.,9¡P.rFn¡l¡cul¡Es, dndición por. qu. dot lin.rs Ect¡r

P¡ñrbi.ir. vol¡E.n d¿ l!, SPl¡n¡, ló.hüLr d. a€ob€1rL ar.li.i6. 3,¡-39Pl¡no, ¡a d. u¡ rÍngllo, 5, 35Pl.¡o, éución .t l (vé¡se ecu¡ción del pLno)PL¡o, t¡i¡ngulo, léy d. lo¡ s.n@ p.r. un, r9

l.y.t l.¡t¡¡r¿ri.. Da6 u¡, 19l.y d. lo¡ cno¡ p.r. un, 19

hdio rt l.lr.ulo circuncrito r un,6¡.djo .l€l cinülo in¡.¡ilo ¿n ün, 6El!.ione. enlE Io. lado¡ y fn8ülor de un, 19

Pói!3o., di¡ribúción d., l€sPoi&on, lórDula €uhl|ori. d., t€P¡¡,r, fcD4 .¡pF .d. dno .lpor¿ncisl. ?5

d. !¡ ¡ún€ú dDpl.jo. 22, 25Duhjpli.lción y división eb, 22

IND¡C8

Pol. r.s, coorde ¡ád.!, 22, 36k nsfo¡n*ión de coo¡d.nádad ÉcbnsxlaEs.,36

Poltono rqula¡ lvóas p!!la¡, poltDnol

PÉr¿nl, fa.to¡ d€ valo¡, d¿ un monto,241d€ uD 8.ri. unifdn.. 2¡:r

Principál*. vrlo¡¿¡, d. funci¡¡.s hip8rbólicas ¡..Drd

d€ ru¡ciónes1¡jgonobéticasre.ip¡e.s 17, r¡P.obábilidád, dis(¡ibucion¿s de Ia, lagP¡oduclc ihfiniros. 102, l3a

Puh,ciones. función de, 1?3

Elrción .ntE, y rndor, 12, 199, 2mLb¡a de conrFión de, 222

tl¡íÉ8 de lü .úhercs coñpl¿joE, 22. 25tabl¡ de cuad.¡dd y cub6, 2¡3, 239

R.al,p¡n¡, d.un númerocomplej., 2lR.cíormq fnncion8 h ip€¡bólicas, 29.31

erDEqd.s po. nedió de tuncio¡cs logadlñjo., 29Éllcjór ¿nl¡¿,J l¡6 lrislnonét¡icád Écbú&,3r

EpÉú.i¡.ión 3¡lñ6 d. la3, 30v¡loE. pn.cip"ler de la3, 29

R€cip@a!, ,u¡ciobcs l¡¡sononéi.icd, 17 rg

Fla.¡ón €n18, y lis hip.rbóticú Hipúús, 3rdlcione¡ .¡rE ¡.¡, 13EpE¡enlúión súnc. de l.s, ú, 19hloG principá¡ár d. Ias, I?

R.cíptu¡, i¡rDrfo.D¡ds d¿ L¡pllce, 16rR¿ci!@o., ilb¡¡ de, 233, 2ao&.1¡¡3!Lr, fórDüla, p.E éltuhr ink¡raLr dé6

Ret¡ngll¡Es, coo¡den.rt 6, t¡rnsfotu.cjó¡ .t , .cord.nadar p.l¡EB, 36

Ret.n3!l¡re¡, sisi€ña d.No¡¡eh.d$, rr?

R€cúryulo, p¡olelepip¿do. voluñ¿n del. 3&¿. rt Il ¡up€rficié d.¡,3

R.c1ifiod4 lnnciónd¿onü ienoi.t¡!, 172

R¿.io, tónca de o¡o circ¡lar, (!éúe tlone d. cono

.up€úci¿ ¡d¿r.¡, aÉ. .ts I!, 9

R.cu¡Enci.. ló.Dulas d¿, 101. ¡3?, 139, 1,1?, 119, r5r,¡53.1á6, 153, t59

Rqll¡r, íE! de un polísobo, 6A.s!I.!, pol¡go¡o, .ncufuc.ilo ! ün circulo,

'ne. de, 7

in$¡noenuncílo¡o, ?

Ri¿nánn, f!h.ió¡ d d¿, 13.tR.diislc, tóimulá! de.14q 151. ¡53R¡s de tÉ! y .utn póblos. 4l

R.l.ción de .mil.¡¡tL3.n ¿¡ plino, s

.n cmrd.n.d¡! drvilird3, 125

S.hs..¿, &.isü.ld.d d¿, (v¿¡c C¡uchy'Srhvln,

S¿do¡ d. u¡ .imlo. lonFúd ¡1. .rco d.¡, 6

S.sn¿nt¡ d¿ cndb, áH d.l, 7S4sñ.n¿o de prlbol¡, ¿É. d.l, ?

S.si.Eliñcrdr, fDñción d. ondr &noid¡1, r72

5€16. l.y d. lo., p¡r¡ ki¡n$16 pL.o¡, ¡ 9I¿y d. lo., p.F lri¡bguld *ró¡icd, 19

S€!.úción d. !.'i.blc.. lo¡

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Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas Murray R. Spiegel

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