Manual de Calculo Integral Año 2015 SD3
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UNIVERSIDAD AUTONOMA
DEL CARMEN
ESCUELA PREPARATORIA CAMPUS II
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
47
Objetivo: Aplicar
mtodos y tcnicas
establecidas para
resolver integrales
indefinidas por,
cambio de variable,
integracin por
partes, sustitucin
trigonomtrica y
fracciones parciales.
|
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
48
Prctica 7
Resuelve las siguientes integrales inversas
1.
dx
x 2 9
2.
dx
x 2 4
3.
dy
y25 2
4.
dx
s2 16
5.
dx
x9 42
6.
dx
x16 9 2
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
49
7.
e dx
e
x
x1 2
8.
dx
x x2 4 3
9.
dx
x x2 102
10.
dx
x x2 8 25
11.
dx
x x3 22
12.
dx
x x2 2 12
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
50
13.
dx
x x4 2
14.
dx
x x1 2
15.
dx
x x2 3 4 2
16.
17. 241 x
dx
18. 222 xba
dx
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
51
19. 44 axxdx
20. 221 xdx
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
52
INTEGRAL DEFINIDA
CONCEPTO
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO.
Informalmente, el teorema afirma que la derivacin y la integracin (definida) son
operaciones mutuamente inversas. Para ver como Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello,
consideremos las aproximaciones que muestra la figura. Cuando definimos la pendiente de la recta
tangente, utilizamos el cociente xy / (pendiente de la recta secante). Anlogamente, al definir
el rea de una regin bajo una curva, usamos el producto xy (rea de un rectngulo). As pues,
en su primer paso derivacin e integracin son operaciones inversas. El teorema fundamental del
Clculo establece que el proceso de lmite usado para definir ambas operaciones preserva esa
relacin inicial de inversas.
Objetivo
Aplicar la integral definida para conocer los valores de las reas bajo una curva.
Descripcin La integraL definida como limite de sumas de Reimann
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
53
Si f una funcin definida en un intervalo cerrado ba, y si el limite de la suma d Reimann existe, entonces se dice que f es integrable en ese intervalo, se expresa.
b
a
n
ix
dxxfxWf 11
10
lim
El proceso de obtener el numero representado por el limite sealado se le llama calcular la integral.
Si una funcin f es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, . Al usar el intervalo ba, condicionamos que a < b. Si a > b entonces se expresa como:
b
a
b
adxxfdxxf
Tcnica
Teorema fundamental del clculo.
Si una funcin es continua en un intervalo cerrado ba, entonces siempre f es integrable en ba, .
aFbFdxxfb
a
Donde F es cualquier funcin tal que F(x) = f(x) para toda x en ba,
Procedimiento
El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:
Integrar la expresin diferencial dada.
Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar despus de sustituir con el valor del extremo inferior.
No es necesario utilizar la constante de integracin.
Material
Calculadora
Tabla de integrales
Hojas blancas
Lpiz
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
54
Ejemplos:
1. Resuelve la integral
5
23
2
x dx
7.101748.35
362.14
5
31748.3
5
362.14
5
3
25
35
5
3
5
3
3
5
13
2
35
35
5
2
3
5
5
2
3
5
5
2
13
25
2
32
5
2
3 2
xx
xdxxdxx
2. Resuelve la integral 3
2
2
3x dx
3
1
3
8
3
9
3
831812
3
827279
29233
23933
3
3
x9x33
xdx9x6xdx3x
23
23
3
2
233
2
2
3
2
2
.
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
55
Prctica 8 Compruebe el valor de cada una de las siguientes integrales definidas:
1
2 3
11) 2x x dx
22
02) 2 1x x dx
4
13) 5 x dx
3
22
24)
1
t dt
t
21
20 35)
1
zdz
z
2
06) ln ( 1)x x dx
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
56
34
07) sen x dx
02
28) 3 4t t dt
5
32 20
9)
25
dx
x
4
2310)
25
dx
x
4
2211)
6 5
dx
x x
9
1
ln12)
x
x
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
57
2
1 21
3dx
x
1
1
3 )9( dttt
1
1
3 2 dtt
0
1
32
31
dttt
1
02xdx
0
1)2( dxx
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
58
5
243 dvv
1
1
2 2 dtt
5
2
2 )23( dxxx
dtt 1
0
2)12(
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
59
INTEGRACION POR PARTES
CONCEPTO
En esta seccin estudiaremos una tcnica muy importante de integracin, llamada
integracin por partes. Esta tcnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es
particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de funciones algebraicas y
trascendentes. Por ejemplo, funciona muy bien para resolver integrales como:
senxdxedxexxdxxxx y ,,ln 2
La integracin por partes se basa en la formula de la derivada de un producto
uvvu
dx
duv
dx
dvuuv
dx
d
donde u y v son funciones derivables de x. Si u y v son continuas, podemos integrar ambos lados
para llegar al resultado
vduudv
dxvudxuvuv
Reescribiendo esta ecuacin se obtiene el siguiente teorema.
Esta frmula expresa la integral original en trminos de otra integral. Dependiendo de la eleccin
de u y de dv, puede ocurrir que la segunda integral sea ms fcil que la original. Como las
elecciones de u y de dv son criticas para la buena marcha del mtodo, damos unas indicaciones
sobre como preceder.
Objetivo Conocer y aplicar la integracin por partes como un mtodo alterno de solucin en integrales.
TEOREMA 4.- INTEGRACION POR PARTES
Si u y v son funciones de x con derivadas continuas,
vduuvudv
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
60
Descripcin
La integracin por partes tiene por objeto calcular la funcin primitiva del producto de una funcin por la diferencial d otra funcin de la misma variable. Se basa en la frmula de la derivada de un producto de dos funciones:
vduudvuvd integrando ambos miembros
vduudvuv despejando se obtiene la formula de integracin por partes
vduuvudv Para aplicar esta frmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada en dos factores u y dv.
Tcnica
Procedimiento
Para aplicar esta tcnica en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada en dos factores u y dv. Al momento de elegir estos factores se debe tomar en cuenta los siguientes puntos:
a) dx es siempre una parte de dv b) debe ser posible integrar dv c) cuando la expresin para integrar es el producto de dos funciones, es mejor
elegir la de apariencia ms complicada.
Material
Hojas blancas Lpiz Formulario
TEOREMA 4.- INTEGRACION POR PARTES
Si u y v son funciones de x con derivadas continuas,
vduuvudv
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
61
Ejemplos:
1. Hallar dxxex
Solucin: Para aplicar integracin por partes, necesitamos escribir la integral en la
forma .udv Hay varias maneras de hacerlo:
,1 , ,dvu
x
dv
x
udvu
x
dv
x
u
dxxedxxexdxedxex
La estrategia invita a elegir la primera opcin, ya que la derivada de u=x es
ms simple que x y adems dxedv x es la parte ms complicada del integrando
que se adapta a una regla bsica de integracin.
dxduxu
edxedvvdxedv xxx
Integrando por partes obtenemos
Cexe
dxexedxxe
vduuvudv
xx
xxx
2. Integracin por partes
Hallar xdxx ln2
Solucin: En este caso, 2x es ms fcil de integrar que ln x. Adems, la derivada
de ln x es ms sencilla que ln x. Por tanto, tomamos dxxdv 2
dxx
duxu
xdxxvdxxdv
1ln
3
322
Integrando por partes se obtiene
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
62
Cx
xx
dxxxx
dxx
xx
xxdxx
9ln
3
3
1ln
3
1
3ln
3ln
33
23
332
3. Sucesivas integraciones por partes
Hallar senxdxx2
Solucion: Los factores 2x y sen x son igualmente fcil de integrar, pero la derivada
de 2x es ms simple que la propia funcin, mientras que la derivada de sen x no lo
es. En consecuencia, optamos por tomar u = 2x
xdxduxu
xsenxdxvsenxdxdv
2
cos
2
Ahora, la integracin por partes lleva a que
xdxxxxsenxdxx cos2cos22
Primera integracin por partes
Con esta primera integracin por partes, hemos simplificado la integral
original, pero la nueva todava no se ajusta a ninguna regla bsica de integracin.
Volvamos a aplicar integracin por partes, esta vez con u = 2x.
dxduxu
senxxdxvxdv
22
coscos
Integrando por partes obtenemos
Cxxsenx
senxdxxsenxxdxx
cos22
22cos2
Combinando los dos resultados queda
Cxxsenxxxsenxdxx cos22cos22
4. Sucesivas integraciones por partes
Segunda Integracin por partes
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
63
Hallar xdx3sec
Solucin: La porcin ms complicada del integrando que resulta fcil de integrar
es sec2 x, as que tomamos xdxdv 2sec y xu sec .
xtgxdxduxu
tgxxdxvxdxdv
secsec
secsec 22
Integrando por partes se obtiene
Ctgxxxtgxxdx
xdxxtgxxdx
xdxxdxtgx
dxxxxtgx
xdxxtgxtgxxdx
secln2
1sec
2
1sec
secsecsec2
secsecsec
1secsecsec
secsecsec
3
3
3
2
23
Agrupar integrales idnticas
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
64
Prctica 9
Resuelve las siguientes integrales por partes
1. dxxex
2. 2( 3 5) xx x e dx
3. dxxx )Ln(
4. dxx)Ln(
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
65
5. dxxx sen
6. dxxx2
cos
7.
xdxex
cos
8. dxx)Ln(1
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
66
9. dxxxn
)Ln(
10.
dxx sen arc
11. xdx tg arc
12. dxex
x237
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
67
13. dxxex cos
14.
2x Senxdx
15.
2 xx e dx
16.
xe Senxdx
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
68
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
CONCEPTO
Sustitucin trigonomtrica
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcin cuando el integrando presenta expresiones de la forma:
Se elimina el radical haciendo la sustitucin trigonomtrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomtricas cuya integracin nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cul debe ser la sustitucin:
Expresin en el integrando
Sustitucin trigonomtrica
Objetivo
Aplicar el concepto de sustitucin trigonometra en la solucin de integrales que no pueden resolverse de forma directa.
Descripcin
La integracin por sustitucin trigonomtrica sirve para integrar funciones que
tienen la siguiente forma
, y
Este mtodo se basa en el uso de tringulos rectngulos, el teorema de
Pitgoras e identidades trigonomtricas.
La sustitucin trigonomtrica permite transformar una integral en otra que
contiene funciones trigonomtricas cuyo proceso de integracin es ms
sencillo.
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
69
Tcnica
Si un integrando contiene expresiones del tipo 222222 ,, axxaxa donde a
> 0 y otras como nn axax 2222 , semejante a las citadas, inicialmente deben tratarse de resolver por sustitucin algebraica, si este procedimiento no es posible aplicarlo, se puede realizar la integracin transformando la integral en una integral trigonomtrica, aplicando las sustituciones siguientes:
cos22 axa senax
sec22 axa tanax
tan22 aax secax
Elaborar un tringulo que permita encontrar las relaciones pitagricas.
Procedimiento
Se deben calcular los valores de a, x, x2, dx. Y realizar las sustituciones correspondientes.
En el desarrollo de las operaciones se pueden aplicar, segn proceda, alguna de las identidades trigonomtricas.
Material .
Hojas blancas Lpiz Formulario Tabla de identidades
Ejemplos:
1.
322
2
322 ua
du
ua
du
a2 = a2 a = a u2 = a2 sen2 u = a sen du = a cos d
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
70
sustituyendo en
3223222322 1
coscos
sena
da
senaa
da
ua
du
como 22 1cos sen
3366322 cos
cos
cos
cos
cos
cos
a
da
a
da
a
da
simplificando la ultima expresin
22 cosa
d
como
cos
1sec elevando al cuadrado
2
2
cos
1sec
sustituyendo
da
2
2sec
1
integrando
Ca
tan1
2
Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de tan1
2a en funcin de la
variable u original. Como u = a sen entonces h
co
a
xsen
22 uab
si la podemos sustituir
2222
1tan
1
ua
u
aa
1. dxxx 42
a2 = 4 a = 2 x2 = a2tan2 x = a tan dx = a sec2d
ca
cotan
u
a
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
71
sustituyendo en
daaadaaaadxxx22222222 sec1tantansectantan4
como 1tansec22
daaadaaa2222 secsectansecsectan
simplificando la ultima expresin
da23 secsectan
ddu
u
u
tansec
sec
sec
entonces
duua23
integrando Cau
a 3
sec
3
33
33
ahora calcularemos el valor algebraico de 33 seca en la funcin de la variable x
original. Como x = a tan entonces ca
co
a
xtan
si la a
bsec podemos sustituir
3
2
323
323
33 4
3
4
3sec
3 a
xa
a
xaa
colocando los valores correspondientes y simplificando
Cx 32 43
1
x
a
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
72
2. 94 2xx
dx
haciendo u = 2x y a = 3, resulta 222 94 aux . Por tanto si hacemos 2x = u,
entonces x = u, dx = du. Sustituyendo
22222
21
21
94 auu
du
auu
du
xx
dx
a2 =4 a = 2 u2 = a2tan2 u = a tan du = a sec2 d
sectan
sec
sectan
sec
1tantan
sec
tantan
sec 2
22
2
22
2
222
2
aa
da
aa
da
aa
da
aaa
da
simplificando la ultima expresin
d
asen
d
a
d
acsc
11
tan
sec1
integrando Cctga
cscln1
ahora calcularemos el valor algebraico de Cctga
cscln1
en la funcin de la
variable x original. Como x = a tan entonces ca
co
a
utan
si la u
bcsc y
u
actg podemos sustituir
cu
a
u
ua
a
22ln
1
colocando los valores correspondientes y simplificando
u
a
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
73
x
x
xx
x
2
349ln
3
1
2
3
2
49ln
3
1 22
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
74
Prctica 10
Desarrolle las siguientes integrales: Utilice el mtodo de sustitucin trigonomtrica.
1.
225 x
dx
2.
162x
dx
3.
49 2x
dx
4.
2916 x
dx
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
75
5.
19 2x
dx
6.
2
3
22x
dx
7.
225 xx
dx
8.
32 25
dx
x
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
76
9.
2
24
t dt
t
10. 3 2 9
dx
x x
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
77
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
78
Universidad Autnoma del Carmen Coordinacin de la Funcin Acadmica
Escuela Preparatoria Diurna. Unidad Acadmica del Campus II
Instrumento de evaluacin: Lista de cotejo
Tipo de evaluacin: SUMATIVA/FORMATIVA
Departamento: MATEMATICAS Academia: MATEMATICAS
Unidad de Aprendizaje Curricular:
Calculo Integral
Semestre: Sexto Nmero de secuencia:
3 Grupo:
Bloque: 2 Y 3 Evidencia: Manual de prcticas.
Competencias Genricas 5. innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Atributos 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,
comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de
un objetivo. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos.
Nombre del
Estudiante:
Nombre del Docente:
Porcentaje: Fecha de
aplicacin:
Caractersticas Cumple
Si No
PRESENTACION Entrega el manual o cuaderno de trabajo limpio y ordenado
Entrega puntual, en la hora y fecha acordada
CONTENIDO Letras, nmeros y smbolos son legibles?
Calcula integrales acorde al mtodo de solucin.
En el desarrollo se indica y hace evidente la realizacin de
todos los pasos que incluye el ejercicio.
Realiza las operaciones algebraicas incluidas en cada
ejercicio.
Anota la formula a emplear en cada ejercicio.
Contiene el total de ejercicios marcados
Encuentra el resultado correcto en el 80% de los ejercicios
Observaciones
Evalu Fecha
Nombre y firma
-
MANUAL DE CALCULO INTEGRAL 2015
79
Universidad Autnoma del Carmen Coordinacin de la Funcin Acadmica
Escuela Preparatoria Diurna. Unidad Acadmica del Campus II
Instrumento de evaluacin: Lista de cotejo
Tipo de evaluacin: SUMATIVA/FORMATIVA
Departamento: MATEMATICAS Academia: MATEMATICAS
Unidad de Aprendizaje Curricular:
Calculo Integral
Semestre: Sexto Nmero de secuencia:
3 Grupo:
Bloque: 2 Y 3 Evidencia: Portafolio
Competencias Genricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.
Atributos 4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
Nombre del
Estudiante:
Nombre del Docente:
Porcentaje: Fecha de
aplicacin:
Contenido del portafolio SI NO Puntaje
El portafolio es entregado impreso, en CD o formato electrnico
Utiliza portada (Nombre de la Institucin, Nombre de la unidad de aprendizaje, Leyenda: Portafolio de
evidencias, Nombre del alumno, Fecha de entrega)
Un ndice de lo que contiene el portafolio.
Gua de observacin de la evaluacin formativa.
Actividades de la antologa comentada.
Contiene ejercicios adicionales a los marcados en clases o extra clase (mnimo 10 por tema incluir
bibliografa)
Listas de verificacin de prcticas.
Ejercicios de autoevaluacin.
PUNTAJE TOTAL
Observaciones
Evalu Fecha
Nombre y firma