Manual de Analisis de Pruebas de Presion

Dictado por:PhD. Douglas Alvarado

Del 06 al 10 de Septiembre de 2004Instalaciones del Hotel Maruma

Maracaibo Venezuela.

Anlisis de Pruebas de Presin

107 Calle del Norte Suite IC. Laredo, Texas - USA 78041 Telephone: 1 956 729 0957 / Fax: 7238884

ANLISIS MODERNO DE PRUEBA DE POZOS CONTENIDO

CAPTULO 1: Introduccin Resea Histrica. Mtodos Convencionales. Mtodo de Curva Tipo. Aplicacin del Mtodo de Curva Tipo. Anlisis de Pruebas de Buildup. Ecuacin de

Flujo. Yacimientos Fracturados. Nuevos Avances. Anlisis Computarizado. Anlisis

Actual. Conclusiones.

CAPTULO 2: Anlisis de Pruebas de Pozos. Objetivos. Aplicacin del Anlisis de Presiones. Bases Matemticas para el Anlisis de Pruebas de Presin. Solucin de la

Lnea Fuente en su forma adimensional. Anlisis semilog de una prueba de flujo

(Drawdrown). Solucin a la ecuacin de flujo radial para fluidos de compresibilidad

constante.

CAPTULO 3: Prueba de Interferencia. Curva tipo de la solucin de la Lnea Fuente. Bases tericas. Solucin grfica. Curva tipo doble presin y derivada. Mtodo de El-

Khatib. Caso de prueba de interferencia cuando se cierra el pozo activo luego de haber

producido a tasa de flujo constante. Tratamiento de Ramey.

CAPTULO 4: Bases tericas de las prueba de pozos. Principios de Superposicin en espacio. Problema transformado. Superposicin en Tiempo. Justificacin del

procedimiento empleado para aplicar el principio de superposicin en tiempo. Prueba de

doble tasa. Caso especial de la prueba de doble tasa. Mtodo MDH. Mtodo de Horner.

Efecto de Llene. Efecto de Dao. Modelos para interpretar el Skin. Prueba de flujo para

un pozo localizado cerca de una falla. Caso de Restauracin de Presin de un pozo cerca

de una falla. Aplicacin del Principio de Superposicin para modelar lmites de rea de

drenaje cuadradas.


CAPTULO 5: Anlisis de Drawdown en forma convencional. Prueba de restauracin de presin en su forma convencional. Derterminacin de presin promedio del yacimiento al

momento del cierre, usando pruebas del Buildup en yacimientos volumtricos. Mtodo

MBH. Mtodo de Dietz. Mtodo de Ramey y Cobb. Mtodo de Muskat. Mtodo de Arp y

Smith.

CAPTULO 6: Generalizacin de Anlisis de Pruebas de Pozos. Ecuacin bsica de pruebas de restauracin de presin. Mtodo de Muskat extendido. Mtodo de Miller-

Dyes-Hutchinson. Mtodo de Horner.

CAPTULO 7: Revisin crtica de pruebas de presin para pozo en yacimientos de gas. Principios fsicos. Prueba tipo convencional. Prueba isocronal. Pruebas transitorias.

CAPTULO 8: Mtodo de curva tipo. Aproximaciones de la solucin de Agarwal et al. Aplicacin prctica del mtodo del Curva Tipo. Curva tipo de Mc Kinley. Curva tipo de

Earlougher y Kersch. Curva tipo de Gringarten et al. Tiempo de Agarwal. Mtodo de la

curva tipo doble de presin y derivada: Mtodo de Bourdet et al. Procedimiento de

aplicacin de la Curva Tipo por el mtodo de Gringarten y Bourdet.

CAPTULO 9: Anlisis de pruebas de pozos. Comportamiento de yacimientos fracturados hidrulicamente. Teria de flujo Transient. Curvas Tipo para fracturas sin efecto de dao y

de llene. Mtodos convencionales. Comienzo y final de Flujo Bilineal. Perodo de flujo

lineal. Mtodo modificado de Milheim-Cichowicz. Factor de dao y efecto de llene.

CAPTULO 10: Yacimiento naturalmente fracturados. Modelos convencionales. Modelo de Warren y Root. Mtodo de anlisis convencional para Buildup. Mtodo

de solucin usando Curvas Tipo. Modelo de flujo interporoso Transient. Procedimientos.

Deduccin de la ecuacin de difusividad para yacimientos naturalmente fracturados.


Modelo de Bourdet y Gringarten. Modelo Transient . Tratamiento de la derivada. Derivada

del modelo de Bourdet y Gringarten.

CAPTULO 11: Principio de Superposicin en tiempo. Tasa de Flujo medida en la superficie. Analisis de tasa mltiple. Deconvolucin. Mtodos aplicados. Teria de

Convolucin. Antecedente a la Teora MLT. Caractersticas de la Prueba MLT. Pruebas de

pozos para yacimientos multiestratos.

CAPTULO 12: Pozos horizontales. Modelos matemticos. Modelo de Clonts y Ramey. Definicin de variables adimensionales. Anlisis de Curva Tipo. Extensin para pozos

con mltiples hoyos de drenaje. Uso de las funciones Fuente y de Green para resolver

problemas de flujo no continuo en yacimiento. Funciones instantneas de Green y de

Fuente. Mtodo de Neumann. Mtodo de Odeh y Babu. Modelo de Daviau, Mounronval,

Bourdarot y Curutchet. Pozo horizontal en un yacimiento homogneo con lmites a presin

constante. Modelo de Goode y Thambynayagam. Prueba de restauracin de presin en

yacimiento infinitos. Efecto Skin. Prueba de restauracin en yacimientos finitos. Mtodo de

Ozkan y Raghavan. Mtodo de Chow. Factor pseudo-skin. Teora de Kuchuk, Goode,

Brice, Sherrard y Thambynayagam.

CAPTULO 13: Consideraciones tericas. Preparacin de la data. Anlisis de las pruebas. Metodologa de anlisis e interpretacin. Carga de datos. Grfico de diagnstico.

Regresin Lineal. Anlisis de Curva Tipo. Regresin no- lineal. Validacin de la prueba.

Modelo de produccin a tasa de flujo constante en

un yacimiento circular finito. Yacimiento multicapa. Commingled Nuevos Avances.

1

Programa de Adiestramiento 2004

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PhD. Douglas Alvarado

CAPTULO 1

INTRODUCCIN Y RESEA HISTRICA

Los primeros elementos de medicin de presiones registraban un solo punto de presin.

Los instrumentos de medicin continua de presin fueron introducidos en 1930.

El mtodo de Recobro en Hidrologa (anlogo al mtodo de Horner) fue introducido por

Theis3 en 1935.

En 1937, Muskat 4 present un mtodo para determinar presin esttica P del rea de

drenaje en pozos petroleros, es un mtodo semilog de ensayo y error.

En 1949, Van Everdingen y Hurst5, presentaron un estudio clsico de anlisis de pruebas

de pozos, y desarrollaron una solucin al problema pozo-yacimiento con efecto de llene,

e introdujeron la primera Curva Tipo.

Miller, Dyes y Hutchinson6, (MDH), presentaron en 1950, un mtodo basado en soluciones

presentadas por Van Everdingen y Hurst5, donde establecen que (pws) deba ser una

funcin lineal del tiempo de cierre, log t. Presentaron grficos para determinar presin

esttica del yacimiento bajo condiciones de lmite exterior cerrado y a presin constante e

investigaron y propusieron un mtodo para analizar presiones para flujo multifsico.

Horner7 , en 1951 present un mtodo para analizar pruebas de restauracin de presin y

determin que un grfico de la presin de fondo de cierre, pws,, deba ser una funcin

lineal del log (t+t)/t. Horner7 identifica fallas geolgicas y presenta el primer mtodo

para determinar presin esttica del yacimiento, usando informacin del transient.

En 1953 Van Everdingen y Hurst8,9, introducen el efecto de dao (S).

En 1955 Perrine10, present una revisin de los trabajos de Horner y MDH, y propuso un

nuevo mtodo para anlisis de pruebas de presin para flujo multifsico. Ms tarde

Martin11 estableci las bases tericas para este mtodo.

Matthews, Brons y Hazebroek12 (MBH) presentaron en 1954 un estudio donde utilizaron

el principio de superposicin en espacio, para determinar el

comportamiento de presin de pozos localizados dentro de reas de drenaje rectangular.

Desarrollaron adems un mtodo para determinar presiones promedio de rea de drenaje

( )p el cual hace uso de informacin Transient de presin y de la presin extrapolada, (p*)

de Horner. Este mtodo es uno de los ms utilizados actualmente para determinar

2




presin promedia del yacimiento.

Al-Hussainy, Ramey y Crawford13 introdujeron en 1966 el concepto de la funcin pseudo

presin, m(p), para gases la introduccin de esta funcin removi la suposicin de que

los gradientes de presin tenan que ser pequeos para obtener una ecuacin de flujo de

gas en yacimientos, defini condiciones de aplicabilidad de estudios presentados

anteriormente y extendi la teora de anlisis de pruebas de presin de lquidos a gases

utilizando la funcin m(p).

En 1968, Earlongler, Ramey, Miller y Mueller, aplicaron el principio de Superposicin en

espacio para obtener la solucin del problema de un pozo produciendo a tasa de flujo

constante, localizado en diferentes posiciones dentro de un rea de drenaje rectangular.

Mostraron como usar el problema de un pozo en el centro de un cuadrado para general

soluciones para reas de drenaje rectangular.

En 1970 Agarwal, Al-Hussainy y Ramey14 introdujeron el anlisis de los perodos iniciales

de flujo o restauracin de presin mediante el Mtodo de la Curva Tipo, para un pozo

localizado en un yacimiento infinito con efecto de llene y efecto de dao. En el mtodo de

Curva Tipo, el problema pozo-yacimiento se formula matemticamente de acuerdo a las

leyes fsicas del flujo de fluido en medios porosos y aplicando determinadas condiciones

iniciales y de contorno. Las ecuaciones resultantes se resuelven mediante mtodos del

anlisis clsico matemtico (transformacin de Laplace, funciones de Green, etc.) o

mediante tcnicas del anlisis numrico (diferencias finitas, elementos finitos); luego, la

solucin se dibuja en un papel (Curva Tipo) y se trata de ajustar los datos reales

dibujados en un papel semi-transparente (Grfico de Campo) a la solucin terica.

McKinley15 en 1971 y Earlougher y Kersch16 en 1974 tambin han presentado modelos de

Curva Tipo para el problema del pozo con efecto de llene y de dao.

El modelo de Mc Kinley15 fue desarrollado para pruebas de restauracin de presin y es

un modelo que utiliza diferencias finitas. Fue desarrollado para un valor determinado de la

constante de difusividad y para condiciones de contorno de presin constante en el

lmite exterior. Tal como fue formulado originalmente, no permite un anlisis cuantitativo

del efecto de dao. La idea de que todas las curvas convergen a tiempos muy pequeos

a una sola curva va a usarse posteriormente en Curvas Tipos ms modernas (Gringarten,

et al .17, Bourdet, et al .18). Una de las principales ventajas de la Curva Tipo de Earlougher

y Kersch16 es haber reducido los parmetros de las curvas a uno solo: CDe2S, este

tratamiento va a ser usado posteriormente en las Curvas Tipo ms modernas.

3




En 1979 Gringarten et al.17 introducen una Curva Tipo para yacimientos homogneos con

condicin de contorno interior en el pozo de efecto de llene y efecto de dao y para

yacimientos de fractura inducida. Matemticamente Gringarten et al. 17 modificaron la

solucin de Agarwal et al. en el campo de Laplace e invirtieron esta solucin usando el

algoritmo de Sthefest. Tradicionalmente se utilizaban mtodos clsicos del anlisis

matemtico para determinar la transformada inversa (formula de Mellin). La solucin de

Gringarten et al. 17, es una solucin mas completa y elaborada. Algunos puntos

resaltantes de esta solucin son los siguientes:

La solucin, pwfD, es una funcin de tC

D

D y del parmetro CDe2S.

1. En la Curva Tipo se indican lmites de duracin del efecto de llene para cada valor de

CDe2S

2. Se determinan formas cualitativas y valores cuantitativos tpicos de las curvas de

presin adimensional, pwfD, contra tiempo adimensional, tD/CD , y de acuerdo al valor del

parmetro CDe2S (grfico log-log) para pozos daados, no daados, estimulados y

fracturados.

3. Determina sobre la Curva Tipo, el lugar geomtrico del comienzo de la lnea recta

semilog, e incluyen una escala para cerciorarse de que el tiempo de flujo

4. antes de una prueba de Buildup es correcto para analizar las presiones a

determinados tiempos de cierre, con la curva Tipo de flujo.

Bourdet et al. 18 en 1982, introducen el mtodo de la derivada para anlisis de presiones.

El problema de las Curvas Tipo, anteriormente mencionadas, consista en respuesta no

nica Bourdet et al. 18, aun cuando presentan una Curva Tipo de flujo, compuesta de dos

familias de curvas de parmetros CDe25, esto es: la Curva Tipo log-log de Gringarten et al.

y la derivada de la Curva de Tipo de Gringarten et al. multiplicada por (tD/CD), presentan

tcnicas computacionales para tratar las pruebas de flujo y las pruebas de restauracin de

presin en forma separada; de tal forma que la derivada en el drawdown y en pruebas

de restauracin de presin representan derivadas con respecto al ln tD y al ln(tD+tD)/tpD,

respectivamente. Este mtodo conjuntamente con la informacin geolgica, geofsica, de

registros, etc., constituye la tcnica ms importante de diagnstico en el anlisis de

interpretacin de pruebas de pozos. Se han presentado bibliotecas de respuestas tpicas

basadas en presiones y fundamentalmente en la derivada de presin que permiten

identificar el sistema pozo-yacimiento bajo anlisis y en base a ciertos comportamientos

4




tpicos registrados por la derivada de presin.

Las tcnicas de medicin de presin se mejoraron notablemente con la introduccin del

medidor electrnico de presin en 197019. El medidor electrnico es de mejor precisin y

resolucin que los medidores mecnicos tipo Amerada que utilizan el tubo Bourdon; de tal

forma, que las mediciones se pueden efectuar a intervalos de pocos segundos,

permitiendo tomar hasta decenas de miles de puntos que van a contribuir a identificar el

sistema pozo-yacimiento durante el proceso de anlisis e interpretacin de la prueba.

Nuevas tcnicas del anlisis matemtico y nuevas aplicaciones numricas (funciones de

Green, Algoritmos de Sthefest, diferencias finitas, elementos finitos) han permitido obtener

soluciones particulares del problema general, con valor en el contorno del sistema pozo-

yacimiento, entre ellos citaremos: solucin al problema de fractura de conductividad

infinita20, problema del pozo de

conductividad finita21, modelo de pozo multiestrato22, solucin al problema de pozos

horizontales23,24.

Los avances en Hardware para instrumentos de medicin y registro de presiones in situ

junto al pozo, la introduccin de las computadoras personales de gran capacidad de

memoria y velocidad de procesamiento de datos y de clculos, hizo accesible al ingeniero

programas y mtodos de anlisis reservados solamente para grandes computadoras y

que podan aplicarse durante el desarrollo de las pruebas en sitio.

A partir de inicios de la dcada pasada (1983)25,26 se comienza a efectuar mediciones

simultneas de presin y tasa de flujo durante la etapa transient. Esto promete ser un

campo de intensa investigacin tecnolgica en cuanto al desarrollo de instrumentos de

medicin y tcnicas de anlisis, mediante el uso de Convolucin y Deconvolucin. De un

anlisis independiente en los aos 50 cuando solo se aplicaban los mtodos

convencionales de anlisis, se ha pasado progresivamente a un anlisis integrado

sinrgico, en donde la informacin geolgica, geofsica, petrofsica, de registros de pozos,

de datos de completacin, tipos de pozos, datos de PVT, etc. aportan su cuota de

descripcin y de informacin para obtener el modelo final que caracteriza al sistema pozo-

yacimiento.

MTODOS CONVENCIONALES Los mtodos convencionales se refieren aquellos mtodos descritos en la literatura en

los aos 50 esto es: Los mtodos de Horner7, MDH6, Muskat4 y MBH12. Estos mtodos

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utilizan en general los tiempos de cierre transient (Horner, MDH, MBH) o los tiempos de

cierre afectados por los lmites, como el mtodo de Muskat4 de ensayo y error, para

determinar presin esttica del rea de drenaje, p . Los mtodos de Horner7 y MDH6, no

toman en cuenta en el anlisis las primeras presiones recogidas en el pozo y solo son

vlidos para analizar una prueba si se puede obtener la lnea recta semilog apropiada en

un grfico de pws contra (t+t)/t. Muchas veces es difcil obtener la lnea recta

correcta. Un grfico semilog puede mostrar varias lneas rectas, a diferentes tiempos de

la prueba, y el problema seria determinar la recta semilog apropiada. Por ejemplo, un

pozo daado con efecto de llene alto puede hacer desaparecer por largo tiempo de cierre

la lnea recta semilog. As mismo, un pozo fracturado, se comporta en una forma

caracterstica (pendiente en papel log-log) pero no sigue a cortos tiempos la lnea recta

semilog. No fue sino hasta 1970 cuando se introdujo la Curva Tipo de Agarwal et al. 14,

que tomaba en cuenta y utilizaba los primeros tiempos de flujo o de cierre, y de cuyo

anlisis podra inferirse la naturaleza del sistema pozo-yacimiento y los valores numricos

de las variables desconocidas o parmetros. Esto lo discutiremos en la prxima seccin.

MTODOS DE CURVA TIPO En general, una Curva Tipo es una solucin a un problema con valor en el contorno

relacionando, generalmente variables en forma adimensional, graficadas en un papel de

caractersticas determinadas, normalmente log-log.

En 1970 Agarwal et al. 14 introducen una Curva Tipo para el modelo de pozo produciendo

a tasa de flujo constante, con efecto de llene, CD, y efecto de dao, S. Casi al mismo

tiempo se presentaron las Curvas Tipos de McKinley15 y de Earlougher y Kersch16.

Durante la mayor parte de la dcada del 70 se usaron estas Curvas obtenindose

normalmente respuestas diferentes para un determinado problema. Sin embargo, se

sugera el uso el mtodo semilogartmico para pruebas de flujo, y del mtodo de Horner

para pruebas de restauracin de presin con el objeto de comparar y verificar respuestas

numricas2. En esa dcada no se haba generalizado el uso de computadora para hacer

el anlisis, no se haca un anlisis integrado con informacin proveniente de diversas

fuentes de informacin y de ingeniera, y normalmente se utilizaba medidores de presin

mecnicos. Las Curvas Tipo de Agarwal et al. 14, desarrolladas para pruebas de flujo, se

utilizaban tambin para analizar pruebas de restauracin de presin usando una

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justificacin dada por Agarwal et al.14. Sin embargo, no se verificaba durante la prueba la

influencia del tiempo de produccin, especialmente cuando este es pequeo durante el

anlisis de la prueba.

La Curva tipo de Gringarten et al.17 introducida en 1979, representa un paso muy

importante dentro del anlisis de pruebas de pozos. Por primera vez se presentaba una

Curva tipo con indicacin del final del efecto de llene, el comienzo de la lnea recta

semilog y cualitativamente, y cuantitativamente se poda obtener indicacin sobre la

condicin del pozo. El problema de unicidad en la solucin segua presente y los mismos

autores recomendaban efectuar el anlisis conjuntamente con el mtodo semilog o el

mtodo de Horner7.

Una de las tcnicas ms importantes del anlisis de las pruebas de presiones fue

introducida por Bourdet et al.18, el mtodo de la derivada, (1983). Este mtodo toma

particularmente ventaja de la gran sensibilidad de la derivada para detectar caractersticas

y comportamiento caracterstico del sistema pozo-yacimiento, la obtencin de la derivada

con respecto al lntD o ln( tD + tD)/ tD representa la pendiente del mtodo semilog. La

mayora de las tcnicas de diagnstico actuales estn basadas en el mtodo de la

derivada. Esto permite hacer un ajuste de presin ms preciso y efectuar con ms

confiabilidad el anlisis y la interpretacin de la prueba de presin.

Una de las debilidades del Mtodo de la Curva Tipo que incluyen al efecto de llene, es

que consideran a este constante. Mediciones experimentales25,26 soportan la conclusin

de que el coeficiente de efecto de llene no es constante en general. Sin embargo, no ha

aparecido en la literatura una forma directa para reconocer cuando una prueba en un

sistema pozo-yacimiento especfico produce a efecto de llene constante o no. Muchas

soluciones para problemas con valor en el contorno (boundary value problem) diferentes

al problema clsico de pozo con efecto de dao y llene han aparecido en la literatura.

Durante la dcada pasada se desarrollaron los modelos de doble porosidad27,28, doble

permeabilidad27,28, yacimiento de fractura de conductividad infinita20, fracturas de

conductividad finita21, penetracin parcial27,28, pozos horizontales23,24. Adems, se

introdujeron las mediciones simultneas de tasa de flujo y presin que permiti el uso de

los mtodos de Convolucin y de Deconvolucin. Este tratamiento permite hacer el

anlisis de pruebas de pozos afectados con efecto de llene, removiendo la suposicin de

efecto de llene constante. En la actualidad el analista dispone de una biblioteca de

Curvas Tipos con caractersticas especficas para numerosos problemas con valor en el

Contorno.

7




APLICACIN DEL MTODO DE CURVA TIPO. Ecuacin de Flujo

D

D

D

D

DD

D

tp

rp

rrp

=

1

2

2

(1-1)

Condiciones de Contorno Internas

C dpdt

r prD

wfD

DD

D

D rD

=

=11 (1-2)

( )21

kh

qp p p Sr

pri wf D DDD rD

=

=

(1-3)

Condicin de Contorno Exterior

( ) p lim r

D

D

r tD D, =

0 (1-4)

Condicin Inicial

( )p r tD D, = =0 0 para tD (1-5)

Anlisis de pruebas de buildup con la Curva Tipo:

Para Drawdown:

( )khqB

p p p tCi wf D

D

D1412. =

(1-6)

graficamos : (pi - pwf vs t)

Para Buildup:

( )khqB

p p p tpC

tC

p tCi ws D

D

D

D

DD

D

D1412. = +

(1-7)

ecuacin para una prueba de restauracin (Buildup) en el momento de cerrar el pozo:

8




( )

=

D

DDwfi C

tppppqB

kh2.141

(1-8)

restando miembro a miembro la ecuacin (1-8) menos la ecuacin (1-7), obtenemos:

( ) 2.141

+

+

=

D

D

D

DD

D

DD

D

DDwfws C

tCtpp

Ctpp

Ctppp

qBkh

(1-9)

que sucede si?

p tpC

ptC

tCD

D

DD

pD

D

D

D

+

0 (1-10)

Entonces la ecuacin (1-9). Puede escribirse en forma anloga a la ecuacin (1-6), es

decir:

( )p khqB p p pt

CDBU ws wf DD

D= =

1412. (1-11)

La prueba de Buildup podra analizarse con la curva tipo de Drawdown pero debe

graficarse:

pws - pwf vs .t

Cundo se cumple la ecuacin (1-10)?

1. Cuando tp >> t .

2. Para pozos daados.

3. Dado u tp , cuando t es relativamente pequea y hasta un t , tal que se cumpla la ecuacin (1-10).

pwfD es funcin de tD/CD y el parmetro es CDe2S .

Se indica en la curva tipo lmite de duracin del efecto de llene puro como funcin de

Curva Tipo de Gringarten et al. del parmetro CDe2S, se establecen formas cualitativas y

valores cuantitativos para pozos daados, no - daados, estimulados y fracturados del

parmetro CDe2S, y se determina el lugar geomtrico del comienzo de la lnea recta semi-

log .

9




Se incluye una escala de determinacin de validez de tiempo de cierre, t , para usar la Curva de Tipo de (Drawdown), para analizar pruebas de restauracin de presin.

El mtodo de la derivada de la Curva Tipo Bourdet et al18. (1983), reduce

considerablemente el problema de la unicidad de la solucin.

Es una curva de doble cotejo del parmetro CDe2S. Para la familia de curvas de presin y

derivadas, presenta tcnicas de computacin diferentes para las pruebas de restauracin

de presin:

Drawdown, derivada con respecto a ln t.

Buildup, derivada con respecto a ln ( )t t t+ / .

Este el mtodo Standard, base del anlisis actual de pruebas de presin.

SOLUCIN TRANSIENT. Kuchuk y Ayestaran 26 (1983) y Meunier, Wittmann y Stewart 25 (1985), introdujeron el

anlisis y la tcnica de medicin simultnea de presin y tasa de flujo durante el perodo

transient de una prueba de presin.

Los datos de presin y de flujo se analizan usando Convolucin y Deconvolucin

Esta tcnica promete ser un campo intenso de investigacin durante los prximos aos.

OTRAS SOLUCIONES: Muchas soluciones diferentes al problema clsico del pozo con efecto de llene y Skin

han aparecido en la literatura; por ejemplo:

Para Yacimiento Naturalmente Fracturados.

Warren y Root34 (1963).

Mavor y Cinco42 (1979).

Bourdet y Gringarten35 (1980)

De Swaan33 (1976).

Bourdet et al30. (Mayo 1983)

Bourdet et al30. (Octubre 1983).

Para Yacimientos Hidrulicamente Fracturados.

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Russell y Truit 43 (1964).

Gringarten, Ramey y Raghavan20 (1975).

Cinco, Samaniego y Dominguez32 (1978).

Agarwal, Carter y Poolen 36 (1979).

Cinco y Samaniego37 (1981).

Para Pozos Horizontales

Clonts y Ramey 38 (1986).

Ozkan, Raghavan y Joshi 39 (1989).

Goode y Thambynayagam 40 (1987).

Odeh y Babu 41 (1990).

NUEVOS AVANCES: Equipos y Herramientas de Medicin

* Medidor electrnico de presin (1970).

* Registro de presin en la superficie.

* Medicin simultnea de presin y tasa de flujo (1983).

* Mediciones de nivel de lquido mediante onda de sonido.

Computadoras

* Hardware. Computadoras personales PC Notebook, Handbook.

* Software. Programas computacionales para anlisis e interpretacin de pruebas de

pozo.

Matemticas y Anlisis Numrico

Transformacin de Laplace.

Funciones fuentes y funciones de Green (Gringarten48 , 1973).

Series de Fourier.

Diferencias finitas.

Algoritmo de Sthefest 45 (1970).

Azari - Wooden - Gaver (algoritmo AWG, Wooden, Azari y Soliman, OGJ 1992).

Programa de regresin no - lineal, mnimos cuadrados:

Levenberg (1944), Marquard (1963).

Rosa y Horner 44 (1983).

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Vieira y Rosa 57 (1993).

Inteligencia Artificial, Mcvay et al. 58 (1988).

Aplicacin de Redes Neuronales , Al - Kaabi y Lee 49 (1990).

Anlisis Computarizado

Un programa de anlisis e intepretacin de pruebas de pozo debe tener los siguientes

modelos integrados:

1. Un acceso de lectura, anlisis, muestreo y ayuda visuales para representar los datos.

2. Un modelo de regresin lineal , para determinar k , m , , , C , p* , S de los

mtodos semilog (pruebas de flujo y de restauracin de presin ) y del anlisis log - log ,

anlisis cartesiano , grfico de pws vs t , etc. (anlisis especializado).

3. Un modelo de solucin por Curva Tipo, debe disponer de una biblioteca o archivos de

modelos. El modelo trabaja en la forma tradicional de ajuste por Curva Tipo, u

opcionalmente, basado en el modelo seleccionado para generar curvas de

respuestas de presin, usando las Curvas Tipo (solucin al problema) y tomando

como valores de los parmetros incgnitas aquellos obtenidos de 2. Debe tener la opcin

para modificar los valores de los parmetros y de una representacin grfica de

comparacin con la prueba de campo.

4. Un modelo de regresin no - lineal que incluya un anlisis estadstico de la bondad de

ajuste (intervalos de Confianza).

5. Un modelo de verificacin y simulacin de la prueba.

6. Un modelo de salida o reporte de resultados en forma grfica y tabulada.

Entre los percusores de estos nuevos avances, se mencionan:

Pioneros:

Jargon y van Poolen 52 (1965).

Jahns 51 (1966).

Coats et al.50 (1970).

Earlougher y Kersch 46(1972).

Modernos : Padmanabhan 47 (1976).

12




Rosa y Horner 44 (1983).

Horner, Perrine y Barua 53 (1986).

ANLISIS ACTUAL El mtodo de la Curva Tipo en forma manual ya casi no se usa, ante el advenimiento del

computador, como instrumento de rutina en el anlisis de pruebas de pozos. Las

variedades limitantes del clculo manual, incluyen clculo lento y poco preciso durante el

procesamiento de las varias etapas de anlisis, especialmente durante la verificacin y

simulacin de la prueba, hacen que el mtodo manual tienda a desaparecer. Las mismas

operaciones y clculos pueden ser efectuadas por el programa de anlisis, a mucha mejor

precisin y en un tiempo relativo mnimo.

Mtodo anlisis actual incluye:

1. Uso de programa comercial de anlisis de presiones.

2. El uso de regresin lineal manual y la aplicacin del mtodo de Curva Tipo tradicional

manual pueden introducir errores apreciables en el anlisis e interpretacin de pruebas de

presin.

3. Desde el punto de vista matemtico el objetivo sigue siendo resolver un problema con

valor frontera (Boundary Value Problem). Una vez obtenida la solucin, analizarla,

determinar perodos de flujo (anlisis especfico). Estudiarla (problema de unicidad de la

solucin) y en la prctica resolver el problema inverso.

4. La aplicacin del clculo manual, esta en desuso. Clculo lento y poco preciso y la

introduccin del computador, PC han hecho casi desaparecer el anlisis manual. En

especial durante la simulacin y verificacin de la prueba. El mtodo manual consume

mucho tiempo.

5. Sin embargo, debido a las limitaciones en cuanto a nmero de soluciones (modelos

matemticos) de los programas comerciales, siempre es necesario una buena

preparacin (background), para poder efectuar el anlisis e interpretacin de la pruebas

de pozos.

6. Se debe utilizar toda la informacin del sistema pozo - yacimiento disponible :

Historia de produccin y de pruebas.

Datos de completacin del pozo.

13




Datos de PVT.

Datos e informacin de geologa.

Datos de geofsica.

Informacin de registro de formacin.

Datos petrofsicos.

7. Es recomendable el uso de Convolucin y Deconvolucin, cuando el efecto de llene no

sea constante. Esta es la principal limitacin de las curvas tipos desarrolladas hasta ahora

(CD =constante).

8. Muchas veces, aun con informacin del sistema conocido y la aplicacin de programas

comerciales, se presentan resultados ambiguos en el anlisis e interpretacin de la

prueba, y slo la aplicacin de un anlisis integrado, podra reducir o eliminar el problema

de unicidad de la solucin e identificar aproximadamente el modelo pozo-yacimiento,

conocida la solucin al problema, p = p (t) (problema inverso).

9. El uso de herramientas de cierre en el fondo del pozo ha permitido usar el modelo de

Curva Tipo, de coeficiente de llene constante, en forma bastante aceptable.

10. Los sistemas expertos y las redes neurales, es unos de los campos de investigacin

ms recientes en el anlisis e interpretacin de pruebas de pozos.

Algunos mtodos:

Mtodo estadstico de Watson et al.60 (1988)

Mtodo basado en reglas de Allain y Horne 59 (1990)

Redes neuronales de Al - Kaabi y Lee, 49 (1990)

La primera aplicacin de estos mtodos es la identificacin del sistema pozo-yacimiento

(solucin del problema inverso).

CONCLUSIONES

1. El uso de la computadora y de programas especializados es indispensable y

necesario en el anlisis e interpretacin de pruebas de presin.

2. Es muy importante la preparacin tcnica y acadmica del usuario, durante la toma de

decisiones en el anlisis e interpretacin de pruebas de presin.

3. Para la determinacin del modelo matemtico se hace necesario un anlisis integrado

14




de diversas reas de ingeniera: geologa, geofsica, registros de formacin, propiedades

PVT, etc.

4. Anlisis log - log y anlisis de diagnstico, se puede determinar k , m , C , , etc.,

mediante anlisis especializado de regresin lineal, identificando condiciones de contorno

, tanto en el pozo como en los lmites del yacimiento. Los mtodos de anlisis rutinarios

consisten en:

* Anlisis semi - log: Regresin lineal para determinar k, m, S, , del grfico de

Horner7, grfico de la aproximacin logartmica de la Lnea Fuente, grfico de Warren y

Root 34, etc.

Anlisis de Curva Tipo Bourdet et al18.

Anlisis de lmites

Prueba lmite

Regresin no - lineal

Validacin, verificacin y comparacin del modelo identificado con otros modelos

(modelo geolgico, petrofsico, etc.).

5. Nuevos avances en modelaje del sistema pozo - yacimiento, en tcnicas de anlisis y

en desarrollo de instrumentos de mediciones de presiones y tasa de flujo, se esperan en

un futuro cercano.

REFERENCIAS CAPTULO 1

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20




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22


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CAPTULO 2

ANLISIS DE PRUEBAS DE PRESIN

OBJETIVOS 1. Proporcionar al Ingeniero las bases tericas que permitan el entendimiento de

las relaciones matemticas a utilizar. Esto implica conocer las ecuaciones de flujo

la formulacin del problema con valor de frontera.

2. Escribir las ecuaciones apropiadas para describir un sistema pozo yacimiento

particular.

3. Anlisis, interpretacin y validacin de las pruebas de pozos usando las

tcnicas ms modernas de anlisis. Esto incluye anlisis simplificado log log,

anlisis semi log, mtodos de Curva Tipo, anlisis especficos, Mtodos de la

Derivada, Convolucin, Deconvolucin.

4. Uso y aplicacin de programas comerciales de diseo, en anlisis e

interpretacin de pruebas de pozos.

APLICACIN DEL ANLISIS DE PRESIONES Pueden ser usadas para obtener:

1. La presin promedio del yacimiento del rea de drenaje.

2. Permeabilidad de la formacin.

3. Determinar el grado de dao a la formacin durante la perforacin y

completacin del pozo.

4. Cuan efectivo o eficiente ha sido una estimulacin o tratamiento del pozo.

5. El grado de conectividad entre pozos.

6. Estructura geolgicas.

Los datos de presin, cuando se combinan con datos de produccin de petrleo y

agua con datos de laboratorio, de propiedades de las rocas y de los fluidos,

constituyen un medio para estimar el petrleo original in situ y el petrleo que

puede ser esperado del yacimiento bajo diversas formas de produccin.

23




BASES MATEMTICAS PARA EL ANLISIS DE PRUEBAS DE PRESIONES Ecuaciones Bsicas o Leyes Fsicas:

1. Conservacin de la Masa

2. Conservacin de la Energa

3. Conservacin del Momento

4. Ecuaciones de Transporte. Ley de Darcy.

5. Condiciones de Equilibrio.

6. Ecuaciones de Estado y propiedades de los fluidos y de las rocas.

Al aplicar un balance de masa sobre un elemento finito de geometra determinada

se obtiene la ecuacin de continuidad:

tr

rr r

= )()(1 (2-1)

La Ley de Darcy es:

rpkVr

=

(2-2)

sustituyendo la ecuacin (2-2) en ecuacin (2-1):

trpkr

rr

=

)(1

(2-3)

Consideremos fluido de compresibilidad constante en la ecuacin de estado:

TT ppv

vc

=

=

11 (2-4)

si c es una constante, entonces:

scscppc

ln)( = (2-5)

Pongamos la ecuacin (2-3) en funcin de . Para esto, sustituimos rp

y

operando en el 2do miembro de la ecuacin (2-3) obtenemos:

+

=

321

Dcrcctct

)( (2-6)

24




y si k y son constantes:

=

+

+

tk

crpc

rp

rrp t

2

2

2 1 (2-7)

Consideremos de nuevo la ecuacin (2-3), pero expresaremos en funcin de p. Mediante un procedimiento anlogo al utilizado para obtener la ecuacin (2-7)

puede escribirse la ecuacin de flujo de la presin p.

tp

kc

rpc

rp

rrp t

=

+

+

2

2

2 1 (2-8)

ecuacin en derivadas parciales de 2do orden no lineal.

Si suponemos que los gradientes de presin son pequeos, es decir, si 0

rp

obtenemos:

=

+

tp

kc

rp

rrp t12

2 (2-9)

que es la ecuacin de difusividad en trminos de presin.

Consideremos ahora como fase fluyente de gas, la ecuacin de estado

correspondiente es:

nRTzpv = (2-10)

Siendo, Mmn = (2-11)

entonces:

zRTMp

vm== (2-12)

y por definicin:

25




Tp p

c

=

1 (2-13)

determinemos una expresin para cT:

T

g pzRTMp

zRTMpc

=1 ; donde T es una constante (2-14)

= 2zdpdzz

RTM

MpzRTcg (2-15)

=

dpdz

zpcg

11 (2-16)

Si T. la temperatura es constante es constante para un gas ideal; z = 1 y adems

= (T) = constante, entonces la ecuacin (2-16) se reduce a:

pcg

1= (2-17)

si consideramos la ecuacin de continuidad:

( ) ( )t

rrr r

=

1 (2-1)

sustituyendo vr dada por la Ley de Darcy, y dada por la ecuacin (2-12) obtenemos despus de derivar, simplificar y considerar como variable dependiente

el factor p2.

( )[ ]

=

+

tp

kc

rp

dpzd

rp

rrp t

22

2

2

2

22 ln1 (2-18)

ecuacin en derivadas parciales de 2do orden, ecuacin no lineal. Si los gradientes

son pequeos la ecuacin (2-18) puede escribirse:

=

+

t

pkc

rp

rrp t

22

2

22 1 (2-19)

26




ecuacin que aun es no lineal por que, ct = ct(p)

En el caso del gas ideal:

z = 1. = (T) y ambas propiedades son constantes.

luego:

0)ln(2 =dpzd (2-4)

y la ecuacin (2-18) se reduce a la ecuacin (2-19) sin necesidad de hacer

la suposicin de que los gradientes son pequeos. Sin embargo, an la ecuacin

(2-19) es no lineal debido a que:

pcc gt

1 (funcin de p)

Uso de la funcin m(p):

dpzppm

p

pb= 2)( (2-20)

Donde:

=

=

=

zr

prp

zp

rp

ppm

rpm

1)()( 2 (2-21)

=

=

=

zt

ptp

zp

tp

ppm

tpm

1)()( 2 (2-22)

operando en la ecuacin (2-1), podemos obtener:

tctpp

zkrpp

zr

rr

=

11 (2-23)

=

+

tpm

kc

rpm

rrpm t )()(1)(2

(2-24)

Esta es una ecuacin cuasi lineal y es la base para el anlisis de presiones para

un pozo de gas. Los mtodos de anlisis desarrollados para lquidos, pueden ser

extendidos para gases pero, usando la funcin de m(p).

La ecuacin (2-24) es similar a la ecuacin (2-9). Pero tiene la particularidad, que

en los trminos de segundo grado desaparecen.

27




En resumen, un balance de materiales sobre un elemento diferencial de medio

poroso conduce a la ecuacin de continuidad.

La ecuacin de estado es sustituida, para producir una ecuacin diferencial en

derivadas parciales para flujo isotrmico la cual especifica la relacin entre la

densidad (o presin), espacio y tiempo. Excepto para lquidos de compresibilidad

constante, es de uso prctico la ecuacin de difusividad en trminos de presin,

bajo la suposicin de que los gradientes son pequeos en cualquier sistema de

flujo. Esta suposicin es usualmente razonable para el flujo de lquidos.

Es notable el hecho de que para gases ideales en trminos de p2, no se obtienen

trminos de presin de segundo grado, mientras que en trminos de presin p,

aparece de un trmino de segundo grado. Esto no fue demostrado anteriormente

pero puede ser verificado fcilmente. Para flujo de gases reales un trmino de

segundo grado aparece a menos que una sustitucin tal como la pseudo-presin

para gases reales, m(p), sea usada.

ECUACIN DE DIFUSIVIDAD

=

+

rp

kc

rp

rrp t12

2

(2-9)

Caractersticas

1. La ecuacin (2-9) es lineal solo cuando esta expresada en funcin de la

densidad, .

2. La ecuacin (2-9) es una simplificacin que se obtiene al suponer los gradientes

de presin de pequeos.

3. Para formular el problema requerimos:

Ecuacin de flujo

Condicin inicial.

Condicin de contorno.

Condiciones de contorno en el pozo (en el lmite de contorno) Las suposiciones hechas en el desarrollo de la ecuacin son resumidas a

continuacin:

28




1. Flujo radial hacia el pozo abierto sobre el espesor total del yacimiento.

2. Medio poroso isotrpico y homogneo.

3. Yacimiento de espesor uniforme.

4. Porosidad y permeabilidad.

5. Fluido de compresibilidad pequea y constante.

6. Fluido de viscosidad constante.

7. Pequeos gradientes de presin.

8. Fuerzas de gravedad despreciables.

Figura 2.1. Elemento de volumen sobre el cual se aplica el Balance de Masa.

FORMULACIN MATEMTICA DEL PROBLEMA DE FLUJO DE PETRLEO (UNA FASE) DE UN POZO PRODUCIENDO A TASA DE FLUJO CONSTANTE EN EL POZO, PARA VARIOS SISTEMAS POZO YACIMIENTO. (Ver figura 2.2).

Premisas asumidas:

1. Consideramos skin y efecto de llene, igual a cero.

2. Formulemos ahora el problema de un pozo, produciendo a tasa de flujo

r r

h

r

)( rr +

29




constante en un yacimiento infinito.

3. El yacimiento se supone a una presin, pi, en un tiempo t = 0.

4. La solucin del problema se presenta en la Figura 2.1.

Para Yacimiento infinito. Ecuacin de flujo:

=

+

rp

kc

rp

rrp t12

2

(2-9)

Condicin inicial:

Para t = 0 p(r,t) = pi para cualquier r

Condiciones de contorno:

Condicin de contorno interna: q es constante.

Aplicando la Ley de Darcy en el pozo:

rwrpAkq

=

(2-25)

Donde:

hrA w2=

Entonces:

( )wr

w rphrkq

=

2 (2-26)

wr khrq

rp

w

2=

(2-27)

Constante 2

==

khq

rpr

wr (2-28)

otra forma de condicin de contorno interior:

Constante 2

lim ==

khq

rpr

wr (2-29)

0wr

Que se aplica al caso de que el pozo fuera una lnea fuente.

Condicin de contorno externa:

( ) itr pp =,lim

30




r

La solucin de este problema se muestra en las Figuras 2.3 y 2.4.

wr rkhq

rp

w

12

=

re

rw

h

CASO DE YACIMIENTO INFINITOcomoipp r

CASO DE YACIMIENTO INFINITOcomoipp r

CASO DE YACIMIENTOCIRCULAR LIMITADO

0=

rerp


0=

rerp

CASO DE YACIMIENTO CON PRESIN CONSTANTE EN EL LMITE EXTERIOR

p = pi en r = re

31




Figura 2.2. Diagrama esquemtico de un pozo en un yacimiento radial mostrando los diferentes tipos de condiciones de contorno, para tasa de flujo constante.

Adaptada de la referencia.

SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE (S.L.F):

=

D

dtd t

rEp42

1 2 (2-30)

1. Propiedades de la solucin con CD = 0 y S = 0.

2. Para rD 25 use la Solucin de la Lnea Fuente para cualquier valor de rD

(cualquier localizacin).

3. Empricamente se ha demostrado que en un pozo de radio finito, rD = 1, y para

CD = 0 y S = 0 a tiempos de de flujo muy pequeos (a los pocos segundos) se

alcanza la condicin de tD/rD = 25.

4. Para tD/rD > 25 la Solucin de la Lnea Fuente puede ser aproximada por:

+

= 81,0ln

21

2D

DD r

tP (2-31)

5. Como consecuencia de 3 y 4 un pozo de radio finito, rD = 1 produciendo a tasa

de flujo constante con CD = 0 y S = 0, puede ser modelado para tiempos prcticos

reales de flujo por la aprobacin logartmica de la Solucin de la Lnea Fuente.

( )81,0ln21

+= DD tP (2-31)

6. Un pozo con Cd = 0 y S 0 puede ser modelado con una modificacin de la

aproximacin logartmica.

( )StP DD 281,0ln21

++= (2-31)

7. Un pozo con Cd 0 y S 0, puede ser modelado con la ecuacin modificada,

que incluye el efecto skin S, una vez que desaparezca el efecto de

almacenamiento, CD.

Aproximacin logartmica de la Solucin de la Lnea Fuente:

=

D

DiD t

rEP42

1 2 (2-32)

32




Para:

D

D

trx4

2

= tenemos que: ( ) duu

exEx

u

i

= (2-33)

cuando x 0.01 (ver Tabla 2.1)

La integral exponencial puede ser sustituida por ln(x), esto es:

para x 0.01

-Ei(-x) ln(x)

donde = 1.781

por lo que exp( 0.5772) = 1.781

el valor 0.5772 es la constante de Euler

luego tenemos:

(2-34)

Finalmente:

+

= 8091,0ln

21

2D

DD r

tP (2-35)

Cuando se grfica en papel semilog PD Vs. 2D

D

rt , se obtiene una recta para valores

de 2D

D

rt 25 que corresponden a valores de x 0.01. (Ver Figura Nro. 2.3A)

( )8091,021log)303.2(

21

+

= r

D

DD r

tP (2-36)

4045.0log5131.11 +

= r

D

DD r

tP

(2-37)

( )

++=

+

==

4lnln21

4lnln

21

4ln

21ln

21

2

2

2

D

D

D

D

D

DD

rt

tr

txp

33




X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,00 6,332 5,639 5,235 4,948 4,726 4,545 4,392 4,259 4,1420,01 4,038 3,944 3,858 3,779 3,705 3,637 3,574 3,514 3,458 3,4050,02 3,355 3,307 3,261 3,218 3,176 3,137 3,098 3,062 3,026 2,9920,03 2,959 2,927 2,897 2,867 2,838 2,81 2,783 2,756 2,731 2,7060,04 2,681 2,658 2,634 2,612 2,59 2,568 2,547 2,527 2,507 2,4870,05 2,468 2,449 2,431 2,413 2,395 2,377 2,36 2,344 2,327 2,3110,06 2,295 2,279 2,264 2,249 2,235 2,22 2,206 2,192 2,178 2,1640,07 2,151 2,138 2,125 2,112 2,099 2,087 2,074 2,062 2,05 2,0390,08 2,027 2,015 2,004 1,993 1,982 1,971 1,96 1,95 1,939 1,9290,09 1,919 1,909 1,899 1,889 1,879 1,869 1,86 1,85 1,841 1,8320,10 1,823 1,814 1,805 1,796 1,788 1,779 1,77 1,762 1,754 1,7450,11 1,737 1,729 1,721 1,713 1,705 1,697 1,689 1,682 1,674 1,6670,12 1,66 1,652 1,645 1,638 1,631 1,623 1,616 1,609 1,603 1,5960,13 1,589 1,582 1,576 1,569 1,562 1,556 1,549 1,543 1,537 1,530,14 1,524 1,518 1,512 1,506 1,5 1,494 1,488 1,482 1,476 1,470,15 1,464 1,459 1,453 1,447 1,442 1,436 1,431 1,425 1,42 1,4150,16 1,409 1,404 1,399 1,393 1,388 1,383 1,378 1,373 1,368 1,3630,17 1,358 1,353 1,348 1,343 1,338 1,333 1,329 1,324 1,319 1,3140,18 1,31 1,305 1,301 1,296 1,291 1,287 1,282 1,278 1,274 1,2690,19 1,265 1,261 1,256 1,252 1,248 1,243 1,239 1,235 1,231 1,2270,20 1,223 1,219 1,215 1,21 1,206 1,202 1,198 1,195 1,191 1,187

0 + 4,038 3,335 2,959 2,681 2,468 2,295 2,151 2,027 1,9190,1 1,823 1,737 1,660 1,589 1,524 1,464 1,409 1,358 1,309 1,2650,2 1,223 1,183 1,145 1,110 1,076 1,044 1,014 0,985 0,957 0,9310,3 0,906 0,882 0,858 0,836 0,815 0,794 0,774 0,755 0,737 0,7190,4 0,702 0,686 0,67 0,655 0,640 0,625 0,611 0,298 0,585 0,5720,5 0,560 0,548 0,536 0,525 0,514 0,503 0,493 0,483 0,473 0,4640,6 0,454 0,445 0,437 0,428 0,420 0,412 0,404 0,396 0,388 0,3810,7 0,374 0,367 0,360 0,353 0,347 0,340 0,334 0,328 0,322 0,3160,8 0,311 0,305 0,300 0,295 0,289 0,284 0,279 0,274 0,269 0,2650,9 0,260 0,256 0,251 0,247 0,243 0,239 0,235 0,231 0,227 0,2231,0 0,219 0,216 0,212 0,209 0,205 0,202 0,198 0,195 0,192 0,1891,1 0,186 0,183 0,180 0,177 0,174 0,172 0,169 0,166 0,164 0,1611,2 0,158 0,156 0,153 0,151 0,149 0,146 0,144 0,142 0,140 0,1381,3 0,135 0,133 0,131 0,129 0,127 0,125 0,124 0,122 0,120 0,1181,4 0,116 0,114 0,113 0,111 0,109 0,108 0,106 0,105 0,103 0,1021,5 0,1000 0,0985 0,0971 0,0957 0,0943 0,0929 0,0915 0,0902 0,0889 0,08761,6 0,0863 0,0851 0,0838 0,0826 0,0814 0,0802 0,0791 0,0708 0,0768 0,07571,7 0,0747 0,0736 0,0725 0,0715 0,0705 0,0695 0,0685 0,0675 0,0666 0,06561,8 0,0647 0,0638 0,0629 0,062 0,0612 0,0603 0,0595 0,0586 0,0578 0,0571,9 0,0562 0,0554 0,0546 0,0539 0,0531 0,0524 0,0517 0,051 0,0503 0,04962,0 0,0489 0,0482 0,0476 0,0469 0,0463 0,0456 0,045 0,0444 0,0438 0,0432

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 92 4.89x 10-2 4.26x 10-2 3.72x 10-2 3.25x 10-2 284x 10-2 2.49x 10-2 2.19x 10-2 1.92x 10-2 1.69x 10-2 1.48x 10-23 1.30x 10-2 1.15x 10-2 1.01x 10-2 8.94x 10-3 7.89x 10-3 6.87x 10-3 6.16x 10-3 5.45x 10-3 4.82x 10-3 4.27x 10-24 3.78x 10-3 3.35x 10-3 2.97x 10-3 2.54x 10-3 2.34x 10-3 2.07x 10-3 1.84x 10-3 1.64x 10-3 1.45x 10-3 1.29x 10-35 1.15x 10-3 1.02x 10-3 9.08x 10-4 8.09x 10-4 7.19x 10-4 6.41x 10-4 5.71x 10-4 5.09x 10-4 4.53x 10-4 4.04x 10-46 3.60x 10-4 3.21x 10-4 2.86x 10-4 2.55x 10-4 2.28x 10-4 2.03x 10-4 1.82x 10-4 1.62x 10-4 1.45x 10-4 1.29x 10-47 1.15x 10-4 1.03x 10-4 9.22x 10-5 8.24x 10-5 7.36x 10-5 6.58x 10-5 5.89x 10-5 5.26x 10-5 4.71x 10-5 4.21x 10-58 3.77x 10-5 3.37x 10-5 3.02x 10-5 2.70x 10-5 2.42x 10-5 2.16x 10-5 1.94x 10-5 1.73x 10-5 1.55x 10-5 1.39x 10-59 1.24x 10-5 1.11x 10-5 9.99x 10-6 8.95x 10-6 8.02x 10-6 7.18x 10-6 6.44x 10-6 5.77x 10-6 5.17x 10-6 4.64x 10-610 4.15x 10-6 3.73x 10-6 3.34x 10-6 3.00x 10-6 2.68x 10-6 2.41x 10-6 2.16x 10-6 1.94x 10-6 1.74x 10-6 1.56x 10-6

Ei (-X), 0.000 < 0.209, interval - 0.001

-Ei (-X), 0.00 < X > 2.09, interval = 0.01

2.0 < X < 10.9, interval = 0.1

Tabla 2.1. Ei(-x) como una funcin de x

Tabla 2.2. Valores de el exponente integral . Ei(-x). Fuente Pet. Eng.(1956).(Pg. 171-173)

34




SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE EN SU FORMA DIMENSIONAL

1.

=

D

DiD t

rEP

421 2

(2-38)

2. Aproximacin logartmica de la Solucin de la Lnea Fuente:

Trabajando con la ecuacin (2-9) y sustituyendo las variables adimensionales pD,

tD, rD, obtenemos:

( )

=

2

2

2

,000264.04

21

2.141

wt

witri

rckt

rr

EppqB

kh

(2-39)

y

=

ktrc

EkhqBpp tiitr 00105.02

122.141 2

,

(2-40)

La regla de Leibnitz para derivar una integral es:

( ) ( ) ( ) ( )dtdc

ctfdt

dcctfdxxtfdxxtf

dtd tc

c

c

c t

t

t

11

22

2

,,,,1

2

1

+

= (2-41)

VARIABLES ADIMENSIONALES EN UNIDADES DE CAMPO Siendo:

Presin adimensional, pD:

( )triD ppqBkhp ,2.141

=

(2-42)

Tiempo adimensional

35




2

000264.0

wt

D rcktt

= (2-42)

Radio adimensional, rD

wD r

rr = (2-43)

Trmino Definicin Unidad de campo k permeabilidad md

h espesor del estrato pies

p presin lbs/pulg2

q tasa de flujo BN/da

B Factor volumtrico de la formacin BY/BN

viscosidad cp

porosidad fraccin adimensional

ct compresibilidad de la formacin (lbs/pulg2)-1

rw radio del pozo pies

r distancia radial pies

En unidades consistentes o absolutas, las definiciones de variables

adimensionales son las siguientes.

( )triD ppqBkhp ,

2=

(2-44)

2wt

D tcktt

= (2-45)

wD r

rr = (2-46)

Las variables as definidas en unidades consistentes, pueden ser aplicables a

cualquier sistema unidades de medidas, c.g.s, M.K.S, S.I., etc. En unidades de

campo las ecuaciones vendrn afectadas por cierto valor de las constantes de

36




proporcionalidad, por ejemplo: 141,2 en la definicin de pD (2-41) y 0.000264 en la

definicin de tD (2-42), para ser usadas en la Figura 2.3.

Figura 2.3. Solucin de la Lnea Fuente en su forma adim

ensional. (En unidades de campo).

37




Figura 2.3A. Solucin de la Lnea Fuente expresada en unidades adim

ensionales. (Com

o funcin de tD/r 2D

) Grfico sem

ilog.

38




PD

Figura 2.4.soluciones para un yacimiento infinito considerando radio

del pozo finito y para r w0 y flujo constante. Presin adim

ensionalen funcin del sistem

a radial

tD /rD2

PD

Figura 2.4.soluciones para un yacimiento infinito considerando radio

del pozo finito y para r w0 y flujo constante. Presin adim

ensionalen funcin del sistem

a radial

tD /rD2

39




ANLISIS SEMILOG DE UNA PRUEBA DE FLUJO (DRAWDOWN), USANDO LA APROXIMACIN LOGARTMICA DE LA SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE (S.L.F.).

Para 2D

D

rt

25 la solucin puede expresarse as:

( )Stp DD 281.0ln21

++= (2-47)

Siendo

( )

++

= S

rcktpp

qBkh

wtwfi 281.0

000264.0ln21

2.141 2 (2-48)

( )

+

+= S

rckt

khqBpp

wtiwf 87.023.3loglog

6.1622

(2-49)

Donde

khqBm 6.162= (2-50)

+

= 33.2log115.1 2

,

wt

rti

rck

mpp

S

(2-51)

SOLUCIN DE LA LNEA FUENTE (S.L.F.)

( )

=

ktrE

khqBptrp ii 00105.02

12.141,2 (2-52)

usando las variables adimensionales:

( ) ( )qBppkhtrp iDDD 2.141

, = (2-53)

Donde:

40




2

000264.0

wD cr

ktt

= (2-42)

wD r

rr = (2-43)

Entonces:

( )

=

D

DiDDD t

rEtrp42

1,2

(2-54)

Si el argumento, D

D

tr4

2

es menor que 0.01

+

= 80907.0ln

21

2D

DD r

tp (2-55)

YACIMIENTO CERRADO (NO FLUJO), EN EL LMITE EXTERIOR Formulacin del problema (ver figura 2.5).

1. Ecuacin de difusividad.

=

+

rp

kc

rp

rrp t12

2

(2-9)

2. Condicin de contorno interior

tenkh

qrpr

rw

tancos2

==

(2-56)

3. Condicin de contorno exterior:

0=

rerp para todo (t) (2-57)

4. Condicin inicial:

p(r,t) = pi ; para t = 0.

o tambin p(r,0) = pi o tambin, para todo rw r re.

La solucin se muestra en la Figura 2.6.

Caractersticas de la Solucin Figura 2.6:

Comentarios 2.1.

41




Con referencia a la Figura 2.6 podemos anotar:

Las curvas que estn en la parte superior corresponden a la solucin de un pozo

produciendo a tasa de flujo constante localizado en un yacimiento circular cerrado.

El parmetro es w

eeD r

rr =

Perodos de flujo: tomemos una solucin para un valor determinado del parmetro,

por ejemplo reD = 1000. Hasta un tiempo adimensional de 2 x 105 la solucin es

una lnea recta en papel semilog y corresponde a la aproximacin logartmica de la

solucin de la lnea fuente. Luego existe una transmisin de muy corta duracin en

este caso y la cual depende de la posicin del pozo en el rea de drenaje (rea de

yacimiento). Finalmente la solucin se vuelve una curva ascendente que

corresponde a un flujo semicontinuo (la presin es una funcin lineal del tiempo).

(Ecuacin (2-6)).

(Sabet Pgina 404).

Yacimiento cerrado. Solucin en el campo de Laplace.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]sIsrksrIskssrksrIsrIsrksp

eDeD

DoeDedoeDD

11112/3

11

+

= (2-58)

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

+

+

=

=neDNn

DnnDnonrDn

n

t

eD

eDeDeDed

eD

DeDD

D

eDD

JrJrJYrYJrJe

rrrrr

rrrtr

rp

Dn

2

12

1

012

12

1

1

2

244

2

22

2

2

1412ln43

1ln

412

(2-59)

n son las races de

( ) ( ) ( ) ( ) 01111 = eDnnneDn rYJYrJ (2-60) Jo(x), J1(x) races de Bessel de 1era clase de orden cero y uno respectivamente.

Yo(x), Y1(x) races de Bessel de 2da clase de orden cero y uno.

En el pozo:

rD = 1 ln(rD) = 0 y si re >> rw

42




22 1 eDeD rr

y ( ) ( ) ( ) ( )n

nnnn JYYJ 20101 = (2-61)

luego ( ) ( )( ) ( )[ ]

++=

=

neDnn

eDn

neD

eD

DD JrJ

rJer

rtp ntD

21

21

21

2 243ln2 (2-62)

para t grande

......321

43




( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]srIsksrKsIsrIsrKsrKsrIsp

eDeD

DoDDeDD

0012/3

000

2 +

= (2-66)

Las condiciones de contorno interior e inicial son las mismas que para el caso de

yacimiento infinito y yacimiento cerrado en el lmite exterior. La condicin de

contorno exterior es p(re, t) = pi para cualquier tiempo t.

En el pozo y para altos tiempos de flujo, la solucin es: ( )eDD rp ln=

Figura 2.5. Diagrama esquemtico de un pozo en un yacimiento radial mostrando

wr rkhq

rp

w

12

=

re

rw

h


0=

rerp


0=

rerp

44




los diferentes tipos de condiciones de contorno, para tasa de flujo constante. Caso

Yacimiento Circular Limitado.

Figura 2.6. Diagram

a esquemtico del cam

bio de Presin adimensional en el

pozo contra el sistema radial.

Tiempo adim

ensional en el pozo1/tD

Cambio de presin adimensional en el pozo PD

Figura 2.6. Diagram




Figura 2.6. Diagram




Tiempo adim

ensional en el pozo1/tD

Cambio de presin adimensional en el pozo PD

45




Figura 2.7 Grfico esquemtico de la declinacin de presin de un pozo en un Yacimiento Circular Limitado, produciendo a tasa de flujo constante.

Pwf

Pi

Flujo Transiente

Perodo de Transicin

Flujo Semicontinuo

Ec. 2.59

Ec. 2.63 Ec. 2.53

46




Figura 2.8. Diagrama esquemtico de un pozo en un Yacimiento Radial,

re

rw

h

CASO DE YACIMIENTO CON PRESIN CONSTANTE EN EL LMITE EXTERIOR

p = pi en r = re

wr rkhq

rp

w

12

=

wr rkhq

rp

w

12

=

47




mostrando los diferentes tipos de Condiciones de Contorno para tasa de flujo

constante. Caso de yacimiento con presin constante en el lmite exterior. FLUJO SEMICONTINUO PARA UN POZO EN EL CENTRO DE UN YACIMIENTO CIRCULAR CILNDRICO.

En unidades consistentes:

+=

43ln2

2 2 we

etiwf r

rrc

ktkh

qpp

(2-67)

Tratando de llevar esta ecuacin a la ecuacin general para todo tipo de rea de

drenaje, y para unidades prcticas:

(2-68)

(2-69)

(2-70)

(2-71)

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

+

+= S

rr

rckt

khqBpp

w

e

etiwf 3.24

32log23.2

)3.2()000264.0(222

2.1413.22

( ) ( ) ( )( )( )

+

+= S

rr

rckt

khqBpp

w

e

etiwf 3.22

3log2)000264.0(46.162 2

( )( )( )

( )( )( ) thAC

qBx

r

rkh

qBppw

eiwf

1

4

2

2

3.21064.246.162

78.1478.1489.4

4log6.162

=

( )hAC

qBtr

Akh

qBppw

iwf1

2

2339.069.314log6.162

=

48




FLUJO SEMICONTINUO PARA UN POZO LOCALIZADO EN EL CENTRO DE UN REA DE DRENAJE CIRCULAR Ecuacin generalizada para cualquier sistema. (S = 0).

(2-72)

o en unidades adimensionales:

(2-73)

Para un pozo localizado en el centro de un crculo, y para S = 0, si S 0 hay que

incluirlo en la ecuacin explcitamente. CA es el factor de forma (ver Figura 2.9).

SOLUCIN PARA UN POZO PRODUCIENDO A TASA DE FLUJO CONSTANTE PARA Cd = 0, S = 0. CASO YACI

Manual de Analisis de Pruebas de Presion

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