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Funciones

Tzihué Cisneros Pérez

D. R. c© 2013 Tzihué Cisneros Pérez

PUBLICADO POR EDITORIAL CIPÉ

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Primera edición, Abril de 2013

Índice general

1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Función 5

1.2 Funciones inyectivas y sobreyectivas 6

1.3 Funciones continuas 9

1.4 Algebra de funciones 111.4.1 Composición de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Traslación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3 Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Problemas 17

2 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Funciones polinomiales 192.1.1 Continuidad y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Números complejos 22

2.3 Soluciones de polinomios 222.3.1 Método de Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Asíntotas de funciones 26

2.5 Problemas 28

3 Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Funciones exponencial y logarítmica 29

3.2 Problemas 32

4 Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Funciones seno y coseno 33

4.2 Otras funciones trigonométricas 344.2.1 Paridad trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Ecuaciones trigonométricas 36

4.4 Problemas 37

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Libros 39

Artículos 39

Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

FunciónFunciones inyectivas y sobreyectivasFunciones continuasAlgebra de funciones

Composición de funciones.Traslación de funcionesFunciones pares e imparesIntervalos

Problemas

1 — Introducción

El comportamiento de la naturaleza implica siempre eventos que se pueden cuantificar, esdecir, medir en forma matemática ya sea mediante la física, la química o la biología. Cuandosentimos que la temperatura ambiente incrementa o decrementa podemos medirla con un termó-metro en función de la dilatación del mercurio, la velocidad de un automóvil la medimos conel velocímetro en función del tiempo transcurrido, la combustión de oxígeno en una reacciónquímica podemos medirla en función del calor transferido, etc.

El significado de la palabra función es muy profundo en las matemáticas y en corresponden-cia en las ciencias. Si hablamos de funciones estamos proponiendo una relación cuantitativa ocualitativa entre dos conjuntos de objetos, dichos objetos pueden ser cualquier cosa desde pájarosy los colores básicos, los acordes y las cuerdas de una guitarra hasta los estados cuánticos de unelectrón y un potencial dado.

1.1 FunciónHemos dado un significado práctico de lo que es una función entre dos conjuntos, ahora

daremos una definición exacta.

Definición 1.1 Llamamos relación entre un conjunto A y un conjunto B a la correspon-dencia que establecemos entre los elementos de cada uno de ellos, de tal manera que a cadaelemento de A le corresponda uno o más elementos de B.

Definición 1.2 Si imponemos la condición de que a cada elemento de A le correspondauno y solo un elemento de B entonces dicha relación se llama función. El conjunto A será eldominio de la función y el conjunto B será la imagen o rango.

Matemáticamente representamos una función de las siguientes formas

f : A→ B, f (A) = B, f (x) = {y ∈ B|y = f (x)∀x ∈ A} (1.1)

la última expresión en las ecuaciones (1.1) se lee: f de x es igual al conjunto de todas las y,elementos de B, tal que y es igual a f de x para todo x en A.

6 Introducción

R De la definición de función podemos deducir que todas las funciones son relaciones perono todas las relaciones son funciones.

� Ejemplo 1.1 La ecuación de una circunferencia con centro en el origen del plano cartesianoes

x2 + y2 = r2 (1.2)

despejando y para obtener una relación más ordinaria, tenemos

y =±√

r2− x2 (1.3)

que nos proporciona la parte superior e inferior de una circunferencia de acuerdo al signo positivoo negativo respectivamente. Si el dominio de esta ecuación es el diámetro de la circunferenciaque coincide con el eje X entonces a cada valor de este dominio le corresponden dos valores: unoen la parte superior y otro en la parte inferior de la circunferencia, por lo que no es una funciónsino solamente una relación. �

� Ejemplo 1.2 Si en la ecuación (1.3) para una circunferencia elegimos el signo positivo o elsigno negativo entonces obtendremos una función que representará la mitad de una circunferencia.�

� Ejemplo 1.3 Si formamos el conjunto de todos los canarios que viven en una ciudad ylo relacionamos con el conjunto {verde,amarillo,azúl} entonces tendremos una función biendefinida porque a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un color. �

� Ejemplo 1.4 Supongamos que la velocidad de un automóvil en un camino curveado va desde25km/h hasta 85km/h durante 8 horas de recorrido, si relacionamos el conjunto de las distintasvelocidades con el conjunto de las horas transcurridas obtendremos una función. �

Ejercicio 1.1 El producto cartesiano A×B de dos conjuntos se lleva a cabo relacionandoen parejas los elementos de uno con los del otro: A = {a,b,c} y B = {1,2,3} entonces A×B={(a,1),(b,2),(c,3)}, haga el producto cartesiano de los conjuntos: A = {perro,gato, pollo}y B = {hueso,ratón,gusano}. �

Ejercicio 1.2 ¿El producto cartesiano es una función o una relación? �

1.2 Funciones inyectivas y sobreyectivas

Cuando lanzamos cualquier objeto observamos que su trayectoria es una parábola, figura[1.1], durante el tiempo que permanezca en el aire. Este movimiento inicia con el objetoelevándose y alcanzando un punto máximo y de ahí nuevamente cae hasta otro punto cuyadistancia es el doble de la que el objeto recorre desde el inicio hasta el punto máximo. De estaforma, si tomamos como dominio el intervalo en el eje X desde que comienza el movimientoparabólico hasta que termina podemos observar que a cada valor del dominio le correspondendos valores de la imagen con excepción del punto máximo.

Si solamente tomáramos la primera mitad del movimiento parabólico hasta el punto máximo,entonces a cada valor del dominio solo le correspondería un valor de la imagen y en este casotendríamos una función inyectiva.

1.2 Funciones inyectivas y sobreyectivas 7

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Figura 1.1: Lanzamiento de un objeto y su trayectoria parabólica.

Definición 1.3 Una función f : A→ B será inyectiva si dados x1,x2 ∈ A, tal que x1 6= x2,entonces f (x1) 6= f (x2).

� Ejemplo 1.5 Supongamos que tenemos la función f (x) = x2 con dominio [−2,2], facilmentededucimos que no es inyectiva ya que: f (−2) = (−2)2 = 4 y f (2) = (2)2 = 4. �

� Ejemplo 1.6 Sea la función f (x) = x3, esta si es inyectiva ya que para cualquier dominiodado siempre se cumplirá la condición. �

� Ejemplo 1.7 Sea f (x) =−√

r2− x2, esta función no es inyectiva pues a cada elemento deldominio le corresponden dos elementos de la imagen: f (−r) = −

√r2− (−r)2 = 0 y f (r) =

−√

r2− (r)2 = 0. �

R Una función que no sea inyectiva en un dominio dado podemos hacerla inyectiva sirestringimos el dominio. Vimos que la función f (x) = x2 no era inyectiva en [−2,2] perosi lo será en el intervalo [0,2].

Definición 1.4 Sea f : A→ B, si cada elemento de B es imagen de al menos un elementode A entonces la función es sobreyectiva.

Esta definición nos dice que todos los elementos de la imagen deben corresponder a al menosun elemento del dominio.

� Ejemplo 1.8 Cuando definimos el conjunto de todos los canarios de una ciudad y el conjuntode los colores verde, amarillo y azúl establecimos una función bien definida, sin embargo estafunción no es ni inyectiva ni sobreyectiva ya que para x1 6= x2 tenemos f (x1) = f (x2) y no todoslos elementos de la imagen corresponden a por lo menos un elemento del dominio. �

� Ejemplo 1.9 Sea f (x) = x3, esta función es inyectiva y sobreyectiva. �

� Ejemplo 1.10 Sea f (x) = x, esta función también es inyectiva y sobreyectiva ya que f (x1) =x1 y f (x2) = x2, además todo elemento de la imagen corresponde a al menos un elemento deldominio. �

� Ejemplo 1.11 La función f (x) =√

x−2 no es sobreyectiva en el conjunto de los númerosreales ya que cualquier número que tome la x menor o igual a 2 hasta infinito, es decir, en el

8 Introducción

0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

Figura 1.2: Gráfica de f (x) = x2 en [0,2].

intervalo (2,∞) generará una raíz negativa y un número complejo. �

� Ejemplo 1.12 La función f (x) = 1x no es sobreyectiva ya que x = 0 no está definido. �


x2−1 no es sobreyectiva porque en el intervalo (1,−1)genera números complejos. �

Definición 1.5 Si f : A→ B es una función inyectiva y sobreyectiva entonces es biyectiva.

Definición 1.6 Si f : A→ B es biyectiva entonces tiene una función inversa: f−1 : B→ A.

Que una función sea biyectiva es muy importante porque tiene inversa y ahora podemosmandar valores de la imagen hacia el dominio mediante f−1. Si no existieran las funcionesinversas no podríamos hacer una gran variedad de cálculos en la práctica, por ejemplo, conocerel tiempo transcurrido por un automóvil dada su velocidad o la temperatura de un gas en uncontenedor dada su presión.

� Ejemplo 1.14 Determinar si la función f (x) = x2 es biyectiva en el intervalo [0,2] y si lo esencontrar su inversa.

Podemos sustituir los valores del intervalo en la función y verificar cuales se repiten, es decir,si existen f (x1) = f (x2) para x1 6= x2 pero también podemos graficar la función, figura [1.2], ytrazar una línea paralela al eje X imaginaria que podemos subir y bajar mientras intersecta lagráfica y el eje Y . Si dicha línea intersecta más de una vez a la gráfica de la función entonces noes inyectiva.

En forma natural podemos ver que todos los valores de la imagen tienen un elementocorrespondiente en el dominio por lo que la función es inyectiva y sobreyectiva y por lo tanto esbiyectiva. Para obtener la función inversa simplemente despejamos x

x =√

f (x) (1.4)

�

� Ejemplo 1.15 Sea v(t) = 3t +1 la función de la velocidad v en términos del tiempo t de unobjeto, determinar si es biyectiva y encontrar su inversa.

1.3 Funciones continuas 9

Si graficamos la función en un intervalo cualquiera obtendremos una recta y trazando unalínea paralela al eje X veremos que solo intersecta la recta una vez. También observamos quetodos los elementos de la imagen corresponden al menos a un elemento del dominio, por lo quees sobreyectiva. Tenemos entonces una función biyectiva cuya inversa está dada por

t =v(t)−1

3(1.5)

�

� Ejemplo 1.16 Sea el conjunto M = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}. Este conjunto podemosplantearlo como el resultado de una función f : A→ B donde A = {1,3,5,7} y B = {2,4,6,8}serían el dominio y la imagen respectivamente. Esta función está bien definida, es inyectiva ysobreyectiva, pero, ¿cuál será la forma de f ?. Los elementos de A son números impares y los deB son pares por lo que es posible escribir

f (x) = x+1 (1.6)

de esta forma tenemos una función que no es continua ya que solo consta de cuatro puntosseparados entre si cuya inversa es x = f (x)−1. �


x2−3 no es sobreyectiva en el intervalo (3,−3) perosi restringimos su dominio al conjunto D = {R−{(3,−3)}}, es decir, al conjunto de todoslos números reales excepto el intervalo (3,−3) entonces tendremos una función sobreyectiva einyectiva. Su inversa es

x =√

f 2 +3 (1.7)

�

Ejercicio 1.3 ¿La elipse (x−1)2

52 + (y−1)2

32 = 1 es inyectiva? �

Ejercicio 1.4 La parábola (x+2)2 = 8(y−3) es inyectiva? �

Ejercicio 1.5 ¿Es inyectivo el movimiento de un péndulo? �

1.3 Funciones continuasEl concepto de continuidad es muy interesante y necesario en la teoría de funciones, al

decir que una función dada es continua establecemos una propiedad muy útil. En las cienciasrequerimos de funciones continuas porque estas nos describen el comportamiento completode algún evento sin pérdida de información. Si la ecuación que nos describe la posición de unobjeto en movimiento en función del tiempo transcurrido tuviera discontinuidades entoncesno podríamos determinar su posición en ciertas partes del camino. Por otra parte, a escalasde medidas muy pequeñas del orden del radio de un átomo, las discontinuidades adquierenrelevancia ya que los procesos están cuantizados, es decir, solo existen para ciertos valores perono para todos los valores posibles.

Definición 1.7 Decimos que una función f : A→ B es continua en un punto x0 ∈ A siexiste f (x0) ∈ B.

10 Introducción

� Ejemplo 1.18 Probar si la función f (x) = 3x+1 es continua en el punto x0 =−1.Tenemos f (x0) = f (−1) = 3(−1)+1 =−3+1 =−2, por lo que es continua en ese punto.

�

� Ejemplo 1.19 La función f (x) = 1/x no es continua en x0 = 0 ya que f (0) = 1/0 no estádefinido. �

� Ejemplo 1.20 Probar si la función f (x) = x+2x−1 es continua en x0 = 1.

Si sustiuimos el valor x0 = 1 en la función dada, tenemos

f (1) =1+21−1

=30

(1.8)

lo cual no está definido y por lo tanto no es continua en ese punto. �

R Una manera sencilla de visualizar la continuidad de una función es verificar que su gráficano contenga vacíos o saltos.

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 1.3: Gráfica de una función discontinua en x0 = 0.

� Ejemplo 1.21 Sea la función,

f (x) ={−1 [−2,0]1 [0,2]

figura [1.3]. Esta función nos dice que tiene un valor constante de −1 en el intervalo [−2,0]y de 1 en [0,2]. Por lo que, f (0) no está definida y tenemos una discontinuidad. �

Proposición 1.1 — Continuidad puntual. Si para cada valor δ > 0 existe otro valor ε > 0tal que |x− x0|< δ implica que | f (x)− f (x0)|< ε , entonces la función es continua en x0.

La continuidad puntual nos dice que por más pequeño que sea δ pero siempre mayor a 0habrá otro ε siempre mayor a cero tal que la continuidad de la función alrededor de x0 estágarantizada.

� Ejemplo 1.22 Sea f (x) = 4x, queremos saber si es continua en x0 = 5. Para esto sustituimos:f (x0) = f (5) = 4(5) = 20, por lo que si existe f (x0). También podemos probar la continuidad

1.4 Algebra de funciones 11

puntual dado f (5) = 20

|x−5|< δ ⇒ |4x−20|< ε (1.9)

|x−5|< δ ⇒ |4||x−5|< ε

por lo que podemos tomar δ = ε/4

4|x−5|< 4ε = ε

�

Ejercicio 1.6 ¿Para qué valor de V no es continua la función P = NkTV ? �

Ejercicio 1.7 ¿La función PV = NkT es continua para todo valor de T ? �

1.4 Algebra de funcionesCon las funciones podemos realizar todo tipo de operaciones algebraicas como suma, resta,

multiplicación y división.

� Ejemplo 1.23 Hacer las cuatro operaciones básicas con las funciones: f (x) = 2x− 3 yg(x) = x+3.

suma f +g = 2x−3+ x+3 = 3xresta f −g = 2x−3− (x+3) = 2x−3− x−3 = x−6producto f ∗g = (2x−3)(x+3) = 2x2 +6x−3x−9 = 2x2 +3x−9división f

g = 2x−3x+3

�

R Después de realizar alguna operación con las funciones podemos simplificar los resultadoshasta donde sea posible. También podemos elevar una función a una potencia dada.

� Ejemplo 1.24 Eleve la función f (x) = (2x+1)2 a las potencias: 2, 1/3 y π . Simplificar hastadonde sea posible.

( f (x))2 = ((2x+1)2)2 = (2x+1)4

( f (x))1/3 = ((2x+1)2)1/3 = (2x+1)2/3

( f (x))π = ((2x+1)2)π = (2x+1)2π

�

Proposición 1.2 Si f y g son funciones continuas en un punto x0 entonces también seráncontinuas en x0 las funciones: f +g, f −g, f ·g, f/g, f n y n

√f . Si g 6= 0 en f/g y f > 0 en n

√f

� Ejemplo 1.25 Sean f (x) = x2 y g(x) = x+2. Ambas funciones son continuas en el puntox0 = 3. Según la proposición (1.2) también serán continuas en x0 = 3 las funciones:

f +g = x2 + x+2 (1.10)

f −g = x2− x−2

f ·g = (x2)(x+2) = x3 +2x2

f/g =x2

x+2además de las funciones f n, n

√f

12 Introducción

�

R Las funciones f/g serán continuas en un x0 dado siempre que g(x0) 6= 0. n√

f será continuaen x0 siempre que f (x0)> 0.

� Ejemplo 1.26 Sean f (x) = x4 y g(x) = x−1 continuas en el punto x0 = 1, probar que f/gno es continua ahí.

fg=

x4

x−1(1.11)

⇒ fg(1) =

(1)4

1−1=

10

y ya sabemos que 1/0 no está definida por lo que f/g no es continua ahí. �

� Ejemplo 1.27 Sea f (x) = x continua en −2, probar que√

f no lo es. Se tiene√f (x) =

√x (1.12)

⇒√

f (x)(−2) =√−2

claramente√−2 nos lleva al conjunto de los números complejos y por lo tanto no es continua en

los reales. �

Ejercicio 1.8 ¿Es continua en x0 = 4 la función f (x) =√

3− x? �

Ejercicio 1.9 Si un avión tuviera una velocidad dada por

v(t) ={

700km/h [0,5]800km/h [5,10]

¿qué pasaría en la hora 5 de vuelo? �

1.4.1 Composición de funciones.Una operación especial con funciones es la composición, esta se realiza al tomar la imagen de

una primera función f como el dominio de una segunda función g. Sean f : A→ B y g : B→C,entonces la composición f ◦g : A→C está dada por

f ◦g = f (g(x)) (1.13)

� Ejemplo 1.28 La composición f ◦g de las funciones f (x) = 3x+1 y g(x) = 2x2 está dadapor

f ◦g = f (g(x)) = 3(2x2)+1 = 6x2 +1 (1.14)

�

� Ejemplo 1.29 Encontrar las composiciones f ◦ g y g ◦ f de las funciones f (x) = 5x− 2 yg(x) = 2x2 +3.

f (g(x)) = 5(2x2 +3)−2 = 10x2 +15−2 = 10x2 +13

g( f (x)) = 2(5x−2)2 +3 = 2(25x2−20x+4)+3

= 50x2−40x+8+3 = 50x2−40x+11

(1.15)


�

No solamente podemos componer dos funciones sino n cantidad de funciones:

f ◦g◦h◦ i = f (g(h(i(x)))) (1.16)

� Ejemplo 1.30 La composición de las funciones f (x) = 2x, g(x) = 3x+1 y h(x) = x−2 estádada por

f (g(h(x))) = 2(3(x−2)+1) = 2(3x−6+1) = 2(3x−5) = 6x−10 (1.17)

�

Proposición 1.3 — Continuidad de funciones compuestas. Si dos funciones f y g soncontinuas cada una en un punto dado x0, entonces su composición f (g(x)) y g( f (x)) tambiénserá continua en ese mismo punto siempre que para una función racional el denominador seadistinto de cero y para el caso n

√f se tenga f > 0.

� Ejemplo 1.31 f (x) = x2 y g(x) = 2x+ 1 son continuas en el punto x0 = 2 por lo que sucomposición f (g(x)) = (2x+ 1)2 = 4x2 + 4x+ 1 también es continua en x0 = 2 al igual queg( f (x)). �

� Ejemplo 1.32 f (x)= 1x−2 y g(x)= 2x son continuas en x0 = 1 pero su composición f (g(x))=

12x−2 no es continua en x0 = 1 ya que f (g(1)) = 1

0 lo cual no está definido. Por otro lado, lacomposición g( f (x)) = 2

x−2 si es continua en x0 = 1. �

Ejercicio 1.10 ¿Es continua en x0 = 0 la composición de las funciones y(x) = 3x+ 1 yy(x) = 4x−1? �

1.4.2 Traslación de funciones

Cuando tenemos una función cuya forma elemental se encuentra en un determinado puntodel plano cartesiano podemos trasladar esa gráfica a cualquier punto hacia arriba o abajo, haciala izquierda o derecha del punto original.

Definición 1.8 Para trasladar la función hacia arriba o hacia abajo debemos sumar o restaruna constante, α , respectivamente,

f → f (x)+α (1.18)

� Ejemplo 1.33 La gráfica de la función f (x) = x3 se muestra en la figura [1.4]. Si deseáramostrasladar esta función 3 unidades hacia arriba graficaríamos la función f (x) = x3 +3

como se muestra en la figura [1.5]. �

De la misma manera, para trasladar una función hacia abajo, 3 unidades solamente, restamosa la función.

Definición 1.9 Para trasladar una función a la derecha o izquierda de su punto originaldebemos restar o sumar una constante en el argumento de la función

f → f (x+α) (1.19)

14 Introducción

-2 -1 1 2

-5

5

Figura 1.4: Gráfica de la función f (x) = x3 en [−2,2].

-2 -1 1 2

-5

5

10

Figura 1.5: Gráfica de la función f (x) = x3 +3 en [−2,2].

-5 -4 -3 -2 -1

-5

5

10

15

20

25

Figura 1.6: Gráfica de la función f (x) = (x+3)3 en [−5,0].


f HxL = x3

f HxL = x2

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

6

8

Figura 1.7: Gráfica de f (x) = x3 y f (x) = x2 en [−2,2].

� Ejemplo 1.34 Si ahora trasladamos la funcion f (x) = x3, figura [1.4], tres unidades a laizquierda, debemos graficar la función f (x) = (x+3)3 como se muestra en la figura [1.6]. �

La traslación de funciones puede resultar muy útil a la hora de graficar funciones que parezcancomplicadas a primera vista, sin embargo, reconociendo la función elemental y sumando orestando a la función o al argumento las constantes necesarias podemos deducir la posición de lafunción en el plano cartesiano.

Otra operación sobre una función es el alargamiento o contracción. Si multiplicamos lafunción por un número decimal, esta se contraerá, y si la multiplicamos por un entero se alargará.

Ejercicio 1.11 Utilizando únicamente la traslación de funciones haga la gráfica de (x+1)2 = 4(y+2). �

1.4.3 Funciones pares e impares

Se dice que una función es par si cumple la condición f (−x) = f (x), y es impar si cumplela condición f (−x) =− f (x). Y estas son relaciones de reflexión que cumple la función dadaalrededor del origen del plano cartesiano.

� Ejemplo 1.35 La función f (x) = x2 es una función par ya que f (−x) = (−x)2 = x2 y lafunción f (x) = x3 es una función impar. �

Proposición 1.4 Una función par es simétrica respecto al eje Y y una función impar es simétricarespecto al origen.

� Ejemplo 1.36 La figura [1.7] muestra las gráficas de las funciones f (x) = x3 y f (x) = x2,impar y par respectivamente. �

Podemos deducir la paridad de cualquier función aún más complicada simplemente tomandoen cuenta las potencias pares e impares.

Proposición 1.5 Una potencia par deja el signo de la base positivo y una potencia impar lodeja negativo siempre.

� Ejemplo 1.37 Sea f (x) = 4x2 + 5x3 + 6x5. Para probar la paridad de la funcón anterior

16 Introducción

sustituimos por signos negativos y utilizamos la proposición (1.5)

f (−x) = 4(−x)2 +5(−x)3 +6(−x)5 (1.20)

⇒ f (−x) = 4x2−5x3−6x5

como vimos, los términos con potencias pares quedaron positivos y los términos con potenciasimpares quedaron negativos. Del resultado anterior vemos que la función no es par ni impar yaque la función no quedó igual que la original ni totalmente negativa. �

� Ejemplo 1.38 Sea f (x) =−4x2 +5x3 +6x5. Si sustituimos el signo negativo tenemos

f (−x) =−4(−x)2 +5(−x)3 +6(−x)5 (1.21)

⇒ f (−x) =−4x2−5x3−6x5

y la función quedó totalmente negativa, por lo que es una función impar ya que cumple conf (−x) =− f (x). �

� Ejemplo 1.39 Sea f (x) = 2x3+xx2+5 . Probar que es impar.

f (−x) =2(−x)3 +(−x)(−x)2 +5

(1.22)

⇒ f (−x) =−2x3− x

x2 +5=−2x3 + x

x2 +5

por lo que cumple con la condición f (−x) =− f (x). �

Ejercicio 1.12 La función f (x) = 4x3 + x, ¿qué simetría tiene? �

Ejercicio 1.13 Si la función y(t) = 12 gt2 representa el movimiento de un cuerpo, ¿qué nos

dice su simetría respecto a ese movimiento? �

Ejercicio 1.14 Si la velocidad de un automóvil está dada por v(t) = 3t +2, ¿qué nos dicela simetría acerca del movimiento? �

1.4.4 IntervalosHasta este punto hemos utilizado la notación [, ] para denotar el intervalo en el cual está el

dominio de una función. Los intervalos son un concepto muy importante para las funciones yaque nos dicen explícitamente el dominio y la imagen de una función.

Definición 1.10 — Intervalo cerrado. Los intervalos cerrados se denotan por medio delos corchetes [α,β ] y nos dicen que podemos tomar todos los valores entre α y β incluidoslos dos extremos lo cual también podemos expresar mediante α ≤ x ≤ β , que se lee: alfamenor o igual a x menor o igual a beta.

Definición 1.11 — Intervalo abierto. Los intervalos abiertos se denotan por medio de losparéntesis (α,β ) y nos dicen que solamente podemos tomar los valores entre α y β , nadamás,lo cual también podemos expresar mediante α < x < β , que se lee: alfa menor a x menor abeta.

1.5 Problemas 17

Definición 1.12 — Intervalos semicerrados y semiabiertos. Los intervalos semicerra-dos [α,β ), α ≤ x < β , y, semiabiertos (α,β ], α < x≤ β son combinaciones de los cerradosy abiertos y nos dicen que podemos tomar el primer extremo pero no el segundo y viceversa.

� Ejemplo 1.40 El intervalo cerrado [1,2] nos dice que podemos tomar todos los valores desdeel 1 hasta el 2. El intervalo abierto (2,3) nos dice que podemos tomar todos los valores entre 2 y3 excepto ellos mismos. �

� Ejemplo 1.41 Si nos dicen que la función f (x) = 3x+1 tiene dominio [2,5] esto significaque está definida únicamente en el intervalo 2≤ x≤ 5. �

� Ejemplo 1.42 Si nos dicen que la función f (x) = x2 tiene dominio [0,3) esto significa queestá definida a partir del 0 y hasta el 3, sin tomar este último. �

1.5 Problemas

Problema 1.1 Verifica si la función f (x) = 3x2 +1 es inyectiva y sobre.

Problema 1.2 Verifica si la función f (x) = xx+3 es inyectiva y sobre.

Problema 1.3 Verifica si la función f (x) =√

2x2−5 es inyectiva y sobre.

Problema 1.4 Prueba que la función f (x) = 2x2 + x−1 no es inyectiva.

Problema 1.5 Prueba que la función f (n) = n+π no es sobre en los naturales.

Problema 1.6 Prueba que la función f (n) = 1n es sobre en los racionales.

Problema 1.7 Haz la composición de las funciones f (x) = x4 +1 y g(x) = x−1.

Problema 1.8 Haz la composición de las funciones f (x) = 2x2− x y g(x) = x+2.

Problema 1.9 — Función identidad. Sea la función V (T ) = NkTp , haz la composición con la

función identidad P(T ) = p.

Problema 1.10 — Función constante. Supongamos que F(0) = 1 y F(t) = mt2−1 , haz la com-

posición con la función constante a(t) = 0. ¿Cuál es el valor de m?, ¿es continua la composiciónen 0?

Problema 1.11 ¿Es continua la función f (x) = x2+2x+1x+1 en x0 =−1?

Problema 1.12 Las funciones f (x) = 1x y g(x) = x2−1

x no son continuas en el punto x0 = 0.¿La función f +g tampoco es continua en x0 = 0?

Problema 1.13 Restringe el dominio de la función f (x) =√

3x2−6 de tal forma que seainyectiva y sobre, y obtén su inversa.

Problema 1.14 Restringe el dominio de la función f (x) = x2+3x−2 de tal forma que sea inyectiva

y sobre, y obtén su inversa.

Problema 1.15 Haz la composición de las funciones f (x) = 4x2 y g(x) =√

x3−4 y obtén suinversa. ¿Cuáles son las discontinuidades de g?

Problema 1.16 ¿Cuál es la paridad de la función f (x) = 3x2+12x ?

Problema 1.17 ¿Cuál es la paridad de la función f (x) = 2x3+3x4x2+5 ?

18 Introducción

Problema 1.18 La fuerza aplicada, en Newtons, sobre un cuerpo en reposo está dada porF(x) = 3x4+5

x2+4 , ¿qué significado tiene la simetría de la función para la fuerza aplicada?, ¿existealguna discontinuidad?

Problema 1.19 Si la fuerza sobre un cuerpo está dada por la función F(x) = 2x2+x−3, ¿cuáles su paridad?, ¿cuál es el significado de la simetría en este caso?

Problema 1.20 Verifica si f (x) = 3x3 + x− 1 es inyectiva y sobre, también encuentra suparidad y haz la composición con la función g(x) = 1

x2 , ¿hay alguna discontinuidad en la funcióncompuesta?

Funciones polinomialesContinuidad y polinomios

Números complejosSoluciones de polinomios

Método de CardanoAsíntotas de funcionesProblemas

2 — Polinomios

Los polinomios son arreglos de términos algebraicos en potencias crecientes o decrecientesde una variable dada. El tema de los polinomios es infinito y sus aplicaciones a la ciencia tambiénson enormes. En este apartado abordaremos la parte referente a las funciones polinomiales suspropiedades y soluciones.

2.1 Funciones polinomialesDefinición 2.1 La forma general de un polinomio está dada por

a0x0 +a1x1 +a2x2+. . .+anxn (2.1)

donde ai son coeficientes numéricos.

� Ejemplo 2.1 En el polinomio de segundo grado 2x2 +3x−2 los coeficientes son: a0 =−2,a1 = 3 y a2 = 2. �

Podemos escribir un polinomio como una función si definimos un dominio y una imagenpara él.

� Ejemplo 2.2 El polinomio x3 +2x2 +3x+4 puede reescribirse como una función f : A→ Bsi lo restringimos a un dominio A: f (x) = x3 +2x2 +3x+4. �

Evidentemente podemos escribir cualquier polinomio como una función aún sin definir undominio previamente. Estas funciones polinomiales pueden tomar todos los valores disponiblesen sus dominios y cuando los evaluamos en ellos obtenemos la imagen y por lo tanto la gráficacorrespondiente.

� Ejemplo 2.3 Graficar la función polinomial f (x) = x3 +5x2− x+3 en [−2,2].La gráfica se muestra en la figura [2.1]. �

Los polinomios tienen propiedades muy útiles como el siguiente teorema.

Teorema 2.1 — Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio de grado n tiene nraíces o soluciones reales o complejas.

20 Polinomios

-2 -1 1 2

5

10

15

20

25

Figura 2.1: Gráfica de f (x) = x3 +5x2− x+3 en [−2,2].

Esto significa que dado n valores xi para la variable x entonces toda función polinomial

f (xi) = a0x0i +. . .+anxn

i = 0 (2.2)

será igual a cero.

� Ejemplo 2.4 La función polinomial f (x) = x2 +3x+2 es cero cuando tenemos los valoresx1 =−2 y x2 =−1. Para verlo, simplemente sustituimos estos valores en la función

f (−2) = (−2)2 +3(−2)+2 = 4−6+2 = 0

f (−1) = (−1)2 +3(−1)+2 = 1−3+2 = 0

(2.3)

Si graficamos la función polinomial, figura [2.2], notamos que la curva intersecta al eje X enlos puntos x =−2 y x =−1. En general, si tenemos soluciones reales para nuestros polinomios

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 2.2: Gráfica de f (x) = x2 +3x+2 en [−3,0].

entonces la curva correspondiente intersectará al eje X . �

En las funciones polinomiales las más utilizadas son las lineales y las cuadráticas cuyasgráficas son rectas y parábolas respectivamente. Las funciones lineales son de la forma f (x) =ax+b y las cuadráticas de la forma f (x) = ax2 +bx+ c. De las primeras podemos obtener su

2.1 Funciones polinomiales 21

pendiente a partir del coeficiente a y su intersección con el eje Y a partir del término b. De lassegundas también podemos tener información sin graficar. Si recordamos la geometría analíticaveremos que (x− h)2 = 4p(y− h) y (y− k)2 = 4p(x− h) son las ecuaciones ordinarias de laparábola con vértice V : (h,k), foco F : (h,k± p) o F : (h± p,k) respectivamente. La concavidad(hacia dónde abre la parábola, positiva hacia arriba y negativa hacia abajo) será positiva si eltérmino 4p lo es y negativa si 4p es negativo.

� Ejemplo 2.5 La función f (x) = x2 + 3x + 2, figura [2.2], podemos escribirla en la for-ma y = x2 + 3x + 2 y completando cuadrados obtenemos (x + 3/2)2 = y + 1/4, de dondeV : (−3/2,−1/4), F : (−3/2,−1/4+1/4)= (−3/2,0) y concavidad positiva ya que 4p= 1> 0.�

2.1.1 Continuidad y polinomiosEn el capítulo anterior estudiamos la continuidad de una función en un punto dado. Los

polinomios también son funciones y por lo tanto su continuidad en un punto tiene la misma im-portancia. En general, la continuidad en una función polinomial es una proposición generalizadamás sencilla.

Proposición 2.1 — Continuidad de un polinomio. Todo polinomio es continuo en cualquierpunto x0 de su dominio. El cociente de polinomios también es continuo en cualquier punto x0 talque el denominador es distinto de cero.

� Ejemplo 2.6 Probar la continuidad de f (x) = x2 +5x+6 en x0 = 2. f (2) = 20, usando δ yε , tenemos

|x−2|< δ ⇒ |x2 +5x+6−20|< ε (2.4)

⇒ |x2 +5x−14|= |x−2||x+7|< ε

ya que podemos hacer |x−2|< 1

⇒ |x+7|= |x−2+9| ≤ |x−2|+ |9|< 1+9 = 10

por lo queδ = ε/10

⇒ |x−2||x+7|< 10 · ε/10 = ε

esto significa que si tomamos un número δ cerca de 2 entonces la función nos devolverá unnúmero ε/10 cerca de 20, es decir, no importa cuanto nos acerquemos a x0 ya que f (x) siemprenos devolverá un número cerca de f (x0) por continuidad. �

� Ejemplo 2.7 El polinomio x4 +3x3 +5x2 + x−3 es continuo en cualquier dominio que leasignemos. �

� Ejemplo 2.8 La función f (x) = x2+3x−1x+1 está compuesta por dos polinomios que por sí solos

son continuos en cualquier dominio, sin embargo, la función racional no es continua en el puntox0 =−1. �

Ejercicio 2.1 Probar con δ y ε que el polinomio f (x) = x2 +3x+2 es continuo en x0 = 1.�

Ejercicio 2.2 Probar con δ y ε que el polinomio f (x) = x2−2x+1 es continuo en x0 = 3.�

R Recuerda que la composición de funciones continuas es continua con excepción de lasfunciones racionales y las raíces pares.

22 Polinomios

2.2 Números complejos

El conjunto de los números complejos contiene al conjunto de los números reales y a partirde este punto los necesitaremos para expresar las soluciones complejas de los polinomios comose menciona en el teorema fundamental del álgebra.

Definición 2.2 Todo número complejo z está compuesto por una parte real y una complejaen la forma

z = a+ ib (2.5)

donde a,b son números reales e i =√−1 es el número con el que identificamos la parte

compleja. Cuando tenemos i2 esto es igual a −1.

Las operaciones básicas son las mismas que para los números reales a excepción de queahora la parte real solo se puede sumar o restar con la parte real y lo mismo con la parte compleja.

� Ejemplo 2.9 Hacer las cuatro operaciones básicas con los números complejos: 2+3i y 3−4i.

suma (2+3i)+(3−4i) = 5− iresta (2+3i)− (3−4i) =−1+7iproducto (2+3i)(3−4i)

= 6−8i+9i−12i2 = 6+ i−12(−1) = 18+ idivisión 2+3i

3−4i

�

Frecuentemente aparecen raíces cuadradas de números negativos en las soluciones de lospolinomios como

√−8 o

√−3, para trabajar con ellas simplemente escribiremos una i antes de

la raíz cuadrada y le quitaremos el signo negativo al número dentro de la raíz:√−8 = i

√8 o√

−3 = i√

3.

2.3 Soluciones de polinomios

Las raíces de los polinomios de primer grado o funciones lineales se encuentran de manerasencilla simplemente igualando a cero y despejando la variable.

� Ejemplo 2.10 La función lineal f (x) = 4x− 2 la podemos escribir como 0 = 4x− 2 ydespejando x tenemos que x = 2/4. Si sustituimos este valor en la función original obtendremosla igualdad a cero. �

Las raíces de los polinomios de segundo grado o funciones cuadráticas se pueden obtener devarias formas pero es más útil mediante

x1,2 =−b±

√b2−4ac

2a(2.6)

donde a, b y c corresponden a los coeficientes del polinomio de segundo grado ax2 +bx+2 = 0.

� Ejemplo 2.11 Encontrar las soluciones del polinomio 3x2 +4x−2 = 0. En este caso a = 3,

2.3 Soluciones de polinomios 23

b = 4 y c =−2, sustituyendo en (2.6), tenemos

x1,2 =−4±

√42−4(3)(−2)2(3)

=−4±

√16+24

6

=−4±

√40

6x1 = −1.72

x2 = 0.38

(2.7)

�

� Ejemplo 2.12 Encontrar las soluciones de x2+2x+5 = 0. Los coeficientes son: a = 1, b = 2y c = 5, por lo que de la ecuación (2.6), tenemos

x1,2 =−2±

√4−4(1)(5)2

(2.8)

=−2±

√4−20

2

=−2±

√−16

2

=−2± i

√16

2

=−2± i4

2

x1 =−2+4i

2

x2 =−2−4i

2

�

2.3.1 Método de Cardano

Las soluciones para un polinomio de tercer grado se obtienen mediante el método de Cardano.Este es más complicado y utiliza variables que llamaremos auxiliares y soluciones preliminares.

Se tiene el polinomio cúbico

ax3 +bx2 + cx+d = 0 (2.9)

donde a, b, c y d son coeficientes numéricos. Comenzamos por definir dos variables auxiliares py q

p = c− b2

3q =

127

[27d−9bc+2b3] (2.10)

ahora definimos el discriminante D

D =( p

3

)3+(q

2

)2(2.11)

24 Polinomios

y otras dos variables auxiliares

A = 3

√−q

2+√

D B = 3

√−q

2−√

D (2.12)

Si D = 0 o D > 0 y p,q 6= 0 entonces tendremos las soluciones preliminares y1, y2 y y3 dadaspor

y1 = A+B

y2 = −12(A+B)− i

√3

2(A−B)

y3 = −12(A+B)− i

√3

2(A−B)

(2.13)

y si D < 0 y p < 0 se tienen las soluciones preliminares y1, y2 y y3 dadas por

yk =±2√− p

3cos(

φ +2(k−1)π3

)k = 1,2,3 (2.14)

donde φ se obtiene de

φ = cos−1

(√−27q2

4p3

)(2.15)

En la ecuación (2.14), del signo ± se usará + cuando q≤ 0 y − cuando q > 0. El resultado alcalcular φ en la ecuación (2.15) estará dado en radianes.

Las soluciones finales x1, x2 y x3 en ambos casos están dadas por

x1 = y1−b3

x2 = y2−b3

x3 = y3−b3

(2.16)

� Ejemplo 2.13 Resolvamos el polinomio 3x3 +6x2 +12x+3 = 0. Antes de aplicar el métodode Cardano siempre es preferible normalizar el coeficiente del término cúbico del polinomiodado, por lo que dividiendo entre 3 tenemos x3 +2x2 +4x+1 = 0. Los coeficientes ahora tienenlos valores a = 1, b = 2, c = 4 y d = 1, calculemos p

p = 4− 22

3= 4− 4

3=

83

(2.17)

ahora q

q =127

[27(1)−9(2)(4)+2(23)] =1

27[27−72+16] =−29

27(2.18)

y D

D =

(8/33

)3

+

(−29/27

2

)2

=107108

(2.19)

2.3 Soluciones de polinomios 25

por lo que D > 0 y p,q 6= 0 y las ecuaciones (2.13) son las que necesitamos. Calculemos A y B

A =3

√−−29/27

2+√

107/108 = 1.1528 (2.20)

y

B =3

√−−29/27

2−√

107/108 =−0.771 (2.21)

ya podemos escribir las soluciones preliminares

y1 = 1.1528+(−0.771) = 0.3818

y2 = −12(0.3818)+ i

√3

2(1.1528− (−0.771)) =−0.1909+1.666i

y3 = −12(0.3818)− i

√3

2(1.1528− (−0.771)) =−0.1909−1.666i

(2.22)

y las soluciones finales dadas por la ecuaciones (2.16)

x1 = 0.3818− 23=−0.2847

x2 = −0.1909+1.666i− 23=−0.8576+1.666i

x3 = −0.1909−1.666i− 23=−0.8576−1.666i

(2.23)

�

� Ejemplo 2.14 Resolvamos el polinomio x3 +5x2 +3x−4 = 0. Los coeficientes son a = 1,b = 5, c = 2 y d =−4. Calculemos p

p = 2− 52

3=−16

3(2.24)

ahora q

q =127

[27(−4)−9(5)(2)+2(5)3] =727

(2.25)

y D

D =

(−16/3

3

)3

+

(7/27

2

)2

=−5.60185 (2.26)

tenemos que D< 0 por lo que nuestras soluciones preliminares son las ecuaciones (2.14). Primerocalculamos φ de la ecuación (2.15)

φ = cos−1

(√− 27(7/27)2

4(−16/3)3

)= 1.5160 radianes (2.27)

26 Polinomios

x1 = -4

x2 = 0.6180

x3 = -1.6180

-4 -3 -2 -1 1 2

-5

5

10

15

Figura 2.3: Gráfica de la función f (x) = x3 +5x2 +3x−4 en [−4.5,2].

Como q > 0 entonces usaremos el signo − en (2.14). Ahora podemos obtener las solucionespreliminares

y1 = −2

√−16/3

3cos(

1.5160+2(1−1)π3

)=−2.3333

y2 = −2

√−16/3

3cos(

1.5160+2(2−1)π3

)= 2.2847

y3 = −2

√−16/3

3cos(

1.5160+2(3−1)π3

)= 0.0486327

(2.28)

y las soluciones finales son

x1 = −6.2216− 53=−4

x2 = 2.2847− 53= 0.618033

x3 = 0.0486327− 53=−1.61803

(2.29)

Podemos ver en la figura [2.3] cómo la gráfica de f (x) = x3 +5x2 +3x−4 intersecta al eje X enlos tres puntos solución. �

2.4 Asíntotas de funcionesLas asíntotas son rectas horizontales, verticales u oblicuas a las cuales se acerca la gráfica de

una función cuando tiende a valores muy grandes de su dominio como se muestra en la figura[2.4]. Las asíntotas son una herramienta útil cuando deseamos tener una idea aproximada de laforma de la gráfica de una función racional.

Si analizamos el dominio de definición de la función f (x) = 3x+12x−1 encontraremos que es

válida en todo el conjunto de los números reales a excepción del punto donde el denomidorse hace cero ya que no podemos dividir entre cero. Para encontrar el valor de x para el cual eldenominador es cero procedemos como sigue

2x−1 = 0⇒ x =12

(2.30)

2.4 Asíntotas de funciones 27

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

- 4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3

4

5

Figura 2.4: Gráfica de la función f (x) = 3x+12x−1 en [−4,4].

por lo que en x = 1/2 el denominador se hace cero y ese sería el único valor del dominio en dondela función no está definida y el cual coincide con la asíntota vertical. Así que el procedimientopara obtener los puntos no válidos del dominio también nos sirve para obtener la asíntota vertical.Para obtener la asíntota horizontal necesitamos dividir cada término de la función entre la variablecon el exponente más alto, ya que en f (x) = 3x+1

2x−1 la variable con el exponente más alto es x,tenemos

A. H.=3xx + 1

x2xx −

1x

=3+02−0

=32

(2.31)

donde cada término con un número en el numerador y una variable en el denominador sevuelve cero cuando x toma valores muy grandes, por lo que la asíntota horizontal es x = 3/2como podemos verificarlos en la figura [2.4].

Sea la función f (x) = x2+4x−1x+2 , para obtener sus asíntotas primero dividimos

f (x) =x2 +4x−1

x+2= x+2− 5

x+2(2.32)

el término x+ 2 es nuestra asíntota oblicua y − 5x+2 es el residuo de la división. La asíntota

vertical la obtenemos igualando a cero el denomidor x+2 = 0 por lo que x =−2. Para graficar laasíntota oblicua la tomamos como una función f (x) = x+2 como se muestra en la figura [2.5]

Cuando tenemos funciones racionales donde el numerador es un polinomio de cualquier gradoy el denominador es un polinomio cuadrático con raíces reales podemos tener una gran variedadde gráficas aunque siempre tendremos dos asíntotas verticales por lo que no es conveniente hacerun estudio de todas las variaciones posibles.

Ejercicio 2.3 Encuentra las asíntotas de f (x) = 6x−33x+4 . �

Ejercicio 2.4 Encuentra las asíntotas de f (x) = x2+4x−5x+1 . �

Ejercicio 2.5 Si el movimiento de un cuerpo estuviera dado por f (x) = x2+3x−2x+4 ,¿a qué

cuerpo en la naturaleza podría corresponder? �

28 Polinomios

Asíntota vertical

Asíntota oblicua

-5 - 4 -3 -2 -1 1

-5

5

Figura 2.5: Gráfica de la función f (x) = x2+4x−1x+2 en [−5,1].

2.5 ProblemasProblema 2.1 Encuentra la solución de 5x+2 = 0

Problema 2.2 Encuentra la solución de 8x+ 14 = 0.

Problema 2.3 Encuentra las soluciones de x2 +8x−3 = 0.

Problema 2.4 Encuentra las soluciones de 3x2 +5x−4 = 0.

Problema 2.5 Encuentra las soluciones de 2x2 +6x+4 = 0.

Problema 2.6 Encuentra las soluciones de 4x2−4x+8 = 0.

Problema 2.7 Encuentra las soluciones de x3 +4x2−2x+1 = 0.

Problema 2.8 Encuentra las soluciones de x3 +2x2−5x+3 = 0.

Problema 2.9 Encuentra las soluciones de x3−3x2 + x+4 = 0.

Problema 2.10 El polinomio f (x) = x5−2x+1 ¿es continuo en x0 =−1?

Problema 2.11 Prueba que f (x) = x2−4x+3x−3 es continua en x0 = 3.

Problema 2.12 Prueba que f (x) = x2−4x+2 es continua en x0 =−2.

Problema 2.13 Prueba que f (x) = x+2x2+5x+6 es continua en x0 =−2.

Problema 2.14 Prueba, usando δ y ε , que f (x) = 3x2 +2x+1 es continua en x0 = 1.

Problema 2.15 Prueba, usando δ y ε , que f (x) = 3x−1 es continua en x0 = 2.

Problema 2.16 Traza las asíntotas de la función f (x) = 2x+13x−4 .

Problema 2.17 Traza las asíntotas de la función f (x) = 3x2+5x−32x−3 .

Problema 2.18 Supongamos que f (x) = x−64x+2 nos da la fuerza aplicada f sobre un cuerpo en

una distancia x, ¿qué magnitud física será representada por el área bajo las curvas de la función?

Funciones exponencial y logarítmicaProblemas

3 — Funciones exponenciales

3.1 Funciones exponencial y logarítmica

La función exponencial f (x) = ex, base e1 = 2.71, es de gran utilidad en todas las ramasde la ciencia donde se modelan crecimientos y decaimientos de procesos como poblaciones,movimiento oscilatorio mecánico y electromagnético, densidades de probabilidad, radiaciónatómica, etc. El dominio de esta función son los reales y su imagen crece desde −∞, con el eje Xcomo asíntota, hasta ∞ como se muestra en la figura [3.1].

-4 -2 2 4

10

20

30

40

50

60

Figura 3.1: Gráfica de la función f (x) = ex en [−5,5].

Podemos observar que la función exponencial es inyectiva y sobreyectiva por lo que esbiunívoca y por lo tanto tiene una inversa llamada logaritmo natural: f (x) = lnx. La gráfica dellogaritmo natural se muestra en la figura [3.2]. Como vemos de su función, el logaritmo naturalcrece desde x = 0, su asíntota, hasta ∞. Las operaciones algebraicas con f (x) = ex siguen lasmismas reglas del álgebra.

30 Funciones exponenciales

-4 -2 2 4

-2

-1

1

Figura 3.2: Gráfica de la función f (x) = lnx en [−5,5].

� Ejemplo 3.1 Hacer las cuatro operaciones básicas con f (x) = ex

suma ex + ex = 2ex

resta ex− ex = 0producto ex ∗ ex = e2x

división ex

ex = 1

�

Además de las operaciones algebraicas ordinarias, la función logaritmo natural también tienepropiedades especiales en cuanto a la suma, resta y potenciación de su argumento.

Definición 3.1 — Propiedades de los logaritmos.

ln(x · y) = ln(x)+ ln(y)

ln(

xy

)= ln(x)− ln(y)

ln(xn) = nln(x)

ln n√

x =1n

ln(x)

(3.1)

R La suma de dos o más logaritmos es el logaritmo del producto de sus argumentos y la restade dos o más logaritmos es el logaritmo de la división de los argumentos.

� Ejemplo 3.2

ln5x2 + ln3x+ ln2x3− lnx2− ln4x3 = ln(5x2 ·3x ·2x3)− ln(x2 ·4x3)

= ln(30x6)− ln(4x5)

= ln(

30x6

4x5

)= ln

(30x4

)(3.2)

�

3.1 Funciones exponencial y logarítmica 31

� Ejemplo 3.3

ln27x3 = ln(3x)3

= 3 ln(3x)

(3.3)

�

� Ejemplo 3.4

ln 3√

4x2 = ln( 3√

(2x)2)

= ln(2x)2/3

=23

ln(2x)

(3.4)

�

Las mismas reglas que hemos visto se siguen para logaritmos con cualquier base distinta ae1 = 2.71. El significado práctico de la función logaritmo es que es el número al cual elevamosla base para obtener un resultado

ln6 = 1.7917⇒ e1.7917 = 6 (3.5)

De esta forma podemos resolver ecuaciones con logaritmos y exponenciales.

� Ejemplo 3.5 Resolver la ecuación ex−5 = 1.

ex−5 = 1 ⇒ ex = 6

y aplicando su inversa en ambos lados

ln(ex) = ln(6) ⇒ x = 1.7917

(3.6)

�

R Recordemos que la composición de una función con su inversa es el argumento de lasfunciones

f ( f−1(x)) = f−1( f (x)) = x (3.7)

� Ejemplo 3.6 Resolver la ecuación ln(x2)−3 = 4.

ln(x2)−3 = 4 ⇒ ln(x2) = 7

aplicando su inversa

elnx2= e7 ⇒ x2 = e7

x =√

e7 ⇒ x = 33.1154

(3.8)

�

R Recordemos que no existe el logaritmo de un número negativo en cualquier base y queLog(1) = 0, también en cualquier base.

32 Funciones exponenciales

� Ejemplo 3.7 Utilicemos otra base para resolver la ecuación logarítmica Log10(3x) = 8.

Log10(3x) = 8 ⇒ 10Log10(3x) = 108

3x = 108 ⇒ x =108

3(3.9)

Como vimos en este ejemplo, f (x) = 10x es la inversa de f (x) = Log10x. �

3.2 ProblemasProblema 3.1 ¿Es continua la función f (x) = ex en los reales?

Problema 3.2 Prueba que la función f (x) = 3ex es continua en x0 = 1.

Problema 3.3 ¿La función f (x) = ln(x) es continua en los reales?

Problema 3.4 Prueba que f (x) = 5ln(2x) es continua en x0 = 2.

Problema 3.5 Resuelve la ecuación 3ex−3 = 0.

Problema 3.6 Resuelve la ecuación 23 ex− 1

2 = 0

Problema 3.7 Resuelve la ecuación ln(3x)+5 = 0

Problema 3.8 Resuelve la ecuación ln(2x)+ ln(x)+ ln(6x2)− ln(4x3) = 8.

Problema 3.9 Resuelve la ecuación ln(x)+ ln(4x3)+ ln(5x) = 4.

Problema 3.10 Resuelve la ecuación ln(10x)+ ln(12x) = 2.

Problema 3.11 Resuelve la ecuación ln(8x)− ln(2x) = 10.

Problema 3.12 Resuelve la ecuación Log4(2x)−5 = 0.

Problema 3.13 Resuelve la ecuación Log8(3x)−10 = 0.

Problema 3.14 Resuelve la ecuación Log3(x)+Log3(4x)−Log3(8x) = 5.

Problema 3.15 Resuelve la ecuación Log6(4x2)+Log6(5x)−Log6(2x) = 3.

Funciones seno y cosenoOtras funciones trigonométricas

Paridad trigonométricaEcuaciones trigonométricasProblemas

4 — Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas, al igual que las funciones algebraicas, tienen una importanciailimitada en todas las áreas. Como funciones que tienen un comportamiento periódico su principalutilidad es en los fenómenos cuyo comportamiento tiene tendencia cíclica como el movimientocircular o ondulatorio. Las distintas variaciones del movimiento periódico se analizan con lasfunciones trigonométricas asi como con todas sus operaciones algebraicas.

4.1 Funciones seno y coseno

Seno y coseno de un ángulo son funciones trigonométricas que se definen como la razónentre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el cateto adyacente y la hipotenusa, respectivamente,de un triángulo rectángulo. Al trabajar con las funciones trigonométricas se acostumbra utilizarcomo argumento la letra griega teta θ en lugar de la tradicional x

f (θ) = senθ f (θ) = cosθ (4.1)

en la figura [4.1] se muestran sus gráficas.

cos Θ sen Θ

-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Figura 4.1: Gráfica de las funciones f (θ) = cosθ y f (θ) = senθ en [−2π,2π].

34 Funciones Trigonométricas

f HxL = cos-1 x

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Figura 4.2: Gráfica de f (θ) = cos−1θ en [−π,π].

Estas funciones son periódicas, es decir que cada determinado intervalo se repite su forma.De sus gráficas podemos ver que no son inyectivas aunque si son sobreyectivas. Si deseáramosque fueran inyectivas tendríamos que restringir sus dominios, por ejemplo a f (θ) = cosθ lapodemos restringir a [0,π] tal que en ese intervalo es inyectiva y sobreyectiva por lo que podemosencontrar su inversa que en este caso es

f (θ) = cos−1θ (4.2)

su gráfica se muestra en la figura [4.2] De la misma manera, la función senθ también tiene suinversa sen−1θ al igual que las demás funciones trigonométricas.

4.2 Otras funciones trigonométricasAdemas de senθ y cosθ también tenemos

Tangente tanθ =senθ

cosθ(4.3)

Secante secθ =1

cosθ

Cosecante cscθ =1

senθ

Cotangente cotθ =1

tanθ=

cosθ

senθ

R Recuerda que para las funciones trigonométricas es preferible utilizar los radianes comounidad angular.

4.2.1 Paridad trigonométricaYa habíamos abordado la paridad en las funciones algebraicas, ahora lo haremos en las

trigonométricas.

Definición 4.1 La función cosθ es par ya que cos(−θ) = cos(θ).

4.2 Otras funciones trigonométricas 35

Definición 4.2 La función senθ es impar ya que sen(−θ) =−sen(θ).

� Ejemplo 4.1 Encontrar la paridad de la función f (θ) = senθcosθ . Para conocer la paridadsimplemente sustituimos los signos negativos en los argumentos de las funciones y simplificamos

f (−θ) = sen(−θ)cos(−θ) =−senθcosθ (4.4)

por lo que se cumple la condición impar f (−x) =− f (x). �

� Ejemplo 4.2 Encontrar la paridad de la función f (θ) = tanθ .

f (−θ) = tan(−θ) (4.5)

=sen(−θ)

cos(−θ)

=−senθ

cosθ

=−senθ

cosθ=−tanθ

por lo que se cumple la condición impar f (−x) =− f (x). �

También podemos comprobar la paridad de una función compuesta por partes algebraicas ytrigonométricas

� Ejemplo 4.3 Encontrar la paridad de f (x) = xtanxx2cosx .

f (−x) =(−x)tan(−x)(−x)2cos(−x)

(4.6)

=−x(−tanx)

x2cosx

=xtanxx2cosx

por lo que se cumple la condición par f (−x) = f (x). �

� Ejemplo 4.4 Encontrar la paridad de f (x) = x3cosxtanx

f (−x) = (−x)3cos(−x)tan(−x) (4.7)

=−x3cosx(−tanx)

= x3cosxtanx

y tenemos una función par. �

� Ejemplo 4.5 Encontrar la paridad de f (x) = x2tanx+senxxcos3xsen5x

f (−x) =(−x)2tan(−x)+ sen(−x)(−x)cos(−3x)sen(−5x)

(4.8)

=−x2tanx− senx

xcos3xsen5x

=−(x2tanx+ senx)

xcos3xsen5x

=−x2tanx+ senxxcos3xsen5x

y tenemos una función impar. �

36 Funciones Trigonométricas

4.3 Ecuaciones trigonométricasCon las funciones trigonométricas podemos formar ecuaciones que resolveremos con los

métodos tradicionales para polinomios más un paso final al aplicar una función inversa paraconocer el argumento o solución.

� Ejemplo 4.6 Resolver la ecuación 3senx− 12 = 0.

3senx− 12= 0⇒ 3senx =

12

(4.9)

⇒ senx =13

12=

16

⇒ sen−1(senx) = sen−1(

16

)⇒ x = sen−1

(16

)tenemos la opción de calcular sen−1

(16

)o dejarlo así. �

� Ejemplo 4.7 Resolver tan(3x2)− 25 = 0.

tan(3x2)− 25= 0⇒ tan(3x2) =

25

(4.10)

⇒ tan−1(tan(3x2)) = tan−1(

25

)⇒ 3x2 = tan−1

(25

)⇒ x2 =

13

tan−1(

25

)⇒ x =

√13

tan−1

(25

)�

Para resolver una ecuación trigonométrica con términos cuadrados utilizamos la fórmula(2.6)

� Ejemplo 4.8 Resolver 2cos2θ +3cosθ −1 = 0. Tenemos que a = 2, b = 3 y c =−1 por loque

x1,2 =−3±

√32−4(2)(−1)2(2)

(4.11)

=−3±

√9+8

4

=−3±

√17

4

=−3±4.12

4

x1 =−3+4.12

4=

1.124

x2 =−3−4.12

4=−7.12

4

4.4 Problemas 37

ahora igualamos x1 y x2 a cosθ

cosθ1 =1.12

4(4.12)

cosθ2 =−7.12

4aplicando la inversa

θ1 = cos−1(

1.124

)θ2 = cos−1

(−7.12

4

)de donde tenemos las dos soluciones. �

Resolver una ecuación de tercer grado también es posible con el método de Cardano.

4.4 ProblemasProblema 4.1 Encuentra la paridad de la función f (x) =−cos2xtan3x.

Problema 4.2 Encuentra la paridad de la función f (x) = x4cos4x.

Problema 4.3 Encuentra la paridad de la función f (x) = 5cos2xtan4xx2cos5x .

Problema 4.4 Encuentra la paridad de la función f (x) = cosx+cos3xx2tanx .

Problema 4.5 Encuentra la paridad de la función f (x) = x3+xsenxcos2x .

Problema 4.6 Encuentra la paridad de la función f (x) = 5x2cos6xsenxx3tan3x .

Problema 4.7 Resuelve la ecuación 3sen5x− 27 = 0.

Problema 4.8 Resuelve la ecuación 2tan3x− 38 = 0.

Problema 4.9 Resuelve la ecuación 4sec2x−2 = 0.

Problema 4.10 Resuelve la ecuación 3cos2x+4cosx−2 = 0.

Problema 4.11 Resuelve la ecuación tan2x+4tanx−3 = 0.

Problema 4.12 Resuelve la ecuación 7tan2x+2tanx−1 = 0.

Bibliografía

LibrosTeoría de Conjuntos, Lipschutz Seymour. Ed. McGraw Hill, México. 1966.

ArtículosNotas de Geometría Analítica, Cisneros Pérez Tzihué. Ed CiPé. Morelia, México. 2012.

Índice alfabético

Biyectiva, 8

Continuidad, 9Continuidad de funciones compuestas, 13Continuidad puntual, 10Continuidad y polinomios, 21

Ecuación de segundo grado, 22Ecuaciones trigonométricas, 36

Función, 5Función constante, 17Función identidad, 17

Intervalo abierto, 16Intervalo cerrado, 16Inversa, 8Inyectiva, 7

Método de Cardano, 23

Números complejos, 22

Paridad de funciones, 15Paridad trigonométrica, 34Polinomio, 19Propiedades de los logaritmos, 30

Relación, 5

Sobreyectiva, 7

Teorema fundamental del álgebra, 19Traslación de funciones, 13

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