MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik...
Transcript of MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik...
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10)Bab 7: Teknik Pengintegralan
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Do maths and you see the world”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Integral atau Anti-turunan?
Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting)dalam matematika disamping derivatif atau turunan.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Perhatikan:y = f (x) = x2,
yang memiliki turunan
y ′ = f ′(x) =d
dxf (x) = 2 x .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Sekarang, jika diketahui
f ′(x) = 2 x ,
maka f (x) = x2 adalah “salah satu” anti-turunan yang sesuai.Secara umum, sering kita tuliskan
f (x) = x2 + C ,
dimana C konstanta.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Contoh diatas memberikan informasi bagi kita bahwa anti-turunanbersifat “tidak tunggal” dan karenanya “lebih sulit” daripadaturunan.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan
df (x) = f ′(x) dx .
Atau, ∫df (x) = f (x) + C =
∫f ′(x) dx .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Menentukan anti-turunan
Bagaimana kita dapat menyelesaikan atau menentukan suatuanti-turunan?
Gunakan “keterampilan teknis”
Manfaatkan “aturan dasar”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
(Beberapa) aturan dasar anti-turunan:
1 ∫k dx = k x + C
2 ∫x r dx =
1
r + 1x r+1, r 6= −1
3 ∫ex dx = ex + C
4 ∫ax dx =
1
ln aax + C
dst...
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Metode substitusi
Metode substitusi merupakan salah satu metode/teknik/caramenyelesaikan integral atau mencari anti turunan. Kuncinyaadalah menentukan pemisalan/substitusi untuk suatu fungsitertentu dengan tepat.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Contoh: ∫x2 + 1
x − 2dx
mungkinkah kita memisalkan y = x2 − 1? atau y = x2 danmencari anti-turunan ?
atau memisalkan y = x − 2 ?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Contoh lain, ∫ex
4 + 9 e2xdx .
Selesaikan dengan memisalkan
y = ex ; y = e2x ; y = 9 ex ; y = 9 e2x ; y = 4+ 9 ex ; y = 4+ 9 e2x ; ?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Metode anti-turunan parsial
Teknik lain mencari anti-turunan adalah dengan metodeanti-turunan parsial atau integral parsial, dimana kitamemanfaatkan konsep turunan dua fungsi. Contoh, selesaikan∫
x cos x dx
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Misalkan u = f (x), v = g(x),
d
dx(u v) = u′ v + u v ′
d(u v) = · · ·u v = · · ·
Jadi, ∫u dv = u v −
∫v du
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Untuk contoh ∫x cos x dx ,
misalkanu = x ,
atauu = cos x , ?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Nampak bahwa metode integral parsial mendorong kita untukmencari substitusi yang tepat.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Bagaimana dengan ∫ln x dx ,
yang terlihat seperti hanya melibatkan satu fungsi?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Metode substitusi yang merasionalkan
Metode ini dilakukan pada permasalahan mencari anti-turunansuatu fungsi yang memuat akar, seperti∫
n√(ax + b)m dx
atau ∫ √a2 − x2 dx ,
dimana kita ingin menghilangkan tanda akar tersebut.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Merujuk namanya, metode/teknik ini mengharuskan kitamelakukan pemisalan atau substitusi, seperti
(ax + b) = un,
untuk mencari anti-turunan∫n√(ax + b)m dx .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Contoh, ∫x 3√x − 4 dx ,
yang dapat diselesaikan dengan memisalkan
u = (x − 4)3
ataux = u1/3 + 4,
sehingga anti-turunan diatas dapat diselesaikan sebagai
1
3
∫ (u2/3 + 12 u1/3
)du
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Untuk kasus mencari anti-turunan∫ √a2 − x2 dx ,
dapat digunakan substitusi
x = a sin t, −π/2 ≤ t ≤ π/2,
sehingga diperoleh √a2 − x2 = a cos t
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Metode substitusiMetode anti-turunan parsialMetode substitusi yang merasionalkan
Perhatikan bahwa substitusi lain adalah
x = a tan t, −π/2 < t < π/2,
ataux = a sec t, 0 ≤ t ≤ π, t 6= π/2
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Integral fungsi rasional
Mencari anti-turunan berbentuk seperti∫14x + 1
x3 + 5xdx ,
adalah salah satu kajian penting karena melibatkan polinom
P(x) = 14x + 1
danQ(x) = x3 + 5x
yang perlu diperhatikan “derajat”-nya.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Perhatikan bahwa pada kasus diatas, derajat pembilang (satu)lebih kecil daripada derajat penyebut (tiga). Dengan demikian,dapat dituliskan
14x + 1
x3 + 5x=
A
x+
Bx + C
x2 + 5
dimana derajat pembilang satu tingkat lebih rendah daripadaderajat penyebut. Dengan manipulasi aljabar, diperoleh
A = 1/5;B = −1/5;C = 14.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Pada prinsipnya, kita ingin menguraikan fungsi rasional P(x)/Q(x)menjadi jumlahan beberapa fungsi rasional dengan derajatpembilang satu tingkat lebih rendah dari derajat penyebut baiksecara “langsung”, seperti
Bx + C
x2 + 5,
ataupun “tidak langsung”, seperti
C
(2x + 5)2,
dimana kata “tidak langsung” merujuk pada pemisalan y = 2x + 5dengan turunan konstan.(untuk pandangan lain, lihat catatan kuliah W Djohan, 2012)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Diskusi:Bagaimana kita mencari anti-turunan∫
x2 − 11x + 15
(x − 2)2(x + 1)dx ?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Apakah dengan menguraikan
x2 − 11x + 15
(x − 2)2(x + 1)=
A
x − 2+
B
(x − 2)2+
C
x + 1?
(dengan A = −2;B = −1;C = 3)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Atau,x2 − 11x + 15
(x − 2)2(x + 1)=
B
(x − 2)2+
C
x + 1?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Integral fungsi trigonometri
Kita ingin menyelesaikan anti-turunan fungsi trigonometri,∫sinn x dx ,
atau ∫cosn x dx ,
untuk n genap atau ganjil. Atau,∫sinm x cosn x dx ,
pada beberapa kemungkinan nilai m dan n.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Tentunya tidak dapat kita lupakan aturan dasar anti-turunanseperti berikut
1 ∫sin x dx = −cos x + C
2 ∫cos x dx = sinx x + C
3 ∫sec2 x dx = tan x + C
4 ∫sec x tan x dx = sec x + C
dst...
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan
PengantarMenentukan anti-turunan
Integral fungsi rasionalIntegral fungsi trigonometri
Contoh:Selesaikan ∫
sinm x dx ,
untuk m = 2, 3, 4.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan