Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios

MA093 – Matematica basica 2Angulos na circunferencia – Teorema de Tales

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Agosto de 2018

Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios

Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 Angulos na circunferencia.

2 Teorema de Tales.

Angulos na circunferencia Teorema de Tales Exercıcios

Angulo central

Definicao

Um angulo central AOB em uma circunferencia e um angulo quetem vertice no centro O da circunferencia.

AB_

e o arco correspondente ao angulo central AOB.A medida do angulo (α no desenho) pode aparecer ao lado do arco.

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Congruencia de arcos

Definicao

1 Duas circunferencias sao congruentes se tem raios iguais.

2 Dois arcos AB_

e CD_

de uma circunferencia sao congruentes see somente se os angulos AOB e COD sao congruentes.

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Angulo inscrito

Definicao

Um angulo inscrito ACB em uma circunferencia e um angulo quetem vertice em um ponto C da circunferencia.

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Angulo inscrito

Teorema

A medida de um angulo inscrito e a metade da medida do angulocentral correspondente. No exemplo, α = β/2.

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Angulo inscrito em uma semicircunferencia

Teorema

O angulo inscrito em uma semicircunferencia e reto.Na figura, C e reto e ABC e um triangulo retangulo.

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Angulo excentrico interior

Definicao

Um angulo excentrico interior ACB em uma circunferencia e umangulo formado por duas cordas que se cruzam em um pontointerior da circunferencia, diferente do centro.

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Angulo excentrico interior

Teorema

A medida de um angulo excentrico interior e a media das medidasdos angulos centrais a ele associados.No exemplo, x = (α + β)/2.

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Angulo excentrico exterior

Definicao

Um angulo excentrico exterior ACB em uma circunferencia e umangulo formado por semirretas que partem de um vertice exterior eque sao secantes ou tangentes a circunferencia.

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Angulo excentrico exterior

Teorema

A medida de um angulo excentrico exterior e a metade dadiferenca das medidas dos angulos centrais a ele associados.No exemplo, x = (α− β)/2.

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Quadrilatero inscrito

Definicao

Um quadrilatero e inscrito em uma circunferencia se todos os seusvertices estao sobre a circunferencia.

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Quadrilatero inscrito

Teorema

Em um quadrilatero inscrito em uma circunferencia, os angulosopostos sao suplementares.

A + C = B + D = 180◦

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Teorema de Tales

AB

BC=

A′B ′

B ′C ′AB

CD=

A′B ′

C ′D ′

AC

BD=

A′C ′

B ′D ′AD

BC=

A′D ′

B ′C ′

Teorema

Dado um feixe de retas paralelas e duas retas transversais r e s, arazao entre dois segmentos quaisquer de r e igual a razao entre ossegmentos correspondentes de s.

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Exemplo

Lados de terrenos trapezoidais

Tres terrenos trapezoidais estao compreendidos entre duas ruas,como mostra a figura. determinar x , y e z .

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Resolucao

15 + 20 + 10 = 45

x

50=

15

45⇒ x =

50 · 15

45=

50

3≈ 16, 67 m

y

x=

20

15⇒ y =

50

3· 20

15=

200

9≈ 22, 22 m

z

50=

10

45⇒ z =

50 · 10

45=

100

9≈ 11, 11 m

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Exercıcio 1

Problema

Determine o valor de x.

x = 30◦

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Exercıcio 2

Problema

Determine o valor de x.

x = 58◦

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Exercıcio 3

Problema

Determine o valor de x.

x = 60◦

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Exercıcio 4

Problema

Determine o valor de α.

x = 62◦

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Exercıcio 5

Problema

Determine o valor de x.

x = 100◦

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Exercıcio 6

Problema

Dada a figura abaixo, determine a medida do angulo α em relacaoa medida do angulo central β.

α = β/2

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Exercıcio 7

Problema

Determine o valor de x, sabendo que as retas r, s e t sao paralelas.

x=18/5

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Exercıcio 8

Problema

Determine x na figura abaixo, sabendo que BC e DE sao paralelas.

x = 6