M12 - Détermination des sollicitations simple BTP-TDB

7/31/2019 M12 - Dtermination des sollicitations simple BTP-TDB

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OFPPT ROYAUME DU MAROC

MODULE N:12

DETERMINATION DES SOLLICITATIONS

SIMPLES APPLIQUEES AUX ELEMENTS

PORTEURS

SECTEUR:BATIMENT

SPECIALITE:TECHNICIENDESSINATEUR DEBATIMENT

NIVEAU :TECHNICIEN

Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du TravailDIRECTIONRECHERCHE ETINGENIERIE DEFORMATION

RESUMETHEORIQUE&

GUIDE DETRAVAUXPRATIQUES


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Rsum de Thorie etGuide de travaux pratique

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REMERCIEMENT

La DRIF remercie les personnes qui ont contribu llaboration du prsent

document.

Pour la supervision :

M. BAROUTI Khalid Chef projet BTPMme IGGOUT Najat Directeur du CDC/BTPM. EL ADAOUI Abdelaziz Chef de pole du CDC/BTP

Pour la conception :

MmeROCHDI Fatima Formatrice lISB/DRGC

Pour la validation :

Mme GUNINA Fatna Formatrice Animatrice au CDC/BTP

Les utilisateurs de ce document sont invits communiquer la DRIF toutes les remarques et suggestions afin de les prendreen considration pour lenrichissement et lamlioration de ceprogramme.

I. DRIF


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Sommaire

Prsentation du module :A Connatre les notions de la statiqueRsum de thorieI. Les forces

I.1. DfinitionI.2. Caractristiques dune force.I.3. Unit dune force.

II.Les moments dune force par rapport un point.II.1. Dfinition.II.2. Unit..

II.3. Signe.II.4. Thorme de VARIGNON

III. Les diverses sollicitationsIII.1. Les charges de les surcharges..III.2. Classification des charges..

IV. Les diffrents types dappuisIV.1. Appui simple ou libre

IV.2. Appui double ou rotule.IV.3. Appui triple ou encastrement.

V. Calcul des ractions dappuisV.1. Systme de forces.V.2. Equations dquilibre statique

B Dfinir les caractristiques gomtriques dune sectionI. Centre de gravit

I.1. Dfinition..I.2. Centre de gravit dune surface lmentaireI.3. Centre de gravit dune surface compose


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II Moment dinertie dune surfaceII.1. Dfinition.II.2. Thorme de

HUYGENS..II.3. Moment quadratique polaire..

II.4. Moment dinertie dune section compose

III Rayon de girationIII.1. DfinitionIII.2. Unit.III.3. Rayon de giration des sections simples

IV Noyau centralIV.1. Dfinition.IV.2. Exemples

C Calculer les contraintes correspondantes aux diffrentes sollicitations simples.I Dfinition exacte du domaine dapplication de la RDM

I.1. La statique.I.2. La rsistance.I.3. Notion de contrainte

II Diffrentes sollicitations dans une section.II.1. Traction

II.2. Compression.II.3. Cisaillement..II.4. FlambageII.5. Flexion


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MODULE : 12DETERMINATIONDESSOLLICITATIONS SIMPLES

APPLIQUEESAUXELEMENTSPORTEURS

Dure :60 H

OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU

DE COMPORTEMENT

COMPORTEMENT ATTENDU

Pour dmontrer sa comptence, le stagiaire doit connatre la dtermination dessollicitations simples appliques aux lments porteurs (R.D.M) selon les conditions, lescritres et les prcisions qui suivent

CONDITIONS DEVALUATION

Travail individuel A partir de questions de cours crites A partir des exercices.

CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE

Bonne connaissance des diffrentes dfinitions

Bonne comprhension des principes de calcul Bonne application des formules de calcul.


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OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU

DE COMPORTEMENT

PRECISIONS SUR LECOMPORTEMENT ATTENDU

CRITERES PARTICULIERS DEPERFORMANCE

A. Connatre les notions de la statique. Vrification parfaite Calcul exact des ractions des appuis

B. Dfinir les caractristiques gomtriquesdune section.

Calcul parfait pour une section :- du centre de gravit- moment dinertie- rayon de giration- noyau central dune section

rectangulaire ou circulaire

C. Calculer les contraintes correspondantesaux diffrentes sollicitations simples

Dfinition exacte du domaine dapplication dela RDM

Dfinition parfaite des diffrents types desollicitations

Traage correct des diagrammes :Avec indications des valeurs remarquables.


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OFPPT/DRIF 7

OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU

LE STAGIAIRE DOIT MAITRISER LES SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE, SAVOIR-PERCEVOIR OUSAVOIR-ETRE JUGES PREALABLES AUX APPRENTISSAGES DIRECTEMENT REQUIS POURLATTEINTE DE LOBJECTIF DE PREMIER NIVEAU, TELS QUE :

Avant dapprendre Connatre les notions de la statique (A) :

1. Connatre correctement lquilibre dun systme isostatique.2. Dterminer parfaitement le degr dhyperstaticit3. Connatre exactement la statique graphique.

Avant dapprendre dfinir les caractristiques gomtriques dune section B) :

4. Dfinir correctement le centre de gravit dune section.5. Calculer parfaitement le moment dinertie dune section par rapport aux

principaux axes6. Calculer parfaitement le rayon de giration dune section.7. Dfinir exactement le noyau central dune section rectangulaire ou circulaire.

Avant dapprendre savoir les notions gnrales de la rsistance des matriaux(C) :

8. Connatre parfaitement le domaine de validits des hypothses9. Dfinir correctement les sollicitations dans une section

10. Tracer parfaitement les diffrents diagrammes.


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PRESENTATION DU MODULE

Ce module prsente les diffrentes charges et sollicitations que supportent les lments

porteurs dun btiment il sera tal sur une dure 60 heures du 3me semestre de formation

Lobjectif de ce module est de faire comprendre aux stagiaires les sollicitations

correspondantes chaque lment de structure et dappliquer les formules de calcul de la

rsistance des matriaux pour la dtermination des sections des diffrents lments porteurs dun

btiment.

Le module se droulera sous forme dun cours thorique et des exercices dapplication

pratiques.

- 60% thorique- 35% pratique- 5% valuation


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MODULE12 :DETERMINATIONDESSOLLICITATIONSSIMPLES

APPLIQUEESAUXELEMENTSPORTEURS

RESUME THEORIQUE


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A- Connatre les notions de la statique :- Dfinition

On appelle force toute cause capable soit de dformer un corps, soit de modifier ou produireun mouvement.

I- 1. Caractristiques dune force :

Une force est caractrise par 4 lments :

- son point dapplication : cest le point du solide sur lequel agit la force.

- sa droite daction : cest la droite sur laquelle la force se dplace, appele aussi

direction ou support.

- son intensit : cest la valeur de la force, exprime en N, daN, Kgf.

- son sens : cest la flche qui indique le sens du dplacement de la force sur ladroite daction.

I- 2. Unit dune force :

Le Newton ; Le dca Newton (daN) ; Le kilogramme force (kgf)

Le tonne force (tf) : 1daN = 10N = 1kg.f =10-3 t.f


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II- Moment dune force par rapport un point :

II 1. Dfinition :

Le moment dune force F par rapport un point est gal au produit de son intensit Fpar la distance d du point O sa droite daction.

F

La distance d est perpendiculaire la droite daction de F, d sappelle le bras de levier

II 2. Unit :

Un moment est le produit dune force par une distance, son unit donc est :DaN.m ; kgf.m ; tf.m ; N.m

II 3. Signe dun moment :

Par convention, un moment est positif si la force F tend tourner dans le sens desaiguilles dune montre, il est ngatif dans le cas contraire.

M F1 / O > O positif

M F2 / O < O ngatif+

II 4. Thorme de VARIGNON :

Le moment par rapport un point A de la rsultante dun systme de forcesconcourantes ou parallles est gale la somme des moments des forces composantes parrapports ce point A.

M R/A = M F1/ A + M F2/ A + M F3/ A + M Fn / A

M F/O = F x d

O

d

OF F


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OFPPT/DRIF 12

III- Les diverses sollicitations :

III 1.Les charges et les surcharges :

Dans le calcul des lments dun btiment, les charges font lobjet du premier travailde recherche. Dans ces calculs il faut tenir compte des :

a- Charges permanentes :

Sont le poids propre des lments porteurs augment des poids des lmentsincorpors llment porteurs tel que (plafond ; les enduits ; revtements)

b- Surcharges dexploitation :

b.1 Surcharges statiques :

Tel que le mobilier, Matriel et Matires de dpts

b.2 Surcharges dynamiques :

Tel que les personnes, les machines ou organe mobile.

b.3 Les surcharges climatiques :

Le vent ; la neige

III-2 Classification des charges :

a- Charges concentres : (c.c)

On dit quune charges est concentre lorsquelle agit sur une petite surface :

Poteau reposant sur une poutrePoteau

p

Poutre


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OFPPT/DRIF 13

b- Charges rparties :

b.1 Charges uniformment rparties sur une surface :

On dit quune charge est uniformment rpartie sur une surface lorsque toutesles parties de cette surface subissent la mme force, cette charge sexprime en N par unit desurface q (N/m)

dalle

dalle

b. 2 Charges uniformment rparties sur une longueur (C.U.R)

Cest une charge qui agit par unit de longueur, elle peut tre considre comme unemultitude de charges concentres places cte cte, elle sexprime en N par unit delongueur.

q (N /m )

L poutre

b.3 Charges rparties quelconque :

Dans ce cas la charge unitaire nest plus constante elle varie tout le long de la pice suivantune courbe : ex : charge triangulaire et charge trapzodale

c- Conclusion :

Les charges rparties peuvent tre ramenes une rsultante et ensuite considres comme uneforce simple.

Exemples :- Charges rectangulaires

- Charges trapzodales- Charges triangulaires


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OFPPT/DRIF 14

Q

q

A BL /2 L /2

L

Q = q x L

a = b =

Q

q

A Ba b

L

QQ = q

q1a = ; b = q0

3 3A B

a b

L

(q0 + q1)Q = L

2

a = ; b =q0 + q1 3 q0 + q1

L

2

L

2

2L L

q0 +2q1 L 2q0 +q1 L

3


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OFPPT/DRIF 15

IV Les diffrents types dappuis :

On distingue dans la pratique des constructions 3 types fondamentaux dappuis :

IV-1. Appui simple ou libre :

Un tel appui est ralis dans les ouvrages importants tel que les ponts ou dans les constructions

(btiments). Ce genre dappuis donne lieu une raction R normale la surface dappui etne soppose pas un effort sexerant suivant laxe longitudinal de la poutre. On aura doncquune seule inconnue dterminer par appui do le nom dappui simple qui se reprsentecomme suit :

RA

poutre

IV-2. Appui double ou rotule :

Une rotule est une articulation sphrique qui permet une rotation en tous sens de lune des

pices par rapport lautre. Un tel appui donne lieu une ractionR de direction quelconque

que lon peut dcomposer en une composante verticale vR et une composante horizontale RH il

y a donc dans ce cas 2 inconnues dterminer hR et vR do le nom dappui double qui sereprsente comme suit :

RARV

A

RHA

IV-3. Appui triple ou encastrement:

Un tel appui donne lieu une raction de direction quelconque prsentant une raction verticaleet une raction horizontale et un moment dencastrement . On a donc 3 inconnues dterminer par appui do le nom dappui triple qui se reprsente comme suit :

RAV

RA

AA RAH


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OFPPT/DRIF 16

V- Calcul des ractions dappuis :

V-1. Systme de forces :

a- Systme hypostatique : Si le nombre dinconnus dappuis est infrieur au nombredquation dquilibre statique, la construction risque de scroulerex : poutre appuyant sur 2 appuis simples et recevant des charges de directionquelconques.

F1 F2V F2

RA RB

A F2H B

b- Systme isostatique:

Si le nombre dinconnus est gal au nombre des quations dquilibre statique la poutreest stable et calculable par les quations dquilibre statique seules.Ex : poutre 2 appuis dont lun est simple et lautre est double.

F2 RBRA F1 F2

V RB

V

F2H

RBH

A B

c-Systme hyperstatique :

Si le nombre dinconnus dappuis est suprieur au nombre dquations dquilibrestatique la porte serait stable. Mais les quations dquilibre statique ne permettraient pas dedterminer les inconnus dappuis.

Ex : poutre encastre ses 2 extrmits.RA

V

RA F1 F2 F3 RB RBV

BA RAH RBH

Chaque appui introduit 3 inconnus il y a donc 6 inconnus dterminer et seulement 3 quationsdquilibre statique.


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OFPPT/DRIF 1

V-2. quations dquilibre statique :

Pour calculer les ractions dappuis on considre la pice tudier comme un solide libre enremplaant ces appuis par les forces de ractions.On crit alors que cette pice est en quilibre sous laction des forces directement appliquesque lon connat et des ractions dappuis qui sont inconnus par les quations dquilibrestatique :

n n nFi / ox = 0 ; Fi / oy = 0 ; M Fi / o = 0

i = 1 i = 1 I = 1


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OFPPT/DRIF 18

B Dfinir les caractristiques gomtriques dune section.

I. Centre de gravit :

I.1 Dfinition :

Le centre de gravit dun corps est le point dapplication de la rsultante des actions de lapesanteur, sur toutes les parties de ce corps.Lorsquune figure a un axe de symtrie, diamtre ou centre, le centre de gravit se situe sur cetlment.

Rappel pour le triangle :Le centre de gravit dun triangle se trouve lintersection des mdianes.

hG

h /3

I.2 centre de gravit des surfaces lmentaires :

La position du centre de gravit des surfaces lmentaires est dfinie dans les figures suivantes( voir tableau).Centre de gravit des surfaces composes : les pices de construction ne sont pas toutes deformes gomtriques simples, il est toutefois possible par dcomposition des surfacescomplexes en surfaces simples den chercher le centre de gravit.

I.3 Recherche du centre de gravit dune surface compose :

a- dcomposer la surface donne en surfaces simples dont les centres de gravit sont connus.b- tablir la somme des moments de chaque surface simple par rapport un axe de rotation.c- Chercher la distance du c d g en divisant la somme des moments par laire totale de la pice.d- Raliser les mme calculs b et c par rapport un autre axe perpendiculaire au premier.

On aura alors :

=

==n

i

n

iG

si

BBMsi

X

1

1

'/

=

==n

i

n

iG

Si

Msi

Y

1

1

'/


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OFPPT/DRIF 19

Exemple dapplication :Dterminer la position du centre de gravit de llment suivant :

2 5 2

G3 S3

7 G1 G4 5 S4

s2G1

2 s1

6.oo

41

5,152'/==

si

yyMX

si

G 41

5,196'/==

Si

MY

si

G

XG = 3,72 cm YG = 4,79 cm

Surfaces si (en cm) Abscisses des si/ cdg en cm

Moments des si /BB

Ordonns dessi/cdg en cm

Moments des si

S1 = 6 x 2 = 12S2 = 7 x 2 = 14S3 = 5 x 1 = 5

S4 = 5 x 2 = 10

361422,5

80

1277

42,5

65 = 41iS

31

4,5

8 = 5,152'/ yyMsi

15,58,5

6,5 = 5,196'/ xxMsi


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OFPPT/DRIF 20

II- Moment dInertie dune surface :

II.1 Dfinition :

Soient une surface plane S et un axe XX situs dans un plan.Dcomposons cette surface en une infinit dlments infiniment petits de surfaces ds1 ; ds2 ;ds3 ; ;dsn dont les distances laxe XX sont respectivement y1 , y2 , y3 , , yn .

ds1ds3

ds2 y3y1

y2

X X

Par dfinition, on appelle moment quadratique de la surface S par rapport laxe XX, la sommedes produits de tous les lments infiniment petits composant cette surface par les carrs de leursdistances respectivement laxe envisag, soit :

IXX = ds1 . y21 + ds.y22 + ds3 . y23 +..+ dsn. y2n

Remarque :Les axes passant par le centre de gravit dune section sappellent axes neutres.

Unit :Le moment dinertie dune surface sexprime en cm4 ou mm4

Signe dun moment quadratique :Un moment quadratique est toujours positif.

ymaxIXX = yds

ymin


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OFPPT/DRIF 21

II.2 Thorme de HUYGHENS :

Le moment quadratique dune surface S par rapport un axe de son plan est gal lasomme :- du moment quadratique de cette surface par rapport laxe xx parallle laxe et

passant par son centre de gravit .- Du produit de laire de la surface par le carr de la distance des deux axes.

x S G xx

d

soit :

II.3 Moment quadratique polaire :

On appelle moment quadratique polaire, le moment quadratique dune surface plane par

rapport un ple O passant par un axe perpendiculaire au plan de la surface.

Soit :Io = d1. ds1 + d2 x ds2 + ..+ dn x dsn.

dmaxI0 = d x ds

dmin

I = I xx + sd


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OFPPT/DRIF 22

ds y d

x

dmaxOn sait que Io =

d x ds

dmin

Sachant que llment ds a comme coordonns et .On aura alors

d = x + ydmax

Io =( x + y ) ds

dmin

dmax dmax= x ds + y dsdmin dmin

dmax dmaxor x ds = I et y ds = I

dmin dmin

do

Remarque :Gnralement le ple O est le centre de gravit de la surface et les axes sont les axes

neutres.

Io = I + I


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OFPPT/DRIF 23

II.4 Moment dinertie dune section compose :

Exemple dapplication :

Calculer les moments dinertie ci-aprs I , I , I xx, I yy et en dduire le moment polaire IGde la section suivante:

Y

S3 1

X G 4 X

S2

S1 1

3 1 3

Y

Calcul de I :

321 ''''I ssss III ++=

++

++= 2233

3332

122

322

311

12123dhb

hbdhb

hbhb

( )5,5173

17341

12

41

3

17 333+

+

+

+

=

I = 256 cm4

Calcul de I :

3'2'1'' ssssIIII ++=

=3123

3332

1222

32

311 bhdhb

bhbh+++

= ( )3

715,314

12

14

3

71 333 ++

+

I = 278 cm4

Les dimensions sont en cm


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OFPPT/DRIF 24

Calcul de Ixx:I xxs = Ixxs1 + Ixxs2 + Ixxs3 (1)

Ou

Ixx = I- Sd (2)

Ixx = Ixxs1 + Ixxs2 + Ixxs3

222

333

3222

11

311

121212ds

hbhbds

hb++++=

= ( ) ( )5,21712

17

12

415,217

12

17 333+

+

++

Ixx = 94 cm4Ou Ixx = I - sd

= 256 18 (3)Ixx = 94 cm4

Calcul de Iyy:Iyys = Iyys1 + Iyys2 +Iyys3

ou

Iyys = Is sd2

321 '''' ssss yIyyIyyIyyIy ++=

=121212

333

322

311 bhbhbh ++

Iyys = 57,5 cm4

Ou Iyy = I - sd = 278 18 (3,5) = 57,5 cm4

Calcul de IG

IG = Ixx + Iyy

IG = 94 + 57.5 = 151.5 cm4


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OFPPT/DRIF 25

III- Rayon de giration :

III- 1. Dfinition :

Le rayon de giration dune section est gal la racine carre du quotient du momentquadratique de cette section par rapport un axe neutre par la surface totale de la section.Soit :

s

Ir xxxx

'' = ;

s

Ir

yy

yy

'

' =

III-2. Unit :

Le rayon de giration dune section sexprime en cm ou m.

III- 3. Rayon de giration des sections simples :

1- Rectangle

s

Ir xxxx

'' =

12

3

'

bhI xx = S = bh

121212

233

'

h

bh

bh

hb

bh

r xx ===

6

3

32'

bhr xx ==

63

32' bbr yy ==

2- Cercle

424

4

4

''

DRR

R

R

rr yyxx =====

42'' DRrr yyxx ===


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OFPPT/DRIF 26

IV- Noyau central

IV- 1. Dfinition :

Le noyau central est un contour limitant le domaine ou la surface de lapplication de lacharge pour que la pice soit entirement sollicite par cette charge.

Exemple :

Si la charge est un effort de compression alors le noyau central est le contour o on doitappliquer cet effort pour que la pice soit entirement comprime.

IV- 2. Exemple :y

a- Rectangle

X a d2 Xd1

b

y

b- Cercle d = ( Ixx/s) / (d/2)Ixx = Iyy = R4

d = RRR

//4

4

d = R/ 4 = D/ 8

d =34

DR=

R4/R2

D

D/4

d1 = (rayon de giration )v

d1 = (Iyy/s)/ (b/2) d2 = (Ixx/s)/ (a/2)d1 = ( ab

3 / ba)/ (b/2) d2 = (ba3/ ba)/ (a/2)

12

d1 = b/ 6 d2 = a/6

d1 : distance du C.D.G lextrmit du noyauv : la fibre la plus loigne delaxe neutre


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OFPPT/DRIF 27

C- Calculer les contraintes correspondantes aux diffrentes sollicitations simples

II.Dfinition exacte du domaine dapplication de la RDMLtude de la rsistance des matriaux se dcompose en deux parties distinctes qui sont.

I- 1. La STATIQUE, science qui permet de dterminer dans des conditions bienprcises, la valeur des forces agissant sur un lment ou dans un lment.

I- 2. La RESISTANCE proprement dite, science semi-empirique (cest dire bas surle rsultat dessais et dexpriences) traitant ltude du comportement des matriauxsoumis linfluence des forces.

Pratiquement, ces deux parties sont intimement lies lune lautre, le comportementdun matriau tant tributaire des efforts quil supporte, le matriau tant dfini lui-

mme par ses caractristiques mcaniques.

I- 3. Notion de contrainteTout corps solide soumis des efforts nest strictement indformable, tel que parexemple le ressort qui sallonge sous un effet de traction et la planche qui plie sous unecharge. Toutefois, si la charge nest pas importante, les corps qui se dforment ne serompent pas autant c d quil stablit la fois un quilibre extrieur (dtermin par lastatique graphique) et un quilibre intrieur (dtermin par la rsistance des matriaux).Cet quilibre intrieur nous amne dfinir la notion de contrainte.


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M12

OFPPT/DRIF 28

Considrons un corps solide quelconque en quilibre sous laction dun systme de forces.

ds nds(A) (B)

S ds

Par dfinition, est le vecteur contrainte relatif llment de surface ds, dont la direction estquelconque dans lespace que lon peut dcomposer suivant deux projections :

- Une projection sur le normale llment ds, quon appelle contrainte normale n, quipeut tre une compression ou une traction suivant que les parties (A) et (B) sont pressesou non lune vers lautre travers llment de surface ds.

- Une projection sur le plan tangent llment ds quon appelle contrainte tangentielle


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M12

OFPPT/DRIF 29

III. 1- TRACTION

Essai de traction

Il est ralis sur une prouvette dacier doux, en exerant un effort de traction Fvariable qui correspond un allongement de lprouvette.

On peut tracer la courbe reprsentant les variations de lallongement L enfonction de F la courbe ainsi obtenue est appele : Diagramme des dformations (effort - allongement)on (contrainte () allongement unitaire L/L)

Fou()M

FMFI I

Fe AB

O K l ou (l/l)

IK // OAOK : allongement Permanent

d FI


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OFPPT/DRIF 30

a/ Dfinition lastique

Cest une droite OA, si on supprime leffort lprouvette reprend sa longueur initiale.

Limite dlasticit :

Allongement unitaire :

Module de Young ou Module dlasticit longitudinale.

: Contrainte = F/S daN / cm

: Sans unitE : Module de Young en daN / cm

Relation entre le rtrcissement relatif du diamtre et lallongement relatif :

0,3 :coefficient de poisson (pour lacier = 0,3)

e = Fe/Sen kgf / cm

= L/L

Allongement=

Longueur initiale

E = /

d/d = 0,3 L/L


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M12

OFPPT/DRIF 31

b/ Le palier de plasticit AB

Lprouvette a perdu son lasticit et commence sallonger mme avec un effort detraction constant.

c/ Dformation permanente BCSi on fait crotre leffort de traction au del de Fe , la dformation augmente rapidement.Si on dcrot leffort de traction de FI 0, lprouvette ne reprend jamais sa longueurinitiale, elle conserve certain allongement permanent de longueur OK.Pendant cette phase la diminution de la section de lprouvette devient visible et selocalise quand leffort atteint la valeur FM :Cest le phnomne de striction, un effort infrieur FM peut casser lprouvette au

droit de la striction.

d/ Inquation dquarrissage

Les contraintes sont des forces unitaires intrieures lensemble de la poutre. Elles neprsentent aucun danger tant quelles natteignent pas la limite astique:

Rp cd F/S Rp


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M12

OFPPT/DRIF 32

Poids propre nglig Poids propre non nglig

- Contrainte constante :

= F/S

- allongement : L =SE

LF

.

.

- quation dquarrissage :

F/S Rp

- Contrainte variable:

Max = SP

S

F

+

- allongement : L =SE

PL

SE

FL

.2

1

.+

- quation dquarrissage :

RpS

PF

+

Units usuelles

Module de Young E: daN / mm ou daN / cm

Rsistance pratique Rp =s

RedaN / mm ou daN / cm

Limite dlasticit e : daN / mm ou daN / cm

Coefficient de scurit s : Sans unit

Contrainte : daN / mm ou daN / cm

Force F: daNPoids P: daN

Section S : mm ou cm

Longueur L : mm ou cm

Allongement L : mm ou cm


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M12

OFPPT/DRIF 33

II.2 COMPRESSION

Lessai de compression sur une prouvette donne un diagramme analogue celuide traction.On retrouve une phase de dformation lastique, une phase de dformation

permanente et la rupture.Le palier de plasticit et la striction nexistent pas.

Poids propre nglig Poids propre non ngligContrainte constante : = F/s

Raccourcissement : L =

SE

LF

.

.

Inquation dquarrissage : F/s Rp

Contrainte variable : Max =S

P

S

F+

Raccourcissement : L =

SE

LP

SE

LF

.

.

2

1

.

.+

Inquation dquarrissage : RpS

PF

+


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II.3 CISAILLEMENT

1- Essai de cisaillementSur un prisme encastr une extrmit, on applique le plus prs possible de la section

dencastrement, un effort tranchant T perpendiculaire son axe xx uniformment rparti lelong de cc

En faisant crotre progressivement cet effort, on peut observer comme pourlextension et la compression une priode de glissements lastiques, puis une priode deglissements non lastiques suivie de la rupture par cisaillement on dfinit ainsi une limitedlasticit au glissement Reg et une rsistance la rupture.


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OFPPT/DRIF 35

2/Contrainte tangentielle de cisaillement

Chaque unit de surface de la section cDDc supporte le mme effort, la valeur

(tau) de cet effort est gal au quotient de leffort tranchant Tpar la surface S

de la section considre . Cet effort sappelle contrainte tangentielle, parce quilsexerce tangentiellement au plan de la section cisaille :

3/ condition de rsistance au cisaillement

Pour quune pice sollicite au cisaillement rsiste en toute scurit, il faut quela contrainte tangentielle soit au plus gale la rsistance pratique au cisaillementRpg

Rpg

valeurs maximales des contraintes tangentielles pour quelques sections :

Pour des sections rectangulaires : Max = 3/2 moyPour des sections circulaires : Max =4/3 moyPour des sections I : Max =

Section me seule

=S

T en N / mm

RpgS

T

T


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OFPPT/DRIF 36

4/ Formule de dformation lastique

Soient : CD la section situe au droit de lencastrement. CD la section infinimentvoisine de CD, situe une distance x de celle-ci et dans le plan de laquelle sexerce lefforttranchant T.

Aprs dformation CD vient en C1D1 et la longueur CC1 mesure le glissementtransversal

Nous appellerons dviation le

Rapportx

cc

1'' ; langle peut servir la caractriser.

La dformation tant lastique, par hypothse, le glissement est trs petit ; il en est demme de langle .Par suite, si est exprim en radians :

=tg

xcc 1''

La dviation est directement proportionnelle leffort tranchant, inversementproportionnelle la section S . En outre, elle dpend de la nature du matriauconsidr ; do la relation :

O G est module dlasticit transversale pour les mtauxG = 0,4 E

S

T

G.

1=


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Exemple :Le module dlasticit longitudinale dun acier tant E = 200 000 N/mm, son moduledlasticit transversale est :

G = 80 000 N/mm


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OFPPT/DRIF 38

II.4- FLAMBAGE

Lessai de flambage est un essai comparable celui de compression. Il se fait sur despices longues.La charge applique est lentement croissante, cependant on constate que pour une

certaine valeur de la charge appele charge critique, la pice flchit brusquement :

Iyy : moment dInertie minimum de laire de la sectionE : Module dlasticit longitudinaleLc : longueur de flambage de la poutre

Remarque : La formule dEuler nest valable que si :

110'

S

I

Lc

yy

Cherchons la contrainte critique :1/ Dterminer le moment quadratique

Ex : pour une section rectangulaire

12

3

'

baIyy =

2/ Dterminer le rayon de giration

S

Ir

yy '=

3/ Calculer ce quon appelle llancement de la pice :r

Lc=

4/ La contrainte critique est :

cr =

.

..

.

.. '

Eou

Lc

rEou

SLc

IE

S

Fcr yy=

Pour que la pice ne flambe pas, il faut que la contrainte de compression = F/S soitinfrieurs la contrainte critique

.. '2

Lc

IEFcr

yy= Formule dEuler

cr =

.

E

= SF

cr


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II.5- FLEXION

Une pice soumise la flexion a tendance se rompre non seulement sous leffet du

moment flchissant mais aussi tre cisaille sous leffet de leffort tranchant.Le moment flchissant et leffort tranchant interviendront dune faon importante dansle calcul des dimensions dune poutre.

1/ Moment flchissanta/ Dfinition

Le moment flchissant dans une section dtermine dune pice est la sommealgbrique des moments par rapport au centre de gravit de cette section, de toutes les forcesextrieures ( couples, ractions dappuis, charges concentres ) situes dun mme ct decelle-ci.

b/ Convention des signesOn admet quun moment est positif lorsque la flexion provoque un allongement de la

fibre infrieure de la poutre. Il est ngatif lorsque lallongement affecte la fibre suprieure.Fibre allonge

Units : daN.m ; kgf.m ; tf.m

2/ Effort tranchanta/ DfinitionLeffort tranchant dans une section dtermine dune pice est la somme algbrique de

toutes les forces extrieures situes dun mme ct de cette section.

b/ Convention des signes

Leffort tranchant est positif quand le tronon de gauche tend monter par rapport autronon de droite. Il est ngatif dans le cas contraire.

Units : daN ; kgf ; tf

3/ Calcul des contraintes

Mf-

Mf +

Fibre allonge

\\

Ct gauche ct droit

O+

\

\

Ct gauche ct droit

O+


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OFPPT/DRIF 40

a/ Contrainte normaleLorsquune poutre flchit :

- La partie suprieure de la poutre se raccourciepar compression.- La partie infrieure de la poutre sallonge par traction.Entre ces deux zones, il existe une partie longitudinale qui na subit ni allongement, ni

raccourcissement, elle passe par le centre de gravit : cest laxe neutre ou fibre neutre.Sous leffet du moment flchissant Mf, les divers lments de section droite de la picene sont soumis qu des contraintes normales de traction ou de compression.Les contraintes varient avec y, les plus grandes contraintes sont au niveau des fibresextrmes qui correspondent y max.Pour que la pice soit stable, il faut donc que la plus grande contrainte de traction soitinfrieure au taux de travail limite la traction Rp du matriau, et que la plus grandecontrainte de compression soit infrieure au taux de travail limite la compression Rp

N.B : y tant la distance entre la contrainte et laxe neutre.

b/ Contrainte tangentielleLa contrainte tangentielle est de laction de leffort tranchant, cest une contrainte de

cisaillement.La contrainte tangentielle moyenne :

T : effort tranchant max en kgf ou daNS : mm ou cm (section)

moy : daN/mm ou kgf/cm Les contraintes tangentielles maximales pour certaines surfaces sont :

- pour des sections rectangulairesmax = 3/2moy- pour des sections circulairesmax = 4/3moy- pour des sections en I max =

max =Rp

vI

Mf

/

max

moy =S

T max

Tmax

Section me seule


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me

max Rpg


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OFPPT/DRIF 43

I. TP 1 : intitul du TP CALCUL DES REACTIONS DAPPUIS

1.1.Objectif(s) vis(s) :- Apprendre au stagiaire comment dterminer les ractions dappuis des diffrents types

dappuis existants (appui simple, appui double, appui triple)

1.2.Dure du TP :5 heures

1.3.Description du TP :

Exercice 1

Une poutre droite en quilibre repose sur deux appuis simples A et B et charge comme il estindiqu sur la figure.

P q=400 daN/m

q P= 600 daN

A B6m 2 m 2 m

- Dterminer les ractions dappuis RA et RB .

Exercice II

Dterminer analytiquement les ractions dappuis RA et RB de la poutrereprsente ci dessous :

F1 F260 q 0 q1 30

A

B 452.50 0.5 3.00 1 1 2.00 F3

On donne :F1 = 300 daN q 0 = 50 daN/mF2 = 200 daN q1 = 150 daN/mF3 = 250 daN


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OFPPT/DRIF 44

Exercice IIIDterminer les ractions dappuis de la poutre ci- dissous analytiquement.

Fq1

A 1.00 2.00 3.00 B

F = 400 daNq0 = 50 daN/mq1 = 150 daN/m


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OFPPT/DRIF 45

TP 2: intitul du TP CALCUL DES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES

DUNE SECTION

II.1. Objectif (s) vis (s) :- Dterminer les caractristiques gomtriques dune section quelconque(Simple ou complexe)

II.2. Dure du TP :2 heures

II.3. Description du TP :

On veut dterminer les caractristiques gomtriques de la section suivante :1. Trouver le centre de gravit de la section par rapport aux axes AA et BB2. Calculer :

a-Les moments dinertie par rapport aux axes neutres xx et yyet en dduire lemoment dinertie polaire.

b-Les rayons de giration par rapport aux axes neutreson prend O comme origine des axes AA et BB.

10 10 10

10

10

40

20

O 5 20 5


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OFPPT/DRIF 46

TP 3 :Intitul du TP CALUL DES CONTRAINTES ET DIMENSIONNEMENT

DES POUTRES

III.1. Objectif (s) vis (s) : Calculer les contraintes des diffrentes sollicitations. Dimensionner les poutres.

III.2. Dure du TP :4 heures.

III.3. Description du TP :

Exercice I

Une console constitue de deux barres dacierAB et AC de moduledlasticit E = 2 105 N/mm, elles ont mme longueur L = 3m.La section constante de la barre AB est S1 = 400 mm celle de AC est S2 = 600 mmCalculer le dplacement du point A sous laction de la charge verticale F = 5 104 N.

B C45o 45o

A

F = 5 104 N


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OFPPT/DRIF 4

Exercice II

Une poutre droite en quilibre appuye sur deux appuis simples, supporte une charge

uniformment rpartie q et une charge concentre P applique 1m de lappui gauche A(voir figure). P P = 350 KN

q h= 2b q = 1 KN/cm

A B b

1m

5m

1 Dterminer les actions de contact aux appuis A et B .

2 Etablir les quations des moments flchissants et des efforts tranchants le long de

la poutre. Tracer les pures correspondantes.

3 Sachant que la section de la poutre est rectangulaire et que la hauteur h est gale

2 fois la largeur b, dimensionner la poutre en prenant la contrainte admissible de

flexion : =284 daN/ cm2.

4 Vrifier la rsistance de la poutre au cisaillement sachant que = 20 MPa


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OFPPT/DRIF 48

valuation de fin de module

Soit dimensionner la poutre tubulaire suivante :

q 1.5q

A B

2qa 1.5a 1.25a

On donne : q = 8 KN/ m ; a = 2 m

1- Calculer les ractions dappuis.2- Calculer les moments flchissants et les efforts tranchants le long de la poutre

et tracer les pures correspondantes.3- Dterminer le moment dinertie de la section droite de la poutre par rapport

aux axes neutres.4- Trouver les dimensions de la section de la poutre sachant que : =105 KN/m5- Vrifier la poutre au cisaillement. On donne = 45 bars


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Liste des rfrences bibliographiques.

Ouvrage Auteur ditionCours de rsistance desmatriaux

R. MONTAGNER EYROLLES

Cous de rsistance desmatriaux

Armand GIET (1et 2) DUNOD

Problmes de RDM Armand GIET (1 et 2) DUNODProgramme de RDM( OFPPT)

OFPPT

NB : Outre les ouvrages, la liste peut comporter toutes autres ressources

Juges utiles (Sites Internet, Catalogues constructeurs, Cassettes, CD, )

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