8/8/2019 m10348

1/6

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 1 0 3 4 8 1

S i g n a l s a n d S y s t e m s P r o b l e m s

D o n J o h n s o n

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

P r o b l e m 1 : C o m p l e x N u m b e r A r i t h m e t i c

F i n d t h e r e a l p a r t , i m a g i n a r y p a r t , t h e m a g n i t u d e a n d a n g l e o f t h e c o m p l e x n u m b e r s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g

e x p r e s s i o n s .

a ) 1b )

1+3i

2c ) 1 + i + ei

2

d ) ei

3 + ei + e(i

3 )

P r o b l e m 2 : D i s c o v e r i n g R o o t s

C o m p l e x n u m b e r s e x p o s e a l l t h e r o o t s o f r e a l ( a n d c o m p l e x ) n u m b e r s . F o r e x a m p l e , t h e r e s h o u l d b e t w o

s q u a r e - r o o t s , t h r e e c u b e - r o o t s , e t c . o f a n y n u m b e r . F i n d t h e f o l l o w i n g r o o t s .

a ) W h a t a r e t h e c u b e - r o o t s o f 2 7 ? I n o t h e r w o r d s , w h a t i s 271

3?

b ) W h a t a r e t h e f t h r o o t s o f 3 ( 31

5) ?

c ) W h a t a r e t h e f o u r t h r o o t s o f o n e ?

P r o b l e m 3 : C o o l E x p o n e n t i a l s

S i m p l i f y t h e f o l l o w i n g ( c o o l ) e x p r e s s i o n s .

a ) ii

b ) i2i

c ) iii

P r o b l e m 4 : C o m p l e x - v a l u e d S i g n a l s

C o m p l e x n u m b e r s a n d p h a s o r s p l a y a v e r y i m p o r t a n t r o l e i n e l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g . S o l v i n g s y s t e m s f o r

c o m p l e x e x p o n e n t i a l s i s m u c h e a s i e r t h a n f o r s i n u s o i d s , a n d l i n e a r s y s t e m s a n a l y s i s i s p a r t i c u l a r l y e a s y .

a ) F i n d t h e p h a s o r r e p r e s e n t a t i o n f o r e a c h , a n d r e - e x p r e s s e a c h a s t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f a

c o m p l e x e x p o n e n t i a l . W h a t i s t h e f r e q u e n c y ( i n H z ) o f e a c h ? I n g e n e r a l , a r e y o u r a n s w e r s u n i q u e ? I f

s o , p r o v e i t ; i f n o t , n d a n a l t e r n a t i v e a n s w e r f o r t h e c o m p l e x e x p o n e n t i a l r e p r e s e n t a t i o n .

i ) 3sin (24t)

V e r s i o n 2 . 2 9 : S e p 7 , 2 0 1 0 7 : 4 1 p m G M T - 5

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 8 / 2 . 2 9 /

8/8/2019 m10348

2/6

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 1 0 3 4 8 2

i i )

2cos

260t + 4

i i i ) 2cos

t + 6

+ 4sin

t 3

b ) S h o w t h a t f o r l i n e a r s y s t e m s h a v i n g r e a l - v a l u e d o u t p u t s f o r r e a l i n p u t s , t h a t w h e n t h e i n p u t i s t h e

r e a l p a r t o f a c o m p l e x e x p o n e n t i a l , t h e o u t p u t i s t h e r e a l p a r t o f t h e s y s t e m ' s o u t p u t t o t h e c o m p l e x

e x p o n e n t i a l ( s e e F i g u r e 1 ) .

S Aei2ft = SAei2ft

Re[] S[]

Re[]S[]

Aej2ft

Aej2ft

S[Re[Aej2ft]]

Re[S[Aej2ft]]

F i g u r e 1

P r o b l e m 5 :

F o r e a c h o f t h e i n d i c a t e d v o l t a g e s , w r i t e i t a s t h e r e a l p a r t o f a c o m p l e x e x p o n e n t i a l ( v (t) = (V est) ) .E x p l i c i t l y i n d i c a t e t h e v a l u e o f t h e c o m p l e x a m p l i t u d e V a n d t h e c o m p l e x f r e q u e n c y s . R e p r e s e n t e a c h

c o m p l e x a m p l i t u d e a s a v e c t o r i n t h e V - p l a n e , a n d i n d i c a t e t h e l o c a t i o n o f t h e f r e q u e n c i e s i n t h e c o m p l e x

s - p l a n e .

a ) v (t) = cos (5t)b ) v (t) = sin

8t + 4

c ) v (t) = et

d ) v (t) = e(3t)sin

4t + 34

e ) v (t) = 5e(2t)sin(8t + 2)f ) v (t) = 2

g ) v (t) = 4sin (2t) + 3cos (2t)h ) v (t) = 2cos

100t + 6

3sin 100t + 2

P r o b l e m 6 :

E x p r e s s e a c h o f t h e f o l l o w i n g s i g n a l s ( F i g u r e 2 ) a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f d e l a y e d a n d w e i g h t e d s t e p

f u n c t i o n s a n d r a m p s ( t h e i n t e g r a l o f a s t e p ) .

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 8 / 2 . 2 9 /

8/8/2019 m10348

3/6

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 1 0 3 4 8 3

10

t1

s(t)

( a )

10

t1

s(t)

2

( b )

10

t1

s(t)

2

( c )

t1

s(t)

11

2

( d )

t1

s(t)

-1

1

2 3 4 h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 8 / 2 . 2 9 /

8/8/2019 m10348

4/6

8/8/2019 m10348

5/6

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 1 0 3 4 8 5

x(t)

t1

y(t)

t1

1/2

1/2

1

12

F i g u r e 5

a ) W h a t i s t h e s y s t e m ' s o u t p u t t o a u n i t s t e p i n p u t u (t) ?b ) W h a t w i l l t h e o u t p u t b e w h e n t h e i n p u t i s t h e d e p i c t e d s q u a r e w a v e ( F i g u r e 6 ) ?

x(t)

t1

2

2 3 4

2

F i g u r e 6

P r o b l e m 9 : C o m m u n i c a t i o n C h a n n e l

A p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g c o m m u n i c a t i o n c h a n n e l c a n b e m o d e l e d a s a l i n e a r , t i m e - i n v a r i a n t s y s t e m . W h e n

t h e t r a n s m i t t e d s i g n a l x (t) i s a p u l s e , t h e r e c e i v e d s i g n a l r (t) i s a s s h o w n ( F i g u r e 7 ) .

x(t)

t1

1r(t)

t1

1

2

F i g u r e 7

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 8 / 2 . 2 9 /

8/8/2019 m10348

6/6

C o n n e x i o n s m o d u l e : m 1 0 3 4 8 6

a ) W h a t w i l l b e t h e r e c e i v e d s i g n a l w h e n t h e t r a n s m i t t e r s e n d s t h e p u l s e s e q u e n c e ( F i g u r e 8 ) x1 (t) ?b ) W h a t w i l l b e t h e r e c e i v e d s i g n a l w h e n t h e t r a n s m i t t e r s e n d s t h e p u l s e s i g n a l ( F i g u r e 8 ) x2 (t) t h a t h a s

h a l f t h e d u r a t i o n a s t h e o r i g i n a l ?

x1(t)

t1

1

2 3

t1

1

1/2

x2(t)

F i g u r e 8

P r o b l e m 1 0 : A n a l o g C o m p u t e r s

S o - c a l l e d a n a l o g c o m p u t e r s u s e c i r c u i t s t o s o l v e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e y i n v o l v e

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . S u p p o s e w e a r e g i v e n t h e f o l l o w i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n t o s o l v e .

d

dt y (t) + ay (t) = x (t)

I n t h i s e q u a t i o n , a i s a c o n s t a n t .

a ) W h e n t h e i n p u t i s a u n i t s t e p ( x (t) = u (t) ) , t h e o u t p u t i s g i v e n b y y (t) =

1 e(at) u (t) . W h a t i s t h e t o t a l e n e r g y e x p e n d e d b y t h e i n p u t ?

b ) I n s t e a d o f a u n i t s t e p , s u p p o s e t h e i n p u t i s a u n i t p u l s e ( u n i t - a m p l i t u d e , u n i t - d u r a t i o n ) d e l i v e r e d t o

t h e c i r c u i t a t t i m e t = 10. W h a t i s t h e o u t p u t v o l t a g e i n t h i s c a s e ? S k e t c h t h e w a v e f o r m .

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 3 4 8 / 2 . 2 9 /