|M E-GATE-2012 Paper|
Transcript of |M E-GATE-2012 Paper|
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
���������������� ���������������
�
��� ������ �� ��� ��� �� ����� ��� ���� �� ������� ���� ������ ��� ������������������� ����������
� ���� ����� ������������� �
� � �� ��������� �!�������!����������
� �"�� #�������������������������� �������
� �$�� %&���'����!����������������
�����(�)�� ��
�����
*�� ��"�"�&����� ��� �������������������������������� �������+������������*��������!'�������������+����������!����������+,+�������++,�++�������-.� � �� ��������� �� ����� ��� ��� ���� ���� ���� �� ��� ��� /+��0������ ��������������� ����������������
� ���� �*+� � �� �1+� �"�� �2+� �$���*3+�
����(�)�����
�����
4�� �� �� ��� �' ���� ��� ������� �++��� ��� ������ /+��� ��� ������ !��� ����������� ���� ���������������������*/�������������������������������
� ���� +� � �� *�+1� �"�� *+�1� �$���3��3�
����(�)��$��
56�()� 7�������������!� ��'������
�
* *� � * *
�* �
*
*
� � � �
�� �
�
/+� �++ �3��3*
*/
π = π
= ×
= × =
�
� * �
�
� �8��������������������9� �++ 3��3*:
�
−× = �
3�� ���& ����'� ����� �� ��� ��� � �� ��� 6��� ��� ��� ������ ��� �� ���!�������� ��������� ;� ����� ��� �!�� ��� & ����'� ��� ��� � ���,� �� ����� ��� � ���&�& ����'�������� ���,����<���������! ���& ����'����!�������������*��������� �������� ��������& '��%��;*�9�������;��9��*,������������������������
�
�
�
�
�
� ���� +� � �� �� �"�� +�/� �$���+�*/�
����(�)��"��
�
*�
��
<
�;
*;
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
/�� ���������������� ����������������������������������������&����
� �������,�� �� '����������� � �� ���,���� '����������� �
� �"����������� '����������� �$�������,�� �� '�����������
����(�)�����
�
=�� �� ��� ����� ������������� ��������� ���������� �� �&���! � �������� �������������������� ��������8���������� ��������8*��������� �����������������������>���������'������ �∆ ��������������
� ���� *
�
8�#
8
� �� �� �
� � �� �
*
8�#
8
� �� �� �
� �"�� *
� �
8 >�#
8 �
� �−� �
� ���$���?���
����(�)�� ��
�
1�� %� ����������� ��&�! ��,� ��� ��� ��� ���& ����'� ��� ��� ������� ����� �������� ��� ����0�,� ��� ��� ��� & ����'� ����0��� ��� ��� �� ���� ��� ���� ��� �������������������������
�
�
�
�
�
�
�
� ���� +�+/� � �� +��� �"�� /�+� �$���+�+� �
����(�)�� ��
�
2�� ������� ����� ��������������������������*+��,��������*++�����������*+��,�������������� '�� ��%���������������=++���,������������'�������� '�� ,���@�� �����
� ���� 4A/� � �� 1A+� �"�� �/2+� �$��4�=+�
����(�)�� ��
56�()��� *�B�5� �� � ' �� %�
*= �
�
* **
*
�# *+ +�*% +�3 �� �
* *
* � * =++� =*�24 ��� 0�
=+ =+
�B�5 +�3 =*�24 1A+@
*
×= = = −
π × π ×= = =
= × × =
�
�
A�� ������ &��!������ ����C� �����!D��������������E������������������������ ������������!����������������!����������� ��6������%�������.�������� ������5���������������������6������� ��������
� ����*EC
*5%� � ��
*EC
5%� �"��
**EC
5%� �$���
*3EC
5%�
3/ /
*/
� ����������������
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
����(�)�����
56�()���*
% *
� '5 E
�6= �
� ����� �������, �
� �
�'5% E6 "�6
= + �
� ����������������,�����
� 5%�'�9�*
� *
E6" 6 "
*+ + �
� 7������� &��!������6�9�+,��'
+�6
= �F 6 + ' += = �
� 7�������������� � �" " +, G�= = �
�* *
��6
E6 EC' H��6���� �� ����'
*5% *5%= = �
�
�+�� 7����� ���� ����� ������������������������,�������������������� �!��� ��� ��������������������!�������� ��������������������!���������������
� ���� �� � �� *� �"�� 3� �$���2�
����(�)�"��
56�()��"������ � ��� ��� ���������� �����6�����!�������9�*
*
3 5%
C
π�
� "������ � ������ ������������ �����������!���� ����*
*
5%
C
π�
� �
*
��
��
8G�, 3
8= �
�
���� ���69+,����������� ( ) 4� 6 6 �= + ������
� ���� ����6�����&� �� � � �� ���������&� �� �
� �"�� ������ ����'� � � �$�������������� �����
����(�)��$��
56�(�)����� ������� ( ) 4� 6 6 �= + ��������������� �� ��������6�9�+,� ���� �� ���������
�������������&���������,��������&��'������������
� �
�
�
�
�
�
' �
6 �� �
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
�*�� 7��� ��� ������� � ������,� * * *6 ' I �+ + − ,� ������� ������������ �&����� ��� ������
������ �, ,+
* *
� �� �� �
������&�!'�
� ����� �� D
* *+� � � � ��
� �� D
* *−� � � �"�� �� ���������������$�� �� � �
� D �4 4 4
+ +� � �
����(�)�����
56�(�)�J�&�������� ����������� * * *6 ' I �+ + = ������������� �, ,+
* *
� �� �� �
�
� ����� �&���������������� * * *6 ' I � ++ + − = ����� �, ,+
* *
� �� �� �
����
�� � � �� D +�� � D
* * * *+ + = + �
�* *
� �� �
� �* *G������������ �������� �&���� � D* *� �
* *
+= = +� � � �+� � � �� � � �
�
�
�4�� E���������� �������� ���������������������������������������������������������
������� ��������
8� "����� �� ��� �
>� ����$������ *� �����
#� ����� 4� ��� ������������&�
�� $��������� 3� "�������&�
� �����8)3,�>)�,�#)*,��)4� � � �� 8)3,�>)�,�#)4,��)*�
� �"�� 8)�,�>)*,�#)3,��)4� � �$��8)�,�>)4,�#)*,��)3�
����(�)�����
�����������
�3�� %��!����&�D���������,��������������!�������II �����������������������������,���������� ����&� �����
� ���� %�������������� '� �
� � �� $�������������� '�
� �"�� $�����,�!��������! ��������������
� �$�� %�����,�!��������! ��������������
����(�)��$������������
�
�/�� %�����������! �����! ',�������������I�+�+3++�+�+*/�+++ ��
+− ������������ �����
��I+�+4++�+*+*/�+++ ��
++ �������6��������������������������������! '����
� ���� 3+� � ���4+� �"�� *+� �$���+�
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � �
����(�)��"��
����������E�6������������9���6�������I����������K����������I������ ����
�����������9�*/�+3+)*/�+*+�9*+ �µ �
�
�=�� $��������� �I��������������� ,������������������
� ���� �������������� ����������� ���������������� ������� �����
� � �� �!�&���������������� ���������������� ����������
� �"�� �!�&���������������� ���������������� ������� �����
� �$��� �������������� ����������� ���������������� ����������
����(�)��"��
������������
�1�� �� � � ���� �������� �� *++��� ������� ����I��� � ����� ���� ���� ��������� ������,�
�9+�+**/����� ����/++������&� ������� � ������� ��� 4+�*� 0� ��������� ����
������������������������ *�������9A�2��0� ��
� ���� ��=��2� � �� +���=� �"�� �2�**� �$��*4*�4=�
����(�)�����
�56�()��
*
**
+�*+�+**/ /++ � �
+�*�C; 3G ��=��2�*�$ * A�2� +�3
× ×Π ×
= = =× ×
�
�
�2�� 7��������L��������,�����!������&��' ( )α ,��������&��'� ( )τ ������ ���&��' ( )ρ ����
� ����!'����L������
� �����α + ρ = τ � � �� +ρ + α + τ = � �"�� �α + ρ = � �$�� +α + ρ = �
����(�)��"�����������
�
�A�� ���������������!��������!�����������������'���������������� �'����4*/��+�@0��� ��� �&�� ��� �� �����������6���� ��� �/�8�������L�� ��'� ���'������������ +�A�� ��� ��� ���� ��� ��� ��������� �L���� ��� &������ ��� �/�8�� �����9**/�A3�@0��������9*/A2�4�@0���������& '����������� �������������������+��0���B�������������� ���'����������� ���! ��������������������������!����E����(�
� ���� =�/� � ���2�A� �"�� A��� �$��*1�+�
����(�)�� ��
56�()�� � � *8��� � �� � � �+ �4*/� �**/�A3 +�A �*/A2�4 **/�A3�•
= × − = × − + × − �
� 2A++B@0� 2�AE�= = �
�
*+�� ����� �������������������������������� ��� �������������������������(�
� J���%(�8��������� �������������� �������������2+������� �6��� �4+M��
� J��� %%(� 8����� ���� � ������� �� ��� � �� ��� �������� �*+��� ��� � �6� �� �**�/M��
� %������������������33+���,������������������������
� ���� �*++� � ��A++� �"��21/� �$��1*+�
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
����(�)�� ��
56�(�)���7���� ��� ������
��
� *
* �
� ��� �2+���4+; ����' �����
� ��� �*+"��**�/ �
ϕ= = =
ϕ�
� *� �33+ +�=*/ A++ ���= × = �
�
*��� ���� ���������������������� ����������� ���������������I��� �� ������������ ���& ����'�ω ������� ������ �����α ������������������� ����������������������������������������
� ���� ?��� � �� �α � �"�� ( ) ( )** *� �α + ω � �$�� *�ω �
����(�)���������������
�
**�� �������� ��������� ��� ������!D������������� ���������%������������������ �� � ��� ������� !'� �:� ��� ��� �������� ��� ������ !'� �:,� ����� ������� � ������� ������� ��� ���,� ��� ������� ����� �� �������������� �����������������
� ���� +� � �� �� �"�� ��+2� �$���*�+*�
����(�)��$��
56�()���G��������������������������� ��� �� �σ ��9�8�
*��
'���� '��� �����������!��������,�����,������ �
8 ��� � ��� � ����� �����
*σ = + − �
$���������������!�&�L�����,� ( )� � ���= �����������&���������
+�+��
= ����
��+�+�
�= − �
<������!�������������,� �
�
�+�+*,
σ= ∴
�������������� �!�*:��
�
*4�� �������� ����!��������������� ��'96�����������!� �� *' 6= � �����
6)'�� �����
� ���� �0=� � �� �03� �"�� �04� �$����0*�
����(�)�����
56�()�������&����&�����'�9�6����'�9�6*��� &�����������*�,���
� G�&�6�9�+,�6�9���
� ( )�*
+��� 6 6 �6= −� �
�
�* 4
+
6 6 � �
* 4 * 4
� �= − = −� �� �� �
�
���L����
== �
+
�
� �
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
*3�� "������ ��� ������� ( )� 6 6 ���������&� �)� 6 ���= ≤ ≤ �
( )�����������69+,�� 6 ��� �
� ���� "�������������������! � � �� ��)��������������������! �
� �"�� "������������)��������! � �$����������������������������! �
����(�)��"��
56�()��J�&�������������6��9�N6NO�
� N6N��������������6�9�+�!��������������! �
�
*/��*6 +
� ��� 6 ��
6→
−� �� �� �
����
� ���� �03� � �� �0*� �"�� �� �$���*�
����(�)�� ��
56�()�6
*6 +
� ��� �
6→
−* *
* *6 + 6 +
6 6*�� ��
* * � � � * � *
3 *6 63
*
→ →
� � � �� � � �� � � �= = = × =
� �� �� �
� �
�
� �� � �
���������������� �� �������������
�
*=�� "� �� �������������I�����,������������ ���! ��������������������������� �������&�! ��(�
� ��I�������! ��� � � */���
� ������������������ � *���
� #���� �� �����!�������������� +�+=���
� $��� ����� � � +�+/���
� ���� *3�24� � �� *3�2A� �"�� */�+�� �$���*/��1�
����(�)�����
56�()�����$��������������9�$��������� ���K�*�6������ �� ����)����� �����
�� */ * +�+= +�+/= − × − *3�24 ��= �
� � � ��������
*1�� %� �� ��� � ����� �� ��� ������������ 3�+��� ������� �� � �� ��,� �� ������ ��������� �3+��� ��� �������� 2���������� �+:� �������� ��� ��������� ����� ����!���������������
� ���� +�++=� � �� +�+4�� �"�� +�+=*� �$��+�=++� �
����(�)��"��
�56�()�� ( )G $ � ���∆ = − α �
�G +�� 2
��� � �$ 3�+
∆ ×α = − = − �
� �4�/1α = �
� 4�/1 �������2+
πα = × �
� +�+=* ������α = �
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � !�
*2�� %���$"������ �����������,����&� ���)���� �����������������������!�������� ���; *+ / = + ������������ ���� �����&�����!���/������1����G��
���; ������ �������&� ���� ��;� ����������� ����������&����� �����3++�� ���
/++����������� ����������������������������,� ��������������&� �������
���������������������������� ��������������(�
� ���� 3/;,�3/+�� � �� 1/;,�//+�� �"�� A/;,�A/+�� �$���/+;,��/++��
����(�)��"��
56�()�� ���; *+ / = + �
� ���� /��, ; 3/ ;= = �
� ���� 1��, ; // ;= = �
�+
+ +�
�
;; ; % ���� ; �� ��������� &� ���
%
�� % �� ����� ������� ������
= −����
� ++
�
;3/ ; /++
%= − × �
� ++
�
;// ; 3++
%= − × �
� <����� &�����������*�������
� �; A/ &� ��= �
� �% A/+�= �
�
*A�� �� ���� ������������II ��������� ������� ���� �������! � �&������ � ��������
������ �������� ����� ��� ������ �� ��,� �*� ��� �4� ��� � ���! ,� ���
�������������������& ����'���(�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ���� � � * *4
4 4 4 4
� �*�� �
� �
� �ρ ρ+ +� �ρ ρ� �
� � �� ( )� * 4*� � � �+ + �
� �"�� � � * * 4 4
� * 4
� � �*�
� �ρ + ρ + ρ� �ρ + ρ + ρ� �
� �$�� � � * 4 * 4 � 4 � *
� � * * 4 4
� � � � � �*�
� � �
� �ρ + ρ + ρ� �ρ + ρ + ρ� �
�
��
*�
4�
�ρ
*ρ
4ρ
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � "�
����(�)�����
56�()������ '��� ��� �P��L�����,����6�������,�
�* *
� � * *� *
4 4
8 ; 8 ;�I �I
* *+ + = + +
ρ ρ�
� ����������� � * � * ���? ? , ; + F8 8= = = �
� G�������������
�*
� *
4
8 ;
*=
ρ�
� �*
4
*8; =
ρ�
� ��� � � � * * 4 48 �� �� ��= ρ + ρ + ρ �
� <�����!�������������,�
� � � * ** 4
* 4 4 4
� �; *�� �
� �
� ρ ρ= + + �ρ ρ�
�
�
4+�� ����� ( )�" 3��2�@0�� B= ⋅ ����2+M"������������� � �������6�������������
������ ����������+�/��0������� ( )�" ��@0�� B= ⋅ ��������4+M"�������������� ���
�������*�+A��0���%����������&�������������6���������+�2,����CE�$����M"�����
� ���� 3+� � �� *+� �"�� �+� �$���/�
����(�)��"��
56�()��� � *
� �
� ��
�� � �
�� � �"
" �� � �
−ε = ×
−�
�
*
*
� � * � * �
*
*
�
��
� � � � � � � �
�
��
� �� *
�2+ � �3��2 +�/+�2
*�+A � �2+ 4+�
� 3+ "
� � �� � � � � �� � �
+�/ 3��2 3+ *�+A � �� 4+�
� 1+ "
�+ " CE�$ �+ "
−×= ×× −
=
− = −
× × = × × −
=
θ = θ = ∴ =
�
�
4��� ���� ����� ���!������������� ���6��������������������������������������� ������ '� !' �∆ �� %�� ��� ����� � ��������� ��� ��� ������ � ��� ,α � .���P��
���� ��� ��� 5� ��� ��� 8�����P�� ������ ���&,� ��� ����� � ������ �& ���� �� �����!����������������
� ����( )
( )� 5
� *&
α ∆−
−� � ��
( )( )* � 5
� *&
α ∆−
−� �"��
( )( )4 � 5
� *&
α ∆−
−� �$���
( )( )
� 5
4 � *&
α ∆−
−�
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � �#�
����(�)�����
4*�� ���� �������� ���������������!�����������������������L�����/+����%������ ���! ������������������������ �����3+E8�,�������������������������'����*,������������ ���! ���������������������
� ���� 2� � �� �=� �"�� *3� �$��4*�
����(�)�� ��
56�()�����9�/+��K�H�� � ���! �3+E8�τ = �
� ���� *H= � � � ���! ���
���
1+E8��
ττ = = �
� �����, ���8
�
?= τ �
�4
48
���
� �= �? �
�=
π= � =π τ
�
�4�= /+ �+
�1+
× ×=π ×
�
� � �/�42�� �=��= ≈ �
�
44�� ����������3++�������� ���������!������������+�/��������� ����!���!�����'���� ��� ����� �� ��� �����,� ���� ��� �������� �� � ��� �2+M�� %�� �����������������������!�����������������!������+�*/,����!���������L����� ��,���������
�
�
�
�
� ���� �++�=� � �� /3�3� �"�� **��� �$���/�1� �
����(�)�� ��
56�()�������������������������������� ���������������,������ �!�����������F��*��� �!�� ���������
+�*/�
*
�F *��A
�µθ ×π= = = �
*� �2*�41/ �= �
���������L��9� ( )� *� � �− �
/3�3 � �= − �
�
43�� ��!�6��������3� ���!� �����=�! ����!� �������!� ������ ��������� '������ ��� !�6� �� ����� ������ �������� �� ������ ��� ���!�!� ��'� ����� ���� �������������������!� ��������! ����!� ������
� �����
*+� � ��
�
�*� �"��
4
�+� �$��
�
*�
3++�
*� �
�� 3++�= �
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
����(�)��$��
56�()��J�&,�#� ���
3 =�
� ���� ������� �!�# ���� #���� # �
� 8��!�!� ��'����� �����# �9�3 = /
�+ A 2× × �
� 8��!�!� ��'����� ����� #�9�= / 3
�+ A 2× × �
� 8��!�!� ��'����� ����� # �9�= 3 /
�+ A 2× × �
���������8��#�9���9��������!�&��������!�!� ����9�+�/�
�
4/�� "������ ��� �������� � L������*
*
*
� ' �'6 6 3' +
�6�6+ − = � ����� ��� !�����'�
��������� ��� ( ) ( )' + +����' � �= = �� ��� ���� �� �� ����� ��� ��� �������� �
L���������
� ���� *6 � � ���6
��*
π� �� �� �
� �"�� 6 6 ��
*
π� �� �� �
� �$�� 6 6 ��
*− π� �
� �� �
�
����(�)�����
56�()���*
*
*
� ' �'6 6 3' +
�6�6+ − = � ( )' + += �
� �� � � � ( )' � �= �
� "����'P��$�5�
� �*
*
*
�' � '' 6 *6 *
�6 �6= = = �
� � * 4 3*
�' �'' 6 *6 =6�6 �6
− − −= = − = + �
� * 4 3*
�' �'' 6 *6 =6�6 �6
− − −= = − = + �
� ( ) ( ) ( )*3 4 *
= * �6 3 +6 6 6
−+ − = �
� * *� 3 + � 3= = �
� � *= ± �
� ∴ �����L������� �������� * * *� * *" 6 " 6 " 6+ + �
� G�������������6*��
�
4=�� ����'�������� �!�����L���������&�! �������
�6 *' I 3*6 ' *I /6 ' I �
+ + =+ + =
− + =�
� ���� ����L���� ��������69�,�'9�����I9���
� � �� � '���������� ����������69�,�'9�����I9�������69*,�'9�����I9+�� �
� �"�� %�������!������� ������
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� �$���������! ��� �����
����(�)��"��
56�()��������&�L����������
�
( )( )( )
6 *' I 3 �
*6 ' *I / *
6 ' I � 4
+ + = −
+ + = −
+ + = −
�
� 5 ������������������F��*�,�����&�
� '�9��� � �����)�3��
� 5 ��������6�������*��F��4�,�����&�
� '�9��� � �����)�/��
� C����3������/�������������
� G�������&�L������������������ ������
�
41�� ����������������������������������� ��������������� �������������������
�
�+ / +
� / *+ +
+ + �+
� �= � �−�
�
� ��������������������&� ������ ��E8���<����&��E����'� ���������,����&� ������������������'� �������,���E8�����
� ���� A�/+� � �� �=�+1� �"�� *2�/*� �$��3A�3��
����(�)�� ��
56�()�� ( ) ( ){ }* * * * *L �� ** �� ** �* *4 �4
�=
*� σ = σ − σ + σ − σ + σ + σ + σ� �
� �����,� �� **�+, *+,σ = σ = �
� � ����� 44 �* *4 �4�+H /H +σ = − σ = σ = σ = �
� ∴ � L *1�24AE8�σ = �
� ��������������'� ��L
' �=�+1E8�4
στ = = �
�
42�� $��� ����������������������� ���� ��������������������&�! ���
� "������������������ � � � +�3�
� <���������������� � +�=���
� #����� � � � � Q�+M�
� "���������� � � � *�/�0��
� E�������������������'������I�� � */��������
� ���������������������)���������������������
� ����� /+��12� �+× � � � � �� /+�11/3 �+× � �
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� �"�� /��+�+3 �+× � � � �$�� /3�4A1 �+× �
����(�)��"��
56�()���� +�3= �
�
�
"
�
�
� +�=��
�+
; *�/�0�
� */ �
� ����� +�3*44 **�A
� � ��
=
α === µ
αφ = = � φ =− α
�
���������������9� ( )"
�
; ���
��� �
αφ − α × =
*�/ ����+
����*�A */ �+−×=
× ×�9� 3 /��+�+ �+ 0�× �
�
4A�� %� �� ��� � ����� ��� ��� �������,� �� �������� �� � ��� �/��� ������� ��� ��� !���� �������� �� ������/+������������$�� ����� ��������/++���,�������+�*��0�&������� �������� � �����2M����������*���� ��������������������6��,�������� ���� ����������������
� ���� 4/��� � ���4*�3� �"�� 4��*� �$��4+���
����(�)�����
56�()��� ��
�C � � "��
��
+ + += �
� ��
�
�
$C /+��H� � *��H" ���� � 1�/ ����/A� 3�/��
* *
� /++���H� +�*��0�&
� +�/2/���� 4/�� �� ���
β= = = = = × =
= ==
�
�
3+�� "������ ���� ����� '� ��� ���� �������� ��!�� ��� ����� ��� ������ ������ ��������������������%��$�����$*����������������������������������!��������& ',�������&����������7**������&�!'�
�
�
�
�
�
� ���� *
�
$�
$
� �−� �
� �� � ���?��� �"�� �
*
$
$
� �� �� �
� �$� �
*
$�
$
� �− � �� �
�
����(�)��$��
56�()�� ** *�7 � 7= − � �
� *
� $� �
� $= − = − �
�
3��� �� ���������! � � ���� � �����&���� � ���� ��������I���������������������!�����'� �'�� �������� ��� ���� ��� �� ����������� ��� #'� �����!�� ����+++�� %�� ���& ����'� ��� ��� � ���� � �� ��� ������� !'� �� ������� ��� 3,� ��� ���!�����'� �'�������������������� ������,�������� �!�
�
*
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� ���� 3� � �� *� �"�� +�/� �$��+�*/�
����(�)��"��
56�()�� �����'� �'���������� ( )
�
#δ α �
�
�# ;
;α � δ α �
%��& ����'����� ��������������!'�3���������!�����'� �'����������������!'��� ��
�
3*�� ��������������4/��������'��������+�/����������&�������������� �����������������������������������������++�8�����*/M"�������& '��J�&��������������������������������������*/M"����4��1�8�,����� ���&��������'������������������������
� ���� =1:� � �� //:� �"�� 24:� �$���1�:�
����(�)��$��
�
34�� �� �� �)� ���D���������!D�����������&��� ������7��������������������� ���� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� �+��� ��I� ��� ���� �� ���� ��� 4+���� %�� ���� ���! ������������������� �����A3E8�,�������������������������������������� �,������6������ ���! �����&��� ������������
�
�
�
�
�
� ���� �3�33� � �� �1�A*� �"�� �A�A4� �$���**��=�
����(�)��"��
56�()��� � ���! 8 +�1+1� �= τ �
� 8 +�1+1 �+ 4+ A3 �AA41�3�= × × × = �
� 8 �A�A43�E= �
�
33�� ��������������������������������������������������� ����*C�������������� ���������� ���� ������� ��������I��� �L�� �!�������������!'�����������������������7���&�'� ��� ���� ��������&�!�����,�� ����� ������������� ���������������,���������������� ���L��'��������'������(�
� �����
��
� � ��*�
��
� �"���
*��
� �$�� �3�
��
C C
�
�
77
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ��
����(�)��$��
3/�� �������������������������������� �������������������
� 66 '' 6'3+E8�H� �++E8����� 3+E8�σ = σ = τ = �
� ����������������E���P������ ��������������&�����������������E8�����
� ���� 3+� � �� /+� �"�� =+� �$����++�
����(�)�� ��
56�()�� 66 '' 6'3+E8�H �++E8�, 3+E8�σ = σ = τ = �
� #���������E���P������ �9�
*
66 '' *6'*
σ − σ� + τ �
��
* *4+ 3+= + /+ E8�= �
�
3=�� ����&���C�� ������������������������� ( ) ( )�
7 �� � �
=+
������&�!'�
� ���� ( )� � ���= � � �� ( ) �� � ���−= � �"�� ( ) �� � −= � �$��� ( ) �� � � −= − �
����(�)��$��
56�()� ( )� � � �
C� � �� � �
− � �= −� �� � ++� �
�
� � � �C
� � �− � �−� �+� �
�� −= − �
�
31�� 7�����������6�/ 4
�� 4
� = ��
,���5����������� �I�����&�����������&����
� ����
�
*
4
*
� �� �� �� �� �� �
� � ��
�
*
�
*
� �� �� �� �−� �� �
� �"��
4
�+
�
�+
� �� �� �� �−� �� �
� �$��
�
/
*
/
� �� �� �� �� �� �
�
�
����(�)�� ��
56�()�� ( ) ( )/ 4� % + + / 4 4 +
� 4
− λ− λ = � = � − λ − λ = =
− λ�
� * *2 �/ 4 + 2 �* + *, =� λ − λ + − = � λ − λ + = � λ = λ = �
� ( )� *% - +− × = �
� ��,� *λ = �
� � �
*
64 4 +
6� � +
� �� � � �=� �� � � �
� � � �� �H� � *
� *
6 6 +
6 6
+ ==
�
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� G������L�����&��������
�
*�
*
� � �
− � ��
�
�$$���%�����&�������'��!�(��"�
�
� ���� �� � ������ ��!��� �"� ��� ",� ���� ��&��� ������ ������ � ���� ����++��*,� ��� ��!D���� ��� �� ����I��� � ����� 7� ��� ����� �� ��� ������� � � ���D��������������
�
�
�
�
�
�
�
�
������
����������
32�� �����6����������7��������������!���� ������"���������������6�� ����������'���������������!���$�5������6����++E8�����
� ���� 2��1� � �� ����/� �"�� �3��3� �$��**�4+�
����(�)�� ��
56�(�)���7����C��P�������,�
� �
�
�
��
7 77
���+/ ���*+ ���4/
7 +�2A=/7H7 +�14*7
7��6 ���� ���� �� 7 �� ����� �++E8�
���
+�2A=/7�++E8� 7 ���/3�32��� ����/B�
�++
= =
� = =
∴ = =
= � =
�
���������������
3A�� %�� 7 ���= ,������������������&����� ��������������& ��������������� �
��B�����
� ���� +�=4� � ��+�4*� �"�� ��*=� �$�����3=�
����(�)�����
����������
&����� ������������ ��# 7 ���4+ +�=447
7 �B� # +�=44B�
= == ∴ =
�
�
�$$���%�����&�������'�#�(���
�
� �� ����������� ������� !��� �*+�8�� ��� 2++�8�� �� �� ��� � &������
���������� �'� � ����� #)�43�� ��� ��� ���������� ��� ��������� ���� ���
"
�
=+M
3/M7
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
���������� ��� ���������&������ ��� �&�� ��� ������ ��� ��������� �L�����
�������� � ��� ���� ��� ��� ��������� ��� +�*��0��� 8�������� ���� #)�43�� ��� ���
�� ���(�
���������#)�43��
( )8 �8� � �M" � ( )�� �@0�� � ( )�� �@0�� � ( )�� �@0�� B⋅ � ( )�� �@0�� B⋅ �
�*+� )**�4*� **�/� *41� +�+A4� +�A/�
2++� 4��4�� A/�/� *=1�4� +�4/3� +�A�2�
�
���������#)�43��
( )8 �8� � �M" � ( )� �@0�� � ( )� �@0�� B⋅ �
2++� 3+� *1=�3/� +�A/�
�
/+�� ���������L������������������������������
� ���� /�A3� � �� ��24� �"�� 1�A� �$���4A�/�
����(�)��"��
56�()�����������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����������8�����L������������������� ( )� * �� � �= − �
� ������������������������������������������������ ( )+�* *1=�3/ *41= × − 1�A��= �
�
/��� �����������������������6����������@0����������������������������
� ���� *2�4� � �� 3*�A� �"�� 43�3� �$����3�=�
� �
� �
4 �
* �
� �3 �
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � �!�
����(�)�����
56�()����#�������������������6������ ( )� � 3� � �= − �
����������������������������������������������������������� ( )+�* *41 A/�/ *2�4 ��= − = �
�
)����$����*��������+�,�� ����&�������'���(���
� �
� 7������������ ������D��,����������&�����������!������������������� ������������������������&��������6������������������������������! �! ����
����&��'� 8��������� $����������'���
�� )� 4�
� �� 3�
"� �� /�
$� �� 3�
5� !� *�
7� �� A�
J� ��� =�
G� �,�� *�
�
/*�� ���������� ����������������D������
� ���� �)!))�)�� � �� �)�)�)�� �"�� �)�)�)�� �$���)!)�)�)��
����(�)��"��
56�()�����
�
�
�
�
�
�
����������;�������������
�
� 5 J G �1 ��'�
� " J G �= ��'�
� $ 7 G �2 ��'� H
−−−
�
���������� � $ 7 G �� ������� ����∴ � � � �
�
/4�� %��������������������&��'���� ����������������A�����+���'�,�������
� ���� "������ ����������������������������� ���������������� ��������D�������������A��'�� �
� � �� "������ ���������������� ���������������� ��������D���������������
� �"�� "������ ������������!���������� ���������������� ��������D����������������
� � * �� �
4 �
4 � = �
3 �2 � A �
�+ �
1 �/ �
�� �
3
�
*
5�
=
J�
=
G�
"
/�
$
3�
7
A�
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � �"�
� �$��"������ ���������������������� ���������������� ��������D�������������1��'�� �
����(�)�����
56�()� %�����������������&��'�7���������������+���'�,�������� ������ ������ �������������D������������� �����������A���'���
)����$����*��������+�,�� ����&�������'���(��
�
� ��������������!������II ����4++�8�,�/++B��������& ����'�����+�0���%�� �&������II � ��� �++�8������� ��& ����'� ��� �2+�0��� ��� � �� ���� ��� 2+��*�� ����������������������"������++2@0���B��
�
/3�� ����6�������������������������
� ���� /�=B� � �� /4*B� �"�� 323B� �$��3=2B�
����(�)��"��
56�()�� * *� � * *� �Q��& �0�*��9�� �Q�& �0�*� �
�
* *
* �� * � � *
* *
*
*
& )& �� � " �� � �
*
�2+ �+�++2 �/++ � �
*
� 323B
= − = −
− = × −
=
�
�
//�� ���6��������������II �����*����
� ����A+��� � ���/=�4� �"��3�3� �$���*�A��
����(�)��$��
56�()��7��� �������' L������ ��, ���
� �
� � � * * *
� * � * �� � * * * �
� * * � *
**
� ; � ;
8 8 8 � ;� ; � ; � �
#� #� 8 � ;
4++ 323 �+� 2+ �*�A��
/++ �++ �2+
ρ = ρ
× = × � = × ×
×= × × =×
�
�
������������#���� ���������������
�
/=�� ��������������������������������������������&�!'� */L,�����L�������������
�������������������������� �������������������������������#��/+������������ ��!�� ��� ����� ��� !� �������� !'� ��� ����� ����� ����� ��� ������� �����6���I�����
� ����/� � ���+� �"���/� �$��*/�
����(�����
56�()� *8 /+L /L= − �
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � �#�
�
*
*
�� � �/+ �+LH +
�L �L
� �� ��6 ���� �� /+ �+L + ��, L /
= − <
∴ − = =�
� 5 �������������������
�
/1�� "����� ��� ����� ����������� � �����&� ����� ��� ������� ��&� ! ��� ������� ������� ��������(�
� �����P��������������RRRRRRRR�����������������������
� ��������� � �������� �"������ �$�������
����(�����
�
/2�� "������������������ '����--������(�
� ������'� ��&� ��� ��� ��'� !���� ��� ��� ��&��� ������� ��� ���� G�����������
� � ������������'S��6������������� ��������������� �� ������
� �"����� �������� ����� '� ����� ���� �� ������ ��� 7���'� C���� ����,� !��� ������� �������� ���������
� �$������������'S��6����������������� �����������&�'� ���
����(��$��
�
/A�� ����������� ��� �� ������������ ��� ��� � ����� ������� ��� ����������&�! ����
� ����.����
� ����$������� � ��$�&� �� �"��$������ �$��$���
����(�����
�
=+�� "����� ��� ����� ����������� � �����&� ����� ��� ������� ��&� ! ��� ������� ������� ��������(�
� $������&�� �RRRRRRRRRR������������������������������������� &������� �����
� ������������ � ����!����� �"�������� �$��� �������
����(�� ��
�
����������������� �� �������������
�
=��� ������������',�8���)�������������������������7� ��%��&������������������� � ���&���� ��� �� ��� ��� �� ��� ������� ������ #L������(� G��������� )����,� ����� !� �&�� �! � ���� $�',� 5&��� ��� �������'� �����������������������,�6�������!������
� ���������������� �����������!�����������������!�&���&��������
� ����J��)������������'� �
� � ��-����!���
� �"�����������������������������������&�
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
� �$���������)������������'�
����(��"��
56�()� J����������������������&����������� ��� �� '� �������
�
=*�� J�&�����L����������,��$�"J�7B�@8,����6���������
� �����;� � ����� �"��8;� �$��8��
����(�����
56�()�
� �
�
�
�
=4�� �������������� �����������������"�##5"���
� 8(� ������1����������'����� ���������1���������������� ����
� >(� ������1����������'����� ���������1����������������&������������ ����
� #(� $��! ���������'����� �������! �������������� ����
� �(� $��! ���������'����� ���� �&��������������&������������ �����������
� ����8,�>� � ��>,�#� �"��8,�#� �$��#,���
����(��"��
56�()� 8����#�� ��'���� �������
� 5 ��������������� ����T�,�*,�4,�3U����������������� '�
�
=3�� ��������!� �� ���������������!�'��������!���!���������������� ����-����.��-����� ���=+:����.����� ���3+:��������������!���!����� ��������!���!��������!D���������L�� ��'�������������������������L�� ��'����������������� ��! ����-S���������!���!��,�A=:����� ��! �����.S���������!���!��,�1*:����� ��! ��
� ������!�!� ��'������������� '�������������!���!�,������������������!�� ��! ,��������!'�.����
� ����+�*22� � ��+�443� �"��+�==1� �$��+�1*+�
����(�� ��
56�()� � � 6� � '�
� ���� '� =+:� 3+:�
� # ��! � A=:� 1*:�
� �&�� � +�/1=� +�*22�
� ( ) +�*228 6 +�443
+�/1= +�*22∴ = =
+�
�
=/�� ���� ����� �����'���������������������������������������������������� �
��&�������!���� ����������� �������������� �������L������ *' *6 +��6= − �
����'�������������������������������������6����������! ���������������������
� ����2������ � ���+������ �"���*������ �$���3������
����(�� ��
56�() *' *6 +��6= − �
�$ , "J , 7B , @8 , �;
*+ 4+ 3+ /+
4+ 3+ /+ =+
�� ����������� ������ �� � ���������������
© All rights reserved by Gateforum Educational Services Pvt. Ltd. No part of this booklet may be reproduced or utilized in any form without the written permission. � ���
�*
*
�'* +�*6
�6
� '+ ' ��6 ����� �� * +�*6 +
�6
6 �+
' *+ �+ �+�
= −
< ∴ − =
� =∴ = − =
��