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Induction
Luigi Santocanale
Laboratoire d’Informatique Fondamentale,Centre de Mathematiques et Informatique,
39, rue Joliot-Curie - F-13453 Marseille
Luigi Santocanale Induction 1
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Plan
1 Les principes d’induction arithmetiques
2 L’induction structurelle
3 Induction et relations bien fondees
4 L’induction sur les regles
Luigi Santocanale Induction 2
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
L’arithmetique de Peano
Langage : L = 0, s,+,=.
¬∃x( 0 = s(x) )
∀x , y( s(x) = s(y) ⇒ x = y )
∀x( x + 0 = x )
∀x , y( x + s(y) = s(x + y) )
Les axiomes d’induction :
( P(0) ∧ ∀x( P(x) ⇒ P(s(x)) ) ) ⇒ ∀yP(y)
Exemple : on peut deriver ∀yP(y) ou
P(y) ≡ y 6= 0 ⇒ ∃z(s(z) = y)
Luigi Santocanale Induction 3
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
L’arithmetique de Peano
Langage : L = 0, s,+,=.
¬∃x( 0 = s(x) )
∀x , y( s(x) = s(y) ⇒ x = y )
∀x( x + 0 = x )
∀x , y( x + s(y) = s(x + y) )
Les axiomes d’induction :
( P(0) ∧ ∀x( P(x) ⇒ P(s(x)) ) ) ⇒ ∀yP(y)
Exemple : on peut deriver ∀yP(y) ou
P(y) ≡ y 6= 0 ⇒ ∃z(s(z) = y)
Luigi Santocanale Induction 3
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Remarques
Soit
x < y ≡ ∃z( x + s(z) = y ) .
On peut deriver, dans l’arithmetique de Peano, le principed’induction complete ((( course of values ))) :
∀x( ∀y( y < x ⇒ P(y) ) ⇒ P(x) ) ⇒ ∀zP(z)
Luigi Santocanale Induction 4
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction structurelle
Ensembles inductives, exemple, les termes :
∀x ∈ X , x ∈ T (Ω,X ),
si f ∈ Ω, ar(f ) = n, et t1, . . . , tn ∈ T (Ω,X ),alors f (t1, . . . , tn) ∈ T (Ω,X ),
rien d’autre appartient a T (Ω,X ).
Principe d’induction structurelle : si
∀x ∈ X ,P(x),
P(t1), . . . ,P(tn) implique P(f (t1, . . . , tn)),
alors,
P(t) , pour tout t ∈ T (Ω,X )
Autres exemples : les arbres, les types inductives de OCaml. . .Luigi Santocanale Induction 5
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction structurelle
Ensembles inductives, exemple, les termes :
∀x ∈ X , x ∈ T (Ω,X ),
si f ∈ Ω, ar(f ) = n, et t1, . . . , tn ∈ T (Ω,X ),alors f (t1, . . . , tn) ∈ T (Ω,X ),
rien d’autre appartient a T (Ω,X ).
Principe d’induction structurelle : si
∀x ∈ X ,P(x),
P(t1), . . . ,P(tn) implique P(f (t1, . . . , tn)),
alors,
P(t) , pour tout t ∈ T (Ω,X )
Autres exemples : les arbres, les types inductives de OCaml. . .Luigi Santocanale Induction 5
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
De l’induction structurelle a l’induction complete
Definissons par induction la fonction de complexite
χ(x) = 0
χ(f (t1, . . . , tn)) = 1 + max(χ(t1, . . . , tn)) .
L’induction structurelle pour P(t), t ∈ T (Ω,X ), se reduit auprincipe d’induction complete pour Q(x), x ∈ N :
Q(x) ≡ ∀t ∈ T (Ω,X )(χ(t) = x ⇒ P(t) ) .
Probleme : ca veut dire quoi (( definir par induction )) ?Solution :prendre cette propriete (possibilite de definir par induction) commepoint de depart pour definir les ensembles inductifs.
Luigi Santocanale Induction 6
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
De l’induction structurelle a l’induction complete
Definissons par induction la fonction de complexite
χ(x) = 0
χ(f (t1, . . . , tn)) = 1 + max(χ(t1, . . . , tn)) .
L’induction structurelle pour P(t), t ∈ T (Ω,X ), se reduit auprincipe d’induction complete pour Q(x), x ∈ N :
Q(x) ≡ ∀t ∈ T (Ω,X )(χ(t) = x ⇒ P(t) ) .
Probleme : ca veut dire quoi (( definir par induction )) ?Solution :prendre cette propriete (possibilite de definir par induction) commepoint de depart pour definir les ensembles inductifs.
Luigi Santocanale Induction 6
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
De l’induction structurelle a l’induction complete
Definissons par induction la fonction de complexite
χ(x) = 0
χ(f (t1, . . . , tn)) = 1 + max(χ(t1, . . . , tn)) .
L’induction structurelle pour P(t), t ∈ T (Ω,X ), se reduit auprincipe d’induction complete pour Q(x), x ∈ N :
Q(x) ≡ ∀t ∈ T (Ω,X )(χ(t) = x ⇒ P(t) ) .
Probleme : ca veut dire quoi (( definir par induction )) ?Solution :prendre cette propriete (possibilite de definir par induction) commepoint de depart pour definir les ensembles inductifs.
Luigi Santocanale Induction 6
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
De l’induction structurelle a l’induction complete
Definissons par induction la fonction de complexite
χ(x) = 0
χ(f (t1, . . . , tn)) = 1 + max(χ(t1, . . . , tn)) .
L’induction structurelle pour P(t), t ∈ T (Ω,X ), se reduit auprincipe d’induction complete pour Q(x), x ∈ N :
Q(x) ≡ ∀t ∈ T (Ω,X )(χ(t) = x ⇒ P(t) ) .
Probleme : ca veut dire quoi (( definir par induction )) ?Solution :prendre cette propriete (possibilite de definir par induction) commepoint de depart pour definir les ensembles inductifs.
Luigi Santocanale Induction 6
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction et foncteurs
Soit
Ωn = f ∈ Ω | ar(f ) = n
T (Y ) = X +∑n≥0
Ωn × Y n .
T (Y ) est un foncteur :
h : Y −→ Z T (h) : T (Y ) −→ T (Z )
T (h)(x) = x
T (h)(f , y1, . . . , yn) = (f , h(y1), . . . , h(yn)) .
L’ensemble T (Ω,X ) satisfait :
γ :T (T (O,X )) −→ T (O,X )
et si α :T (Y ) −→ Y
alors ∃!f : T (Ω,X ) −→ Y telle que f γ = α T (f ).Luigi Santocanale Induction 7
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction et foncteurs
Soit
Ωn = f ∈ Ω | ar(f ) = n
T (Y ) = X +∑n≥0
Ωn × Y n .
T (Y ) est un foncteur :
h : Y −→ Z T (h) : T (Y ) −→ T (Z )
T (h)(x) = x
T (h)(f , y1, . . . , yn) = (f , h(y1), . . . , h(yn)) .
L’ensemble T (Ω,X ) satisfait :
γ :T (T (O,X )) −→ T (O,X )
et si α :T (Y ) −→ Y
alors ∃!f : T (Ω,X ) −→ Y telle que f γ = α T (f ).Luigi Santocanale Induction 7
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction et foncteurs
Soit
Ωn = f ∈ Ω | ar(f ) = n
T (Y ) = X +∑n≥0
Ωn × Y n .
T (Y ) est un foncteur :
h : Y −→ Z T (h) : T (Y ) −→ T (Z )
T (h)(x) = x
T (h)(f , y1, . . . , yn) = (f , h(y1), . . . , h(yn)) .
L’ensemble T (Ω,X ) satisfait :
γ :T (T (O,X )) −→ T (O,X )
et si α :T (Y ) −→ Y
alors ∃!f : T (Ω,X ) −→ Y telle que f γ = α T (f ).Luigi Santocanale Induction 7
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction et foncteurs
Soit
Ωn = f ∈ Ω | ar(f ) = n
T (Y ) = X +∑n≥0
Ωn × Y n .
T (Y ) est un foncteur :
h : Y −→ Z T (h) : T (Y ) −→ T (Z )
T (h)(x) = x
T (h)(f , y1, . . . , yn) = (f , h(y1), . . . , h(yn)) .
L’ensemble T (Ω,X ) satisfait :
γ :T (T (O,X )) −→ T (O,X )
et si α :T (Y ) −→ Y
alors ∃!f : T (Ω,X ) −→ Y telle que f γ = α T (f ).Luigi Santocanale Induction 7
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction et foncteurs
Soit
Ωn = f ∈ Ω | ar(f ) = n
T (Y ) = X +∑n≥0
Ωn × Y n .
T (Y ) est un foncteur :
h : Y −→ Z T (h) : T (Y ) −→ T (Z )
T (h)(x) = x
T (h)(f , y1, . . . , yn) = (f , h(y1), . . . , h(yn)) .
L’ensemble T (Ω,X ) satisfait :
γ :T (T (O,X )) −→ T (O,X )
et si α :T (Y ) −→ Y
alors ∃!f : T (Ω,X ) −→ Y telle que f γ = α T (f ).Luigi Santocanale Induction 7
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction et foncteurs
Soit
Ωn = f ∈ Ω | ar(f ) = n
T (Y ) = X +∑n≥0
Ωn × Y n .
T (Y ) est un foncteur :
h : Y −→ Z T (h) : T (Y ) −→ T (Z )
T (h)(x) = x
T (h)(f , y1, . . . , yn) = (f , h(y1), . . . , h(yn)) .
L’ensemble T (Ω,X ) satisfait :
γ :T (T (O,X )) −→ T (O,X )
et si α :T (Y ) −→ Y
alors ∃!f : T (Ω,X ) −→ Y telle que f γ = α T (f ).Luigi Santocanale Induction 7
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple : la fonction complexite
La fonction χ : T (Ω,X ) −→ N est la seule telle que
χ γ = α T (χ)
ou α : T (N ) −→ N est definie par
α(x) = 0
α(f , n1, . . . , nk) = 1 + max(n1, . . . , nk) .
Proposition
Etant donne un foncteur T , il existe au plus (a bijection prise) uncouple (µ.T , γ) (ensemble plus fonction γ : T (µ.T ) −→ µ.T )satisfaisant une telle propriete.
Cette propriete definit T (Ω,X ) de facon univoque.Luigi Santocanale Induction 8
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple : la fonction complexite
La fonction χ : T (Ω,X ) −→ N est la seule telle que
χ γ = α T (χ)
ou α : T (N ) −→ N est definie par
α(x) = 0
α(f , n1, . . . , nk) = 1 + max(n1, . . . , nk) .
Proposition
Etant donne un foncteur T , il existe au plus (a bijection prise) uncouple (µ.T , γ) (ensemble plus fonction γ : T (µ.T ) −→ µ.T )satisfaisant une telle propriete.
Cette propriete definit T (Ω,X ) de facon univoque.Luigi Santocanale Induction 8
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple : la fonction complexite
La fonction χ : T (Ω,X ) −→ N est la seule telle que
χ γ = α T (χ)
ou α : T (N ) −→ N est definie par
α(x) = 0
α(f , n1, . . . , nk) = 1 + max(n1, . . . , nk) .
Proposition
Etant donne un foncteur T , il existe au plus (a bijection prise) uncouple (µ.T , γ) (ensemble plus fonction γ : T (µ.T ) −→ µ.T )satisfaisant une telle propriete.
Cette propriete definit T (Ω,X ) de facon univoque.Luigi Santocanale Induction 8
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple/Exercice : induction structurelle
Demontrer, par induction structurelle, que pour tout a ∈ Aexp
∀σ ∈ S, n ∈ N(a, σ) → n ∧ (a, σ) → n′ ⇒ n = n′ .
Demonstration.
La propriete est vraie si a = n ou a = X : . . .Supposons que la propriete est vraie pour a0, a1, demontrons-lapour a0 + a1, a0 − a1, a0 ∗ a1: . . .
Exercice : demontrer que ∀a, σ∃n t.q. (a, σ) → n.
Luigi Santocanale Induction 9
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple/Exercice : induction structurelle
Demontrer, par induction structurelle, que pour tout a ∈ Aexp
∀σ ∈ S, n ∈ N(a, σ) → n ∧ (a, σ) → n′ ⇒ n = n′ .
Demonstration.
La propriete est vraie si a = n ou a = X : . . .Supposons que la propriete est vraie pour a0, a1, demontrons-lapour a0 + a1, a0 − a1, a0 ∗ a1: . . .
Exercice : demontrer que ∀a, σ∃n t.q. (a, σ) → n.
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple/Exercice : induction structurelle
Demontrer, par induction structurelle, que pour tout a ∈ Aexp
∀σ ∈ S, n ∈ N(a, σ) → n ∧ (a, σ) → n′ ⇒ n = n′ .
Demonstration.
La propriete est vraie si a = n ou a = X : . . .Supposons que la propriete est vraie pour a0, a1, demontrons-lapour a0 + a1, a0 − a1, a0 ∗ a1: . . .
Exercice : demontrer que ∀a, σ∃n t.q. (a, σ) → n.
Luigi Santocanale Induction 9
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple/Exercice : induction structurelle
Demontrer, par induction structurelle, que pour tout a ∈ Aexp
∀σ ∈ S, n ∈ N(a, σ) → n ∧ (a, σ) → n′ ⇒ n = n′ .
Demonstration.
La propriete est vraie si a = n ou a = X : . . .Supposons que la propriete est vraie pour a0, a1, demontrons-lapour a0 + a1, a0 − a1, a0 ∗ a1: . . .
Exercice : demontrer que ∀a, σ∃n t.q. (a, σ) → n.
Luigi Santocanale Induction 9
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Relations bien fondees et induction
Une relation < est bien fondee ssi il n’existe pas une suite infiniede la forme
. . . an < . . . < a1 < a0
Exemple : (N , <) sont donnees, definissons (N ×N , <) par
(a, b) < (c , d) ssi a ≤ c , b ≤ d et a < c ou b < d
Principe de l’induction bien fondee (cf.l’induction complete) :
∀x( ∀y( y < x ⇒ P(y) ) ⇒ P(x)) ⇒ ∀zP(z)
Luigi Santocanale Induction 10
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Relations bien fondees et induction
Une relation < est bien fondee ssi il n’existe pas une suite infiniede la forme
. . . an < . . . < a1 < a0
Exemple : (N , <) sont donnees, definissons (N ×N , <) par
(a, b) < (c , d) ssi a ≤ c , b ≤ d et a < c ou b < d
Principe de l’induction bien fondee (cf.l’induction complete) :
∀x( ∀y( y < x ⇒ P(y) ) ⇒ P(x)) ⇒ ∀zP(z)
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Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Relations bien fondees et induction
Une relation < est bien fondee ssi il n’existe pas une suite infiniede la forme
. . . an < . . . < a1 < a0
Exemple : (N , <) sont donnees, definissons (N ×N , <) par
(a, b) < (c , d) ssi a ≤ c , b ≤ d et a < c ou b < d
Principe de l’induction bien fondee (cf.l’induction complete) :
∀x( ∀y( y < x ⇒ P(y) ) ⇒ P(x)) ⇒ ∀zP(z)
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple
Le programme Euclid
Euclid ≡ while not(M = N) do
if (M ≤ N) then N := N −M else M := M − N
On veut montrer que ce programme se termine . . . et plus.
Proposition
Pour tout etat σ tel que σ(M) > 0 et σ(N) > 0, il existe un etatσ′ tel que
(Euclid , σ) →Com σ′
σ′(M) = σ′(N) > 0
Luigi Santocanale Induction 11
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Exemple
Le programme Euclid
Euclid ≡ while not(M = N) do
if (M ≤ N) then N := N −M else M := M − N
On veut montrer que ce programme se termine . . . et plus.
Proposition
Pour tout etat σ tel que σ(M) > 0 et σ(N) > 0, il existe un etatσ′ tel que
(Euclid , σ) →Com σ′
σ′(M) = σ′(N) > 0
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve
Posons
N+ = n ∈ N | n > 0 S+ = σ ∈ S | (σ(M), σ(N)) ∈ N+ ×N+
χ : S+ −→ N+ ×N+ definie par
χ(σ) = ( σ(M), σ(N) ) .
Soit σ ∈ S+, et supposons que pour tout σ ∈ S+ tel queχ(σ) < χ(σ) la proposition est vraie.
Luigi Santocanale Induction 12
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve
Posons
N+ = n ∈ N | n > 0 S+ = σ ∈ S | (σ(M), σ(N)) ∈ N+ ×N+
χ : S+ −→ N+ ×N+ definie par
χ(σ) = ( σ(M), σ(N) ) .
Soit σ ∈ S+, et supposons que pour tout σ ∈ S+ tel queχ(σ) < χ(σ) la proposition est vraie.
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve II
Si (¬(M = N), σ) → 0 alors (Euclid , σ) → σ.
Sinon (¬(M = N), σ) → 1 et σ(M) 6= σ(N).
On a que
(if (M ≤ N) then N := N −M else M − N, σ) →Com σ
pour un unique etat σ.
On pretends que σ ∈ S+ et χ(σ) < χ(σ).
Luigi Santocanale Induction 13
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Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve II
Si (¬(M = N), σ) → 0 alors (Euclid , σ) → σ.
Sinon (¬(M = N), σ) → 1 et σ(M) 6= σ(N).
On a que
(if (M ≤ N) then N := N −M else M − N, σ) →Com σ
pour un unique etat σ.
On pretends que σ ∈ S+ et χ(σ) < χ(σ).
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve II
Si (¬(M = N), σ) → 0 alors (Euclid , σ) → σ.
Sinon (¬(M = N), σ) → 1 et σ(M) 6= σ(N).
On a que
(if (M ≤ N) then N := N −M else M − N, σ) →Com σ
pour un unique etat σ.
On pretends que σ ∈ S+ et χ(σ) < χ(σ).
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Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve II
Si (¬(M = N), σ) → 0 alors (Euclid , σ) → σ.
Sinon (¬(M = N), σ) → 1 et σ(M) 6= σ(N).
On a que
(if (M ≤ N) then N := N −M else M − N, σ) →Com σ
pour un unique etat σ.
On pretends que σ ∈ S+ et χ(σ) < χ(σ).
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve III
Car
(M ≤ N, σ) → 1 ⇒ σ(M) < σ(N)
⇒ 0 < σ(N)− σ(M) < σ(N)
⇒ 0 < σ(N) < σ(N)
⇒ σ < σ
et
(M ≤ N, σ) → 0 ⇒ σ(N) < σ(M)
⇒ 0 < σ(M)− σ(N) < σ(M)
⇒ 0 < σ(M) < σ(M)
⇒ σ < σ
Luigi Santocanale Induction 14
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve III
Car
(M ≤ N, σ) → 1 ⇒ σ(M) < σ(N)
⇒ 0 < σ(N)− σ(M) < σ(N)
⇒ 0 < σ(N) < σ(N)
⇒ σ < σ
et
(M ≤ N, σ) → 0 ⇒ σ(N) < σ(M)
⇒ 0 < σ(M)− σ(N) < σ(M)
⇒ 0 < σ(M) < σ(M)
⇒ σ < σ
Luigi Santocanale Induction 14
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve IV
Par hypothese d’induction (Euclid , σ) →Com σ′ et donc :
...
(not(M = N), σ) → 1
...
(if (M ≤ N) then . . . , σ) → σ
...
(Euclid , σ) → σ′
(Euclid , σ) → σ′
Luigi Santocanale Induction 15
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve IV
Par hypothese d’induction (Euclid , σ) →Com σ′ et donc :
...
(not(M = N), σ) → 1
...
(if (M ≤ N) then . . . , σ) → σ
...
(Euclid , σ) → σ′
(Euclid , σ) → σ′
Luigi Santocanale Induction 15
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction sur les regles
Regles de la semantique operationnelle ont la forme :
x1, . . . , xn
x
ou xi , x ont la forme
(a, σ) → n i.e. x ∈ Aexp × Σ×N(b, σ) → v i.e. x ∈ Bexp × Σ×N(c , σ) → σ′ i.e. x ∈ Com × Σ×N
Luigi Santocanale Induction 16
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Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Induction sur les regles
Regles de la semantique operationnelle ont la forme :
x1, . . . , xn
x
ou xi , x ont la forme
(a, σ) → n i.e. x ∈ Aexp × Σ×N(b, σ) → v i.e. x ∈ Bexp × Σ×N(c , σ) → σ′ i.e. x ∈ Com × Σ×N
Luigi Santocanale Induction 16
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Systeme des regles
Definition
Un systeme de regles est un couple R = (U,R) ou
U est un enseble,
R est un ensemble de couples ordonnees X/y , X sousensemble fini de Y , et y ∈ U,
Definition
Posons
‖ R y ssi il est possible de construire une arbre etiquete (arbrede derivation), a l’aide des telles regles, dont la racine estetiquetee par y ,
IR = x ∈ U | ‖ R x .
Luigi Santocanale Induction 17
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Systeme des regles
Definition
Un systeme de regles est un couple R = (U,R) ou
U est un enseble,
R est un ensemble de couples ordonnees X/y , X sousensemble fini de Y , et y ∈ U,
Definition
Posons
‖ R y ssi il est possible de construire une arbre etiquete (arbrede derivation), a l’aide des telles regles, dont la racine estetiquetee par y ,
IR = x ∈ U | ‖ R x .
Luigi Santocanale Induction 17
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
L’induction sur les regles
Si pour tout regle X/y ∈ R
∀x( x ∈ X ⇒ P(x) ) ⇒ P(y)
alorsP(x) ,∀x ∈ IR .
Luigi Santocanale Induction 18
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification de ce principe
Soit
fR : P(U) −→ P(U)
fR(Z ) = y | ∃X/y ∈ R t.q. X ⊆ Z
On a :
fR(∅) = x | ∅/x ∈ R = x | x est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus 1 = x | x est un axiome
Luigi Santocanale Induction 19
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification de ce principe
Soit
fR : P(U) −→ P(U)
fR(Z ) = y | ∃X/y ∈ R t.q. X ⊆ Z
On a :
fR(∅) = x | ∅/x ∈ R = x | x est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus 1 = x | x est un axiome
Luigi Santocanale Induction 19
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification de ce principe (II)
Supposons que
f nR (∅) = x | x est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus n alors
f n+1R (∅) = f (f n
R (∅))= y | ∃X/y ∈ R, X ⊆ f n
R (∅) = y | y est derivable en un seul coup d’un ensemble X ,
et, pour tout x ∈ X ,
x est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus n = y | y est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus n + 1
On a donc
IR =⋃n≥0
f nR (∅) .
Luigi Santocanale Induction 20
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification de ce principe (II)
Supposons que
f nR (∅) = x | x est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus n alors
f n+1R (∅) = f (f n
R (∅))= y | ∃X/y ∈ R, X ⊆ f n
R (∅) = y | y est derivable en un seul coup d’un ensemble X ,
et, pour tout x ∈ X ,
x est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus n = y | y est derivable a l’aide d’un arbre d’hauteur au plus n + 1
On a donc
IR =⋃n≥0
f nR (∅) .
Luigi Santocanale Induction 20
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Proprietes de fR et IR
fR est croissante (monotone) :
A ⊆ B ⇒ fR(A) ⊆ fR(B) (1)
IR est un point prefixe de fR :
fR(IR) ⊆ IR (2)
IR est le plus petit point prefixe de fR :
fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A . (3)
Luigi Santocanale Induction 21
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Proprietes de fR et IR
fR est croissante (monotone) :
A ⊆ B ⇒ fR(A) ⊆ fR(B) (1)
IR est un point prefixe de fR :
fR(IR) ⊆ IR (2)
IR est le plus petit point prefixe de fR :
fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A . (3)
Luigi Santocanale Induction 21
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Proprietes de fR et IR
fR est croissante (monotone) :
A ⊆ B ⇒ fR(A) ⊆ fR(B) (1)
IR est un point prefixe de fR :
fR(IR) ⊆ IR (2)
IR est le plus petit point prefixe de fR :
fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A . (3)
Luigi Santocanale Induction 21
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : A ⊆ B ⇒ fR(A) ⊆ fR(B)
Soit A ⊆ B.
y ∈ fR(A) ssi ∃X/y ∈ R tel que X ⊆ A definition fR
alors ∃X/y ∈ R tel que X ⊆ B A ⊆ B
ssi y ∈ fR(B) . definition fR
Donc fR(A) ⊆ fR(B).
Luigi Santocanale Induction 22
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : A ⊆ B ⇒ fR(A) ⊆ fR(B)
Soit A ⊆ B.
y ∈ fR(A) ssi ∃X/y ∈ R tel que X ⊆ A definition fR
alors ∃X/y ∈ R tel que X ⊆ B A ⊆ B
ssi y ∈ fR(B) . definition fR
Donc fR(A) ⊆ fR(B).
Luigi Santocanale Induction 22
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(IR) ⊆ IR .
Soit y ∈ fR(IR), c.-a-d.
∃X/y ∈ R tel que X ⊆ IR =⋃n≥0
f nR (∅)
Car X est fini et
∅ ⊆ fR(∅) ⊆ . . . ⊆ f nR (∅) ⊆ . . .
il existe n ≥ 0 tel que X ⊆ f nR (∅).
On a donc∃X/y ∈ R tel que X ⊆ f n
R (∅) ,
c.-a-d. y ∈ fR(f nR (∅)) = f n+1
R (∅) ⊆ IR .
Luigi Santocanale Induction 23
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(IR) ⊆ IR .
Soit y ∈ fR(IR), c.-a-d.
∃X/y ∈ R tel que X ⊆ IR =⋃n≥0
f nR (∅)
Car X est fini et
∅ ⊆ fR(∅) ⊆ . . . ⊆ f nR (∅) ⊆ . . .
il existe n ≥ 0 tel que X ⊆ f nR (∅).
On a donc∃X/y ∈ R tel que X ⊆ f n
R (∅) ,
c.-a-d. y ∈ fR(f nR (∅)) = f n+1
R (∅) ⊆ IR .
Luigi Santocanale Induction 23
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(IR) ⊆ IR .
Soit y ∈ fR(IR), c.-a-d.
∃X/y ∈ R tel que X ⊆ IR =⋃n≥0
f nR (∅)
Car X est fini et
∅ ⊆ fR(∅) ⊆ . . . ⊆ f nR (∅) ⊆ . . .
il existe n ≥ 0 tel que X ⊆ f nR (∅).
On a donc∃X/y ∈ R tel que X ⊆ f n
R (∅) ,
c.-a-d. y ∈ fR(f nR (∅)) = f n+1
R (∅) ⊆ IR .
Luigi Santocanale Induction 23
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(IR) ⊆ IR .
Soit y ∈ fR(IR), c.-a-d.
∃X/y ∈ R tel que X ⊆ IR =⋃n≥0
f nR (∅)
Car X est fini et
∅ ⊆ fR(∅) ⊆ . . . ⊆ f nR (∅) ⊆ . . .
il existe n ≥ 0 tel que X ⊆ f nR (∅).
On a donc∃X/y ∈ R tel que X ⊆ f n
R (∅) ,
c.-a-d. y ∈ fR(f nR (∅)) = f n+1
R (∅) ⊆ IR .
Luigi Santocanale Induction 23
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A
Soit A ⊆ U tel que fR(A) ⊆ A.Car
IR =⋃
f nR (∅)
il suffit de montrer que f n(∅) ⊆ A pour tout n ≥ 0.Par induction sur n :
f 0R (∅) = ∅ ⊆ A
Supposons f n(∅) ⊆ A :
f n+1R (∅) = fR(f n
R (∅))⊆ fR(A) f n
R (∅) ⊆ A, fR croissante
⊆ A fR(A) ⊆ A.
Luigi Santocanale Induction 24
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A
Soit A ⊆ U tel que fR(A) ⊆ A.Car
IR =⋃
f nR (∅)
il suffit de montrer que f n(∅) ⊆ A pour tout n ≥ 0.Par induction sur n :
f 0R (∅) = ∅ ⊆ A
Supposons f n(∅) ⊆ A :
f n+1R (∅) = fR(f n
R (∅))⊆ fR(A) f n
R (∅) ⊆ A, fR croissante
⊆ A fR(A) ⊆ A.
Luigi Santocanale Induction 24
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A
Soit A ⊆ U tel que fR(A) ⊆ A.Car
IR =⋃
f nR (∅)
il suffit de montrer que f n(∅) ⊆ A pour tout n ≥ 0.Par induction sur n :
f 0R (∅) = ∅ ⊆ A
Supposons f n(∅) ⊆ A :
f n+1R (∅) = fR(f n
R (∅))⊆ fR(A) f n
R (∅) ⊆ A, fR croissante
⊆ A fR(A) ⊆ A.
Luigi Santocanale Induction 24
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A
Soit A ⊆ U tel que fR(A) ⊆ A.Car
IR =⋃
f nR (∅)
il suffit de montrer que f n(∅) ⊆ A pour tout n ≥ 0.Par induction sur n :
f 0R (∅) = ∅ ⊆ A
Supposons f n(∅) ⊆ A :
f n+1R (∅) = fR(f n
R (∅))⊆ fR(A) f n
R (∅) ⊆ A, fR croissante
⊆ A fR(A) ⊆ A.
Luigi Santocanale Induction 24
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve : fR(A) ⊆ A ⇒ IR ⊆ A
Soit A ⊆ U tel que fR(A) ⊆ A.Car
IR =⋃
f nR (∅)
il suffit de montrer que f n(∅) ⊆ A pour tout n ≥ 0.Par induction sur n :
f 0R (∅) = ∅ ⊆ A
Supposons f n(∅) ⊆ A :
f n+1R (∅) = fR(f n
R (∅))⊆ fR(A) f n
R (∅) ⊆ A, fR croissante
⊆ A fR(A) ⊆ A.
Luigi Santocanale Induction 24
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification du principe d’induction sur les regles
Analysons la propriete
fR(P) ⊆ P ⇒ IR ⊆ P
f (P) ⊆ P ssi (∃X/y ∈ R tel que X ⊆ P) implique y ∈ P
ssi ∀X/y ∈ R (X ⊆ P implique y ∈ P)
ssi P est un ensemble ferme sous les regles
IR ⊆ P ssi tout element derivable est dans P
c.-a-d. : La propriete de plus petit point fixe donne :
si P est une propriete fermee sous les regles,alors tout element derivable possede cette propriete.
Il s’agit du principe d’induction sur les regles.Luigi Santocanale Induction 25
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification du principe d’induction sur les regles
Analysons la propriete
fR(P) ⊆ P ⇒ IR ⊆ P
f (P) ⊆ P ssi (∃X/y ∈ R tel que X ⊆ P) implique y ∈ P
ssi ∀X/y ∈ R (X ⊆ P implique y ∈ P)
ssi P est un ensemble ferme sous les regles
IR ⊆ P ssi tout element derivable est dans P
c.-a-d. : La propriete de plus petit point fixe donne :
si P est une propriete fermee sous les regles,alors tout element derivable possede cette propriete.
Il s’agit du principe d’induction sur les regles.Luigi Santocanale Induction 25
![Page 65: Luigi Santocanale - lis-lab.fr · 2006. 9. 14. · 2 L’induction structurelle 3 Induction et relations bien fond´ees 4 L’induction sur les r`egles Luigi Santocanale Induction](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022051815/603c428f2d201707ec33e123/html5/thumbnails/65.jpg)
Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification du principe d’induction sur les regles
Analysons la propriete
fR(P) ⊆ P ⇒ IR ⊆ P
f (P) ⊆ P ssi (∃X/y ∈ R tel que X ⊆ P) implique y ∈ P
ssi ∀X/y ∈ R (X ⊆ P implique y ∈ P)
ssi P est un ensemble ferme sous les regles
IR ⊆ P ssi tout element derivable est dans P
c.-a-d. : La propriete de plus petit point fixe donne :
si P est une propriete fermee sous les regles,alors tout element derivable possede cette propriete.
Il s’agit du principe d’induction sur les regles.Luigi Santocanale Induction 25
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Justification du principe d’induction sur les regles
Analysons la propriete
fR(P) ⊆ P ⇒ IR ⊆ P
f (P) ⊆ P ssi (∃X/y ∈ R tel que X ⊆ P) implique y ∈ P
ssi ∀X/y ∈ R (X ⊆ P implique y ∈ P)
ssi P est un ensemble ferme sous les regles
IR ⊆ P ssi tout element derivable est dans P
c.-a-d. : La propriete de plus petit point fixe donne :
si P est une propriete fermee sous les regles,alors tout element derivable possede cette propriete.
Il s’agit du principe d’induction sur les regles.Luigi Santocanale Induction 25
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Les axiomes de plus petit point prefixe
On peut deriver un grand nombre de consequences a partir de 1-3.
Par exemple :
Proposition
On a l’egalite suivante :
fR(IR) = IR .
Luigi Santocanale Induction 26
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Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve
Il suffit de demontrer que IR ⊆ fR(IR).
On a
fR(IR) ⊆ IR
et donc
fR(fR(IR)) ⊆ fR(IR) fR croissante
ce que implique
IR ⊆ fR(IR) IR p.p.p.pf.
Luigi Santocanale Induction 27
![Page 69: Luigi Santocanale - lis-lab.fr · 2006. 9. 14. · 2 L’induction structurelle 3 Induction et relations bien fond´ees 4 L’induction sur les r`egles Luigi Santocanale Induction](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022051815/603c428f2d201707ec33e123/html5/thumbnails/69.jpg)
Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve
Il suffit de demontrer que IR ⊆ fR(IR).
On a
fR(IR) ⊆ IR
et donc
fR(fR(IR)) ⊆ fR(IR) fR croissante
ce que implique
IR ⊆ fR(IR) IR p.p.p.pf.
Luigi Santocanale Induction 27
![Page 70: Luigi Santocanale - lis-lab.fr · 2006. 9. 14. · 2 L’induction structurelle 3 Induction et relations bien fond´ees 4 L’induction sur les r`egles Luigi Santocanale Induction](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022051815/603c428f2d201707ec33e123/html5/thumbnails/70.jpg)
Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve
Il suffit de demontrer que IR ⊆ fR(IR).
On a
fR(IR) ⊆ IR
et donc
fR(fR(IR)) ⊆ fR(IR) fR croissante
ce que implique
IR ⊆ fR(IR) IR p.p.p.pf.
Luigi Santocanale Induction 27
![Page 71: Luigi Santocanale - lis-lab.fr · 2006. 9. 14. · 2 L’induction structurelle 3 Induction et relations bien fond´ees 4 L’induction sur les r`egles Luigi Santocanale Induction](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022051815/603c428f2d201707ec33e123/html5/thumbnails/71.jpg)
Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve
Il suffit de demontrer que IR ⊆ fR(IR).
On a
fR(IR) ⊆ IR
et donc
fR(fR(IR)) ⊆ fR(IR) fR croissante
ce que implique
IR ⊆ fR(IR) IR p.p.p.pf.
Luigi Santocanale Induction 27
![Page 72: Luigi Santocanale - lis-lab.fr · 2006. 9. 14. · 2 L’induction structurelle 3 Induction et relations bien fond´ees 4 L’induction sur les r`egles Luigi Santocanale Induction](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022051815/603c428f2d201707ec33e123/html5/thumbnails/72.jpg)
Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Preuve
Il suffit de demontrer que IR ⊆ fR(IR).
On a
fR(IR) ⊆ IR
et donc
fR(fR(IR)) ⊆ fR(IR) fR croissante
ce que implique
IR ⊆ fR(IR) IR p.p.p.pf.
Luigi Santocanale Induction 27
![Page 73: Luigi Santocanale - lis-lab.fr · 2006. 9. 14. · 2 L’induction structurelle 3 Induction et relations bien fond´ees 4 L’induction sur les r`egles Luigi Santocanale Induction](https://reader034.fdocuments.in/reader034/viewer/2022051815/603c428f2d201707ec33e123/html5/thumbnails/73.jpg)
Les principes d’induction arithmetiquesL’induction structurelle
Induction et relations bien fondeesL’induction sur les regles
Le theoreme de Tarski
Theoreme
Soitf : P(U) −→ P(U)
une fonction croissante. Alors⋂A | f (A) ⊆ A
est le plus petit point fixe de f .
Luigi Santocanale Induction 28