l'équationlacavec/MathsIn...2µm à 2Îw à Twain Donc wynn vdywu tyyu zfdaw vdyw v.tw Fr 2dm...
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1 Intro présentation de l'ép2 Cas sans recirculation pb bien posé3 Phénomène de séparation4 Pistes pour étudier des cas avec recirculation
g Introduction
Dérivation de l'équation de Prandtl 4904Point de départ système de Navier Stokes avecfaible viscosité au voisinage d'un obstacleIci cas stationnaire 2d Ile plansuIe.MuJxVpe EDuIe _0s.d divorce 0
îdy ox C o D y 0
f conditions en x O x LComportement au voisinage de g 0quand c o
Idée Loin du bord ne solutiondu système d'Euler
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F Et Jp 0 ds QL RtE E E div'Ê 0E
Mais condition en y 0 pourEeXue Elypas de condition nn uglyCoudre limite de taille SE prèsde g 0
pour raccorder la condition de non glissement
Elye à
Ely 0_
pour offreà x g e uifx.fr Ruknoù v vérifie le mylène de Prandtl
aidan Way UP dy UP 4,02nd dy v OI
ïlineyou
données KYLE
Ry Équation scalaire non locale tenue detransport vP GannN É q parabolique si on oublie le
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terme de transport
E Caractère bien posé de CPcomportement qualitatif
D Réponses très différentes suivant pneugarde un signe constant par ex alsopas de recirculation on change de
signe recirculation
2 Cas sans recirculation
On s'intéresse au cas où n 0 dans Y 0
On s'attend à ce quel'ép soit bienposée dans le sens des x A
éq d'évolution en x
Théorème leinik 1962Soit u G 82f Rt x 0On suppose que
4 70 n Y 0
a la 0condition de compatibilité en Co co
Alors il existe not o t.gr P muni de lacondition entrante Epn no admette une
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unique sol dans Co xD x o to
De plus si 11 Eco net tdx
OK tant qu'il n'y a pasde recirculationIntervalle maximal d'existence six etalors soit hyn si 07 0
soit 37 so by ulna 1 1 0
Remarque la monotonie en Y et préservée parl'eegSiu et 9 on peut écarter le 2e scénario
Éléments de preuve Changement de variablesde von MisesOn pose w x
4 L x y nouvellefonctioninconnue
4 f u nouvelle variableverticaleD Ce changé de variables s'écroule s'ily a recirculation
Alors2x u 2 dans 3 Leur
2 2am v 2µW
dyn 2 fyt dyw 2 vw.ir 2yw àdew
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2µm à 2Îw à TwainDonc
wynn vdywu tyyuzfdaw vdyw v.tw Fr 2dm
Dansles nouvelles variables l'équation devient
2xw Fv2Iw 2 ddfEth0_IMLwia
o _w9wue o o ljzzwCmM_uEln.cD
M_egparaholiqueNLCveg.desmilieux poreux
Possède un principe du maximumConstruction de nu Irons solutionsestimations À priori sur wet ses dérivéesExistence locale et unicité de solo's
sur sous solse
def4 avec ff4 EE C 4 448
pour 4ftCa Cs bien choisis BEJI 2
si 10 yo le second membre fait grossirdu
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ni loupent construire des sous sol globales
Ë n dyn Cn o4 0
xK tx3 Phénomène de séparationOn s'intéresse maintenant au cas mo oparexemple die
D mo L
Heuristique Vue en coupe
Ë Ëa su u JE u
néo ne qn a net se ne
c Zone deZOOM recirculationFormation d'un
tourbillon
0 7 Transition vers la4907 0 turbulence
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Plusieurs questionsa Quel est le comportement de la solutionquand n s 9
b Comment construire des solutions dans laZone de recirculation
c Peut on passer continûment d'une zoneà l'autre
b etc sont des problèmes ouverts
Quelques pistes pour b dans la dernièrepartieComportement des solutions à l'approche du
pointde séparationGoldstein 48 Stewarton 58 calcul explicitede solutions approchées dans des variablesautosimilaireargument heuristique de Landau 59
Prédiction dyn x 0 ceci a 2
Théorème CD Masmondi 483 _Cette prédictionest correcte pour une grande classe de données
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n
Hypothèsesn régulière J doué o 0
J'co 0 6 yens Eu y l E O
G E no O E co
UMP va
u.at d y tu o t
trot Cod
Sido assezpetit dépendant de co neet on a le résultat
Idées de preuvesConstruction d'une bonne solution approchée1 bonne petit reste
stableUtilisation d'outils de modulation desvariables
Estimations d'énergie utilisant la structuredetransport 1diffusion de l'ép
PP du max formulation en w 4
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Aujourd'huiconstructionde la sol approchéeIdée pourles estimations d'énergie
Contrudiond'unesolapprodéeparlaméthodedémmmodulation de variables
mm
points clésa Observation l'ép de Prandtl stationnaireet invariante parle du scaling
4u vs ap f 2 ulna µ gb On effectue un changement de variables
dans lequel le facteur d'échelle dépend de lasolution elle même ici petit paramètre D a quNouvelle variable verticale
3 4dla
Nouvelle fonction inconnue
U Cs 3 d E u x G d xd 5x s à définir
On insère ce changementde variables dans l'épl'équation nn U devient
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He U Us Uzffus tofu WU te
invarian cepar scaling
Choixdes paramètres on prends ttDXDJ D
b est défini par b 2 dads 2x notes s x Iblesbest une inconnue du problèmeLecomportement asymptotique de bolide celuides du Æà b G ouf abstbko
Par définition de U d on a
43 0 9 JUIZ 1Si b 0 G admet une solution exacteétat fondamental pour Schrodinger donné
par vols 3 tSib 0 On darde une solution approchée sousla forme vapp va biz betty t
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On insère dans l'équation
Xzztz XC U.at Izu a
Izz T f34 Est E TÉ CH33734 f3 33 t 5t 32
Tz Üb zTg bg VoTz 2gVo Ts
b f 2Votre U Ts f 25glot Mbsb tbs
fbst fb93st lbstb.BYbsb b 5
La bonne solution approchée estcelle dont le resteest le plus petit possible
On choisit de tuer le terme en 56 ie defaire comme si bstb 0
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Autrement dit on prend T tel quedesz Tz fg x2 55Àprésent si on poseUMP Va b Tz b Tz
on sait queUMP x bebe 39
près de 3 0
HU UMM Il 7 lbs tbhDonc pour contrôler bstb il suffit de contrôlerl'erreur U UMPOn écrit une ép sur V on fait des estimations
Plus précisément on construit une énergienorme Sobolev à poids top
Els Hull 7 lbs b12E vérifie une inégalité du typed
t ECD E plsavec f74 propriété de l'ép dissipation
d'énergie
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npls Ecs 51 choix de la sol approchéeGronwall
Ecs s E
Ecs sat E EGO sont C
Ecs c g 4 7
lbstb4 sc g 2
bu EH
4 Au delà de la séparation2 questions distinctes
d Passage de la singularité de Goldsteinf artefact de l'ép de Prandtl
2 Construction de flots avec une roue derecirculation loin du pointde séparationD Modèle triple deck
2 Travail en cours avec F Marbach et 5 Rax
Idée on connaît semi explicitement une famillede flots qui reculent flotsde Falkner Shan
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Y a
u 0 u o
UCO
1 710 X x
1 Peut on construire desflots qui ne circulentau voisinage de ceux ci en perturbant lesdonnées au bord dans les zones bleues
usa ép parabolique classiqueneo rétrograde
Ligne a 0 inconnue du pb
DifficultésNon localitéPb àfrontière libre D Linéarisation
Modèle jouet pour se concentrer sur les difficultésliées à la géométrie
MI aux un 1 ds x xD D
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Théorème Soit à une solution régulière de Mqui recinaleSoit ça Ss E 8 Eo to vérifiant certainesconditions de compatibilitéAlors si Il Soit USD1 sontassez petites II sol fortede CTM tg
pq ILE Sioù E lui 4 C Dina 4 70
L 4 C Di qq.tk coSchéma de preuveConstruction de solutions par un schéma
itératif n lin à comtwmIdxWntptwnwni
dyywntiEOWntl1z.ESi
www.EOAhaque étapeest linéaire
Estimations de régularité sur les nConstructionde sol's poules ép hyperboliques