LOGIKA - sc.ehu.es · Logikarako sarrera Logika proposizionala Argumentuen baliozkotasun frogapenak...

LOGIKA

F. Xabier Albizuri - 2019

[email protected]

go.ehu.eus/ii-md

Logikako bi gaiak:

1. LOGIKA PROPOSIZIONALA

2. PREDIKATU LOGIKA

Ikasliburuak:

1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer SciencePerspective / Matematica Discreta y Logica.W.K. Grassmann, J-P. Tremblay

2. Discrete and Combinatorial Mathematics: An AppliedIntroduction / Matematicas discretas y combinatorias.R.P. Grimaldi

3. Discrete Mathematics. K.A. Ross, C.R.B. Wright

Logikarako sarreraLogika proposizionala

Logika terminoa grekotik dator: λoγoς. Honen esanahia hitzada (verbum), baita ere arrazoiketa (ratio).

Arrazoiketa adierazten duten terminoak dira: argumentua(argudioa), dedukzioa, inferentzia, eta abar.

Arrazoiketaren lege edo erregelak aztertzen ditu logikak,matematikaren eta konputazioaren ikuspegitik.

Hizkuntza matematikoan bezala, adierazpenak (formulak)idatziz formalizatuko ditugu argumentuak, eta frogapenmatematikoen antzera, argumentu formal batenbaliozkotasuna aztertzeko frogapenak egingo ditugu.

Logikarako sarreraLogika proposizionala

Argumentuen baliozkotasun frogapenak automatizatuz,algoritmo bereziak garatzen dira frogapenak konputagailubidez egiteko.

Adimen artifizialean erabiltzen den tresna nagusia da logika.

Konputagailu programa idazteko logikan oinarritu gaitezke,programazio logikoa deitzen zaio logikan oinarritutakoprogramazio paradigmari.

Bi maila ditugu logikan: logika proposizionala eta predikatulogika, lehenak baino formalismo aberatsagoa du bigarrenak.

Edonola ere, logikaren formalismoak muga du, ezin da edozeinarrazoiketa formalizatu.

Lokailu proposizionalak, adierazpenakLogika proposizionala

Argumentu batzuk idatziko ditugu eta hauen baliozkotasunalogika proposizionalean aztertzea posible dela ikusiko dugu.

Lehen argumentua:

I 1. premisa: Ekonomia hobetzen bada, enpresen negozioahanditzen da eta herrialdea aberasten da.

I 2. premisa: Enpresen negozioa handitzen bada,lanpostuak sortzen dira.

I Ondorioa: Ekonomia hobetzen bada, lanpostuak sortzendira.


Bigarren argumentua:

I 1. premisa: Konputagailu programak akatsa du edosarrerako datuak ez dira zuzenak.

I 2. premisa: Sarrerako datuak zuzenak dira.

I Ondorioa: Konputagailu programak ez du akatsik.

Nabarmena da lehen argumentua baliozkoa dela eta bigarrenargumentua, aldiz, ez dela baliozkoa.

Logika proposizionalaren helburua da, honelako argumentu batemanik, bere egitura aztertu eta formalizatzea adierazpenakidatziz, jarraian frogatuz, era matematikoan, argumentuabaliozkoa dela, edo ez dela baliozkoa.


Argumentuaren premisetan eta onondorioan identifikatukoditugu proposizio bakunak edo atomikoak, proposiziotxikiagotan banatu ezin direnak, eta proposizio bakun haueklokailu logiko batzuekin bilduz eraikitzen diren proposiziokonposatuak. Hau da lokailu proposizionalen zerrenda(bakoitzaren izena, ikurra, nola irakurri):

I Konjuntzioa, ∧, “. . . eta . . . ”

I Disjuntzioa, ∨, “. . . edo . . . ”

I Inplikazioa/Baldintzazkoa, →, “. . . -k inplikatzen du . . . ”,“Baldin . . . orduan . . . ”, “. . . soilik baldin . . . ”

I Baldintzabikoa, ↔, “. . . baldin eta soilik baldin . . . ”

I Ukapena/Ezeztapena, ¬, “Ez . . . ”


Proposizio bakunen ordez aldagai proposizionalak hartuz etahauek lokailuekin (lokailu ikurrekin) bilduz, adierazpenakidatziko ditugu argumentuen premisak eta ondorioaformalizatzeko.

Adibidez, ikusi dugun lehen argumentuan P aldagaiakordezkatzen badu “Ekonomia hobetzen da” proposizioa, Qaldagaiak “Enpresen negozioa handitzen da” proposizioa, Raldagaiak “Herrialdea aberasten da” proposizioa eta Saldagaiak “Lanpostuak sortzen dira” proposizioa, argumentuhori formalki idatziko dugu, bere premisak eta ondorioa, hiruadierazpen hauekin:


I 1. premisa: P → Q ∧ R

I 2. premisa: Q → S

I Ondorioa: P → S

Antzera, bigarren argumentuan P aldagaiak ordezkatzen baduorain “Konputagailu programak akatsa du” proposizioa eta Qaldagaiak “Sarrerako datuak zuzenak dira” proposizioa,argumentua formalki idatziko dugu adierazpen hauekin:

I 1. premisa: P ∨ ¬Q

I 2. premisa: Q

I Ondorioa: ¬P


Adierazpenetan parentesiak erabiliko ditugu, aldagaiproposizionaletatik abiatuz nola eraiki diren zehazteko(adierazpen aritmetikoetan egiten den bezala), hau da:formalizatu den proposizio konposatuan, proposiziobakunetatik abiatuz eta lokailuak sartuz, nola osatu direnbitarteko proposizio konposatuak, urratsez urrats, proposiziokonposatu osoa eraiki arte.

Baina parentesi guztiak ez dira idazten, adibidez, aurrekoadierazpenetan P → Q ∧ R idatzi da, P → (Q ∧ R)adierazpenaren berdina, eta P ∨ ¬Q ere, P ∨ (¬Q)adierazpenaren berdina.


Parentesien erabilera murrizteko, lokailu proposizionalbakoitzaren lehentasuna edo aurrekotasuna hartzen dakontuan. Adierazpena aldagaietatik eraikitzean lokailu batbestea baino lehenago sartu dela zehaztuko du lehentasunirizpideak (gorde diren parentesiekin batera).

Lokailu proposizionalen lehentasuna definituko dugu, hauekordenatuz ezkerretik eskuinera, bi lokailuren artean lehentasunhandiagoa izango du eskuineko lokailuak ezkerrekoak baino:

↔→

∧∨ ¬


Ariketa. Lokailu proposizionalen arteko lehentasunaren araberabeharrezkoak ez diren parentesi guztiak idatzi adierazpenhauetan: P → Q ∧ R , ¬P ∨ Q, ¬¬P → Q

Parentesiak idatzi behar dira lehentasun txikiagoa duenlokailua sartu bada lehentasun handiagoa duen lokailuarenaurretik adierazpena eraikitzean aldagaietatik. Adibidez,(P → Q) ∧ R , ¬(P ∨Q) eta ¬(¬P → Q) adierazpenetan ezindira idatzitako parentesiak kendu.

Parentesiak beharrezkoak dira lehentasun berdina dutenlokailuak nola sartu diren zehazteko ere. Adibidez,P → (Q → R) eta (P → Q)→ R adierazpen desberdinakdira, ezin dira kendu parentesi horiek.


Ariketa. Eraiki P → (Q ∨ R → (R → ¬P)) adierazpenaaldagai proposizionaletatik abiatuz. Zuhaitz batean marraztualdagaiak, bitarteko adierazpenak eta adierazpen osoa.

Bestalde, azkena sartu den lokailuaren arabera deitzen zaioadierazpenari: adibidez, P → Q ∧ R adierazpena inplikazio batdela esango dugu, (¬P ∨ Q) ∧ R konjuntzioa, ¬(P → Q)ukapena, eta abar.

Egia taulak, adierazpen baliozkoakLogika proposizionala

Gure helburua da argumentu formal (premisak eta ondorioa)baten baliozkotasuna definitzea, baina lehenik adierazpenbaliozkoaren kontzeptua definituko dugu.

Hasteko, proposizio bati buruz egiazkoa edo faltsua delaesaten dugunez, adierazpen bateko aldagai proposizionalbakoitzaren egia balio posibleak izango dira T (egiazkoa) eta F(faltsua). Aldagai bakoitzaren egia balioaren bi aukerak izangodira kontuan adierazpenaren baliozkotasuna aztertzen denean.

Adierazpeneko aldagai proposizionalen egia balioen aukeradesberdinetarako, lokailuak sartuz eraikitzen diren bitartekoadierazpenen eta adierazpen osoaren egia balioa kalkulatzeko,lokailu proposizionalak funtzio logiko bezala hartuko dira.


Ondorengo taulek definitzen dituzte lokailu proposizionaleidagozkien funtzio logikoak. Lokailu hauen funtzio logikoak{T ,F}2 multzotik {T ,F} multzorako funtzioak dira:

P Q P ∧ Q P ∨ Q P → Q P ↔ QT T T T T TT F F T F FF T F T T FF F F F T T

Ukapenaren funtzio logikoa {T ,F}-tik {T ,F}-rakoa da:

P ¬PT FF T


Tauletan ikusten dugunez:

I P ∧Q egiazkoa da soilik P eta Q biak egiazkoak direnean,

I P ∨ Q faltsua da soilik P eta Q biak faltsuak direnean,

I P → Q faltsua da soilik P egiazkoa izanik Q faltsuadenean,

I P ↔ Q egiazkoa da P-k eta Q-k egia balio berdinadutenean, faltsua bestela,

I ¬P-ren egia balioa P-ren egia balioaren aurkakoa da.


Adierazpen baten egia taula egingo dugu, bere aldagaiproposizionalen egia balioen aukera bakoitzerako adierazpenosoaren egia balioa kalkulatuz. Lokailu proposizionalak sartuzeraikitzen diren bitarteko adierazpenen eta adierazpen osoarenegia balioa kalkulatuko da, lokailua funtzio logiko bezalahartuz, aurreko taulen arabera.

Egia taularen lerro bakoitzean idatziko dugu aldagaien egiabalioen aukera eta kalkulatu den adierazpenaren egia balioa(eta agian bitarteko adierazpenen egia balioak). Aldagaien egiabalioen aukera guztiekin taularen lerroak idazten dira.

Ariketa. Kalkulatu P → (Q ∨ R → (R → ¬P)) adierazpenarenegia taula.


Definizioa. Adierazpen bat baliozkoa (edo tautologia) delaesango dugu, bere egia taulako lerro guztietan egiazkoa bada,hau da, aldagai proposizionalen egia balioen edozeinesleipenerako adierazpena egiazkoa bada. Adierazpena ez dabaliozkoa gutxienez lerroren batean faltsua bada. Adierazpenakontraesana da lerro guztietan faltsua bada.

Ariketa. Aztertu adierazpen hauek baliozkoak diren:

I P → P

I P ∧ Q → (¬P → Q)

I P → (Q ∨ R → (R → ¬P))


Ondoren aldagai sintaktikoak (metavariables) erabiliko dituguadierazpenak izendatzeko: A, B , C , A1, A2 etab.

Definizioa. A1, A2, . . . , An premisak eta B ondorioa dituenargumentua baliozkoa dela esango dugu baldinA1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An → B adierazpena baliozkoa bada.

Argumentua baliozkoa denean hau idatziko dugu:

A1,A2, . . . ,An |= B

Hemen |= ikurra ez da lokailu proposizional bat baizikargumentu formala baliozkoa dela seinalatzen duen ikurra.(Adierazpen bat baliozkoa denean ere erabiltzen da: |= A)


Definizio honen arabera (eta lokailuen taulak begiratuz)argumentu bat baliozkoa da baldin premisa denak egiazkoakdirenean ondorioa ere egiazkoa bada, aldagai proposizionalenegia balioen edozein esleipenerako, hau da, egia taulakoedozein lerrotan.

Ariketa. Argumentu formalaren premisak P ∨ Q eta ¬Qbadira, eta ondorioa P , aztertu baliozko argumentua den.

Honela lortu dugu, logika proposizionalean, argumentubaliozkoaren kontzeptua zehaztea, era matematiko batean.

BaliokidetasunakLogika proposizionala

Adierazpenak beste adierazpenetan transformatuko ditugu,egia taulako lerro bakoitzean adierazpenaren egia balioa gordez(antzera egiten da aritmetikan, adierazpenak transformatzendira zenbakizko emaitza gordez).

Definizioa. A eta B adierazpenak baliokideak direla esangodugu baldin A↔ B adierazpena baliozkoa bada.

A eta B adierazpenak baliokideak badira A ≡ B idatziko dugu(kontuan izan ≡ ez dela lokailu proposizional bat).

Definizioaren arabera, A eta B baliokideak dira baldin A eta Badierazpenek egia balio berdina dadute egia taulako edozeinlerrotan.


Erraz frogatzen dira propietate hauek.

Propietatea. Edozein A, B , C adierazpenerako:

I A ≡ A

I baldin A ≡ B orduan B ≡ A

I baldin A ≡ B eta B ≡ C orduan A ≡ C

Ondorengo propietatean azpiadierazpenak ordezkatuko dira.Adierazpen baten azpiadierazpenak dira, adierazpen horialdagai proposizionaletatik eraikitzean osatu diren bitartekoadierazpenak.


Propietatea. Baldin A ≡ B baliokidetasuna badugu, Cadierazpenean A azpiadierazpena B adierazpenarekinordezkatzen bada, D adierazpena lortuz, orduan C ≡ Dbaliokidetasuna izango dugu.

Jarraian oinarrizko baliokidetasun legeak ditugu, edozein A, B ,C adierazpenerako betetzen diren baliokidetasunak.


¬¬A ≡ A Ukapen bikoitzaA ∧ B ≡ B ∧ A Trukatze legeakA ∨ B ≡ B ∨ AA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C Elkartze legeakA ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) Banatze legeakA ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∧ A ≡ A Idenpotentzia legeakA ∨ A ≡ A¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B De Morganen legeak¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬BA→ B ≡ ¬A ∨ B InplikazioaA↔ B ≡ (A→ B) ∧ (B → A) Baldintzabikoa


Ariketa. Frogatu P → Q ≡ ¬P ∨ Q egia taula eginez.Ondorioz, A→ B ≡ ¬A ∨ B dugu oro har, aldagaisintaktikoak hartuz.

Elkartze legeen arabera, bi atal baino gehiago dituenkonjuntzioan edo disjuntzioan parentesirik ez dugu ipiniko atalhorien artean. Adibidez, P ∧ ¬Q ∧ (P → Q) idatziko dugu.

A1, A2, A3, . . . , An adierazpenak bata bestearekin baliokideakbadira, baliokidetasun katea dugu:

A1 ≡ A2 ≡ A3 ≡ . . . ≡ An

Ariketa. Baliokidetasun katea osatuz, frogatu:

I P ∧ (P ∨ Q → Q) ≡ P ∧ ((¬P ∧ ¬Q) ∨ Q)

I P ∧ Q ≡ ¬(P → ¬Q)

Frogapen formalakLogika proposizionala

Argumentu formal bat baliozkoa dela frogatzeko, egia taulaegin dezakegu, lehen esan bezala: egia taulako edozeinlerrotan, premisa denak egiazkoak direnean ondorioa ereegiazkoa dela begiratuko da.

Horren ordez, argumentu formal bat baliozkoa dela frogatzeko,deribazio edo frogapen formala egin dezakegu: argumentuarenpremisetatik abiatuz adierazpen sekuentzia bat deribatuko da,inferentzia-erregela batzuk erabiliz, argumentuaren ondorioalortuz azkenean.

Inferentzia-erregela bakoitzak esaten digu adierazpen batetik,edo bi adierazpenetik, beste adierazpen bat deribatzen dela.Erregela hauek formalki idazteko ` ikurra erabiliko dugu.


Logika proposizionaleko inferentzia-erregelak:

I Sinplifikazio Konjuntiboa eta Konbinazio Konjuntiboa,

A ∧ B ` A

A ∧ B ` B

A, B ` A ∧ B

I Adizio Disjuntiboa,

A ` A ∨ B

B ` A ∨ B


I Silogismo Disjuntiboa,

A ∨ B , ¬A ` B

A ∨ B , ¬B ` A

I Modus Ponens eta Modus Tollens,

A→ B , A ` B

A→ B , ¬B ` ¬A

I Silogismo Hipotetikoa,

A→ B , B → C ` A→ C


I Baldintzabikoa Ezabatzea eta Baldintzabikoa Sartzea,

A↔ B ` A→ B

A↔ B ` B → A

A→ B , B → A ` A↔ B

Inferentzia-erregela hauetaz gainera, frogapena antolatzekoondorengo metodoak ditugu.


I Reductio ad absurdum (r.a.a.). Argumentuarenondorioaren ukapena premisa gehigarri bezala hartuz,frogapena egiten da kontraesan bat deribatzeko(adierazpen bat eta bere ukapena). Orduanondorioztatuko da hasierako argumentua baliozkoa dela.(Frogapenean zehar bitarteko adierazpen bat deribatzekoere erabil dezakegu metodoa.)

I Kasuzkako frogapena. Frogapenean zehar A ∨ Bdisjuntzioa badugu, frogapena bi adarretan (bi kasutan)banatu dezakegu, adar batean A premisa gehigarriahartuz eta beste adarrean B premisa gehigarria. Biadarretan (kasuetan) adierazpen bera deribatu behar daeta orduan adierazpen honekin jarraituko dugu frogapena,bi adarrek bat eginez (bi kasuak bilduz).


I Frogapen baldintzatua. Argumentuaren ondorioainplikazio bat denean, A→ B , frogapenaren premisagehigarritzat har dezakegu A, horrela frogapena egiten daB deribatzeko. Orduan ondorioztatuko dugu hasierakoargumentua baliozkoa dela. (Frogapenean zehar bitartekoadierazpen bat deribatzeko ere erabil dezakegu metodoa.)

Azkenik, nabarmenduko dugu baliokidetasunak ere erabiltzendirela frogapen formaletan.

Ariketak. Aztertu argumentu hauek baliozkoak diren frogapenformala eginez.


1. Premisak: ¬R → ¬P , R → S , ¬T ∨ ¬S , T ∨ U , ¬U .Ondorioa: ¬P .

2. Premisak: P ∨ Q, ¬P ∨ R . Ondorioa: Q ∨ R . Frogatuzuzenean edo r.a.a. metodoarekin.

3. Premisak: P → Q, P → R . Ondorioa: P → Q ∧ R .

4. Premisak: P → Q, Q → R ∧ S , ¬R ∨ ¬T ∨ U , P ∧ T .Ondorioa: U .

5. Premisak: ¬P ∨ ¬Q → R ∧ S , R → T , ¬T . Ondorioa:P . Frogatu zuzenean edo r.a.a. metodoarekin.

6. Premisak: U → R , R ∧ S → P ∨ T , Q → U ∧ S , ¬T .Ondorioa: Q → P .

Predikatuak, zenbatzaileakPredikatu logika

Logikaren hasieran esan zen bezala, predikatu logika bigarrenmaila bat da, logika proposizionalaren ondoren datorrena,honek baino formalismo aberatsagoa du.

Azter dezagun argumentu hau:

I 1. premisa: Katu guztiek buztana dute.

I 2. premisa: Felix katua da.

I Ondorioa: Felixek buztana du.

Argumentu honek baliozkoa izan behar luke logikan, bainalogika proposizionalean ezinezkoa da horri egokitzen zaionbaliozko argumentu formal bat idaztea. Predikatu logikanformalizatu behar dugu argumentu hori, baliozko argumentuformala lortzeko.


Proposizioen egituran sakontzeko predikatuak eta banakoakbereiziko ditugu.

Hiru proposizio horietan, alde batetik, “Felix” banakoa dugu.Bestetik, bi predikatu hauek ditugu: “(banakoren bat) katuaizatea” eta “(banakoren batek) buztana izatea”, idazkerapixka bat formalagoan “− katua da” eta “− -k buztana du”predikatuak.

Predikatu baten argumentuen (objektuen) kopuruari aritateadeitzen zaio. Aurreko predikatuak monadikoak dira. Bestepredikatu hauek bitarrak dira: “− eta − lagunak dira”,“− -en osaba da −”. Eta predikatu hau hirutarra da:“− -en amonak − eta − dira”. Predikatuaren argumentuen(objektuen) ordena errespetatu behar da.


Argumentu (argudio) bat aztertzen denean, banakoenunibertsoa edo eremua deituko diogu argumentuan zehazkiedo zeharka kontuan hartzen diren banako guztien multzoari.

Hasierako adibideko argumentuan unibertsoa litzateke animaliaguztien multzoa. Beste proposizioetan unibertsoa litzatekepertsonen multzoa edo antzeko multzo bat.

Proposizioetan zenbatzaileak ere bereiziko ditugu.

I Zenbatzaile unibertsala: “edozein (banako/k)”, “(banako)guztiak/ek”, ∀ ikurra dagokio.

I Zenbatzaile existentziala: “existitzen da / badago(banakoren bat)”, ∃ ikurra dagokio.


Zenbatzaileen bidez banakoen unibertsoari buruzkoproposizioak osatuko ditugu: “Animalia guztiek . . . ”,“Badago animalia bat . . . ” erako proposizioak dituguanimalien unibertsoarekin, antzera pertsonen unibertsoarekinedo bestelako unibertsoekin.

Laburbilduz, predikatu logikan argumentu bat aztertzeko,argumentuaren premisetan eta ondorioan (proposizio horietan)elementu hauek bereiziko ditugu: predikatuak (aritatedesberdinekoak), banako zehatzak, banakoen unibertsoa,zenbatzaileak, baita logika proposizionaleko elementuak ere.


Argumentu bat honela formalizatzen da predikatu logikan,argumentuaren premisa eta ondorio bezala ditugunproposizioei dagozkien adierazpenak idatziz.

I Predikatuak formalizatuko ditugu predikatu aldagaiakerabiliz, aritatea kontuan hartuta: P(−), P(−,−),P(−,−,−), Q(−), etab.

I Banako zehatzak formalizatuko ditugu banakokonstanteak erabiliz, predikatu aldagaien argumentubezala agertuko dira konstanteak: a, b, c , etab.

I Zenbatzaileak formalizatuko ditugu dagozkien ikurrekin,banako aldagaiak elkartuta dituztela: ∀x , ∀y , ∃x , ∃z ,etab. Predikatu aldagaien argumentu bezala ere agertukodira aldagai horiek: x , y , z , etab.


Hasierako adibidean emandako argumentua honelaformalizatuko genuke:

I 1. premisa: ∀x(P(x)→ Q(x))

I 2. premisa: P(a)

I Ondorioa: Q(a)

Argumentu formal honetan P(−) eta Q(−) predikatualdagaiak ditugu “− katua da” eta “− -k buztana du”predikatuen ordez, hurrenez hurren, eta a konstantea “Felix”banakoaren ordez. Bestalde, banakoen unibertsoa animaliaguztien multzoa litzateke, horri buruzko zenbatzaileunibertsala dugu x aldagaiarekin.


Idatzi ditugu beraz predikatu logikako hiru adierazpen,adibideko argumentuaren premisak eta ondorioa formalizatuz:∀x(P(x)→ Q(x)), P(a) eta Q(a).

Oro har, predikatu logikako adierazpenak idatziko ditugu letraeta ikur hauekin: predikatu aldagaiak, aldagai proposizionalakere, konstanteak, zenbatzaileak, hauei elkartutako aldagaiaketa lokailu proposizionalak.

Adierazpen baten atomoak dira adierazpeneko predikatualdagaiak beren argumentuetan idatzita dituztela dagozkienkonstanteak eta aldagaiak. Aldagai proposizionalak ereatomoak dira. Adibideko hiru adierazpenen atomoak hauekdira: P(x), Q(x), P(a) eta Q(a).


Adierazpena eraikiko dugu bere atomoetatik abiatuz etaikurrak sartuz ordena jakin batean (zuhaitz baten bidezirudikatuko dugu eraikuntza hau). Bitartean sortzen direnadierazpen zatiak (eta atomoak ere) adierazpen osoarenazpiadierazpenak dira. Azpiadierazpenean zenbatzaile batielkartutako aldagaia izan dezakegu baina agian ez zenbatzaileabera (horrela bada aurrerago sartuko da zenbatzailea).

Adierazpenean (eta azpiadierazpenetan) ez da nahasketariksortu behar zenbatzaileei elkartutako aldagaiekin, zalantzarikgabe jakin behar da predikatu aldagaien argumentuetakoaldagai bakoitza zein zenbatzaileri dagokion. Adierazpenbateko bi zenbatzailek aldagai bera erabil dezakete baldinzalantzarik ez bada sortzen predikatu aldagaienargumentuetako aldagaiekin.


Parentesiei dagokionez, logika proposizionaleko lehentasun edoaurrekotasun irizpidearekin jarraituko dugu. Zenbatzaileenlehentasuna, ukapenak duen lehentasunaren berdina izango da:∀, ∃, ¬ lehentasun berdinekoak dira.

Ariketak. Eraiki adierazpen hauek atomoetatik abiatuz, zuhaitzbatekin irudikatu eraikuntza.

1. ∀x(P(x) ∨ Q)

2. ∀xP(x) ∨ Q

3. P(a)→ ∀x∃yQ(y , x) ∧ ∀y(R(a, y) ∨ S)


Predikatu logikan ere aldagai sintaktikoak erabiliko dituguadierazpenak eta azpiadierazpenak izendatzeko: A, B etab.Azpiadierazpen batean x aldagaia agertzen bada bainadagokion zenbatzailea ez badago azpiadierazpenean, orduanA(x) idatzi dezakegu (baina A ere bai baldintza horinabarmendu beharrik ez badago); antzera A(x , y) baldin x etay aldagaiak agertzen badira baina ez horien zenbatzaileak.Bestalde, adierazpen edo azpiadierazpen batean a konstanteaagertzen bada, A(a) idatzi dezakegu.

Ariketa. P(a) ∧ ∀x∃yQ(x , y) adierazpenean izendatuazpiadierazpenak aldagai sintaktiko egokiak hartuz.

Interpretazioak, baliozkotasunaPredikatu logika

Predikatu logikan adierazpen baten baliozkotasuna aztertzekobere egia taulako lerroetan egiazkoa den begiratu behar dugu,baina orain egia taulak konplexuagoak dira, logikaproposizionalekoak baino.

Adierazpenaren egia taulako lerro bakoitza idaztekoadierazpenaren interpretazio bat eman behar da. Interpretaziohauek nola egiten diren azalduko dugu.

Lehenik banakoen unibertsoa zehaztuko dugu, multzozenbakigarri bat izango da (finitua ala infinitua), berazbanakoak 1, 2, 3 . . . izango dira adierazpen baten interpretazioadefinitzen dugunean.


Adierazpenaren interpretazio bat definitzeko esleipen hauekegingo ditugu.

I Aldagai proposizional bakoitzari egia balioa: T edo F.

I Konstante bakoitzari unibertsoko banakoa: zenbaki bat.

I Predikatu aldagai bakoitzari funtzio logikoa:argumentutzat (aritatearen arabera) unibertsokobanakoak (1, 2, 3 . . .) hartzen dituen eta egia balioa (Tedo F) itzultzen duen funtzio bat.

Predikatu aldagaiei esleitzen zaizkien funtzio logikoetarakoφ(−), φ(−,−), ψ(−), φ1(−), φ2(−) eta abar idatziko dugu.


Ariketa. Idatzi predikatu aldagaietarako funtzio logikomonadikoak, bitarrak, etab.

Adierazpenaren interpretazio bat (bere egia taulako lerro bat)finkatuz, adierazpenaren egia balioa kalkula dezakegu, jakinikzenbatzaileekin egin behar den ondorengo kalkulua.

I Zenbatzaile unibertsala: ∀xA(x) T da baldin A(x) T badaunibertsoko x banako guztietarako; ∀xA(x) F da baldinA(x) F bada gutxienez unibertsoko x banako baterako.

I Zenbatzaile existentziala: ∃xA(x) T da baldin A(x) Tbada gutxienez unibertsoko x banako baterako; ∃xA(x) Fda baldin A(x) F bada unibertsoko x banako guztietarako.


Interpretazio bat (egia taulako lerro bat) finkatuz, ∀xA(x)adierazpenaren edo azpiadierazpenaren egia balioa kalkulatzeko(berdin ∃xA(x) badugu), taula laguntzaile bat osatuko dugu,lerro bakoitzean x aldagaiari unibertsoko banako bat esleituzeta A(x) azpiadierazpenaren egia balioa kalkulatuz.

Gainera, A(x) azpieadierazpenaren barruan beste zenbatzailebat badago, eraiki den taula laguntzailearen lerro bakoitzerako,x banakoa finkatu ondoren, taula laguntzaile bat egin beharkoda bigarren zenbatzailearen egia balioa kalkulatzeko.

Beraz, interpretazio bat finkatuz, era errekurtsiboankalkulatzen da ∀xA(x) edo ∃xA(x) adierazpenaren, edoazpiadierazpenaren, egia balioa.


Ariketa. Adierazpenaren egia taula aztertu, kalkulatuadierazpenaren egia balioa interpretazio desberdinetarako.

I P(a) ∨ ∀x(P(x)→ Q)

I ∀x(∃yP(y)→ P(x)) ∧ P(a)

Logika proposizionalean bezala, predikatu logikan ere esangodugu adierazpen bat baliozkoa dela baldin edozeininterpretaziorako egiazkoa bada, hau da, bere egia taulakolerro guztietan egiazkoa bada. Adierazpena ez da baliozkoagutxienez interpretazio baterako falsua bada.

Ariketa. Frogatu ∀x∃yP(x , y)→ ∃y∀xP(x , y) adierazpena ezdela baliozkoa.

BaliokidetasunakPredikatu logika

Logika proposizionalean bezala, predikatu logikan ere esangodugu A eta B adierazpenak baliokideak direla, A ≡ B idatziz,baldin A↔ B adierazpena baliozkoa bada. Hau da, A eta Badierazpenak baliokideak dira edozein interpretaziorako egiabalio berdina badute.

Jarraian oinarrizko baliokidetasun legeak ditugu.Baliokidetasun legearen ezkerrean eta eskuinean adierazpenakdaude, edo bestela azpiadierazpenak ere, hauetanzenbatzailerik gabe agertzen diren aldagaiak konstantetzathartuz.


¬∃xA(x) ≡ ∀x¬A(x)

¬∀xA(x) ≡ ∃x¬A(x)

∀x∀yA(x , y) ≡ ∀y∀xA(x , y)

∃x∃yA(x , y) ≡ ∃y∃xA(x , y)

∀x(A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀xA(x) ∧ ∀xB(x)

∃x(A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x)

Kontuan izan unibertsala banakorra dela konjuntziorako bainaez disjuntziorako, eta existentziala banakorra deladisjuntziorako baina ez konjuntziorako.


∀x(A ∧ B(x)) ≡ A ∧ ∀xB(x)

∀x(A ∨ B(x)) ≡ A ∨ ∀xB(x)

∃x(A ∧ B(x)) ≡ A ∧ ∃xB(x)

∃x(A ∨ B(x)) ≡ A ∨ ∃xB(x)

Baliokidetasun hauetako A azpiadierazpenean ez da agertzenzenbatzailearen x aldagaia.


Ariketa. Frogatu baliokidetasun hauek:

I ∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)

I ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x)

Ondorioz, aldagai sintaktikoak hartuz,∃x(A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) eta¬∃xA(x) ≡ ∀x¬A(x) dugu oro har.

Predikatu logikan ere baliokidetasun kateak egingo ditugubaliokidetasun berriak lortzeko, idatzi ditugun baliokidetasunlegeak (eta logika proposizionalekoak) erabiliz.

Frogapen formalakPredikatu logika

Logika proposizionalean bezala, predikatu logikan ere esangodugu A1, A2, . . . , An premisak eta B ondorioa dituenargumentu formala baliozkoa dela baldinA1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An → B adierazpena baliozkoa bada,A1,A2, . . . ,An |= B idatziko dugu horrela bada. Beraz,argumentu bat baliozkoa da baldin premisa denak egiazkoakdirenean ondorioa ere egiazkoa bada edozein interpretaziorako.

Argumentu bat baliozkoa dela frogatzeko, deribazio edofrogapen formalak egingo ditugu ondorengo lauinferentzia-erregelak, eta logika proposizionalekoak, erabiliz.Inferentzia-erregela hauen bidez, zenbatzaileak (unibertsalaketa existentzialak) ezabatu edo sartuko ditugu frogapenformalean zehar (eta kasu batzutan banako aldagaia edokonstantea ordezkatuko dugu erregeletan esaten den bezala).


I Unibertsala Ezabatzea:I lehenengo modua,

∀xA(x) ` A(x)

∀xA(x) ` A(y)

unibertsalak duen aldagaia utzi edo beste aldagai bataukeratu, frogapena jarraituko dugu ulertuz x , y , z . . .unibertsoko edozein banako dela,

I bigarrengo modua,

∀xA(x) ` A(a)

konstante bat aukeratu a, b, c . . ., unibertsoko banakobat zehaztuko du.


I Existentziala Ezabatzea:

∃xA(x) ` A(a)

aukeratu behar da konstante bat a, b, c . . . frogapenformalean inon agertu ez dena, argumentuaren ondorioanere ez, unibertsoko banako berri bat zehaztuko du;bestalde, ∃xA(x) adierazpenean ezin da egon aldagai batbere zenbatzailea gabe.


I Unbertsala Sartzea:

A(x) ` ∀xA(x)

A(x) ` ∀yA(y)

unibertsalaren aldagaia x edo beste bat y , z . . . izandaiteke.

I Existentziala Sartzea:

A(a) ` ∃xA(x)

existentzialaren aldagaia x , y , z . . . izan daiteke.


Erregela hauetako A(y), A(a) eta abar lortzen dira A(x)azpiadierazpenean x aldagaia ordezkatuz beste aldagai batekinedo konstante batekin.

Bestalde, lehenengo hiru erregelen ezkerrean beste aldagai batizan dezakegu, eta laugarrengo erregelaren ezkerrean bestekonstante bat, nabaria denez.

Azkenik, unibertsala ezabatzen dugunean (lehenengo moduan)edo zenbatzaile bat sartzen dugunean (unibertsala edoexistentziala), ez dugu aukeratuko aldagai bat baldinazpiadierazpenean beste zenbatzaile bat badago aldagaiberdinarekin.


Adibidez, A(x) azpiadierazpena izango balitz ∀yP(x , y) edo∃yP(x , y), orduan:

I ∀xA(x) 6 `A(y) bai ordea A(x) edo A(z)

I A(x) 6 ` ∀yA(y) bai ordea ∀xA(x) edo ∀zA(z)

I A(a) 6 ` ∃yA(y) bai ordea ∃xA(x) edo ∃zA(z)

Beste adibide bat, existentziala ezabatzeko erregelarenbigarrengo murrizpena argitzeko, ∀x∃yP(x , y) adierazpeneanunibertsala ezabatuz ∃yP(x , y) dugu, baina hemen ezin daexistentziala ezabatu, ∃yP(x , y) 6 `P(x , a)


Ohiko frogapen formala antolatuko dugu argumentuarenpremisetatik abiatuz, zenbatzaileak ezabatuko genituzke,inferentzia-erregelak erabili, logika proposizionalekoak ere,zenbatzaileak sartu, azkenean argumentuaren ondorioalortzeko.

Frogapena antolatzeko metodo ezagun hauek ere erabilgarriditugu: reductio ad absurdum, kasuzkako frogapena, frogapenbaldintzatua. Baliokidetasunak ere kontuan izango ditugufrogapen formalak egiteko.


Ariketak. Frogapen formalak egin argumentu hauek baliozkoakdirela erakusteko.

1. Premisak: ∀x(P(x)→ Q(x)), P(a). Ondorioa: Q(a).

2. Premisak: ¬R(a), ∀x(P(x)→ Q(x)), ∀x(Q(x)→ R(x)).Ondorioa: ¬P(a).

3. Premisak: ∀x(Q(x) ∨ R(x)→ ¬P(x)), P(a).Ondorioa: ¬R(a).

4. Premisak: ∀xP(x), ∀x(P(x)→ Q(x)). Ondorioa: ∀xQ(x).


5. Premisak: ∀x(P(x) ∨ Q(x)), ∀x(¬P(x) ∧ Q(x)→ R(x)).Ondorioa: ∀x(¬R(x)→ P(x)).

6. Premisa: ∀x(S(x)→ P(x)).Ondorioa: ∀x(¬P(x)→ ¬S(x)).

7. Premisak: ∀x(P(x)→ Q(x)), P(a). Ondorioa: ∃xQ(x).

8. Premisak: ∀x(P(x)→ Q(x)), ∃xP(x). Ondorioa: ∃xQ(x).

9. Premisak: ∃x(P(x)→ Q(x)), ∃xP(x).Ondorioa (?): ∃xQ(x).

10. Premisak: ∀x(P(x)→ Q(x)), ∃xP(x).Ondorioa (?): Q(a).

LOGIKA - sc.ehu.es · Logikarako sarrera Logika proposizionala Argumentuen baliozkotasun frogapenak...

Documents

Transcript of LOGIKA - sc.ehu.es · Logikarako sarrera Logika proposizionala Argumentuen baliozkotasun frogapenak...