Lli˘cons Variables aleat ories discretes, Esperan˘ca, Vari ...satorra/P/P2014L3.pdf · Albert...

LliconsVariables aleatories discretes, Esperanca,

Variancia, distribucio de Bernoulli

Albert Satorra

UPF

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 1 / 42

Continguts

1 Preliminars, motivacio

2 Variables aleatoriesFuncio de massa de probabilitatFuncio de distribucioEsperanca: definicio i propietatsVariancia: propietats

3 Distribucio de Bernoulli


Problema de no. de sisos en la tirada de tres dausSuposeu que tirem tres daus de sis cares, i observem el no. de sisos obtinguts.Sigui X el no. de sisos obtinguts en una tirada de tres daus.

1 Valors possibles de X2 Probabilitat dels valors possibles3 P[X > 1]4 Valor esperat de X5 Variancia de X6 Valor esperat del guany G = −1 + 2X7 Variancia del guany G

Conceptes: Variable aleatoria, distribucio de probabilitat; funcio de distribucioacumualda; valor esperat (esperanca) ; variancia; altres mesures de v.a.


Problema de no. de sisos en la tirada de tres daus (cont.)Funcio de massa de probabilitat:

valors X p(x)

0(30

)(56)3(16)0 = 0.5787 ≈ 58%

1(31

)(56)2(16)1 = 0.3472 ≈ 35%

2(32

)(56)1(16)2 = 0.0694 ≈ 9%

3(32

)(56)0(16)3 = 0.0046 ≈ 0.5%

Calculadora:(3

1

)(

5

6)2(

1

6)1 = choose(3, 1) ∗ ((5/6)2) ∗ ((1/6)1) = 0.3472

Cas de tirada de 20 daus. El no. de sisos X en la tirada de 20 daus:

P(X = 4) =

(20

4

)(

5

6)16(

1

6)4 = choose(20, 4) ∗ ((5/6)16) ∗ ((1/6)4) = 0.2022


Massa de probabilitat: p(x) (X = no. de sisos en tirada de3 daus)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

valors de X

mas

sa p

roba

bilit

at p

x

Figure : Funcio de masssa de probabilitat


Funcio acumulada de probabilitat: F(x) (X = no. de sisosen tirada de 3 daus)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

valors de X

Fun

cio

dist

ribuc

io F

(x)

Figure : Funcio de distribucio, F(x)


Variables aleatories

Una variable aleatoria (v.a.) es una quantitat variable que pren valorsdeterminats per un experiment aleatori.Una v.a. es discreta si pren una quantitat numerable de valors1

Una v.a. es continua si pot prendre tots els valors d’un interval.

Exemple

- tirada d’un dau, nombre X de la cara obtinguda- Nombre de cotxes que arriben a una gasolinera de 3 a 4 de la tarda- Nombre de vegades que cal llencar una moneda fins obtenir cara- Temps des de vida de una bombeta- Renda de la famılia Garcıa a l’any 2010

1Tota variable que nomes pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valorses discreta.


Funcio de massa de probabilitat (f.m.p.)

X v.a. discreta. La funcio de massa de probabilitat de X [PX (x)]representa la probabilitat de que X prengui el valor x , com a funcio de x ,es a dir

PX (x) = P(X = x)

on aquesta funcio s’avalua per a tots els possibles valors de x .

Exemple

En un determinat joc d’atzar, un jugador te 2 monedes. A cada jugadapot mostrar 0, 1 o 2 monedes amb la mateixa probabilitat.X :=“nombre de monedes a la ma en una jugada qualsevol”

x 0 1 2

P(X = x) 13

13

13


Funcio de Massa de Probabilitat (f.m.p)

X= numero de monedes a la ma

prob

abili

at

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0 1 2

Figure : f.m.p. de X


Exemple

En una rifa s’ofereixen un premi de 600 euros, dos de 300 euros i vint de100 euros. Es van posar a la venda 10.000 bitllets al preu de 30 centims elbitlletLa funcio de massa de la variable aleatoria X :=“guany a la rifa”

x P(X = x)

−0, 30 + 600 = 599, 70 1104

−0, 30 + 300 = 299, 70 2104

−0, 30 + 100 = 99, 70 20104

−0, 30 1− 1104− 2

104− 20

104= 9977

104

La probabilitat de que no guanyem diners es, P(X ≤ 0) = 9977104



X= guany a la rifa

prob

abili

at

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−0.3 99.7 299.7 599.7

Figure : f.m.p. de X (persones n=50, numeros m = 10)


Les funcions de massa satisfan,

1 PX (x) ≥ 0

2∑

x PX (x) = 1


Funcio de distribucio

La funcio de distribucio d’una variable aleatoria X , [FX (x0)] representa laprobabilitat que X no prengui un valor superior a x0, com a funcio de x0.es a dir,

FX (x0) = P(X ≤ x0) =∑x≤x0

PX (x)


Les funcions de distribucio satisfan,

1 0 ≤ FX (x0) ≤ 1, ∀x02 Si x0 ≤ x1, aleshores FX (x0) ≤ FX (x1)

3 P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)


Esperanca: definicioSigui X una v.a. discreta a valors x1, x2, . . . , xK amb probabilitatsrespectives p1, p2, . . . , pK . El valor esperat de X (esperanca de X , E (X ),µX ) es la suma ponderada dels valors de la variable per les sevesprobabilitats:

Esperanca, E (X ), µ

E (X ) = x1 × p1 + x2 × p2 + . . . xK × pK

PosemE (X ) =

∑x

xP(x)

Ex2. X :=’nombre de monedes a la ma’ (Exemple anterior, distribuciouniforme a 0,1,2)E [X ] = 0 · 13 + 1 · 13 + 2 · 13 = 1

Ex3. X :=’guany a la rifa’?E [X ] = 599, 70 · 1

104+ 299, 70 · 2

104+ 99, 70 · 20

104+ (−0, 30) · 9977

104= 0, 02


Esperanca – Interpretacio

Exemple (Joc1)

En una capsa tenim 4 boles etiquetades amb 1, 1, 2, 4. Traiem una bola al’atzar i guanyem en euros el valor X de la bola extreta. Aleshores,

E (X ) = 1× 2

4+ 2× 1

4+ 4× 1

4= 2

Que vol dir µx = 2?

1 µ = 2 es el punt de l’eix d’abcisses que aguantaria la f.m.p. enequilibri (veure el grafic de f.m.p.)

2 Si repetim el joc moltes vegades, en promitg guanyarıem 2 euros perjugada1000 vegades, rebem ≈ 1000× µX = 2000 euros de benefici



X= Cost en milions

prob

abili

at

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

1 2 4

Figure : f.m.p. de X = guany en euros


. . . simulacio

guanys =sample(c(1,2,4), 1000, replace = T, prob =c(0.5, 0.25, 0.25))

guanys

[1] 1 2 1 2 1 2 4 4 1 1 1 4 2 4 2 2 1 1 2 2 1 4 1 1 1 4 1 4 2 4 1 1 1 4 1 1 2 4 1 1 2 1 1 1 1 1 4

[48] 1 2 4 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 4 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 4 4 4 1 1 2 1 1 1 2 2

....

[894] 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 1 4 2 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 4 4 2 2 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1

[941] 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 1 2 2 2 4 2 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 4 1 1 4 1 1 1 2 4 1 1 4 1 1 2 4 4

[988] 4 4 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 1

mean(guanys)

1.947


Simulacio amb R:

> capsa = c(1,1,2,4)

> simul=sample(capsa,1000,replace=T)

> simul

[1] 1 1 1 4 1 1 2 4 2 1 4 1 1 1 1 1 4 4 4 1 1 4 4 1 1 1 1 1 4 1 4 2 4 4 1 1 4 1 1 1 2 1 2 2 4 4 1

[48] 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 4 1 4 2 2 2 1 2 4 1 4 4 4 1 1 1 1 4 4 2 1 1 4 2 1 2 4 1 2 2 4 2 1

[95] 2 4 2 2 2 1 4 1 4 4 4 2 1 4 2 1 1 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 2 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 1 2 1

.....

[894] 2 1 4 4 1 4 1 2 2 1 4 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 4 2 1 1 2 2 2 1 1 1 4 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1

[941] 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 2 2 4 1 4 4 2 4 2 1 1 4 1 2 1 1 1 2 1 1 4

[988] 1 4 1 1 1 1 4 2 1 1 4 4 2

> ....

> mean(simul)

[1] 1.949


Una mica mes... Vols que el joc sigui ”just” es a dir que un jugador noguanyi ni perdi diners encara que jugui molt de temps. Quin es el preu justper participar en el joc? Es µx !!!

Exemple

Tenim un valor en borsa que pot cotitzar a 100 amb probabilitat 0.3 i a400 amb probabilitat 0.7. Quant pagaries per aquest valor?

No mes del seu preu just, es a dir

E [X ] = 100× 0.3 + 400× 0.7 = 310


Propietats de l’esperanca

Propietats

1 Si X = a, aleshores E [X ] = a

2 E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ] (per demostrar aquesta propietatnecessitem variables aleatories bidimensionals, Z = (X ,Y )), lademostrarem mes endavant

3 E [X + a] = E [X ] + a

4 E [aX ] = aE [X ]

Exemple (Joc2)

En una altra capsa tenim 4 boles: 0, 0, 0, 8. Traiem una bola a l’atzar iguanyem en diners el valor X a la bola extreta.

E [X ] = 0× 34 + 8× 1

4= 2

pero a quin joc dels dos jugaries?

Una mica mes... Necessitem una mesura del risc!!!Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 20 / 42

L’esperanca d’una funcio Y = g(X ) de v.a.

L’esperanca de g(X ) es defineix com,

E [g(X )] =∑x

g(x)PX (x)

E [g(X )]: valor promig de g(X ) en nombre ELEVAT de repeticions.Per exemple, tirem un dau de sis cares X, i guanyem Y = 3X 2 − 46.Quina es E (Y )?

E (Y ) = (3× 12 − 46)× 1

6+ (3× 22 − 46)× 1

6+ . . . (3× 62 − 46)× 1

6

=1

6× (3× (12 + 22 + · · ·+ 62))− 46

=1

6× (3× (91))− 46 = −0.5


Significat de l’Esperanca: Llei del Grans Nombres

Promitg del guany Y en moltes proves

n proves de Y : y1, y2, . . . , yn

y1 + y2 + · · ·+ ynn

→ E (Y )


Guany esperat, Jugem moltes vegadesJugem 1000 vegades, quin es el guany promitg?:

dau = 1:6

X = sample(dau, 1000, replace = TRUE)

Y = 3*X^2 - 46

mean(Y)

> -1.9

jugo 100 mil vegades

dau = 1:6


Y = 3*X^2 - 46

mean(Y)

> -0.60955

jugo 1 milio de vegades

dau = 1:6


Y = 3*X^2 - 46

mean(Y)

> -0.531961

jugo 10 milions de vegades

dau = 1:6


Y = 3*X^2 - 46

mean(Y)

> -0.5021749


Mesura de RiscLa variancia de X [σ2X , var [X ], V (X )] es defineix (si ∃) com,

V (X ) = E[(X − µX )2

]= (x1 − µ)2p(x1) + (x2 − µ)2p(x2) + (x3 − µ)2p(x3) + . . .

=∑x

(x − µX )2p(x)

= E (X 2)− (µX )2

= E (X 2)− (E (X ))2

Una demostracio:

E[(X − µ)2

]= E

[X 2 − 2Xµ+ µ2

]= E

[X 2]− E [2Xµ] + µ2

= E[X 2]− 2µE [X ] + µ2

= E[X 2]− 2µµ+ µ2

= E[X 2]− µ2


Variancia–motivacio

Considereu els seguents jocs:

1 Triem a l’atzar de la caixa [2, 2, 2, 2]→ X . Tenim que E (X ) = 2

2 Triem a l’atzar de la caixa [0, 0, 4, 4]→ Y . Tenim que E (Y ) = 2

3 Triem a l’atzar de la caixa [−100,−100, 104, 104]→ Z . Aquı tambeE (Z ) = 2

Quina diferencia hi ha entre aquestes variables? Considerag(X ) = (X − µ)2 i el valor esperat E (g(X )) = E ((X − µ)2). . . volatilitat del guany, variacio al voltant del valor esperat µ, variancia


calculem les variancies de X , Y i Z

1 V (X ) = E [(X − 2)2] = 02 × 1 = 0

2 V (Y ) = E [(Y − 2)2] = (0− 2)2 × 0.5 + (4− 2)2 × 0.5 = 4× 1 = 4

3 V (Z ) = E [(Z − 2)2] = (−100− 2)2 × 0.5 + (104− 2)2 × 0.5 =1042 × 1 = 10816

X , Y i Z tenen la mateixa mitjana pero difereixen molt en variancies.


Ex 2. σ2X = (0− 1)2 · 13 + (1− 1)2 · 13 + (2− 1)2 · 13 = 23

Una altra manera,E [X 2] = 02 · 13 + 12 · 13 + 22 · 13 = 5

3 ⇒ var [X ] = E [X 2]− (E [X ])2 = 23

Ex 4 i 6 Risc en els jocs 1 i 2:

σ21 =5

4σ22 = 12

La variancia serveix per comparar el risc (dispersio) de diferentsdistribucions de probabilitat (compte amb les unitats de mesura !)


Exemple

X1:=’Rendiment accions l’any 2009(euros)X2:=’Rendiment accions l’any 2009 (milers d’euros)

σ2X1� σ2X2

Sigui X una variable aleatoria d’esperanca E [X ] i variancia var [X ] idefinim Y = a · X + b.Aleshores,

1 E [Y ] = a · E [X ] + b

2 var [Y ] = a2 · var [X ]


Exemple

Es considera que els ingressos anuals esperats de les famılies de la ciutat Cson de 42000 dolars amb una desviacio estandard de 8000 dolars.Volem expressar la informacio en euros enlloc de dolars: ratio de canvi esde 1,24 dolars per euroRealitzem una transformacio multiplicativa que consisteix en multiplicar lesobservacions en dolars (X ) per 1/1, 24 per a obtenir el resultat en euros(Y ).

E [Y ] = 42000/1, 24 = 33870, 97 euros

var [Y ] = (8000/1, 24)2 = 41.623.309, 05 euros2


Propietats de V(X)

1 var [X ] ≥ 0

2 Si X = a, aleshores var [X ] = 0

3 var [X + a] = var [X ]

4 var [aX ] = (a)2 var [X ] i per tant√

var [aX ] = |a|√

var [X ]

Observa que σX =√

var [X ] mesura la dispersio en unitats de la variableoriginal... Aixo s’anomena desviacio tıpica (o estandard) de X


Altres mesures caracterıstiques d’una variable aleatoria

Sigui X una variable aleatoria.

- El moment (no centrat) d’ordre k de X es defineix com2

mk = E [X k ]

- El moment centrat d’ordre k de X es defineix com3

µk = E [(X −m1)k ] = E [(X − µ)k ]

2k = 1: µ, esperanca o valor esperat d’una variable aleatoria3k = 2: σ2, variancia d’una variable aleatoriaAlbert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 31 / 42

El coeficient d’asimetria CA es el moment centrat d’odre 3estandarditzat,

CA =E [(X − µ)3]

σ3

Mesura asimetria al voltant del valor esperat. Es zero quan la variable es simetrica

al voltant de µ: tan probables son els valors per sobre de µ com els valors per sota.

El coeficient d’apuntament CAp es el moment centrat d’odre 4estandarditzat,

CAp =E [(X − µ)4]

σ4

Mesura el grau d’apuntament de la distribucio, prenent sovint com a referencia la

distribucio normal en la que CAp = 3.


El coeficient de variacio (CV ) es defineix com

CV =σ

µ

Mesura la dispersio en relacio a la magnitud dels valors de la variable.


Centrar i reduir la X

Centrar: Variable X centrada es Y = X − µX .Tenim que mY = 0

Estandarditzar: La variable X estandarditzada es Y = X−µXσX

Tenim que EY = 0 i V (Y ) = 1.

Exemple: Si µX = 3 σ2X = 4, aleshores la variable X estandarditzada esY = X−3

2 Demostra que el valor esperat de Y es 0 i lavariancia de Y es 1.

funcio R, scale : Si tenim una llista de numeros, observacions de X , X=c(1,6,2,1,6,9)

scale(X) es la llista de numeros estandarditzada


Distribucio de Bernoulli

EA amb dos resultats possibles: exit i fracas. Sigui X la v.a.,

X =

{1 si exit0 si fracas

Si P(exit) = p, diem que X te una distribucio Bernoulli de parametre p,que denotem X ∼ Bern(p). La funcio de massa es

P(X = x) =

{p, x = 11− p, x = 0

⇔ P(X = x) = px(1− p)1−x , x = 0, 1

L’esperanca i la variancia d’una distribucio Bernoulli son,

E [X ] = p, var [X ] = p(1− p)


Exemple

Tirem un dau no trucat i observem si surt o no 6. Sigui:

X =

{1 si s’observa 60 altrament

Aleshores, X ∼ Bern(16). E [X ] = 16 = 0.1667 i var [X ] = 0.1389.

Simulem 10000 vegades l’experiment amb R:simBern=rbinom(10000, 1, 1/6)

table(simBern)/10000

dbinom(0:1, 1, 1/6)

mean(simBern)

var(simBern)


. . . calculem parametres de X (X = no. de sisos en tiradade 3 daus)VALOR ESPERAT de X, E(X)> 0:3 = 0 1 2 3

> px

0.57870370 0.34722220 0.06944444 0.00462963

> px*(0:3)

0.00000000 0.34722220 0.13888888 0.01388889

> sum(px*(0:3)) =0.5

noteu que: 3*(1/6) = 0.5

VARIANCIA, V(X)

> ( (0:3)-0.5)

-0.5 0.5 1.5 2.5

> ( (0:3)-0.5)* ( (0:3)-0.5)

0.25 0.25 2.25 6.25

> ( (0:3)-0.5)* ( (0:3)-0.5)*px

0.14467593 0.08680555 0.15624999 0.02893519

> sum(( (0:3)-0.5)* ( (0:3)-0.5)*px) = 0.4166667

Noteu: > 3*(1/6)*(5/6) = 0.4166667

> sum(px*(0:3)*(0:3) ) - 0.5*0.5 =0.4166666Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 37 / 42

. . . el detectiu Jack Hardwick’s diu

“Probability theory would predict that . . . ”

p. 384 de la novela de John Verdon (2010) “Think of a number”, CrownPublishing Group

El problema de probabilitat:

n persones trien a l’atzar un numero de 1 a m. Suposeu un numero concretA (de 1 a m). Quantes persones X han triat el numero A ?. En numerospetits, per exemple, n=50, m= 10, A = 7. Quantes persones de les 50 hantriat el numero 7 ?

Funcio de massa de probabilitat

Podem veure que P(X = x) =

choose(n,x)(m-1)^(n-x) / m^n ,

per x = 0, 1, 2, . . . , n.En el cas n=50, m= 10, A = 7 i x = 3 la probabilitat buscada es

choose(50,3)*(9)^(50-3) / 10^50=0.1385651

el 13.8%!


. . . calculem les probabilitats amb R

n= 50;

m=10;

x=0:n;

p=choose(n,x)*((m-1)^(n-x))/(m^n)

sum(p)

plot(x,p, type = "h", col="red", xlab="nombre persones trien el 7",

ylab="probabiliat", axes = F)

axis(2)

axis(1, at =0:50, labels=0:50, cex =.4)

abline(v=(sum(x*p)), col= "blue", lty = 3)

text(36, 0.15, paste("valor esperat es",

as.character(round(sum(x*p)))), col="blue", cex=0.8)


Problema de la novela de John Verdon (2010) “Think of anumber”, aquı: persones 50, numeros 10

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●

●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 10 20 30 40 50

0.00

0.05

0.10

0.15

r: no. de coincid.

prob

abili

at

valor esperat= 5

Figure : Probabilitats de r coincidencies



X= numero de persones trien A=7

prob

abili

at

0.00

0.05

0.10

0.15

0 3 6 9 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

valor esperat de X es 5

Figure : f.m.p. de X

plot(r,p, type = ”h”, col=”red”, xlab=”X= numero de persones trienA=7”, ylab=”probabiliat”, axes = F, lwd = 2) axis(2) axis(1, at =0:50,labels=0:50, cex =.4)


Abraham de Moivre, Doctrine of Changes, 1718

Quantes vegades hem de repetir la tirada per assegura una probabilitat del50 % d’aconseguir com a mınim un exit:Suposem que en x repeticions hi han a exits i b fracasos. La probabilitatde exactament x fracasos en les x = a + b tirades, segons la reglamultiplicativa, sera: (

b

a + b

)x

que volem que sigui 0.5 (el complementari, volem que sigui 0.5).Tenim que (

a + b

b

)x

= 2⇒ log(2) = x(log(a + b)− (log(b))

⇒ x =log(2)

log(a + b)− log(b)


Lli˘cons Variables aleat ories discretes, Esperan˘ca, Vari ...satorra/P/P2014L3.pdf · Albert...

Documents

Transcript of Lli˘cons Variables aleat ories discretes, Esperan˘ca, Vari ...satorra/P/P2014L3.pdf · Albert...