UNIVERSIDADE FEDERAL DE

UBERLANDIA

FACULDADE DE MATEMATICA

Exercıcios de Matematica 2 - Lista 2

Maximos e mınimos

1. Determine as derivadas parciais de segunda or-dem das funcoes:

(a) f(x, y) = x3− 3x2y + 3xy2 + y2

(b) f(x, y) = x2y + xy3

(c) f(x, y) = x3 + x2y + x+ 4

(d) f(x, y) =√

x2 + y2

(e) f(x, y) = x√y + y

√

x

(f) f(x, y) = x

1−y

(g) f(x, y) = x2−y

2

x2+y2

(h) f(x, y) = x√

1 + y2

(i) f(x, y) = (ex + ey)3

(j) f(x, y) = exy

x+y

(k) f(x, y, z) = xyz + xy2 + yz2 + zx2

(l) f(x, y) = x+y

x−y

2. Determine os pontos crıticos de cada funcao.Em seguida, use o teste da segunda derivadapara determinar, se possıvel, os maximos emınimos locais.

(a) f(x, y) = 1− 2x2− 3y2

(b) f(x, y) = x2− xy + y2 + 1

(c) f(x, y) = x2− y2 − 2x+ 4y + 1

(d) f(x, y) = 2x2 + y2 − 4x+ 6y + 3

(e) f(x, y) = x3− 2xy + y2 + 5

(f) f(x, y) = x

y2 + xy

(g) f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 − 4x+ 8y − 1

(h) f(x, y) = x2− 4xy + 2y2 + 4x− 8y−

(i) f(x, y) = 2y3 − 3y2 − 12y + 2x2− 6x+ 2

(j) f(x, y) = x3− 2xy + y2 + 5

(k) f(x, y) = xy + 4

x+ 2

y

(l) f(x, y) = ex2−y

2

(m) f(x, y) = ex2+y

2

(n) f(x, y) = 4y3 + x2− 12y2 − 36y + 2

3. Maximizando o lucro

(a) A receita total semanal (em dolares) daCountry Workshop, obtida pela manu-fatura e venda de escrivaninhas, e dadapor

R(x, y) =

= −0, 2x2−0, 25y2−0, 2xy+200x+160y

onde x denota o numero de unidadescom acabamento e y denota o numero deunidades sem acabamento manufaturadase vendidad por semana. O custo total se-manal atribuıdo a manufatura dessas es-crivaninhas e de

C(x, y) = 100x+ 70y + 4000

dolares. Determine quantas unidadescom e sem acabamento a companhiadeve manufaturar por semana, a fim demaximizar o seu lucro. Qual e o maiorlucro que pode ser obtido?

(b) O faturamento diario (em dolares) da We-ston Publishing em virtude da publicacaoe venda de seus dicionarios de ingles edado por

R(x, y) =

= −0, 005x2−0, 003y2−0, 002xy+20x+15y

onde x representa o numero de copias daedicao de luxo e y representa o numerode copias da edicao tradicional vendidasdiariamente. O custo total com a pub-licacao destes dicionarios e dado por

C(x, y) = 6x+ 3y + 200

dolartes. Determine quantas copias decada tipo devem ser publicadas diaria-mente para maximizar o lucro. Qual e omaior lucro que pode ser obtido?

(c) A C&G Imports importa duas marcas devinho, uma da Alemanha e outra da Italia.O vinho alemao custa $4,00 cada garrafa eo vinho italiano pode ser obtido por $ 3,00cada garrafa. Estima-se que, se o vinhoalemao for vendido, no varejo, a p dolaresa garrafa e o vinho italiano for vendido aq dolares a garrafa, entao

2000− 150p+ 100q

1

garrafas do vinho alemao e

1000 + 80p− 120q

garrafas do vinho italiano serao vendi-das semanalmente. Determine o precounitario para cada marca que permitira omaior lucro semanal possıvel.

(d) Uma empresa vende dois produtos B1 eB2 por $1000 e $800 cada, respectiva-mente. O custo total de produzir essesprodutos e dado por

C(x, y) = 2x2 + 2xy + y2

onde x e y denotam os nıveis de producaode B1 e B2, respectivamente. Encontre olucro maximo e os valores de x e y nosquais esse lucro e atingido.

4. Empacotamento Uma caixa retangularaberta com um volume de 108 centımetroscubicos deve ser construıda usando uma folhade alumınio. Encontre as dimensoes dessacaixa que minimizam a quantidade de materiala ser utilizada.

Multiplicadores de Lagrange

1. Use o metodo do multiplicador de Lagrangepara calcular os valores extremos das funcoesabaixo:

(a) z = xy, sujeita a x+ 2y = 2

(b) z = x(y + 4), sujeita a x+ y = 8

(c) z = x− 3y − xy, sujeita a x+ y = 6

(d) z = 7− y + x2, sujeita a x+ y = O

(e) z = x + 2y + 3w + xy − yw, sujeita ax+ y + 2w = 10

(f) z = x2+2xy+yw2, sujeita a 2x+y+w2 =24 e x+ w = 8.

2. Maximize a funcao

f(x, y) = 4xy + x2

sujeita a restricao

y + 2x = 105.

3. A funcao custo total de uma empresa e dadapor

C(x, y) = 3x2 + 2xy + 7y2

onde x e y indicam o numero de itens dos bensB1 e B2, respectivamente, que sao produzidos.Encontre os valores de x e y que minimizamos custos, se for confiado a empresa o forneci-mento de 40 bens de qualquer tipo no total.

4. Encontre o valor otimo de

x2− 3xy + 12x

sujeito a restricao

2x+ 3y = 6.

O valor otimo encontrado e um maximo ouum mınimo?

5. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feitacom 12 m2 de papelao. Determine o voluemmaximo dessa caixa bem como as dimensoesque esta caixa deve ter.

6. Funcao producao de Cobb-Douglas: Em1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaramum artigo no qual modelaram o crescimento daeconomia norte-americana durante o perıodode 1899-1922. Eles consideraram uma visaosimplificada da economia em que a saıda daproducao e determinada pela quantidade detrabalho envolvido e pela quantidade de capitalinvestido. Apesar de existirem muitos outrosfatores afetando o desempenho da economia, omodelo proposto mostrou-se bastante preciso.A funcao utilizada para modelar a producaoera da forma

P (L,K) = bLαK1−α

onde P e a producao total, L a quantidade detrabalho empregado e K a quantidade de cap-ital investido, b e α sao constantes positivas eα < 1.

Se o custo do trabalho for m e o custo porunidade de capital for n, e uma empresa pudergastar somente uma quantidade d de dinheirocomo despesa total, mostre que a producaomaxima ocorre quando

L =αd

me K =

(1− α)d

n.

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7. Em relacao ao problema 6, suponha agora quea producao seja fixada em bLαK1−α = Q, ondeQ e uma constante. Quais os valores de L e K

que minimizam o custo de producao?

8. Funcao utilidade: A funcao utilidade de umconsumidor e dada por

U(x, y) = 2xy + 3x

onde x e y indicam a quantidade de itenscomprados dos bens B1 e B2. Cada item custa$1 para B1 e $2 para B2. Encontre o valormaximo de U se a renda do consumidor for de$83. Qual a nova utilidade otima se a rendado consumidor aumentar $1 ?

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