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Estudios experimentales del teorema de fluctución en cristales ĺıquidos

Jeshua Eduardo Pérez Cárdenas y Jeisson Vanegas Carranza

12 de mayo de 2016

1. Introduccíon

En este documento se va a analizar como el teoremade fluctuación (FT por sus siglas en inglés) es válido pa-ra un gran sistema como es un cristal ĺıquido, ya que lavalidez de este teorema ha sido probada experimental-mente sólo en unos pocos casos como son: deformaciónde un sistema coloidal en una trampa optica, deforma-ción de una molécula de RNA cuando esta se estira y la

torsión de un péndulo sumergido en un ĺıquido viscoso.El teorema dice que para un sistema con temperatu-ra T  en un intervalo de tiempo τ , la probabilidad P (Ωτ )de que la disipación Ωτ  sea positiva y la probabilidadP (−Ωτ ) de que la misma disipasión sea negativa en unproceso irreversibble cumple que:

P (Ωτ )

P (−Ωτ ) = exp

  Ωτ kBT 

  (1.1)

Como la disipasión es una cantidad extensiva, enton-ces esta crece si el sistema crece. Además el teorema

de fluctuación se puede interpretar como una generali-zación de la segunda ley de la termodin ámica, el cualse cumple también para sistemas pequeños, o sea sis-temas donde el cambio de la enerǵıa en un proceso esdel orden de  kBT .

Los cristales ĺıquido están hechos de moléculas conforma de barra, las cuales pueden estar orientadas enel espacio en cierta dirección, la cual vamos a llamar n̂.Debido a esta orientación, los cristales lı́quidos excibenperiodicidad. La orientación de estas moléculas puedeser cambiada (o sea el vector n̂) debido a un campo

eléctrico o magnético externo.En el experimento realizado se coloca un cristal ĺıqui-

do entre 2 placas transparentes. La dirección de n̂   esparalelo a las placas. Luego se aplica un campo eléctri-co perpendicular a las placa. La intensidad del campose va aumentando hasta que el vector n̂   forman unángulo  θ <  90◦ con el campo eléctrico. Esto se puedever en la figura (1.1) Este punto es llamado umbral deFederickz, y por encima de este, la orientación, y porlo tanto la estructura en equilibrio del cristal dependedel campo eléctrico.

Figura 1.1: Esquema experimental

Debido a la anisotroṕıa de los cristales ĺıquidos, estos

presentan birrefringencia. Denominando ne al ı́ndice derefración de la luz polarizada paralela a n̂ (o sea la delrayo extraordinario) y  n0  al ı́ndice de la luz polarizadaperpendicular a n̂ (o sea a la del rayo ordinario), enton-ces la diferencia de fase entre los rayos es Φ = 2π∆nd/λcon ∆n =  ne − n0,  d  el grosor del cristal y  λ   la longi-tud de onda de la luz incidente. A medida que el campoeléctrico aumenta, la orientación de las moléculas tien-de a volverse paralela a la dirección del campo. O sea siel campo eléctrico aumenta,  θ → 0 y entonces ne  → n0y por lo tanto, Φ decrece. Este cambio en la diferencia

de fase Φ es el que fué estudiado experimentalmente.El esquema experimental es mostrado en la figura

(1.1). Lo que se realizó fué cambiar el campo eléctri-co en una cantidad tan pequeña que el cambio en laenerǵıa era del orden de kBT . El cristal ĺıquido es pues-to entre 2 polarizadores y el vector n̂ es alineado a 45◦

con respecto al polarizador. Se utilizó un laser cuyalongitud de onda fué de  λ  = 632,8nm. Se usó una ondacuadrada de 1kH z  de frecuencia para el campo eléctri-co, para llevar el sistema de un estado de equilibrio aotro. A su vez la muestra se puso a una temperatura de

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T  = 5mK  y el grosor de la muestra fué de  d  = 27µm.

Una vez entendido esto podemos proceder a el plan-teamiento del experimento frente a la propuesta del au-tor por alcanzar el limite termodinamico de la segundaley por medio del TFT (teorema de fluctuacion)

continuando con el procedimiento sabemos que latemperatura estara fija a 30 grados (c), 5 grados por de-bajo de de su temperatura de transision a de isotropicoa neumatico(......). esta es mantenida a la amplitud deonda cuadrada aplicada del voltaje para un  V i   por eltiempo de 2 segundos, luego de esto el potencial seracambiado de nuevo en forma de paso, aun un potencialmenor V f . como ya vimos antes, esto hara que mi faseφ cambie debido al camo electrico al que fue sometido,luego definen

ϕ = φ + φi

φi

donde sera la fase normalizada y   φi   sera el valor de

equilibrio para su respectivo  V i, esta sera monitoreadahasta que llegue a   V f , es decir llegara a un valor   ϕf ademas este sera medido 3000 veces para hallar unabuena distribucuion de probabilidad de la disipacion.vale notar que podemos observa que su cambio de  V ia  V f   sucede generalmente en  ∼  362s  como un tiempode relajamento, esto se puede apreciar en al siguientegrafica una vez realizado todo estas mediciones, este  ϕesta es analogo al de una particula en un poso armonicoque esta superpuesto a un baño termico, cosa que estadescrita en al ecuacion de Langevin. por lo que es posi-ble encontrar su constante de elongacion(kϕ) asociadoa este  ϕ, que a un potencial fijo, se puede determinarsu fluctuacion en la temperatura debido al teorema deequisparticion con   kϕ   =

  kbT σ2ϕ

, donde   σ2ϕ   es la varian-

za de  ϕ, que para que fuera asi se tomo los puntos deequilibrio de  ϕ  por 40 segundos para determinar a  kϕpara los valores medidos de  σ2ϕ  en estos estados. comose vario el potencial de  V i = 1,488V   y V f  = 1,490 la di-ferencia no e smucha , por lo que los valores de  σ2ϕ  y  kϕno cambian mucho, pudiendo obtener  σ2ϕ  = 1,13x10

−7

para 1,490V   en 30c

como ya sabemos este es una analogia del del tipode dinamica de Langevin desde un estado de equilibriozero al de uno final, lo que hace para un potencial ar-monicoser cambiao de cero a un ϕ̄f   , luego por estopodemos escribir una analogia de la disipasion en eltiempo  τ   como

Ωτ  = kϕ  ϕ̄f 

kbT   (ϕτ  − ϕ0)

donde  ϕτ   t y  ϕ0  son los  ϕ  en esos tiempos respectiva-mente, por loq eu efectivamente se confirma que esta

disipasion fue como si fuera una de una fuerza constan-te kϕ  ϕ̄f  de una particula en un potencial armonico lue-go halla Ωτ   y hallan respectivamente a  τ  = 5ms,80msy 120ms por lo que se peuden ver sus distribucionesde probabilidad Ωτ   tienen picos cercanos a cero, conuna considerable probabilidad de observar probabili-dades negativas , donde a medida que   τ   incrementa,su disipacion promedio tambien lo hace y el pico deprobabilidad de probabilidad de Ω se torna a valorespositivos y su probabilidad de ver de estos negativos,disminuye.

ahora para poder verificar o testear la valides de losteoremas de fluctuacion debemos de evaluar la funcion

S (Ωτ ) = ln[  P (Ωτ )

P (−Ωτ )]

desde que ya tenemos distribucion de probabilidad me-dida Ωτ , sabemos que de acuerdo al teorema de fluctua-cion la entropia es una funcion lineal de la distribucion,es decir ,  S (Ωτ ) =  αΩτ   para todo   τ . por lo procedena calcular la cuenta de probabilidad   N i   de los histo-gramas de Ωτ   para una disipasion entre Ωτi  − ∆/2 yΩτi + ∆/2 correspondientemente a cada una de las dis-tribuciones Ωτi  y siendo ∆ el tamao de bote, luego ha-ciendo su analogo experimental obtenemos la funcion

S (Ωτ ) = ln[ N iN −i

]

y podemos ver que esta puede ser descrita por unafuncion lineal de Ωτ  para todo  τ  , por lo que se puedever a continuacion una funcion lineal de  S (Ωτ ) Vs Ωτ para τ   = 80ms  y que tiene una pendiente de  α = 1,02dodne finalmente hallan una dependencia linela entreα  y τ 

α = 8,12 ∗ 10−3τ (ms) + 0,36

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