Lipschutz−Lipson:Schaum’s Algebra, 3/e...Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and...

426

Transcript of Lipschutz−Lipson:Schaum’s Algebra, 3/e...Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and...

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    Front Matter Preface © The McGraw−Hill Companies, 2004

    �������

    ������ ������ �� �� ����� ����� ����� �� �������� ��� �� � �������� ��������� �������� �

    ����������� ��� �������� ������� ���������� ������� ��������� ��������� ���������� ��� ������

    ������ ����� ����� ��� ���������� ������ � ��������� ��� ���� ����������� �� � ����� ��

    ���

    ��� ��� �� �������� ��� ��� �� � ����� ��� � ������ ������ �� ������ ������ �� �� � ��������� � ���

    ������ ������� ���� � ���� � ������ �� ���������� � ������ ������ ��� ���� � ����� ������ � ���

    ������� ���������� �� ��� ���� �� ����� ������ !��� ������� �� ��� �������� �� ��� � ��"���� �� ���

    �� �������� ��� �� ��� ���� � ���� � ��� ���� ������� � ���"��� � ������ ��� �� ���������� ��� �

    ������� ����� ������ �� � ������

    #�� ����� ����� �� ����� ������� �� ������� �� ������� ���������� ��� ������ ����� ��

    ��������"� ��� ��� ��������"� �������� ��� �� �������� � ������ ��� �� ���"�� ��� ������������

    �������� �� ���"�� ������� ���"� � �������� ��� ������� � ����� ��� � ���"��� � �������� �� ����

    ���������� �� "��� � ������"� ��������� $������� ������� ���������� ��� �� ��� �������� ������� ��� ��������

    ����� � ���"�� �������� �� ������������ ������� ���"� �� � ������� ��"��� �� � ������� �� ���

    ������

    �� �� ��� ������ ��� "����� �� #�������� ������ ����� ������� ��� ������ �� ������ ���������

    ���� ������ ���"��� � ���"���� ��� ���� ����������� ���� ��� � ����� ��"�������� �� "����

    ������ ��� ������ �������� ��� ������� %��� ������ �� ����� ������ ������ ��� ���������� ��� ��

    ����������� ��� �� � ������� ���������� �� �����"����� ��� �����"����� ��"��� ��������� ��� ����������� �

    ������ ������� � � �������� ������ ��� �������� ����� � � ���� �� "������ ��������� ������ ����� ������

    � ���������� &������ ��� ������� ��������� ������ ���� ������ ��"�� ������ �������� ��� � ���� ����� '(�

    ��� �������� �������� ��� )������� ������ �� ��� ����� ���� ������ �������� �� ����� ������ ������� *��

    ������������ ��� �� �� �������� �� ����������� �"�� � ����

    �� ���� ������ �� � ��� ������ �"� ��� ��� ����������� ������� ���� �� �� ������ +���� ������

    � ����� ����� �� � ������ ��� ��� �� ����� ������������ ������� ����� ��� ���"��� � ���� ��

    �����"����� ��� �����"����� ��� � ���������,���� �� ������� -����� ���������.� ���� ��� ���� ����

    ��������� ���"�� ��� ������������ ��������

    *������� �� ��� � ��� � ���� �� � !�/����)��� +����0� 1����� +������ ���������� 2����� /������

    ��� ��� ��������� �����������

    +#3!145 ��6+7)4�8

    !%57 �%5+ ��6+1$

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ������� �

    ���� �� �� ��� ���������� ����

    ��� ����������

    ����� ��� ��� �� �� ������� ��� ������ �� � ������ ��� � � ���� �� ��� �� ������ ���

    �������� ��� ��� ����� � � ���� �� ������� ������ �� ����� �� ����

    ���� ��� �� ������

    ���� �� �

    ��� ��� ������ � �������� ���� ��� ��������� ��������� �� ��� ���� �� ���� �������������� � �� �� ��� ����� ����� �� ���� ����� ��������� �� ��� ���� �� ������� ������� ������� � ��� ��� ������� �� ������ ��� ������� �� ��� ������ ���� ��� ������ ��������

    �����!� �� ���� ������� ������ �� ��� ������� �� ����� ���� ������� ���� ���� � ��� �������� � ��� �� ��� ��������� ��� ���� �� ����� ���� ������ ���� ���� ��� �������� ���� ��

    ��� �� ������

    "����� ��� ���!�� #�� �����$ �� ��!�� ������ ��� ����� � �������

    %&'� %(&� %)&� %*)� %+,� %)&� %'(� %-*

    ��� ��� ������ ��� ��� ���� �� ��� ��� ���! ��� ��� ����� � �� ��� ���� ��������� �������. ���� �

    �%� �(� �*� �)� �&� �'� �+� �,

    ����� ���� ���� ������� ������ ��� ������� �� ��� ���� �� ��� ���� /�� ��������

    �% � %&'� ��� ���� ������� �( � %(&� ��� ����� ������� � � �

    "��� � ��� �� �����

    � � ��%��(��*� � � � ��,�

    � ������ � ���� ����� �� �����

    %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ������ �� �����

    0�� ������ 1��������� ��� � ����������� ��� ����� ��

    ��� 22��!������33� ���� 1��������

    ��� �� ���������� � ���� ������ ��� ��� ������ �������� �� ��� ����� ����� ����� ��� ��� 1��������� ���� ����� ��� ������� ���� ��

    ���� 22��!������33 ��� 22���������33� ���� 1��������� ����� ��� ������������ � ����� ����! ����������� ���!�� ��� ��������� ��� ��������! ���� ��� !��� �������������� �� ��� ������ ������

    4�� �� �

    ��� ��� ������ � �������� ���� ��� ���� �* ����� ��� ��� ����� �� ���� ��� ����������� ������� ������ �� ���� ������� "����� ��� ���!�� �� ��� ��� �� �* � ����� � ��� ��������� ����� ���� ��� ����� ����

    �� ����� ���� ��� ����� � ���1��� ���������� � ��� ���������� �� ��

    ��������� ��� ��� ����

    ����� ��� ��� ��������� ���������� ����� �������� ��� ����� ��������������� ���� ��� �

    ������� ����

    ����� �� ����� ��� ��������� �� ���� ��������� ��� ��� ����������� ������� ���� ��������� ��� ����������� �� ��� ����� ��� � �������

    #�$ ������ ������ ��� �������� �� � �� ��� ����� � ��� � � �������� � ��� �5������������������ ���. ���� �� �� � � ��� ���!���� �� ��� ���������!��� ������ � � ��� ��/����������� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� �� ��� ����� � ��� �� ������� ��� �� ��� �� ��� � ��� �������� �� ��� ����� �� �� ���� ��������� ��� �������� �� /�!�%5%#�$�

    #��$ ���� ���������� ��� ������� �� �� � ����� � � � ���� ������ � � �������� � ���������!��� ��!������ �� � � � ��� ��������! ��� ��� ��������� �� � � 6 �� ��� ������� ��������� �� � � 6� ��� �� ��� �� �� � ��� �������� �� ��� ����� �� ���� ���� ��� ��� � ��� �������� �� ��� ����� ������� ��������� ��� �������� �� /�!� %5%#�$�

    0������������� �� ������� ��� ����� � ���� �� ��� �� �� ��� ����� � � ��� �� ��� 0������� �� ���� ���������� ������ ��� �� �� �� ���� ������ � ����� �� ����� ��������! ���� �� ��������������� �� !�������7���� ������ ��� ���� �� 5����� ��%� �(� � � � � �� �� ���� ������ � ������ ������� ������ �������� �� ����� ��� ��� ����� �� �* ������ ������ ����� #"������ %�'$�

    ��� ������ �� �

    ��� �� �� ��� 5����� �� ���� ������� ������� � �� � ������ ������ ���������� 5����� �� �� �

    � � ��%� �(� � � � � ��� ������ � ��� �� ����� ��� ������ �� ��� ������ ��� ��������� ������� ���� �� ��� �� ��0������� ���� ����

    ��! ��� ���� �� �� �� ��� ���� ������ ��� ��� ������� �� ��

    �!� �"�

    z

    y

    x

    0

    u

    ku

    ( , , )a b c

    ( ) Scalar Multiplicationb

    ( , , )ka kb kc

    ( , , )a b c′ ′ ′z

    y

    x

    0

    v

    u

    u v+

    ( , , )a b c

    ( + , + , + )a a b b c c′ ′ ′

    ( ) Vector Additiona

    ( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ��� ������ � ��� �� ��� ����� ������� � � �� �� ��� ��� ��� ��� ������ �� ��������� ��� �� ��������������! ��������� ��� �1���� �����!� ��� ����� �%� (� *� ��� �(� *� %� ������� ��� ��� ������������ ���� ����� ��� ��� �1��� ���� �����������! ������ ��� ��� �1����

    ��� ����� �6� 6� � � � � 6� ���� ������ ��� ��� 6 � ������ ��� ��� ����� ��� � ����� ������� � 6�������� ��

    #�$ ��� ��������! ��� ������

    �(��&�� �+� -�� �6� 6� 6�� �*� )� &���� ��� ��� ����� �����! �� �( ������ ��� ��� ��� �����! �� �*� ��� ����� � ��� 7��� ����� �� �*�

    #�$ /��� �� �� � ��� ���� ��� �� �� �� �� %� � �)� (� *��@ ��������� �� �1����� �� ������ �����������! ������ ��� �� �1���� ����

    �� � � )� �� � � (� �� % � *"����! ��� ���� ��� �� �1������ ���� � � *� � � �%� � � )�

    �#��� ������

    "������� � ����� �� 5���� � � ������� ��������� ������ ���� ����7������� "��� � ����� � ������� ����� ����� ���� �� ��� �������� ��� ���� ����7������ ������� ����� ��� ������ ��� ������ /���������� ��� ��������! ��� ������ ����� ���� (� (� *� ��� * ���������� ����������

    %

    (

    � ��

    *

    �)� �

    �%

    &

    �'

    ��

    ���

    %�&(*

    �%&

    ���

    ���

    �� ��� ���� ���� �� ��������� ������ ��� ��� ����� � ������ �����!��� ��� ������ ������

    ��$ ����� %������� %�� �%�%� &������%����

    :������ ��� ����� � ��� � �� �� �

    � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ������� ���� ������� �� �� � ��� ����� �������� � �����! �����������! ��������� ���� � ��� �� ���� ��

    �� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ����� ������ ������ ��� ����� ������� �� ��� ����� � � � ���� ������ �� ������� ��� � ��� ����� ��������� ���������! ���� ��������� �� � � �� ���� ��

    �� � ���%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � �������� ���� �� � ��� �� ��� ��� ����� �� �� ��� �� �� ����� ���� ��������� ������ �� ���������

    � ��� �������

    4�!���� ��� ���������� ��� ������ �� � � �������

    �� � ��%�� ��� �� � � �� ������� ����� �� � ������ ��� ���� �� �� ��� �� � � ������ ��� ������ �� � ��� ��

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" *

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    4�� ����� �� ��� !��� ����� �%� �(� � � � � �� �� � ��� ����� �%� �(� � � � � �� �� �� �� ���

    ������� ��� ����� � ��� �����������! ����� ��� ���� ��� ��� �������� ����� ������� �� ���� ���

    �����

    � � �%�% � �(�( � �*�* � � � � � ����"��� � ����� � � ������ � ���� �������� �� ��� ����� �%� �(� � � � � ���

    ������� �

    #�$ >�� � � �(� )��&� ��� � � �%��'� -�� ����

    �� � � �(� %� )� ��&�� �&� -� � �*��%� )�+� � �+�(�� +�)�� +��&�� � �%)� (,��*&��� � ��%��%��'� -� � ��%� '��-�

    *�� &� � �'� %(��%&� � ��&� *6��)&� � �%� )(��'6�

    #�$ ��� 7��� ����� 6 � �6� 6� � � � � 6� �� � � ������ �� ��� ����� 6 �� ����� ��� �� ����� � � ��%� �(� � � � � ����� 6 � ��% � 6� �( � 6� � � � � � � 6� � ��%� �(� � � � � �� � �

    #�$ >�� � �(

    *

    �)

    ��

    �� ��� � �

    *

    �%�(

    ��

    ��� ���� (�� *� �

    )

    '

    �,

    ��

    ���

    �-*

    '

    ��

    �� �

    �&-

    �(

    ��

    ���

    @��� ��������� �� ����� ����� ��� ��������� �� ����� �������� ��� ����� �������������� ����������� �� ��� ��������! ��������

    ������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� �� � � �� ��

    #�$ ��� �� � � � �� ��� ��� #$ ���� �� � ��� ���#��$ �� 6 � �� #�$ �� � � ��� � ��� � ���#���$ �� ���� � 6� #��$ ��� ��� � ��� ����#�$ �� � � �� �� #���$ %� � ��

    �� ������� ��� ����� �� ������� %�% ����� :������ (� ����� �� ������ �� ��� ������� �� �������

    #=������ (�*$�

    "����� � ��� � ��� ����� �� � ��� ����� � � �� ��� ��� ���7��� ����� � �� �� ���� � � ������ ������� �� �� ��� � � ��� �� �� ��� ��� �� ������ ������ � � ��������! � � � 6 �� � � 6�

    ��( ��� )�����* �����

    :������ �������� ����� � ��� � �� �. ��

    � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ����� �� ������ �� �� ������ �� ������ ������ �� � ��� � � ������� ��� ������ �

    � � � � �%�% � �(�( � � � � � ������ �� � � � � �������� � ���������! �����������! ��������� ��� �����! ��� �������! �������� ���

    ����� � ��� � ��� ��� �� �� �������� #�� ����������$ �� ����� ��� ������� � 7���� ���� �� �� � � � � 6�

    ) 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ������� ��

    #�$ >�� � � �%��(� *�� � � �)� &��%�� � � �(� +� )�� ������ � � � %�)� � (�&� � *��%� � )� %6� * � �-

    � � � � (� %)� %( � 6� � � � � ,� *&� ) � *-��� � ��� � ��� �����!�����

    #�$ >�� � �(

    *

    �)

    ��

    �� ��� � �

    *

    �%�(

    ��

    ��� ���� � � � � '� *� , � %%�

    #�$ "����� � � �%� (� *� )� ��� � � �'� ���,� (�� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!�����

    /��� ������ � � � � '� (� � ()� , � �%6� (�� ���� �� � � � � 6 ��� ��� ��� ���%6� (� � 6 �� (� � %6 �� � � &

    @��� ��������� �� ��� ��� ������� �� � #����� �� =������ %�%*$ �������

    ������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� � �� ��

    #�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #���$ � � � � � � ��#��$ ���� � � � ��� � ��� #�$ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�

    4��� ���� #��$ � ���� �� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ��� ������� �� �� ����� �������� @ #���$ ��� #��$�

    � � ���� � ���� � � � ��� � �� � ��� � ������ �� �� ��� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ����� ������� �� �� ����� ��������

    ��� ���� � ���� ��� ���� ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� ������� �

    ����� ������ ������� ������

    ���� )���!��* �� + ������

    ��� ��� �� ��� �� � ����� � �� �� ������� � �� � ������ �� �� ��� �����!���� 1���� ���� ��� � �� �� ����������� �� � � ��%� �(� � � � � ��� ����

    � � � � � ��(% � �(( � � � � � �(

    ���� �� � � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ��������� �� �� ��� � � 6� ���� � 6 �� ��� ��� �� � � 6�

    ����� � � ������ � �� ����� �� � � % ��� �1��������� �� � � � � %� /�� �� ���7��� ����� � ���� ��� �����

    �� � %� � ��

    �� ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � �� ��� �����

    �� �����! �� ���� � � ������ ��������� ��

    ������� ��

    #�$ "����� � � �%��(��)� &� *�� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �( � � � � � 1�����! ���� ��������� �� � ��������!� � �������

    �( � %( � ��(�( � ��)�( � &( � *( � %� )� %'� (&� - � &&���� � � && �

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" &

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    #�$ >�� � � �%��*� )� (� ��� � � �%(�� %

    '� &'� %'�� ����

    � � %� -� %'� ) � *6 ��� � �-

    *'� %*'

    � (&*'

    � %*'

    ��

    *'

    *'

    ��

    %

    � %

    ��� � � � ���� ����� ��� � � ��� � ���� ������ ������� �� ��� �������7� � � �������

    �� � �� �%*6

    � �**6

    � )*6

    � (*6

    ��� � ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � ��

    ��� ��������! ������� #����� �� =������ %�%)$ � B���� � ��� "�����7 ���1����� �� :����C"�����7 ���1������ �� � ��� �� ��� ������� �� �����������

    ������� ��$ #"�����7$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � �� � ���

    D��! ��� ���� ���1������ �� ��� ���� #=������ %�%&$ ��� ��������! ����� B���� � ��� 22�����!�����1�����33 �� 0��B��B�3 ���1������

    ������� ��( #0��B��B�$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � � � � ��

    ���+���, %�!#�, ���-������

    ��� ����� ������� ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � �� �� � � ������� ��������� �

    ���� �� � �� � ���% � �%�( � ��( � �(�( � � � � � ��% � �%�(

    ��� ��� ��� ���� ��� ��������� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ������� �� ��� 9�������� ����� �( ��

    ���� �*�

    ��� ��� � ������� ���7��� ����� �� � �� � � ������ �

    �� � � � � ������ ��������� � ���� ������� ����� � ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$�

    �% � � � ��� � %

    4��� ���� �� � � � � 6� ���� � � -6 #�� � � ��($� ��� ���� �!��� ���� ��� ������ ��������� �������!�������

    ��� ������� �� � ����� � ���� � ���7��� ����� � � ��� ����� ������� ��� ������ �

    ������� �� � � � ��( �

    �� ��� ����� ���� ��� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ����� ���������� �� �����

    ������� �

    #�$ "����� � � �%��(� *� ��� � � �(� )� &�� �������� �� �

    �%� (�( � ��(� )�( � �*� &�(

    � %� *'� ) � )%

    �� ��� �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �� �� ��� ���

    � � � � (� ,� %& � -� �( � %� )� - � %)� �( � )� %'� (& � )&

    ' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ����

    �� � � � � ��� �-

    %)

    )&

    ���

    ������� �� � � � ��( � �-

    )&�(� )� &� � %

    &�(� )� &� � (

    &�)

    &� %

    � �

    #�$ :������ ��� ����� � ��� � �� /�!� %5(#�$ #���� �������� �������� � ��� $� ��� #�������������$ ���������� ��� ���� � � ��� ����� �E ���� ��!������

    �E � � �� � � � � � ��� �� � ��

    �� ������ �E� �� ������� �� ��!������ � ��� ���� ����� �� ��� ��������� �� �� ��������!

    �E � �E �� �� � ��

    � �� � ��( �

    ��� � ��� ��� � ��� ���� ��������� �� ������� ���

    ��. ��%��� ������, /0�����%���, �����, ���� �� �

    ��� ������ �����!���� ������� �� 5����� !���� � !��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� �� � ��� ��5����� � � ��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� #�����$ ���� ��� ���!�� � �� ��� ����� "��%� �(� � � � � ���

    ���+��1 ������

    � ���� �� ����� ����� ��� ���� �� � ����� ��� ����� ���� �� ����� �� ��� ���� � �� � ������� �

    ��� �� ������� �

    ������ ��� �����

    � � � � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��

    �!� �"�

    z

    y

    x

    0

    u

    ( )b

    B b b b( , , )1 2 3

    u = B – A

    A a a a( , , )1 2 3

    P b a b a b a( – , – – )1 1 2 2 3 3

    0

    u

    ( )a

    Projection of ontou* u v

    A

    u*B

    v

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" +

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ���� � ��

    ��� � ��� ��� ��� ��!������ ��� ���������� ��� � �������� �� /�!� %5(#�$ ��� �������� ���%� �(� �*� ��� ��%� �(� �*� �� �* ��� ��� ����� � � � � ����� �� ��� ��������!��% � �%� �( � �(� �* � �*��

    /�2��2#+��

    ������� # �� � � ��� �� �� ����� ��%� �(� � � � � �� ����� ���� � ������ �1�������%�% � �(�( � � � �� �� � �

    ����� ��� ����� � � ��%� �(� � � � � �� �� ���������� � ��� 7������� � ��������� # �� �( � � ���� ��� ���������� # �� �* � � ������ �� ��� ������ � �������� �� /�!� %5*#�$ ��� �*� ���� � � �����!���� ���� �������� ���� �!���� !$

    ��� ����� !� ��� ��� $���� ��� ����� �� # � ?/�� ��� ������ �� � ���� � �

    ����� �� # ��� ���� # � ����� �� ��A"���� !� ��� ��� $���� �����! �� #� ��� ���� ��� ���� ��������� �1������� ���� ��

    �%�% � �(�( � � � �� �� � � ��� �%�% � �(�( � � � �� �� � �� � !$�� � $� ! � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��>��

    ����

    � � � � �%��% � �%� � �(��( � �(� � � � �� ��� � ��� ��%�% � �(�( � � � �� ��� � ��%�% � �(�( � � � �� ��� � �� � � 6

    ��� � � !$�� � �����!���� �� �� � ��������

    ���� �� �

    ��� �� % �� � ��

    ��! �����!� ��� ����� !��%� �(� � � � � �� ��� �� ��� ��������� �� � ���7��� ������ � ��%� �(� � � � � �� ����� �� ��� ����� & ��%� �(� � � � � �� ���� ����

    & � ! � � ���% � �% � �%�( � �( � �(��������������������� � � � �

    �� %�� � ��� � ���

    �������

    ����� ��� �����

    � ��B� �� ��� ���� ����� "��� � ���� % �� �* � �������� �� /�!� %5*#�$�

    �!� �"$

    , 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ������� ��

    #�$ >�� # �� ��� ����� �� �* �����������! �� ��� ������ �1������ (�� &�� +� � )� ����� ���� !�%� %� %� ���$�&� )� (� ��� ������� �� ��� �1������� ��� ! ��� $ ��� ��� �������� ���� �!����

    � � !$�� � $� ! � �&� %� )� %� (� %� � �)� *� %���� �� ��� ����� # � ��� ����� � � �(��&� +� � ������ �� # � ���� � ���������

    � � � � �(��&� +� � �)� *� %� � ,� %&� + � 6���� �� � � �����!���� �� ��

    #�$ /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) ���� ��

    � �����!� ��� ����� !�%� *��)� (� ��� � ������ �� ���

    ����� � � �)��(� &� '��

    ��� ���������� �� ��� ��B���� �� �� �1������ �� # ��� ��� ��������� �� ��� ������ ����� �. ����� ����1������ �� # ��� �� �� ��� ����

    )�% � (�( � &�* � '�) � �

    "���������! ! ���� ��� �1������� �� ������

    )�%� � (�*� � &��)� � '�(� � � �� )� '� (6� %( � � �� � � �%6

    ��� )�% � (�( � &�* � '�) � �%6 � ��� �1������ �� # �#�$ /��� ��� ���������� ������������� �� ��� ���� % �� �) ��

    ��! �����!� ��� ����� !�%� (� *��)� ��� �� ��� ���������

    �� � � �&� '��+� ,�� ��� ��� ��� ����� $ �� % ���� � %�"���������� �� ��� ���� �1������ ��� % ���� ��� ��������! ���������� ��������������

    �% � & � %� �( � ' � (� �* � �+ � *� �) � , � )��� �1���������

    %�� � �& � %� ' � (��+ � *� , � )�

    4��� ���� � 6 ���� ��� ����� ! �� %� "���������� �� � % ���� ��� ����� $�'� ,��)� )� �� %�

    ���� �� �

    >�� ' �� �� ������� #����� �� �������$ �� ��� ���� ���� �� ��������� �������� (�' � � � � ����

    �� �� ���� �� ���� ����� � ' ����� � �

    �!��� ��� ��������! ����� �� ��

    (�� � �(%���((��� � � � �(���0������� ��� �������� #�� �� ����$ �� (�� ���� ��� �����

    ) �� � �(���

    � �(%���

    ��((���

    � � � � ��(���

    � �

    ����� � ���!��� �� ��� ����� 4������7��! ) �� ����

    ��� � ) ��) ����� ��� � ��� ���� ���!��� ����� �� ��� ����� #D��� ����� ���� !���������� �!�������� ��� ������������� �� ���� ����$

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" -

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ������� �� :������ ��� ���� (�� � ��� � �� � � �� �*� ��B��! ��� �������� �� (�� ?�� ���� ��������� �� (��A����

    ) �� � ��� �� �� � %������ � � ����� ���!��� �� ��� ����� �� �������7� ) ��� /��� �� ������

    ) ��( � ��( � ��( � % � %� % � (���� ��� ���� ���!��� ������ ��� �� ��� ���� �������

    ��� � ) ��) �� ��� (

    �� �� (

    � %(

    � �

    ��3 ������ �� �* )��%��%�������*, �-4 ���%����

    8����� �� �*� ������ ������ ������ ������ �� ��� ������������ �������� �� ����� �� ����� �

    ������ �������� � ���1����� ��� ��� ��� ����� � �������

    � � �%� 6� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������- � �6� %� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������4 � �6� 6� %� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������

    ���� �� ����� � � ��� �� �� �� �* ��� �� �����

    �� ���1��� �� ��� ����� � ��� �� �� � ��� �-� �-

    "���� ��� ����� �� -� 4 ��� ���� ����� ��� ��� ������� �����!����� �� ������ ��� ��������! ��� ��������

    � � � � %� - � - � %� 4 � 4 � % ��� � � - � 6� � � 4 � 6� - � 4 � 6/����������� ��� ����� ��������� ����

    �� ���� �� �� �����

    �� �� ��� �-4 �������� � �������"�����

    � � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4����

    �� � � ��% � �%��� ��( � �(�-� ��* � �*�4 ��� �� � ��%�� ��(-� ��*4����� � � � ������ ���

    � � � � �%�% � �(�( � �*�* ��� � �� � � � �(% � �(( � �(*

    ������� �� "����� � � *�� &-� (4 ��� � � )�� ,-� +4�#�$ �� ��� �� �� ��� �����������! ���������� ��������! �� � � +�� *-� &4#�$ �� ��� *�� (�� ��� ������� � ��� ����� ��� ���� ����

    *�� (� � �-�� %*-� '4� � ��,�� %'-� %)4� � �� (--� (64#�$ �� ��� � � �� ������� �����������! ��������� ��� ���� ����

    � � � � %(� )6� %) � �)(#�$ �� ��� �� ��B� ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ����������

    � � -� (&� ) � *,

    %6 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ��

    ���1���

    ����� � � ������ ��������� ��� ����� � ��� � �� �* ���� � ��� ������ �� � ��� �� *� ��� ���������� ������ ��� ����� ������ ��� � ������� � �� �� ��� �� �� ���� �������� ��� ������� ��� �� � � ���� ��� ����������� #�� ����� ���$ ��� �� ��!����� ����� ��� ������� ��� ������ � �������

    � �

    � �

    �������� � �� � �� ��� � � �� �

    �������� � ��� ��

    ���� � ��� � ��� ������ ��� ������� ������� ��� � ��� � ��� ��� �������� �������� ��� �������������� � ��� ������� �� �� ��� ���!���� ������� ���� ��� ������� �� �� ��� ������!���� ����������� ��� ��� ��� ��� ��!���� �� ��� ������������

    4�� ����� � � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4� ������ � � ��(�* � �*�(��� ��*�% � �%�*�-� ��%�( � �(�%�4

    � �% �( �*�% �( �*

    ���������� �% �( �*�% �( �*

    ��������-� �% �( �*�% �( �*

    ���������

    ���� �� ��� ����� ��������� �� �� � ��� �������� ���� ��� �����% �( �*�% �( �*

    � �

    #����� ������� ��� ��������� �� � ���� ��� ��������� �� �$ � �������

    #%$ :��� ��� ��� ������ ��� ��B� ��� ������������

    #($ :��� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ��!���� �� ��� ������������

    #*$ :��� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ������������

    4��� ���� �� � � � �����. ����� �� � � ��� ������ ��� ���� ������ �� ��� ������ �� � ��� ��������� �� /��� �� � ������ #�$ � � )�� *-� '4� � � (�� &-� *4� #�$ � � �(��%� &�� � � �*� +� '��

    #�$ D�) * '

    ( & �*� �

    �� !�� �� � � ��-� *6��� �%(� %(�-� �(6� '�4 � �*-�� ()-� %)4

    #�$ D�( �% &* + '

    � ��� !�� �� � � ��'� *&� %&� %(� %)� *� � ��)%� *� %+�

    ���+�4' ��� ���

    ������� �� ��� ����� �� -� 4 ��� � �������

    �� - � 4� -� 4 � �� 4 � � � --� � � �4� 4 � - � ��� �� 4 � �-

    ���� �� �� ��� ��� ������ ��� -� 4� � � ����� ������������ ����� � ������ 4 ��� ����� 4 ������� �� ������� ������� �� ��� �� ���� �� ��� !��� ��������� � ��� ����� ���� ��� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ���������� ��������� � ��� ��!���� �� ��� ����� ����

    ��� ��������� ��������� �� ��� ���

    ������� ��� ��������� �� ��� ��������! ��������

    ������� ��.' >�� �� ��� �� ����� �� �*�

    #�$ ��� ����� �� � � �����!���� �� ���� � ��� ��#�$ ��� ������� ���� �� ��� 22������ �������33

    � � �� ��������� ��� ����� �� ��� �������������� ������ � ��� ����� �� �� ��?"�� /�!� %5)#�$�A

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %%

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    �� ���� ���� ��� ����� �� �� �� � ���� � ��!��5������ ���� ��� ���� ��� ��������! ������� !��

    ��� ��!������ �� �� ��

    �� � � �� �� ������ � � ��� ��!�� ������� � ��� ��

    ��5 �&���6 �&7���

    ��� �� �� ������� ������ � ������� � � /������� � ������� ������ � �� ������� ���� ��� �� ������ ������ ����� �1������ �������� ��� �������������� ��� ������ � �������

    ��� �� � ��� �� �� ��� ��� �� � � � ��� � � ���� �� � ��� �� � ��� �� �� ����� �� � ��� �� � ���� ��� �� � ���

    �� ������� ��� ���� ������ � ���� ��� ������� ������ ��� 6�. ���� ��� � ��� 6�

    ��� � ��

    ���� ���� ��� ��������� �� �������� ��� �������������� �� ���� ������ ��� ������� ����� ����������������. ���� ��

    ��� 6� � ��� 6� � ��� �� 6� ��� ��� 6� � ��� 6� � ���� 6���� �� ��� � � � ���� �� � ��� ������� ��� 6� � � ������� ��������� ��� ��

    �����

    �� ���� ���� ��� �� �� ������� ������ ���� ��� ���� ��������� �� �������� ��� �������������� �

    � *�� �� ������� ��B� ��� �� � �� ���� ������ ��� ��� �� 8 �� ������ ������

    ��� ������� ������ �6� %� � ������� � �� �� �� ��� ��������� ������� ����

    �( � �� � �6� %��6� %� � ��%� 6� � �% �� � ��%

    �������!�� �� ������� ������ � � ��� �� ��� �� ������� �� ��� ����� � ��� �� � ��� 6� � �6� �� � ��� 6� � ��� 6� � �6� %� � �� ��

    �!� �"(

    %( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ��� ���� �������� � � �� ��� ����� � � ;� � ��� � � �� � ��� ������� ���������� ��� ��� ����������� ���� �� �� � ���� ��������� ���� ��� ��� �� ����� ��� �� ��� ������� �� ������� ������� � �� �� ��� � � �� �� ��� �� ������ � ���� ���! ��� ���������� ��� ���������� ��� ����( � �%�

    �� � � ��� ��� � ��� ��� � �� �� ��� �� � ��� �� � ��� ����� � ��� ������ ��� � ��� ���� ���� ���( � ���� ��� � ���� ����

    �� ��� ����� ��� ���� �� � ��� ���������� �� �

    �� � �%� ��� �� � � �� ����

    9+����!' ��� ������ � ����������!�% �� �� ����������� �������� �� ��� ����� � � �%� 6� 6� ��

    "������ %�'�

    ��2#�: ��-�!+��, %��#��� �+#��

    :������ � ������� ������ � � �� ��� ��� ������ �� � � ������� ��� ������ ��� � �� �� � �� ��

    ���� ��� � ��� ������ ��� � �( � �(�( � �( � �(� 4��� ���� � � ���� �� ��� ��� �� �� � ��

    ��� ������ ���� �� �� ������� � ���� � ������ �� �� ��� �����!���� 1���� ���� �� ���� 4�����

    ��� ����

    �( � �(

    4��� ���� ��� � �1��� �� ��� ���� �� ��� ����� ��� �� �� �(�

    "����� � �� 6� ���� ��� ����� ��% �� � ��� ������ �� �� � � � ��� !���� ���������� �

    ��% � �����

    � ��( � �( �

    �( � �( � ����

    �� ������

    � ���%

    ������� �� "����� � � (� *� ��� � � &� (�� ����

    �� � � �(� *�� � �&� (�� � (� &� *�� (� � +� ��� � �(� *���&� (�� � %6� %&�� )�� '�( � %'� %%��� � (� *� � (� *� ��� �� � &� (� � &� (��

    �� &� (�(� *� �

    �&� (���(� *���(� *���(� *�� �

    )� %-�%*

    � )%*

    � %-%*�

    ��� � )� - � %* ��� ��� � (&� ) � (-

    ��2#�: �#+��

    ;����� ���� ��� ���� ������ � ��� �� ���������� � ����� �� � ����� ����!���� ��� ������������� ��� �� ���������� � ����� �� ��� ������ "���������� �� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� ������������� ��� ������� ������ �� �� � ���� �� /�!� %5)#�$� �� ��� � ���� ��� � ��� ������� ���� ������!�� � �� ��� ����� �� ��� ����� ���� ��� ������������� � ������ ��� ������ ���� ��� ��B� ��� ��������������! � � ������ ��� ��� ���

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %*

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ��; ������ ��

    ��� �� �� ��� 5����� �� ������� ������� ������� � � � ������ ������ ������ F�� � �� ������� ���� ��� ������� �� ��� ������ ���� �� ������ ��� ������� �� ��� ������ �������� ��� ������������� �� ��� ����� �������������� �� ��� !��� �

    ��%� �(� � � � � �� � ��%��(� � � � ��� � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � �����%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � ���

    ����� ��� ��� ��� ��� � �����! �� �

    ������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� ��� � � �*� (�� &�� )� '�� �� *� ������ � � �(� *�� )� �� *� � �*� (�� &�� )� '�� � �&� �� )� )�� +� '��

    �&� (��� � ��&� (���(� *��� �&� (���)� ��� �&� (���*�� � �%'� %%�� %,� %*�� %&� '��

    ��� )�����* ���1��� ��

    :������ ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%��(� � � � ��� �� � ��� �� �� �� ������ �� � ���� � ������� ��� ������ �

    � � � � �% ��% � �( ��( � � � � � � ����� ��������� ������ �� ��� ���� ��� ���� ��� � �� ���� �� � ����� ��� ���� �� � � ������ �

    � � � � � � �%��% � �(��( � � � � � ���� ���%�( � ��(�( � � � � � ���(

    �� ������7� ���� � � � ��� � � ��� ���� ��� ������ ���� � �� 6 ��� 6 ���� � � 6�������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� &�� ��� � � �*� )�� &�� )� (�� �� *� ����

    � � � � �(� *���*� )�� � �)� ���&�� � �*� &���)� (��� �(� *���*� )�� � �)� ����&�� � �*� &���)� (��� ��'� %*�� � ��&� (6�� � �(� ('�� � �-� %-�

    � � � � �(� *��( � �)� ��( � �*� &��( � )� -� %'� %� -� (& � ')� �

    ')

    � ,

    ��� ���� ���� ��� ���� ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� �������� �

    ������ ������ ������� ������ ������� %�( ��� � ��� ���� ��� �� �� ������� � � � � � � � �

    � � � � � � ��� ��� ����� ����� ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$ ��� 0��B��B�3 ���1����� #������� %�)$ ������� ��� ���� �� ����!��

    ��#��1 ����#��

    ������ �� �

    ���� 89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ���� >�� � � �(��+� %�� � � ��*� 6� )�� � � �6� &��,�� /����#�$ *�� )��#�$ (�� *�� &��

    /��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������

    #�$ *�� )� � *�(��+� %� � )��*� 6� )� � �'��(%� *� � �%(� 6��%'� � �%,��(%��%*�#�$ (�� *�� &� � �)��%)� (� � ��-� 6� %(� � �6��(&� )6� � ��&��*-� &)�

    ��$� >�� � �&

    *

    �)

    ��

    ��� � � �%&

    (

    ��

    ���� � *�%

    �(

    ��

    ��� /����

    #�$ &�� (��#�$ �(�� )�� *��

    /��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ����������

    #�$ &�� (� � &&

    *

    �)

    ��

    ��� ( �%&

    (

    ��

    �� � (&%&

    �(6

    ��

    ��� (�%6

    �)

    ��

    �� � (+&

    �()

    ��

    ��

    #�$ �(�� )�� *� ��%6�',

    ��

    ��� �)(6

    ,

    ��

    ��� �-*

    '

    ��

    �� � �(*%+

    ((

    ��

    ��

    ��(� /��� � ��� �� ������ #�$ ��� *� � �(� �� ��� #�$ �)� �� � ��(� *��#�$ "���� ��� ����� ��� �1���� �� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ������ ������!

    � � (� * � �� �"��� ��� ������ �1������� ��������! � � (� � � %�

    #�$ /��� ������� � ��� ����� � �� ������ �)� �� � �(�� *��� ���� �� �����������! ������ �1��� �� ��������� �� ������

    ) � (�� � � *�"��� ��� �1������ �� ���� � � (� � � '�

    ��.� ����� ��� ����� � � �%��(� &� � � ������ ����������� �� ��� ����� �% � �%� %� %�� �( � �%� (� *���* � �(��%� %��

    �� ���� �� �����

    � �� ��� ���� � � ��% � ��( � ��* ���� �� �� � � �� ��B����� /��� �� ���

    %

    �(&

    ��

    �� � �

    %

    %

    %

    ��

    ��� �

    %

    (

    *

    ��

    ��� �

    (

    �%%

    ��

    �� �

    �� �� (��� (�� ��� *�� �

    ��

    ��

    #�� � ���� ��������� �� ����� ����� � ������ ���� � ��� ���� ������! ������ ������������$ "�������������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������

    �� �� (� � %�� (�� � � �(�� *�� � � &

    ��

    �� �� (� � %�� *� � �*(�� � � )

    ��

    �� �� (� � %�� *� � �*

    &� � %6��� ���1�� ������� �� ��� �����!���� ��� � � � �'� � � *� � � (� ��� � � �'�% � *�( � (�*�

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %&

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ��3� ����� � � �(��&� *� � � ������ ����������� �� �% � �%��*� (�� �( � �(��)��%�� �* � �%��&� +��/��� ��� �1������� ��� �� ������ �1������ ��� ���� ���� /����

    (

    �&*

    ��

    �� � �

    %

    �*(

    ��

    ��� �

    (

    �)�%

    ��

    ��� �

    %

    �&+

    ��

    �� �

    �� (�� ��*�� )�� &�(�� �� +�

    ��

    ��

    "�� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������

    �� (�� � � (�*�� )�� &� � �&(�� �� +� � *

    ��

    �� (�� � � ((�� (� � %

    � &�� &� � �%��

    �� (�� � � ((�� (� � %

    6 � *��� ����� �1������� 6�� 6�� 6� � *� �������� ���� ��� ��� �� �� �������� ��� � ������ �� ������� � ������� ����������� �� ��� ����� �%� �(� �*�

    ��� )�����* �����, ���/��� � � �&� )� %�� � � �*��)� %�� � � �%��(� *�� ����� ���� �� ������ �� ��� ��� �������������#�����!����$G

    /��� ��� ��� ������� �� ���� ���� �� ������

    � � � � %&� %'� % � 6� � � � � *� ,� * � %)� � � � � &� ,� * � 6��� � ��� � ��� �����!����� � ��� � ��� �����!����� ��� � ��� � ��� ����

    ��=� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!����� ������

    #�$ � � �%� ���*� ��� � � �(��&� )�#�$ � � �(� *���)� %� &� ��� � � �'��%� *� +� (���

    :������ � � �� �� � � � �1��� �� 6� ��� ���� ��� ��� ��#�$ � � � � %�(� � ���&� � *�)� � �&� � %6� ���� �&� � %6 � 6� �� � � �(�#�$ � � � � %(� *� � %(� +� %6� � +� � +� ���� +� � + � 6� �� � � �%�

    ���>� /��� �� ������ #�$ � � �*��%(��)�� #�$ � � �(��*� ,��+��/��� ��� �( � � � � � 1�����! ��� ������ ��� �����!� ���� � �

    �(

    ��

    #�$ �( � �*�( � ��%(�( � ��)�( � -� %))� %' � %'-� ���� � � %'- � %*#�$ �( � )� -� ')� )- � %('� ���� � � %(' �

    %' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ����� ;����� ���� ��������� � ���7��� ����� � ���� �����! ��� ���1�� ���� ����� �� �� ��� ������������ � �� �����

    �� � %� �

    4������7�� #�$ � � �*��)�� #�$ � � �)��(��*� ,�� #�$ � � �%(� (*� � %

    )$�

    #�$ /��� ��� � � -� %' � (& � &� ���� ����� ���� ���� �� � � &� ��������! �� � �*&� � )

    &$�

    #�$ ���� � � %'� )� -� ') � -* � ������ � )

    -*

    � �(

    -*

    � �*

    -*

    � ,

    -*

    #�$ 4��� ���� � ��� �� ������ �������� �� � ���� ��� ��� ��� �������7�� ����� ����� ��� ������� � �%( �� 22����� ��������33� ���� �� ��� ��� �� � %(� � �'� ,��*�� ����

    �� � *'� ')� - � %6- ��� �� � ��� � '%6-

    � ,%6-

    � �*%6-

    ����� >�� � � �%��*� )� ��� � � �*� )� +�� /����#�$ �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �.

    #�$ ������� ��� ��� ���������� �� � ���� �.#�$ ���� ��� ��� ������� ������� � ��� ��

    /��� ��� � � � � *� %(� (, � %-� �( � %� -� %' � ('� �( � -� %'� )- � +)� ����

    #�$ �� � � � � ��� �%-('

    +)

    #�$ ������� �� � � � ��( � �%-

    +)�*� )� +� � &+

    +)�+'

    +)�%**

    +)

    � � &+

    +)�*,

    *+�%**

    +)

    #�$ ���� �� � �� � � ��(��+� *� � )� )-� - � '( �

    ���$� =��� ������� %�(� /�� �� �� ��� �� � ��� � �� ��#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #��$ ���� � � � ��� � ��� #���$ � � � � � � ��#�$ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�

    >�� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%��(� � � � ����#�$ "���� �� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ���

    ��� �� � � � ��% � �%��% � ��( � �(��( � � � � � �� � ���� �%�% � �%�% � �(�( � � � � � �� � ��� ��%�% � �(�( � � � � � ��� � ��%�% � �(�( � � � � � ���� � � �� � � �

    #��$ "���� �� � ���%� ��(� � � � � �������� � � � ��%�% � ��(�( � � � � � ��� � ���%�% � �(�( � � � � � ��� � ��� � ��

    #���$ � � � � �%�% � �(�( � � � � � �� � �%�% � �(�( � � � � � �� � � � �#�$ "���� �(� � �����!���� ��� ���� �� ��� ���� ��� �� �� �����!���� ���� ������ � �����!�����

    � � � � �(% � �(( � � � � � �( � 6/����������� � � � � 6 ��� �� � 6 ��� ���� �� ���� �� ��� � � 6�

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %+

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ���(� =��� ������� %�* #"�����7$� �� � �� � ���/�� �� ���� ������ � ��� ���! ������� %�(� �� ���

    6 � ��� �� � ��� �� � (�� � �� � (�� � �� � �� � �� � �(( � (�� � �� � �(>�� � � �(� � � (�� � ��� � � �(� ����� ��� ��� ���� �� � �( � � � � � 6� ��� ���� ���� ���1�������� ��������� ������ ��� ��� ���� ����� ��� ������ ���� ��� ����������� ' � �( � )�� � 6 ����1��������� �( � )��� ���

    )�� � ��( � )�(�(

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ���>� >�� " �� ��� ���� (�� � �(� * � (� *� ( � &� �� �)� ����� 6 � � )�#�$ /��� ��� ����� ! �� " �����������! �� � (�#�$ /��� ��� ������� ����� $ ��� �������� ����� $ � �� "�#�$ /��� ��� ���� ���!��� ����� � �� ��� ���� " ���� � (�

    #�$ "�������� � ( ���� (�� �� !�� ! � � �(� � �)� )� ,� -��#�$ ��� ��������� ���!� ���� � 6 �� � )� ����� $ � � �6� � �6��(� 6� &� ���

    $ � � (�)� � �%'� %6� ')� (%��#�$ ��B� ��� �������� �� (��� ���� �� �� ���� ��������� �� (��� �� ������ � ����� ) ���� � ���!��� �� ���

    �����

    ) �� � �(���

    � �(� *� *(� (�4�� ��� ) ���� � (. ���� �� �������� � ( �� ��� �1������ ��� ) �� �� ������) � ) �(� � �)� *� %(� )�� ���� �������7� ) �� ������ ��� ������ ���� ���!��� ����� �� �� ���

    ) � %'� -� %))� %' � %,& ��� � � )%,&

    � *%,&

    � %(%,&

    � )%,&

    � �

    ��%��%������� )������ �� �**, �-4 ���%����, ���� �����

    ����� >�� � � (�� *-� )4� � � *�� -� (4� � � �� &-� *4� /����#�$ �� �� #�$ (�� *�� )�� #�$ � � � ��� � � �� #�$ � ��� ��

    ����� ��� ���������� �� �� -� 4 ��� ��B� ��� ��������� �� � ����� �� �*�

    #�$ �� �����������! ���������� �� !�� �� � � &�� (-� (4�#�$ /��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������

    (�� *�� )� � �)�� '-� ,4� � ��-�� *-� '4� � �)�� (6-� %(4�� ��� %+-� ('4

    #�$ 0������ �����������! ���������� ��� ���� ����

    � � � � '� *� , � �& ��� � � � � (� %&� %( � �%#�$ ��� ���� � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� �����������

    � � )� -� %' � (- ��� � � -� %� ) � %)

    ����� /��� ��� #����������$ �1������ �� ��� ���� %�

    #�$ �����!� ��� ����� !�%� *� (� ��� $�(� &��'��#�$ ���������! ��� ����� !�%��(� )� ��� ������������� �� ��� ����� # !��� � ��� �1������

    *�� &�� +� � %&�#�$ /��� ��� � � !$�� � $� ! � �%� (��,� � �� (-� ,4� ����

    %�� � � � %� ( � *� �, � (� � � � %��� �( � *�-� ��, � (�4#�$ "���� % � ������������� �� # � ��� ���� % � �� ��� ��� ��������� � ��� ������ ����� � � *�� &-� +4

    �� # � ���

    %�� � �* � %� & � (� + � )� � �* � %��� �& � (�-� �+ � )�4

    :� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %-

  • Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

    1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

    Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

    ���$� >�� + �� ��� ������ ��( � (�� � %' �� �*�#�$ /��� ��� ������ ����� ���� �� �� �� ��� ������ +�#�$ /��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ��� ����� !�%� (� *��

    #�$ ��� ������� ��� ��� ������ ����� �� � ������ (��� �� �� � 6 �

    ���� �� �� � (��� (�-� (�4

    ����� (�� (�� (� ��� ��� ������� ��������� D��! (��� �� �� � ��( � (��� %'� �� ������(� � �(� (� � (��� (�� (� � (�

    ��� ���� �� �� � �(�� �(��� (��-� (�4�#�$ ��� ������ �� ��� ������ + �� ��� ����� ! �

    ��!� � ��%� (� *� � )�� %6-� )4����� � � (�� &-� (4 � ��� ������ �� + �� !� ��� �� �1������ �� # �� ��� ���� (�� &�� (� � ��"�������� ! �� ��� �1������ �� ������ � � %,� ��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ! � (�� &�� (� � %,�

    ���(� 9������ ��� ��������! ����������� ��� ��!���� �� ����������� �� ����� ����

    #�$ #�$* )

    & -

    ��������� #��$ ( �%) *

    �������