INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINIEN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

RICARDO GOMEZ KU

TRABAJO DOCUMENTAL

INTEGRANTES

NOMBRE MATRICULA CALF. DE EXPOSICION

CALF. INVESTGACION DOCUMENTAL

PEDRO ISMAEL TUZ CUEVAS 1762LEONARDO GUADALUPE. CANCHE KEB 1747CINTHIA SULEIMI POOL CHI 1760JOSE DEL CARMEN KU TURRIZA 1423HEYDER GABRIEL PAT KU 1767GILBERTO ALEXANDER BALAM UHU 1764

CALKINI CAMPECHE 20 DE SEPTIEMBRE DEL 2010

INTRODUCCIÓN 2.1

Este documental contiene una breve explicación de la teoría de líneas de espera así

como también la definición de teoría de líneas de esperas que nos dice, es la forma por

la llegada aleatoria de clientes que tratan en establecimiento a recibir un servicio

proporcionado por un servidor.

Así como unos ejemplos de donde se pueden aplicar la teoría de colas y un ejemplo de

aplicación en donde se compara dos tiendas donde necesitan implementar las líneas

de espera.

INTRODUCCIÓN 2.2

Este tema de investigación modelos de nacimiento y muerte (distribución poisson) trata

acerca de modelos de colas, la primera es un modelo de nacimiento puro en que solo

se permite llegadas y el segundo es el modelo de muerte pura, en el que solo se

permite salidas. Cada uno de estos temas cuenta con la información bastante clara,

para que el alumno sea capas de entenderla con facilidad. El tema cuenta con

ejemplos para el alumno no solo se enfoque a lo teórico si no también a lo practico.

INTRODUCCÒN 2.3

La Teoría de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los

modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas

que involucran colas de algún tipo) que surge en la práctica. Las fórmulas para cada

modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la

cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias.

Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo

operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada

capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no contar

con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus desafortunadas

consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de

servicio y la cantidad de espera.

INTRODUCCIÓN 3.4

Este informe tiene como finalidad presentar una teoría operacional sobre la Teoría de

Colas, la cual incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera, siendo la

de mayor aplicación potencial y sin embargo es la más difícil de aplicar. Los fenómenos

de espera para recibir servicio son cosas de la vida diaria; por ejemplo, esperar en una

cola para pagar el teléfono o en el supermercado. No obstante, la espera no solo se

limita a personas sino a procedimientos o ensamblados de máquinas, por lo tanto en

esta unidad se describen modelos matemáticos aplicables a cualquier situación donde

se forme una cola.

La formación de líneas de espera es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre

siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de

proporcionarlo. Con frecuencia, en la industria y en otros sitios, deben tomarse

decisiones respecto a la cantidad de capacidad que debe proporcionarse. Sin embargo,

muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán las unidades que

buscan el servicio y/o cuánto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por esto

que esas decisiones suelen ser difíciles.

Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Por otro lado, carecer de la

capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos

momentos. Las líneas de espera largas también son costosas en cierto sentido, ya sea

por un costo social, por un costo causado por la pérdida de clientes, por el costo de

empleados ociosos o por algún otro costo importante. Entonces, la meta final es lograr

un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera por

ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve directamente este problema, pero

contribuye con información vital que se requiere para tomar las decisiones

concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera como el

tiempo de espera promedio.

La teoría de colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para describir

una situación de línea de espera. Con frecuencia se dispone de resultados

matemáticos que predicen algunas de las características de estos modelos.

Introducción 2.5

En este documento se presenta el tema de Servidores múltiples, cola infinita, fuente

infinita y Servidores múltiples, cola finita, fuente infinita la cual es de suma importancia

para la resolución de problemas sobre líneas de espera ya que es de suma importancia

que aprendamos a resol verlos.

INTRODUCCIÒN 2.6

Este reporte de investigación documental se presenta como el resultado que se

llevo acabo sobre el siguiente tema: de investigación modelos de nacimiento y muerte

(distribución poisson) esta relacionado con modelos de nacimientos y muertes puras en

este documento se realizara un problema en la plantilla de Excel para entenderlo con

facilidad el Con el fin de obtener un amplio conocimiento acerca del tema mencionado

de la asignatura de investigación de operaciones II

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN-------------------------------------------------------------------------------------2

DESARROLLÓ DEL TEMA------------------------------------------------------------------------8

CONCLUSIÓN---------------------------------------------------------------------------------------40

BIBLIOGRAFÍA--------------------------------------------------------------------------------------41

2.1. INTRODUCCIÓN, TERMINOLOGÍA, NOTACIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN

Si en el futuro algún científico dice representar la “agresividad del mexicano” por medio

de una función, no me sorprendería que una de las variables independientes fuera “el

tiempo de espera” es más, creo que estas dos variables, la agresividad y el tiempo de

espera, tiene alta corrección positiva.

Para saber si le estoy atinando ala suposición, citemos algunos ejemplos, que

seguramente le será familiares al lector:

• Regreso al ciudad de México un domingo en la tarde por la fabulosa autopsia

Cuernavaca-México (70 kms en 2 horas; si es semana santa, 4 horas)

• Trayectoria de la casa al trabajo a la ciudad de México por el filamento periférico

(entre las 7:30 am y 9 am ., 13 kms en 1 ½ horas)

• Solicitud de un teléfono por parte de un habitante de alguna colonia popular de

la ciudad de México ( 1 a 2 años, si hay líneas).

• Asistencia al cine a ver King Kong, el `padrino o, a la india maría (3 a 4 horas

esperando en la cola de la taquilla de boletos, si no se agotaron las localidades).

• Adquisición de leche subsidiada por la CONASUPO (3 a 4 horas, de la

madrugada).

• Recepción de una carta (15 a 30 días, si no se pierde)

En todos los ejemplos el común denominador es al espera que, a su vez, acarrea un

costo. En el caso de regreso a la ciudad de México por una autopista congestionada, el

costo de la espera esta asociado, entre otros factores, al mantenimiento extra que

requiera su auto por sobre calentamiento, a la cuenta del gastroenterologico por su

principio de ulcera y al costo de oportunidad por no Haber visto en la televisión el

resumen futbolístico de la semana. En el caso del periférico cuando usted va a trabajar,

existe un costo por quemar energías que podrían haber canalizado alas horas más

productivas de todo trabajo (de las 9 alas 11 de la mañana). ¿Cuál es el costo de no

tener un teléfono, de no recibir una carta (muchas veces conteniendo dinero o noticias

de gran importancia), de no poder tomar leche, de no poder ir al cine?

Por otro lado, trate de estimar el costo que le presentaría al gobierno hacer otra

autopista a Cuernavaca con cinco carriles por sentido, intensificar el transporte masivo

en la ciudad de México, abastecer a todas las poblaciones del país (mas de cien mil)

con servicios telefónicos, movilizar diariamente millones de cartas, abastecer con leche

a precios accesibles a ala población de escasos recursos (unos 45 millones de

camarrupas).

Lo anterior enfatiza el siguiente punto: en todos sistemas existen dos grandes clases

de costos, el social referente al tiempo de espera de un servicio y el asociado al

consumo de recursos que requiere ese servicio. Además estos costos tienen una

correlación inversa: cuando uno aumenta el otro disminuye, y viceversa. Para ilustrar

esta situación se analiza el siguiente ejemplo, basado en la cruel realidad.

Don rabagon epifemes es dueño de una gran abarrotería donde le proporciona a sus

clientes los mejores precios y calidades en todo el vecindario. El puede hacer eso por

que a minimizado la mano de obra en su tienda, que cuenta con solo una cajera.

Desgraciadamente casi nadien quiere comprar en ese almacén, por las grandes que se

forman en la hora de pagar y que hacen que los clientes esperen asta más de dos

horas para liquidar sus compras. A media cuadra se encuentra el almacén de la

competencia, propiedad de don Ibrahim quebrado, quien aun siendo un poco mas

carero que don rabagon tiene su tienda casi llena. Don Ibrahim, sin embargo, anda

perdiendo fuertes sumas de dinero por los enormes sueldos mensuales que eroga (solo

entre cajeros tiene cerca de 20 cajeros claro, los clientes están felices por que realizan

sus compras con rapidez.

En el ejemplo anterior se observa que, tanto don rabagon como don ibrahim están

perdiendo dinero, por que ambos trabajan con criterios extremistas. La pregunta se

presenta entonces es la siguiente: ¿bajo que condiciones se podría equilibrar el costo

asociado al consumo de los recursos (humanos, financieros y materiales) que de

alguna manera causan esta espera? En otras palabras: ¿hasta que punto conviene

reducir el tiempo de espera de los clientes y que significa eso en cuanto al número de

cajas que deberían operar en cada tienda?

El caso anterior tiene matices más dramáticos y reales. Cuando la compañía nacional

de subsistencia populares (CONASUPO), importa un cierto grano, se fijan en el

contrato de importancia, entre otros cosas, el puerto nacional de descarga del grano (si

esta viene por barco), el tonelaje promedio diario de descarga y los castigos que se

pagan ala compañía exportadora por demora en la descarga. Así, por ejemplo, un

barco con 20 mil toneladas de maíz hace su arribo al puerto de Veracruz el 1º de

marzo, y se estipula en el contrato que se descargaran en promedio mil toneladas

diarias. Si después del 21 de marzo ese barco no se ha descargado por completo se

empezara a computar una multa de aproximadamente 5 mil dólares por día retrasado

por barco. Suponga que el barco debe fondearse 7 días en el puerto, por encontrarse

los muelles ocupados y que inmediatamente después se empieza la descarga, pero a

razón de 500 toneladas diarias (por congestionamiento del puerto) en el lugar de salida

el barco de Veracruz el 21 de marzo lo hace 27 días después, por lo que el castigo

asciende a 135 mil dólares (mas de 3 millones de pesos mexicanos). Un programa

anual de importación de maíz puede alcanzar la cifra de un millón de toneladas y

aunque no todas entran por barco (un buen porcentaje entra porcentaje entra por

ferrocarril de los estados unidos), y no todos los puertos mexicanos están saturados, si

el retraso ocurre en el 20% de los casos, se habla de castigos del orden de varias

decenas de millones de pesos. Por otro lado, estime el costo de ampliar la capacidad

de carga de los puertos nacionales. ¿Hasta que punto conviene ampliar la capacidad

de estos, para contrarrestar los tiempos de espera y los castigos asociados?

La teoría de líneas de espera es un intento matemático que tiene entre sus objetivos, el

contestar dichas pregunta. Afortunadamente, esta teoría se ha llegada utilizar con

bastante éxito para determinar:

• Números de médicos que deben atender el servicio de emergencia de un

hospital, variando ese numero en el tiempo y en el espacio

• El numero de camas que debe de tener un pabellón gineco-obstétrico de un

hospital.

• El numero de cajas que deben de operar en un banco o en una tienda

automotriz.

• El número de autotransporte que deben distribuir productos perecederos en una

región.

• El número de operador del trafico aéreo, que varían en el tiempo y lugar.

• La secuenciación automática de encendidos de semáforos a lo largo de una

avenida.

• El número de operadores que atienden llamadas de larga distancia durante un

turno.

• El número de grupos de mantenimiento de algunas líneas aéreas.

La línea de espera, en su concepto más simple, se forma por la llegada aleatoria de

clientes que tratan en establecimiento a recibir un servicio proporcionado por un

servidor. La naturaleza de los clientes el establecimiento y los servicios varían con la

organización de que se trate.

La tabla 3.1 se muestra diferentes tipos de clientes, establecimiento, servicios y

servidores.

Si el cliente que se utiliza para servir a un cliente es mayor al que transcurre entre la

llegada consecutiva de 2 clientes, se formaran líneas de espera. En cambio, si el

servicio es más rápido que la llegada de clientes, no se formaran colas o líneas de

espera.

La teoría de líneas de espera tiene los siguientes términos:

• caracterizar cuantitativa y cualitativamente a una cola.

• Determinar los niveles adecuados de ciertos parámetros del sistema que

balancean el costo social de la esperaron con el costo asociado al consumo de

recursos.

La cuantificación de una línea de espera se puede hacer a través de un análisis

matemático o de un proceso de de simulación. El primer

cliente establecimiento servicio Servidor

Paciente

Ciudadano

Ciudadano

Ciudadano

Barco

Servicio de

emergencia

Central telefónico

Banco

Tienda de auto

servicio

Tratamiento

medico

Larga distancia

Bancario

Pago de

mercancía

Médicos y/o

enfermeras

Operadora

telefónica

Cajero

Cajera

Avión

Avión

Parturienta

paciente

Muelle

Pista de aterrizaje

Taller de

mantenimiento

Sala de labor y de

partos

Quirófano

Carga/descarga

Permiso e

instrucciones

Revisión y

mantenimiento

Parto

Cirugía

Grúas

Operador de

trafico aero

Mecánicos

expertos

Ginecólogo

Cirujano

Enfoque de poder aplicarse, produce resultados óptimos. Sin embargo, requiere

suposiciones muy estrictas en cuanto a la naturaleza de las llegadas de clientes, el tipo

de servicio, el número de servidores y la estructura del sistema. El proceso de

simulación tiene una aplicación más general que el análisis matemático, que

prácticamente se le puede utilizar para cualquier sistema. Su desventaja que no

produce valores óptimos y es mucho más costosa.

En este capitulo se analizan las líneas de espera con un enfoque matemático, dejando

la discusión de los procesos de simulación y su aplicación a las líneas de espera, para

el siguiente capitulo.

ESTRUCTURA BÁSICA DE UNA LÍNEA DE ESPERA

Una línea de espera esta constituida por un cliente que requiere de un servicio

(proporcionado por un servidor) en un determinado periodo. Los clientes entran

aleatoriamente al sistema y forman una o varias colas (o líneas de espera) para ser

atendidos. Si el servidor esta desocupado, de acuerdo a ciertas reglas preestablecidas,

conocidas con el nombre de disciplina del servicio, se proporciona el servicio a los

elementos de la cola. El cliente será atendido en un periodo determinado de tiempo,

llamado tiempo de servicio. Al finalizar este, el cliente abandona el sistema. Los clientes

que se forman en una cola lo hacen en un área de espera.

Las líneas de espera se pueden clasificar de acuerdo a:

• El numero de clientes que pueden esperar en la cola. Estos pueden ser finitos o

infinitos. En la realidad solo existen los primeros; matemáticamente se facilitan

los cálculos si se supone lo segundo.

• La fuente de genera la población de clientes. Esta fuente puede tener una

producción finita o infinita (no confundir con la población que espera, también

puede ser finita o infinita)

• A la manera como esperan los clientes (en una cola o en varias, con o sin opción

a cambiarse de la cola.)

• El tiempo transcurrido entre la llegada de un cliente y el inmediatamente anterior.

Este intervalo de tiempo puede ser una constante o una variable aleatoria

independiente, cuya distribución de probabilidad se puede o no conocer. El

enfoque de análisis matemático de las líneas de espera, esta muy bien

desarrollado para el caso constante y variable, cuando la distribución de llegada

es poisson. Para otras distribuciones se utiliza el enfoque de simulación. Cuando

las llegadas no son independientes (como seria el caso de la llegada de un

grupo de pacientes a un centro de emergencia, cuando estos sufrieron el mismo

accidente), se utiliza el enfoque de la simulación.

• El tiempo de servicio. Este intervalo de tiempo puede ser una constante o una

variable aleatoriamente, dependiente, cuya distribución de probabilidad se puede

o no conocer. El enfoque matemático ha proporcionado resultados de las líneas

de espera cuando el tiempo de servicio es constante, tiene una distribución

exponencial negativo o una distribución de ERLANG. Para otras distribuciones.

Se utiliza el enfoque de simulación. Se dice que el tiempo de servicio es

dependiente, cuando varias (se alarga o se corta) por factores de presión del

sistema (por ejemplo, las quejas de la gente que espera); es independiente

cuando la duración del servicio no se afecta por este tipo de presiones.

• La disciplina de la cola. Se puede utilizar una política en la cual el primero que

llegue ala cola es el primero al que se le proporciona servicio; existen políticas

de prelación o prioridad, como es el caso de los servicios médicos de

emergencia, en donde las características del cliente indican que orden se le

proporciona el servicio. En los servicios médicos de emergencia, por

ejemplo, los casos críticos (donde tratamiento es vital para sobrevivir) son los

primeros que se entienden; los serios (donde el tratamiento inmediato previene

el deterioro de la salud) se atienden en segundo orden y los estables (donde el

tratamiento se puede postergar por un corto periodo de tiempo sin poner en

peligro la vida del paciente) en tercer orden. La disciplina puede ser también

“ultimo que entra primero que sale” (el caso de inventario acumulado en

columnas, en las cuales la parte superior es la ultima acomodarse y la primera

en salir) o bien, aleatoria.

• El numero de servidores uno o mas

• La estructura de las estaciones de servicio. Estas pueden estar en serie, en

paralelo, o mixtas.

• La estabilidad del sistema, que pueden ser estable o transitoria. Aquí se cubre

solo la condición estable, y específicamente aquellos casos donde en un periodo

determinado solo puede ocurrir una entrada al sistema (nacimiento) y una salida

del mismo (muerte). De ahí que matemáticamente se conozca a estos procesos

estables como procesos de nacimiento y muerte.

Se ilustraran a continuación varios sistemas:

• Una cola –un servidor. La taquilla de un cine en donde se venden boletos de

acuerdo a como llegan los espectadores.

• Una cola-servidores múltiples en paralelo. Una peluquería con 5 millones (5

peluqueros), que presentan su servicios siguiendo una política de atender a los

clientes en el orden con que llegan al establecimiento( no se aceptan

reservaciones)

• Filas múltiples-servidores múltiples en paralelo, con cambio de colas. Es el caso

de un banco, donde existen 18 cajas y los clientes se forman en la cola que mas

les convenga, con la opción de cambiarse de una cola a otra.

• Filas múltiples-servicios múltiples en paralelo, sin cambio de colas. Es el caso de

cualquier tramite burocrático, por ejemplo la oficina de prestamos a corto plazo

del BUCUPEDE (burócratas cumplidos pensantes y dedicados) donde existen 5

ventanillas de recepción de documentos, de acuerdo ala inicial del apellido

paterno(A-E, F-J, K-O, P.T, U-Z).

• Una fila-servidores múltiples en serie. En una embotelladora, las botellas usadas

se esterilizan, después pasan al llenado del liquido, encorcholatado, etiquetado y

empaquetadora.

• Filas múltiples-servicios múltiples en sistema mixto. El mismo ejemplo anterior,

pero con mas de una unidad de las diferentes maquinas que se mencionaron.

COSTOS DE LOS SISTEMAS DE COLAS.

      Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes de mayor

importancia, la cola y la instalación de servicio. Las llegadas son las unidades que

entran en el sistema para recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no

hay línea de espera se dice que la cola esta vacía. De la cola, las llegadas van a la

instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con

la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en llegar primero

en ser servido es una regla común, pero podría servir con prioridades o siguiendo

alguna otra regla. Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en

salidas.

Ambas componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.

   

COSTO DE ESPERA

Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en

otra cosa y esta dado por:

Costo total de espera = CwL

Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada por unidad de tiempo y

L= longitud promedio de la línea.

 

COSTO DE SERVICIO.

Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de servicio , en estos casos

solo se ocupan los costos comparativos o diferenciales.

 

SISTEMA DE COSTO MÍNIMO.

Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas

colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los

costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin

embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el

propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

2.1.2. Proceso de nacimiento y muerte; Modelos Poisson y casos de aplicación.

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas

(llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo

al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad

tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el

término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el

término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el

tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de

colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos

probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y

muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia

dependen del estado actual del sistema.

En esta sección se describe dos situaciones en las colas: la primera es un modelo de

nacimiento puro en que solo se permite llegadas, y el segundo es el modelo de

muerte pura, en el que solo se permite salidas. Un ejemplo del modelo de nacimiento

puro es la emisión de los certificados de nacimiento para los recién nacidos. El modelo

de muerte pura se puede visualizar con el retiro aleatorio de un artículo en una tienda.

La distribución exponencial se utiliza para describir el tiempo entre llegadas en el

modelo de nacimiento puro, y el tiempo entre salidas con el tiempo de muerte pura. Un

producto secundario del desarrollo de los dos modelos es la demostración de la

estrecha relación entre la distribución exponencial y de poisson, en el sentido que una

distribución define en forma automática a la otra.

Modelo de nacimiento puros

Se define

Probabilidad de que no haya llegadas durante un espacio de tiempo t

como el tiempo entre llegadas es exponencial, y la frecuencia de llegadas es clientes

por unidad de tiempo, entonces

Para un intervalo pequeño

La distribución exponencial se basa en la hipótesis que durante un tiempo suficiente

pequeño , puede presentar cuando mucho una llegada. Así, cuando

Este resultado indica que la probabilidad de una llegada durante h es directamente

proporcional a h, y que la frecuencia de llegadas 𝜆 es la constante de proporcionalidad.

Para deducir la distribución de la cantidad de llegadas durante un periodo t, cuando

el tiempo entre llegadas es exponencial con promedio se define a

Para una

En la primera ecuación se realizan n llegadas durante , si hay n llegadas

durante t y no hay durante h, o n – 1 llegadas durante t y una llegada durante h. No se

permite ninguna otra combinación por que, según la distribución exponencial, cuando

mucho puede haber una llegada durante un periodo h muy pequeño. La ley de producto

de probabilidades se puede aplicar al lado derecho de la ecuación, porque las llegadas

son independientes. Para la segunda ecuación, solo puede haber cero llegadas durante

t + h si no hay llegadas durante t y durante h.

Al rearreglar los términos y tender a los limites cuando h ⟶ 0, se obtiene

En donde es la primera derivada de con respecto a t.

La solución de estas ecuaciones en diferencias y diferenciales es

Es una distribución de poisson, con media llegadas durante t.

Este resultado indica que si el tiempo entre llegadas es exponencial con media la

cantidad de llegadas durante un periodo t especifico tiene distribución de poisson con

media .También es cierto lo contrario.

Las fuertes relaciones entre las distribuciones exponenciales y de poisson, para una

frecuencia de λ llegadas por unidad de tiempo se pueden resumir como sigue.

Exponencial De poisson

Variable aleatoria Tiempo t entre

llegadas sucesivas

Cantidad de n llegadas

durante un periodo

especificado T

Intervalo n= 0, 1, 2, …

Función de densidad

=0,1,2,

…

Valor de la media λT llegadas durante T

Probabilidad acumulada

p

Ejemplo.

Los niños nacen en un estado poblado, con una frecuencia de un nacimiento cada 12

minutos. El tiempo entre nacimiento sigue una distribución exponencial. Determina lo

siguiente:

• La cantidad promedio de nacimiento por año.

• La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier día.

• La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimiento en 3 horas,

cuando se emitieron 40 certificados durante las primeras 2 horas del

periodo de 3 horas.

La tasa diaria de nacimientos se calcula como sigue:

Los nacimientos anuales en el estado son

La probabilidad de que no haya nacimiento en algún día se calcula con la distribución

de poisson.

Para calcular la probabilidad de emitir 50 certificados en 3 horas, cuando se han

emitido ya 40 certificados en las 2 primeras horas, equivale a tener 10 (=50-40)

nacimientos en 1(=3-2) hora. Como nacimientos por hora,

entonces

Una cola un servidor-población infinita 3.3

Ejemplo 3.1

Petróleos mexicanos estudian la utilización de la gasolinera que se encuentra en el

kilometro 70 de la carretera estatal Toluca-valle de bravo, en el estado de mexico.la

gasolinera tiene 6 bombas, 4 para gasolina nova, 1 para gasolina extra y otra para

diesel. Las llegadas de autobuses que cargan diesel muestran una distribución que se

aproxima ala de poisson, mientras que el servicio muestra una distribución exponencial.

El promedio de llegadas a la bomba diesel es de 5 autobuses por hora, mientras que

los servicios promedios en esa bomba son de 7 por hora.

Solo se puede dar servicio en esa bomba a un autobús a la vez, y se sirve a los

autobuses en el orden en que llegan a la bomba. Encuentre todos los parámetros que

describen cuantitativamente a esa bomba diesel, para que posteriormente se pueda

tomar una decisión, acerca de la instalación de otra bomba diesel en ese lugar. Se

tiene por lo que <1‚ y se aplican las formulas

anteriores.

La probabilidad de encontrar la bomba diesel vacía es

Mientras que la probabilidad de encontrar un autobús cargado y otros esperado en la

cola es

)³ 0.29=0.11.

El número esperado de autobuses que hacen cola es:

=1.79 autobuses mientras que el numero

esperado de autobuses en el sistema (en la bomba y haciendo cola) es

=2.5 autobuses

El promedio de espera en la cola es

De hora

O sea 22 minutos, mientras que el tiempo promedio para salir del sistema (cargar

diesel y abandonar la gasolinera) es

de hora

O sea 30 minutos. La probabilidad de que el sistema se encuentren mas de tres

autobuses es:

La probabilidad de que la espera en la cola sea mayor a de hora (45 minutos)

es:

Mientras que la probabilidad de que un autobús espere en el sistema 1 hora o mas

antes de abandonarlo (ya cargado con diesel) es:

Cada autobús de la línea el saltillito de motas, S,A.” hace 6 recorridos diarios Valle de

Bravo-Toluca-Valle de Bravo. El recorrido es tal que obliga a los autobuses a rellenar

sus tanques de diesel cada tercer viaje redondo. El tiempo promedio de espera en el

sistema para cargar diesel autobús es de 30 minutos. El costo de operación mensual

de un autobús (sueldos del operador, die3sel, aceite, mantenimiento, refacciones,

seguros, depreciación, otros) es de 50 mil pesos y ópera 22 días por mes, 18 horas por

día. Por lo tanto, el costo diario (cada 24 horas), por esperar a cargar diesel por

autobús es:

Pesos/día (costo por espera)

Loa empresarios de todas las líneas de autobuses con sede en Valle de Bravo, que

hacen el recorrido Valle de Bravo- Toluca-Valle de Bravo (suponga son 6 en total), han

solicitado a la secretaría de comunicaciones y trasporte aumento al costo del pasaje en

un 30% de, ya que la espera en la única bomba diesel disponible en su recorrido, los

hacerse menos productivos de lo que podrían ser (realizar uno o dos viajes más por

día).

La secretaría de comunicaciones les ha negado el aumento debido a que no requieren

acelerar el proceso inflacionario, pero han aceptado presionar a la autoridades de

petróleos mexicanos, para que instalen más bombas diesel en dicha gasolinera.

¿Cuántas bombas de diesel deberían instalar petróleos mexicanos a fin de abatir los

costos de espera de los autobuses y mitigar las demandas de aumento de precios de

pasajes?.

2.5 Una cola-servidor múltiple en paralelo-población infinita

Se supone un sistema con una sola cola, a la cual pueden llegar un número infinito de

clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de S

servidores en paralelo. La policía del sistema es que se sirve a los clientes en orden de

su llegada; el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado.

Todos los servicios están desocupados al principio y se irán ocupando en forma

progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente) en la medida en

que vayan llegando los clientes.

El número promedio de llegadas por unidad de tiempo de tiempo es λ y se supone que

este tiene una distribución de poisson.

El número promedio de llegar de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el

mismo y se denota por µ. Se supone que este número tiene una distribución

exponencial negativa.

En caso contrario (s> m), dicha probabilidad es m µ Δ t.Esta observación incorporada en la expresión 3.3 origina: Pm (t + Δ t) =Pm (t) (1 – λΔ t) (1 – S µ Δ t) +Pm +1(t) (S µ Δ t) 1 – λ Δ t) +Pm – 1 (t) ( λ Δ t ) ( 1 – S µ Δ t) + Pm (t) (λ Δ t) (S µ Δ t) (3.27).

En la expresión anterior Pm-1 (t) no tiene sentido cuando m = 0, por lo que una vez agrupados los términos se obtiene: P0 (t + Δ t) = P0 (t) – P0 (t) (λΔ t) – P0 (t) S µ Δ t +P0 (t) S µ λ (Δ t)2+ P1 (t) (S µ λ (Δ t)2

Restando en ambos lados P0 (t) y dividiendo entre Δ t, se tiene:λ – P0 (t) S µ +

P0 (t) S µ λ Δ t + P1 (t) S µ - P1 (t) S µ - P0 (t) S µ λ Δ t. teoría de líneas de espera

Tomando el limite cuando ∆ t tiende a cero generaLím [P ₀ (t) + ∆t) − P ₀ (t)]_ = − P₀ (t) λ − P₀ (t) S μ + P₁ (t) S μ = 0Por lo que p₁ (t)= P₀ (t) (1 + (3.28).El limite, cuando ∆ t tiende a cero, de la expresión general 3.27, para m = 1, genera

Límite [ = 0∆ t 0 (3.28)Substituyendo 3.28 en 3.29 P₂ (t) = P₀ (t) [ (3.30)

Generalizando 3.30 para un valor m-1 cualquiera se obtiene.

P₂(t)= P₀(t)[ Que se puede reescribir:

(t)= ( (3.31)Para el caso en que m <S, se sigue el mismo razonamiento cambiando el termino S μ ∆t de 3.27 por m μ ∆ t, para obtener

(3.32)Una cola-servidores múltiples en paralelo-población infinita

Una formula explicita de se genera despejando este término de arrojando la expresión:

(3.33).Combinando 3.33 con 3.31 y 3.32 y tomando el limite cuando m tiende a infinito, se construye después de un buen ejerció algebraico (que aquí se omite) la expresión final para dada por

El largo de la cola L, lo dará la expresión

Que una vez desarrollada, utilizando 3.31 y agrupando términos, genera la formula

El número de elementos en el sistema es igual a (3.36)

El tiempo de espera en la cola,

(3.38)Mientras que el tiempo de espera en el sistema,

Así como en el caso de un servidor se supone que (para que no se forme colas de tamaño infinito), en el caso de servidores múltiples se requiere que se cumpla la condición la cual se puede reescribir como 271 teorías de líneas de esperaSe puede demostrar que

P { tS> H } = [ 1- P { tS= 0}] e-sμ (1-p)h

Donde

Ejemplo 3.3. Suponga que en el cruce fronterizo de México y estados unidos,

localizado entre las poblaciones de piedras negras, Coahuila, y Eagle pass, Texas,

existe un puente sobre el rio de bravo con dos líneas de tráfico, una en dirección de

México a estados unidos y la otra en el sentido contrario. La línea de tráfico de estados

unidos a México, se bifurca a 5 garitas de inspección migratoria y aduanera.

Suponga que la llegada de automóviles tiene una distribución de posición λ igual a la

15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios tiene una distribución

exponencial negativa con un μ igual a 8 servicios por hora.

Por decreto gubernamental, no existe prioridad de trato, así que las garitas migratorias

y aduaneras proporcionan servicio en medida que se desocupan, y se tiende en

primer término al primer automóvil de la cola y así sucesivamente.

Se describen formas cuantitativas a sistema de garitas migratorias y aduaneras.

Primero se corrobora que el parámetro < 1, queriendo decir que el puente

internacional de piedras negras no se formara una cola infinita de automóviles o, en

términos más reales, que esta cola no tiende a crecer sin freno:

Se tiene Una cola-servidor múltiple en paralelo-población infinita

Po (t)=[ ) ¯¹ =

=[1+1.875 + 1.7578 + 1.0986 + 0.515 + 0.193 (1.6)]¯¹=[6.5552]¯¹ = 0.1526

Lo anterior implica que existe un 15% de probabilidad de que, al llegar un automóvil

cualquiera a la garita internacional de piedras negras, en el tiempo t, las 5 estaciones

de servicio se encuentran vacías, y no exista ningún automóvil esperando este servicio.

Por lo tanto, no se una cola hasta que m 6, como se verifica en la tabla 3.3

El largo de la cola, L, es:L

El número de los elementos en el sistema, W, es:W = L + = 0.0283 + 1.875= 1.9033 automóviles.El tiempo promedio de espera en la cola Ts, es:T s = =

Teoría de línea de espera

m Tamaño de la cola

Garitas desocupadas

Numero de automóviles a los cueles se les está dando servicio

Pm (t)+, *

0 0 5 0 0.1521 0 4 1 0.286**2 0 3 2 0.2673 0 2 3 0.1674 0 1 4 0.0785 0 0 5 0.029***6 1 0 5 0.011****7 2 0 5 0.0048 3 0 5 0.001

+ Pm (t)=*Pm (t)=

**P1 (t)=

***P5 (t)=

***P6 (t)=Ósea casi 7 segundos, mientras que le tiempo dentro del sistema, Tw , es:Tw =T8 + =0.0019 + = 0.1269 de hora,Aproximadamente 7 minutos de 36 segundos.

Ejemplo 3.4. el director general de egresos, el Lic. A. ustero, experto en el sistema,

sospecha que se puede lograr un considerable ahorro económico, si en vez de 5

garitas funcionan 2, y que esto no causa graves problemas al turismo. ¿estará en lo

cierto?Se calcula P0 (t)

= =1.875P0 (t) =

Es decir, existe un 3% de prioridad de que al llegar un automóvil cualquiera a la garita

internacional de Piedras Negras, en el tiempo t, las 2 garita se encuentren vacías y no

hay automóviles esperando un servicio. Teoría de líneas de espera

No se forma una cola hasta que tal como se aprecia en la tabla

0 0 2 0 0.032261 0 1 2 0.060482 0 0 2 0.056703 1 0 2 0.049844 2 0 2 0.049845 3 0 2 0.046725

+ Pm (t) =

Tabla 3.4

El largo de la cola, L, es:

Mientras que el numero de elementos en el sistema, es:

2.6 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE; MODELOS POISSON EN LA

PLANTILLA DE EXCEL

Ejemplo 17.4-1 n

Los niños nacen en un estado poco poblado, con una frecuencia de un nacimiento

cada 12 minutos. El tiempo de nacimientos sigue una distribución exponencial.

Determina lo siguiente

La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimiento en 3 horas, cuando se emitieron

40 certificados.

Formula: matemática =0,1,2, …

Formula para resolución en Excel

Donde:

N: cantidad de clientes en el sistema (en cola y en servicio)

Pn: probabilidad de estado estable de que hay n clientes en el sistema

M/M/c/GD/N/K Queueing Model Imput Data (to enter an infinite value, Tipe ¡ or infinity):

=l 5 m = 0 C = 0

Sys. Lim. N = infinity Source limit,K = infinityOutput Results(pure Dirth Model):

led = Ls = Lq = Ws = Wq =

n Pn CPn 1-CPn0 0,006737947 0,00673795 0,9932620531 0,033689735 0,04042768 0,9595723182 0,084224337 0,12465202 0,8753479813 0,140373896 0,26502592 0,7349740854 0,17546737 0,44049329 0,5595067155 0,17546737 0,61596065 0,3840393456 0,146222808 0,76218346 0,2378165377 0,104444863 0,86662833 0,1333716748 0,065278039 0,93190637 0,0680936359 0,036265577 0,96817194 0,031828057

10 0,018132789 0,98630473 0,01369526911 0,008242177 0,99454691 0,00545309212 0,00343424 0,99798115 0,00201885213 0,001320862 0,99930201 0,00069799

14 0,000471736 0,99977375 0,00022625415 0,000157245 0,99993099 6,90082E-0516 4,91392E-05 0,99998013 1,9869E-0517 1,44527E-05 0,99999458 5,41634E-0618 4,01464E-06 0,9999986 1,4017E-06

CONCLUSIÓN 2.1

Al término de este tema nos damos cuenta de la gran importancia que tiene en nuestra

vida diaria. Por que todas las personas no les gusta esperar para adquirir un servicio.

Hay que planear bien las cosas antes de hacerlo porque eso depende la buena

funcione de la empresa para que no baya a la quiebra.

CONCLUSIÓN 2.2

Los modelos de nacimiento y muerte con distribución de poisson este tipo de sistema

esta ligado a una distribución exponencial debido a que la distribución exponencial

maneja una variable respecto al tiempo en cambio la distribución de poisson lo trata

respecto al numero de personas que llegan en un determinado tiempo. Este tipo de

método de solución de problemas es utilizado en lugares en donde el servicio que se

presta hay que formar cola, un fin principal es atender al máximo número de personas

en determinado tiempo como por ejemplo en los restaurantes, hasta en auto lavados,

Para evitar que el cliente se tenga que marchar por atenderles tarde. Es útil este

método para las empresas que quieren mejorar sus servicios para atender mejor a las

personas.

CONCLUSIÓN 2.3

Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios

que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible

predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto

tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican

dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer

todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede implicar mantener

recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la capacidad de

servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Cuando los

clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están pagando

un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también

son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida

de clientes.

C O N C L U S I Ó N 2.4

Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos

sistemas pueden tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.

Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas formula modelos matemáticos que

representan su operación y después usa estos modelos para obtener medidas de

desempeño. Este análisis proporciona información vital para diseñar de manera

efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado entre el costo de

proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio.

En este informe se realizo un resumen de algunos modelos básicos de teoría de colas

para los que se tienen resultados particularmente útiles. Se hubiera podido considerar

muchos otros modelos interesantes si el espacio lo hubiera permitido. De hecho, han

aparecido en la literatura técnica varios miles de artículos de

investigación que formulan y/o analizan modelos de colas, y ¡cada año se publican

mucho más! La distribución exponencial juega un papel fundamental en la teoría de las

colas para representar la distribución de los tiempos entre llegadas y de servicio, ya

que esta suposición permite representar un sistema

de colas como una cadena de Markov de tiempo continuo. Por la misma razón, son de

gran utilidad las distribuciones tipo fase como la distribución Erlang, en donde se

desglosa el tiempo total en fases individuales que tienen distribuciones exponenciales.

Haciendo algunas suposiciones adicionales, se han obtenido importantes resultados

analíticos sólo para un pequeño número de modelos de colas. Los modelos de

disciplina de prioridades son útiles para la situación común en la que se da prioridad a

algunas categorías de clientes sobre otras para recibir el servicio. En otra situación

común los clientes deben recibir servicio en distintas estaciones o instalaciones. Los

modelos de redes de colas se usan cada vez más en estas situaciones. Esta es una

área especialmente activa en la investigación actual.

CONCLUSIÓN 2.5

La importancia de resolución de problemas de línea de espera radica en que nos otros

como ingenieros industriales tenemos que lidiar con estos problemas, porque en

nuestra vida laboral se presentarán muchos de ellos como por ejemplo el número de

cajeros en un banco, el número de cajas en una tienda la cual estos generan colas y

tenemos que resolver cuantos cajas es mesetario para que no se generan muchas

colas.

CONCLUSIÓN 2.6

Con respecto a este tema analizamos y pudimos comprender la forma de cómo

se realiza un problema en la plantilla de Excel del tema nacimiento y muerte; modelos

poisson esta relacionado con la distribución exponencial hace mas fácil la solución del

problema por ejemplo cuando en las empresas se amontona la clientela con esta

problema se busca exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o

cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio y otros aspectos muy importantes

para una mejor preparación académica.

BIBLIOGRAFÍA 2.1

METODOS Y MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES, Vol 2 modelos estocásticos Pag. 243 – 250

Taha, Hamdy A. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. 7 ma Edición, Editorial Pearson Educación. México 2004. Pág. 579- 581

BIBLIOGRAFÍA 2.2

Taha, hamdy a. investigación de operaciones.7ª.edicion,perason educación, México

2004,pag.585-591.BIOGRAFIA 2.3

Métodos y modelos de investigación de operaciones.vol.2 modelos estocásticos.

BIBLIOGRAFIA 2.4METODOS Y MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES vol 2 modelos estocásticos Pag. 253 – 263

BIBLIOGRAFIA 2.5METODOS Y MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES vol 2 modelos estocásticos Pag. 268 – 276

BIBLIOGRAFIA 2.6

Taha, hamdy a. investigación de operaciones.7ª.edicion, perason educación, México

2004, páginas: 587-588-589