Libro Latex

Composicion de DocumentosCientıficos con LATEX

Avanzado

Anibal Munoz Loaiza, Irma Pizza Tapia

Gustavo Villalobos Nieto

Facultad de EducacionFacultad de Ciencias Basicas y Tecnologias

Maestrıa en BiomatematicaGrupo de Modelacion Matematica en Epidemiologıa

Universidad del QuindıoArmenia - Colombia

Facultad de Ciencias Fısico MatamaticasBenemerita Universidad Autonoma de Puebla

Puebla - Mexico

23 de agosto de 2011

A. Munoz L., I. Pizza T., G. Villalobos N.

Anibal Munoz Loaiza, Irma Pizza TapiaGustavo Villalobos Nieto

Composicion de Documentos Cientıficos con LATEXAvanzado

No esta permitida la reproduccion total o parcial de esta obra porcualquier medio o metodo sin autorizacion escrita de los autores.

Derechos Reservados©Armenia Quindıo Colombia 2007

ISBN978-958-44-1088-7

Editado por ELIZCOM www.elizcom.comemail: [email protected]

Primera edicion con 250 ejemplares, Impreso en Colombia.

LATEX Avanzado ii


Dedico con carino este libro a mis padres:

Angelina Tapia Giron y Eugenio Pizza Vaquiro

Irma Pizza Tapia

Dedicado a la memoria de mis padres:

Nohemy y Anibal

Anibal Munoz Loaiza

Dedicado a nuestros hijos:

Alejandro, Andres y Dalia

Anibal Munoz L., Irma Pizza T.

LATEX Avanzado iii


Agradecimientos:

Agradezco a mis maestros de doctorado en particular alDr. Andres Fraguela C., Dr. Vladimir V. Alexandrov y alDr. Arnoldo Bezanilla L., docentes investigadores de laFacultad de Ciencias Fısico Matematicas de la Benemeri-ta Universidad Autonoma de Puebla, Puebla - Mexico. AlDr. Jose Lino Zumaquero R., docente investigador de laEscuela de Biologıa de dicha institucion, Al CONACyT,a la Facultad de Educacion y Facultad de Ciencias Basi-cas y Tecnologias, Universidad del Quindıo, Armenia -Quindıo - Colombia. A si mismo mi aprecio a la familiaCruz Limon y a la familia Guerrero Sanchez por el apoyomoral y material que me brindaron durante la estadia demis estudios en Mexico.

Anibal Munoz Loaiza

Puebla, Puebla - Mexico

Mayo del 2007

Agradecimientos a mis maestros Cubanos, en particulara mi director de tesis Dr. Rene Perera D. en mis estudiosde Maestrıa en Ciencias y Juegos Deportivos impartidapor la Facultad de Cultura Fısica de la Universidad deMatanzas - Camilo Cienfuegos y la Escuela de CulturaFısica de la Benemerita Universidad Autonoma de Pue-bla, Puebla - Mexico.

Irma Pizza Tapia

Puebla, Puebla - Mexico

Mayo del 2007

LATEX Avanzado iv

Prologo

En el mes y ano en que Garcıa Marquez celebra sus ochen-ta anos de vida, y es homenajeado por la Real Academia de laLengua Espanola por sus 25 anos de recibir el premio Nobel deliteratura y 40 anos de haber escrito Cien Anos de Soledad, es unplacer para mi, presentar este libro sobre composicion de docu-mentos cientficos con LATEX avanzado.

Menciono a Gabo, porque al cambiar la maquina de escribir porel procesador de texto, es una muestra significativa de como la in-formatica permea nuestras vidas y hace mas agradable el trabajo,independiente de nuestra profesion.

La sociedad en general va evolucionando, impulsada por proce-sos de virtualizacion creciente, en un mundo en el que cada vezmas la informatica influye en nuestras vidas. Aparecen entoncesnuevas herramientas, nuevos instrumentos para hacer el trabajoy con ello nuevas exigencias, pues debemos estar a tono con lasinnovaciones que a diario surgen.

La escritura de textos ha sufrido transformaciones gracias a losprocesadores de palabra. La escritura de las matematicas es una delas actividades que tambien presenta transformaciones sustancia-les. Los profesores y estudiantes de matematicas, disponen ahorade herramientas para los procesos matematicos, estadısticos, pro-babilısticos, para la edicion de material, etc.

LATEX, como un sistema empleado en edicion electronica de do-cumentos, es una herramienta que facilita la elaboracion de todotipo de material y un instrumento para generar mejores presenta-ciones y aprendizajes de las matematicas. LATEX, un procesador detextos formado mayoritariamente por un gran conjunto de ordenes

v


(macros) de TEX, escritas inicialmente por Leslie Lamport (Lam-portTeX), en 1984, con la intencion de facilitar el uso del lenguajede composicion tipografica, muy utilizado para la composicion deartıculos academicos, tesis y libros tecnicos, dado que la calidad ti-pografica de los documentos, se ha convertido en una herramientapractica y util para la elaboracion de revistas y artıculos academi-cos. Con este libro sobre Composicion de Documentos Cientıficoscon LATEX Avanzado, se facilita el aprendizaje de LATEX, con ellose consumen mejorar la edicion de expresiones matematicas, aligual que la elaboracion de diagramas, tablas, graficas, proposicio-nes, artıculos y transparencias. Es sin lugar a duda una excelenteherramienta y una alternativa para lograr editar textos de calidad.

Edgar Javier Carmona SuarezCandidato a Doctor

Universidad de las Palmas de Gran Canaria

LATEX Avanzado vi

Indice general

1. Estructura de documentos 1

1.1. Fichero de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Clases de documentos . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Libreria de paquetes [9], [6], [11], [16] . . 3

1.2. Escritura matematica . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Matematicas en LATEX 45

2.1. Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2. Conjuntos y Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3. Algebra lineal y moderna . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5. Topologıa y analisis funcional . . . . . . . . . . . . 71

2.6. Teorıa de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.7. Analisis complejo y medida . . . . . . . . . . . . . 80

2.8. Procesos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.9. Formulas de reacciones quımicas . . . . . . . . . . 92

3. Diagramas, tablas y graficas 95

3.1. Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2. Diagramas de flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.3. Arreglos matriciales y tablas . . . . . . . . . . . . . 115

4. Graficas e Imagenes 131

4.1. Simulaciones y planos de fase . . . . . . . . . . . . 131

4.2. Imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5. Aplicaciones 149

5.1. Minipaginas [26] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.2. Imagen en una minipagina . . . . . . . . . . . . . . 149

5.3. Poema e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.4. Pintura e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

vii


5.5. Imagen y Fotos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.6. Ecuaciones y diagrama de flujos . . . . . . . . . . . 1535.7. Diagrama conmutativo . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.8. Minipagina de logos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.9. Ediccion de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . 1575.10. Edicion del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Bibliografia 164

LATEX Avanzado viii

Indice de figuras

1.1. Conjunto de Mandelbrot [42]. . . . . . . . . . . . . 171.2. Superficie en R3 [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1. y = y − y2/12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2. y = −y + 1 + sin 4t− 2cos6t . . . . . . . . . . . . . 1324.3. Modelo de Lotka - Volterra - Depredador . . . . . 1334.4. Modelo de Lotka - Volterra - Presa . . . . . . . . . 1344.5. Modelo de Lotka - Volterra - Presa . . . . . . . . . 1354.6. Plano de fase dinamica Lotka - Volterra . . . . . . 1364.7. w = −0,002w; x = 0,002w−0,08x−xy2; y = 0,08x−

y + xy2; z = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.8. w = −0,002w; x = 0,002w−0,08x−xy2; y = 0,08x−

y + xy2; z = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.9. Modelo de FitzHugh - Nagumo . . . . . . . . . . . 1394.10. Modelo de FitzHugh - Nagumo . . . . . . . . . . . 1404.11. Plano de fase dinamica FitzHugh - Nagumo . . . . 1414.12. Fıguras Imposibles: Satira sobre una falsa perspec-

tiva, William Hogarth (1754); Cascada(1961); Bel-vedere (1958); Otro Mundo II (1974), M. C. Escher(1898 - 1972) [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.13. Familia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.14. Mi esposa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.15. Familias Mexicanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.16. Estatua del Cacique Calarca [45]. . . . . . . . . . 1444.17. Mascotas de la familia: Katy, Coco y Mateo . . . . 1444.18. Mapas de Colombia y Latinoamerica [47]. . . . . . 1454.19. Pensadores Sociales [48], [53], [44], [50]. . . . . 1464.20. Graficas de Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . 147

ix


LATEX Avanzado x

Indice de cuadros

1.1. Simbolos para vinetas en LATEX . . . . . . . . . . . 421.2. Codigos de simbolos y funciones [6], [11], [16] . . . 43

3.1. Parametros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2. Relaciones Binarias en LATEX . . . . . . . . . . . . 1223.3. Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4. Flechas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.5. Miscelanea de Simbolos . . . . . . . . . . . . . . . 127

xi


LATEX Avanzado xii

Capıtulo 1

Estructura dedocumentos

1.1. Estructura de un fichero de entrada

Iniciaremos esta seccion describiendo brevemente TEX y LATEX.

TEX: ES un programa de ordenador, orientado a la composi-cion e impresion de documentos (artıculos, libros, tesis,...) enlas diferentes areas de la ciencia, en particular la matematica[6].

LATEX: Es un paquete de macros que le permite a la personaque escribe un documento cientıfico, componerlo e impri-mirlo con la mayor calidad topografica, utilizando patronespreviamente definidos [6]. Nos referiremos a la nueva versionde LATEX: LATEX2ε

Cuando se procesa un fichero de entrada se debe seguir la siguienteestructura general:

\documentclass[Parametros separados por comas]Clase de do-cumento\usepackageNombre del paquete

\usepackageNombre del paquete

\begindocument

Desarrollo del documento\enddocument

Podemos especificar los siguientes parametros:

1


Tamano de letra: Con frecuencia 11pt, es el tamano basede la fuente utilizado por LATEX para el texto general deldocumento. Por defecto LATEX emplea 10pt, pero otra opciones 12pt

Formato de papel: Es frecuente el papel A4, es decir, uti-lizamos el parametro: a4paper. Por defecto LATEX utiliza let-terpaper. Otras opciones son: a5paper, b5paper, executive-paper y legalpaper

Lenguaje del documento: Si el texto esta en espanol, elparametro a colocar es: spanish

Formato a una cara o a doble cara: A una cara elparametro a colocar es oneside y a doble cara colocamostwoside

Formato a dos columnas: Para componer un documentoa dos columnas, se escribe twocolumn como parametro

Parametros de numeracion de ecuaciones:

• leqno Coloca la numeracion a la izquierda de la expre-sion matematica

• reqno Coloca la numeracion a la derecha de la expre-sion matematica

• fleqno En este caso la expresion matematica no aparececentrada sino a la izquierda y la numeracion a la derecha

• titlepage , notitlepage Indica si se debe iniciar unapagina nueva tras el tıtulo del documento o no

• openright, openany En este caso los capıtulos iniciano bien solo en paginas a la derecha, o bien en la proximaque este disponible [6], [11], [16].

1.1.1. Clases de documentos

En clase de documento pondremos uno de la siguiente lista:

bookEstilo: LibroEstructura: Parte \part, Capıtulo \chapter, Seccion \section

LATEX Avanzado 2


articleEstilo: Artıculo cientıfico, Ponencia, Trabajo de practica deformacion, Trabajo de seminario, Solicitudes y otrosEstructura: Seccion \section, Subseccion \subsection

reportEstilo: Tesis, Libros pequenos, Disertaciones, Guiones y si-milaresEstructura:Capıtulo \chapter, Seccion \section, Subsec-cion \subsection

Nota: La numeracion de tablas y formulas la hace por capıtu-los

letterEstilo: Carta

slidesEstilo: Diapositivas

procEstilo: Procedimientos(cercano al estilo artıculo)

ltxguideEstilo: Documentacion y guıas sobre LATEX.

1.1.2. Libreria de paquetes [9], [6], [11], [16]

La orden \usepackage le indica a LATEX que cargue un con-junto de macros que implementaran una funcionalidad. Menciona-remos los paquetes utiles para el logro de nuestro objetivo, escribirun documento cientıfico:

inputenc Permite introducir caracteres acentuados, simbo-los de interrogacion, etcObservacion: Para el caso de trabajar con MS - Windowsescribimos \usepackage[ansinew]inputenc

fancyhdr Sirve para controlar las posiciones de los elemen-tos de las cabeceras y pies de pagina y se dividen en tressectores: izquierdo, centro y derecho, los cuales se indicancon las letras l, c, r respectivamente.

Observacion: En el caso de libros se puede hacer que laspaginas pares sean diferentes de las paginas impares.

LATEX Avanzado 3


Para utilizar este paquete, incluimos en el preambulo deldocumento las siguientes lineas:\uespackagefancydhr

\pagestylefancy

\lhead

\chead

\rhead

\lfoot

\cfoot

\rfoot

\renewcommand\headrulewidth0.4pt

\renewcommand\footrulewidth0.4pt

geometry Establece tamanos de margenes, longitud de pagi-na y longitud y ancho de texto. Se debe incluir en el preambu-lo:\usepackage[opciones]geometry

Las opciones que puedes incluir son:

• left Da el margen izquierdo

• right Da el margen derecho

• paperwidth Para establecer el ancho del papel

• paperheith Para establecer el alto del papel

• textwidth Establece el ancho del area de escritura

• textheith Establece el alto del area de escritura

• top Margen superior

• bottom Margen inferior

amsmath En la manipulacion, estructuracion y representa-cion de formulas y expresiones matematicas.

graphicx Para insertar imagenes en formato eps (Encapsu-lated Post Script ).

amssymb Permite el acceso a muchos sımbolos matematicosusados por AMSFonts.

\Xy - pic Se usa para generar diagramas cuyos elemen-tos se pueden colocar en celdas de una matriz, necesario enel diseno de diagramas con \xymatrix . Se escribe en elpreambulo \usepackage[all]xy.

LATEX Avanzado 4


algorithm o algorithmc Permite escribir algoritmos.

caption2 Modifica el estilo de los tıtulos en figuras y tablas.

longtable y supertabular [26] Para tablas grandes queno caben en una pagina.

colortbl y color Para tablas coloreadas.

rotating y lscape Para paginas en diferente orientacion.

Makecirc o circuit Se utiliza en el diseno de circuitoselectricos y electronicos.

parallel Permite colocar textos correlacionados en dos co-lumnas.

eso - pic Imagenes en todas las hojas(marcas de agua).

enumitem Para cambiar las vinetas en las listas.

LilyPond Para escribir notas musicales.

makeidx Sirve para elaborar los ındices de materias o glo-sarios.

Otros paquetes:setspace, subfigure, pifont, wasysym, textcomp, clock, weat-her, misc, color, schedule, etc.

1.2. Escritura matematica

Iniciaremos diciendo que un ambiente o entorno, es un tro-zo de texto, formula o expresion matematica encerrado entre lassiguientes etiquetas [6], [11], [16]:

\beginambiente

TEXTO O EXPRESION MATEMATICA\endambiente

AMBIENTES:

\begindocument

TOTAL DEL TEXTO DE UN DOCUMENTO\enddocument

LATEX Avanzado 5


\begindisplaymath

TEXTO O EXPRESION MATEMATICA CENTRA-DA NO NUMERADA\enddisplaymath

Ejemplo N 1:

x5 + βx3 − δx+ 6 = 0

\begindisplaymath

x^5+\beta x^3-\delta x + 6= 0

\enddisplaymath

\beginequation

EXPRESION MATEMATICA NUMERADA\endequation

Ejemplo N 2:

d

dty + p(t)y = q(t) (1.1)

\beginequation

\frac ddt y + p(t) y = q(t)

\endequation

\beginequation*

EXPRESION MATEMATICA SIN NUMERAR\endequation*

Ejemplo N 3:

f(x) =

(x2 + 3

e2x − 1

)\beginequation*

f(x)= \left ( \frac x^2+3e^2x-1\right )

\endequation*

\beginarray

ARREGLO EN FORMA MATRICIAL\endarray

LATEX Avanzado 6


Ejemplo N 4:θn + x−n + 2 e

√x + β

2 x+ y + z 2x

sinx ln|x| a1 − b1 3 + |x|2 + α x

2uv3

√x+ 1

$\beginarraycrcr \theta _n+x^-n+2 &

e^\sqrtx+\frac

\beta2 & x+y+z &

2^x\\

\sinx & ln|x| & a_1-b_1 & 3+|x|\\

2+\alpha & \frac x2 & \frac uv3 &

\sqrt x+1

\endarray$

Ejemplo N 5: β1

β2...βn

\begindisplaymath

\left (\beginarrayc

\beta_1\\

\beta_2\\

\vdots \\

\beta_n

\endarray\right )

\enddisplaymath

Ejemplo N 6: ∣∣∣∣∣∣x11 x12 x13

x21 x22 x23

x31 x32 x33

∣∣∣∣∣∣a+ bc

\begindisplaymath

\left ( \beginarrayc

\left |\beginarrayccc

LATEX Avanzado 7


x_11 & x_12 & x_13\\

x_21 & x_22 & x_23\\

x_31 & x_32 & x_33

\endarray

\right | \\

a+b\\

c

\endarray

\right )

\enddisplaymath

\begineqnarray

CONJUNTO DE EXPRESIONES CENTRADAS YNUMERADAS\endeqnarray

Ejemplo N 7:

∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a) (1.2)

g(x) =

(e2x + x

x3 − 1

)2

(1.3)

h(x, y) = x2y + xy3 − 5 (1.4)

\begineqnarray

\int_a^b f(x) dx & = & F(b)-F(a)\\

g(x) & = &

\left (\frac e^2x+xx^3-1\right )^2\\

h(x,y)& = & x^2y+ x y^3-5

\endeqnarray

\begineqnarray*

CONJUNTO DE EXPRESIONES CENTRADAS\endeqnaray*

Ejemplo N 8:

2x+ 5y − z = 6

−x+ 3y − 9z = 4

2y − 3z = 7

LATEX Avanzado 8


\begineqnarray*

2x+5y-z & = & 6\\

-x+3y-9z & = & 4\\

2y-3z & = & 7

\endeqnarray*

Ejemplo N 9:

d

dtx = ax− bxy

d

dty = cxy − dy

\begineqnarray*

\frac ddtx & = & a x - b x y \\

\frac ddty & = & c x y -d y

\endeqnarray*

\begincases

EXPRESIONES ENTRE PARENTESIS\endcases

Ejemplo N 10:

f(x) =

x si x ≤ 1

x+ 1 si x > 1

\begindisplaymath

f(x)=

\begincases

x & \textsi\quad x\leq 1\\

x+1 & \text si\quad x > 1

\endcases

\enddisplaymath

Expresiones matematicas en general

Ejemplo N 11:

x2 + x− 1 6= −y + 1

LATEX Avanzado 9


\begindisplaymath

\widehatx^2+x-1\neq \widehat -y+1

\enddisplaymath

Ejemplo N 12: ∫ +∞

0e−xdx = 1

\begindisplaymath

\boxed\int_0^+\inftye^-xdx=1

\enddisplaymath

Ejemplo N 13:

α+β←−−−yn+1

x2−e−x←−−−−−∑Γ

\begindisplaymath

\xleftarrow[y_n+1]\alpha + \beta\quad

\xleftarrow[\sum \Gamma

]x^2-e^-x

\enddisplaymath

Ejemplo N 14:

N Z Q I R

\begindisplaymath

\mathbbN \quad Z \quad Q \quad I \quad R

\enddisplaymath

Ejemplo N 15:

1

1 +1

1 +1

1 +1

x

\begindisplaymath

\cfrac11+\cfrac 11+\cfrac 1

1+\cfrac1x

\enddisplaymath

LATEX Avanzado 10


Ejemplo N 16: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|x|∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣\Biggl \lvert \Bigl \lvert \biggl

\lvert \bigl \lvert \lvert x

\rvert \bigr \rvert \biggr \rvert

\Bigr \rvert \Biggr \rvert

\enddisplaymath

Ejemplo N 17:

(ϑ

%)(ϑ%

) (ϑ

%

) (ϑ%

) (ϑ

%

)

\begindisplaymath

(\cfrac\vartheta\varrho)\quad \bigl

(\cfrac\vartheta\varrho\bigr )\quad

\biggl(\cfrac\vartheta\varrho\biggr )\quad

\Bigl(\cfrac\vartheta\varrho\Bigr )\quad

\Biggl(\cfrac\vartheta\varrho\Biggr )

\enddisplaymath

Ejemplo N 18: ∣∣∣∣∫ 1

0g(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ 1

0|g(x)| dx

\begindisplaymath

\left \lvert \int_0^1g(x)dx \right

\rvert \leq \int_0^1\left

\lvert g(x) \right \rvert dx

\enddisplaymath

Ejemplo N 19:

Consideremos la matriz jacobiana(α−λ βθ φ−λ

). . .

Consideremos la matriz jacobiana

$\left (\beginsmallmatrix

\alpha-\lambda & \beta\\

\theta & \phi - \lambda

\endsmallmatrix\right )$ \ldots

LATEX Avanzado 11


Ejemplo N 20:Modelos poblacionales de Reaccion-Difusion:

∂P

∂t= D

∂2P

∂x2+ rP (1.5)

∂P

∂t= D

∂2P

∂x2+ rP (1− P/K) (1.6)

\textbfModelos poblacionales de

Reacci\’on-Difusi\’on:

\beginalign

\cfrac\partial P\partial t=

D\cfrac\partial^2P\partial

x^2 + rP\\

\cfrac\partial P\partial t=

D\cfrac\partial^2P\partial

x^2 + rP(1-P/K)

\endalign

Ejemplo N 21:

y′ − exy = x y′′ + xy′ = 3 (1.7)

y′′ = 0 y(IV ) − xy = 1 (1.8)

\beginflalign

y’-e^xy & = x & y’’+ xy’ & = 3\\

y’’ & = 0 & y^(IV)- xy & = 1

\endflalign

Ejemplo N 22:

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a0 = 0 (1.9)

f(x)dx = g(y)dy (1.10)

\begingather

y^(n) + a_n-1y^(n-1) +

\cdots + a_0=0\\

f(x)dx=g(y)dy

\endgather

LATEX Avanzado 12


Ejemplo N 23:

(α+ β)x3 +θ

εx2 + (α− 2β + ε)x

+ (β − ε) = (3 + 2β)x3 − (α+ 6β)x2

+ (4− α+ ε)x− (ε+ α+ 1) (1.11)

\beginmultline

(\alpha + \beta)x^3 +

\frac \theta\epsilon x^2 +

(\alpha - 2\beta + \epsilon) x\\

+ (\beta - \epsilon)=(3+2\beta)x^3-

(\alpha + 6\beta) x^2\\

+ (4-\alpha + \epsilon) x -

(\epsilon + \alpha +1)

\endmultline

Ejemplo N 24:

x ≡ y mod n

\begindisplaymath

x\equiv y \mod n

\enddisplaymath

Ejemplo N 25: ∫∂Ω

f(x) =

∫∂Ωf(x)dx

\begindisplaymath

\int \limits_\partial \Omegaf(x)=

\int_\partial \Omegaf(x)dx

\enddisplaymath

Ejemplo N 26:

∞∑n=1

n2 + 1

n=

∞∑n=1

n2 + 1

n

LATEX Avanzado 13


\begindisplaymath

\sum \limits_n=1^\infty

\cfrac n^2+1n =

\sum_n=1^\infty\cfrac n^2+1n

\enddisplaymath

Ejemplo N 27:

∑1≤i≤50

i<j<20

Q(i, j)

\begindisplaymath

\sum_\substack 1\leq i \leq 50 \\[0.3cm]

i< j < 20 Q(i,j)

\enddisplaymath

\beginabstract

RESUMEN DE UN ARTICULO\endabstract

\beginslide

CONTENIDO DE CADA TRANSPARENCIA\endslide

\beginminipage

CONTENIDO DE UNA MINIPAGINA\endminipage

Ejemplo N 28:

LATEX Avanzado 14


Tamano de letras

• Colombia

• Colombia

• Colombia

• Colombia

• Colombia

• Colombia

• Colombia

Codigos

• \tiny

• \small

• \large

• \Large

• \LARGE

• \huge

• \Huge

\beginminipage[l]3in

\text Tama\~no de letras

\beginitemize

\item \tiny Colombia

\item \small Colombia

\item \large Colombia

\item \Large Colombia

\item \LARGE Colombia

\item \huge Colombia

\item \Huge Colombia

\enditemize

\endminipage

\beginminipage[r]2in

\quad \textC\’odigos

\beginitemize

\item \verb|\tiny|

\item \verb|\small|

\item \verb|\large|

\item \verb|\Large|

\item \verb|\LARGE|

\item \verb|\huge|

\item \verb|\Huge|

\enditemize

\endminipage

Ejemplo N 29:

LATEX Avanzado 15


Tipos de letras

• Colombia: Redonda

• Colombia: De maquina

• Colombia: Media

• Colombia: Vertical

• Colombia: Inclinada

• Colombia: Resaltada

• Colombia: Sin linea de pie

• Colombia: Negrita

• Colombia: Italica

• Colombia: Versalita

Codigos

• \textrm

• \textt

• \textmd

• \textup

• \textsl

• \emph

• \textsf

• \textbf

• \textit

• \textsc


\text Tipos de letras

\beginitemize

\item \textrm Colombia: Redonda

\item \texttt Colombia: De m\’aquina

\item \textmd Colombia: Media

\item \textup Colombia: Vertical

\item \textsl Colombia: Inclinada

\item \emph Colombia: Resaltada

\item \textsf Colombia: Sin linea de pie

\item \textbf Colombia: Negrita

\item \textit Colombia: It\’alica

\item \textsc Colombia: Versalita

\enditemize

\endminipage


\quad \textC\’odigos

\beginitemize

\item \verb|\textrm|

\item \verb|\textt|

\item \verb|\textmd|

\item \verb|\textup|

\item \verb|\textsl|

LATEX Avanzado 16


Figura 1.2: Superficie en R3 [43].

\beginfigure[h]

\centering


fotosuperficie\\

\captionSuperficie en

$R^3$ ~\citewT00.

\endfigure

\beginverse

VERSOS DE UN POEMA\endverse

Ejemplo N 32:

A LA DIVINA PROPORCION [35]Rafael Alberti

A ti, maravillosa disciplina,media, extrema razon de la hermosura,

que claramente acata la clausura

LATEX Avanzado 18


viva en la malla de tu ley divina.A ti, carcel feliz de la retina,

aurea seccion, celeste cuadratura,misteriosa fontana de mesura

que el Universo armonico origina.A ti, mar de los suenos, angulares,flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un compas ardiente.Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporcion de oro.

\begincenter

\textbfA LA DIVINA PROPORCION ~\citehW04\\

\small Rafael Alberti

\endcenter

\beginverse

\begincenter

A ti, maravillosa disciplina,\\

media, extrema raz\’on de la hermosura,\\

que claramente acata la clausura\\

viva en la malla de tu ley divina.\\

A ti, c\’arcel feliz de la retina,\\

\’aurea secci\’on, celeste cuadratura,\\

misteriosa fontana de mesura\\

que el Universo arm\’onico origina.\\

A ti, mar de los sue\~nos, angulares,\\

flor de las cinco formas regulares,\\

dodecaedro azul, arco sonoro.\\

Luces por alas un comp\’as ardiente.\\

Tu canto es una esfera transparente.\\

A ti, divina proporci\’on de oro.

\endcenter

\endverse

\beginenumerate

LISTADO NUMERADO\endenumerate

\beginitemize

LISTADO CON VINETAS

LATEX Avanzado 19


\enditemize

Ejemplo N 33:

• \!: Disminuye un espacio

• \: Espacio muy pequeno

• \_\sqcup: Espacio mediano

• \left \right: Amplian los signos de agrupacion aizquierda y derecha

• \linespread1.3: Se coloca en el preambulo para tex-tos a espacio y medio

• \linespread1.6: Para textos a doble espacio

• \vspacelongitud: Aumenta la separacion entre dosparrafos

• \vspace*longitud: Separacion al final de pagina

• \\[ ]: Separacion entre reglones

• \bibitemmarcador: Para introducir cada bibliografıa

• \vec: Para indicar vectores ~A

$ \vec A $

• \frac......: Para escribir fraccionesx2+ex

cosx

$\frac x^2 + e^x\cos x$

• \int_...^...: Integral definida∫ 2π0 f(x)dx

$ \int_0^2\pi f(x)dx$

• ...\choose...: Coeficiente binomial(3

x+1

)$3 \choose x+1$

• \sum_...^...: Suma∑ni=1 i

3

$\sum_i=1^n i^3$

• \\: Salto de lınea

• \newline: Salto de lınea

LATEX Avanzado 20


• \\*: Salto de lınea, sin salto de pagina

• \newpage: Comienza nueva pagina

• \linebreak[n]: Salto de n espacios de lınea

• \nolinebreak[n]: Ningun salto de lınea

• \pagebreak[n]: Salto de n pagina

• \nopagebreak[n]: Ningun salto de n paginas

• \includefichero: Incluye un fichero en el documen-to cuando este es extenso

• \includeonlyfichero1,fichero2,...: Para incluirsolo el contenido de algunos ficheros en el documento

• \mbox...: Para mantener varias palabras en el mis-mo renglon

• \labelmarcador \refmarcador

\pagerefmarcador: Producen referencias cruzadas

• \footnote...: Texto de la nota al pie

• \footnote[n\’umero]...: Texto de la nota al pie

• \frontmatter \mainmatter \backmatter: Cambian losencabezados de los capitulos y la numeracion de laspaginas

•  $ $: Para introducir expresiones matematicasen un texto

• \, \quad \qquad \: \; \_\sqcup \! : Espaciosmatematicos

• \quote : Para citas pequenas, ejemplos y resaltar ora-ciones

• \quotation : Para citas mayores

• \caption ...: Tıtulo de la tabla o figura

• \listoffigures : Indice de figuras

• \listoftables : Indice de tablas

• \clearpage : Ordena colocar todos los objetos flotan-tes en cola

Ejemplo N 34:Tipos matematicos:

• \mathcal...

R

LATEX Avanzado 21


• 5cm

• 5cm

• 5cm

• 5cm

• 5cm

• 5cm

\beginenumerate

\item 1cm \rule1cm1pt





\beginitemize







\enditemize

\endenumerate

\begindescription

LISTADO DE DESCRIPCIONES\enddescription

Ejemplo N 36:

Puntos inferiores: \ldots

Un modelo matematico es . . .

Puntos al centro: \cdots

x1 + x2 + · · ·+ xn

Puntos en diagonal: \ddots

x. . .Puntos verticales: \vdots

x+ y...z

LATEX Avanzado 23


\begindescription

\item [Puntos inferiores:] \verb|\ldots |\\

Un modelo matem\’atico es \ldots

\item [Puntos al centro:] \verb|\cdots |\\

$x_1+x_2+\cdots + x_n$

\item [Puntos en diagonal:] \verb|\ddots |\\

$x_ \ddots $

\item [Puntos verticales:] \verb|\vdots |\\

$\beginarrayc

x+y \\

\vdots \\

z

\endarray$

\enddescription

Ejemplo N 37:

Lınea sobre expresion : \overline

x2 + β + ξ

Lınea bajo expresion : \underline

El Modelo Matematico Presa - Depredador

Lınea sobre y bajo una expresion : \overline

\underline

x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn

LLave horizontal sobre expresion : \overbrace︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷x2 +β+ξ

LLave horizontal bajo expresion : \underbrace︷︸︸︷x1 +

︷︸︸︷x2 +x3 + · · ·+ xn︸︷︷︸

\begindescription

\item [L\’inea sobre expresi\’on :]

\verb|\overline|\\

$\overline\overline \overlinex^2+

\beta + \xi $

\item [ L\’inea bajo expresi\’on :]

LATEX Avanzado 24


\verb|\underline|\\

$\underline\text

El Modelo Matem\’atico Presa - Depredador$\\

\item [L\’inea sobre y bajo una expresi\’on :]

\verb|\overline|\\

\verb|\underline|\\

$\overlinex_1+\overlinex_2+

\underlinex_3+\cdots + x_n$

\item [LLave horizontal sobre expresi\’on :]

\verb|\overbrace|\\

$\overbrace\overbrace\overbracex^2

+\beta + \xi $

\item [LLave horizontal bajo expresi\’on :]

\verb|\underbrace|\\

$\overbracex_1+\overbracex_2+

\underbracex_3+\cdots +

x_n$

\enddescription

Ejemplo N 38:Tamano de expresiones matematicas:

\displaystyle

f(x) =ex +

√x2 + lnx

sin(2π + x)

\textstyle

f(x) =ex +

√x2 + lnx

sin(2π + x)

\scriptstyle

f(x) =ex+√x2+lnx

sin(2π+x)

\scriptscriptstyle

f(x) =ex+√x2+ln x

sin(2π+x)

\textbfTama\~no de expresiones matem\’aticas:

\begindescription

LATEX Avanzado 25


\item \verb|\displaystyle |

\begindisplaymath

f(x)= \frac \displaystyle e^x+

\sqrtx^2+\ln x\displaystyle

\sin(2\pi + x)

\enddisplaymath

\item \verb|\textstyle |

\begindisplaymath

f(x)=\frac \textstyle e^x+\sqrtx^2+

\ln x\textstyle

\sin(2\pi + x)

\enddisplaymath

\item \verb|\scriptstyle |

\begindisplaymath

f(x)=\frac \scriptstyle e^x+

\sqrtx^2+\ln x\scriptstyle

\sin(2\pi + x)

\enddisplaymath

\item \verb|\scriptscriptstyle |

\begindisplaymath

f(x)=\frac \scriptscriptstyle e^x+

\sqrtx^2+\ln

x\scriptscriptstyle \sin(2\pi + x)

\enddisplaymath

\enddescription

Ejemplo N 39:

TABLA DE SIMBOLOS PARA VINETAS

\item \textbfTABLA DE SIMBOLOS PARA VI\~NETAS\\

\begintable[h]

\caption Simbolos para vi\~netas en \LaTeX

\begindisplaymath

\begintabular|l|l|l|l|l|l|

\hline \hline 33 \quad \ding33 &

34 \quad \ding34 & 35 \quad

\ding35 & 36 \quad \ding36 & 37

\quad \ding37 & 38 \quad

\ding38 \\

\hline 40 \quad \ding40 & 41 \quad

\ding41 & 42 \quad \ding42

LATEX Avanzado 26


& 43 \quad \ding43 & 44 \quad \ding44 &

45 \quad \ding45 \\



& 50 \quad \ding50 & 51 \quad

\ding51 & 52 \quad \ding52\\

\hline 54 \quad \ding54 & 55

\quad \ding55 & 56 \quad \ding56


\ding58 & 59 \quad \ding59 \\



& 64 \quad \ding64 & 65


\ding66 \\

\hline 68 \quad \ding68 &

69 \quad \ding69 & 70 \quad \ding70

& 71 \quad \ding71 &

72 \quad \ding72 &

73 \quad \ding73\\




\ding79 & 80 \quad \ding80 \\




\ding86 & 87 \quad \ding87\\




\ding94 & 95 \quad

\ding95\\



& 100 \quad \ding100 &

101 \quad \ding101 &

102 \quad \ding102 \\


\ding105 & 106 \quad

\ding106 & 107 \quad \ding107 & 108


\ding109 \\



\ding113 & 114 \quad \ding114 & 115

LATEX Avanzado 27



\ding116 \\



\ding120 & 121 \quad \ding121 & 122

\quad \ding122 &123 \quad

\ding123 \\



\ding161 & 162 \quad \ding162 & 163

\quad \ding163 &

164 \quad \ding164 \\



\ding168 & 169 \quad \ding169 & 170


\ding171\\



\ding175 & 176 \quad \ding176 & 177

\quad \ding177 &

179 \quad \ding179\\



\ding182 & 183 \quad \ding183 & 184


\ding185\\



\ding189 & 190 \quad \ding190 & 191


\ding192 \\



\ding196 & 197 \quad \ding197 & 198

\quad \ding198 &199 \quad

\ding199 \\



\ding203 & 204 \quad \ding204 & 205

\quad \ding205 &

206 \quad \ding206 \\



\ding210 & 211 \quad \ding211 & 212


LATEX Avanzado 28


\ding213 \\



\ding217 & 218 \quad \ding218 & 219


\ding220 \\



\ding224 & 225 \quad \ding225 & 226

\quad \ding226 &

227 \quad \ding227 \\



\ding231 & 232 \quad \ding232 & 233


\ding234 \\



\ding238 & 239 \quad \ding239 & 241


\ding242\\



\ding246 & 247 \quad \ding247 & 248

\quad \ding248 &

249 \quad \ding249\\


\ding46 & 53 \quad

\ding53 & 60 \quad \ding60 & 67 \quad

\ding67 & 74 \quad

\ding74\\

\hline 81 \quad\ding81 & 88 \quad \ding88

& 96 \quad\ding96 &

103 \quad \ding103 & 110 \quad \ding110

& 117 \quad \ding117\\

\hline \hline

\endtabular

\enddisplaymath

\endtable

EJEMPLOS DE COLORES Y VINETAS

Ejemplo N 40:

• EpidemiologıaLATEX Avanzado 29


• Modelo Matematico• Susceptible• Infeccioso• Inmune• Removido• Portador• Virus• Antıgeno• Patogeno• Umbral Epidemico• R0• Modelo SIR• Modelo SIS• Model SEIR

\beginitemize

\item \textcolor[rgb]1,0,0

\Huge Epidemiolog\’ia

\item \textcolor[rgb].8,0,0

\Huge Modelo Matem\’atico

\item \textcolor[rgb].6,1,0\Huge Susceptible

\item \textcolor[rgb].4,0,1\Huge Infeccioso

\item \textcolor[rgb].2,0,1\Huge Inmune

\item \textcolor[rgb]0,1,0\Huge Removido

\item \textcolor[rgb]0,.8,0\Huge Portador

\item \textcolor[rgb]0,.6,0\Huge Virus

\item \textcolor[rgb]0,.4,1\Huge Ant\’igeno

\item \textcolor[rgb]0,.2,1\Huge Pat\’ogeno

\item \textcolor[rgb]0,0,1

\Huge Umbral Epid\’emico

\item \textcolor[rgb]0,0,.8\Huge

$R_0$

\item \textcolor[rgb]0,0,.6\Huge Modelo SIR

LATEX Avanzado 30


\item \textcolor[rgb]0,0,.4\Huge Modelo SIS

\item \textcolor[rgb]0,0,.2\Huge Model SEIR

\enditemize

Ejemplo N 41:

Modelos Epidemiologicos+ Modelos SIR

¬ Modelo SIRS Modelo SEIR® Modelo SEIRS¯ Modelo SIR1 . . . RnS

+ Modelos SIS• Modelo SEIS• Modelo SI1I2S• Modelo SEI1I2S

+ Modelo SI

\textcolor[rgb]1,0,0 \Huge Modelos

Epidemiol\’ogicos

\begindinglist43

\item \textcolor[rgb].3,.6,.9

\huge Modelos SIR

\begindingautolist172


\huge Modelo SIRS


\huge Modelo SEIR


\huge Modelo SEIRS


\huge Modelo SIR_1\ldots R_nS

\enddingautolist


\huge Modelos SIS

\beginitemize


\huge Modelo SEIS


LATEX Avanzado 31


\huge Modelo SI_1I_2S


\huge Modelo SEI_1I_2S

\enditemize


\huge Modelo SI

\enddinglist

Ejemplo N 42:

Lıneas con sımbolos

+ Lıneas con TarotÀ « « « « « « « « « « « « « « « «

Á ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª ª

Â © © © © © © © © © © © © © © © ©

Ã ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

+ Lıneas con tijerasJ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

K " " " " " " " " " " " " " " " "

L # # # # # # # # # # # # # # # #

M $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

+ Lıneas con estrellasH I I I I I I I I I I I I I I I I

I J J J J J J J J J J J J J J J J

J K K K K K K K K K K K K K K K K

K L L L L L L L L L L L L L L L L

+ Lıneas con flechasD ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø

E ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù

F û û û û û û û û û û û û û û û û

G ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü

+ Lıneas con lapices( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

) . . . . . . . . . . . . . . . .

* / / / / / / / / / / / / / / / /

+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ Lıneas con manos

LATEX Avanzado 32


? * * * * * * * * * * * * * * * *

@ + + + + + + + + + + + + + + + +

A - - - - - - - - - - - - - - - -

B , , , , , , , , , , , , , , , ,

+ Lıneas con crucesb < < < < < < < < < < < < < < < <

c = = = = = = = = = = = = = = = =

d > > > > > > > > > > > > > > > >

e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

+ Lıneas con floresv ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `

w c c c c c c c c c c c c c c c c

x d d d d d d d d d d d d d d d d

y e e e e e e e e e e e e e e e e

Ejemplo N 42:\\

\begincenter

\Large L\’ineas con s\’imbolos

\endcenter

\begindinglist43


\huge L\’ineas con con Tarot


\item \textcolor[rgb].9,.1,.2\dingfill171




\enddingautolist


\huge L\’ineas con tijeras






\enddingautolist


\huge L\ineas con estrellas






LATEX Avanzado 33


\enddingautolist


\huge L\’ineas con flechas






\enddingautolist


\huge L\’ineas con l\’apices






\enddingautolist


\huge L\’ineas con manos






\enddingautolist


\huge L\’ineas con cruces






\enddingautolist


\huge L\’ineas con flores






\enddingautolist

\enddinglist

LATEX Avanzado 34


Ejemplo N 43:

Miscelanea de sımbolos:

l b 6 C AB 7 D 9

\begincenter

\textbfMiscelanea de s\’imbolos:\\[15pt]

\textleaf \quad \textborn \quad

\phone \quad \kreuz \quad

\ding40\quad \sun \quad \eighthnote \\

\halfnote \quad \twonotes

\quad

\fullnote \quad \quarternote \quad

\davidsstar \quad \hexstar\\

\varhexstar \quad \hexagon \quad

\pentagon \quad \varhexagon \quad

\female \quad \male\\[15pt]

\endcenter

Ejemplo N 44:

\Estilo de reloj =n Con Borde Sin Borde

0 ²J0 ²J1 ²J10 ²J12 ²J20 ²J23 ²J30 ²J3

\begincenter

\begintabularccc

\texttt\char92 Estilo de reloj =\textitn &

Con Borde & Sin Borde\\

0 & \clockfont\ClockStyle=0

\ClockFrametrue\clock1010

& \clockfont\ClockStyle=0

\ClockFramefalse\clock1010\\





LATEX Avanzado 35









\ClockFramefalse\clock1010

\endtabular

\endcenter

Ejemplo N 45:

El dengue es una enfermedadviral

transmitida por el mosquito

Aedes aegypti\textcolor[rgb].8,.6,.4\Huge El dengue es una

enfermedad viral\\[20pt]

transmitida por el mosquito \\[20pt]

\textbf\textitAedes aegypti

Ejemplo N 46:El dengue es una enfermedad viral

transmitida por el mosquito Aedes aegypti

\textcolor[rgb].2,.4,.8\tiny El dengue es una

enfermedad viral\\[10pt]



Ejemplo N 47:

El dengue es una enfermedad viraltransmitida por el mosquito Aedes aegypti

\beginspacing0.5


LATEX Avanzado 36


enfermedad viral\\



\endspacing

Ejemplo N 48:

El dengue es una enfermedad viral

transmitida por el mosquito Aedes aegypti

\beginspacing4


enfermedad viral\\



\endspacing

\beginverbatim

PROGRAMA DEL TEXTO GENERADO\endverbatim

\beginflushleft

JUSTIFICACION A LA IZQUIERDA\endflushleft

Ejemplo N 49:

De los numeros naturalessolo pocos se destacan,particularmente notablesque a otros numeros opacan.

\beginflushleft

De los n\’umeros naturales\\

LATEX Avanzado 37


s\’olo pocos se destacan,\\

particularmente notables\\

que a otros n\’umeros opacan.

\endflushleft

\beginflushright

JUSTIFICACION A LA DERECHA\endflushright

Ejemplo N 50:

De los numeros naturalessolo pocos se destacan,

particularmente notablesque a otros numeros opacan.

\begincenter

JUSTIFICACION A LA DERECHA\endcenter

Ejemplo N 51:

De los numeros naturalessolo pocos se destacan,

particularmente notablesque a otros numeros opacan.

\begintable

INCLUSION DE TABLA\endtable

Ejemplo N 52:

\begintable[h]

\caption C\’odigos de simbolos y funciones

~\citebT98,~\citegG96,~\citelL94

\begindisplaymath

\begintabular|l|r|l|r|

\hline

codigo & simbolo & codigo & simbolo \\

\hline \hline \verb|\sum| & $\sum $ &

\verb|\det| & $ \det $ \\

\hline \verb|\prod| & $\prod $ &

LATEX Avanzado 38


INCLUSION DE TEOREMA\endteorema

Ejemplo N 53:

Teorema 1. Sea ϕ : Ω ⊂ Rn −→ Rn un difeomorfismo regularC1 y sea f : ϕ(Ω) −→ R medible(Lebesgue).Si f ≥ 0 o f ∈ L1(dx). Entonces:∫

ϕ(Ω)

f(x)dx =

∫Ω

(f ϕ(x)).|J(x)|dx

\newtheoremteoTeorema

\beginteo

Sea $\varphi : \Omega \subset

\mathbfR^n \longrightarrow

\mathbfR^n$ un difeomorfismo

regular $C^1$ y sea

$f:\varphi(\Omega)\longrightarrow

\mathbfR$ medible(Lebesgue).\\

Si $f\geq 0$ \’o $f\in L^1(dx)$.

Entonces:\\\\

\begindisplaymath

\int_\varphi(\Omega) f(x)dx=

\int_\Omega(f\circ \varphi

(x)).|J(x)|dx

\enddisplaymath

\endteo

\begincorolario

INCLUSION DE COROLARIO\endcorolario

Ejemplo N 54:

Corolario 1. Sea (X, d) un espacio metrico y C ⊂ X cerrado;entonces cada funcion numerica continua f : C −→ R tiene unaprolongacion numerica continua f de X en R.

\begincor

Sea $(X,d)$ un espacio m\’etrico y

$C\subset X$ cerrado;entonces

cada funci\’on num\’erica continua

$f : C\longrightarrow \mathbf

LATEX Avanzado 40


\overline R$ tiene una prolongaci\’on

num\’erica continua $

\overline f$ de $X$ en $\mathbf R$.

\endcor

\begindefinicion

INCLUSION DE UNA DEFINICION\enddefinicion

Ejemplo N 55:

Definicion 1. Sea (X, d) un espacio seudometrico, un subconjun-to A ⊂ X se llama cerrado si A = A.

\newtheoremleyDefinici\’on

\beginley

Sea $(X,d)$ un espacio seudom\’etrico,

un subconjunto $A\subset X$

se llama cerrado si $A=\overline A$.

\endley

Ejemplo N 56:

Definicion 2. Se dice que µ es una medida de Borel en R siesta definida sobre la σ−algebra de los conjuntos de Borel BR.

\newtheoremley1Definici\’on

\beginley

Se dice que $\mu$ es una

\textbfmedida de Borel en $R$ si est\’a

definida sobre la $\sigma-$\’algebra

de los conjuntos de Borel

$B_R$.

\endley

\beginthebibliography

INCLUSION DE LA BIBLIOGRAFIA\endthebibliografia

LATEX Avanzado 41


Cuadro 1.1: Simbolos para vinetas en LATEX

33 ! 34 " 35 # 36 $ 37 % 38 &

40 ( 41 ) 42 * 43 + 44 , 45 -

47 / 48 0 49 1 50 2 51 3 52 4

54 6 55 7 56 8 57 9 58 : 59 ;

61 = 62 > 63 ? 64 @ 65 A 66 B

68 D 69 E 70 F 71 G 72 H 73 I

75 K 76 L 77 M 78 N 79 O 80 P

82 R 83 S 84 T 85 U 86 V 87 W

90 Z 91 [ 92 \ 93 ] 94 ^ 95 _

97 a 98 b 99 c 100 d 101 e 102 f

104 h 105 i 106 j 107 k 108 l 109 m

111 o 112 p 113 q 114 r 115 s 116 t

118 v 119 w 120 x 121 y 122 z 123

125 126 ~ 161 ¡ 162 ¢ 163 £ 164 ¤

166 ¦ 167 § 168 ¨ 169 © 170 ª 171 «

173 174 ® 175 ¯ 176 ° 177 ± 179 ³

180 ´ 181 µ 182 ¶ 183 · 184 ¸ 185 ¹

187 » 188 ¼ 189 ½ 190 ¾ 191 ¿ 192 À

194 Â 195 Ã 196 Ä 197 Å 198 Æ 199 Ç

201 É 202 Ê 203 Ë 204 Ì 205 Í 206 Î

208 Ð 209 Ñ 210 Ò 211 Ó 212 Ô 213 Õ

215 × 216 Ø 217 Ù 218 Ú 219 Û 220 Ü

222 Þ 223 ß 224 à 225 á 226 â 227 ã

229 å 230 æ 231 ç 232 è 233 é 234 ê

236 ì 237 í 238 î 239 ï 241 ñ 242 ò

244 ô 245 õ 246 ö 247 ÷ 248 ø 249 ù

39 ' 46 . 53 5 60 < 67 C 74 J

81 Q 88 X 96 ` 103 g 110 n 117 u

LATEX Avanzado 42


Cuadro 1.2: Codigos de simbolos y funciones [6], [11], [16]

codigo simbolo codigo simbolo

\sum∑

\det det

\prod∏

\exp exp

\int∫

\sup sup

\cos cos \inf ınf

\ker ker \tan tan

\sin sin \lim lım

\lg lg \hom hom

\ln ln \liminf lım inf

\cot cot \limsup lım sup

\sec sec \partial ∂

\Re < \spadesuit ♠\emptyset ∅ \pm ±\infty ∞ \div ÷\nabla ∇ \ast ∗\triangle 4 \bullet •\forall ∀ \cap ∩\exists ∃ \cup ∪\surd

√\otimes ⊗

\bot ⊥ \vee ∨\clubsuit ♣ \wedge ∧

LATEX Avanzado 43


LATEX Avanzado 44

Capıtulo 2

Matematicas en LATEX

Este capıtulo se divide en formulaciones matematicas en lassiguientes areas:

Calculo [25]

Logica y teorıa de conjuntos [13]

Algebra lineal y algebra moderna [17], [12]

Ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferencialesparciales (EDP) y ecuaciones en diferencias [19], [24], [14],[8]

Topologıa y analisis funcional [13], [10]

Teorıa de control y optimizacion [2], [3]

Teorıa de la medida y variable compleja [20], [21]

Estadıstica y procesos estocasticos [5], [7]

2.1. Calculo

Iniciaremos con la composicion de expresiones de calculo:

Ejemplo N 57:

45


f1(x) = mx+ b (2.1)

f2(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an (2.2)

f3(x) = |x| (2.3)

f4(x) = ex (2.4)

f5(x) = coshx (2.5)

f6(x) =

x+ 1 si x ≤ 0

2 si 0 < x ≤ 5

x si x > 5

(2.6)

\begineqnarray

f_1 (x) & = & mx+b\\

f_2 (x) & = & a_0 x^n + a_1 x^n-1+

\cdots + a_n\\

f_3 (x) & = & |x|\\

f_4 (x) & = & e^x\\

f_5 (x) & = & \cosh x\\

f_6 (x) & = &

\begincases

x+1 &\text si $x\leq 0$\\

2 &\text si $0< x \leq 5$\\

x &\text si $x>5$

\endcases

\endeqnarray

Ejemplo N 58:

f(x) =x2 + ex+2 − sinx

β + 3ϕx(2.7)

g(x) =

√x3 +

√ex − 2 +

(cosx+ xe

ln |x|+ sinx

)2

(2.8)

\begineqnarray

f(x) & = & \frac x^2 + e^x+2 - \sin x

\beta + 3\varphi x\\

g(x) & = & \sqrt x^3 +

\sqrt e^x -2 + \left(\frac \cos x +

x^e\ln |x| + \sin x \right )^2

\endeqnarray

LATEX Avanzado 46


Ejemplo N 59:

lımx→+∞

ex

2 − 1

x+ sinx

3

, lımn→∞

n∑k=1

1

k2=π2

6

\beginequation*

\lim_x \rightarrow + \infty \left

\ \frac e^x^2-1x+\sin

x\right \^3 \quad, \quad

\lim_n \rightarrow \infty

\sum_k=1^n

\frac 1k^2=\frac \pi ^26

\endequation

Ejemplo N 60:

x− 1 ≥ 0 para todo x ∈ [1,+∞)

\begindisplaymath

x-1 \geq 0\qquad \textrm para todo\qquad

x\in [1,+\infty)

\enddisplaymath

Ejemplo N 61:

xnn xnn

xnn

k

\begindisplaymath

x_n_n\qquad x^n^n\qquad x_k ^n^n

\enddisplaymath

Ejemplo N 62:

1 +1

1 + 11+x

1− 1x

1 + 11x

\begindisplaymath

1+\frac 11+\frac 11+x\qquad

\frac 1-\frac 1x1+\frac

1\frac 1x

\enddisplaymath

LATEX Avanzado 47


Ejemplo N 63:(x

x+ n

)( x3+2ex

x+ 1

),

∣∣∣∣x2 + 1

x

∣∣∣∣ ,

n∏k=1

k2 + 1

k − 1

\beginequation*

\binomxx+n \binom \frac x^3+2e^xx+1

\quad,\quad \left

|\frac x^2 + 1x\right | \quad, \quad

\prod_k=1^n \left \\frac

k^2+1k-1\right \

\endequation*

Ejemplo N 64:

p2n+1 =

(1

3

)2n+1 n∑m=0

1

22m

(C2mm

)2C2m+1

2m

\beginequation*

p_2n+1=\left (\frac 13\right )^2n+1

\sum_m=0^n \frac

12^2m\left (C_m^2m\right ) ^2 C_2m^2m+1

\endequation*

Ejemplo N 65:

g(x, y) = gi =

g1

g2 =

g3

−x− η(y + 2θ1) si y < −θ1

−x+ ηy si −θ1 ≤ y ≤ θ3

−x− η(y − 2θ3) si y > θ3

\beginequation*

g(x,y)=g_i=

\begincases

g_1 & \\

g_2 & = \\

g_3 & \\

\endcases

\begincases

-x-\eta (y+2\theta_1) &

\text si $ y<-\theta_1$\\

-x+\eta y & \text si $-\theta_1

LATEX Avanzado 48


\leq y \leq \theta_3$\\

-x-\eta (y-2\theta_3) &

\text si $y>\theta_3$

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 66:

sR(N0) = lımt→∞

log

[T−1∏t=0

λp(N1)

] 1T

= lımT→∞

1

T

T−1∑t=0

log(λp(Nt))

\beginequation*

s_R (\hatN_0)=\lim_t\rightarrow \infty

\log \left (\left

[\prod_t=0^T-1 \lambda_p (\hatN_1)

\right ]^\frac

1T\right )=\lim_T\rightarrow \infty

\frac 1T

\sum_t=0^T-1 \log (\lambda_p (\hatN_t))

\endequation*

Ejemplo N 67:

f(x)def= x3 + 3x2 − 6

\beginequation*

f(x)\overset\textdef= x^3 +3x^2-6

\endequation*

Ejemplo N 68:

n︷︸︸︷x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn

\beginequation*

\overbracex_1+x_2+x_3+\cdots +x_n^n

\endequation*

Ejemplo N 69:

lım(x,y)→(0,0)y=mx

f(x, y)

LATEX Avanzado 49


\beginequation*

\undersety=mx \underset (x,y)

\rightarrow (0,0)\lim f(x,y)

\endequation*

Ejemplo N 70:

∫|x−x0|<X0

φ(x) ,

∫lım

|x−x0|<X0

φ(x) ,x

φ(x, y)dxdy

\beginequation*

\int_\vert x-x_0 \vert < X_0

\phi (x)\quad,\quad

\int \lim_\vert

x-x_0 \vert < X_0 \phi (x) \quad,\quad

\iint \phi (x,y)dxdy

\endequation*

Ejemplo N 71:

W+

µ+ + νµ

→ π+ + π0

→ κ+ + π0

e+ + νe

\begindisplaymath

\mboxW^+ \

\beginarrayl

\nearrow \raise 5pt

\hbox $\mu^+ +\nu_\mu$\\

\rightarrow

\pi ^+ +\pi^0 \\ [5pt]\\

\rightarrow \kappa^+ + \pi^0 \\

\searrow \lower 5pt

\hbox $\mathrme^+ + \nu_\scriptstyle

\mathrme$

\endarray

\enddisplaymath

LATEX Avanzado 50


Ejemplo N 72:

χ+

βε+π

→λ+ θ++

−

222

\begindisplaymath

\mbox$\chi$^+ \

\beginarrayl

\nearrow \raise 5pt

\hbox $\beta^\epsilon + \pi$\\

\rightarrow

\overset \circ \overset \circ\lambda +

\theta_-^++ \\ [5pt]\\

\searrow \lower 5pt \hbox $2^2^2$

\endarray

\enddisplaymath

Ejemplo N 73:

Pnn

P11 P21

P22

→ P21 P23

P24

P31

P25

P26

\begindisplaymath

\mbox$P_nn$ \

\beginarrayll

\nearrow \raise 5pt \hbox $P_11$

\begin arrayl \nearrow

\raise 5pt \hbox $P_21$\\

\searrow \lower 5pt \hbox $P_22$\\ [5pt]

\endarray\\

\rightarrow \ P_21 \begin arrayl

\nearrow \raise 5pt

\hbox $P_23$ \\

\searrow \lower 5pt \hbox $P_24$\\ [5pt]

LATEX Avanzado 51


\endarray\\

\searrow \lower 5pt \hbox $P_31$

\beginarrayl

\nearrow \raise

5pt \hbox $P_25$\\

\searrow \lower 5pt \hbox $P_26$

\endarray

\endarray

\enddisplaymath

2.2. Teorıa de conjuntos y logica

En esta seccion se mostrara la composicion de diferentes ex-presiones de la teorıa de conjuntos y logica.

Ejemplo N 74:

\beginequation*

\begincases

A\subseteq B \quad \wedge \quad B\subseteq A

\Rightarrow A=B\\

A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\\

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\

f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)

\endcases

\endequation*A ⊆ B ∧ B ⊆ A⇒ A = B

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ CA ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B)

Ejemplo N 75:

f(∪A : A ∈ C) = ∪f(A) : A ∈ C (2.9)

f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B) (2.10)

\begineqnarray

f(\cup \A: A\in \textitC\) & =

& \cup \f(A):A\in

LATEX Avanzado 52


\textitC\\\

f^-1(A\cap B) & = & f^-1(A)\cap f^-1(B)

\endeqnarray

Ejemplo N 76:

f : X −→ Y ∧ g : Y −→ Z =⇒(g f)(A) = g(f(A)) para A ⊆ X(g f)−1(B) = f−1(g−1(B)) donde B ⊆ Z

\begindisplaymath

f:X\longrightarrow Y\quad \wedge \quad

g:Y\longrightarrow Z

\Longrightarrow

\enddisplaymath

\begindisplaymat

\begincases

(g\circ f)(A)=g(f(A)) & \textpara

$A\subseteq X$\\

(g\circ f)^-1(B)=f^-1(g^-1(B)) &

\textdonde $B\subseteq Z$

\endcases

\enddisplaymath

Ejemplo N 77:

| ∪ (Ij | j ∈ J)| < m (2.11)

A = x ∈ X | x ∈ Xi para algun i ∈ I (2.12)

〈x, y〉 ≤ 〈x1, y1〉 ⇔ x < x1 ∨ x = x1 ∧ y ≤ y1 (2.13)

\begineqnarray

|\cup (I_j \mid j\in J )|< m\\

A=\x \in X \mid x \in X_i \quad

\textpara alg\’un $i\in I$\\\

\langle x,y \rangle \leq

\langle x_1,y_1\rangle

\Leftrightarrow

x<x_1 \vee x=x_1 \wedge y\leq y_1

\endeqnarray

LATEX Avanzado 53


Ejemplo N 78: x = x ∧ (y ∨ z)

= (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)= y ∨ z

\beginequation*

\begincases

x & = x\wedge (y\vee z)\\

& = (x\wedge y)\vee (x \wedge z)\\

& = y \vee z

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 79:

∀x ∈ K , F (x) ∩ TK(x) 6= ∅

\beginequation*

\forall x \in K \quad,\quad F(x)

\cap T_K (x) \neq \emptyset

\endequation*

2.3. Algebra lineal y moderna

Se daran algunos ejemplos de diferentes tipos de expresionesalgebraıcas y sus respectivos programas.

Ejemplo N 80:

(α

ω + ε

),

(−13α

), J(X) =

x1

x2

x3...

\begindisplaymath

\beginpmatrix

\alpha & \\

\omega +\epsilon &

\endpmatrix

\quad,\quad

\beginpmatrix

LATEX Avanzado 54


-1 &\\

3\alpha &

\endpmatrix

\quad, \quad J(X)=

\beginpmatrix

x_1 &\\

x_2 &\\

x_3 &\\

\vdots

\endpmatrix

\enddisplaymath

Ejemplo N 81:

L = span

(x2

1

),

(xy0

),

(y2

1

)\beginequation*

L=span \left \

\beginpmatrix

x^2 \\

1 \\

\endpmatrix

\quad,\quad

\beginpmatrix

x y \\

0 \\

\endpmatrix

\quad,\quad

\beginpmatrix

y^2 \\

1 \\

\endpmatrix

\right \

\endequation*

Ejemplo N 82:

det(A− λIn) = 0

\beginequation*

\det (A-\lambda I_n)=0

\endequation*

LATEX Avanzado 55


Ejemplo N 83:

DF(X) =

x11 x12 x13 · · · x1n

x21 x22 x23 · · · x2n

x31 x32 x33 · · · x3n...

...... · · ·

...xn1 xn2 xn3 · · · xnn

\beginequation*

\mathbfDF(X)=

\beginpmatrix

x_11 & x_12 & x_13 & \cdots & x_1n\\

x_21 & x_22 & x_23 & \cdots & x_2n\\

x_31 & x_32 & x_33 & \cdots & x_3n\\

\vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\

x_n1 & x_n2 & x_n3 & \cdots & x_nn

\endpmatrix

\endequation*

Ejemplo N 84:

(xy

)=

(1 −3α β

)(xy

)(2.14)

(2.15)

y(x) = σ1eλ1t

(12

)+ σ2e

−λ2t(−34

)(2.16)

(2.17)∫ t

0

(α 3τ eτ

)dτ =

(αt 3tt2/2 et

)(2.18)

(2.19)(1 2−1 α

)−1(1 0−φ α

)3

(2.20)

\begineqnarray

\beginpmatrix

\dotx \\

\doty

\endpmatrix

=

\beginpmatrix

LATEX Avanzado 56


1 & -3 \\

\alpha & \beta

\endpmatrix

\beginpmatrix

x \\

y

\endpmatrix\\\\

y(x) = \sigma_1 e^\lambda_1 t

\beginpmatrix

1 \\

2

\endpmatrix

+\sigma_2 e^-\lambda_2 t

\beginpmatrix

-3 \\

4

\endpmatrix\\\\

\int_0^t

\beginpmatrix

\alpha & 3 \\

\tau & e^\tau

\endpmatrix

\mathrmd\tau =

\beginpmatrix

\alpha t & 3t \\

t^2/2 & e^t

\endpmatrix\\\\

\beginpmatrix

1 & 2 \\

-1 & \alpha

\endpmatrix

^-1

\beginpmatrix

1 & 0 \\

-\phi & \alpha

\endpmatrix

^3

\endeqnarray

LATEX Avanzado 57


Ejemplo N 85:

J(t) =

e−t t2 + 1 3t+1

t2sin t∫

p(t)dt ln t 1− 4t3 t

cos2 t t+et

t2∑n

i=1 ti 1

t1 βt xt (t+ 1)2

\beginequation*

\mathbfJ(t)=

\beginpmatrix

e^-t & t^2 +1 &

\frac 3t+1t^2 & \sin t \\

\int p(t)\mathrmdt & \ln t &

1-4t^3 & t \\

\cos^2t & \frac t+e^tt^2 &

\sum_i=1^n t^i &

\frac 1t \\

1 & \beta t & x^t & (t+1)^2 \\

\endpmatrix

\endequation*

Ejemplo N 86:

j k

1. . .

j 0 1. . .

k 1 0. . .

1

\beginequation*

\bordermatrix& & &j& &k\cr\\

&1\cr \\

& & \ddots\cr\\

j& & & 0 & &1 \cr\\

& & & & \ddots \cr\\

k& & &1& &0\cr\\

& & & & & & \ddots \cr \\

& & & & & & &1

\endequation*

LATEX Avanzado 58


Ejemplo N 87:

−µ 0 αN ∂ψ1(m)∂mi

−αN ∂ψ1(m)∂m 0

0 −(θ + µ) −αN ∂ψ1(m)∂mi

αN ∂ψ1(m)∂m 0

0 −β(m)∂ψ2(N)∂y −ε 0 0

0 0 0 −ε ω

0 0 0 φψ3(I − a) −φ

\begindisplaymath

\left( \beginarrayccccc -\mu & 0 &

\alpha N \frac \partial

\psi_1 (\hatm )\partial m_i &

-\alpha N \frac \partial

\psi_1 (\hatm )\partial m & 0

\\\\

0 & -(\theta + \mu) & -\alpha N

\frac \partial

\psi_1(\hatm)\partial m_i &

\alpha N \frac \partial

\psi_1(\hatm)\partial m & 0

\\\\

0 & - \beta (\hatm)

\frac \partial

\psi_2(N)\partial y & -\epsilon &

0 & 0 \\\\

0 & 0 & 0 & - \epsilon & \omega \\\\

0 & 0 & 0 & \phi \psi_3(I-\hata) & -\phi

\endarray\right )

\enddisplaymath

Ejemplo N 88:

\beginsidewaysfigure

$$ J(E_1)= \left( \beginarraycccccccccc

a_11 & a_12 & a_13 & a_14& a_15 &

a_16 & a_17 &

a_18 & a_19 \cdots a_1n\\

LATEX Avanzado 59


J(E

1 )=

a11

a12

a13

a14

a15

a16

a17

a18

a19 ···a

1n

a21

a22

a23

a24

a25

a26

a27

a28

a29 ···a

2n

a31

a32

a33

a34

a35

a36

a37

a38

a39 ···a

3n

a41

a42

a43

a44

a45

a46

a47

a48

a49 ···a

4n

00

00

0a

56

a57

a58

a59 ···a

5n

00

00

0a

66

a67

a68

a69 ···a

6n

00

00

0a

76

a77

a78

a79 ···a

7n

00

00

0a

86

a87

a88

a89 ···a

8n

00

00

0a

96

a97

a98

a99 ···a

9n

......

......

......

......

...··· ...0

00

00

an

6an

7an

8an

9 ···ann

LATEX Avanzado 60


a_21 & a_22 & a_23 & a_24& a_25

& a_26 & a_27 &

a_28 & a_29 \cdots a_2n\\

a_31 & a_32 & a_33 & a_34 &

a_35 & a_36 &

a_37 & a_38 & a_39 \cdots a_3n\\

a_41 & a_42 & a_43 & a_44 & a_45 &

a_46 & a_47 &

a_48 & a_49 \cdots a_4n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_56 & a_57 & a_58 &

a_59\cdots a_5n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_66 & a_67 & a_68 &

a_69\cdots a_6n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_76 & a_77 & a_78 &

a_79\cdots a_7n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_86 & a_87 & a_88 &

a_89\cdots a_8n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_96 & a_97 & a_98

& a_99\cdots a_9n\\

\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots

& \vdots & \vdots &

\vdots & \vdots \cdots \vdots \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_n6 & a_n7 & a_n8

& a_n9\cdots

a_nn

\endarray\right )$$

\endsidewaysfigure

Ejemplo N 89:

\beginsidewaysfigure

$$ J(E_1)= \left( \beginarraycccc|cccccc

a_11 & a_12 & a_13 & a_14

& a_15 & a_16 & a_17 & a_18 &

a_19 \cdots a_1n

\\

a_21 & a_22 & a_23 & a_24 & a_25 &

a_26 & a_27 &

a_28 & a_29 \cdots a_2n

\\

a_31 & a_32 & a_33 & a_34 & a_35 &

LATEX Avanzado 61


J(E

1 )=

a11

a12

a13

a14

a15

a16

a17

a18

a19 ···a

1n

a21

a22

a23

a24

a25

a26

a27

a28

a29 ···a

2n

a31

a32

a33

a34

a35

a36

a37

a38

a39 ···a

3n

a41

a42

a43

a44

a45

a46

a47

a48

a49 ···a

4n

00

00

0a

56

a57

a58

a59 ···a

5n

00

00

0a

66

a67

a68

a69 ···a

6n

00

00

0a

76

a77

a78

a79 ···a

7n

00

00

0a

86

a87

a88

a89 ···a

8n

00

00

0a

96

a97

a98

a99 ···a

9n

......

......

......

......

...··· ...0

00

00

an

6an

7an

8an

9 ···ann

LATEX Avanzado 62


a_36 &

a_37 & a_38 & a_39 \cdots a_3n\\

a_41 & a_42 & a_43 & a_44 & a_45 &

a_46 & a_47 &

a_48 & a_49 \cdots a_4n\\

\hline

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_56 & a_57 & a_58 &

a_59\cdots a_5n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_66 & a_67 & a_68 &

a_69\cdots a_6n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_76 & a_77 & a_78 &

a_79\cdots a_7n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_86 & a_87 & a_88 &

a_89\cdots a_8n\\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_96 & a_97 & a_98 &

a_99\cdots a_9n\\

\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots

& \vdots &

\vdots & \vdots \cdots \vdots \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_n6 & a_n7 & a_n8 &

a_n9\cdots

a_nn

\endarray\right )$$

\endsidewaysfigure

Ejemplo N 90:

ker(f) = x ∈M : f(x) = 0 (2.21)

M/ ker(f) ∼= Im(f) (2.22)

A ∼=n∏i=1

(A/bi) (2.23)

· · · −→Mi−1fi−→Mi

fi+1−→Mi+1 −→ · · · (2.24)

o −→ hom(M,N ′)u−→ hom(M,N)

v−→ hom(M,N ′′) (2.25)

(M ⊗N)⊗ P −→M ⊗ (N ⊗ P ) −→M ⊗N ⊗ P (2.26)

µ(b⊗ c, b′ ⊗ c′) = bb′ ⊗ cc′ (2.27)

\begineqnarray

\ker (f)=\ x\in M : f(x)=0\ \\

M/\ker (f) \cong Im (f)\\

LATEX Avanzado 63


A\cong \prod_i=1^n (A/b_i) \\

\cdots \longrightarrow M_i-1

\oversetf_i \longrightarrowM_i

\oversetf_i+1 \longrightarrowM_i+1

\longrightarrow \cdots \\

o\longrightarrow \hom (M,N’)

\overset\tildeu

\longrightarrow

\hom (M,N)\overset\tildev

\longrightarrow\hom(M,N’’)\\

(M\otimes N)\otimes P

\longrightarrow M\otimes(N\otimes

P)\longrightarrow M \otimes N

\otimes P\\

\mu (b\otimes c , b’\otimes c’)

=b b’\otimes c c’

\endeqnarray

Ejemplo N 91:

lım−→

(Mi ⊗N) ∼= (lım−→

Mi)⊗N (2.28)

(A, f) ≤ (A′, f ′)⇐⇒ A ⊆ A′ ∧ f ′\A = f (2.29)

o −→ lım←−

An −→ lım←−

Bn −→ lım←−

Cn −→ o (2.30)

\begineqnarray

\lim_\longrightarrow

(M_i \otimes N)\cong

(\lim_\longrightarrowM_i)

\otimes N\\

(A,f) \leq (A’,f’)

\Longleftrightarrow A

\subseteq A’

\quad\wedge\quad

f’\backslash A =f\\

o\longrightarrow

\lim_\longleftarrowA_n

\longrightarrow

\lim_\longleftarrowB_n

\longrightarrow

\lim_\longleftarrowC_n

LATEX Avanzado 64


\longrightarrow o

\endeqnarray

Ejemplo N 92:

o −→ G′

G′ ∩Gn−→ G

Gn−→ Gn

pGn−→ o (2.31)

G(A)(= Ga(A)) =∞⊗n=0

an

an+1(2.32)

\begineqnarray

o\longrightarrow

\frac G’G’\cap G_n

\longrightarrow \frac

GG_n\longrightarrow

\frac G^npG_n

\longrightarrow o\\

G(A)(=G_a(A))=

\bigotimes_n=0^\infty

\frac a^na^n+1

\endeqnarray

Ejemplo N 93:

lım←−m

( lım←−n

M/(anM + bmM)) ∼= lım←−n

M/(anM + bnM) (2.33)

M = 0⇐⇒ sup p(M) ∩ V (a) = ∅ (2.34)

\begineqnarray

\lim_\longleftarrow_m

(\lim_\longleftarrow_nM/(a^n M+b^m

M))\cong\lim_\longleftarrow_n M

/(a^n M +b^n M)\\

\hatM=0\Longleftrightarrow \sup p(M)

\cap V(a)=\emptyset

\endeqnarray

Ejemplo N 94:

~d

(t,

(PQ

))+ ~h

(t,

(PQ

))f(t),

LATEX Avanzado 65


\begindisplaymath

\vecd \left(t,\beginpmatrix

P \\

Q \\

\endpmatrix \right) + \vech

\left(t, \beginpmatrix

P \\

Q \\

\endpmatrix \right) f(t),

\enddisplaymath

2.4. Ecuaciones diferenciales

A continuacion se daran algunos ejemplos de diferentes tiposde ecuaciones con sus respectivos programas.

Ejemplo N 95:

d2f

dx2+ α

df

dx+ ω = 0 (2.35)

d

dtx(t) = βx(t− τ)e−ατ − ϕx(t) (2.36)∫ τ

0εp(t) + σq(t)dt =

d

dtx(t) (2.37)

∂2f

∂x2|x=x0= fxx(x0)e−

∫p(t)dt (2.38)

\begineqnarray

\frac d^2fdx^2 + \alpha \frac dfdx

+ \omega = 0\\

\frac ddt x(t) =

\beta x(t-\tau ) e^-\alpha \tau

- \varphi

x(t)\\

\int_0^\tau \ \epsilon p(t)+

\sigma q(t) \ \mathrmdt = \frac

ddt x(t)\\

\frac \partial ^2 f\partial x^2 |_x=x_0

= f_xx (x_0)

e^-\int p(t) \mathrm dt

\endeqnarray

LATEX Avanzado 66


Ejemplo N 96:

d

dtX = f(X) , f ∈ Cr, (r ≥ 2)

donde, f = (f1, f2, ..., fn) , X = (x1, x2, ..., xn)T y xi(0) = x0i , i =

1, 2, ..., n

\beginequation*

\frac ddt X = f(X)\quad,

\quad f\in C^r , (r\geq 2)

\endequation*

donde, $f=(f_1 , f_2 , ... , f_n)$,

$X=(x_1 , x_2 , ... , x_n)^T$

y $x_i(0)=x_i^0, i=1,2,...,n$

Ejemplo N 97:

f(x) ≈ f(x0) +f ′(x0)

1!y +

f ′′(x0)

2!y2 + · · · (2.39)∫ T

0

∫ T

0f(x, y)dxdy (2.40)

lımt→∞

∫ t+α

te(s)ds > 0 (2.41)

lım supt→∞

xi(t, φ) ≤M , i = 1, 2, . . . , n. (2.42)

Gr(x, y) =

∫ ∞0

e−rtp(t;x, y)dt (2.43)

\begineqnarray

f(x)\approx f(x_0) + \frac f’(x_0)1! y +

\frac f’’(x_0)2!

y^2 +\cdots \\

\int_0^T \int_0^T f(x,y)\mathrm dx

\mathrmdy\\

\lim_t \rightarrow \infty \int_t^t+\alpha

e(s)\mathrmds > 0\\

\limsup_t\rightarrow \infty x_i(t,\phi)

\leq M \quad, \quad

i=1,2,\ldots ,n.\\

G_r (x,y)=\int_0^\infty e^-rt p(t;x,y)

\mathrmdt

\endeqnarray

LATEX Avanzado 67


Ejemplo N 98:

r

∫ b∗

0ψ(y, 0)[µy(1−γy)−ry]m′(y)dy = [µb∗(1−γb∗)−rb∗]ψ

′(b∗, 0)

s′(b∗)

\beginequation*

r\int_0^b^\ast \psi (y,0)

[\mu y (1-\gamma y)- r

y]m’(y)\mathrmdy=[\mu b^\ast (1-\gamma b^\ast)

-rb^\ast]\frac

\psi’(b^\ast, 0)s’(b^\ast)

\endequation*

Ejemplo N 99:uxxt + µuxx = 0 si x ∈ Ω = (0, L)

uxx = 0 si x = 0, L.

\beginequation*

\begincases

u_xxt+\hat\muu_xx=0 &

\textsi $ x\in \Omega = (0,L)$ \\

u_xx=0 & \textsi $ x=0,L$.

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 100:

ut = −µ(∫ x

0h(x′)dx′ −

∫ x0 h(x)dx

Lx

)e−µt +

+ut(L, t)− ut(0, t)

Lx+ ut(0, t)

\begindisplaymath

u_t=-\hat\mu

\left (\int_0^x h(x’)\mathrmdx’

-\frac \int_0^x

h(x)\mathrmdxLx\right)

e^-\hat\mut+\\

\enddisplaymath

\begindisplaymath

+\frac u_t(L,t)-u_t(0,t)L x

+u_t(0,t)

\enddisplaymath

LATEX Avanzado 68


Ejemplo N 101:

∣∣∣∣dif(N(x))

dxi

∣∣∣∣ ≤M ∀x i = 1, 2, . . . (2.44)

Bk(t) =1

xmax − xmin

∫ xmax

xmin

Bk(x, t)dx (2.45)

\begineqnarray

\left |\frac d^i f(N(x))dx^i\right |\leq M

\quad \forall x \quad

i=1,2,\ldots \\

B_k (t)=\frac 1x_max -x_min

\int_x_min^x_max B_k

(x,t)\mathrmdx

\endeqnarray

Ejemplo N 102:

x = f(x(t), x(t− τ1), ..., x(t− τm), η)

donde x(t) ∈ <n, f : <n×(m+1) ×<k → <n, η ∈ <k.

\beginequation*

\dotx=f(x(t),x(t-\tau_1),...,x(t-\tau_m),\eta)

\endequation*

donde $ \quad x(t)\in \Re^n, f:\Re^n\times (m+1)

\times \Re^k

\rightarrow \Re^n , \eta \in \Re^k.$

Ejemplo N 103:

s′ = ∆− µs− λ(t)s , s(0) = s0 > 0∂i∂t + ∂i

∂θ = −µi− γ(θ)i , i(θ, 0) = i0(θ) ≥ 0

i(0, t) = λ(t)s

λ(t) = c(s+I)s+I

∫∞0 φ(θ)i(θ, t)dθ

R′ = −µRR+∫∞

0 γ(θ)i(θ, t)dθ ,R(0) = R0 ≥ 0

\beginequation*

\begincases

s’=\Delta - \mu s - \lambda (t) s & ,

s(0)=s_0 > 0 \\

LATEX Avanzado 69


\frac \partial i\partial t +

\frac \partial i\partial

\theta=-\mu i - \gamma (\theta)i

& , i(\theta,0)=i_0(\theta)\geq

0\\

i(0,t)=\lambda (t)s\\

\lambda (t)=\frac c(s+I)s+I\int_0^\infty \phi

(\theta)i(\theta,t)\mathrmd\theta \\

R’=-\mu_R R + \int_0^\infty \gamma

(\theta)i(\theta,t)\mathrmd\theta & ,

R(0)=R_0\geq 0

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 104:

∂f

∂t=

∂

∂x(D(f)

∂f

∂x)− ∂

∂x((aef + (Aa −Arf)(k0 ∗ f))f)

\beginequation*

\frac \partial f\partial t=

\frac \partial\partial

x(D(f)\frac \partial f\partial x)-

\frac \partial\partial

x((a_e f + (A_a - A_r f)(k_0 \ast f))f)

\endequation*

Ejemplo N 105:φt+1 = Ψ3ψt−20

χt+1 = χt −Ψ3ψt + φt

ψt+1 = (1−Ψ3)ψt + Ψ4(χt − ψt)

\beginequation*

\begincases

\phi_t+1= \Psi_3 \psi_t-20\\

\chi_t+1= \chi_t - \Psi_3 \psi_t + \phi_t\\

\psi_t+1= (1-\Psi_3)\psi_t +

\Psi_4 (\chi_t-\psi_t)

\endcases

\endequation*

LATEX Avanzado 70


Ejemplo N 106:

∂sH∂t|(j1t (t)+τ1(t);1) =

1

λHe− (j1t (t)+τ1(t))

λH

\beginequation*

\frac \partial s_H\partial t |_(j_t^1 (t)

+\tau_1(t);1) =\frac

1\lambda_He^-\frac (j_t^1(t)+

\tau_1(t))\lambda_H

\endequation*

2.5. Topologıa y analisis funcional

En esta seccion se componen diferentes expresiones de la topo-logıa y analisis funcional utiles en la escritura de artıculos cientıfi-cos en estas areas.

Ejemplo N 107:

(xn) x⇔ ∀V ∈ ν(x), n ∈ N : xn /∈ V (2.46)

V := < : xn : n ∈ D ∈ νχ(x) (2.47)

X

(∩α∈I

Cα

)= ∪

α∈I(X\Cα) ∈ χ (2.48)

\begineqnarray

(x_n)\twoheadrightarrow x \Leftrightarrow

\forall V \in \nu (x),

\n\in N : x_n \notin V\\\

V:=\Re : \x_n: n\in D \ \in \nu _\chi (x)\\

X\ \left (\underset \alpha\in I

\capC_\alpha \right ) =

\underset \alpha \in I \cup

(X \backslash C_\alpha)\in \chi

\endeqnarray

Ejemplo N 108:x ∈

A⇐⇒ A ∈ ν(x)

x ∈ extA⇐⇒ A ∈ ν(x)⇐⇒ x ∈ intA

LATEX Avanzado 71


\beginequation*

\begincases

x\in \overset \circA\Longleftrightarrow A

\in \nu (x)\\

x \in ext A \Longleftrightarrow \complement A

\in \nu

(x)\Longleftrightarrow x \in int \complement A

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 109:

adh = (2.49)

A = adhA (2.50)

adh(A ∪B) = adhA ∪ adhB (2.51)

adh(adhA) = adhA (2.52)

intX = X (2.53)

intA ⊂ A (2.54)

int(A ∩B) = intA ∩ intB (2.55)

int(intA) = intA (2.56)

(2.57)

\begineqnarray

adh \oslash & = & \oslash\\

A & = & adh A\\

adh (A\cup B) & = & adh A \cup adh B\\

adh (adh A) & = & adh A\\

int X & = & X\\

int A & \subset & A\\

int (A\cap B) & = & int A \cap int B\\

int (int A) & = & int A\\

\endeqnarray

Ejemplo N 110:

A ⊂

−A ⊂

−A ⊂ A

\beginequation*

\overset \circA\subset

LATEX Avanzado 72


\overset \overset \overset

\circ-\circA\subset

\overset \overset

\circ-A\subset \overline A

\endequation*

Ejemplo N 111:

En+ := x ∈ Rn+1 :

n+1∑i=1

x2i = 1, xn+1 ≥ 0

\beginequation*

E_+^n := \ x \in R^n+1:

\sum_ i=1^ n+1 x_i^2=1, x_n+1\geq

0\

\endequation*

Ejemplo N 112:

π−1φ1,...,φn

[n∏i=1

Uφi ] ∩ f [X]

\beginequation*

\pi_\phi_1,\ldots,\phi_n^-1 [ \prod_i=1^n

U_\phi_i]\cap f[X]

\endequation*

Ejemplo N 113:

X =

(x, y) ∈ <2 : sin

1

x, x ∈ (0, 1]

\beginequation*

X=\overline \left \(x,y)\in \Re^2 :

\sin \frac 1x, x \in

(0,1]\right \

\endequation*

Ejemplo N 114:

sop(fα) ⊂ ∪ϕ(β)=α

sop(gβ) = ∪ϕ(β)=α

sop(gβ) ⊂ Uα

LATEX Avanzado 73


\beginequation*

sop(f_\alpha)\subset \overline

\underset \varphi

(\beta)=\alpha\cup sop(g_\beta)=

\underset \varphi

(\beta)=\alpha\cupsop(g_\beta)

\subset U_\alpha

\endequation*

Ejemplo N 115:

∀F ⊂ P (Y ), f−1[∩G : G ∈ F] = ∩f−1[G] : G ∈ F

\beginequation*

\forall F\subset P(Y) , f^-1[\cap

\ G: G\in F\]=\cap \

f^-1[G]:G\in F\

\endequation*

Ejemplo N 116:

n ≥ N =⇒ |fn(x)− f(x)| ≤ ε ∀x ∈ A

\beginequation*

n\geq N \Longrightarrow | f_n (x)-f(x)|

\leq \epsilon \quad \forall

x\in A

\endequation*

Ejemplo N 117:

d∞(f, fn) = supx∈A|f(x)− fn(x)| ≤ ε para n ≥ N

\beginequation*

d_\infty (f,f_n)=\sup_x\in A |f(x)-f_n (x)|

\leq \epsilon \quad

\textpara $n\geq N$

\endequation*

Ejemplo N 118:(n∑k=1

|ak + bk|p)1/p

≤

(n∑k=1

|ak|p)1/p

+

(n∑k=1

|bk|p)1/p

LATEX Avanzado 74


\beginequation*

\left(\sum_k=1^n |a_k +

b_k|^p \right )^1/p\leq \left

(\sum_k=1^n |a_k|^p \right )^1/p+

\left (\sum_k=1^n |b_k|^p

\right )^1/p

\endequation*

Ejemplo N 119:

dp(x, y) =

(∫ b

a|x(t)− y(t)|pdt

)1/p

\beginequation*

d_p (x,y)=\left (\int_a^b |x(t)-y(t)|^p

\mathrmdt

\right )^1/p

\endequation*

Ejemplo N 120:

d(x, y) =∞∑n=1

1

2ndn(xn, yn)

1 + dn(xn, yn)

\beginequation*

d(x,y)=\sum_n=1^\infty \frac 12^n

\frac d_n (x_n ,

y_n)1+d_n (x_n , y_n)

\endequation*

Ejemplo N 121:

(xn) −→dx⇐⇒ (xn) −→

d1+d

x

\beginequation*

(x_n)\underset d \longrightarrow x

\Longleftrightarrow

(x_n)\underset \frac d1+d

\longrightarrow x

\endequation*

LATEX Avanzado 75


Ejemplo N 122:

(x(k)n ) −→

d(x(k))⇐⇒ (x(k)

n ) −→dk

x(k) ∀k ∈ N (2.58)

d(A,B) = ınfd(x, y) : x ∈ A, y ∈ B (2.59)

Bd

((xn), 2

12n0

δ1+δ

)⊂∞∏n=1

Un (2.60)

B(a, ρ) = B′(a, ρ) ∈ <n (2.61)

d∞(xn, x(k)n ) = max|xp − x(k)

p |, 1 ≤ p <∞ (2.62)

intA = ext(X\A) ∧ extA = int(X\A) (2.63)

\begineqnarray

(\x_n^(k)\)\underset d

\longrightarrow(x^(k))

\Longleftrightarrow (x_n^(k))

\undersetd_k

\longrightarrowx^(k)

\quad \forall k

\in N\\

d(A,B)=\inf \ d(x,y):

x\in A , y\in B\\\

B_d \left ((x_n) ,

2^\frac 12^n_0 \frac

\delta1+\delta\right )\subset

\prod_n=1^\infty U_n\\

\overline B(a,\rho )=

B’(a,\rho )\in \Re^n\\

d_\infty (\x_n\,\x_n^(k)\)=

\max \|x_p - x_p^(k)| , 1\leq p

<\infty\\\

int A = ext ( X\backslash A) \wedge ext A =

int (X\backslash A)

\endeqnarray

Ejemplo N 123:

∩n∈N∗

Bd(f,1

n) ⊃ n ∈ N∗ ∩ Un (2.64)

\begineqnarray

LATEX Avanzado 76


\underset n\in N^\ast\capB_d (f, \frac 1n)

\supset n\in

N^\ast \cap U_n \\

\endequation

Ejemplo N 124:

[fn(x)] = f f f · · · f(x)

\beginequation*

[f^n (x)]=f \circ f \circ f \circ

\dots \circ f(x)

\endequation*

Ejemplo N 125:

C ⊂ ∪α∈I

Aαk(⇐⇒ C =n∪α∈I

(C ∩Aα)) (2.65)

Rn : (C(X,Y ), ρ∞) −→ (C(Un, Y ), dα,n) (2.66)

\begineqnarray

C\subset \underset \alpha \in I\cup

A_\alpha_k(\Longleftrightarrow C=

\overset n\underset\alpha

\in I \cup (C\cap A_\alpha ))\\

R_n : (C (X,Y) , \rho_\infty )

\longrightarrow (C (\overline U_n ,

Y) , d_\alpha , n)

\endeqnarray

Ejemplo N 126:

Rn : ‖x‖ =(∑n

i=1 |xi|2)1/2

‖x‖ = max1≤i≤n

|xi|

l1(N) : ‖x‖ =∑n

i=1 |xi|l∞(N) : ‖x‖ = sup

i∈N|xi|

C ([a, b],<) : ‖x‖ = maxt∈[a,b]

|x(t)|

\beginequation*

\begincases

R^n : \|x\| =\left (\sum_i=1^n |x_i|^2

LATEX Avanzado 77


\right )^1/2\\

\|x\|= \underset1\leq i\leq n

\max |x_i|\\

\textitl^1 (N) : \|x\|=

\sum_i=1^n |x_i|\\

\textitl^\infty (N): \| x \|=

\underset i\in N

\sup |x_i|\\

C \left ([a,b] , \Re \right ):

\|x\|=\underset t\in

[a,b]\max|x(t)|

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 127:

S⊥⊥ = [S]⊥⊥ = [S]⊥⊥

(2.67)

‖|A|‖ := supx∈E,x 6=∅

‖A(x)‖2‖x‖1

(2.68)

Tk(x) = v ∈ X : lım infh−→0

1

ndk(x+ hv) = 0 (2.69)

\begineqnarray

S^\bot\bot =[S]^\bot\bot=

\overline[S]^\bot\bot\\

\| |A |\| : =

\undersetx\in E, x\neq \emptyset

\sup \frac \| A

(x) \|_2 \| x \|_1\\

T_k (x)=\v\in X :

\liminf_h \longrightarrow 0

\frac 1nd_k

(x+hv)\=0

\endeqnarray

2.6. Teorıa de control

En esta seccion se componen expresiones de la teorıa de controlutiles en la edicion de documentos cientıficos en esta area.

LATEX Avanzado 78


Ejemplo N 128:

〈x(T ), ϕT 〉 − 〈x0, ϕ(0)〉 =

∫ T

0〈Bu,ϕ〉dt =

∫ T

0〈u,B∗ϕ〉dt (2.70)

Jp(ϕ0) =

1

2

(∫ T

0|B∗ϕ|p dt

)2/p

+ 〈x0, ϕ0〉 (2.71)

‖u∞‖2L∞(0,T ) =

∫ T

0B∗ϕudt ≤ ‖u‖L∞(0,T )

∫ T

0|B∗ϕ|dt (2.72)

e−| ln(γ)|( tT

)e| ln(γ)| δT |x0|2 ≤ 1

γe−| ln(γ)|T

t|x0|2 (2.73)

J = r1N1(T ) + r2N2(T ) +

∫ T

0u(t)dt −→ mın . (2.74)

\begineqnarray

\langle x(T),\varphi_T \rangle - \langle x^0 ,

\varphi (0)\rangle =

\int_0^T \langle Bu , \varphi \rangle

\mathrmdt = \int_0^T \langle

u , B^\ast \varphi \rangle \mathrmdt\\

J_p(\varphi^0)=\frac 12

\left(\int_0^T|B^\ast \varphi|^p\quad

\mathrmdt\right)^2/p+\langle x^0,

\varphi^0\rangle\\

\|u_\infty\| _L^\infty (0,T)^2=

\int_0^T B^\ast\hat\varphiu

\mathrmdt\leq \|u\| _L^\infty (0,T)\int_0^T

|B^\ast\hat\varphi|\mathrmdt\\

e^-|\ln(\gamma)|(\frac tT)

e^|\ln(\gamma)| \frac \deltaT

|x^0|^2\leq \frac 1\gamma

e^-\frac|\ln(\gamma)|Tt

|x^0|^2\\

J=r_1 N_1(T)+ r_2 N_2(T)+ \int_0^T u(t)

\mathrmdt\longrightarrow\min.

\endeqnarray

Ejemplo N 129:

Nk(τ)=exp(−∫ τtoβkk(s)ds)

[Nk(t0)+

∫ τto

exp(−∫ st0βkk(r)dr

)α(s)ds

]\beginequation*

LATEX Avanzado 79


\scriptstyle N_k(\tau)=

\exp \left(-\int_t_o^\tau \beta_kk

(s)\mathrmds\right)

\left[N_k(t_0)+ \int_t_o^\tau \exp

\left(-\int_t_0^s \beta_kk (r) \mathrmdr\right)

\alpha(s)\mathrmds\right]

\endequation*

Ejemplo N 130:

1 +∇τ(p)

[∂N+

∂p(τ(p), p)

]−1

∆uBN(τ(p), p) 6= 0 (2.75)

grad N−(t, p) = grad N+(t, p) + κ(t, p)[1−∇τ(p)] (2.76)

max0≤f≤1

J(f) = J(f∗) (2.77)

f∗ = mın

(1,

(b− λ1sP

b

)+), (2.78)

\begineqnarray

1+\nabla \tau (p) \left[\frac \partial N^+

\partial p (\tau(p),p)

\right]^-1 \Delta uBN (\tau(p),p) \neq 0\\

grad \quad N^- (t,p)= grad \quad N^+ (t,p) +

\kappa (t,p) [1

-\nabla \tau(p)]\\

\underset 0\leq f \leq 1\max J(f)=

J(f^\ast)\\

f^\ast = \min \left(1,

\left( \frac b-\lambda_1 sPb \right)^+

\right),

\endeqnarray

2.7. Analisis complejo y medida

Se dan ejemplos de la composicion de expresiones de analisiscomplejo y teorıa de la medida.

Ejemplo N 131: ∫ b

afdµ

m∑k=1

ykµ(Ek)

LATEX Avanzado 80


\beginequation*

\int_a^b f \mathrmd\mu \undersetk=1

\oversetm \sum y_k \mu

(E_k)

\endequation*

Ejemplo N 132:

µ(E1) + lımn−→∞

n∑i=2

(µ(Ei)− µ(Ei−1)) = lımn−→∞

µ(En)

\beginequation*

\mu (E_1)+ \underset n\longrightarrow

\infty\lim \underset

i=2\overset n \sum \left(\mu(E_i)-

\mu(E_i-1) \right)=

\underset n\longrightarrow \infty\lim \mu(E_n)

\endequation*

Ejemplo N 133:

µ∗(E) ≥ µ∗E ∩ n⋃

j=1

Bj

+ µ∗

E ∩ n⋃j=1

Bj

(2.79)

3 = µ ([−1, 2]) ≥ µ (∪∞i=1 Vi) ≥∞∑i=1

µ(Vi) =∞∑i=1

µ(V ) (2.80)

\begineqnarray

\mu^\ast (E) \geq \mu^\ast

\left(E \cap \underset j=1\overset n

\bigcup B_j \right) + \mu^\ast

\left(E \cap \underset

j=1\overset n \bigcup B_j \right)\\

3= \mu \left([-1,2]\right) \geq \mu

\left(\cup_i=1^\infty \quad

V_i \right)\geq \underset i=1

\overset\infty \sum \mu (V_i)=

\underset i=1 \overset\infty \sum \mu (V)

\endeqnarray

Ejemplo N 134:

lım infn−→∞

fn = supr≥n

(ınf fr) ∧ lım supn−→∞

fn = ınfr≥n

(sup fr)

LATEX Avanzado 81


\beginequation*

\underset n \longrightarrow \infty

\liminf f_n=

\undersetr\geq

n\sup(\inf f_r) \wedge \underset

n \longrightarrow \infty \limsup

f_n= \underset r \geq n \inf(\sup f_r)

\endequation*

Ejemplo N 135:

Sn(x) =∑

0≤m≤n2n

m

2nχAm,n(x)

\beginequation*

S_n(x)= \underset 0\leq m \leq n2^n

\sum \frac m2^n\quad

\chi A_m,n (x)

\endequation*

Ejemplo N 136:

lımn−→∞

∫Afn(x)dµ =

∫A

lımn−→∞

fn(x)dµ (2.81)∫ b

af(x)dx = sup

DI(αD) ∧

∫ b

af(x)dx = ınf

DI(βD) (2.82)

(L)

∫[a,b]

f(x)dm = lımε−→0

(R)

∫ b

a+εf(x)dx (2.83)

\begineqnarray

\underset n\longrightarrow \infty\lim

\int_A f_n (x) \mathrm

d\mu = \int_A \underset

n\longrightarrow \infty\lim f_n (x)

\mathrm d\mu\\

\int_\underline a^b f(x) \mathrm dx=

\underset D \sup

I(\alpha_D) \quad \wedge\quad

\int_a^\overline b f(x) \mathrm

dx= \underset D \inf I(\beta_D)\\

(L) \int_[a,b] f(x) \mathrmdm= \underset

\epsilon\longrightarrow 0 \lim (R)

LATEX Avanzado 82


\int_a+\epsilon^b f(x)

\mathrmdx

\endeqnarray

Ejemplo N 137:

µ∗(A) ≤+∞∑j=1

+∞∑k=1

v(Ij,k) <+∞∑j=1

µ∗(Aj) + ε

\beginequation*

\mu^\ast (A) \leq \underset j=1

\overset + \infty \sum

\underset k=1 \overset + \infty \sum

v(I_j,k) < \underset

j=1 \overset + \infty \sum \mu^\ast

(A_j)+\epsilon

\endequation*

Ejemplo N 138:

∅

(N⋃i=1

Aj

)≥∫⋃Nj=1 Aj

sdµ =N∑j=1

∫Aj

sdµ ≥N∑j=1

∅(Aj)− ε

\beginequation*

\varnothing \left( \underset i=1

\oversetN \bigcup A_j \right)

\geq \int_\bigcup_j=1^N A_j s

\mathrmd\mu= \underset j=1

\overset N \sum \int_A_j s

\mathrmd\mu \geq \underset j=1

\overset N \sum \varnothing (A_j)-\epsilon

\endequation*

Ejemplo N 139:

lımk−→+∞

∫[0,π]

cosk(x)

1 + x2dµ =

∫[0,π]

lımk−→+∞

cosk(x)

1 + x2dµ = 0

\beginequation*

\underset k\longrightarrow +

\infty\lim \int_[0,\pi] \frac

\cos^k(x)1+x^2 \mathrmd\mu =

\int_[0,\pi] \underset

LATEX Avanzado 83


k\longrightarrow + \infty\lim

\frac \cos^k(x)1+x^2

\mathrmd\mu=0

\endequation*

Ejemplo N 140:

〈f, g〉 =

∫Afgdµ (2.84)

|〈f, g〉| ≤ ‖f‖‖g‖ (2.85)

\begineqnarray

\langle f,g \rangle= \int_A fg \mathrmd\mu\\

|\langle f,g \rangle| \leq \|f\|\|g\|

\endeqnarray

Ejemplo N 141:∫]0,1[

1

xadµ = lım

k−→+∞

∫]0,1[

fkdx =

1

1−a si a < 1

+∞ si a ≥ 1

\beginequation*

\underset]0,1[ \int \frac 1x^a

\mathrmd\mu=\undersetk\longrightarrow + \infty \lim

\underset]0,1[ \int f_k \mathrmdx=

\begincases \frac 11-a

\quad si\quad a<1\\ +

\infty\quad si\quad a \geq 1

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 142:∫<2

fkdµ =

∫Bk(0)

e−(x2+y2)dxdy =

=

∫ 2π

0

(∫ k

0e−r

2rdr

)dθ = π

(1− e−k2

)\begindisplaymath

\underset\Re^2 \int f_k \mathrmd\mu =

\int_B_k (0) e^-(x^2+y^2)

LATEX Avanzado 84


\mathrmdx \mathrmdy=\\

\enddisplaymath

\begindisplaymath

= \int_0^2\pi \left(\int_0^k e^-r^2 r

\mathrmdr\right)

\mathrmd\theta= \pi\left(1-e^-k^2\right)

\enddisplaymath

Ejemplo N 143:

∣∣∣∣γ ezz dz∣∣∣∣ ≤ πe (2.86)∫

γ(z − a)ndz =

0 si n 6= −1

2πi si n = −1(2.87)

\begineqnarray

\left |_\gamma \frac e^zzdz

\right |\leq \pi e\\

\int_\gamma (z-a)^n dz =\begincases 0 &

\textsi $ n\neq

-1$\\2\pi i & \text si $n=-1$

\end cases

\endeqnarray

Ejemplo N 144:∣∣∣∣g(z)− g(z0)

z − z0− f(z0)

∣∣∣∣ =1

|z − z0|

∣∣∣∣∫ z

z0

(f(w)− f(z0))dw

∣∣∣∣\beginequation*

\left | \frac g(z)-g(z_0)z-z_0-

f(z_0)\right |=\frac

1|z-z_0|\left |\int_z_0^z

(f(w)-f(z_0))dw \right |

\endequation*

Ejemplo N 145:

intγ ∪ γ\n⋃k=1

(intγk) (2.88)

lımh−→0

(1

h

∫ x+h

xf(t, y)dt

)= f(x, y) (2.89)

LATEX Avanzado 85


\begineqnarray

int \gamma \cup \gamma \backslash

\bigcup_k=1^n

(int \gamma_k )\\

\lim_h\longrightarrow 0 \left (\frac 1h

\int_x^x+hf(t,y)dt\right )=f(x,y)

\endeqnarray

Ejemplo N 146:

f(z0)I(γ, z0) =1

2πi

∫γ

f(z)

(z − z0)dz (2.90)

g(k)(z) = k!

∫γ

ϕ(w)

(w − z)k+1dw (2.91)

\begineqnarray

f(z_0)I(\gamma , z_0)=\frac 12\pi i

\int_\gamma \frac

f(z)(z-z_0)dz\\

g^(k)(z)=k! \int_\gamma

\frac \varphi (w)(w-z)^k+1dw

\endeqnarray

Ejemplo N 147:

1

p(z)=

1

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a0=

1zn

an + an−1

z + · · ·+ a0zn

\beginequation*

\frac 1p(z)= \frac 1a_n z^n + a_n-1z^n-1

+ \cdots +

a_0=\frac \frac 1z^na_n + \frac a_n-1z

+ \cdots +

\frac a_0z^n

\endequation*

Ejemplo N 148:

∫|z|=1

cos z

zdz = 2πi (2.92)

f(z0) =1

2πi

∫ 2π

0

f(z0 + reiθ)

reiθireiθdθ (2.93)

LATEX Avanzado 86


\begineqnarray

\int_|z|=1 \frac \cos zzdz = 2\pi i\\

f(z_0)= \frac 12\pi i

\int_0^2\pi\frac f(z_0 + r

eî\theta)reî\thetaireî\thetad\theta

\endeqnarray

Ejemplo N 149: ∏∞k=1(1 + 1

k sin zk )∏∞

n=1(1− zn)∏∞n=0(1 + z2n)

\beginequation*

\begincases

\prod_k=1^\infty (1+ \frac 1k

\sin \frac zk)\\

\prod_n=1^\infty (1-z^n)\\

\prod_n=0^\infty (1+ z2^n)

\endcases

\endequation*

2.8. Procesos estocasticos

Esta seccion contiene ejemplos de la composicion de expre-siones de la teorıa de procesos estocasticos, utiles para quienesescriben documentos cientıficos en esta area.

Ejemplo N 150:

P (x) =

n∑j=0

pjxj = E(xj) (2.94)

σ2 ≡ var(X) = P ′′(1) + P ′(1)− P ′(1)2 (2.95)

\begineqnarray

P(x)=\sum_j=0p_j x^j = E(x^j)\\

\sigma^2\equiv var(X)= P’’(1)+

P’(1)-\P’(1)\^2

\endeqnarray

LATEX Avanzado 87


Ejemplo N 151:

pj ∗ pj ∗ · · · ∗ pj = pjn∗

(2.96)

pj =1

j!

(d

dx

)jP (x)|x=0 (2.97)

\begineqnarray

\p_j\\ast \p_j\\ast \cdots

\ast \p_j\=\p_j\^n^\ast\\

p_j=\frac 1j!\left

(\frac ddx\right )^j P(x) |_x=0

\endeqnarray

Ejemplo N 152:f2n =

(2n− 2

n− 1

)1

n22n−1 n ≥ 1

f2n+1 = 0 n ≥ 0

\beginequation*

\begincases

f_2n=

\beginpmatrix

2n-2\\

n-1

\endpmatrix

\frac 1n2^2n-1 & n\geq 1\\

f_2n+1=0 & n\geq 0

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 153:

q2n =k

n

(n

12n−

12k

)p

12

(n−k)q12

(n+k) (2.98)

u2n =1

22n

(2n

n

) ∑j+k≤n

1

3nn!

j!k!(n− j − k)!

2

(2.99)

\begineqnarray

q_2n=\frac kn

LATEX Avanzado 88


\beginpmatrix

n \\

\frac 12n-\frac 12 k

\endpmatrix

p^\frac 12 (n-k)q^\frac 12(n+k)\\

u_2n=\frac 12^2n

\binom 2nn \sum_j+k\leq n \left

\\frac 13^n

\frac n!j! k! (n-j-k)!\right \^2

\endeqnarray

Ejemplo N 154:Pn =

∑j

1(rj−1)!

[drj−1

dλrj−1λnadj(λI−P )

ψj(λ)

]λ=λj

ψj(λ) =∏i 6=j

(λ− λi)ri

\beginequation*

\begincases

P^n=\underset j\sum \frac 1(r_j - 1 )!

\left[\frac d^r_j -

1d\lambda^r_j - 1

\frac \lambda^n adj (\lambda I -P)

\psi_j(\lambda)\right ]_\lambda =

\lambda_j\\

\psi_j (\lambda )= \underset i\neq j

\prod(\lambda

-\lambda_i)^r_i

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 155:

ζ = eθ0 ≡ e2(1−m)/σ2= e−2ε/σ2

\beginequation*

\zeta = e^\theta_0\equiv

e^2(1-m)/\sigma^2=

e^-2\epsilon/\sigma^2

\endequation*

LATEX Avanzado 89


Ejemplo N 156:

∞∑n=0

dpn(t)

dtxn = λ

∞∑n=1

pn−1(t)xn − λ∞∑n=0

pn(t)xn

\beginequation*

\undersetn=0\overset\infty\sum

\fracdp_n(t)dt x^n=

\lambda


p_n-1(t)x^n- \lambda


p_n(t)x^n

\endequation*

Ejemplo N 157:

Et+∆t

[ΦX(t+ ∆t)] = Et

E

∆t|t[ΦX(t) + ∆X(t)]

\beginequation*

\underset t+\Delta tE

[\Phi \X(t+\Delta t)\]=\underset

tE\left \\underset

\Delta t |tE[\Phi \X(t)+\Delta

X(t)\]\right\

\endequation*

Ejemplo N 158:

Ψ(θ, t,X) = lım∆t−→0

1−

∑j 6=0

fj(X)∆t

+∑j 6=0

fj(X)∆tejθ − 1

∆t

\beginequation*

\Psi (\theta, t, X)= \underset

\Delta t \longrightarrow 0

\lim

\frac \left

\1-\underset j\neq 0\sumf_j

(X)\Delta t \right \+

\underset j\neq 0

\sumf_j (X)\Delta t e^j\theta-1

LATEX Avanzado 90


\Delta t

\endequation*

Ejemplo N 159:

∂P (x,y,t)∂t

=∑j,k

(xjyk−1)fjk

(x ∂∂x,y ∂∂y

)P (x,y,t) j, k no ambos cero

\beginequation*

\scriptstyle \frac \partial P (x,y,t)

\partial t= \underset

j,k\sum (x^j y^k -1)f_jk

\left (x \frac \partial\partial

x, y\frac \partial\partial y

\right ) P (x,y,t)\quad \text

$j,k$ no ambos cero

\endequation*

Ejemplo N 160:∞∑n=a

wn =∞

wn = 1λn

+ µnλnλn−1

+ · · ·+ µn···µa+1

λn···λa + µn···µaλn···λa

\beginequation*

\begincases

\overset \infty\underset

n=a\sum w_n = \infty\\

w_n = \frac 1\lambda_n +

\frac \mu_n \lambda_n \lambda_n-1

+ \cdots + \frac \mu_n \cdots

\mu_a+1\lambda_n \cdots

\lambda_a + \frac \mu_n \cdots

\mu_a \lambda_n \cdots \lambda_a

\endcases

\endequation*

Ejemplo N 161:

Pv0, v1, · · · , vk =u0!

v1! · · · vk!uk+1!p

k∑i=1

viq

k+1∑j=1

uj

\beginequation*

P\v_0, v_1,\cdots ,v_k\ =

LATEX Avanzado 91


\frac u_0 !v_1 ! \cdots v_k!

u_k+1!\quad p^\quad \overset k

\underset i=1\sumv_i\quad

q^\quad \overset k+1

\underset j=1\sum u _j

\endequation*

Ejemplo N 162:

p∗n(s) = s−1f∗(s)n1− f∗(s), n ≥ 0

\beginequation*

p_n^\ast (s)=s^-1

\f^\ast (s)\^n \1-f^\ast (s)\,

\quad n\geq 0

\endequation*

2.9. Formulas de reacciones quımicas

En esta seccion se introduce la escritura de formulas de reac-ciones quımicas en LATEX.

Ejemplo N 163:

1

2H2O

\begindisplaynmath

\frac 12\mathrm H_2 \mathrm O

\enddisplaymath

Ejemplo N 164:

3Cr2O2−7

\begindisplaynmath

3\mathrmCr_2\mathrmO_7^2-

\enddisplaymath

Ejemplo N 165:

[CdSC(NH2)22] · [Cr(SCN)4(NH3)2]2

LATEX Avanzado 92


\begindisplaymath

[\mathrmCd\SC(\mathrmNH_2)_2\_2]\cdot

[\mathrmCr(\mathrmSCN)_4(\mathrmNH_3)_2]_2

\enddisplaymath

Ejemplo N 166:

C6H5 − CHO

\begindisplaymath

\mathrmC_6H_5-\mathrmCHO

\enddisplaymath

Ejemplo N 167:

X = Y ≡ Z

\begindisplaymath

\mathrmX=Y \equiv Z

\enddisplaymath

Ejemplo N 168:

xNa(NH4)HPO44−→ (NaPO3)x + xNH3 ↑ +xH2O

\begindisplaymath

\mathrmxNa(NH_4)HPO_4\overset

\triangle\longrightarrow

\mathrm(NaPO_3)_x + xNH_3\uparrow + xH_2O

\enddisplaymath

Ejemplo N 169:

H+ + OH− H2O

\begindisplaymath

\mathrmH^++OH^-\rightleftharpoons H_2O

\enddisplaymath

Ejemplo N 170:

CO2 + Cα−→β

2CO

LATEX Avanzado 93


\begindisplaymath

\mathrmCO_2 + C\overset\alpha\underset\beta

\longrightarrow\mathrm2CO

\enddisplaymath

Ejemplo N 171:

A+H2O−→ B

\begindisplaymath

\mathrmA\overset\mathrm+H_2O

\longrightarrow\mathrmB

\enddisplaymath

Ejemplo N 172:

Zn2+ +2OH−

+2H+

[Zn(0H)4]2−

\begindisplaymath

\mathrmZn^2+\overset

\mathrm+2OH^-\underset

\mathrm+2H^+\rightleftharpoons

\mathrm[Zn(0H)_4]^2^-

\enddisplaymath

Ejemplo N 173:

C4H10 +13

2O2 −→ 4CO2 + 5H2O

\[

\mathrmC_4H_10+\frac132O_2

\longrightarrow

4CO_2+5H_2O

\]

LATEX Avanzado 94

Capıtulo 3

Diagramas, tablas ygraficas

Se introduce al estudiante en el diseno de diagramas conmuta-tivos, diagramas de flujos y tablas:

3.1. Diagramas con xymatrix [15], [22].

Iniciaremos con el diseno de diagramas conmutativos y otrosdiagramas:

Ejemplo N 174:

Xf // Y

ψ

X/R

ϕ

OO

Y/Qfoo

\beginequation*

\xymatrix

X \ar[r]^f & Y \ar[d]^\psi \\

X/R \ar[u]^\varphi &

Y/Q \ar[l]_\barf

\endequation*

95


Ejemplo N 175:

X f // Y

ψ

X/R

ϕ

OO

Y/Qfks

\beginequation*

\xymatrix

X \ar[r]|f & Y \ar@=>[d]^\psi \\

X/R \ar@~>[u]^\varphi &

Y/Q \ar@:>[l]|\barf

\endequation*

Ejemplo N 176:

Aϕ // B

f~~C

f

OO

\beginequation*

\xymatrix A \ar@~>[r]^\varphi &

B \ar[ld]^f\\

C \ar@.>[u]^\barf

\endequation*

Ejemplo N 177:

A

''B C D

\beginequation*

\xymatrix A \ar [d] \ar [dr] \ar [drr] &&\\

B & C & D

\endequation*

Ejemplo N 178:

A

// B

D C

LATEX Avanzado 96


\beginequation*

\xymatrix A \ar [d] \ar [dr] \ar [r] & B\\

D & C

\endequation*

Ejemplo N 179:

a b

c d

\beginequation*

\xymatrix a & b\\

c & d

\endequation*

Ejemplo N 180:

A f //

g

B

g′

D f ′ // C

\beginequation*

\xymatrix A \ar [r]|f \ar [d] |g &

B \ar [d] |g’\\

D\ar [r] |f’ & C

\endequation*

Ejemplo N 181:

Af1 // B

f2 // C

\beginequation*

\xymatrix * + < 1cm > [F-]A

\ar [r]^f_1 & * + < 1cm

> [F-]B\ar[r]^f_2 & * + < 1cm > [F-] C

\endequation*

Ejemplo N 182:

xex2 //

∫// 12ex2 + C

LATEX Avanzado 97


\beginequation*

\xymatrix xe^x^2 \ar [r] &

* + <1cm > [F-] \int

\ar [r] & \frac 12 e^x^2 +

C & & &

\endequation*

Ejemplo N 183:

// Af1 // B

f2 // C //

\beginequation*

\xymatrix \ar [r] &

* + < 1cm > [F-]A \ar [r]^f_1 &

* + < 1cm> [F-]B\ar[r]^f_2 &

* + < 1cm > [F-] C

\ar [r] &

\endequation*

Ejemplo N 184:

// (ζ + ϑ)∑n

i=1 eix //

\beginequation*

\xymatrix \ar [r] &

* + < 3cm > [F-](\zeta + \vartheta

)\sum_i=1^n e^ix \ar [r] &

\endequation*

LATEX Avanzado 98


Ejemplo N 185:

• // •

• oo •

• •

• •

• •

\shorthandoff’’

\begindisplaymath

\xymatrix \bullet

\ar @ ->[rr] && \bullet \\

\bullet \ar @ .<[rr] && \bullet \\

\bullet \ar @ ~[rr] && \bullet \\

\bullet \ar @ =([rr] && \bullet \\

\bullet \ar @ ~/[rr] && \bullet

\enddisplaymath

\shorthandon’’

Ejemplo N 186:

A // B // C

\beginequation*

\xymatrix *+<1cm>[o][F]A

\ar [r] & *+[o][F]B \ar [r] &

*+<1cm>[F--]C

\endequation*

Ejemplo N 187:

β Υ ρ

ζ

88

χ

LATEX Avanzado 99


\beginequation*

\xymatrix \beta & \Upsilon & \rho \\

\zeta \ar[rru] & \chi

\endequation*

Ejemplo N 188:

A B C D

E

>>

F

77

G

\beginequation*

\xymatrix A & B & C & D\\

E\ar[-1,1] & F \ar [-1,2] & G

\endequation*

Ejemplo N 189:

A

B

C

E

==

F // G

H

==

T

EE

K

\beginequation*

\xymatrix A\ar@ /^/[rrdd] &&

B\ar@/^/[rrdd] && C \\

E\ar@/_/[urr] && F \ar [rr] && G \\

H\ar@/_/[urr] && T\ar@/_/[rruu] && K

\endequation*

Ejemplo N 190: A• ++ B

A•

++ B

A • 33 B

A • 33 B

\begindisplaymath

\begincases

LATEX Avanzado 100


\xymatrixA\ar@/^/[rr]^(0.2)\bullet && B \\

\xymatrixA\ar@/^/[rr]^(0.4)\bullet && B \\

\xymatrixA\ar@/_/[rr]^(0.6)\bullet && B \\

\xymatrixA\ar@/_/[rr]^(0.8)\bullet && B

\endcases

\enddisplaymath

Ejemplo N 191:

•1

2

$$

3

((

4

**

XXY

XYZ

XYZW

\beginequation*

\xymatrix*\bullet

\ar@/^/[dr]!U|1

\ar@/^/[drr]!U|2

\ar@/^/[drrr]!U|3

\ar@/^/[drrrr]!U|4\\

&*+<1cm>[o][F]\txtX

&*+[F]\txt X\\ Y

&*+[F-]\txtX\\ Y\\ Z

&*+[F.]\txtX\\ Y\\ Z\\ W

\endequation*

Ejemplo N 192:

xnn

\beginequation*

\xymatrix *+<1cm>[o][F]x_n_n

\endequation*

Ejemplo N 193:

A // B // C

LATEX Avanzado 101


\beginequation*

\xymatrix*+<2cm>[F.]A \ar [r] &

*+<2cm>[F=]B \ar [r] &

*+<2cm>[F-,]C

\endequation*

Ejemplo N 194:

xψ1 // y

ψ2 // z

\beginequation*

\xymatrix @=1cm *+<1cm>[F-,]x

\ar[r]^\psi_1 &

*+<1cm>[F-,] y \ar[r]^\psi_2 &

*+<1cm>[F-,]z

\endequation*

Ejemplo N 195:

A

f--B

D

OO

Cgmm

\beginequation*

\xymatrix *+<1cm>[o][F]A \ar @ /^/[r]^f &

*+<1cm>[o][F]B \ar [d]\\

*+<1cm>[o][F]D \ar [u] &

*+<1cm>[o][F]C \ar @ /^/[l]^g

\endequation*

LATEX Avanzado 102


Ejemplo N 196:

xyz , ee

x

x1,2,...,n , 1 +1+ 1+x

x

1+ 1x

\beginequation*

\xymatrix *+<5cm>[F--]\begincases

x^y^z\quad,\quad e^e^x\\

x^1,2,\ldots,n\quad , \quad 1+

\frac 1+\frac 1+xx1+\frac

1x\endcases

\endequation*

Ejemplo N 197:

Af−−−−→ B

f ′y ygC −−−−→

g′R

\[\beginCD

A @>f>> B\\

@Vf’VV @VVgV\\

C @>>g’> R

\endCD\]

LATEX Avanzado 103


Ejemplo N 198:

1 //

1

1oo 1 //

1

1oo

1

OO

1

//−3 1 //−3

OO

−3

1oo −3 //1

OO

1

1//

1

OO

1//

1//

1

OO

1oo

\beginequation*

\xymatrix\ar[r]^1 & \ar[d]^1 &

\ar[l]_1 \ar[r]^1 &

\ar[d]^1 &

\ar[l]_1 \\

\ar[u]^1 \ar[d]_1 & \ar@<--[l]_-3

\ar[r]^1 &

\ar@-->[u]^-3

\ar@-->[d]^-3 & \ar@->[l]_1

\ar@-->[r]^-3

& \ar[u]_1

\ar[d]^1\\

\ar[r]_1 & \ar[u]^1 \ar[r]_1 & \ar[r]_1 &

\ar[u]^1 & \ar[l]^1

\endequation*

Ejemplo N 199:

T

&&xxX

f&&

Y

gxx

Z

\beginequation*

\xymatrix&& T \ar[rrd] \ar[lld] && \\

X \ar[rrd]_f && && Y \ar[lld]^g \\ && Z &&

\endequation*

LATEX Avanzado 104


Ejemplo N 200:

C

g

f

D

q~~ h

A B

\beginequation*

\xymatrix& C \ar[rdd]^g \ar[ldd]_f \ar[d] & \\

& D \ar[ld]^q \ar[rd]_h & \\ A & & B

\endequation*

Ejemplo N 201:

Aif ij //

f i

gi

Ajfj

~~

gj

A

B

\beginequation*

\xymatrixA_i \ar[rr]^fî_j

\ar[dr]^fî

\ar[dddr]_gî && A_j \ar[ld]_f^j

\ar[dddl]^g^j\\

& A \ar[dd] & \\

& & &\\

& B &

\endequation*

3.2. Diagramas de flujos con XY- pic [15],[22].

Se muestra el diseno de diagramas de flujo de dinamicas eco-logıcas y epidemiologıcas:

LATEX Avanzado 105


Ejemplo N 202:

SβS // I

θI // R

\beginequation*

\xymatrix *+<1.3cm>^[o][F.]S

\ar[rr]^\beta S &&

*+<1.3cm>[o][F.] I \ar[rr]^\theta I &&

*+<1.3cm>[o][F.]R \\

\endequation*

Ejemplo N 203:

µN // SβS //

IθI //

R

µS µI µR

\beginequation*

\xymatrix \mu N \ar[rr] &&

*+<1.3cm>^[o][F]S \ar[rr]^\beta S

\ar[d] &&

*+<1.3cm>[o][F] I \ar[rr]^\theta I \ar[d] &&

*+<1.3cm>[o][F]R\ar[d]\\

&& \mu S && \mu I && \mu R

\endequation*

LATEX Avanzado 106


Ejemplo N 204:

µN // S β1SI2 //

I1θ1I //

R

µS (µ+ υ)I1 µR

ζI1// I2

θ2

EE

\beginequation*

\xymatrix \mu N \ar[r] &

*+<1.3cm>^[o][F.]S \ar[r]|\beta_1 S

I_2 \ar[d] & *+<1.3cm>[o]

[F.] I_1 \ar[r]^\theta_1 I

\ar[d] & *+<1.3cm>[o][F.]R\ar[d] \\

& \mu S && (\mu +

\upsilon)I_1 & \mu R \\

& \zeta I_1 \ar[rr] &

*+<1.3cm>[o][F.]I_2 \ar[ruu]_\theta_2

&

\endequation*

Ejemplo N 205:

∆N

Sβ //

Iθ //

R1ψ1 //

R2ψn−1 //

Rn

µ µ+ ε µ µ µ

\beginequation*

\xymatrix \Delta N \ar[d] & & & &\\

*+<1cm>^[o][F]S \ar[r]^\beta

\ar[d] & *+<1cm>[o][F] I

LATEX Avanzado 107


\ar[r]^\theta \ar[d] &

*+<0.8cm>[o][F]R_1\ar[r]^\psi_1\ar[d] &

*+<0.8cm>[o][F]R_2

\ar@-->[r]^\psi_n-1\ar[d]&

*+<0.8cm>[o][F]R_n\ar[d]\\

\mu & \mu + \epsilon

& \mu & \mu & \mu

\endequation*

Ejemplo N 206:

∆N

Sβ //

Eθ //

Iα //

R

ϑ

µ µ+ ε µ µ

\beginequation*

\xymatrix \Delta N \ar[d] & & & \\

*+<1cm>^[F-,]S \ar[r]^\beta

\ar[d] &

*+<1cm>[F-,] E \ar[r]^\theta \ar[d] &

*+<1cm>[F-,]I\ar[r]^\alpha\ar[d]&

*+<1cm>[F-,]R\ar@-->

@/_1.5cm/[lll]_\vartheta\ar[d]\\

\mu & \mu + \epsilon & \mu & \mu

\endequation*

Ejemplo N 207:

∆N

S

β

&&

I

ϑ

ff

µ µ+ ε

LATEX Avanzado 108


\beginequation*

\xymatrix \Delta N \ar[d] &&&& \\

*+<1cm>[F=]S\ar@-->@/^1cm/[rrrr]^\beta

\ar[d] &&&&

*+<1cm>[F=]I\ar@-->@/^1cm/[llll]_\vartheta

\ar[d] \\

\mu &&&& \mu + \epsilon

\endequation*

Ejemplo N 208:

∆N // S β //

I

µS (µ+ ε)I

\beginequation*

\xymatrix \Delta N \ar[rr] &&

*+<1cm>[F--]S\ar[rr]|\beta \ar[d] &&

*+<1cm>[F--]I\ar[d] \\

&& \mu S && (\mu + \epsilon)I

\endequation*

Ejemplo N 209:

Modelo Malthusiano

µx // x // βx

\begincenter

\textbfModelo Malthusiano

\endcenter

\beginequation*

\xymatrix \mu x \ar[rr] &&

*+<1cm>[o][F--]x\ar[rr] &&

\beta x

\endequation*

Ejemplo N 210:

LATEX Avanzado 109


Modelo Logıstico

ξ(1− x

K

)x // x

\begincenter

\textbfModelo Log\’istico

\endcenter

\beginequation*

\xymatrix \xi \left(1-\frac xK\right)x

\ar[rr] &&

*+<1cm>[o][F--]x

\endequation*

Ejemplo N 211:

Modelo Presa - Depredador de Lotka - Volterra

αx // x

y

θxyoo

µxy εy

\beginequation*

\xymatrix \alpha x \ar[rr] &&

*+<1cm>[o][F--]x\ar@--[rr] \ar[d] &&

*+<1cm>[o][F--]y\ar[d] &&

\theta xy \ar[ll]\\

&& \mu xy && \epsilon y &&

\endequation*

Ejemplo N 212:

Modelo Presa - Depredador - Parasitoide

\beginequation*

\xymatrix *+<1cm>[o][F--]M\ar[rr]|\lambda M

\ar[d]&&*+<1cm>[o][F--]L\ar[d]

\ar@->@/_1cm/[ll]|\omega L\\

\alpha M + \beta X M && \theta L \\

fXM \ar[rr] && *+<1cm>[o][F--]X

LATEX Avanzado 110


\ar@->@/_1cm/[uull]

\ar@-->@/_0.8cm/[uu]

\ar[d] && \epsilon L \ar@->[ll] \\

&& \mu X &&

\endequation*

M λM //

L

ωLzz

αM + βXM θL

fXM // X

ll

XX

εLoo

µX

Ejemplo N 213:

x1αeετx1x4//

x2

σ(1− µ sinωt)(x3 + x4)

''

θx1 θx2

x3βx2x3 //

x4

XX

εx3 + u1 εx4 + u1

\beginequation*

scriptstyle \xymatrix & *+<1cm>[o][F--]x_1

\ar[r]^\alpha

e^\epsilon \tau x_1 x_4 \ar[d] &

LATEX Avanzado 111


*+<1cm>[o][F--]x_2

\ar[d]\ar@-->@/_/[ddl]\\

*+<1cm>[F-,]\sigma (1-\mu \sin \omega t)

(x_3 + x_4)\ar[rd]

\theta x_1 & \theta x_2\\

& *+<1cm>[o][F--]x_3

\ar@-->[r]^\beta x_2 x_3\ar[d] &

*+<1cm>[o][F--] x_4\ar@->@/_/[uul]

\ar[d] \\

& \epsilon x_3+u_1 & \epsilon x_4+u_1

\endequation*

Ejemplo N 214:

Modelo para el control quımico de A. aegypti conresistencia

αψ1(·) // xβψ2(·) //

y

εx− u1 εy − u1

µN // Sλψ3(·)

λrψ4(·)//

Iθ //

WW

R

µS µI µR

fαψ1(·)m+ αrψ1(·)mr// xr

βrψ5(·)//

yr

WW

εrxr εryr

\begincenter

\textbfModelo para el control qu\’imico

del \textitA.aegypti con

resistencia

LATEX Avanzado 112


\endcenter

\beginequation*

\xymatrix \alpha \psi_1 (\cdot)

\ar[r] & *+<cm>[o][F--]x

\ar[r]^\beta \psi_2 (\cdot) \ar[d] &

*+<1cm>[o][F--]y\ar@-->@/_/[ddl]

\ar[d] &\\

& \epsilon x - u_1 & \epsilon y - u_1 &\\

\mu N \ar[r] & *+<1cm>[F-,]S

\ar@-->[r]^\lambda \psi_3

(\cdot)_\lambda_r \psi_4 (\cdot)

\ar[d] & *+<1cm>[F-,] I

\ar[r]^\theta \ar@->@/_/[ddl]

\ar[d] \ar@/^/[uul]

\ar[d] & *+<1cm>[F-,]R \ar[d]\\

& \mu S & \mu I & \mu R\\

f\alpha \psi_1(\cdot)m +

\alpha_r \psi_1(\cdot)m_r \ar[r] &

*+<1cm>[o][F--]x_r

\ar[r]^\beta_r \psi_5 (\cdot) \ar[d] &

*+<1cm>[o][F--] y_r \ar[d]

\ar@-->@/^/[uul] &\\

& \epsilon_r x_r & \epsilon_r y_r &

\endequation*

Ejemplo N 215:

Modelo para el control del dengue

µN // xαψ1(

mim

)x//

yθy //

z

µx µy µz

ωa // msβψ2( y

N)ms

//

miφmψ3(1−a

I)//

\\

a

εms εmi (π + ω)a

LATEX Avanzado 113


\beginequation*

\xymatrix \mu N \ar[rr] && *+<1cm>[F-,]x

\ar[rr]^\alpha \psi_1

(\fracm_im)x \ar[d] &&

*+<1cm>[F-,] y \ar[rr]^\theta y

\ar@-->@/^/[ddl] \ar[d] &&

*+<1cm>[F-,]z \ar[d]\\

&& \mu x && \mu y && \mu z\\

\omega a \ar[rr] && *+<1cm>[o][F]m_s

\ar@-->[rr]_\beta \psi_2

(\fracyN)m_s \ar[d] &&

*+<1cm>[o][F] m_i \ar[rr]^\phi m

\psi_3 (1-\frac aI)

\ar@/^/[uul] \ar[d] &&

*+<1cm>[o][F]a \ar[d]\\

&& \epsilon m_s && \epsilon m_i &&

(\pi + \omega)a

\endequation*\\

Ejemplo N 216:

Modelo para el control integrado del A. aegypti

\begincenter

\textbfModelo para el control

integrado del \textitA. aegypti

\endcenter

\beginequation*

\xymatrix \Delta N\ar[rr] &&

*+<1cm>[o][F--]x\ar[rr]^\psi_1

(\cdot)x \ar[d] && *+<1cm>[o][F--]y

\ar[rr]^\theta

y\ar@-->@/^/[ddll]

\ar[d] && *+<1cm>[o][F--]z \ar[d]\\

&& \mu x && \mu y && \mu z\\

&& *+<1cm>[o][F--]m_s \ar[ll]_u_1

\ar@-->[rr]^ \psi_3

(\cdot)m_s \ar[d] &&

*+<1cm>[o][F--] m_i\ar@->@/_/[uull]

\ar[d] && \\

&& \epsilon m_s && (\epsilon - u_1)m_i &&\\

LATEX Avanzado 114


&& *+<1cm>[o][F--] p

\ar@->@/^1cm/[uu]^\psi_4(\cdot)p\ar[d] &&

*+<1cm>[o][F--] l

\ar [ll]_\psi_3(\cdot)l\ar[d] &&

*+<1cm>[o][F--] h

\ar [ll]_\psi_6(\cdot)h\ar[d]\\

&&\epsilon_p p && (\epsilon_l + \beta x_d)l &&

\epsilon_h h\\

&& \xi l x_d \ar[rr] && *+<1cm>[o][F--]

x_d\ar[rr]\ar@-->@/^1cm/[uu] && \omega x_d

\endequation*

∆N // xψ1(·)x //

yθy //

z

µx µy µz

msu1oo ψ3(·)ms //

mi

^^

εms (ε− u1)mi

p

ψ4(·)p

CC

lψ3(·)loo

hψ6(·)hoo

εpp (εl + βxd)l εhh

ξlxd // xd //

CC

ωxd

3.3. Arreglos matriciales y tablas [26].

Esta seccion contiene el diseno de arreglos matriciales especia-les, tablas y fıguras.

LATEX Avanzado 115


Ejemplo N 217:

A =

1 0 ∗ 1 ∗ ∗ ∗0 1 ∗ 0 ∗ ∗ ∗0 0 0 1 ∗ ∗ ∗0 0 0 0 0 0 0

.

\[\newcommand *\temp\multicolumn1c|0

A=\left [

\beginarrayccccccc

1 & 0 & \ast & 1 & \ast & \ast & \ast\\

\cline 1-1

\temp & 1 & \ast & 0 & \ast & \ast & \ast\\

\cline 2-3

0 & 0 & \temp & 1 & \ast & \ast & \ast \\

\cline 4-7

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0

\endarray

\right ].\]

Ejemplo N 218:

det

x11 0 . . . 0x21

... Gxn1

= x11(detG).

\[\newcommand *\tempa\multicolumn1|c

\newcommand *\tempb\multicolumn1c|

\det \left [\beginarraycccc

x_11 & 0 & \ldots & 0 \\

\cline2-4

x_21 & \tempa & & \tempb \\

\vdots & \tempa & G & \tempb \\

x_n1 & \tempa & & \tempb \\

\cline2-4

\endarray\;\right ]= x_11 (\det G ).\]

LATEX Avanzado 116


Ejemplo N 219:

a 1.3 0.5

b 1.5 0.9

c 3.2 1.4

\begindisplaymath

\begintabular|l|l|l|

\hline

a & 1.3 & 0.5\\

\hline \hline

b & 1.5 & 0.9 \\

\hline \hline

c & 3.2 & 1.4 \\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 220:

Modelo matematico para elcontrol integrado del A.aegypti.

\begindisplaymath

\begintabular|p6 cm|

\hline \textbfModelo matem\’atico para

el control integrado del

\textitA.aegypti.\\ \hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 221:

n∑i=1

n+en√n+1∫ b

a arctan dt(log x+ex√

x

)x\begindisplaymath


\hline

LATEX Avanzado 117


\begindisplaymath

\begincases

\overset n\underset i=1\sum

\frac n+e^n\sqrt n+1\\

\int_a^b \arctan dt\\

\left(\frac \log x+e^x

\surd x\right )^x

\endcases

\enddisplaymath\\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 222:

Xf // Y

\begindisplaymath


\hline

\begindisplaymath

\xymatrix*+<2cm>[F-,]X

\ar [r]^f & *+<2cm>[F-,]Y

\enddisplaymath\\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 223:

X f // Y

LATEX Avanzado 118


\begindisplaymath


\hline

\begindisplaymath

\xymatrix*+<2cm>[o][F--]X \ar [r]|f &

*+<2cm>[o][F--]Y

\enddisplaymath\\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 224:

X f +3 Y

\begindisplaymath


\hline

\begindisplaymath

\xymatrix*+<1cm>[o][F=]X \ar @:> [r]|f

& *+<1cm>[o][F=]Y

\enddisplaymath\\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 225:

Parametros Valor

α 0,7β 1,3θ 2,1

\begindisplaymath

\begintabularc r @, l

Par\’ametros &

\multicolumn2cValor\\

\hline

$\alpha$ & 0&7 \\

$\beta $ & 1&3 \\

LATEX Avanzado 119


$\theta$ & 2&1 \\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 226:

Parametros Intervalo Valor promedio

α [0,7 1,3] 1,1β [1,3 1,7] 1,5θ [2,1 2,9] 2,5φ [0,2 0,8] 0,5χ [0,4 1,8] 0,6

\begindisplaymath

\begintabularc c c @, l

Par\’ametros & \multicolumn3

cIntervalo Valor promedio\\

\hline

$\alpha$ & [0,7 1,3] & \qquad 1&0\\

$\beta $ & [1,3 1,7] & \qquad 1&5\\

$\theta$ & [2,1 2,9] & \qquad 2&5\\

$\phi$ & [0,2 0,8] & \qquad 0&5\\

$\chi$ & [0,4 1,8] & \qquad 0&6\\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 227:

a b c

0,7 1,5 0,9

1,2 3,2 1,4

0,2 1,3 0,6

0,9 2,1 1,7

1,4 1,7 2,3

\begindisplaymath

\begintabular|l|c|l|

\hline

a & b & c \\

\hline \hline

0,7 & 1,5 & 0,9\\

LATEX Avanzado 120


\hline

1,2 & 3,2 & 1,4\\

\hline

0,2 & 1,3 & 0,6\\

\hline

0,9 & 2,1 & 1,7\\

\hline

1,4 & 1,7 & 2,3\\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 228:

Cuadro 3.1: Parametros del modelo

a b c

0,7 1,5 0,9

1,2 3,2 1,4

0,2 1,3 0,6

0,9 2,1 1,7

1,4 1,7 2,3

\begintable[h]

\caption Par\’ametros del modelo

\begindisplaymath

\begintabular|l|c|l|

\hline

a & b & c \\

\hline \hline

0,7 & 1,5 & 0,9\\

\hline

1,2 & 3,2 & 1,4\\

\hline

0,2 & 1,3 & 0,6\\

\hline

0,9 & 2,1 & 1,7\\

\hline

1,4 & 1,7 & 2,3\\

LATEX Avanzado 121


Cuadro 3.4: Flechas

Codigo Flecha Codigo Flecha

\leftarrow ← \rightarrow →\longleftarrow ←− \longrightarrow −→\Leftarrow ⇐ \Rightarrow ⇒\Longleftarrow ⇐= \Longrightarrow =⇒\leftrightarrow ↔ \longleftrightarrow ←→\Leftrightarrow ⇔ \Longleftrightarrow ⇐⇒\uparrow ↑ \downarrow ↓\Uparrow ⇑ \Downarrow ⇓\updownarrow l \Updownarrow m\nearrow \searrow \mapsto 7→ \longmapsto 7−→\hookleftarrow ← \hookrightarrow →\leftharpoonup \rightharpoonup \leftharpoondown \rightharpoondown \rightleftharpoons \rightleftarrows \nleftarrow 8 \nrightarrow 9\nLeftarrow : \nRightarrow ;\nleftrightarrow = \nLeftrightarrow <

$\leftarrow $ &

\verb|\rightarrow| &

$\rightarrow $ \\

\verb|\longleftarrow| &

$\longleftarrow$ &

\verb|\longrightarrow| &

$ \longrightarrow $ \\

\verb|\Leftarrow| &

$\Leftarrow $ &

\verb|\Rightarrow| &

$ \Rightarrow $ \\

\verb|\Longleftarrow| &

$\Longleftarrow $ &

\verb|\Longrightarrow| &

$ \Longrightarrow$ \\

\verb|\leftrightarrow|&

$\leftrightarrow $ &

\verb|\longleftrightarrow| &

LATEX Avanzado 125


\verb|\nrightarrow| &

$\nrightarrow$ \\

\verb|\nLeftarrow| &

$\nLeftarrow$ &

\verb|\nRightarrow| &

$\nRightarrow$\\

\verb|\nleftrightarrow| &

$\nleftrightarrow$

& \verb|\nLeftrightarrow| &

$\nLeftrightarrow$ \\

\hline \hline

\endtabular

\enddisplaymath

\endtable

Ejemplo N 232:

Cuadro 3.5: Miscelanea de Simbolos

Codigo Simbolo Codigo Simbolo

\infty ∞ \Re <\emptyset ∅ \partial ∂\forall ∀ \prime ′\smallint ∫ \backslash \\surd

√\exists ∃

\diagup \triangle 4\nexists @ \Vert ‖\bot ⊥ \angle ∠\complement \vartriangle M\varnothing ∅ \diagdown

\begintable[h]

\caption Miscelanea de Simbolos

\begindisplaymath


\hline

C\’odigo & Simbolo &

C\’odigo & Simbolo \\

\hline \hline \verb|\infty| &

LATEX Avanzado 127


$\beta $ & $\theta $ & $\zeta $ &

$ \vartheta $ & $ \lambda $ \\

\rowcolor[gray]0.9

$\xi$ & $\varphi $ & $\chi $ &

$ \sigma $ & $ \phi $ \\

\hline

\endtabular

\endcenter

Ejemplo N 234:

X f // Y

\begindisplaymath


\hline

\begindisplaymath

\colorred \xymatrix *+<2cm>[o][F--]X

\ar [r]|f &

*+<2cm>[o][F--]Y

\enddisplaymath\\

\hline

\endtabular

\enddisplaymath

Ejemplo N 235:

MODELO PARA EL CONTROL MECANICO DELMOSQUITO A.aegypti EN INCIDENCIA DE DEN-GUE

\begincenter

\fbox\colorboxyellow\parbox0.8\linewidth

MODELO PARA EL

CONTROL MECANICO DEL MOSQUITO \textitA.aegypti

EN INCIDENCIA DE

DENGUE

\endcenter

LATEX Avanzado 129


Ejemplo N 236:

MODELO PARA EL CONTROL MECANICO DELMOSQUITO A.aegypti EN INCIDENCIA DE DEN-GUE

\begincenter

\fcolorboxredyellow\parbox0.8\linewidth

MODELO PARA EL

CONTROL MECANICO DEL MOSQUITO \textitA.aegypti

EN INCIDENCIA DE

DENGUE

\endcenter

LATEX Avanzado 130

Capıtulo 4

Inclusion de graficas eimagenes

En este capıtulo se ilustra la inclusion de graficas e imagenesdesde Pain archivos.png

4.1. Simulaciones y planos de fase

Ejemplo N 237:Programa en Maple [1]:

Figura 4.1: y = y − y2/12

DEplot(D(y)(t) = y − y2/12, y(t), t = 0..,10, [[y(0) = 3], [y(0) =20], [y(0) = 12], [y(0) = 8]], linecolor=black);

131


\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics[width=4in,height=2.5in]g0\\

\caption$\doty=y-y^2/12$

\endfigure


Figura 4.2: y = −y + 1 + sin 4t− 2cos6t

DEplot(D(y)(t) = −y + 1 + sin (4 ∗ t)− 2 ∗ cos(6 ∗ t),y(t), t = 0..,10, [[y(0) = −1], [y(0) = 0], [y(0) = 1],[y(0) = 2], [y(0) = 3]], linecolor=black);

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics

[width=4in,height=2.5in]guia2\\

\caption$\doty=-y+1+

\sin4t-2cos6t$

\endfigure


DEplot([diff(x(t), t) = x(t)−· 2 ∗ x(t) ∗ y(t), diff(y(t), t) =· 1 ∗ x(t) ∗ y(t) − y(t)], [x(t), y(t)], t = 0.,60, [[x(0) = 5, y(0) =20], [x(0) = 5, y(0) = 30], [x(0) = 5, y(0) = 40]],

LATEX Avanzado 132


Figura 4.3: Modelo de Lotka - Volterra - Depredador

scene = [t, y(t)],stepsize = ·5,linecolor=black,arrows=small,method=rkf45);

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics


\captionModelo de Lotka -

Volterra - Depredador

\endfigure


DEplot([diff(x(t), t) = x(t)−·2 ∗ x(t) ∗ y(t), diff(y(t), t) = ·1 ∗ x(t) ∗ y(t)− y(t)],[x(t), y(t)], t = 0.,60, [[x(0) = 5, y(0) = 20], [x(0) =5,y(0)=30],[x(0)=5,y(0)=40]], scene = [t, x(t)], stepsize = ·5,linecolor=black,arrows=small,method=rkf45);

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics

LATEX Avanzado 133


Figura 4.4: Modelo de Lotka - Volterra - Presa


\captionModelo de

Lotka - Volterra - Presa

\endfigure


DEplot([diff(x(t), t) =x(t)− ·2 ∗ x(t) ∗ y(t),diff(y(t), t) = ·1 ∗ x(t) ∗ y(t)− y(t)],[x(t), y(t)], t = 0.,60, [[x(0) = 5, y(0) = 20], [x(0) =5, y(0) = 30], [x(0) = 5, y(0) = 40]],scene = [y(t), x(t)], stepsize = ·5,linecolor=black,arrows=small,method=rkf45);

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics


\captionPlano de fase

din\’amica Lotka - Volterra

\endfigure

Ejemplo N 242:Programa en Maple:

LATEX Avanzado 134


Figura 4.5: Modelo de Lotka - Volterra - Presa

DEplot([diff(w(t), t) =−0,002 ∗ w,diff(x(t), t) = 0.002 ∗ w − 0,08 ∗ x− x ∗ y2,diff(y(t), t) =0,08 ∗ x− y + x ∗ y2, diff(z(t), t) = y],[w(t), x(t), y(t), z(t)], t = 0.,1000, [[w(0) =500, x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 0]], scene =[t, x], stepsize = 0,05, linecolor=black,arrows=small,method=rkf45);

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics


\caption$\dotw=-0.002 w ;

\dotx=0.002 w-0.08 x-x y^2;

\doty=0.08 x-y+xy^2;\dotz=y$

\endfigure


DEplot([diff(w(t),t)=−0,002∗w,diff(x(t),t)=0,002∗w−0,08∗x−x∗y2,diff(y(t),t)=0,08∗x−y+x∗y2,diff(z(t),t)=y],[w(t),x(t),y(t),z(t)],t=0.,1000,[[w(0)=500,x(0)=0,y(0)=0,z(0)=

0]],

scene=[t,y],stepsize=0,05,linecolor=black, arrows=small,method=rkf45;)

LATEX Avanzado 135


Figura 4.6: Plano de fase dinamica Lotka - Volterra

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics


\caption$\dotw=-0.002 w ;

\dotx=0.002 w-0.08 x-x y^2;

\doty=0.08 x-y+xy^2;\dotz=y$

\endfigure


DEplot([diff(x(t), t) =100 ∗ x ∗ (x+ 0,1) ∗ (1− x)− 100 ∗ y,diff(y(t), t) = x− 0,5 ∗ y],[x(t), y(t)], t = 0.,30, [[x(0) = 0,1, y(0) = 0]],scene = [t, x], stepsize = 0,05,linecolor=black, arrows=small,method=rkf45);

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics


\captionModelo de

FitzHugh - Nagumo

\endfigure

LATEX Avanzado 136


Figura 4.7: w = −0,002w; x = 0,002w − 0,08x − xy2; y = 0,08x −y + xy2; z = y


DEplot([diff(x(t), t) =100 ∗ x ∗ (x+ 0,1) ∗ (1− x)− 100 ∗ y,diff(y(t), t) = x− 0,5 ∗ y],[x(t), y(t)], t = 0.,30, [[x(0) = 0,1, y(0) = 0]],scene = [t, y], stepsize = 0,05,linecolor=black, arrows=small,method=rkf45);

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics


\captionModelo de

FitzHugh - Nagumo

\endfigure


DEplot([diff(x(t), t) =100 ∗ x ∗ (x+ 0,1) ∗ (1− x)− 100 ∗ y,diff(y(t), t) = x− 0,5 ∗ y],[x(t), y(t)], t = 0.,30, [[x(0) = 0,1, y(0) = 0]],scene = [t, y], stepsize = 0,05,linecolor=black, arrows=small,method=rkf45);

LATEX Avanzado 137


Figura 4.8: w = −0,002w; x = 0,002w − 0,08x − xy2; y = 0,08x −y + xy2; z = y

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics


\captionPlano de fase

din\’amica FitzHugh - Nagumo

\endfigure

4.2. Imagenes

Ejemplo N 247:Fıguras Imposibles

\beginfigure[h]

\centering


PINTURA3456\\

\captionF\’iguras Imposibles:

S\’atira sobre una falsa perspectiva,

William Hogarth 1754; Cascada(1961);

Belvedere(1958); Otro Mundo II

(1974), M.C. Escher(1898-1972) ~\citehI04.

\endfigure

LATEX Avanzado 138


Figura 4.9: Modelo de FitzHugh - Nagumo

Ejemplo N 248:

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics[width=3in]familia\\

\captionFamilia

\endfigure

Ejemplo N 249:

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics[width=2in]irma\\

\captionMi esposa

\endfigure

Ejemplo N 250:

\beginfigure[h]

\centering \subfigure [La familia Guerrero

]\includegraphics[width=2.8in]famjon

\subfigure[La familia

Lim\’on]

LATEX Avanzado 139


Figura 4.10: Modelo de FitzHugh - Nagumo

\includegraphics[width=2.05in]famlimon\\

\captionFamilias M\’exicanas

\endfigure

Ejemplo N 251:Estatua del Cacique Calarca

\textbfEstatua del Cacique Calarc\’a

\beginfigure[h]

\centering


Calarca1\\

\captionEstatua del Cacique

Calarc\’a ~\citewC08.

\endfigure

Ejemplo N 252:Ejemplo N 253:

Mapas de Colombia y Latinoamerica

\textbfMapas de Colombia y Latinoam\’erica

\beginfigure[h]

\centering \subfigure[Colombia]

\includegraphics[width=2in]MC1

\subfigure[Latinoamerica]

\includegraphics[width=2in]Lat1\\

LATEX Avanzado 140


Figura 4.11: Plano de fase dinamica FitzHugh - Nagumo

\captionMapas de Colombia y

Latinoam\’erica ~\citewD07.

\endfigure

Ejemplo N 254:Pensadores Sociales

\textbfPensadores Sociales

\beginfigure[h]

\centering \subfigure[ Bolivar

S.(1783-1830)]\includegraphics

[width=1.5in]S1

\subfigure[Marx

C.(1818-1883)]

\includegraphics[width=1.5in]M1\\

\subfigure[Lenin V.

I.(1870-1924)]\includegraphics

[width=1.5in]L1 \subfigure[

Gu\’evara H. (1928-1967)]\includegraphics

[width=1.5in]che1\\

\caption Pensadores Sociales

~\citewE30, ~\citewM83,

~\citewB24, ~\citewK09.

\endfigure

LATEX Avanzado 141


Figura 4.12: Fıguras Imposibles: Satira sobre una falsa perspectiva,William Hogarth (1754); Cascada(1961); Belvedere (1958); OtroMundo II (1974), M. C. Escher (1898 - 1972) [27].

Ejemplo N 255:

\beginfigure[h]

\centering

\includegraphics[width=4in,height=5in]g01\\

\captionGr\’aficas de Superficies

\endfigure

LATEX Avanzado 142


Figura 4.13: Familia

Figura 4.14: Mi esposa

LATEX Avanzado 143


(a) La familia Guerrero (b) La familia Limon

Figura 4.15: Familias Mexicanas

Figura 4.16: Estatua del Cacique Calarca [45].

Figura 4.17: Mascotas de la familia: Katy, Coco y Mateo

LATEX Avanzado 144


(a) Colombia (b) Latinoamerica

Figura 4.18: Mapas de Colombia y Latinoamerica [47].

LATEX Avanzado 145


(a) Bolivar S.(1783-1830) (b) Marx C.(1818-1883)

(c) Lenin V. I.(1870-1924) (d) Guevara H.(1928-1967)

Figura 4.19: Pensadores Sociales [48], [53], [44], [50].

LATEX Avanzado 146


Figura 4.20: Graficas de Superficies

LATEX Avanzado 147


LATEX Avanzado 148

Capıtulo 5

Aplicaciones

5.1. Minipaginas [26]

En este capıtulo mostrare como se generan diferentes tipos deminipaginas y la inclusion de fıguras, diagramas, tablas, poemasy ecuaciones diferenciales.

5.2. Inclusion de imagen en una minipagina

Breve biografıa de Henri LeonLebesgue (Beauvais, 1875 - Pa-ris, 1941): Matematico Frances. For-mulo la teorıa de la medida en 1901.Fue profesor en las Universidades deRennes, Nancy y Paris y miembro dela academia de ciencias. Estudio las se-ries geometricas y la teorıa de funcionesde variable real y dio una nueva defi-nicion de la integral definida (integralde Lebesgue) a partir de las sucesiones.Escribio Lecciones sobre la integraciony la obtencion de funciones primitivas[34]

\beginfigure[h]

\beginminipage[c]2in

\bf \footnotesizeBreve

biograf\’ia de Henri L\’eon Lebesgue

(Beauvais, 1875 - Paris, 1941):

\scriptsizeMatem\’atico

149


Franc\’es. Formul\’o la teor\’ia

de la medida en 1901. Fu\’e

profesor en las Universidades de

Rennes, Nancy y Paris y miembro de

la academia de ciencias. Estudi\’o

las series geom\’etricas y la

teor\’ia de funciones de variable real

y dio una nueva definici\’on

de la integral definida (integral de

Lebesgue) a partir de las

sucesiones. Escribi\’o Lecciones sobre

la integraci\’on y la

obtenci\’on de funciones

primitivas ~\citehW75

\endminipage


\includegraphics[width=1in]fotolebesgue\\

\endminipage

\endfigure

5.3. Poema e Imagen en una minipagina

Campesina [33]

PabloNeruda(1904− 1973),Chile [32]

Entre los surcos tu cuerpo morenoes un racimo que a la tierra llega.Torna los ojos, mirate los senos,son dos semillas acidas y ciegas.Tu carne es tierra que serıa maduracuando el otonote tienda las manos,y el surco que serıa tu sepulturatemblarıa, temblarıa, como un humanoal recibir tus carnes y tus huesos-rosas de pulpa con rosas de cal:rosas que en el primero de los besosvibraron como un vaso de cristal-.La palabra de que concepto plenoserıa tu cuerpo? No lo he de saber!Torna los ojos, mirate los senos,tal vez no alcanzarıas a florecer.

\beginfigure[h]


LATEX Avanzado 150


\begindisplaymath

\bf \footnotesizeCampesina

\enddisplaymath

\begindisplaymath

\bf \footnotesizePablo Neruda

(1904-1973),Chile

\enddisplaymath

\beginverse

\scriptsizeEntre los surcos tu

cuerpo moreno\\

es un racimo que a la tierra llega.\\

Torna los ojos, mirate los senos,\\

son dos semillas \’acidas y ciegas.\\

Tu carne es tierra que ser\’ia madura\\

cuando el oto\~note tienda las manos,\\

y el surco que ser\’ia tu sepultura\\

temblar\’ia, temblar\’ia, como un humano\\

al recibir tus carnes y tus huesos\\

-rosas de pulpa con rosas de cal:\\

rosas que en el primero de los besos\\

vibraron como un vaso de cristal-.\\

La palabra de qu\’e concepto pleno\\

ser\’ia tu cuerpo? No lo he de saber!\\

Torna los ojos, mirate los senos,\\

tal vez no alcanzar\’ias a florecer.

\endverse

\endminipage

\beginminipage[r]0.8in

\includegraphics[width=0.8in]fotopablo\\

\endminipage

\endfigure

5.4. Pintura e imagen en una minipagina

\beginfigure[h]

\beginminipage[c]2.5in

\begindisplaymath

\text\footnotesize

\textbfPablo Picasso (1881 - 1973)

\enddisplaymath


LATEX Avanzado 151


Pablo Picasso (1881 - 1973) [32]

pinturapicasso\\

\endminipage


\includegraphics[width=0.7in]fotopicasso\\

\endminipage

\endfigure

5.5. Imagen y fotos de los hijos en una mi-nipagina

Maravilla del mundo [31]

Con carino a mis hijos

Alejandro, Pablo, Dalia

Mexico - Puebla: 2006

\beginfigure[h]


\begindisplaymath

LATEX Avanzado 152


\text\footnotesize\textbfMaravilla

del mundo~\citehW06

\enddisplaymath

\includegraphics[width=2.6in]

fotomaravilla\\

\endminipage


\includegraphics[width=0.7in]alejandro\\


\includegraphics[width=1in]Dibujo\\

\begindisplaymath

\text\tiny\textbfCon cari\~no a

mis hijos

\enddisplaymath

\begindisplaymath

\text\tiny\textbfAlejandro,

Pablo, Dalia

\enddisplaymath

\begindisplaymath

\text\tiny\textbfM\’exico -

Puebla: 2006

\enddisplaymath

\endminipage

\endminipage

\endfigure

5.6. Ecuaciones diferenciales y diagrama deflujos en una minipagina

\beginfigure[h]

\beginminipage[l]2.7in

\begindisplaymath

\text\footnotesize\textbfEcuaciones

Diferenciales

\enddisplaymath

\begineqnarray*

\dots & = & \Delta N +

\theta E - \mu s -

\alpha s e\\

\dote & =& \alpha s e-\theta e - \mu e \\

LATEX Avanzado 153


Ecuaciones Diferenciales

s = ∆N + θE − µs− αsee = αse− θe− µe

−(β1 + β2 + β3)e

x = β1e− µxy = β2e− µyz = β3e− µz

Donde ∆, θ, µ, α, β1, β2, β3 ≥ 0

∆N

x // µx

s

αse // e

β3e

β1e

??

θeyy β2e // y // µy

µs µe z // µz

&& - (\beta_1 + \beta_2 + \beta_3) e\\

\dotx & = & \beta_1 e - \mu x\\

\doty & = & \beta_2 e - \mu y\\

\dotz & =& \beta_3 e -\mu z

\endeqnarray*

Donde $\Delta , \theta , \mu , \alpha ,

\beta_1 , \beta_2 , \beta_3

\geq 0$

\endminipage


\xymatrix\Delta N \ar[d] &&

*+<0.5cm>[o][F-]x

\ar[r] & \mu x\\

*+<0.5cm>[F--]s\ar[d]

\ar[r]^\alpha se &

*+<0.5cm>[o][F--]e\ar[rd]_\beta_3 e\ar[d]

\ar[ru]^\beta_1

e\ar@/_1pc/[l]_\theta e

\ar[r]^\beta_2 e &

*+<0.5cm>[F-]y\ar[r] & \mu y\\

\mu s & \mu e & *+<0.5cm>[F--]z

\ar[r] & \mu z

\endminipage

\endfigure

LATEX Avanzado 154


5.7. Diseno de un diagrama conmutativo enuna minipagina

Diseno de un diagrama conmutativo

1. Diseno de la primera fila

2. Diseno de la segunda fila

3. Diseno de la tercera fila

4. Integracion de las tres filas

U − 0 Φ′// U ∩ V

Dn − 0Φ′′

// V

Sn−1f// Y

U − 0 Φ′//

_

α

U ∩ V _k

Dn − 0 Φ′′

// V

Sn−1f

//?

β

OO

Y?

j

OO

\beginfigure[h]

\beginminipage[l]2.5in

\begindisplaymath

\text\footnotesize\textbfDise\~no de

un diagrama conmutativo

\enddisplaymath

\beginenumerate

\item Dise\~no de la primera fila

\item Dise\~no de la segunda fila

\item Dise\~no de la tercera fila

\item Integraci\’on de las tres filas

\endenumerate

\endminipage


\begineqnarray*

\xymatrixU-\0\\ar[r]^\Phi^’ &

U\cap V\\

\xymatrixD^n-\0\\ar[r]^\Phi^’’

& V\\

\xymatrixS^n-1 \ar[r]_f & Y \\

\xymatrixU-\0\\ar[r]^\Phi^’

LATEX Avanzado 155


\ar@^(->[d]_\alpha

& U\cap V \ar@^(->[d]^k\\

D^n-\0\\ar[r]^\Phi^’’

& V\\

S^n-1 \ar[r]_f\ar@^(->[u]^\beta &

Y \ar@^(->[u]_j \\

\endeqnarray*

\endminipage

\endfigure

5.8. Minipagina de logos

Diseno de Logos

Diseno del logo de TEX [51]

Diseno del logo de LATEX [51]

Diseno del logo de LATEX 2e [51]

Diseno del logo de Paquete grafico [15]

Diseno del logo de la Uniquindıo [54]

Diseno del logo de la BUAP [40]

TEXLATEXLATEX2εXY- pic

\beginfigure[h]


\begindisplaymath

\text\footnotesize\textbfDise\~no de Logos

\enddisplaymath

\beginitemize

\item Dise\~no del logo de TEX

\item Dise\~no del logo de LATEX

\item Dise\~no del logo de LATEX 2e

\item Dise\~no del logo de Paquete gr\’afico

\item Dise\~no del logo de la Uniquind\’io

\enditemize

\endminipage


\TeX \\

LATEX Avanzado 156


\LaTeX \\

\LaTeX $2_\varepsilon$\\

\Xy - pic \\

\includegraphics[width=0.3in]logo\\

\includegraphics[width=0.3in]logbuap\\

\endminipage

\endfigure

5.9. Ediccion de proposiciones

En este capıtulo se indica la manera de incluir en un documento: Definiciones, lemas, teoremas y corolarios.

Definicion 3. Una coleccion no vacıa Σ de subconjuntos de X esun algebra si satisface:

X ∈ Σ

Si A ∈ Σ entonces−A ∈ Σ

Si A,B ∈ Σ entonces A ∪B ∈ Σ

Definicion 4. Σ es un σ−algebra si es un algebra cerrado res-pecto a las uniones numerables, es decir, si Ai∞i=1 ⊂ Σ entonces∪∞i=1Ai ∈ Σ.

Teorema 2. La interseccion de cualquier coleccion no vacia dealgebras o σ− algebras es, respectivamente, un algebra o un σ−algebra.

Corolario 2. Dada una coleccion D de subconjuntos de X existeun σ− algebra minimal que contiene a D ,Σ(D).

Definicion 5. Una funcion µ : Σ −→ [0,+∞] se llamara medidasi cumple:

1. Posividad: µ(A) ≥ 0 ∀A ∈ Σ ∧ µ(∅) = 0

2. σ− aditividad: Si Eii∈N es una familia disjunta de con-juntos de Σ , entonces

µ(∞⋃i=1

Ei) =∞∑i=1

µ(Ei)

LATEX Avanzado 157


Teorema 3. Una medida µ satisface las siguientes propiedades:

1. Monotonicidad: Si A,B ∈ Σ ∧B ⊂ A entoncesµ(B) ≤ µ(A)

2. Substractividad: Si A,B ∈ Σ ∧ B ⊂ A ∧ µ(B) < +∞entonces µ(A−B) = µ(A)− µ(B)

3. Subaditividad: Si Eii∈N ⊂ Σ entonces

µ(∞⋃i=1

Ei) ≤∞∑i=1

µ(Ei)

Teorema 4. Sea Σ un σ− algebra y Enn∈N ⊂ Σ una sucesionmonotonamente creciente, En ⊂ En+1. Entonces

µ(∞⋃i=1

Ei) = lımn−→∞

µ(En)

Definicion 6. Para A ⊂ X su medida exterior esta definida por

µ∗(A) = ınf

∞∑i=1

µ(Ei)

donde el infimo esta tomado sobre todos los posibles Σ− cubri-mientos del conjunto A.

Definicion 7 (Medida de Lebesgue en <). Un conjunto A ⊂ < esmedible segun Lebesgue si para cada entero positivo n el conjuntoacotado A ∩ [−n, n) es un conjunto medible segun Lebesgue. Lamedida de Lebesgue en < es

m(A) = lımn−→∞

m(A ∩ [−n, n)).

Definicion 8 (Funcion Medible). Una funcion f : X −→ <+ ≡< ∪ −∞,+∞ es Σ− medible si y solo si f−1(B) ∈ Σ para todoconjunto boreliano B, (f−1(B) = x ∈ X : f(x) ∈ B).

Lema 1 (Lema de Funcion Medible). Si f es medible y no negativaen E ∈ Σ ∧ µ(E) = 0 entonces

∫E fdµ = 0.

LATEX Avanzado 158


Teorema 5 (Desigualdad Chebychev). Sea f una funcion medibleno negativa . Entonces, para c > 0 tenemos

µx : f(x) > c ≤ 1

c

∫Xfdµ (5.1)

Teorema 6 (Convergencia monotona de Lebesgue). Sea A ∈ Σy sea 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · una sucesion creciente de funciones nonegativas medibles definidas en A. Entonces

lımn−→∞

∫Afn(x)dµ =

∫A

lımn−→∞

fn(x)dµ (5.2)

Lema 2 (Lema de Fatou). Si gn es una sucesion de funcionesmedibles no negativas y E ∈ Σ, entonces∫

Elım infn−→∞

gndµ ≤ lım infn−→∞

∫Egndµ (5.3)

5.10. Edicion del programa

\chapterEdicci\’on de proposiciones

En esta secci\’on se indica la manera de

incluir en un documento :

Definiciones, lemas, teoremas y corolarios.


\beginley

Una colecci\’on no vac\’ia $\Sigma

$ de subconjuntos de $X$ es un

\’algebra si satisface:\\

\beginitemize

\item $X\in \Sigma$

\item \text Si $A \in \Sigma$ entonces

$\overset -A \in

\Sigma$

\item \text Si $A,B \in \Sigma $ entonces

$A\cup B \in \Sigma$

\enditemize

\endley

\newtheoremley 3Definici\’on

\beginley

$\Sigma$ es un \text

$\sigma- $\’algebra si es

LATEX Avanzado 159


un \’algebra

cerrado respecto a las uniones numerables,

es decir, si

$\A_i\_i=1^\infty \subset

\Sigma $ entonces

$\cup_i=1^\inftyA_i \in \Sigma.$

\endley

\newtheoremteoTeorema

\beginteo

La intersecci\’on de cualquier

colecci\’on no

vacia de \’algebras o

\text $\sigma - $ \’algebras es,

respectivamente,

un \’algebra o

un \text $\sigma-$ \’algebra.

\endteo

\newtheoremcorCorolario

\begincor

Dada una colecci\’on $D$ de

subconjuntos de $X$

existe un \text

$\sigma-$ \’algebra minimal que

contiene a $D$ ,

$\Sigma (D)$.\\

\endcor

\newtheoremle4Definici\’on

\beginley

Una funci\’on $\mu : \Sigma

\longrightarrow

[0,+\infty ]$ se

llamar\’a medida si cumple:

\beginenumerate

\item \textbfPosividad:\quad

$ \mu (A)\geq 0\quad

\forall A \in \Sigma

\wedge \mu (\emptyset)=0$

\item \textbf$\sigma-$ aditividad:

\quad Si $\E_i\_i\in N$ es una familia

disjunta de conjuntos de

$\Sigma$ ,

LATEX Avanzado 160


entonces \\

\begindisplaymath

\mu ( \overset \infty\underset i=1

\bigcupE_i )=

\sum_i=1^\infty \mu (E_i)

\enddisplaymath

\endenumerate

\endley

\newtheoremteo1Teorema

\beginteo

Una medida $\mu$ satisface las siguientes

propiedades:\\

\beginenumerate

\item \textbfMonotonicidad:\quad Si

$A,B \in \Sigma \wedge B\subset A $ entonces

$\mu (B)\leq \mu (A)$

\item \textbfSubstractividad:\quad Si

$A,B \in \Sigma \wedge B\subset A \wedge

\mu (B)< +\infty $

entonces

$\mu (A-B)=\mu (A)-\mu (B)$

\item \textbf Subaditividad: \quad Si

$\E_i\_i\in N \subset

\Sigma$ entonces\\

\begindisplaymath

\mu ( \overset \infty\underset i=1

\bigcupE_i )\leq

\sum_i=1^\infty \mu (E_i)

\enddisplaymath

\endenumerate

\endteo


(Continuidad de la medida)

\beginteo

Sea $\Sigma$ un \text $\sigma-$ \’algebra

y $\E_n\_n\in

N\subset \Sigma$ una sucesi\’on mon\’otonamente

creciente, $E_n

\subset E_n+1$. Entonces\\

\begindisplaymath

\mu ( \overset \infty

LATEX Avanzado 161


\underset i=1\bigcupE_i )=

\lim_n\longrightarrow \infty \mu (E_n)

\enddisplaymath

\endteo


\beginley

Para $A \subset X $ su medida exterior

est\’a definida por\\

\begindisplaymath

\mu^\ast (A)= \inf \sum_i=1^\infty \mu (E_i)

\enddisplaymath

donde el infimo est\’a tomado sobre

todos los posibles $\Sigma-$

cubrimientos del conjunto $A$.

\endley


\beginley[Medida de Lebesgue en $ \Re$]

Un conjunto $A\subset \Re $ es medible seg\’un

Lebesgue si para cada

entero positivo $n$ el conjunto acotado

$A\cap [-n,n)$ es un

conjunto medible seg\’un Lebesgue. La medida

de Lebesgue en $\Re$

es\\

\begindisplaymath

m(A)= \lim_n\longrightarrow \infty m

(A \cap [-n,n)).

\enddisplaymath

\endley


\beginley[Funci\’on Medible]

Una funci\’on $f: X \longrightarrow

\Re^+ \equiv \Re \cup

\-\infty,+\infty\$ es \text $\Sigma-$ medible

si y s\’olo si

$f^-1(B)\in \Sigma$ para todo conjunto

boreliano $B$,

$(f^-1(B)=\x\in X : f(x)\in B \)$.

\endley

\newtheoremlemaLema

\beginlema[Lema de Funci\’on Medible]

LATEX Avanzado 162


Si $f$ es medible y no negativa en $E \in

\Sigma \wedge \mu (E)=0$

entonces $\int_E f d\mu = 0$.

\endlema


\beginteo[Desigualdad Chebychev]

Sea $f$ una funci\’on medible no negativa .

Entonces, para $c>0$

tenemos\\

\beginequation\labelec.165

\mu \x : f(x) > c\\leq \frac 1c

\int_X f d\mu

\endequation

\endteo


\beginteo[Convergencia mon\’otona

de Lebesgue]

Sea $A\in \Sigma$ y sea

$0\leq f_1 \leq f_2 \leq \cdots $ una

sucesi\’on creciente de funciones no

negativas medibles definidas en

$A$. Entonces \\

\beginequation\labelec:166

\lim_n\longrightarrow \infty

\int_A f_n (x)d\mu = \int_A

\lim_n\longrightarrow \inftyf_n (x)d\mu

\endequation

\endteo

\newtheoremlema1Lema

\beginlema[Lema de Fatou]

Si $ \g_n\$ es una sucesi\’on de funciones

medibles no negativas y

$E\in \Sigma$, entonces \\

\beginequation\labelec:167

\int_E \liminf_n\longrightarrow

\infty g_n d\mu \leq \liminf_n

\longrightarrow \infty \int_E g_n d\mu

\endequation

\endlema

\sec

LATEX Avanzado 163


LATEX Avanzado 164

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