LEYES DE CONSERVACION 1. Una barcaza es remolcada por dos barcos, siendo la tracción del primer remolcador de 2,5 · 105 N a 30º a la izquierda y la del segundo de 1,0 · 105 N a 15º a la derecha. ¿Cuál es el trabajo de cada barco sobre la barcaza cuando ésta se desplaza d=100 m en dirección del eje x?¿Cuál es el trabajo total de ambos remolcadores sobre la barcaza?

Datos: T1, T2 y d. Calcular: W1, W2 y WTotal

Solución: 30°

15°

T1=2,5 · 105 N

T2=1,0 · 105 N

y

x

𝑊𝑊1 = � 𝑇𝑇1 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟2

𝑟𝑟1= 𝑇𝑇1 𝑑𝑑 cos 30° = 2,2 ∙ 107 𝐽𝐽

𝑊𝑊2 = � 𝑇𝑇2 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟2

𝑟𝑟1= 𝑇𝑇2 𝑑𝑑 cos 15° = 1,0 ∙ 107 𝐽𝐽

𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = � 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟2

𝑟𝑟1= (𝑇𝑇1+𝑇𝑇2) 𝑑𝑑 cos 15° = 3,2 ∙ 107 𝐽𝐽

LEYES DE CONSERVACION 2. Un hombre empuja una caja de 60 kg hacia arriba por una rampa que forma 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es μD=0,45. Calcular el trabajo necesario para empujar la caja hasta una altura de 2,5 m con rapidez constante. El empuje tiene dirección paralela a la superficie de la rampa.

Datos: m, α, μD y h. Calcular: W

Solución:

𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 30° + 𝜇𝜇𝐷𝐷𝑚𝑚𝑚𝑚 cos 30°

30° FR=μDN

mg

N=mg cos 30° E

h

𝑊𝑊 = 𝐸𝐸 𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 30° =

ℎ𝑑𝑑

𝑊𝑊 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 30° + 𝜇𝜇𝐷𝐷 cos 30°) ℎ

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 30° = 2,6 ∙ 103 𝐽𝐽

LEYES DE CONSERVACION 3. A un resorte ideal horizontal en equilibrio se fija una masa en su extremo (x=0). Si la constante de elasticidad es de 440 N/m, ¿Cuánto trabajo hace el muelle sobre la masa si ésta se mueve de x1=-0,2 m a x2=0,4 m?

Datos: k, x1 y x2. Calcular: W

Solución:

𝑊𝑊 = � �⃗�𝐹 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟2

𝑟𝑟1= −� 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1= −𝑘𝑘

(𝑥𝑥22−𝑥𝑥1

2)2 = −26 𝐽𝐽

LEYES DE CONSERVACION 4. La fuerza que actúa sobre una partícula es función de la posición, siendo Fx=4x2+1, Fy=2x, Fz=0, donde F(N) y x(m). ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza si la partícula se mueve en línea recta de x=0, y=0, z=0 a x=2,0 m, y=2,0 m, z=0?

Datos: F y r. Calcular: W

Solución:

𝑊𝑊 = � �⃗�𝐹 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟2

𝑟𝑟1= � 𝐹𝐹𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1+ � 𝐹𝐹𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦2

𝑦𝑦1+ � 𝐹𝐹𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑧𝑧2

𝑧𝑧1

x=2

z

x

y

x=y

y=2 F

𝑊𝑊 = � 4𝑥𝑥2 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 =2

017 𝐽𝐽

2

0

dx=dy

LEYES DE CONSERVACION 5. La velocidad de pequeñas balas puede medirse aproximadamente con masilla balística (al impactar, la bala penetra una distancia proporcional a su energía cinética). Si una bala de velocidad 160 m/s penetra 0,8 cm en la masilla y una segunda bala idéntica disparada por un arma más potente se introduce 1,2 cm. ¿Cuál es la velocidad de la segunda bala?

Datos: v1, d1 y d2. Calcular: v2

Solución: 𝑑𝑑1 = 𝑘𝑘 12𝑚𝑚𝑣𝑣1

2

𝑑𝑑2 = 𝑘𝑘 12𝑚𝑚𝑣𝑣2

2

𝑣𝑣2 = 𝑣𝑣1 𝑑𝑑2𝑑𝑑1

= 196 𝑚𝑚/𝑠𝑠

LEYES DE CONSERVACION 6. Un bloque en reposo se deja deslizar desde una altura de 1,5 m por un plano inclinado 15º con la horizontal. Al final de la rampa, la velocidad de la masa es de 3,5 m/s. Calcular el coeficiente de rozamiento μD.

Datos: α, h y v. Calcular: μD

Solución:

𝑊𝑊 = ∆𝐸𝐸𝐶𝐶 =12𝑚𝑚𝑣𝑣

2

15°

FR=μDN

mg

N=mg cos 15°

h

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 15° =ℎ𝑑𝑑

𝜇𝜇𝐷𝐷 = 𝑡𝑡𝑚𝑚 15° −𝑣𝑣2

2 𝑚𝑚 𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐 = 0,16

𝑊𝑊 = 𝐹𝐹𝑁𝑁𝑁𝑁𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 15° − 𝜇𝜇𝐷𝐷 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑

LEYES DE CONSERVACION 7. Una partícula de 50 g que se mueve a lo largo del eje x experimenta una fuerza FX=-Ax3, donde A=50 N/m3. Calcular la función energía potencial correspondiente. Si la partícula se libera desde el reposo en x=0,50 m, ¿Cuál es su rapidez al pasar por el origen?

Datos: F, A y x1. Calcular: U y v(x=0)

Solución: 𝑈𝑈 = −� 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑥𝑥 =14𝐴𝐴𝑥𝑥

4𝑥𝑥=𝑥𝑥

𝑥𝑥0=0

14𝐴𝐴 𝑥𝑥1

2 − 𝑥𝑥22 =

12𝑚𝑚 𝑣𝑣2

2 − 𝑣𝑣12

𝑊𝑊 = −∆𝑈𝑈 = ∆𝐸𝐸𝐶𝐶

X0=0

F=-Ax3

X

X2=0 m X1=0,50 m

F=-Ax3

¿v2? v1=0 m/s

X

𝑣𝑣2 = 𝑥𝑥12 𝐴𝐴2𝑚𝑚 = 5,6 𝑚𝑚/𝑠𝑠

LEYES DE CONSERVACION

Datos: F, x y m. Calcular: v(x=0)

Solución: 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥

12 𝑘𝑘 𝑥𝑥2 =

12𝑚𝑚 𝑣𝑣2

𝑣𝑣 = 𝑥𝑥𝑘𝑘𝑚𝑚 =

𝐹𝐹 𝑥𝑥𝑚𝑚 = 64,5 𝑚𝑚/𝑠𝑠

𝑈𝑈1 − 𝑈𝑈2 = 𝐸𝐸𝐶𝐶2 − 𝐸𝐸𝐶𝐶1 x

≡ flecha

8. Un arco puede considerarse como un resorte. Para estirar un arco (resorte) en 0,52 m y mantener la flecha en dicha posición, es preciso realizar una fuerza de 160 N. Al soltar la flecha, ¿Cuál será su rapidez cuando el resorte alcanza su posición de equilibrio? La masa de la flecha es de 0,020 kg y se supone que el resorte no tiene masa.

LEYES DE CONSERVACION

Datos: m, k y l. Calcular: F

Solución: a) Al caer, la energía cinética del montañero aumenta, y cuando la cuerda se tensa, dicha energía se transfiere como energía potencial elástica

12𝑚𝑚 𝑣𝑣2 =

12 𝑘𝑘 𝑥𝑥2

9. Una cuerda puede considerarse como un resorte largo que almacena energía potencial elástica cuando se tensa. Un montañero de 80 kg, sujeto por una cuerda de nylon (k=9,3 · 103 N/m) de 10 m de longitud, cae desde una altura de 10 m sobre el punto de anclaje en una pared vertical hasta una altura de 10 m bajo dicho punto. Calcular la fuerza máxima que ejerce la cuerda sobre el montañista durante la detención. Repetir el cálculo si la longitud de la cuerda es de 5 m.

x

≡

l=10m

l+x l

𝑣𝑣2 = 2 𝑚𝑚 𝑙𝑙 = 19,8 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑙𝑙 =12𝑚𝑚 𝑣𝑣2

𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑘𝑘 = 2,5 𝑚𝑚 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 13 ∙ 103𝑁𝑁

b) Suponiendo 𝑥𝑥1𝑙𝑙1

=𝑥𝑥2𝑙𝑙2

𝑘𝑘2 = 2𝑘𝑘1 𝑥𝑥2 = 𝑣𝑣2𝑚𝑚𝑘𝑘2

= 1,3 𝑚𝑚 𝐹𝐹2 = 𝑘𝑘2 𝑥𝑥2 = 13 ∙ 103𝑁𝑁 ; ; ;

;

; ;

LEYES DE CONSERVACION

Datos: μA, μG, μM, P, v y ρ. Calcular: D

Solución: 𝑃𝑃 =𝑊𝑊𝑡𝑡 = 𝜇𝜇

12𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑣𝑣2 = 𝜇𝜇

12𝜌𝜌 𝑉𝑉𝑡𝑡 𝑣𝑣2 = 𝜇𝜇

12𝜌𝜌𝐴𝐴𝑣𝑣

3

10. Un barco dispone de un aerogenerador que extrae energía del viento y alimenta al motor eléctrico que impulsa el barco. La eficiencia mecánica del molino es del 70% (relación entre la energía cinética del viento y la energía de rotación de sus aspas). La eficiencia del generador acoplado al molino es del 90% y la del motor eléctrico que impulsa el barco también es del 90%. Calcular el tamaño del aerogenerador para que el motor eléctrico produzca 20.000 CV si la velocidad del viento (relativa) es de 40 km/h. La densidad del aire es 1,29 kg/m3.

𝜇𝜇 = 𝜇𝜇𝐴𝐴𝜇𝜇𝐺𝐺𝜇𝜇𝑀𝑀

𝐷𝐷 =4 𝐴𝐴𝜋𝜋 = 195 𝑚𝑚

D

LEYES DE CONSERVACION

Datos: α, v y m. Calcular: P

Solución:

11. En punto muerto, un coche que baja por una larga cuesta con pendiente 1:10 alcanza una velocidad máxima de 95 km/h. Esto es, la disminución de energía potencial por unidad de tiempo iguala la potencia necesaria para vencer el rozamiento con el aire y entre los componentes mecánicos del vehículo. Calcular la potencia en CV del motor del coche para circular a 95 km/h en un camino nivelado. La masa del coche es 1.500 kg.

h

v

α

d

N

mg

𝑃𝑃 =𝑊𝑊𝑡𝑡 = −

∆𝑈𝑈𝑡𝑡 =

∆𝐸𝐸𝐶𝐶𝑡𝑡

𝑃𝑃 =𝑊𝑊𝑡𝑡 =

𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑡𝑡 =

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛼𝛼 = 52 𝐶𝐶𝑉𝑉

LEYES DE CONSERVACION

Datos: (Caudal), v y ρ. Calcular: P ( )

Solución:

12. Un pequeño ventilador de cocina extrae 8,5 m3/min de aire con una rapidez de 5,0 m/s. La densidad del aire es 1,3 kg/m3. ¿Qué potencia eléctrica debe consumir el ventilador para transferir al aire expulsado la energía cinética necesaria?

𝑃𝑃 = �̇�𝑊 =12𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑣𝑣

2 =12 𝜌𝜌

𝑉𝑉𝑡𝑡 𝑣𝑣

2 = 2,3 𝑊𝑊

�̇�𝑉 �̇�𝑊

v

LEYES DE CONSERVACION

Datos: (Caudal), v y ρ. Calcular: P ( )

Solución:

13. En una rueda hidráulica de alimentación inferior circulan 30 kg/s de agua a una velocidad de entrada de 15 m/s. El agua transfiere toda su energía cinética a las aspas (sale con velocidad horizontal nula). Calcular la potencia mecánica que entrega el agua a la rueda.

𝑃𝑃 = �̇�𝑊 =12𝑚𝑚𝑡𝑡 𝑣𝑣

2 =12𝜌𝜌

𝑉𝑉𝑡𝑡 𝑣𝑣

2 = 3,4 ∙ 103 𝑊𝑊

�̇�𝑉 �̇�𝑊

LEYES DE CONSERVACION

Datos: x, y, m. Calcular: rG

Solución:

14. La figura muestra la forma de una molécula de ácido nítrico (HNO3) y sus dimensiones. Considere los átomos como partículas y encuentre el centro de masa de esta molécula

Hay un eje de simetría: Y = 0

𝑥𝑥𝐺𝐺 =𝑥𝑥1𝑀𝑀1 + 𝑥𝑥2𝑀𝑀2 + 𝑥𝑥3𝑀𝑀3 + 𝑥𝑥4𝑀𝑀4 + 𝑥𝑥5𝑀𝑀5

𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀2 + 𝑀𝑀3 + 𝑀𝑀4 + 𝑀𝑀5

𝑥𝑥𝐺𝐺 =2 ∙ 0,141 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐 16 + 0,141 ∙ 14 + 0 ∙ 16 − 0,100 ∙ 1

3 ∙ 16 + 14 + 1 = 0,13 𝑠𝑠𝑚𝑚

m1

m2

m3 m4 m5

LEYES DE CONSERVACION

Datos: L. Calcular: rG

Solución:

15. Tres piezas cuadradas uniformes de hoja metálica, de dimensiones L x L, se unen a lo largo de sus bordes, de modo que forman tres de los lados de un cubo. ¿Dónde está el centro de masas de los cuadrados unidos?

Hay un eje de simetría: X = Y = Z

𝑥𝑥𝐺𝐺 =𝑥𝑥1𝑀𝑀1 + 𝑥𝑥2𝑀𝑀2 + 𝑥𝑥3𝑀𝑀3

𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀2 + 𝑀𝑀3

𝑥𝑥𝐺𝐺 =𝐿𝐿2 𝐿𝐿

2 + 0 ∙ 𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿2 𝐿𝐿

2

𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿2 =𝐿𝐿3 𝑚𝑚

1 2

3

x1 = x3 = L/2

x2 = 0

LEYES DE CONSERVACION

Datos: L, R. Calcular: xG

Solución:

16. Un cubo de hierro tiene dimensiones L x L x L. A través del cubo se taladra un agujero de 𝟏𝟏

𝟒𝟒 L de radio, de modo que un lado

del agujero es tangente a la mitad de una cara a lo largo de toda su longitud. ¿Dónde está el centro de masa del cubo perforado?

Hay un eje de simetría: X = xG; Y = 0; Z = 0

𝑥𝑥𝐺𝐺 =𝑥𝑥𝐶𝐶𝐷𝐷𝑀𝑀𝐶𝐶𝐷𝐷 − 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑀𝑀𝐶𝐶𝐷𝐷 − 𝑀𝑀𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑥𝑥𝐺𝐺 =0 ∙ 𝜌𝜌𝐿𝐿3 − 𝐿𝐿

4 ∙ 𝜋𝜋𝐿𝐿216𝜌𝜌𝐿𝐿

𝜌𝜌𝐿𝐿3 − 𝜋𝜋 𝐿𝐿2

16 𝜌𝜌𝐿𝐿= −0,061 𝑚𝑚

Z

Y

X

Cuadrado: CD Cilindro: CL

O

L/4

LEYES DE CONSERVACION

Datos: R, θ. Calcular: rG

Solución:

17. Una barra delgada uniforme se dobla en forma de un semicírculo de radio R. ¿Dónde está el centro de masa de esta barra?

Hay un eje de simetría: X = 0

𝑑𝑑𝐺𝐺 =∫𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 =

∫ 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝜆𝜆𝑅𝑅 𝑑𝑑𝜃𝜃𝜋𝜋0

𝑚𝑚 =𝜆𝜆𝑅𝑅2

𝜆𝜆𝑅𝑅𝜋𝜋� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃𝜋𝜋

0

𝑑𝑑𝐺𝐺 =𝑅𝑅𝜋𝜋 (−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)0

𝜋𝜋=2𝑅𝑅𝜋𝜋

dl = R dθ dm = λ dl = λR dθ

𝑚𝑚 = �𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝜆𝜆𝑅𝑅� 𝑑𝑑𝜃𝜃𝜋𝜋

0= 𝜆𝜆𝑅𝑅𝜋𝜋

dm=λdl

dθ

θ

LEYES DE CONSERVACION

Datos: R, θ. Calcular: rG

Solución:

18. Un semicírculo de hoja metálica uniforme tiene radio R. Encuentre el centro de masa

Hay un eje de simetría: X = 0

𝑑𝑑𝐺𝐺 =∫𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 =

∫ 2𝑑𝑑𝜋𝜋 𝜎𝜎𝜋𝜋𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃𝜋𝜋

0𝑚𝑚 =

2𝜎𝜎12𝜎𝜎𝜋𝜋𝑅𝑅

2� 𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜋𝜋

0

𝑑𝑑𝐺𝐺 =4𝑅𝑅3

3𝜋𝜋𝑅𝑅2 =4𝑅𝑅3𝜋𝜋

dA = πR dr

dm = λ dA = λr dθ

𝑚𝑚 = �𝑑𝑑𝑚𝑚 = 𝜎𝜎𝜋𝜋� 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑅𝑅

0=

12𝜎𝜎𝜋𝜋𝑅𝑅

2

dm = σ dA

dr r

𝑑𝑑𝐺𝐺(𝑁𝑁𝑇𝑇.𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑.) =2𝑑𝑑𝜋𝜋

LEYES DE CONSERVACION

Datos: m1, m2, Δx1. Calcular: ΔxG

Solución:

19. Un camión de 6.000 kg está en la parte delantera de la cubierta de un ferry de 80.000 kg. Inicialmente ambos están en reposo. Si el camión retrocede 15 m ¿Cuánto se moverá el ferry hacia delante en relación con el agua? No considerar el efecto del rozamiento.

F = 0 p = cte pi = pf = 0

Δ𝑥𝑥𝐺𝐺 = 0 =Δ𝑥𝑥𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶 + Δ𝑥𝑥𝐹𝐹𝑚𝑚𝐹𝐹

𝑚𝑚𝐶𝐶 + 𝑚𝑚𝐹𝐹=−15 ∙ 6.000 + Δ𝑥𝑥𝐹𝐹 80.000

86.000

Δ𝑥𝑥𝐹𝐹 = 1,05 m

LEYES DE CONSERVACION

Datos: m1, m2, v1. Calcular: vG

Solución:

20. Una bala de 15 g que se mueve a 260 m/s se dispara hacia un bloque de madera de 2,5 kg. ¿Cuál es la velocidad del centro de masa del sistema bala-bloque?

F = 0 p = cte pi = pf

𝑣𝑣𝐺𝐺 =𝑣𝑣1𝑚𝑚1 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚2𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2

=260 ∙ 0,015 + 0 ∙ 2,5

2,515

𝑣𝑣𝐺𝐺 = 1,6 m/s

LEYES DE CONSERVACION

Datos: mL, R, T. Calcular: L

Solución:

21. La Luna (m = 7,35 x 1022 kg) se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular (aproximada) de 3,8 x 108 m de radio en 27,3 días. Calcule la magnitud de la cantidad de movimiento angular de la Luna. Suponga que el origen de coordenadas está en el centro de la Tierra.

𝐿𝐿 = 𝑑𝑑 × �⃗�𝑝

𝐿𝐿 = 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣 sen90° = 𝑑𝑑𝑚𝑚2𝜋𝜋𝑑𝑑𝑇𝑇 = 2,8 ∙ 1034𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑚𝑚2/𝑠𝑠

LEYES DE CONSERVACION

Datos: ω, r, m. Calcular: L

Solución:

22. Previamente al lanzamiento de una piedra desde una honda, un nativo boliviano gira la piedra a 3,0 rev/s alrededor de un círculo de 0,75 m de radio. La masa de la piedra es de 0,15 kg. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular de la piedra en relación con el centro del círculo?

𝐿𝐿 = 𝑑𝑑 × �⃗�𝑝

𝐿𝐿 = 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣 sen90° = 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑟𝑟𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑑𝑑2𝑟𝑟 = 𝐼𝐼𝑟𝑟 = 1,6 𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑚𝑚2/𝑠𝑠

LEYES DE CONSERVACION

Datos: m, v0, α, g. Calcular: L0, Ly-max, Lx-max Solución:

23. Considere un proyectil de masa m lanzado a 45° con una rapidez v0 desde el origen de coordenadas. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del proyectil en el instante del lanzamiento, cuál es en el instante en que alcanza la máxima altura y cuál en el instante en que golpea el suelo? ¿Se conserva la cantidad de movimiento angular con esta elección del origen?

𝐿𝐿0 = 𝑑𝑑 × �⃗�𝑝 = 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐 = 0

𝐿𝐿𝑦𝑦−𝑚𝑚𝑇𝑇𝑥𝑥 = 𝑑𝑑 × �⃗�𝑝 =𝑣𝑣02

𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐

𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐12 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐 0

𝑣𝑣0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐 0 0

=2𝑚𝑚𝑣𝑣03

8𝑚𝑚

𝐿𝐿𝑥𝑥−𝑚𝑚𝑇𝑇𝑥𝑥 = 𝑑𝑑 × �⃗�𝑝 = 2𝑣𝑣02

𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐𝚤𝚤 𝚥𝚥 𝑘𝑘

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐 0 0𝑣𝑣0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠4𝑐𝑐 −𝑣𝑣0𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠4𝑐𝑐 0

=2𝑚𝑚𝑣𝑣03

2𝑚𝑚