Lenz - Example of Poincare Anomaly

8/15/2019 Lenz - Example of Poincare Anomaly

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P o s t S c r i p t 〉 p r o

c e s s e d b y t h e S L A C / D E S Y L i b r a r i e s

o n 3 1 M a r 1 9 9 5 .

H E P - T H - 9

5 0 3 2 1 9

E x a m p l e o f a P o i n c a r e a n o m a l y i n r e l a t i v i s t i c q u a n t u m

m e c h a n i c s

S t e f a n L e n z

C e n t e r f o r T h e o r e t i c a l P h y s i c s S l o a n e P h y s i c s L a b o r a t o r y

Y a l e U n i v e r s i t y N e w H a v e n C T 0 6 5 2 0 8 1 2 0 U . S . A .

B e r n d S c h r e i b e r

M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

C e n t e r f o r T h e o r e t i c a l P h y s i c s C a m b r i d g e M A 0 2 1 3 9 U . S . A .

M a r c h 3 1 1 9 9 5

A b s t r a c t

T h e P o i n c a r e a l g e b r a o f c l a s s i c a l e l e c t r o d y n a m i c s i n o n e s p a t i a l d i m e n s i o n

i s s t u d i e d u s i n g l i g h t c o n e c o o r d i n a t e s a n d o r d i n a r y M i n k o w s k i c o o r d i n a t e s .

W e s h o w t h a t i t i s p o s s i b l e t o q u a n t i z e t h e t h e o r y b y a c a n o n i c a l q u a n t i z a t i o n

p r o c e d u r e i n a P o i n c a r e i n v a r i a n t m a n n e r o n t h e l i g h t c o n e . W e a l s o s h o w

t h a t t h i s i s n o t p o s s i b l e w h e n u s i n g o r d i n a r y c o o r d i n a t e s . T h e p h y s i c a l r e a s o n

o f t h i s a n o m a l y i s a n a l y s e d .

P A C S n u m b e r 0 3 . 6 5 . P m 1 1 . 1 0 . E k 1 1 . 1 0 . K k

T y p e s e t u s i n g R E V T

E

X

T h i s w o r k i s s u p p o r t e d i n p a r t b y f u n d s p r o v i d e d b y t h e U . S . D e p a r t m e n t o f E n e r g y D . O . E . u n

d e r c o o p e r a t i v e r e s e a r c h a g r e e m e n t D E F C 0 2 9 4 E R 4 0 8 1 8 B . S . a n d D E F G 0 2 9 1 E R 4 0 6 0 8 S . L .

a n d b y a F e o d o r L y n e n F e l l o w s h i p o f t h e A l e x a n d e r v o n H u m b o l d t F o u n d a t i o n B . S . .

1


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I . I N T R O D U C T I O N

I t i s w e l l k n o w n t h a t i t i s g e n e r a l l y n o t p o s s i b l e t o f o r m u l a t e r e l a t i v i s t i c q u a n t u m m e

c h a n i c s w i t h a n i t e n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m d u e t o t h e e x i s t e n c e o f n e g a t i v e e n e r g y

s o l u t i o n s o f t h e r e l a t i v i s t i c w a v e e q u a t i o n s . T h e s e s o l u t i o n s a r e i n t e r p r e t e d a s a n t i p a r t i

c l e s . W a v e p a c k e t s w i t h a n e x t e n s i o n s m a l l e r t h a n t h e p a r t i c l e s C o m p t o n w a v e l e n g t h

1

c

1 m c o n t a i n c o n s i d e r a b l e a d m i x t u r e s o f t h e s e a n t i p a r t i c l e s o l u t i o n s s e e e . g . 1 .

T h e r e f o r e a m a n y b o d y d e s c r i p t i o n o f r e l a t i v i s t i c q u a n t u m s y s t e m s i s u s u a l l y i n e v i t a b l e .

W e w i l l s h o w h o w e v e r t h a t i t i s p o s s i b l e t o q u a n t i z e g a u g e t h e o r i e s i n o n e s p a c e a n d

o n e t i m e d i m e n s i o n 1 1 d i m e n s i o n s o n a t r u n c a t e d F o c k s p a c e w h i l e p r e s e r v i n g L o r e n t z

i n v a r i a n c e i f o n e u s e s l i g h t c o n e c o o r d i n a t e s . M o r e s p e c i c a l l y i n t h i s p a p e r w e w i l l a n a l y s e

t h e d i e r e n c e b e t w e e n l i g h t c o n e q u a n t i z a t i o n a n d q u a n t i z a t i o n i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s i n

a H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n o f e l e c t r o d y n a m i c s i n 1 1 d i m e n s i o n s . W e w i l l e x p l i c i t l y s h o w

t h a t c a n o n i c a l q u a n t i z a t i o n o f t h i s t h e o r y i s p o s s i b l e i n a P o i n c a r e i n v a r i a n t m a n n e r i n l i g h t

c o n e c o o r d i n a t e s b u t n o t i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s . T h i s r e s u l t m e a n s t h a t o n e e n c o u n t e r s a

q u a n t u m m e c h a n i c a l a n o m a l y w h e n u s i n g a n e q u a l t i m e q u a n t i z a t i o n p r o c e d u r e . P o s i t i o n

s p a c e m a t r i x e l e m e n t s f o r t h e a n o m a l o u s c o n t r i b u t i o n t o t h e P o i n c a r e a l g e b r a c a n b e i n t e r

p r e t e d i n t e r m s o f p a r t i c l e t r a j e c t o r i e s w h i c h m a k e a n i n t u i t i v e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e s u l t s

p o s s i b l e .

I n a p i o n e e r i n g p a p e r D i r a c f o r m u l a t e d t h e b a s i c r e q u i r e m e n t s n e c e s s a r y f o r c o m b i n i n g

t h e H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n o f d y n a m i c s w i t h s p e c i a l r e l a t i v i t y 2 . T h e p r i n c i p l e o f r e l

a t i v i t y d e m a n d s i n v a r i a n c e o f p h y s i c a l l a w s u n d e r c o n t i n u o u s c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s

w h i c h a r e b o o s t s a n d t r a n s l a t i o n s

2

x

x

a

g

1

1

T h r o u g h o u t t h i s p a p e r w e s e t h c 1

2

I n 3 1 d i m e n s i o n s a l s o i n v a r i a n c e u n d e r r o t a t i o n s h a s t o b e d e m a n d e d .

2


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T h i s s o c a l l e d P o i n c a r e g r o u p i s d e t e r m i n e d b y t h e L i e a l g e b r a o f i t s g e n e r a t o r s

f H P g 0 f K P g H f K H g P 2

H P

0

i s t h e H a m i l t o n i a n P P

1

i s t h e m o m e n t u m a n d K t h e b o o s t g e n e r a t o r o f

t h e p h y s i c a l s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n . f A B g i s t h e s t a n d a r d P o i s s o n b r a c k e t 3 w i t h

f x

n

p

m

g

n m

x

m

a r e t h e p o s i t i o n s o f t h e p a r t i c l e s a n d p

m

t h e c o r r e s p o n d i n g c a n o n i c a l

m o m e n t a . N o t e t h a t a l t h o u g h a H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n i s n o t m a n i f e s t l y c o v a r i a n t t h e

t h e o r y i s s t i l l L o r e n t z i n v a r i a n t i f t h e P o i n c a r e a l g e b r a i s c l o s e d . K g e n e r a t e s a c a n o n i

c a l t r a n s f o r m a t i o n o f t h e p h a s e s p a c e v a r i a b l e s x

m

p

m

w h i c h c o n n e c t s d i e r e n t r e f e r e n c e

f r a m e s . D u e t o t h e l a s t t w o b r a c k e t s i n 2 P

P

0

P

1

t r a n s f o r m s l i k e a L o r e n t z v e c t o r .

T h e r s t b r a c k e t e x p r e s s e s t r a n s l a t i o n i n v a r i a n c e .

Q u a n t u m m e c h a n i c a l l y o n e h a s t o r e p l a c e t h e P o i s s o n b r a c k e t s b y i w h e r e i s

t h e c o m m u t a t o r . T h e q u a n t u m P o i n c a r e a l g e b r a t h e r e f o r e i s

H

P 0

K

P i

H

K

H i

P 3

A c l o s e d q u a n t u m P o i n c a r e a l g e b r a m e a n s t h a t a u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n

U e x p i

K

e x i s t s w h i c h c o n n e c t s q u a n t i t i e s i n d i e r e n t L o r e n t z f r a m e s w h e r e

K i s t h e g e n e r a t o r o f

t h i s u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n . T h e e x i s t e n c e o f t h i s u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n i s a n e c e s s a r y a n d

s u c i e n t c o n d i t i o n f o r a L o r e n t z i n v a r i a n t f o r m u l a t i o n o f q u a n t u m m e c h a n i c s . I n g e n e r a l t h e

e x i s t e n c e o f a c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n d o e s n o t g u a r a n t e e t h e e x i s t e n c e o f t h e c o r r e s p o n d i n g

u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n . O n e e x a m p l e f o r t h i s i s t h e a x i a l a n o m a l y i n Q E D w h e r e t h e c l a s s i c a l

t h e o r y i s i n v a r i a n t u n d e r c h i r a l r o t a t i o n s b u t t h e q u a n t i z e d t h e o r y i s n o t 5 7 .

A H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n o f a d y n a m i c a l s y s t e m u s i n g o r d i n a r y M i n k o w s k i c o o r d i n a t e s

x

0

x

1

c o r r e s p o n d s t o s p e c i f y i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o n a s p a c e l i k e h y p e r s u r f a c e x

0

c o n s t

i n M i n k o w s k i s p a c e . A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s o e r e d b y t h e u s e o f l i g h t c o n e c o o r d i n a t e s

x

x

0

x

1

p

2

x

x

0

x

1

p

2

4

3


4/18

w h e r e a n e w t i m e v a r i a b l e x

a n d a n e w s p a c e v a r i a b l e x

a r e i n t r o d u c e d 2 . I n i t i a l

c o n d i t i o n s a r e n o w s p e c i e d o n a l i g h t l i k e h y p e r s u r f a c e x

c o n s t . A s w i t h t h e o r d i n a r y

c o o r d i n a t e s t h e g e n e r a t o r s o f t h e P o i n c a r e g r o u p a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e m o m e n t u m

v e c t o r

H

L C

P

P

0

P

1

p

2

P

L C

P

P

0

P

1

p

2

5

a n d a b o o s t g e n e r a t o r K

L C

. T h e q u a n t u m P o i n c a r e a l g e b r a h a s t h e f o r m

H

L C

P

L C

0

K

L C

H

L C

i

H

L C

K

L C

P

L C

i

P

L C

6

T h e s e r e l a t i o n s a r e f o u n d b y u s i n g t h e d e n i t i o n s o f P

a n d P

5 a n d t h e H e i s e n b e r g

b r a c k e t s 3 . Q u a n t u m m e c h a n i c a l l y t h e c h o i c e o f o n e o f t h e t w o f o r m u l a t i o n s d o e s n o t

n e c e s s a r i l y l e a d t o t h e s a m e t h e o r y . T h i s w i l l b e d e m o n s t r a t e d f o r c l a s s i c a l e l e c t r o d y n a m i c s

i n o n e s p a c e a n d o n e t i m e d i m e n s i o n b e l o w .

T h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s I n s e c t i o n I I w e w i l l s h o w t h a t t h e P o i n c a r e a l g e b r a o f

c l a s s i c a l e l e c t r o d y n a m i c s c l o s e s i n 1 1 d i m e n s i o n s . T h e q u a n t u m P o i n c a r e a l g e b r a h o w e v e r

d o e s n o t c l o s e w h e n o n e i s u s i n g o r d i n a r y c o o r d i n a t e s . T h e p h y s i c a l r e a s o n f o r t h i s a n o m a l y

w i l l b e e x p l a i n e d i n t e r m s o f r e t a r d a t i o n e e c t s . A n a l o g o u s c a l c u l a t i o n s u s i n g l i g h t c o n e

c o o r d i n a t e s s h o w t h a t n o a n o m a l y o c c u r s i n t h i s c a s e s e c . I I I . I n s e c t i o n I V w e s h o w

t h a t t h e a n o m a l o u s c o n t r i b u t i o n t o t h e P o i n c a r e a l g e b r a v a n i s h e s i n t h e i n n i t e m o m e n t u m

f r a m e . W e c o n c l u d e i n s e c t i o n V .

I I . P O I N C A R

E I N V A R I A N C E F O R O R D I N A R Y C O O R D I N A T E S

I n o n e s p a c e a n d o n e t i m e d i m e n s i o n 1 1 d i m e n s i o n s t h e e l d s t r e n g t h t e n s o r c o n t a i n s

o n l y o n e i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t a n d t h e e l e c t r i c e l d c a n e a s i l y b e e x p r e s s e d b y t h e c o o r

d i n a t e s o f t h e c h a r g e d p a r t i c l e s 8 . I n t h i s p a p e r w e r e s t r i c t o u r s e l v e s t o 2 p a r t i c l e s o f e q u a l

m a s s m w i t h c h a r g e s e a n d e . T h e g e n e r a l i z a t i o n t o m a n y p a r t i c l e s i s s t r a i g h t f o r w a r d . O n e

o b t a i n s t h e f o l l o w i n g c l a s s i c a l H a m i l t o n f u n c t i o n

4


5/18

H

2

X

i 1

q

p

2

i

m

2

e

2

x

1

x

2

7

T h e r e m a i n i n g t w o g e n e r a t o r s o f t h e P o i n c a r e a l g e b r a a r e

P

2

X

i 1

p

i

8

K

1

2

2

X

i 1

x

i

q

p

2

i

m

2

q

p

2

i

m

2

x

i

1

2

e

2

x

1

x

2

x

2

1

x

2

2

9

x i s 1 f o r p o s i t i v e a n d 1 f o r n e g a t i v e a r g u m e n t . I t i s a s i m p l e e x e r c i s e t o s h o w t h a t t h e

P o i n c a r e a l g e b r a 2 i s c l o s e d . T h e o r d e r i n g o f t h e r s t t w o t e r m s i n K i s o f n o s i g n i c a n c e

i n t h e c l a s s i c a l t h e o r y b u t i s n e e d e d i n o r d e r t o e n s u r e h e r m i t i c i t y o f K a f t e r q u a n t i z a t i o n .

T h e r e a s o n w h y i t i s p o s s i b l e t o f o r m u l a t e e l e c t r o d y n a m i c s i n o n e s p a c e d i m e n s i o n i n a

L o r e n t z i n v a r i a n t w a y u s i n g a n i n s t a n t a n o u s i n t e r a c t i o n i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e p r o p e r t i e s

o f t h e l i n e a r p o t e n t i a l a s t h e i n t e r p a r t i c l e f o r c e i s c o n s t a n t . F o r c l a s s i c a l p a r t i c l e s s u c h a

c o n s t a n t f o r c e y i e l d s t h e s a m e d y n a m i c s a s a r e t a r d e d f o r c e 4 w h i c h c a n b e s e e n i n t h e

f o l l o w i n g w a y T h e o r i g i n o f r e t a r d a t i o n e e c t s i s t h a t n o s i g n a l c a n p r o p a g a t e f a s t e r t h a n

w i t h t h e s p e e d o f l i g h t . T h e r e f o r e t h e f o r c e w h i c h a c t s o n a p a r t i c l e a t p o s i t i o n x

M

s e e

g u r e 1 b e c a u s e o f a p a r t i c l e t r a v e l l i n g o n t h e M i n k o w s k i w o r l d l i n e x

T

t i s d e t e r m i n e d b y

t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t x

S

o f t h e w o r l d l i n e x

T

w i t h t h e b a c k w a r d l i g h t c o n e o f x

M

. T h e s i z e

a n d d i r e c t i o n o f t h e f o r c e o n l y d e p e n d s o n w h e t h e r t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t x

S

i s r i g h t o r l e f t

o f x

M

. B e c a u s e t h e p a r t i c l e c a n n o t m o v e f a s t e r t h a n w i t h t h e s p e e d o f l i g h t t h e i n t e r s e c t i o n

p o i n t o f t h e w o r d l i n e x

T

w i t h t h e t 0 a x i s w h i c h d e t e r m i n e s t h e i n s t a n t a n e o u s f o r c e i s

o n t h e s a m e s i d e a s x

S

w i t h r e s p e c t t o x

M

. T h e r e f o r e r e t a r d a t i o n e e c t s a r e n o t i m p o r t a n t

f o r t h e s p e c i c s y s t e m c o n s i d e r e d h e r e .

F o r o u r d i s c u s s i o n o f t h e q u a n t u m P o i n c a r e a l g e b r a w e r e p l a c e t h e c a n o n i c a l v a r i a b l e s

x

n

a n d p

n

b y t h e c o r r e s p o n d i n g o p e r a t o r s x

n

a n d p

n

. O n e n d s t h a t t h e r s t t w o e q u a t i o n s

i n 3 a r e f u l l l l e d b u t t h a t

K

H i

P

Z 1 0

w i t h a n o n v a n i s h i n g o p e r a t o r

5


6/18

Z

1

2

e

2

2

X

i 1

f

i

x

2

1

x

2

2

i

x

i

x

i

i

x

1

x

2

g 1 1

i

x

1

x

2

q

p

2

i

m

2

T h i s m e a n s t h a t t h e P o i n c a r e i n v a r i a n c e o f t h e c l a s s i c a l s y s t e m i s d e s t r o y e d b y q u a n t i z a t i o n

a n d t h a t w e e n c o u n t e r a n a n o m a l y . T h e a n o m a l y i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e o p e r a t o r

Z

W e w i l l n o w s t u d y m a t r i x e l e m e n t s o f t h i s o p e r a t o r i n o r d e r t o o b t a i n a n i n t u i t i v e

u n d e r s t a n d i n g o f t h e n a t u r e o f t h e a n o m a l y . I n a p p e n d i x A i t i s p r o v e n t h a t

h x

1

x

2

Z x

1

x

2

i

e

2

m

2

f x

1

x

2

x

1

x

2

g x

1

x

2

x

1

x

2

f x

2

x

2

K

1

m x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

K

1

m x

2

x

2

x

2

x

2

g 1 2

w h e r e K

1

i s a m o d i e d b e s s e l f u n c t i o n 9 . F o r t h e c a s e t h a t t h e t w o p a r t i c l e s d o n o t c r o s s

e a c h o t h e r x

1

x

2

a n d x

1

x

2

h a v e t h e s a m e s i g n a n d t h e m a t r i x e l e m e n t v a n i s h e s .

T h e r e f o r e t h e r s t c o n c l u s i o n a t t h i s p o i n t i s t h a t c r o s s i n g o f t h e p a r t i c l e s m u s t b e a n

e s s e n t i a l f e a t u r e f o r t h e a p p e a r a n c e o f t h e a n o m a l y . W e c a n s e e t h i s c l e a r l y b y c a l c u l a t i n g

m a t r i x e l e m e n t s o f t h e r s t r e l a t i v i s t i c c o n t r i b u t i o n

3

i n 1 1

Z

e

2

i

2 m

3

f x

1

x

2

p

1

p

2

g 1 3

w i t h e i g e n f u n c t i o n s o f t h e n o n r e l a t i v i s t i c H a m i l t o n i a n

H

2

X

i 1

p

2

i

2 m

e

2

x

1

x

2

1 4

T h e e i g e n s t a t e s a r e A i r y f u n c t i o n s w i t h t h e e i g e n v a l u e s

E

n

a

n

e

4

m

1

3

1 5

w h e r e a

n

a r e t h e z e r o s o f t h e r s t d e r i v a t i v e o f t h e A i r y f u n c t i o n s e e a p p e n d i x B . I t i s e a s y

t o s h o w t h a t

Z o f e q . 1 3 h a s t h e f o l l o w i n g e x p e c t a t i o n v a l u e

3

I n t h e n o n r e l a t i v i s t i c l i m i t

p

p

2

m

2

m p

2

2 m t h e P o i n c a r e a l g e b r a c l o s e s . I n t h i s c a s e K

i s t h e g e n e r a t o r o f G a l i l e i t r a n s f o r m a t i o n s .

6


7/18

h

n

Z

n

i

i e

4

4 m

3

1

E

n

1 6

C l a s s i c a l l y t h e p a r t i c l e s m o v e p e r i o d i c a l l y w i t h p e r i o d T . B e c a u s e o f t h e v i r i a l t h e o r e m

T

p

E s i n c e t h e p o t e n t i a l i s l i n e a r . T h e r e f o r e e q . 1 6 c a n b e w r i t t e n a l t e r n a t i v e l y

h

n

Z

n

i

1

T

2

1 7

T h i s r e s u l t c a n b e e x p l a i n e d i n t h e f o l l o w i n g w a y w e a l r e a d y p o i n t e d o u t t h a t c r o s s i n g o f t h e

p a r t i c l e s i s t h e p h y s i c a l r e a s o n f o r t h e a n o m a l y . T h e r e f o r e w e e x p e c t t h a t t h e m a t r i x e l e m e n t

u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s i n a g i v e n t i m e i n t e r v a l i . e .

1 T . I t h a s a l s o t o b e p r o p o r t i o n a l t o t h e t y p i c a l t i m e t h e p a r t i c l e s d i s t a n c e i s l e s s t h a n

o n e C o m p t o n w a v e l e n g t h . T h i s t y p i c a l t i m e i s p r o p o r t i o n a l t o t h e i n v e r s e v e l o c i t y o f t h e

p a r t i c l e s w h e n t h e y c r o s s e a c h o t h e r w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e i n v e r s e o s c i l l a t i o n t i m e

1 T . T h e r e f o r e w e n d t h a t h Z i 1 T

2

i n a g r e e m e n t w i t h t h e c a l c u l a t i o n .

T h e p h y s i c a l r e a s o n f o r t h e v i o l a t i o n o f t h e P o i n c a r e a l g e b r a i s r e l a t e d t o t h e f a c t t h a t

q u a n t u m m e c h a n i c a l l y a p a r t i c l e c a n m o v e f a s t e r t h a n t h e s p e e d o f l i g h t o v e r d i s t a n c e s

c o m p a r a b l e w i t h i t s C o m p t o n w a v e l e n g t h . T h i s o n e c a n s e e b y c a l c u l a t i n g t h e f r e e r e t a r d e d

p r o p a g a t o r o f a r e l a t i v i s t i c p a r t i c l e i n 1 1 d i m e n s i o n s

G

0

x

0

t

0

x t t

0

t

m t

0

t

q

x

0

x

2

t

0

t

2

K

1

m

q

x

0

x

2

t

0

t

2

1 8

x i s 1 f o r p o s i t i v e a n d 0 f o r n e g a t i v e a r g u m e n t . P r o p a g a t i o n i n t o t h e s p a c e l i k e r e g i o n

x

0

x

2

t

0

t

2

i s p o s s i b l e a l t h o u g h i t i s e x p o n e n t i a l l y s u p p r e s s e d a s K

1

m z e x p m z

f o r l a r g e a r g u m e n t s . T h e r e f o r e r e t a r d a t i o n e e c t s a r e i m p o r t a n t i f t h e p a r t i c l e s c r o s s e a c h

o t h e r . I n g . 2 t h e r e a r e t w o i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f t h e p a r t i c l e w o r l d l i n e w i t h t h e b a c k w a r d

l i g h t c o n e o f x

M

o n t h e l e f t s i d e o f x

M

a n d o n e o n t h e r i g h t s i d e . T h e i n s t a n t a n e o u s f o r c e i n

t h e H a m i l t o n i a n f o r m a l i s m d o e s n o t d e s c r i b e t h e d y n a m i c s p r o p e r l y b e c a u s e t h e i n t e r s e c t i o n

p o i n t o f t h e p a r t i c l e w o r d l i n e w i t h t h e t 0 a x i s i s o n t h e r i g h t s i d e o f x

M

c a u s i n g a n e g a t i v e

f o r c e . T h e r e t a r d e d f o r c e h o w e v e r i s p o s i t i v e .

I f a p a r t i c l e p r o p a g a t e s f o r w a r d i n t i m e i n t o a s p a c e l i k e r e g i o n i n o n e L o r e n t z f r a m e

t h e n t h e r e i s a n o t h e r L o r e n t z f r a m e w h e r e t h i s p a r t i c l e p r o p a g a t e s b a c k w a r d i n t i m e . T h i s

7


8/18

i s i n t e r p r e t e d a s t h e p r e s e n c e o f a n a n t i p a r t i c l e . I n o r d e r t o k e e p L o r e n t z i n v a r i a n c e o n e

i s f o r c e d t o a l l o w f o r p a r t i c l e a n t i p a r t i c l e p r o d u c t i o n w h i c h i s n o t i n h e r e n t i n t h e q u a n t u m

m e c h a n i c a l H a m i l t o n i a n c o n s i d e r e d h e r e .

I t i s p o s s i b l e t o g e t a n a p p r o x i m a t e l y c l o s e d P o i n c a r e a l g e b r a h o w e v e r i n c l u d i n g t h e

r s t r e l a t i v i s t i c c o r r e c t i o n . T o t h i s e n d w e a d d t o t h e H a m i l t o n i a n a n a d d i t i o n a l p o t e n t i a l

h x

1

x

2

w h i c h i s o n l y n o n z e r o w h e n t h e p a r t i c l e s c r o s s e a c h o t h e r . h h a s t o b e d e t e r m i n e d

i n s u c h a w a y t h a t t h e P o i n c a r e a l g e b r a i s c l o s e d u p t o t h i s o r d e r . W e t h e r e f o r e h a v e f o r t h e

H a m i l t o n i a n a n d t h e b o o s t g e n e r a t o r

H

0

H h x

1

x

2

K

0

K

h

2

x

1

x

2

x

1

x

2

1 9

O n e n d s t h a t t h e r s t t w o e q u a t i o n s o f 3 s t i l l h o l d a n d t h a t

K

0

H

0

i

P

Z

Z

0

2 0

w h e r e

Z i s d e n e d a s i n e q . 1 1 a n d

Z

0

h i

2

f

p

1

q

p

2

1

m

2

p

2

q

p

2

2

m

2

x

1

x

2

x

1

x

2

p

1

q

p

2

1

m

2

p

2

q

p

2

2

m

2

g 2 1

W i t h

q

p

2

1

m

2

m a n d

q

p

2

2

m

2

m w e h a v e

Z

0

h i

m

p

1

p

2

x

1

x

2

2 2

C o m p a r i n g t h a t w i t h

Z i n e q . 1 3 w e n d t h a t t h e P o i n c a r e a l g e b r a i s c l o s e d i n c l u d i n g t h e

r s t r e l a t i v i s t i c c o r r e c t i o n i f w e s e t

h

e

2

2 m

2

2 3

O n e o b t a i n s a n i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g f o r t h i s a d d i t i o n a l a t t r a c t i v e p o t e n t i a l b y k e e p i n g

i n m i n d t h a t i t i s o n l y n o n v a n i s h i n g w h e n t h e p a r t i c l e s c r o s s e a c h o t h e r a n d i t e n h a n c e s t h e

r e l a t i v e v e l o c i t y d u r i n g t h e c r o s s i n g . T h i s i s i n a g r e e m e n t w i t h t h e q u a l i t a t i v e e x p l a n a t i o n

o f t h e a n o m a l y g i v e n a b o v e .

H i g h e r o r d e r r e l a t i v i s t i c c o r r e c t i o n s c o n t a i n d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n a t t h e o r i g i n .

T h e r e f o r e l o c a l i t y o f t h e i n t e r a c t i o n i s l o s t .

8


9/18

I I I . P O I N C A R

E I N V A R I A N C E I N L I G H T C O N E C O O R D I N A T E S

I n t h e q u a n t i z e d t h e o r y o n e h a s t h e f o l l o w i n g g e n e r a t o r s o f t h e P o i n c a r e g r o u p

H

L C

2

X

i 1

m

2

2 p

i

e

2

x

1

x

2

2 4

P

L C

2

X

i 1

p

i

K

L C

1

2

2

X

i 1

p

i

x

i

x

i

p

i

2 5

N o t e t h a t

K i s i n d e p e n d e n t o f t h e i n t e r a c t i o n a n d t h e r e f o r e a n o n d y n a m i c a l g e n e r a t o r .

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h e P o i n c a r e a l g e b r a 6 s t i l l c l o s e s i n t h e q u a n t u m t h e o r y .

T h i s r e s u l t c l e a r l y s i g n a l s t h a t t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n m u s t

b e d i e r e n t f r o m t h a t i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s w h e r e P o i n c a r e i n v a r i a n c e w a s v i o l a t e d b y

q u a n t i z a t i o n . T h e r e a s o n f o r t h i s i s r o o t e d i n t h e s t r u c t u r a l s i m p l i c i t y o f p r o p e r L o r e n t z

t r a n s f o r m a t i o n s o n t h e l i g h t c o n e . T h e L o r e n t z t e n s o r r e a d s

0

B

B

e x p 0

0 e x p

1

C

C

A

2 6

w h e r e i s t h e v e l o c i t y o f t h e m o v i n g f r a m e . A s a c o n s e q u e n c e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n s a r e

s i m p l y s c a l e t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e c o o r d i n a t e s x

a n d x

w i t h o u t m i x i n g t h e m i n c o n t r a s t

t o o r d i n a r y c o o r d i n a t e s . T h e r e f o r e a p a r t i c l e w h i c h m o v e s f o r w a r d i n t i m e i n o n e L o r e n t z

f r a m e w i l l m o v e f o r w a r d i n t i m e i n a n y o t h e r L o r e n t z f r a m e i n d e p e n d e n t o f t h e d y n a m i c s

u n d e r c o n s i d e r a t i o n . T h i s f a c t i s r e e c t e d i n t h e s i m p l e f o r m o f t h e b o o s t g e n e r a t o r i n 2 5 .

T o r e m o v e n e g a t i v e e n e r g y s t a t e s f o r w h i c h o n e d o e s n o t h a v e a p r o p e r i n t e r p r e t a t i o n i n a

q u a n t u m m e c h a n i c a l t h e o r y o n e c a n i n t r o d u c e a p r o j e c t i o n o p e r a t o r o n p o s i t i v e m o m e n t u m

s t a t e s

Q

Z

1

0

d p p i h p 2 7

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h e p r o j e c t e d o p e r a t o r s

H

Q

Q

H

L C

Q

P

Q

Q

P

L C

Q

K

Q

Q

K

L C

Q 2 8

9


10/18

s t i l l f u l l l a c l o s e d P o i n c a r e a l g e b r a

H

Q

P

Q

0

K

Q

H

Q

i

H

Q

K

Q

P

Q

i

P

Q

2 9

F o r t h i s f a c t i t i s i m p o r t a n t t h a t t h e b o o s t o p e r a t o r

K

L C

a n d t h e p r o j e c t i o n o p e r a t o r

o n p o s i t i v e m o m e n t u m s t a t e s

Q c o m m u t e

K

L C

Q 0 . T h i s i s i n t u i t i v e l y c l e a r b e c a u s e

o f t h e s i m p l e f o r m o f t h e b o o s t t r a n s f o r m a t i o n . A s a c o n s e q u e n c e t h e d e c o m p o s i t i o n o f

t h e F o c k s p a c e i n t o s p a c e s o f d e n i t e p a r t i c l e n u m b e r a n d p r o j e c t i o n o n p o s i t i v e m o m e n t a

i s a L o r e n t z i n v a r i a n t c o n c e p t . T h i s p h e n o m e n o n i s a l s o v a l i d i n 1 1 d i m e n s i o n a l Q C D

f o r m u l a t e d i n l i g h t c o n e v a r i a b l e s w h e r e i t c a n b e u s e d f o r a v a l e n c e q u a r k a p p r o x i m a t i o n

o f m e s o n s a n d b a r y o n s w h i c h i s L o r e n t z i n v a r i a n t 1 0 .

I V . T H E A N O M A L Y I N T H E I N F I N I T E M O M E N T U M F R A M E

W e i n b e r g m o t i v a t e d t h e u s e o f l i g h t c o n e v a r i a b l e s b y s w i t c h i n g t o a s y s t e m w h i c h m o v e s

w i t h i n n i t e m o m e n t u m 1 1 . W e w i l l s h o w n o w t h a t i n t h i s f r a m e t h e e e c t o f t h e a n o m a l y

d i s a p p e a r s . C o n s i d e r t h e m a t r i x e l e m e n t h p

0

1

p

0

2

Z p

1

p

2

i . A f t e r a s t r a i g h t f o r w a r d b u t l e n g t h y

c a l c u l a t i o n o n e n d s i n t h e i n n i t e m o m e n t u m l i m i t p

1

p

2

m a n d p

0

1

p

0

2

m

l i m

P 1

h p

0

1

p

0

2

Z p

1

p

2

i

i m

2

e

2

4 P

4

P P

0

1

x

2

y

2

1

1 x

2

1 y

2

3 0

w h e r e

p

1

x P p

2

1 x P P p

1

p

2

3 1

p

0

1

y P p

0

2

1 y P P

0

p

0

1

p

0

2

3 2

T h e a n o m a l o u s m a t r i x e l e m e n t v a n i s h e s i n t h e l i m i t P 1 . T h e r e f o r e i t i s p o s s i b l e t o f o r

m u l a t e r e l a t i v i s t i c q u a n t u m m e c h a n i c s o n a t r u n c a t e d F o c k s p a c e i n t h e i n n i t e m o m e n t u m

f r a m e . T h i s i s i n a c c o r d a n c e w i t h W e i n b e r g s m o t i v a t i o n o f t h e l i g h t c o n e .

T h e a n o m a l y w i l l o n l y v a n i s h i f b o t h p a r t i c l e s c a r r y a l a r g e m o m e n t u m f r a c t i o n d u e t o

t h e s i n g u l a r i t i e s a t x 0 y 0 a n d x 1 y 1 . I f q u a n t u m s t a t e s w i t h a n o n v a n i s h i n g

1 0


11/18

w a v e f u n c t i o n a t t h e s e s i n g u l a r p o i n t s c o n t r i b u t e i n a r e l a t i v i s t i c w a v e e q u a t i o n t h e n t h e

e e c t o f a n t i p a r t i c l e s b e c o m e s i m p o r t a n t .

M o r e o v e r i t i s n o t p o s s i b l e t o b o o s t w a v e f u n c t i o n s o r n o n s c a l a r o b s e r v a b l e s f r o m t h e

i n n i t e m o m e n t u m f r a m e t o a n o t h e r L o r e n t z f r a m e a s w e h a v e n o c l o s e d P o i n c a r e a l g e b r a

w h i c h m e a n s w e h a v e n o g e n e r a t o r o f u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n s K i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s

o n a t r u n c a t e d F o c k s p a c e . A t w o b o d y w a v e f u n c t i o n i n t h e i n n i t e m o m e n t u m f r a m e i s

i n g e n e r a l a c o m p l i c a t e d m a n y b o d y w a v e f u n c t i o n i n t h e r e s t f r a m e c o n t a i n i n g a l a r g e

n u m b e r o f p a r t i c l e a n t i p a r t i c l e p a i r s . T w o p r o b l e m s a r i s e i f o n e t r i e s t o c o n s t r u c t t h i s

w a v e f u n c t i o n r s t o n e h a s t o n d t h e b o o s t g e n e r a t o r i n t h e p r e s e n c e o f a n t i p a r t i c l e s

i . e . f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g q u a n t u m e l d t h e o r y . T h i s b o o s t g e n e r a t o r w i l l i n g e n e r a l b e a

d y n a m i c a l q u a n t i t y d e p e n d e n t o n t h e i n t e r a c t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n . T h e s e c o n d p r o b l e m

i s t o c a l c u l a t e t h e b o o s t e d w a v e f u n c t i o n

0

. I t i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n

0

i e x p i K i

A s K i s d y n a m i c a l i . e . i t c o n t a i n s t h e i n t e r a c t i o n t h i s p r o b l e m i s a s c o m p l i c a t e d a s n d i n g

t h e f u l l p r o p a g a t o r o f t h e q u a n t u m e l d t h e o r y . T h e r e f o r e o n l y s c a l a r o b s e r v a b l e s c a n b e

c a l c u l a t e d i n t h e i n n i t e m o m e n t u m f r a m e o r l i g h t c o n e c o o r d i n a t e s a n d c o m p a r e d w i t h

q u a n t i t i e s i n t h e r e s t f r a m e o f t h e t w o p a r t i c l e s i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s .

V . D I S C U S S I O N

W e h a v e s e e n t h a t c l a s s i c a l P o i n c a r e s y m m e t r y o f e l e c t r o d y n a m i c s i n o n e s p a c e d i m e n s i o n

i s l o s t i f t h e t h e o r y i s q u a n t i z e d o n a t r u n c a t e d F o c k s p a c e i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s . I n a

H a m i l t o n i a n f o r m u l a t i o n t h i s s h o w s u p a s a n a n o m a l y i n t h e P o i n c a r e a l g e b r a . A l m o s t a l l

k n o w n e x a m p l e s o f a n o m a l i e s a r e r e s t r i c t e d t o r e l a t i v i s t i c q u a n t u m e l d t h e o r i e s . H o w e v e r

t h e l o s s o f a c l a s s i c a l s y m m e t r y a f t e r q u a n t i z a t i o n i s a m o r e g e n e r a l p h e n o m e n o n w h i c h i s

r e l a t e d t o t h e n e c e s s i t y o f s p e c i f y i n g a H i l b e r t s p a c e 1 2 . T h i s c a n b e s e e n i n t h e s i m p l e

c a s e o f t h e m o t i o n o f a f r e e p a r t i c l e i n o n e d i m e n s i o n w i t h H p

2

1 3 . I f o n e q u a n t i z e s

1 1


12/18

t h e t h e o r y o n t h e H i l b e r t s p a c e L

2

1 1 t h e c l a s s i c a l t h e o r y a n d t h e q u a n t u m t h e o r y

a r e t r a n s l a t i o n a l l y i n v a r i a n t . T h e m o m e n t u m o p e r a t o r p g e n e r a t e s a u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n

w h i c h t r a n s l a t e s t h e s y s t e m a c c o r d i n g t o

e x p i p x e x p i p x

I f t h e t h e o r y i s q u a n t i z e d o n a c i r c l e w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h i s s y m m e t r y

b r e a k s d o w n t o a d i s c r e t e l a t t i c e s y m m e t r y i . e . t h e p a r a m e t e r h a s t o b e c o n s t r a i n e d t o

i n t e g r a l m u l t i p l e s o f 2 1 3 . F o r a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f a r e l a t e d p r o b l e m i n t h e p r e s e n c e

o f a n e x t e r n a l m a g n e t i c u x t h r o u g h a c i r c l e s e e 1 4 . A n o t h e r e x a m p l e o f a n a n o m a l y o f

a n i t e d i m e n s i o n a l s y s t e m w h i c h i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e a x i a l a n o m a l y i n Q E D i s t h e

s u p e r s y m m e t r i c h a r m o n i c o s c i l l a t o r . T h e p a r i t y s y m m e t r y o f t h e c l a s s i c a l t h e o r y i s b r o k e n

b y t h e g r o u n d s t a t e b u t a l l e x c i t e d s t a t e s a p p e a r i n p a r i t y d o u b l e t s 1 3 .

T h e f a c t t h a t t h e P o i n c a r e a n o m a l y i s p r e s e n t i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s b u t n o t i n l i g h t

c o n e c o o r d i n a t e s i n d i c a t e s t h a t a d i e r e n t H i l b e r t s p a c e i s u s e d i n t h e t w o f o r m u l a t i o n s . I n

l i g h t c o n e c o o r d i n a t e s t h e F o c k s p a c e c a n b e d e c o m p o s e d i n t o s p a c e s o f a d e n i t e n u m b e r

o f p a r t i c l e s w i t h o u t v i o l a t i n g L o r e n t z i n v a r i a n c e w h e r e a s i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s t h i s i s n o t

p o s s i b l e . T h e r e f o r e i t i s n o t p o s s i b l e t o c o m p a r e w a v e f u n c t i o n s i n t h e t w o f o r m u l a t i o n s i n

a s i m p l e m a n n e r . A s i n t h e c a s e o f t h e i n n i t e m o m e n t u m f r a m e a t w o b o d y w a v e f u n c t i o n

i n l i g h t c o n e c o o r d i n a t e s d o e s n o t c o r r e s p o n d t o a t w o b o d y w a v e f u n c t i o n i n o r d i n a r y

c o o r d i n a t e s .

T h e d i s c u s s i o n o f t h e a n o m a l y i n t h e i n n i t e m o m e n t u m f r a m e e x e m p l i e s t h a t o u r

r e s u l t s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e o r i g i n a l m o t i v a t i o n o f l i g h t c o n e c o o r d i n a t e s 1 1 . F r o m t h e

s t r u c t u r e o f t h e a n o m a l o u s m a t r i x e l e m e n t i n t h e i n n i t e m o m e n t u m f r a m e o n e c a n r e a d

o a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e v a l i d i t y o f t h e v a l e n c e q u a r k a p p r o x i m a t i o n i n t h i s L o r e n t z

f r a m e . I f t h e m o m e n t u m s p a c e w a v e f u n c t i o n s d o n o t v a n i s h r a p i d l y e n o u g h a t t h e s i n g u l a r

p o i n t s x 0 a n d y 0 t h e a n o m a l y i s i m p o r t a n t a l s o i n t h i s f r a m e t h e r e f o r e t h e t r u n c a t i o n

o f F o c k s p a c e v i o l a t e s L o r e n t z i n v a r i a n c e .

O u r r e s u l t s a l s o c l e a r l y i n d i c a t e t h a t t h e s o c a l l e d s i m p l i c i t y o f l i g h t c o n e t h e o r i e s i s

1 2


13/18

r a t h e r d e c e p t i v e a n d p r o b a b l y a n a r t e f a c t o f w o r k i n g i n 1 1 d i m e n s i o n s a s i t r e l i e s o n t h e

e x c e p t i o n a l l y s i m p l e s t r u c t u r e o f t h e b o o s t g e n e r a t o r a n d t h e F o c k s p a c e . U n f o r t u n a t e l y

i t i s c l e a r t h a t t w o o f t h e t h r e e b o o s t g e n e r a t o r s w i l l b e c o m e d y n a m i c a l q u a n t i t i e s i n 3 1

d i m e n s i o n s a l s o o n t h e l i g h t c o n e . A s a r e s u l t a L o r e n t z i n v a r i a n t f o r m u l a t i o n o f q u a n t u m

m e c h a n i c s w i l l b e a s d i c u l t a s i n o r d i n a r y c o o r d i n a t e s . T h e r e f o r e t h e i n t u i t i o n w h i c h i s

g a i n e d b y s t u d y i n g l o w e r d i m e n s i o n a l t h e o r i e s m a y b e m i s l e a d i n g w h e n p h e n o m e n a i n t h e

r e a l w o r l d i . e . i n 3 1 d i m e n s i o n s a r e t o b e u n d e r s t o o d . I n a d d i t i o n i t w i l l b e m u c h h a r d e r

t o i m p l e m e n t e . g . r o t a t i o n a l i n v a r i a n c e o n t h e l i g h t c o n e b e c a u s e t h e g e n e r a t o r s f o r t h i s

s y m m e t r y a r e a l s o d y n a m i c a l i n c o n t r a s t t o o r d i n a r y c o o r d i n a t e s .

A C K N O W L E D G E M E N T S

W e w o u l d l i k e t o t h a n k M . B u r k a r d t F . L e n z a n d D . S t o l l f o r m a n y f r u i t f u l d i s c u s s i o n s

a n d M . E n g e l h a r d t a n d D . K u s n e z o v f o r r e a d i n g t h e m a n u s c r i p t .

A P P E N D I X A C A L C U L A T I O N O F M A T R I X E L E M E N T S O F

Z

I n t h i s a p p e n d i x w e c o m p u t e t h e m a t r i x e l e m e n t h x

1

x

2

1

x

1

x

2

i

h x

0

1

x

0

2

1

x

1

x

2

i

h x

0

1

x

0

2

x

1

x

2

q

p

2

1

m

2

q

p

2

1

m

2

x

1

x

2

x

1

x

2

i

f x

0

1

x

0

2

x

1

x

2

g

Z

1

1

d p

1

Z

1

1

d p

2

h x

0

1

x

0

2

q

p

2

1

m

2

p

1

p

2

i h p

1

p

2

x

1

x

2

i

f x

0

1

x

0

2

x

1

x

2

g x

2

x

0

2

Z

1

1

d p

1

q

p

2

1

m

2

e x p i p

1

x

0

1

x

1

2

F o r t h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t s i d e o n e a r r i v e s a t

Z

1

1

q

p

2

1

m

2

e x p i p

1

x

0

1

x

1

2

d p

1

2

Z

1

0

q

p

2

1

m

2

c o s p

1

q

2

d p

1

2

2

Z

1

0

q

p

2

1

m

2

p

1

p

1

c o s p

1

q d p

1

w h e r e q i s d e n e d a s q x

0

1

x

1

. D e n e

1 3


14/18

I

1

2

2

Z

1

0

d p

1

p

1

c o s p

1

q A 1

T h i s i n t e g r a l h a s t o b e r e g u l a r i z e d

I

1 r e g

2

2

l i m

0

R e f

Z

1

0

d p

1

p

1

e x p p

1

i q g

1

q

2

A 2

F o r t h e i n t e g r a l I

2

d e n e d a s

I

2

2

2

Z

1

0

d p

1

q

p

2

1

m

2

p

1

c o s p

1

q A 3

o n e o b t a i n s a f t e r t w o p a r t i a l i n t e g r a t i o n s

I

2

1

q

2

Z

1

0

d p

1

m

2

c o s p

1

q

q

p

2

1

m

2

3

q

2

A 4

T h e r e f o r e o n e h a s n a l l y 9

Z

1

1

d p

1

q

p

2

1

m

2

2

e x p i p

1

x

0

1

x

1

I

1

I

2

Z

1

0

d p

1

m

2

c o s p

1

q

q

p

2

1

m

2

3

q

2

m

x

0

1

x

1

K

1

m x

0

1

x

1

H e n c e

h x

0

1

x

0

2

1

x

1

x

2

i f x

0

1

x

0

2

x

1

x

2

g x

0

2

x

2

m

x

0

1

x

1

K

1

m x

0

1

x

1

A 5

T h e c a l c u l a t i o n f o r h x

0

1

x

0

2

2

x

1

x

2

i i s c o m p l e t e l y a n a l o g o u s . F r o m t h e t w o m a t r i x e l e m e n t s

1 2 f o l l o w s i m m e d i a t e l y .

A P P E N D I X B S O L U T I O N I N T H E N O N R E L A T I V I S T I C L I M I T

T h e n o n r e l a t i v i s t i c H a m i l t o n i a n f o r t w o p a r t i c l e s i n t e r a c t i n g b y a l i n e a r p o t e n t i a l i s

H

2

X

i 1

p

2

i

2 m

e

2

x

1

x

2

B 1

A f t e r s e p a r a t i n g t h e c e n t e r o f m o m e n t u m o n e h a s f o r t h e r e l a t i v e v a r i a b l e t h e f o l l o w i n g

S c h r o d i n g e r e q u a t i o n

1 4


15/18

1

m

2

r

2

r e

2

r r E r B 2

F o r r 0 o n e g e t s a f t e r t h e s u b s t i t u t i o n s y e

2

r E m a n d z e

4

m

2

1

3

y

d

2

z

d z

2

z z 0 B 3

T h e s o l u t i o n i s 9

z c

1

A i z c

2

B i z B 4

c

2

m u s t b e z e r o b e c a u s e B i z i s n o t n o r m a l i z a b l e . F o r r 0 t h e p r o c e d u r e i s s i m i l a r . F o r

t h e w a v e f u n c t i o n o n e g e t s t h e n

r A i m e

4

m

2

1

3

e

2

r E B 5

T h e e n e r g y e i g e n v a l u e s a r e d e t e r m i n e d b y t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e w a v e f u n c t i o n a n d i t s

r s t d e r i v a t i v e i s c o n t i n u o u s a t t h e o r i g i n . T h e r e f o r e o n e h a s

A i

0

m e

4

m

2

1

3

E 0 B 6

a n d i f t h e z e r o s o f t h e r s t d e r i v a t i v e o f t h e A i r y f u n c t i o n a r e d e n o t e d a

0

n

o n e h a s n a l l y

E

n

a

0

n

e

4

m

1

3

B 7

n

0

2

i s g i v e n b y

n

0

2

1

a

0

n

e

2

m

8

1

3

B 8

a n d t h e r e f o r e w e h a v e f o r h

n

Z

n

i

h

n

Z

n

i

Z

d r r

e

2

i

2 m

3

r r

i e

2

2 m

3

a

0

n

e

2

m

8

1

3

B 9

1 5


16/18

R E F E R E N C E S

1 H . F e s h b a c h a n d F . V i l l a r s R e v . M o d . P h y s . 3 0 1 9 5 8 2 4

2 P . A . M . D i r a c R e v . M o d . P h y s . 2 1 1 9 4 9 3 9 2

3 H . G o l d s t e i n C l a s s i c a l M e c h a n i c s A d d i s o n W e s l e y R e a d i n g M a s s a c h u s e t t s 1 9 8 0

4 J . D . J a c k s o n C l a s s i c a l E l e c t r o d y n a m i c s W i l e y N e w Y o r k 1 9 6 2

5 S . L . A d l e r P h y s . R e v . 1 7 7 1 9 6 9 2 4 2 6

6 J . S . B e l l a n d R . J a c k i w N u o v o C i m . A 6 0 1 9 6 9 4 7

7 K . F u j i k a w a P h y s . R e v . D 6 1 9 7 2 4 7 7

8 I . B i a l y n i c k i B i r u l a P h y s . R e v . D 3 1 9 7 1 8 6 4

9 M . A b r a m o v i t z a n d I . S t e g u n H a n d b o o k o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s D o v e r P u b l i c a

t i o n s N e w Y o r k 1 9 7 2 p . 3 7 5

1 0 K . H o r n b o s t e l S . J . B r o d s k y a n d H . C . P a u l i P h y s . R e v . D 4 1 1 9 9 0 3 8 1 4

1 1 S . W e i n b e r g P h y s i c a l R e v i e w 1 5 0 1 9 6 6 1 3 1 3

1 2 L . O R a i f e a r t a i g h a m d A . W i p f W K B P r o p e r t i e s o f t h e T i m e D e p e n d e n t S c h r o d i n g e r

S y s t e m F o u n d a t i o n s o f P h y s i c s V o l . 1 8 M a r c h 1 9 8 8 p p . 3 0 7

L . O R a i f e a r t a i g h A x i a l A n o m a l i e s p r e p r i n t D I A S S T P 9 0 2 7 A p r i l 1 9 9 0

1 3 L . O R a i f e a r t a i g h S e m i c l a s s i c a l A s p e c t s o f Q u a n t u m F i e l d T h e o r i e s L e c t u r e N o t e s o f

t h e W o r k s h o p T o p i c s i n F i e l d T h e o r y O c t o b e r 1 0 1 2 1 9 9 4 G K N o t e s U n i v e r s i t y o f

E r l a n g e n u n p u b l i s h e d

1 4 N . S . M a n t o n A n n . P h y s . 1 5 9 1 9 8 5 2 2 0

1 6


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F I G U R E S

F I G . 1 . C l a s s i c a l p a r t i c l e t r a j e c t o r y i n M i n k o w s k i s p a c e .

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F I G . 2 . Q u a n t u m m e c h a n i c a l p a r t i c l e p r o p a g a t i o n i n M i n k o w s k i s p a c e .

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Lenz - Example of Poincare Anomaly

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Transcript of Lenz - Example of Poincare Anomaly