Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 1 # Leis de Newton # Nesta aula vamos estudar as leis que permitem a descrio da origem de todos os movimentos. Este conjunto de leis, desenvolvido no sculo XVIII por Sir. Isaac Newton consiste de trs princpios fundamentais para a anlisedosfatoresquepermitemexplicaromovimentodoscorposatravsdateoriaque,posteriormente, ficou conhecida como dinmica. Amaneiramaiscontundentedeiniciarestetrabalhoapresentarastrsleisformalmenteeemseguida apresentarumgrandeconjuntodeexemplosquepermitamentendercomoestesprincpiosseaplicamem problemas cotidianos simples e em outros nem to simples assim. Nestaaula,vamosestudarasaplicaesdastrsleisnassituaesconsideradasideais,ouseja,sematrito, sem resistncia do ar, etc. Posteriormente, ainda nesta aula, vamos estudar as leis de Newton na presena das diversasformasdeatrito.PorfimveremosaaplicaodasleisdeNewtonemmovimentosemtrajetrias curvilneas (circulares). As Leis de Newton Noseriaexagerodizerqueostrsprincpiosque caracterizamoconjuntodasleisdeNewton representamomaisimportantearcabouoterico paraadescriodaorigemdomovimento.Tudoo que estudamos na cinemtica se associa a anlise do movimento em si, sem qualquer compromisso com a razopelaqualestemovimentocomeou.Poressa razocostuma-sedizerqueasleisdeNewton representamapartemaisimportantedafsica clssica. Vejamosaseguirasdefiniesdastrsleisde Newton. Primeira lei de Newton (Princpio da Inrcia) Todocorpotendeapermaneceremrepousoouem equilbriouniforme(semacelerao)amenosque uma fora atue sobre ele. Segunda lei de Newton (Princpio Fundamental da Dinmica) Aresultante(vetorial)detodasasforasqueatuam sobreumcorpo dada peloprodutodamassadeste corpopelaaceleraoresultantenadireodo movimento. R Ra m Frr =Terceira lei de Newton (Princpio da Ao e Reao) Todaaotemumareaoigual,demesma intensidade e em sentido contrrio. Estas duas foras (ao e reao) atuam em corpos diferentes. AntesdeaplicarmosoconjuntodasleisdeNewton emexemplosquenospermitamcompreendersua importncia e sua aplicao prtica, temos que fazer algumas consideraes a respeito destes princpios. Aprimeiraleirepresentaaprpriadefiniode inrcia. Atravs dela podemos explicar uma srie de exemploscotidianos,taiscomoumapessoasendo jogadaparafrenteouparatrazquandoumnibus freiaouacelera.Omovimentodeumamoeda arremessadaparacimadentrodeumnibusem movimento (a trajetria da queda da moeda depende da posio do observador: dentro ou fora do nibus), entre outros. AsegundaleideNewtonumaexpressovetorial. Para utiliz-la necessrio representar vetorialmente todasasforasqueatuamnocorpoparaoqual desejamosescrev-la.Elapodeaindadescrevero equilbrio dos corpos, ou seja, a condio segundo a qual a resultante de todas as foras que atuam sobre um corpo nula. AterceiraleideNewtonfundamentalpara descreverasinteraesentrecorpos.Enquantoa segundaleidescreveomovimentodeumcorpo, Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 2 atravsdoprincpiodaaoeraoquedefinimos comoumcorpoagesobreooutroduranteo movimento de dois ou mais corpos. Nosistemainternacionaldeunidades,afora medidaemkgm/s2,unidaderebatizadacomo Newton (N). Vamos s aplicaes das leis de Newton! *** Exemplos *** Uma pessoa est sentada no assento de um nibusquesemoveemmovimentoretilneo uniforme(MRU).Explique,combasenasleisde Newton,oqueacontececomapessoaquandoo nibus desacelera at parar e quando volta a acelerar para entrar em movimento. *** Resoluo *** Quandoonibusestemmovimento,umapessoa dentrodonibusestemmovimentoconsolidado comonibus.Contudoapessoaeonibusso corposdistintos,equandoonibuspraapessoa tendeapermaneceremmovimento,sendojogada para frente. Quando cessa o movimento, a pessoa e o nibus esto em repouso. Quando o nibus entra em movimento,apessoatendeapermanecerem repouso,tendoassimasensaodeserjogadapara traz.Oquemudaosestadosdemovimentoe repousoaforaqueaspartesfixasdonibus,em contato com a pessoa, exercem sobre ela. Situaessimilarespodemserobservadasquando umcavaleiroarremessadoparafrentedianteda freadabruscadeumcavalo;quandoumcarro,ao realizar uma curva, tende a ser arremessado em uma direo tangente curva; etc. Dasdefiniesdealgunstiposespeciais de fora e de seus pares de ao e reao, tais como asforaspeso,normaletenso.Mostrea representaoesquemticadasforasenquanto vetores. *** Resoluo *** (I) A fora peso. Aforapesodeterminaamaneiracomoumcorpo interage com o campo gravitacional da Terra. Ela dada por: g m P =Onde g a acelerao da gravidade na Terra. Repare queamassainvariante.Istosignificaqueem qualquer lugar do universo ter o mesmo valor. J o pesovariadelocalparalocal.Bastaquevariea aceleraolocaldagravidade.Nalua,elade aproximadamente1,6m/s2,enquantonaTerraseu valoraproximadamentede9,8m/s2(parafins prticos esse valor arredondado para 10 m/s2). Por essa razo, uma pessoa de 70 kg, pesa, na lua, 112 N (N a unidade de fora no sistema internacional). J na Terra esse peso de aproximadamente 700 N. (II) Fora normal Aforanormalaparece todavezqueumcorpoest emcontatocomumasuperfcie.Emfunoda interaodocorpocomaTerra(forapeso)a superfciequeapiaocorpoexercerumafora contrria a ao do corpo sobre ela, que tem direo vertical e sentido de baixo para cima, na maioria dos casos.Veremosalgumasexceesao estudarmosas foras em trajetrias curvilneas. O modulo da fora normalnoigualaodaforapeso.Enquantoa forapesodependesomentedagravidadeanormal podedependerdeumasriedefatores,como veremos mais a frente em alguns exemplos. Diferenciaoentreforanormaleforapeso (pares de ao e reao) Oqueconvencionamoschamardeparesdeaoe reaosoforasquepossuemmesmomdulo, mesmadireoesentidoscontrrios,queatuamem corposdiferentes,obedecendo,destemodo,a terceira lei de Newton. Quando um objeto apoiado sobreumamesa,sobreeleagemasforaspesoe normal.Possuemresultantenula,vistoqueoobjeto est em equilbrio. Contudo, estas foras no podem formar par de ao e reao porque agem no mesmo corpo.Osparesdeaoereaodestasforas podem ser vistos na figura a seguir: Afiguraaseguirilustraestasituao,indicandoos pares de ao e reao corretos. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 3 Aforanormalqueagenocorpotemseuparde aoereao(N=N)namesa(amesaempurrao bloco, o bloco, devido ao seu peso, empurra a mesa). J o par de ao e reao da fora peso um pouco maissutil.Oquechamamosdepeso,umafora queaTerraexercenocentrodegravidadedetodos os objetos menos massivos que ela que esto ao seu redor(atasobrealuaaTerraexercefora gravitacional). Se esta fora age nos corpos, ento a reao a ela tem que agir... Isso mesmo, no centro da Terra! Mas como explicar o fato de no percebermos claramenteestafora.Vejamosafiguradadireita: Suponhaquecadamassatenhacercade100kg.A intensidade da fora peso com que a Terra atrai estas massas de cerca de 1000 N. A partir da segunda lei deNewton,considerandoqueamassaeaTerra esto em equilbrio podemos escrever: a M g m ' P PT = =OndegaaceleraoqueaTerraexercesobreo corpoe aaaceleraoqueo corpoexerce sobre a Terra. Para m = 100 kg ekg 10 0 , 6 M24T , temos, para a acelerao exercida sobre a Terra: = = a 10 0 , 6 1000 g m24 2 22s / m 10 67 , 1 a =Umvalortoinsignificantequenopodeser percebidoporquepuxaaTerracomessa acelerao! (III) Trao (ou tenso) Quandoumobjetopenduradoemumacorda flexvel presa ao teto, por exemplo, a corda o meio atravs do qual a fora, que o teto exerce, age sobre oobjeto.Estaforatemparesdeaoereaono tetoenoobjeto,sendoacorda,comojfoi observado,apenasummeioparaaaodafora. importanteressalvarqueparaqueexistatraono fioprecisoqueexistaumaaoemumadesuas extremidades,como,porexemplo,aaodafora peso ilustrada na figura. T e T, formam par de ao ereao(T= T),poisagememcorpos distintos (o tetopuxaamassaatravsdacorda,amassapuxao teto atravs da corda). Aseguirveremosmaisumasriedeexemplosda aplicaodasleisdeNewton.Ummodelomuito importanteomodelodeblocos,ondepodemos sistematizar a ao das foras sobre todos os corpos envolvidosemumasituaofsica.Estemodelo muitoimportante,poisapartirdele,praticamente todasassituaescotidianasenvolvendoleisde Newton so descritas. Umblocodemassa10kgsedesloca horizontalmentesobreumasuperfcieperfeitamente lisa(sematrito)sobaaodeumaforaFde mdulo25N.Determineaaceleraodoblocoe determineamesmaaceleraonumsegundo momento, onde o bloco, sob a ao da mesma fora, tem, agindo sobre ele, uma fora F de mdulo 10 N em sentido contrrio ao da fora F. *** Resoluo *** Asduassituaessoesquematizadasnafiguraa seguir: Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 4 Nasituao1,anicaforaqueagenadireodo movimento a fora F. Por essa razo temos: = = a 10 25 a m F2s / m 5 , 2 a =Nasituao2,duasforasagemsobreobloco,de modo que a acelerao se deve a fora resultante na direo do movimento: = = a 10 10 25 a m ' F F2s / m 5 , 1 a =Nessecaso,representamosapenasasforasna direodomovimento,masmuitocomum representarmostodasasforasqueagemsobreo corpo(noapenasaquelasqueagemnadireodo movimento).Fazemosparacadacorpoqueesteja envolvidonoproblemaumdiagramadeforas. Nosprximosexemplosveremoscomofazeressa representao completa. Nafigura,oscorposAe Bsemovemsob aodeumaforadeintensidade30Nnuma superfciesematrito.Sabendoqueasmassasdos corposso,respectivamente,4,0kge6,0kg, determineaaceleraoresultantedosistemaea fora de interao entre os blocos. *** Resoluo *** Osdiagramascomasforasqueagememcada bloco so apresentados a seguir. NoblocoA,agemasforaspesoenormal,na direovertical.Nadireohorizontal,ageafora F,aplicadaaosistema,eareaodaforaqueA aplicaemB(AforaFfazcomqueoblocoA empurre o bloco B, que de acordo com a terceira lei deNewton,aoereao,empurraoblocoAcom umaforademesmomdulo,mesmadireoe sentido contrrio). Para cada bloco, em cada direo, uma equao deve ser escrita, de acordo com a segunda lei de Newton. Na vertical, temos: A A A AnulaVertical A AP N 0 P Na m P N= = = 3 2 1 B B B BnulaVertical B BP N 0 P Na m P N= = = 3 2 1 Navertical,nohmovimento.Poressarazo,as aceleraesdosblocosAeBnaverticalsonulas. Istonoslevaaescreveroquechamamosde equaes de equilbrio (NA = PA e NB e PB), j que os blocos permanecem em repouso na direo vertical. O movimento ocorre na direo horizontal. Por essa razo,nestadireoescrevemosasequaesde movimento. = = Horizontal B ABHorizontal A ABa m F : B Blocoa m F F : A Bloco Notequeasequaesdemovimentocompemum sistemadeequaescomumanicaacelerao,j queosblocossemovemconsolidadamente.Esse umcomportamentoqueveremosemmuitas situaes. Corpos que se movem consolidados, tm uma nica acelerao Resolvemos este sistema pelo mtodo da soma, onde estas equaes so somadas, termo a termo: Horizontal B AHorizontal B Horizontal Aanulam seAB ABa ) m m ( Fa m a m F F F + = + = + 43 42 1 Substituindoosdadosdoproblemanaequao obtida temos; 30 a 10 a ) 6 4 ( 30Horizontal Horizontal= + = Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 5

1030aHorizontal =2Horizontals / m 0 , 3 a =Substituindoaaceleraoemqualquerumadas equaes de movimento, temos: 3 6 F a m FAB Horizontal B AB = =N 18 FAB =Esseprocedimentodesoluoumpadro.No importaquantosblocosnostenhamos,o procedimentosempreomesmo.Paraqueeleseja fixado, veremos este procedimento em uma srie de exemplosenvolvendosistemasque,adaptados, podem ser utilizados na descrio de situaes reais. Nafigura,oscorposA,BeCsemovem sob ao de uma fora de intensidade 40 N, aplicada ao bloco A, numa superfcie sem atrito. Aplicada ao blocoC,umaforade20Nofereceresistnciaao movimento.Sabendoqueasmassas dos corpos so, respectivamente, 2,0 kg e 5,0 kg e 3,0 kg, determine aaceleraoresultantedosistemaeasforasde interao entre os blocos A e B e B e C. *** Resoluo *** Nesteproblema,umasituaosimilarasituaodo exemplo 4 apresentada. Contudo, alguns elementos amaisforaminseridosnoproblema.Istofoifeito paraquevocpercebaquenoimportaoquo complicadooproblemapodesetornar,aformade resolv-loamesma.Asituaodescritano enunciado apresentada na figura a seguir: Osdiagramascomasforasqueagememcadaum dos blocos so apresentados a seguir: Nos diagramas, PA, PB e PC so os pesos dos blocos eNA,NBeNCsoasreaesnormaisdevidoa interaoentreosblocoseasuperfcie.Fafora aplicadaaoblocoAeFResaforaaplicadaao blocoCqueofereceresistnciaaomovimento.As forasFABeFBCsoasforasdeinteraoentreos blocos A e B e B e C. Nadireovertical,nohmovimento,eporessa razoaaceleraodosblocosnaverticalnula. Comissopodemosescreverasseguintesequaes de equilbrio: C C C CB B B BA A A AP N 0 P NP N 0 P NP N 0 P N= = = = = = Jasegundavezqueescrevemosasequaesde equilbrioenoasutilizamosnasoluodo problema.Voc,aessaaltura,deveestarse perguntando:porqueescrev-las?Quando comearmosaestudarosmovimentoscomatrito entreoscorposeasuperfcie,essasequaessero essenciais a soluo do problema. Porhora,asoluodoproblemanosexigeas equaes de movimento na direo horizontal: = = = H C s Re BCH B BC ABH A ABa m F F : C Blocoa m F F : B Blocoa m F F : A Bloco Similarmenteaoquefizemosnoexemploanterior, resolvemososistemadeequaesobtidopelo mtododasoma.Somandoasequaestermoa termo obtemos: s Reanulam seBC BCanulam seAB ABF F F F F F + + 43 42 1 43 42 1 H C H B H Aa m a m a m + + = Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 6 H C B A s Rea ) m m m ( F F + + = Ha ) 3 5 2 ( 20 0 4 + + = 1020aH =2Hs / m 0 , 2 a =Substituindoaaceleraoobtidanaequaodo blocoC,obtemosaforadeinteraoentreos blocos B e C: 20 6 F 2 3 20 FBC BC+ = = N 26 FBC =Substituindo o valor de FBC e a acelerao obtida na equaodoblocoBobtemosaforadeinterao entre os blocos A e B. 26 10 F 2 5 26 FBC AB+ = = N 36 FBC = Na figura, os corpos A e B esto acoplados porumfioideal(semmassaeinextensvel)ese deslocamsobreumasuperfcieperfeitamentelisa sobaodeumaforade50Nqueagesobreo blocoBpuxandoo sistema.Sabendoqueasmassas dos blocos A e B so respectivamente iguais a 12 kg e8,0kg,determineaaceleraodosistemaea trao no fio que liga os blocos. *** Resoluo *** A situao representada na figura a seguir: OsdiagramasdeforasparaosblocosAeBso apresentados na figura a seguir: Nadireoverticaltemosasequaesdeequilbrio dadas por: B B B BA A A AP N 0 P NP N 0 P N= = = = Nadireohorizontal,temosasequaesdemovi-mento para os blocos A e B dadas por: = =H BH Aa m T F : B Blocoa m T : A Bloco Somando as equaes dos blocos temos: H B AH B H Aanulam sea ) m m ( Fa m a m T T F + = + = + 3 2 1

2050a a ) 8 12 ( 50H H = + =2Hs / m 5 , 2 a =Substituindoaaceleraoemqualquerumadas equaes(naprimeira,porexemplo),temoso clculo da trao: 5 , 2 12 T = N 30 T =Vejamosumexemplodeaplicaodasleisde Newton a uma situao cotidiana. Dois carrinhos de supermercado podem ser acopladosumaooutropormeiodeumapequena correntefrgil,demodoqueumanicapessoa,ao invsdeempurrardoiscarrinhosseparadamente, possapuxaroconjuntopelointeriordo supermercado.Umclienteaplicaumafora horizontaldeintensidadeF,sobreocarrinhoda frente,dandoaoconjuntoumaaceleraode intensidade0,5m/s2.Sendoopisoplanoeoatrito comosolodesprezvel,calculeaintensidadeda fora F e determine qual dos arranjos a seguir (1 ou 2)minimizaatensonacorrente,fazendocomque esta corra um risco menor de arrebentar. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 7 *** Resoluo *** Os diagramas de foras para cada um dos carrinhos, em cada um dos arranjos da figura, so apresentados nas figuras a seguir: # Situao 1 # # Situao 2 # Vamos calcular a intensidade da fora F e da trao em cada uma das situaes indicadas. Situao 1: Para as equaes de equilbrio temos: 100 100 100 10040 40 40 40P N 0 P NP N 0 P N= = = = Paraasequaesdemovimento,temososeguinte sistema de equaes: = = H 100H 40a m T : kg 100 e d Blocoa m T F : kg 0 4 de Bloco Somando as duas equaes, cancelamos as traes e obtemos para a fora F a seguinte expresso: 5 , 0 ) 100 40 ( F a ) m m ( FH 100 40 + = + =N 70 F =Utilizando a segunda equao obtemos: 5 , 0 100 T a m TH 100 = =N 50 T =Situao 2: Asequaesdeequilbriosoasmesmasque obtivemosnasituao1.Jparaasequaesde movimento, temos o seguinte sistema de equaes: = =H 100H 40a m T F : kg 100 e d Blocoa m T : kg 0 4 de Bloco Somando as duas equaes, cancelamos as traes e obtemosparaaforaFomesmovalorque obtivemosnasituao1,oquerazovel,poisa fora que move o sistema deve ser a mesma nas duas situaes,jqueosblocosdossistemassemovem consolidadamenteetmamesmaacelerao. Utilizando a primeira equao obtemos: 5 , 0 40 T a m TH 40 = =N 20 T =Observe,quequandocolocamosoblocomais pesadonafrente,atensoreduzida.Destaforma, paramovermosumsistemanessascondies minimizandoatensonofioqueligaoscorpos, devemos colocar o de maior massa na frente. Similarmente ao que fizemos quando colocamos trs blocosemcontatoumcomooutro,movidossob aodeumaforaFqueempurravaosistema, vamosresolverumproblemaequivalentecomtrs corposdemassasdiferentesligadospordoisfios ideais, puxados por uma fora de mdulo F. Trscorposligadospordoisfiosideais estoarranjadoscomoindicaafigura.Osistema puxado por uma fora de mdulo 60 N. Desprezando quaisquer atritos entre os blocos e o solo, determine aaceleraoresultantedosistemaeaintensidade das traes nos fios 1 e 2. *** Resoluo *** Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 8 Afigurarepresentaodiagramadeforasparaa situao descrita no enunciado. Asequaesdeequilbrioparaestesistemaso dadas por: C C C CB B B BA A A AP N 0 P NP N 0 P NP N 0 P N= = = = = = Asequaesdemovimentocompemoseguinte sistema: = = =H C 2H B 1 2H A 1a m T F : C Blocoa m T T : B Blocoa m T : A Bloco Resolvendoosistemapelomtododasoma, obtemos: H C B Aanulam se1 1anulam se2 2a ) m m m ( T T T T F + + = + + 43 42 1 43 42 1 Ha ) 5 6 4 ( 0 6 + + =

1560aH =2Hs / m 0 , 4 a =Substituindoaaceleraoobtidanaequaodo bloco A obtemos a tenso no fio 1: 4 4 T1 = N 16 T1 =SubstituindoT1eaaceleraonaequaodobloco B calculamos a tenso no fio 2: 24 16 T 4 6 16 T2 2 + = = N 40 T2 =Observe que em todos os casos que vimos at aqui, o procedimentopararesoluosempreomesmo. Sumarizando, seguimos os seguintes passos: # Separamos os corpos e fazemos os diagramas de foras para cada um deles. # Escrevemos as equaes de equilbrio para cada um dos corpos. #Escrevemosasequaesdemovimentopara cada um dos corpos. #Resolvemososistemadeequaesobtidopelo mtodo da soma. Seguindoestespassos,podemossolucionar quaisquerproblemasenvolvendoleisdeNewton. Paraverificarmosesteprincpiovamosresolver alguns exemplos em que o movimento no se realiza exclusivamentenadireohorizontal.Desdej, importantequeobservemosquenobasta definirmos equaes na direo vertical e na direo horizontal, como se poderia presumir para a soluo deumproblemavetorial.Aqui,temosque determinarequaesdeequilbrioemovimento, convencionandocomosentidopositivoosentido para onde o corpo se desloca, seja qual for direo em que se movimente. Na situao descrita na figura, determine a acelerao do sistema e a trao no fio, sabendo que este um fio ideal e que a superfcie, onde desliza o bloco A, perfeitamente lisa. As massas dos blocos A e B so respectivamente 6,0 kg e 4,0 kg e a polia ideal (no produz atrito e tem massa desprezvel). *** Resoluo *** Isolando os blocos, temos os seguintes diagramas de foras: Notequeshaodaforanormalsobreobloco A, pois apenas ele est em contato com a superfcie. O fio que passa pela polia quem transmite a tenso entre os blocos A e B. Por essa razo apenas o corpo A ter condio de equilbrio: Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 9 A A A AP N 0 P N = = Asequaesdemovimentocompemoseguinte sistema: = =a m T P : B Blocoa m T : A BlocoBA Resolvendo o sistema pelo mtodo da soma, temos: a ) m m ( T T PB A0 + = +3 2 1 B ABB A Bm mg ma a ) m m ( g m+= + =

4 610 4a +=2s / m 4 a =Calculamosatraosubstituindoaaceleraona equao do corpo A. 4 6 T a m Ta = = N 24 T = Na situao descrita na figura, determine a aceleraodosistemaeastraesnosfios1e2, sabendoqueestes fiosso ideaiseque asuperfcie, ondedeslizaoblocoB,perfeitamentelisa.As massasdosblocosA,BeCsorespectivamente 5kg, 3kg e 2kg e as polias so ideais (no produzem atrito e tm massas desprezveis). *** Resoluo *** Isolandoosblocostemososseguintesdiagramasde foras: Apenas o corpo B ter ao da fora normal, pois o nicoapoiadosobreumasuperfcie.Aequaode equilbrioBserdadapor:(OscorposAeCno tero equaes de equilbrio) B B B BP N 0 P N = = Asequaesdemovimentocompemoseguinte sistema: = = = a m P T : C Blocoa m T T : B Blocoa m T P : A BlocoC C 2B 2 1A 1 A Ondeconsideramososentidodomovimentocomo sendo o sentido do bloco A caindo, pois ele o mais massivo(osistemasedeslocadadireitapara esquerda, e consideramos esse como sendo o sentido positivodomovimento).Resolvendo osistemapelo mtodo da soma, temos: a ) m m m ( P T T T T PC B A C02 201 1 A + + = + + 43 42 1 43 42 1 a ) m m m ( P PC B A C A + + = 2 3 510 ) 2 5 (am m mg ) m m (aC B AC A+ + = + + =

1010 ) 3 (a =2s / m 3 a =SubstituindoaaceleraonaequaodoblocoA temos: g m a m T a m T PA A 1 A 1 A = = = = ) 3 10 ( 5 T ) a g ( m T1 A 1N 35 T1 =SubstituindoaaceleraonaequaodoblocoC temos: g m a m T a m P TC C 2 C C 2 + = = + = + = ) 3 10 ( 2 T ) g a ( m T2 C 2N 26 T1 =Noarranjodafigura,umblocodemassa mdeslizanumplanoinclinadoemrelao horizontaldeumnguloesematrito.Determine para esse bloco: (a) a acelerao; (b) a intensidade da fora normal que o plano exerce sobre ele. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 10 *** Resoluo *** (a)Asforasqueagemnoblocodemassamso indicadas na figura a seguir: Noteque nemnoeixo xnemnoeixoyhqualquer foranadireodemovimento(paralelaaoplano inclinado).Issosignificaque,nestaconfigurao nohoquejustifiqueomovimentodobloco,que desce o plano com acelerao no nula. Oquefazemosparaentenderessamovimento inclinar o sistema de eixos x e y do mesmo ngulo quedeterminaainclinaodoplanoemrelao horizontal. A figura a seguir ilustra essa ao: Notequeaofazeristo,aforapesonocoincide mais nem com o eixo x nem com o eixo y. Por isso, fazemosadecomposiodaforapeso,obtendoas componentesPxePy.Agorapodemoscompreender omovimentodoblocodemassam.Elesedesloca noplanosobaodacomponentePx.Assim podemos determinar sua acelerao:a m sen P a m Px = = a m sen g m /= / = sen g a(b)Considerandoqueobloconosemovena direoperpendicularaoplanoinclinado,podemos determinar a reao normal. = = cos g m N Py Noarranjodafiguraaseguir,osblocos tm massas iguais a 10 kg. O bloco A desliza em um planoinclinadocompletamenteliso(sematrito).O fio que une os blocos A e B inextensvel e a polia ideal, tendo massa desprezvel. Determine: (a) A acelerao do sistema; (b) A trao no fio. (dado sen 30 = 0,5) *** Resoluo *** Odiagramaaseguirilustraasforasqueagemem cada uma dos blocos. Como os blocos tm massas iguais, vamos utilizar o resultadodoexemploanteriorparadeterminaro sentido do movimento. Vimos que um bloco descendo num plano inclinado temaaceleraodagravidadeamenizadaporum seno( 1 sen 0 ): = sen g a .Istosignificaque para que um bloco suba em um plano inclinado sem atrito a fora mnima necessria menor que o peso do bloco. Assim, no nosso caso, como os blocos tm massas iguais, o bloco B desce e o bloco A sobe. Comissopodemosescreveraasseguintesequaes de movimento: = = a m T P : B Blocoa m P T : A BlocoB BA xA Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 11 Resolvendo essas equaes temos; a ) m m ( P T T PB A xA0B + = + 3 2 1 a ) m m ( sen g m g mB A A B + = ) 10 10 () 5 , 0 10 10 ( 10a) m m () sen m m ( gaB AA B+ = + =

2050a =2s / m 5 , 2 a =Substituindoaaceleraoobtidanaequaodo corpo A obtemos: (substituindo na equao do corpo B encontraramos o mesmo resultado) a m sen g m T a m P TA A A xA = = + = = 50 25 T 5 , 2 10 5 , 0 10 10 T N 75 T =Nafiguraaseguir, oscorposAeBtm,res-pectivamente,massasiguaisa 6 kg e 2 kg. Os fios e as polias soideais.Useg=10m/s2e determine: (a) a acelerao do conjunto; (b)astraesnofiocomo tetoenofioqueligaas massas. *** Resoluo *** OsdiagramasdeforadosblocosAeBsodados na figura a seguir: Nessecaso,asequaesde movimento sero dadas por: = = a m P T : B Blocoa m T P : A BlocoB BA A Resolvendoosistemapelo mtodo da soma: g m g m a ) m m (a ) m m ( P PB A B AB A B A = + + = + =) m m () m m ( gaB AB A+ =) 2 6 () 2 6 ( 10a2s / m 5 a =Atraonofioqueligaosblocospodeserobtida, por exemplo, a partir da equao do bloco B: g m a m T a m P TB B B B + = = + = ) g a ( m TB + = ) 10 5 ( 2 T N 30 T =JatensocomotetoTTpodeserdeterminadaa partir do esquema a seguir: T 2 TT =30 2 TT =N 60 TT = Um bloco de 12 kg mantidosuspensoporum homematravsdosistema depoliasindicadonafigura. Considerandoosfioseas poliasideais,determinea foraaplicadapelohomem ao sistema. (Use g = 10 m/s2) *** Resoluo *** Nesteproblematemosqueisolaraspolias,enoa massa.Paraamassa,emequilbrio,opeso compensadopelatraonofioqueligaamassaa primeirapolia.Paraaspolias,inclusiveaprimeira, temos os seguintes diagramas: Notequecadapoliamveldivideaforaametade. Sendoassim,aforaqueohomemexercenapolia fixa ser, como indica o diagrama de foras, a oitava parte do peso do bloco. N 120 12 10 P T = = = = =8120F8TF N 15 F = Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 12 Umapessoade70kgestasobreuma balana colocada no interior do elevador. O elevador sobe (ou desce) com acelerao constante de 2 m/s2. Useg=10m/s2eedeterminealeituradabalana quando: (a) o elevador sobe acelerado; (b) o elevador sobe retardado com a = 2 m/s2; (c) o elevador desce acelerado; (d) o elevador desce retardado com a = 2 m/s2; (e)oelevadorsobe(oudesce)comvelocidade constante (f) se o cabo do elevador se rompe e ele cai sob ao da gravidade. *** Resoluo *** Odiagramadeforasdestasituaoilustradona figura a seguir: Napessoasobreabalanaagemasforaspesoe normal.Aleituradabalanaequivaleleiturada foranormal(N).Oreferencial(elevador)um referencialacelerado.Vamosadotarosentido positivodaaceleraocomosendoosentido positivodoeixoydosistemacartesiano(debaixo para cima). Nesse caso temos a seguinte equao de movimento: = a m P N a m g m N = (a) Elevador sobe com a = 2 m/s2: Nesse caso, a acelerao ser positiva e temos: N 840 700 140 N 2 70 10 70 N = + = = Ou seja, a leitura da balana (massa) seria de 84 kg. (b) Elevador sobe retardado com a = 2 m/s2: Para retardar o elevador na subida, a acelerao deve apontar para baixo, ou seja, deve ser negativa. Nesse caso temos: N 560 700 140 N ) 2 ( 70 10 70 N = + = = Ou seja, a leitura da balana (massa) seria de 56 kg. (c)Quandooelevadordescecoma=2m/s2,a aceleraoapontaparabaixoassimcomoquando soberetardado(letra b).Sendoassimteremoscomo leitura da balana 56 kg. (d)Quandooelevadordesceretardadocoma=2 m/s2,aaceleraoapontaparacimaassimcomo quandosobeacelerado(letraa).Sendoassim teremos como leitura da balana 84 kg. (e)Quandooelevadorsobe(oudesce)com velocidadeconstanteaaceleraosernula.Isso significa que o peso ser igual normal e a leitura da balana ser 70 kg. (f)Quandooelevadorcaicoma=g=10m/s2, temos: 0 g m g m N g m P N = + = = Ouseja,abalananoterleitura,numfenmeno conhecido como ausncia aparente de gravidade. As leituras da balana que vimos quando o elevador estsobaodeumaacelerao,explicama sensaoquetemosquando,dentrodeumelevador quecomeaasubir,temosaimpressodeque estamos sendo puxados para baixo (como se estives-semosficandomaispesados).Explicatambma sensaodelevezaquesentimosquandooelevador comeaadescer.Osmovimentosassociadosao elevadorfreando(subidaoudescida)tambmso explicados pelos resultados acima. Umacuriosidade:osastronautassotreinadosem ausncia de gravidade sendo colocados em um avio que,apsatingircertaaltitude,desligamseus motores e caem sob ao da gravidade at um ponto em que religam os motores. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 13 Umabolademassamestsuspensado cho porumfioidealpresoaotetodeumvagode metr.Ovagoparteuniformementeaceleradoea boladesloca-separatrs,vistaporumobservador emrepousonointeriordotrem,atatingirum ngulode35emrelaovertical.Afiguraa seguir ilustra esta situao. Use g = 10 m/s2 e tg 35 = 0,7 para determinar a acelerao do trem. *** Resoluo *** Isolando as foras que agem sobre a bola temos: A fora F a fora resultante, ou seja:a m F =Destacandoumdostringulosretngulosnafigura, temos: 35 tg g a 35 tgg ma m 35 tgPF = = =2m/s 7 7 , 0 10 a = =(UFRJ-2001)Umoperriousaumaem-pilhadeirademassatotaligualaumatoneladapara levantarverticalmenteumacaixademassaigual meiatonelada,comumaaceleraoinicialde0,5 m/s2,quesemantmconstantedurantecertointer-valodetempo.Useg=10m/s2ecalcule,neste intervalo de tempo: (a)aforaqueaempilha-deira exerce sobre a caixa. (b) A fora que o cho exer-ce sobre a empilhadeira. (Desprezeamassadepartesmveisdaempilha-deira) *** Resoluo *** (a) Isolando as foras que agem sobre a caixa temos: Aequaodemovimentodacaixa ser dada por; ) g a ( m F a m P F + = = + = ) 5 , 0 10 ( 500 F N 250 . 5 F =(b)Asforasqueagemsobreaempilhadeiraso isoladas no diagrama a seguir: AforaFareaoda foraexercidasobrea caixa. A equao de movi-mento, considerando que a empilhadeirano temmo-vimentovertical(notem acelerao) dada por: F g m F F P F. emp cho . emp cho+ = + = + = 250 . 5 10 000 . 1 FchoN 250 . 15 Fcho = Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 14 (Fuvest-1998)DuascunhasAeB,de massasMAeMB,respectivamente,sedeslocam juntassobreumplanohorizontalseatrito,com aceleraoconstantea,sobaodeumafora horizontalFaplicadacunhaA,comomostraa figura.AcunhaApermaneceparadaemrelaoa cunha B, apesar de no haver atrito entre elas. (a)DetermineaintensidadedaforaFaplicadaa cunha A. (b)Determineaintensidadedaforanormalquea cunha B aplica cunha A. (c) Determine a tangente do ngulo . *** Resoluo *** (a)DasegundaleideNewton,temosqueafora aplicadaaoblocoA,fazendocomquetodoos sistema entre em movimento ser dada por: a ) m m ( FB A + =(b)Isolandoasforasqueagemnascunhastemos, temos: DevidoaodaforaFaplicadaaosistema,no bloco A, o bloco B empurrado pelo bloco A que se desloca nahorizontalsobaodaforaFN(x).Como reao,oblocoBempurraoblocoAnavertical (paraqueelesemantenhaemequilbrio)coma fora FN(y). Assim temos: a M FB ) x ( N =g M FA ) y ( N =Assim, pelo teorema de Pitgoras temos: F F F2) y ( N2) x ( N2N + =2) y ( N2) x ( N NF F F + =2 2A2 2B Ng m a m F + =(c) Para a tg , temos:

FFtg) y ( N) x ( N = g ma mtgAB= Foras Resistivas Nesta parte da aula veremos exemplos de foras que oferecemresistnciaaomovimentodoscorpos. Veremosaforaelstica,queofereceresistnciaa deformaoproduzidasobreumamolaououtro sistemaquepossuacertograudeelasticidade. Veremos tambm as foras de atrito entre um mvel e o solo. Veremos que esta fora se divide em atrito cintico e atrito esttico. Veremos quando cada uma destas foras atua. Veremos tambm a resistncia do ar,presentequandoumcorposemoveemqueda livre, como ocorre num salto de pra-quedas. Fora elstica e a lei de Hooke Quandoumamoladeformadapelaaodeuma fora,umaforapassaaagiratravsdamola tentandofazercomqueestaretornaasuaposio original.Estaforatomaiorquantomaiorforo deslocamentodamolaemrelaoasuaposio original. Nessecaso,amassacolocadanaextremidadeda molafazcomqueestasedesloquedeuma Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 15 quantidadexemralaoaoseucomprimento originalLsobaodaforapeso(P=mg). Isolando as foras que agem sobre a massa temos: Aforaelstica(FEL)temseumdulo determinado pela lei de Hooke. x k F =Comovemos,aforacomaquala molatendearetornarasuaposio original proporcional ao deslocamen-to.Aconstantedeproporcionalidade chamadadeconstanteelsticaevaria demolaparamola,determinandoo grau de dureza da mesma. O sentido da fora elstica sempre contrrio ao do deslocamento da mola na deformao (d6istenso ou compresso). Fora de Atrito Imagine a seguinte situao: uma fora F coloca um carroemmovimentoretilneo.Apscertointervalo detempo,estaforaparadeagir.Sabemosque quandoissoacontece,ocarrovaidesacelerar gradualmente at parar. Outrasituaointeressanteaseguinte:voc empurraumarmriocomumaforadecerta intensidade.Oarmrionosemove.medidaque vocvaiempurrandooarmriocomcadavezmais fora, percebe que em algum momento ele se move. Porqueissoacontece?Ambososcasosesto associadosaoatritodoscorposemmovimentoou em repouso com o solo sobre o qual esto apoiados. Noprimeiroexemploqueconsideramos,aforade atritoestassociadaaoestadodemovimentodo carro.Forasdeatritoassociadasacorposem movimento so conhecidas como atrito cintico. No segundo exemplo, a fora de atrito est associada aoestadodeequilbriodoarmrio.Foras associadasaestadosdeequilbriosochamadasde atrito esttico. O atrito esttico e o atrito cintico so definidos em funodareaonormal,quedeterminaainterao docorpoedosolo.Naverdade,aforadeatrito proporcionalareaonormal.Aconstantede proporcionalidadeconhecidacomocoeficientede atritotemumvalornocasoestticoeoutrono caso cintico. N FatE) E ( = N FatC) C ( =Obs.Ocoeficientedeatritoestticotemvalor sempremaiorqueocinticoparaumamesma superfcie. Vejamosumimportanteexemploparaentendermos a relao entre o atrito esttico e o cintico. *** Exemplo *** Umcorpode50kgempurradonuma superfcie rugosa com coeficientes de atrito E = 0,6 e C = 0,4. Determine a intensidade da fora de atrito quandoestecorpoempurradocomumaforade intensidade: (a) 200 N (b) 299 N (c) 300 N (d) 301 N (e) 400 N (f) 500 N *** Resoluo *** (a)Quandoresolvemosumproblemacomatrito cinticoeatritoesttico,aprimeiracoisaque fazemos determinar a intensidade da fora de atrito esttico: 10 50 6 , 0 FatP N) E ( ==3 2 1N 300 Fat) E (=Esse valor um valor limite. Foras com intensidade menor do que esse limite no so capazes de colocar ocorpoemmovimento.Assim,paraF=200N, temos:) E (Fat F . Quando isso acontece a fora de atrito esttico deixa de agir e passa a agir sobre o corpo o atrito cintico que tem valor constante dado porN FatC) C ( = . O corpoestarentoacelerado.Asituaodescrita no diagrama a seguir. N 200 10 50 4 , 0 Fat) C (= =a 50 200 301a m Fat F) C ( = = 2s / m 02 , 250101a = =(e)Paraquaisquervaloresmaioresqueolimite determinadopelaforadeatritoesttico,passaa valer o atrito cintico, cujo valor calculamos no item anterior. Assim para F = 400 N, temos: a 50 200 400a m Fat F) C ( = = 2s / m 0 , 450200a = =(f) Para F = 500 N temos: a 50 200 500a m Fat F) C ( = = 2s / m 0 , 650300a = =Umaaplicaoimportantedasforasdeatritoo planoinclinadocomatrito.Vamosdeterminara aceleraodeumcorpoabandonadoemumplano inclinado com atrito. O plano inclinado em relao ao solo de um ngulo e o coeficiente de atrito com osolo.Asforasqueagemnestecorposo mostradas no diagrama a seguir: Aequaodemovi-mento ser dada por: a m Fat Px = a m N sen P = A equao de equilbrio ser dada por: P Ny = = cos P NUnindo estes dois resultados temos a m cos g m sen g ma m cos P sen P = = ) cos sen ( g a =Esteresultadomuitoimportante.Setomarmoso coeficientedeatritocomosendozero(planosem atrito),temos = sen g a ,queresultadoquej obtivemos anteriormente. *** Resistncia do ar *** Aresistnciadoarumaforaqueagesobreum corpo que se desloca em queda livre em contato com o ar. Seu mdulo dado por: 2v k R =Onde v a velocidade do corpo e k uma constante definida como: Arr corpo arC A d21k =Nesta definio temos: ===co aerodinmi arrasto de e Coeficient Cal transvers seo da rea AAr do Densidade dArrCorpoAr A medida que a velocidade do corpo aumenta com a queda, a fora resultante definida por: R P FR =diminui at que se anula quando a velocidade atinge um valor limite. 2Limv k g m 0 =kmgvLim =No vcuo a velocidade aumenta indefinidamente sob ao da gravidade. J sob ao da resistncia do ar, a velocidadeaumentaatumvalorlimite,apartirdo qual a acelerao se anula. Veremosaseguirexemplosdostrstiposdeforas resistivas que estudamos aqui: lei de Hooke, fora de atrito (esttico e cintico) e resistncia do ar. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 17 Graficamente, as velocidades de um corpo caindo no ar e no vcuo tm as seguintes caractersticas. *** Exemplos *** Umblocode5kgpenduradoemuma moladeconstanteelstica200N/m.Sendoo comprimentodamola100cmeg=10m/s2, determine o comprimento da mola distendida. *** Resoluo *** Nestasituao,quandoamolaestadistendida,em equilbrio, temos: kg mx g m x k P FEL= = =cm 25 x m 25 , 020010 5x = == Logo o comprimento da mola distendida 125 cm. Dois corpos A e B, de massas iguais a 10 kg,estoligadosporumfiodemassadesprezvel, quepassaporumapoliasematrito.Asituao indicada na figura. Entre o corpo A e a superfcie na qual ele est apoiado, o coeficiente de atrito cintico 0,6.Determineaaceleraodoscorposeatrao no fio que os liga. *** Resoluo *** Isolando os corpos e fazendo os diagramas de foras temos: ApenasocorpoApossuiequaodeequilbrio, dada por: g m N P NA A A A = =EmmuitosexemplosdeleisdeNewtonsematrito escrevemos,masnoutilizamosasequaesde equilbrio.Contudo,agoraestehbitoserevelar til,tendoemvistaqueestaequaonospermite obterumaexpressoparaaforadeatritoque sabemos calcular. g m Fat N FatA C A C = = = 10 10 6 , 0 Fat = N 60 Fat =Assim, para as equaes de movimento temos: = = a m T P B Blocoa m Fat T A BlocoB Ba Resolvendo pelo mtodo da soma obtemos: a ) m m ( Fat PB A B + = B ABm mFat g ma+ = = + =2040a10 1060 10 10a2s / m 2 a =SubstituindoaaceleraonaequaodocorpoA (ou B), temos: 2 10 60 T a m Fat Ta = = 60 20 T + = N 80 T =OblocoAdemassam=3,0kgest apoiado num plano inclinado que forma um ngulo comahorizontal.OblocoAestnaiminnciade escorregar para cima. O coeficiente de atrito esttico entre o bloco A e o plano 0,50. Considere, o fio e a polia, ideais e determine o peso de B. (Use: g = 10 m/s2, cos = 0,80 e sen = 0,6) *** Resoluo *** Asituaodescritanoenunciadorepresentadana figura a seguir: Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 18 Isolando os corpos temos: A partir do diagrama escrevemos as equaes de movimento dos blocos A e B: {{/ = / = 0B B0A Xa m T P B Blocoa m P Fat T ABloco Onde a acelerao resultante nula porque os corpos estonaiminnciadeentraremmovimentoe, portanto, em equilbrio. Resolvendo pelo mtodo da soma temos: ) 8 , 0 5 , 0 6 , 0 ( 10 3 P) cos sen ( g m P0 sen P cos P P0 sen P N P0 P Fat PBA BA A BA A BX B + = + == = = ) 0 , 1 ( 30 PB = N 30 PB = (UFBA) O corpo A pesa 100 N e est em repouso sobre o corpo B, que pesa 200 N. o corpo A est ligado por uma corda ao anteparo C, enquanto o corpo B est sendo puxado por uma fora horizontal de 125 N. O coeficiente de atrito entre os corpos A e B0,25.Determineocoeficientedeatritoentreo corpoBeasuperfcie deapoio ea traona corda, considerandoqueocorpoBestnaiminnciade entrar em movimento. *** Resoluo *** OcorpoBestnaiminnciadeentrarem movimento.Assim,porcausadaforaFaplicadaa ele, B puxa A na direo do movimento que puxa B emsentidocontrrio.Aforadeatritoentreos corposAeBtmsentidoscontrriosaodasforas aplicadasporBemAeporAemB.Vemosestes arranjos de foras isolando os blocos. As equaes de movimento so dadas por: {{ / = / = 0B) Cho ( ) AB (0A C) AB (a m Fat Fat F B Blocoa m T Fat ABloco Da equao para o bloco A temos: {APA AB C C) AB (N T 0 T Fat = = = 100 25 , 0 TCN 25 TC =Da equao para o bloco B temos: ) AB ( ) Cho ( ) Cho ( ) AB (Fat F Fat 0 Fat Fat F = = A A A B ChoA A B ChoP F P PP F N = + = + = A BA AChoP PP F200 100100 25 , 0 125Cho+ = = 300100Cho31Cho = Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 19 (ITA)OsblocosAeBdafiguratm massam.Ocoeficientedeatritoentretodasas superfcies.AforaF1imprimeaoblocoBna figuraIvelocidadeconstante.Calculeasrelaes F2/F1eF3/F1,ondeF2eF3soasforasindicadas nasfigurasIIeIII,respectivamente,paraqueo bloco B nessas figuras tenha velocidade constante. *** Resoluo *** A fora de atrito entre o bloco B e o solo a mesma nostrscasos,vistoquenessecasonotemos acelerao(movimentoscomvelocidadeconstante). A fora de atrito definida por: N FAT = P 2 P P N2 1 = + =P 2 FAT =Nesta definio j inclumos o fato de que as massas dosdois blocos soiguais. J aforadeatritoentre o bloco A e o bloco B ser dada por: P fAT =Isolandoasforasnastrssituaestemosos seguintes diagramas de foras: Nastrssituaesasequaesdemovimentosero dadas por: (I) =AT 1F F P 2 F1 =(II)P P 2 F f F F2 AT AT 2 + = + =P 3 F2 =(III) AT AT AT 3f T f T F F = + + =P P P 2 F3 + + =P 4 F2 =Assim temos: =P 2P 3FF125 , 123FF12= = =P 2P 4FF13224FF12= = (Vunesp) Um caixote de massa 20 kg est emrepousosobreacarroceriadeumcaminhoque percorreumaestradaplana,horizontal,com velocidade constante de 72 km/h. Os coeficientes de atrito esttico e dinmico, entre o caixote e o piso da carroceria,soaproximadamenteiguaisa0,25.(use g = 10 m/s2) (a)Qualaintensidadedaforadeatritoqueest atuando no caixote? Justifique. (b) Determine o menor tempo possvel para que esse caminho possa frear sem que o caixote escorregue. *** Resoluo *** (a) A fora de atrito nula, pois o caminho se move comvelocidade constante, e sendo assim, se a fora deatritofossediferentedezeroocaixotedeveria entrar em movimento. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 20 (b)Casoocaminhoacioneosfreiosatparar, temos o seguinte diagrama de foras para o caixote. A caixa tende a permane-ceremmovimentoquan-doocaminhofreia.As-simaforadeatritoage no sentido indicado na fi-gura. A equao de movi-mento ser dada por: = a m FATa m N = Como a rao normal e a fora peso so iguais em mdulo, temos: = a m P = a m g m g a = = 10 25 , 0 a2s / m 5 , 2 a =Assim,otemponecessrioparaqueessecaminho freie,semqueacaixasaiadolugar,serdadopor: (notequeconsideramosaaceleraonegativa devidoaomovimentodefrenagemeque convertemos a velocidade inicial para m/s) (72 km/h3,6 = 20 m/s): + = t a v v0t 5 , 2 20 0 + ==5 , 220t s 8 t = O bloco A est apoiado sobre o carrinho B,quesemovimentacomaceleraoconstantede mdulo2.0m/s2.ParaqueoblocoAnose movimenteemrelaoaocarrinhoB,qualdeveser o coeficiente de atrito mnimo entre as superfcies de A e de B? Considere g = 10 m/s2. *** Resoluo *** OblocoAnosemoveemrelaoaoblocoB. Sendoassim,eletemamesmaaceleraoqueo blocoB.Comoaforadeatritoquemantmo blocoApresoaoblocoB,quesemovenadireo daacelerao,aFATqueatuanoblocoAdevidoao contatocomoblocoBdeveterosentidodo movimento.Odiagramaaseguirilustraasforas que agem no bloco A: Aequaodemovimentodo bloco A ser dada por: a m FA AT =a m NA A = Como P = N, temos: a m PA A = gaa g a m g mA A= = = 2 , 0102= = Vejamos a seguir um exemplo interessante. Nafiguraosfioseaspoliassoideaise os corpos A e B, de massas respectivamente iguais a 1,0kge6,0kg,soabandonadosdorepouso. Determineomdulodaaceleraodecadaumdos blocos. *** Resoluo *** Comoosdoisblocosse relacionamatravsdeuma poliamvel,elestero aceleraes diferentes, j que apoliamveltemcomo funodividiraforaque ageatravsdocabo.Para entenderemosomovimento dosblocos,vamosfazeros diagramas de fora. Como o bloco B mais massivo, vamos supor que o bloco B desce acelerado e o bloco A sobe acelerado. AssimvamosorientarosvetoresaceleraodeA para cima e de B para baixo. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 21 Com isso as equaes de movimento sero: B B 2 BA A A 1a m T Pa m P T = = importanteobservarqueT1=2T2.Comisso, reescrevemos nossas equaes da seguinte forma: 1 BB 1B B 1 BB B 1 B1 AA 1A A A 1A A A 1T 120 a 12(2)a 6 2 T 60a m 2 T g ma m 2 T P10 T aa 10 Ta m g m Ta m P T = = = = == = = SomandoasequaesdosblocosAeBtermoa termo, teremos: 110 a 12 aB A= +Temosagoraqueestudararelaoentreas aceleraes dos blocos A e B. Vamos analisar o sistema em dois instantes distintos: esquerda temos os blocos antes do incio do movi-mento.Dividimosofioemtrspartesdecompri-mentosL1,L2eL3.direita,osblocosse movimental.OblocoAsobeumadistnciadA (indicada em relao a polia ao qual ele esta preso). J o bloco B desce uma distncia dB. Podemos assim escrever: B 3 A 2 A 1 3 2 1d L d L d L L L L + + + = + + = 0 d d dA A B A Bd 2 d =Dividindo os dois lados por t, temos: A Bv 2 v = Dividindo novamente os dois lados por t, temos: A Ba 2 a = Assimpodemosreescreveraequaoquerelaciona a acelerao entre os blocos como: = + 110 ) a 2 ( 12 aA A110 a 25A = 2As / m 4 , 425110a = =2A Bs / m 8 , 8 a 2 a = =Foras em trajetrias circulares Quandoumcorposemovenumatrajetriacircular comvelocidadeconstante,ovetorquerepresenta suavelocidadetermduloconstante,massofrer variaodedireoesentido.Issosignificaque teremosummovimentoacelerado,jqueumadas propriedades do vetor velocidade foi alterada. Nafigura,vemosqueavelocidade,quetangente pontoapontodatrajetria,mudadedireoe sentido a cada instante. Isso significa que temos uma aceleraoagindosobreovetorvelocidadenos instantest0, t1,t2et3.Essaacelerao,quemudaa direoeosentidodovetorvelocidade,a aceleraocentrpeta,queapontasempreparao centro da trajetria e que tem seu mdulo dado por: Rva2C =Aaceleraoquemudaomdulodovetor velocidade a acelerao tangencial. Esta acelerao representada pela variao no tempo da velocidade queestudamosnoMRUV(movimentoretilneo uniformemente variado). Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 22 Essaaceleraocentrpetaessencialnadescrio das foras que agem sobre um corpo em movimento circular.Issosedeveaofatodequeafora centrpeta,associadaaessaacelerao,ecujo mdulo dado por: Rvm F a m F2C C C= =rr aresultantedetodasasforasqueagemsobreo corpo na trajetria circular. Parailustraressasituao,vamossuporumcorpo quesemoveemumatrajetriacircularcom velocidadeconstantedemdulov.NopontoA,no instantet1,eleestsobaodasforasF1,F2,F3e F4.NopontoB,noinstantet2eleestsobaodas forasF5,F6,F7eF8.Afiguraaseguirilustraesta situao. NospontosAeB,asequaesdemovimentoso determinadas, respectivamente, por: C 4 3 3 1a F F F Frr r r r= + + +C 8 7 6 5a F F F Frr r r r= + + +Ondenosdoiscasostemosamesmaacelerao centrpeta, de mduloR v a2C = , pois o mdulo da velocidade constante. Vejamosalgunsexemplosdeaplicaodoconceito de fora centrpeta em movimentos circulares. Movimento de um carro numa trajetria circular Suponhaumcarroqueentraemumacurvacom velocidadeconstante.Nacurva,passaaagirsobre eleaaceleraocentrpetaqueapontaparaocentro datrajetriacircularquerepresentaacurva.Se houveratritoentreocarroeapista,ocarropoder efetuaracurvacomvelocidadeconstanteabaixode umcertolimite,apartirdoqualocarrolanado paraaparteexternadacurva.Istoocorreporcausa da ao centrfuga, que no uma fora real. A ao centrfugaapenasumefeitorelacionadoao movimentoaceleradodocarronacurva,oqueo tornaumreferencialnoinercial.importante observarqueaaocentrfugaspercebidapor umobservadordentrodocarro(referencialno inercial). Para um observador externo, esta fora no existe,vistoqueatendnciadocarroserlanado numadireotangenteatrajetria(paralelaao sentidodovetorvelocidade).Estasituao representadanafiguraaseguir,ondeaao centrfugatemsuadireoesentidoilustradospela seta azul pontilhada: Aforaquemantmocarronacurvaaforade atrito,queempurraocarroparaaparteinternada pista,contrariandoatendncianaturaldocarrode serlanadoparaaparteexternadacurva.Nesta situaopodemosconsideraraforadeatritocomo anicaqueagesobreocarro,vistoqueestetem velocidadeconstante[aforadeatritotangencial (FATT)igualemmduloaforaaplicadapelo motor(FMOT),demodoquenohacelerao tangencialeavelocidadeconstanteemmdulo]. Sendo assim, a equao de movimento na direo do centrodatrajetria,temcomoresultanteafora centrpeta. C ATF Fr r= Rv mN2= Rv mg m2/= / Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 23 Rvg2= R g v =Ondeconsideramoscomoocoeficientedeatrito entreocarroeapistaeRcomooraiodatrajetria (indicadonafigura).Consideramosaindaquea foranormal(N)igualaforapeso(P)(equao de equilbrio na vertical). A velocidade calculada determina um valor mximo comoqualocarropoderealizaracurvacom segurana(semserejetadoparaaparteexterna). Paravelocidadeacimadestelimite,ocarroderrapa nadireoesentidoindicadospelasetapontilhada que vimos na figura anterior. Algumascurvasapresentamcertongulode inclinaoemrelaohorizontal,comomostram as figuras a seguir. (A) (B) Afigura(A)mostracarrosdacategoriaNascar,do automobilismo americano. Nas corridas da Nascar, a maiorpartedoscircuitostemaformachamadade oval.UmexemploocircuitodeDaytona, mostradonafigura(B).Nessescircuitosascurvas so inclinadas em relao horizontal. Essainclinaotemporobjetivocompensaraao centrfuga,quearremessaocarroparaaparte externa da curva, mantendo o carro na curva. Duassituaespodemacontecer.Naprimeira,o ngulodevesertalqueoatritonosejanecessrio paramanterocarronacurva.Umdiagramadas forasqueagemnocarronestasituaoilustrado no diagrama de foras a seguir. Nafigura,notequeaforacentrpetaaresultante vetorialdasforaspesoenormal.Nessasituao noconsideramosarelevnciadosefeitosdafora de atrito. Com isso temos, a partir da figura: PFtgC= g mRvmtg2//= g Rvtg2= Esseongulodeinclinaosegundooqualum carro,entrandoemumacurvaderaioR,com velocidadev,noescapanadireodaao centrfuga. Nasegundasituao,umcarrofazumacurva inclinada de um ngulo em relao horizontal, na presena de atrito. A presena do atrito vai reduzir o ngulo necessrio para que o carro no seja lanado para a parte externa da curva pela ao centrfuga. A situao ilustrada na figura a seguir. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 24 Afiguraanteriormostraumcarrorealizandouma curvacomngulomenordoqueoquevimosna situao sem atrito. Paradeterminarongulodeinclinao,nafiguraa seguir,ilustramosodiagramadasforasqueagem sobreocarroquandoconsideramosaaodoatrito entre o carro e a pista. Na direo vertical temos uma equao de equilbrio dada por: ) y ( at yF P N + = + = sen N P cos N + = sen N g m cos NP sen N cos N = P ) sen (cos N = Como o ngulo, em geral menor que 30, o produto sen muitopequenocomparadocomo cos , que tende a 1. Assim, desprezando sen , temos: =cosPNNahorizontal,aresultantedasforasqueagem sobre o carro, equivale resultante centrpeta, tendo em vista que o movimento circular. C ) x ( at xF F N = +Rv msen N sen N2= + OndeRoraiodatrajetriacircular.Utilizandoa expressoparaaforanormalobtidana equaode equilbriodadireoverticaldesenvolvemosa equao de movimento da direo horizontal. Rv mcosos cPsenos cP2= + Rv mcosos cg msenos cg m2= + = + Rv) tg ( g2 = g Rvtg2 Note que este resultado o resultado que obtivemos no caso em que o movimento na trajetria inclinada eraconsideradoindependentedoatritoamenosdo coeficientedeatrito.Issoindicaqueteremosum valormenorparaa tg econsequentementeum ngulo de inclinao menor (Lembre que para = 0, tg =0evalorda tg aumentamedidaqueo ngulo aumenta). O Globo da Morte Oglobodamorteumfamosonmerocircense ondeumaoumaismotossedeslocamem movimento circular no interior de uma grande casca esfrica. A figura a seguir ilustra um globo da morte: Aquestofsicaligadaaoglobodamorteque desperta especial ateno a razo pela qual a moto, notopodoglobo,decabeaparabaixo,nocai, conseguindo realizar movimento uniforme. Para que a moto no caia, essencial que ela atinja a partemaisaltadoglobocomumavelocidade mnimaquenopermitaqueeladescoleda superfcie do globo. O arranjo de foras associado a esta situao pode ser visto na figura a seguir: Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 25 Notopodatrajetriaasforaspesoenormaltm mesmadireoesentido.Aequaodemovimento relacionadaaestasforastemcomoresultantea fora centrpeta. Assim temos: CF N Pr r r= +Amenorvelocidadequeamotodeveterest associadaaolimiteimpostopelolimitedafora normal.Quandoocorpoestnaiminnciade descolar,masaindacomvelocidadesuficientepara completar o movimento circular, temos N = 0. Com isso, a velocidade mnima da moto obtida: Rvm 0 g m2= + g R v =Ouseja,avelocidademnimadependesomenteda gravidadeedoraio da trajetria circulardescritano interior do globo. O movimento de um carro em uma trajetria circular eoglobodamortesoapenasalgunsexemplos importantesdasforasqueagememumcorpoem umatrajetriacircular.Vamosaseguirresolver alguns exemplos de foras em trajetrias circulares. *** Exemplos *** Umveculodemassa600kgpercorre uma curva de raio 80 m. O coeficiente de atrito entre ocarroeapistade0,5.Adoteg=10m/s2e determineamximavelocidadequeoveculopode ter para fazer a curva sem derrapar. *** Resoluo *** Esta a situao em que o carro percorre uma curva plana(seminclinaoemrelaohorizontal).J obtivemosaexpressoparaavelocidademxima nesse caso. 10 80 5 , 0 v g R v = =) h / km 72 ou ( s / m 20 400 v = =Umveculode1000kgpercorrecom velocidadede90km/humacurvade raio100m.A curvainclinadaemrelaoahorizontaldeum ngulo . Adote g = 10 m/s2 e determine o ngulo de inclinao da pista para que o veculo realize a curva comseguranasemdependerdoatrito entreocarro e a pista. *** Resoluo *** Jdeterminamostambmatangentedongulode inclinao da pista pra que um carro realiza a curva independentementedoatrito.Essengulo determinado pela expresso: |||

\|= = g Rvtg arcg Rvtg2 2 Assim,paraumcarroa90km/h( 3,6=25m/s) temos: ||

\|= |||

\|= 1000625tg arc10 10025tg arc2 625 , 0 tg arc = Utilizando uma calculadora cientfica obtemos: 32 tg arc Noexemploanterior,determineongulo deinclinaonasituaoemqueoatritoentreo carroeapistaconsiderado(suponhaum coeficiente de atrito = 0,3). *** Resoluo *** Nessecaso,como jvimostangentedoengulode inclinao ser determinada pela expresso: = g Rvtg2 Substituindo os valores dados temos: 3 , 0 625 , 0 tg 3 , 010 10025tg2 = = = 325 , 0 tg 325 , 0 tg arc = Usando uma calculadora cientfica obtemos: 18 tg arc Como vemos, a fora de atrito permite que o ngulo deinclinaosejamenorparaqueacurvaseja realizadacomamesmaseguranacomaqual realizadaquandoainclinaopermitedesprezaro atrito. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 26 Umamotodescreveummovimento circularnointeriordeumglobodamortede6,4 metrosderaiocomvelocidadeconstanteem mdulo.Adoteg=10m/s2edetermineamnima velocidadequeocorpodeveterparanoperdero contatocomasuperfcieesfricaquandoestiverna parte mais alta do globo. *** Resoluo *** Tambm j descrevemos esta situao. Vimos que a velocidade definida pela expresso: g R v =Assim,substituindoosvaloresdadosnoproblema temos: = = 64 10 4 , 6 v km/h 28,8 ous / m 8 v = Em alguns parques de diverses existe um brinquedochamadorotor,queconsistedeum cilindrooco,deeixovertical,dentrodoqual introduzida uma pessoa. De incio, a pessoa apia-se sobre um suporte, que retiradoautomaticamentequandoorotorgiracom velocidade adequada. Admita um rotor de raio 4,0 m ecujocoeficientedeatritoentreaparedeeocorpo seja0,5.Sendog=10m/s2,determineamnima velocidade angular do rotor para que a fora de atrito mantenhaapessoapresaaparededorotor(sem escorregamento). *** Resoluo *** Asforasqueagemsobreapessoaqueestdentro do rotor so representadas no diagrama a seguir: Deste diagrama temos: = = g m N P FAT=g mNTemos tambm que: Rvm F N2C = =Como v = R, temos: =R) R (m N2R m N2 =Juntando as duas expresses obtemos: =R mg m2Rg = Substituindo os dados do problema: s / rad 23 , 2 54 5 , 010 == Umamassamestpresaaumfio inextensvel,demassadesprezvel,Quegiranum planohorizontal.Estesistemadenominado pndulo cnico, e representado na figura a seguir. Sendo L = 2,0 m o compri-mentodofio,=60o nguloemrelaoaverti-caleg=10m/s2,determi-neavelocidadeangularde rotao da massa. Academia do Vestibular Professor AustregsiloFsicaPgina 27 *** Resoluo *** As foras que agem sobre a massa so mostradas no diagrama a seguir: Do diagrama obtemos que: Fora centrpeta: R m a m F2C C = = ngulo de inclinao: gRg mR mPFtg2 2C = = = Raio da trajetria circular: = = ens L RLRensTemos ento: gsen Los censgRtg2 2 = = = os c Lg= 0 6 os c 2100,5 210= s / rad 16 , 3 10 = Umadeduoimportantepodeserfeitaapartir desseresultado.Seongulodeinclinaodo pndulo cnico for pequeno, temos, na expresso = os c Lg 1 os c (cosseno do ngulo de inclinao tenden-do a 1). Assim passamos a ter: Lg= Como para a velocidade angular temos; T2= Obtemos: =LgT2gL2 T =Ondevemosqueoperododeoscilaodopndulo cnico(temponecessrioparaqueopndulo completeumavolta)nodependenemdamassa nemdongulo,masapenasdagravidadeedo comprimento do fio. Estematerialpropriedadedaacademiado vestibular. Sua distribuio inteiramente gratuita e suacomercializaointegralmenteproibidapelo autor Para maiores informaes escreva para: austregesilo.athayde@gmail.com Visite o blog da academia do vestibular: www.academia-do-vestibular.blogspot.com Resolvaalistadeexerccioscujolinkpodeser encontrado no blog.