DOLMAR Parts Manual for Chainsaw Models: PS-6400 PS-6400 H PS-7300 PS-7300 H PS-7900 PS-7900 H
Lecture Dgfem Ws2006.Ps
72
-
Upload
sadiq-sarfaraz -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
Transcript of Lecture Dgfem Ws2006.Ps
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 1/72
Ó Ò Ø Ò Ø ×
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò ¿
½ º ½ Ä Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½ º ½ º ½ Ü Ñ Ô Ð Ì Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø º º º º º º º º º º º º º ¿
½ º ½ º ¾ Ï Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù ¹
Ø Ó Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ º ½ º ¿ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù × Ò Ø Ñ Ø Ó Ó Ö Ø Ö × Ø × º º º º º º º º º º º º
½ º ½ º Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ø Û Ó × × º Ó Ò Ø Ø × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý º º º º º º ½ ½
½ º ½ º Ì Û Ó ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º ½ ¾
½ º ¾ Ä Ò Ö « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º ¾ º ½ Å Ó Ð Ù Ð Ö « Ù × Ó Ò ³ × Ð Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º ¾ º ¾ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
½ º ¿ Ì × Ø Ý ¹ × Ø Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ º º º º º º º ½
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò ¾ ½
¾ º ½ Ð × × Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½
¾ º ¾ Ë Ó Ó Ð Ú × Ô × Ò Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½
¾ º ¿ Î Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ð Ð Ô Ø Ô Ö Ó Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾ º Ð Ö Ò Ñ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾
¿ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó ¿
¿ º ½ Å Ó Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿ º ¾ Á Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ó Ò Ó ¬ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û × ½
º ½ Ó Ú Ö Ò Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ú × Ó Ù × - Ù - Ó Û º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
º ¾ Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º Ä Ñ Ò Ö Ò Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û º º º º º º º º º º º º º º ¾
º ¾ º ½ Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ¿ Ä Ñ Ò Ö - Ó Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º Ë Ø Ø × Ø Ð Ô Ô Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º Í Ò Ú Ö × Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º Ë Ø Ø × Ø Ð Ø Ó Ö Ý Ò Ñ Ó Ð Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
º º ½ Ì Ê Ý Ò Ó Ð × Ú Ö Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × º º º º º º º º º º ¼
º º ¾ Ì Ê Ý Ò Ó Ð × × Ø Ö × × Ø Ò × Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º º ¿ Ì Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö Õ Ù Ø Ó Ò × º º º º º º º º º º º º º º ¾
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 2/72
Ó Ò Ø Ò Ø ×
º º È Ö Ò Ø Ð ³ × Ñ Ü Ò Ð Ò Ø Ñ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
º º Í Ò Ú Ö × Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö Õ Ù Ø Ó Ò × º º º º
º ¹
Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ñ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ Å Ó Ö × Ð Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û ×
º ½ Ï Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö ¹ Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ¾ Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ø Ò ¸ Ø Ö × Ò Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü × º º º º º º º º º º º º º º
º ¿ Â Ù Ñ Ô Ò Ú Ö Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ¹ Å Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ý Ô Ö Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º ½
¹ Å Ó Ö « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ × ¿
º ½ Ï Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö ¹ Å Ó Ö « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ × º º º º º º º ¿
º ¾ Ó Ò × × Ø Ò Ý Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó ×
º ½ Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º ¾ Ü Ô Ð Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù × Ò Ð Ó Û ¹ × Ø Ó Ö Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø Ñ Ø Ó º º º º º º º º º
º ¿ Á Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ü Ô Ð Ø × Ñ × º Ó Û Ò Û Ò Ò Ù Ñ Ö Ò º º º º º º º º º ½
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 3/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Á Ò Ø × Ô Ø Ö Ø Ø Û Ó × Ø Ý Ô Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ò × Ö Ò Ø × Ó Ù Ö × Ö Ô Ö × Ò Ø
̄ Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
̄ Ð Ò Ö « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò ´ Ø ¹ Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò µ
½ º ½ Ä Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Ä Ø ª Ê
¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ñ Ò ´
¾
¿ º Ì Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
× Ö × Ø Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó × Ð Ö Ú Ð Ù Õ Ù Ò Ø Ø Ý Ù
Ð Ò × Ø Ý
¸ Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö
Ó Ö
Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ô Ó Ð Ð Ù Ø Ò Ø Ò
Ù Ò Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ò Ü Ø Ö Ò Ð Ú Ø Ú Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð
º
Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ó Ø Ø Ó Ò
¡
Ö Ú
½
Ú
Ü
´ ½ º ½ µ
Ì Ò Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ö ×
Ù
Ø
· ¡
Ö Ù
¼ ´ ½ º ¾ µ
Á Ò Ø Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ó ½ ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô ¹ Ó Ñ Ò Û Ú
Ù
Ø
·
Ù
Ü
¼ ´ ½ º ¿ µ
½ º ½ º ½ Ü Ñ Ô Ð Ì Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û Ü Ô Ð Ò Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò × Ö Ø
Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó Ô × × Ú × Ð Ö ¬ Ð Ù Ò Ö Ó Ò × Ö Ø Ó Ò º × Ò Ü Ñ Ô Ð ¸ Û × Ø Ù Ý Ø
Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Û Ø
̄ È × × Ú × Ð Ö Õ Ù Ò Ø Ø Ý × - Ù Ò × Ø Ý
Ù
̄ Ú Ø Ú ¬ Ð × Ø - Ù Ú Ð Ó Ø Ý Ù
º
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 4/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ì Ô Ý × Ð Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ñ × × × Ø Ø × Ø Ø Ñ × × Ò Ò Ø Ö Ö Ø
Ò Ó Ö × Ø Ö Ó Ý º Ì Ù × Ó Ö Ò Ý Ö Ø Ö Ö Ý Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Î
Ê
´ Û Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ð
Ú Ó Ð Ù Ñ × Ø Ö × Ø ¸ º º ¸ Ó × Ò Ó Ø Ñ Ó Ú µ
Ì Ñ Ö Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ò × Î Å × × - Ù Ü Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ò Ö Ý Ó Î
Ø
Î
Ü
Î
Ù ¡ Ò ´ ½ º µ
Ì Ö Ò Î Ò Ó Ø × Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ð Ð Î
Ò Ò
× Ø Ó Ù Ø Ö Ù Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö º Ì
Ñ × × - Ù Ü Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ò Ö Ý Ó Î
× × × Ó Ø Û Ø Ø Ñ × × Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø ´ Ó Ò Ú Ø µ
Ý Ø Ú Ð Ó Ø Ý Ù
Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ò Ö Ý Ó Î º
Ó Û Û Û Ò Ø Ø Ó Ù Ò Ö × Ø Ò Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Ô Ý × Ð Ð Ý º Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × Û Ó Ò × Ö Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ñ Ô Ð × Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ó Ö Ñ - Ó Û Ò Ý Ð Ò Ö Ð Ù Ø ´ × º ½ º µ º
Ï × × Ù Ñ - Ó Û ¬ Ð Ô Ö Ð Ð Ð Ø Ó Ø Ý Ð Ò Ö × Û Ð Ð × º Ò Ó Ø
Ø - Ù Ò × Ø Ý ¸
Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Î Ö Ô Ö × Ò Ø × Ò Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð - Ù Ô Ö Ø Ð
Ó Ñ × × Ñ
Î º Ï Ó Ò × Ö Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Î
Ó Ù Ò Ý Ø Ö Ó × × ¹ × Ø Ó Ò ×
½
̧
¾
Ò Ý Ø Ý Ð Ò Ö × Û Ð Ð × º Ò Ó Ø Ò
½
Ò Ò
¾
Ø Ù Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö Ó
½
Ò
¾
Ö × Ô Ø Ú Ð Ý Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ó Ù Ø Û Ö Ö Ø Ó Ò º Ó Ø Ø Ø Ø Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý
½
Û Ú Ù
¡ Ò
½
¼ Ò Ø Ø Ó Ù Ø - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý
¾
Ù ¡
Ò
¾
¼ º Ò Ð Ð Ý ¸ Ó Ò Ø
Ý Ð Ò Ö × Û Ð Ð × ¸ Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð × Ø Ò Ò Ø Ð Ø Ó Ø Û Ð Ð Ù
¡ Ò
¼ ´ Ò Ó Ô Ò Ø Ö Ø Ó Ò
Ó Ò Ø Ó Ò µ º Ï × Ø Ö Ø Û Ø Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ô Ö Ò Ô Ð
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
0 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 1 0000000
011111111
0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0
1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0
1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1
u
A1 A2dm= dVρ
u : velocity
A : Area
V: control volume
Ù Ö ½ º ½ Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ × Ò × Ù Ö - Ù Ü × Ò Î Å
Ò Ó Ñ × × ¡ Ñ
Ò × Î Å × × ¡ Ñ
Ò
Ò - Ó Û Ò Å × × ¡ Ñ
Ó Ù Ø
Ó Ù Ø - Ó Û Ò
Ò Ø Ñ Ò Ø Ö Ú Ð ¡ Ø Ø Ö Ó Ù
½
Ò ¡ Ø Ø Ö Ó Ù
¾
¡ Ø
Ó Ø Ø Ø Ø Ö × Ò Ó Ñ × × - Ù Ü Ø Ö Ó Ù Ø Ý Ð Ò Ö × Û Ð Ð × º
Ë Ó Û Ú Ø Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ñ × × - Ù Ü Ñ
¡ Ñ ¡ Ø
Ø Ö Ó Ù Ú Ò × Ù Ö
¸ º º Ø
Ñ × × ¡ Ñ
Ö Ó × × Ò
Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Ö Ú Ð ¡ Ø
º - Ù Ô Ö Ø Ð Ñ Ó Ò Ú Ø Û Ø Ø
Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ù Ö Ó × × ×
Ò ¡ Ø
¸ Ù
¡ Ò ¡
Ø × Ø ´ Ñ µ ¸ Û Ö Ò
× Ø × Ù Ö Ò Ó Ö Ñ Ð
Ú Ø Ó Ö Ó ̧ Ù
¡ Ò
× Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ú Ð Ó Ø Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ø Ó Ò
Ò × Ø ´ Ñ µ Ò Ó Ø ×
Ø × Ø Ò Ó Ñ Ö Ó Ñ º
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 5/72
½ º ½ Ä Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Ì Ù × Ð Ð - Ù Ô Ö Ø Ð × Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ý Ð Ò Ö × Ø Ò º ½ º ¾ Ô × × Ø Ö Ó Ù
Ö Ó × × × Ø Ó Ò
Ò Ø Ñ ¡ Ø
º Ì × × Ó Ø Ñ × × ¡ Ñ
Ò Ø × Ý Ð Ò Ö Ó Ú Ó Ð Ù Ñ
¡ Î Ù ¡
Ò ¡ Ø × Ú Ò Ý
¡ Ñ ¡ Î Ù ¡
Ò ¡ Ø
Ì Ù × Ø Ñ × × - Ù Ü Ø Ö Ó Ù
× Ú Ò Ý
Ñ
¡ Ñ
¡ Ø
Ù ¡ Ò
Å Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý Ø Ñ × × - Ù Ü Ø Ö Ó Ù
× Ú Ò Ý Ø Ò Ø Ö Ð
Ñ
Ù ¡ Ò
È Ù Ø Ø Ò Ø × Ð Ð Ø Ó Ø Ö Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ñ × × Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ô Ô Ð Ø Ó Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ð
u. n ∆ t
cross section A
Cylinder of
volume ∆V
Ù Ö ½ º ¾ Å × × Ô × × Ò Ø Ö Ó Ù Ö Ó × × × Ø Ó Ò
Ò Ø Ñ ¡ Ø
Ú Ó Ð Ù Ñ Î
Ó Ñ ×
Ø
Î
Ü
½
Ù ¡ Ò
¾
Ù ¡ Ò
Ï
Ù ¡ Ò
ß Þ
¼ Ó Ò
Ï
Û Ö
Ï
Ò Ó Ø × Ø Ý Ð Ò Ö × Û Ð Ð º Í × Ò Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý Î Ó
Î Û Ö Ö Ú Ø Ø × Ö Ó Ö Ñ
Ø
Î
Ü
Î
Ù ¡ Ò ´ ½ º µ
Ì × × Ð Ð Ø Ó Ò × Ö Ú Ø Ú ´ Ó Ö Ò Ø Ö Ð µ Ó Ö Ñ Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ò Ø Ô Ö Ò Ô Ð
Ó Ñ × × Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò º
Í × Ò Ù × × Ò Ì Ó Ö Ñ Û Ú
Î
Ù
¡ Ò
Î
Ö ¡ ́
Ù µ
Ü
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 6/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ì Ö Ó Ö ´ ½ º µ Ò Û Ö Ø Ø Ò ×
Ø
Î
Ü ·
Î
Ö ¡ ́
Ù µ
Ü
Î
Ø
·
Ö ¡ ́
Ù µ
Ü ¼ ´ ½ º µ
Û × Ð Ð Ú Ö Ò Ó Ö Ñ º Ó Û Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Û × × Ù Ñ Ø Ø
Ò Ù
Ö × Ñ Ó Ó Ø º
Ì Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ø Ø ´ ½ º µ Ó Ð × Ó Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ý Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Ò Ø Ò Ò Ü
¸ Û
Ò Ö Ø Ø Ø Ò Ø Ö Ò Ñ Ù × Ø Ú Ò × Ò Ø Ð Ð Ý
Ø
·
Ö ¡ ́
Ù µ ¼ ´ ½ º µ
Ì × Ó Ö Ñ × Ð Ð « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ñ × × º
Á Ò Ø × Ó Ò Ó Ò ¹ × Ñ Ó Ó Ø Ø ¸ Û Ò Ð × Ó Ò Ö ´ ½ º µ º À Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ò Ø × × Ù ×
Ò Û × Ò × Ó × Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ð Ì × Õ Ù × Ø Ó Ò Û Ð Ð Ð Ù × Ø Ó Ø Ó Ò Ô Ø
Ó Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó ´ ½ º µ º Í × Ò Ø × Ó Ò Ô Ø Û Û Ð Ð Ö Ú Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ù Ò ¹
Ñ Ò Ø Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ò ¸ Ø × Ó ¹ Ð Ð Ê Ò Ò ¹ À Ù Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ò º Ï Ö Ò Ø Ö × Ø Ò
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó ´ ½ º µ Û Ö Ô Û ×
½
´ Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý « Ö Ò Ø Ð µ Ù Ø Û Ñ Ý
Ú Ù Ñ Ô × ´ × Ó Ò Ø Ò Ù Ø × µ º Á × Ù Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ð Ú × ´ ½ º µ Ò Ø Û × Ò × ¸ Ø Ò Ø
Ó × Ð × Ó × Ó Ð Ú ´ ½ º µ Ò Ó Ò Ð Ý Ø Ø Ó Ò Ó Ø × × Ó Ø × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý × Ø × Ý
Ö Ø Ò Ó Ò Ø Ó Ò ¸ Ø Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ò Ê Ò Ò ¹ À Ù Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ò º
Á Ò Ø × Ð Ø Ù Ö Û Ö Ò Ø Ö × Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ò Ó Ñ Ô Ö × × Ð - Ù - Ó Û º - Ó Û × Ð Ð
Ò Ó Ñ Ô Ö × × Ð
Ö ¡ Ù
¼ ´ ½ º µ
Ö - Ó Û × Ò Ø Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ñ Ô Ö × × Ð Ù
¼ ¿
Å ¸ Û Ö Å × Ø × Ô
Ó × Ó Ù Ò ´ Û × Ó Ù Ø ¿ ¼ Ñ ×
½
Ó Ö Ö Ø × Ø Ò Ö Ó Ò Ø Ó Ò × µ º Ì Ò Ù × Ò Ø
Ö Ð Ø Ó Ò
Ö ¡ ́
Ù µ
Ö ¡ Ù
ß Þ
¼
·
Ö ¡ Ù
Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ñ ×
Ø
· Ù ¡
Ö
¼ ´ ½ º µ
½ º ½ º ¾ Ï Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò
Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ï × Ø Ù Ý Ø Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ ¬ Ò Ý Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ø × Ô ¹ Ø Ñ Ó Ñ Ò
Ê ¢
Ê
·
́
Ü Ø µ
¾ Ê
¾
Ü ¾
Ê Ø ¾
Ê Ø
¼
Ù
Ø
·
Ù
Ü
¼ Ò Ê
¢ Ê
·
´ ½ º ½ ¼ µ
Ù ́ Ü Ø µ
Ù
¼
́ Ü µ Ò
Ê ¢
¼ ´ ½ º ½ ½ µ
Ù Ý ¹ Ô Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Û × ¬ Ò Ó Ò Ø Ò Ø Ö Ê
́ ¾
Æ µ Ó Ö Ø × Ô Ø Ð Ú Ö Ð ´ × µ Ò Ó Ò Ø Ð Ô Ð Ò Ó Ô Ó × Ø Ú Ö Ð Ò Ù Ñ Ö ×
Ê
¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 7/72
½ º ½ Ä Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Ó Ö Ø Ø Ñ Ô Ó Ö Ð Ú Ö Ð º Ì Ö Ó Ö × × Ò Ò Ø Ð Ú Ð Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Û Ó Ò Ð Ý Ú
Ø Ó Ñ Ô Ó × Ò Ò Ø Ð Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò ´ º º ¸ Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ø Ñ Ô Ó Ö Ð
Ú Ö Ð Ø Ø
¼ µ º
Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ × Ú Ò Ý
Ù ́ Ü Ø µ
Ù
¼
́ Ü Ø µ ´ ½ º ½ ¾ µ
Ì Ó × Ø × ¸ Û ¬ Ò Þ ́
Ü Ø µ Ü
Ø Ò Ø Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ú ×
Ù
¼
́ Þ ́ Ü Ø µ µ
Ø
·
Ù
¼
́ Þ ́ Ü Ø µ µ
Ü
Ù
¼
Þ
Þ
Ø
ß Þ
·
Ù
¼
Þ
Þ
Ü
Ù
¼
Þ
́
µ ¼
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ñ ´ ½ º ½ ¾ µ × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×
̄ × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ñ Ù ́
Ü Ø µ Ù
¼
́ Ü Ø µ × Ó Ø Ò Ð Ð Û Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ¸ × × Ù
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ô Ö × Ö Ú × Ø × Ô Ó Ø Ò Ø Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ Ð Ð Û Ú Ó Ö Ñ µ Ù
¼
́ Ü µ
Ò Ô Ö Ó Ô Ø × Ø Ó Ò × Ø Ò Ø × Ô Ò
Ø Ó Ø Ö Ø ´ ¼ µ Ó Ö Ð Ø ´ ¼ µ ×
Ø Ñ Ú Ó Ð Ú × º
̄ Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù ́
Ü Ø µ × Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ö Ý Ü
Ø Ü
¼
Û Ö Ð Ð
Ö Ø Ö × Ø Ù Ö Ú × ´ Ó Ö × Ñ Ô Ð Ý Ö Ø Ö × Ø × µ Ó Ö Û Ú ¹ Ö Ó Ò Ø × º
̄
× Ð Ð Û Ú × Ô Ø Û Ú ¹ Ö Ó Ò Ø ¸ º º ¸ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù ́
Ü Ø µ Û × Ó Ò × Ø Ò Ø
Ð Ó Ò Ö Ý Ü
Ø Ü
¼
¸ Ô Ö Ó Ô Ø × Û Ø × Ô º
Ê Ñ Ö ½
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ñ
Ù Ù ́ Ü
́ Ü µ Ø µ Ó Ö
Ù Ù ́ Ü
́ Ù Ü Ø µ Ø µ ´ ½ º ½ ¿ µ
Ò Ð × Ó Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Û Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò º Ë Ù Û Ú × Ô Ö × Ö Ú Ø Ò Ø Ð Û Ú Ó Ö Ñ
Ù
¼
́ Ü µ Ð Ø Ó Ù Ø Ò Ø Ð Û Ú Ó Ö Ñ Ñ Ý Ð Ó Ð Ð Ý × Ø Ö Ø Ó Ö Ó Ñ Ô Ö × × Ù Ø Ó
Ú Ö Ø Ó Ò × Ò Ø Û Ú × Ô º
½ º ½ º ¿ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù × Ò Ø Ñ Ø Ó Ó Ö Ø Ö × Ø ×
Ó Û Û × Ø Ù Ý Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ø
Ó Ò × Ø ´ Ð Ò Ö µ Ó Ö ́ Ù Ü Ø µ
´ Õ Ù × ¹ Ð Ò Ö µ º Ó Ø Ú Û Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ï Ö Û Ö Ø ´ ½ º ½ ¼ µ × Ó Ö Ñ Ð × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø
Ò Ø × Ô ¹ Ø Ñ Ó Ö Ü ¹ Ø Ô Ð Ò º
Ù
Ø
·
Ù
Ü
´ ½ µ
¡
Ù
Ø
Ù
Ü
¼ ´ ½ º ½ µ
Ï Ò Ó Ø Ø Ø
Ù
Ø
·
Ù
Ü
× Ø Ö Ø Ó Ò Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ù ́
Ü Ø µ Ò Ø Ü ¹ Ø Ô Ð Ò Ò Ø
Ö Ø Ó Ò ´ ½ µ º Á Û ¬ Ü ´ Ü
¼
Ø
¼
µ Ò Ø Ü
Ø
Ô Ð Ò Ò × Ø Ô Ø Ó ´ Ü
¼
· Ø
¼
· ½ µ Ò ´ ½ µ
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 8/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ö Ø Ó Ò ¸ Ø Ò Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ù
Ö Ñ Ò × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ì Ò ´ ½ º ½ µ × Ø Ø × Ø Ø Ø Ö ×
Ò Ó Ò Ò Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó ´ ½ µ Ò Ø Ü ¹ Ø Ô Ð Ò º
Á Ò Ø Ø
Ü
Ô Ð Ò ¸ Ø × Ð Ó Ô Ó Ø Ù Ö Ú Ü Ü ́ Ø
µ × Ü Ø
¸ Ò × Ó Û Ú
Ü
Ø
´ ½ º ½ µ
Á Ò Ô Ö Ø Ø × Ñ Ó Ö Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó Ù × Ø Ü ¹ Ø Ô Ð Ò Ø Ó × Ø Ø Ö Ø Ö × Ø × º Á Ò
Ø Ø × Ø × Ð Ó Ô Ó Ø Ù Ö Ú Ø Ø ́ Ü
µ × Ø Ü
½ º
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ½ Ä Ø Ù
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó ´ ½ º ½ ¼ µ º Ì Ò
Ù Ó Ò × Ø Ð Ó Ò Ö Ø Ö × Ø Ù Ö Ú ×
-
́ Ü
¼
Ø
¼
µ
́ Ø µ
-
́ Ü
¼
Ø
¼
µ
́ Ø µ
́ Ü ́ Ø µ Ø
µ ¾
Ê
¾
Ü
Ø
Ø ¾
Ê
·
́ Ü
¼
Ø
¼
µ ¾
-
́ Ü
¼
Ø
¼
µ
́ Ø µ ´ ½ º ½ µ
È Ö Ó Ó º
Ø
Ù ́ Ü ́ Ø µ Ø µ
Ù
Ø
·
Ù
Ü
Ü
Ø
Ù
Ø
·
Ù
Ü
¼
-
́ Ü
¼
Ø
¼
µ
́ Ø µ × Ø Ö Ø Ö × Ø Ù Ö Ú Ö Ó × × Ò Ô Ó Ò Ø ´
Ü
¼
Ø
¼
µ Ò Ø Ü ¹ Ø Ô Ð Ò º Ó Ö
Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò ¸ Ó Ö Ô Ó Ò Ø ´ Ü Ø µ Ò Ø Ü ¹ Ø Ô Ð Ò Ø Ö × Ü Ø Ð Ý Ó Ò
Ö Ø Ö × Ø Ð Ò Ô × × Ò Ø Ö Ó Ù ´ Ü Ø µ º Ì Ö Ø Ö × Ø × Ô Ö Ó Ú Ñ Ø Ó Ó Ö ¹
u(x,t)
2
∆
t
∆
∆3
t
t
∆x2 ∆ x
x∆3u(x,0)
x∆x = a ∆ t
u(x, ∆ t3 )
)t∆u(x, 2
u(x, ∆ t )
x
t
1
dt/dx=1/a
slope
a
u(x,t)
u (x)0
( ξ, 0)
t=0
t1
1(x ,t )
1
Ù Ö ½ º ¿ Á Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ö × Ø Ù Ö Ú ×
Ø Ö Ñ Ò Ò Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ü Ô Ð Ø Ð Ý º À Ö Û × Ö Ø Ñ Ø Ó Ó Ö
Ó Ò × Ø º Ù Ö
º ¿ ´ Ö Ø µ × Ö × Ø Ñ Ó Ö Ò Ö Ð × Ó Ò Ó Ò ¹ Ó Ò × Ø Ò Ø º
½ º Ó Ö ´ Ü Ø µ Ø Ö Ñ Ò
× Ù Ø Ø
Ü · Ø
¾ º Ì Ù ́
Ü Ø µ × Ú Ò Ý
Ù ́ Ü Ø µ
Ù ́ ¼ µ
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 9/72
½ º ½ Ä Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Ê Ñ Ö ¾ Ì Ñ Ø Ó Ó Ö Ø Ö × Ø × Ð Ð Ó Û × Ù × Ø Ó Ð Ù Ð Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó
Ô Ö Ø Ð « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô Ý ¬ Ò Ò Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ¹
Ò Ó Ö Ò Ö Ý « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ö Ø Ö × Ø Ù Ö Ú × º Ì Ö Ø Ö × Ø
Ù Ö Ú × Ö Ó Ò ¹ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ð Ý Ó Ù Ö Ú × Ò Ø Ü ¹ Ø Ô Ð Ò Û Ö Ø Ò Ø Ö Ð
Ù Ö Ú × Ó Ø Ó Ö Ò Ö Ý « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ü Ø º
Ü Ñ Ô Ð × Ò Ü Ñ Ô Ð Û Ó Ò × Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù × ¹ Ð Ò Ö Ô Ö Ø Ð « Ö Ò Ø Ð
Õ Ù Ø Ó Ò
Ü
Ù
Ø
·
Ù
Ü
¼ Ò Ê
·
¢ Ê
·
Ù ́ Ü ¼ µ
́ Ü µ Ó Ò
Ê
·
¢ ¼
Ù ´ ¼ Ø µ
́ Ø µ Ó Ò
¼ ¢
Ê
·
Ö × Ø Û Ú Ø È Ý Ü
Ø Ó Ó Ø Ò
Ù
Ø
·
½
Ü
Ù
Ü
¼
Ï Ô Ô Ð Ý ´ ½ º ½ µ Ò × Ø Ø ́
Ü Ø µ ½ Ü × Ó Ø Ø
Ù Ó Ò × Ø Ó Ö
Ü
Ø
½
Ü
Ó Ö Ù
Ó Ò × Ø Ó Ö Ø Ü Ü
Û Ò Ò Ø Ö Ø Ø Ó Ú
Ù Ó Ò × Ø Ó Ö
Ø
½
¾
Ü
¾
· Ó Ò × Ø
Ì Û Ú Ö Ó Ò Ø × Ö Ô Ö Ó Ð × Ø Ü
¾
¾ · Ó Ò × Ø Û Ö × Ø Ý Ø Ô Ö Ñ Ø Ö
Ó Ò × Ø Ò Ø ¹ Ö Ø Ó Ò º
c(x)
b(t)
x
t 2t=x /2
Ù Ö ½ º Ë Ø Ó Ö Ø Ö × Ø × Ó Ö Ø Ü Ñ Ô Ð
Ó Û Û Ú Ø Ó × Ô Ý Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù ́
Ü Ø µ Ó Ö Ô Ó Ò Ø ´ Ü Ø µ Ò Ø × Ô ¹ Ø Ñ Ó ¹
Ñ Ò Ê
·
¢ Ê
·
º Ì Ú Ð Ù Ù ́
Ü Ø µ × Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ù Ò Õ Ù Ð Ý Ø Ö Ñ Ò
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 10/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ö Ø Ö × Ø Ð Ò Ô × × Ò Ø Ö Ó Ù ´ Ü Ø µ º Ó Ø Ø Ø Û Ú Ö Ó Ò Ø × ´ Ó Ö Ö Ø Ö × Ø × µ Û Ø
Ø
Ü
¾
¾ Ô × × Ø Ö Ó Ù Ø Ô Ó × Ø Ú
Ü ¹ Ü × Ò Ò Ó Ö ´ Ü Ø µ Ó Ò × Ù Ö ¹
Ø Ö × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ö Ñ Ò Ý ́ Ü
µ º Ì Û Ú Ö Ó Ò Ø × Û Ø Ø
Ü
¾
¾ Ô × × Ø Ö Ó Ù
Ø Ô Ó × Ø Ú Ø ¹ Ü × Ò Ø Ù × Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø ´ Ü Ø µ Ð Ó Ø Ó Ò × Ù Ö Ø Ö × Ø ×
Ø Ö Ñ Ò Ý ́ Ø
µ º
Ó Û Û Ó Ò × Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ý Ô Ó Ò Ø ´ Ü
½
Ø
½
µ º Ì Û Ú Ö Ó Ò Ø Ø Ö Ó Ù ´ Ü
½
Ø
½
µ ×
Ø
Ø
½
½
¾
́ Ü
¾
Ü
¾
½
µ
× ½ º Á Ø
½
Ü
¾
½
¾ Ø Ò Ø × Û Ú Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ö × Ø × Ø Ô Ó × Ø Ú Ü ¹ Ü × Ø
Ü Ü
¼
¸ × Ý ¸
Û Ö Ø
¼ Ò Ø Ö Ó Ö
Ø
½
½
¾
́ Ü
¾
¼
Ü
¾
½
µ
Ë Ó Ð Ú Ò Ø × Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó Ö Ü
¼
Ú ×
Ü
¼
Õ
Ü
¾
½
¾ Ø
½
Ë Ò Ò Ý Ø Û Ó Ô Ó Ò Ø × ´ Ü
¼
Ø
¼
µ ¸ ́ Ü
½
Ø
½
µ Ó Ò Ø × Ñ Ö Ø Ö × Ø Ù Ö Ú Ú Ø × Ñ
Ú Ð Ù Ó Ù
¸ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ù ́ Ü
½
Ø
½
µ Ù ́ Ü
¼
¼ µ
́ Ü
¼
µ Û Ñ Ô Ð × Ø Ø
Ù ́ Ü
½
Ø
½
µ
Õ
Ü
¾
½
¾ Ø
½
× ¾ º Á Ø
½
Ü
¾
½
¾ ¸ Ø Ò Ø Û Ú Ö Ó Ò Ø Ò Ø Ö × Ø × Ø Ô Ó × Ø Ú
Ø Ü × Ø
Ø Ø
¼
¸ Û Ö
Ø
¼
Ø
½
½
¾
Ü
¾
½
Ë Ó Ð Ú Ò Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø
¼
Ú ×
Ø
¼
Ø
½
½
¾
Ü
¾
½
Ë Ò Ò Ý Ø Û Ó Ô Ó Ò Ø × ´ Ü
¼
Ø
¼
µ ¸ ́ Ü
½
Ø
½
µ Ó Ò Ø × Ñ Ö Ø Ö × Ø Ù Ö Ú Ú Ø × Ñ
Ú Ð Ù Ó Ù
¸ Û Ó Ò Ð Ù Ø Ø Ù ́ Ü
½
Ø
½
µ Ù
´ ¼ Ø
¼
µ ́ Ø
¼
µ Û Ñ Ô Ð × Ø Ø
Ù ́ Ü
½
Ø
½
µ
Ø
½
½
¾
Ü
¾
½
Ø Ö Ö Ó Ô Ô Ò Ø × Ù × Ö Ô Ø × Û Ó Ø Ò Ø ¬ Ò Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
Ù ́ Ü Ø µ
́
Ô
Ü
¾
¾
Ø Ø
½
¾
Ü
¾
Ø
½
¾
Ü
¾
¡
Ø
½
¾
Ü
¾
× Ö Ñ Ö ¸ Û Û × Ø Ó × Ù Ñ Ñ Ö Þ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ò Ó Ø ×
½ ¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 11/72
½ º ½ Ä Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
̄ Á Ò Ø Ð Ò Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × º Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ê
·
¢ Ê
·
× Ó Ñ Ô Ð Ø Ð Ý
Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ø
¼ Ò Ü
¼ º Ì Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ø
¼ ×
Ð Ð Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ô Ö × Ö × Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ñ Ø
¼ º
Ì Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ü
¼ × Ð Ð Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ñ Ô Ó × × Ø Ó Ò Ø Ó Ò
Ó Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ø × Ô Ø Ð Ó Ñ Ò Ê
·
º Ì Ó Ù Ø Ö Ù Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö Ò
ª
Ó
Ø × Ô Ø Ð Ó Ñ Ò ª ´ ¼
½ µ Ø Ü
¼ × Ò
ª
½ Ò Ô Ó Ò Ø × Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ú
Ü ¹ Ö Ø Ó Ò º ×
́ Ü Ø µ ½ Ü ¼ ×
Ü ¼ ´ Ò Ø ¸
́ Ü Ø
µ ½ ×
Ü ¼ µ Û
Ú ¡
Ò
ª
¼ Ø
Ü ¼ º
È Ù Ø Ø Ò × Ø Ó Ø Ö ¸ Û Ú Ø Ó Ô Ö × Ö Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ø
¼ Ò Û Ö
¡ Ò
ª
¼
´ Û Ñ Ò × Ö Ø Ü
¼ µ º Ì × Ó Ò Ø Ó Ò × Ý × Ø Ø Û Ú Ø Ó Ñ Ô Ó ×
Ò Ø Ð Ò Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Û Ö Ö Ø Ö × Ø × Ò Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ò Ø
Ü ¹ Ø Ô Ð Ò º
Ò Ð Ð Ý ¸ Û × Ø Ù Ý Ø × Ó ¹ Ð Ð Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ø Ð Ò Ö × Ð Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù ¹
Ø Ó Ò º Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × Ö Ó Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ó Ö Ø Ø Ó Ö Ø Ð Ò Ò Ù ¹
Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ý Ô Ö Ó Ð Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û × º
½ º ½ º Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ø Û Ó × × º Ó Ò Ø Ø × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý
Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û Ø Ó × Ó Ð Ú Ò Ê
Û Ø Ô Û × Ó Ò × Ø Ò Ø
Ò Ø Ð Ø Û Ú × Ò Ð × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý º Ì Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ø Ð Ò Ö
× Ð Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ö ×
Ù
Ø
·
Ù
Ü
¼ Ò Ê
¢ Ê
·
Ù ́ Ü ¼ µ
́
Ù
Ð
Ü ¼
Ù
Ö
Ü ¼
Á Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ú Ò Ý
Ù ́ Ü Ø µ
́
Ù
Ð
Ü Ø
Ù
Ö
Ü Ø
Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ø Ô Ý × Ð Ñ Ò Ò Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ ¸
Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó × × Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ø Ù Ò Ø Ð Ð Ý × Ô Ö Ø
Ý Ô Ö Ñ º Ì Ó × Ó Ò Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ò × Ó Ø Ô Ö Ñ ¸ Ø Ö
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × × Ô ¬ Ó Ò × Ø Ò Ø Ò × Ø Ý
Ð
Ò
Ö
Ö × Ô º Ì × × Ø Ù Ø Ó Ò Ñ Ý × Ö
Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Û Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
Ú Ð Ó Ø Ý Ù
Ø
· Ù
Ü
¼ Ò Ê
¢ Ê
·
́ Ü ¼ µ
́
Ð
Ü ¼
Ö
Ü ¼
Á Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ú Ò Ý
́ Ü Ø µ
́
Ð
Ü Ù Ø
Ö
Ü Ù Ø
½ ½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 12/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ø Ø
¼ ¸ Ñ Ò Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ø Ù Û Ø Ø Û Ó Ö Ó Ò × Ü ¼
Gas tube
gas 1: O2gas 2: N O
2
diaphragm
xρl
ρr
Contact discontinuity at x = a tt
Ù Ö ½ º Á Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ó Ò Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ð Ò Ö × Ð Ö Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ó Ò Ø Ø × ¹
Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý º
Ò Ü ¼ ¸ × Ô Ö Ø Ý Ö Ô Ö Ñ ¸ × º ½ º º Ë Ù Ô Ô Ó × Ø × Ó Ø
Ô Ö Ñ ¸ Ø Ö Ö « Ö Ò Ø × × ¸ × Ý Ó Ö Ü ¼ Û Ú Ç Ü Ý Ò Ç
¾
Û Ø Ò × Ø Ý
Ð
Ò Ó Ö Ü ¼ Û Ú Ø Ö Ó Ò Ó Ü Æ Ç
¾
Û Ø Ò × Ø Ý
Ö
º ´ Ï × × Ù Ñ Ø Ø
Ô Ö × × Ù Ö Ò Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö Ö Ø × Ñ Ó Ò Ó Ø × × µ º Ï Ô Ô Ð Ý Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ð Ó Ø Ý
¬ Ð Ù ¼ Ò × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ô Ö Ñ × Ò × Ø Ò Ø Ò Ó Ù × Ð Ý Ö Ñ Ó Ú º Ì × × Ø
× Ø Ù Ø Ó Ò Ø Ø
¼ º
Ó Û Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø × Ø × Ñ Ó Ð Ù Ð × Û Ø Ú Ø Ó Ò × Ô Ù ¼ º Ì
× Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý Ò
´ Ò Ø Ð Ð Ý Ø Ü
¼ Ó Ö Ø
¼ µ Ø Ö Ú Ð × Ø Ó Ø Ö Ø Û Ø Ö Ø Ö × Ø
× Ô Ù Ò × Ð Ó Ø Ø
Ü Ù Ø Ø Ø Ñ
Ø º Ì × × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý × × Ó Ð Ð
Ó Ò Ø Ø
× Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý Ì × Ò Ø Ð Ð Ý Ó Ò Ó Ò × Ó Ø Ô Ö Ñ Ò Ú Ö Ñ Ü × Û Ø ×
Ö Ó Ñ Ø Ó Ø Ö × º × Ø Ñ Ú Ó Ð Ú × ¸ Ø Ø Û Ó × × Ö Ñ Ò Ò Ó Ò Ø Ø Ð Ó Ò Ø
Ö Ø Ö × Ù Ö Ú Ò Ø Ü
Ø
Ô Ð Ò Ð Ó Ò Û Ø Ö × Ù Ñ Ô Ò Ò × Ø Ý º Ì × ×
Ø Ó Ò Ø Ø × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý º
½ º ½ º Ì Û Ó ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û Ó Ò × Ö Ò Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ Ò × Ô Ø Ð Ð Ý Ø Û Ó ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð
Ó Ñ Ò º Ï × Ø Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ò ¬ Ð Ù
́ Ù
Ü
Ù
Ý
µ
Ì
Ò Ø
× Ô Ø Ð Ó Ñ Ò ª ´ ¼ Ä
Ü
µ ¢ ´ ¼ Ä
Ý
µ Û Ø Ø Ö × × Ò Ú Ó Ð Ú ¸ × Ý
½
Ç
¾
´ Ç Ü Ý Ò µ ¸
¾
Æ Ç
¾
´ Ø Ö Ó Ò Ó Ü µ Ò
¿
Æ
¾
´ Ø Ö Ó Ò µ º Ø Ø
¼ ¸ Û Ô Ö × Ö Ø Ø
Ü Ð Ù × Ú Ð Ý × Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó Ø Ý Ô
¿
Ö Ò ª º Ø Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý ¸ Û × Ù Ô Ô Ð Ý ×
½
Ó Ö Ü Ü
¼
Ò ×
¾
Ó Ö Ü Ü
¼
º Ì × × Ø × Ø Ù Ø Ó Ò × Ø Ò º ½ º ´ Ð Ø µ º
Ï Ó Ò × Ö Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò Ø Ð ¹ Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ð Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò
½ ¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 13/72
½ º ½ Ä Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
x
y
Gas X1Gas X
Gas X2
2
Gas X3
t = 0
x
y
Gas X1Gas X
Gas X2
2
Gas X3
t = t1
Ù Ö ½ º Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò º Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ø
¼ Ò Ø Ø
½
º
Ò Ò
½
Ó ×
½
º
Ò
Ø
· Ù
Ü
Ò
Ü
· Ù
Ý
Ò
Ý
¼ Ò ª ¢ Ê
·
Ò ́ Ü Ý ¼ µ ¼ Ò ª ¢
¼
Ò ́ Ü Ý Ø µ
Ò
¼
Ù ́
Ü Ý µ
¾
́ Ù µ Ü Ü
¼
¢ Ê
·
Ò ́ Ü Ý Ø µ ¼ Ù
́ Ü Ý
µ ¾
́ Ù µ Ü Ü
¼
¢ Ê
·
Á Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ú Ò Ý
Ò ́ Ü Ø µ
́
Ò
¼
Ý
Ù
Ý
Ù
Ü
́ Ü
Ü
¼
µ Ò Ü
Ü
¼
Ù
Ü
Ø
¼ Ó Ø Ö Û ×
Ó Ö Ø
Ð Ö Ò Ó Ù ´ Ö Ø Ñ Ü Ä
Ü
Ù
Ü
Ä
Ý
Ù
Ý
µ ¸ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ø Ø Ó Ò Ö Ý
Ó Ö × Ø Ý ¹ × Ø Ø ´ º º ¸ Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ø µ
Ò ́ Ü Ø µ
́
Ò
¼
Ý
Ù
Ý
Ù
Ü
́ Ü
Ü
¼
µ
¼ Ó Ø Ö Û ×
Ó Û Ø Ñ × Ø Ó Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Û Ø Ô Ô Ò × Ô Ý × Ð Ð Ý º × Ø Ñ Ú Ó Ð Ú × ¸ Ø Ñ Ó Ð Ù Ð ×
Ó ×
½
Ò
¾
Ö Ú Ø Ò Ø Ó Ø Ó Ñ Ò Û Ö × Ø Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó ×
¿
Ö Ú Ø Ó Ù Ø Ó Ø Ó Ñ Ò º Ø Û Ò Ø Û Ó « Ö Ò Ø × × ¸ Ø Ö × Ó Ò Ø Ø
× Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý ¸ × º ½ º ½ ¼ ´ Ð Ø Ò Ö Ø µ º Ú Ø Ú Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó Ñ Ó Ð Ù Ð × × Ð Ó Ò
Ø Ò Ø Ö Ð Ù Ö Ú × Ó Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ù
¸ Û Ö × Ø Ö Ø Ð Ò × Ó Ö Ø × Ù
Ó Ò × Ø ¸
× ½ º ½ ¼ ´ Ö Ø µ º
Ø Ø Ñ Ø
¸ Ð Ð Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó ×
¿
Ú Ð Ø Ø Ó Ñ Ò ¸ º º ½ º ½ ¼ ´ Ð Ø µ º Û
Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó ×
½
Ö × Ô º
¾
Ò Ø Ö Ø Ó Ñ Ò Ø Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý Ò Ø × Ñ
Ò Ù Ñ Ö Ó Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó
½
Ö × Ô º
¾
Ð Ú Ø Ó Ñ Ò Ø Ø Ó Ù Ø - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý º Ì Ù × Ø
Ø Û Ó Ö Ø Ö Ö Ý Ø Ñ × Ø
Ø
Ø
¸ Ð Ø Ø Ò Ú Ù Ð Ñ Ó Ð Ù Ð × × Ø Ð Ð Ò ¸ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
Ø Ø
Ò Ø
× Ü Ø Ð Ý Ø × Ñ ¸ × º ½ º ½ ¼ ´ Ð Ø µ Ó Ö ´ Ü Ý µ Û Ø Ý Ù
Ý
Ù
Ü
́ Ü
Ü
¼
µ
Û Ú Ü Ð Ù × Ú Ð Ý × Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó Ø Ý Ô
½
Ò Ó Ø Ö Û × Ü Ð Ù × Ú Ð Ý Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó
Ø Ý Ô
¾
º Ì × × Ð Ð × Ø Ø Ó Ò Ö Ý × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ñ ¹ Ô Ò Ò Ø
½ ¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 14/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
x
y
Gas X1Gas X
Gas X2
2
Gas X3
2t = t
x
y
Gas X1Gas X
Gas X2
2
Gas X3
t = t 3
Ù Ö ½ º Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò º Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ø
¼ Ò Ø Ø
½
º
x
y
Gas X1Gas X
Gas X2
2
Gas X
3
t = t4
x
y
Gas X1Gas X
Gas X2
2
t = 0 u
ux
y
Ù Ö ½ º Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò º Ä Ø Ø Ø Ø
Ø × Ø Ø Ó Ò Ö Ý
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ö º Ê Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ú Ð Ó Ø Ý ´ Ú Ø Ó Ò µ ¬ Ð º
Ô Ö Ó Ð Ñ º
Ê Ñ Ö ¿ Á Ò Ø Ó Ú Ü Ñ Ô Ð ¸ Ø × Ñ Ó Ð Ù Ð × Ö Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ü Ð Ù × Ú Ð Ý Ð Ó Ò
Ø Ò Ø Ö Ð Ù Ö Ú × Ó Ø Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ø Ö × × Ô Ö Ø Ó Ò Ø Û Ò
Ø Ø Û Ó × × Ø Ð Ð Ø Ñ × Ð Ð Ó Ò Ø Ø × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý º À Ó Û Ú Ö ¸ Ø × × Ò Ð Þ
× Ø Ù Ø Ó Ò º Á Ò Ö Ð - Ù ¸ Ø Ö × Ñ Ü Ò Ó Ñ Ó Ð Ù Ð × Ù Ø Ó Ø Ö Ø Ö Ñ Ð Ö Ò Ó Ñ
Ñ Ó Ø Ó Ò º Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × × Ù Ô Ö Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ø Û Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × × Ø Ñ Ñ Ò Ö Ó Ñ Ø Û Ó « Ö Ò Ø
Ò × Ó Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ô Ö Ó × × × ¸ Ú Þ º ¸ Ú Ø Ó Ò Ò « Ù × Ó Ò
̄ Ò Ú Ø Ó Ò Ø Ý Ô × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ñ Ó Ð Ù Ð × Ö Ú Ø Ð Ó Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ù Ö Ú ×
Ó Ø Ú Ø Ó Ò ¬ Ð º
̄ « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ñ Ó Ð Ù Ð × « Ù × × Ó Ø Ö Ó Ô Ð Ð Ý Ò Ð Ð Ö Ø Ó Ò × º
« Ù × Ó Ò × Ù Ø Ó Ø Ò Ú Ù Ð Ö Ò Ó Ñ Ø Ö Ñ Ð Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ó Ð Ù Ð × º « Ù ¹
× Ó Ò Ò Ó × Ö Ú Û Ò Ú Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó × Ù × Ø Ò ´ Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó
Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó Ø × Ù × Ø Ò Ô Ö Ù Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ µ Ú Ö × Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ó Ô Ð º Ì Ò « Ù × Ó Ò
Ó Ù Ö × Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ò Û Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ö × × º « Ù × Ó Ò Ø Ò × Ø Ó Õ Ù Ð ¹
Þ Ø Ñ Ó Ð Ù Ð Ö × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø « Ù × Ò × Ù × Ø Ò Ù Ò Ø Ð × Ø Ø × Ø Ð Õ Ù Ð Ö Ù Ñ ×
Ö º Ì Ò Ü Ø × Ø Ó Ò × Ø Ø Ó « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó × × × º
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 15/72
½ º ¾ Ä Ò Ö « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
½ º ¾ Ä Ò Ö « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Ì ´ Ð Ò Ö µ « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ö × « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó × × × Û × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð
Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ô Ö Ó × × Ò Ô Ý × ×
̄ « Ù × Ó Ò Ó × Ñ Ó Ð Ù Ð × ´ Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò µ ¸ × Ö Ý ³ × Ð Û
̄ « Ù × Ó Ò Ó Ø ´ Ø Ö Ñ Ð Ò Ö Ý µ ¸ × Ö Ý Ó Ù Ö Ö ³ × Ð Û
̄ « Ù × Ó Ò Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ ´ Ò Ø Ö Ò Ð Ö Ø Ó Ò Ò Ú × Ó Ù × - Ù × µ
½ º ¾ º ½ Å Ó Ð Ù Ð Ö « Ù × Ó Ò ³ × Ð Û
º ½ º Ð Ð Ù × Ø Ö Ø × « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó × × º Ø Ø
¼ Ø Ø Û Ó × ×
½
Ò
¾
Ö × Ô Ö Ø
Ý Ô Ö Ñ ´ Ð Ø µ º Ø Ö Ö Ñ Ó Ú Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ø
¼ ¸ Û Ñ Ó Ð Ù Ð × Ó
×
½
Ò
¾
Ö Ó Ù Ò Ó Ò Ø Ó Ø Ö ³ × × Ø Ö × Ó Ñ Û Ð Ø
½
´ Ñ Ð µ º Ø Ö
Ö Ø Ò Ø Ñ Ø
¾
¸ Ø Ñ Ü Ø Ù Ö Ó Ø Ø Û Ó × × × Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × º × Ø Ø × Ø Ð Õ Ù Ð Ö Ù Ñ
× Ò Ö Ò ´ Ó Ò Ø Ñ Ö Ó × Ó Ô Ð Ú Ð µ Ò Ó Ù Ö Ø Ö « Ù × Ó Ò Ò Ó × Ö Ú
´ Ö Ø µ º
Diaphragmt=0
Gas X2Gas X1
t = t1 t = t 2 : statistical equilibrium is reached
Ù Ö ½ º × Ó Ù × « Ù × Ó Ò º
Ï Ó Ò × Ö Ø « Ù × Ó Ò Ó × Ù × Ø Ò Ò Ø Ó Ø × Ð º Ï Ó Ò × Ö × Ø Ù Ø Ó Ò × Ø
Ò º ½ º ½ ¼ Û Ö Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó × Ù × Ø Ò Ú Ö × Ò Ö Ø Ò Ö Ø Ó Ò ¸ Û
× × Ò Ø × Ø Ü
¹ Ü × ¸ Ò × Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ö Ø Ó Ò × º Ì Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò
× Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ñ Ó Ð Ù Ð × Ô Ö Ù Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ò × Ò Ø × × Ø Ù Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ø
Ü ¹ Ó Ó Ö Ò Ø Ð Ó Ò ́ Ü
µ º
Ì Ò Û ¬ Ò Ø Ô Ö Ø Ð Ù Ö Ö Ò Ø Ò × Ø Ý
× Ø Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ð × Ø Ø
Ö Ó × × ¸ Ô Ö Ù Ò Ø Ø Ñ ¸ Ù Ò Ø Ö Ô Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ø Ó Ø Ö Ø Ó Ò Ó « Ù × Ó Ò º
Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ð × Ø Ø « Ù × Ø Ö Ó Ù × Ù Ö
Ò Ø Ñ ¡ Ø
Ö ´ µ ¡
Ø
Û Ö Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ñ Ò × Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ð × Ö Ó × × Ò
Ò Ö Ø Ó Ò Ó Ø
× Ù Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ò
Ó
Ñ Ò Ù × Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ð × Ö Ó × × Ò
Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ò º
Ì Ô Ö Ø Ð Ù Ö Ö Ò Ø Ò × Ø Ý
× Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ
¾
×
½
º Ì Ò ³ × Ð Û × Ø Ø × Ø Ø
Ü
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 16/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 00 00 00 01 11 11 11 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1 0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 11 11 1
0 00 00 01 11 11 1
0 00 00 00 01 11 11 11 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 00 00 01 11 11 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 00 00 01 11 11 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 00 01 11 11 11 1 0 00 00 01 11 11 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1 0 00 00 00 01 11 11 11 1
0 00 00 01 11 11 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
0 00 00 01 11 11 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 00 01 11 11 11 1
0 00 00 01 11 11 1
0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 11 11 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 00 00 00 01 11 11 11 1
0 00 00 00 01 11 11 11 1
0 00 00 00 01 11 11 11 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 10 00 00 01 11 11 1
0 00 00 00 01 11 11 11 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 00 00 01 11 11 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 00 00 00 01 11 11 11 1
0 00 00 01 11 11 1
0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 11 11 1
0 00 00 01 11 11 1
0 00 00 01 11 11 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 00 00 01 11 11 10 00 00 01 11 11 10 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
x
y
Larger concentration Smaller concentration
Ù Ö ½ º ½ ¼ Á Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ó Ò Ó ³ × Ð Û Ó Ö Ñ Ó Ð Ù Ð Ö « Ù × Ó Ò º
Û Ö
× Ó Æ Ò Ø Ö Ø Ö × Ø Ó Ø × Ù × Ø Ò ¸ Ð Ð Ø « Ù × Ó Ò Ó Æ Ò Ø
Ò Ü
× Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ö Ò Ø Ò Ü ¹ Ö Ø Ó Ò º Ì Ñ Ò Ù × × Ò Ò Ø × Ø Ø
Ø Ò Ø - Ó Û Ù Ø Ó « Ù × Ó Ò × Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ò Û
Ö × × º
Á Ò Ø Ò Ö Ð × Ø Ù Ø Ó Ò ¸ ³ × Ð Û × Ø Ø × Ø Ø Ø Ô Ö Ø Ð Ù Ö Ö Ò Ø Ò × Ø Ý × Ö Ð Ø
Ø Ó Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ö Ò Ø Ý
Ö
Ï Ó Ò × Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ý Ð Ó × Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Î
Û Ø × Ù Ö ´ Ó Ù Ò Ö Ý µ Î Ò
Ó Ù Ø Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö Ò
ª
º Ì Ò Ò Ø × Ò Ó Ò Ú Ø Ó Ò ¬ Ð Ø Ò Ò
Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ð × Ò Î
× Õ Ù Ð Ø Ó Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ð × « Ù × Ò Ø Ö Ó Ù Ø
Ó Ù Ò Ö Ý Ó Î
Ú Ø Ô Ö Ø Ð Ù Ö Ö Ò Ø Ò × Ø Ý
Ø
Î
Î
Î
¡
Ò
Î
Î
́
Ö µ
¡ Ò
Î
Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ó Ù × × Ò Ì Ó Ö Ñ Ú ×
Ø
Î
Î
Î
Ö ¡
Ö
× × Ù Ñ Ò Ø Ø ̧
Ö × Ù Æ Ò Ø Ð Ý × Ñ Ó Ó Ø ´ Ø Ð × Ø Ò Ø × Ò × Ó Ë Ó Ó Ð Ú Ù Ò Ø Ó Ò × µ
Û Ó Ø Ò Ø « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ó Ø « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Ø
Ö ¡
Ö
½ º ¾ º ¾ Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û × Ó Ð Ú Ø Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ð Ý Ø Ð Ð Ý
Ø
Ù
Ö
¾
Ù ´ ½ º ½ µ
Ö × Ø Û Ò Ó Ø Ø Ø Ú Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù ́
Ü Ø µ Ó ´ ½ º ½ µ ¸ Ø × Ø Ö Ø Ù Ò Ø Ó Ò
Ù ́ Ü Ø
µ
Ù ́
Ô
Ü Ø µ Ó Ò × Ø
¼ ´ ½ º ½ µ
× Ð × Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó ´ ½ º ½ µ ¸ × Ò Ù
Ü Ü
Ù
Ü Ü
Ò Ù
Ø
Ù
Ø
º
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 17/72
½ º ¾ Ä Ò Ö « Ù × Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò
× Ô Ð Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ
Ï × Ó Ð Ú Ø Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö ´ ½ º ½ µ Û Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò
Ù ́ Ü ¼ µ
À ́ Ü µ
́
½ Ü
¼
¼ Ü
¼
´ ½ º ½ µ
Ì Ù Ò Ø Ó Ò À
× Ó Ø Ò Ð Ð À Ú Ý × Ù Ò Ø Ó Ò º × À
× Ò Ú Ö Ò Ø Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó
× Ø Ö Ø Ò ¸ Û Ñ Ø Ò × Ø Þ
Ù ́ Ü Ø µ
Ù ́
½
Ô
Ø
Ü
½
Ø
Ø µ
Ù ́
Ü
Ô
Ø
½ µ
Û Ö Û Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ù × Ø
½
Ò ´ ½ º ½ µ º Ì Ù × Û ×
́ Ü Ø µ
́ Þ ́ Ü Ø µ µ Þ
́ Ü Ø µ
Ü
Ô
Ø
Ì Ò Û Ú
Ü
Þ
Þ
Ü
Þ
½
Ô
Ø
Ü Ü
Ü
Ü
Ü
Þ
½
Ô
Ø
¾
Þ
¾
½
Ø
Ø
Þ
Þ
Ü
Þ
Ü
¾ Ø
¿ ¾
Ö Ó Ñ Ø × Ö Ð Ø Ó Ò × Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ö Ò Ö Ý « Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö
Ü Ü
Ø
¼ ´ µ
¾
Þ
¾
½
Ø
·
Þ
Ü
¾ Ø
¿ ¾
¼
¾
Þ
¾
·
Þ
Ü
¾
Ô
Ø
¼
Ó Û Û × Ù × Ø Ø Ù Ø Þ
Ò Ù × Þ
Ü
Ô
Ø Ø Ó Ó Ø Ò
Þ
Þ
¾
Þ
Þ
Ð Ò ́
µ
Þ
Þ
¾
µ Ð Ò ́
Þ µ
¾
Þ
¾
´ µ ́ Þ
µ
¾
́
Þ
¾
Ô
µ
¾
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 18/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ð × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ú × ́ Þ
µ Ö × Ô º ́
Ü Ø µ
́ Þ µ
½
·
Þ
¼
́ Þ µ Þ
½
·
¾
Þ
¼
́
Þ
¾
Ô
µ
¾
Þ
µ
́ Ü Ø µ
½
·
¾
Ü
Ô
Ø
¼
́
Þ
¾
Ô
µ
¾
Þ
Ó Ö ́
Ü Ø µ
½
· ¾
Ô
¾
Ü
Ô
Ø
¼
×
¾
×
Û Ö Ò Ø Ð × Ø Õ Ù Ø Ó Ò Û × Ù × Ø Ø Ù Ø ×
Þ ´ ¾
Ô
µ Ò Þ ¾
Ô
× º
Ò Ð Ð Ý Û Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ø ×
½
Ò
¾
Ý Ù × Ò Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò º Ó Ø Ø Ø
× Ø
¼ Û Ú Ü
Ô
Ø
· ½
́ Ü ¼ µ Ò Ü
Ô
Ø ½
́ Ü ¼ µ Ò
Ü ¼ Ð Ñ
Ø ¼
́ Ü Ø µ
½
· ¾
Ô
¾
½
¼
×
¾
×
ß Þ
Ô
¾
½
·
Ô
¾
Ü ¼ Ð Ñ
Ø ¼
́ Ü Ø µ
½
Ô
¾
Ö Ó Ñ Û Û Ò Ö Ø Ø
½
½
¾
¾
½
¾
Ô
Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ́
Ü Ø µ Ó Ø Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ê
¢ Ê
·
Ø Ò Ö ×
́ Ü Ø µ
½
¾
·
½
Ô
Ü
Ô
Ø
¼
×
¾
× ´ ½ º ¾ ¼ µ
Ó Û Û Û Ò Ø Ø Ó Ú × Ù Ð Þ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ ½ º ¾ ¼ µ º Ì Ö Ù Ð Ô Ó Ò Ø × Ø Ò Ø Ö Ð
Á ́ Ü Ø µ
Ü
Ô
Ø
¼
×
¾
×
Û Ô Ò × Ó Ò Ü ̧ Ø
Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö
º Ö × Ø Û ¬ Ü Ü ¼ ´ Ó Ö Ø × Ü ¼
Ø Ö Ù Ñ Ò Ø × × Ñ Ð Ö µ Ò
º Ï Ó Ò × Ö Ø Ô Ò Ò Ó Ò Ø
º Ø Ø
¼ Û Ú
Ü
Ô
Ø ½ Ò
Á ́ Ü Ø µ
Ô
¾ º
× Ø
Ò Ö × × ¸ Ø Ù Ô Ô Ö Ð Ñ Ø Ó Ø Ò Ø Ö Ð Ö × × Ò × Ó Ø Ú Ð Ù Ó Á ́
Ü Ø µ
Ó Ñ × × Ñ Ð Ð Ö º × Ô Ý × Ð Ò Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò ¸ Ö Ð Ð Ø Ø Ø Ö Ò Ø Ò Ù
Ò Ø
Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò Ù × × « Ù × Ó Ò Ó Ù
Ò Ø Ò Ø Ú Ü
¹ Ö Ø Ó Ò º × Ø
Ò Ö × × ¸
Ù ́ Ü Ø µ Ö × × Ù Ø Ó « Ù × Ó Ò Ò Ø Ò Ø Ú
Ü ¹ Ö Ø Ó Ò º
Ó Û Û × Ø Ù Ý Ø Ô Ò Ò Ó Á ́
Ü Ø µ Ó Ò Ü
Ó Ö ¬ Ü Ø
Ò
º Ó Ö × Ñ Ð Ð Ú Ð Ù × Ó
Ü Ø Ù Ô Ô Ö Ð Ñ Ø Ó Ø Ò Ø Ö Ð × × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ó Ö Ð Ö Ú Ð Ù × Ó
Ü º Ì Ù ×
Á ́ Ü Ø
µ
Ó Ñ × × Ñ Ð Ð Ö × Ü
¼ º × Ô Ý × Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò ¸ Ò Ø Ú Ò Ø Ý Ó Ü
¼ Ø
Ö Ò Ø Ó Ù
× Ñ Ü Ñ Ð Ò Ò Ø × Ö Ó Ò × « Ø Ð Ö × Ø Ý « Ù × Ó Ò º
Ò Ð Ð Ý Û × Ø Ù Ý Ø « Ø Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö
Ó Ò Ø « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó × × º Á
× Ö × ¸
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 19/72
½ º ¿ Ì × Ø Ý ¹ × Ø Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ
Ø Ò Ó Ö ¬ Ü Ü ̧ Ø
Ø Ò Ø Ö Ð Á ́
Ü Ø µ Ó Ñ × Ð Ö Ö Ò Ø « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó × × ×
× Ð Ó Û Ö º Ó Ö Ð Ö Ö Ú Ð Ù Ó
¸ ´ Ó Ö ¬ Ü Ü ̧ Ø
µ Ø Ò Ø Ö Ð Á ́
Ü Ø µ Ó Ñ × × Ñ Ð Ð Ö Ò
Ø « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó × × × × Ø Ö º
« Ù × Ó Ò Ñ Ò × Ø Ø Ø Ò Ø Ð × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý Ø Ü
¼ × × Ñ Ö Ó Ù Ø × Ø Ñ Ò Ö × × º
È Ù Ø Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó × × × Ñ Ó Ó Ø Ò × × Ø Ö Ó Ò Ö Ò Ø × » × Ó Ò Ø Ò Ù Ø ×
Ò Ø Ò Ø Ð Ø º
× Ò Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ó Ò ¸ Ù Ö × ½ º ½ ½ ¸ ½ º ½ ¾ × Ó Û × Ò Ô × Ó Ø × Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù ́
Ü Ø µ Ø Ø Ö
« Ö Ò Ø Ø Ñ × Ø
¼
¼ ̧Ø
½
Ò Ø
¾
º Á Ò º ½ º ½ ½ Û Ú × Ñ Ð Ð « Ù × Ú Ø Ý
º Ì Ò Ø Ð
× Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý × × Ñ Ö Ó Ù Ø × Ð Ó Û Ð Ý º Á Ò ½ º ½ ¾ Û Ú Ö Ð Ø Ú Ð Ý Ð Ö « Ù × Ú Ø Ý
Ò Ø Ò Ø Ð × Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ý × × Ñ Ö Ó Ù Ø Ö Ô Ð Ý º
t = 0 u
x
t = t
x
1u u
x
t = t2
Ù Ö ½ º ½ ½ À × Ø Ó Ö Ý Ó Ù ́
Ü Ø µ Ó Ö Ø Ö Ø Ñ × Ø
¼
¼ Ø
½
Ø
¾
Ó Ö × Ñ Ð Ð « Ù × Ú Ø Ý º
t = 0 u
x
u
x
t = t1=
2 u
x
Ù Ö ½ º ½ ¾ À × Ø Ó Ö Ý Ó Ù ́
Ü Ø µ Ó Ö Ø Ö Ø Ñ × Ø
¼
¼ Ø
½
Ø
¾
Ó Ö Ð Ö « Ù × Ú Ø Ý º
½ º ¿ Ì × Ø Ý ¹ × Ø Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò Ö Ø Ó Ò
Ô Ö Ó Ð Ñ
Ì Ð Ò Ö « Ù × Ó Ò ¹ Ö Ø Ó Ò Ø Ý Ô Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ñ
Ö ¡ ́
Ö Ù
µ ·
¡
Ö Ù ·
Ù
Ò ª ¢ ´ ¼ Ø
¼
µ
Ø Ý Ô Ð Ü Ñ Ô Ð × Ø Ø ¹ Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Õ Ù Ø Ó Ò ¸ Û Ó Ú Ö Ò × Ø × Ô ¹ Ø Ñ Ú Ó ¹
Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö Ì
Ò × Ô ¹ Ø Ñ Ó Ñ Ò ª ¢ ´ ¼ Ø
¼
µ
Ô
Ì
Ø
· Ù ¡
Ö Ì
Ö ¡ ́
Ö Ì
µ Õ
Î
Ò ª ¢ ´ ¼ Ø
¼
µ
Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ó Ø Ø Ó Ò
̄ Ù
Ó Ò Ú Ø Ú Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 20/72
½ Ì Ó Ö Ø Ð Ö Ó Ù Ò
̄
Ò × Ø Ý Ó Ø - Ù
̄
Ø Ó Ò Ù Ø Ó Ò Ó Æ Ò Ø
̄ Õ
Î
Ú Ó Ð Ù Ñ Ø Ö Ø × Ó Ù Ö
Ò Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò × Ñ Ô Ó ×
Ì ́ Ü ¼ µ
Ì
¼
́ Ü µ
Å Ó Ö Ó Ú Ö Û Ú Ø Ó × Ô Ý Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ò
ª º Ï × × Ù Ñ Ò Ó Ò ¹ Ó Ú Ö Ð Ô Ô Ò
Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ò Ó
ª Ò Ø Ó
¸
Æ
¸ Ò
Ê
º Ì Ö Ö Ø Ö Ø Ý Ô × Ó Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò ×
̄ Ö Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × º
Ì Ì
Û
Ó Ò
¢ ´ ¼ Ø
¼
µ
Ö Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö × Ø Ø × Ø Ø Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ø Ñ ¹
Ô Ö Ø Ù Ö Ö Ñ Ò × Ó Ò × Ø Ò Ø Ò × Ò Ó Ø « Ø Ý Ø - Ù Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö º Ç Ó Ù Ö ×
Ø - Ù Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö Ó × Ø Ó Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö º Ù Ø Ò Ú Ö Ø Ý
Ó × Ø Ù Ø Ó Ò × Ó Ô Ö Ø Ð Ö Ð Ú Ò Ø × × Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ð Ý Ø × ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö
Ø Ó Ù Ò Ö Ý × Ó Ò Ò Ø Ø Ó Ò Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ð Ö Ò Ö Ý Ö × Ö Ú Ó Ö º º º ¸ Ø Ò
× Ý × Ø Ñ Ó Ô Ö Ø Ò Ø ¸ × Ý Ì
Û
¾ ¾
Æ
Ó Ö Ó Ð - Ó Ó Ö Ò Ø × Ñ Ò Ø Ó Ù Ð Ò
Û Ø Ó Ù Ø × Ó Ð Ø Ó Ò Ñ Ý Ú Ø × Ñ Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö × Ø Ó Ù Ø × × Ù Ö Ö Ó Ù Ò Ò º
̄ Æ Ù Ñ Ò Ò Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × º
Ö ¡ Ì
¡ Ò
Õ
Ó Ò
Æ
¢ ´ ¼ Ø
¼
µ
Ì Ö Ø Ò × Ø Ö Ñ Õ
× × Ù Ö ¹ × Ô ¬ Ø - Ù Ü ¸ º º ¸ Ø - Ù Ü Ô Ö Ù Ò Ø
Ö º Ó Ö Ô Ö Ø Ò × Ù Ð Ø Ó Ö Õ
¼ º
̄ Ê Ó Ò Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × º Ê Ó Ò Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × º º Ú Ò Ý
Û Ø Ó Ò ³ × Ó Ó Ð Ò Ð Û
Ö Ì
¡ Ò
́ Ì
Û
Ì
¼
µ
Ê
¢ ´ ¼ Ø
¼
µ
Û Ö Ì
Û
Ò Ì
¼
Ò Ó Ø Ø Û Ð Ð ¹ Ø Ñ Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ø Ö ¹ × Ø Ö Ñ - Ù Ø Ñ Ô Ö ¹
Ø Ù Ö Ö × Ô º ¸ Ò
× Ð Ð Ø Ó Ò Ú Ø Ú Ø ¹ Ø Ö Ò × Ö Ó Æ Ò Ø ¸ Û ×
Ø Ý Ô Ð Õ Ù Ò Ø Ø Ý Ó Ò Ò Ö Ò Ò Ø Ö × Ø Ò Ò Ó Ó Ö Ö - Ó Û × Ñ Ù Ð Ø Ó Ò º
¾ ¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 21/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
¾ º ½ Ð × × Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ï Ó Ò × Ö Ø Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò ¹ Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ø Ö Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý
Ó Ò Ø Ó Ò Ò Ó Ñ Ò Û Ø × Ñ Ó Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý
ª º Ï × × Ù Ñ Ø Ø
̧ ̧ Ö × Ñ Ó Ó Ø
Ù Ò Ø Ó Ò × º
Ö ¡ ́
Ö Ù
µ ·
¡
Ö Ù ·
Ù
Ò ª ´ ¾ º ½ µ
Ù Ó Ò
´ ¾ º ¾ µ
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ó ´ ¾ º ½ µ ¹ ´ ¾ º ¾ µ × Ð Ð Ð × × Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
̄ Ù
× Ò
¾
´ ª µ Ò × Ø × ¬ × ´ ¾ º ½ µ Ô Ó Ò Ø Û × Ó Ö Ü
¾ ª º
̄ Ù
× Ð × Ó Ò
½
´ ª µ Ò Ù
Ó Ò
ª Ô Ó Ò Ø Û × Ó Ö Ü
¾
ª º
¾ º ¾ Ë Ó Ó Ð Ú × Ô × Ò Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ë Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ø Ð × × Ð × Ò × Ö Ú Ö Ý Ö × Ø Ö Ø Ú º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸
¾
¹ × Ñ Ó Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ò Ò Ó Ø Ü Ô Ø Ò Ò Ö Ð Ó Ö Ô Ö Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × º Á Ò Ô Ý × Ð × Ò × ¸ Ø Ú Ð Ù Ó
Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø Ü
¾ ª × Ö Ö Ð Ú Ò Ø º Á Ò Ô Ý × Ð Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸ Ò × Ø Ó
Ô Ó Ò Ø Û × Ú Ð Ù × Ù ́ Ü
µ Ó Ò Ð Ý Û Ø Ú Ö × Ò Ñ × Ù Ö º
Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ø Ø × Ó Ù Ð Ó Ù Ò Ø Ð × Ø Ò Ò
Ò Ø Ö Ð × Ò × ¸ Û Ð × Ø Ó Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ä
Ô
¹ Ù Ò Ø Ó Ò × º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ Ï ¬ Ò Ý Ä
Ô
´ ª Ø × Ô Ó Ñ × Ù Ö Ð Ò × Õ Ù Ö ¹ Ò Ø Ö Ð Ù Ò ¹
Ø Ó Ò ×
Ä
Ô
´ ª µ Ù
ª Ê
ª
Ù ́ Ü µ
¾
Ü ½
Å Ó Ö Ó Ú Ö Ó Ò Ä
¾
´ ª µ Û ¬ Ò Ø Ò Ó Ö Ñ ¡
¼ Ô
Ý
Ù
¼ Ô
ª
Ù ́ Ü µ
Ô
Ü
½ Ô
Ó Ö Ô
½ Ø Ò Ó Ö Ñ × Ú Ò Ý
Ù
¼ ½
× ×
× Ù Ô
Ü
¾ ª
Ù ́ Ü µ
¾ ½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 22/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ì Ù × Ò Ô Ö Ò Ô Ð ¸ Ó Ö Ò Ý Ó Ù Ò Ó Ñ Ò ª ¸ Ù Ò Ø Ó Ò Ù
Ó × Ò Ó Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ä
Ô
´ ª µ
Ó Ò Ð Ý Ø × × Ò Ù Ð Ö Ø Ý ¸ Û Ó × Ô
¹ Ø Ô Ó Û Ö Ò Ò Ó Ø Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ø º
Ü Ñ Ô Ð ½ Ó Ò × Ö ª Ü
¾ Ê
Ü
½ º Ó Ö
¾ ¸ Ø Ù Ò Ø Ó Ò
Ù ́ Ü µ
Ð Ò ́ Ü
µ
× Ò Ä
¾
´ ª µ ¸ Ù Ø Ù ́ Ü
µ Ü
½
× Ò Ó Ø Ò Ä
¾
´ ª µ º Ù Ø Ó Ö
¿ ̧ Ù ́ Ü
µ Ü
½
Ó × Ð Ó Ò Ø Ó Ä
¾
´ ª µ º Ì Ù × Ø Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ð × Ó Ô Ò × Ó Ò Ø × Ô
Ñ Ò × Ó Ò Ó ª º
¬ Ò Ø Ó Ò ¾ Ò Ó Ø Ù
ª Ê
º Ì Ò Û ¬ Ò Ø × × Ù Ô Ô Ó Ö Ø × Ù Ô Ô ´ Ù µ
Ý
× Ù Ô Ô ´ Ù
µ Ü
¾ ª
Ù ́ Ü µ
¼
¬ Ò Ø Ó Ò ¿ Ï Ò Ó Ø Ý
½
¼
´ ª µ Ø × Ø Ó Ò ¬ Ò Ø Ð Ý ¹ Ø Ñ × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý « Ö Ò ¹
Ø Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ ª
Ø Ó Ê
Ó Ö Û × Ù Ô Ô ´ Ù µ
× Ó Ñ Ô Ø × Ù × Ø Ó ª º
Ü Ñ Ô Ð º Ï Ó Ò × Ö Ø
½
¼
́ Ê µ ¹ Ù Ò Ø Ó Ò
́ Ü µ
́
½
½ Ø
¾
Ø
½
¼
Ø
½
Á Ò Ê
Û Ó Ò × Ö Ø
½
¼
́ Ê
µ ¹ Ù Ò Ø Ó Ò
́ Ü µ
́
½
½ Ü
¾
Ü
½
¼
Ü
½
Ò Û Ó Ó ×
× Ù Ø Ø
Ê
́ Ü µ
Ü
Ü ½
́ Ü µ
Ü ½
Ó Û Û × Ö Ø Ú Ö Ò Ô Ö Ó Ù Ö Ý Ë Ó Ó Ð Ú Ó Ö × Ñ Ó Ó Ø Ò Ò Ä
Ô
¹ Ù Ò Ø Ó Ò × º
Ó Ö Ù
¾ Ä
Ô
´ ª µ Û ¬ Ò
Ù
́ Ü µ
Ê
Ù ́ Þ µ
Ü
Þ
Þ ´ ¾ º ¿ µ
Ó Ö Ú Ò Ü
¸ Ó Ò Ð Ý Ø Ú Ð Ù × Þ
Û Ø Þ
Ü
Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ø Ó Ø Ò Ø Ö Ð º Ì Ù ×
´ ¾ º ¿ µ Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ú Ö Ó Ù
Ó Ú Ö Ø Ü Þ
º Ó Û Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
Ì Ó Ö Ñ Ó Ð ×
Ì Ó Ö Ñ ½ Ä Ø Ù
¾ Ä
Ô
´ ª µ ́ ½
Ô ½ µ Ò Ð Ø Ù
Ü Ø Ò Ý Þ Ö Ó Ò Ê
ª º Ì Ò
Ó Ö ¼
Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ù
¬ Ò Ý ´ ¾ º ¿ µ
× Ò ¬ Ò Ø × Ñ Ð Ø Ñ × « Ö Ò Ø Ð º
Å Ó Ö Ó Ú Ö ¸ Ù
¾ Ä
Ô
´ ª µ Ò
Ð Ñ
¼
Ù
Ù
¼
Ì Ú Ö Ò Ô Ö Ó Ù Ö Ý Ë Ó Ó Ð Ú Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ñ × Ù Ö Ñ Ò Ø Ó Ô Ý × Ð
Õ Ù Ò Ø Ø Ý Ñ × Ù Ö Ñ Ò Ø Ú Ó Ö Ø Ö Ñ Ò Ò Ô Ý × Ð Õ Ù Ò Ø Ø Ý Ù
Ó × Ò Ó Ø
Ö Ø Ù Ö Ò Ô Ó Ò Ø Û × Ú Ð Ù Ø Ü
Ù Ø × Ô ¬ × Ñ Ô Ð Ò ´ Ú Ö µ Ú Ð Ù Ò Ø Ò ¹
Ó Ù Ö Ó Ó Ó Ü
º Ì × Ú Ö Ñ Ý Ö Ø Ö × Ý Ø × × Ñ Ô Ð Ò Ù Ò Ø Ó Ò
º Ì Ò
Ñ × Ù Ö Ñ Ò Ø Ñ Ý × Ö Ý
́ ¡
Ü µ Û Ö
¾ ¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 23/72
¾ º ¾ Ë Ó Ó Ð Ú × Ô × Ò Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
̄ Ê
Ê
×
½
¹ × Ñ Ó Ó Ø
̄ Û ¬ Ò
́ Ü µ Ò Ø × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ó
× Ö Ù ×
¸ Û Ò Ò Ø Ö ¹
Ô Ö Ø × Ø × Ñ Ô Ð Ò Ö Ù × Ó Ø Ñ × Ù Ö Ñ Ò Ø Ò × Ø Ö Ù Ñ Ò Ø º
̄ Ì × Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ø Ñ × Ù Ö Ñ Ò Ø Ú × Ô Ó × Ø Ó Ò Ò Ø Ü
Ó Ö Ö × Ô Ó Ò × Ø Ó
Ó Ò × Ö Ò ́
¡ Ü
µ Ò Ø Ö Ó Ö × Ù Ô Ô ´ µ
Þ
Ü
Þ
Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ü Ñ Ô Ð ×
´ ́ Ü
Þ µ
µ Û Ø × Ñ Ô Ð Ò Ö Ù × º
Ö Ó Ñ Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ô Ý × Ð Ñ × Ù Ö Ñ Ò Ø ¸ Û × Ý Ø Ø Ù
Ò Ú
Ò Ò Ó Ø × Ø Ò Ù ×
Ù
Ú
¾
½
¼
́ Ê
µ
Û Ø
Ù
Ê
Ù ́ Ü µ ́ Ü µ
Ü
Ï Ø Ò × Ý Ø Ø Ù
Ò Ú
Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ò Û ¹ × Ò × Ó Ö Ò Ø Ö Ð ¹ × Ò × º
Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò Ø Ù Ö Ð Ñ × Ù Ö Ó Ö Ø « Ö Ò Ù
Ú
× Ø Ò Ø Ä
¾
¹ Ò Ó Ö Ñ
Ù
Ú
¼ ª
ª
Ù ́ Ü µ
Ú ́ Ü µ
¾
Ü
Ì Ò Ø Ó Ò Ô Ø Ó Û Ö Ú Ø Ú Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ñ Ó Ø Ú Ø Ý Ø Ö Ù Ð Ó Ô Ö Ø Ð
Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ý × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ù
¾
½
´ ª µ ¸ Ø Ö Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø ×
Ó Ñ ×
ª
Ù
«
Ü ́ ½ µ
«
ª
́
«
Ù µ Ü
¾
½
¼
´ ª µ ´ ¾ º µ
×
Ò
«
Ú Ò × Ó Ò
ª ×
¾
½
´ ª µ º Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¾ º µ Ñ × × Ò × Ð × Ó Ó Ö Ö Ó Ù
Ù Ò Ø Ó Ò × ¸ Û Ð × Ø Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò
¬ Ò Ø Ó Ò Ò Ó Ø ª
Ó Ñ Ò ¸ Ò Ò Ó Ø «
́ «
½
«
µ ¾
Æ
Ñ Ù Ð Ø ¹ Ò Ü
Û Ø «
È
½
«
º Ù Ò Ø Ó Ò Ú
¾ Ä
½
Ð Ó
´ ª µ × Ð Ð Û Ö Ú Ø Ú Ó Ù
¾ Ä
½
Ð Ó
´ ª µ
ª
Ù
«
Ü ́ ½ µ
«
ª
Ú Ü
¾
½
¼
´ ª µ
Ï Ø Ò Ð Ð Ú
Ø «
Ø ¹ Û Ö Ú Ø Ú Ó Ù
Ò Û Ö Ø
«
Ú º
Ó Ø Ø Ø Ä
½
Ð Ó
´ ª µ × Ù × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ð × Ó Ó Ö Ù Ò Ó Ù Ò Ó Ñ Ò × ª º
Ó Û Û Ö Ò Ô Ó × Ø Ó Ò Ø Ó ¬ Ò Ø Ë Ó Ó Ð Ú × Ô À
Ñ
´ ª µ Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Û Ö
Ñ ¹ Ø Ñ × « Ö Ò Ø Ð Ò Ø Û × Ò × º
¬ Ò Ø Ó Ò Ï ¬ Ò Ø Ë Ó Ó Ð Ú × Ô À
Ñ Ô
´ ª µ Ý
À
Ñ Ô
´ ª µ Ú
¾ Ä
¾
´ ª µ
«
Ù ¾
Ä
Ô
´ ª µ ¼ «
Ò
¾ ¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 24/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ó Ö ½
Ô ½ Ø Ò Ó Ö Ñ Ó Ò À
Ñ Ô
´ ª µ × Ú Ò Ý
Ù
Ñ Ô
¼
¼ « Ñ
«
Ù
Ô
¼ Ô
½
½
Ô
Ó Ö Ô
½ Ø Ò Ó Ö Ñ Ó Ò À
Ñ ½
´ ª µ × Ú Ò Ý
Ù
Ñ Ô
Ñ Ü
¼ « Ñ
«
Ù
¼ ½
Ê Ñ Ö ̄ Ì Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ¸ Ô Û × × Ñ Ó Ó Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ò Ø Ó À
½
´ ª µ
̄ Ì Ó Ò Ô Ø Ó Ä
Ô
¹ Ù Ò Ø Ó Ò × Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ó Ò × Ö Ð × Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Û Ø × Ò Ù Ð Ö Ø × ¸
Û Ö Ò Ø Ð Ý Ò Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ö Ø Ò Û Ý º Ó Ö Ù ́ Ü
µ Ð Ò ´ Ü
µ
Û Ú
Ö Ù ́ Ü
µ Ü
¾
Ü º Ì Ö Ó Ö Ó Ö
¾
̧ Ù Ó × Ò Ó Ø Ð Ó Ò Ø Ó
À
½
´ ª µ ¸ Ù Ø
Ù ¾
À
½
´ ª µ Ó Ö
¿ º
Ò Ü Ñ Ô Ð Ó À
½
¹ Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö
¾ ¿
×
Ù ́ Ü µ Ð Ò ´ Ð Ò ´
Ü
½
µ · ½ µ
Ö Ù ́ Ü
µ
½
Ð Ò ́ Ü
½
µ · ½
Ü
Ü
¾
Ì Ó Ñ Ò Ø Ó Ö Ò Ø ¬ Ö × Ø Ø Ö Ñ Ó × Ú Ö Ý × Ð Ó Û Ð Ý Ø Ó ½ × Ü
¼
Ò Û Ý Ø Ø
Ø × Ò Ù Ð Ö Ø Ý Ó
Ö Ù
Ø Ü
¼ Ó Ñ × Ò Ø Ö Ð º
̄ À Ò Û × Ø Ø Ù Ò Ø Ó Ò × Ò À
½
´ ª µ Ö Ò Ó Ø Ò × × Ö Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º Ó Ö
¾
¿ ¸ Û Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ú
À
¾
´ ª µ ¹ Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × ´ Ê Ð ¹
Ð Ñ Ò Ø Ó Ö Ñ µ º
̄ Å Ó Ö Ú Ò Ø Ó Ø × Ô À
Ñ Ô
´ ª µ × Ø Ø Ø × Ó Ñ Ô Ð Ø Ï Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø
Ä
Ô
¹ Ò Ó Ö Ñ Ú Ö Ý Ù Ý × Õ Ù Ò Ó Ð Ñ Ò Ø × Ò À
Ñ Ô
´ ª µ Ó Ò Ú Ö × Ø Ó Ò Ð Ñ Ò Ø
Ò À
Ñ Ô
´ ª µ º Ì Ú Ö Ò Ô Ö Ó Ù Ö Ý Ë Ó Ó Ð Ú Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø Ø Ø
½
´ ª µ ×
Ò × Ò À
Ñ Ô
´ ª µ ´ Ó Ö
¼ ¼
× Ñ Ó Ó Ø Ó Ñ Ò ª
µ º
̄ Ò Ó Ø ª
Ó Ù Ò Ä Ô × Ø Þ Ó Ñ Ò Ò Ò Ó Ø
Ñ ½
´ ª µ Ø × Ø Ó Ä Ô × Ø Þ ¹
Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò × º Ì Ò
Ñ ½
´ ª µ À
Ñ · ½ ½
´ ª µ
Ó Ö Ô
¾ Û Ò ¬ Ò × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò À
Ñ ¾
´ ª µ
́ Ù Ú
µ
À
Ñ ¾
´ ª µ
¼ « Ñ
ª
«
Ù
«
Ú Ü
Ò À
Ñ ¾
´ ª µ Ó Ñ × À Ð Ö Ø ¹ × Ô º
Ò Ð Ð Ý Û Ú Ø Ó Ø Ö Ö Ö Ò Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ë Ó Ó Ð Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ò
À
Ñ ¾
´ ª µ º Ó Ö Ñ
¾ Ù Ò Ø Ó Ò × Ò À
Ñ ¾
´ ª µ Ö × Ñ Ó Ó Ø ´ Ó Ö
¾
¿ µ Ò Ú Ð Ù × Ó Ò
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 25/72
¾ º ¾ Ë Ó Ó Ð Ú × Ô × Ò Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
ª Ö Û Ð Ð ¹ ¬ Ò º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ò Ó Ø Ñ × Ò × Ó Ö
Ä
¾
¹ Ù Ò Ø Ó Ò × º Ì Õ Ù × Ø Ó Ò × Ñ Ò Ò Ù Ð Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ò ¬ Ò Ó Ö
À
½
´ ª µ Ù Ò Ø Ó Ò × º ×
½
´ ª µ × Ò × Ò À
½
´ ª µ ¸ Ø × Ò Ó Ñ Ô Ð × × × Ó Û Ò Ò
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º
Ì Ó Ö Ñ ¾ Ò Ó Ø ª
Ê
Ó Ù Ò Ä Ô × Ø Þ Ó Ñ Ò º Ì Ò Ø × Ó ¹ Ð Ð Ø Ö ¹
Ó Ô Ö Ø Ó Ö
- Ù
Ù
Ù ¾
½
´ ª µ
× Ù Ò Õ Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ü Ø Ò × Ó Ò Ö Ó Ñ
½
´ ª µ Ó Ò Ø Ó À
½ ¾
´ ª µ × Ù Ø Ø
- Ù
½ ¾ ¾
Ù
½ ¾ ª
Ù ¾ À
½ ¾
´ ª µ
Û Ö
× Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ù
º Å Ó Ö Ó Ú Ö ¸ Ø Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ö × × Ù Ö Ø Ú ¸
º º ¸ Ó Ö Ù
¾ À
½ ¾ ¾
´ µ Ø Ö Ü × Ø × Ù
¾ À
½ ¾
´ ª µ × Ù Ø Ø - Ù Ù
Ò
Ù
½ ¾ ª
Ù
½ ¾ ¾
Ù ¾ À
½ ¾
´ ª µ
Û Ö
× Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ù º
Ï × Ø À
½ ¾ ¾
´ µ - À
½
´ ª µ º
Ê Ñ Ö Á Ò × Ó Ñ ¬ Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ö
½
´ ª µ × Ù × Ò × Ø Ó
½
´ ª µ
È Ö Ó Ó Ö × Ø Û Ó Ò × Ö Ø × Ô Ð × ª ´ ¼
½ µ
¾
º Ú Ò Ú
¾
½
´ ª µ ¸ Ó Ö Ø Û Ó
Ô Ó Ò Ø × ´ ¼ Ý µ Ò ´ Ü Ý µ Û Ú
Ú ́ Ü Ý
µ
Ú ´ ¼ Ý µ
Ü
¼
Ú
́ Ü Ý µ
Û Ò Ö Ö Ö Ò ×
Ú ´ ¼ Ý µ
Ü
¼
Ú
́ Ü Ý µ
· Ú ́ Ü Ý
µ
Ì Ö Ó Ö Û Ú
Ú
´ ¼ Ý µ
¾
Ü
¼
Ú
́ Ý
µ
·
Ú ́ Ü Ý
µ
¾
½
¼
Ú
́ Ý
µ
·
Ú ́ Ü Ý
µ
¾
¾
½
¼
Ú
́ Ý
µ
¾
·
Ú ́ Ü Ý
µ
¾
Û Ö Û Ù × Ø Ò Õ Ù Ð Ø Ý ´ · µ
¾
¾
¾
· ¾
¾
Ò Ø Ð × Ø × Ø Ô º Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò ¬ Ö × Ø
Ó Ú Ö Ý Ö Ó Ñ ¼ Ø Ó ½ Ò Ø Ò Ó Ú Ö
Ü Ö Ó Ñ ¼ Ø Ó ½ Ú ×
½
¼
Ú
´ ¼ Ý µ
Ý
¾
½
¼
½
¼
Ú
́ Ý
µ
¾
Ý · ¾
½
¼
½
¼
Ú ́
Ü Ý µ
¾
Ý Ü
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 26/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ì Ð Ø Ò × Ò Ø Ö Ð × Ø Ä
¾
¹ Ò Ó Ö Ñ Ó Ú
Ð Ó Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý × Ñ Ò Ø ¼
¢ ´ ¼
½ µ
Ò Ø Ö Ø Ò × Ø Ö Ñ Ò Ó Ù Ò Ö Ó Ñ Ó Ú Ý Ø Ù Ð Ð À
½
¹ Ò Ó Ö Ñ Ó Ú º
È Ù Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ð Ð Ó Ù Ö Ó Ù Ò Ö Ý × Ñ Ò Ø × Û Ø
Ú
¾
Ä
¾
́ ª µ
Ú
¾
À
½
´ ª µ
Ì × Ö Ù Ñ Ò Ø Ø Ó Ò Ò Ñ Ó ¬ Ø Ó Û Ó Ö Ð × Ó Ó Ö Ô Ó Ð Ý Ó Ò Ð Ð Ý Ó Ù Ò Ó Ñ Ò × º
Ó Ö Ù Ö Ú Ð Ò Ö Ó Ù Ò Ö × ¸ Û Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ó Ð Ð Ý Ø Ó Ö Ø × Ò Ó Ó Ö ¹
Ò Ø × º
Í × Ò Ø Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ø Ý ¸ Ú Ò Ú
¾ À
½
´ ª µ Û Ò ¬ Ò Ø × Ø Ö - Ú Ú
×
Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ä
¾
́ ª µ º Ú Ò
Ú ¾
À
½
´ ª µ Û Ó Ò × Ö × Õ Ù Ò ´ Ú
µ
½
´ ª µ Û Ø
Ú
Ú
À
½
´ ª µ
¼ × Ò
½ º Ì Ò Ø Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ø Ý Ñ Ô Ð × Ø Ø
Ú
Ú
Ð
Ä
¾
´ ª µ
´ ª µ Ú
Ú
Ð
À
½
´ ª µ
Ð ¾ Æ
× Ø Ö Ø Ò × Ó × Ø Ó Þ Ö Ó Ó Ö ̧ Ð
½ ¸ Ø Ø Ö × ´ Ú
ª
µ Ó Ò
ª × Ù Ý
× Õ Ù Ò Ò Ø Ä × Ù ¹ × Ô Ä
¾
́ ª µ º Ì Ð Ñ Ø Ù Ò Ø Ó Ò
Ú
ª
× Ø Ò ¬ Ò ×
Ø Ö - Ú Ó
Ú ¾
À
½
´ ª µ º ¾
Ò Ð Ð Ý Û Ú Ø Ó Ò Ô Ø Ó × Ó ¹ Ð Ð × Ø Ö Ó Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ð Ð Ô Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ð Ù
Ô Ö Ó Ð Ñ ´ ¾ º ½ µ ¹ ´ ¾ º ¾ µ
Ö ¡ ́
Ö Ù
µ ·
¡
Ö Ù ·
Ù
Ò ª
Ù Ó Ò
Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × Û Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Ú Ø Ú × Ò Ø Û × Ò × Ò Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò ×
Ö Ø Ö Ø Ò Ø × Ò × Ó Ø Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ö
¬ Ò Ø Ó Ò Ï Ó Ò × Ö Ø Ð Ð Ô Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ð Ù Ô Ö Ó Ð Ñ ´ ¾ º ½ µ ¹
´ ¾ º ¾ µ º Ï × × Ù Ñ
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ø Ø
̄ ̧
¾ À
½ ½
´ ª µ ̧
¾ Ä
½
´ ª µ
̄
¾ Ä
¾
´ ª µ
̄
¾ À
½ ¾ ¾
´ µ
Ì Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ù
¾ À
¾
´ ª µ × Ð Ð × Ø Ö Ó Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó ´ ¾ º ½ µ ¹ ´ ¾ º ¾ µ
¸ Ù
× Ø × ¬ × ´ ¾ º ½ µ
Ò Ä
¾
´ ª µ ¹ × Ò × ¸ Ò - Ù × Ø × ¬ × ´ ¾ º ¾ µ Ò Ä
¾
´ µ ¹ × Ò × º
¾ º ¿ Î Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ð Ð Ô Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Ï × × Ù Ñ Ø Ø Ó Ò Ó Ò Ô Ö Ø Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý
ª Ö Ð Ø Ø Ö Ñ Ô Ó × Ò
Ó Ò Ø Ó Ø Ö
Æ
ª ¸
Æ
¸
Æ
Ù Ñ Ò Ò Ø Ö Ô Ö × Ö º
Ö ¡ ́
Ö Ù
µ ·
¡
Ö Ù ·
Ù
Ò ª ´ ¾ º µ
Ù ¼ Ó Ò
´ ¾ º µ
Ö Ù
¡ Ò
Ó Ò
Æ
´ ¾ º µ
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 27/72
¾ º ¿ Î Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ð Ð Ô Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Ö × Ø Û × × Ù Ñ Ø Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ó ´ ¾ º µ ¹ ´ ¾ º µ Ð Ó Ò × Ø Ó
½
´ ª µ º Ì Ò Õ Ù Ø Ó Ò
´ ¾ º µ Ó Ð × Ô Ó Ò Ø Û × Ó Ö Ü
¾ ª º Ï Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý ´ ¾ º µ Û Ø × Ó ¹ Ð Ð Ø × Ø Ù Ò Ø Ó Ò
Ú ¾
½
´ ª µ Û Ø Ú
¼ Ó Ò
Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ú Ö Ø Ó Ñ Ò ª
ª
Ö ¡ ́
Ö Ù µ Ú Ü ·
ª
¡
Ö Ù Ú Ü ·
ª
Ù Ú Ü
ª
Ú Ü ´ ¾ º µ
Ï Ô Ô Ð Ý Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø × Ø Ó Ø Ä Ô Ð Ò Ø Ö Ñ ¸ º º
ª
Ö ¡ ́
Ö µ Ü
ª
Ö
¡
Ö Ü
ª
Ö ¡ Ò
Ì Ò ´ ¾ º µ Ó Ñ ×
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü
ª
Ö Ù Ú ¡ Ò ·
ª
¡
Ö Ù Ú Ü ·
ª
Ù Ú Ü
ª
Ú Ü
Ó Û Û Ó Ò × Ö Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ò Ø Ö Ð Ö × Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø ×
ª
Ö Ù Ú ¡ Ò
Ö Ù Ú
ß Þ
¼
¡ Ò ·
Æ
Ö Ù
¡ Ò
ß Þ
Ú
ª
Ú
Ì × Ó Ù Ò Ö Ý Ò Ø Ö Ð Ó × Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ò Ø Ù Ò Ò Ó Û Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ò × Ø Ö Ó Ö
Ø Ö Ø × Ö Ø Ò × Ø Ö Ñ º Ì Ò Û Ó Ø Ò
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
ª
¡
Ö Ù Ú Ü ·
ª
Ù Ú Ü
ª
Ú Ü ·
ª
Ú
Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø × × Ù Ñ Ø Ø
Æ
¸ º º ¸ Û Ó Ò × Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ø
Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ö Ð Ø Ø
Ö ¡ ́
Ö Ù
µ ·
¡
Ö Ù ·
Ù
Ò ª ´ ¾ º µ
Ù ¼ Ó Ò
´ ¾ º ½ ¼ µ
Û Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
ª
¡
Ö Ù ·
Ù
Ú Ü
ª
Ú Ü
´ ¾ º ½ ½ µ
Ó Û Ø Ñ × Ø Ó Ö Ð Ü Ø Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ø Ø × Ø ¹ Ò Ò × Ø Þ Ù Ò Ø Ó Ò ×
´ ½ µ Á Ù
¾
½
¼
´ ª µ × Ø × ¬ × Õ Ù Ø Ó Ò ´ ¾ º ½ ½ µ Ó Ð × Ó Ö Ð Ð Ú
¾
½
¼
´ ª µ Ø Ò Ø Û Ð Ð Ð × Ó
Ó Ð Ó Ö Ú
¾ À
½
¼
´ ª µ ¸ ×
½
¼
´ ª µ × Ò × × Ù × Ô Ó À
½
¼
´ ª µ º
´ ¾ µ Ï Ò Ø Ò Ð Ð Ó Û Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ø Ó Ð Ó Ò Ø Ó À
½
¼
´ ª µ ¸ ×
½
¼
´ ª µ × Ò ×
× Ù × Ô Ó À
½
¼
´ ª µ º
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 28/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ì Ò Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ ´ Ó Ö Û Ó Ö Ñ µ Ó Ö Ø Ð Ð Ô Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ð Ù Ô Ö Ó Ð Ñ
´ ¾ º µ ¹ ´ ¾ º ½ ¼ µ Ö ×
Ò Ù
¾ À
½
¼
´ ª µ × Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ ́ Ú µ
Ú
¾ À
½
¼
´ ª µ ´ ¾ º ½ ¾ µ
Û Ø
́ Ù Ú µ
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
ª
¡
Ö Ù Ú Ü ·
ª
Ù Ú Ü
´ ¾ º ½ ¿ µ
́ Ú µ
ª
Ú Ü
´ ¾ º ½ µ
Ì Ø Ó Ö Ý Ó Ö Ü × Ø Ò Ò Ù Ò Õ Ù Ò × × Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó ´ ¾ º ½ ¾ µ × × Ó Ò Ø Ö Ñ ¹
Û Ó Ö Ó Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ò Ð Ý × × º
Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ù Ð × Ô Î
£
Ó Ò Ó Ö Ñ × Ô Î
¬ Ò Ø Ó Ò Ì Ù Ð × Ô Î
£
Ó × Ô Î
Û Ø Ò Ó Ö Ñ ¡
Î
× ¬ Ò Ý
Î
£
Î
Ê
× Ð Ò Ö Ò Ó Ù Ò
Û Ø Ò Ó Ö Ñ
£
Î
£
× Ù Ô
Ú ¾ Î Ú
Î
½
£
́ Ú µ
Ê Ñ Ö Ì Ù Ð × Ô Ó À
½
´ ª µ × Ò Ó Ø Ý À
½
´ ª µ º Ù Ò Ø Ó Ò
¾ Ä
¾
´ ª µ
Ò × × Ó Ø Ó Ò ¹ Ø Ó ¹ Ó Ò Û Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð
́ ¡ µ
À
½
´ ª µ Ê
Ù
ª
Ù
Ü
Ü × Ø Ò Ò Ù Ò Õ Ù Ò × × Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ó Ð Ð Ô Ø Ó Ù Ò Ö Ý
Ú Ð Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ö Ò × Ù Ö Ý Ø Ñ Ó Ù × Ä Ü ¹ Å Ð Ö Ñ Ä Ñ Ñ º
Ì Ó Ö Ñ ¿ ´ Ä Ü ¹ Å Ð Ö Ñ µ Ò Ó Ø Î
Ö Ð À Ð Ö Ø ¹ × Ô Ò ́
Ù Ú µ Î
¢ Î
Ê
Ð Ò Ö Ó Ö Ñ Û Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×
¯ ́
¡
¡ µ
× Ó Ù Ò ¸ º º ¸
¼
× Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ
Ù
Î
Ú
Î
Ù Ú ¾ Î
´ ¾ º ½ µ
¯ ́
¡
¡ µ
× × Ø Ö Ø Ð Ý Ó Ö Ú ¸ º º ¸
- ¼
× Ù Ø Ø ́
Ù Ù µ
-
Ù
¾
Î
Ù
¾ Î
´ ¾ º ½ µ
Ì Ò Ó Ö Ð Ò Ö Ó Ö Ñ
£
Î
Ê Û × Ó Ù Ò Û Ø
£
Î
£
× Ù Ô
Ú ¾ Î Ú
Î
½
£
́ Ú µ
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 29/72
¾ º ¿ Î Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ð Ð Ô Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Ø Ö Ü × Ø × Ù Ò Õ Ù Ð Ý Ø Ö Ñ Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ó Ø Ô Ö Ó Ð Ñ
Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ
£
́ Ú µ
Ú ¾
Î ´ ¾ º ½ µ
Å Ó Ö Ó Ú Ö Û Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò ¹ Ô Ö Ó Ö × Ø Ñ Ø ´ Ó Ö × Ø Ð Ø Ý × Ø Ñ Ø µ
Ù
Î
½
-
£
Î
£
´ ¾ º ½ µ
Ë Ó Ñ Ó Ñ Ñ Ò Ø × Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ó
̄ Ö × Ø Û Ú Ø Ó × Ó Û Ø Ø ́
¡ Ú µ × Ò Ø Ú ¸ º º
́
Ù Ú µ ¼ Ú
¾ Î
Ñ Ô Ð × Ù
¼ ´ ¾ º ½ µ
Ì × Ó Ð Ð Ó Û × Ñ Ñ Ø Ð Ý Ö Ó Ñ Ø × Ø Ö Ø Ó Ö Ú Ø Ý Ó ×
¼ ́
Ù Ù µ
-
Ù
¾
Î
µ Ù
¼ ´ ¾ º ¾ ¼ µ
̄ Ë Ó Ò Ð Ý Û Ú Ø Ó × Ó Û Ø Ø ́
¡ Ú µ × × Ù Ö Ø Ú ¸ º º ¸ Û Ú Ø Ó × Ó Û Ø Ø Ó Ö
¾
Î
£
Ø Ö Ü × Ø × Ø Ð × Ø Ó Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ
£
́ Ú µ
Ú ¾
Î º
Á Ò ¬ Ö × Ø × Ø Ô Û × Ó Û Ø Ø Ø × Ø
Ê Ò ´ µ
́ Î µ
¾ Î
£
Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ
£
́ Ú µ
Ú ¾
Î
× Ð Ó × º Ä Ø
£
Ò Ð Ñ Ò Ø Ò ́ Î
µ Ò Ð Ø ´
£
Ò
µ × Õ Ù Ò Ò ́ Î
µ Û Ø
£
Ò
£
´ × Ò
½ µ º Ó Ò × Ö Ù
Ò
Ò Ù
Ñ
Ò Î
Û Ø
́ Ù
Ò
Ú µ
£
Ò
́ Ú µ
Ú ¾
Î ´ ¾ º ¾ ½ µ
́ Ù
Ñ
Ú µ
£
Ñ
́ Ú µ
Ú ¾
Î ´ ¾ º ¾ ¾ µ
Ì Ò
Ò
Ñ
Î
£
Ù
Ò
Ù
Ñ
Î
́ Ù
Ò
Ù
Ñ
Ù
Ò
Ù
Ñ
µ
-
Ù
Ò
Ù
Ñ
¾
Î
Ì Ö Ó Ö ´ Ù
Ò
µ × Ù Ý × Õ Ù Ò Ò Î
Ò Ó Ò Ú Ö × ¸ × Î
× À Ð Ö Ø × Ô
Ù
Ò
Ù ́ Ò
½ µ Û Ø × Ó Ñ Ù
¾ Î
º Ì Ò × × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù ×
́
Ù Ú µ ´ Ð Ñ
Ò ½
Ù
Ò
Ú µ Ð Ñ
Ò ½
́ Ù
Ò
Ú µ Ð Ñ
Ò ½
£
Ò
́ Ú µ
£
́ Ú µ
Ú ¾
Î
Ì ¬ Ò Ð × Ø Ô × Ø Ó × Ó Û Ø Ø Ê Ò ´ µ Î
£
¸ º º ¸ × × Ù Ö Ø Ú º Î
£
× Ð × Ó
À Ð Ö Ø × Ô ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ø × Ó Ñ Ô Ð Ø º Ï Ú × Ó Û Ò Ø Ø ́ Î
µ × Ð Ó × º
× Ð Ó × × Ù × Ø Ó Ó Ñ Ô Ð Ø × Ù × Ø × Ó Ñ Ô Ð Ø ¸ Û Ú Ø Ø ́ Î
µ ×
Ð × Ó Ó Ñ Ô Ð Ø º Ì Ö Ù Ñ Ò Ø × Ò Ó Û Ø Ó Ó Ò × Ö Ø Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö Ö Ó Ñ
Î
£
Ø Ó ́ Î
µ º ¾
Ì Ò Ü × Ø Ò Ò Ù Ò Õ Ù Ò × × Ó Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ð Ô Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ð Ù Ô Ö Ó ¹
Ð Ñ ´ ¾ º µ ¹ ´ ¾ º ½ ¼ µ Ò Ô Ö Ó Ú Ò Ý Ú Ö Ø Ù Ó Ì Ó Ö Ñ ¿ º
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 30/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
Ì Ó Ö Ñ × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ó Ñ Ò ª
Ê
× Ä Ô × Ø Þ ¹ Ó Ù Ò º Å Ó Ö Ó Ú Ö × × Ù Ñ
Ø Ø Ø Ø ̧
́
½
µ ̧ ̧ Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ù Ð Ö Ø Ý
̄ ̧
̧ ¾
Ä
½
´ ª µ ́
½
µ ̧
Ø Ó Ò Ð Ð Ý × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ð × Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ó Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ð ×
̄
Ö ¡
¾
Ä
½
´ ª µ Ò
½
¾
Ö ¡
¼ Ó Ö
̄ Ø Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ù
¾ À
½
¼
´ ª µ Û Ø ́
Ù Ú µ ¼ Ó Ö Ú
¾ À
½
¼
´ ª µ
× Ø Ù Ò Õ Ù × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
¼ º
Ì Ò Ó Ö
¾ À
½
´ ª µ Ø Ö Ü × Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
¾ À
½
¼
´ ª µ Ó ´ ¾ º µ ¹
´ ¾ º ½ ¼ µ ¸ Û ×
Ù Ò Õ Ù Ð Ý Ø Ö Ñ Ò º
È Ö Ó Ó Ö × Ø Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ä
¾
¹ × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø
́ Ù Ú µ
ª
Ù Ú
Ü ´ ́
Ö Ù
Ö Ú
µ µ
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü
Ò Û Ö Ø
́ Ù Ú µ ´ ´
Ö Ù
Ö Ú
µ µ · ´
¡
Ö Ù · Ù Ú µ
£
́ Ú µ ́ Ú
µ
Ì Ò Û Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ñ Ø × ¸ Û × Ó Û Ø Ø ́
¡
¡ µ Ò ́
¡ µ Ö Ó Ù Ò
́
Ù Ú µ
´ ́
Ö Ù
Ö Ú
µ µ ·
́
¡
Ö Ù · Ù Ú µ
Ù
À
½
Ú
À
½
· ́
Ä
½
·
½
µ
Ù
À
½
Ú
À
½
¿ Ñ Ü
Ä
½
Ä
½
Ä
½
Ù
À
½
Ú
À
½
£
́ Ú µ
Ä
¾
Ú
Ä
¾
À
½
Ú
À
½
Ë Ó Ò Ð Ý Û Ú Ø Ó × Ó Û Ø Ø ́
¡
¡ µ × × Ø Ö Ø Ð Ý Ó Ö Ú Ó Ø Ø Ø Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ù × Ù Ð
Ö Ð Ø Ó Ò Ó Ð ×
ª
¡
Ö Ù Ù Ü
ª
Ö ¡ ́
Ù µ Ù Ü ·
ª
Ù
¾
¡
Ò
ß Þ
¼
ª
́
Ö ¡
µ Ù Ù
Ü
ª
¡
́
Ö Ù µ Ù Ü
Ö Ó Ñ Û Û Ò Ö
¾
ª
¡
Ö Ù Ù Ü
ª
́
Ö ¡
µ Ù
¾
Ü
Ì Ò Û Ò Ó Ø Ò
́ Ù Ù µ ´ ´
Ö Ù
Ö Ù
µ µ · ´
¡
Ö Ù Ù µ · ́ Ù Ù µ
´ ́
Ö Ù
Ö Ù
µ µ · ´ ´
½
¾
Ö ¡
µ Ù Ù
µ
¿ ¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 31/72
¾ º ¿ Î Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ð Ð Ô Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Ê Ð Ð Ø Ø Ó Ö Ò Ó Ñ Ô Ö × × Ð - Ù - Ó Û ×
Ö ¡
¼ º × × Ù Ñ Ø Ø
¼
¼ × Ù Ø Ø
¼
º º Ò ª º Å Ó Ö Ó Ú Ö × × Ù Ñ Ø Ø
¼
¼ × Ù Ø Ø
¼
º º Ò ª º Ì Ò
́ Ù Ù
µ
¼
Ä
½
Ö Ù
¾
Ä
¾
·
¼
Ä
½
Ù
¾
Ä
¾
Ñ Ò
¼
Ä
½
¼
Ä
½
Ù
¾
À
½
¾
Ê Ñ Ö Á Ò Ø Ò Ö Ð × ´ ¾ º µ ¹
´ ¾ º µ Û Ö
Æ
× Ò Ó Ò ¹ Ñ Ô Ø Ý ¸ Û × Ø
Î
Ú ¾
À
½
´ ª µ Ú
¼ Ó Ò
Ì Ò Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ó ´ ¾ º µ ¹ ´ ¾ º µ
Ö ×
Ò Ù
¾ À
½
¼
´ ª µ × Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ ́ Ú µ
Ú
¾ Î
Û Ö
́ Ù Ú µ
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
ª
¡
Ö Ù Ú Ü ·
ª
Ù Ú Ü
́ Ú µ
ª
Ú Ü ·
ª
Ú
Ò Ð Ð Ý Û × Ù Ñ Ñ Ö Þ × Ó Ñ Ö × Ù Ð Ø × Ó Ò Ø Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò º À Ö Û Ó Ò Ð Ý
Ó Ò × Ö Ø × Ó Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ö Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × º
Ì Ó Ö Ñ Ò Ó Ø ª
Ó Ù Ò
½ ½
¹ Ó Ñ Ò Ò × × Ù Ñ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó
Ø Ø
̄
¾ À
½ ½
´ ª µ
̄
̧ ¾
Ä
½
´ ª µ ¸ Ò
Ö ¡
¾
Ä
½
´ ª µ
Å Ó Ö Ó Ú Ö × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ù
× Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ ¼ Ó Ö Ð Ð
Ú ¾
À
½
¼
´ ª µ × Ø Ù Ò Õ Ù × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
¼ º
Ì Ò Ó Ö Ò Ý
¾ Ä
¾
´ ª µ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
× À
¾
¹ Ö Ù Ð Ö º
Å Ó Ö Ó Ú Ö Û Ú Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö × Ù Ð Ø ×
̄ Á Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ó ª ¸ À
¾
Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ò Ó Ø Ò Ú Ò Ó Ö Ò Ó Ò ¹
× Ñ Ó Ó Ø Ó Ñ Ò × º º Ù
¾ À
¾
´ ª
¼
µ Ó Ö Ò Ý Ó Ñ Ô Ø × Ø ª
¼
ª º
̄ Ì × Ø Ø Ñ Ò Ø Ó Ø Ø Ó Ö Ñ Ò × Ø Ó Ö
½ Á ª ×
½
¹ Ó Ñ Ò ¸
Ò
¾ À
½
´ ª µ ¸
̧ ¾
À
½ ½
´ ª µ ¸ Ò
Ö ¡
¾
À
½ ½
´ ª µ ¸ Ø Ò Ó Ö Ò Ý
Ú Ò ¾
À
½
´ ª µ ¸ Û Ú Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ù
¾ À
´ ª µ º
Ì Ö Ù Ð Ö Ø Ý × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò ª
¾
½ ½
× Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ö × Ø Ö Ø Ú Ó Ö Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ô Ö Ø Ð
Ö Ð Ú Ò À Ó Û Ú Ö ¸ À
¾
¹ Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ò Ó Ø Ò Ú Ò Ó Ö Ó Ò Ú Ü Ó Ñ Ò × º
Ì Ó Ö Ñ Ò Ó Ø ª
Ó Ù Ò Ò Ó Ò Ú Ü Ó Ñ Ò º Ì Ò Ù Ò Ö Ø × × Ù Ñ Ø Ó Ò × Ó
Ì Ó Ö Ñ ¸ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
× Ò À
¾
´ ª µ º
Ó Ö Ò Ó Ò ¹ Ó Ò Ú Ü Ä Ô × Ø Þ ¹ Ó Ñ Ò × Ø × × Ø Ø Ñ Ò Ø × Û Ö Ó Ò º Ù Ø Ø Ò Ø × × Ø Ð Ð Ô Ó × × Ð
Ø Ó Ø Ù
¾ À
½ · ×
´ ª µ Û Ø ×
¾ ¼
½
¾
℄
¾
¼ Ø
´ ª µ × À Ó Ð Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × º
¿ ½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 32/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
¾ º Ð Ö Ò Ñ Ø Ó
Ì Ð Ö Ò Ñ Ø Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ñ Ø Ó Ó Ö × Ó Ð Ú Ò Ø Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ú Ò
Ó Ù Ò Ò × Ø Ö Ø Ð Ý Ó Ö Ú Ð Ò Ö Ó Ö Ñ ́ ¡ ¡
µ Ò Ð Ò Ö Ó Ö Ñ
£
¾ Î
£
Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø ́
Ù Ú µ
£
́ Ú µ
Ú ¾
Î ´ ¾ º ¾ ¿ µ
Û Ö Î
× Ò Ò ¬ Ò Ø ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð À Ð Ö Ø × Ô º
¬ Ò Ø Ó Ò Ò Ó Ø Î
Î
¬ Ò Ø ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù × Ô Ó Ø À Ð Ö Ø × Ô Î º
Ì Ò Ø Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ó Ö ´ ¾ º ¾ ¿ µ Ö ×
Ú Ò Ó Ù Ò Ò × Ø Ö Ø Ð Ý Ó Ö Ú Ð Ò Ö Ó Ö Ñ ́
¡
¡ µ
Ò Ð Ò Ö Ó Ö Ñ
£
¾ Î
£
̧
Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø ́ Ù
Ú µ
£
́ Ú µ
Ú ¾
Î
´ ¾ º ¾ µ
Ê Ñ Ö Ö Ó Ñ Ø Ø Ø Ø Ø Ð Ö Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
× Ø × Ý
́ Ù
Ú µ ́
Ù Ú µ
£
́ Ú µ
Ú ¾
Î
Û Ø Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ý Ö Ð Ø Ó Ò
́ Ù
Ù Ú µ ¼ Ú
¾ Î
Û Ñ Ò × Ø Ø Ø Ö Ö Ó Ö
Ò
Ù
Ù
× Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ó Ò Ø Ò × Ø Þ × Ô Î
Û Ø
Ö × Ô Ø Ø Ó Ø × Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ø ́
¡
¡ µ º
Ê Ð Ð Ø Ø Ø × Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò Ù
Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ü
Ò Ò Ó Ö Ñ × Ô
Û Ø Ö × Ô Ø
Ø Ó × Ù × Ø Í
¬ Ò Ý
Ü
Ù
Ò
Ú ¾ Í
Ú
Ü
× Ø × ¬ × Ø Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ý Ö Ð Ø Ó Ò
́ Ù Ü Ú µ ¼
Ú ¾ Í
º º ¸ Ü
Ù
Í Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó
́ ¡
¡
µ º
Ì Ð Ö Ò Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý Ú × ³ × Ð Ñ Ñ ¸ Û × Ó Û × Ø Ø Ø Ö Ö Ó Ö
Ò Ø Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ù
Ù
Î
× Ø Ö Ñ Ò Ý Ó Û Û Ð Ð Ø Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ò
Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ý Ø × Ù × Ô Î
º
Ì Ó Ö Ñ ´ Ä Ñ Ñ Ý º µ Ò Ó Ø Ù
Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó ´ ¾ º ¾ ¿ µ Ò Ù
Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
Ó ´ ¾ º ¾ µ º Ì Ò
Ù
Ù
Î
-
Ò
Ú ¾ Î
Ú
Ù
´ ¾ º ¾ µ
Û Ø Ó Ò × Ø Ò Ø -
½
Ô Ò Ò Ó Ò
Ù Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ó Î
º
¿ ¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 33/72
¾ º Ð Ö Ò Ñ Ø Ó
È Ö Ó Ó º Ö Ó Ñ Ø Ð Ö Ò Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ý Û Ú
́ Ù
Ù
Ù
µ ́ Ù
Ù
Ú µ ¼
Ì Ò Û Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ñ Ø
-
Ù
Ù
¾
Î
́ Ù
Ù
Ù Ù
µ
́ Ù
Ù
Ù Ú µ
Ù
Ù
Î
Ù
Ú
Î
Ö Ó Ñ Û Ñ Ñ Ø Ð Ý Ó Ð Ð Ó Û × Ø × × Ö Ø Ó Ò º ¾
Ì ¬ Ò Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð Ð Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò × ´ ¾ º ¾ µ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ó Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó
× Ý × Ø Ñ Ó Ð Ò Ö Õ Ù Ø Ó Ò × º Ò Ó Ø
½
Ò
× × Ó Ö Î
¸ Ø Ò Ù
¾ Î
Ò
Û Ö Ø Ø Ò × Ð Ò Ö Ó Ñ Ò Ø Ó Ò
Ú
Ò
½
Ú
Û Ø Ó Æ Ò Ø × Ú
¾ Ê
º Ï Û Ö Ø Ó Ö Ø × Ö Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ó ´ ¾ º ¾ µ Ù
È
Ò
½
Ù
Ò Ó Ø Ò
́
Ò
½
Ù
µ
Ò
½
Ù
́
µ
Ì Ð Ö Ò Õ Ù Ø Ó Ò × ´ ¾ º ¾ µ Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ó Ø × Ý × Ø Ñ Ó Ð Ò Ö Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ò
½
Ù
́
µ ́
µ ½
Ò ´ ¾ º ¾ µ
Ò
½
Ù
½
Ò
Û Ö
́
µ
£
́
µ
Ó Ø Ø Ø Ø Ð Ö Ò Ñ Ø Ó × Ó Ò Ð Ý × Ñ × Ö Ø Ñ Ø Ó ¸ × Ò Ü Ô Ð Ø Ú Ð Ù ¹
Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ð × Ý Ù × Ò Õ Ù Ö Ø Ù Ö Ó Ö Ñ Ù Ð × × Ò Ó Ø × Ô ¬ º
Ê Ñ Ö ´ Ü Ñ Ô Ð × Ó Ð Ó Ð Ð Ö Ò Ò × Ø Þ × Ô × µ Á Ø × Ô Ó Ñ Ò ×
Ö Ø × Ò ª ´ ¼ Ä
Ü
µ ¢ ´ ¼ Ä
Ý
µ ¸ Ø Ò Ø Ò × Ó Ö Ô Ö Ó Ù Ø Ò × Ø Þ Ò Ñ
Î
É
Ñ
´ ª µ Ô ́
Ü Ý µ
Ñ
¼
Ü
Ý
Û Ø
½ Ñ º
¿ ¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 34/72
¾ Ù Ò Ø Ó Ò ¹ Ò Ð Ý Ø Ð Ö Ó Ù Ò
̄ Í × Ò Ø Ñ Ó Ò Ó Ñ Ð × × ½
Ü Ý Ü
¾
Ü Ý Ý Ø Ò Ú × Ø Ø Ø Å Ø Ö Ü
× × Ñ Ð Ö Ø Ó Ø À Ð Ö Ø Ñ Ø Ö Ü Û Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ò Ù Ñ Ö Æ
́ Ñ
· ½ µ
¾
Ö Ó Û Ò ×
Ó Ò
¾
́
µ Ç ́
Æ
µ º
̄ Ì Ò × Ó Ö Ô Ö Ó Ù Ø × × Ó Ä
¾
¹ Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð × ´ º º ¸ Ä Ò Ö Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð ×
Ó Ö Ì × Ý × « Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð × µ Ð Ø Ó Ñ Ø Ö Ü
Û × Ò × ¸ Ù Ø Û Ø Ú Ö Ý
× Ù Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ò
¾
́
µ Ç ́ Æ µ
º Ì × Ô Ô Ö Ó Ð × Ø Ó × Ó ¹ Ð Ð Ë Ô Ø Ö Ð ¹
Ð Ö Ò Ñ Ø Ó × Ç Ò Ó Ñ Ø Ö Ð Ð Ý × Ñ Ô Ð Ó Ñ Ò × Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ó Ü Ó Ö Ý Ð Ò ¹
Ö Ó Ñ Ò × Ø × Ð × Ø Ó Ú Ö Ý × Ø Ñ Ø Ó × º
Á Ò Ù Ò Ñ Ò Ø Ð - Ù Ý Ò Ñ × Ö × Ö ¸ Ø × × Ú Ö Ý Ô Ó Ô Ù Ð Ö Ñ Ø Ó Ó Ö × Ó Ð Ú Ò
Ø Ò Ó Ò Ð Ò Ö Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û × Ò × Ñ Ô Ð Ó Ñ Ø Ö × ¸
Û Ö Ô Ö Ó Ò Ø Ð × Ø Ó Ò Ö Ø Ó Ò ¸ º º ¸ Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û Ò Ò Ò Ð » Ô Ô
Ó Ö Ø Ö Ñ Ð Ó Ò Ú Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ó Ü » Ý Ð Ò Ö º
Ê Ñ Ö ½ ¼ ´ Ð Ó Ð Ú × º Ð Ó Ð Ò × Ø Þ × Ô µ × Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ú ¸ Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó
Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ù Ò Ø Ó Ò × Ý Ð Ó Ð Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð × × Ð Ð ¹ Ó Ò Ø Ó Ò º Î Ö Ý × Ñ ¹
Ð Ö Ð Ý Ø Ò × Ò ¸ Ø Ø Ø Ä Ô Ð Ô Ö Ó Ð Ñ
¾
Ù
Ü
¾
Ò ¼
½ ℄ Ù ´ ¼ µ
Ù ´ ½ µ ¼
× Ð × Ó Ð Ð ¹ Ó Ò Ø Ó Ò º Ï × Ø
Ü
̧
Ü
º Ó Ö ½
Û Ó Ø Ò
½
¼
Ü
Ü
Ü
Ü
Ü
½
¼
Ü
½
Ü
½
Ü
½
·
½
Ü
× Ñ Ð Ö Ø Ó Ø À Ð Ö Ø Ñ Ø Ö Ü
́ ·
· ½ µ
½
º
Ì Ä Ñ Ñ Ý ´ Ä Ñ Ñ µ × Ó Û × Ø Ø Ø Ð Ö Ò × Ö Ø × Ø Ó Ò × Ð Ó × Ð Ý Ö Ð Ø
Ý Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò Ó Ø Ü Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ý ¬ Ò Ø ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ù × Ô º Á Ò Ò Ø Ö ¹
Ô Ó Ð Ø Ó Ò Ø Ó Ö Ý ¸ Ø × Û Ð Ð Ò Ó Û Ò Ø Ø Ù × Ò Ð Ó Ð Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð × Û Ø Ò Ö × Ò Ö
Ó × Ò Ó Ø Ð Û Ý × Ð Ø Ó Ò Ñ Ô Ö Ó Ú Ñ Ò Ø Ò Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò º Á Ò × Ø ¸ Ø Ó Ò Ô Ø
Ó × Ô Ð Ò Ò Ø Ö Ô Ó Ð Ø Ó Ò Ù × × Ô Û × Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð Ò Ø Ö Ô Ó Ð Ø Ó Ò Ó Ð Ó Û Ö º Ì × ×
Ø Ù Ò Ö Ð Ý Ò Ó Ø Ò Ø ¹ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó º
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 35/72
¿ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó
¿ º ½ Å Ó Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Ò Ø ¹ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó Ó Ö Ø Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò ¹ Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Û Ø Ó Ñ Ó Ò Ó Ù ×
Ö Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ö Ô Ö × Ö º
Ö ¡ ́
Ö Ù
µ ·
¡
Ö Ù ·
Ù
Ò ª
Ù ¼ Ó Ò ´ ¿ º ½ µ
Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ö Ò Ñ Ø Ó Ö × Ú Ò Î
Î
Ò Ù
¾ Î
Û Ø Ù
¼ Ó Ò
ª × Ù Ø Ø ́ Ù
Ú
µ ́ Ú
µ
Ú
¾ Î
Û Ø
́ Ù Ú µ
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
ª
¡
Ö Ù Ú Ü ·
ª
Ù Ú Ü
́ Ú µ
ª
Ú Ü
̄ × Ö Ø × Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý ª º Á ª × Ù Ö Ú Ð Ò Ö Ó Ù Ò ¸ Ø Ò Ò Ô Ô Ö Ó Ü ¹
Ñ Ø Ó Ò Ó Ö
ª × Ù × º
ß È Ó Ð Ý Ó Ò Ð Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò Ó
ª ´ Ð Ò Ö × Ô Ð Ò × µ
ß Ë Ô Ð Ò Ò Ø Ö Ô Ó Ð Ø Ó Ò Ó
ª ´ Ô Û × Ö Ó Ö Ö Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð × µ
̄ Ì Ö Ò Ù Ð Ø Ó Ò Ó ª º Ø Ö Ò Ù Ð Ø Ó Ò Ó ª × × Ø Ó Ð Ð × Ì
¸ º º ¸ Ì
Ì
Ì
ª Ó ª ¸ Û × Ø × Ý Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×
ß
Ì × Ó × Ñ Ô Ð Ó Ñ Ø Ö Ý ´ º º ¸ Ø Ö Ò Ð Ó Ö Õ Ù Ö Ð Ø Ö Ð Ò ¾ ¸ Ó Ö
Ø Ø Ö Ö Ó Ò Ó Ö Ü Ö Ò ¿
ß ª
Ì ¾ Ì
Ì
ß Ì
Ì
¼
Ó Ö Ð Ð
Ì Ì
¼
ß Ì × Ù × Ö Ô Ø
Ò Ó Ø × Ò Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ö Ò
Ì ¸ º º ¸
Ø ´ Ñ Ü Ñ Ð Ó Ö Ñ Ò Ñ Ð µ Ð Ð Ñ Ø Ö º
ß Ó Ö Ø Û Ó Ò Ø Ð Ð ×
Ì Ò
Ì
¼
̧ Ì
Ì
¼
× Ø Ö Ó Ñ Ñ Ó Ò Ô Ó Ò Ø Ó Ö
Ó Ñ Ñ Ó Ò Ò Ø Ö º È Ù Ø Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö × ¸ Ò Ò Ò Ó × Ö Ò Ó Ø Ð Ð Ó Û º
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 36/72
¿ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó
̄ ¬ Ò Ø Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ º Ç Ò Ð Ð Ì
¾ Ì
Û ¬ Ò
ß Ð Ó Ð × × Ó Ø × Ø ¹ Ò Ò × Ø Þ Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ì
Æ
Ð Ó
Æ
Ð Ó
Ì
Ê
Æ
Ð Ó Ó
Ð Ó ½
Ò
ß × Ø Ó Ò Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò Ð ×
Ð Ó
Æ
Ð Ó Ó
Ð Ó ½
× × Ó Ø Û Ø Ø Ð Ó Ð Ö ×
Ó Ö Ó Ñ Ü
Ð Ó
Æ
Ð Ó Ó
Ð Ó ½
̧ Ü
Ð Ó
¾ Ì º
Ì × Ø Ó Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ × Ø Ù Ð × Ô Ó Ø × Ø Ó Ð Ó Ð Ø × Ø ¹
Ò Ò × Ø Þ Ù Ò Ø Ó Ò × º Ó Ö Ü
Ð Ó
Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò Ð
Ð Ó
×
¬ Ò Ý
Ð Ó
¾
£
Ì
Ð Ó
Æ
Ð Ó
Ð Ó
́ Æ
Ð Ó
µ Æ
Ð Ó
́ Ü
Ð Ó
µ
Ï Ö Õ Ù Ö Ø Ø Ø × × × × Ó ¹ Ð Ð Ù Ò × Ó Ð Ú Ò Ø ¸ º º ¸ Æ
¾
Ì
× Ù Ò Õ Ù Ð Ý
Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ô Ö × Ö Ú Ð Ù ×
́ Æ
µ Æ
́ Ü
µ º Á Ò Ø × Õ Ù Ð Û × × Ù Ñ
́ Æ
µ Æ
́ Ü
µ
́
½
¼
Ì Ò Û Ñ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò × Ø Þ Ó Ö Ø Ð Ó Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ Ö × Ø Ö Ø Ø Ó Ì µ
Ù ́ Ü µ
Ì
Æ
Ð Ó Ó
Ð Ó ½
Ù
́ Ì Ð Ó µ
Æ
́ Ì Ð Ó µ
́ Ü µ
Ì Ò × Ø Þ Ù Ò Ø Ó Ò × Ö ¬ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ø º Á Ò ¾ Ø Ö Ö Ò
Ø Ö Ò Ð ×
Ì
́
µ
¼ ¼
½
Ú Ò Ø Ö Ò Ð Ì
Û Ø Ó Ö Ò Ö Ô Ó Ò Ø × ´ Ü
¼
Ý
¼
µ
Ì
¸ ́ Ü
½
Ý
½
µ
Ì
¸ ́ Ü
¾
Ý
¾
µ
Ì
Û Ó Ò × Ö
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Æ Ò Ð Ò Ö Ñ Ô Ô Ò
Ì
Ì Ì
Ì
Ì
·
Ü
¼
Ý
¼
Ü
½
Ü
¼
Ü
¾
Ü
¼
Ý
½
Ý
¼
Ý
¾
Ý
¼
Û Ñ Ô × Ø Ó Ö Ò Ö Ô Ó Ò Ø × Ó
Ì Ø Ó Ø Ó Ö Ò Ö Ô Ó Ò Ø × Ó
Ì
Ì
¼
¼
Ü
¼
Ý
¼
Ì
½
¼
Ü
½
Ý
½
Ì
¼
½
Ü
¾
Ý
¾
Ä Ò Ö Ò × Ø Þ º Ç Ò Ø Ö Ö Ò Ø Ö Ò Ð
Ì ¸ Ø × × Ù Ò Ø Ó Ò × Ö
Æ
½
́ µ ´ ½
µ ´ ½
µ Æ
¾
́ µ Æ
¿
́ µ
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 37/72
¿ º ½ Å Ó Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ ×
É Ù Ö Ø Ò × Ø Þ º
Æ
½
́ µ ´ ½
µ ´ ½
¾
¾ µ Æ
́ µ
´ ½
µ
Æ
¾
́ µ
´ ¾
½ µ Æ
́ µ
Æ
¿
́ µ
´ ¾
½ µ Æ
́ ¼
´ ½
µ
Ì Ò × Ø Þ Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ô Ð Ó Ø Ø × Ð Ý Ý Ø Ò Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Ø Ø
Æ
½
́ µ ´ ½
µ ´ ½
¾
¾ µ
́
½
¼
¼ ·
½ Ó Ö ·
½
¾
Æ
¾
́ µ
´ ¾
½ µ
́
½
½ ½
¼
¼ Ó Ö
½
¾
Æ
¿
́ µ
´ ¾
½ µ
́
½
½ ½
¼
¼ Ó Ö
½
¾
Æ
́ µ
´ ½
µ
́
½
½
¾
¼
¼
¼ Ó Ö
½
Æ
́ µ
́
½
½
¾
½
¾
¼
¼ Ó Ö
½
Æ
́ µ
´ ½
µ
́
½
½
¾
¼
¼
¼ Ó Ö
½
̄ ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ º Ì Ñ × Ø Ó ¬ Ò Ð Ó Ð Ö × Ó
Ö Ó Ñ × Ù Ø Ø Ø Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ú × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ò Û Ö Ø Ø Ò Ð Ó Ð Ð Ý ×
Ù ́ Ü µ
Æ
Ð Ó Ó
Ð Ó
Ù
Ð Ó
Ð Ó
Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × Û ¬ Ò
¬ Ò Ñ Ô Ô Ò Ö Ó Ñ Ø Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ Ø Ó Ø Ð Ó Ð Ö × Ó
Ö Ó Ñ
Ð Ó Ð Ó
½ Æ
Ð Ñ Ø
¢ ½
Æ
Ð Ó Ó
½
Æ
Ð Ó Ó
́ Ì Ð Ó
µ
Ð Ó Ð Ó
́ Ì Ð Ó µ
Ð Ó
Å Ó Ö Ó Ú Ö Û Ú Ñ Ô Ô Ò Ö Ó Ñ Ø Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ Ø Ó Ø Ð Ó Ð
Ö × Ó Ö Ó Ñ º À Ó Û Ú Ö ¸ Ò Ò Ö Ð Ð Ó Ð º Ó º º × Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò
Ö Ó Ñ × Ú Ö Ð Ð Ó Ð º Ó º º × º Ó Ö Ð Ó Ð Ö Ó Ö Ó Ñ Ð Ó Û Ø Ò Ó Ð
Ù Ò Ø Ó Ò
Ð Ó
́ Æ µ
Æ ́ Ü
Ð Ó
µ ¸ Û Ú Ð × Ø Ó × × Ó Ø Ð Ð × Ì ́ Ð Ó
µ Ò
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 38/72
¿ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó
Ì Ð ¿ º ½ Ó Ø Ø Ó Ò Ð Ó Ð Ò Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ
Ë Ý Ñ Ó Ð Å Ò Ò
Æ
Ð Ñ Ø
Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ð × ´ Ð Ñ Ò Ø × µ
Ì Ð Ð
Ì ¾ Ì
¸ × × Ó Ø Û Ø Ø Ð Ð Ì
¾ ½
Æ
Ð Ñ Ø
Æ
Ð Ó Ó
Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ Ô Ö Ð Ð ´ Û × × × Ù Ñ Ø Ó Ó Ò × Ø Ò Ø µ
Ð Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ö Ó Ñ Ð Ó ¾ ½
Æ
Ð Ó Ó
Æ
Ð Ó Ó
Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ
Ð Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ö Ó Ñ
Ð Ó Û Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò
Ò Ó Ð Ù Ò Ø Ó Ò Ð
Ð Ó
́ Ü
Ð Ó
µ Ó Ö × Ó Ñ Ø × Ø Ù Ò Ø Ó Ò º
Ð × Ø Ó × × Ó Ø Ð Ó Ð Ö × Ó Ö Ó Ñ Ä ́ Ð Ó µ
Ì ́ Ð Ó µ
Ì ¾ Ì
Ü
Ð Ó
¾ Ì
Ä ́ Ð Ó µ
́ Ì Ð Ó
µ ¾
½ Æ
Ð Ñ Ø
¢ ½
Æ
Ð Ó Ó
Ü
Ð Ó
Ü
Ð Ó
× Ð Ó Ð º Ó º º Ð Ó Ò Ð Ð Ì
Ð Ó Ð Ò × Ø Þ Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ð Ð Ì
× Ü Ø Ò Ý Þ Ö Ó Ø Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ò ª º Ó Ö
Ð Ó Ð º Ó º º ´ Ì Ð Ó µ Û ¬ Ò
́ Ì Ð Ó µ
́ Ü µ
́
Æ
́ Ì Ð Ó µ
́ Ü µ
Ü ¾
Ì
¼ Ð ×
Ó Ö Ð Ó Ð Ö Ó Ö Ó Ñ Ð Ó
¬ Ò Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ò × Ø Þ Ù Ò Ø Ó Ò
Ð Ó
́ Ü µ
́ Ì Ð Ó µ
́ Ü µ Û Ø Ð Ó Ú Ò Ý
Ü
Ð Ó
Ü
Ð Ó
Ì Ò Û Ò Ñ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð Ó Ð Ò × Ø Þ Ó Ö Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù
Ù ́ Ü µ
Æ
Ð Ó Ó
Ð Ó ½
Ù
Ð Ó
Ð Ó
̄ × × Ñ Ð Ò Ó Ø Ð Ò Ö × Ý × Ø Ñ ¸ × ´ ¾ º ¾ µ º
́
Ð Ó
Ú
Ð Ó
µ
Ì ¾ Ì
́
́ Ì µ
́ Ì µ
µ
£
́
Ð Ó
µ
Ì ¾ Ì
£
́
́ Ì µ
µ
Ì Ù × Ø Ö Ñ Ò Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × Ø Ó × × Ñ Ð ́
́ Ì µ
́ Ì µ
µ ̧
£
́
́ Ì µ
µ Ó Ò Ð Ð
Ì º Ì Ò Ø × Ð Ó Ð Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ö Ø Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ò » Ó Ð Ù Ñ Ò
Ó Ø Ð Ó Ð × Ø « Ò × × Ñ Ø Ö Ü Ò Ö Ø Ò × Ú Ø Ó Ö º
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 39/72
¿ º ½ Å Ó Ö Ú Ø Ó Ò ¹ « Ù × Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ ×
» ¶ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹
Ð Ó Ð × Ø Ò × × Ñ Ø Ö Ü Ò Ö º º × º Ú Ø Ó Ö
¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ »
Ó Ù Ð Ð Ó Æ Ð Ó Ó ℄ Æ Ð Ó Ó ℄
Ó Ù Ð Ð Ó Æ Ð Ó Ó ℄
» ¶ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹
Ä Ó Ð × Ø Ò × × Ñ Ø Ö Ü Ò Ö º º × º Ú Ø Ó Ö
¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ »
Ó Ù Ð Ð Ó Æ Ð Ó Ó ℄ Æ Ð Ó Ó ℄
Ó Ù Ð Ð Ó Æ Ð Ó Ó ℄
× Ø Ò Ø Ö × Þ Ö Ó ´ Ð Ó µ
× Ø Ò Ø Ö × Þ Ö Ó ´ Ð Ó µ
» ¶ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹
Ä Ó Ó Ô Ó Ú Ö Ð Ð Ð Ñ Ò Ø ×
¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ »
Ó Ö ´ Ð Ñ Ø ¼ Æ Ð Ñ Ø Ð Ñ Ø µ
ß
» ¶ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹
Ç Ò Ø Ù Ö Ö Ò Ø Ð Ð
Ó Ñ Ô Ù Ø Ð Ó Ð Ò Ø Ö × Ó × Ø Ò × × Ñ Ø Ö Ü
Ò Ö Ø ¹ Ò × Ú Ø Ó Ö
¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ »
Ó Ö ´ ¼ Æ Ð Ó Ó · · µ
ß
Ó Ö ´ ¼ Æ Ð Ó Ó · · µ
ß
Ð Ó ¸ ℄ × × Ñ Ð ´ ¸ µ
Ð Ó ℄ × × Ñ Ð ´ µ
» ¶ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹
Ò Ø Ö × Ó Ð Ó Ð × Ø Ò × × Ñ Ø Ö Ü » Ö º º × º Ú Ø Ó Ö
Ø Ó Ð Ó Ð × Ø Ò × × Ñ Ø Ö Ü » Ö º º × º Ú Ø Ó Ö
¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ »
Ó Ö ´ ¼ Æ Ð Ó Ó · · µ
ß
Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ñ Ø ¸ ℄
Ó Ö ´ ¼ Æ Ð Ó Ó · · µ
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 40/72
¿ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó
ß
Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ñ Ø ¸ ℄
Ð Ó Ð Ó ℄ Ð Ó ℄ Ð Ó ℄ ℄
Ð Ó Ð Ó ℄ Ð Ó ℄
» ¶ ¶ Ó Ö ´ Ð Ñ Ø ¼ Æ Ð Ñ Ø Ð Ñ Ø µ ¶ ¶ »
Î Ê Ä Á À É Í Ê Ì Ð Ñ Ò Ø Þ Ù Ø Ø Ö Ð
¿ º ¾ Á Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ø Ó Ò Ó ¬ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó
¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 41/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
º ½ Ó Ú Ö Ò Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ú × Ó Ù × - Ù - Ó Û
Á Ò Ú × Ó Ù × - Ù × ¸ Ø Ô Ö Ò Ô Ð Ó Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ý Ð Ó ×
Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Î
× Ø Ø × Ø Ø
Ì Ñ Ö Ø Ó Ò Ó
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò × Î Ð Ù Ü Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ø Ö Ó Ù Î Ù Ø Ó Ó Ò Ú Ø Ó Ò
· Ð Ù Ü Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ø Ö Ó Ù Î Ù Ø Ó Ú × Ó Ù × Ó Ö ×
· Ð Ù Ü Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ø Ö Ó Ù Î Ù Ø Ó Ô Ö × × Ù Ö Ó Ö ×
Ø
Î
Ù Ü
Î
́ Ù
µ Ù ¡ Ò
Î
Ô Ò
Î
Ú
Ò
Û Ö
Ú
Ò Ó Ø × Ø Ú × Ó Ù × × Ø Ö × × Ø Ò × Ó Ö ¸ Ù
× Ø - Ù Ú Ð Ó Ø Ý ¸
Ø Ò × Ø Ý Ò Ô
× Ø Ô Ö × × Ù Ö º Î × Ó × Ø Ý × « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ñ Ò × Ñ Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ º Ï
× × Ù Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø ¹ Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý Û Ø Ó Ò Ò - Ù ¸ º ¸
Ú
× Ö Ð Ø Ø Ó Ø × Ø Ö Ò Ö Ø Ø Ò × Ó Ö
Ì ́ Ù µ Ý
Ú
¾ Ì ́ Ù µ
Û Ö
Ì ́ Ù µ
Ë ́ Ù µ
½
¿
Ö ¡ Ù Á
Û Ø Ë ́ Ù
µ
½
¾
Ö Ù
· ́
Ö Ù µ
Ì
Ì Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ð Ø Ý Ø Ó Ö
× Ø Ó Æ Ò Ø Ó Ú × Ó × Ø Ý Ó Ø - Ù Ò ×
Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ
½
×
½
Ì Ò Ñ Ø Ú × Ó × Ø Ý
× ¬ Ò Ý
º Ó Ö Ö Ù Ò Ö
× Ø Ò Ö Ó Ò Ø Ó Ò ×
½
Ñ
¾
×
½
º
Ý Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ó Ù × × Ò Ì Ó Ö Ñ Ó Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø × Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò
Ó Ñ ×
Ø
Î
Ù Ü ·
Î
Ö ¡ ́
Ù ª Ù µ
Ü ·
Î
Ö Ô Ü ¼
Ì Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò Ò Û Ö Ø Ø Ò Ò « Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ × Ó Ð Ð Ó Û ×
Ø
Ù ·
Ö ¡ ́
Ù ª Ù
µ ·
Ö Ô
Ö ¡ ´ ¾ Ì ́ Ù
µ µ ¼ ´ º ½ µ
À Ö Û Ù × Ø Ò Ó Ø Ø Ó Ò
́ Ù ª
Ù µ
Ù
Ù
Ö Ù
Ù
Ü
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 42/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
Ï Ò Ó Û Ó Ò × Ö Ø Ò Ó Ñ Ô Ö × × Ð Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ º º ¸ Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ó Ò ¹
× Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ö Ò Ò Ó Ñ Ô Ö × × Ð - Ù
Ö ¡ Ù
¼
Ø
́ Ù µ ·
Ö ¡ ́
Ù ª Ù
µ ·
Ö Ô
Ö ¡ ´ ¾ Ë ́ Ù
µ µ ¼
flow
u(y)
y
x
Rapid
no−slip on the wall
flowSlowSlowflow
u(y)
due to viscosity
through area A
Flux of momentum
momentumnet
transfer
Rapidflow
referenceframe of
moving
y
x
Ù Ö º ½ Á Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ú × Ó × Ø Ý º Å Ò - Ó Û × Ò Ü
¹ Ö Ø Ó Ò Û Ø Ú Ð Ó Ø Ý Ú Ö Ý Ò
Ò Ý
¹ Ö Ø Ó Ò Ù × Ý Ø Ò Ó ¹ × Ð Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ø Û Ð Ð Ù
¼ º Ù
Ø Ó Ø Ø Ö Ñ Ð × Ø Ø × Ø Ð Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ó Ð Ù Ð × ¸ Ø Ý Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý
Ö Ó × × Ò Ô Ð Ò È
Û × Ø Ø Ø Ó Ö Ñ Ó Ö Ö Ò Ñ Ó Ú Ò Û Ø
Ñ Ò Ú Ð Ó Ø Ý Ù
º × Ñ Ó Ð Ù Ð Ö Ö × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ó Ø Ñ Ò - Ù
Ñ Ó Ø Ó Ò Ò Ü
¹ Ö Ø Ó Ò ¸ Ø × Ö × Ù Ð Ø × Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ - Ó Û Ö Ó × × Ô Ð Ò È º
º ¾ Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º Ä Ñ Ò Ö Ò Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û
Ì Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ò Ó Ò ¹ Ð Ò Ö º Ì Ù × Ø Ò Ü Ô Ø Ø Ø Ó Ö × Ñ Ð Ð
- Ù Ú Ð Ó Ø Ý ¸ Ø - Ó Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ú × Ð Ñ Ó × Ø Ð Ò Ö ¸ Û Ö × Ó Ö Ð Ö Ú Ð Ó Ø Ý ¸ Ø
Ò Ó Ò ¹ Ð Ò Ö Ö Ø Ö Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ Ò Ø × º Ì Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ø Û Ò Ó Ø Ð Ñ Ø Ò
× × × × Ö Ô Ý × Ð Ð Ý Ý Ø × Ó ¹ Ð Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º
Ì Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö Ô Ô Ö × Ò Ò Ø Ù Ö Ð Û Ý Û Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ø Ú Ö ¹ Ë Ø Ó ×
Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ó Ñ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ø Ó Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ú Ö Ð × º Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × ¸ Ò Ó Ø
Ñ Ò × Ó Ò Ð Õ Ù Ò Ø Ø × Ý Ø Ð º Ì Ò Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Õ Ù Ø Ó Ò Ö × ´ Ò Ó Ñ Ô Ó ¹
Ò Ò Ø Û × Ò Ó Ø Ø Ó Ò µ
Ø
Ù
·
½
Ü
¡ ´ Ù
Ù
µ ·
Ô
Ü
½
Ü
Ù
Ü
·
Ù
Ü
¼ ´ º ¾ µ
Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Õ Ù Ò Ø Ø ×
Ü
Ü
Ä
Ö
Ù
Ù
Í
Ö
Ö
½ ´ º ¿ µ
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 43/72
º ¾ Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º Ä Ñ Ò Ö Ò Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û
Ì Ò ´ º ¾ µ Ò Û Ö Ø Ø Ò Ý × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ó ´ º ¿ µ Ò Ý Ù × Ò Ø Ò Ö Ù Ð Ó
« Ö Ò Ø Ø Ó Ò
Ö
Í
Ö
Ø
Ø
Ø
Ù
·
Ö
Í
¾
Ö
½
Ü
Ü
Ü
́ Ù
Ù
µ ·
Ü
Ü
Ô
Ü
Í
Ö
½
Ü
Ü
Ü
Ü
Ü
Ù
Ü
·
Ü
Ü
Ù
Ü
¼
Ì Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ø Ó Ò Ó Ø
Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ü
Ò Ù
Ò Ø Ò Ó Ò ¹
Ñ Ò × Ó Ò Ð Ú Ö Ð × Ó Ö Ô
Ò
Ö × Ò Ø Ù Ö Ð Ð Ý Ö Ó Ñ Ø Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × º
Ì Ù × Ø Ó Ø Ö Õ Ù Ò Ø Ø × Ö Ø Ò Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ó Ö Ò Ø Ó
Ø
Ø Í
Ö
Ü
Ö
Ô
Ô
Ö
Í
¾
Ö
Ö
Í
Ö
Ü
Ö
Ý × Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ü Ü
Û Ó Ø Ò
Ö
Í
¾
Ö
Ü
Ö
Ø
Ù
·
Ö
Í
¾
Ö
Ü
Ö
½
Ü
́ Ù
Ù
µ ·
½
Ü
Ö
Ô
Ü
Í
Ö
Ü
¾
Ö
½
Ü
Ù
Ü
·
Ù
Ü
¼
Ó Û Û × Ù × Ø Ø Ù Ø Ô
Ò
Ò Ó Ø Ò
Ö
Í
¾
Ö
Ü
Ö
Ø
Ù
·
Ö
Í
¾
Ö
Ü
Ö
½
Ü
́ Ù
Ù
µ ·
Ö
Í
¾
Ö
Ü
Ö
Ô
Ü
Ö
Í
Ö
Ü
Ö
Ü
¾
Ö
½
Ü
Ù
Ü
·
Ù
Ü
¼
Ï Ø Ò Ú Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ý Ø Ó Ñ Ñ Ó Ò Ø Ó Ö
Ö
Í
¾
Ö
Ü
½
Ö
Ò Ó Ø Ò Ø Ú Ö ¹
Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × Ò Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ö Ñ
Ø
Ù
·
½
Ü
́ Ù
Ù
µ ·
Ô
Ü
½
Ü
Ù
Ü
·
Ù
Ü
¼ ´ º µ
Ì Ô Ö Ñ Ø Ö
½
× Ð Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö Ê Ò × Ò Ø ¬ ×
Ê
½
Ù
Ö
Ü
Ö
´ º µ
Ì ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö Ö Ð × Ó Ò Ø Û Ó Ö Ö Ò Ú Ð Ù × ¸ º º ¸ Ö Ö Ò
Ú Ð Ó Ø Ý Ò Ö Ö Ò Ð Ò Ø º
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 44/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
U
L
oo
Uoo
L
Ù Ö º ¾ Ó Ó Ö Ø Ö × Ø Ð Ò Ø Ó Ö Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º Ä Ø Ì Ó Ö
Ð Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ð Ù × × Ö Ö Ò Ð Ò Ø Ó Ö ´ Ð Ó Ð µ Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö
Ê º Ê Ø Ì × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ð Ò Ó - Ø Ô Ð Ø Ä Ü
Ø Ö Ñ Ò × Ø Ð Ó Ð - Ó Û Ó Ò Ø Ó Ò × Ò × Ø Ö Ó Ö Ù × Ó Ö ¬ Ò Ò
Ð Ó Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö Ê
Ü
º
̄ Ê Ö Ò Ú Ð Ó Ø Ý º
ß Ì Ö Ö Ò Ú Ð Ó Ø Ý Ö Ø Ö × × Ø Ð Ó Ð - Ó Û ¬ Ð º Ó Ö Ü Ø Ö Ò Ð - Ó Û × ¸
Ø Ø Ý Ô Ð Ó × Ø × Ó ¹ Ð Ð Ö ¹ ¬ Ð Ú Ð Ó Ø Ý Ù
½
¸ Û × Ø Ú Ð Ó Ø Ý
Ø Ø Ö ¬ Ð Ó Ù Ò Ö Ý Ö Ñ Ó Ø Ö Ó Ñ Ø Ó × Ø Ð º
ß Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ö Ø Ö × Ø Ð Ó Ð - Ó Û Ú Ó Ù Ö ¸ Ð Ó Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö
× Ó Ò Ð Ó Ð - Ù Ú Ð Ó Ø Ý Ò Ð Ó Ð Ð Ò Ø × Ð Ñ Ø Ù × Ù Ð Ò
× Ó Ñ × × º
̄ Ê Ö Ò Ð Ò Ø º
ß Ì Ö Ö Ò Ð Ò Ø Ó Ö Ø Ð Ó Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö × Ø Ñ Ø Ö Ó Ø
Ó Ò ¬ Ù Ö Ø Ó Ò ¸ º º ¸ Ø Ó Ö Ð Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ð ¸ Ø Ñ Ø Ö Ó × Ô Ö
Ó Ö Ý Ð Ò Ö ¸ Ó Ö Ø Ñ Ø Ö Ó Ò Ò Ð Ó Ö Ô Ô º
ß Á Ò × Ó Ñ × × ¸ Ð Ó Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö × Ù × Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ø Ð Ó Ð
- Ó Û × Ø Ø º º º ¸ Ó Ö - Ó Û Ó Ú Ö - Ø Ô Ð Ø ¸ Ø - Ó Û × Ø Ø Ø Ö Ø Ò
Ô Ó × Ø Ó Ò × Ø Ö Ñ Ò Ý Ø × × Ø Ò Ò × Ø Ö Ñ Û × Ö Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò
Ó Ø Ô Ð Ø º Ó Ö Ø - Ó Û Ö Ó Ù Ò Ò Ö Ó Ð ¸ Ø Ø Ö Ò × Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ð Ñ Ò Ö
Ø Ó Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û × Ø Ö Ñ Ò Ý Ø Ð Ó Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö ¸ Û ×
Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ó Ñ Ø × Ø Ò Ø Ó Ø × Ø Ò Ø Ó Ò Ô Ó Ò Ø º
Ì Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × Ð × Ó Ú × Ö × Ø Ó Ø Ü ¹
× Ø Ò Ó × Ñ Ð Ö Ø Ý × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ì Û Ó - Ó Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ö Ó Ù Ò Ø Ø Û Ó Ó Ø × Ó × Ñ
Ó Ñ Ø Ö Ý Ù Ø Ø « Ö Ò Ø × Þ × Ö Ø × Ñ ¸ Ô Ö Ó Ú Ø Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö Ó Ø
Ø Û Ó - Ó Û × Ö Ø Õ Ù Ð Ø × × Ø Ù Ò Ö Ð Ý Ò Ô Ö Ò Ô Ð Ó Û Ò Ø Ù Ò Ò Ð × ¸ Û Ð Ð Ó Û
Ø Ó Ô Ö Ø Ø - Ó Û Ú Ó Ù Ö Ó Ð Ö Ö Ö Ø × Ý Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ñ × Ù Ö Ñ Ò Ø × Ø × Ñ Ð Ð
Ñ Ó Ð × Ó × Ñ Ó Ñ Ø Ö Ý Ò Û Ò ¹ Ø Ù Ò Ò Ð º
º ¾ º ½ Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û
Á Ò Ø × Ð Ø Ù Ö Û Ó Ù × Ó Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ý Ô Ó - Ó Û ¸ Û × ¸ Ó Û Ú Ö ¸ Ó Ù Ò Ñ Ò Ø Ð
Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ò Ö Ó Ý Ò Ñ × Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û × º Ì × Ö - Ó Û × Û Ø Ó Ò Ó Ñ ¹
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 45/72
º ¾ Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º Ä Ñ Ò Ö Ò Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û
Ò Ò Ø - Ó Û Ö Ø Ó Ò Ð Ð Ø × Ø Ö Ñ ¹ Û × Ö Ø Ó Ò ´ Ý Ó Ò Ú Ò Ø Ó Ò Ø Ü ¹ Ö Ø Ó Ò µ ¸
Û Ö Ó Ù Ò ´ Ø Ð × Ø Ò Ô Ö Ø µ Ý Ó Ò Ó Ö Ñ Ó Ö × Ó Ð × Ù Ö × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ð Ý ¸ Ø
Û Ð Ð ¹ Ò Ó Ö Ñ Ð Ö Ø Ó Ò × Ø Ý ¹ Ö Ø Ó Ò ´ Ò Û Ð Ð ¹ ¬ Ø Ø Ð Ó Ð Ó Ó Ö Ò Ø × Ý × Ø Ñ Ó Ö
Ù Ö Ú Ð Ò Ö × Ù Ö × µ º Ë Ù - Ó Û × Ñ Ý Ò Ø Ö Ò Ð × Ù × Ø - Ó Û Ø Ö Ó Ù Ô Ô × Ò
Ù Ø × Ó Ö Ø Ý Ñ Ý Ü Ø Ö Ò Ð × Ù × Ø - Ó Û Ö Ó Ù Ò Ö Ö Ø Ò × Ô × ³ Ù Ð Ð × º
À Ö Û Ó Ò × Ö Ø - Ó Û Ó Ú Ö - Ø Ô Ð Ø ¸ Û × Ó Û × Ú Ö Ø Ý Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ø Ù Ö ×
Ó Ø Ù Ð Ð Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × º Ï × × Ù Ñ - Ø Ô Ð Ø Ó Ð Ò Ø Ä
Ò Ó Ø Ý
Ï
´ Ï × Ø Ò × Ó Ö Û Ð Ð µ Ò Ð Ó Ø Ò Ø Ð Ô Ð Ò
Û
Ü ¾
Ê
¿
¼
Ü
Ä Ý ¼
Ï Ó Ò × Ö Ø - Ó Û Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ñ Ò ´ Ã Ä µ
¢ ´ ¼ µ
¢ ́
µ ¸ º º ¸
ª Ü
¾ Ê
¿
Ã Ü Ä ¼ ¼ Ý Þ
Û Ø Ã Ä ¼ º Ï × × Ù Ñ Ô Ö Ó Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Þ
Ò Þ º
× × Ù Ñ Ø Ø Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý
Û × Ð Ó Ø Ø Ü
Ã
× Ø × Ù Æ Ò Ø Ð Ý
Ð Ö × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ô Ð Ø × Ù Ø Ø Û Ò × × Ù Ñ Ù Ò × Ø Ù Ö Ø Ñ ¹ Ò Ô Ò Ò Ø
Ó Ò - Ó Û Ó Ò Ø Ó Ò × Ò
Ü
¹ Ö Ø Ó ´ × Ó ¹ Ð Ð Ö ¹ ¬ Ð Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ö Ü
½ µ º
Ø Ø Û Ð Ð ¸ Ø - Ù Ú Ð Ó Ø Ý × Þ Ö Ó ´ × Ó ¹ Ð Ð Ò Ó ¹ × Ð Ô µ ¸ × Ø - Ù Ñ Ó Ð Ù Ð × Ö
Ö Ò Ø Ø Ó Ø Û Ð Ð º Å Ó Ö Ó Ú Ö Û Ù × Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ø Ó Ò Ù
¼ º
Ö ¡ Ù
¼ Ò ª ¢ ´ ¼ Ì µ ´ º µ
Ø
́ Ù µ ·
Ö ¡ ́
Ù ª Ù
µ ·
Ö Ô
Ö ¡ ´ ¾ Ì ́ Ù
µ µ ¼ Ò ª ¢ ´ ¼ Ì µ ´ º µ
Ù Í
½
Ü
Ó Ò
¢ ´ ¼ Ì µ ´ º µ
Ù ¼ Ó Ò
Ï
¢ ´ ¼ Ì µ ´ º µ
Ù ¼ Ò ª ¢
¼ ´ º ½ ¼ µ
Ó Ö Ø × Ù × × Ó Ò Ó Ø × Ô Ø Ö ¸ Ø × Ò Ó Ø Ò × × Ö Ý Ø Ó × Ö Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò ¹
Ø Ó Ò × Ø Ø Ó Ø Ö Ó Ù Ò Ö × º
oo
x
y z
Γ
Γ Γ 1
2
4
3
x
yz
Γ W
lamΓ
W
turb
Γ
Ù Ö º ¿ Ë Ø Ó - Ó Û Ó Ú Ö - Ø Ô Ð Ø Ò Ò ´ Ð µ Ò ¬ Ò Ø Ó Ñ Ò ´ Ð Ø µ Ò Ò
Ó Ù Ò Ó Ñ Ò Ù × Ó Ö Ò Ù Ñ Ö Ð × Ñ Ù Ð Ø Ó Ò ´ Ö Ø µ º
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 46/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
º ¿ Ä Ñ Ò Ö - Ó Û
Ì Ø Ñ Ø
Ð
Ö Õ Ù Ö Ó Ö Ø - Ù Ø Ó Ø Ö Ú Ð Ø × Ô Í
½
Ó Ú Ö Ø × Ø Ò Ä
´ Ö Ð Ð
Ø Ø Ä
× Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ô Ð Ø µ ×
Ø
Ð
Ä
Í
½
´ º ½ ½ µ
À Ò ¸ Ø ¬ Ö × Ø Ð Ò ¸ Ø × Ó Ù Ò × Ö × Ó Ò Ð Ø Ø Ø Ö Ü × Ø × Ø Ñ Ø
¼
Ø
Ð
× Ù Ø Ø
× Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Û × Ó Ø Ó Ö Ñ
Ù ́ Ü Ø µ
Ù ́ Ü Ý
µ
Ü
Ø
Ø
¼
´ º ½ ¾ µ
Ó Ø Ø Ø Ø × Ø Ý ¹ × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó × Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ò Ø Þ ¹ Ó Ó Ö Ò Ø ¸ × Ø
Ó Ò ¬ Ù Ö Ø Ó Ò × Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ò × Ô Ò Û × Ö Ø Ó Ò º
Ê Ñ Ö ½ ½ Ç Ó Ù Ö × ¸ Ó Ö Ø Ñ ¹ Ô Ò Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × ¸ º º ¸ Í
½
Í
½
́ Ø µ Ó Ö
Ó Ö Ñ Ó Ú Ò Ó Ù Ò Ö Ý
Ï
Ï
́ Ø µ Û Ò Ò Ó Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ó Ø Ò × Ø Ý ¹ × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò º
À Ó Û Ú Ö ¸ × Ø Ý ¹ × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ò Ó × Ö Ú Ó Ò Ð Ý Ø Ö Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ¸ º º ¸ Ø
Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö ¸ × Ò Ó Ø Ø Ó Ó Ð Ö Ñ Ó Ö Ó Ú Ö ¸ × Ù × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ö × Ø Ð º
Ì Ó Ñ Ó Ö Ô Ö × ¸ Ê × × Ñ Ð Ð ¸ Ø Ò Ó Ö Ó Ò - Ó Û Ú Ð Ó Ø Ý Í
½
Ø Ö Ü × Ø ×
× Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Û × × Ø Ð Ò ¸ Ñ Ó Ö Ó Ú Ö ¸ Ð Ó Ð Ø Ø Ö Ø Ó Ö º Ì Ò Ó Ö × Ñ Ð Ð
× Ø Ù Ö Ò × Ò Ø Ó Ò - Ó Û Ó Ò Ø Ó Ò × Ó Ö Ò Ø × Ô Ó Ø Ó Ñ Ø Ö Ý Ù Ö Ò Ö Ø Ò
Ø Ñ Ò Ø Ö Ú Ð ´ Ø
½
Ø
½
· Ø
µ ¸ Û Ð Ø Ñ Ô Ó Ö Ö Ð Ý Ø Ó × Ñ Ð Ð × Ø Ù Ö Ò × Ò Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ¸
Ö Ñ Ô Ó Ù Ø Ò Ó Ö Ø
Ø
¾
Ø
½
· Ø
¸ Ø × Ñ × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ö Ø
× Ø Ù Ö Ò × Ö Ó Ú Ö º Ë Ù × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ö Ö Ö Ö Ø Ó × × Ø Ý Ð Ñ Ò Ö
- Ó Û º
Ç Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ò Ø Ö × Ø Ö × Ó ¹ Ð Ð × Ñ Ð Ö Ø Ý × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × º Ó Ò × Ö Ø × Ø Ý × Ø Ø
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù ́
Ü Ý µ Ø Ø Û Ó « Ö Ò Ø × Ø Ö Ñ Û × Ô Ó × Ø Ó Ò × Ü
½
Ò Ü
¾
º Ì Ò Ô Ö Ó ¬ Ð × Ø
« Ö Ò Ø × Ø Ö Ñ Û × Ô Ó × Ø Ó Ò × Ü
Ó Ð Ð Ô × Û Ò Ø Ý Ö Ô Ð Ó Ø Ø Ù × Ò Ø × Ñ Ð Ö Ø Ý
Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò
Ù ́ Ü
½
Ý ́ Ü
½
µ µ
Í
½
Ù ́ Ü
¾
Ý ́ Ü
¾
µ µ
Í
½
́ Ü
µ
Ö
Ü
Í
½
Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ø Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º
º Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û º
Á Ø Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö Ò Ò Ö × ¸ Ø Ò Ø Ö × Ö Ø Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö Ø Û
Ù Ö Ø Ó Ò Ó Ù Ö × º Ì × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ò Ò Ó Ð Ó Ò Ö × Ø Ð Ò Ø Ó Ñ ×
Ö Ô Ð Ð Ó Ö º Ì Ø Ø Ö Ø Ó Ö × Ø Ò × Ó ¹ Ð Ð Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Û ×
̄ Ù Ò × Ø Ý
̄ Ø Ö ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 47/72
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 48/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
Ê Ñ Ö ½ ¿ Ô Ö Ó Ñ Ò Ò Ø Ü Ñ Ô Ð Ö Ø Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö « Ø × Ó Ö Ø - Ó Û Ò
Ö Ù Ð Ö Ý Ð Ò Ö ¸ Ó Ø Ò Ð Ð Ú Ò ¹ Ã Ö Ñ Ò Ú Ó Ö Ø Ü × Ø Ö Ø º Ó Ö Ø - Ó Û Ö Ó Ù Ò
Ý Ð Ò Ö ¸ Ø Ø Ö × Ø × Ó Ò Ö × Ò - Ó Û Ó Ñ Ô Ð Ü Ø Ý Ò Ó × Ö Ú ¸ × Ê Ý Ò Ó Ð ×
Ò Ù Ñ Ö × Ò Ö × º Ó Ö × Ñ Ð Ð Ê ¸ Ø × Ø Ø Ó Ò Ö Ý × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ð Ó Ð Ð Ý × Ø Ð Ø Ø Ö Ø Ó Ö º
× Ê × Ò Ö × ¸ Ø × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × Ö Ô Ð Ð Ó Ö º Ì × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ñ ×
Ù Ò × Ø Ý ¸ Ù Ø Ô Ö Ó º × Ê × Ò Ö × ¸ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ñ × × Ù Ô Ö Ô Ó × Ø Ó Ò Ó Ñ Ó Ö
Ò Ñ Ó Ö Ö Õ Ù Ò × º Ø Ö Ø Ò Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö ¸ Ø × Ö Õ Ù Ò × Ò Ò Ó Ð Ó Ò Ö
× Ø Ò Ù × Ò Ø - Ó Û Ó Ñ × Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ò Ô Ô Ö × Ù Ð Ð Ý Ö Ò Ó Ñ º
º Ë Ø Ø × Ø Ð Ô Ô Ö Ó
Ó Ö Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø ¹ Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û × ¸ Ð Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ð Ó Ó × Ó Ø Ò Ö Ö Ù Ð Ö ¸
Ø Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ø Ø Ö Ö Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð Û × Ó Ö Ø × Ø Ø × Ø × ´ Ð Ñ Ò Ú Ð Ù Ò
Ú Ö Ò × µ Ó Ø - Ó Û ¬ Ð º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ ¼ Ì Ò × Ñ Ð Ú Ö Ò ¬ Ð Ø Ö Ó Ú Ö Ò Ò × Ñ Ð Ó Æ
- Ó Û Ü Ô Ö Ñ Ò Ø ×
× ¬ Ò Ý
Ù
Æ
½
Æ
Æ
½
Ù
́ µ
́ Ü Ø
µ
Ì Ö Ò ¸ Ò Ó Ø Ù
́ µ
Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø
Ø - Ó Û Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Û Ö Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý
Ó Ò Ø Ó Ò × Í
½
Ò Ø × Ô Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý
Ï
Ö × Ø Ù Ö Ý × Ñ Ð Ð Ò × Û
Ö Ö Ò Ó Ñ Û Ø Ô Ö Ó Ð Ø Ý Ù Ò Ø Ó Ò Û × Ò Ô Ò Ò Ø Ò Ò Ø Ð Ð Ý × Ø Ö Ù Ø º
Ì Ø Ñ Ú Ö Ò ¬ Ð Ø Ö ¡
́ Ø Ø · ¡ Ø µ
Ó Ú Ö Ø Ò Ø Ö Ú Ð ́
Ø Ø · ¡ Ø µ
× ¬ Ò Ý
Ù
́ Ø Ø · ¡ Ø µ
½
¡ Ø
Ø · ¡ Ø
Ø
Ù ́ Ü Ø µ
Ø
Ì × Ô Ú Ö Ò ¬ Ð Ø Ö ¡
́ Þ Þ · ¡ Þ µ
Ò Ø Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × ´ × Ô Ò Û × µ Þ ¹ Ó Ó Ö Ò Ø
Ö Ø Ó Ò Ó Ú Ö Ø Ò Ø Ö Ú Ð ́
Þ Þ · ¡ Þ µ
× Ú Ò Ý
Ù
́ Þ Þ · ¡ Þ µ
½
¡ Þ
Þ · ¡ Þ
Þ
Ù ́ Ü Ý Þ Ø µ
Þ
Ê Ñ Ö ½ Ì Ò × Ñ Ð Ú Ö Ò Ó Ò Ô Ø × Ó Ò Ð Ý Ó Ø Ó Ö Ø Ð Ò Ø Ö × Ø Á Ø Û Ó Ù Ð
Ö Õ Ù Ö Ø Ó × Ø Ù Ô Ð Ö Ò Ù Ñ Ö Ó Æ
Ú Ö Ý × Ñ Ð Ö - Ó Û Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸ Ó Ö Ø Ó Ö Ù Ò Ò Ù ¹
Ñ Ö Ð × Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ò Æ
Û Ó Ö × Ø Ø Ó Ò × Û Ø Ö Ò Ó Ñ Ð Ý Ô Ö Ø Ù Ö Ò - Ó Û Ó Ò Ø Ó Ò × º
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ø Ñ ¹ Ú Ö Ò Ò × Ô ¹ Ú Ö Ò ´ Ó Ú Ö Ó Ñ Ó ¹
Ò Ó Ù × - Ó Û Ö Ø Ó Ò × µ Ð Ð Ó Û × Ø Ó Ó Ò × Ö Ó Ò Ð Ý Ó Ò - Ó Û Ü Ô Ö Ñ Ò Ø ´ Ó Ö × Ñ Ù Ð Ø Ó Ò µ º
Á Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Û Ð Ð × Ø Ø Ð Ð Ø Ö Ú Ö Ò Ó Ò Ô Ø × Ú Ø × Ñ Ú Ö
Ô Ö Ó Ú Ø - Ó Û × × Ø Ø × Ø Ð Ð Ý Ó Ò Ú Ö º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ ½ - Ø Ô Ð Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û × Ð Ð × Ø Ø × Ø Ð Ð Ý × Ø Ý
´ × Ø Ø × Ø Ð Ð Ý Ó Ò Ú Ö µ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ð Ñ Ø Ú Ð Ù × Ü × Ø
Ð Ñ
Æ ½
Ù
Æ
Ð Ñ
¡ Ø ½
Ù
́ Ø Ø · ¡ Ø µ
Ð Ñ
¡ Þ ½
Ù
́ Þ Þ · ¡ Þ µ
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 49/72
º Í Ò Ú Ö × Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ø Ö Ö Ø Ò Ø Ñ ´ Ò Ø × Ò × Ó ´ º ½ ½ µ µ Ò Ø × Ô Ò Û × Ü Ø Ò Ø Ó Ø Ó Ñ Ò
× Ð Ö Ò Ó Ù ¸ Ø Ò Ø - Ó Û Ó Ñ × × Ø Ø × Ø Ð Ð Ý × Ø Ý Ì Ö Ó Ø Ó Ö Ñ Ò Ó Û
× Ø Ø × Ø Ø Ú Ö Ò Ó Ú Ö Ø Ñ Ó Ö Ó Ú Ö Ø Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ú Ø
× Ñ × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ¸ Û × Ø Ö Ó Ö Ø Û Ó ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Ò × Ø Ý ¹ × Ø Ø º
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ¾ ´ Ö Ó Ø Ó Ö Ñ µ Ó Ò × Ö Ù Ð Ð Ý Ú Ð Ó Ô Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý
Ð Ý Ö - Ó Û ¸ Û × Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ò ´ × Ô Ò Û × µ Þ ¹ Ó Ó Ö Ò Ø Ö Ø Ó Ò º Ì Ò
Ð Ñ
Æ ½
Ù
Æ
Ð Ñ
¡ Ø ½
Ù
́ Ø Ø · ¡ Ø µ
Ð Ñ
¡ Þ ½
Ù
́ Þ Þ · ¡ Þ µ
Ù ́ Ü Ý
µ
Ü
Ù ́
Ü Ý µ
× Ó Ø Ø Ñ ¹ Ú Ö Ò Ò × Ô ¹ Ú Ö Ò ´ Ó Ú Ö Ó Ñ Ó Ò Ó Ù × Ö Ø Ó Ò µ Ö Ø × Ñ ¸
Û Ñ Ý ¬ Ò Ø × Ø Ø × Ø Ð Ú Ö Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö ¡ Ý
Ù
Ù Ð Ñ
Æ ½
Ù
Æ
Ð Ñ
¡ Ø ½
Ù
́ Ø Ø · ¡ Ø µ
Ð Ñ
¡ Þ ½
Ù
́ Þ Þ · ¡ Þ µ
´ º ½ ¿ µ
¬ Ò Ø Ó Ò ½ ¾ Ì Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ù ́
Ü Ø µ
Ò Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û Ò
Ó Ñ Ô Ó ×
Ù ́ Ü Ø µ
Ù ́ Ü Ý µ ·
Ù
¼
́ Ü Ø µ ´ º ½ µ
Ò Ø Ó Ñ Ò Ô Ö Ø Ù
Û × Ø Ñ ¹ Ò Ô Ò Ò Ø
Ù ́ Ü Ý µ
Ù ´ º ½ µ
Ò Ò Ø Ó Ò Ù Ò × Ø Ý Ö Ò Ó Ñ Ô Ö Ø Û Ø Þ Ö Ó Ñ Ò ¸ Ð Ð Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ù Ø Ù Ø Ò Ô Ö Ø
Ò Ò Ó Ø Ý Ù
¼
Ù
¼
́ Ü Ø µ
Ù ́ Ü Ø
µ
Ù ́ Ü Ý
µ Ù
¼
¼ ´ º ½ µ
Ì Ò × Ñ Ð Ú Ö Ò ¬ Ð Ø Ö × Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø × Ø Ø Ø × Ð Ò Ö Ò Ø Ø
¬ Ð Ø Ö Ò Ò « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó Ñ Ñ Ù Ø º
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò ¿ Ì Ò × Ñ Ð Ú Ö Ò ¡
Æ
¬ Ð Ø Ö × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ø ×
Ä Ò Ö Ø Ý ´ µ ·
Æ
Æ
·
Æ
Ä Ò Ö Ø Ý ´ µ
Æ
Æ
¾ Ê
Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ø Ý Û Ø « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Û º Ö º Ø º Ü
Ü
Æ
Ü
Æ
Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ø Ý Û Ø « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Û º Ö º Ø º Ø
Ø
Æ
Ø
Æ
È Ö Ó Ø Ó Ò Ò Ø Ø Ý
Æ
Æ
Æ
Ó Ò ¹ Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ø Ý Û º Ö º Ø º Ò Ó Ò Ð Ò Ö Ü Ô Ö × × Ó Ò ×
Æ
Æ
Æ
Æ
º Í Ò Ú Ö × Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ì Õ Ù × Ø Ó Ò Ö × × Ó Ö Ø Ñ Ò - Ó Û Ù ́
Ü Ý µ × Ñ Ð Ö Ø Ý × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ü × Ø × ¸ º º ¸
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø « Ö Ò Ø × Ø Ö Ñ Û × Ô Ó × Ø Ó Ò × Ò Ø « Ö Ò Ø Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö × Ó Ð Ð Ô ×
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 50/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
Ô Ð Ó Ø Ø Ò × Ù Ø Ð Ý × Ð Ó Ó Ö Ò Ø × º
Ø Ö Ö Ø Ò × Ø Ò Ü
Ö Ó Ñ Ø Ð Ò Ó Ø Ô Ð Ø ´ Û Ö Ø Ð Ó Ð Ê Ý Ò Ó Ð ×
Ò Ù Ñ Ö Ê
Ü
Í
½
Ü × Ð Ö Ò Ó Ù µ ¸ Ø - Ó Û × Ð Ð Ù Ð Ð Ý Ú Ð Ó Ô Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø º
Ó Û Ø × Ù Ö Ô Ö × Ò Ò × Û Ö × × ¸ Ô Ö Ó Ú Ø - Ó Û × Ù Ð Ð Ý Ú Ð Ó Ô Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø º
̄ Ò Ó Ø Ý
Ý
́ Ü µ Ø Ð Ú Ø Ó Ò Û Ö
Ù ́ Ü Ý
µ ¼
Í
½
Û × Ð Ð Ø
Ó Ù Ò Ö Ý ¹ Ð Ý Ö Ø Ò × × º
̄ Ï ¬ Ò × Ó ¹ Ð Ð Ù Ò Ú Ö × Ð Ó Ó Ö Ò Ø ×
Ù
·
Ù
Ù
Ý
·
Ý Ù
Ù
Ö
Û
Û
Ù
Ý
Ý ¼
Û Ö
Û
× Ð Ð Û Ð Ð ¹ × Ö × Ø Ö × × ¸ × Ø × Ø Ó Ö Ü Ö Ø Ý Ø - Ù Ó Ò Ø
Û Ð Ð ´ Ó Ö Ú Ú Ö × Ý Û Ø Ó Ò ³ × Ð Û Ø Ó Õ Ù Ð × Ö ¹ Ø Ó µ º Ì Õ Ù Ò Ø Ø Ý Ù
×
Ñ Ò × Ó Ò Ó Ú Ð Ó Ø Ý Ò × Ð Ð Ö Ø Ó Ò Ú Ð Ó Ø Ý º
Á Ò ½ ¾ È Ö Ò Ø Ð Ó Ù Ò Ø Ø Ò Ø Ò Ö ¹ Û Ð Ð Ö Ó Ò Ý » ¼ ¾ Ý
Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ×
Ù Ò Ú Ö × Ð ´ º º ¸ Ò Ô Ò Ò Ø Ó × Ø Ö Ñ Û × Ô Ó × Ø Ó Ò Ü
Ò Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö µ Ò
Ú Ò Ý
Ù
·
́ Ù
·
µ
́
Ý
·
Ý
·
»
½
Ð Ò ́ Ý
·
µ · Ý
·
³ ¼
´ º ½ µ
Û Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
¼
½ ¸ Ò
½ º Á Ò Ø Ò Ø Ö Ñ Ø Ö Ò » Ý
·
» ¼ ̧
Ò Ó × Ñ Ô Ð Ò Ð Ý Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ú Ò º
º Ë Ø Ø × Ø Ð Ø Ó Ö Ý Ò Ñ Ó Ð Ð Ò
Ó Ö Ò Ø Ó À Ñ Ö ´ ½ ¾ ¿ µ Ô Ö Ó Ð Ñ × Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ô Ý × × À Ñ Ö ´ ½ ¾ ¿ µ
Ö Ð Ð Û Ð Ð ¹ Ô Ó × Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ö Ö Õ Ù Ö Ñ Ò Ø × Ö × Ø × ¬
̄ Ø Ö Ü × Ø × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
̄ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ù Ò Õ Ù Ð Ý Ø Ö Ñ Ò
̄ Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ô Ò × Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù × Ð Ý Ó Ò Ø Ø
Á Ò Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ó Û × ¸ Ø Ù Ò × Ø Ý - Ó Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù ́
Ü Ø µ × Ò Ó Ø Û Ð Ð ¹ Ô Ó × ¸ Ù Ø Ø Ö Ö
Ñ Ò Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × Ø Ù Ø Ó Ò × Û Ö Ø × Ø Ø × Ø Ð Ð Ý Ú Ö Ñ Ò ¹ - Ó Û × Û Ð Ð ¹ Ô Ó × º
Ì × Ø Ø × Ø Ð Ð Ý Ú Ö Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ó Ø Ò Ð Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ú Ö
Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × º
º º ½ Ì Ê Ý Ò Ó Ð × Ú Ö Æ Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ï Ô Ô Ð Ý Ø Ò × Ñ Ð Ú Ö Ò ¬ Ð Ø Ö ¡ Ø Ó Ø Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × º × ¬ Ð Ø Ö Ò
× Ð Ò Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ò Û Ø
Ø
Ù
·
Ö ¡ ́ Ù
ª Ù µ
·
½
Ö Ô
Ö ¡ ´ ¾ Ë ́ Ù
µ µ ¼
¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 51/72
º Ë Ø Ø × Ø Ð Ø Ó Ö Ý Ò Ñ Ó Ð Ð Ò
Ó Ö Ø Ò × Ñ Ð Ú Ö Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ò × Ò Ñ Ñ Ø Ð Ý ¸ Ø Ø ¬ Ð Ø Ö Ò Ò
« Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ñ Ù Ø Ø Ú Ó Ô Ö Ø Ó Ò ×
Ø
Ù
·
Ö ¡ Ù
ª Ù
·
½
Ö Ô
Ö ¡ ´ ¾ Ë ́
Ù
µ µ ¼ ´ º ½ µ
Ï Ø Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ø Ñ Ò ´ Ú Ö µ Ú Ð Ó Ø Ý Ò Ô Ö × × Ù Ö
Ù
Í Ô
È
À Ó Û Ú Ö ¸ Ø Ò Ó Ò ¹ Ð Ò Ö Ø Ö Ñ Ú × Ö × Ø Ó Ô Ö Ó Ð Ñ
Ù
ª Ù
Ù
ª Ù
Ø Ð × Ø ¸ Ø Ò Ó Ò ¹ Ð Ò Ö Ø Ö Ñ Ò Û Ö Ø Ø Ò Ò Ø Ó Ö Ñ
Ù
ª Ù
́
Í · Ù
¼
µ ª
́
Í · Ù
¼
µ
Í ª
Í · ¾
Í ª
Ù
¼
·
Ù
¼
ª Ù
¼
Í ª
Í · ¾
Í ª
Ù
¼
ß Þ
¼
·
Ù
¼
ª Ù
¼
Í ª
Í
·
Ù
¼
ª Ù
¼
Û Ö Ò Ø Ð × Ø Ð Ò Û Ù × Ø Ø Ø Ø
Í × Ò Ó Ð Ó Ò Ö Ö Ò Ó Ñ º Ï ¬ Ò Ð Ð Ý × Ù × Ø Ø Ù Ø
Ø Ö Ð Ø Ó Ò
Ù
ª Ù
Í ª
Í
·
Ù
¼
ª Ù
¼
Ò Ø Ó ´ º ½ µ Ò Ó Ø Ò
Ø
Í ·
Ö ¡ ́
Í ª
Í µ ·
Ö ¡ Ù
¼
ª
Ù
¼
·
½
Ö È
Ö ¡
¾ Ë ́
Í µ
¼
Ï Ð Ö Ý Ò Ó Û Ø Ø Ø Ñ Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø - Ø Ô Ð Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö ×
× Ø Ý × Ø Ø ¸ º º ¸
Í Ø ¼ º Ì × Ó ¹ Ð Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ú Ö Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ó Ñ
Ö ¡
Í ¼ ´ º ½ µ
Ö ¡ ́
Í ª
Í µ ·
Ö ¡ Ù
¼
ª
Ù
¼
·
½
Ö È
Ö ¡
¾ Ë ́
Í µ
¼ ´ º ¾ ¼ µ
Ê Ñ Ö ½ ̄ Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ ¼ µ × Ø Ó Ú Ö Ò Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ñ Ò - Ó Û Õ Ù Ò ¹
Ø Ø ×
Í ̧ È º
̄ À Ó Û Ú Ö ¸ Ø × Ö Õ Ù Ø Ó Ò × Û Ø ½ ¼ Ù Ò Ò Ó Û Ò × È ̧ Í
́ ½
¾ ¿ µ Ò
Ù
¼
Ù
¼
́ ½
¾ ¿ µ º À Ò Ø Ñ Ò ¹ - Ó Û Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ù Ò Ð Ó × º
̄ Ì Ê Ý Ò Ó Ð × Ú Ö Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × Ú Ø × Ñ Ó Ö Ñ × Ø Ó Ö ¹
Ò Ð Ú Ö ¹ Ë Ø Ó × Õ Ù Ø Ó Ò × ¸ Ù Ø Ó Ò ¹ Ü Ø Ö Ø Ö Ñ Ò Ð Ù º
̄ Ì × Ü Ø Ö Ø Ö Ñ
Ö ¡ Ù
¼
ª
Ù
¼
× Ð Ð Ø Ê Ý Ò Ó Ð × × Ø Ö × × Ø Ò × Ó Ö º
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 52/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
º º ¾ Ì Ê Ý Ò Ó Ð × × Ø Ö × × Ø Ò × Ó Ö
Ì Ê Ý Ò Ó Ð × × Ø Ö × × Ø Ò × Ó Ö
Ö ¡ Ù
¼
ª Ù
¼
Ö Ø Ú Ö « Ø Ó Ø Õ Ù Ö Ø ¸ Ò Ó Ò ¹
Ð Ò Ö Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ò Ú Ø Ó Ò Ø Ö Ñ º
Ï Ö Ð Ð Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ò Ú Ø Ú Ø Ö Ñ
Ö ¡ ́
Ù µ Ó Ö Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò ¹
« Ù × Ó Ò ¹ Ö Ø Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ º Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Û ×
Ø Ø
Î
́ Ù
µ ¡
Ò
Î
½
Ù
¡
Ò
Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ù
Ú × Ø Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó
Ò
Ü
¹ Ö Ø Ó Ò Ú Ø
Ó Ò Ú Ø Ú ¬ Ð Ù
Ô Ù Ø Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö ×
Î
Ù
¡
Ò
Ì Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó
Ù Ø Ó Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø
Ù
Ó Ø Ó Ò Ú Ø Ú ¬ Ð Ù
Ò Ü
¹ Ö Ø Ó Ò Ö Ó × × Ø Ô Ö Ø Ó Ø
Ó Ù Ò Ö Ý Ó Î Û Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò
¡
Ò
Ì × Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ò Ù × Ø Ó Ú Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ê Ý Ò Ó Ð × × Ø Ö × × Ø Ò × Ó Ö ¸
Û Ò Û Ö Ø Ø Ò Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ó Ö Ñ ×
Î
Ù
¼
ª
Ù
¼
Ò
Î
½
Ù
¼
Ù
¼
Ò
Á Ø × Û Ó Ö Ø Û Ð Ô Ó Ò Ø Ò Ó Ù Ø Ø Ø Ò Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ê Ý Ò Ó Ð × × Ø Ö × × Ø Ò × Ó Ö
̄ Ø Ó Ò Ú Ø Ú ¬ Ð × Ø Ö Ò Ó Ñ - Ù Ø Ù Ø Ò Ú Ð Ó Ø Ý ¬ Ð Ù
¼
̄ Ø Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Õ Ù Ò Ø Ø Ý × Ö Ò Ó Ñ - Ù Ø Ù Ø Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ù
¼
´ Ó Ö Ø Ó Ñ Ó Ö
Ô Ö × Ù
¼
Ì Ù × Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ù
Ù
Ú × Ø × Ø Ø × Ø Ð Ð Ý Ú Ö Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó Ö Ò Ó Ñ Ù
¼
¹
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ü
¹ Ö Ø Ó Ò Ù Ø Ó Ø Ö Ò Ó Ñ Ó Ò Ú Ø Ú ¬ Ð Ù
¼
º È Ù Ø Ò Ó Ø Ö Û Ó Ö ×
Î
Ù
¼
Ù
¼
Ò
Ë Ø Ø × Ø Ð Ð Ý Ú Ö
Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø ´ - Ù Ü µ Ó Ö Ò Ó Ñ Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ü
¹ Ö Ø Ó Ò Ù
¼
Ù Ø Ó Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ù
¼
Ó Ø Ö Ò Ó Ñ Ó Ò Ú Ø Ú ¬ Ð Ù
¼
Ò Ü
¹ Ö Ø Ó Ò Ö Ó × × Ø Ô Ö Ø Ó Ø
Ó Ù Ò Ö Ý Ó Î Û Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò
¡
Ò
º º ¿ Ì Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ó Ö Ø - Ø Ô Ð Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö Õ Ù Ø Ó Ò Û Ð Ö Ý Ò Ó Û Ø Ø Ø × Ø Ý
Ñ Ò ¹ - Ó Û × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ó Ö Ñ
Í ́ Ü µ
Í ́ Ü Ý
µ
Ü
º Ï Ø Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ø Ò × Ø Þ
Í
¼
Í
Î
¼
½
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 53/72
º Ë Ø Ø × Ø Ð Ø Ó Ö Ý Ò Ñ Ó Ð Ð Ò
Ò Ø Ó Ø Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Í
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò ´ º ¾ ¼ µ Ò Ó Ø Ò
Í
Ü
Í ·
Î
Ý
Í ·
Ü
Ù
¼
Ù
¼
·
Ý
Ù
¼
Ú
¼
·
½
È
Ü
¾
Í
Ü
¾
¾
Í
Ý
¾
¼
Ì × Õ Ù Ø Ó Ò × Ð Ð Ó Ù Ò Ö Ý ¹ Ð Ý Ö Õ Ù Ø Ó Ò Ù × Ø × × Ó Ò Ø Ò × Ø Þ
× Ò Ó Ö Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û × º Ó Û Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ó Ò Ð × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × Ö Ñ
Í
Ü
Í Ç ´ ½ µ
Î
Ý
Í Ç ´ ½ µ
Ü
Ù
¼
Ù
¼
Ç ´ ½ µ
¾
Í
Ü
¾
Ç ´ ½ µ
½
È
Ü
Ç ´ ½ µ ´ º ¾ ½ µ
Û Ö Ð Ð × Ø × ¬ Ô Ö Ó Ú Ø Ô Ö × × Ù Ö Ö Ò Ø × Ò Ð Ð × Ñ Ð Ð º Ì Ò Ø
Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö Õ Ù Ø Ó Ò × Ö Ù Ø Ó
Ý
Ù
¼
Ú
¼
¾
Í
Ý
¾
¼
Ì × Õ Ù Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ð Ð Õ Ù Ð Ö Ù Ñ × Ø Ö × × Ð Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ó Û Ú Ö ¸ Ø × Õ Ù ¹
Ø Ó Ò × Ù Ò Ð Ó × × Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ù Ø Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ñ Ù
¼
Ú
¼
× Ù Ò Ò Ó Û Ò º
º º È Ö Ò Ø Ð ³ × Ñ Ü Ò Ð Ò Ø Ñ Ó Ð
Á Ò ½ ¾ ¸ Ä Ù Û È Ö Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò Ô Ø Ø Ó Ñ Ó Ð Ù
¼
Ú
¼
Ù
¼
Ú
¼
Ø
Í
Ý
´ º ¾ ¾ µ
Ø Ó Ø Ö Û Ø Ò Ð Ö Ñ Ó Ð Ó Ö Ø × Ó ¹ Ð Ð Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ú × Ó × Ø Ý Ó Ö Ý Ú × Ó × Ø Ý
Ø
× Ò Ó Ö Û Ð Ð ¹ Ó Ù Ò - Ó Û ×
Ø
Ø
́ Í Í Ý Ý
µ
Ë Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ø Õ Ù Ð Ö Ù Ñ × Ø Ö × × Ð Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ú ×
Ý
́ ·
Ø
µ
Í
Ý
¼ ´ º ¾ ¿ µ
Ê Ñ Ö ½ Õ Ù Ø Ó Ò ´ º ¾ ¿ µ × Ø Ø × Ø Ø Ò Ø Ò Ö ¹ Û Ð Ð Ö Ó Ò Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý
Ð Ý Ö - Ó Û ¸ Ø Ó Ñ Ò Ò Ø Ô Ö Ó × × × « Ù × Ó Ò Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Û Ð Ð ¹ Ò Ó Ö Ñ Ð Ö Ø Ó Ò º
Ì Ö Ö Ø Û Ó « Ö Ò Ø × Ó Ù Ö × Ó Û Ð Ð ¹ Ò Ó Ö Ñ Ð « Ù × Ó Ò ¸ Ú Þ º ¸ ´ µ Ð Ñ Ò Ö « Ù × Ó Ò Ù
Ø Ó Ø Ø Ö Ñ Ð Ö Ò Ó Ñ Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ó Ð Ù Ð × Ò ´ µ Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø « Ù × Ó Ò Ù Ø Ó Ø
Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ù Ø Ù Ø Ó Ò Ñ Ó Ø Ó Ò Ó Ø - Ù º
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 54/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
Ì Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ú × Ó × Ø Ý
Ø
× Ó Ñ Ò × Ó Ò Ñ
¾
×
½
º Ì × Ñ Ó Ø Ú Ø × Ø Ò × Ø Þ Ø Ó Û Ö Ø
Ø
× Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ö Ø Ö × Ø Ú Ð Ó Ø Ý Ù
£
Ò Ö Ø Ö × Ø Ð Ò Ø Ð
Ñ
Ø
Ù
£
Ð
Ñ
Ì Ò Ø Ù Ö Ð Ð Ò Ø × Ð Ö Ó Ñ Ø Ð Û Ó Ø Û Ð Ð × Ø Ö Ø Ó Ò Ú Ð Ó Ø Ý Ù
¸ Ò Ø
Ò Ø Ù Ö Ð Ð Ò Ø × Ð Ó Ö Û Ð Ð ¹ Ó Ù Ò - Ó Û × Ø Û Ð Ð ¹ × Ø Ò
Ù
£
Ù
Ð
Ñ
Ý
Û Ø × Ù Ø Ð Ó Ò × Ø Ò Ø
Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ð Ø Ö º
Ù
¼
Ú
¼
Ø
Í
Ý
Ø
Ù
Ý ´ º ¾ µ
Ó Ø Ø Ø Ù Ø Ó Ø Ò Ó ¹ × Ð Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ù ́
¡ Ø µ ¼ ¸
Í ¼ ̧
Ù
¼
¼ Ø Ø Û Ð Ð Ò Ò
Ù
¼
Ú
¼
¼ Ø Ø Û Ð Ð º
º º Í Ò Ú Ö × Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö Õ Ù Ø Ó Ò ×
Ó Û Û Ò Ø Ö Ø Ø Õ Ù Ð Ö Ù Ñ × Ø Ö × × Ð Ò Õ Ù Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ý
¼
¼ Ø Ó Ý
¼
Ý
Ý
¼
Ý
́ ·
Ø
µ
Í
Ý
Ý
¼
́ ·
Ø
µ
Í
Ý
Ý
Í
Ý
Ý ¼
×
Ø
Ù
Ý Ú Ò × × Ø Ø Û Ð Ð Ý
¼ Ò Ò
́ ·
Ø
µ
Í
Ý
Ý
Í
Ý
Ý ¼
Û
Ó Û Û Û Ö Ø Ò Ù Ò Ú Ö × Ð Ó Ó Ö Ò Ø ×
Ù
·
Í
Ù
Ý
·
Ý Ù
·
Ø
Ø
´ º ¾ µ
Ì Ò Ø Ò Ö Ù Ð Ó Ö « Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ú ×
́ ·
Ø
µ
Í
Ù
·
Ù
·
Ý
·
Ý
·
Ý
Û
̧ ́ ·
Ø
µ
Ù
¾
Ù
·
Ý
·
Û
̧
́ ·
Ø
µ
Ù
·
Ý
·
½
Ù
¾
Û
̧ ´ ½ ·
·
Ø
µ
Ù
·
Ý
·
½
Á Ò Ù Ò Ú Ö × Ð Ó Ó Ö Ò Ø × ¸ È Ö Ò Ø Ð ³ × Ñ Ó Ð Ó Ö
Ø
Ó Ñ ×
·
Ø
Ø
Ù
Ý
Ý
·
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 55/72
º ¹
Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ñ Ó Ð
Ê Ñ Ö ½ Ì Ø Ø Ø Ø Ñ Ò ¹ - Ó Û Ò Ø Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø - Ù Ø Ù Ø Ó Ò × Ö Þ Ö Ó Ø
Ø Û Ð Ð Ñ Ô Ð × Ø Ø Ù
¼
Ú
¼
¼ º Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ò × Õ Ù Ò × Ø Ø Ù
¼
Ú
¼
Ò Ò
Ø
Ö Ñ Ù × Ñ Ð Ð Ö Ó Ö Ý · »
½ ¼ Ø Ò Ô Ö Ø Ý Ø È Ö Ò Ø Ð Ö Ð Ø Ó Ò º Ì × « Ø
× Ð Ð Ð Ó Ò × Ø × Ø Ñ × Ö Ó Ñ Ø Ú × Ó Ù × « Ø Ó Ø Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ý Ó Ø Û Ð Ð º Á Ø ×
Ñ Ó Ð Ð Ý Ö Ù Ò
Ø
Ú Ö Ý Ð Ó × Ø Ó Ø Û Ð Ð º º ¸ Ý Ù × Ò Ø × Ó ¹ Ð Ð Ú Ò Ö × Ø
Ñ Ô Ò Ù Ò Ø Ó Ò ́ Ý
·
µ ½
Ý
·
¾
·
Ø
Ý
·
½
Ý
·
¾
Ê Ñ Ö ½ Ó Ø Ø Ø Ø Ò Ó Ò ¹ Ñ Ò × Ó Ò Ð Û Ð Ð ¹ × Ø Ò Ý
·
Ý Ù
Ò Ò Ø Ö ¹
Ô Ö Ø × Ð Ó Ð Ê Ý Ò Ó Ð × Ò Ù Ñ Ö º Ì Ö Ó Ö Ó Ö × Ñ Ð Ð Ý
·
¹ Ú Ð Ù × ´ Ú Ö Ý Ð Ó × Ø Ó Ø
Û Ð Ð µ Û Ò × × Ù Ñ Ð Ñ Ò Ö - Ó Û ¸ Û Ö × Ó Ö Ð Ö Ý
·
¹ Ú Ð Ù × Ù Ð Ð Ý Ú Ð Ó Ô Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ø
- Ó Û Ó Ò Ø Ó Ò × Ö Ü Ô Ø º
Î × Ó Ù × × Ù Ð Ý Ö º Ý
·
» Î Ö Ý Ð Ó × Ø Ó Ø Û Ð Ð ¸ Ù Ø Ó
Ù
¼
Ú
¼
Ý ¼
¼ Û
Ú
Ø
Ò Ø Ù ×
·
Ø
½
µ
Ù
·
Ý
·
½ µ Ù
·
Ý
·
Ä Ó Ö Ø Ñ Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö º Ý
·
³ ¼ Ø × Ù Æ Ò Ø × Ø Ò Ö Ó Ñ Ø
Û Ð Ð ¸
Ø
Ò Ø Ù ×
·
Ø
Ý
·
½
µ
Ù
·
Ý
·
½
Ý
·
µ Ù
·
½
Ð Ò Ý
·
· ´ º ¾ µ
Ì Ó Ò × Ø Ò Ø ×
Ò
Ö Ø Ö Ñ Ò Ý Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Û Ø Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ð Ø
¼
½ ̧
½ º
Ù Ø Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ô Ò Ò Ù
·
Ð Ò Ý
·
¸ Ø Ö Ð Ø Ó Ò ´ º ¾ µ × Ð Ð
Ð Ó Ö Ø Ñ Ð Û Ó Ø Û Ð Ð ¸ Ò Ø Ö Ó Ò ´ ¼ Ù
¼ ¾ Ý
µ Û Ö ´ º ¾ µ Ó Ð × ×
Ð Ð Ð Ó Ö Ø Ñ Ô Ö Ø Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö º
Ê Ñ Ö ½ Ï Ò Ó Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ô Ö Ø Ó Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö
Ù
Ý
Í
Ý
Û × Ø Ö Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ð Ð Ý Ù × Ý È Ö Ò Ø Ð Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ö Ó Ñ
Í
Ý
Ý
Í
Ù
·
Ù
·
Ý
·
Ý
·
Ý
Ý Ù
½
Ý Ù
Ù
Ý
Ù
Ö Ó Ñ Ø × Ö Ð Ø Ó Ò Ø Ò × Ò Ø Ø Ø È Ö Ò Ø Ð Ñ Ü Ò Ð Ò Ø Ñ Ó Ð × Ò Ð Ö
Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ñ Ó Ð
Ø
Ø
́ Í Í Ý
µ ¸ Û Ö × Ò Ø × Ó Ö Ò Ð Ó Ö Ñ
Ù
¼
Ú
¼
Ø
Í
Ý
Ø
Ð
¾
Ñ
Í
Ý
Ð
Ñ
Ý
Û Ö Ð
Ñ
× Ð Ð Ñ Ü Ò Ð Ò Ø º
º ¹
Ø Ù Ö Ù Ð Ò Ñ Ó Ð
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 56/72
Ì Ù Ö Ù Ð Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ð Ý Ö - Ó Û ×
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 57/72
¹ Å Ó Ö × Ð Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û ×
Ì Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò Õ Ù Ø Ó Ò × Ø Ò Ó Ò ¹ Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó Ö Ñ Ó Ø Ð Ò Ö × Ð Ö Ó Ò × Ö ¹
Ú Ø Ó Ò Ð Û
Ö ¡ ́
Ù µ
Ò ª ´ º ½ µ
Ì Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ó × Ð Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û Ö ×
Ö ¡
́ Ù µ
Ò ª ´ º ¾ µ
Û Ö
× Ð Ð - Ù Ü Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò Ø Ð Ò Ö ×
́ Ù µ
Ù º Ó Ö ¬ Ö × Ø Ó Ö Ö Ô Ö Ó Ð Ñ × ¸
Ó Ö Ò Ø Ó Ö Ø Ö × Ø Ø Ó Ö Ý Ó Ò Ð Ý Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò × Ø Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý
Ò Ô Ö × Ö Ò
Ö ¡
́ Ù µ
Ò ª ´ º ¿ µ
Ù Ó Ò
´ º µ
º ½ Ï Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö ¹ Å
Ï Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ý Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Û Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ú
Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ú Ö Ø Ó Ñ Ò ª
ª
Ö ¡
́ Ù µ Ú Ü
ª
Ú Ü
Ï Û Ö Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ú Ö ª × × Ù Ñ Ó Ú Ö Ð Ð Ð Ð Ã
Ò Ô Ô Ð Ý Ø Ö Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò
Ý Ô Ö Ø × Ó Ò Ð Ð Ã
ª
Ö ¡
́ Ù µ Ú Ü
ª
Ú Ü
̧
à ¾ Ì
Ã
Ö ¡
́ Ù µ Ú Ü
à ¾ Ì
Ã
Ú Ü
̧
à ¾ Ì
Ã
́ Ù µ ¡
Ö Ú Ü ·
Ã
́ Ù µ ¡ Ò Ú
×
à ¾ Ì
Ã
Ú Ü
Û Ö Ò
× Ø Ó Ù Ø Û Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ã º Ì × × Ø Û Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ù × Ø Ó
¬ Ò Ø ¹ Ñ Ø Ó × º
Ó Û Û Ò Ø Ö Ó Ù Ø ¬ Ò Ø Ð Ñ Ò Ø × Ô × × × Ó Ø Ø Ó Ø Ø Ö Ò Ù Ð Ø Ó Ò Ì
Ã
Ó ª º Ï × Ø
Î
Ú ¾
Ä
¾
´ ª µ Ú
Ã
¾ È ́ Ã µ
Ã
¾ Ì
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 58/72
¹ Å Ó Ö × Ð Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û ×
Û Ö È ́ Ã
µ × Ø × Ô Ó Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ö Ð × × Ø Ò Ó Õ Ù Ð Ô
½ Ó Ò
à º
Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ö ×
Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø Ã
¾ Ì
Ã
́ Ù µ ¡
Ö Ú Ü ·
Ã
́ Ù µ ¡ Ò Ú
×
Ã
Ú Ü
Ú
¾ È ́ Ã
µ ´ º µ
À × Ø Ó Ö Ð Ð Ý ¸ Ø × Û Ð Ð Ò Ó Û Ò Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó ´ º µ × Ò Ó Ø × Ø Ð º
Ï Ö Ñ Ö Ø Ø Ó Ö × Ø Ø Ò Ú
½ Ø Ð × × Ð ¬ Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó ´ Î Å µ × Ö Ó Ú Ö
Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø
Ã
́ Ù µ ¡
Ò ×
Ã
Ü
à ¾ Ì
´ º µ
Á Ò Î Å Ø Ø Ö Ñ
́ Ù µ Ò Ø × Ù Ö Ò Ø Ö Ð × Ö Ô Ð Ý × Ù Ø Ð Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò
Ð Ð Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ò Ò Ó Ø Ý
́ Ù µ
Ã
́ Ù µ ¡
Ò ×
Ã
́ Ù µ ¡
Ò × ´ º µ
Ì Ó Ó Ø Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ø Ö Ñ Ò × × Ø Ð Ø Ý Ò Ù Ö Ý Ó Ø Ñ Ø Ó Ò
Ð × Ó « Ø × º º Ø × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ý Ó Ø × Ø « Ò × × Ñ Ø Ö Ü º
Ì Ö Ó Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ö Ð ¹ Å Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò × Ó Ò × Ö
Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø Ã
¾ Ì
Ã
́ Ù µ ¡
Ö Ú Ü ·
Ã
́ Ù µ ¡ Ò Ú
×
Ã
Ú Ü
Ú
¾ È ́ Ã
µ ´ º µ
º ¾ Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ø Ò ¸ Ø Ö × Ò Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü ×
̄ Ì × Ô Ó × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Î
× × Ù × Ô Ó À
½
́ Ì
µ Û × ¬ Ò Ý
À
½
́ Ì
µ Ú
ª Ê Ú
Ã
¾ À
½
́ Ã µ
à ¾ Ì
̄ Ì Ø Ö × Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ò À
½
́ Ì
µ Ñ Ý ¬ Ò × Ó Ð Ð Ó Û × ¬ Ò Ø Ù Ò Ó Ò Ó
Ó Ù Ò Ö × Ò Ò Ò Ö Ó Ù Ò Ö × Ó Ø Ð Ñ Ò Ø × Ã
¾ Ì
Í Ò Ó Ò Ó Ó Ù Ò Ö × Ó Ø Ð Ñ Ò Ø ×
à ¾ Ì
Ã
Í Ò Ó Ò Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ò Ö × Ó Ø Ð Ñ Ò Ø ×
¼
Ò ª
Ì Ò Ø Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ó Ò × Ò À
½
́ Ì
µ × Ú Ò Ý
-
Ì
À
½
́ Ì
µ
Ì ´ µ
¥
à ¾ Ì
Ä
¾
́ Ã
µ
Ù
-
Ì
Ù ¥
à ¾ Ì
-
Ã
Ù
Ù Ò Ø Ó Ò × Ò Ì
´ µ Ö Ø Ù × Ó Ù Ð ¹ Ú Ð Ù Ó Ò
¼
Ò × Ò Ð ¹ Ú Ð Ù Ó Ò
ª º
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 59/72
º ¿ Â Ù Ñ Ô Ò Ú Ö Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö ×
̄ Ì × Ô Ä
¾
´ µ Ò Ø Ò Ò Ø ¬ × Ø × Ù × Ô Ó Ì
´ µ Ó Ò × × Ø Ò Ó
Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ö Û Ø Ø Û Ó Ú Ð Ù × Ó Ò Ó Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ò Ð ×
Ä
¾
´ µ -
Ì
Ú ¾
Ì ´ µ
-
Ã
Ú -
Ã
Ú
Ã
Ã
Ì Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Ó × Ð Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û Û Ø - Ù Ü Ù Ò Ø Ó Ò
Ö ×
Ö ¡
́ Ù µ
Ò ª
Ì Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ò Ö Ù Ò Ø Ó Ò ×
À
½
́ Ì
µ ℄
Ì
´ µ ℄
´ º µ
¬ Ò Ø Ó Ò ½ ¿ Ì Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ú Ø Ó Ö
́ Ù µ × Ð Ð Ó Ò × × Ø Ò Ø
́ Ù µ
́ Ù µ
´ º ½ ¼ µ
́ Ù µ × Ð Ð Ó Ò × Ö Ú Ø Ú
́ Ù µ × × Ò Ð ¹ Ú Ð Ù Ó Ò
Ì Ø Ö Ñ Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó Ñ × Ö Ó Ñ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ý ¸ Û Ó Ð × Û Ò ¹
Ú Ö Ø Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ú Ø Ó Ö × × Ò Ð ¹ Ú Ð Ù Ò Ó Ø Ë
Ø Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ý Ó Ð Ð Ø Ó Ò
Ó Ð Ñ Ò Ø × ¸ Ø Ò ´ º ½ µ Ó Ñ ×
Ë
́ Ù µ ¡
Ò ×
Ë
Ü
× Ò Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ò Ò Ò Ö Ó Ù Ò Ö × Ó Ë
Ñ Ù Ø Ù Ð Ð Ý Ò Ð Ó Ù Ø º
º ¿ Â Ù Ñ Ô Ò Ú Ö Ò Ó Ô Ö Ø Ó Ö ×
Á Ò Ø × × Ø Ó Ò Û Ò Ø Ö Ó Ù × Ó Ñ Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ó Ö × Ø Ø Û Ð Ð Ð Ô Ù × Ø Ó Ó Ô Ö Ø Û Ø Ø
Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü × Ò Ø Ó Ó Ø Ò Ø × Ö ¹ Å Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò º Ó Ö × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò ×
Õ ¾
Ì ´ µ Ò Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ù Ù Ò Ø Ó Ò ×
¾
Ì ´ µ ℄
Û Û Ò Ø Ø Ó ¬ Ò Ú Ö Õ
̧
Ô
Ò Ù Ñ Ô Õ
̧
Ó Ò Ø × Ð Ø Ó Ò Ó Ò Ò Ö ×
¼
× Ó Ð Ð Ó Û × º
¬ Ò Ø Ó Ò ½ ´ Ú Ö Ò Ù Ñ Ô Ó Ô Ö Ø Ó Ö µ Ò Ó Ø
Ø × Ø Ó Ð Ð × Ò
¼
Ø × Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö × º Ä Ø
¾
¼
Ò Ò Ø Ö Ó Ö × Ö Ý Ð Ñ Ò Ø × Ã
½
̧ Ã
¾
º
¬ Ò Ø Ù Ò Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö × Ò
½
̧ Ò
¾
Ó Ò
Ô Ó Ò Ø Ò Ü Ø Ö Ó Ö Ø Ó Ã
½
Ò Ã
¾
¸ Ö × Ô Ø Ú Ð Ý º
Ï × Ø Õ
Õ
Ã
Ò ¬ Ò Ó Ò
¡ Ì
´ µ Ä
¾
´
¼
µ ¡
Ì ´ µ
Ä
¾
´
¼
µ ℄
Õ
½
¾
́ Õ
½
· Õ
¾
µ
Õ
Õ
½
Ò
½
· Õ
¾
Ò
¾
Ó Ò
¾
¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 60/72
¹ Å Ó Ö × Ð Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û ×
Ó Ö
¾
Ì ´ µ ℄
Û ¬ Ò
½
Ò
¾
Ò Ð Ó Ó Ù × Ð Ý Ý
¡ Ì
´ µ ℄
Ä
¾
´
¼
µ ℄
¡ Ì
´ µ ℄
Ä
¾
´
¼
µ
½
¾
́
½
·
¾
µ
½
Ò
½
·
¾
Ò
¾
Ó Ò
¾
¼
Ò Ó Ø
Ø × Ø Ó Ó Ù Ò Ö Ý × º Ó Ö
¾
Û × Ø
Õ
Õ Ò
Ó Ò
¾
´ º ½ ½ µ
Ó Ø Ø Ø Ø Ù Ñ Ô Õ
Ó × Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ò Õ
× Ú Ø Ó Ö Ô Ö Ð Ð Ð Ø Ó Ø Ò Ó Ö Ñ Ð ¸
Ò Ø Ù Ñ Ô
Ó Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ó Ò
× × Ð Ö Õ Ù Ò Ø Ø Ý º Ì × ¬ Ò Ø Ó Ò × Ø
Ú Ò Ø Ø Ø Ø Ó × Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ò × × Ò Ò Ò Ý Ó Ö Ö Ò Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø × Ã
º
Å Ó Ö Ó Ú Ö Û Ò Ó Ø Ø Ø Ó Ò Ó Ù Ò Ö Ý × Õ
Ò
Ò Ò Ó Ø Ø Ó ¬ Ò ×
× Ù Ø Ö Ñ × Ó Ò Ó Ø Ô Ô Ö Ò Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò × º
Ä Ñ Ñ ½ Ó Ö Ð Ð Õ
¾ Ì
´ µ Ò Ó Ö Ð Ð
¾
Ì ´ µ ℄
Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ò Ø Ø Ý Ó Ð ×
à ¾ Ì
Ã
Õ
¡
Ò ×
Õ
¡
× ·
¼
Õ
× ´ º ½ ¾ µ
È Ö Ó Ó º Ï Û Ö Ø Ø Ö Ø Ò × ×
Õ
¡
× ·
¼
Õ
×
ª
Õ
¡
× ·
¼
Õ
¡
× ·
¼
Õ
×
Ù Ø Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ó Ù Ò Ö Ý × º ½ ½ Û Ú
ª
Õ
¡
×
ª
Õ
¡
Ò ×
Ó Û Û Ó Ò × Ö Ò Ò Ò Ö
¾
¼
Ó Ñ Ñ Ó Ò Ø Ó Ã
½
Ò Ã
¾
Õ
¡
× ·
Õ
×
́ Õ
½
Ò
½
· Õ
¾
Ò
¾
µ ¡
½
·
¾
¾
× ·
½
¾
́ Õ
½
· Õ
¾
µ ́
½
¡ Ò
½
·
¾
¡ Ò
¾
µ ×
Õ
½
Ò
½
¡
½
¾
× ·
Õ
½
Ò
½
¡
¾
¾
× ·
Õ
¾
Ò
¾
¡
½
¾
× ·
Õ
¾
Ò
¾
¡
¾
¾
×
·
Õ
½
¾
½
¡ Ò
½
× ·
Õ
½
¾
¾
¡ Ò
¾
× ·
Õ
¾
¾
½
¡ Ò
½
× ·
Õ
¾
¾
¾
¡ Ò
¾
×
Õ
½
½
¡ Ò
½
× ·
Õ
¾
¾
¡ Ò
¾
×
Ë Ù Ñ Ñ Ò Ó Ú Ö Ð Ð Ã
Ø Ò Ú × Ø × × Ö Ø Ó Ò º ¾
¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 61/72
º ¹ Å Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ý Ô Ö Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ ×
º ¹ Å Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ý Ô Ö Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Ó Û Û Ô Ô Ð Ý Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Ø Ó
à ¾ Ì
Ã
́ Ù µ ¡ Ò Ú
×
Ï × Ø
́ Ù µ Ò
Õ Ú º Ë Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü × × × Ù Ñ Ø Ó Ó Ò × Ö Ú Ø Ú
Ø Ù Ñ Ô
́ Ù µ Ú Ò × × Ò Û Ó Ø Ò
à ¾ Ì
Ã
́ Ù µ ¡ Ò Ú
×
¾
́ Ù µ ¡
Ò
Ú
×
́ Ù µ ¡
Ò
Ú
× ·
́ Ù µ ¡
Ò
Ú
×
Ç Ò Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý
Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ò Ø Ó Ò Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø º Ì Ò Ø
Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ ×
Ò Ù
¾ Î
× Ù Ø Ø ́ Ù
Ú µ · ́ Ù
Ú µ
£
́ Ú µ · Ú
Ú ¾
Î
´ º ½ ¿ µ
Û Ø
́ Ù Ú µ
à ¾ Ì
Ã
́ Ù µ ¡
Ö Ú
Ü ´ º ½ µ
́ Ù Ú µ
́ Ù µ ¡
Ò
Ú
× ´ º ½ µ
£
́ Ú µ
ª
Ú Ü
´ º ½ µ
Ú
́ µ ¡
Ò
Ú
× ´ º ½ µ
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 62/72
¹ Å Ó Ö × Ð Ö Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û ×
¾
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 63/72
¹ Å Ó Ö « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Á Ò Ø × Ô Ø Ö Ø ¹ Å Ó Ö « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ × × × Ö º Ó Ö × Ó
× Ñ Ô Ð Ø Ý Û Ó Ò × Ö Ø Ð Ô Ð Ô Ö Ó Ð Ñ
¡ Ù
Ò ª
Ù ¼ Ó Ò
ª
Û Ö ª × × × Ù Ñ Ø Ó Ô Ó Ð Ý Ó Ò Ð Ó Ñ Ò Ò
× Ú Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ò Ä
¾
´ ª µ º
º ½ Ï Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö ¹ Å Ó Ö « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô
Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Á Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ô Ø Ö Ø Û × × Ö Ø Ø ¹ Å × Ò Ø Ù Ö Ð Ð Ý Ô Ô Ð Ø Ó Ø
Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò
Ö ¡
́ Ù µ
º Ì × Ñ Ó Ø Ú Ø × Ø Ó Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ø Ä Ô Ð
Ô Ö Ó Ð Ñ × ¬ Ö × Ø ¹ Ó Ö Ö × Ý × Ø Ñ
Ö Ù
Ö ¡
Ò ª
Ù ¼ Ó Ò
ª
Å Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò Ó Ø × Õ Ù Ø Ó Ò × Ý Ø × Ø Ù Ò Ø Ó Ò ×
Ò Ú
Ö × Ô Ø Ú Ð Ý ¸ Ò Ø Ö Ø Ó Ò
Ó Ú Ö Ø Ó Ñ Ò ª Ò Û Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ó Ú Ö ª × × Ù Ñ Ó Ú Ö Ð Ð Ð Ð Ã
Ú ×
à ¾ Ì
Ã
¡
Ü
à ¾ Ì
Ã
Ö Ù
¡ Ü
à ¾ Ì
Ã
Ö ¡ Ú Ü
à ¾ Ì
Ã
Ú Ü
Ï Ô Ô Ð Ý Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ø Ö Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ý Ô Ö Ø × Ó Ò Ð Ð Ã
à ¾ Ì
Ã
¡
Ü
à ¾ Ì
Ã
Ù
Ö ¡ Ü ·
Ã
Ù ¡ Ò ×
à ¾ Ì
Ã
¡
Ö Ú Ü
à ¾ Ì
Ã
Ú Ü ·
Ã
¡ Ò Ú
×
¿
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 64/72
¹ Å Ó Ö « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Û Ö Ò
× Ø Ó Ù Ø Û Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ã º Ì × × Ø Û Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ù × Ø Ó
¬ Ò Ø ¹ Ñ Ø Ó × º Ï ¬ Ò Ø Ø × Ø ¹ Ò Ò × Ø Þ ¹ × Ô ×
Î
Ú ¾
Ä
¾
´ ª µ Ú
Ã
¾ È ́ Ã µ
Ã
¾ Ì
¦
¾
Ä
¾
´ ª µ ℄
Ú
Ã
¾
È ́ Ã
µ ℄
Ã
¾ Ì
Ì Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Û Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ý Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü ×
Ò
Ù × × Ù Ø Ð Ô Ô Ö Ó Ü Ñ Ø Ó Ò × Ó Ö
Ö Ù
Ò Ù
Ó Ò Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ó Ã
Ò Ù
¾ Î
Ò
¾ ¦
× Ù Ø Ø Ã
¾ Ì
à ¾ Ì
Ã
¡ Ü
à ¾ Ì
Ã
Ù
Ö ¡ Ü ·
Ã
Ù
¡
Ò ×
¾
È ́ Ã
µ ℄
¾
à ¾ Ì
Ã
¡
Ö Ú Ü
à ¾ Ì
Ã
Ú Ü ·
Ã
¡ Ò Ú ×
Ú
¾ È ́ Ã µ
Ï × Ù Ñ Ó Ò Ø Ö Ö Ð × Ó Ú Ö Ð Ð × Ã
Ò Û Ö Ø Ø Ò × Ò Ø Ö Ð Ó Ú Ö ª
ª
¡ Ü
ª
Ù
Ö ¡ Ü ·
à ¾ Ì
Ã
Ù
¡
Ò ×
ª
¡
Ö Ú Ü
ª
Ú Ü ·
à ¾ Ì
Ã
¡ Ò Ú ×
Ú
¾ È ́ Ã µ
Ó Û Û Ô Ô Ð Ý Ä Ñ Ñ ½ Ò Ó Ø Ò
ª
¡ Ü
ª
Ù
Ö ¡ Ü ·
Ù
× ·
¼
Ù
×
´ º ½ µ
ª
¡
Ö Ú Ü
ª
Ú Ü ·
Ú
× ·
¼
Ú
× ´ º ¾ µ
Ó Û Û Û Ò Ø Ø Ó Ü Ô Ö × ×
× Ó Ð Ð Ý Ò Ø Ö Ñ × Ó Ù
¸ × Ó Ø Ø Ø ¬ Ò Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Û Ð Ð
Ó Ò Ð Ý Ò Ú Ó Ð Ú Ù
º Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × ¸ Û Ó Ò × Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ö Ð Ø Ó Ò ¸ Û Ð × Ó Ó Ð Ð Ó Û ×
Ö Ó Ñ Ä Ñ Ñ ½
ª
Ö ¡ Ú Ü
ª
¡
Ö Ú Ü
ª
¡ Ò Ú
×
ª
¡
Ö Ú Ü
Ú
× ·
¼
Ú
×
Á Ò Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Û × Ø Ú Ù
ª
Ö ¡ Ù
Ü
ª
¡
Ö Ù
Ü
Ù
× ·
¼
Ú
× ´ º ¿ µ
Ë Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Ò Ø Ó ´ º ½ µ Ú ×
ª
¡ Ü
ª
Ö Ù
¡ Ü ·
Ù
Ù
× ·
¼
Ù
Ù
×
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 65/72
º ¾ Ó Ò × × Ø Ò Ý Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò
Á Ò Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Û Ø
Ö Ú
Ò Ó Ø Ò
ª
¡
Ö Ú Ü
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
Ù
Ù
Ö Ú
× ·
¼
Ù
Ù
Ö Ú
×
Ì Ð Ø Ò × Ó Ø × Õ Ù Ø Ó Ò × Ø Ò × Ù × Ø Ø Ù Ø Ò Ø Ó ´ º ¾ µ
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
Ù
Ù
Ö Ú
× ·
¼
Ù
Ù
Ö Ú
×
ª
Ú Ü ·
Ú
× ·
¼
Ú
×
Û × Û Ö Ø Ø Ò ×
́ Ù
Ú µ
ª
Ú Ü
Ú
¾ Î
´ º µ
Û Ø
́ Ù
Ú µ
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
Ù
Ù
Ö Ú
Ú
×
·
¼
Ù
Ù
Ö Ú
Ú
×
´ º µ
º ¾ Ó Ò × × Ø Ò Ý Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò
Ä Ø Ù
× Ó Ð Ú Ø Ó Ù Ò Ö Ý Ú Ð Ù Ô Ö Ó Ð Ñ
¡ Ù
Ò ª
Ù ¼ Ó Ò
ª
Ï Ó Ò × Ö ´ º ¿ µ Û Ø Ú
¾ À
¾
́ Ì
µ ´ Ö Ð Ð Ø Ø Ø Ò Ý ¬ Ò Ø Ó Ò Ú
¾ À
¾
́ Ã µ
à ¾ Ì
µ
ª
Ö ¡ Ú Ü
ª
¡
Ö Ú Ü
Ú
× ·
¼
Ú
×
Û × Ø
Ö Ù
Ò Ó Ø Ò
ª
¡ Ù
Ú Ü
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü
Ö Ù
Ú
×
¼
Ö Ù
Ú
×
Ì × × × Ù × Ø Ø Ù Ø Ò Ø Ó ´ º µ Ò Û Ó Ø Ò
́ Ù
Ú µ
ª
Ö Ù
¡
Ö Ú Ü ·
Ù
Ù
Ö Ú
Ú
×
·
¼
Ù
Ù
Ö Ú
Ú
×
ª
¡ Ù
Ú Ü ·
Ö Ù
Ú
× ·
¼
Ö Ù
Ú
×
·
Ù
Ù
Ö Ú
Ú
×
·
¼
Ù
Ù
Ö Ú
Ú
×
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 66/72
¹ Å Ó Ö « Ù × Ó Ò Ø Ý Ô Ô Ö Ó Ð Ñ ×
Ë Ò
¾ Ä
¾
´ ª µ Ò ª × × × Ù Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ü Ô Ó Ð Ý Ó Ò Ð Ó Ñ Ò ¸ Û Ò Ó Û Ø Ø
Ù ¾
À
¾
´ ª µ º × Ù
Ù ̧
Ù
¼ ̧
Ö Ù
Ö Ù ̧
Ö Ù
¼ Ò ¡ Ù
Û Ø
́ Ù
Ú µ
ª
Ú Ü ·
Ö Ù
Ú
×
·
Ù
Ö Ú
Ú
×
·
¼
́
Ù
Ù µ
Ö Ú
Ú
×
Ö Ó Ñ Ø × Õ Ù Ø Ó Ò Û × Ø Ø Ó Ò × × Ø Ò Ý Ó Ø Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ø Ý Ó
Ø - Ù Ü × Ö × Ø Ö Ó Ò Ð Ý Ö Ð Ø º
Ö × Ø Û × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü × Ö Ó Ò × × Ø Ò Ø º Ì Ò ¸ ´ µ Ù Ù
Û
Ñ Ô Ð × Ø Ø Ù
¼ ̧ Ù
Ù
Ó Ò º Å Ó Ö Ó Ú Ö ¸ Ö Ó Ñ ´ º ¿ µ Û × Ø Ø
Ö Ù º
Á Û × × Ù Ñ Ø Ø ´ µ
Ø Ú Ø Ó Ö - Ù Ü
× Ó Ò × × Ø Ò Ø ¸ Ø Ò Û Ø Ø Ø
¼ ̧
Ö Ù
Ó Ò º Ë Ù × Ø Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ö Ð Ø Ó Ò × Ú × Ó Ò × × Ø Ò Ý ¸ º º
́ Ù
Ú µ
ª
Ú Ü ´ º µ
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ò × Ó Û Ò Ø Ø ´ º µ Ó Ð × Ó Ö Ð Ð Ú
¾ À
¾
́ Ì
µ Ø Ò Ø
Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ñ Ù × Ø Ó Ò × × Ø Ò Ø º
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 67/72
Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó ×
Ï Ó Ò × Ö Ø ¬ Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó Ó Ö Ô Ö Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × º Ï Ö Ñ Ö Ø Ø Ø
« Ö Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Ó Ó Ò × Ö Ú Ø Ó Ò Ð Û
Ù
Ø
· Ù
·
Ö ¡
́ Ù µ ·
Ö ¡ ́
Ö Ù
µ
Ò ª
Ó Ö Ò Ø × Ö Ó Ñ Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ý Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Î
ª
Ø
Î
Ù Ü ·
Î
Ù Ü ·
Î
́ Ù µ ¡
Ò ·
Î
Ö Ù
¡ Ò
Î
Ü ´ º ½ µ
º ½ Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò
Ì × Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ù Ö Ð × Ø Ö Ø Ò Ô Ó Ò Ø Ó Ö Ø ¬ Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó º
´ ½ µ Ó Ñ Ô Ó × × Ø Ó Ù Ð Ö Ð Ð × ´ Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ × µ
Ì
Î
Æ
½
Û Ø
Î
Î
Ó Ö
Ò
Æ
½
Î
ª º Å Ó Ö Ó Ú Ö Ò Ó Ø È
Ø Ö Ý Ò Ø Ö Ó Ð Ð
Î
º
´ ¿ µ Ï × × Ö Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Û × Ó Ò × Ø Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ð Î
Î
Ì
¬ Ò Ù
¾ È
¼
́ Î
µ × º Ø º
Ø
Î
Ù
Ü ·
Î
Ù
Ü ·
Î
́ Ù
µ ¡
Ò ·
Î
Ö Ù
¡ Ò
Î
Ü
Á Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ù Ø Ó Ò × Ø Ò Ù Ö º ½
´ µ Ó Ñ Ô Ù Ø ´ Ö Ó Ú Ö µ Ø Ö Ò Ø × × Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ø Ø Û × × Ô Û × Ó Ò ¹
× Ø Ò Ø ¸ Ø Ö Ò Ø × Ò Ø Ú × Ó Ù × - Ù Ü × Û Ó Ù Ð Ú Ò × º
× Ö Ñ Ý ¸ Ò ¬ Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó ×
Ö Ù
× Ö Ó Ú Ö Ó Ñ Ù
Ù × Ò Ø Ö Ò ¹
Ù × × Ú Ö Ò Ø Ó Ö Ñ º Ó Ö Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ó Ù Ö º ½ Ò Ó Ø
Î
Ù
Ü
Ü
Î
Ù
¡ Ò
Û Ö
Ò Ó Ø × Ø Ù Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ò Ø Ü
¹ Ö Ø Ó Ò º Á Ò Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ø Ø Ó Ò Ø ×
Õ Ù Ø Ó Ò Ó Ñ ×
Î
Ö Ù Ü
Î
Ù Ò
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 68/72
Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó ×
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
0 00 00 01 11 11 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 10 00 00 00 01 11 11 11 1
0 00 00 01 11 11 1
P
P
i1
i2
i3P
Pi4
iP
i, i2
i, i4
S i, i1
S
S
Si, i3
Ù Ö º ½ Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ × Ò × Ù Ö - Ù Ü × Ò Î Å
Ï ×
Ö Ù
Ô Û × Ó Ò × Ø Ò Ø Ó Ò Î
º Ì Ò Û Ó Ø Ò
Ö Ù
½
Î Ó Ð ´ Î
µ
Î
Ù Ò
Í × Ò Ø Ò Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ù Ö º ½ ¸ Ø × Ù Ö Ò Ø Ö Ð × Ó Ñ Ô Ù Ø Ú
Ö Ù
½
Î Ó Ð ´ Î
µ
Î
Ù Ò
½
Î Ó Ð ´ Î
µ
½
Ù
· Ù
¾
Ö ´ Ë
µ
´ µ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ù Ò Ø Ó Ò
́ Ù µ Ó Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ú - Ù Ü
́ Ù µ Ò
Ö Ù
Ó Ö Ø Ú × Ó Ù × - Ù Ü
Ö Ù
Î
Ì
¬ Ò Ù
¾ È
¼
́ Î
µ × º Ø º
Ø
Î
Ù
Ü ·
Î
Ù Ü ·
Î
́ Ù
µ ¡
Ò ·
Î
Ö Ù
¡ Ò
Î
Ü
´ º ¾ µ
´ µ Ó Ö Ø Ò Ù Ñ Ö Ð - Ù Ü Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ú × Ó Ù × - Ù Ü × ¸ Ò Ø Ö Ð × Ñ × Ù ×
Î
Ö Ù
¡ Ò
½
Ë
Ö Ù
¡ Ò
½
Ö Ù
·
Ö Ù
¾
Ö ´ Ë
µ
´ º ¿ µ
´ µ Ì × Ò Ó Ò Ù Ñ Ö Ð × Ñ Ó Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ú - Ù Ü × × Ø Ñ Ó × Ø Ö Ø Ð
× × Ù Ò ¬ Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó × º À Ö Û Ö × Ø Ö Ø Ó Ù Ö × Ð Ú × Ø Ó Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ó
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 69/72
º ¾ Ü Ô Ð Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù × Ò Ð Ó Û ¹ × Ø Ó Ö Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø Ñ Ø Ó
Ð Ò Ö Ú Ø Ó Ò
́ Ù µ
Ù Û Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ò ¬ Ð
º
Î
Ù
¡ Ò
½
Ë
Ù
¡ Ò
½
Ù
£
¡ Ò Ö ´ Ë
µ Û Ö Ù
£
́
Ù
¡ Ò
¼
Ù
¡ Ò
¼
´ º µ
Û Ö Ò
× Ø Ó Ù Ø Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ú Ø Ó Ö Ó Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Î
Ó Ö Ë
º
º ¾ Ü Ô Ð Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù × Ò Ð Ó Û ¹ × Ø Ó Ö Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø
Ñ Ø Ó
Ï × Ó Ð Ú Ø Î ¹ × Ñ Ù × Ò Ò Ü Ô Ð Ø Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø Ñ Ø Ó º Ï Ò Ø Ö Ó Ù Ø
Ú Ø Ó Ö Ó Ù Ò Ò Ó Û Ò ×
Ù ́
Ù
½
Ù
¾
Ù
Ò
µ
Ì
Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ó Ò Ú × ´ Ó Ò Ú Ø Ú µ Ò Ú × Ó Ù × - Ù Ü ×
́ Ù µ ´
½
́ Ù µ
¾
́ Ù µ
Ì
Ò
́ Ù µ µ
Ú
́ Ù µ ´
Ú
½
́ Ù µ
Ú
¾
́ Ù µ
Ì
Ú
Ò
́ Ù µ µ
Û Ø
́ Ù µ
Î
Ù
¡ Ò
Ú
́ Ù µ
Î
Ö Ù
¡ Ò
Á Û Ù × ´ º ¿ µ ¸ ´ º µ ¸ Ø Ò Ø × Ö Ø × Ø Ó Ò × Ø Ò Ð Ó Ö Ø - Ù Ü × Ó Ð Ð Î
Ø × Ò Ø Ó
Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ý Ö Ø Ò Ó Ù Ö × Ó Ð Ð Î
Ò
Ó × Ó Ò Ð Ý Ô Ò Ó Ò Ù
Ò Ø
Ö Ø Ò Ó Ù Ö × Ù
º
× Û × × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Û × Ô Û × Ó Ò × Ø Ò Ø Û º Ö º Ø º Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ × ¸ Ø Ö Ó Ö
Û Ú
Ø
Î
Ù
Ü Ù
Î Ó Ð ´ Î
µ
Å Ó Ö Ó Ú Ö Û ¬ Ò
Ê ́ Ù µ ´ Ê
½
́ Ù µ Ê
¾
́ Ù µ Ê
Ò
́ Ù µ µ
Ì
Ë ́
µ ´ Ë Ö
½
́
µ Ë Ö
¾
́ Ù µ Ë Ö
Ò
́ Ù µ µ
Ì
Û Ø
Ê
́ Ù µ
Î
Ù
Ü Ë Ö
Î
Ü
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 70/72
Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó ×
Ì Ò Ø ¬ Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò ´ º ¾ µ Ó Ñ ×
Ò ´ Ù
½
Ù
¾
Ù
Ò
µ ¾
Ê
Ò
× º Ø º
Ø
Ù
Î Ó Ð ´ Î
µ ·
́ Ù µ ·
́ Ù µ · Ê
́ Ù µ Ë Ö
´ º µ
Á Ò Î Å ¸ Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó ¬ Ò Ø × Ó ¹ Ð Ð Ö × Ù Ð Ó Ö Ð Ð Î
×
Ê ×
́ Ù µ
½
Î Ó Ð ´ Î
µ
Ë Ö
́ Ù µ
Ú
́ Ù µ Ê
́ Ù µ ´ º µ
Ì ¬ Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó Ø Ò Ó Ñ ×
Ø
Ù
Ê ×
́ Ù µ
Ó Ö Ò Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ø Ø Ó Ò
Ø
Ù
Ê × ´ Ù µ
Ó Û Û Ó Ò × Ö Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Û Ö ´ º ½ µ × × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ¸ º º ¸ Ð Ñ
Ø ½
Ø
Ê
Î
Ù Ü ¼
Ó Ö Ð Ð Ð Ð × Î
´ Ó Ö Ð Ñ
Ø ½
Ù ¼ µ Ò
Ù × Ø Ò × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò × Ø Ý
× Ø Ø Ô Ö Ó Ð Ñ
Î
Ù Ü ·
Î
́ Ù µ ¡
Ò ·
Î
Ö Ù
¡ Ò
Î
Ü ´ º µ
Ì Î ¹ Ó Ö Ñ Ù Ð Ø Ó Ò Ó Ö ´ º µ Ø Ò Ó Ñ ×
Ò ´ Ù
½
Ù
¾
Ù
Ò
µ ¾
Ê
Ò
× º Ø º
Ê × ´ Ù
µ ¼ ´ º µ
È Ö Ó Ð Ñ ´ º µ × × Ó Ð Ú Ø Ö Ø Ú Ð Ý Ò Ô × Ù Ó ¹ Ø Ñ Ù × Ò Ò Ü Ô Ð Ø × Ñ ¸ º º ¸
Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø Ñ Ø Ó º Ï Ö Ô Ð ´ º µ Ý
Ø
£
Ù
Ê × ´ Ù
µ ´ º µ
Û Ö Ø
£
Ò Ó Ø × ¬ Ø Ó Ù × Ô × Ù Ó Ø Ñ º Ì × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó ´ º µ × Ø × ¬ ×
Ù
Ø
£
¼ Ò Ò × Ø × ¬ × ´ º µ º
Ì × Ø Ý × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ó Ñ Ô Ù Ø Ý Ñ Ö Ò Ò Ô × Ù Ó Ø Ñ Ø
£
Ù × Ò × Ó ¹ Ð Ð
Ð Ó Û ¹ × Ø Ó Ö Ã
¹ × Ø Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø × Ñ º Í × Ò × Ù Ø Ð Ø Ñ × Ø Ô × Þ ¡ Ø
£
´ Û
Ô Ò × Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø
Ò
µ Û Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ù Ô Ô Ö Ò Ü
Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ø
Ô × Ù Ó Ø Ñ × Ø Ô Ò Ð Ó Û Ö Ò Ü
Ø Ó Ò Ó Ø Ø Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø × Ø º
´ ½ µ Á Ò Ø Ð Ù × ×
́ Ù µ
¼
¼
´ ¾ µ Í Æ Ì Á Ä Ç Æ Î Ê Æ Ç Ú Ò Ù
Ò
Ö Ó Ñ Ø Ô Ö Ú Ó Ù × Ô × Ù Ó Ø Ñ
× Ø Ô ¸
Ù
Ò
½
́ Ù µ
Ò
·
Ê × ´ Ù
Ò
¼
µ
Ù
Ò
¾
́ Ù µ
Ò
·
Ê × ´ Ù
Ò
½
µ
Ù
Ò
́ Ù µ
Ò
¼
·
Ê × ´ Ù
Ò
½
µ
¼
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 71/72
º ¿ Á Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ü Ô Ð Ø × Ñ × º Ó Û Ò Û Ò Ò Ù Ñ Ö Ò
Ò Ù Ô Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò
Ù
Ò · ½
Ù
Ò
Ì × Ñ Ó ¬ Ø Ó Ò Ó Ø Ð × × Ð Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø × Ñ × Ð Ð Ð Ó Û ¹ × Ø Ó Ö Ú Ö × Ó Ò ¸
× Ø Ò Ø Ö Ñ Ø Ö × Ù Ð Ø × Ù
Ò
Ó Ò Ó Ø Ú Ø Ó × Ø Ó Ö Ó Ö Ø ¬ Ò Ð Ù Ô Ø Ó Ø
× Ó Ð Ù Ø Ó Ò º
Ó Ö Ò Ü Ô Ð Ø × Ñ Ø Ø Ñ ¹ × Ø Ô ¡ Ø
£
× Ð Ñ Ø Ý Ø Ó Ù Ö Ò Ø ¹ Ö Ö ¹ Ä Ú Ý
Ó Ò Ø Ó Ò
¡ Ø
£
½ Î
·
¾
Ä
Û Ö
× Ø × Ñ Ð Ð × Ø × Þ Ó Ð Ð Î
º Ì Ó Ò × Ø Ò Ø
Ä
× Ð Ð Ó Ù Ö Ò Ø ¹ Ö Ö ¹
Ä Ú Ý Ò Ù Ñ Ö º Ó Ö ¿ ¹ × Ø Ð Ó Û × Ø Ó Ö Ê Ã ¹ × Ñ ¸
Ä
¾ ´ ¼ ½
µ º
Propagation of the numerical solution
through the dual grid. This illustratesthe hyperbolic nature of the problem.
uoo
u
oo
Ù Ö º ¾ Ì Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó Ø Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ù × Ò Ò Ü Ô Ð Ø × Ñ
º ¿ Á Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ü Ô Ð Ø × Ñ × º Ó Û Ò Û Ò
Ò Ù Ñ Ö Ò
Ò Ð Ð Ý Ø × Û Ó Ö Ø Û Ð Ø Ó Ó Ñ Ô Ö Ø Ü Ô Ð Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ö Ø Ý Ò Ò Ñ Ô Ð Ø
Ñ Ø Ó Ù × Ò Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ö × Ó Ð Ú Ö Ù Ö º ¾ Ð Ð Ù × Ø Ö Ø × Ø Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó Ø
Ò Ù Ñ Ö Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ý Ô Ö Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ò Ð Ó Ñ Ò º Ó Ø
Ø Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò × Ø Ó Ô × × Ø Ö Ó Ù Æ
Ð Ð × Ø Ó Ø Ö Ú Ð Ö Ó Ñ Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý Ø Ó
Ø Ó Ù Ø - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý ¸ Ø Ò Ø Ð × Ø Æ
Ê Ù Ò ¹ Ã Ù Ø Ø × Ø Ô × Ö Ö Õ Ù Ö Ø Ó Ó Ø Ò Ø
× Ø Ý ¹ × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò º Á Ø × Ñ Ô Ö Ó Ð Ñ × × Ó Ð Ú Ù × Ò Ò Ñ Ô Ð Ø × Ñ ¸ Ø Ò
Ø Ö × Ò Ð Ò Ö × Ý × Ø Ñ Ö Õ Ù Ö × Ø Ð × Ø Æ
Ø Ö Ø Ó Ò × Ø Ô × ¸ º º Ó Â Ó ¹ Ø Ý Ô Ó Ö
Ù × × ¹ Ë Ð Ø Ý Ô º Ê Ò Ó Ò Ú Ö × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ö × Ó Ð Ú Ö Ò
½
7/28/2019 Lecture Dgfem Ws2006.Ps
http://slidepdf.com/reader/full/lecture-dgfem-ws2006ps 72/72
Ò Ø ¹ Ú Ó Ð Ù Ñ Ñ Ø Ó ×
Ñ × Ù Ö Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ø Ö × Ù Ð Ö Ó Ñ Ò Ù Ñ Ö Ð Ð Ò Ö Ð Ö Ø ×
× Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ó Ø × Ø Ù Ø Ó Ò Ø Ø × Ø Ý ¹ × Ø Ø × Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ó Ö Ø Ø Ö Ø Ó Ò Ò Ô × Ù Ó
Ø Ñ × Ò Ó Ø Ò º
Í × Ù Ð Ð Ý Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ô × Ù Ó Ø Ñ Ø Ö Ø Ó Ò × × Ñ Ù × Ñ Ð Ð Ö Ø Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ø Ö ¹
Ø Ó Ò × Ø Ô × Ó Ö Ø Ð Ò Ö × Ó Ð Ú Ö ¸ × Ò Ò Ø Ü Ô Ð Ø Î ¹ × Ñ ¸ Ø Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ø Ö Ú Ð ×
Ð Ó Ò Ø Ö Ø Ö × Ø × ´ Û × Ø Ñ Ó × Ø ¹ Æ Ò Ø Û Ý µ Ö Ó Ñ Ø Ò - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý
Ø Ö Ó Ù Ð Ð Ð Ð × Ø Ó Ø Ó Ù Ø - Ó Û Ó Ù Ò Ö Ý º Ì Ò Ù Ñ Ö Ó Ø Ö Ø Ó Ò × Ö Õ Ù Ö Ó Ö Ò
Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ö × Ó Ð Ú Ö Ø Ó Ó Ò Ú Ö Ò Ö Ù × Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ø Ö ¹ Ô Ó Ò Ø × Ö Ð × Ó
Ó Ö Ö Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ø Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó Ô Ý × Ð Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ Ó Û Ò Û Ò Ò Ù Ñ Ö Ò µ º
À Ò Ò Ù Ò Ö × Ø Ò Ò Ó Ø Ö Ø Ö × Ø Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ð Ô × Ö × Ò
Ò Ü Ô Ð Ø × Ñ × Ú × Ú Ð Ù Ð × Ó Ö Ø × Ò Ó Ð Ò Ö ¹ × Ó Ð Ú Ö × Ó Ö Ñ Ô Ð Ø
Ñ Ø Ó × º Ç Ó Ö × ¸ Ø × Ñ Ô Ö Ó Ú Ð Ò Ö × Ó Ð Ú Ö × Ò Ù × Ð × Ó Ó Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ù ×
Ò Ø ¹ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó × Ò ¹ Å º
