10/26/2017

1

Lecture 5b Slide 1

EE 4347 

Applied Electromagnetics

Topic 5b

Parallel Plate Waveguide

These notes may contain copyrighted material obtained under fair use rules.  Distribution of these materials is strictly prohibited  

Lecture Outline

Lecture 5b Slide 2

• What is a parallel plate waveguide?

• TEM Analysis

• TM Analysis

• TE Analysis

• Conclusions

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2

Lecture 5b Slide 3

What is a Parallel Plate Waveguide?

Lecture 5b Slide 4

Geometry of Parallel Plate Waveguide

x

y

z

d,

w

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Notes on the Parallel Plate Waveguide

• Becoming very popular for transmitting differential signals around a circuit board.

• Simply analysis and demonstrates most of the concepts of waveguides.

• Differential lines have confined fields for reduced interference with other devices in close proximity.

• Differential lines exhibit common mode rejection for noise immunity.

Lecture 5b Slide 5

Lecture 5b Slide 6

Vision for 3D High‐Frequency Interconnects

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Lecture 5b Slide 7

TEM Analysis

Lecture 5b Slide 8

Starting Point for TEM Analysis

Assuming the parallel plate waveguide has an LHI dielectric between the plates, we start with the homogeneous Laplaces’ equation.

2 2 2

22 2 2

, , 0V V V

V x y zx y z

The parallel plate waveguide is uniform in the x and z directions so our governing equation reduces to

2

2

V

x

2 2

2 2

V V

y z

2

2

2

2

0

0

0

V

y

d V

dy

Note, by assuming the field is uniform in the xdirection, we are ignoring the fringing fields at the edges.

The derivative becomes ordinary because y is the only independent variable left.

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5

Lecture 5b Slide 9

How to Interpret Governing Equation

y

d, 0V y y d

2

20

d V

dy

Our governing equation is now

The solution to this will give us V(y).

Lecture 5b Slide 10

Boundary Conditions

d,

0 ?

?

V

V d

We need boundary conditions to solve our differential equation.

Apply a voltage V0 across the plates and the boundary conditions will be

0

0 0V

V d V

+‐0V

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6

Lecture 5b Slide 11

General Solution to Differential Equation

Our differential equation with boundary conditions is

00 0 and V V d V 2

20 0

d Vy d

dy

This is solved by integrating by y twice.

2

20

d V

dy

dVA

dy

V y Ay B

Lecture 5b Slide 12

Apply Boundary Conditions

Our general solution is now

We apply the boundary condition at y = 0.

V y Ay B

0 0

0 0

0

V

A B

B

We apply the boundary condition at y = d.

0V d V

A d B

0

0

0

V

A d V

A V d

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Lecture 5b Slide 13

The Solution (1 of 2)

The final solution to the governing equation is

The electric field is calculated from the electric potential as

0VV y yd

0 0 0

0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

x y z

x y z

x

V V VE V a a a

x y z

V V VE a y a y a y

x d y d z d

VE a y

x d

0 0ˆ ˆy z

V Va a yd z d

0ˆyV

E ad

We are still not done because we still do not know much about the waveguide.

Lecture 5b Slide 14

The Solution (2 of 2)

If we ignore the fringing fields outside of the waveguide, the electric field is expressed as

0ˆ for 0 and 0

,0 otherwise

y

Va x w y d

E x y d

x

y

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Lecture 5b Slide 15

The Wave Solution

We derived the form of the TEM wave by way of an electrostatic analysis.

This ignores the wave nature of a TEM wave.

To account for the wave nature, we must incorporate a term that accumulates phase in the z direction.

0ˆ for 0 and 0

, , 0 otherwise

j zy

Va e x w y d

E x y z d

It follows that the magnetic field component is

0

0 0

TEM

0

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ for 0 and 0, ,

0 otherwise

j zz y

j z j zzz y x

j zx

Va a e

V Va E dH x y z a a e a e

Z d d

Va e x w y d

dH x y z

Lecture 5b Slide 16

Impedance from Wave Solution (1 of 2)

The impedance of the TEM wave is defined as

0TEM

VZ

I

1 sheet

ˆ

2

K nH

We must determine the current term I.  Recall the magnetic field above an infinite current sheet is

It follows that the field between two current sheets (i.e. in our parallel plate waveguide) is

2 sheets ˆH K n

surface current density A mK

Using this equation for the parallel plate waveguide ignores fringing fields at the edges.

Solving this for the surface current term yields

ˆ ˆyn a

ˆ ˆ ˆy yK n H a H H a

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Lecture 5b Slide 17

Impedance from Wave Solution (2 of 2)

We can find the total current I by integrating the surface current across the plate.

0 0 0

ˆ ˆ ˆw w w

z y z xI K a dx H a a dx H dx

00x

VH z

d

Let z = 0 and our magnetic field solution reduces to

Substituting this into our equation for I yields

0 0 0 0

0 0

w wV V V VwI dx dx w

d d d d

The characteristic impedance is found by substituting this into the original definition.

0 0TEM

0

V V dZ

VwI wd

TEM

dZ

w

Lecture 5b Slide 18

Propagation Constant We cannot calculate the phase constant  from our solution because we analyzed it using an electrostatic approximation.

TEM waves propagate with nearly the same speed as a plane wave in an infinite medium composed of the dielectric that is between the plates.

TEM

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Lecture 5b Slide 19

Distributed Inductance and Capacitance

The characteristic impedance of the parallel plate transmission line is

TEM

dZ

w

The distributed capacitance C can be estimated as

wC

d

It follows that the distributed inductance L is

TEM

d L LZ

w C w d

d

Lw

Lecture 5b Slide 20

Example #1 (1 of 3)

Suppose we have the following parallel plate waveguide.

w = 2.0 mm

d = 0.5 mmr 2.3

What is the characteristic impedance?

What value of w would make this transmission line 50 ?

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Lecture 5b Slide 21

Example #1 (2 of 3)

The equation for characteristic impedance is

TEM

dZ

w

The impedance  of the dielectric is 

0

1.0376.73 248.4

2.3r

r

TEM

248.4 0.5 mm62.1

2.0 mm

dZ

w

The characteristic impedance is therefore

Lecture 5b Slide 22

Example #1 (3 of 3)

We solve the equation for characteristic impedance for w.

TEMTEM

d d

Z ww Z

To get 50 , wmust be

0

248.4 0.5 mm2.48 mm

50

dw

Z

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Lecture 5b Slide 23

Visualization of TEM Mode

Lecture 5c Slide 24

Summary of TEM Analysis

Field Solution

0

0

, , 0

, ,

, , 0

, ,

, , 0

, , 0

x

j zy

z

j zx

y

z

E x y z

VE x y z e

dE x y z

VH x y z e

d

H x y z

H x y z

Phase Constant

TEM

Cutoff Frequency

c 0f

Characteristic Impedance

TEM

dZ

w

• TEM has no cutoff frequency• TEM is the TM0 mode.

Same as plane wave. No cutoff frequency.Mode supported at DC.

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Lecture 5b Slide 25

TE Analysis

Lecture 5b Slide 26

Recall the Starting Point

The governing equation for TE analysis is

After a solution is obtained, the remaining field components are calculated according to

2 20, 0, 2

0,2 20z z

c z

H Hk H

x y

2 2 2ck k

0,0, 2

0,0, 2

zx

c

zy

c

HjH

k x

HjH

k y

0,0, 2

0,0, 2

0, 0

zx

c

zy

c

z

HjE

k y

HjE

k x

E

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Lecture 5b Slide 27

Simplify Governing Equation

Assuming the waveguide is uniform in the direction of x

The governing equation reduces to

2

20 and 0

x x

20,

2

zH

x

2 20, 0,2 2

0, 0,2 20 0z z

c z c z

H d Hk H k H

y dy

Lecture 5b Slide 28

General Solution

The general solution to the governing equation is

2

0, 20, 0,2

0 sin coszc z z c c

d Hk H H A k y B k y

dy

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Lecture 5b Slide 29

Boundary Conditions (1 of 2)

The electric field must be zero at the plates.

The solution, however, is in terms of the magnetic field.

We must write it in terms of an electric field.

The only component of the electric field tangential to the interface is E0,x.

0,0, 2 2

sin cos

cos sin

zx c c

c c

c cc

Hj jE A k y B k y

k y k y

jA k y B k y

k

Lecture 5b Slide 30

Boundary Conditions (2 of 2)

The first boundary condition is

0,

0,

, 0 0

,0 cos 0 sin 0 0 0

x

xc c

E x

j jE x A B A A

k k

0,

0,

, 0

, sin sin

x

x c cc c

E x d

j jE x d B k d B k d

k k

The second boundary condition is

We cannot choose B = 0 because that would lead to a trivial solution.  Instead, it must be the sine term that is zero at y = d.

sin 0 1, 2,3,...c ck d k d n n

The cutoff wave number is then

1, 2,3,...c

nk n

d

Note that n = 0 would force the entire field to be zero so this is not a valid solution.

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Lecture 5b Slide 31

Phase Constant

Recall our definition of the cutoff wave number.  Solve this for .

2 2 2 2 2 c ck k k k

We previously derived an expression for kc that arose from the boundary conditions.

22 1, 2,3,...

nk n

d

We see that we have an infinite number of discrete solutions where the order of the mode is n.

22 1, 2,3,...n

nk n

d

Lecture 5b Slide 32

Final Solution

Recall the general solution was

2

0, 20, 0,2

0 sin coszc z z c c

d Hk H H A k y B k y

dy

But now we know that A = 0 and kc = n/d.  The final solution becomes

0, , cos , , cos nj zz n z n

n y n yH x y B H x y z B e

d d

The remaining field components are calculated from this result.

2 2

2 2

2 2

cos 0

cos sin

cos sin

n

n n

n

j zzx n

c c

j z j zzy n n

c c c

j zzx n n

c c c

Hj j n yH B e

k x k x d

Hj j n y j n yH B e B e

k y k y d k d

Hj j n y j n yE B e B

k y k y d k d

2 2cos 0

0

n

n

j z

j zzy n

c c

z

e

Hj j n yE B e

k x k x d

E

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Lecture 5b Slide 33

Why No TE0 Mode?

For n = 0, the field components are

0

sin 0 0

cos 0

sin 0 0

0

0

n

n n

n

x

j zy n

c

j z j zz n n

j zx n

c

y

z

H

jH B e

k

H B e B e

jE B e

k

E

E

This is not a physical solution.

Lecture 5b Slide 34

Cutoff Condition

Recall that we calculate or phase constant as

22 2 2 1, 2,3,...n c

nk k k n

d

This becomes imaginary when kc > k.  Values of n that cause this condition correspond to modes that are “cutoff.”  These are still modes, but they decay very quickly so they are almost never used.

2

2 2

c c

c

cc

nk

dn

fd

knf

d

This is the cutoff frequency for the TEnmode.

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Lecture 5b Slide 35

Characteristic Impedance

The characteristic impedance is defined as

We substitute in our expressions for the field quantities to obtain

0,0,TE

0, 0,

yx

y x

EEZ

H H

0,TE

0,

sin

sin

nx c

yn

c

j n yB

E k d kZ

j n yH Bk d

Lecture 5b Slide 36

Visualization of TE1 Mode

E

H

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Lecture 5b Slide 37

Visualization of TE2 Mode

E

H

Lecture 5b Slide 38

Visualization of TE3 Mode

E

H

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Lecture 5c Slide 39

Summary of TE Analysis

Field Solution

, , sin

, , 0

, , 0

, , 0

, , cos

, , sin

n

n

n

j zx n

c

z

j

y

x

zy n

c

z

j

z n

j n yE x y z B e

k d

E x y z

H x y z

j n yH

E x y z

n yH x y z B e

d

x y z B ek d

Phase Constant2

2n

nk

d

Cutoff Frequency

c,2

n

nf

d

Characteristic Impedance

TE,nn

kZ

• TE0 mode does not exist• TE1 is the lowest order TE mode

Same equation as for TM

Same equation as for TM1,2,3,...n

Lecture 5b Slide 40

TM Analysis

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Lecture 5b Slide 41

Recall the Starting Point

The governing equation for TM analysis is

After a solution is obtained, the remaining field components are calculated according to

2 20, 0, 2

0,2 20z z

c z

E Ek E

x y

2 2 2ck k

0,0, 2

0,0, 2

0, 0

zx

c

zy

c

z

EjH

k y

EjH

k x

H

0,0, 2

0,0, 2

zx

c

zy

c

EjE

k x

EjE

k y

Lecture 5b Slide 42

Simplify Governing Equation

Assuming the waveguide is uniform in the direction of x

The governing equation reduces to

2

20 and 0

x x

20,

2

zE

x

2 20, 0,2 2

0, 0,2 20 0z z

c z c z

E d Ek E k E

y dy

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Lecture 5b Slide 43

General Solution

The general solution to the governing equation is

2

0, 20, 0,2

0 sin coszc z z c c

d Ek E E A k y B k y

dy

Lecture 5b Slide 44

Boundary Conditions

The electric field component E0,z is tangential to the interfaces to the boundary conditions are applied to this directly.

The first boundary condition is

0, ,0 sin 0 cos 0 0 0zE x A B B B

0, , sin 0z cE x d A k d

The second boundary condition is

We cannot choose A = 0 because that would lead to a trivial solution.  Instead, it must be sine term that is zero at y = d.

sin 0 0,1, 2,3,...c ck d k d n n

The cutoff wave number is then

0,1, 2,3,...c

nk n

d

Note that n = 0 is allowed in this case because it does not force the field to be zero.  It does, however, force the field to be uniform.  Thus TM0 is the TEM mode.

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23

Lecture 5b Slide 45

Phase Constant

Recall our definition of the cutoff wave number.  Solve this for .

2 2 2 2 2 c ck k k k

We now have an expression for kc that arose from the boundary conditions.

22 0,1, 2,3,...

nk n

d

We see that we have an infinite number of discrete solutions where the order of the mode is n.

22 ,1, 2,3,.0 ..n

nk n

d

TM0 is the TEM mode

Lecture 5b Slide 46

Final Solution

Recall the general solution was

2

0, 20, 0,2

0 sin coszc z z c c

d Ek E E A k y B k y

dy

But now we know that B = 0 and kc = n/d.  The final solution is

0, , sin , , sin nj zz n z n

n y n yE x y A E x y z A e

d d

The remaining field components are calculated from this result.

2 2

2 2

2 2

2

sin cos

sin 0

0

sin 0

n n

n

n

j z j zzx n n

c c c

j zzy n

c c

z

j zzx n

c c

yc

Ej j n y j n yH A e A e

k y k y d k d

Ej j n yH A e

k x k x d

H

Ej j n yE A e

k x k x d

jE

k

2

sin cosn nj z j zzn n

c c

E j n y j n yA e A e

y k y d k d

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Lecture 5b Slide 47

Why Does TM0 Mode Exist?

For n = 0, the field components are

cos 0

0

0

0

cos 0

n n

n

j z j zx n n

c c

y

z

x

j z jy n n

c c

j jH A e A e

k k

H

H

E

j jE A e A e

k k

, , sin 0 0

n

n

z

j zz nE x y z A e

This is a valid solution.

Lecture 5b Slide 48

Cutoff Condition

Recall that we calculate or phase constant as

22 2 2 0,1, 2,3,...n c

nk k k n

d

This becomes imaginary when kc > k.  Values of n that cause this condition correspond to modes that are “cutoff.”  These are still modes, but they decay very quickly so they are almost never used.

2

2 2

c c

c

cc

nk

dn

fd

knf

d

This is the cutoff frequency for the TMnmode.

10/26/2017

25

Lecture 5b Slide 49

Characteristic Impedance

The characteristic impedance is defined as

We substitute in our expressions for these field quantities to obtain

0,TM

0,

cos

cos

ny c

xn

c

j n yA

E k dZ

j n yH kAk d

0,0,TM

0, 0,

yx

y x

EEZ

H H

Lecture 5b Slide 50

Visualization of TM0 Mode

TEM

E

H

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26

Lecture 5b Slide 51

Visualization of TM1 Mode

E

H

Lecture 5b Slide 52

Visualization of TM2 Mode

E

H

10/26/2017

27

Lecture 5b Slide 53

Example #2 (1 of 2)

Suppose we have the following parallel plate waveguide.

w = 2.48 mm

d = 0.5 mmr 2.3

What is the bandwidth of this waveguide when used as a transmission line?

Lecture 5b Slide 54

Example #2 (2 of 2)

When used as a transmission line, we are interested in using the TEM mode.  The bandwidth is the range of frequencies for which the waveguide supports only the TEM mode.

The cutoff frequencies are the same for the TE and TM modes we can essentially check them at the same time.

The second order modes are TE1 and TM1.  The bandwidth is simply the cutoff frequency of these modes.

01 299792458 m s

1 197.6 GHz2 2 2 0.5 mm 1.0 2.3

cc

r r

k ncf n

d

10/26/2017

28

Lecture 5c Slide 55

Summary of TM Analysis

Field Solution

, , 0

, , cos

, , cos

, , 0

, , sin

, , 0

n

n

n

x

j zy n

c

j zx

j zz n

y

z

nc

n yE x y z A

E x y z

j n yE x y z A e

k d

j n yH x y z A e

k d

H x y z

ed

H x y z

• TM0 mode is the TEM mode

Phase Constant2

2n

nk

d

Cutoff Frequency

c,2

n

nf

d

Characteristic Impedance

TM,n

nZk

Same equation as for TE

Same equation as for TE0,1,2,3,...n

Lecture 5b Slide 56

Conclusion

10/26/2017

29

Lecture 5b Slide 57

Summary of Parallel Plate Waveguide0,1,2,3,...n 1,2,3,...n

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Modes in Parallel Plate Waveguide

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

10/26/2017

30

Notes

• Supports TEM mode when it has a homogeneous dielectric because it has two conductors.

• Supports TE and TM modes when it has a homogeneous dielectric

• The lowest order mode is TM0 which is the TEM mode.

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