LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA Y...
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LECCIONES DEL CURSO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN UNAM AUTOR: ISMAEL HERRERA REVILLA 1
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LECCIONES DEL
CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA
Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA
COMPUTACIÓN
UNAM
AUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA 1
Basado en el Libro
‘‘Mathematical Modeling in
Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’ Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
2
3
John Wiley
2012
LECCIÓN 2
4
MODELOS NEOCLÁSICOS
DE LA
CIENCIA Y LA INGENIERÍA
5
A.
CONSIDERACIONES GENERALES
ALCANCES DE ESTA PARTE
DEL CURSO
En esta parte del curso se formulan y
discuten algunos de los modelos
macroscópicos más importantes de Ciencia,
Ingeniería, Tecnología e Industria.
Estudiaremos: transporte de solutos por
fluidos libres y por fluidos en medios
porosos; flujo (de fluidos) en medios
porosos; y algunos procesos multifásicos de
la producción petrolera (Recuperación
Mejorada) 6
MODELOS
MONOFÁSICOS Y MULTIFÁSICOS
Tanto en los procesos de transporte de
solutos como en el flujo de fluidos en
medios porosos se considerará una sola fase.
En los procesos de la producción petrolera
se considerarán varias fases; es decir, esos
procesos son multifásicos
7
ALCANCES DE LA TERCERA
PARTE DEL CURSO
En la Parte Tercera se tratarán los temas
de la Mecánica Clásica de los Medios
Continuos: Mecánica de Sólidos y la
Mecánica de Fluidos, utilizando la
formulación axiomática
8
A.
¿CÓMO SE APLICA EL
MODELO GENERAL?
9
10
EL MODELO AXIOMÁTICO
DE LOS SISTEMAS
FÍSICOS MACROSCÓPICOS
, 1,...,
Las "ecuaciones diferenciales"
g Nt
y las "condiciones de salto"
v
v v , 1,...,n g N
11
OBTENCIÓN DEL
‘MODELO MATEMÁTICO BÁSICO’
1. Identificar la familia de propiedades extensivas
2. La propiedad intensiva correspondiente es igual a la propiedad extensiva por unidad de volumen del espacio físico;
3. Para cada una de ellas, identificar la fase asociada;
4. Aplicar las condiciones de balance; esto da una ecuación diferencial y una ecuación de salto, para cada propiedad intensiva de la familia característica;
Esto es suficiente para obtener el ‘modelo matemático básico’
12
B.
TRANSPORTE DE SOLUTOS
Vamos a estudiar el transporte de solutos
disueltos en un fluido en movimiento, en dos
situaciones diferentes: cuando el fluido ocupa
todo el espacio físico y cuando el fluido
comparte dicho espacio con un sólido que está
fijo (es decir, que no se mueve). Al primer caso
se le llama transporte de solutos por fluidos
libres y al segundo transporte de solutos por
fluidos en medios porosos. Entre las aplicaciones
prácticas de estos modelos destacan el estudio de
la contaminación atmosférica y del agua
subterránea, respectivamente.
13
14
OBJETIVO DE LOS MODELOS
DE TRANSPORTE
El propósito general de los modelos
de transporte es predecir la
distribución en el espacio de la
concentración del soluto y su
evolución al transcurrir el tiempo
15
16
Para la aplicación del modelo de transporte
se supone que la distribución de la velocidad
de la partículas del fluido . es un dato
x t
v
IDENTIFICACIÓN DE LAS
PROPIEDADES EXTENSIVAS
En los modelos de transporte de
solutos sólo hay una propiedad
extensiva: la masa del soluto; y
también solamente una fase.
Así, N=M=1 en el modelo
general.
17
IDENTIFICACIÓN DE LA
PROPIEDAD INTENSIVA
● La propiedad intensiva es igual a la
propiedad extensiva por unidad de
volumen del espacio físico.
● Así, la propiedad intensiva es la
masa por unidad de volumen del
espacio físico.
18
EXPRESIÓN DE LA
PROPIEDAD INTENSIVA
19
EN EL CASO DE
FLUIDOS LIBRES
● La propiedad intensiva es igual a la
masa del soluto por unidad de volumen
del espacio físico
● El volumen del fluido es igual al del
espacio físico
● Así, la propiedad intensiva es la masa
del soluto por unidad de volumen del
fluido. Se le llama ‘concentración’
20
EN EL CASO DE
FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
● La propiedad intensiva es igual a la masa del soluto por unidad de volumen del espacio físico
● El volumen del fluido NO es igual al del espacio físico
● Así, la propiedad intensiva NO es igual a la masa del soluto por unidad de volumen del fluido. Consecuentemente NO es igual a la ‘concentración’
21
22
EXPESIÓN DE LA PROPIEDAD INTENSIVA
EN EL CASO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
La propiedad intensiva es la masa de soluto por unidaddel espacio físico
El volumen del fluido es igual al volumen de
los poros
Al volumen de los poros por unidad del espacio físicose le llama y se le representa por
La expresión de la propiedad intensiva es :
"
'porosidad'
c porosidad por concentraci
" ón
MODELOS MATEMÁTICOS
BÁSICOS DEL TRANSPORTE
23
24
DEL TRANSPORTE EN
FLUIDOS LIBRES
El modelo general
implica que
gt
cc g
t
v
v
25
LOS PROCESOS
DEL TRANSPORTE EN FLUIDOS LIBRES
La asociada al movimiento delfluido y cuantificada por la velocidad de laspartículas macroscópicas ( )
La difusión asociada al m
'advección'
v
ovimiento de laspartículas microscópicas y cuatificada por
Las de solutos cuantificadas por 'fuentes' 'g'
26
DEL TRANSPORTE EN
FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
El modelo general
implica que
gt
cc g
t
v
v
27
LOS PROCESOS
DEL TRANSPORTE POR
FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
La asociada al movimiento delfluido
La difusión asociada al movimiento de laspartículas microscópicas y cuatifi
'advección'
cada por
Las de solutos cuantificadas por 'fuentes' 'g'
28
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE
29
DIFUSIÓN MOLECULAR
Las partículas de un fluido están en agitación
constante efectuando movimineots microscópicos
llamados movimientos Brownianos. Debido a
ello en cualquier cuerpo (mac
roscópico) entran
y salen partículas microscópicas. La masa de
soluto que entra y la que sale debido a los
movimentos Brownianos no son iguales, lo
que motiva un flujo de masa del soluto, que puede
ser positivo o negativo. A este fenómeno se le
llama La
ocurre tanto en fluidos libres como cuando ellos
se encuentran en un medio poroso
difusión molecular. difusión molecular
30
DIFUSIÓN MECÁNICA
Los huecos de un medio poroso tienen una
distribución aleatoria lo que induce movimientos
también aleatorios de los fluidos contenidos en él.
Como en el caso de los movimientos Brownianos,
tales movimientos provocan también un flujo
difusivo. A este fenómeno se le conoce como
, o . La
ocurre sólo cuando los fluidos se
e
difusión dispersión mecánica difusión
mecánica
ncuentran en un medio poroso y no tiene lugar
cuando ellos están libres.
31
DIFUSIÓN MOLECULAR
Las partículas de un fluido están en agitación
constante efectuando movimineots microscópicos
llamados movimientos Brownianos. Debido a
ello en cualquier cuerpo (mac
roscópico) entran
y salen partículas microscópicas. La masa de
soluto que entra y la que sale debido a los
movimentos Brownianos no son iguales, lo
que motiva un flujo de masa del soluto, que puede
ser positivo o negativo. A este fenómeno se le
llama La
ocurre tanto en fluidos libres como cuando ellos
se encuentran en un medio poroso
difusión molecular. difusión molecular
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DIFUSIÓN MECÁNICA
Los huecos de un medio poroso tienen una
distribución aleatoria lo que induce movimientos
también aleatorios de los fluidos contenidos en él.
Como en el caso de los movimientos Brownianos,
tales movimientos provocan también un flujo
difusivo. A este fenómeno se le conoce como
, o . La
ocurre sólo cuando los fluidos se
e
difusión dispersión mecánica difusión
mecánica
ncuentran en un medio poroso y no tiene lugar
cuando ellos están libres.
33
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE
g
34
REACCIONES QUÍMICAS Y
DECAIMIENTO RADIOACTIVO
Los solutos son sustancias químicas que están
disueltas en el fluido que las contiene, el cual
en su movimiento las transporta. En este
proceso
frecuentemente ocurren diversos fenómenos
químicos que alteran su masa y esto ocasiona
que 0. Lo mismo sucede en el decaimiento
de una sustancia radioactiva
g
DECAIMIENTO RADIOACTIVO
35
Ley física del decaimiento :
dm
mdt
TRANSPORTE CONSERVATIVO
36
En fluidos libres :
En fluidos libres :
0
0
cc
cc
t
t
v
v
37
En fluidos libres :
En fluidos libres :
g
cc
g
cc
c
ct
c
ct
v
v
TRANSPORTE CON DECAIMIENTO RADIOACTIVO
g c
38
B2. FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS
POROSOS
OBJETIVO DE LOS MODELOS
DEL FLUJO DE FLUIDOS
El propósito general de los modelos
de flujo de fluidos es predecir el
movimiento del fluido y la evolución
de algunas otras propiedades que le
son concomitantes, tales como su
velocidad y su presión
39
LA PROPIEDAD EXTENSIVA
En el caso del flujo de fluidos a
través de medios porosos la única
propiedad extensiva es la masa del
fluido.
40
41
FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS
POROSOS
Modelo Matemático Básico
Como ya se dijo, el modelo matemático básico del flujode un fluido en un medio poroso, consta de una fase y
una propiedad extensiva; por lo mismo :
Aquí es la velocidad de l
gt
v
v as partículas del fluido
42
EXPESIÓN DE LA PROPIEDAD INTENSIVA
PARA EL MODELO DE FLUJO EN MEDIO POROSOS
La propiedad intensiva es la masa del fluido por unidad de volumen del espacio físico
El volumen del fluido es ig
ual al volumen de los poros
Al volumen de los poros por unidad del espacio físicoes la y que se representa por
La expresión de la propiedad intensiva es :
"
'porosidad'
porosidad por den
" sidad del fluido
43
FLUJO DE UN FLUIDO
EN UN MEDIO POROSO
El modelo general
implica que
gt
gt
v
v
HIPÓTESIS
44
La matriz está saturada
La matriz está en reposo
La matriz es elástica
•El fluido es compresible
•No hay difusión 0
•La velocidad satisface la Ley de Darcy
45
ECUACIÓN BÁSICA DE LA HIDROLOGÍA SUBTERRÁNEA
Las hipótesis implica que
gt
v
LA VELOCIDAD DE DARCY
46
La velocidad de Darcy se define por :
Así :
¿Qué es ?
g
U
U gt
v
47
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE
g
48
CONSERVACIÓN DE MASA
Cuando hay conservación de masa del fluido ,
Una de las aplicaciones principales del modelo de flujo
como se presenta en este curso, es en el estudio del agu
g x t = 0
a
subterránea. Para su aprovechamiento, se perforan pozos
y por ellos se extrae el agua subterránea. En la práctica,
hay dos formas de modelarlos: individualmente o en
forma colectiva. Cuando se les m
odela individualmente,
debido a la conservación de masa del agua se toma
, g x t = 0
49
DISTRIBUCIÓN ESPACIAL
DEL BOMBEO
En estudios regionales en que el comportamiento de la zona
de estudio está influido por la extracción (o inyección, en
algunos casos) de una multitud de pozos, el volumen extraído
se distribuye de manera continua en toda el área, o en todo el
volumen cuando el modelo es tridimensional, ocupada por
los pozos. En este c ¿qué es ? aso g
LEY DE DARCY
50
Para medios isotrópicos la Ley de Darcy es :
Para medios anisotrópicos la Ley de Darcy es :
ˆ
ˆ
kU p g z
kU p g z
51
C.
PROCESOS MULTIFÁSICOS
52
LOS PROCESOS DE LA
PRODUCCIÓN DEL
PETRÓLEO
53
¿CÓMO ES UN YACIMIENTO
DE PETRÓLEO?
Está constituido de un material sólido y poroso
(la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos
que se separan en tres fases: agua, aceite y gas.
Inicialmente en la fase agua sólo hay H2O, pero
tanto en la fase de aceite como en la fase de gas
hay muchos hidrocarburos de distinta
composición. En algunas técnicas EOR ocurren
más de tres fases
54
¿CÓMO SE REALIZA LA
EXPLOTACIÓN?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: Se extrae a través de pozos utilizando su presión original
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Se inyecta agua para desplazar al petróleo
• RECUPERACIÓN MEJORADA: Se inyecta vapor, surfactantes, otros aditivos químicos, calor, y se hace combustión in situ
55
¿QUÉ PROCESOS HAY QUE
MODELAR?
• PRODUCCIÓN PRIMARIA: El movimiento de una o dos fases
• PRODUCCIÓN SECUNDARIA: Al caer la presión parte del petróleo pasa a ser gas y se tienen tres fases (agua, aceite y gas)
• TERCIARIA: El movimiento del vapor y los aditivos químicos, los cambios de composición química de las fases. El transporte y difusión del calor. La combustión in situ del petróleo
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¿QUÉ NOS DA LA MODELACIÓN
DE ESTOS PROCESOS?
• Cómo se debe desarrollar y producir el
yacimiento para aumentar su rendimiento
• Cual es la estrategia de producción
mejorada más adecuada y cómo debe
implementarse
• Cuando el comportamiento observado se
desvía del esperado, cómo corregirlo
• Cuál será su vida útil y su rendimiento total
57
MODELOS
• De una fase
• De dos fases
• De petróleo negro
• Composicional
• Térmicos
• Con interacción química
• En medios fracturados
58
DESARROLLO DE UN MODELO
• Modelo conceptual
• Modelo matemático
• Modelo numérico
• Modelo computacional
• Validación
59
II.3.B
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA
DE LOS MODELOS DE LA
RECUPERACIÓN MEJORADA
En esta Sección se aplicará el
modelo axiomático de los
sistemas físicos macroscópicos
para establecer el modelo
matemático básico de los
yacimientos petroleros. En
particular, se derivará el modelo
de ‘Petróleo Negro’
60
61
EL MODELO AXIOMÁTICO
DE LOS SISTEMAS
FÍSICOS MACROSCÓPICOS
, 1,...,
Las "ecuaciones diferenciales"
g Nt
y las "condiciones de salto"
v
v v , 1,...,n g N
62
II.3.C.
MODELO DEL PETRÓLEO NEGRO
(BLACK-OIL MODEL)
Hipótesis del modelo de ‘Petróleo Negro’:
1. MEDIO POROSO. La matriz porosa es elástica (con mayor
precisión, su porosidad es función de la presión de los fluidos
que contiene) pero no se mueve;
2. SATURACIÓN. El medio porosos está saturado por los
fluidos;
3. FASES. Hay tres fases: agua, aceite (o sea, petróleo) y gas;
4. COMPOSICIÓN DE LAS FASES. La fase agua sólo contiene
agua. La fase gas sólo contiene gas. La fase aceite contine gas
disuelto (es decir, hidrocarburos volátiles) e hidrocarburos no-
volátiles;
5. INTERCAMBIO DE MATERIA ENTRE LAS FASES. Hay
intercambio de masa entre la fase aceite y la fase gas (gas que
se disuelve en el aceite y viceversa); y
4. DIFUSIÓN. Se desprecia la difusión entre las fases.
63
64
EL MODELO AXIOMÁTICO
DE LOS SISTEMAS
FÍSICOS MACROSCÓPICOS
, 1,..., 4
Las "ecuaciones diferenciales"
gt
v
65
1. 2. 3.
1
w
o
g
w o g
Agua wFASES Aceite o
Gas g
SATURACIONES
S Saturación del agua
S Saturación del aceite
S Saturación del gas
IDENTIDAD
S S S
66
1. 2. 3.
PROPIEDADES EXTENSIVAS DEL
MODELO DE PETRÓLEO NEGRO
Masa del agua en la fase aguaMasa del aceite no volátil en la fase aceiteMasa del gas en la fase ac
4.
Pertenencia a las
1 1, 2 2, 3 2, 4 3
eite (disuelto)Masa del gas en la fase gas
FASES
67
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
11 11 1
22 22 2
32 33 3
43 44 4
gt
gt
gt
gt
v
v
v
v
68
FAMILIA DE PROPIEDADES
INTENSIVAS
1
2
2
3
1 1
2 2
3 3
4 4
& 1 1
& 2 2
& 3 2
& 4 3
w w w wB t
o Oo o OoB t
o Go o GoB t
g g g gB t
E t S dx S
E t S dx S
E t S dx S
E t S dx S
69
LOS CAMPOS DE FLUJO
0
0
0
0
w
Oo
Go
g
Ninguna de las componentes está sujeta a difusión :
70
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
w ww ww w
o Ooo Ooo Oo
o Goo Goo Go
gg g g
g g
SS g
tS
S gt
SS g
tS
S gt
v
v
v
v
71
LAS FUENTES
0
w w
e
Oo Oo
e Go g
g GoGo Go Go
g e
g g g
Go e
g g
g gg g
g g g
g g g
72
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO
1 y 0
w ww ww w e
o Ooo Ooo Oo e
o Go Goo Goo Go g e
gg g g g
g g Go e
Go g
w o g g Go
SS g
tS
S gt
SS g g
tS
S g gt
S S S g g
v
v
v
v
73
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO EN OTRA FORMA
w ww ww w e
o Ooo Ooo Oo e
g g o Go g o
g g o Go
g Go
e e
SS g
tS
S gt
S SS S
t g g
v
v
v v
74
VELOCIDAD DE LAS FASES
,
,
l
l l
ll l l l
l
rl l
rl
Velocidad de Darcy
u S l w,o,g
Ley de Darcy (flujo multifásico)
k u p z
kk k effective permeability l w,o
k absolute permeability
k relative permeability
v
,g
REFERENCIA
Chen, Z., G. Huan, and Y. Ma, Computational
Methods for Multiphase Flows in Porous
Media, SIAM, Philadelphia, 2006
75
