Le Livre de l’AgrØgation - Université Paris-Saclayjoseph/IMG/... · 2018-11-12 · Agrégation...

Le Livre de l ’Agrégation

Pour Marguerite Flammarion, ma binôme."Tu veux avoir l’agreg ?"

Agrégation CRCG

A propos de l’AgrégationNotes diversesSession 2016-2017

Elio Joseph

Université Paris-Saclay

God exists, because mathematic is consistent.

The devil exists, because we can not prove it is consistent.

Contact :[email protected]

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Agrégation CRCG

1 IntroductionCe livre est un recueil assez épars de divers documents qui peuvent

être utiles à la préparation à l’Agrégation.Il contient notamment :

• des esquisses de plans pour les leçons d’analyse de la session 2017 ;• des esquisses de plans pour les leçons d’algèbre de la session 2017 ;• des fiches détaillées sur de nombreux développements ;• une fiche sur quelques notions indispensables pour l’écrit de maths

géné ;• une liste de livres couvrant globalement le programme de l’Agrégation

(hors probabilités) ;• quelques documents utiles à l’option C ;• quelques conseils généraux et personnels.

J’ai choisi de mettre les leçons dans l’ordre de leurs numéros. Il y atrois types de leçons dans ce livre :

(i) des leçons travaillées sur plusieurs jours et présentées devant uneclasse, celles-ci font généralement plus de trois pages, sont intégra-lement rédigées et ont été relues et corrigées par un professeur ;

(ii) des leçons d’oraux blancs, intégralement rédigées, préparées en moinsde 3h, qui étaient initialement écrites à la main et qui furent dac-tylographiées telles quelles plus tard pour les besoins de ce livre ;

(iii) des esquisses de plans.

Pour parler plus précisément des esquisses de plans, celles-ci sont dequalité très variables. Elles ne sont jamais intégralement rédigées. Ellesfurent écrites entre septembre et février, évidemment les plans de débutd’année sont bien moins recommandables que ceux écrits avec un peuplus d’expérience. De niveaux variés donc.

Pour ce qui est des plans "oraux blancs" préparés en maximum 3h,ceux-ci ont deux assurances. Celle d’être faisables et celle de tenir en troispages manuscrites.

Faisons une remarque supplémentaire. Au cours de l’année j’ai changéma façon d’écrire les groupes de matrices, passant de l’italique (incorrect)aux lettres romaines. Ainsi, les textes qui suivront pourront contenir defaçon assez incohérente et sans apparente logique les deux notations :GL(E) et GL(E).

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Dans ce qui précède et dans toute la suite, nulle mention ne serafaîte de la partie probabilités du programme de l’Agrégation.

Pour finir, quelques remerciements. Je remercie la promotion 2016-2017, pour sa bonne humeur de tous les jours. Je remercie ma famille,pour le soutien apporté cette année. Je remercie les Flammarion, pourleur accueil continuel, notamment pour les révisions des écrits et les orauxblancs. Je remercie Cyril pour avoir relu et commenté avec grande atten-tion nombreux de mes plans. Je remercie Lucie pour m’avoir fait réciterma liste de développements, m’avoir prêté sa chambre pour réviser etjoué aux LGEUN pour diluer les révisions. Je remercie Marguerite, pouravoir organisé d’une une main de fer la majeure partie des révisions, pouravoir été une excellente binôme de travail et pour tout le reste.

2 Petit retour sur l’annéeLe jour de l’oral je suis tombé sur diagonalisabilité en algèbre et

interversions de limites et d’intégrales en analyse.Pour ce qui est de l’algèbre, j’ai fait un plan assez similaire à celui

présenté ici et le jury m’a demandé en développement la décompositionpolaire. J’ai eu 16, je recommande donc ce plan et ce développement.

En analyse, j’ai choisi ce sujet (face à fonctions holomorphes !) carje m’étais entraîné dessus en oral blanc quelque temps avant. J’ai refaitun plan assez similaire à celui disponible dans ce livre, de l’intérêt des’entraîner à faire des plans donc. En développement me fut demandé ladémonstration du théorème taubérien fort, qui tient en 15 minutes si onne traîne pas. J’ai eu 17.75, j’encourage donc à travailler ce sujet et cedéveloppement.

Pour ce qui est du jour de l’oral, j’avais prévu une valise pleine àcraquer de livres (achetés, empruntés à d’autres, empruntés à la biblio-thèque. . .). Je pense que c’est une excellente chose. Le temps gagné à nepas fouiller dans le désordre inhérent à des malles publiques offre quelquesminutes de repos à la fin du temps de préparation. Un beau bénéfice.

Pour ce qui est des développements, je pense qu’il vaut mieux enchoisir des difficiles. Tout d’abord car le jury sera plus impressionné,mais aussi plus indulgent sur un développement difficile que sur Méthodede Newton, application à la décomposition de Dunford (pour la mêmeraison, privilégier aussi l’originalité des développements). Ensuite car undéveloppement difficile contient généralement de nombreux arguments

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mathématiques variés (c’est aussi pour cela que le jury les aime), ce quipermet de le caser dans un nombre conséquent de leçons. L’idée exposéeici peut être traduite dans le graphique suivant.

Il est donc doublement plus rentable de travailler des développe-ments compliqués.

Sans plus de transition, voici ce que je pense être une bonne façonde travailler durant l’année. Débuter son année en faisant des plans, tousles plans. On peut commencer par chercher quels livres vont convenir, cequi vient de plus en plus vite avec l’expérience, puis essayer de remplirson plan avec moult idées et enfin organiser tout cela en trois partiescohérentes. Sans oublier de choisir des développements. Cela prendrabeaucoup de temps au début de l’année, mais c’est en le faisant quela rapidité de rédaction des plans diminuera sérieusement ; ce qui estbien entendu plus que souhaitable en prévision du véritable oral. Il estraisonnable, une fois le rythme de croisière atteint, de se fixer l’objectifde réaliser entre 3 et 5 plans par semaine.

Les développements initialement choisis seront vites abandonnés pourlaisser place à des développements satisfaisant plus les exigences du concours,encore une fois l’expérience acquise au cours de l’année permet d’être deplus en plus lucide face à ce genre de choix.

L’idée est d’avoir choisi tous ses développement et travaillé tous sesplans avant les écrits. Une fois ceci fait, on peut commencer la phase laplus indispensable : travailler ses développements. En effet, l’oral contient

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une partie certaine, celle de devoir présenter un développement préala-blement choisi. Assurer là-dessus est un gage de réussite et de bonneconfiance pour la suite de l’oral. Miser un maximum sur ses développe-ments me semble un excellent calcul.

Pour travailler ses développements (ce qui devrait se commenceravant les écrits, travailler ceux-ci peut être une grande aide pour l’écritjustement), je conseille de rédiger intégralement une fiche par développe-ment. Ensuite, on peut s’entraîner à faire et refaire ses développementsjusqu’à être capable de les réciter de nuit, dans le froid, avec un casquede musique sur les oreilles après une nuit blanche.

Ceci conclut je pense la partie programme de travail de l’année. Pouragrémenter tout cela, il est indispensable de "s’entraîner" véritablement ;i.e. faire des oraux blancs. Que ce soit des oraux blancs d’option, d’al-gèbre ou d’analyse, ou encore de simples développements blancs, faîtes,puis faîtes en encore plus. Ce n’est jamais du temps de perdu. Si vousn’avez pas la motivation ou que vous trouvez que vous faîtes trop d’orauxblancs 1, demandez à quelqu’un de vous poser la question : "Tu veux avoirl’agreg ?". Si la réponse est oui, vous savez ce qu’il vous reste à faire.

Une idée que j’ai trouvé follement efficace est de s’associer en binômepour se faire passer des oraux blancs. Deux options sont possibles. Lapremière est de "tester" ses développements sur tableau avec son binôme(dans une journée on peut faire tenir cinq ou six développements parpersonne). La seconde consiste à organiser un presque-vrai oral blanc. Lematin chacun prépare en 3h en conditions du concours 2 un plan, réviseses développements et globalement prépare son oral 3. Ensuite, chacunson tour, on passe un oral blanc d’une belle heure devant son binôme :présentation du plan, petites questions, développement, questions et exer-cices préparés la veille par le binôme.

Une autre chose très utile est le groupe de révision. L’idée est dese retrouver à quatre (environ, entre trois et cinq) dans la maison dequelqu’un pendant une bonne semaine juste avant les écrits, histoire dese motiver à travailler sans se fatiguer. Un exemple de beau programme :petit sujet blanc (3 ou 4h) le matin, temps de travail personnel l’après-midi après une belle pause déjeuner, puis jeux le soir.

Pour parler de façon un peu plus spécifique, voici point par pointma méthode pour préparer une leçon en temps limitée.

1. Nous avons déjà établi que cela était impossible.2. Sans Internet, sans aide, sans notes. . .3. Plusieurs des plans de ce livre ont été préparés dans ces conditions.

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◦ Choisissez tous vos livres susceptibles de toucher un tant soit peu ausujet de la leçon.

◦ Choisissez parmi ceux-ci le livre qui couvrira le plus les bases du sujet.◦ Commencez à recopier au brouillon la partie 1 de votre plan en se

basant sur ce livre, en recopiant intégralement chaque item, de sorte àne pas avoir à réouvrir les livres après coup (gain de temps garanti !).

◦ Dès que vous avez une idée de ce que vont être vos trois ou quatre par-ties, créez un brouillon par partie. Ceci devrait arriver environ main-tenant.

◦ Remplissez vos parties en piochant au maximum dans chaque livre.◦ Etoffez en rajoutant exemples, contre-exemples, remarques et résultats

originaux en abusant de l’index de vos livres.◦ Fermez tous vos livres et prenez un beau stylo.◦ Ecrivez petit pour faire tenir votre plan en trois pages.◦ Profitez du temps qu’il vous reste pour relire votre plan, pensez à sa

présentation, relire et refaire vos développements, vous reposer. . .

J’en ai déjà parlé, mais je prends l’occasion ici de parler à nouveaudes développements. Encore une fois, choisir des développements (mêmes’ils sont plus compliqués) de façon à minimiser son nombre de déve-loppements. Il est presque toujours plus rapide d’apprendre n développe-ments que k développements si k > n. Car apprendre ses développementsrevient à les avoir lus, écrit des fiches, travaillés, modifiés, changés, testés,réappris, oubliés, recopiés. . .Un long programme !

Une dernière remarque sur les développements, il est indispensablede connaître du fond du cœur ses couplages, i.e. quels développementsvont dans quels leçons. Pour cela, réciter très régulièrement ses couplagesle mois avant les oraux. Le mieux étant soit de les réciter à une tiercepersonne, soit d’écrire un petit programme informatique qui nous les feraréciter sans relâche.

3 Le contenu de ce livreDans ce livre sont inclus les documents mentionnés dans l’introduc-

tion, qui sont donnés dans l’état dont j’en disposais au moment de mesoraux. Quelques remarques sur ceux-ci.

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Je commence par donner une liste de développements, qui corres-pond à la liste de quel développement allait dans quelle leçon pour mesoraux. Je fais remarquer que ceci n’est pas exhaustif, dans le sens que cer-tains développements vont dans (bien) d’autres leçons que celles écritesici, mais il faut faire des choix. À vous de voir donc. Dans la même veineje donne la fiche réciproque, i.e. pour une leçon donnée je fournis deuxdéveloppements.

Ensuite je donne des fiches pour chaque développement mentionnédans les premières fiches. Celles-ci contiennent notamment quelques re-marques, sur ce qui se trouve autour du développement : remarques,exemples et contre-exemples, applications. . .La fiche du développementsur Pell-Fermat est agrémentée de quelques autres fiches qui présententun peu de contexte, le développement étant un peu original.

Pour se reposer, je donne alors un peu de matériel relatif à l’option C.D’abord un très bon document écrit et gentiment prêté par MargueriteFlammarion donnant de nombreux conseils, puis un exemple de docu-ment produit la préparation (4h) d’un texte de l’option Calcul Formel.

Je fournis ensuite mes leçons d’algèbre puis d’analyse. La mention"sous les conditions de l’examen" signifie que la leçon a été préparée entemps limité, sans Internet (sous les conditions réelles en somme). Plusde détails sur le pourquoi du comment de ces plans sont disponibles enintroduction.

Je donne une fiche censée fournir ce qui est nécessaire pour réussirl’écrit d’algèbre (et presque suffisant certains diront même).

Je fournis enfin la bibliographie des livres qui me furent utiles pen-dant cette année, et que j’ai décidé d’emporter aux oraux. Cette liste est,normalement, exhaustive.

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Liste développements

Analyse

1 – Théorème de Baire (une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense202, 228, 241 / un evn à base dénombrable n’est pas complet 205 / Théorèmede Banach-Steinhaus ([20] p.32) 205, 208) ([5] p.397)202, 205, 208, 228, 241

2 – Méthode de Newton ([14] p.152)218, 223, 226, 229, 253

3 – Théorème de Hadamard-Lévy ([9] p.399)204, 214, 215, 220

4 – Espace de Bergman (doc manuel so far)201, 213, 234, 245

5 – Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood ([5] p.289)207, 209, 230, 235, 243

6 – Prolongement de Γ ([9] p.312 + [19] p.82)203, 207, 235, 239, 241, 245

7 – Equation de la chaleur ([9] p.106, [18] p.49)222, 246

8 – Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur ([8] p.268)222, 236, 250

9 – Equation de Hill-Mathieu ([9] p.410)221

10 – Formule sommatoire de Poisson + Application à θ ([9] p.96 + [5] p.273)236, 239, 246, 250

11 – Développement asymptotique de la série harmonique ([16] p.156)224, 230

12 – Dualité dans les Lp ([9] p.216)201, 202, 208, 213, 234

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13 – Méthode du gradient à pas optimal ([3] p.189)203, 215, 218, 219, 223, 226, 229, 233, 253

14 – Solution approchée d’une équation différentielle ([18] p.191)205, 209, 220, 224, 243

Mixité

15 – Vitesse de convergence de la méthode du gradient ([2] p.53)162, 233

16 – Simplicité de SO(3,R) ([17] p.67)103, 108, 161, 183, 204

17 – Lemme de Morse ([14] p.354-209)170, 214, 219

18 – exp: Sn(R) → S++n (R) est un homéo ([11] p.208)

156, 158, 16019 – Familles libres d’applications ([15] p.300)

151, 159, 162, 221, 228

Algèbre

20 – Equation de Pell et structure de groupe sur une conique ([12] p.388)126, 171

21 – Décomposition polaire ([11] p.202)106, 150, 155

22 – Théorème de Wedderburn ([10] p.82 + [7] p.82)101

23 – Cardinal de SO2(Z/pZ) ([15] p.17)120, 190

24 – Théorème des deux carrés ([10] p.56)121, 122, 126

25 – Un critère de nilpotence ([19] p.211)153, 154, 157, 159

26 – Z[1+i√19

2] principal non euclidien ([10] p.54)

12227 – Construction à la règle et au compas ([7] p.50-52 + [1] p.130-132)

125, 141, 182

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28 – Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini ([7] p.90)123, 125, 141, 190

29 – Théorème de Frobenius-Zolotarev ([19] p.251)103, 105, 106, 123, 152

30 – Diagonalisation des endomorphismes normaux ([6] p.260)151, 153, 154, 155, 160

31 – Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes ([6] p.206)142, 152, 157

32 – Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv (doc manuel so far)120, 121, 142, 144

33 – Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier ([11] p.363)101, 104, 105, 108, 161, 181, 183

34 – Décomposition de O(p,q) ([11] p.211)150, 156, 158, 170, 171

35 – Théorème de Gauss-Lucas et applications ([15] p.229)102, 144, 181, 182

36 – Théorème de structure des groupes abéliens finis ([4] p.252)102, 104, 107, 110

37 – Caractères d’un groupe abélien fini ([13] p.103-105)107, 110

Abandonnés

? Théorème de Dirichlet version faible ([6] p.92)? Irréductibilité de Φn ([10] p.82)

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Références[1] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[2] Jean Baptiste Hiriart Urruty. Optimisation et Analyse convexe. EDP Sciences,

2009.[3] P. G. Ciarlet. Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle. Masson, 3e

edition, 1982.[4] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres).

Les éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[5] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[6] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[7] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[8] El Haj Laamri. Mesures, Intégration, Convolution et Transformée de Fourier

des fonctions. Dunod, 2 edition, 2007.[9] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.[10] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[11] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géo-

métries, volume 1. Calvage & Mounet, 2013.[12] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géo-

métries, volume 2. Calvage & Mounet, 2015.[13] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e

edition, 1994.[14] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence

et de l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.[15] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.

Algèbre Tome 1. Cassini, 2001.[16] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.

Analyse Tome 1. Cassini, 2007.[17] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


Analyse Tome 4. Cassini, 2012.[19] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.[20] Michel Willem. Analyse Fonctionnelle Elémentaire. Cassini, 2003.

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Liste développements par leçon

1 Leçons d’algèbre.101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

1. Wedderburn2. Groupes d’isométries du tétraèdre régulier

102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes desracines de l’unité. Applications.

1. Gauss-Lucas2. Structure des groupes abéliens finis

103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Ap-plications.

1. Frobenius-Zolotarev2. SO(3,R) est simple

104 : Groupes finis. Exemples et applications.

1. Structure des groupes abéliens finis2. Groupes d’isométries du tétraèdre régulier

105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

1. Frobenius-Zolotarev2. Groupes d’isométries du tétraèdre régulier

106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

1. Frobenius-Zolotarev2. Décomposition polaire

107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vec-toriel. Exemples.

1. Structure des groupes abéliens finis2. Caractères d’un groupe abélien fini

108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

1. Groupes d’isométries du tétraèdre régulier

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2. SO(3,R) est simple

110 : Caractères d’un groupe abélien fini et transformée de Fourier dis-crète. Applications.

1. Structure des groupes abéliens finis2. Caractères d’un groupe abélien fini

120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

1. Cardinal de SO(2,Z/pZ)

2. Erdös-Ginzburg-Ziv

121 : Nombres premiers. Applications.

1. Erdös-Ginzburg-Ziv2. Théorème des deux carrés

122 : Anneaux principaux. Applications.

1. Z[1+i√19

2] principal non euclidien

2. Théorème des deux carrés

123 : Corps finis. Applications.

1. Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini2. Frobenius-Zolotarev

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

1. Construction à la règle et au compas2. Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini

126 : Exemples d’équations diophantiennes.

1. Pell-Fermat2. Théorème des deux carrés

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture.Exemples et applications.

1. Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini2. Construction à la règle et au compas

142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

1. Erdös-Ginzburg-Ziv2. Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes

144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exempleset applications.

1. Erdös-Ginzburg-Ziv2. Gauss-Lucas

150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

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1. Décomposition polaire2. Décomposition de O(p,q)

151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimen-sion finie). Rang. Exemples et applications.

1. Endomorphismes normaux2. Familles libres d’applications

152 : Déterminant. Exemples et applications.

1. Frobenius-Zolotarev2. Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes

153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’unendomorphisme en dimension finie. Applications.

1. Endomorphismes normaux2. Un critère de nilpotence

154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endo-morphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

1. Endomorphismes normaux2. Un critère de nilpotence

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

1. Endomorphismes normaux2. Décomposition polaire

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

1. exp: Sn(R) → S++n (R) est un homéo

2. Décomposition de O(p,q)

157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

1. Un critère de nilpotence2. Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes

158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.



159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applica-tions.

1. Un critère de nilpotence2. Familles libres d’applications

160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (dedimension finie).


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2. Endomorphismes normaux

161 : Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applica-tions en dimensions 2 et 3.

1. SO(3,R) est simple2. Groupes d’isométries du tétraèdre régulier

162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspectsalgorithmiques et conséquences théoriques.

1. Vitesse de convergence de la méthode du gradient2. Famille libres d’applications

170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie.Orthogonalité, isotropie. Applications.


2. Lemme de Morse

171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

1. Pell-Fermat2. Décomposition de O(p,q)

181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité.Applications.

1. Gauss-Lucas2. Groupes d’isométries du tétraèdre régulier

182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

1. Gauss-Lucas2. Construction à la règle et au compas

183 : Utilisation des groupes en géométrie.

1. Groupes d’isométries du tétraèdre régulier2. SO(3,R) est simple

190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

1. Cardinal de SO(2,Z/pZ)

2. Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini

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2 Leçons d’analyse.201 : Espaces de fonctions ; exemples et applications.

1. Espace de Bergman2. Dualité dans les Lp

202 : Exemples de parties denses et applications.

1. Dualité dans les Lp

2. Baire + une fonction dérivée est continue sur une partie dense

203 : Utilisation de la notion de compacité.

1. Prolongement de Γ

2. Méthode du gradient à pas optimal

204 : Connexité. Exemples et applications.

1. Hadamard-Lévy2. SO(3,R) est simple

205 : Espaces complets. Exemples et applications.

1. Baire + Banach-Steinhaus2. Solution approchée d’une équation différentielle

207 : Prolongement de fonctions. Exemples et applications.


2. Théorème taubérien fort

208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

1. Baire + Banach-Steinhaus2. Dualité dans les Lp

209 : Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômestrigonométriques. Exemples et applications.

1. Théorème taubérien fort2. Solution approchée d’une équation différentielle

213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

1. Espace de Bergman2. Dualité dans les Lp

214 : Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites.Exemples et applications en analyse et en géométrie.

1. Hadamard-Lévy2. Lemme de Morse

215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exempleset applications.

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1. Hadamard-Lévy2. Méthode du gradient à pas optimal

218 : Applications des formules de Taylor.

1. Méthode de Newton2. Méthode du gradient à pas optimal

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et ap-plications.

1. Lemme de Morse2. Méthode du gradient à pas optimal

220 : Equations différentielles X ′ = f(t,X). Exemples d’étude des solutionsen dimension 1 et 2.

1. Hadamard-Lévy2. Solution approchée d’une équation différentielle

221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différen-tielles linéaires. Exemples et applications.

1. Equation de Hill-Mathieu2. Familles libres d’applications

222 : Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.

1. Equation de la chaleur2. Problème de Dirichlet

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples etapplications.


224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonc-tions.

1. Développement asymptotique de la série harmonique2. Solution approchée d’une équation différentielle

226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrenceun+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équa-tions.


228 : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle.Exemples et applications.

1. Familles libres d’applications2. Baire + une fonction dérivée est continue sur une partie dense

20

229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.


230 : Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes oudes sommes partielles des séries numériques. Exemples.

1. Développement asymptotique de la série harmonique2. Théorème taubérien fort

233 : Méthodes itératives en analyse numérique matricielle.

1. Méthode du gradient à pas optimal2. Vitesse de convergence de la méthode du gradient

234 : Espaces Lp, 1 6 p 6 ∞.

1. Dualité dans les Lp

2. Espace de Bergman

235 : Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.


2. Théorème taubérien fort

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégralesde fonctions d’une ou plusieurs variables.

1. Formule de Poisson2. Problème de Dirichlet

239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre.Exemples et applications.


2. Formule de Poisson

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

1. Baire + une fonction dérivée est continue sur une partie dense2. Prolongement de Γ

243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exempleset applications.

1. Théorème taubérien fort2. Solution approchée d’une équation différentielle

245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.


2. Espace de Bergman

246 : Séries de Fourier. Exemples et applications.

21

1. Equation de la chaleur2. Formule de Poisson

250 : Transformation de Fourier. Applications.

1. Formule de Poisson2. Problème de Dirichlet

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

1. Méthode du gradient à pas optimal2. Méthode de Newton

22

Développement Algèbre

Z[1+ip

192 ] principal non euclidien

L’anneau Z[1+ip

192

] est principal mais n’est pas euclidien.

Remarque : c’est très long, on peut ne faire que l’étape 2.

• Etape 1 : on montre que cet anneau n’est pas euclidien• On pose ↵ := 1+

p19

2, d’où en calculant ↵ et avec les relations coeffs racines on

trouve que ↵ vérifie ↵2 � ↵ + 5 = 0

• L’anneau Z[↵] est un ss-anneau de C donc est intègre• Comme ↵ = 1 � ↵, Z[↵] est stable par conjugaison, on peut donc définir une

norme N(z) = zz = a2 + ab + 5b2 où z = a + b↵

• N(z) = |z|2, donc N(z) 2 N, N(zz0) = N(z)N(z0) et N(z) > 0 si z 6= 0

• On a Z[↵]⇥ = {±1}• Si z 2 Z[↵]⇥, on a N(zz�1) = N(z)N(z�1) = 1, donc N(z) = 1

• Et si a2 + ab + 5b2 = 1, alors a = ±1 (car b2 + a2 + ab > a2 + b2 � |ab| >(|a| � |b|)2 > 0, donc 1 = a2 + ab + 5b2 > 4b2 donc b = 0)

• Supposons que Z[↵] soit un anneau euclidien, alors il existe x 2 Z[↵] \ Z[↵]⇥ telque la projection canonique Z[↵]⇥ [ {0} ⇣ Z[↵]/(x) soit surjective

• On choisit x 2 Z[↵] non nul et non inversible tq N(x) soit minimal (existe carle stathme est à valeurs dans N)

• Si a 2 Z[↵], a = xq + r avec r = 0 ou N(r) < N(x)

• On a a ⌘ r (mod x), mais si r 6= 0, N(r) < N(x) donc r 2 Z[↵]⇥ et a est égalà un élément inversible modulo x

• Donc Z[↵]/(x) est un corps (des inversibles sont envoyés sur des inversibles) à 2ou 3 éléments

• On a donc un morphisme d’anneaux surjectif ' : Z[↵] : k avec k 2 {F2,F3}• Donc �'(↵) vérifie �2 � � + 5 = 0 dans k

• Pour k = F2, cela donne que X2 + X + 1 a une racine (absurde)• Pour k = F3, cela donne que X2 + X � 1 a une racine (absurde)

• Etape 2 : on montre que cet anneau est principal• Cet anneau est bien intègre comme sous-anneau de C

1

23


• Rappels si on ne fait que l’étape 2 :

• ↵ est racine de X2 � X + 5 (de déterminant �19)• N(z) = zz = a2 + b2↵↵ + ab(↵ + ↵) = a2 + ab + 5b2

• Pseudo-DE : si a,b 2 Z[↵] \ {0}, il existe q,r 2 Z[↵] tq r = 0 ou N(r) < N(b) eta = bq + r ou 2a = bq + r

• Posons x = ab

= abN(b)

= u + v↵ avec u,v 2 Q

• Soit n = bvc, on a v 2 [n,n + 1[

• Si v /2]n + 13,n + 2

3[

• Soient s et t les entiers les plus proches de u et v respectivement, on a |s � u| 612

et |t � v| 6 13

• Posons q := s + t↵ 2 Z[↵]

• N(x � q) = (s � u)2 + (s � u)(t � v) + 5(t � v)2 6 14

+ 16

+ 59

= 3536

< 1

• Posons r := a � bq = b(x � q)

• On a N(r) < N(b) (ou r = 0)

• Si v 2]n + 13,n + 2

3[

• On considère 2x = 2u + 2v↵

• Alors 2v 2]2n + 23,2n + 1 + 1

3[

• On est ramené au cas précédent et 2a = bq + r. . .

• L’idéal (2) est maximal dans Z[↵]

• Z[↵] ' Z[X]/(X2 � X + 5) (par DE)• Z[↵]/(2) ' Z[X]/(2,X2 � X + 5) ' F2[X]/(X2 + X + 1) qui est un corps car

X2 + X + 1 est irréductible sur F2

• Soit I 6= {0} un idéal de Z[↵], soit a 2 I \ {0} tq N(a) soit minimale

• Si I = (a) c’est fini• Sinon soit x 2 I \ (a), on effectue la pseudo-DE de x par a

• Si x = aq + r avec N(r) < N(a) ou r = 0, absurde• Si 2x = aq + r avec N(r) < N(a) ou r = 0, on a 2x = aq

• Or (2) est maximal donc premier, donc a ou q 2 (2)

• Si q 2 (2), alors x 2 (a), absurde• Donc q /2 (2) et a 2 (2), i.e. a = 2a0

• Donc x = a0q 2 (a0)

• Comme (2) maximal et q /2 (2), on a (2,q) = Z[↵]

• Donc on a une relation de Bézout : �2 + µq = 1

• Donc a0 = 2�a0 + µqa0 = �a + µx, donc a0 2 I, ce qui est absurde cara = 2a0 et N(a) minimale

2

24


Remarques� Z[i

p5] n’est pas factoriel (mais il est noetherien)

� R[X1,X2, . . .] est factoriel... mais il n’est pas noetherien� Z[X] est factoriel mais n’est pas principal : (2,X)

� Rq : le résultat montré ici tient encore pour "19 = 43, 67 ou 143"� Rq : Z[1+i

p19

2] les entiers de Q(i

p19)

Leçons concernées� 122 : Anneaux principaux

Références� Perrin : Cours d’algèbre, p.54

3

25

Développement Analyse

Vitesse de convergence de la méthode du gradient

On considère f : x 2 Rn 7! 12hAx,xi + hb,xi où A 2 Sn(R).

Alors en notant x l’unique solution à ce problème de minimisation (P), ona

f(xk) � f(x) 6 (f(x0) � f(x))

✓c2(A) � 1

c2(A) + 1

◆2k

kxk � xk 6

s2(f(x0) � f(x))

�n

✓c2(A) � 1

c2(A) + 1

◆k

.

Rappels.Le conditionnement de A est c2(A) := �1

�noù �1 est la plus grande vp.

On a l’inégalité de Kantorovitch : hAx,xihA�1x,xi 6 14

⇣q�1

�n+q

�n

�1

⌘2

kxk4.

• Rq : On sait que résoudre (P) permet de résoudre le système linéaire Ax = b

• Algorithme.Initialisation : x0 2 Rn

Algo : (si rf(xk) 6= 0) xk+1 := xk + tkdk où dk := �rf(xk) et tk est l’unique réelpositif minimisant t 7! f(xk + tdk) sur R

• (P) a une unique solution x, qui est l’unique solution de rf(x) = 0

• f est quadratique, strict convexe 1-coercive sur Rn, donc il existe un unique xminimisant f sur Rn

• Comme f est différentiable et convexe, x est l’unique solution de rf(x) = 0

• On a en fait x = �A�1b et f(x) = �12hA�1b,bi

• On a tk = kdkk2

hAdk,dki

• Comme A 2 Sn, f(xk + tdk) = f(xk) + 12t2hAdk,dki + thAxk + b,dki

• Donc lorsque dk = �rf(xk) 6= 0, la fct t 2 R 7! f(xk + tdk) est minimisée enun seul point tk := kdkk2

hAdk,dki > 0 car dk = �rf(xk) = �Axk � b

• On a dk+1 = dk � tkAdk et hdk+1,dki = 0

• dk+1 = �(Axk+1 + b) = �Axk � b � tkAdk = dk � tkAdk

1

26


• hdk+1,dki = hdk,dki � tkhAdk,dki = 0 d’après la relation trouvée pour tk

• On a f(xk+1) � f(x) = (f(xk) � f(x))⇣1 � kdkk4

hAdk,dkihA�1dk,dki

⌘

• On développe f(xk+1) = f(xk + tkdk) = f(xk) � 12

kdkk4

hAdk,dki

• Donc f(xk+1)�f(x) = (f(xk)�f(x))⇣1 � kdkk4

2(f(xk)�f(x))hAdk,dki

⌘car si rf(xk) 6=

0, alors f(xk) � f(x) 6= 0

•

hA�1dk,dki = hA�1(Axk + b),Axk + bi

= 2

✓1

2hAxk,xki + hb,xki +

1

2hA�1b,bi

◆

= 2(f(xk) � f(x))

car f(x) = �12hA�1b,bi, ce qui donne la relation voulue

• L’inégalité de Kantorovitch donne kdkk4

hAdk,dkihA�1dk,dki > 4⇣q

�1

�n+q

�n

�1

⌘�2

= 4 �1/�n

(�1/�n+1)2

• Donc f(xk+1)�f(x) 6 (f(xk)�f(x))⇣1 � 4 c2(A)

(c2(A)+1)2

⌘6 (f(xk)�f(x))

⇣c2(A)�1c2(A)+1

⌘2

• Par rec on a l’inégalité voulue• De plus f(xk) � f(x) = 1

2hAxk,xki + hb,xki � f(x) = 1

2hA(xk � x),xk � xi car

Ax = �b et �f(x) = 12hA�1b,bi

• Donc f(xk) � f(x) > 12�n kxk � xk2 d’où découle la seconde inégalité

• Conclusion. Plus c2(A) est proche de 1, plus la méthode du gradient à pasoptimal cv rapidement, le cas limite étant c2(A) = 1

Lorsque c2(A) grand, la méthode est lente

Leçons concernées� 162 : Systèmes d’équations linéaires� 233 : Méthodes itératives en analyse numérique

Références� Hiriart-Urruty : Optimisation et Analyse convexe, p.53

2

27


Un critère de nilpotence

Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, E un k-espace vectoriel de dimension finie n et B ⇢ A deux sous-espaces vectorielsde L (E). Notons T := {t 2 L (E), [t,A] ⇢ B}.Si t 2 T vérifie Tr(tu) = 0 pour tout u 2 T , alors t est nilpotent.

Préliminaires.On définit le crochet de Lie de deux endomorphismes u et v par : [u,v] = uv � vu.On note adu = [u,·].Comme k est de caractéristique nulle, on peut identifier Q avec un sous-corps de k.On admettra le lemme suivant :Lemme. La décomposition de Dunford de adt est ads + adn

Preuve (idées). On mq [adA , adB] = ad[A,B]. On mq les vp de adA sont les {� �µ, �,µ 2 Sp(A)}. On mq si A nilpo alors adA nilpo. On mq A diago ssi adA diago.On vérifie que la décompo de Dunford voulue marche.

• Principe : on va mq que la partie diagonalisable de la décomposition de Dunfordde t est nulle

• �t est scindé car k est algébriquement clos, donc on peut écrire t = s + n ladécomposition de Dunford de t, avec s diago, n nilpo et [s,n] = 0

• Soient �i les vp de t, ce sont aussi celles de s

• Soit B = (e1, . . . ,en) une base dans laquelle s est diagonale et n est triangulairesupérieure (en mettant t sous forme de Jordan par ex). On a donc s(ei) = �iei, eton va m.q. �i = 0 pour tout i

• Soit F le Q-ev engendré par les �i, c’est un ss-Q-ev de k, de dimension 6 n. Mqson dual F ⇤ = L (F,Q) = {0}

• Soit ' 2 F ⇤, mq ' = 0

• On définit u 2 L (E) comme u(ei) = '(�i)ei pour 1 6 i 6 n

• Si u 2 T , alors ' = 0

• On a u et t triangulaires supérieures, donc tu aussi• On a 0 = Tr(tu) =

Pni=1 '(�i)�i

• Grâce à la Q-linéarité de ' : 0 = '(Tr(tu)) =Pn

i=1 '(�i)2

• Donc tous les '(�i) = 0

• Comme ' est nul sur une partie génératrice de F , on a ' = 0

1

28


• Donc F ⇤ = {0}, donc F = {0}, donc les �i = 0 par def de F , donc s = 0, donct est nilpotent

• On a u 2 T , i.e. [u,A] ⇢ B ou adu(A) ⇢ B

• Lemme 1 (admis). La décomposition de Dunford de adt est ads + adn

• Lemme 2 (admis, c’est juste une petite amélioration de Dunford). Siu = s + n est une décomposition de Dunford, alors il existe P 2 k[X] tel queP (u) = s et P (0) = 0.

• On écrit �t =Q`

i=1(X � �i)ni

• Les (X��i)ni étant deux à deux premiers entre eux, le théorème chinois nous

donne P 2 k[X] tq P (X) = �i (mod (X � �i)ni) pour 1 6 i 6 `

• On note Ni := ker (u��iid)ni . D’après le lemme des noyaux, on a E = �`i=1Ni

• Ainsi, il existe une unique décompo x 2 E = x1 + · · · + x` avec xi 2 Ni

• Par construction de s, s(x) = �1x1 + · · · + �`x`

• Par def de P , il existe Ri 2 k[X] tq P (u) = �iid + Ri(u) � (u � �iid)ni , ainsiP (u)(xi) = �ixi

• Donc P (u)(x) = �1x1 + · · · + �`x` = s(x), donc P (u) = s

• De plus P (0) = 0

• Si 0 vp, on a P = 0 (mod Xn0), donc ok• Sinon, X est premier à chacun des (X � �i)

ni , on définit P en appliquantle lemme chinois aux (X � �i)

ni et à X

• D’après les lemmes 1 et 2, il existe P 2 k[X] tq P (adt) = ads et P (0) = 0

• On considère (Eij) la b.c. de L (E) (on a Eij(ek) = �jkei)• On a adu(Eij) = ('(�i)�'(�j))Eij = '(�i � �j)Eij (il suffit de vérifier que les

deux coïncident en chaque ek)• On fait alors un interpolation de Lagrange pour trouver Q 2 k[X] tq Q(�i ��j) = '(�i � �j) pour tous i,j (en particulier, Q(0) = 0 car 0 = �1 � �1)

• On a de même que précédemment ads(Eij) = (�i � �j)Eij, donc (ads)k(Eij) =

(�i � �j)kEij

• En écrivant Q =P

qkXk, on vérifie que adu et Q(ads) coïncident sur la base

(Eij), donc adu = Q(ads)

• On pose R = Q � P , qui vérifie R(0) = 0 et adu = R(adt) car P (adt) = ads

• Or t 2 T , donc adt(A) ⇢ B ⇢ A car B ⇢ A par hyp, donc (adt)k(A) ⇢ B, donc

adu(A) = Q(adt)(A) ⇢ B, donc u 2 T

Remarques? App : Critère de Cartan pour la résolubilité des algèbres de Lie de dimension finie? App : Dans le cas B = {0} et A engendré par une matrice, on en déduit que si

Tr(Mk) = 0 pour tout k, alors M est nilpo

2

29


? Appp : Ceci peut conduire au th de Burnside sur les sous-groupes d’exposant finide GLn(C)

? Rq : Le th n’est plus vrai si on ne suppose plus la caractéristique du corps égaleà 0 (des problèmes peuvent notamment survenir si la trace de l’identité est nulle)

Leçons concernées� 153 : Polynômes d’endo, réduction� 154 : Sous-espaces stables� 157 : Endo trigonalisables, nilpotents� 159 : Formes linéaires et dualité

Références� Beck : Objectif Agrégation, p.208-212

3

30


Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes

Package. Soit f 2 L (E) avec E C-ev de dimension n.

1. Si Tr(f p) = 0 pour tout 1 6 p 6 n, alors f est nilpotent.2. Si g 2 L (E) vérifie Tr(f p) = Tr(gp) pour tout p, alors �f = �g.

• Premier résultat.

• On a ⇡f =Q

(X � �i), donc il suffit de m.q. toutes les vp sont nulles• Comme C alg clos, on trigonalise f dans une base B, on note �1, . . . ,�q ses vp

(distinctes) et ↵1 . . . ,↵q leur multiplicité• Les termes de la diagonale de [f ]B

p étant ce qu’ils sont, on a pour tout 1 6 p 6 n,Pqi=1 ↵i�i

p = Tr(f p) = 0

• Si f a une vp non nulle, quitte à renuméroter on a �1, . . . ,�r 6= 0

• Donc pour tout 1 6 p 6 r,Pr

i=1 ↵i�ip = 0, soit

M

0BB@

↵1

...↵r

1CCA = 0 avec M =

0BB@

�1 · · · �r

... . . . ...�1

r · · · �rr

1CCA 2 Mr(C)

• Donc M non injective, donc det M = 0, or on reconnaît un Vandermonde

det M = �1 · · ·�r

��

1 · · · 1... . . . ...

�1r�1 · · · �r

r�1

��= �1 · · ·�r

Y

i<j

(�j � �i)

• Donc car det M = 0 et les �i distincts et non nuls, on a une absurdité• Donc les vp sont nulles, donc f est nilpo• Second résultat.

• On note maintenant �1, . . . ,�n les vp de f répétées avec multi• Donc en trigonalisant f , Tr(f p) =

Pni=1 �i

p

• On considère les polynômes symétriques élémentaires �p =P

X1 · · · Xp 2 C[X1, . . . ,Xn](�p =

Pi1<···<ip

Xi1 · · · Xip)

1

31


• D’après les formules de Newton, les polynômes symétriques élémentaires s’ex-priment en fonction des sommes de Newton Sp =

Pni=1 Xi

p (on a �1 = S1,2�2 = �1S1 � S2, . . .)

• On peut donc exprimer les coefficients deQ

(X � Xi) en fonction des Sp, carQ(X � Xi) = Xn � �1X

n�1 + · · · + (�1)n�n

• On peut donc exprimer les coefficients de �f =Q

(X��i) en fonction des Tr(f p) =Pni=1 �i

p

• De même pour g, et car Tr(f p) = Tr(gp), on a �f = �g

Remarques• App : Ceci permet de montrer que si f,g 2 L (E) tq [[f,g],f ] = 0, alors [f,g] est

nilpo• App : Ceci peut conduire au th de Burnside sur les sous-groupes d’exposant fini

de GLn(C)

• Rq : C’est un cas particulier du développement un critère de nilpotence• Rq : le premier résultat est assez trivialement une équivalence

Leçons concernées� 142 : Polynômes à plusieurs indéterminées� 152 : Déterminant� 157 : Endomorphismes trigonalisables, nilpotents

Références� Gourdon : Algèbre, p.206

2

32


Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood

Soit (bn) une suite de réels telle que bn = O(1/n) et limx!1�P

n>0 bnxn = `.

AlorsP

bn converge et sa somme vaut `.

• Soit (an) une suite réelle tq an = O(1/n), tq la série entièreP

anzn ait un rayon

de cv > 1 et tq la somme F (x) ��!x!1�

0

• Notons � l’ensemble des fcts ' : [0,1] ! R tqP

an'(xn) cv pour 0 6 x < 1 etlimx!1�

Pn>0 an'(xn) = 0

• Soit P un polynôme tq P (0) = 0, alors P 2 �

• Si P (x) = xk monôme, alors la somme cv bien pour x 2 [0,1[

• EtP

n anP (xn) = F (xk) et par hypothèse, F (x) ��!x!1�

0

• Par linéarité on a le résultat

• Soit Q un polynôme, on a (1 � x)P

n xnQ(xn) ��!x!1�

R 1

0Q

• Q est borné sur [0,1] doncP

xnQ(xn) cv absolument donc cv sur [0,1[

• Si Q(x) = xk monôme, alors pour 0 6 x < 1, (1 � x)P

n xnQ(xn) = (1 �x)P

n x(k+1)n = 1�x1�xk+1 = 1

1+x+···+xk

• Donc la limite x ! 1� vaut 1k+1

=R 1

0Q

• Par linéarité on a le résultat

• Soit g : [0,1] ! R valant 0 sur [0,1/2[ et 1 sinon• Mq il existe P1 et P2 polynômes tq

(i) P1(0) = P2(0) = 0 et P1(1) = P2(1) = 1

(ii) P1 6 g 6 P2

(iii)R 1

0Q < " avec Q(x) = P2(x)�P1(x)

x(1�x)

• Posons h(x) = g(x)�xx(1�x)

si x 2]0,1[ et h(0) = �1, h(1) = 1

• On a h(x) = � 11�x

sur [0,1/2[ et h(x) = 1x

sinon

• On peut trouver deux fcts C0 s1 et s2 tq (ii) etR 1

0(s2 � s1) < "

• D’après le th de Weierstrass (car les si continues), on peut trouver deux poly-nômes t1 et t2 tq |ti � si| < "

1

33


• Donc les polynômes u1 := t1 � " et u2 := t2 + " vérifient u1 < s1 6 h 6 s2 < u2

et u2 � u1 = t2 � t1 + 2" 6 s2 � s1 + 4"

• DoncR 1

0(u2 � u1) 6

R 1

0(s2 � s1 + 4") < 5"

• Comme g(x) = x + x(1 � x)h(x), on vérifie que les Pi(x) = x + x(1 � x)ui(x)vérifient les conditions demandées

• Mq g 2 �

• On prend P1, P2 et Q précédemment• P ang(xn) cv• Soit M > 0 tq |an| 6 M/n

• Comme P1 6 g 6 P2, pour x 2 [0,1[ :��

1X

n=0

ang(xn) �1X

n=0

anP1(xn)

�� 61X

n=1

|an| (P2�P1)(xn) 6 M

1X

n=1

xn(1 � xn)

nQ(xn)

• 6 M(1 � x)1X

n=1

xnQ(xn) car (1 � xn) = (1 � x)(1 + x + · · · + xn�1) 6 (1 � x)n

• Q = u2 � u1 est un polynôme, donc limx!1�(1 � x)P

xnQ(xn) =R 1

0Q < "

• De plus P1 2 �, doncP

n ang(xn) tend vers 0 quand x ! 1�

• Pour 0 6 x < 1,P1

n=0 ang(xn) =P� log(2)/ log(x)

n=0 an

• Comme g 2 � on fait tendre x ! 1� et on en déduit que la somme est nulle• On conclut avec a0 := b0 � ` et an = bn si n > 1

Remarques? C’est la version forte. . .du théorème taubérien faible? Le résultat reste vrai si (nbn) est seulement minorée (pas forcément bornée)? App : Calculer la série harmonique alternée avec bn = (�1)n+1/n

? C-Ex : bn = (�1)n

Leçons concernées� 207 : Prolongement de fonctions� 209 : Approximation d’une fonction� 230 : Séries de nombres réels ou complexes� 235 : Interversions limite-intégrale� 243 : Séries entières

Références� Gourdon : Analyse, p.289

2

34


Théorème des deux carrés

Théorème (des deux carrés) : Un nombre premier p est somme de deuxcarrés si, et seulement si, p = 2 ou p est congru à 1 modulo 4.

• On pose ⌃ l’ensemble des entiers naturels somme de deux carrés, on cherche àrésoudre l’équation diophantienne n = a2 + b2

• L’idée est d’utiliser l’anneau Z[i] des entiers de Gauss (un entier de ⌃ n’est pasirréductible dans Z[i] : 5 = (2 + i)(2 � i))

• On introduit la norme N(a + ib) = a2 + b2

• On a Z[i]⇥ = {�1,1, � i,i}• Si zz0 = 1, N(z)N(z0) = 1 et car N à valeurs dans N ok• La réciproque est facile

• ⌃ est stable par multiplication (facile avec la multiplicativité de N)• Rq : ce qui motive le fait qu’on ne qu’aux nombres premiers qui sont dans ⌃

• Z[i] est euclidien pour N

• Soient z,t 2 Z[i] \ {0}, on veut faire la DE de z par t

• On considère z/t 2 C, on prend q = a + ib l’entier de Gauss le plus proche

• Alors |z/t � q| 6p

22

< 1 (dessin !)• On pose r := z � qt 2 Z[i]

• On a |r| = |t| |z/t � q| < |t| (ou r = 0), donc N(r) < N(t) ou r = 0

• Soit p un nombre premier, p 2 ⌃ () p = 2 ou p ⌘ 1 (mod 4)

• On remarque avec un modulo 4 que si p ⌘ 3 (mod 4), p /2 ⌃

• Réciproquement, p 2 ⌃ () p n’est pas irréductible dans Z[i]

• On a déjà vu le sens direct (si p = a2 + b2 premier, a ou b est 6= 0)• Réciproquement, si p = zz0 avec z,z 6= ±1, ± i

• On a N(p) = p2 donc N(z) = N(z0) = p, donc p 2 ⌃

• Comme Z[i] est euclidien, donc principal, donc factoriel, dire que p est nonirréductible revient à dire que l’idéal (p) est non premier, donc que Z[i]/(p)n’est pas intègre (lemme d’Euclide)

1

35


• On a Z[i] ' Z[X]/(X2 + 1) (preuve par DE en regardant le noyau de P 2Z[X] 7! P (i) 2 Z[i])

• Avec les théorèmes d’isomorphismes, on a alors Z[i]/(p) ' Z[X]/(X2 + 1,p) 'Z/pZ[X]/(X2 + 1)

• Justifions le premier isomorphisme en notant ⇡X2+1 : Z[X] ⇣ Z[X]/(X2 + 1)et ⇡p : Z[X]/(X2 + 1) ⇣ (Z[X]/(X2 + 1))/(p)

• Or ker (⇡p �⇡X2+1) = {P 2 Z[X], 9Q 2 Z[X], P = pQ} = {P 2 Z[X], 9u,v 2Z[X], P = pu + (X2 + 1)v} = (p,X2 + 1)

• Donc (p) non premier ssi X2 + 1 non irr dans Fp[X] ssi X2 + 1 a une racinedans Fp

• Finalement, p 2 ⌃ ssi �1 est un carré dans Fp

• On a �1 carré dans Z/pZ ssi p ⌘ 1 (mod 4) ou p = 2

• On traite à part directement les cas p = 2

• Card(F⇤p2) = p�1

2avec un morphisme

• x 2 F⇤p2 () x

p�12 = 1 en regardant X = {x 2 F⇤

p, xp�12 = 1} avec une

inclusion + cardinalité• Alors �1 2 X () · · · () p � 1 ⌘ 0 (mod 4)

Remarques? On peut aussi en déduire facilement qu’un entier n est somme de deux carrés ssi

sa valuation p-adique pour tout p ⌘ 3 (mod 4) est pair? Rq : plus généralement, on a le théorème de Lagrange qui dit que tout entier est

somme de 4 carrés (deux preuves : soit directe, soit via les quaternions)? Un entier est somme de 3 carrés ss’il n’est pas de la forme 4n(8k + 7)

? On peut dénombrer le nombre de façon de décomposer un entier en somme de4 carrés grâce à la formule de Jacobi : r4(n) = 8

P4-d|n d (preuve par les formes

modulaires)

Leçons concernées� 121 : Nombres premiers� 122 : Anneaux principaux� 126 : Equations diophantiennes


2

36


Théorème de Wedderburn

Théorème (de Wedderburn) : Tout "corps" fini est commutatif.

Préliminaires.On suppose connue toute la théorie des polynômes cyclotomiques.

• Soit k un corps fini, Z son centre

• Z est un sous-corps commutatif de k de cardinal q > 2 (car 0,1 2 Z)• Comme k est un Z-ev, on a |k| = qn

• Si par l’absurde k non commutatif, alors n > 1

• k⇤ agit sur lui-même par conjugaison, i.e. a · x = axa�1

• On note !(x) l’orbite de x pour cette action• On pose kx := {y 2 k, yx = xy}• kx est un ss-corps de k

• On a comme avant |kx| = qd

• On a Stab(x) = k⇤x

• De plus, d | n

• On a k⇤x sous-groupe de k⇤ donc qd � 1 | qn � 1

• On écrit la DE n = ad + b avec 0 6 b < d

• On a qn ⌘ 1 (mod qd � 1) et qn ⌘ qad+b ⌘ qb (mod qd � 1) car qd ⌘ 1(mod qd � 1), donc qb ⌘ 1 (mod qd � 1)

• Donc qd � 1 | qb � 1, or 0 6 b < d, donc qb � 1 = 0

• Donc qb = 1, or q > 2, donc b = 0

• D’après le lemme orbite-stabilisateur, |!(x)| = |k⇤||k⇤

x| = qn�1qd�1

• Or X↵ � 1 =Q

m|↵ �m(X)

• Donc qn�1qd�1

=Q

m|nm-d

�m(q) car d | n

• Si d 6= n, alors �n(q) | qn�1qd�1

(on rappelle que les �k 2 Z[X])• On utilise l’équation aux classes

• |k⇤| = |Z⇤| +P

x/2Z, sur un ensemble de représentants des orbites |!(x)|

1

37


• Or x /2 Z implique d 6= n

• Donc qn � 1 = q � 1 +P qn�1

qd�1(la somme portant sur des diviseurs d stricts de

n)• Donc �n(q) | q � 1

• Donc |�n(q)| 6 q � 1

• Or �n(q) =Q

⇣i rac prim n-ième de 1(q� ⇣i) (avec donc les |⇣i| = 1 et ⇣i 6= 1 car n 6= 1)• Donc |q � ⇣i| > q � 1

• Donc |�n(q)| > (q � 1)` > q � 1, ce qui est absurde

Remarques? Attention : ce th devient évident si on sait déjà que le groupe multiplicatif d’un

corps est cyclique

Leçons concernées� 101 : Groupe opérant sur un ensemble


2

38


Théorème de structure des groupes abéliens finis

Soit G un groupe abélien fini, il existe r 2 N et des entiers N1, . . . ,Nr oùN1 est l’exposant de G et Ni+1 | Ni si i 6 r � 1, tels que G ' �r

i=1Z/NiZ.

Préliminaires.Si G est un groupe abélien fini, on note N(G) son exposant, i.e. le maximum desordres des éléments de G.Un caractère linéaire est un morphisme � : G ! C⇤. On note bG (groupe multiplicatif)l’ensemble des caractères linéaires de G.On utilise le fait qu’un groupe abélien fini est isomorphe à son bidual.

Lemme 1 Si H est un groupe abélien fini, alors H et bH ont même exposant.

Preuve.Soit � 2 bH, on a pour tout x 2 H, �N(H)(x) = �(x)N(H) = �(xN(H)) = �(1) = 1.Donc l’exposant de bH divise celui de H.On montre de même que l’exposant de bbH divise celui de bH et on sait que bbH ' H.Donc N(H) 6 N( bH) 6 N(H).

• On procède par récurrence sur |G| (évident si |G| = 1, r = 0), on suppose donc|G| > 1

• On note N = N1 = N(G) l’exposant de G

• 8� 2 bG, 8x 2 G, �(x) est une racine N -ième de l’unité

• Or N est l’exposant de bG d’après le lemme, donc il existe �1 d’ordre N , et comme�1(G) est un sous-groupe de µN , on a �1(G) = µN

• Soit donc x1 2 G tq �1(x1) = e2i⇡/N

• Comme l’ordre de x1 divise N , et que �1(x1ord(x1)) = 1 = e2i⇡ord(x1)/N , N divise

ord(x1)

• Donc x1 est d’ordre N

• Donc H1 := hx1i ' Z/NZ• Posons G1 := ker�1, montrons que G ' G1 � H1 (ce qui permettra de conclure

car l’ordre des éléments du s.g. G1 divise l’exposant du groupe)

• �1 induit un isomorphisme de H1 sur µN (car surj, et les deux groupes ontmême cardinal)

1

39


• Posons ↵ : µN ! H1 son inverse• Si x 2 G, alors a = ↵(�1(x)) 2 H1

• Et b = a�1x vérifie �1(b) = �1(a)�1�1(x) = �1(x)�1�1(x) = 1, donc b 2 G1

• Enfin, H1 \ G1 = {1} car �1 est injectif sur H1

• L’hypothèse de récurrence appliquée à G1 permet de conclure

Remarques? Ceci est une application d’un autre développement qui montre l’isomorphisme

entre un groupe abélien fini et son bidual

Leçons concernées� 102 : Nombres complexes de module 1

� 104 : Groupes finis� 107 : Représentations et caractères� 110 : Caractères d’un groupe abélien

Références� Colmez : Eléments d’analyse et d’algèbre, p.252

2

40


Théorème de Gauss-Lucas et Application

Théorème (de Gauss-Lucas) : Soit P 2 C[X] non constant, les racinesde P 0 sont dans l’enveloppe convexe des racines de P .

• On écrit P = �Qr

k=1(X � �k)nk avec les �k distincts

• On a P 0 = �Pr

k=1 nk(X � �k)nk�1

Ql 6=k(X � �l)

nl

• On a la décompo en éléments simples P 0P

=Pr

k=1nk

X��k

• Prenons une racine z de P 0

• Si z est l’un des �k, elle est dans l’enveloppe convexe des racines de P (évidem-ment. . .)

• Sinon 0 = P 0(z)P (z)

=Pr

k=1nk

z��k=Pr

k=1 nkz��k

|z��k|2

• Donc z = (Pr

k=1nk

|z��k|2�k)/Pr

k=1nk

|z��k|2

• Comme les nk

|z��k|2 > 0, z est un barycentre à coeffs > 0 des �k ce qui conclut

Application : Déterminons le plus grand entier n > 2 tel que les racinesnon nulles de P = (X + 1)n � Xn � 1 soient de module 1.

• Si n = 2, P a une seule racine 0

• Soit n > 3, P 0 = n(X + 1)n�1 � nXn�1

• Si z racine de P 0, z 6= 0, donc ( z+1z

)n�1 = 1

• Donc il existe 0 6 k 6 n � 2 tq z+1z

= e2ik⇡n�1 (et k 6= 0 car z + 1 6= z), et

réciproquement, toutes ces formes donnent des racines• Donc les n� 2 racines de P 0 sont de la forme (en factorisant par l’angle moitié +

formule d’Euler) : zk =e

�ik⇡n�1

2i sin k⇡n�1

• Si les racines de P sont de module 1, celles de P 0 sont dans le disque unité d’aprèsGauss-Lucas

• On a pour n > 8, 1|z1| = 2 sin ⇡

n�1< 2 sin ⇡

6= 1 (absurde)

• Enfin on regarde P7 = (X + 1)7 � X7 � 1

• On développe, on factorise par 7X

1

41


• �1 est racine évidente, et on utilise Hörner : P7 = 7X(X + 1)(X4 + 2X3 +3X2 + 2X + 1) = 7X(X + 1)Q(X)

• On factorise Q par X2 et on pose Y = X + 1X

, ce qui donne Q = X2(X2 + 1X2 +

2(X + 1X

) + 3) = X2(Y + 1)2

• Les racines de P7 sont alors {0, � 1,j,j2}

Leçons concernées� 102 : Nombres complexes de module 1

� 144 : Racines d’un polynôme� 181 : Barycentres et convexité� 182 : Nombres complexes en géométrie

Références� Francinou : Algèbre 1, p.229

2

42


Théorème de Frobenius-Zolotarev

Théorème (de Frobenius-Zolotarev) : Soit p > 3 un nombre premier.

Pour tout u 2 GLn(Fp), on a "(u) =

✓det u

p

◆où " est la signature.

Préliminaires.Le symbole de Legendre ( ·

p) est défini par (x

p) = 0 si x = 0 dans Fp, 1 si x 6= 0 est

un carré dans Fp, �1 sinon.

• Principe : on va montrer que la signature se factorise " = ( ·p) � det

• Etape 1. Soit k un corps 6= F2, M un groupe abélien et n 6= 2. Alors toutmorphisme ' : GLn(k) ! M se factorise par le déterminant : il existe un uniquemorphisme de groupes � : k⇥ ! M tq ' = � � det

GLn(k) k⇥

M

det

'�

• Si (k,n) 6= (F2,2), alors D(GLn(k)) = SLn(k) (admis)• On a D(GLn(k)) ⇢ ker', car si x,y 2 GLn(k), '([x,y]) = ['(x),'(y)] = 1 car

M est abélien (et D(GLn(k)) est engendré par les commutateurs)• Donc par th de factorisation

GLn(k) GLn(k)/ SLn(k)

M

⇡

''

• Comme det : GLn(k) ! k⇥ morphisme de noyau SLn(k), on a det isomorphisme

GLn(k) GLn(k)/ SLn(k)

k⇥

⇡

detdet'

• Donc ' = ' � ⇡ = ' � det�1 � det � ⇡ = � � det avec � := ' � det

�1

1

43


• On a unicité de � par surjectivité du déterminant

• On va montrer maintenant que � est en fait le symbole de Legendre• Etape 2. Le symbole de Legendre est l’unique morphisme non trivial de F⇥

p dans{±1}• Le symbole de Legendre est bien un morphisme non trivial (puisqu’il y a (p �

1)/2 éléments qui ne sont pas des carrés – on regarde x 7! x2 qui est noninjective)

• Réciproquement, un tel morphisme ↵ est uniquement déterminé• En effet, ↵ vaut 1 sur les carrés car ↵(x2) = ↵(x)2 = 1

• Et car ↵ non trivial, ↵ vaut �1 sur les non carrés

• Etape 3. " : GLn(Fp) ! {±1} est non trivial

• Il existe une extension Fq/Fp de degré n (à savoir Fpn)• Fp

n et Fq sont isomorphes comme Fp-ev, il suffit donc de trouver une bijectionde Fq qui soit Fp-linéaire et de signature �1

• F⇥q est cyclique d’ordre q � 1, soit g un générateur

• La permutation � : x 7! gx fixe 0 et agit comme le cycle (g,g2, . . . ,gq�1)

• Ce cycle a pour longueur q � 1, donc "(�) = (�1)q = �1

• Donc car " = � � det, � est non trivial• Ainsi, on a bien la factorisation voulue car � = ( ·

p)

F⇥p GLn(Fp)/ SLn(Fp) M = {±1}

GLn(Fp)

�=' � det�1

=( .p)

det'

'

det⇡

'="

Remarques? Ce théorème permet de calculer (2

p) et (�1

p) par exemple

Leçons concernées� 103 : Sous-groupes distingués et groupes quotiens� 105 : Groupe de permutations� 106 : Groupe linéaire� 123 : Corps finis� 152 : Déterminant

2

44


Références� Objectif Agrégation, p.251

3

45


Théorème d’Hadamard-Lévy

Soit f : Rn ! Rn de classe C2. Alors f est un C1-difféomorphisme de Rn

sur Rn si, et seulement si, f est propre et le déterminant du jacobien de fest partout non nul.

Rappels.Un difféomorphisme est une bijection différentiable dont la réciproque est différen-tiable.Une application f est dite propre si l’image réciproque par f de tout compact estun compact.Si f : Rn ! Rp, on peut écrire les images comme (f1(x1, . . . ,xn), . . . ,fp(x1, . . . ,xn)),alors

Jac(f) =

0BB@

@f1

@x1· · · @f1

@xn

... . . . ...@fp

@x1· · · @fp

@xn

1CCA .

Cette preuve est longue, en voici donc le plan.

• Le sens direct est facile• Pour la réciproque on commence par montrer :• Lemme 1. S’il existe g : Rn ! Rn continue (a) tq pour tout y 2 Rn, f(g(y)) = y

(b) et g est surjective (c). Alors f est un C1-difféo.

• On montrer f injective à la main• f surjective est facile• Le TIL donne que c’est un C1-difféo

• Le but est maintenant de contruire g vérifiant le lemme 1• On construit un système différentiel avec f(x(t,y)) = ty

• Le Lemme 2. (admis) donne x 7! (dxf)�1(y) 2 C1

• Cauchy-Lipschitz donne une solution maximale• On montre que la solution maximale est globale avec le lemme des bouts• Ainsi on peut définir g(y) = x(1,y)

• g vérifie (b)

1

46


• g vérifie (a) (technique ! – à admettre ?)• g vérifie (c), on raisonne par connexité

• g(Rn) est fermé à la main• g(Rn) est ouvert avec des voisinages

• Si f difféo

• f�1 est continue donc transforme un compact en un compact, donc f est propre• f�1 � f = id, donc df(x)f

�1 � dxf = id et de même dans l’autre sens, donc dxfest inversible en tout point x

• Réciproquement, quitte à poser f = f � f(0), on suppose f(0) = 0

• On remarque que pour tout x, dxf est inversible• Lemme 1. S’il existe g : Rn ! Rn continue (a) tq pour tout y 2 Rn, f(g(y)) = y

(b) et g est surjective (c). Alors f est un C1-difféo.

• f est injective

• Si x,x0 tq f(x) = f(x0), alors (c) donne qu’il existe y,y0 tq g(y) = x etg(y0) = x0

• (b) donne que f(x) = f(g(y)) = y = f(g(y0)) = y0, donc y = y0

• Donc x = g(y) = g(y0) = x0

• f est surjective d’après (b)• Comme le jacobien de f est partout non nul, le TIL donne que f est un C1-

difféo, local, donc f et f�1 sont C1 sur Rn

• On veut donc construire g vérifiant les hypothèses du lemme, on cherche donc unefonction C1 x 2 Rt ⇥ Rn

y ! Rn tq f(x(t,y)) = ty, on posera alors g(y) = x(1,y)

• En dérivant /t on voit qu’il faut que dx(t,y)f�x(t,y) = y, soit x(t,y) = (dx(t,y)f)�1(y).On considère donc le système différentiel

(x(t) = (dx(t)f)�1(y)

x(0) = 0(?)

• Lemme 2. Soit f : Rn ! Rn de classe C2 tq pour tout x, dxf soit inversible.Alors pour tout y fixé, x 7! F (x) = (dxf)�1(y) est de classe C1. De plus, pourtous x,z, dxF (z) = �(dxf)�1(d2

xf(z,(dxf)�1(y))).Remarque : En fait, c’est juste la composée de deux applications C1 ! Pas besoind’admettre quoi que ce soit !

• Idée de la preuve uniquement.• On écrit Taylor à l’ordre 2 dx0+hf = dx0f + d2

x0f(h,·) + o(khk)

• On factorise : dx0+hf = dx0f(id + Th)

2

47


• id + Th est inversible car kThk < 1 pour h suffisamment petit, on calcule alorsl’inverse voulu

• Avec le lemme 2 et le th de Cauchy-Lipschitz car F 2 C1, le sytème (?) admetune solution maximale x(t,y) définie sur I = [0,T ⇤[

• Sur I, ddt

(f(x(t,y))) = dx(t,y)f � x(t,y) = y, et comme x(0,y) = 0 et f(0) = 0, ona f(x(t,y)) = ty

• T ⇤ = +1• Sinon on a |f(x(t,y))| 6 T ⇤ |y|• Donc pour tout t 2 I, x(t,y) 2 f�1(B(0,T ⇤ |y|)) qui est compact car f propre,

ce qui contredit le th des bouts

• En particulier, x(t,y) existe pour t 2 [0,1], et x(t,y) 2 f�1(B(0, |y|)). On poseg(y) = x(1,y)

• g vérifie (b) du lemme 1

• f(x(t,y)) = ty, donc f(g(y)) = y

• g vérifie (a) du lemme 1 (à admettre ?)Remarque : En fait, c’est juste la dépendance des solutions par rapport auxconditions initiales ! Pas besoin d’admettre quoi que ce soit !

• Soit y0 2 Rn, pour |y � y0| 6 1, on a |y| 6 |y0| + 1

• Posons K0 := f�1(B(0,1 + |y0|)) b Rn, soit B0 une boule fermée centrée en 0contenant K0

• Pour tout 0 6 � 6 1, on a �x(t,y0) + (1 � �)x(t,y) 2 B0

• On a x(t,y0) � x(t,y) = (dx(t,y0)f)�1(y0) � (dx(t,y)f)�1(y)

• Donc x(t,y0)�x(t,y) =R t

0(dx(s,y0)f)�1(y0�y)ds+

R t

0

�(dx(s,y0)f)�1 � (dx(s,y)f)�1

�(y)ds =

A + B (on rajoute un terme qui s’auto-annule)• Pour t 2 [0,1], |A| 6 supz2B0

k(dzf)�1k · |y � y0| = M(y0) |y � y0|• Avec les notations du lemme 2, ce qui est à l’intérieur de l’intégrale B s’écrit

(en intégrant sur un segment) :

F (x(s,y0)) � F (x(s,y)) =

Z 1

0

d�x(s,y0)+(1��)x(s,y)F (x(s,y0) � x(s,y))d�

• Donc |B| 6R t

0supX2B0

kdXFk |x(s,y0) � s(s,y)| ds

• Et comme F 2 C1 d’après le lemme 2, on a |B| 6 C(y0)R t

0|x(s,y0) � x(s,y)| ds

• Alors d’après le lemme de Gronwall, pour tout t 2 [0,1], on a |x(t,y0) � x(t,y)| 6M(y0) |y � y0| eC(y0)t

• Donc |g(y) � g(y0)| 6 |x(t,y0) � x(t,y)| 6 M(y0) |y � y0| eC(y0) ce qui prouve lacontinuité de g

• g vérifie (c) du lemme 1

3

48


• Principe : on raisonne par connexité en mq g(Rn) est ouvert et fermé dans Rn

• g(Rn) est fermé

• Soit (xk) = (g(yk)) une suite de g(Rn) qui cv vers x 2 Rn

• On a f(xk) = f(g(yk)) = yk d’après (b)• Par continuité de f , yk = f(xk) ! f(x), donc par continuité de g, xk =

g(yk) ! g(f(x))

• Comme xk ! x, x = g(f(x)) 2 g(Rn)

• g(Rn) est ouvert

• Soit x0 = g(y0) 2 g(Rn), alors f(x0) = f(g(y0)) = y0

• Or il existe par hypothèses des voisinages tq f : Ux0 ! Vy0 soit un difféo• Comme g est continue et g(y0) = x0, il existe un voisinage ouvert tq g(Wy0) ⇢

Ux0 , soit y 2 Wy0

• On a f�1(y) 2 Ux0 , g(y) 2 Ux0 , donc f(f�1(y)) = y et f(g(y)) = y

• Comme f injective sur Ux0 , f�1(y) = g(y) 2 g(Rn), donc f�1(Wy0) ⇢ g(Rn)

• Comme f : Ux0 ! Vy0 difféo, f�1(Wy0) voisinage ouvert de x0

Remarques? Le théorème reste vrai si f est supposée uniquement C1

? App (due à Lafontaine et proposée par C. Falcon) : Il existe " > 0 tq pour touta 2 Rn avec kak 6 " et A 2 GLn(R) avec kA � Ink 6 ", il existe f : Rn ! Rn undifféomorphisme tq f|B(0,1) = A + a et f|Rn\B(0,2) = id

Leçons concernées� 204 : Connexité� 214 : TIL, TFI� 215 : Applications différentiables� 220 : Equa diff X 0 = f(X,t)

Références� Zuily-Queffelec : Analyse pour l’agrégation, p.399

4

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Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv

Théorème (d’Erdös-Ginzburg-Ziv) : Soient n 2 N⇤ et a1, . . . ,a2n�1 2 Z.Il existe des indices i1, . . . ,in 2 {1, . . . ,2n � 1} tels que

ai1 + · · · + ain ⌘ 0 (mod n).

Préliminaires.Théorème (de Chevalley-Warning) : Soit q = pd avec p premier, f1, . . . ,fr 2Fq[X1, . . . ,Xn] tous non nuls tels que

Pri=1 degfi < n. Alors le cardinal de l’ensemble

des zéros communs aux fi est divisible par p.

• On note EGZ l’ensemble des entiers n 2 N⇤ vérifiant ce th (quantification)• Etape 1. EGZ contient tous les nombres premiers

• Soient p premier, a1, . . . ,a2p�1 2 Z, on travaille dans Fp

• Soient f1 :=P2p�1

i=1 aiXip�1 et f2 :=

P2p�1i=1 Xi

p�1

• degf1 + degf2 = 2p � 2 < 2p � 1 donc on applique le th de Chevalley-Warning• Ainsi, p | |Z| où Z est l’ensemble des zéros communs à f1 et f2

• Or (0, . . . ,0) 2 Z, donc |Z| > 2

• Donc il existe ↵ = (x1, . . . ,x2p�1) 2 Z non nul (f1(↵) = f2(↵) = 0)• Notons W := {i 2 {1, . . . ,2p � 1}, xi 6= 0}• On remarque que xp�1 = 1 dans Fp ssi x 6= 0

• On a f2(x1, . . . ,x2p�1) =P

i2W 1 = |W | = 0 car ↵ 2 Z

• Or 1 6 |W | 6 2p � 1, donc |W | = p

• On note W = {i1, . . . ,ip}• Ainsi, f1(↵) =

Ppk=1 aikxik

p�1 =Pp

k=1 aik = 0

• Donc p 2 EGZ

• Etape 2. EGZ stable par multiplication

• Soient m,n 2 EGZ, a1, . . . ,a2mn�1 2 Z• Prenons 2n � 1 ai, comme n 2 EGZ, il existe I1 ⇢ {1, . . . ,2n � 1} tq |I1| = n

etP

i2I1ai ⌘ 0 (mod n)

• On procède par récurrence finie sur 1 6 ` 6 2m � 1, en prenant récursivement2n � 1 ai avec i 2 {1, . . . ,2mn � 1} \ (I1 [ · · · [ I`) et en construisant I`+1

1

50


• Ceci est légal, car au bout de 2m�2 étapes, il reste 2mn�1�n(2m�2) = 2n�1entiers

• Pour j 2 {1, . . . ,2m � 1}, on définit cj parP

i2Ijai = ncj

• Enfin, comme m 2 EGZ, on peut prendre J ⇢ {1, . . . ,2m � 1} tq |J | = m etPj2J cj ⌘ 0 (mod m)

• On note K := {i, 9j 2 J, i 2 Ij} de cardinal mn

• Pk2K ak =P

j2J

Pi2Ij

ai = nP

j2J cj ⌘ 0 (mod mn)

• Donc mn 2 EGZ

• On a finalement EGZ = N⇤ car 1 2 EGZ + Etape 1 + Etape 2

Leçons concernées� 120 : Anneaux Z/nZ� 121 : Nombres premiers� 142 : Polynômes à plusieurs indéterminées� 144 : Racines d’un polynôme

Références� Doc manuel (so far)

2

51


Solution approchée d’une équation différentielle

On considère P le problème de Cauchy y0 = x2 + y2 et y(0) = 0. Nousétudions ce problème, puis nous en déterminerons des solutions approchées.

• Lemme 1. La solution g de P est développable en série entière autour de 0.

• Comme (x,y) 7! x2 + y2 est C1, le th de Cauchy-Lipschitz donne l’existenced’une unique solution maximale g définie sur un intervalle I contenant 0

• On cherche maintenant une solution y(x) =P

n>1 anxn une solution DSE sur

] � R,R[

• On a y0(x) =P

n>0 an+1(n + 1)xn

• y(x)2 est obtenu par un produit de Cauchy : y2(x) =P

n>2 bnxn avec bn =Pn�1

k=1 akan�k

• Ainsi, y solution de P ssi

8><>:

a1 = a2 = 0

3a3 = 1 + a12 = 1

8n > 3, (n + 1)an+1 =Pn�1

k=1 akan�k

• Tout cela définit une unique suite (an), on vérifie que le rayon de cv de la sérieentière n’est pas nul, en effet : |an| 6 1 pour tout n (simple récurrence)

• D’après Cauchy-Lipschitz, on a ] � R,R[⇢ I, et y = g sur ] � R,R[, donc g estDSE en 0

• Pour a > 0, on note E := (C0([�a,a]), k.k1), et on pose pour f 2 E : F (f) : x 7!R x

0(t2 + f(t)2)dt

• Lemme 2. Soit r > 0, pour a suffisamment petit, la boule fermée de E : B :=B(0,r) vérifie F (B) ⇢ B avec F |B contractante.

• Si f 2 B, pour tout t 2 [�a,a], t2 + f(t)2 6 t2 + r2

• Donc pour tout x 2 [�a,a], |F (f)(x)| 6R a

0(t2 + r2)dt 6 a3

3+ ar2

• Donc kF (f)k1 6 r pour a suffisamment petit, ainsi F (B) ⇢ B

1

52


• Si f,g 2 B, x 2 [�a,a] :

|F (f)(x) � F (g)(x)| =

��Z x

0

(f(t)2 � g(t)2)dt

��

=

��Z x

0

(f(t) � g(t))(f(t) + g(t))dt

��

6 2r

Z a

0

|f(t) � g(t)| dt

6 2ra kf � gk1

• Donc pour a suffisamment petit, 2ar < 1 et F |B est contractante

• Lemme 3. Pour tout f 2 B, la suite (F n(f)) cv uniformément sur [�a,a] vers lasolution de P.

• Rq : On redémontre le th du point fixe de Picard dans notre cas• (F n(f)) vérifie le critère de Cauchy uniforme

• Soit k = 2ar, kF n+1(f) � F n(f)k1 6 · · · 6 kn kF (f) � fk1��F n+p(f) � F n(f)

��1 6

pX

i=1

��F n+i(f) � F n+i�1(f)��1

6 kF (f) � fk1pX

i=1

kn+i�1

=kn(1 � kp)

1 � kkF (f) � fk1

6 kn

1 � kkF (f) � fk1

• Si " > 0, il existe n0 tq pour tout n > n0, kn

1�kkF (f) � fk1 6 "

• E étant complet et (F n(f)) vérifiant le critère de Cauchy uniforme, elle cvuniformément sur [�a,a] vers ' 2 E

• On a même ' 2 B car B fermé• L’application F étant continue car lipschitzienne, on a F (') = '

• ' est donc un point fixe de F |B, unique car F est contractante (donc la limitene dépend pas du terme initial f 2 B)

• Pour x 2 [�a,a], '(x) =R x

0(t2 + '(t)2)dt, donc ' est dérivable sur [�a,a] et

vérifie '0(x) = x2 + '(x)2 et '(0) = 0

• D’après le th de Cauchy-Lipschitz, ' est une restriction de g

• On peut calculer des termes fn qui cv unif vers '

• f0 = 0

• f1(x) =R x

0t2dt = 1

3x3

2

53


• f1(x) =R x

0(t2 + 1

9t6)dt = 1

3x3 + 1

63x7

• On peut alors simplement écrire un algo SageMath qui calcule les fn :

f =[0 ]f o r i in [ 1 . . 5 ] :

f . append ( i n t e g r a t e ( x^2+f [ i �1]^2 ,x ) )p r i n t " f"+s t r ( i )pretty_pr int ( f [ i ] )

• Par unicité de la solution et car g est DSE, on obtient un développement asymp-totique de la solution : g(x) = fn(x) + O(x↵n) où ↵n tend vers +1

Figure 1 – Tracé de f4

Remarques? Cette équa diff fait partie des équations différentielles dites de Riccati

Leçons concernées� 205 : Espaces complets� 209 : Approximation d’une fonction par des polynômes� 220 : Equations différentielles X 0 = f(t,X)

� 224 : Développements asymptotiques� 243 : Séries entières

3

54


Références� Francinou : Analyse 4, p.191

4

55


Simplicité de SO(3,R)

Le groupe des rotations de l’espace SO(3,R) est simple.

Rappels.SO(3,R) est le groupe des rotations de l’espace R3.On sait que les réflexions engendrent le groupe orthogonal. Mieux, si E euclidien dedimension n, tout élément de O(E) s’écrit comme produit d’au plus n réflexions.De ceci, on déduit qu’en dimension > 3, tout élément de SO(3) est produit deretournements.

• Soit G 6 SO(3,R), et G0 la composante connexe par arcs de id dans G

• Etape 1. G0 est un s.g. de G

• On a id 2 G0

• Si g,h 2 G0, soient �,�0 des chemins de G0 reliant resp. id à g et h

• Posons �00(t) = �(t)(�0(t))�1, on a pour tout t, �(t),�0(t) 2 G, donc �(t)(�0(t))�1 2G

• De plus g 7! g�1 est continue sur SO(3,R) (dépendance polynomiale en les coeffde g)

• �00(0) = id et �00(1) = gh�1, donc gh�1 2 G0

• Etape 2. Si G est distingué dans SO(3,R), G0 l’est aussi

• Soit � un chemin dans G de id à g 2 G0

• Il suffit de considérer �0(t) = h�(t)h�1 continue

• Etape 3. Si G est connexe par arcs, distingué et non trivial, alors G contient unretournement, et donc G = SO(3,R)

• Soit ✓ l’angle d’une rotation g de R3 (✓ est défini au signe près : si on changel’orientation de l’axe de la rotation, ✓ change de signe)

• Il existe une b.o. tq la matrice de ✓ soit jolie, ainsi Tr(g) = 2 cos ✓ + 1

• Donc g 2 SO(3,R) 7! cos(✓) = Tr(g)�12

est continue car la trace est continue• Montrons que cette application prend la valeur �1 pour avoir une rotation

d’angle ⇡

• Il existe s 2 G tq cos(✓s) 6 0

1

56


• Par hypothèse, il existe g 2 G\{id}, quitte à considérer g�1, on peut supposerque ✓ 2]0,⇡]

• Si cos(✓) 6 0, on pose s := g

• Sinon ✓ 2]0,⇡2[, soit N tq N✓ 2 [⇡

2,⇡[, on pose s = gN

• Comme G est connexe par arcs, il existe un chemin � de id à s

• L’application '(t) = 12(Tr(�(t)) � 1) est continue

• Or '(0) = 1 et '(1) = cos(✓s) 6 0, d’après le TVI, il existe t0 tq '(t0) = 0, cequi correspond à une rotation r d’angle ±⇡

2

• Donc R = r2 est un retournement• Finalement, G = SO(3,R)

• Pour tout g 2 SO(3,R), gRg�1 2 G, et Tr(gRg�1) = Tr(R), donc gRg�1 estaussi d’angle ⇡

• Si un vecteur u 2 � l’axe de R, on a (gRg�1)(g(u)) = g(u), donc gRg�1 estle retournement d’axe g(�)

• Or SO(3,R) agit transitivement sur les droites de R3, donc G contient tousles retournements

• Or SO(3,R) est engendré par les retournements, donc G = SO(3,R)

• Etape 4. Si G est distingué, alors G est trivial ou G = SO(3,R)

• D’après l’étape 2, G0 la composante connexe par arcs de l’identité est un s.g.distingué

• D’après l’étape 3, si G0 6= {id} alors G = G0 = SO(3,R)

• Si G0 = {id}, alors G = {id}• Toutes les composantes connexes par arcs de G sont des singletons : si g,g0

dans la même composante c.p.a. (reliés par �), alors t 7! g�1�(t) est unchemin de G reliant id à g�1g0, donc g�1g0 2 G0 = {id}, donc g = g0

• Si par l’absurde il existe g 2 G tq g 6= id, soit h 6= id une rotation d’angle ✓

• On note ht les rotations de même axe et d’angle t✓, t 7! ht est continue (onpeut regarder la matrice dans une bonne base pour s’en convaincre au besoin)

• G est distingué donc t 7! htght�1 est un chemin de G de g à hgh�1

• Donc g et hgh�1 dans la même composante c.p.a., donc hgh�1 = g

• Or si g d’axe �, hgh�1 d’axe h(�), donc h(�) = �

• Ce qui est absurde : une droite ne peut pas être invariante par toutes lesrotations

Remarques? SOn(R) est simple dès que n est impair

2

57


Leçons concernées� 103 : Sous-groupes distingués, groupes quotients� 108 : Parties génératrices� 161 : Isométries� 183 : Groupes en géométrie� 204 : Connexité


3

58


Sn et S++n sont homéomorphes

L’application exp: Sn(R) ! S++n (R) est un homéomorphisme.

• Théorème spectral pour justifier la bonne définition• La continuité est claire car l’exponentielle est continue• On prend B 2 S++

n (R) et on montre la surjectivité grâce à ln

• Pour l’injectivité, si exp(A) = exp(A0)

• On a exp(A0) polynôme en A0, donc A0 et exp(A0) commutent• Soient �i les vp (réelles) de A et Q un polynôme interpolateur de Lagrange tq

pour tout i, Q(e�i) = �i

• On a Q(exp(A)) = A, donc A0 commute avec Q(exp(A0)) = Q(exp(A)) = A

• On codiagonalise A et A0, et comme leurs vp sont réelles, A = A0

• Montrons la bicontinuité• Soit (Bp) = (exp(Ap)) dans S++

n (R) convergeant vers B = exp A 2 S++n (R),

mq Ap tend vers A

• (Bp) bornée pour k.k2 (car elle cv et toutes les normes sont équivalentes)• Par continuité de l’inverse, (Bp

�1) cv vers B�1 car B inv, donc est aussi bornée• Pour M 2 S++

n (R), on a kMk2 =p⇢(tMM) =

p⇢(M2) = ⇢(M)

• Donc il existe C majorant les spectres des Bp, et grâce à (Bp�1), on peut aussi

minorer par C 0

• Les vp des Ap sont donc dans le compact [ln C 0, ln C], donc (Ap) est bornée pourk.k2

• Par injectivité de l’exponentielle sur S+n (R), on a que la seule valeur d’adhérence

de (Ap) est A (on écrit explicitement les limites de deux suites extraites cv eton compose par l’exponentielle)

• Comme on est en dim finie, on conclut que Ap tend vers A

Remarques? App : grâce à la décomposition polaire, on a un homéomorphisme GLn(R) ⇠=

O(n) ⇥ Rn(n+1)/2

? App : décomposition du groupe d’isométries d’une forme quadratique : O(p,q) 'O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq

1

59


Leçons concernées� 156 : Exponentielle de matrices� 158 : Matrices symétriques� 160 : Endomorphismes remarquables d’un ev euclidien

Références� Caldero : Histoires Hédonistes Tome 1, p.208

2

60


Prolongement de la fonction �

La fonction �(x) =R1

0e�ttx�1dt se prolonge en une fonction méromorphe

sur C avec des pôles simples en n 2 �N.

• � est bien définie car ⇠01

t1�x et 6 e�t/2 à l’infini• Mq que �(z) =

R10

· · · est holo sur P := {z, Re(z) > 0}• On a z 7! e(z�1) log te�t holo• Si z 2 K b P, on peut encadrer Re(z) 2 [",M ]

• On majore��e(z�1) log te�t

�� selon que 0 < t 6 1 ou t > 1

• On applique le th d’holomorphie sous le signeR

• Remarque : On pourrait conclure ici par prolongement analytique de proche enproche avec �(z + 1) = z�(z) , mais on veut trouver une formule explicite

• On découpe : �(z) =R 1

0+R1

1=: I1 + I2

• On cherche à trouver une autre forme pour I1 sur P

• On a e�ttz�1 =P

n>0(�1)n

n!tn+z�1

• On veut appliquer le th de Fubini pour intervertirP

etR

• On veut vérifier queR P �� (�1)n

n!tn+z�1

�� < 1• On remarque que |tz| = tRe(z), donc

P |.| = tRe(z)�1P

tn/n! = tRe(z)�1et qui estintégrable sur ]0,1[ car z 2 P

• On a donc I1 =P

n(�1)n

n!

R 1

0tn+z�1dt =

P (�1)n

n!(z+n)

• On veut utiliser le th sur les séries de fonctions méromorphes

• fn(z) = (�1)n

n!(z+n)est méromorphe sur C avec un unique pôle simple �n

• Pour tt K b C, K ⇢ D(0,N), et pour n > N fn n’a pas de pôle dans K

• Si z 2 K, |z + n| > n � |z| > n � N

• Donc |fn(z)| 6 1n!(n�N)

et la sérieP

n>N fn est ainsi normalement cv• Donc I1 est méromorphe sur C avec des pôles en les �n

• En reprenant la majoration du début, on mq que I2 est holo sur C• Le th du prolongement analytique donne l’unicité de notre prolongement I1 + I2

car C \ �N est un ouvert connexe

1

61


Leçons concernées� 203 : Compacité� 207 : Prolongement de fonctions� 235 : Interversions limites-intégrales� 239 : Intégrales dépendant d’un paramètre� 241 : Suites et séries de fonctions� 245 : Fonctions holomorphes

Références� Objectif Agrégation, p.82� Zuily-Queffélec : Analyse pour l’agrégation, p.312

2

62


Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur

On cherche à trouver u 2 C2(R⇥]0, + 1[) vérifiant

(D)

8>>>><>>>>:

@2u

@x2+

@2u

@y2= 0

u(x,0) = f(x)

supy>0

Z +1

�1|u(x,y)| dx < +1

où f 2 L1(R) \ C0(R) (u(x,0) = f(x) signifie u(x,y) !y!0

f(x) dans L1(R).)

On suppose de plus que pour tout y > 0 : u(·,y),@u

@x(·,y),

@2u

@x2(·,y) et

@2u

@y2(·,y) sont intégrables sur R.

Préliminaires.On définit une approximation de l’identité (gy) comme vérifiant :

(i) gy > 0

(ii)R

gy = 1

(iii)R

|x|>a|gy| ! 0

Lemme (admis). Si f 2 L1(R) et (gy) une approximation de l’unité, alors f ⇤ gy

tend vers f partout où f est continue.

• On pose pour tout y 2]0, + 1[, u(⇠,y) =R

R u(x,y)e�2i⇡x⇠dx

• En appliquant la TF par rapport à la variable x à (D), on obtient :

(E )

8>>>><>>>>:

�4⇡2⇠2u(⇠,y) +@2u

@y2(⇠,y) = 0

u(⇠,0) = f(⇠)

supy>0

|u(⇠,y)| 6 supy>0

Z

R

��u(x,y)e�2i⇡x⇠�� dx < +1

• Pour ⇠ fixé, l’EDO en y : �4⇡2⇠2u(⇠,y) +@2u

@y2(⇠,y) = 0 a pour solution générale

(on calcule le discriminant et tout ça)

u(x,y) = A(⇠)e�2⇡⇠y + B(⇠)e2⇡⇠y

1

63


• Or u(⇠,0) = f(⇠), donc A(⇠) + B(⇠) = f(⇠)

• De plus, si ⇠ > 0, e2⇡⇠y !y!+1

+1, mais supy>0 |u(⇠,y)| < +1, donc B(⇠) = 0 si

⇠ > 0, et de même A(⇠) = 0 si ⇠ < 0

• Ainsi, (E ) a pour solution u(⇠,y) = f(⇠)e�2⇡|⇠|y

• L’expression trouvée nous donne alors car f 2 L1(R) que u(·,y) 2 L1(R) pourtout y

• On peut donc appliquer le th d’inversion de Fourier, ainsi u(x,y) =R

R u(⇠,y)e2i⇡⇠xd⇠

• On a F ( 1⇡

yx2+y2 ) = e�2⇡|⇠|y (on calcule la TF du membre de droite puis on applique

la formule d’inversion)• Donc u = F (f ⇤ gy) où gy(x) = 1

⇡y

x2+y2

• Par injectivité de la TF sur L1(R), on a alors u(x,y) = (f⇤gy)(x) =R

R f(s) y⇡(y2+(x�s)2)

ds

• On vérifie que la solution trouvée marche, pour cela on m.q. (gy)y>0 est uneapproximation de l’unité

• On a gy > 0

• On aR

R gy(x)dx = 1 pour tout y > 0

• On aR

|x|>agy(x)dx = 1

⇡

R1

1+u21{u>a/y}du, avec 11+u21{u>a/y} qui tend vers 0

quand y ! 0, et 1/(1 + u2) intégrable donc on peut appliquer TVCD, ainsiR|x|>a

gy(x)dx tend vers 0 quand y ! 0

• Comme gy est une approximation de l’unité, on a kf ⇤ gy � fk1 ! 0

• De plus �u = 0 et les dernières hypothèses sont vérifiées

• On peut voir g comme fonction de x ou de y, et on sait que (f ⇤ g)0 = f ⇤ g0

• Ainsi on calcule les dérivées partielles secondes de u en x et y, et on a bien�u = 0

• On vérifie que les fonctions qu’on demande intégrables le sont bien• On a aussi supy>0

R|u(x,y)| dx < +1

• On aR

|u(x,y)| dx 6R R

|f(s)| |y|⇡(y2+(x�s)2)

dsdx

• On utilise Fubini pour intervertir• Et on calcule simplement et on borne par

R|f | < +1 car f 2 L1(R)

Leçons concernées� 222 : EDP� 236 : Exemples de calculs d’intégrales� 250 : Transformation de Fourier

Références� Laamri : Mesures, intégration, convolution et TF, p.268

2

64


Méthode du gradient à pas optimal

Soit J : Rp ! R de classe C1 elliptique. Alors la méthode du gradient à pasoptimal converge vers le minimum de J .

Rappels.La fonction J est dite elliptique si

9↵ > 0, 8x,y 2 Rp, hrJ(x) �rJ(y),x � yi > ↵ kx � yk2 .

La méthode du gradient à pas optimal est définie itérativement par :(

u0 2 Rp

un+1 = un � ⇢(un)rJ(un)

où ⇢(un) vérifie @@⇢

J(un � ⇢rJ(un)) = 0 (nous justifierons sa bonne définition trèsbientôt !).Sans perte de généralité, on peut supposer que rJ(un) est toujours non nul (sinonla méthode cv en un nombre fini d’étapes).

• Lemme. J admet un unique minimum et J(v)�J(u) > hrJ(u),v�ui+↵2ku � vk2

• On applique la formule de Taylor à l’ordre 1 :

J(v) � J(u) =

Z 1

0

hrJ(u + t(v � u)),v � uidt

= hrJ(u),v � ui +

Z 1

0

1

thrJ(u + t(v � u)) �rJ(u),t(v � u)idt

> hrJ(u),v � ui +

Z 1

0

↵t ku � vk2 dt

= hrJ(u),v � ui +↵

2ku � vk2

• On obtient pour u 6= v : J(v) � J(u) > hrJ(u),v � ui (ce qui est équivalent àla définition usuelle pour la stricte convexité de J)

• De plus pour u = 0, on obtient : J(v) > J(0) + hrJ(0),vi + ↵2kvk2 > J(0) �

krJ(0)k · kvk + ↵2kvk2 ! +1

• Donc J(v) est tend vers +1 quand kvk ! 1

1

65


• En dehors d’un compact, on a J > J(0), et dans ce compact il y a un minimum,qu’on note u

• On a alors J(v) � J(u) > hrJ(u),v � ui = 0, donc le minimum est unique

• ⇢(un) est bien défini

• On a ' : t 2 R 7! J(x � trJ(x)) 2 R tend vers +1 en ±1 donc elle admetun minimum en un point ⇢, en ce point la dérivée est nulle

• Donc 0 = @@⇢

J(x� ⇢rJ(x)) = h�rJ(x),rJ(x� ⇢rJ(x))i (dérivation de fonc-tions composées)

• Donc les gradients de J en x et x0 = x � ⇢rJ(x) sont orthogonaux• Le lemme donne donc que si t 6= ⇢ : '(t) � '(⇢) = J(x � trJ(x)) � J(x �⇢rJ(x)) > hrJ(x0),(⇢� t)rJ(x)i + ↵

2k(⇢� t)rJ(x)k2 > 0

• Donc si t 6= ⇢ : '(t) > '(⇢) et le minimum est unique donc ⇢(un) est bien défini

• J(un) � J(un+1) > ↵2kun � un+1k2

• D’après précédemment, hrJ(un),rJ(un+1)i = 0

• Donc deux directions de descente successives sont orthogonales, et car un+1 =un � ⇢(un)rJ(un), on a hun+1 � un,rJ(un+1)i = 0

• Donc d’après l’inégalité du lemme, J(un) � J(un+1) > ↵2kun � un+1k2

• krJ(un)k ! 0

• On a (J(un)) suite décroissante, minorée par J(u), donc converge• Donc J(un) � J(un+1) ! 0

• Ainsi, (un) est bornée (car sinon J(unp) ! 1 et (J(un)) bornée)• Et kun+1 � unk ! 0

• Or rJ qui est continue car J 2 C1, est uniformément continue sur les compactspar Heine, donc krJ(un+1) �rJ(un)k ! 0

• Or par orthogonalité des descentes, on a krJ(un)k2 = hrJ(un),rJ(un)i =hrJ(un),rJ(un) �rJ(un+1)i 6 krJ(un)k · krJ(un) �rJ(un+1)k

• Donc krJ(un)k 6 krJ(un) �rJ(un+1)k ! 0

• La méthode converge

• J elliptique, donc ↵ kun � uk2 6 hrJ(un) � rJ(u),un � ui 6 krJ(un)k ·kun � uk

• kun � uk 6 1↵krJ(un)k ! 0

• Donc un ! u

Remarques? x 7! kxk2 est un exemple de fonction elliptique? La dernière inégalité nous donne une estimation a priori de l’erreur? Si f(x) = 1

2hAx,xi + hb,xi, cette méthode converge vers la solution de Ax = b

? On peut aussi calculer la vitesse de convergence pour cette fonction particulière

2

66


Leçons concernées� 203 : Compacité� 215 : Applications différentiables� 218 : Formules de Taylor� 219 : Extremums� 223 : Suites numériques� 226 : Suites définies par une relation de récurrence� 229 : Fonctions monotones, fonctions convexes� 233 : Méthodes itératives en analyse numérique� 253 : Convexité en analyse

Références� Bricolage� Doc manuel� Ciarlet : Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle, p.189� Francinou : Analyse 4, p.39

3

67


Méthode de Newton

Soit f : [c,d] ! R de classe C2 telle que f(c) < 0 < f(d) et f 0 > 0. Onconsidère la suite récurrence xn+1 = F (xn) avec F (x) = x � f(x)

f 0(x). Alors

(xn) converge quadratiquement vers a le zéro de f . De plus, si f 00 > 0, alorstoute condition initiale à droite de a convient.App : Calcul manuel de

p2.

Principe : On cherche à transformer l’équation f(x) = 0 en un problème de pointfixe.

• f a un zéro unique a (TVI)

• Mq pour tout x 2 [c,d], il existe z entre a et x tel que F (x) � a = 12

f 00(z)f 0(x)

(x � a)2

• On a F (a) = a et F 0(a) = 0, il est raisonnable de penser F (x)�a est de l’ordrede (x � a)2

• On a F (x) � a = x � a � f(x) � f(a)

f 0(x)=

f(a) � f(x) � (a � x)f 0(x)

f 0(x)

• D’après la formule de Taylor-Lagrange, il existe z entre a et x tq f(a) = f(x)+(a � x)f 0(x) + 1

2f 00(z)(x � a)2

1

68


• Mq il existe C > 0 tq pour tout x 2 [c,d], |F (x) � a| 6 C |x � a|2 et qu’il existe↵ > 0 tq I := [a � ↵,a + ↵] soit stable par F

• Posons C :=max |f 00|2 min f 0

• On utilise le début• Soit ↵ tq 0 < C↵ < 1 et que I ⇢ [c,d]

• Donc si x 2 I, |F (x) � a| 6 C↵2 < ↵, donc F (x) 2 I

• Mq pour tout x0 2 I, (xn) cv quadratiquement vers a

• On a pour tout n, xn 2 I

• Donc |xn+1 � a| 6 |F (xn) � a| 6 C |xn � a|2• Donc C |xn � a| 6 (C |xn�1 � a|)2 6 · · · 6 (C |x0 � a|)2n 6 (C↵)2n

• Comme C↵ < 1, la cv est quadratique

• Mq pour toute valeur x0 tq f(x0) > 0, la suite (xn) cv vers a

• Pour a 6 x 6 d, f 0(x) > 0 et f(x) > 0 donc F (x) = x � f(x)f 0(x)

6 x (stricte six > a)

• D’après le début, on a aussi F (x) � a = 12

f 00(z)f 0(x)

(x � a)2 > 0 (stricte si x > a)• Donc l’intervalle I = [a,d] est stable par F , et si x0 2]a,d], alors (xn) est

strictement décroissante (si x0 = a, la suite est constante)• Donc (xn) cv vers ` vérifiant F (`) = `

• Donc f(`) = 0, donc ` = a

• De plus la convergence est quadratique, car on a encore 0 6 xn+1�a 6 C(xn�a)2

• Enfin,xn+1 � a

(xn � a)2=

1

2

f 00(zn)

f 0(xn)��!n!1

f 00(a)

2f 0(a)car a < zn < xn

• Donc l’inégalité est optimale• App : On veut calculer manuellement

p2

• On considère f(x) = x2 � 2, alors F (x) = x � f(x)/f 0(x) = 12(x + 2

x)

• On prend x0 = 2 à droite dep

2, et x1 = F (x0) = 32, x2 = 17

12⇡ 1.41666 · · ·

• Estimation de l’erreur : on considère l’intervalle I = [p

2 � 0.6,p

2 + 0.6] quicontient x0 = 2

• On a alors C = max|f 00|2 min|f 0| 6

22⇥1

= 1

• Donc��x2 �

p2�� 6 1

C(C↵)22 6 (0.6)4 ⇡ 0.13

Remarques? Cette méthode permet de trouver des zéros quand on en connaît une approxima-

tion grossière? Cette méthode permet aussi de trouver les racines "extrêmes" d’un polynôme (en

partant suffisamment loin de celles-ci)? En partant de X2 � c, elle peut servir de méthode d’extraction de racine carrée

(c’est la méthode de Héron)

2

69


Leçons concernées� 218 : Formules de Taylor� 223 : Suites numériques� 226 : Suites vectorielles définies par récurrence� 229 : Fonctions monotones, fonctions convexes� 253 : Utilisation de la convexité

Références� Rouvière : Petit Guide du Calcul Diff, p.152

3

70

Développement Analyse – Algèbre

Lemme de Morse

Soit f : U ! R une fonction de classe C3 sur un ouvert U de Rn contenantl’origine. On suppose que d0f = 0 et que la forme quadratique associée àla matrice hessienne en 0, d2

0f , est non dégénérée, de signature (p,n � p).Alors il existe un C1-difféomorphisme ' entre deux voisinages de l’originedans Rn tel que '(0) = 0, et en posant u = '(x) :

f(x) � f(0) = u12 + · · · + up

2 � up+12 � · · · � un

2.

Préliminaire : la loi d’inertie d’inertie de Sylvester donne que la signature est uninvariant de la forme quadratique. Cela nous sert pour notre changement de coor-données.

• Lemme. Soit ' : Mn(R) ! Sn(R) tq '(M) = tMA0M avec A0 2 Sn(R) in-versible. Alors il existe un voisinage V de A0 dans Sn(R) et une application� : V ! GLn(R) 2 C1 tq A = t�(A)A0�(A) pour tout A 2 V .

• dIn' est surjective, de noyau {H, A0H 2 An(R)}

• ' est polynomiale en les coeff de M , donc de classe C1

• Pour H 2 Mn(R), on a '(In + H) � '(In) = tHA0 + A0H + tHA0H =t(A0H) + A0H + O(kHk2)

• Donc dIn'(H) = t(A0H) + A0H, et le noyau est bien celui annoncé• dIn' est surjective, car si A 2 Sn(R), dIn'(1

2A0

�1A) = A

• Rq : on peut aussi raisonner avec la dimension du noyau et de l’image

• On a Mn(R) = Sn(R) � An(R), donc F := {M, A0M 2 Sn(R)} est un supplé-mentaire de ker (dIn') et In 2 F

• Soit la restriction de ' à F . On a dIn bijective, car ker (dIn ) \ F = {0}• Par le TIL, il existe un voisinage ouvert U de In dans F (on le suppose ⇢

GLn(R)) tq soit un C1-difféo de U sur V = (U)

• Ainsi, V est un voisinage ouvert de A0 = (In) = '(In) dans Sn(R), et pourtout A 2 V , il existe une unique matrice inversible M := �1(A) 2 U tqA = tMA0M , et A 7! �1(A) 2 C1

• La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit au voisinage de 0 à l’ordre 1 : f(x)�f(0) = txQ(x)x où Q(x) est la matrice symétrique Q(x) =

R 1

0(1 � t)d2

txf(x)2dt,fonction C1 de x (car f est de classe C3)

1

71

Développement Analyse – Algèbre

• D’après le lemme, il existe M(x) 2 GLn(R) fonction C1 de x au voisinage de 0dans Rn tq Q(x) = tM(x)Q(0)M(x)

• Donc f(x) � f(0) = tyQ(0)y avec y = M(x)x

• Or Q(0) = 12d2

0f de signature (p,n� p), donc il existe un changement linéaire decoordonnées y = Au avec A 2 GLn(R) tq tyQ(0)y = tutAQ(0)Au = u1

2 + · · · +up

2 � up+12 � · · · � un

2

• Enfin x 7! A�1M(x)x = u a pour différentielle en 0 : A�1M(0) inversible, doncd’après le TIL, c’est un C1-difféo entre deux voisinages de l’origine dans Rn

Remarques? On peut se ramener au cas d0f 6= 0 en posant g(x) = f(x) � f(0) � d0f

? Le résultat tient si f est seulement supposée de classe C1

? App : étude en dimension 3 des surfaces du type z = f(x,y)

Leçons concernées� 170 : Formes quadratiques sur un ev� 214 : TIL, TFI� 219 : Extremums

Références� Rouvière : Petit Guide du Calcul Différentiel, p.354-209

2

72


Irréductibilité de �n

Le polynôme cyclotomique �n est irréductible sur Z donc sur Q.

Rappels.On a �n 2 Z[X].

• Soit K un corps de décomposition de �n sur Q, ⇣ une racine primitive n-ième de1, p premier ne divisant pas n

• ⇣p est une autre racine primitive de 1 car (p,n) = 1

• Soit f 2 Q[X] le polynôme minimal (sur Q) de ⇣, et g celui de ⇣p

• On a f,g 2 Z[X]

• Comme Z[X] est factoriel, �n = f1↵1 · · · fr

↵r avec fi 2 Z[X] irréductible• Comme �n est unitaire, quitte à multiplier les fi par �1, les fi sont unitaires• Alors car �n(⇣) = 0, ⇣ est racine de un des fi

• Or fi irr unit dans Z[X] donc dans Q[X], donc fi = f , donc f 2 Z[X]

• De même pour g, et on remarque que f,g | �n

• On a f = g

• Si par l’absurde f 6= g, comme f et g irréductibles, on a fg | �n

• Comme g(⇣p) = 0, on a ⇣ racine de g(Xp), donc f(X) | g(Xp) dans Q[X]

• On peut alors faire la DE dans Z[X] de g(Xp) par f(X) pour voir que g(Xp) =f(X)h(X) + R(X) avec h(X) 2 Z[X], mais R(X) = 0 par unicité de la DE

• On note . la projection dans Fp, on a alors car x = xp et avec Frobenius :g(Xp) = g(X)p

• Soit ' un facteur irr de f dans Fp[X]

• On a gp = fh, donc ' divise g

• Comme fg | �n dans Z[X], on a fg | �n dans Fp[X]

• Donc '2 | �n et �n | Xn � 1

• Donc Xn � 1 = �2⇢, en dérivant : nXn�1 = �(2�0⇢ + �⇢0)

• Donc ' | nXn�1

• Or ' | nXn � n, donc ' | n 6= 0

• Donc deg(') = 0 donc ' n’est pas irréductible (absurde) car Fp corps

1

73


• Soit ⇣ 0 = ⇣m avec m = p1↵1 · · · pr

↵r une rac primitive n-ème avec donc pi - n

• Une récurrence immédiate donne que ⇣ 0 et ⇣ ont même polynôme minimal sur Q,donc f(⇣ 0) = 0

• Donc f admet toutes les racines primitives de l’unité comme zéros• Donc deg(f) > '(n), et comme f | �n, f = �n

• Donc �n est irr dans Q[X], donc dans Z[X] (car unitaire)

Applications? Si ⇣ racine primitive n-ème de 1, alors [Q(⇣) : Q] = '(n)

Leçons concernées� Abandonné


2

74


Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier

Les groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier �4 sont

Isom(�4) ' S4 et Isom+(�4) ' A4.

Rappels.Le groupe Isom(X) des isométries d’un objet X ⇢ R3 est le s.g. des isométries del’espace affine euclidien R3 qui stabilisent X.Le groupe Isom+(X) est celui des déplacements de Isom(X) (i.e. les isométries quipréservent l’orientation.L’enveloppe convexe de S est l’ensemble des barycentres de parties finis de S donttous les coefficients sont positifs.Un point S de l’enveloppe convexe de S est dit extrémal s’il n’est pas barycentre àcoefficients positifs de X \ {S}.

• Attention ! Pour que notre travail ait un sens, il faut vérifier que le groupe d’iso-métries ne varie pas à similitude près sur l’objet

• Lemme 0. Soit ' une similitude. Alors Isom(X) ' Isom('(X)).

• On considère le morphisme g 2 Isom(X) 7! 'g'�1 2 Isom('(X))

• Ce morphisme est bien défini : si g 2 Isom(X), 'g'�1('(X)) = '(g(X)) ='(X)

• On sait que conjuguer une isométrie par une similitude reste une similitude (onmultiplie les distances par k, puis pas 1, puis par 1/k)

• Ce morphisme est un isomorphisme car il est inversible

• Les points extrémaux de �4 sont ses sommets : S = {A,B,C,D}• Lemme 1. Soit S est un ensemble fini de points et X l’enveloppe convexe de ces

points. On suppose que les points de S sont extrémaux pour X, alors Isom(X)stabilise S .

• On a Isom(X) 6 GA(R3), donc Isom(X) conserve les barycentres, i.e. si G estle barycentre des (Ai,�i), alors g(G) est le barycentre des (g(Ai),�i)

• Soit g 2 Isom(X), S 2 S , si par l’absurde g(S) /2 S (g(S) pas extrémal)

• On a g(S) barycentre de points de X \ {g(S)}• Or g�1 stabilise le barycentre, donc S barycentre de points de X \ {S}, ce

qui est absurde car S extrémal

1

75


• On fait agir Isom(�4) sur S

• Par le lemme 1 on obtient un morphisme de groupes ' : g 2 Isom(�4) 7! g|S 2 S4

• ' est injective

• Si '(g) = idS , alors g fixe S

• Or S est un repère affine de l’espace, donc g = idR3

• ' est surjective

• La réflexion par rapport au plan (MCD) avec M milieu de [AB] a pour imagepar ' la transposition (A B) (dessin !)

• On vérifie de même que toutes les transpositions sont dans Im'

• Or les transpositions engendrent S4, donc '(Isom(�4)) = S4

• On a donc montré que Isom(�4) ' S4

• Maintenant, on prend ' : Isom+(�4) ! S4, qui est toujours un morphisme injectif• On montre que les 3-cycles sont dans Im(') (en considérant les rotations qui

permutent circulairement 3 sommets)• Or les 3-cycles engendrent An

• Tout élément de An est produit d’un nombre pair de transpositions• On vérifie que le produit de deux transpositions appartient au groupe engendré

par les 3-cycles (on distingue les cas selon que les supports des transpositionssont disjoints ou non)

• Donc A4 ⇢ Im('), donc = car Isom+(�4) d’indice 2 dans Isom(�4) (car le tétra-èdre admet une isométrie qui renverse l’orientation)

• Donc Isom+(�4) ' A4

Remarques? Pour le cas du cube, on regarde le morphisme restreint aux diagonales? Remarque intelligente : en fait, pour trouver Isom+(�4) cela vient du fait que le

déterminant (de l’application linéaire associée) se comporte bien avec la signature

2

76


Leçons concernées� 101 : Groupe opérant sur un ensemble� 104 : Groupes finis� 105 : Groupe des permutations� 108 : Parties génératrices� 161 : Isométries� 181 : Barycentres� 183 : Groupes en géométrie

Références� Caldero : Histoires Hédonistes Tome 1, p.363� Jeanneret : Invitation à l’Algèbre, p.110

3

77


Formule sommatoire de Poisson et application à lafonction ✓

Soit F 2 L1(R)\C0(R) telle qu’il existe M > 0 et ↵ > 1 tels que pour toutx 2 R, |F (x)| 6 M(1+ |x|)�↵ et

Pn2Z

�� bF (n)�� converge. Alors

Pn2Z F (n) =

Pn2Z

bF (n).

• On pose f(x) =P

n2Z F (x + n)

• Cette série cv normalement sur tout compact :

• Si |x| 6 A et |n| > 2A, alors |x + n| > |n| � |x| > |n| � A > |n|2

• Donc |F (x + n)| 6 M(1 + |n|2

)�↵ qui donne une série normalement cv

• Comme F est C0, f l’est donc aussi• Un changement d’indice donne f 1–périodique• On calcule donc ses coefficients de Fourier :

• cm(f) =R 1

0f(t)e�m(2i⇡)tdt =

R 1

0

Pn2Z F (t + n)e(�mt)dt =

Pn2ZR 1

0F (t +

n)e(�mt)dt (l’interversion est justifiée carP

F (t + n) CVN et |e(�mt)| = 1)

• cm(f) =P

n2ZR 1

0F (t + n)e(�m(t + n))dt =

Pn2ZR n+1

nF (u)e(�mu)du =R

R · · · = bF (m) (car F 2 L1(R))

• Donc d’après les hypothèses,P

m2Z |cm(f)| =P

m2Z

�� bF (m)�� < 1

• Donc f(x) =P

m2Z cm(f)e2i⇡mx =P

m2ZbF (m)e2i⇡mx (f est C0 et la série de

Fourier cv normalement)• On remplace f par son expression, et on fait x = 0

On a pour s > 0,X

n2Z

e�⇡n2s =1ps

X

n2Z

e�⇡n2/s.

• Soit ↵ > 0, on veut appliquer la formule de Poisson à f(x) = e�↵x2

• bf(n) =R

R f(t)e�2i⇡ntdtt=u/

p↵

= 1p↵

RR e�u2

e�2i⇡nu/p↵du := 1p

↵I(n)

• On applique le th de dérivation sous le signeR

pour mq I est dérivable• Une intégration par parties donne une équa diff vérifiée par I

1

78


• On résout, et on donne I(n) =p⇡e�⇡2n2/↵ en calculant la constante I(0)

• On vérifie les hypothèses et on applique la formule sommatoire de Poisson avecx = 0

• On change ↵ = ⇡s

Remarques? Autre app : prolongement méromorphe de ⇣

? Autre app : formule de Jacobi sur le dénombrement des sommes de 4 carrés

Leçons concernées� 236 : Calculs d’intégrales� 239 : Intégrales à paramètre� 246 : Séries de Fourier� 250 : Transformation de Fourier

Références� Zuily-Queffélec : Analyse pour l’agrégation, p.96� Gourdon : Analyse, p.273, p.166

2

79


Familles libres d’applications

Les translatées x 7! f(x + a) d’une application f : R ! R dérivable en-gendrent un espace vectoriel de dimension finie si, et seulement si, f estsolution d’une équation linéaire homogène à coefficients constants.

• Lemme. Soient k un corps et f1, . . . ,fn des applications k ! k. La famille(f1, . . . ,fn) est libre ss’il existe (x1, . . . ,xn) 2 kn tq la matrice (fi(xj))i,j soitinversible

• Par contraposée, si (f1, . . . ,fn) liée, alors pour tous scalaires xi, les lignes de lamatrice sont liées

• Si (f1, . . . ,fn) libre, notons F le sev de dim n qu’elle engendre• L’application d’évaluation en a ea est une forme linéaire sur F

• L’ensemble A := (ea)a2k est une partie génératrice de F ⇤

• Si f 2 A�, on a pour tout a : f(a) = ea(f) = 0, donc f = 0, donc A� = {0}• Donc car on est en dim finie, Vect A = ((Vect A)�)? = {0}? = F ⇤

• Soient donc x1, . . . ,xn 2 k tq (ex1 , . . . ,exn) soit une base de F ⇤

• Alors M = (fi(xj))i,j convient car ses lignes forment une famille libre

• Soient �1, . . . ,�n 2 k tqPn

i=1 �iLi = 0 où les Li sont les lignes de M

• Alors pour tout j,Pn

i=1 �ifi(xj) = 0, soit exj(Pn

i=1 �ifi) = 0

• Or (exi) est une base de F ⇤, donc

Pni=1 �ifi 2 (F ⇤)� = {0}

• Comme (f1, . . . ,fn) est une base de F , on a �1 = · · · = �n = 0

• Soit f : R ! R dérivable, dont les translatées engendrent un R-ev F de dimn < 1. Soient a1, . . . ,an tq (fa1 , . . . ,fan) soit une base de F

• D’après le lemme, on peut trouver x1, . . . ,xn 2 R tq M := (fai(xj))i,j soit inver-

sible• Comme f dérivable, les fai

aussi, donc tous les éléments de F aussi• Soit g 2 F , alors g0 2 F

• On a ga 2 F , en effet ga 2 Vect(fa1+a, . . . ,fan+a) ⇢ F , donc il existe �1(a), . . . ,�n(a)tq ga =

Pni=1 �i(a)fai

• Les fonctions �i sont dérivables

1

80


• On a pour tout j : g(a + xj) = ga(xj) =Pn

i=1 �i(a)fai(xj)

• Donc

0BB@

g(a + x1)...

g(a + xn)

1CCA = tM

0BB@

�1(a)...

�n(a)

1CCA

• Donc

0BB@

�1(a)...

�n(a)

1CCA = tM�1

0BB@

g(a + x1)...

g(a + xn)

1CCA, et les coeff de tM�1 étant indep de a,

on a que les �i sont C.L. des gxidonc dérivables

• On a g(x+a) =Pn

i=1 �i(a)fai(x), donc en dérivant par rapport à a : g0(x+a) =Pn

i=1 �0i(a)fai

(x)

• Donc en prenant a = 0 : g0 =Pn

i=1 �0i(0)fai

2 F

• Donc tout g 2 F est C1 et g(k) 2 F

• Ce qui est vrai en particulier pour f , et dim F = n < 1, donc il existe p 6 n tqf (p) 2 Vect(f,f 0, . . . ,f (p�1)) ce qui donne la première implication

• Réciproquement, si f solution d’une EDO linéaire homogène à coeff constantsd’ordre p, pour tout a 2 R, fa est solution de la même EDO

• L’ensemble des solutions étant un ev de dim p, les fa engendrent un ev de dim6 p

Leçons concernées� 151 : Dimension d’un ev� 159 : Formes linéaires et dualité� 162 : Systèmes d’équations linéaires� 221 : Equa diff linéaires� 228 : Continuité et dérivabilité


2

81


Espace de Bergman

Soit ⌦ un ouvert borné de C. L’espace de Bergman A2(⌦) = H (⌦)\L2(⌦)est un espace de Hilbert.

• Lemme. Soit K b ⌦, f 2 A2(⌦), alors

maxK

|f | 6 1p⇡d(K,@⌦)

kfk2 .

• Dessin ! Soit a 2 K, on fixe r tq D(a,r) ⇢ ⌦, soit ⇢ 6 r.

• Formule de Cauchy : f(a) = 12i⇡

RC(a,⇢)

f(z)z�a

dz

• En coordonnées polaires : f(a) = 12⇡

R 2⇡

0f(a + ⇢ei✓)d✓

• On calcule f(a) r2

2= f(a)

R r

0⇢d⇢ = 1

2⇡

R r

0

R 2⇡

0f(a+⇢ei✓)⇢d⇢d ✓ = 1

2⇡

RD(a,r)

f(z)dz

• On applique Cauchy-Schwarz à |hf,1i| pour obtenir |f(a)| 6 1p⇡r

(R

D(a,r)|f |2)1/2

• On fait tendre r ! d(a,@⌦)

• On conclut car d(K,@⌦) 6 d(a,@⌦) pour a 2 K

• Soit (fn) 2 A2(⌦)N de Cauchy et K b ⌦

• On applique le lemme à fn � fm

• Avec le th de Weierstrass on en déduit que la limite f est holo• Comme L2(⌦) est complet, la limite est dans L2(⌦), donc l’espace est bien com-

plet : c’est un espace de Hilbert

Remarques

? Les en : z 7!q

n+1⇡

zn forment une base hilbertienne de A2(D)

? L’hypothèse ⌦ borné est inutile, mais on voit facilement avec le lemme que sid(K,@⌦) = 1, alors f 2 A2(⌦) est nulle sur K

? Il suffit de savoir que L2 est fermé

1

82


Leçons concernées� 201 : Espaces de fonctions� 213 : Espaces de Hilbert� 234 : Espaces Lp

� 245 : Fonctions holomorphes

Références� Pdf� Bricolage (un peu)

2

83


Equation de Pell

Soit d 2 N sans facteur carré, et H l’hyperbole d’équation X2 � dY 2 = 1dans R2. Soit E = M0 = (1,0) et M1 = (X1,Y1) 2 H avec X1,Y1 2 N>0 etX1

2 + Y12 aussi petit que possible.

Alors l’ensemble des points entiers de la branche de H contenant M0 estle groupe engendré par M1. L’ensemble des points entiers de H forme unsous-groupe isomorphe à Z/2Z ⇥ Z.

Préliminaires.Soient C une conique et E 2 C . Si A,B 2 C , on définit A ⇤B de la façon suivante :soit �AB la droite parallèle à (AB) contenant E (si A = B, (AB) est la tangente àC ), alors �AB coupe C en deux points, l’un est E, l’autre est A ⇤ B.Cette opération ⇤ munit C d’une structure de groupe abélien dont le neutre est E.

1

84


Lemme 1 (admis)Soit G un groupe topologique, alors G0 la composante connexe du neutre est unsous-groupe de G.

Preuve.On considère l’application ' : G0

2 ! G définie par '(x,y) = xy�1. Cette applicationest continue car G est un groupe topologique, de plus G0

2 est connexe, donc '(G02)

est un connexe de G contenant le neutre. Donc '(G02) ⇢ G0, donc '(G0

2) = G0 ;G0 est donc un sous-groupe.

• On fait le dessin en construisant M2 = M1 ⇤ M1

• On veut calculer en coordonnées l’application M 2 H 7! M1 ⇤ M 2 H

• On pose x = X +p

dY et y = X �p

dY ,• Dans le nouveau repère (Oxy), H a pour équation xy = 1 et M0 a pour

coordonnées (1,1)

• Si A(a,1/a) et B(b,1/b) deux points dis-tincts de H , la droite �AB a pour équationy � 1 = 1/b�1/a

b�a(x � 1) = � 1

ab(x � 1)

• Comme H est le graphe de x 7! x�1 dedérivée x 7! �x�2, on a aussi l’équation de�AA

• Sous la contrainte (x,y) 2 H , on trouveque A ⇤ B a pour coordonnées (ab,1/(ab))

• On applique ceci avec M(x,y) et alors M1 ⇤M(x1x,y1y)

• Alors M1 ⇤ M(X1X + dY1Y,Y1X + X1Y )

• On a H = HX>0 t HX<0 (composantes connexes), on note H0 := HX>0

• Comme dans (Oxy) l’opération ⇤ est le produit coordonnée par coordonnée, Hest un groupe topologique, et donc H0 en tant que composante connexe du neutreest un sous-groupe

• La projection sur l’axe des x permet d’identifier H0 à R⇤+, ce qui donne un ordre

sur H0

• On a x =p

1 + dY 2 +p

dY qui est une fonction strictement croissante de Y ,l’ordre se lit indifféremment sur la coordonnée x ou Y

• Ainsi, pour cet ordre l’application ' : M 2 H0 7! M1 ⇤ M 2 H0 est strictementcroissante, car x 7! x1x l’est

• Notons pour n 2 Z, Mn := M1n = (Xn,Yn)

• On vérifie avec la formule pour M1 ⇤ M que M�n = M1�n = (Xn, � Yn)

• Comme ' est strictement croissante et que Mn+1 = '(Mn), la suite (Mn) eststrictement croissante

• Comme l’ordre se lit aussi sur Y , on a (Yn) strictement croissante, et comme lesYn sont entiers, la suite (Yn) tend vers ±1 en ±1

2

85


• Soit M(X,Y ) 2 H0 entier, il existe donc n tq Yn 6 Y < Yn+1

• Posons M 0(X 0,Y 0) := M�n ⇤ M , comme ' donc '��n strictement croissante, on aM0 6 M 0 < M1

• Or M1 est la solution entière minimale, donc M 0 = M0, donc M = Mn

• Enfin on remarque que la réflexion �(X,Y ) = (�X,Y ) permute les deux branchesde l’hyperbole et préserve Z2

• Les points entiers de H sont donc les (±Xn,Yn) pour n 2 Z• En fait � est le produit M 7! (�1,0) ⇤ M , donc on a un isomorphisme

Z/2Z ⇥ Z �! H \ Z2

(",n) 7�! (�1,0)" ⇤ Mn

(on vérifie facilement qu’il est bien défini, que c’est un morphisme, qu’il est sur-jectif, puis qu’il est injectif)

Remarque

? Le développement en fraction continue dep

d permet de trouver (X1,Y1)

? Ce th permet de montrer que si �1 n’est pas un carré modulo d, alors le groupedes inversibles de Z[

pd] est isomorphe à Z/2Z⇥Z (vrai en général, mais plus dur

à prouver)

Leçons concernées� 126 : Equations diophantiennes� 171 : Formes quadratiques réelles, coniques


3

86


Autour de l’équation de Pellou ce qui serait dans la leçon

Référence : Philippe Caldero et Jérôme Germoni : Histoires Hédonistes Tome 2,p.388.Lemme 1 Soit G un groupe topologique, alors G0 la composante connexe du neutreest un sous-groupe de G.Preuve.On considère l’application ' : G0

2 ! G définie par '(x,y) = xy�1. Cette applicationest continue car G est un groupe topologique, de plus G0

2 est connexe, donc '(G02)

est un connexe de G contenant le neutre. Donc '(G02) ⇢ G0, donc '(G0

2) = G0 ;G0 est donc un sous-groupe.

Définition 1 Soient C une conique et E 2 C . Si A,B 2 C , on définit l’opérationA ⇤ B de la façon suivante : soit �AB la droite parallèle à (AB) contenant E (siA = B, (AB) est la tangente à C ), alors �AB coupe C en deux points, l’un est E,l’autre est A ⇤ B (voir figures ci-dessous).

1

87


Proposition 1 L’opération ⇤ munit C d’une structure de groupe abélien de neutreE.

Remarque 1 L’idée importante de cette structure est l’associativité de cette loi.Celle-ci est basée sur le théorème de Pascal suivant (démontré dans Géométrie deMichèle Audin page 249).

Théorème 1 (de l’hexagramme mystique) Soit C une conique non dégénérée,et soient A, B, C, D, E et F six points distincts de C . Alors les points d’intersectionde (AB) et (DE), de (BC) et (EF ) et de (CD) et (FA) sont alignés (voir figureci-dessous-pour le cas d’une ellipse).

2

88


Proposition 2 (pour motiver ce qui va suivre)Soit C une conique affine non dégénérée ayant une équation à coefficients rationnels,et soit E un point rationnel de C . Alors si A et B sont deux points rationnels de C ,alors A ⇤ B est encore un point rationnel de C .

Théorème 2 Soit d 2 N sans facteur carré, et H l’hyperbole d’équation X2 �dY 2 = 1 dans R2. Soit E = M0 = (1,0) et M1 = (X1,Y1) 2 H avec X1,Y1 2 N>0 etX1

2 + Y12 aussi petit que possible.

Alors l’ensemble des points entiers de la branche de H contenant M0 est le groupeengendré par M1. L’ensemble des points entiers de H forme un sous-groupe iso-morphe à Z/2Z ⇥ Z.

Remarque 2 Le développement en fraction continue dep

d permet de trouver(X1,Y1)

3

89


Equation de la chaleur

Soit u0 : R ! R non nulle, continue, C1-p.m. et 2⇡-périodique.On va montrer qu’il existe une unique solution u : R+ ⇥ R ! R continue,C1 sur R⇤

+ ⇥ R et 2⇡-périodique en x au problème :

(C )

8<:@u

@t=

@2u

@x2

8x 2 R, u(0,x) = u0(x).

• Analyse. Soit u une solution de (C )

• Comme ut : x 7! u(t,x) est 2⇡-périodique et C1, elle est somme de sa série deFourier, donc u(t,x) =

Pn2Z cn(t)einx avec cn(t) = 1

2⇡

R 2⇡

0u(t,x)e�inxdx

• De même @2u@x2 est somme de sa SF et celle-ci est obtenue en dérivant deux fois

celle de ut par rapport à x : @2u@x2 (t,x) = �Pn2Z n2cn(t)einx

• On a @u@t

(t,x) =P

n2Z c0n(t)einx

• Comme pour u, on peut écrire @u@t

(t,x) =P

n2Z cn(t)einx avec cn(t) = 12⇡

R 2⇡

0@u@t

(t,x)e�inxdx

• Comme u est C1 sur R⇤+⇥R, l’intégrale sur le segment [0,2⇡] :

R 2⇡

0u(t,x)e�inxdx

est une fonction C1 de t

• Ainsi en dérivant sous le signeR

, on obtient cn = c0n

• L’équation devient donc 0 =P

n2Z(c0n(t) + n2cn(t))einx

• Or les coeff de Fourier d’une fonction nulle sont nuls, ce qui peut se démontrer :

• Or cette série est normalement cv en x (car la SF d’une fonction C1 CVN), on

peut donc intervertirP

etR

, ce qui donne 0 =

Z 2⇡

0

X

n2Z

(c0n(t) + n2cn(t))einx

!e�in0xdx =

X

n2Z

(c0n(t) + n2cn(t))

Z 2⇡

0

ei(n�n0)xdx = 2⇡(c0n0(t) + n0

2cn0(t)) pour tout n0 2 Z

• Ainsi pour tout n et pour tout t, c0n(t) + n2cn(t) = 0, ce qui est une équationlinéaire en cn(t), donc il existe ↵n 2 C tq cn(t) = ↵ne

�n2t

• On considère la SF de Fourier de u0 :P

n2Z Cneinx

• On applique la formule de Parseval à u0 � ut (car u0 � ut 2⇡-p et C0-p.m) :

X

n2Z

|Cn � cn(t)|2 =1

2⇡

Z 2⇡

0

|u0(x) � ut(x)|2 dx

1

90


• Donc |Cn � cn(t)|2 6 12⇡

R 2⇡

0|u0(x) � ut(x)|2 dx mais cette intégrale tend vers 0

quand t ! 0 par TCVD• Par passage à la limite, |Cn � ↵n|2 = 0 donc ↵n = Cn

• Donc u(t,x) =P

n2Z Cne�n2teinx où les Cn sont les coeff de Fourier de u0

• Synthèse. Montrons que cette fonction est solution de (C )

• On a 8t > 0,8x 2 R,��Cne

�n2teinx�� 6 |Cn|, or

P |Cn| cv car u0 est C1-p.m. doncsa SF CVN. Donc la série qui définit u est normalement cv

• Donc u est bien définie et continue (car continuité des (t,x) 7! Cne�n2teinx)

• Pour tout t > 0, x 7! u(t,x) est 2⇡-périodique

• En dérivant formellementP

Cne�n2teinx et en majorant Cn par K := 1

2⇡

R 2⇡

0|u0|,

on obtient que u admet des dérivées partielles par rapport à x et t à tout ordre,car la série des dérivées est normalement cv, donc u 2 C1

• On vérifie facile que u vérifie l’équation (car les dérivées partielles de u s’obtiennentpar dérivation formelle)

• Finalement, u répond au problème (C ) et c’est la seule solution

Remarques? C’est cette équation qui a historiquement motivé l’introduction des séries de Fou-

rier? Représentation physique de cette équation avec la diffusion de la chaleur dans une

barre métalique

Leçons concernées� 222 : EDP� 246 : Séries de Fourier

Références� Francinou : Analyse 4, p. 49� Z-Q : Analyse pour l’agrégation, p.105

2

91


Equation de Hill-Mathieu

On considère l’équation (E ) : y00 + qy = 0 où q : R ! R est continue,⇡-périodique et paire.On étudie le caractère borné des solutions de (E ).

• On note (y1,y2) la b.c. de solutions associée à y1(0) = 1, y01(0) = 0, y2(0) = 0 et

y02(0) = 1, et W := Vect(y1,y2)

• On appelle A : W ! W l’endomorphisme Ay(x) = y(x + ⇡) bien défini car q⇡-périodique

• On note encore A := Mat(y1,y2)(A) =

a c

b d

!=

y1(⇡) y2(⇡)

y01(⇡) y0

2(⇡)

!

• En effet, Ay1(x) = y1(x + ⇡) = ay1(x) + by2(x)

• En dérivant : y01(x + ⇡) = ay0

1(x) + by02(x)

• En faisant x = 0 dans ces deux équations obtenues et en regardant les conditionsinitiales, on obtient a et b, on fait de même pour c et d

• On pose T := Tr A = a + d = y1(⇡) + y02(⇡)

• Lemme 1. y1 est paire, y2 est impaire et det A = 1

• Soit z(x) = y1(�x), on a z00(x) + q(x)z(x) = 0 car q paire• De plus z(0) = 1 et z0(0) = 0, donc d’après le th d’unicité de Cauchy-Lipschitz,

z = y1

• De même avec z(x) = �y2(�x), on m.q. y2 est impaire• Posons w = y1y

02 � y2y

01, w0 = y1y

002 � y2y

001 = �qy1y2 + qy1y2 = 0

• Donc w est constante et vaut w(0) = 1, et det A = w(⇡) = 1

• Lemme 2. a = d, i.e. y1(⇡) = y02(⇡)

• On a A�1y(x) = y(x � ⇡)

• Ainsi, A�1 =

y1(�⇡) y2(�⇡)

y01(�⇡) y0

2(�⇡)

!=

a �c

�b d

!

• On calcule le polynôme caractéristique et d’après le th de Cayley-Hamilton :�A(A) = A2 � Tr(A)A + det(A)I2 = 0

• Donc avec le lemme 1 et en multipliant par A�1 à droite : A + A�1 = Tr(A)I2

1

92


• Donc 2a = a + d, donc a = d

• Proposition 1. Si |T | < 2 toutes les solutions de (E ) sont bornées.

• On a �A(X) = X2�TX +1, qui a deux racines complexes conjuguées distinctes⇢ et ⇢ car |T | < 2

• On a |⇢|2 = ⇢⇢ = 1, donc les racines sont de module 1

• Comme les racines sont 6=, on diagonalise en une base (u1,u2) de W , forméede vecteurs propres de A : u1(x + ⇡) = ⇢u1(x), u2(x + ⇡) = ⇢u2(x), donc|uj(x + ⇡)| = |uj(x)|

• u1 et u2 étant ⇡-périodiques continues elles sont donc bornées, et toute solutionétant combinaison linéaire de u1 et u2 est donc bornée

• Proposition 2. Si |T | = 2, (E ) possède une solution non nulle bornée.

• (E ) possède une solution non nulle u tq u(x + ⇡) = ±u(x), u bornée commel’étaient u1 et u2

• Proposition 3. Si |T | > 2, toutes les solutions non nulles de (E ) sont non bornées.

• Les valeurs propres de A sont ⇢,⇢�1 2 R (car le produit des deux sol vaut 1)avec |⇢| > 1, soient u1 et u2 des vecteurs propres associés resp. à ⇢ et ⇢�1

• Soit y un solution non nulle de (E ) : y = ↵u1 + �u2 avec (↵,�) 6= (0,0)

• Si ↵ 6= 0, soit x tq u1(x) 6= 0, alors y(x + n⇡) = ↵⇢nu1(x) + �⇢�nu2(x) ⇠↵⇢nu1(x) quand n ! +1 donc y n’est pas bornée

• De façon similaire si � 6= 0, en faisant n ! �1

Remarques? La comparaison entre |T | et 2 est extrêmement difficile en pratique? Cependant, on a une condition suffisante de stabilité due à Liapounoff : si q > 0

et q 6⌘ 0 est telle queR ⇡

0q 6 4

⇡, alors les solutions sont bornées

Leçons concernées� 221 : Equations différentielles linéaires

Références� Z-Q : Analyse pour l’agrégation, p.410� Bricolage (un peu de simplification)

2

93


Dualité dans les Lp

Si 1 < p < 2, alors le dual de Lp([0,1]) est Lq([0,1]).

• Posons Lg : f 2 Lp 7!R 1

0fg, on veut mq � : g 7! Lg est une isométrie linéaire

surjective de Lq sur (Lp)0

• Inégalité de Hölder =) |Lg(f)| 6 kfkp kgkq, donc Lg est continue donc Lg 2(Lp)0 et kLgk 6 kgkq

• Montrons que kLgk = kgkq

• Soit u mesurable de module 1 tq g = u |g| et f := u |g|q�1

• Alors Lg(f) =R

|g|q

• Et comme p et q sont conjugués, (q � 1)p = q donc kfkp = (R

|g|q)1/p

• On a kLgk > Lg(f)

kfkp,

• Donc kLgk > (R

|g|q)1�1/p = (R

|g|q)1/q = kgkq

• Finalement, kLgk = kgkq

• Donc � est une isométrie linéaire• Mq � est surjective

• Soit ` 2 (Lp)0

• Comme [0,1] est de mesure finie, on a L2 ⇢ Lp et k·kp 6 k·k2

• En effet, kfkpp =

R|f |p =

R{f>1} |f |p +

R{f<1} |f |p

• La première intégrale est 6R

|f |2 = kfk22, la seconde on majore |f |p par 1,

et l’intégrale est inférieure à la mesure (finie) de notre espace

• On a si f 2 L2,��`|L2(f)

�� 6 k`k kfkp 6 k`k kfk2 (?1)

• Donc `|L2 est linéaire continue donc vit dans (L2)0, et L2 étant un espace deHilbert, il existe g 2 L2 tq `(f) = hf,gi =

Rfg (?2)

• Mq g 2 Lq

• Soit u mesurable de module 1 tq g = u |g|, n > 1 et fn = u |g|q�1 1g6n 2 L1 ⇢L2

• Avec (?1) et (?2) on a doncR

fng =R

|g|q 1g6n 6 k`k kfnkp = k`k (R

|g|q 1g6n)1/p

• Donc (R

|g|q 1g6n)1�1/p = (R

|g|q 1g6n)1/q 6 k`k

1

94


• On utilise le TCVM, et on fait tendre n ! 1, on obtient kgkq 6 k`k• g 2 Lq

• L’égalité (?1) peut s’écrire `(f) = Lg(f) pour f 2 L2

• Mq (?1) reste vraie pour f 2 Lp

• L2 est dense dans Lp (car L1 est dense dans tout Lp, il suffit de prendre desindicatrices qui bornent la fonction), et ` et Lg sont continues sur Lp

• Donc ok pour f 2 Lp

• Donc ` = Lg

• Donc �(g) = `

Remarques? Le dual de L2 est L2

? Le dual de Lp est Lq, et réciproquement? L1 n’est le dual d’aucun espace? Le dual de L1 contient strictement L1

? Le dual de L1 est L1

? Rq : pour trouver la fonction qui permet de se placer dans le cas d’égalité deHölder, il suffirait de faire du calcul diff

Leçons concernées� 201 : Espaces de fonctions� 202 : Parties denses� 208 : Espaces vectoriels normés� 213 : Espaces de Hilbert� 234 : Espaces Lp

Références� Zuily-Queffélec : p.216

2

95


Théorème de Dirichlet version faible

Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n pour toutn > 2.

• Si Xn � 1 admet une racine double a dans Z/pZ, p | n

• Changement de variable "X + a = X"• On identifie les termes de degré 0 et 1

• pgcd(a,p) = 1

• Soit a 2 N et p premier tq p | �n(a), alors p ⌘ 1 (mod n) ou p | n

• Xn � 1 =Q

d|n �d

• an � 1 ⌘ 0 (mod �n(a)) ⌘ 0 (mod p)

• Posons ! l’ordre de a dans (Z/pZ)⇥

• Si ! = n ok• Si ! < n, comme ! | n, Xn � 1 =

Qd|n �d = �n ⇥ (X! � 1) ⇥ (· · · )

• On montre alors que ⇡p(a) racine de multi > 2 de Xn � 1 et on applique ledébut

• Par l’absurde s’il n’existe qu’un nombre fini de p ⌘ 1 (mod n), on les notep1, . . . ,pm, on pose ↵ := np1 · · · pm et N := �n(↵) =

PaiX

i

• N ⌘ a0 (mod ↵)

• Xn�1 =Q

d|n �d, donc a0 = �n(0) = ±1 (car �i 2 Z[X]), donc N ⌘ ±1 (mod ↵)

• �n(X) =Q

⇣ racine primitive(X � ⇣), donc |N | > 1, donc N > 2

• Soit p premier divisant N , p ⌘ 1 (mod n) ou p | n, les deux cas sont absurdes carils impliquent p | a0 = ±1

Leçons concernées� Abandonné

Références� Gourdon : Algèbre, p.92� Francinou : Oraux X-ENS Algèbre 1, p.119

1

96


Diagonalisation des endomorphismes normaux

Soit E un espace euclidien et u 2 L (E) un endomorphisme normal. Alorsil existe un base orthonormale B de E telle que

[u]B =

0BBBBBBBBBB@

�1

. . .

�r

⌧1

. . .

⌧s

1CCCCCCCCCCA

(?)

avec les �i 2 R et les ⌧j =

aj �bj

bj aj

!2 M2(R) avec bj 6= 0.

Rappel. Un endomorphisme est dit normal s’il commute avec son adjoint.

• Par rec sur dim E = n : pour n = 1 le résultat est trivial, on suppose le résultatvrai jusqu’au rang n � 1

• Lemme 1. Si F sev de E stable par u, alors F? est stable par u⇤

• Soit x 2 F , on a u(x) 2 F

• Donc pour tout y 2 F?, 0 = hu(x),yi = hx,u⇤(y)i• Comme c’est vrai pour tout x 2 F , on a u⇤(y) 2 F?

• Lemme 2. Soit E� un sep de u, alors E�? est stable par u

• Comme u et u⇤ commutent (u normal), on a E� stable par u⇤

• D’après le lemme 1, E�? est stable par (u⇤)⇤ = u

• Si u admet une vp réelle �, on pose E� = ker (u � �id)

• On a F = E�? stable par u et u⇤ (lemmes 1 et 2)

• Comme u|F et u⇤|F commutent, et dim F 6 n � 1 on a par HR une base ortho-

normale B1 tq [u|F ]B1 soit de la forme (?)

• Si B2 est une bo de E�, B := (B1,B2) convient

1

97


• Si u n’a pas de vp réelle

• Soit Q un facteur irr unitaire de µu le polynôme minimal (donc Q de degré 2)• On a ker Q(u) 6= {0}

• Si ker Q(u) = {0}, alors car dim E < 1, on a Q(u) 2 GL(E)

• Or il existe P tq µu = PQ, donc 0 = µu(u) = P (u)Q(u)

• Donc P (u) = Q(u)�1µu(u) = 0

• Donc P annulateur de degré < deg(µu), absurde

• ker Q(u) est stable par u, et car u et u⇤ commutent, ker Q(u) est stable par u⇤

• Posons v = u|ker Q(u), a v⇤v symétrique, qui admet donc une vp µ 2 R• Soit x 2 ker Q(u) \ {0} tq v⇤v(x) = µx

• Posons F = Vect(x,u(x))

• Comme u n’admet pas de vp réelle, on a dim F = 2

• On a F stable par u car Q(u) de degré 2 en u annule x par def de x

• On a F stable par u⇤

• On remarque que F = Vect(u(x),u2(x))

• On a u⇤(u(x)) = v⇤v(x) = µx 2 F

• On a u⇤(u2(x)) = u(v⇤v(x)) = µu(x) 2 F

• Lemme 3. Soit E un espace euclidien de dimension 2, u un endo normal n’ad-mettant pas de vp réelle. Dans toute base orthonormale de E, la matrice de u a

la forme

a �b

b a

!avec b 6= 0

• On écrit la matrice de u : M =

a b

c d

!, avec b 6= 0 car u n’a pas de vp réelle

• Comme u normal, M⇤M = MM⇤, ce qui donne a2 + c2 = a2 + b2 et ab + cd =ac + bd

• Donc b = ±c, mais M ne peut pas être symétrique sinon elle aurait une vpréelle, donc b = �c

• La seconde équation donne a = d

• Comme u|F est normal, le lemme 3 donne la forme ⌧ de l’énoncé pour la matricede u|F dans une base orthonormée B2

• On a vu que F est stable par u⇤, donc le lemme 1 donne que F? est stable paru⇤⇤ = u, par un même argument, F? est aussi stable par u⇤

• Donc u|F? est normal• Or dim F? = n � 2 < n, par HR on a une base orthonormale B1 de F? tq la

matrice de u|F? a la forme (?) dans cette base• Enfin, la base B = (B1,B2) convient

2

98


Remarques? Rq : u est normal ssi dans tout base orthonormale sa matrice est "normale"? App : On peut en déduire le th de réduction des endomorphismes auto-adjoints? App : On peut aussi en déuire le th de réduction des matrices antisymétriques ou

le th de réduction des isométries? Rq : On a u⇤⇤ = u dès que u⇤ existe? Rq : Dans un espace hermitien, on a équivalence entre : u normal, u se diagonalise

dans un bon, u et u⇤ se diagonalise dans un bon commune? C-Ex : Ce n’est plus vrai sur un espace euclidien (on peut considérer la matrice

de la rotation d’angle ⇡/2 qui est normale non diagonalisable)

Leçons concernées� 151 : Dimension d’un ev� 153 : Polynômes d’endo� 154 : Sous-espaces stables par un endo� 155 : Diagonalisation� 160 : Endormorphismes remarquables

Références� Gourdon : Algèbre, p.260

3

99


Développement asymptotique de la sérieharmonique

On pose Hn = 1 + 12

+ · · · + 1n

le n-ième nombre harmonique.

Alors Hn = log n + � +1

2n� 1

12n2+ o

✓1

n2

◆.

App :1X

n=1

(�1)n

n= � log 2.

• Hn = log n + � + o(1)

• Posons un := Hn � log n et vn := un � 1n

• La différence un � vn = 1n

> 0 et tend vers 0

• (un) est décroissante car un�un+1 = � 1n+1

� log n+log(n+1) = � 1n+1

� log(1�1

n+1) > 0 car log(1 + x) 6 x

• De même on a que (vn) croissante• Donc les suites sont adjacentes, et elles cv vers � 2 R• Comme v2 = 1 � log 2 > 0, on a � > 0

• Hn = log n + � + 12n

+ o( 1n)

• Posons tn = un � �

• Avec un DL : tn � tn�1 = log(1 � 1n) + 1

n⇠ � 1

2n2

• DoncP

(tk � tk�1) cv, et d’après le th de sommation des équivalents (car lesdeux termes généraux sont de signe constant), on a

P1k=n+1(tk � tk�1) = �tn ⇠

�12

P1k=n+1

1k2

• Pour trouver un équivalent de cette série, on fait une comparaison série-intégrale,que l’on redémontre dans notre cas

• t 7! 1t2

est décroissante, intégrable sur [1, + 1[

• Dessin !R k+1

kdtt2

6 1k2 6

R k

k�1dtt2

• Ainsi en sommant entre n + 1 et N et en faisant N ! 1, on obtient :R1n+1

dtt2

6P1

n+11k2 6

R1n

dtt2

• Comme les deux bornes sont ⇠ 1n, le th d’encadrement nous donne

P1n+1

1k2 ⇠

1n

1

100


• Hn = log n + � + 12n

� 112n2 + o( 1

n2 )

• Posons wn = tn � 12n

• On aP1

k=n+1(wk � wk�1) = �wn

• wn � wn�1 = ln(1 � 1n) + 1

n� 1

2n+ 1

2n�2

• Avec un DL à l’ordre 3 de log(1 + x), on obtient :

wn � wn�1 = � 1

2n2� 1

3n3� 1

2n+

1

2n

1

1 � 1n

+ o

✓1

n3

◆

= � 1

2n2� 1

3n3� 1

2n+

1

2n

✓1 +

1

n+

1

n2

◆+ o

✓1

n3

◆

=1

6n3+ o

✓1

n3

◆

⇠ 1

6n3

• Le th de sommation des équivalents et une comparaison série-intégrale donnent�wn ⇠P1

k=n+11

6k3 ⇠ 112n2

• App : Calculons la somme de la série harmonique alternée

• Par le TSSA,P (�1)n

ncv

•2NX

n=1

(�1)n

n=

NX

n=1

1

2n�

N�1X

n=0

1

2n + 1

= 2NX

n=1

1

2n�

N�1X

n=0

1

2n + 1+

NX

n=1

1

2n

!

=NX

n=1

1

n�

2NX

n=0

1

n

= HN � H2N

= log N � log(2N) + � � � + o(1)

= � log 2 + o(1)

Remarques? � ⇡ 0.577 est appelée constante d’Euler, on ne sait même pas (2017) si elle est

irrationnelle? Le o(1/n2) est en fait un O(1/n3)

? En fait on pourrait faire un raisonnement plus général par récurrence? On peut aussi procéder directement grâce à la formule d’Euler-MacLaurin? App : en posant kn := min{k 2 N, Hk > n}, on a que kn+1

kn! e

2

101


Leçons concernées� 224 : Développements asymptotiques� 230 : Séries numériques

Références� Francinou : Analyse 1, p.156� Wikipédia

3

102


Cardinal de SO2(Z/pZ)

Soit p un nombre premier, on a

|SO2(Z/pZ)| =

8><>:

2 si p = 2

p � 1 si p ⌘ 1 (mod 4)

p + 1 si p ⌘ 3 (mod 4).

• En utilisant la formule bien connue pour l’inverse d’une matrice 2 ⇥ 2 :

M 2 SO2(Z/pZ) ()(

tMM = I2

det M = 1()

8><>:

a = d

b = �c

a2 + b2 = 1.

• On a une bijection SO2(Z/pZ)⇠! C = {(a,b) 2 (Z/pZ)2, a2 + b2 = 1}

• On paramétrise rationnellement le cercle C grâce à ce dessin :

On obtient que le point M(t) =

✓1 � t2

1 + t2,

2t

1 + t2

◆décrit C \ {(�1,0)} quand t

décrit R• Le cas p = 2 se traite directement• On considère la même application M : Z/pZ ! C \ {(�1,0)}• On a bien M(t) 2 C \ {(�1,0)}• On a �1 carré dans Z/pZ ssi p ⌘ 1 (mod 4)

• Card(F⇤p2) = p�1

2avec un morphisme

• x 2 F⇤p2 () x

p�12 = 1 en regardant X = {x 2 F⇤

p2,x

p�12 = 1} avec une

inclusion + cardinalité

1

103


• Si �1 n’est pas un carré dans Z/pZ, i.e. p ⌘ 3 (mod 4)

• On montre que M est injective• On montre que M est surjective sur C \ {(�1,0)} (regarder M( y

x+1))

• On a (�1,0) 2 C , donc le cardinal est |Z/pZ| + 1 = p + 1

• Si �1 est un carré dans Z/pZ, i.e. p ⌘ 1 (mod 4), on note ±i ses deux racines

• M restreinte à Z/pZ \ {±i} est toujours injective• Elle est aussi surjective car le réel t obtenu vérifie t2 6= �1 donc t /2 {±i}• On a (�1,0) 2 C , donc le cardinal est |Z/pZ \ {±i}| + 1 = p � 2 + 1 = p � 1

Leçons concernées� 120 : Anneaux Z/nZ� 190 : Dénombrement

Références� Francinou : Oraux X-ENS Algèbre 1, p.16� Perrin : Cours d’algèbre, p.75

2

104


Dénombrement des polynômes irréductibles sur uncorps fini

On note I(p,n) le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré nsur Fp.On a

I(p,n) =1

n

X

d|nµ(d)pn/d.

Rappels.

La fonction de Möbius µ est définie par

8><>:

µ(1) = 1

µ(p1 · · · pk) = (�1)k

µ(n) = 0 si p2 | n.On note 1 la fonction constante de valeur 1.On note �1 la fonction indicatrice de {1}.On définit le produit de convolution ⇤ comme u ⇤ v(n) =

X

d|nu(n/d)v(d).

• Lemme 1. On note K(p,j) l’ensemble des polynômes irréductibles unitaires dedegré j sur Fp. Alors Xpn � X =

Qd|nQ

Q2K(p,d) Q(X).

• Xpn �X est premier avec sa dérivée, donc n’a que des racines simples dans soncorps de décompo, donc est sans FC

• Soit P | Xpn � X irr unitaire de degré d, et soit x une racine de P dans uncorps de rupture

• On peut considérer P unitaire, car Xpn �X unitaire, donc quitte à multipliertous les P par une constante inversible (égale à 1) ok

• On a n = [Fpn : Fp] = [Fpn : Fp(x)][Fp(x) : Fp] = [Fpn : Fp(x)] ⇥ d

• Donc d | n, donc P appartient au membre de droite• Réciproquement, soit P irr unitaire de degré d | n, et x une racine de P

• Alors x 2 Fpd ⇢ Fpn , donc x racine de Xpn � X

• Or P est à racines simples, car un polynôme irréductible est toujours à racinessimples

• Donc P | Xpn � X

1

105


• Lemme 2. On a µ = 1�1.

• On a µ ⇤ 1 = �1

• On a (µ ⇤ 1)(n) =P

d|n µ(d)

• Si n = 1, on a (µ ⇤ 1)(n) = 1, sinon n = p1↵1 · · · pk

↵k

• AlorsP

d|n µ(d) = 1+P

i µ(pi)+P

i,j µ(pipj)+ · · · = 1�k+�

k2

��

k3

�+ · · · =

(1 � 1)k = 0

• Formule d’inversion de Möbius. Si f,g deux fonctions arithmétiques telles quef(n) =

Pd|n g(d), alors g(n) =

Pd|n µ(d)f(n/d).

• f = 1 ⇤ g () g = 1�1 ⇤ f () g = µ ⇤ f (lemme 2)

• On prouve finalement le th en posant f(n) = pn et g(n) = nI(p,n), p étant fixé• Comme on a (en regardant les degrés dans le lemme 1) pn =

Pd|n dI(p,d)

• Donc f(n) =P

d|n g(d), on conclut avec la formule d’inversion de Möbius

Remarques? Rq : Cela marche de même sur Fq au lieu de Fp

? App : On remarque ainsi que I(p,n) n’est jamais nul, donc on a toujours unpolynôme irr de degré fixé sur Fp

? Appp : On peut ainsi toujours construire Fpn comme corps de rupture de Fp

? App : En enlevant la partie de la somme avec les diviseurs stricts de n et enmajorant µ par 1, on mq I(q,n) ⇠ qn

n

Leçons concernées� 123 : Corps finis� 125 : Extensions de corps� 141 : Polynômes irréductibles� 190 : Dénombrement

Références� Gozard : Théorie de Galois, p.90� Hardy & Wright : Introduction à la théorie des nombres p.299� Bricolage

2

106

Développement Algèbre - Analyse

Décomposition polaire

La multiplication matricielle µ induit un homéomorphisme de O(n,R) ⇥S++

n (R) sur GLn(R).

• µ est bien définie et continue• Montrons la surjectivité, soit M 2 GLn(R)

• On a tMM 2 S++n (R) (car dans l’orbite de In pour l’action de congruence)

• Donc tMM = P diag(�i)P�1 avec P 2 O(n,R) et �i > 0

• On pose S = P diag(p�i)P

�1 2 S++n (R) et O = MS�1 2 O(n,R) car tMM =

S2

• M = OS ce qui conclut• Montrons l’injectivité, si M = OS = O0S 0

• Comme O 2 O(n,R), on a tMM = S2 = S 02

• Soit Q un polynôme interpolateur de Lagrange tq Q(�i) =p�i

• S = P diag(p�i)P

�1 = Q(tMM) = Q(S2) = Q(S 02)

• Or S 0 commute avec Q(S 02) = S

• S et S 0 sont codiagonalisables, et de S 02 = S2 on obtient S = S 0 car les vp sontdans R⇤

+

• Donc O = O0 ce qui conclut• Montrons que µ�1 est continue

• Soit (Mp) = (OpSp) dans GLn(R) qui cv vers M = OS 2 GLn(R)

• Comme O(n,R) est compact, (Op) admet une valeur d’adhérence• Soit O0 est une va de (Op), alors (Sp) a pour va S 0 := O0�1M 2 S++

n

• Par injectivité de µ, S = S 0 et O = O0

• Donc (Op,Sp) cv vers (O,S)

Remarques? En application (surtout dans la leçon sur la compacité !), on peut montrer la

maximalité du groupe orthogonal parmi les sous-groupes compacts de GLn(R)

? App : grâce à l’exponentielle qui réalise un homéo Sn(R) ⇠= S++n (R), on a un

homéomorphisme GLn(R) ⇠= O(n) ⇥ Rn(n+1)/2

? App : décomposition du groupe d’isométries d’une forme quadratique : O(p,q) 'O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq

1

107

Développement Algèbre - Analyse

Leçons concernées� 106 : Groupe linéaire� 150 : Actions de groupes sur les espaces de matrices� 155 : Endomorphismes diagonalisables


2

108


Décomposition de O(p,q)

Soit (p,q) 2 N2, on a un homéomorphisme O(p,q) ' O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq.

Rappels.On note O(p,q) le s.g. de GLp+q(R) formé des isométries pour la forme quadratiquestandard sur Rp+q de signature (p,q) : x1

2 + · · · + xp2 � xp+1

2 � · · · � xp+q2, dont la

matrice dans la b.c. est Ip,q = diag(1, . . . ,1, � 1, . . . , � 1).(Une isométrie u pour une f.q. q vérifie q � u = q, soit matriciellement tUQU = Q,donc M 2 O(p,q) () tM Ip,q M = Ip,q)On note O(p) = O(p,R).

• Soit M 2 O(p,q) ⇢ GLn(R), n = p + q

• Par décompo polaire, il existe O 2 O(n,R) et S 2 S++n (R) tq M = OS

• On a S 2 O(p,q)

• Soit T = tMM , on a T = S2

• O(p,q) est stable par transposition

• Soit M 2 O(p,q), on a tM Ip,q M = Ip,q

• Donc en passant à l’inverse M�1 Ip,qtM�1 = Ip,q

• Donc tM�1 2 O(p,q)

• Donc en prenant l’inverse tM 2 O(p,q)

• Donc T = tMM 2 O(p,q)

• Comme on sait que exp: Sn(R) ! S++n (R) réalise un homéomorphisme, et que

1

109


T 2 S++n (R) (car T = S2), il existe U 2 Sn(R) telle que T = exp U

T 2 O(p,q) () T Ip,qtT = Ip,q

() tT = Ip,q�1T�1 Ip,q

() t exp U = Ip,q�1(exp U)�1 Ip,q

() exp tU = Ip,q�1 exp(�U) Ip,q

() exp tU = exp(�Ip,q�1U Ip,q)

() tU = �Ip,q�1U Ip,q par injectivité de exp sur Sn

( () Ip,q U + U Ip,q = 0 (?))

() exptU

2= exp(�Ip,q

�1U

2Ip,q)

() t expU

2= Ip,q

�1(expU

2)�1 Ip,q

() expU

22 O(p,q)

• Or exp U22 S++

n et exp(U/2)2 = T = S2, par unicité de la raciné carré matri-cielle sur S++

n (R), on a S = exp U2

• Donc S 2 O(p,q)

• Donc O = MS�1 2 O(p,q)

• Comme la décompo polaire est un homéo, on a un homéo (l’injectivité est claire,et la surjectivité vient du fait que si (O,S) sont à l’arrivée, OS est bien dansO(p,q) car O,S 2 O(p,q)) :

O(p,q) ' (O(p,q) \ O(n)) ⇥ (O(p,q) \ S++n )

• O(p,q) \ O(n) ' O(p) ⇥ O(q)

• On décompose par blocs O =

A C

B D

!2 O(p,q) \ O(n)

• En traduisant Ip,q = tO Ip,q O et en calculant, on obtient la condition :

Ip 0

0 �Iq

!=

tAA � tBB tAC � tBDtCA � tDB tCC � tDD

!

• Car tOO = In, on obtient la condition :

Ip 0

0 Iq

!=

tAA + tBB tAC + tBDtCA + tDB tCC + tDD

!

• Donc tBB = 0, donc Tr(tBB) = 0, doncP

i,j bi,j2 = 0, donc B = 0

• De même C = 0

• Donc A 2 O(p) et D 2 O(q)

2

110


• On a bien l’homéo voulu

• O(p,q) \ S++n ' Rpq

• Posons L := {U 2 Mn(R), U Ip,q + Ip,q U = 0}• exp: Sn(R) ! S++

n (R) réalise un homéo• Donc d’après (?), on a un homéo Sn(R) \ L ' O(p,q) \ S++

n (R)

• Or Sn(R) \ L est un R-ev de dimension pq, donc ' Rpq

• On a U =

A C

B D

!2 Sn(R) ssi A,D symétriques et tB = C

• On a U 2 L ssi A = D = 0

• Donc L \ Sn(R) =

( 0 tB

B 0

!, B 2 Mp,q(R)

)de dimension pq

• Finalement, on obtient bien l’homéo voulu

Remarques? App : O(p,q) est compact ssi p ou q est nul? App : O(p,q) admet 4 composantes connexes? Rq : l’unicité de la racine carrés matricielle sur S++

n (R) se déduit de la preuve dela décomposition polaire

? Rq : il faut connaître la preuve de la décomposition polaire, ainsi que celle donnantl’homéomorphisme réalisé par l’exponentielle

Leçons concernées� 150 : Actions de groupes sur les espaces de matrices� 156 : Exponentielle de matrices� 158 : Matrices symétriques réelles� 170 : Formes quadratiques sur un espace euclidien� 171 : Formes quadratiques réelles, coniques


3

111


Constructions à la règle et au compas

Théorème (Wantzel). Soit t 2 R, t est constructible si, et seulements’il existe une suite (L0,L1, . . . ,Lp) de sous-corps de R vérifiant : L0 = Q,[Li+1 : Li] = 2 et t 2 Lp.Application. Le pentagone régulier est constructible.

Préliminaires. Tout Q est constructible à partir de {0,1}. La somme est facile. Pourle produit on fait le théorème de Thalès en plaçant 1 et y en ordonnées, et x enabscisse. Pour la division on fait presque pareil.

1

112


• On explique le principe de la construction à la règle et au compas : on a 0 et 1,on a le droit de faire des droites et des cercles (dessin !)

• Lemme. Soit F un sous-corps de R. Soit M = (x,y) un point constructible enune étape à partir des points de F 2. Alors (x,y) 2 F 2 ou il existe G une extensionquadratique de F telle que (x,y) 2 G2.

• Si M est l’intersection de deux droites d1 et d2

• On note uix + viy + wi = 0 leurs équations (à coeff dans F ), on veut donc

résoudre le système linéaire

(u1x + v1y = �w1

u2x + v2y = �w2

de déterminant � 2 F ⇤

• Or on a �1 =

��w1 v1

�w2 v2

�� 2 F et �2 =

��u1 �w1

u2 �w2

�� 2 F

• Donc d’après les formules de Cramer, x = �1/� et y = �2/�, donc (x,y) 2F 2

• Si M est l’intersection d’une droite d et d’un cercle �

• On note ux + vy + w = 0 une équation de d et x2 + y2 � 2ax � 2by + c =0 une équation de � (à coeff dans F ), on veut donc résoudre le système(

ux + vy + w = 0

x2 + y2 � 2ax � 2by + c = 0

• Comme (u,v) 6= (0,0) et que x et y jouent des rôles symétriques on peutsupposer v 6= 0, dans ce cas, y = �u

vx � w

v, et en reportant dans l’autre

équation on trouve que x est racine de P (X) = X2 + �X + µ avec �,µ 2 F

• Si P réductible dans F [X], on a x,y 2 F , sinon G = F (x) est une extensionquadratique, et x,y 2 G

• Si M est l’intersection de deux cercles �1 et �2

• De même on a

(x2 + y2 � 2a1x � 2b1y + c1 = 0

x2 + y2 � 2a2x � 2b2y + c2 = 0

• On crée une nouvelle équation en soustrayant les deux lignes : 2(a2 � a2)x +2(b2 � b1)y + c1 � c2 = 0, avec (a2 � a1,b2 � b1) 6= (0,0), et on est ramené àl’intersection d’une droite et d’un cercle, ce qui prouve le lemme

• Revenons au théorème, supposons t 2 R constructible (i.e. M = (t,0) construc-tible)

• Il existe M1, . . . ,Mn des points tq en notant A0 := {0,1} et Ai+1 := Ai[{Mi+1},on a Mn = M et Mi est constructible en une étape à partir de Ai�1

• On note Mi = (xi,yi), et on définit K0 := Q, Ki = Ki�1(xi,yi), les (Ki) étantune suite de sous-corps croissante tq xn 2 Kn

• On a Mi constructible en une étape à partir de Ai�1, donc d’après le lemmeavec F = Ki�1, on a [Ki : Ki�1] 2 {1,2}

2

113


• On extrait alors la tour d’extension quadratiques (L0, . . . ,Lp) strictement crois-sante en ne conservant que les extensions quadratiques, et cette tour vérifie bienles conditions requises

• Réciproquement, on procède par récurrence, on a L0 = Q constructible

• Si x 2 Li+1, car [Li+1 : Li] = 2, on a ax2 + bx + c = 0 avec a,b,c 2 Li non tousnuls

• Si a = 0, on a x 2 Li consétructible, sinon x = 12a

(�b ±p

b2 � 4ac)

• Or les nombres constructibles sont stable parp·, ce qui conclut :

(on applique Pythagore dans les trois triangles pour trouver b =p

a)

• Corollaire. Si x est constructible, alors x est de degré 2n sur Q (donc tout nombreconstructible est algébrique).

• Par multiplicativité du degré, on a [Lp : Q] =Q

[Li+1 : Li] = 2p

• On a aussi [Lp : Q] = [Lp : Q(x)][Q(x) : Q], donc [Q(x) : Q] divise 2p

• Application 1. On veut construire un pentagone régulier, pour cela il suffit deconstruire ⇣ = e2i⇡/5 (dessin !)

• ⇣ est racine de X5 � 5 et ⇣ 6= 1, donc ⇣ est racine de X4 + X3 + X2 + X + 1

• On a ⇣4 = ⇣, donc ⇣4 + ⇣ = 2 Re(⇣) = 2 cos(2⇡/5), et car de même ⇣3 = ⇣2, ona ⇣3 + ⇣2 = 2 cos(4⇡/5)

• Comme cos(2x) = 2 cos2(x) � 1, on a cos(4⇡/5) = 2 cos2(2⇡/5) � 1

• En notant ↵ = cos(2⇡/5), on a alors 0 = ⇣4 + ⇣3 + ⇣2 + ⇣ + 1 = 4↵2 + 2↵� 1

• Comme ↵ est racine d’un polynôme de degré 2, d’après Wantzel il est construc-tible

• On peut alors construire ⇣ puis le pentagone (dessin !)

3

114


• App 2. Impossibilité de la quadrature du cercle, carp⇡ est transcendant (Lin-

demann).• App 3. Impossibilité de la duplication du cube, car 3

p2 n’est pas constructible.

En effet, X3 � 2 annule 3p

2 et est irr par Eisenstein, donc [Q( 3p

2) : Q] = 3.

Remarques? La réciproque du corollaire est fausse (ex : une des racines de X4 � X � 1)? On peut aussi s’intéresser au pb de la trissection d’un angle, possible ou non selon

l’angle? On peut aussi s’intéresser à la construction du polygone régulier à n côtés selon

la possible construction de cos(2⇡/n) (on a une équivalence avec les nombres deFermat premiers, mais cela utilise la théorie de Galois)

? Construire au compas seul est équivalent

Leçons concernées� 125 : Extensions de corps� 141 : Polynômes irréductibles, corps de rupture� 182 : Nombres complexes en géométrie

Références� Gozard : Théorie de Galois, p.50-52� Audin : Géométrie, p.130-132

4

115


Caractères d’un groupe abélien fini

Soit G un groupe abélien fini, alors G est isomorphe à son bidual.

Préliminaires.Soit G un groupe abélien fini. On appelle caractère de G tout homomorphisme deG dans C⇤.Le groupe des caractères Hom(G,C⇤) est noté bG et est appelé le dual de G.

• Exemple utile. Si G est cyclique d’ordre n, de générateur s et � un caractère deG. Alors w = �(s) vérifie wn = 1 et donc w 2 µn. Réciproquement, toute racinede l’unité w définit un caractère de G au moyen de sa 7! wa. Ainsi � 7! �(s) estun isom de bG sur µn, en particulier bG est cyclique d’ordre n.

• Prop 1. Soit H un s.g. de G. Tout caractère de H peut être prolongé en uncaractère de G.

• Preuve. On raisonne par récurrence sur l’indice [G : H]. Si [G : H] = 1, on aG = H, ok

• Sinon, soit x 2 G \ H, et soit n le plus petit entier > 1 tq xn 2 H

• Soit � 2 bH, soit t := �(xn), on peut choisir w 2 C⇤ tq wn = t

• Soit H 0 le s.g. de G engendré par H et x, tout élément de H 0 s’écrit h0 = hxa

• Posons �0(h0) = �(h)wa

• Ce nombre ne dépend pas de le décompo de h0, car si hxa = hxb, alorsxa�b = hh�1 2 H, donc a � b = kn, donc wb�(h) = wa�kn�(hxa�b) =wa�(x�kn)�(hxa�b) = wa�(h)

• Et �0 est un caractère de H 0 qui prolonge H

• Comme [G : H 0] < [G : H], l’HR permet de prolonger �0 à H tout entier

• Remarque. Grâce à la prop 1, l’opération de restriction définit un homomor-phisme surjectif bG ! bH. Le noyau de ce morphisme est formé des caractères deG triviaux sur H, donc est isomorphe à [G/H. Ainsi,

�� bG�� /�� bH�� =

��[G/H��.

• Prop 2. Le groupe bG est un groupe abélien fini de même ordre que G.

• Preuve. On raisonne par récurrence sur l’ordre n de G, le cas n = 1 étanttrivial

1

116


• Si n > 2. Si G est cyclique, on conclut par le premier exemple, sinon, on choisitun s.g. cyclique H non trivial de G

• D’après la remarque,�� bG�� =

�� bH�� ·��[G/H

��

• Par HR, |G/H| =��[G/H

�� et par l’exemple utile�� bH�� = H

• Théorème. L’application " : x 2 G 7! [� 7! �(x)] 2 bbG est un isomorphisme.

• Preuve. Par cardinalité (d’après le prop 2), il suffit de m.q. que " est injectif

• Soit x 6= 1 un élément de G, m.q. il existe � 2 bG tq �(x) 6= 1

• On considère H le groupe cyclique engendré par x, d’après l’exemple, il existeun caractère � de H tq �(x) 6= 1

• La prop 1 permet alors de prolonger � à G ce qui conclut

Remarques? Le but de toute cette théorie est démontrer le théorème de la progression arith-

métique de Dirichlet? Ceci permet aussi de déduire le théorème de structure des groupes abéliens finis

Leçons concernées� 107 : Représentations et caractères� 110 : Caractères d’un groupe abélien fini et TFD

Références� Serre : Cours d’Arithmétique, p.103-107

2

117


Baire et Applications

Théorème de Baire : Dans un espace métrique complet, toute intersectiondénombrable d’ouverts denses est dense.

• On va montrer que pour tout ouvert non vide V , V intersecte \On

• Par rec on construit une suite (Bn) tq :

(i) 8n 2 N, Bn est une boule fermée de rayon rn 2]0,2�n]

(ii) B0 ⇢ O0 \ V

(iii) 8n 2 N, Bn+1 ⇢ On+1 \�

Bn

• On initialise car O0 \ V ouvert non vide

• Si B0, . . . ,Bn construites, on construit Bn+1 car On+1 \�

Bn ouvert non vide• On a construit une suite décroissante de fermés non vides dont le diamètre tend

vers 0 dans un espace complet, donc il existe x 2 \Bn

• En effet, on peut prendre xn dans chaque Bn

• La suite (xn) est de Cauchy (car le diamètre tend vers 0), donc cv dans l’espacecomplet

• Les Bn étant fermés, elle cv en fait dans l’intersection

• On vérifie que x 2 V et x 2 \On

Applications

Un espace vectoriel normé à base dénombrable n’est pas complet.

• Soit (ei) une base de E, on pose Fn := Vect(e0, . . . ,en)

• On vérifie que Fi est un fermé d’intérieur vide car s’il contenait une boule ilcontiendrait l’espace car il est invariant par homothéties

• Donc si E était complet, on applique Baire pour avoir que [Fi est d’intérieurvide, mais [Fi = E ce qui est absurde

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Une fonction dérivée sur un espace complet est continue sur un ensembledense.

• Soient E et F deux espaces métriques avec E complet, et soit (fn) une suited’applications continues qui cv simplement vers f : E ! F

• Posons Fn," = {x 2 E, 8p > n, d(fn(x),fp(x)) 6 "}

• On a ⌦" := [�

Fn," ouvert dense

• Fn," est fermé comme intersection de fermés (on fixe p et on prend l’intersection)• Par cv des fn, [Fn," = E

• Donc ⌦" est un ouvert dense dans E complet

• En effet, G := E \ ([n

�Fn) est d’intérieur vide car :

• Pour tout n, G \ Fn d’intérieur vide• G = [n(G \ Fn) dans un espace de Baire

• Pour tout x0 2 ⌦", il existe V voisinage de x0 tel que pour tout x 2 V , d(f(x0),f(x)) 63"

• Soit x0 2 ⌦", soit n tq x0 2�

Fn,"

• Or fn continue, donc on peut trouver V ⇢�

Fn," tq pour tout x 2 V , d(fn(x0),fn(x)) 6"

• On utilise le fait que V ⇢ Fn,", puis on fait tendre p ! 1 pour x et n fixés eton trouve d(fn(x),f(x)) 6 "

• On conclut avec une double IT

• f est continue en tout point d’un ouvert dense

• Posons R := \n⌦1/n, ouvert dense d’après le th de Baire• Si x0 2 R, les résultats précédents donnent un voisinage V de x0 2 ⌦1/n tq pour

tout x 2 V , d(f(x),f(x0)) 6 3/n 6 " pour n suffisamment grand, donc f estcontinue en x0

• fn(x) =f(x+ 1

n)�f(x)1n

donne une suite de fonctions qui cv simplement vers f 0 : R !R

Théorème de Banach-Steinhaus : Soit X un espace de Banach, Y unespace normé et ('n) ⇢ L (X,Y ). Si pour tout x 2 X, supn k'n(x)k < 1,alors supn k'nk < 1.

• Si par contraposée supn k'nk = 1• Posons !k := [n{x 2 X, k'n(x)k > k} qui est ouvert• !k est dense :

• Soit u 2 X \ !k, soit " > 0

2

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• Par hypothèse, il existe n tq k'nk > 4k/", soit donc v tq kvk = 1 et k'n(v)k >4k/"

• Posons w := u + "2v

• k'n(w)k > "2k'n(v)k � k'n(u)k > k

• Donc w 2 B(u,") \ !k donc ok

• Par Baire il existe u 2 \k!k

• Alors supn k'n(u)k = 1

Remarques? App (de Banach-Steinhaus) : il existe de fcts différentes de leur série de Fourier? App (de Banach-Steinaus) : un sev fermé de (C0([0,1]), k.k1) est de dim finie

Leçons concernées� 202 : Parties denses� 205 : Espaces complets� 208 : Espaces vectoriels normés� 228 : Continuité et dérivabilité des fonctions d’une variable réelle� 241 : Suites et séries de fonctions

Références� Gourdon : Analyse, p.398-399� Willem : Analyse fonctionnelle élémentaire, p.32

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SAGEsseMarguerite Flammarionavec l’aide d’Elio Joseph

Table des matières

Table des matières 1

1 Programme 31.1 Programme commun oraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Programme commun modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Programme Option C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Méthode pour l’oral 52.1 Attendus du Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Pendant la préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Organisation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Au tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Modélisation 83.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Effectivité, efficacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Contenu mathématique 114.1 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Polynômes à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Codes correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Quelques algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Sage 145.1 Travail en amont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Avoir des idées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Les mettre en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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SAGEsse CRCG

IndroductionVoulez-vous être agrégé de mathématiques ?

� oui � non

Désirez-vous avoir une note respectable à l’oral de modélisation ?

� oui � non

Suivez-vous l’option C, algèbre et calcul formel ?

� oui � non

Si vous avez répondu oui à au moins une des questions précédentes, nous vousconseillons de lire les quelques pages qui suivent. Mais avant de vous lancer dans lesprofondeurs du sujet, voici quelques conseils généraux, gratuits et utiles pour bienvous préparer.

1. Travaillez.2. Détendez-vous. Il est interdit de dépasser sa limite de stress acceptable. Man-

gez du chocolat sous une couverture douce. Ecoutez de la musique.3. Soyez beau 1.4. Soyez heureux. C’est le plus important, non ?

1. Une étude a montré que les professeurs donnaient en moyenne de meilleures notes aux élèvesqu’ils considéraient comme beaux. Ainsi, si vous avez de mauvaises notes, rassurez-vous : vousn’êtes pas forcément mauvais, vous êtes peut-être juste moche.

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SAGEsse CRCG

1 ProgrammeDans cette partie, on rappelle le programme officiel des oraux pour la session 2017.

1.1 Programme commun oraux

- Résolution de systèmes d’équations linéaires ; Normes subordonnées, notion deconditionnement, rayon spectral, décomposition LU , méthode de Jacobi. Exempled’opérateurs aux différences finies. Lien avec l’optimisation de fonctionnelles convexesen dimension finie, méthode du gradient à pas constant pour les systèmes linéairessymétriques définis positifs, moindres carrés. Recherche d’éléments propres : mé-thode de la puissance, décomposition en valeurs singulières, théorème de Gershgörin-Hadamard.

- Méthode numérique pour la résolution de systèmes d’équations non linéaires. Mé-thode de Newton : définition, vitesse de convergence, estimation de l’erreur.

- Intégration numérique : méthode des rectangles, des trapèzes, de Simpson ; esti-mation de l’erreur.

- Équations différentielles ordinaires. Stabilité des points critiques. Aspects numé-riques du problème de Cauchy : méthodes d’Euler explicite et implicite, consis-tance, stabilité, convergence, ordre.

1.2 Programme commun modélisation

- Calcul numérique et symbolique. Utilisation des logiciels au programme : simu-lation, intégration, différentiation, calcul de sommes et d’intégrales, résolutiond’équations algébriques et différentielles.

- Probabilités discrètes : tirages uniformes ; échantillons.- Chaînes de Markov homogènes à espace d’états finis : définition, irréductibilité,apériodicité.

- Validation et précision des résultats. Méthodes numériques : notion de condition-nement des systèmes linéaires. Précision du schéma numérique d’Euler explicite àpas constant. Moyenne et variance empirique. Méthode de Monte Carlo : vitessede convergence ; applications au calcul d’intégrales multiples (exemple : calcul devolumes).

- Moindres carrés linéaires (sans contraintes).

1.3 Programme Option C

- Représentation et manipulation des entiers longs, flottants multiprécision, nombrescomplexes, polynômes, éléments de Z/nZ et des corps finis. Addition, multiplica-tion, division, extraction de racine carrée.

- Algorithmes algébriques élémentaires. Exponentiation (n → an, pour n ∈ N),algorithme d’Euclide étendu. Test de primalité de Fermat.

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SAGEsse CRCG

- Matrices à coefficients dans un corps. Méthode du pivot de Gauss, décompositionLU . Calcul du rang, du déterminant. Exemples de codes correcteurs linéaires :codes de répétition, codes de Hamming binaires.

- Matrices à coefficients entiers. Opérations élémentaires sur les lignes et les co-lonnes. Application aux systèmes linéaires sur Z et aux groupes abéliens de typefini.

- Polynômes à une indéterminée. Évaluation (schéma de Horner), interpolation (La-grange, différences finies). Localisation des racines dans R ou C : majoration enfonction des coefficients.

- Polynômes à plusieurs indéterminées. Résultants, élimination ; intersection ensem-bliste de courbes et de surfaces algébriques usuelles.

- Estimation de la complexité des algorithmes précités dans le pire des cas. Aucuneformalisation d’un modèle de calcul n’est exigée.

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2 Méthode pour l’oral

2.1 Attendus du Jury

À l’aide [de Sage], les candidats devront montrer leur capacité à :- mettre en œuvre avec précision et rigueur les concepts et outils mathématiques auprogramme,

- distinguer les représentations exactes ou approchées des objets mathématiques- estimer le coût et les limitations d’algorithmes simples : complexité, précision- analyser la pertinence des modèles.

2.2 Pendant la préparation

On prépare des blocs. On les organise selon un plan ("qualités pédagogiques de miseen forme d’un exposé construit et cohérent").Dans les blocs, on peut mettre :

1. Des commentaires qualitatifs.2. Du contenu mathématique.3. Des résultats obtenus sur Sage.

Conseil : Prendre le temps de faire une introduction claire. Ne pas hésiter à structurerses parties ou à écrire ses méthodes. Faire des jolis schémas/dessins.

Commentaires qualitatifs :

- Motiver l’introduction des modèles (pour des problèmes concrets).- Dégager les comportements qualitatifs du modèle.- Etudier la dépendance vis-à-vis des paramètres.- Etudier l’aptitude du modèle à rendre compte des phénomènes qu’il est censéreprésenter.

- A la fin, proposer un retour sur le modèle (était-il pertinent ?).

Conseil : Ne pas oublier cette partie qui montre qu’on est capable de prendre durecul et qu’on sait utiliser son esprit de synthèse.

Contenu mathématique :

- Faire preuve de rigueur mathématique.- Faire des démonstration.- Ecrire les hypothèses des théorèmes (pas forcément minimales, elles doivent justes’appliquer au contexte).

- Mattre en VALEUR ses connaissances.- Mettre en perspective ses connaissances (ie faire des tuyaux).

Conseil : penser à consulter ses livres ! ! ! Même si on est à l’aise avec le sujet.

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SAGEsse CRCG

Résultats obtenus sur Sage :

- Produire des illustrations (qui illustrent) informatiques pertinentes.- Présenter la méthode utilisée.- Commenter les résultats obtenus.Conseil : Penser à consulter le livre de Sage, qui donnera d’autres idées d’illustra-tions.

2.3 Organisation du temps

Voici une suggestion d’organisation du temps pendant la phase de préparation. Onconsidère qu’elle dure 3h45, à cause des contraintes aux bords.

De h+0h00à h+0h05

5 minutes Lecture du texte "en diagonale" et sélection deslivres.

De h+0h05à h+0h50

45 minutes Première lecture du texte, stylo à la main. Les idéesd’organisent. A la fin de cette phases, choisir troisparties à développer.

De h+0h50à h+1h45

55 minutes Développement de la 1re partie, au propre. Modéliser,illustrer.

De h+1h45à h+2h40

55 minutes Développement de la 2me partie, au propre. Modéli-ser, illustrer.

De h+2h40à h+3h35

55 minutes Développement de la 3me partie, au propre. Modéli-ser, illustrer.

De h+3h35à h+3h45

10 minutes Rédiger l’introduction (rapidement) et écrire le plansur une feuille. Rédiger la conclusion (soigneusement)sur une autre feuille.

Conseil : N’écrire que recto (pas de recto-verso). Agrafer toutes ses feuilles dans lebon ordre.

Remarques :- Ne pas trop persévérer dans des programmes qui ne marchent pas. C’est bien d’êtrepersévérant, mais il faut surtout être tempérant !

- Utiliser Sage dès qu’on a une occasion, mais aussi démontrer tout ce qui est dé-montrable.

- Vous pouvez abandonner une partie que vous aviez prévu de faire, mais essayezde vous forcer à avancer loin.

- Si vous avez fini en avance, prenez un café.

2.4 Au tableau

Bien sûr, on écrit proprement, lisiblement, on soigne sa présentation. Le principalproblème, c’est la place. Les témoignages divergent, mais ne comptez pas trop sur

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le droit d’affacer votre tableau. Ainsi, voici quelques astuces qui peuvent aider :

- Tracer ses traits (droits) séparant les différentes parties du tableau avant de com-mencer sa présentation.

- Ne pas laisser de "blancs" : on ne laisse pas de marge, on écrit jusqu’en bas dutableau.

- On peut effacer l’introduction au moment d’écrire le plan, tout en haut à gauchedu tableau.

D’autres conseils en vrac :

- Ecrire suffisament de mots au tableau, structurer ce qu’on écrit (avec des −, ◦, •,?, etc. selon votre préférence).

- Faire des dessins ou des schémas.- Ne pas présenter sans notes.- Se méfier des erreurs bêtes (avec le stress et la fatigue...).

Enfin, à l’oral, on énonce clairement toutes les motivations, pour que le jury sachetoujours ce qu’on fait, pourquoi, où on va.

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3 ModélisationOn rappelle ici les idées importantes pour faire des commentaires qualitatifs inté-ressants."La ligne directrice de l’option C est dans un premier temps la recherche de l’effec-tivité, puis de l’efficacité.""Expliquer non seulement ce que le texte fait, mais aussi pourquoi il le fait.""Lorsqu’un énoncé du texte affirme l’existence d’un objet (scalaire, vecteur, matrice,élément d’un groupe, entier, polynôme,...), le jury apprécierait que les candidatsmènent la réflexion suivante : peut-on calculer cet objet ? si oui, par quelle(s) mé-thode(s) ? ces méthodes sont-elles efficaces ? quel est leur coût ?"

3.1 Modèle

Qu’est-ce qu’un modèle ? Qu’est-ce qu’un modèle pertinent ?

Dans cette partie, on fait appel à Wikipédia.

Modèle mathématique : c’est une traduction d’une observation dans le but de luiappliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement,en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus en prédictionsou opérations dans le monde réel.Il permet d’analyser des phénomènes réels et de prévoir des résultats à partir del’application d’une ou plusieurs théories à un niveau d’approximation donné.

La modélisation peut s’exercer :- du modèle vers le réel : ce sont les modèles prédictifs (ex : météo).- du réel vers le modèle : ce sont les modèles descriptifs (ex : comptabilité).

Phénomène Causes, contraintes... Lois physiques Observations

Modèle Paramètres Lois mathématiques Résultats

Un modèle est pertinent si :

1. il couvre bien le champ du problème réel : il prend en compte suffisament deparamètres.

2. il est efficace et permet d’obtenir le résultat escompté : description du phé-nomène avec le niveau de détail ou de synthèse souhaité, ou prévisions serévélant justes a posteriori. Il est compatible avec les données et avec notreintuition du phénomène.

3. il est opérationnel : il fournit la solution recherchée sans critères de spécifi-cation inutiles.

4. il est de complexité raisonnable : le résultat est obtenu dans le délai sou-haité.

5. il est réutilisable/ spécifiable : on peut choisir le type de modèle et estimerses paramètres.

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Moyen mnémotechnique : Un modèle est pertinent ssi il prend en compte les bonsParamètres (ni trop ni trop peu), il est Efficace (résultats cohérents), il est deComplexité raisonnable, il est réUtilisable. PÉCU.

3.2 Effectivité, efficacité

Ceci est à retenir, on le répète donc : peut-on calculer cet objet ? si oui, par quelle(s)méthode(s) ? ces méthodes sont-elles efficaces ? quel est leur coût ?

On liste ici les quelques méthodes au programme.

Systèmes d’équations linéaires.

- Méthode de Jacobi : méthode itérative de résolution de Ax = b. Idée : A = M−Navec M inversible, puis xk+1 = M−1Nx + M−1b, converge vers x solution si A està diagonale strictement dominante.

- Méthode du gradient à pas constant : xn+1 = xn −∇f(xn). Convergence lente.- Méthode des moindres carrés linéaires (sans contraintes) : minimiser la sommequadratique des déviations des mesures aux prédictions des valeurs prises par unefonction. En gros c’est des stats.

Recherche d’éléments propres.

- Méthode de la puissance : la suite desAkx

||Akx|| converge vers un vecteur propre

associé à la valeur propre maximale en valeur absolue, sous certaines conditions.- Décomposition en valeurs singulières : A = UΣV ∗ avec U matrice m×m unitaire,V matrice n×n unitaire et Σ matrice m×n diagonale à coefficients réels positifs.

- Théorème de Gershgörin-Hadamard : borner les valeurs propres d’une matricecarrée (utilisation : matrices stochastiques).

Equations non-linéaires.

- Méthode de Newton : xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn). Convergence : quadratique (pour une

fonction convexe). Estimation de l’erreur : en+1 = O(e2n) si f est deux fois dérivable.

Intégration numérique.

On divise notre intervalle en n parts égales.

- Méthode des rectangles : estimation de l’erreur : O(1/n).- Méthode des trapèzes : estimation de l’erreur : O(1/n2).- Méthode de Simpson : approximation par des paraboles. Estimation de l’erreur :O(1/n4).

- Méthode de Monte Carlo : techniques probabilistes. Estimation de l’erreur :O(1/√n).

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Equations différentielles.

- Méthodes d’Euler explicite : méthode numérique de résolution de u′ = f(x,u),converge bien si le pas est suffisamment petit.

- Méthodes d’Euler implicite : plus stable qu’Euler explicite.- Méthode des différences finies : résolution d’équations différentielles, Taylor.

Arithmétique.

- Exponentiation : exponentiation rapide. Coût : O(log n) multiplications pour cal-culer an.

- Algorithme d’Euclide étendu : Calcul du pgcd et des coefficients de Bézout.- Test de primalité de Fermat : réciproque du petit théorème de Fermat. Si p estcomposé, alors ap−1 est peu probablement congru à 1 modulo p pour une valeurarbitraire de a.

Calcul matriciel.

- Méthode du pivot de Gauss : pour la résolution des systèmes linéaires. Suite d’opé-rations élémentaires. Complexité : O(n3) où n est la taille de la matrice.

- Décomposition LU : Dérivée de la méthode de Gauss.- Calcul du rang : avec le pivot de Gauss. Coût : O(n3).- Calcul du déterminant : Coût : O(n3).

(en vrai, tout ceci est en O du produit de matrice, qui est lui même en O(n2,8)environ)

Polynômes à une indéterminée.

- Schéma de Horner : évaluation : P (x) = ((((ax + b)x + c)x + d)x + e)x + f .- Interpolation de Lagrange : Il existe un unique polynôme de degré n qui interpolen + 1 points donnés.

- Localisation des racines dans R ou C : majoration en fonction des coefficients.

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4 Contenu mathématiqueOn passe l’agrégation de mathématiques, il est donc approprié de "gérer" en ma-thématiques. On rappelle ici quelques points qui semblent importants aux yeux dujury. Pour le reste, on consultera des livres.Remarque préliminaire : les longs calculs sont faits par Sage, rarement au tableau("le jury est parfois surpris de voir des candidats développer de longs et fastidieuxcalculs au tableau alors que l’utilisation de l’outil informatique leur aurait permis degagner en temps et en clarté").

4.1 Corps finis

Programme spécifique : Représentation et manipulation des entiers longs, flottantsmultiprécision, nombres complexes, polynômes, éléments de Z/nZ et des corps finis.Addition, multiplication, division, extraction de racine carrée."Le jury constate une progression dans les connaissances théoriques des candidatssur les corps finis. Malgré cela, le calcul effectif dans ces corps n’est pas toujoursmaîtrisé."

Penser à consulter le livre de Sage sur les corps finis. Sage fait très bien des calculssur les corps finis.Ne pas hésiter à consulter le Perrin pendant la préparation pour se préparer àd’éventuelles questions.

4.2 Polynômes à plusieurs variables

Programme spécifique : Polynômes à une indéterminée. Évaluation (schéma de Hor-ner), interpolation (Lagrange, différences finies). Localisation des racines dans R ouC : majoration en fonction des coefficients. Polynômes à plusieurs indéterminées. Ré-sultants, élimination ; intersection ensembliste de courbes et de surfaces algébriquesusuelles."La connaissance du résultant semble avoir régressé par rapport aux sessions précé-dentes. Si les candidats interrogés sur le sujet sont en général capables d’en donnerune définition, ses propriétés élémentaires et surtout son utilisation pour éliminerdes variables dans un système d’équations polynomiales semble très floue pour denombreux candidats. Beaucoup de candidats le voient comme un critère d’existenced’un facteur commun et ne pensent plus (surtout dans le cas des polynômes à unevariable) au PGCD qui est un objet bien plus simple à appréhender."

[Insérer ici le cours de Cyril sur le résultant.]Polycopié de Michel Coste sur le résultant.Elimination.

4.3 Codes correcteurs

Programme spécifique : Matrices à coefficients dans un corps. Méthode du pivotde Gauss, décomposition LU . Calcul du rang, du déterminant. Exemples de codes

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correcteurs linéaires : codes de répétition, codes de Hamming binaires."Le jury observe que de nombreux candidats n’ont aucune connaissance sur les codescorrecteurs d’erreurs. Un bon nombre d’entre eux font d’ailleurs la confusion entrecodes correcteurs d’erreurs et cryptographie. Rappelons que les codes correcteurs sontune partie limitée du programme, et que très peu de connaissances sont exigibles (etexigées). Toutefois, il est nécessaire de s’y être confronté pour se familiariser avecles problématiques sous-jacentes, à savoir, typiquement qu’un bon code correcteur sedécrit de façon compacte (et est donc en général linéaire), a une grande dimensionet grande distance minimale (par rapport à sa longueur) et, aussi et surtout unalgorithme de décodage efficace - rappelons que ce second point n’est pas vrai d’uncode linéaire "quelconque". Il faut avoir déjà un peu étudié le sujet pour comprendreles questions soulevées par presque tout texte sur les codes. Signalons enfin que laméconnaissance des corps finis est souvent rédhibitoire pour ce sujet."

[Référence : Objectif Agrégation.]

La chaîne de codage comprend trois étapes :1. CODAGE : Le message d’origine est codé. On essaye de limiter l’information

redondante (pour gagner temps/mémoire).2. TRANSMISSION : Il survient des erreurs aléatoires lors de la transmisison.3. DECODAGE : Le message erroné est décodé. On essaye d’avoir un algorithme

de décodage efficace.On compare ensuite le message décodé et le message d’origine.

Alphabet : Fq.Code correcteur de taille n : sous-ensemble de Fq

n.Code linéaire de taille n et de dimension m : sous-espace vectoriel de Fq

n de di-mension m.

Il existe plusieurs sortes de codes. On utilise le plus souvent des codes binaires(q = 2). Concrètement, le codage et le décodage se font en multipliant par unematrice génératrice.

Bit de parité.

On ajoute un dernier bit au message, qui est la somme de tous les bits du messaged’origine.

Codes de répétition.

On répète un ou plusieurs bits du message un certain nombre de fois.

Code de Hamming.

Par exemple, le code de Hamming de taille 7 permet de transmettre 4 bits en ajou-tant seulement 3 bits suplémentaires.

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Distance de Hamming : la distance de Hamming entre deux mots x et y de Fnq est

le nombre de coefficents de x qui diffèrent de ceux de y.On s’intéresse notamment à la distance minimale entre tous les mots du code.

4.4 Quelques algorithmes

"Si l’algorithme d’Euclide est bien connu des candidats, la plupart d’entre eux nesavent obtenir des relations de Bézout qu’en effectuant l’algorithme d’Euclide clas-sique puis en procédant à une laborieuse "remontée". Rappelons que l’algorithmed’Euclide étendu est explicitement au programme de l’option."

Facile : il suffit de les chercher dans le livre de Sage. Par contre, il peut être instructifd’utiliser au moins une fois l’algorithme d’Euclide étendu avant l’oral. De mémoire,c’est bien expliqué sur Wikipédia.

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5 SageGrâce à Sage, illustrons joliment et de manière pertinente notre exposé.

5.1 Travail en amont

On ne découvre pas Sage le jour de l’oral.Connaitre absolument parfaitement les listes et les adjonctions de listes.Etre sûr de savoir écrire une boucle for, une boucle if, définir une procédure.

5.2 Avoir des idées

Exemple d’exposé Sage type (peut servir si vous avez du mal à avoir des idées) :

1. Algorithmes naïfs :(a) Implémentation de l’algorithme naïf(b) Test de l’algorithme sur des exemples(c) Calcul de la complexité de l’algorithme naïf

2. Méthode de l’article en utilisant des fonctions Sage :(a) Implémentation de la méthode de l’article(b) Test de la méthode sur des exemples(c) Calcul de la complexité de la méthode de l’article

3. Tracer sur un même graphique (en utilisant plusieurs couleurs) :(a) Complexité théorique de l’algorithme naïf(b) Complexité expérimentale de l’algorithgme naïf(c) Complexité théorique de la méthode de l’article(d) Complexité expérimentale de la méthode de l’article

Méga astuce : tracer les complexités en faisant varier les échelles et les paramètres.Conseil : représenter graphiquement un maximum d’éléments du texte (pédagogiiiie).

Remarque sur la complexité

L’étude la complexité montre qu’on sait calculer, qu’on prend du recul sur la per-tinence du modèle et on peut en tracer un joli graphique. Donc la complexité c’estTOUT BENEF ! ! !"Les attentes du jury en termes de complexité sont limitées mais il est attendudes candidats qu’ils sachent estimer le coût de certaines procédures classiques auprogramme : opérations sur les entiers et dans Z/nZ, sur les polynômes (multipli-cation, division euclidienne, évaluation, interpolation), pivot de Gauss, algorithmed’Euclide,..."Ainsi on fait des graphiques représentant la complexité en nombre d’opérations ouen temps en fonction de la taille du paramètre. On pense à faire des moyennes pourobtenir des résultats plus précis.

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5.3 Les mettre en pratique

Premièrement, dès qu’on veut faire quelque chose sur Sage, on va voir dans le livrede SAGE. C’est presque un réflexe.

Ensuite, quand on veut faire un algorithme sur un objet, il vaut mieux (en géné-ral) écrire une procédure puis l’appliquer plutot que de l’appliquer directement surl’objet. Cela laisse la possibilité de réutiliser la procédure ultérieusement.Attention, cette règle n’est pas absolue, il faut se poser la question. Il faut surtoutfaire des PETITES procédure qui marchent plutot qu’une grosse qui marche pas(pour des raisons évidentes).

Penser à dire quelle méthode sage utilise quand on le sait, et pourquoi cette méthodeest limitée quand on le voit (par exemple aux points singuliers des implicit plot).

Enfin, il faut faire attention aux parents des variables ( A.parent() ).

Voici la liste des fonction "pédagogiques" :

◦ implicit plot◦ plot◦ list plot◦ plot (pour une matrice)◦ pretty print (pour une matrice)◦ expand

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SAGEsse CRCG

ConclusionSi vous avez lu toutes ces bêtises, vous devriez déjà avoir une bonne idée de l’es-prit dans lequel il faut aborder l’oral de Modélisation, option C. Mais si vous avezpeur d’oublier des choses importantes, nous vous offrons un petit aide-mémoire (ci-dessous), que vous pouvez relire peu de temps avant votre oral, pour vous remettreles idées au clair.

Souriez, ayez l’air intelligent, soyez pédagogique et précis !Bon courage ! :)

Conseils pour l’oral de ModélisationPendant l’année :

On travaille bien les notions du programme en amont. On apprend à maîtriser lesfonctions de Sage les plus utiles.

Pendant la préparation de l’exposé :

- Commentaires qualitatifs : on introduit des modèles, on analyse leur pertinence(PÉCU).- Contenu mathématique : on montre qu’on sait faire des maths. On utilise des livres.- Résultats obtenus sur Sage : on explique la méthode, on illustre, on commente.

On prépare bien l’introduction, le plan et la conclusion au brouillon.

Pendant l’oral :

On est pédagogique. On écrit des titres, des mots clés, on fait des schémas.

16

136

Agreg Option C Oral 2elio.joseph

28/03/2017

var ( 'x' , 'y' )(x, y)

# Premier exemple

Dess in=p lo t ( x ^2 -1 , ( -2 , 2 ) , t h i c kne s s=5)f o r T in srange (11) :

t=N( -2/10*T+2/10*(10 -T) )Dess in+=plo t (2* t *(x - t )+t ^2 -1 , ( -2 ,2 ) , c o l o r=' red ' )

Dess in . show ( )

# Deuxi ème exemple

de f e chan t i l l onnage (a , b , n ) :L=[ ]f o r T in srange (n) :

t=N( a /(n - 1 ) *(n -1 -T)+b/(n - 1 ) *T)L . append ( t )

re turn L

1

137

e chan t i l l onnage (1 , 3 , 10 )[1.00000000000000, 1.22222222222222, 1.44444444444444, 1.66666666666667, 1.88888888888889,2.11111111111111, 2.33333333333333, 2.55555555555556, 2.77777777777778, 3.00000000000000]

d e s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )L=echan t i l l onnage ( - 2 , 2 , 10 )f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t ( ( x - t )^2+(y - t ^2) ^2 -4 , ( -4 , 4 ) , ( - 2 , 6 ) )d e s s i n . show ( )

R.<X,Y,T>=PolynomialRing (QQ, 3 ) ; RMultivariate Polynomial Ring in X, Y, T over Rational Field

F=(X-T) **2+(Y-T**2) **2 -4 ; Fprime = d i f f (F ,T)

r e s = F. r e s u l t a n t ( Fprime ,T) /16 ; r e s16*X^6 + 16*X^4*Y^2 - 40*X^4*Y - 32*X^2*Y^3 - 191*X^4 - 96*X^2*Y^2 + 16*Y^4 + 30*X^2*Y -136*Y^3 + 688*X^2 + 225*Y^2 + 544*Y - 1156

var ( 'X' , 'Y' )(X, Y)

res_formel=16*X^6 + 16*X^4*Y^2 - 40*X^4*Y - 32*X^2*Y^3 - 191*X^4 - \96*X^2*Y^2 + 16*Y^4 + 30*X^2*Y - 136*Y^3 + 688*X^2 + 225*Y^2 + \544*Y - 1156

imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 4 , 4 ) , ( - 2 , 6 ) )

2

138

tmp = de s s i n+imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 4 , 4 ) , ( - 2 , 6 ) , c o l o r=' red ' ) ; \tmp . show ( )

# Tro i s i ème exemple

3

139

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )L=echan t i l l onnage ( - 2 , 2 , 10 )f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t (y - t - ( x - t ) ^2 , ( - 4 , 4 ) , ( - 2 , 6 ) )d e s s i n . show ( )

R.<X,Y,T>=PolynomialRing (QQ, 3 )F=Y-T- (X-T) ^2; Fprime = d i f f (F ,T)r e s = F. r e s u l t a n t ( Fprime ,T) ; r e s-4*X + 4*Y + 1

var ( 'X' , 'Y' ) ;res_formel = -4*X + 4*Y + 1imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 4 , 4 ) , ( - 2 , 6 ) )(X, Y)

4

140

tmp = de s s i n+imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 4 , 4 ) , ( - 2 , 6 ) , c o l o r=' red ' ) ; \tmp . show ( )

# Exemple de l 'é c h e l l e qui tombe

5

141

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )L=echan t i l l onnage (0 , 1 , 10 )f o r t in L :

x_A=ty_B=1- tde s s i n+=imp l i c i t_p l o t ( - y*x_A- (y_B) *x+x_A*y_B, ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 ) )

d e s s i n . show ( )

R.<X,Y,T>=PolynomialRing (QQ, 3 )F=-Y*T- ( 1 -T) *X+T*(1 -T) ; Fprime = d i f f (F ,T)r e s = F. r e s u l t a n t ( Fprime ,T) ; r e sX^2 - 2*X*Y + Y^2 - 2*X - 2*Y + 1

var ( 'X' , 'Y' ) ;res_formel = X^2 - 2*X*Y + Y^2 - 2*X - 2*Y + 1imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 ) )(X, Y)

6

142

tmp = de s s i n+imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 1 ) , c o l o r=' red ' ) ; tmp . \show ( )

# Exemple de l a poda i re de l a parabo le standard

7

143

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )+point ( ( 1 , 1 ) , c o l o r='orange ' , s i z e =60)L=echan t i l l onnage ( - 2 , 2 , 20 )f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t ( ( x - t )^2+(y - t ^2) ^2 -( t - 1 ) ^2 -( t ^2 -1) ^2 , ( -4 , 4 )\, ( - 1 . 6 , 6 ) )


R.<X,Y,T>=PolynomialRing (QQ, 3 )F=(X-T)^2+(Y-T^2) ^2 -(T- 1 ) ^2 -(T^2 -1) ^2 ; Fprime = d i f f (F ,T)r e s = F. r e s u l t a n t ( Fprime ,T) /8 ; r e s2*X^2*Y^2 + 2*Y^4 - 3*X^2*Y - 4*Y^3 + X^2 - 2*X*Y - 2*Y^2 + 2*X + 9*Y - 5

var ( 'X' , 'Y' ) ;res_formel = 2*X^2*Y^2 + 2*Y^4 - 3*X^2*Y - 4*Y^3 + X^2 - 2*X*Y - 2*Y\

^2 + 2*X + 9*Y - 5imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 4 , 4 ) , ( - 1 . 6 , 6 ) )(X, Y)

8

144

tmp = de s s i n+imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 4 , 4 ) , ( - 1 . 6 , 6 ) , c o l o r=' red ' ) ; \tmp . show ( )

# Exemple de l a parabo le de t i r

9

145

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )L=echan t i l l onnage (0 ,2* pi , 1 0 )f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t ( y+10/2*(1+tan ( t ) ^2)*x^2 -x* tan ( t )\, ( - 0 . 5 , 0 . 5 ) , ( - 0 . 5 , 0 . 1 5 ) )


R.<X,Y,T>=PolynomialRing (QQ, 3 )F=Y+5*(1+T^2)*X^2 -X*T; Fprime = d i f f (F ,T)r e s = F. r e s u l t a n t ( Fprime ,T) /5 ; r e s100*X^6 + 20*X^4*Y - X^4

var ( 'X' , 'Y' ) ;res_formel = 100*X^6 + 20*X^4*Y - X^4imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 0 . 5 , 0 . 5 ) , ( - 0 . 5 , 0 . 1 5 ) )(X, Y)

10

146

tmp = de s s i n+imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 0 . 5 , 0 . 5 ) , ( - 0 . 5 , 0 . 1 5 ) , c o l o r='\red ' ) ; tmp . show ( )

# La néphro ï de de Huygens

11

147

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )+c i r c l e ( ( 0 , 0 ) ,1 , c o l o r=' red ' )L=echan t i l l onnage ( - 1 , 1 , 10 )f o r t in L :

f o r u in L :de s s i n+=imp l i c i t_p l o t (2* t *u*(x - t ) - ( t ^2 -u^2) *(y - u) , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) \

, ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) )d e s s i n . show ( )

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )+c i r c l e ( ( 0 , 0 ) ,1 , c o l o r=' red ' )L=echan t i l l onnage ( - pi , pi , 1 2 )f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t (2* cos ( t ) * s i n ( t ) *(x - cos ( t ) ) - ( cos ( t ) ^2 - s i n ( t\) ^2) *(y - s i n ( t ) ) , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) )d e s s i n+=l i n e ( [ ( 1 . 1 , s i n ( t ) ) , ( cos ( t ) , s i n ( t ) ) ] , c o l o r='purple ' )


12

148

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )+c i r c l e ( ( 0 , 0 ) ,1 , c o l o r=' red ' )L=echan t i l l onnage ( - pi , pi , 1 00 )f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t (2* cos ( t ) * s i n ( t ) *(x - cos ( t ) ) - ( cos ( t ) ^2 - s i n ( t\) ^2) *(y - s i n ( t ) ) , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) )


13

149

var ( ' t ' , 'u' )pret ty_pr int ( (2* t *u*(x - t ) - ( t ^2 -u^2) *(y - u) ) . subs ( t==(1- t ^2)/(1+ t ^2) , \

u==(2*t ) /(1+ t ^2) ) )(t, u)

−(

y − 2 tt2 + 1

)((t2 − 1)2

(t2 + 1)2− 4 t2

(t2 + 1)2

)−

4(t2 − 1

)t(x + t2−1

t2+1

)

(t2 + 1)2

P=-(y*(1+t ^2) -2* t ) * ( ( t ^2 -1) ^2 -4* t ^2) -4*( t ^2 -1) * t *((1+ t ^2)*x+t ^2 -1) ; \P

-4*(t^2 + (t^2 + 1)*x - 1)*(t^2 - 1)*t - ((t^2 - 1)^2 - 4*t^2)*((t^2 + 1)*y - 2*t)

P=expand (P) ; P-t^6*y - 4*t^5*x - 2*t^5 + 5*t^4*y - 4*t^3 + 5*t^2*y + 4*t*x - 2*t - y

pret ty_pr int (P)−t6y − 4 t5x − 2 t5 + 5 t4y − 4 t3 + 5 t2y + 4 tx − 2 t − y

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )+c i r c l e ( ( 0 , 0 ) ,1 , c o l o r=' red ' )L=echan t i l l onnage ( -30 ,30 ,200)f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t ( - t ^6*y - 4* t ^5*x - 2* t ^5 + 5* t ^4*y - 4* t ^3\+ 5* t ^2*y + 4* t *x - 2* t - y , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) )


14

150

R.<X,Y,T>=PolynomialRing (QQ, 3 )F=-T^6*Y-4*T^5*X-2*T^5+ 5*T^4*Y - 4*T^3 + 5*T^2*Y + 4*T*X - 2*T - Y; \

Fprime = d i f f (F ,T)r e s = F. r e s u l t a n t ( Fprime ,T) /4194304; r e s-64*X^10*Y - 320*X^8*Y^3 - 640*X^6*Y^5 - 640*X^4*Y^7 - 320*X^2*Y^9 - 64*Y^11 + 48*X^8*Y +192*X^6*Y^3 + 288*X^4*Y^5 + 192*X^2*Y^7 + 48*Y^9 - 12*X^6*Y - 9*X^4*Y^3 + 18*X^2*Y^5 +15*Y^7 + X^4*Y + 2*X^2*Y^3 + Y^5

gcd ( r e s . c o e f f i c i e n t s ( ) )1

var ( 'X' , 'Y' ) ;res_formel = -64*X^10*Y - 320*X^8*Y^3 - 640*X^6*Y^5 - 640*X^4*Y^7 - \

320*X^2*Y^9 - 64*Y^11 + 48*X^8*Y + 192*X^6*Y^3 + 288*X^4*Y^5 + \192*X^2*Y^7 + 48*Y^9 - 12*X^6*Y - 9*X^4*Y^3 + 18*X^2*Y^5 + 15*Y^7\+ X^4*Y + 2*X^2*Y^3 + Y^5

env=imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) , ( - 1 . 1 , 1 . 1 ) , c o l o r=' red ' ) ; env\. show ( )

(X, Y)

15

151

tmp = de s s i n+env ; tmp . show ( )

# Lorsque l ' enveloppe e s t une conique

var ( 'x_MF' , 'y_MF' , 'x_F' , 'y_F' , 'x_M' , 'y_M' , ' t ' )

16

152

(x_MF, y_MF, x_F, y_F, x_M, y_M, t)

F=(x_MF*(x -x_M) -y_MF*(y -y_M) ) . subs (x_MF==(x_F-x_M) ,y_MF==(y_F-y_M) ) ; \F

(x - x_M)*(x_F - x_M) - (y - y_M)*(y_F - y_M)

pretty_pr int (F . subs (x_M==(1- t ^2)/(1+ t ^2) ,y_M==(2*t ) /(1+ t ^2) ) )(x +

t2 − 1

t2 + 1

)(xF +

t2 − 1

t2 + 1

)−(

y − 2 tt2 + 1

)(yF − 2 t

t2 + 1

)

F=(x * ( t ^2 + 1) + ( t ^2 - 1) ) *(x_F * ( t ^2 + 1) + ( t ^2 - 1) ) - ( y * (\t ^2 + 1) - 2* t ) *(y_F * ( t ^2 + 1) - 2* t ) ; F

(t^2 + (t^2 + 1)*x - 1)*(t^2 + (t^2 + 1)*x_F - 1) - ((t^2 + 1)*y - 2*t)*((t^2 + 1)*y_F -2*t)

(x_F,y_F) =(1/2 ,1/3)

de s s i n=point ( ( 0 , 0 ) )+c i r c l e ( ( 0 , 0 ) ,1 , c o l o r=' red ' )+point ( (x_F,y_F) ,\c o l o r='orange ' , s i z e =60)

L=echan t i l l onnage ( -6 , 6 , 200)f o r t in L :

d e s s i n+=imp l i c i t_p l o t ( ( t ^2 + ( t ^2 + 1) *x - 1) *( t ^2 + ( t ^2 + 1) *\x_F - 1) - ( ( t ^2 + 1) *y - 2* t ) * ( ( t ^2 + 1) *y_F - 2* t ) , ( - 2 , 2 )\, ( - 2 , 2 ) )


R.<X,Y,T>=PolynomialRing (QQ, 3 )

17

153

F=(T^2 + (T^2 + 1) *X - 1) *(T^2 + (T^2 + 1) *x_F - 1) - ( (T^2 + 1) *Y -\2*T) *( (T^2 + 1) *y_F - 2*T) ; Fprime = d i f f (F ,T)

r e s = F. r e s u l t a n t ( Fprime ,T) *2187/2; r e s-314928*X^7 - 69984*X^6*Y - 972000*X^5*Y^2 - 57024*X^4*Y^3 - 999216*X^3*Y^4 +95904*X^2*Y^5 - 342144*X*Y^6 + 82944*Y^7 + 1574640*X^6 - 2379456*X^5*Y - 3281472*X^4*Y^2 -2871936*X^3*Y^3 - 4365360*X^2*Y^4 + 2244672*X*Y^5 - 705024*Y^6 - 5942808*X^5 +2059344*X^4*Y + 16990344*X^3*Y^2 - 4282992*X^2*Y^3 - 12230352*X*Y^4 + 3152160*Y^5 +5703696*X^4 + 1365984*X^3*Y + 21725064*X^2*Y^2 + 13196448*X*Y^3 - 9749520*Y^4 +2619621*X^3 + 5700762*X^2*Y - 8193648*X*Y^2 + 12504976*Y^3 - 26357643*X^2 - 7475868*X*Y -7381512*Y^2 + 4572927*X - 16394110*Y + 20014119

gcd ( r e s . c o e f f i c i e n t s ( ) )1

var ( 'X' , 'Y' ) ;res_formel = -314928*X^7 - 69984*X^6*Y - 972000*X^5*Y^2 - 57024*X^4*\

Y^3 - 999216*X^3*Y^4 + 95904*X^2*Y^5 - 342144*X*Y^6 + 82944*Y^7 +\1574640*X^6 - 2379456*X^5*Y - 3281472*X^4*Y^2 - 2871936*X^3*Y^3 \

- 4365360*X^2*Y^4 + 2244672*X*Y^5 - 705024*Y^6 - 5942808*X^5 + \2059344*X^4*Y + 16990344*X^3*Y^2 - 4282992*X^2*Y^3 - 12230352*X*Y\^4 + 3152160*Y^5 + 5703696*X^4 + 1365984*X^3*Y + 21725064*X^2*Y^2\+ 13196448*X*Y^3 - 9749520*Y^4 + 2619621*X^3 + 5700762*X^2*Y - \8193648*X*Y^2 + 12504976*Y^3 - 26357643*X^2 - 7475868*X*Y - \7381512*Y^2 + 4572927*X - 16394110*Y + 20014119

env=imp l i c i t_p l o t ( res_formel , ( - 2 , 2 ) , ( - 2 , 2 ) , c o l o r=' red ' ) ; env . show ( )(X, Y)

18

154

tmp = de s s i n+env ; tmp . show ( )

19

155

Algèbre 101

Groupe opérant sur un ensemble. E et A

Leçon préparée en 3h, sous les conditions de l’examen.

1 Généralités et exemples variés

1.1 Les deux définition

Définition 1 Un groupe G agit sur un ensemble X si :(i) 8g,h 2 G, 8x 2 X, g · (h · x) = (gh) · x ;(ii) 8x 2 X, e · x = x.

Exemple 1 Z agit sur R de deux manières :• n · x = x + n ;• n· = (�1)nx.

Théorème 1 La donnée d’une action est équivalente à la donnée d’un morphismeG ! S(X). En effet, à une action on fait correspondre le morphisme g 7! [x 7! g ·x],et réciproquement un tel morphisme ' nous donne une action : g · x = '(g)(x).

1.2 La puissances des actions démontrée par la diversité desexemples

Exemple 2 Le groupe des rotations du cube agit sur les faces, arêtes et sommetsen les permutant.

Exemple 3 Dn agit sur les sommets et les diagonales du polygone à n côtés.

Exemple 4 Sn agit sur {1, . . . ,n}, le morphisme associé est l’identité.

Exemple 5 S1 agit sur C : ei✓ · z = ei✓z.

Exemple 6 Un groupe peut agir sur lui-même par translation ou conjugaison.

Exemple 7 GLn(k) agit sur kn.

Exemple 8 SL2(R) agit sur le demi-plan de Poincaré par homographies.

Exemple 9 Si A est un anneau, un morphisme ' : G ! GLn(A) induit une actionde G sur An. Cette action s’appelle représentation du groupe G.

Exemple 10 Sn agit sur k[X1, . . . ,Xn] par � · P = P (X�(1), . . . ,X�(n)).

1

156

Algèbre 101

2 Plus de théorie et les premiers fruits

2.1 Deux premières applications

Définition 2 On définit l’orbite d’un élément x 2 X comme : !(x) = {g ·x, g 2 G}.

Application 1 Dans le cadre de l’exemple 4, déterminer les orbites revient à dé-terminer la décomposition en produit de cycles disjoints.

Exemple 11 Dans le cadre de l’exemple 5, l’orbite de z est le cercle de centre 0passant par z.

Définition 3 L’action est dite transitive si elle possède une unique orbite.

Exemple 12 SO(3,R) agit transitivement sur les droites de R3.

Application 2 Le groupe SO(3,R) est simple.

Définition 4 On définit le stabilisateur d’un élément x comme : Stab(x) = {g 2G, g · x = x}.

Exemple 13 Pour l’action de l’exemple 1, n · x = (�1)nx, on a !(x) = {±x} et

Stab(x) =

(2Z si x 6= 0

Z sinon.

Remarque 1 Les orbites partitionnant X, on peut définir une relation d’équiva-lence sur X : "être dans la même orbite".

Proposition 1 L’application G/ Stab(x) ! !(x) est bien définie et est une bijec-tion.

Application 3 Ceci donne le lemme orbite-stabilisateur : |G| / |Stab(x)| = |!(x)|.

Remarque 2 Il n’y a en général aucune structure de groupe sur G/ Stab(x), cetteapplication n’est donc pas un morphisme !

Définition 5 L’ensemble des points fixes de G est Xg = {x, g · x = x}.

Théorème 2 (de Burnside) Notons N le nombre d’orbites. On a N = 1|G|P

g2G |Xg|.

Remarque 3 Autrement dit, le nombre d’orbites est égal au nombre moyen depoints fixes.

Application 4 Le groupe des rotations du tétraèdre agit sur le tétraèdre. Ainsi,il y a N = 1

12(11k2 + k4) colorations du tétraèdre avec k couleurs. Onze couleurs

donnent déjà plus de mille colorations !

Application 5 Grâce à l’action de D6, on montre qu’il y a N = 112

(2k +2k2 + k3 +3k4 + k6) façons d’assembler un collier de six perles avec k types de perles.

2

157

Algèbre 101

2.2 Applications en théorie des groupes

Proposition 2 (formule des classes) Soit C un ensemble de représentants desorbites. On a |G| =

Px2C |!(x)|.

Définition 6 Soit p premier. Un p-groupe est un groupe de cardinal pm. Si |G| =pmk avec (p,m) = 1, alors un sous-groupe de G de cardinal pm est appelé p-Sylow.

Application 6 En faisant agir G sur lui-même par conjugaison, on montre que lecentre d’un p-groupe est non trivial.

Application 7 (théorème de Cauchy) En regardant l’action de Z/pZ sur X ={(x1, . . . ,xp) 2 Gp, x1 · · · xp = e}, on montre que pour tout diviseur premier p de|G|, G admet un élément d’ordre p.

Théorème 3 (de Cayley) Si |G| = n, alors G est isomorphe à un sous-groupe deSn.

Application 8 On peut interpréter ce résultat de manière positive : si on connaîtles groupes symétriques, on connaît tous les groupes finis ; ou de manière négative :il va être difficile de connaître les groupes symétriques.

Théorème 4 (de Sylow) Soit G d’ordre pmk avec (p,k) = 1. Alors(i) G contient un p-Sylow ;(ii) les p-Sylow de G sont deux à deux conjugués ;(iii) si on note Np le nombre de p-Sylow, on a Np ⌘ 1 (mod p) et Np | k.

Remarque 4 Ainsi, un unique p-Sylow de G est distingué.

Application 9 A5 est l’unique groupe simple d’ordre 60.

Application 10 Un groupe d’ordre 63 n’est jamais simple.

Théorème 5 (de Wedderburn – DEV 1) Tout "corps" fini est commutatif.

3 Applications dans d’autres domaines

3.1 Applications en géométrie

Définition 7 On appelle conique tout sous-ensemble de R2 de la forme Cf = {x 2R2, f(x) = 0} où f est polynomiale de degré 2.

Proposition 3 Classifier les coniques revient à déterminer les orbites de l’action deGA(R2) sur l’ensemble des coniques donnée par u · Cf = Cf�u�1 .

Exemple 14 On peut munir une conique H : X2 � dY 2 = 1 d’une structure degroupe. En faisant agir Z sur H \ Z, on peut déterminer les points entiers de Het ainsi résoudre l’équation de Pell-Fermat.

Application 11 En appliquant le lemme orbite-stabilisateur, on montre que |Pn(Fq)| =1 + q + · · · + qn.

Application 12 (DEV 2) Notons �4 le tétraèdre régulier. On a Isom(�4) ' S4

et Isom+(�4) ' A4.

3

158

Algèbre 101

3.2 Applications sur les espaces de matrices

Théorème 6 On considère l’action de GLn(k)⇥GLp(k) sur Mn,p(k) : (P,Q) · M =PMQ�1. Alors deux matrices représentent la même application linéaire si, et seule-ment si, elles sont dans la même orbite.

Théorème 7 Une matrice A 2 Mn(C) est diagonalisable si, et seulement si, sonorbite sous l’action de GLn(C) est fermée dans Mn(C).

Théorème 8 Notons Ip,q =

0BBBBBBBBBB@

1. . .

1

�1. . .

�1

1CCCCCCCCCCA

. On considère l’action de

Mp,q(R) sur Mp,q(R) donnée par : M · A = tMAM . On note O(p,q) = Stab(Ip,q).Alors O(p,q) ⇠= O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq.

Développements� Théorème de Wedderburn ([4] p.82)� Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier ([5] p.363)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Karine Madère. Leçons d’Algèbre. Ellipses, 1998.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,

2006.[4] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[5] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-

tries, volume 1. Calvage & Mounet, 2013.[6] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-

tries, volume 2. Calvage & Mounet, 2015.[7] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.

Algèbre Tome 3. Cassini, 2008.[8] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

4

159

Algèbre 102

Groupe des nombres complexes de module 1.Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

1 Les nombres complexes de module 1

1.1 Structure, définition de ⇡ et paramétrage

1.1.1 Dans le but de définir ⇡

Proposition 1 On définit U l’ensemble des nombres complexes de module 1. C’est ungroupe multiplicatif connexe et compact. On appelle S1 le cercle unité de R2.

Exemple 1 On considère le quotient de deux espaces séparés U/{eir/2⇡, r 2 Q}. Ce quo-tient n’est pas lui-même séparé.

Proposition 2 L’exponentielle complexe induit un homomorphisme de groupes de (C,+)dans (C⇤,⇥) continu et surjectif, mais non injectif.

Lemme 1 Un sous-groupe de (R,+) est soit dense, soit monogène.

Application 1 L’application ' : t 2 R 7! eit 2 U est un homéomorhisme surjectif, maisnon injectif. Il existe ⇡ 2 R⇤

+ tel que ker' = 2⇡Z. Ainsi, U ' R/2⇡Z.

Proposition 3 On a C⇤ ' S1 ⇥ R⇤+ par z 7! (z/ |z| , |z|).

Théorème 1 (de relèvement) Soit � un chemin de U, et t0 2 R tel que �0 = '(t0).Alors il existe un unique chemin � de R tel que � = ' � � et �(0) = t0.

Définition 1 On définit les fonctions sinus et cosinus comme cos(t) = Re(eit) et sin(t) =Im(eit). On a ainsi paramétrisé S1 par t 7! (cos(t), sin(t)).

1.1.2 Vers des applications d’un paramétrage rationnel de S1

Proposition 4 On peut paramétriser S1 \ {�1} par t 2 R 7! (1�t2

1+t2, 2t1+t2

) 2 S1 \ {�1}.

Application 2 Si p est un nombre premier, le cardinal de SO2(Fp) vaut 2 si p = 2, p � 1si p ⌘ 1 (mod 4) et p + 1 si p ⌘ 3 (mod 4).

Application 3 Les points rationnels de S1 sont exactement les (1�t2

1+t2, 2t1+t2

) avec t 2 Q.

Application 4 Les triplets pythagoriciens sont exactement de la forme (u2�v2,2uv,u2+v2)avec (u,v) 2 Z2.

1

160

Algèbre 102

1.2 Géométrie dans le plan

Définition 2 On note SO(R2) le groupe des isométries vectorielles positives du plan.

Proposition 5 On a un homéomorphisme non canonique SO(R2) ' U. Les applications

a + ib 2 U 7!

a ±b

⌥b a

!fournissent deux homéomorphismes.

Application 5 Le groupe SO(R2) est abélien et connexe par arcs.

Définition 3 On a un isomorphisme � : R/2⇡Z ⇠! SO(R2), et si ✓ 2 R, �(✓) est appeléerotation d’angle ✓.

Remarque 1 On peut définir une autre loi de groupe sur S1 : si A,B 2 S1, on définitA ⇤B comme le point d’intersection de la parallèle à (AB) passant par (1,0) et de S1. Il setrouve que si A et B s’identifient respectivement à x,y 2 U, alors A ⇤ B = xy.

2 Les racines de l’unité

2.1 De la structure

Définition 4 On définit pour tout n 2 N>1, µn := {x 2 C, xn = 1}.

Exemple 2 On a µ1 = {1}, µ2 = {±1} et µn = {e2ik⇡/n, k 2 {0, . . . ,n � 1}}.

Proposition 6 Les µn sont des sous-groupes de U, appelés groupes des racines n-ièmesde l’unité. Il sont cycliques d’ordre n, ainsi µn ' Z/nZ.

Proposition 7 Un sous-groupe de U est soit dense, soit est un groupe de racines de l’unité.

Définition 5 On appelle racine primitive n-ième de l’unité un générateur de µn. On noteµn l’ensemble des racines primitives n-ièmes de l’unité.

Proposition 8 Si ⇣ est une racine primitive n-ième de l’unité, alors les autres sont les ⇣k

avec (k,n) = 1. On a |µn| = '(n).

Exemple 3 On a µ72 de cardinal '(72) = 24(2 � 1) · 31(3 � 2) = 24.

Remarque 2 On peut remarquer que les points de µn forment un polygone régulier à ncôtés. Cependant, U 6= [1

n=1µn.

Exemple 4 On a que [n>0µpn fournit un groupe infini dont tout sous-groupe strict estcyclique.

2.2 U rejoint µn : le théorème de Gauss-Lucas

Théorème 2 (de Gauss-Lucas) Soit P 2 C[X], alors les racines de P 0 sont dans l’en-veloppe convexe des racines de P .

Application 6 Le nombre 7 est le plus grand entier n tel que les racines non nulles de(X + 1)n � Xn � 1 soient dans U.

2

161

Algèbre 102

2.3 Les polynômes cyclotomiques

2.3.1 La théorie

Définition 6 On appelle n-ième polynôme cyclotomique le polynôme �n :=Q

⇣2µn(X �

⇣) 2 C[X].

Remarque 3 Si p est un nombre premier, on a ⇣ 2 µp dès que ⇣ 2 µp \ {1}. Donc�p = Xp�1

X�1= Xp�1 + · · · + 1.

Lemme 2 On a Xn � 1 =Q

d|n �d.

Exemple 5 On peut ainsi calculer les �n par récurrence : X � 1, X + 1, X2 + X + 1. . .

Proposition 9 Le polynôme �n est unitaire, de degré '(n), à coefficients dans Z[X] etZ[X]-irréductible.

Théorème 3 (de Kronecker) Soit P un polynôme unitaire Z[X]-irréductible, dont toutesracines sont de module inférieur à 1. Alors P = X ou P est un polynôme cyclotomique.

2.3.2 Les fruits

Théorème 4 (de Wedderburn) Tout corps gauche fini est commutatif.

Théorème 5 (de Dirichlet (faible)) Pour tout n > 2, il existe une infinité de nombrespremiers congrus à 1 modulo n.

2.4 Constructions à la règle et au compas

Théorème 6 (de Wantzel) Un réel x est constructible à la règle et au compas, alors ilexiste k 2 N tel que [Q(x) : Q] = 2k.

Application 7 Le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas.

Application 8 Le polygone régulier à n côtés est constructible si, et seulement si, '(n)est une puissance de 2. En particulier, si p est un nombre premier, le polygone régulier àp côtés est constructible si, et seulement si, p � 1 est une puissance de 2.

Proposition 10 Le polygone régulier à 2k côtés est constructible.

2.5 En théorie des caractères

Définition 7 Si G est un groupe, un caractère linéaire de G est un morphisme G ! C⇤.On note bG l’ensemble des caractères linéaires de G.

Remarque 4 Si G est cyclique d’ordre n, alors bG ' µn.

Définition 8 Si G est un groupe abélien fini, on note N(G) l’exposant de G, i.e. le maxi-mum des ordres des éléments de G.

Lemme 3 Si H est un groupe abélien fini, alors H ' bbH.

Lemme 4 Si H est un groupe abélien fini, alors N(H) = N( bH).

Théorème 7 (de structure des groupes abéliens finis) Soit G un groupe abélien fini,il existe r 2 N et des entiers N1, . . . ,Nr où N1 = N(G) et Ni+1 | Ni si i 6 r � 1, tels queG ' �r

i=1Z/NiZ.

Application 9 Si G est un groupe abélien fini, alors G ' bG.

3

162

Algèbre 102

Développements� Théorème de structure des groupes abéliens finis ([3] p.252)� Théorème de Gauss-Lucas et applications ([13] p.229)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[3] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres). Les

éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[4] E.M. Wright G.H. Hardy. Introduction à la Théorie des Nombres. Springer, 5ème

edition, 2007.[5] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[6] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[7] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[8] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[9] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,

2006.[10] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[11] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géométries,

volume 2. Calvage & Mounet, 2015.[12] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e edition,

1994.[13] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Algèbre

Tome 1. Cassini, 2001.[14] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Analyse

Tome 1. Cassini, 2007.[15] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.

4

163

Algèbre 103

Exemples de sous-groupes distingués et de groupesquotients. Applications.

1 Généralités et exemples

1.1 Le début

• Def sg distingué• Ex : tout sg d’un groupe abélien est distingué, {1} et G sont toujours distingués• Ex : le centre Z(G) est toujours distingué• Caractérisation par le noyau d’un homomorphisme surjectif• Ex : SLn(k) = ker (det) est distingué dans GLn(k)

• Def groupe quotient• Ex : Z/nZ• Si H C G, alors G/H est un muni d’une structure de groupe• Théorème de Lagrange• Groupe isomorphe à son quotient par un sg non trivial : U/{±1}• Q/Z est un groupe additif infini, mais il n’existe aucun morphisme de groupe

Q/Z ! Z

1.2 Les théorèmes d’isomorphie

• Premier théorème d’isomorphie• Ex : GLn(k)/SLn(k) ' K⇤ grâce à l’application det

• Deuxième théorème d’isomorphie• Ex : aZ/ ppcm(a,b)Z) ' pgcd(a,b)Z/bZ• Troisième théorème d’isomorphie• Ex : (Z/abZ)/(aZ/abZ) ' Z/aZ• Théorème de structure des groupes abéliens finis

1

164

Algèbre 103

2 Dévissage et simplicité• Intérêt du dévissage• Def groupe simple• Ex : Z/pZ avec p premier, An pour n > 5

• Ex : SO(3,R) est simple• Soit G un groupe infini admettant un s.g. H 6 G d’indice fini et distinct de G,

alors G n’est pas simple

3 Application à la résolubilité• Def commutateurs, def groupe dérivé• Def groupe résoluble• Ex : tout groupe abélien est résoluble• Ex : A5 et SL2(Z/7Z) sont deux groupes finis non résolubles• Ex : SL2(C) est un groupe infini non résoluble• Caractérisation avec une suite de s.g. quotients avec des trucs distingués• Un groupe simple est résoluble ss’il est cyclique d’ordre premier• App : A5 n’est pas résoluble• App : Constructivité à la règle et au compas

4 Application en arithmétique• Factorisation d’un morphisme GLn(k) ! G par le déterminant• Le symbole de Legendre• Théorème de Frobenius-Solotarev

Développements� Simplicité de SO(3,R) ([4] p.67)� Théorème de Frobenius-Zolotarev ([5] p.252)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[3] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[4] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


edition, 2005.

2

165

Algèbre 104

Groupes finis. E et A

Leçon "oral blanc véritable" préparée en 3h sous les conditions de l’examen.

1 Généralités et premiers exemples

1.1 Quelques propositions, un peu de classification

Définition 1 On dit qu’un ensemble G est un groupe si G est muni d’une loi decomposition interne associative possédant un neutre, et que tout élément de G estinversible pour cette loi.

Définition 2 G est dit fini si |G| < +1.

Exemple 1 • (Z,+) et (Q⇤,⇥) sont des groupes infinis• Z/6Z et {±1} sont des groupes finis

Exemple 2 SO(2,Fp) est un groupe fini, dont le cardinal dépend de p modulo 4.

Définition 3 (G,?) groupe est dit abélien si ? est commutative.

Remarque 1 Si G est un groupe, Gn est naturellement muni d’une structure degroupe.

Théorème 1 (de Lagrange) Si H 6 G avec G fini, alors l’ordre de H divisel’ordre de G.

Application 1 Tout groupe fini d’ordre p premier est cyclique.

Proposition 1 Si G groupe cyclique d’ordre n, alors pour tout diviseur d de n, ilexiste un unique H 6 G d’ordre d. De plus, H est cyclique.

Exemple 3 Il y a deux groupes (non isomorphes) d’ordre 4 : (Z/2Z)2 groupe deKlein et Z/4Z.

Proposition 2 (vers plus de classification) Si p,q premiers tels que p - q � 1 etq > p, alors tout groupe fini d’ordre pq est cyclique.

Exemple 4 Tout groupe d’ordre 15 est cyclique.

Remarque 2 La proposition précédente ne s’applique pas si |G| = 21, et il existed’ailleurs un groupe d’ordre 21 non cyclique.

1

166

Algèbre 104

1.2 Autour de Z/nZExemple 5 (Z/nZ,+) est un groupe cyclique. Il est isomorphe à Un le groupe desracines n-ièmes de 1 2 C.

Proposition 3 Z/nZ est engendré par tout k premier à n.

Exemple 6 ((Z/nZ)⇥,⇥) est un groupe de cardinal '(n).

Proposition 4 Le groupe Aut(Z/nZ) est isomorphe à (Z/nZ) via 7! (1).

Proposition 5 (lemme chinois) Si (m,n) = 1, alors (Z/mnZ)⇥ est isomorphe à(Z/mZ)⇥ ⇥ (Z/nZ)⇥.

Théorème 2 Si p est premier, alors (Z/pZ)⇥ est cyclique.

Application 2 (cryptographie) Soit g un générateur de (Z/pZ)⇥. L’expéditeurveut transmettre un message x 2 {1, . . . ,p � 1}, grâce à gnk public, il envoie(gk,xgnk), le destinataire, qui connaît n calcule xgnk(gk)�n = x.

2 Autour de Sn

2.1 Le groupe symétrique

Définition 4 L’ensemble des bijections de {1, . . . ,n} est un groupe de cardinal n!appelé groupe symétrique et noté Sn.

Proposition 6 Sn n’est pas abélien si n > 3.

Proposition 7 Sn est engendré par les transpositions.

Théorème 3 Il existe un unique morphisme " : Sn ! {±1} qui vaut �1 sur lestranspositions. On l’appelle signature.

Théorème 4 (de Frobenius-Zolotarev) Soit p > 3 premier et n 2 N⇤. Alorspour tout u 2 GLn(Fp), "(u) =

⇣det u

p

⌘.

Définition 5 On pose An := ker ", appelé groupe alterné.

Proposition 8 An est d’indice 2 dans Sn.

Proposition 9 An est engendré par les 3-cycles.

2

167

Algèbre 104

2.2 La simplicité

Définition 6 Un groupe G est dit simple, si ses seuls sous-groupes distingués sont{1} et G.

Exemple 7 Si p est premier, Z/pZ est simple.

Remarque 3 Si H C G, alors H et G/H sont deux groupes plus petits que G,on peut donc "dévisser" G. Classifier les groupes finis revient donc à classifier lesgroupes finis simples.

Proposition 10 An est simple si n > 5.

Remarque 4 Cela est lié à la résolubilité des équations par radicaux.

2.3 Les théorèmes de Sylow

Théorème 5 (de Cayley) Tout groupe fini d’ordre n est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

Remarque 5 C’est une bonne nouvelle, car en connaissant les Sn, on connaitratous les groupes finis. C’est une mauvaise nouvelle, car il existe des groupes finistrès compliqués, il nous sera donc très difficile de connaître les Sn.

Définition 7 On appelle p-Sylow de G tout sous-groupe de G de cardinal p↵, onnote Np leur nombre.

Théorème 6 (de Sylow) (On plonge G ,! Sn ,! GLn(Fp).)Soit G un groupe de cardinal p↵m avec p - n.Alors

(i) tout p-sous-groupe est contenu dans un p-Sylow ;(ii) les p-Sylow sont conjugué et Np | m ;(iii) Np ⌘ 1 (mod p).

Application 3 Si G est simple d’ordre inférieur à 59, alors G est cyclique d’ordrepremier.

Application 4 Un groupe d’ordre 63 n’est pas simple.

3 Les groupes d’isométriesDéfinition 8 On définit le groupe d’isométries d’un objet comme le groupe desisométries qui préservent cet objet.

Définition 9 Le groupe diédral Dn est le groupe des isométries du polygone régulierà n côtés.

3

168

Algèbre 104

Proposition 11 Dn est d’ordre 2n.

Remarque 6 Dn n’est pas abélien.

Exemple 8 Le sous-ensemble des rotations de Dn est un sous-groupe cycliqued’ordre n.

Remarque 7 Le sous-ensemble des symétries n’est pas un sous-groupe.

Proposition 12 Les symétries engendrent Dn.

Exemple 9 Il y a deux groupes d’ordre 6 : D3 ' S3 et Z/6Z ' Z/2Z ⇥ Z/3Z.

Exemple 10 Il y a cinq groupes d’ordre 8 : Z/8Z, Z/4Z ⇥ Z/2Z, (Z/2Z)3, D4 etH8.

Proposition 13 On déduit du théorème de Cayley qu’un groupe d’ordre 2p estisomorphe à Z/2pZ ou Dp (p premier).

Théorème 7 (DEV 1) Notons �4 le tétraèdre régulier. Alors Isom(�4) ' S4 etIsom+(�4) ' A4.

4 Actions de groupes

4.1 Un peu de théorie

Définition 10 On dit qu’un groupe G agit sur un ensemble X si

(ii) 8g,h 2 G, 8x 2 X, (gh) · x = g · (h · x) ;(iiii) e · x = x.

Lemme 1 (orbite-stabilisateur) On a |!(x)| = |G||Stab(x)| .

Application 5 (formule de Burnside) Notons N le nombre d’orbites, on a N =1

|G|P

g2G |Xg|.

Théorème 8 (formule des classes) |G| =P |!(x)|.

4.2 Applications

Théorème 9 (de Cauchy) Si p | |G|, alors G possède un élément d’ordre p (onregarde l’action de Z/pZ sur X bien choisi).

Proposition 14 Il y a 112

(11k2 + k4) façons de colorier le tétraèdre �4 avec kcouleurs.

Théorème 10 (de Wedderburn) Tout anneau à division fini est commutatif.

4

169

Algèbre 104

5 Plus de classification grâce aux caractèresDéfinition 11 Si G groupe fini, on définit N(G) l’exposant de G comme le maxi-mum des ordres des éléments de G.

Définition 12 Un caractère de G est un morphisme de G ! C⇤.

Remarque 8 Le groupe G des caractères est un groupe multiplicatif.

Théorème 11 On a G ' ˆG via x 7! [� 7! �(x)].

Lemme 2 Si H groupe abélien fini, alors N(H) = N(H).

Théorème 12 (de structure des groupes abéliens finis – DEV 2) Soit G ungroupe abélien fini, il existe r 2 N et Nr | · · · | N1 où N1 = N(G) tels queG 'Pr

i=1 Z/NiN.

Sur la quatrième page, on peut mettre les figures nécessaires à la déterminationdes groupes d’isométries du tétraèdre, ainsi que des figures illustrant les groupe dié-draux. On peut aussi donner un beau diagramme commutatif illustrant le théorèmede Frobenius-Zolotarev.

Développements� Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier ([4] p.363)� Théorème de structure des groupes abéliens finis ([2] p.252)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres). Les

éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[3] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[4] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-

tries, volume 1. Calvage & Mounet, 2013.[5] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e

edition, 1994.[6] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


edition, 2005.

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170

Algèbre 105

Groupe des permutations d’un ensemble fini.Applications.

Leçon préparée en 3h sous les conditions de l’examen.

1 Le groupe symétrique

1.1 Généralités

Définition 1 Soit E un ensemble fini, on définit S(E) l’ensemble des bijections deE dans E, nommé groupe de permutations de E.

Lemme 1 Si |E| = n, on a S(E) ' ({1, . . . ,n}), que l’on appelle groupe symétriqued’ordre n, noté Sn.

Exemple 1 On a S1 = {1}, S2 ' Z/2Z et S3 ' D3.

Définition 2 On note � = (a0 · · · ak�1) appelé k-cycle la permutation envoyantai sur ai+1 (i modulo k). L’ensemble {a1, . . . ,ak} est appelé le support de �. Les2-cycles sont appelés les transpositions.

1.2 Structure et générateurs

Proposition 1 On a |Sn| = n!.

Proposition 2 Si � 2 Sn, on peut l’étendre en � 2 Sn+1 en posant �(n+1) = n+1.Ainsi, Sn est un sous-groupe de Sn+1.

Proposition 3 Toute permutation se décompose de façon unique (à l’ordre près)en produit de cycles à supports disjoints.

Exemple 2 � =

1 2 3 4 5 6 7

6 7 3 2 5 1 4

!=⇣1 6

⌘⇣2 4 7

⌘

Remarque 1 Deux cycles à supports disjoints commutent, mais Sn n’est pas abé-lien pour n > 3.

En effet, on a⇣1 3

⌘⇣1 2

⌘=

1 2 3

3 1 2

!, mais

⇣1 2

⌘⇣1 3

⌘=

1 2 3

2 3 1

!.

1

171

Algèbre 105

Remarque 2 Le groupe S3 (de cardinal 6), est le plus petit groupe non abélien.

Proposition 4 Si n > 3, on a Z(Sn) = {1}.

Proposition 5 Sn est engendré par les transpositions.

Remarque 3 Mieux : Sn est engendré par les transpositions de la forme⇣1 i

⌘.

1.3 Premières applications en théorie des groupes

Théorème 1 (de Cayley) Tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe deSn.

Théorème 2 (de Sylow) Soit G un groupe fini de cardinal pmk avec p premier et(k,p) = 1. On appelle p-Sylow de G un sous-groupe d’ordre pm, et on note Np leurnombre. On a

(i) G contient un p-Sylow,(ii) les p-Sylow sont deux à deux conjugués,(iii) Np ⌘ 1 (mod p) et Np | k.

Remarque 4 de l’intérêt du théorème de Cayley, car G se plonge par le théorèmede Cayley dans Sn, et Sn se plonge dans GLn(Fp) par � 7! (e�(1)| · · · |e�(n)), GLn(Fp)qui admet un p-Sylow.

2 Le groupe alterné et la signature

2.1 La signature

Définition 3 Si � 2 Sn est produit de k-cycles à supports disjoints, alors "(�) :=(�1)n�k est la signature de �.

Exemple 3 ? "(�) = (�1)7�4 = �1, où � a été définie précédemment,? "(id) = (�1)n�n = 1,? "((a1 · · · ak)) = (�1)k+1, en particulier "((↵ �)) = �1.

Proposition 6 On peut définir de façon équivalente la signature comme (�1)d, oùd est le nombre de transpositions intervenant dans la décomposition en produit detranspositions.

Lemme 2 Pour n > 2, " : Sn ! {±1} est un homomorphisme surjectif.

2

172

Algèbre 105

2.2 Le groupe alterné

Définition 4 On définit An := ker ", appelé groupe alterné.

Exemple 4 On a A2 = {1} et A3 ' Z/3Z.

Proposition 7 |An| = n!/2.

Lemme 3 Les 3-cycles engendrent An.

Proposition 8 Pour n > 2, on a D(Sn) = An.

Théorème 3 Si n > 5, An est un groupe simple.

Remarque 5 Le théorème précédent est fondamental dans la théorie des équationsrésolubles par radicaux.

Proposition 9 Si n > 5, D(An) = An.

Corollaire 1 Si n > 5 et G C Sn, alors G 2 {{1},An,Sn}.

Proposition 10 A4 possède un 2-Sylow et quatre 3-Sylow.

Proposition 11 Si G groupe simple d’ordre 60, alors G ' A5.

3 Applications

3.1 Le déterminant et le théorème de Frobenius-Zolotarev

Définition 5 On a det M :=P

�2Sn"(�)

Qni=1 mi,�(i).

Application 1 Le déterminant ne change pas au signe près en permutant les lignesou les colonnes d’une matrice. De plus, det(M) = det(tM).

Application 2 Une matrice à coefficients dans un anneau est inversible si, et seule-ment si, son déterminant est un élément inversible de l’anneau.

Lemme 4 Si (k,n) 6= (F2,2), alors D(GLn(k)) = SLn(k).

Lemme 5 Soit (k,n) 6= (F2,2), soit M un groupe abélien. Alors tout morphisme' : GLn(k) ! M se factorise par le déterminant.

Théorème 4 (de Frobenius-Zolotarev) Soit p > 3 un nombre premier. Pour

tout u 2 GLn(Fp), on a "(u) =

✓det u

p

◆, où ( .

p) est le symbole de Legendre.

3

173

Algèbre 105

3.2 Les polynômes symétriques

Proposition 12 On a une action de Sn sur A[X1, . . . ,Xn] donnée par �·P (X1, . . . ,Xn) =P (X�(1), . . . ,X�(n)).

Définition 6 Les points fixes pour cette action sont appelés les polynômes symé-triques.

Exemple 5 Le polynôme XY +Y Z +XZ est symétrique dans R[X,Y,Z], mais pasdans R[X,Y,Z,T ].

Définition 7 On appelle polynôme symétrique élémentaire les ⌃p :=P

i1<···<ipXi1 · · · Xip .

Théorème 5 Si P 2 A[X1, . . . ,Xn]Sn , alors il existe un unique Q 2 A[X1, . . . ,Xn]tel que P = Q(⌃1, . . . ,⌃p).

Application 3 Si f,g 2 L (E) où E est un C-espace vectoriel de dimension finie nvérifiant Tr(f p) = Tr(gp) pour tout p, alors f et g ont même polynôme caractéris-tique.

3.3 Les groupes d’isométries

Définition 8 Le groupe Isom(X) d’un objet X ⇢ R3 est le sous-groupe des isomé-tries affines de R3 qui stabilisent X. Le groupe Isom+(X) est celui des déplacementsde Isom(X).

Lemme 6 Si ' est une similitude, alors on a Isom(X) ' Isom('(X)).

Proposition 13 On note �4 un tétraèdre régulier. On a Isom(X) ' S4 et Isom+(X) 'A4.

Remarque : sur la quatrième page, on peut mettre le gros diagramme commutatifrésumant toute la preuve du théorème de Frobenius-Zolotarev, ainsi que la figureillustrant le point clef de la preuve pour les groupes d’isométries du tétraèdre régulier.

Développements� Théorème de Frobenius-Zolotarev ([7] p.252)� Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier ([6] p.363)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres). Les

éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[3] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.

4

174

Algèbre 105

[4] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,2006.

[5] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[6] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-

tries, volume 1. Calvage & Mounet, 2013.[7] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

5

175

Algèbre 106

Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimensionfinie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

1 Etude algébriqueLe corps k est supposé quelconque.

1.1 Généralités

• Def de GL(E)

• On a GL(E) qui s’identifie à GLn(k) si E k-ev de dim n

• Caractérisation par le déterminant• Algorithme du pivot de Gauss• Les dilatations, transvections• Les dilatations + les transvections engendrent GL(E)

• On a |GLn(Fq)| = (qn � 1)(qn � q) · · · (qn � qn�1)

• Théorème de Burnside• GLn(C) ' GLm(C) () n = m

• Si A 2 Mn(C), exp(A) 2 GLn(C)

• Théorème de Brauer

1.2 Actions de groupes

• GLn(k) agit sur Mn(k) par conjugaison• App : classification des orbites et réduction d’endomorphismes• GLn(k) ⇥ GLm(k) agit sur Mn(k) par (P,Q) · M = Q�1MP

• App : Classification des orbites par le rang• GLn(k) agit sur Mn(k) par P · M = tPMP

• App : Classification des formes quadratiques

1

176

Algèbre 106

2 Des sous-groupes de GL(E)

• L’ensemble des homothéties est un sg de GL(E)

• L’ensemble des homothéties est le centre de GL(E)

• Def de PGL(E) := GL(E)/Z(E)

• PSLn(k) est simple, sauf si (n,k) = (2,F2) ou (2,F3)

• Le noyau du déterminant est SL(E), le groupe spécial linéaire• Les transvections engendrent SL(E)

• SLn(R) est de dimension n2 � 1

• Def O(n) et SO(n)

• App : Décomposition polaire• O(n) est de dimension n(n � 1)/2

• SO(3,R) est simple

3 Etude topologiqueLe corps k = R ou C.

• On munit Mn(k) de la norme subordonnée (qui est une norme d’algèbre)• GLn(k) est un ouvert dense dans Mn(k)

• GLn(R) a deux composantes connexes• GLn(C) est connexe• SLn(k) est connexe• O(n) a deux composantes connexes• O(n) est compact

Développements� Décomposition polaire ([4] p.202)� Théorème de Frobenius-Zolotarev ([5] p.252)

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,



edition, 2005.

2

177

Algèbre 107

Représentations et caractères d’un groupe fini surun C-espace vectoriel. Exemples

1 Représentations des groupes finis

1.1 Généralités et exemples

• Def d’une représentation V de G comme un C-ev sur lequel agit G

• Equivalence avec le fait de se donner un morphisme ⇢V : G ! GL(V )

• Ex : Un sg G de GL(V ) agit sur V , par exemple Rn est une représentation deOn(R)

• Def : Si ⇢v est injectif, on dit que la représentation est fidèle• App : on représente ainsi G comme sg de GL(V ), et si dim V < 1 on peut parler

de matrices• Ex : Soit u un iso linéaire tq ud = 1, alors n 7! un est un morphisme Z ! GL(V )

de noyau dZ. On obtient donc une représentation de Z/dZ par n · v = un(v).Réciproquement, toutes les représentations sont de cette forme

• Représentation avec des générateurs et des relations• Ex : S3 avec �1 = (1 2), �2 = (2 3) et �1

2 = �22 = 1, �1�2�1 = �2�1�2

• Comme g est fini, tout élément est d’ordre fini, donc ⇢V (g) est diago car Xn � 1est scindé simple, les vp de ⇢V (g) sont des racines de l’unité

• Somme directe de représentations

1.2 Construction d’une représentation

• Morphisme Rv : G ! GLd(C)

• On note D3 le groupe des isométries fixant un triangle bien choisi• On a un sq D3 6 O(2) 6 GL2(C)

• On mq D3 ' S3, ainsi C2 est une représentation de S3

2 Caractères des groupes finis

2.1 Généralités

• Def caractère d’un groupe fini �V (g) = Tr(⇢V (g))

1

178

Algèbre 107

• Ex : �V (1) = Tr(1) = dim V , on définit ainsi le degré du caractère �V

• Un caractère est constant sur les classes de conjugaison de G

• On a �V (g�1) = �V (g)

2.2 Caractères linéaires

• Def caractère linéaire, bG est l’ensemble des caractères linéaires• Si G est cyclique d’ordre n, bG est cyclique d’ordre n

• On a la suite exacte 1 ! [G/H ! bG ! bH ! 1

• bG est un groupe commutatif de même ordre que G

• G ' bbG• Calcul de la somme 1

|G|P

g2G �(g)

• App : Orthogonalité des caractères linéaires

2.3 Caractères et représentations

• Caractère d’une somme directe de représentations• Ex : la représentation régulière, �VG

(1) = |G| et si g 6= 1, �VG(g) = 0

• �Hom(V1,V2)(g) = �V1(g)�V2(g)

• App : �V ⇤ = �V où V ⇤ = Hom(V,C) est la représentation duale de V

• Deux représentations sont isomorphes ssi elles ont même caractère

3 Décomposition des représentations

3.1 Généralités

• Def sous-représentation, représentation irréductible• Ex : la représentation C2 de S3 est irr, car un sous-représentation serait une droite

et que deux symétries laissent stable la représentation• Il existe un produit scalaire h.,iV invariant sous l’action de G

• Th de Mashke : toute représentation de G est somme directe de représentation irr• Rq : ce qui se passe si G est cyclique

3.2 Orthogonalité des caractères

• Lemme de Schur• Def produit scalaire• Th de Frobenius : les caractères irr forment une base orthonormale de l’espace

des fonctions centrales• App : le nombre de représentations irr de G est égal au nombre de classes de

conjugaison dans G

2

179

Algèbre 107

3.3 Table des caractères d’un groupe fini

• Def table des caractères• Ex : pour {�1,1}• Ex : pour S4

4 Liens entre représentations et théorie des groupes

4.1 Théorème de structure

• Def de l’exposant d’un groupe• G et bG ont même exposant• Théorème de structure des groupes abéliens finis

Développements� Théorème de structure des groupes abéliens finis ([1] p.252)� Caractères d’un groupe abélien fini ([2] p.103-105)

Références[1] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres). Les

éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[2] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e

edition, 1994.

3

180

Algèbre 108

Exemples de parties génératrices d’un groupe.Applications

A titre culturel (difficile !), tout groupe fini simple non abélien est engendré par deuxde ses éléments.

1 Groupes abéliens

1.1 Généralités

• Def partie génératrice• Ex : {�1} et {3,5} engendrent Z• Ex : Q n’est pas finiment engendré• Def groupe monogène, groupe cyclique• Ex : tous les a 6= 1, hai = G si G de cardinal p premier• App : Equation de Pell-Fermat• Ex : Générateurs de Z/nZ• App : Aut(Z/nZ) ' (Z/nZ)⇥

• Théorème de structure des groupes abéliens finis

1.2 Polynômes cyclotomiques

• Def racine primitive• Def polynômes cyclotomiques• App : Théorème de Wedderburn• App : Irréductibilité des polynômes cyclotomiques• App : Théorème de Dirichlet version faible

2 Autour des groupes symétriques• Ex : Les cycles engendrent Sn

• Ex : Les transpositions engendrent Sn (on peut même faire mieux !)• Def de la signature

1

181

Algèbre 108

• Rq : Intérêt de connaitre une partie génératrice pour connaître un morphisme !Connaître ' : G ! G0 sur X qui engendre G est suffisant pour connaître '

• App : Dénombrement des morphismes de G 6 Sp sur Z/pZ• Ex : Les 3-cycles engendrent An

• App : An est distingué pour n > 5

• S3 n’est pas simple, car il contient h(1 2 3)i qui est distingué• App : Isom(�4) ' S4 et Isom+(�4) ' A4

3 Groupes définis par générateurs et relations

3.1 Les quaternions

• Ex : Le groupe H8 = {±1, ± i, ± j, ± k} défini par générateurs et relations• Norme multiplicative sur les quaternions, théorème de Lagrange...

3.2 Le groupe dérivé

• Def du groupe dérivé G0

• G/G0 est abélien, et c’est le plus grand quotient abélien de G

• Ex : si G abélien, G0 = {1}• Ex : H0

8 = {�1,1}• Ex : A0

5 = A5 (plus généralement, le groupe dérivé d’un groupe simple est lui-même)

• Ex (anticipation) : D(GLn(k)) = SLn(k) si (k,n) 6= (F2,2)

4 Autour du groupe linéaire

4.1 Le groupe linéaire

• Ex : Les transvections engendrent SL(E)

• Ex : Les transvections et les dilatations engendrent GL(E)

• App : SLn(R), SLn(C), CLn(C) sont connexes par arcs, GLn(R) n’est pas connexemais admet deux composantes connexes par arcs homéomorphes

• Théorème de Frobenius-Solotarev• Pivot de Gauss

4.2 Les groupes orthogonaux

• Ex : O(q) est engendré par les réflexions orthogonales• Ex : SO(q) est engendré par les renversements pour n > 3

• SO(3,R) est simple

2

182

Algèbre 108

4.3 Le groupe modulaire

• SL2(Z) est engendré par

1 1

0 1

!et

0 �1

1 0

!

• �0(4) est engendré par ...• Rq : deux manières de le montrer• App : Formule de Jacobi

Développements� Simplicité de SO(3,R) ([9] p.67)� Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier ([5] p.363)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres).

Les éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edi-

tion, 2006.[4] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[5] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géo-


métries, volume 2. Calvage & Mounet, 2015.[7] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e




edition, 2005.

3

183

Algèbre 110

Caractères d’un groupe abélien fini et transforméede Fourier discrète. Applications

1 Caractères des groupes abéliens finis

1.1 Généralités sur les caractères

• Def caractère d’un groupe fini �V (g) = Tr(⇢V (g))

• Ex : �V (1) = Tr(1) = dim V , on définit ainsi le degré du caractère �V

• Un caractère est constant sur les classes de conjugaison de G

• On a �V (g�1) = �V (g)

1.2 Caractères linéaires

• Def caractère linéaire, bG est l’ensemble des caractères linéaires• Si G est cyclique d’ordre n, bG est cyclique d’ordre n

• On a la suite exacte 1 ! [G/H ! bG ! bH ! 1

• bG est un groupe commutatif de même ordre que G

• G ' bbG• Calcul de la somme 1

|G|P

g2G �(g)

• App : Orthogonalité des caractères linéaires

1.3 Caractères et représentations

• Caractère d’une somme directe de représentations• Ex : la représentation régulière, �VG

(1) = |G| et si g 6= 1, �VG(g) = 0

• �Hom(V1,V2)(g) = �V1(g)�V2(g)

• App : �V ⇤ = �V où V ⇤ = Hom(V,C) est la représentation duale de V

• Deux représentations sont isomorphes ssi elles ont même caractère

1

184

Algèbre 110

1.4 Orthogonalité des caractères

• Def produit scalaire• Th de Frobenius : les caractères irr forment une base orthonormale de l’espace

des fonctions centrales• App : le nombre de représentations irr de G est égal au nombre de classes de

conjugaison dans G

1.5 Table des caractères d’un groupe fini

• Def table des caractères• Ex : pour {�1,1}• Ex : pour S4

2 Transformée de Fourier et groupes abéliens

2.1 Des résultats dans un groupe abélien

• Si G est commutatif, toute représentation irr est de dimension 1

• Si G est commutatif, tout fonction G ! C est combinaison linéaire de caractèreslinéaires

2.2 Transformée de Fourier

• Def de la TF d’une fct � sur G : � : � 2 bG 7! h�,�i = 1|G|P

g2G �(g)�(g) =1

|G|P

g2G �(g)�1�(g)

• Formule d’inversion de Fourier• Ex : avec �a(g) = 1 ssi g = a

• Def caractère de Dirichlet• App : aux caractères de Dirichlet

2.3 Groupe dual

• Def du groupe dual• Isomorphisme entre G et son bidual

2.4 Théorème de structure

• Def de l’exposant d’un groupe• G et bG ont même exposant• Théorème de structure des groupes abéliens finis

2

185

Algèbre 110

3 Caractères modulaires• Def caractère modulaire sur le groupe abélien fini (Z/mZ)⇥

• Ex : sur Z/4Z il n’y a qu’un seul caractère modulaire non trivial• Ex : si p premier avec le caractère de Legendre

4 Transformée de Fourier discrète

4.1 Généralités

• Def TF discrète• Complexité de l’algo naïf• Rq : on peut obtenir un algo en N log N

• Lien avec la TF sur un groupe fini• TF inverse• App : F est un isomorphisme d’ev• Formule de Plancherel• Formule avec la convolution

4.2 Equation de la chaleur

• On rappelle l’équation de la chaleur• On rappelle les solutions• La TF discrète permet d’approcher les coefficients de Fourier, et donc les solutions

Développements� Théorème de structure des groupes abéliens finis ([1] p.252)� Caractères d’un groupe abélien fini ([4] p.103-105)


éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[2] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.[3] Gabriel Peyré. L’algèbre discrète de la transformée de Fourier. Ellipses, 2004.[4] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e

edition, 1994.

3

186

Algèbre 120

Anneaux Z/nZ. Applications.

Dans toute la suite, on fixe n 2 N>2.

1 Libérer l’anneau de ses chaînes

1.1 De l’intérêt de la congruence

Définition 1 On définit l’anneau Z/nZ comme le quotient de l’anneau Z par l’idéal nZ.On note ⇡n : Z ⇣Z/nZ la surjection canonique.

Application 1 (Critère de divisibilité) L’entier n est divisible par 27 (resp. 37) si, etseulement si, la somme de ses chiffres par blocs de 3 chiffres l’est.Par exemple 68 748 098 828 632 988 661 est divisible par 27.

Application 2 Si ⇡8(k) = 7, alors k ne s’écrit pas comme somme de trois carrés, et si⇡9(k) = 4 ou 5, alors k ne s’écrit pas comme somme de trois cubes.

1.2 Brève étude algébrique de Z/nZProposition 1 Tout groupe cyclique de cardinal n est isomorphe à Z/nZ.

Exemple 1 On a Un ' Z/nZ.

Proposition 2 (Sous-groupes de Z/nZ) Pour tout diviseur d de n, Z/nZ possède ununique sous-groupe d’ordre d : h(n/d)⇡n(1)i.

Proposition 3 L’anneau Z/nZ est intègre si, et seulement si, c’est un corps si, et seule-ment si, n est premier.

Proposition 4 Le groupe des inversibles (Z/nZ)⇥ est {⇡n(k), (k,n) = 1}.On définit alors l’indicatrice d’Euler comme '(n) := |(Z/nZ)⇥|.

Proposition 5 Les générateurs de Z/nZ sont exactement ses éléments inversibles.

Proposition 6 (Euler-Möbius) On aP

d|n '(n) = n.

Lemme 1 (Chinois) Si (m,n) = 1, alors Z/mnZ anneaux' Z/mZ⇥Z/nZ. De plus l’isomor-phisme est explicitement donné par x 7! (⇡m(x),⇡n(x)).

Contre-Exemple 1 On a Z/4Z 6' (Z/2Z)2 car Z/4Z possède un élément d’ordre 4contrairement à (Z/2Z)2.

1

187

Algèbre 120

Remarque 1 La méthode pour trouver x 2 Z tel que pour (a,b) 2 Z/mZ ⇥ Z/nZ fixéon ait ⇡m(x) = a et ⇡n(x) = b repose sur l’algorithme d’Euclide. On trouve u et v tels queum + vn = 1, alors x := a + um(b � a) convient.

Application 3 On a '(n) = n(1� p1�1) · · · (1� pk

�1) où les pi sont les nombres premiersdivisant n.

Proposition 7 On a Hom(Z/mZ,Z/nZ) ' Z/�Z avec � = (m,n).

Proposition 8 On a Aut(Z/nZ) ' (Z/nZ)⇥.

Exemple 2 Si p est premier, l’application x 7! xp dit morphisme de Frobenius appartientà Aut(Z/pZ).

Théorème 1 (Structure des (Z/nZ)⇥) On a

• (Z/2Z)⇥ ' {1} et (Z/4Z)⇥ ' Z/2Z,• si k > 3, (Z/2kZ)⇥ ' Z/2Z ⇥ Z/2k�2Z,• si p premier impair et k > 2, (Z/pkZ)⇥ ' Z/pk�1(p � 1)Z.

1.3 Z/nZ comme machine à contre-exemples

Contre-Exemple 2 On n’a pas toujours H ⇥ G/H ' G. En effet, avec H = Z/2Z etG = Z/4Z, on a H ⇥ G/H ' (Z/2Z)2 6' Z/4Z = G.

Contre-Exemple 3 Le théorème de Wedderburn affirme que tout corps fini est commu-tatif. Ce n’est pas vrai pour un anneau fini, comme M2(Z/2Z) nous le montre. En revanche,le groupe multiplicatif de cet anneau est commutatif.

Contre-Exemple 4 Le corps Z/pZ(X) avec p premier est infini mais de caractéristiquenon nulle.

Contre-Exemple 5 L’ensemble d’applications ZZ/2Z est un anneau commutatif infini pos-sédant un unique élément inversible.

Contre-Exemple 6 Un polynôme réductible sur Z[X] l’est aussi sur Z/pZ avec p premier,mais la réciproque est fausse. Le polynôme X4 + 1 est réductible sur Z/pZ[X] pour toutnombre premier p.

Contre-Exemple 7 L’anneau (Z/5Z)5 est un anneau commutatif non intègre mais dontla caractéristique est un nombre premier.

2 Des applications en tous genresApplication 4 Soit G un groupe fini tel que tout élément soit d’ordre au plus 2. Alors ilexiste k 2 N tel que G ' (Z/2Z)k.

Application 5 (Cryptage RSA) Posons n := pq où p et q sont deux nombres premiers.Soit e entier impair premier avec '(n) et d son inverse dans Z/'(n)Z. On diffuse alors uneclef publique P : k 2 Z/nZ ! ke 2 Z/nZ pour crypter, et on se garde une clef secrèteS : k 2 Z/nZ ! kd 2 Z/nZ pour décrypter car S � P = id.La sécurité repose sur le fait qu’il est difficile de calculer '(n) = (p�1)(q�1) sans connaîtrep et q.

2

188

Algèbre 120

Application 6 (Critère d’Eisenstein) Soit P =Pn

i=1 aiXi 2 Z[X]. Soit p un nombre

premier tel que p - an, p | ai si i 6= n et p2 - a0. Alors P est irréductible dans Q[X].

Application 7 On déduit du critère d’Eisenstein que pour tout nombre premier p, Xn�pest Z[X]-irréductible. Ainsi, l’ensemble des nombres algébriques est un Q-espace vectorielde dimension infinie (quand bien même c’est une clôture algébrique dénombrable de Q !).

Application 8 (Un peu de dénombrement) (Développement 1)Soit p un nombre premier. Alors le cardinal de SO2(Z/pZ) vaut 2 si p = 2, p � 1 si p ⌘ 1(mod 4) et p + 1 si p ⌘ 3 (mod 4).

Application 9 Soit p premier et A 2 Mn(Z). Alors Tr(Ap) ⌘ Tr(A) (mod p).

3 Applications en Arithmétique

3.1 Autour des nombres premiers

Théorème 2 (Wilson) Un entier p > 2 est premier si, et seulement si, (p � 1)! ⌘ �1(mod p).

Proposition 9 Soit p > 2 un nombre premier. Alors ⇡p(�1) est un carré si, et seulementsi, p ⌘ 1 (mod 4).

Application 10 Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.

Application 11 (Test de primalité pour les nombres de Mersenne) Si p = 4n+3est premier, alors 2p + 1 est premier si, et seulement si, 2p ⌘ 1 (mod 2p + 1).

Application 12 (Test de Pépin) Le n-ième nombre de Fermat Fn = 22n +1 est premiersi, et seulement si, 3(Fn�1)/2 = �1 dans Z/FnZ.

Théorème 3 (de Dirichlet version faible) (Développement 2)Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n.

3.2 Autour d’équations diophantiennes

Application 13 L’équation diophantienne y2 = x3 + 7 n’a pas de solution.

Application 14 (Théorème des deux carrés) Un nombre premier p s’écrit comme sommede deux carrés si, et seulement si, p = 2 ou p est congru à 1 modulo 4.

Exemple 3 La solution générale de l’équation x2 + y2 = z2 avec x,y,z > 0, (x,y) = 1 et2 | x est donnée par (x,y,z) = (ab, a2 � b2, a2 + b2) où a et b sont de parité opposée et(a,b) = 1.

Application 15 (Cas n = 4 du grand théorème de Fermat) L’équation x4 + y4 =z4 n’a pas de solution entières strictement positives.

Exemple 4 (Équation de Pell-Fermat modulo p) Soit p premier et d non divisiblepar p. Alors l’équation x2 � y2 = d admet p � 1 solutions dans Z/pZ.

3

189

Algèbre 120

Développements� Cardinal de SO2(Z/pZ)

� Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv

Figure 1 – n modulo '(n)

Remarque : D. H. Lehmer conjectura en 1932 qu’un entier n était premier si, et seulementsi, n ⌘ 1 (mod '(n)). De nombreux résultats partiels ayant été prouvés comme le fait quesi 3 | n, alors n doit avoir au moins 213 facteurs premiers distincts et être supérieur à5.5 · 10570.

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] E.M. Wright G.H. Hardy. Introduction à la Théorie des Nombres. Springer, 5ème

edition, 2007.[3] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[4] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[5] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[6] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[7] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,

2006.[8] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[9] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Algèbre

Tome 1. Cassini, 2001.[10] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e edition,

2005.

4

190

Algèbre 121

Nombres premiers. Applications.

Dans toute la suite, p désigne un nombre premier.

1 Généralités et premières applications

1.1 Généralités

• Définition• Il y a une infinité de nombres premiers• Théorème fondamental de l’arithmétique• Z/nZ est un corps ssi n est premier• Petit théorème de Fermat• Théorème de Wilson• App : Cryptage RSA

1.2 Applications en arithmétique

• ⇡p(�1) est un carré ssi p ⌘ 1 (mod 4)

• App : Théorème des deux carrés• App : Test de primalité pour les nombres de Mersenne• App : Test de Pépin• Théorème de Dirichlet version faible• App : Equation de Pell-Fermat modulo p

• Théorème de Chevalley-Warning• Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv

2 Répartition des nombres premiers• P 1

pdiverge

• Fonction ⇣ de Riemann• On a ⇣(s) =

Qp (1 � p�s)

�1

• Def ⇡(x), ⇡(x) ⇠ xlog x

• Postulat de Bertrand• Probabilité que deux nombres soient premiers entre eux

1

191

Algèbre 121

3 Applications en algèbre

3.1 Autour du critère d’Eisenstein

• Critère d’Eisenstein• App : Le p-ième polynôme cyclotomique est irréductible sur Q[X]

• Xn � p est irréductible• App : L’ensemble des nombres algébrique est un Q-ev de dim infinie (et c’est

pourtant une extension dénombrable de Q !)

3.2 Un peu d’algèbre

• Cardinal de SO2(Z/pZ)

• Si A 2 Mn(Z), alors Tr(Ap) ⌘ Tr(A) (mod p)

• Théorèmes de Sylow

Développements� Théorème des deux carrés ([4] p.56)� Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv (doc manuel so far)

Largement inspirée de la leçon sur Z/nZ, les références ne sont pas forcément citéesici.

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,

2006.[4] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[5] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.

Algèbre Tome 1. Cassini, 2001.

2

192

Algèbre 122

Anneaux principaux. Applications.

1 Généralités• Intérêt• Def idéal, idéal principal, anneau principal• Ex : Z, k[X]

• C-Ex : k[X,Y ]

• Définition de la caractéristique d’un anneau intègre• Def divisibilité, def éléments associés ⇠• Comme l’anneau intègre, caractérisation avec a ⇠ b () 9u 2 A⇥,a = bu

• C-Ex : Si A = k[X,Y,Z]/X(1 � Y Z)

• a 7! (a) induit un isomorphisme d’ensembles ordonnés de A/ ⇠ muni de la divi-siblité sur les idéaux principaux de A muni de l’inclusion inverse

• Def élément irréductible• Ex : Dans Z les irréductibles sont les nombres premiers• pgcd, ppcm et lien avec les idéaux• Def éléments premiers entre eux• Un anneau principal est factoriel, donc noethérien• Dans Z[X], (2,X) est factoriel non principal• Dans un anneau principal les éléments irréductibles sont aussi premiers (la réci-

proque est toujours vraie pour un anneau intègre)• X2 + 1 est irréductible non premier dans Z[X]

• Théorème de Bézout

2 Applications à l’arithmétique

2.1 Les anneaux euclidiens

• Def anneau euclidien• Un anneau euclidien est principal• Si k est un corps, k[X] est euclidien• A[X] est principal ssi A est un corps

• Ex : Z[1+ip

192

] est principal non euclidien

1

193

Algèbre 122

2.2 Les entiers de Gauss

• Anneau Z[i] des entiers de Gauss• Def norme, les éléments inversibles sont les éléments de norme 1

• Z[i] est principal• App : Théorème des deux carrés

2.3 Le théorème chinois

• Le théorème chinois• Dans le cas principal, la condition I + J étrangers revient à i et j premiers entre

eux• Réciproque de l’isomorphisme du th chinois dans le cas principal grâce à des

coefficients de Bézout

3 Applications à l’algèbre linéaire• Lemme des noyaux• Théorème de Jordan• Forme normale d’une matrice

Développements� Théorème des deux carrés ([4] p.56)

� Z[1+ip

192

] principal non euclidien ([4] p.54)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[3] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[4] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[5] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

2

194

Algèbre 123

Corps finis. Applications.

1 Structure des corps finis

1.1 Généralités

• Def d’un corps fini• Construction explicite de F4

• Ex : Z/nZ corps ssi n est premier• Def de la caractéristique• La carac de k est un nombre premier p, k est de cardinal pn

• Attention : Fpn n’est isomorphe ni à (Z/pZ)n, ni à Z/pnZ• Un anneau intègre fini est un corps• Théorème de Wedderburn• Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif k⇤ est cyclique• App : Le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique• Appp : th de Frobenius-Zolotarev• Rq : On ne sait pas en déterminer explicitement un générateur• Les sous-corps de Fpn sont les Fpk tel que k | n

• Ex : F4 n’est pas un sous-corps de F8 car 2 - 3

• Automorphisme de Frobenius• Chaque élément de Fpn admet exactement une racine p-ième• La clôture algébrique d’un Fpn est [i>1Fpi

1.2 Les carrés de Fq

• Il y a 2n carrés dans F2n et q+12

carrés dans Fq

• x est un carré dans Fq ssi xq�12 = 1

• App : �1 est un carré ssi q ⌘ 1 (mod q)

• Appp : Résolution de l’équation diophantienne y2 = x3 + 1

• Appp : Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4

1

195

Algèbre 123

2 Polynômes sur un corps fini

2.1 Corps de décomposition

• Xpn � X =Q

a2Fpn

• Il existe un unique corps fini à pn éléments : le corps de décomposition de Xpn �X

• Si P est irréductible de degré n, alors Fp[X]/(P ) ' Fpn

• Rq : Il n’existe pas d’algorithme pour trouver un tel polynôme• App : Dénombrement des poly irr unit sur un corps fini

2.2 Irréductibilité sur Q[X]

• Si P 2 Z[X], an 6⌘ 0 (mod p), P irréductible sur Fp[X]. Alors P irréductible dansQ[X]

• Si k un corps, P 2 k[X] de degré n > 2, alors P irr dans k[X] ssi P n’a pas deracine dans toutes les extensions L de K vérifiant [L : K] 6 n

2

• App : X4 + X + 1 est irréductible sur Q[X]

• Limite de ce critère : X4 + 1 est irréductible sur Q[X] mais réductible sur toutFp[X]

• Critère d’Eisenstein• App : On déduit du critère d’Eisenstein que pour tout nombre premier p, Xn � p

est Z[X]-irréductible. Ainsi, l’ensemble des nombres algébriques est un Q-espacevectoriel de dimension infinie (quand bien même c’est une clôture algébrique dé-nombrable de Q !)

3 Applications• �1 est un carré dans Fp ssi p ⌘ 1 (mod 4)

• App : l’équation diophantienne y2 = x3 + 7 n’a pas de solution• App : Théorème de Dirichlet version faible• App : Dénombrement de SO2(Fp)

• App : Tr(Ap) ⌘ Tr(a) (mod p)

• App : x2 � y2 = d admet p � 1 solutions dans Fp

• App : Théorèmes de Sylow en plongeant G dans Sn puis Sn dans GLn(Fp)

Développements� Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini ([2] p.90)� Théorème de Frobenius-Zolotarev ([7] p.251)

2

196

Algèbre 123

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[3] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[4] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,



edition, 2005.

3

197

Algèbre 125

Extensions de corps. E et A

1 La théorie parsemée d’exemples• Def d’une extension de corps K ⇢ L

• Ex : Q ⇢ R ⇢ C, R ⇢ R(X), Q ⇢ Q(i),. . .• On a alors que L est un K-ev• Def degré de L/K ; [L : K] := dimK L

• Ex : C est une extension de R de degré 2, R/Q est une extension de degré 1• Si K,L sont des corps finis, |L| = |K|[L:K]

• Théorème de la base télescopique et multiplicativité du degré• App : Construction de Q(

p2,p

3)

• Def élément algébrique, élément transcendant, polynôme minimal• Ex : e et ⇡ sont transcendants sur Q, X est transcendant sur R• Ex : i et 3

p2 sont algébriques sur Q de poly min X2 + 1 et X3 � 2

• Def extension finie, extension algébrique, def clôture algébrique• Ex : C clôture algébrique de R, [i>1Fpi clôture algébrique de Fpn , A clôture alg

de Q• Ex : le critère d’Eisenstein donne que l’ensemble des nombres algébriques est un

Q-ev de dim infinie, bien que ce soit une clôture algébrique dénombrable de Q• Rq : Comme l’ensemble des nombres alg est dénombrable, on a existence de

nombres transcendants sur Q• Si ↵ est transcendant sur K, alors K[↵] ' K[X]

• ↵ est alg ssi K[↵] = K(↵) ssi dimK [↵] < 1, de plus [K[↵] : K] est le degré dupolynôme minimal de ↵

• L’ensemble des éléments de L algébriques sur K est un sous-corps de L

• Rq : pas évident sans la théorie de mq 7p

5 + 3p

7 5p

3 est algébrique

2 Corps de rupture, corps de décomposition• Def corps de rupture• Si P irréductible, il existe un unique corps de rupture de P sur K

1

198

Algèbre 125

• Ex : C corps de rupture de X2 + 1 et Q( 3p

2) de X3 � 2

• Def corps de décomposition• On a existence et unicité du corps de décomposition• Ex : K = Q, le corps de décompo de X3 � 2 est Q( 3

p2,j)

• App : Existence et unicité des corps finis• Soit P 2 K[X] irréductible de degré n et L une extension de K de degré m avec

(m,n) = 1. Alors P est irr sur L

3 Application à la construction à la règle et au com-pas

• Si A ⇢ R2, on a le droit de faire deux choses pour construire à la règle et aucompas

• Def point constructible• Ex : Z,

p2

• Si x est un réel constructible, alors x est algébrique sur Q et son degré [Q[x] : Q]est une puissance de 2

• App : Impossibilité de la duplication du cube car 3p

2 non constructible• App : Impossibilité de la trisection de l’angle car cos(⇡/9) non constructible• App : Impossibilité de la quadrature du cercle car

p⇡ transcendant

Développements� Construction à la règle et au compas ([3] p.50-52 + [2] p.130-132)� Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini ([3] p.90)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[3] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[4] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.

2

199

Algèbre 126

Exemples d’équations diophantiennes.

1 Equations du premier degré• Def : Une équation diophantienne est une équation (polynomiale) à une ou plu-

sieurs indéterminées dont on cherche des solutions rationnelles• Bézout : a et b sont premiers entre eux ssi l’équation diophantienne aX + bY = 1

admet des solutions• Ex : 47x + 111y = 1

• Algorithme d’Euclide• Lemme de Gauss• L’équation ax + by = d

• Théorème chinois• Réciproque du théorème chinois• Systèmes de congruences

2 Des exemples d’équations diophantiennes• Wilson : Les solutions en X de (X � 1)! + 1 = XY sont les nombres premiers• Si an � 1 est premier, alors a = 2 ou n est premier• Une solution rationnelle de Xn + an�1X

n�1 + · · · + a0 = 0 où les ai 2 Z est unesolution entière

• Il n’existe pas de polynôme non constant P à coefficients entiers tel que P (n) soitpremier pour tout n suffisamment grand

• Si n > 6, alors l’équation (n � 1)! + 1 = nm n’as pas de solution (Liouville)• y2 = x3 + 7 n’a pas de solution (grâce à �1 carré dans Z/pZ ssi. . .)

3 L’équation de Pell-Fermat• Structure de groupe sur une conique• Ex : sur l’hyperbole d’équation xy = 1

• Soit C une conique affine non dégénérée ayant une équation à coeff rationnels etE 2 C un point rationnel. On note ⇤ la loi de groupe sur C dont E est le neutre.Si A,B 2 C deux points rationnels, alors A ⇤ B en est un aussi

1

200

Algèbre 126

• Equation de Pell-Fermat• Equations de Pell-Fermat modulo un nombre premier

4 Le grand théorème de Fermat• Détermination des triplets pythagoriciens avec la paramétrisation du cercle (mé-

thode géométrique !)• App : Cas n = 4 du grand théorème de Fermat• Rq : histoire du grand théorème de Fermat• C-Ex : puissance quatrième somme de trois puissances quatrième, et pareil avec

des puissances cinquièmes

5 Décompositions en somme de puissances• Théorème de Lagrange : pour tout n l’équation diophantienne n = a2+b2+c2+d2

admet des solutions (avec les quaternions ou arithmétique élémentaire)• Théorème de Jacobi pour les compter : r4(n) = 8

P4-d|n d (avec les formes modu-

laires, projet. . .)• Théorème des deux carrés

Développements� Théorème des deux carrés ([6] p.56)� Equation de Pell et structure de groupe sur une conique ([7] p.388)

Références[1] E.M. Wright G.H. Hardy. Introduction à la Théorie des Nombres. Springer,

5ème edition, 2007.[2] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[3] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[4] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[5] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,


tries, volume 2. Calvage & Mounet, 2015.

2

201

Algèbre 141

Polynôme irréductible à une indéterminée. Corpsde rupture. E et A

1 Polynômes irréductibles


• Def polynôme irréductible• Ex : X � a, pour k = R ce sont exactement les polynômes de degré 1 et ceux de

degré 2 de discriminant < 0, �n est irr sur Z• Ex : Polynômes irr de degré 1 sur F2 : X, X + 1 ; de degré 2 : X2 + X + 1 ; de

degré 3 : X3 + X + 1 X3 + X2 + 1. Procédé pour les trouver• Si P est irréductible de degré > 1, alors il n’a pas de racine dans k

• C-Ex : Réciproque fausse : (X2 + 1)2 (vraie pour les polynômes de degré 6 3)• Si P est irr, alors K[X]/(P ) est un corps• Def clôture algébrique• Les seuls irr d’une clôture alg sont les X � a

• Si k = Frac(A) et que A est factoriel, alors P (X) est irr sur A ss’il l’est sur K etque son contenu est 1

• Soit P 2 K[X] irréductible de degré n et L une extension de K de degré m avec(m,n) = 1. Alors P est irr sur L

1.2 Des méthodes

• Critère d’Eisenstein• App : Xp�1 + X + · · · + 1 est irréductible sur Z• Si p - an et que P est irréductible sur Fp, alors P est irréductible sur Q• Ex : X3 + 462X2 + 2433X � 67691 est irréductible sur Q car sur F2

• Ex : Xp � X � 1 est irréductible sur Fp donc sur Z• Limite de cette méthode : X4 + 1 est irr sur Q mais réductible sur Fp pour tout

p premier• P est irr sur K ssi P n’a pas de racine dans les extensions L de K de degré 6 n/2

• Ex : X4 + X + 1 est irr sur F2 car il n’a pas de racine ni dans F2 ni dans F4

1

202

Algèbre 141

2 Adjonction de racines• Théorème de la base télescopique et multiplicativité du degré• Ex : C clôture algébrique de R, [i>1Fpi clôture algébrique de Fpn , A clôture alg

de Q• Rq : Comme l’ensemble des nombres alg est dénombrable, on a existence de

nombres transcendants sur Q• Def corps de rupture• Si P irréductible, il existe un unique corps de rupture de P sur K

• Ex : C corps de rupture de X2 + 1 et Q( 3p

2) de X3 � 2

• Def corps de décomposition• On a existence et unicité du corps de décomposition• Ex : K = Q, le corps de décompo de X3 � 2 est Q( 3

p2,j)

• App : Existence et unicité des corps finis

3 Applications• App : le critère d’Eisenstein donne que l’ensemble des nombres algébriques est un

Q-ev de dim infinie, bien que ce soit une clôture algébrique dénombrable de Q• App : Construction à la règle et au compas, duplication du cube, trisection de

l’angle, quadrature du cercle• Théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques• App : Il existe p premier avec (p,n) = 1 tq �n,Fp irr sur Fp ssi (Z/nZ)⇥ est cyclique

ssi n = 1,2,4,q↵,2q↵ avec q premier impair

Développements� Construction à la règle et au compas ([3] p.50-52 + [2] p.130-132)� Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini ([3] p.90)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[3] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[4] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,

2006.[5] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.

2

203

Algèbre 142

Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées.Applications.

1 Généralités• Def de A[X,Y ] comme A[X][Y ] lorsque A est un anneau commutatif unitaire• Def par récurrence de A[X1, . . . ,Xn]

• k[X1, . . . ,Xn] est une k-algèbre dont (X1i1 · · · Xn

in) est une base• k[X1, . . . ,Xn] n’est pas un anneau principal (l’idéal (X1,X2) n’est pas principal),si

n > 2, mais c’est un anneau factoriel• Si A est intègre, A[X1, . . . ,Xn] est intègre• Théorème de Hilbert• App : A[X1, . . . ,Xn] est noethérien• Def du degré• Si k est infini et que P 2 k[X1, . . . ,Xn] s’annule pour tout (x1, . . . ,xn) 2 kn, alors

P = 0

• C-Ex : ce n’est pas vrai si k est fini, prendre P = (X1�1) · · · (X1�(p�1))X2 · · · Xn

dans Fp

• C-Ex : on peut aussi avoir P (x1, . . . ,xn) = 0 pour une infinité de n-uplets avecP 6= 0, prendre P = X � Y

• On remarque que le th de d’Alembert-Gauss est toujours vrai sur C[X1, . . . ,Xn]

2 Les polynômes symétriques

2.1 Généralités

• Def polynôme symétrique• Ex : dans R[X,Y,Z], P = XY + Y Z + ZX est symétrique• Def symétrisé d’un monôme (noté ⌃·), attention, cela dépend de l’anneau dans

lequel on se place !• Ex : dans R[X,Y ], ⌃X2Y = X2Y + XY 2

• Def polynômes symétriques élémentaires �i

• Ex : �1 = X1 + · · · + Xn, �n = X1 · · · Xn

1

204

Algèbre 142

• On a (T � X1) · · · (T � Xn) = T n � �1Tn�1 + �2T

n�2 + · · · + (�1)n�n

• Si P 2 A[X1, . . . ,Xn] est un polynôme symétrique, alors il existe un unique � 2A[X1, . . . ,Xn] tel que P = �(�1, . . . ,�n)

• Ex : dans A[X1, . . . ,Xn], ⌃X12 = �1

2 � 2�2

• Formules de Newton

2.2 Applications

• App : Si P 2 Z[X], on note ui ses racines complexes, alors pour tout polynômesymétrique F 2 Z[X1, . . . ,Xn], on a F (u1, . . . ,un) 2 Z

• App : Condition sur l’équation de Cardan du troisième degré• Rq : Cette condition a amené à la création des nombres complexes !• App : Théorème de Kronecker• App : Transcendance de ⇡

• Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes

3 Divers applications

3.1 Éléments algébriques

• Def indépendance algébrique• On a (e1, . . . ,en) algébriquement libre sur k ss’il n’existe pas de polynôme P 2

k[X1, . . . ,Xn] tel que P (e1, . . . ,en) = 0

• App : Si (e1, . . . ,en) est algébrique libre, alors k[e1, . . . ,en] ' k[X1, . . . ,Xn]

• Def famille génératrice, base de transcendance• Ex : si L = k(X1, . . . ,Xn) est le corps des fractions rationnelles, alors (X1, . . . ,Xn)

est une base de transcendance de

3.2 Les coniques

• Def conique• Le morphisme P 2 k[X,Y ] 7! ((x,y) 2 k2 7! P (x,y)) 2 k[X,Y ]62 est injectif• Structure de groupe sur une conique• L’équation de Pell-Fermat

3.3 Zéros d’un polynôme

• Si P 2 C[X1, . . . ,Xn] s’annule sur un ouvert non vide Cn, alors P = 0

• App : Cayley-Hamilton• Le complémentaire des zéros d’un polynôme non nul est dense dans Cn

• Théorème de Chevalley-Warning

2

205

Algèbre 142

• App : SiP

deg(f↵) < n et si les f↵ sont sans terme constant, alors les f↵ ont unzéro commun non trivial

• Appp : Tout forme quadratique d’au moins 3 variables a un zéro non trivial (ouencore en langage géométrique : toute conique sur un corps fini a au moins unpoint rationnel)

• App : Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv

Développements� Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes ([2] p.206)� Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv (doc manuel so far)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[3] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[4] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[5] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-


tries, volume 2. Calvage & Mounet, 2015.[7] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e

edition, 1994.

3

206

Algèbre 144

Racines d’un polynôme. Fonctions symétriquesélémentaires. E et A

1 Racines d’un polynôme et applications

1.1 Divers généralités

• Def racine, def multiplicité d’une racine• Un polynôme de degré n a au plus n racines sur un corps• C-Ex : pas vrai sur un anneau : 4X dans Z/8Z• Caractérisation de l’ordre d’une racine en caractéristique nulle grâce à la formule

de Taylor• Un polynôme Q[X]-irréductible n’a que des racines simples sur C• Théorème de d’Alembert-Gauss• Condition pour qu’un polynôme de R[X] de degré 2 ait une racine réelle• Si P 2 C[X1, . . . ,Xn] s’annule sur un ouvert non vide Cn, alors P = 0

• App : Cayley-Hamilton

1.2 Autour du théorème de Chevalley-Warning

• Théorème de Chevalley-Warning• App : Si

Pdeg(f↵) < n et si les f↵ sont sans terme constant, alors les f↵ ont un

zéro commun non trivial• Appp : Tout forme quadratique d’au moins 3 variables a un zéro non trivial (ou

encore en langage géométrique : toute conique sur un corps fini a au moins unpoint rationnel)

• App : Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv• Méthode de Newton-Raphson

1.3 Topologie

• L’ensemble des racines est un fermé• App : GLn(k) est ouvert• Le complémentaire des zéros d’un polynôme non nul est dense dans Cn

• Théorème de Gauss-Lucas• App : Détermination du plus grand entier n tq les racines de (X + 1)n � Xn � 1

soient de module 1

1

207

Algèbre 144

1.4 Application à la réduction

• Les vp sont les racines du polynôme caractéristique• f est diago ssi �f est scindé et que l’ordre de multiplicité de chaque racine �i est

égal à dim E�i

• Def matrice compagnon CP

• On a �CP= (�1)nP

• App : Cayley-Hamilton

2 Les polynômes symétriques

2.1 Généralités

• Def polynôme symétrique• Ex : dans R[X,Y,Z], P = XY + Y Z + ZX est symétrique• Def symétrisé d’un monôme (noté ⌃·), attention, cela dépend de l’anneau dans

lequel on se place !• Ex : dans R[X,Y ], ⌃X2Y = X2Y + XY 2

• Def polynômes symétriques élémentaires �i

• Ex : �1 = X1 + · · · + Xn, �n = X1 · · · Xn

• On a (T � X1) · · · (T � Xn) = T n � �1Tn�1 + �2T

n�2 + · · · + (�1)n�n

• Si P 2 A[X1, . . . ,Xn] est un polynôme symétrique, alors il existe un unique � 2A[X1, . . . ,Xn] tel que P = �(�1, . . . ,�n)

• Ex : dans A[X1, . . . ,Xn], ⌃X12 = �1

2 � 2�2

• Formules de Newton

2.2 Applications

• App : Si P 2 Z[X], on note ui ses racines complexes, alors pour tout polynômesymétrique F 2 Z[X1, . . . ,Xn], on a F (u1, . . . ,un) 2 Z

• App : Condition sur l’équation de Cardan du troisième degré• Rq : Cette condition a amené à la création des nombres complexes !• App : Théorème de Kronecker• App : Transcendance de ⇡

• Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes

3 Théorie des corps• Def clôture algébrique• Un corps fini n’est pas algébriquement clos• Existence de la clôture alg

2

208

Algèbre 144

• Ex : C, Q, [i>1Fpi

• Def élément algébrique, élément transcendant• Ex : e et ⇡ sont transcendants sur Q, X est transcendant sur R• Ex : i et 3

p2 sont algébriques sur Q de poly min X2 + 1 et X3 � 2

• Construction des corps finis

Développements� Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv (doc manuel so far)� Théorème de Gauss-Lucas et applications ([4] p.229)

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[3] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e



3

209

Algèbre 150

Exemples d’actions de groupes sur les espaces dematrices

1 Action par translation• Def action par translation de GLm(k)

• Utilité : résolution d’un système linéaire, on cherche une matrice dans l’orbite laplus simple possible

• Multiplier une équation par une constante revient à multiplier à gauche la matricepar une matrice de dilatation

• Faire une combinaison linéaire de lignes revient à multiplier à gauche la matricepar une matrice de transvection

• Permuter deux équation à multiplier à gauche la matrice par une matrice depermutation

• Les matrices échelonnées en lignes donnent une forme normale pour un représen-tant de l’orbite

• Toute matrice est dans l’orbite d’une unique matrice échelonnée réduite• Algorithme du pivot de Gauss

2 Action par équivalence• Def action par équivalence• Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang• App : Théorème du rang• Les orbites sont paramétrées par le rang, entier dans {0, . . . , min(m,n)}• Les orbites ne sont pas fermées, mais le rang est semi-continu inférieurement• App : GLn(K) est un ouvert dense

3 Action par conjugaison

3.1 Divers

• Def action par conjugaison• Changement de base et matrice de passage

1

210

Algèbre 150

• Ex : Simplicité de SO(3,R)

• Deux matrices dans la même orbite représentent un même endomorphisme, ellesont même trace, même déterminant, même polynôme caractéristique. . .

• L’action étant continue, les matrices diago sont denses dans Mn(C)

• App : théorème de Cayley-Hamilton

3.2 De la réduction

• On considère l’action de GLn(C) sur Dn(C) par conjugaison• L’application O(A) 2 Dn(C)/GLn(C) 7! Spec(A) 2 Cn/Sn est bien définie est

bijective• Une matrice A est diago ssi son orbite O(A) est fermée dans Mn(C)

• Pour une matrice réelle A, GLn(C)-semblable ssi GLn(R)-semblable ; et GLn(R) ·A = GLn(C) · A \ Mn(R)

• Action restreinte aux matrices nilpotentes• Réduction de Jordan

4 Action par congruence• Def action par congruence• Racine carrée d’une matrice hermitienne positive• App : Décomposition polaire• Appp : Etude de O(p,q)

• Théorème spectral• App : exp: Sn(R) ! S++

n (R) est un homéo• Théorème d’inertie de Sylvester

Développements� Décomposition de O(p,q) ([2] p.211)� Décomposition polaire ([2] p.202)

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-


2

211

Algèbre 151

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera aucas de la dimension finie). Rang. E et A

1 Théorie de la dimension• Def famille libre, famille génératrice• Ex : (x 7! e�x)�2R est libre dans RR

• Si E ev engendré par n vecteurs, alors toute famille libre a au plus n vecteurs• Def base• Ex : b.c. de Rn, (Xn) base de k[X], (Eij) base de Mn(k)

• Ecriture unique d’un vecteur sur une base• Def : On dit qu’un ev est de dim finie s’il existe une famille génératrice finie• Théorème de la base incomplète (implique l’existence d’une base pour un ev de

dim finie)• Attention : pas vrai pour les modules libres• Un ev de dim finie à toutes ces bases de même cardinal, def de la dimension• Ex : Rn, Qn, Mn(k), k[X]6n, (Fp)

n

• Si F ⇢ E, dim F 6 dim E

• App : Montrer que F = E est plus facile• App : Une forme linéaire est soit nulle soit surjective

2 Applications linéaires et rang• Im(f) et ker (f) sont des sev• Def du rang• Th de factorisation d’une application linéaire• App : Théorème du rang• Appp : bij ssi inj ssi surj• Appp : Dans L (E), il suffit d’être inversible à droite ou à gauche pour être

inversible• Rq : A mettre en parallèle avec des applications sur des ensembles finis• C-Ex : Faux en dim infinie : P 7! P 0

1

212

Algèbre 151

• Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang• App : GLn(k) est dense dans Mn(k)

• Def du dual

3 Applications

3.1 En théorie des corps

• L’ensemble des éléments algébriques forme un anneau• Une k-algèbre de dim finie est intègre ssi c’est un corps• Def degré d’une extension• Multiplicativité du degré• Constructibilité à la règle et au compas• Condition nécessaire pour qu’un point soit constructible

3.2 En algèbre linéaire

• Ensembles des matrices tq A2 = 0

• Existence du polynôme annulateur, polynôme minimal• Orbites de l’action de GL(E) sur E

• Surjectivité de la restriction• Existence d’un supplémentaire• Un critère de nilpotence

3.3 En analyse

• L’ensemble des solutions d’un système différentiel linéaire est un ev de dim n

• Interpolation de Lagrange• Familles libres d’applications

Développements� Familles libres d’applications ([3] p.280)� Diagonalisation des endomorphismes normaux ([1] p.260)

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[3] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


2

213

Algèbre 151

[4] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2eedition, 2005.

3

214

Algèbre 152

Déterminant. E et A

1 La théorie

1.1 Construction du Déterminant

• Def forme multilinéaire, forme alternée, forme symétrique• Dans un corps de carac 6= 2, alternée () symétrique• L’ensemble des formes n-linéaires alternées est un k-ev de dim 1, de plus il existe

une unique forme n-linéaire alternée prenant la valeur 1 sur une base donnée• Def déterminant d’une base• Famille liée ssi déterminant nul• Def déterminant d’un endormorphisme• Propriété de morphisme du déterminant• Def déterminant d’une matrice carrée• Lien avec le déterminant d’un endomorphisme

1.2 Méthodes et exemples de calculs

• FormuleP

�2Sn"(�)

Qni=1 a�(i),i

• Algorithme de Gauss• Quelques règles de calcul : det(tA) = det A, det(�A) = �n det A, permutation des

lignes• Ex : Calcul d’un déterminant avec un polynôme• det A 6= 0 () A 2 GLn(k)

• C-Ex : pas vrai si k = A anneau• Déterminant par blocs• Def mineurs et cofacteurs• Développement par rapport à une ligne ou une colonne• Ex : Déterminant de Vandermonde• Formule At com(A) = det(A)In

• App : formule générale pour l’inverse d’une matrice 2 ⇥ 2

• App : Une matrice M à coeff dans un anneau A est inversible ssi det M 2 A⇥

• Ex : Calcul d’un déterminant avec des coeff binomiaux

1

215

Algèbre 152

2 Applications en algèbre linéaire

2.1 Diverses applications

• det(exp(A)) = exp(Tr(A))

• exp: Mn(R) ! GLn(R) n’est pas surjective• Prolongement d’une identité• Deux matrices semblables sur C sont en fait semblables sur R• Déterminant par blocs si D et C commutent• Si B s’écrit comme une série en A, alors B est un polynôme en A

• L’exponentielle de M est un polynôme en M

• Dénombrement de SLn(Fp)

2.2 Applications à la réduction

• Def polynôme caractéristique• Coeff du polynôme caract en fonction des mineurs• Si le polynôme caract est scindé simple, alors l’endo est diagonalisable• Ex : Diagonalisation de M = . . .

• Si le polynôme caract est scindé, alors l’endo est trigonalisable (ssi en fait)• Théorème de Cayley-Hamilton

3 Autres applications• GLn(K) est ouvert dense dans Mn(K)

• Différentielle du déterminant• Caractérisation de SOn(R)

• Changement de variable grâce au jacobien• Déterminant et volume• Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes

Développements� Théorème de Frobenius-Zolotarev ([3] p.252)� Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes ([1] p.206)

2

216

Algèbre 152

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence et

de l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.[3] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

3

217

Algèbre 153

Polynômes d’endomorphisme en dimension finie.Réduction d’un endomorphisme en dimension

finie. Applications.

1 Polynômes d’endomorphisme

1.1 Généralités

• Def algèbre k[u] avec un morphisme k[X] ! L (E)

• Idéal des polynômes anulateurs• App : def du polynôme minimal ⇡u

• Structure de k[u]

• La dimension de k[u] est le nombre de facteurs irr de ⇡u

• Anticipation : u est diago ss’il existe ` tq k[u] ' k`

• Si u annule P , alors tout vp de u annule P

• Lemme des noyaux

1.2 Séries entières d’endomorphismes

• Norme d’un endo• Quand est-ce que la somme converge et que la somme est continue• App : Inverse de id � f si kfk < 1

• Def exponentielle d’un endomorphisme• App : Résolution d’équas diffs

2 Application à la réduction d’endomorphisme

2.1 Le polynôme caractéristique

• Def polynôme caractéristique• En dim 2, �A(X) = X2 � Tr(A)X + det A

• � valeur propre ssi �A(�) = 0

• App : Si le corps est algébriquement clos, tout endomorphisme admet des vp

1

218

Algèbre 153

• Si F ⇢ E stable par f , g = f |F , alors Pg divise Pf

• App : si � racine de Pf d’ordre de multiplicité k, alors dim E� 6 k

• Si f est nilpotent, alors �f = Xn

• Théorème de Cayley-Hamilton• Si f est inversible, f�1 est un polynôme en f

• Prolongement d’une identité

2.2 La réduction

• Def endo diagonalisable, trigonalisable• Si �f est scindé simple, alors f est diagonalisable• f est diago ssi f est annulé par un polynôme scindé simple• Théorème sur la diagonalisabilité• �f est scindé ssi f trigonalisable (en particulier dans un corps algébriquement clos

tout endo est trigonalisable)• Ex : Diagonalisation de M = . . .

• Décomposition de Dunford (d et n sont des polynômes en f !)• App : Calcul de l’exponentielle• App : Un critère de nilpotence• Réduction de Jordan• Diagonalisation des endo normaux

Développements� Un critère de nilpotence ([3] p.211)� Diagonalisation des endomorphismes normaux ([1] p.260)

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


edition, 2005.

2

219

Algèbre 154

Sous-espaces stables par un endomorphisme ouune famille d’endomorphismes d’un espacevectoriel de dimension finie. Applications.


1 Généralités et lemme des noyaux

1.1 Introduction et première application

Définition 1 Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie n. Soit u 2 L (E).Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u si u(F ) ⇢ F .

Exemple 1 ker u et Im u sont stables par u.

Exemple 2 Si � valeur propre de u, alors le sous-espace propre E� = ker (u� �id)est stable par u.

Définition 2 Notons �u le polynôme caractéristique de u. On le suppose scindé eton écrit �u = (�1)n

Q(X � �i)

ri .On appelle sous-espace caractéristique les ker (u � �iid)ri .

Exemple 3 Les sous-espaces caractéristiques de u sont stables par u.

Remarque 1 L’intérêt usuel des sous-espaces stables est de pouvoir raisonner parrécurrence, en faisant baisser la dimension de l’espace considéré. Mais pas que . . .

Application 1 Soit f : R ! R dérivable. On suppose que ses translatées engendrentun ev F de dimension finie. Alors F est stable par dérivation, ainsi f est solutiond’une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.

Remarque 2 La réciproque est vraie.

Lemme 1 Si F est un sev de E stable par u, alors u|F est un endomorphisme deF .

1

220

Algèbre 154

1.2 Le lemme des noyaux et ses premiers fruits

Lemme 2 Si u et v commutent, alors Im u et ker u sont stables par v.

Lemme 3 (des noyaux) Soit u 2 L (E). On écrit le polynôme minimal de u :⇡u = P1 · · · Pr où les Pi sont unitaires et premiers entre eux deux à deux. AlorsE = �r

i=1ker Pi(u).

Proposition 1 E est somme des ses sous-espaces caractéristiques.

Théorème 1 u est diagonalisable si, et seulement si, u est annulé par un polynômescindé à racines simples.

Proposition 2 Si F est stable par u et que u est diagonalisable, alors u|F estdiagonalisable.

Proposition 3 Si u et v commutent et sont tous deux diagonalisables, alors ils sontcodiagonalisables.

Application 2 (décomposition polaire) La multiplication matricielle induit unhoméomorphisme O(n,R) ⇥ S++

n (R) ⇠= GLn(R).

Application 3 On a existence et unicité de la racine carré matricielle sur S++n (R).

Application 4 L’exponentielle réalise un homéomorphisme : Sn(R) ! S++n (R).

Application 5 On a O(p,q) ⇠= O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq.

1.3 La décomposition de Dunford

Théorème 2 (de Dunford) Soit u 2 L (E) tel que �u soit scindé sur k. Alors ilexiste un unique couple (d,n) avec d diagonalisable et n nilpotent, tels que : u = d+net dn = nd. De plus, d et n sont des polynômes en u.

Remarque 3 Ceci permet de montrer que u est diagonalisable si, et seulement si,n = 0 ; ou encore que u est nilpotent si, et seulement si, d = 0.

Définition 3 Pour u 2 L (E), on définit : adu : v 2 L (E) 7! uv � vu 2 L (E).

Lemme 4 Notons u = d + n la décomposition de Dunford de u. Alors la décompo-sition de Dunford de adu est add + adn.

Application 6 (DEV 1) Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique0. Soit E un k-ev de dim finie n. Soient B ⇢ A deux sev de L (E), et posons :T := {t 2 L (E), adt(A) ⇢ B}. Si t 2 T vérifie que pour tout u 2 T , Tr(tu) = 0,alors t est nilpotent.

2

221

Algèbre 154

2 Des résultats de réduction

2.1 La trigonalisation

Lemme 5 On a F stable par u si, et seulement si, F? est stable par tu.

Exemple 4 H hyperplan est stable par u si, et seulement si, H? est une droitepropre de tu.

Théorème 3 u est trigonalisable si, et seulement si, �u est scindé.

Proposition 4 Si F est stable par u et que u est trigonalisable, alors u|F est tri-gonalisable.

2.2 Les endormorphismes normaux

Définition 4 u est dit normal si u et u⇤ commutent.

Lemme 6 Si F est stable par u, alors F? est stable par u⇤.

Lemme 7 Soit u 2 L (E) normal. Si E� est un sous-espace propre de u, alors E�?

est stable par u.

Théorème 4 (DEV 2) Soient E un espace euclidien et u 2 L (E) normal. Alorsil existe une b.o.n. B de E telle que

MatB(u) =

0BBBBBBBBBB@

�1

. . .

�r

⌧1

. . .

⌧s

1CCCCCCCCCCA

où pour tout i, �i 2 R, et pour tout i, ⌧i =

ai �bi

bi ai

!2 M2(R).

Application 7 Soit M 2 An(R), alors il existe P 2 O(n) telle que

P�1MP =

0BBBBBBBBBB@

0. . .

0

⌧1

. . .

⌧s

1CCCCCCCCCCA

où les ⌧i =

0 bi

�bi 0

!2 M2(R).

Remarque 4 Si n est impair, An(R) \ GLn(R) = ;.Remarque 5 On peut aussi obtenir la réduction des endomorphismes unitaires oudes isométries grâce au théorème 4.

3

222

Algèbre 154

2.3 La semi-simplicité

Définition 5 u est dit semi-simple si, et seulement si, tout sous-espace stable paru admet un supplémentaire stable par u.

Théorème 5 u est semi-simple si, et seulement si, ⇡u s’écrit Q1 · · · Qr avec les Qi

irréductibles, unitaires et différents deux à deux.

Application 8 Un endomorphisme nilpotent non nul n’est jamais semi-simple.

Application 9 Si k est algébriquement clos, la semi-simplicité est équivalente à ladiagonalisabilité.

3 Une réduction plus poussée : la réduction de Jor-dan

Proposition 5 Soient E un espace vectoriel de dimension n et u 2 L (E) nilpotentd’indice n� 1. Alors E admet exactement n + 1 sous-espaces stables par u, qui sontles ker uk, k 2 {0, . . . ,n}.

Théorème 6 Soit u 2 L (E) nilpotent. Alors il existe une base B de E telle que :

MatB(u) =

0BBBBB@

0 "1

. . . . . .. . . "n�1

0

1CCCCCA

où "i 2 {0,1}.

Théorème 7 Soit u 2 L (E) de polynôme caractéristique �u scindé sur k : �u =(�1)n

Qsi=1(X � �i)

↵i . Alors il existe une base B de E telle que :

MatB(u) =

0BB@

A1

. . .

As

1CCA où 8i, Ai =

0BBBBB@

�i "i,1

. . . . . .. . . "i,↵i�1

�i

1CCCCCA

2 M↵i(k)

avec 8i,j "i,j 2 {0,1}.

Développements� Un critère de nilpotence ([7] p.211)� Diagonalisation des endomorphismes normaux ([1] p.260)

4

223

Algèbre 154

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Karine Madère. Leçons d’Algèbre. Ellipses, 1998.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,

2006.[4] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-




edition, 2005.

5

224

Algèbre 155

Endomorphismes diagonalisables en dimensionfinie.

1 Généralités et outils• Def valeur propre �, sous-espace propre E�

• Les sep sont en somme directe• Def polynôme caractéristique �

• � vp ssi �(�) = 0

• Si f et g commutent, alors tout sep de f est stable par g, et Im f est stable par g

• Lemme des noyaux• Def polynôme minimal

2 Diagonalisabilité• Def endo diagonalisable• Base de diagonalisation de P 2 kn[N ] 7! XP 0 2 kn[X]

• Si � est scindé simple, alors f est diago• f diago ssi � scindé et la multiplicité de chaque racine est celle du polynôme

caract ssi E est somme directe des sep• Ex : diagonalisation de M = . . .

• Si f et g sont diagonalisable et commutent, alors f et g sont codiagonalisables• App : CNS pour qu’un endo de rang 1 soit diagonalisable• App : GLm(k) ' GLn(k) () n = m

• Un endo est diago ss’il est annulé par un polynôme scindé simple ssi son polynômeminimal est scindé simple

• Ex : Les symétries et les projecteurs sont diago• f 2 L (Fq) est diago ssi f q = f

• f est diago ssi {pfp�1, p 2 GL(E)} est fermé

1

225

Algèbre 155

3 Applications

3.1 Topologie matricielle

• Def norme sur un espace de matrices• GLn(K) est un ouvert dense de Mn(K)

• Prolongement d’une identité• Les matrices diago de Mn(C) sont denses• Les matrices diago de Mn(R) ne sont pas denses

3.2 Exponentielle

• Exponentielles d’endomorphismes• Calcul de l’exponentielle si u est diago• App : Résolution de systèmes différentiels• Calcul de Ak

• App : Résolution de systèmes de suites récurrentes linéaires

3.3 Décomposition de Dunford

• Théorème : décomposition de Dunford• L’application '(u = d + n) = d n’est pas continue• App : calcul d’exponentielle• App : Un critère de nilpotence

3.4 Endomorphismes normaux

• Def endo normal• Diagonalisation des endomorphismes normaux

Développements� Décomposition polaire ([2] p.202)� Diagonalisation des endomorphismes normaux ([1] p.260)



edition, 2005.

2

226

Algèbre 156

Exponentielle de matrices. Applications.

1 Généralités et propriétés• Série d’endomorphismes• Def de l’exponentielle d’endomorphismes• L’exponentielle d’une matrice est un polynôme en la matrice•��ef�� 6 ekfk

• Deux endo conjugués ont des exponentielles conjuguées• Si les endo commutent, exp(u + v) = exp(u) exp(v)

• App : e0 = id et eu est inversible d’inverse e�u

• det(exp(A)) = exp(Tr(A))

• Si M est l’exponentielle d’une matrice réelle, alors det(M) > 0

• C-Ex : La réciproque est fausse• Décomposition de Dunford• Calcul de l’exponentielle

2 Régularité et logarithme• Différentielle de l’exponentielle• Classe C1 de l’exponentielle• exp n’est pas injective• Mais exp restreinte aux matrices diago réelles est injective• exp est un difféo local sur Mn(C)

• App : def logarithme matriciel• On peut aussi définir log avec une série• exp est un difféo de U sur exp(U) où U l’ensemble des matrices de Mn(C) telles

que |Im(�)| < ⇡ pour toute vp �

• exp réalise un homéo entre les endo nilpotents et les endo unipotents• exp réalise un homéo de Sn(R) sur S++

n (R)

1

227

Algèbre 156

3 Applications• Etude d’équas diffs linéaires• Calcul explicite de l’exponentielle d’une matrice• L’exponentielle est surjective de Mn(C) dans GLn(C)

• Ce n’est pas vrai avec R, mais c’est vrai dans les matrices de GLn(R) qui ad-mettent une racine carrée

• u est diago ssi exp(u) l’est• exp(u) = id ssi u diago et Spec(u) ⇢ 2i⇡Z• Les morphismes continus de (R,+) dans (GLn(C),⇥) sont les t 7! etA

• Décomposition de O(p,q) grâce à l’exponentielle

Développements� Décomposition de O(p,q) ([3] p.211)� exp: Sn(R) ! S++

n (R) est un homéo ([3] p.208)

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[3] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-

tries, volume 1. Calvage & Mounet, 2013.[4] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence et

de l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.[5] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


edition, 2005.

2

228

Algèbre 157

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismesnilpotents.

1 Préliminaires• Def polynôme caractéristique• Lemme des noyaux• Théorème de Cayley-Hamilton

2 Endomorphismes trigonalisables• Def endomorphisme trigonalisable• f est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé• App : dans un corps algébriquement clos, tout endo est trigonalisable

• C-Ex :

0 �1

1 0

!est trigo sur C mais pas sur R

• App : det(exp(A)) = exp(Tr(A))

• Si f et g commutent et son tous deux trigonalisables, alors f et g sont cotrigona-lisables

• Ex : trigonaliser M = . . .

• L’ensemble des matrices trigo est un fermé de Mn(R)

3 Endomorphismes nilpotents

3.1 Autour des endomorphismes nilpotents

• Def endomorphisme nilpotent, indice de nilpotence• Ex : La dérivation sur kn[X] (mais pas sur k[X]), mais aussi X 7! P (X+1)�P (X)

• C-H implique que l’indice de nilpo est 6 n

• Si u et v sont nilpo et commutent, alors u + v, u � v et v � u sont nilpo• Le polynôme caractéristique d’un endo nilpotent est Xn, la réciproque est vraie

avec C-H• En dimension 2, A nilpo ssi Tr(A) = det(A) = 0

1

229

Algèbre 157

• Décomposition de Dunford• App : Calcul d’une exponentielle• App : Résolution de exp(B) = In

3.2 Les blocs de Jordan

• Def bloc de Jordan• Noyaux et images emboîtés• Endomorphismes nilpotents et blocs de Jordan• Réduction de Jordan des endo nilpo

4 Les deux notions réunies• Caractérisation de la nilpotence : nilpo ssi trigonalisable et de seule vp 0

• C-Ex : La réciproque est fausse (il peut y avoir des vp complexes donc pb dans lecas réel)

• App : On a Vect(N ) = ker (Tr)

• On pose [u,v] = uv � vu, s’il existe ↵ 2 C⇤ tq [u,v] = ↵u, alors u est nilpotente,u et v est sont cotrigonalisables. S’il existe ↵,� 2 C⇤ tq [u,v] = ↵u + �v, alors uet v sont aussi cotrigonalisables

• Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes• App : une matrice A est nilpo ss’il existe une suite (Ap) de matrices semblables à

A tq lim Ap = 0

Développements� Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes ([1] p.206)� Un critère de nilpotence ([2] p.211)

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

2

230

Algèbre 158

Matrices symétriques réelles, matriceshermitiennes.

1 Généralités• Def matrice symétrique, anti-symétrique• On a Mn(k) = Sn � An

• La dimension de l’ensemble des matrices sym est n(n + 1)/2

• Def forme bilinéaire, forme sesquilinéaire• Ex : (f,g) 7!

Rf g

• Matrice d’une forme bilinéaire, sesquilinéaire en dim finie• App : L’ensemble des formes bili/sesqui est de dim n2

• Def forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne• Sesqui ssi M⇤ = tM = M

• On a Hn = Sn(R) � iAn(R)

• L’application A 7! tA est diagonalisable (c’est une symétrie). Le sep associé à lavp 1 est Sn et celui associé à la vp �1 est An

2 Autour des formes quadratiques• Def forme quadratique• Il existe une unique forme dite forme polaire. . .• Formule pour exprimer la forme polaire en fonction de la f.q. et inversement• Matrice d’une forme quadratique• Ex : Si q(x,y,z) = . . ., sa matrice est . . .• Idem pour une forme hermitienne• Def � orthogonalité• Il existe une base �-orthogonale de E (beaucoup plus simple que le théorème

spectral !)• App : Si A⇤ = A, il existe P 2 GLn(k) tq P ⇤AP soit diagonale• Méthode de Gauss• Loi d’inertie de Sylvester• Def signature (p,q)

• Le rang de � est p + q

• Lemme de Morse

1

231

Algèbre 158

3 Autour de la réduction• Def de l’adjoint• La matrice de l’adjoint est M⇤

• Def endo autoadjoint• Théorème de réduction des endo autodjoints• App : Codiagonalisation d’endo audoadjoints qui commutent• App : Si � est une forme quadratique ou hermitienne, alors il existe un b.o.n.

dans laquelle la matrice de � est diagonale réelle• Def matrice positive, définie positive• Ex : A =

R 1

0M , où M : [0,1] ! Mn(R)

• App : Racine carrée d’une matrice hermitienne positive• Appp : Décomposition polaire• Apppp : Tout sg compact de GLn(R) qui contient O(n) est O(n)

• Décomposition d’Iwasawa• App : kAk2 =

p⇢(A⇤A)

• Théorème de Fisher-Cochran• exp: Sn(R) ! S++

n (R) est un homéo

Développements� Décomposition de O(p,q) ([2] p.211)� exp: Sn(R) ! S++

n (R) est un homéo ([2] p.208)




edition, 2005.

2

232

Algèbre 159

Formes linéaires et dualité en dimension finie. E etA

1 Formes linéaires et dualité• Def forme linéaire• Une forme linéaire est soit nulle soit surjective• Ex : Différentielle d’une fonction réelle• Ex : avec le p.s. canonique, si on fixe y 2 E, alors hy,·i définit une forme linéaire• Def dual, bidual• Def forme linéaire coordonnée• (e⇤i ) forme une base de E⇤, dite base duale. En particulier, dim E = dim E⇤

• E et E⇤⇤ sont canoniquement isomorphes• Existence et unicité de la base antéduale• ('1, . . . ,'p) est surj ssi les 'i sont linéairement indépendants• Ex : Une forme linéaire sur Mn(k) n’est autre que X 7! Tr(AX) pour un certain

A 2 Mn(k)

• Soient a,b1, . . . ,bk des formes linéaires sur E tq les bi soient linéairement indé-pendantes et que \iker bi ⇢ ker a. Alors a est combinaison linéaire unique desbi

2 Hyperplans, orthogonalité et application transpo-sée

2.1 Orthogonalité

• Def de l’orthogonalité• Orthogonal d’une sous-partie de E, de E⇤

• Ex : {'}� = ker'

• Différentes inclusions avec l’orthogonal• Différentes relations entre les dimensions• App : Si F sev de E, alors F = E ssi F? = {0}• App : Equation d’un sev

1

233

Algèbre 159

2.2 Hyperplans

• Si ' forme linéaire non nulle, ker' est un hyperplan, et réciproquement touthyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle

• Si H est un hyperplan de E, H? est une droite de E⇤

2.3 Lien avec l’application transposée

• Def de l’application transposée• Un sev F est stable par u ssi F? est stable par tu

3 Applications

3.1 En analyse

• Soit T 2 D0 une distribution tq T 0 = 0, alors T est constante• Familles libres d’applications

3.2 En algèbre linéaire

• u est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé• Résultat de cotrigonalisation• Un critère de nilpotence• Générateurs de SL(E)

• Pivot de Gauss

3.3 En analyse hilbertienne

• Théorème de Riesz• Ex : sur L2

• App : Définition de l’adjoint• App : Dualité des Lp

• App : Théorème de Hahn-Banach analytique

Développements� Un critère de nilpotence ([5] p.211)� Familles libres d’applications ([4] p.280)

2

234

Algèbre 159

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,



edition, 2005.

3

235

Algèbre 160

Endomorphismes remarquables d’un espacevectoriel euclidien (de dimension finie)

1 Endomorphismes adjoints et normaux• Def adjoint• L’adjoint existe toujours dans un espace euclidien• Caractérisation matricielle de l’adjoint• Def endo normal• Si F sev est stable par u, alors F? est stable par u⇤

• u est normal ssi u est diagonalisable en base orthonormale ssi u et u⇤ sont codiagoen base orthonormale

• Si u endo normal n’admettant pas de vp réelle, alors dans toute base orthonormale,

la matrice de u est de la forme

a �b

b a

!avec b 6= 0

• Théorème de réduction des endomorphismes normaux• App : Réduction des matrices antisymétriques réelles

2 Endormophismes symétriques et antisymétriques• Def forme bilinéaire symétrique• Endo bilinéaire est sym ssi sa matrice est symétrique• Mn(k) = Sn � An

• On a dim Sn = n(n + 1)/2 et dim An = n(n � 1)/2

• Def endo autoadjoint• Si f est autoadjoint et si F est un sev stable par f , alors F ? est stable par f

• Théorème spectral• Def matrice positive• Existence et unicité d’une racine carrée de matrice symétrique positive• L’exponentielle réalise un homéo de Sn sur S++

n

1

236

Algèbre 160

3 Endomorphismes orthogonaux• Def endo orthogonaux• Ex : les rotations dans le plan• Caractérisation matricielle• On(R) est compact• Décomposition polaire• App : kAk2 =

p⇢(tAA)

• App : Tout s.g. compact de GLn(R) qui contient On(R) est On(R)

• App : GLn(R) ' On(R) ⇥ Rn(n+1)/2

• Théorème de réduction des isométries• SO(3,R) est simple

Développements� exp: Sn(R) ! S++

n (R) est un homéo ([2] p.208)� Diagonalisation des endomorphismes normaux ([1] p.260)



2

237

Algèbre 161

Isométries d’un espace affine euclidien dedimension finie. Applications en dimensions 2 et 3

1 De la théorie

1.1 Généralités

• Def d’une isométrie vectorielle, isométrie affine• Une isométrie affine est la composée d’une isométrie vectorielle et d’une translation• Ex : les translations, les symétries orthogonales• Ex : En dimension 1 : id et �id uniquement• Une isométrie est bijective• O(E) et Isom(E ) sont des groupes• Si F sev stable par f isométrie vectorielle, alors F? est aussi stable par f

• Les réflexions engendrent le groupe des isométries• Théorème de décomposition d’une isométrie affine en une isométrie et une trans-

lation (forme réduite)• Une isométrie affine est déterminée par l’image de n + 1 points affinement indep

1.2 Les déplacements

• Def des déplacements Isom+(E ) et des anti-déplacements• Les déplacements sont les isométries qui préservent l’orientation• Une isométrie se décompose en un nombre pair de réflexions ssi c’est un déplace-

ment• App : une isométrie est de déterminant ±1 (selon déplacement ou anti-dep)• Isom+(E ) = ker det donc est distingué dans Isom(E )

• Isom+(E ) ' O+(E) ⇥ E

1.3 Le groupe orthogonal

• Def O(E) ' O(n)

• O(n) est compact• O+(n) est fermé et ouvert dans O(n)

1

238

Algèbre 161

2 En dimension 2 et 3

2.1 En dimension 2

• Classification des isométries du plan• O+(2) ' U (homéomorphe)• App : O+(2) est commutatif• App : O+(2) est connexe par arcs et O(2) = O+(2) [ O�(2)

• ✓ 7! ei✓ définit un isomorphisme R/2⇡Z ' O+(2)

• App : définition de l’angle d’une rotation• Sous-groupes de SO(2,R)

• Sous-groupes de O(2,R)

2.2 En dimension 3

• Ensemble des vp d’une isométrie directe• Ensemble des points fixes• Forme matricielle• Rq : cos(✓) ne dépend pas de la base choisie• SO(3,R) est simple• Classification des isométries de l’espace• Il y a 5 polyèdres réguliers dans l’espace, chaque polyèdre fournit un sg de O+(3) :

le groupe des isométries qui préservent le polyèdre

3 Groupe des isométries d’un objet de l’espace• Def groupe des isométries Isom(X) d’un object X ⇢ R3

• Si ' est une similitude, alors Isom(X) ' Isom('(X))

• Def de l’enveloppe convexe, def point extrémal• Si O est un centre de symétrie de X et g 2 Isom(X), alors g(O) = O et Isom(X) '

Isom+(X) ⇥ Z/2Z• Soit S un ensemble fini de points, X leur enveloppe convexe, on suppose que les

points de S sont extrémaux pour X. Alors Isom(X) stabilise S , en particulierson isobarycentre

• App : en notant �4 le tétraèdre régulier, on a Isom(�4) ' S4 et Isom+(�4) ' A4


2

239

Algèbre 161

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,





3

240

Algèbre 162

Systèmes d’équations linéaires ; opérationsélémentaires, aspects algorithmiques et

conséquences théoriques

1 Systèmes linéaires

1.1 Généralités

• Def système linéaire• Ecriture matricielle AX = B

• Unique solution ssi det A 6= 0, donnée par X = A�1B

• Si rg(A) = r, alors l’ensemble des solutions est un espace affine de dimension n�ret de direction ker A

• Solution de l’équation homogène + une solution particulière

1.2 Systèmes de Cramer

• Def système de Cramer• Formules de Cramer• Ceci est une formule théorique, en pratique Scilab ou Sage ne calculent que des

déterminants de matrices triangulaires (et si ramènent grâce à une décompositionLU)

1.3 Cas général

• Def déterminants caractéristiques• Théorème de Rouché-Fontené• Ex : application de Rouché-Fontené au système du Gourdon

2 Méthodes de résolution

2.1 Histoire des maths

• Méthode de résolution avec un échiquier en 20 AC

1

241

Algèbre 162

2.2 Méthode de Gauss

• Explication de la méthode de Gauss• Complexité en O(n3)

• Limites de cette complexité, trouver mieux est un thème de recherche actuel• Rq : Attention au choix du pivot. Numériquement il est dangereux de diviser par

qq de trop petit, et si on travaille avec des rationnels, on se retrouve à manipulerdes dénominateurs gigantesques

• App : décomposition LU

2.3 Applications de la méthode de Gauss

• On remarque que multiplier par une matrice inversible ne change pas le rang• Calcul du rang, calcul de l’inverse, voir si une famille est génératrice/libre, voir si

un vecteur appartient à l’espace engendré par d’autres• Matrices échelonnées réduites• Action de GLm(k) sur Mm,n(k)

• Détermination des orbites de cette action grâce aux matrices échelonnées réduites

2.4 Méthode des moindres carrés

• Def inverse généralisé• Formule pour calculer l’inverse généralisé• App : Méthode des moindres carrés

2.5 Méthode de Gauss-Seidel

• Méthode de Jacobi• Méthode de Gauss-Seidel• Vitesses de convergence

2.6 Méthode du gradient

• Inégalité de Kantorovitch• Méthode du gradient à pas optimal• Vitesse de convergence

3 Opérations élémentaires• Def des opérations élémentaires (matrice de permutation, dilatation, transvection)• Le groupe linéaire est engendré par les dilatations et les transvections• Multiplication par les matrices des opérations élémentaires

2

242

Algèbre 162

• Utilité : permuter les lignes ou les colonnes• Soit A 2 Mn⇥m(k) de rang r, il existe des matrices de permutations P 2 GLn(k)

et P 0 2 GLm(k), et des matrices T 2 GLn(k) triangulaire inf et T 0 2 GLm(k)triangulaire sup tq TPAP 0T 0 = In,m(r)

4 Applications

4.1 En analyse

• Méthode de Newton• Méthode des moindres carrés• Familles libres d’applications

4.2 En algèbre

• Simplicité de PSLn(k)

• Nombres constructibles à la règle et au compas• Soient M1, . . . ,Mn des points de R2, on peut trouver n points Ai tq Mi soit le

milieu de [Ai,Ai+1]

Développements� Vitesse de convergence de la méthode du gradient ([1] p.53)� Familles libres d’applications ([11] p.280)

Références[1] Jean Baptiste Hiriart Urruty. Optimisation et Analyse convexe. EDP Sciences,

2009.[2] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres).

Les éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[3] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[4] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[5] Joseph Grifone. Algèbre Linéaire. Cépaduès, 4e edition, 2011.[6] Marco Picasso Jacques Rappaz. Introduction à l’Analyse Numérique. Presses

polytechniques et universitaires romandes, 2004.[7] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[8] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edi-

tion, 2006.[9] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.

3

243

Algèbre 162

[10] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géo-métries, volume 1. Calvage & Mounet, 2013.

[11] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.Algèbre Tome 1. Cassini, 2001.

[12] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2eedition, 2005.

4

244

Algèbre 170

Formes quadratiques sur un espace vectoriel dedimension finie. Orthogonalité, isotropie.

Applications

1 Généralités

1.1 Définition et matrice d’une forme quadratique

• Def forme quadratique (avec une forme bilinéaire symétrique, on suppose le corpsde carac 6= 2)

• Différentes définitions équivalentes (certaines marchent en caract 2 mais pas d’autres)• Existence et unicité de la forme polaire• Ex : le produit scalaire sur Rn, A 7! Tr(A)2

• Matrice d’une forme quadratique• Ex : q(x,y,z) = 3x2 + y2 + 2xy � 3xz

• Def noyaux, def forme quadratique (non) dégénérée

1.2 Positivité

• Def forme quadratique positive• Inégalité de Schwarz• App : Inégalité de Minkowski

2 Orthogonalité et isotropie

2.1 Le début

• Def cône isotrope Cq, def forme quadratique définie (si Cq = {0})• Définie =) non dégénérée, mais la réciproque est fausse : q(x) = x2 � y2

• Def de l’orthogonal• Si V sev de dim n, dim V ? = n � p

• App : Première propriétés de l’orthogonal• Existence d’une base q-orthogonale (plus faible que le théorème spectral, mais

valable sur n’importe quel corps)

1

245

Algèbre 170

• dim F + dim F? = dim E + dim(F \ ker q)

• Si q|F est définie, F � F? = E

2.2 Sous-espaces totalement isotropes

• Def SETI et SETIM• Si F SETI, alors dim F 6 n � rg(q)/2

• Tout SETI est inclus dans un SETIM• Les SETI ont tous même dimension, qu’on appelle indice de q

• L’indice de q vaut min(p0,q0) où (p0,q0) est la signature

3 Réduction et classification des formes quadratiques

3.1 Réduction

• Méthode de Gauss• Ex : q(x,y,z) = x2 � 2y2 + xz + yz = · · · =

�x + z

2

�2 � 2�y � z

4

�2 � z2

8

3.2 Classification

• Loi d’inertie de Sylvester• Def de la signature• q(P 2 Rn[X]) =

R 1

�1P (x)P (�x)dx est une forme quadratique, de signature

([n/2] + 1,[(n + 1)/2])

• Pour k algébriquement clos : une seule classe d’équivalence• Pour k = R : grâce à la signature• Pour k = Fq : suivant que le discriminant est ou non un carré

4 Applications


• Décomposition polaire• App : Maximalité de O(n,R) parmi les sg compacts de GLn(R)

• Tout sous-groupe fini de GLn(R) est conjugué à un sg de O(n)

• exp : Sn(R) ! S++n (R) est un homéo

• On a un homéo O(p,q) ' O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq

• App : O(p,q) est compact ssi p = 0 ou q = 0

• Cardinal de SO2(Fq)

2

246

Algèbre 170

4.2 En arithmétique

• Preuve de la loi de la réciprocité quadratique

4.3 En analyse

• Définition de la Hessienne• Lien avec les extremum• Lemme de Morse

Développements� Lemme de Morse ([4] p.354-209)� Décomposition de O(p,q) ([3] p.211)

Références[1] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[2] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.[3] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-



edition, 2005.

3

247

Algèbre 171

Formes quadratiques réelles. Coniques. Exempleset applications


1 Généralités sur les formes quadratiques réelles

1.1 Forme quadratique et forme polaire

Définition 1 Soit E un R-espace vectoriel. On dit que q est une forme quadratiqueréelle s’il existe une forme bilinéaire symétrique ' : E2 ! R telle que q(x) = '(x,x).

Remarque 1 Si M = Mat('), alors '(x,y) = txMy.

Exemple 1 A 7! Tr(A)2, A 7! Tr(A2) et x 7! x2 sont des formes quadratiques.

Proposition 1 Si q est une forme quadratique (f.q.), il existe une unique formebilinéaire symétrique ' telle que q(x) = '(x,x).

Définition 2 ' est appelée forme polaire de q.

Proposition 2 On a '(x,y) = 12(q(x + y) � q(x) � q(y)) = 1

4(q(x + y) � q(x � y)).

Proposition 3 Si '(x,y) =P

i,j ai,jxiyj, alors on a q(x) =P

i ai,ixi2+P

i<j ai,jxixj.

Proposition 4 Réciproquement, si q(x) est de la forme précédente, alors on a'(x,y) =

Pi ai,ixiyi + 1

2

Pi<j ai,j(xiyj + xjyi).

Définition 3 On appelle matrice d’une f.q. la matrice de sa forme polaire. On peutainsi définir le rang d’une f.q.

Exemple 2 Si q(x,y,z) = 3x2 +y2 +2xy�3xz, alors Mat(q) =

0BB@

3 1 �3/2

1 1 0

�3/2 0 0

1CCA

de rang 3.

1

248

Algèbre 171

1.2 Notion d’orthogonalité

Définition 4 On définit le cône isotrope : Cq := {x 2 E, q(x) = 0} ; q est dite dé-finie si Cq = {0} ; x est dit isotrope si x 2 Cq ; x est orthogonal à y si '(x,y) = 0.

Proposition 5 On a F ⇢ F?? et A ⇢ B =) B? ⇢ A?.

Définition 5 On définit le noyau de q : ker q := E?.

Définition 6 q est dite non dégénérée si ker q = {0}.

Remarque 2 On a ker q ⇢ Cq, donc q définie implique q non dégénérée.

Exemple 3 La réciproque est fausse : q(x,y) = x2 � y2.

Proposition 6 Soit A = Mat(q), on a ker q = ker A.

Proposition 7 Si F sev de E de dimension finie, alors F � F? = E.

Proposition 8 Si q est définie, alors F = F??.

1.3 Classification et réduction

Théorème 1 Si dim E < +1, alors il existe une base q-orthogonale de E.

Application 1 Si A 2 Sn(R), il existe P 2 GLn(R) telle que tPAP soit diagonale.

Remarque 3 Le théorème spectral dit qu’on peut même choisir P 2 On(R).

Proposition 9 On peut écrire une forme quadratique comme carrés de combinai-sons linéaires de formes linéaires linéairement indépendantes, et cela peut se fairegrâce à la méthode de Gauss.

Exemple 4 q(x,y,z) = x2 � 2y2 + xz + yz = (x + z2)2 � 2(y � z

4)2 � z2

8.

Théorème 2 (loi d’inertie de Sylvester) D’après le théorème 1, on peut écrire�(x) = |f1(x)|2 + · · · + |fp(x)|2 � |fp+1(x)|2 � · · · |fp+q(x)|2.Toute décomposition de ce type vérifie (p,q) = (p0,q0).

Définition 7 (p,q) est la signature de � et p + q son rang.

2 Applications des formes quadratiques

2.1 En analyse

Définition 8 Soit f : Rn ! R deux fois différentiables. Alors la matrice de sadifférentielle seconde en a est appelée hessienne de f en a ; c’est une forme bilinéaire.

Proposition 10 Si f 2 C2, alors d’après le théorème de Schwarz, da2f est symé-

trique, c’est donc une forme quadratique.

Théorème 3 (lemme de Morse) Soit f : U ! R 2 C3 sur U ouvert de Rn conte-nant 0. On suppose que d0f = 0 et que d0

2f non dégénérée de signature (p,n � p).Alors il existe un C1-difféomorphisme ' entre deux voisinages de l’origine dans Rn,tel que '(0) = 0, et en posant u = '(x) : f(x) � f(0) = u1

2 + · · · + up2 � up+1

2 �· · · � un

2.

2

249

Algèbre 171

2.2 Autour du groupe orthogonal

Théorème 4 (décomposition polaire) On a un homéomorphisme O(n)⇥S++n (R) ⇠=

GLn(R).

Proposition 11 Tout sous-groupe fini G de GLn(R) est conjugué à un sous-groupede O(n).Il suffit de considérer la f.q. q(x) =

Pg2Ghg(x),g(x)i.

Définition 9 On note O(p,q) le sous-groupe de GLp+q(R) formé des isométries dela forme quadratique standard sur Rp+q de signature (p,q).

Lemme 1 L’exponentielle réalise un homéomorphisme de Sn(R) dans S++n (R).

Théorème 5 (DEV 1) On a un homéomorphisme : O(p,q) ⇠= O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq.

Application 2 O(p,q) est compact si, et seulement si, {p,q} \ {0} 6= ;.

Application 3 Le groupe topologique O(p,q) admet quatre composantes connexes.

3 Sur les coniques

3.1 Généralités et classification

Définition 10 Une conique est une fonction polynomiale de degré 2 sur R2 à sca-laire multiplicatif non nul près. On note C l’ensemble des coniques.

Proposition 12 Toute conique f se décompose de façon unique sous la forme f =q + ` + c où q 2 Q forme quadratique, ` forme linéaire et c constante.

Remarque 4 Ainsi, C = (Q \ {0} ⇥ (R2)⇤ ⇥ R)/(R \ {0}).

Remarque 5 Classifier les coniques revient à déterminer les orbites de l’action deGA(R2) sur C donnée par (g · f)(x,y) = f(g�1(x,y)).

Lemme 2 Soit f 0 2 Of , alors qf 0 est congruente à �qf 0 pour un � 2 R⇤.

Lemme 3 Ce lemme fait le lien entre la classification des coniques et celle desformes quadratiques.

Théorème 6 (classification des coniques) Si rg(qf ) = 2 :

qf x2 + y2 x2 � y2

f x2 + y2 + 1 x2 � y2 + 1

x2 + y2 � 1 x2 � y2

x2 + y2

Si rg(qf ) = 1 :

3

250

Algèbre 171

f x2 + y

x2 + 1

x2 � 1

x2

Remarque 6 On reconnaît avec bonheur ellipse, hyperbole et parabole.

Proposition 13 On peut définir une conique géométriquement. Pour toute coniquenon vide ni cercle, il existe un point F , une droite D ne contenant pas F et un réelpositif e tels que la conique soit l’ensemble des points M tels que FM = ed(M,D).Réciproquement, ceci définit une ellipse si e < 1, une parabole si e = 1 et unehyperbole si e > 1.

Application 4 (ellipse de Steiner) Pour tout triangle du plan, il existe une el-lipse tangente aux milieux des côtés de ce triangle.

3.2 Une application en arithmétique

Définition 11 Soit C une conique et A,B,E 2 C . On définit A ⇤ B comme l’in-tersection de �AB avec C qui n’est pas E, où �AB est la droite parallèle à (AB)contenant E. Si A = B, on considère des tangentes.

Théorème 7 (C ,⇤) est un groupe abélien de neutre E.

Lemme 4 Soit E un point rationnel de C conique ayant une équation à coefficientsrationnels. Alors si A,B sont deux points rationnels de C , A⇤B en est un troisième.

Théorème 8 (DEV 2) Soit d 2 N sans facteur carré ; H l’hyperbole d’équationX2 � dY 2 = 1. Soit E = M0 = (1,0). Soit M1 = (X1,Y1) 2 H avec X1,Y1 entiersnaturels non nus avec X1

2 + Y12 minimal. Alors l’ensemble des points entiers de la

branche de H qui contient M0 est le groupe engendré par M1 ; et H \Z ' Z/2Z⇥Z.

Remarque : sur la quatrième page, on peut illustrer les trois types de coniques duplan, ainsi que la structure de groupe sur une hyperbole pour le développement (dansle cas normal et dans le cas tangent).

Développements� Décomposition de O(p,q) ([3] p.211)� Equation de Pell et structure de groupe sur une conique ([4] p.388)

4

251

Algèbre 171

Références[1] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[2] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[3] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-



de l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.

5

252

Algèbre 181

Barycentres dans un espace affine réel dedimension finie, convexité. Applications

1 Barycentres

1.1 Première propriétés

• Def du barycentre

• De plus pour tout point M 2 E ,P

↵i��!MAi = (

P↵i)

��!MG

• Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les poids par � 6= 0

• Def isobarycentre• Ex : l’isobarycentre de A et B et le milieu du segment [A,B]

• Ex : l’isobarycentre de trois points non alignés est le centre de gravité du triangle• On a une "associativité" du barycentre• App : les médianes sont concourantes en le centre de gravité, et il est situé sur

chaque médiane aux 2/3 de la longueurs en partant du sommet• Une application est affine ssi elle conserve le barycentre• App : l’image d’un segment par une application affine est un segment• L’ellipse de Steiner

1.2 Coordonnées barycentriques

• Def des coordonnées barycentriques• Les coordonnées barycentriques de M dans un repère (A,B,C) sont proportion-

nelles aux aires orientées des triangles MAB, MCA et MBC

2 Convexité

2.1 Première propriétés

• Def d’une partie convexe (dessin !)• Ex : les convexes de R sont les intervalles• Toute intersection de convexes est convexe• Une fonction est convexe ssi son épigraphe est convexe

1

253

Algèbre 181

• Ex : les ensembles de niveaux d’une fonction convexe sont convexes• C-Ex : la réciproque est fausse• L’image affine d’un convexe est convexe• Une application 1-lip dans un convexe admet un point fixe

2.2 L’enveloppe convexe

• Def de l’enveloppe convexe, def point extrémal• Ex : Les points extrémaux d’un polyèdre régulier sont ses sommets• Caractérisation de l’enveloppe convexe avec les barycentres• Théorème de Carathéodory• App : Si A est compacte alors l’enveloppe convexe de A est compacte• Théorème de Gauss-Lucas• App : Détermination du plus grand entier n tq les racines de (X + 1)n � Xn � 1

soient de module 1

2.3 Applications au groupe des isométries d’un objet de l’es-pace

• Def groupe des isométries Isom(X) d’un object X ⇢ R3

• Si ' est une similitude, alors Isom(X) ' Isom('(X))

• Si O est un centre de symétrie de X et g 2 Isom(X), alors g(O) = O et Isom(X) 'Isom+(X) ⇥ Z/2Z

• Soit S un ensemble fini de points, X leur enveloppe convexe, on suppose que lespoints de S sont extrémaux pour X. Alors Isom(X) stabilise S , en particulierson isobarycentre

• App : en notant �4 le tétraèdre régulier, on a Isom(�4) ' S4 et Isom+(�4) ' A4

2.4 Projection et séparation

• Théorème de projection sur un convexe fermé• Caractérisation angulaire• App : continuité de l’opérateur de projection• App : Théorème de Hahn-Banach géométrique• Appp : Caractérisation de l’enveloppe convexe fermée comme l’intersection des

demi-espaces qui contiennent la partie

Développements� Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier ([4] p.363)� Théorème de Gauss-Lucas et applications ([5] p.229)

2

254

Algèbre 181

Références[1] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,




3

255

Algèbre 182

Applications des nombres complexes à la géométrie

1 Géométrie dans le plan

1.1 Le plan comme le corps des complexes

• L’intérêt de C est qu’il pose une structure de corps sur le plan euclidien P, parrapport à la structure d’ev R2

• Def de l’affixe• Def (et interprétation géom) du conjugué• Def (et interprétation géom) du module• Def (et interprétation géom) de l’argument• Equations de droites et de cercles

1.2 Transformations du plan

• Rotation de centre a et d’angle ✓ : z0 = a + ei✓(z � a)

• Symétrie autour de Rei✓/2 : z0 = ei✓z

• Similitudes directes : z 7! az + b, cette similitude est de rapport |a| et d’anglearg(a)

• App : Il existe une similitude directe s de centre A envoyant B sur B0 et C surC 0 ss’il existe une similitude directe s0 de centre A envoyant B sur C et B0 sur C 0

1.3 L’exponentielle complexe

• Def de l’exponentielle complexe• Propriétés de l’exponentielle• L’application t 7! eit envoie R dans U• L’exponentielle réalise un homomorphisme de groupes (C,+) ! (C⇤,⇥) continu,

surjectif, de noyau 2i⇡Z


• Caractérisation matricielle de O+(P)

• L’application

a b

�b a

!7! a + ib donne un isomorphisme O+(P) ' U

1

256

Algèbre 182

• App : O+(P) est commutatif• Définition de l’angle d’une rotation grâce à l’exponentielle complexe

2 Nombres constructibles• Si A ⇢ R2, on a le droit de faire deux choses pour construire à la règle et au

compas• Def point constructible• Ex : Z,

p2

• Si x est un réel constructible, alors x est algébrique sur Q et son degré [Q[x] : Q]est une puissance de 2

• App : Impossibilité de la duplication du cube car 3p

2 non constructible• App : Impossibilité de la trisection de l’angle car cos(⇡/9) non constructible• App : Impossibilité de la quadrature du cercle car

p⇡ transcendant

• App : Constructibilité des polygones réguliers

3 Fonctions holomorphes

3.1 Généralités

• On identifie f : U ! C à F : U ! R2. Si F est différentiable en z0 et que sonjacobien est inversible en ce point, alors on a équivalence entre : f holo en z0 etF est conforme

• App : Visualiser géométriquement une fonction holo comme une transformationdu plan (dessin !)

• Def d’un lacet, def de l’indice d’un lacet• L’indice est un entier, qui mesure le "nombre de tours" que fait le lacet autour

d’un point (dessin !)• Théorème de représentation conforme de Riemann

3.2 Homographies

• Def homographie• Def bC = C [ {1} la sphère de Riemann, explication de son utilité

• L’homographie Fa,b,c,d = F vérifie F (z) = z0 ssi la matrice

a b

c d

!envoie la droite

�(z) sur la droite �(z0)

• App : la composée de deux homographies est une homographie• Appp : les homographies laissent stable l’ensemble {cercles ou droites} du plan

2

257

Algèbre 182

4 Quaternions• Jouent un rôle analogue à C en dimension 4, mais on perd la commutativité• Def des quaternions H (permet par exemple de montrer le th des quatre carrés de

Lagrange)• On a une norme qui est multiplicative• Le corps C se plonge dans H, et on peut voir H comme un C-ev

5 Une utilisation de nombres complexes• Théorème de Gauss-Lucas• App : Détermination du plus grand entier n tq les racines de (X + 1)n � Xn � 1

soient de module 1

Développements� Théorème de Gauss-Lucas et applications ([7] p.229)� Construction à la règle et au compas ([3] p.50-52 + [2] p.130-132)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[3] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[4] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,



Algèbre Tome 1. Cassini, 2001.[8] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.

3

258

Algèbre 183

Utilisation des groupes en géométrie

1 Le groupe affine et la géométrie planeDéfinition 1 On se place dans un espace affine E de dimension finie. Une application fest dite affine s’il existe un point O et une application linéaire ' tels que pour tout pointM , '(

��!OM) =

��!f(O)f(M).

Proposition 1 Une application est affine si, et seulement si, elle conserve les barycentres.

Proposition 2 La composée de deux applications affines est une application affine. Mieux,l’ensemble des bijections affines d’un espace affine E forme un groupe appelé groupe affineet noté GA(E).

Application 1 (théorème de Thalès) Soient d1, d2 et d3 trois droites parallèles dis-tinctes, D1 et D2 deux droites dont aucune n’est parallèle à d1. Soient pour (i,j) 2

{1,2} ⇥ {1,2,3}, A(j)i := Di \ dj. Alors on a

A(1)1 A

(3)1

A(1)1 A

(2)1

=A

(1)2 A

(3)2

A(1)2 A

(2)2

.

Application 2 (théorème de Pappus) Soient D1 et D2 deux droites distinctes, etsoient Ai,Bi,Ci 2 Di pour i 2 {1,2}. Si (A1B2) k (B1A2) et (B1C2) k (C1B2), alors(A1C2) k (C1A2).

Application 3 (ellipse de Steiner) Pour tout triangle, il existe une ellipse tangenteaux milieux des côtés de ce triangle.

2 Les groupes orthogonaux

2.1 De la géométrie vectorielle

Définition 2 On appelle isométrie un endomorphisme qui conserve la norme, on noteO(E) le groupe des isométries d’un espace vectoriel normé E. On appelle déplacementune isométrie qui conserve l’orientation, on note O+(E) le groupe des déplacements dumême espace vectoriel que nous avons de plus orienté.

Proposition 3 Les réflexions engendrent le groupe des isométries. Mieux, si E est unespace vectoriel de dimension n, alors toute isométrie de E s’écrit comme le produit d’auplus n + 1 réflexions.

Définition 3 On définit le groupe orthogonal O(n) comme le sous-groupe des Mn(R) desmatrices vérifiant tMM = In.

1

259

Algèbre 183

Proposition 4 Une base orthonormée de E étant choisie, O(E) s’identifie à O(n).

Exemple 1 Le groupe O+(R2) s’identifie à R/2⇡Z, ainsi on a une description explicite

de toutes les rotations du plan, qui sont de la forme

cos ✓ � sin ✓

sin ✓ cos ✓

!.

Remarque 1 L’exemple précédent est ce qui permet de définir la notion d’angle.

Proposition 5 Le groupe O+(R3) est simple.

Définition 4 De façon plus générale, on peut s’intéresser au groupe des isométries d’uneforme quadratique réelle de signature (p,q), que l’on note O(p,q).

Proposition 6 On a O(p,q) ' O(p) ⇥ O(q) ⇥ Rpq.

Application 4 Le groupe O(p,q) est compact si, et seulement si, la forme quadratiqueest définie. De plus, il possède quatre composantes connexes.

2.2 De la géométrie affine pour les groupes d’isométries

Définition 5 Une isométrie affine sur un espace affine E muni d’une distance, est uneapplication affine qui préserve les distances.

Définition 6 Une transformation f de l’espace affine est appelée similitude s’il existek 2 R>0 tel que pour tous x et y, d(f(x),f(y)) = kd(x,y).

Lemme 1 Soit f une similitude de rapport k, alors il existe une unique isométrie u telleque f = hku et telle que hk et u commutent, où hk est l’homothétie de rapport k.

Définition 7 Le groupe Isom(X) d’un objet X ⇢ R3 est le sous-groupe des isométries del’espace affine R3 qui stabilisent X. On note Isom+(X) le sous-groupe des déplacementsde Isom(X).

Lemme 2 Soit ' une similitude, alors Isom(X) ' Isom('(X)).

Définition 8 Soit S ⇢ R3, on appelle enveloppe convexe de S l’ensemble des bary-centres à coefficients positifs de parties finies de S . Un point S est dit extrémal pour Xs’il n’est pas dans l’enveloppe convexe de X \ {S}.

Lemme 3 Soit S est un ensemble fini de points et X l’enveloppe convexe de ces points.On suppose que les points de S sont extrémaux pour X, alors Isom(X) stabilise S .

Application 5 On note �4 un tétraèdre régulier. Alors Isom(�4) ' S4 et Isom+(�4) ' A4.

Proposition 7 En fait, on peut montrer que les groupes des déplacements du cube etde l’octaèdre sont tous deux d’ordre 24, et même isomorphes à S4. On a même que lesgroupes d’isométries du cube et de l’octaèdre sont tous deux isomorphes à S4 ⇥ Z/2Z.

2

260

Algèbre 183

3 Quelques applications (concrètes)

3.1 Structure de groupe sur une conique

Définition 9 Etant donné A, B et E trois points d’une conique C , on définit le pointA ⇤ B comme �AB \ C \ {E} où �AB est la droite parallèle à (AB) passant par E siA 6= B, et �AA est la droite parallèle à la tangente à C en A passant par E.

Proposition 8 L’opération ⇤ munit C d’une structure de groupe abélien de neutre E.

Exemple 2 Sur l’hyperbole H d’équation xy = 1, la loi ⇤ sur H s’identifie à la multi-plication sur R⇤ via la première projection.

Lemme 4 Soit C une conique affine non dégénérée ayant une équation à coefficientsrationnels, et E un point rationnel de C . Alors si A et B sont deux points rationnels deC , A ⇤ B en est un aussi.

Application 6 (à l’équation de Pell-Fermat) Soient d 2 N sans facteur carré, et Hl’hyperbole d’équation X2�dY 2 = 1. Soient E := (1,0) et M1 := (X1,Y1) 2 H \N>0

2 avecX1

2 + Y12 minimal, alors l’ensemble des points entiers de la branche de H qui contient

E est le groupe engendré par M1. De plus, H \ Z2 est un sous-groupe de H isomorpheà Z/2Z ⇥ Z.

3.2 Le coloriage et les groupes

Lemme 5 Soit G un groupe agissant sur un ensemble X, soit x 2 X. Alors |G · x| =|G/ Stab(x)|.

Proposition 9 (formule de Burnside) Le nombre d’orbites de cette action est égal aunombre moyen de points fixes de g lorsque g parcourt G. Autrement dit 1

|G|P

g2G |Xg|.

Application 7 On considère le groupe des rotations de �4. La formule de Burnsidepermet de montrer qu’il y a 1

12(11k2 + k4) façons de colorier �4 avec k couleurs. Ainsi,

onze couleurs donnent déjà plus de mille colorations.

Application 8 On considère le groupe diédral D6. La formule de Burnside permet demontrer qu’il y a 1

12(2k + 2k2 + 4k3 + 3k4 + k6) façons d’assembler un collier de 6 perles

avec k types de perles différentes. Ainsi, cinq perles différentes donnent déjà plus de millecolliers.

3.3 Le groupe modulaire

Définition 10 On appelle groupe modulaire le groupe PSL(2,Z) := SL(2,Z)/{±1}.

Proposition 10 Le groupe modulaire agit fidèlement par homographies sur H le demi-plan de Poincaré.

Proposition 11 Le groupe modulaire est engendré par deux transformations de H :z 7! z + 1 et z 7! �1

z.

Remarque 2 Ceci peut nous mener à la formule de Jacobi qui permet de dénombrer lenombre de façons d’écrire un entier comme somme de quatre carrés.

3

261

Algèbre 183


Figure 1 – Le théorème de Thalès

Figure 2 – Le théorème de Pappus

4

262

Algèbre 183

Figure 3 – L’ellipse de Steiner

Figure 4 – Un tétraèdre régulier coupé par un plan

5

263

Algèbre 183

Figure 5 – La structure de groupe sur une conique

Figure 6 – Application à l’équation de Pell-Fermat

6

264

Algèbre 183

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[3] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[4] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géométries,

volume 1. Calvage & Mounet, 2013.[5] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géométries,

volume 2. Calvage & Mounet, 2015.[6] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Algèbre

Tome 1. Cassini, 2001.[7] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Algèbre

Tome 3. Cassini, 2008.

7

265

Algèbre 190

Méthodes combinatoires, problèmes dedénombrement


1 Dénombrement direct

1.1 Généralités

Définition 1 On dit que E ensemble est de cardinal n 2 N s’il existe une bijectionde E dans {1, . . . ,n} := In.

Remarque 1 E est de cardinal plus petit que n s’il existe une injection de E dansIn, et plus grand que n s’il existe une surjection de E dans In.

Proposition 1 On a |E [ F | = |E| + |F |� |E \ F | (voir illustration de ce résultatpage 4).

Proposition 2 (principe de Dirichlet) Si on range n objets dans k cases avecn > k, alors deux objets sont dans la même case.

Application 1 Ceci permet de déterminer la nature de la sérieP

1n2 sin2(n)

.

1.2 La puissance des bijections

Proposition 3 On a��FE

�� = |F ||E|.

Proposition 4 On a |E ⇥ F | = |E| ⇥ |F |.

Exemple 1 Si |E| = n, il y a n! bijections de E.

Proposition 5 Si |F | = k, il y a k!(k�n)!

injections de E ! F .

Remarque 2 C’est aussi le nombre de parties ordonnées à n éléments de F .

Exemple 2 (théorème des deux carrés) Posons S := {x2 + 4yz} ⇢ N3, avecp ⌘ 1 (mod 4). On peut alors définir une involution de S qui admet un uniquepoint fixe, donc |S| est impair, donc (x,y,z) 7! (x,z,y), involution, admet aussi ununique point fixe.

1

266

Algèbre 190

Exemple 3 Soit x 2 E, alors

P(E) ! P(E)

X 7!(

X \ {x} si x 2 X

X [ {x} sinon

est une bijection. Celle-ci montre qu’il y a autant de parties de cardinal pair que departies de cardinal impair dans tout ensemble non vide.

1.3 Autour du binôme de Newton

Définition 2 Notons�

nk

�le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n

éléments.

Proposition 6 On anX

k=0

✓n

k

◆= 2n.

Proposition 7 On a�

nk

�=�

n�1k

�+�

n�1k�1

�, ce qui est illustré par la construction du

triangle de Pascal page 4.

Proposition 8 (formule du binôme de Newton) On a (a+b)n =nX

k=0

✓n

k

◆akbn�k.

Application 2 Ceci permet de retrouver le résultat du dernier exemple, carnX

k=0

✓n

k

◆(�1)k =

(1 � 1)n = 0 (sauf si n = 0).

2 Utilisation de la théorie des groupesRemarque 3 On rajoute de la structure, et c’est ainsi que nous allons obtenir desrésultats supplémentaires.

2.1 Utilisation des morphismes

Proposition 9 Soient G et H deux groupes et ' : G ! H un morphisme. AlorsG/ker' ' Im'.

Application 3 On a |G| = |ker'| ⇥ |Im'|.

Proposition 10 On a si k corps fini de cardinal q : |GLn(k)| =n�1Y

i=0

(qn � qi).

Application 4 Alors |SLn(k)| =1

q � 1

n�1Y

i=0

(qn � qi).

2

267

Algèbre 190

Application 5 Il y a p+12

carrés dans Fp.

Application 6 (DEV 1) On a (illustration en page 4) :

|SO(2,Fp)| =

8><>:

2 si p = 2

p � 1 si p ⌘ 1 (mod 4)

p + 1 si p ⌘ 3 (mod 4).

2.2 Utilisation des actions de groupes

Lemme 1 (Orbite-Stabilisateur) Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble

X. Alors |!(x)| =|G|

|Stab(x)| .

Proposition 11 (formule de Burnside) Supposons X fini et notons N le nombre

d’orbites sous l’action de G. Alors N =1

|G|X

g2G

|Xg|.

Remarque 4 Autrement dit, le nombre d’orbites est égal au nombre moyen depoints fixes.

Application 7 (Cauchy) Soit G un groupe de cardinal pm. Posons X := {(x1, . . . ,xp) 2Gp,

Qpi=1 xi = e}, alors |X| = |G|p�1, et en considérant l’action de Z/pZ sur X, on

peut montrer que G admet un élément d’ordre p.

Application 8 En considérant l’action du groupe des rotations du tétraèdre, onpeut voir qu’il y a 1

12(11k2 + k4) façons de colorier le tétraèdre avec k couleurs.

Application 9 En considérant l’action du groupe diédral D6, on peut voir qu’il ya 1

12(2k +2k2 +4k3 +3k4 +k6) façons d’assembler un collier de 6 perles avec k types

de perles.

Application 10 En considérant l’action de Sp sur {A,B}p, on peut voir que si(A,B) 2 Mn(Z)2, alors Tr(A + B)p ⌘ Tr(Ap) + Tr(Bp) (mod p).

Remarque 5 Ceci donne que Tr(Ap) ⌘ Tr(A) (mod p).

Théorème 1 (formule des classes) Soit G un groupe fini agissant sur un en-semble X, et S un système de représentants des orbites. Alors |G| = |Z(G)| +P

x2S |!(x)|.

Application 11 (théorème de Wedderburn) Tout anneau à division fini estcommutatif.

3

268

Algèbre 190

3 Les séries génératricesDéfinition 3 Si (an) est une suite de nombres, on définit sa série génératrice :�(X) =

Pn>0 anX

n 2 A[[X]] si (an) 2 AN.

Application 12 (suite de Fibonacci) On définit (Fn) par F0 = F1 = 1, et Fn =Fn�1 + Fn�2 si n > 2.Alors �(X) = 1

1�X�X2 , et la décomposition en éléments simples de cette fractionrationnelle permet de montrer la formule de Binet : Fn = 'n+1�'n+1

p5

où ' = 1+p

52

est le nombre d’or.

Application 13 Notons an le nombre de façons de parenthèser un produit de ntermes. Alors an =

Pn�1k=1 akan�k.

On trouve alors grâce à un produit de Cauchy : �(X) = 12(1 �

p1 � 4X), puis

an = 1n

�2n�2n�1

�.

Remarque 6 Les (an) sont appelés nombres de Catalan. Ils représentent aussi lenombre de façons de trianguler un polygone régulier à n + 1 côtés, ou le nombred’arbres binaires à n � 1 sommets.

Application 14 Notons Pn := Card({↵1 + · · · + ↵k = n}).Alors �(X) = 1

(1�X)k , en dérivant k-foisP

Xn = 11�X

, on trouve que Pn =�

n+k�1k�1

�.

4 Des outils plus sophistiqués

4.1 La formule d’inversion de Möbius

Définition 4 On définit la fonction de Möbius µ par µ(1) = 1, µ(n) = 0 si p2 | net µ(p1 · · · pk) = (�1)k.

Théorème 2 (formule d’inversion de Möbius) Si f et g sont deux fonctionsarithmétiques telles que f(n) =

Pd|n g(d), alors g(n) =

Pd|n µ(d)f(n/d).

Application 15 (DEV 2) Il y a 1n

Pd|n µ(d)pn/d polynômes irréductibles unitaires

sur Fp.

4.2 Utilisation de l’analyse complexe

Théorème 3 (formule de Jacobi) Il y a 8P

4|d-n d façons de décomposer un en-tier en somme de 4 carrés.

Théorème 4 Notons p(n) le nombre de partitions d’un entier n. Ramanujan amontré que p(n) ⇠ ⇡

q2n3

.

4

269

Algèbre 190

4.3 Utilisation des polynômes à plusieurs indéterminées

Théorème 5 (de Chevalley-Warning) Soit q = pd avec p premier, f1, . . . ,fr 2Fq[X1, . . . ,Xn] tous non nuls tels que

Pri=1 degfi < n. Alors le cardinal de l’ensemble

des zéros communs aux fi est divisible par p.

Application 16 (théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv) Soit n 2 N⇤ et a1, . . . ,a2n�1 2Z. Alors il existe des indices i1, . . . ,in 2 {1, . . . ,2n � 1} tels que ai1 + · · · + ain ⌘ 0(mod n).

Page 4 pourraient se trouver les trois illustrations sus-mentionnées dans le plan.

Développements� Cardinal de SO2(Z/pZ) ([5] p.17)� Dénombrement des polynômes irréductibles sur un corps fini ([2] p.90)

Références[1] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[2] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,



5

270

Analyse 201

Espaces de fonctions ; exemples et applications.

1 L’espace des applications Ck

Définition 1 Soit ⌦ un ouvert de Rn, et k 2 N. On définit Ck(⌦) l’ensemble des fonctionsdont les dérivées partielles d’ordre au plus k existent et sont continues.

1.1 Généralités et convergence uniforme

Exemple 1 (tout premier exemple d’un espace de fonctions) Soit f : R ! R uneapplication dérivable. On considère l’espace vectoriel Tf engendré par les translatées f(· +a). Alors Tf est de dimension finie si, et seulement si, f est solution d’une équation linéairehomogène à coefficients constants.

Proposition 1 Si I est un intervalle de R, alors sous réserve de bonne définition, l’en-semble Ck(I) est stable par opérations.

Remarque 1 Si I n’est pas ouvert, nous définissons une fonction Ck(I) comme une fonc-tion qui se prolonge en une fonction Ck(I) où I est un ouvert contenant I.

Proposition 2 Si (E,d) et (F,�) sont deux espaces métriques, alors l’ensemble des fonc-tions continues de E dans F est stable par convergence uniforme.

Application 1 En particulier, E = C0([�a,a], k·k1) est complet. Cela permet de résoudrede façon approchée l’équation différentielle y0 = x2 + y2 grâce à l’application F : f 2 E 7![x 7!

R x

0(t2 + f(t)2)dt].

Exemple 2 Ce n’est pas vrai par convergence simple, par exemple la suite de fonctionscontinues (x 7! xn)n2N converge simplement vers une fonction discontinue sur [0,1].

Proposition 3 Soit (fn) est une suite de fonctions de C1([a,b]) avec [a,b] ⇢ R telle que lasuite (f 0

n) converge uniformément vers une fonction g et telle qu’il existe x0 2 [a,b] tel que(fn(x0)) converge. Alors (fn) converge uniformément vers f qui vérifie f 0 = g.

Théorème 1 (de Weierstrass) Si K est un compact de R, alors toute application f 2C0(K) est limite uniforme sur K d’une suite de fonctions polynomiales.

Remarque 2 L’ensemble des fonctions nulle part dérivables est dense dans l’ensemble desfonctions continues, ce qui montre tout la puissance du théorème de Weierstrass.

Application 2 (théorème taubérien fort) Soit (bn) une suite de réels telle que bn =O(1/n) et limx!1�

Pn>0 bnx

n = `. AlorsP

bn converge et sa somme vaut `.

1

271

Analyse 201

1.2 Propriétés algébriques et topologiques

Proposition 4 L’ensemble Ck(⌦) est un C-espace vectoriel.

Définition 2 Un multi-indice ↵ est un n-uplet (↵1, . . . ,↵n) 2 Nn. On note |↵| = ↵1 + · · ·+↵n et @↵ = ( @

@x1)↵1 · · · ( @

@xn)↵n .

Définition 3 On définit Ki := {x 2 ⌦, d(x,c⌦) > 1/i et |x| 6 i}, et Ni(f) =P

|↵|6k supKi|@↵f |.

Théorème 2 L’espace (Ck(⌦),�) est un espace métrique, où �(f,g) =P1

i=112i

Ni(f�g)1+Ni(f�g)

.De plus, cet espace est complet.

Remarque 3 L’espace métrique (Ck(⌦),�) décrit ci-dessus fournit un exemple de métriquenon normable.

Définition 4 On définit l’espace C1(⌦) comme \k>0Ck(⌦).

Théorème 3 En définissant cette fois-ci Ni(f) =P

|↵|6i supKi|@↵f |, on a à nouveau que

(C1(⌦),�) est un espace métrique complet non normable.

1.3 Autour du théorème d’Ascoli

Définition 5 Soient X et Y deux espaces métriques compacts, on munit C0(X,Y ) dela norme de la convergence uniforme. Une partie A de C0(X,Y ) est dite équicontinue sipour tout " > 0, il existe � > 0, tel que pour tous x,y 2 X et pour tout f 2 A, on ad(f(x),f(y)) 6 " dès que d(x,y) 6 �.

Théorème 4 (d’Ascoli) Une partie A de C0(X,Y ) est équicontinue si, et seulement si,elle est relativement compacte.

Définition 6 On dit que B ⇢ C1(⌦) est bornée si pour tout i 2 N>1, il existe Mi > 0 telque pour tout f 2 B, Ni(f) 6 Mi.

Théorème 5 (de Montel) Les fermés bornés de C1(⌦) sont compacts.

Remarque 4 Cela montre avec le théorème de Riesz sur la boule unité que C1 n’est pasnormable.

2 Les espaces de Lebesgue


Définition 7 On désigne par Lp l’ensemble des applications de E espace mesuré dans Ctelles que

RE

|f |p soit fini. Par extension, on note L1 l’ensemble des applications bornéespresque partout. Ces deux espaces sont définis modulo la relation d’égalité presque partout.

Définition 8 On note pour f 2 Lp, kfkp = (R

|f |p)1/p.

Proposition 5 (inégalité de Hölder) Soient p et q deux exposants conjugués. Pour f 2Lp et g 2 Lq, on a kfgk1 6 kfkp kfkq.

Proposition 6 (inégalité de Minkowski) Soit f,g 2 Lp, on a kf + gkp 6 kfkp + kgkp.

Proposition 7 L’application k·kp est une norme sur Lp.

Proposition 8 On a sur un ensemble E de mesure bornée : si p 6 q, alors Lp(E) � Lq(E).

Théorème 6 (de Riesz-Ficher) Pour tout p, Lp est un espace de Banach.

2

272

Analyse 201

2.2 De la dualité dans les espaces de Lebesgue

Définition 9 On définit H 0 le dual topologique d’un espace H, i.e. l’ensemble des formeslinéaires continues de H.

Théorème 7 L’espace L2 est un espace de Hilbert.

Remarque 5 La famille (x 7! einx) est une base hilbertienne dans L2([0,1][), ce qui estlié à la théorie des séries de Fourier.

Théorème 8 (de représentation de Riesz) Soit H un espace de Hilbert et f 2 H 0,alors il existe un unique h 2 H tel que f = hh,·i.Proposition 9 Si 1 < p < 2, alors L2 est dense dans Lp.

Proposition 10 Si 1 < p < 2, alors le dual topologique de Lp([0,1]) est Lq([0,1]) où ql’exposant conjugué de p.

Proposition 11 Le dual topologique de L1 est L1, tandis que celui de L1 contient L1.

3 Deux autres espaces de fonctions

3.1 L’espace des applications holomorphes

Définition 10 On dit qu’une fonction est holomorphe si elle est C-dérivable. On noteH (⌦) l’ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert ⌦ ⇢ C.

Proposition 12 L’anneau H (⌦) est intègre si, et seulement si, ⌦ est connexe.

Proposition 13 (formule de Cauchy) Soient U ⇢ C un ouvert convexe, f 2 H (U), �un lacet de U et a /2 �. Alors f(a) Ind�(a) = 1

2i⇡

R�

f(z)z�a

dz, où Ind�(a) = 12i⇡

R�

dzz�a

.

Théorème 9 (de Weierstrass) Soit (fn) ⇢ H (⌦) qui converge uniformément sur lescompacts de ⌦ vers f . Alors f 2 H (⌦).

Application 3 L’espace A2(⌦) := H (⌦) \ L2(⌦) est un espace de Hilbert si ⌦ borné.

3.2 L’espace des applications linéaires continues

Définition 11 Si E et F sont des espaces normés, on définit L (E,F ) l’espace des appli-cations linéaires continues de E dans F .

Proposition 14 L’espace L (E,F ) est normé par la norme subordonnée, et si ' 2 FE

linéaire, ' est continue si, et seulement si, k'k < 1.

Exemple 3 Une application linéaire n’est pas forcément continue. On peut regarder parexemple id : BC(]0,1[, k·k1) ! BC(]0,1[, k·k1) (BC étant un espace d’applications conti-nues bornées). On peut le vérifier avec la suite (x 7! xn)n2N.

Théorème 10 (de Banach-Steinhaus) Soit X un espace de Banach, Y un espace norméet ('n) ⇢ L (X,Y ). Si pour tout x 2 X, supn k'n(x)k < 1, alors supn k'nk < 1.

Application 4 Soit C2⇡ ⇢ C0(R,C) l’espace des fonctions continues 2⇡-périodiques. Alorsil existe f 2 C2⇡ qui n’est pas somme de sa série de Fourier.

3

273

Analyse 201

Développements� Espace de Bergman A2(⌦)

� Dualité dans les Lp ([4] p.216)

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] El Haj Laamri. Mesures, Intégration, Convolution et Transformée de Fourier des fonc-

tions. Dunod, 2 edition, 2007.[3] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[4] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition, 2013.[5] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Algèbre

Tome 1. Cassini, 2001.[6] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.[7] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e edition,

2005.[8] Michel Willem. Analyse Fonctionnelle Elémentaire. Cassini, 2003.

4

274

Analyse 202

Exemples de parties denses et applications.


1 Premiers exemples, premières applicationsDéfinition 1 Une partie A de E est dite dense si A = E.

Remarque 1 Un fermé dense est donc égal à l’espace tout entier.

Proposition 1 De façon équivalente, A est dense si, et seulement si, tout ouvertde E rencontre A.

Exemple 1 Si X est un espace topologique muni de la topologie grossière, alorstous les points de X sont denses dans X.

Exemple 2 Q et R \ Q sont denses dans R.

Proposition 2 Si E est un espace métrique, alors X ⇢ E est dense si, et seulementsi, tout x 2 E est limite d’éléments de X.

Application 1 Si deux application continues coïncident sur une partie dense, alorselles sont égales partout.

Exemple 3 GLn(K) est dense dans Mn(K).

Application 2 On peut ainsi calculer la différentielle du déterminant : pour tousM,H 2 Mn(K), dM det(H) = Tr(t com(M)H).

Exemple 4 Dn(C) est dense dans Mn(C).

Application 3 Notons ' : Mn(C) ! Mn(C) l’application qui à une matrice M =D + N associe D, sa partie diagonalisable de sa décomposition de Dunford. Alors 'n’est pas continue.

Application 4 (théorème de Cayley-Hamilton) Le polynôme caractéristiqued’une matrice est un polynôme annulateur de cette matrice.

Proposition 3 Soit G un sous-groupe additif de R. Alors G est discret ou G estdense dans R.

Application 5 Notons D := {d 2 R, 9n 2 N, 10nd 2 Z} l’ensemble des nombresdécimaux, et D⇥ := {d 2 D, d�1 2 D} l’ensemble des nombres décimaux inversibles.Alors D⇥ est dense dans R.

1

275

Analyse 202

2 En analyse réelle et complexe

2.1 Autour du théorème de Weierstrass

Théorème 1 (de Weierstrass) L’ensemble des fonctions polynômes sur [a,b] estdense dans (C0([a,b]), k·k1).

Théorème 2 (de Müntz) (x 7! x↵n)n2N est dense dans (C0([0,1]), k·k1) si, etseulement si,

P1/↵n diverge.

Application 6 (théorème taubérien fort) Soit (bn) 2 RN telle que bn = O(1/n)et limx!1�

Pn>0 bnx

n = ` < 1, alorsP

n>0 bn = ` < 1.

Théorème 3 L’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans (C02⇡(R,C), k·k1).

2.2 Construction de l’intégrale de Riemann

Définition 2 Soit � := (x0, . . . ,xn) une subdivision de [a,b]. Soit ' : x 7! ci sur]xi�1,xi[ pour tout i 2 {1, . . . ,n} une fonction en escalier. On définit l’intégrale de' :R b

a' :=

Pni=1(xi � xi�1)ci.

Proposition 4 Cette valeur ne dépend pas de la subdivision choisie.

Lemme 1 L’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] est dense dans l’ensembledes fonctions continues par morceaux sur [a,b] (illustration possible en page 4).

Proposition 5 Si f est continue par morceaux, il existe donc ('n) une suite defonctions en escalier qui converge simplement vers f . On définit alors :

Rf :=

limn!1R'n. Cette valeur ne dépend pas de la subdivision choisie.

2.3 Un peu d’analyse complexe

Proposition 6 L’application � : t 2 R 7! eit 2 U est un homomorphisme continuet surjectif. Son noyau est un fermé de R, différent de R et non trivial. Il existe donca 2 R⇤

+ tel que ker� = aZ.

Remarque 2 On a ainsi obtenu une définition de ⇡ : ⇡ := a/2.

Théorème 4 (de Picard) Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U \ {a}.Alors l’un des trois cas suivants se produit :

(i) f se prolonge en une fonction holomorphe sur U ;(ii) z 7! (z � a)nf(z) se prolonge en une fonction holomorphe sur U pour un

n 2 N⇤ ;(iii) 8r > 0, f(D(a,r) \ {a}) est dense dans C.

Exemple 5 z 7! e1/z produit le cas (iii).

2

276

Analyse 202

3 Les espaces de HilbertProposition 7 Soit H un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel de H.Alors F est dense dans H si, et seulement si, F? = {0}.

Définition 3 Une famille (ei) est dite base hilbertienne, si elle est orthonormée etque Vect(ei) est dense dans H.

Définition 4 On dit qu’un espace topologique est séparable, s’il admet une partiedénombrable dense.

Exemple 6 Rn et Cn sont séparables.

Exemple 7 Tous les espaces métriques compacts sont séparables.

Exemple 8 Lp pour p < 1 est séparable, mais L1 ne l’est pas.

Proposition 8 Un espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dé-nombrable.

Exemple 9 (x 7! einx)n2 Z est une base hilbertienne de L2(R/2⇡Z).

Lemme 2 L2 est dense dans Lp pour p 2]0,1[.

Application 7 (DEV 1) Soit p 2]0,1[ et q son exposant conjugué. Alors le dualtopologique de Lp([0,1]) est Lq([0,1]).

4 Vers plus d’abstraction : topologie et espaces fonc-tionnels

4.1 Espaces de fonctions

Exemple 10 C1c est dense dans C1 (illustration possible en page 4).

Exemple 11 Lpc est dense dans Lp.

Application 8 C1c est dense dans Lp.

Application 9 (lemme de Riemann-Lebesgue) Les coefficients de Fourier d’unefonction intégrable tendent vers 0 en ±1.

3

277

Analyse 202

4.2 Autour du théorème de Baire

Définition 5 Un espace métrique (E,d) est dit de Baire si toute intersection d’ou-verts denses de E est dense dans E.

Théorème 5 (de Baire) Tout espace métrique complet est de Baire.

Application 10 Un espace vectoriel normé de dimension infinie admettant unebase dénombrable n’est jamais complet.

Application 11 (DEV 2) Une fonction dérivée sur un espace complet à valeursdans un espace métrique est continue sur un ensemble dense.

Remarque 3 Une fonction dérivée peut être discontinue sur un ensemble dense.

Application 12 Les fonctions continues sur [0,1] nulle part dérivables sont densesdans C0([0,1]).

Remarque 4 On a longtemps cru que de telles fonctions n’existaient pas.

Remarque 5 Une illustration donnant l’intuition de l’existence d’une telle fonctionse trouve en page 4.

Application 13 (théorème de Banach-Steinhaus) Soit X un espace de Ba-nach, Y un espace normé et ('n) une suite de Lc(X,Y ). Si pour tout x 2 X,supn k'n(x)k < 1, alors supn k'nk < 1.

Application 14 Si (fn) ⇢ Lc(E,F ) converge simplement vers f , alors f 2 Lc(E,F ).

Application 15 Il existe des fonctions continues différentes de leur série de Fourier.

Sur la quatrième page, on pourrait mettre les trois figures mentionnées dans le plan.

Développements� Dualité dans les Lp ([3] p.216)� Théorème de Baire (une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense) ([2]

p.397)


éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.

4

278

Analyse 202

[4] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence etde l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.

[5] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.Analyse Tome 1. Cassini, 2007.

[6] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.[7] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e


5

279

Analyse 203

Utilisation de la notion de compacité


1 De la topologie et ses premiers fruits

1.1 Généralités

Définition 1 Soient E un espace métrique et K ⇢ E. On dit que K est compacte side tout recouvrement de K par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrementfini.

Remarque 1 On peut définir plus généralement un compact dans un espace topo-logique, mais il faut imposer que la partie soit séparée.

Exemple 1 Tout espace fini est compact, [0,1] est compact.

Exemple 2 R n’est pas compact, [0,1[ non plus.

Exemple 3 Soit (xn) 2 RN convergeant vers `. Alors l’ensemble {xn, n 2 N} [ {`}est compact.

Proposition 1 Si (Fn) est une suite décroissante de fermés non vides de K compact,alors \n2NFn 6= ;.

Proposition 2 K est compact si, et seulement si, de toute suite de K on peutextraire une sous-suite convergeante.

Proposition 3 Un compact est fermé et borné.

Proposition 4 Un espace compact est complet.

Théorème 1 En dimension finie, les compacts sont exactement les parties ferméeset bornées.

Proposition 5 Un ensemble discret d’un compact est fini.

Application 1 L’ensemble des zéros d’une fonction holomorphe non nulle est finidans tout compact.

1

280

Analyse 203

1.2 Un lien entre l’algèbre et l’analyse

Théorème 2 (de Riesz) Soit E un espace vectoriel. Alors E est de dimension finiesi, et seulement si, sa boule unité est compacte.

Remarque 2 Cette propriété établit un lien fort entre l’algèbre et l’analyse.

Application 2 Soit V un sous-espace vectoriel de C0([a,b],R) fermé pour k.k1 telque V ⇢ C1([a,b]). Alors dim V < 1.

Théorème 3 Tout endormorphisme symétrique sur un R-espace vectoriel de di-mension finie est diagonalisable.

Remarque 3 Il suffit de regarder x 2 E 7! hu(x),xi 2 R bornée sur la sphèreunité, qui admet un maximum... e1.

Remarque 4 En fait, on a un résultat plus général. Si H est un espace de Hilbertséparable et u 2 L (H) auto-adjoint tel que u(B(0,1)) est compacte, alors u estdiagonalisable.

1.3 Applications continues, applications propres

Théorème 4 (de Rolle) Soit f une fonction continue sur [a,b] ⇢ R et dérivablesur ]a,b[ telle que f(a) = f(b). Alors il existe c 2]a,b[ tel que f 0(c) = 0.

Proposition 6 L’image d’un compact par une application continue est compacte.

Proposition 7 Une application continue sur un compact est bornée et atteint sesbornes.

Application 3 Le parallélépipède rectangle de surface minimale et de volume donnéest un cube.

Application 4 (inégalité d’Hadamard) Si v1, . . . ,vn 2 Rn, alors |det(v1, . . . ,vn)| 6kv1k · · · kvnk.Application 5 Il existe sur tout billard elliptique une trajectoire fermée à troisrebons.

Définition 2 Une application f est dite propre si l’image réciproque par f de toutcompact est compacte.

Proposition 8 Une application propre est fermée si elle est continue.

Exemple 4 Une application continue n’est pas forcément fermée, considérer x 7!ex.

Application 6 L’ensemble des polynômes unitaires de degré n de R[X] à racinesréelles est un fermé de Rn[X].

Théorème 5 (de Hadamard-Lévy) Soit f 2 C2(Rn,Rn). Alors f est un difféo-morphisme global si, et seulement si, f est propre et que le déterminant de sonjacobien est partout non nul.

Remarque 5 Ceci reste vrai si f est seulement supposée de classe C1.

2

281

Analyse 203

1.4 Autour du théorème d’homéomorphisme de Poincaré

Théorème 6 (d’homéomorphisme de Poincaré) Soit K un espace compact,soit F métrique. Alors tout bijection continue de K dans F est un homéomorphisme.

Application 7 R/Z est homéomorphe à U.

Application 8 [0,1] n’est pas homéomorphe à [0,1]2.

Remarque 6 Cependant, il existe des surjections continues de [0,1] ! [0,1]2

(les courbes de Péano par exemple). Par contre, il n’existe pas de fonction C1 de[0,1] ! [0,1]2.

2 Compacité et suites en tous genres

2.1 Suites numériques autour du théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème 7 (de Bolzano-Weierstrass) Une suite (xn) ⇢ K compact est conver-gente si, et seulement si, elle admet une unique valeur d’adhérence.

Lemme 1 O(n) est compact.

Application 9 La décomposition polaire est un homéomorphisme.

Application 10 exp: Sn(R) ! S++n (R) réalise un homéomorphisme.

Remarque 7 Pour rester dans les groupes orthogonaux, O(p,q) est compact si, etseulement si, p ou q est nul.

Application 11 Soient F un fermé et K un compact disjoint de F . Alors d(F,K) >0 (illustration page 4).

Théorème 8 (du point fixe version compacte) Soit f vérifiant d(f(x),f(y)) <d(x,y) sur K compact, alors f admet un unique point fixe sur K.

Exemple 5 x 7! sin(x) sur [0,⇡/2] (qui n’est pas contractante).

2.2 Suites de fonctions

Proposition 9 (1er th de Dini) Soit (fn) une suite de fonctions continues dé-croissantes qui converge simplement sur K compact. Alors (fn) converge unifor-mément.

Application 12 t 7!p

t est limite uniforme de polynômes sur [0,1] via P0 ⌘ 0,Pn+1 ⌘ Pn + 1

2(t � Pn

2).

Proposition 10 (2ème th de Dini) Si (fn) suite de fonctions décroissantes K com-pact qui converge simplement vers f 2 C0, alors la convergence est uniforme.

3

282

Analyse 203

Théorème 9 (de Weierstrass) Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes quiconverge uniformément vers f sur tout compact, alors f est holomorphe.

Application 13 (espace de Bergman) Si ⌦ ouvert de C, alors A2(⌦) = L2(⌦)\H (⌦) est un espace de Hilbert.

Application 14 Soit (fn) une suite de fonctions méromorphes qui converge unifor-mément sur tout compact K, et telle qu’il existe NK tel que pour tout n > NK , fn

n’a pas de pôle dans K. AlorsP

fn est méromorphe.

Application 15 (DEV 1) La fonction � d’Euler se prolonge de façon méromorpheà C.

3 Autour du théorème de HeineThéorème 10 (de Heine) Toute application continue sur un compact est unifor-mément continue sur ce compact.

3.1 Le théorème de Sard

Application 16 (Sard en dimension 1) Soit I un intervalle de R et soit f 2 I !R 2 C1. Alors l’ensemble des points critiques de f est de mesure nulle.

Application 17 La sphère de R3 est simplement connexe.

Application 18 R2 n’est pas homéomorphe à R3.

3.2 Théorème d’approximation de Weierstrass

Définition 3 On définit les polynômes de Bernstein de f par Pn,f (X) =Pn

k=0

�nk

�f(k/n)Xk(1�

X)n�k.

Théorème 11 (de Weierstrass) Si f est continue sur un compact, alors f estlimite uniforme de fonctions polynomiales. En fait, Pn,f converge uniformément versf .

Application 19 Soit f : [0,1] ! C 2 C0 telle que pour tout n 2 NR 1

0f(t)tndt = 0.

Alors f est la fonction nulle.

3.3 Méthode du gradient à pas optimal

Définition 4 Une fonction J : Rp ! R 2 C1 est dite elliptique s’il existe ↵ > 0 telque pour tous x,y 2 Rp, hrJ(x) �rJ(y),x � yi > ↵ kx � yk2.

Lemme 2 Une telle fonction J admet un unique minimum, et J(v) � J(u) >hJ(u),v � ui + ↵

2ku � vk2.

Définition 5 On appelle méthode du gradient à pas optimal la suite définie paru0 2 Rp et un+1 = un � ⇢(un)rJ(un) ; où ⇢(un) vérifie @

@⇢(J(un � ⇢rJ(un))) = 0.

Théorème 12 (DEV 2) ⇢(un) est bien défini et cette méthode converge vers leminimum de J .

4

283

Analyse 203

3.4 Séries de Fourier

Définition 6 Soit f 2 R ! C 2 C0 2⇡-périodique. On définit sa série de Fourierd’ordre n comme Sn =

Pnk=�n ck(f)eik•.

Théorème 13 (de Fejér) Posons Cn := 1n+1

(S0 + · · · + Sn), alors (Cn) convergeuniformément vers f sur R.

Application 20 Si ↵ est irrationnel, alors Tn(f) ! 12⇡

R 2⇡

0f si f est continue et

2⇡-périodique, où Tn(f) = 1n

Pnk=1 f(2⇡↵k).

Application 21 Si ↵ est irrationnel, alors {n↵� [n↵], n 2 N} est dense dans [0,1].

En guise d’illustrations, on peut illustrer la trajectoire à trois rebonds sur le billardelliptique, le théorème de Rolle, ainsi que la proposition sur la distance d’un ferméà un compact.

Développements� Méthode du gradient à pas optimal ([1] p.189)� Prolongement de � ([3] p.312 + [7] p.82)

Références[1] P. G. Ciarlet. Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle. Masson, 3e edi-

tion, 1982.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.[4] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,




edition, 2005.

5

284

Analyse 204

Connexité. E et A

1 Généralités et premiers exemples• Def équivalentes connexité• Rq : C’est une propriété topologique• Ex : Q n’est pas connexe, [�1,1[ l’est, GLn(R) ne l’est pas mais GLn(C) l’est• L’image continue d’un connexe est connexe• App : R et R2 ne sont pas homéomorphes, S1 n’est homéomorphe à aucun intervalle• Caractérisation : E connexe ssi toute application continue sur E à valeurs dans

{0,1} est constante• App : Une union de connexe non disjoints avec l’un d’entre eux est connexe• App : Connexité du produit ssi connexité de chacun des ensembles• La relation "être dans la même composante connexe" est une relation d’équiv• Ex : PSL2(Z) = SL2(Z)/{±1}

2 Connexité et applications• Les connexes de R sont les intervalles (découle du principe de la borne sup)• App : TVI• Appp : Brouwer en dimension 1

• App : Tout fermé de R est l’ensemble des 0 d’une fonction C1

• Def connexité par arcs• L’image continue d’un cpa est cpa• Ex : L’adhérence du graphe de sin(1/x) (sur ]0,1] en reliant les bouts) est cpa

mais pas localement cpa• Ex : L’adhérence du graphe de sin(1/x) sur R⇤ est connexe mais pas cpa• Un connexe par arcs est connexe• Réciproque vraie pour un ouvert dans un R-evn• Une application de différentielle nulle sur un ouvert connexe est constante• App : Lemme de Milnor• Raisonnement par connexité : Si ku0k 6 k kuk sur I ouvert tq u(t0) = 0, alors il

existe h > 0 tq u ⌘ 0 sur [t0 � h,t0 + h]

• Théorème de Cauchy-Lipschitz global• Théorème d’Hadamard-Lévy

1

285

Analyse 204

3 Analyse complexe• Principe du prolongement analytique• Principe des zéros isolés• App : Si U ⇢ C est un ouvert convexe, alors l’anneau des fcts analytique sur U

est intègre• Existence de primitive• App : Théorème de Cauchy pour un convexe• Appp : Formule de Cauchy pour un convexe

Développements� Simplicité de SO(3,R) ([4] p.67)� Théorème d’Hadamard-Lévy ([2] p.399)

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.[3] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence et


Algèbre Tome 3. Cassini, 2008.[5] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.[6] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

2

286

Analyse 205

Espaces complets. E et A

1 L’indispensable début

1.1 Définitions, exemples, et autres lemmes

Définition 1 Soit (E,d) un espace métrique.Une suite (xn)n2N 2 EN est dite de Cauchy si

8" > 0, 9N 2 N, 8n,m > N, d(xn,xm) 6 ".

Un espace métrique est dit complet lorsque toute suite de Cauchy est convergente.Un espace vectoriel normé complet est dit de Banach.

Exemple 1 • Pour tout n > 0, Rn est un espace de Banach.• Qn n’est jamais complet.• Soit X un ensemble. Alors (B(X,R), k.k1) l’ensemble des fonctions bornées est

complet.• Les espaces Lp sont complets pour p > 1.• L’ensemble des fonctions continues sur un compact est complet pour k.k1.• Schwartz a introduit pour les distributions les espaces DK des fonctions C1 à

support dans K compact. Cet espace fonctionnel est complet pour k.k1.• L’espace de Schwartz S(R) := {f 2 C1, 8↵� 2 N,

��x↵f (�)��1 < 1} muni des

semi-normes Np(f) =P

↵,�6p

��x↵f (�)��1 est complet... mais cet espace n’est pas

complet si on le munit de la norme k.kp

Proposition 1 Une suite convergente est de Cauchy.

Proposition 2 Une suite de Cauchy qui possède une valeur d’adhérence est conver-gente.

Proposition 3 Dans un espace de Banach, les séries absolument convergentes sontconvergentes.

Exemple 2 La sérieP (�1)n

n(n+1)converge seulement absolument sur Q. En effet,

P1

n(n+1)= 1 2 Q, mais

P (�1)n

n(n+1)= 1 � 2 ln 2.

Application 1 Définition de l’exponentielle dans un espace de Banach.

Proposition 4 Un produit dénombrable d’espaces complets est complet si, et seule-ment si, chacun des facteurs est complet.

Proposition 5 Tout partie complète est fermée. Dans un espace métrique complet,une partie est fermée si, et seulement si, elle est complète.

1

287

Analyse 205

1.2 Des théorèmes utiles

Lemme 1 (de Cantor) Soient (E,d) un espace métrique complet et (Fn)n2N 2 EN

une suite décroissante de fermés non vides dont le diamètre tend vers 0. Alors

9x 2 E,\

n2N

Fn = {x}.

Application 2 Théorème de Baire (section 2).

Théorème 1 (du point fixe) Soit (E,d) un espace métrique complet et f 2 EE

une application k-contractante (0 < k < 1). Alors f admet un unique point fixe.

Application 3 (Théorème de Cauchy-Lipschitz) Si F : (R ⇥ Rd) ! Rd ety0 2 Rd, alors le problème

(y0(t) = F (t,y(t))

y(0) = y0

admet une unique solution.Pour cela, on cherche un point fixe de

� : C0(I,Rd) �! C0(I,Rd)

' 7�!t 7! y0 +

Z t

0

F (x,'(x))dx

�.

Théorème 2 Tout espace métrique se plonge dans un espace complet, et ce defaçon unique à unique isométrie près.

Application 4 • R peut être construit comme complété de Q.• L’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] ⇢ R à valeurs réelles admet comme

complété C0([a,b],R).

2 À l’entour du théorème de BaireThéorème 3 (Baire) Tout espace métrique complet est de Baire, i.e. toute réuniondénombrable de fermés d’intérieurs vides est d’intérieur vide.

Application 5 (Premier développement)Un espace vectoriel normé réel à base dénombrable n’est pas complet.

Application 6 Si f : R ! R est une fonction dérivable, alors f 0 est continue aumoins sur un ensemble dense.

Théorème 4 (Banach-Steinhaus) (Deuxième développement)Soient X un espace de Banach, Y un espace normé et ('n)n2N 2 L (X,Y )N. Alors

✓8x 2 X, sup

n2Nk'n(x)k < 1

◆=) sup

n2Nk'nk < 1.

2

288

Analyse 205

3 Projetons dans les espaces de HilbertDéfinition 2 Un espace vectoriel H muni d’un produit scalaire (H préhilbertien)est dit de Hilbert lorsqu’il est complet pour la norme associée au produit scalaire. Ilest généralement aussi demandé de dimension infinie.

Exemple 3 L’exemple le plus classique est l’ensemble des suites de nombres com-plexes de carré sommable `2(N).

Exemple 4 (Troisième développement)Soit ⌦ ⇢ C un ouvert. On définit A2(⌦) := H (⌦) \ L2(⌦) l’espace de Bergman.L’espace A2(⌦) est un espace de Hilbert.

Théorème 5 (Projection sur un convexe fermé) Soient H un espace de Hil-bert et C un convexe fermé non vide de H. Alors pour tout x 2 H, il existe ununique élément de C qui réalise la distance de x à C. On le note pC(x). Ainsi,

8y 2 C, kx � pC(x)k 6 kx � yk .

Application 7 (Projection sur un sous-espace fermé)Soit H un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel fermé de H. Pour tout x 2 H,le projeté pF (x) est l’unique élément quivérifie

pF (x) 2 F et x � pF (x) 2 F?.

De plus, pF est linéaire, continue et surjectivesur F . On a

H = F � F?.

Exemple 5 ...ou plutôt contre-exemple si F n’est pas complet.Considérons à nouveau l’espace de Hilbert `2(N) et le sous-espace F des suitespresque nulles de `2(N).On a F = `2(N) donc F? = {0}, donc `2(N) 6= F � F?.

Application 8 (Représentation de Riesz) Soit (H,h.,.i) un espace de Hilbert.Alors pour toute forme linéaire f continue sur H, il existe un unique y 2 H tel quef = hy,.i.

Application 9 (Critère de densité) Soit H un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel de H. Alors

F est dense dans H () F? = {0}.

Remarque 1 Ce critère donne que si (en)n2N est une base hilbertienne d’un espcede Hilbert H, alors Vect((en)n2N) est dense dans H.

3

289

Analyse 205

Développements� Baire + Banach-Steinhaus + un evn à base dénombrable n’est pas complet� Solution approchée d’une équation différentielle ([4] p.191)





edition, 2005.[6] Michel Willem. Analyse Harmonique Réelle. Hermann, 1995.[7] Michel Willem. Analyse Fonctionnelle Elémentaire. Cassini, 2003.

4

290

Analyse 207

Prolongement de fonctions. E et A

Leçon préparée en 3h, sous le conditions de l’examen.

1 Prolongement par régularité et premiers exemplesRemarque 1 On cherche à prolonger une fonction sur un intervalle plus grand,tout en conservant sa régularité première.

Exemple 1 x 7! x log x et x 7! xx

se prolongent par continuité en 0.

Contre-Exemple 1 Bien que x 7! sin(1/x) soit bornée au voisinage de 0, elle nese prolonge pas par continuité en 0.

Proposition 1 Soit f : ]a,b[! R 2 Ck. Si limx!a+ f (k)(x) existe, alors f se prolongede façon Ck à [a,b[.

Exemple 2 x 7! exp(�1/x)1]0,+1[ se prolonge de façon C1 à [0, + 1[.

Remarque 2 Cette fonction est à la base de la construction des fonctions plateaux.

Application 1 (th de Borel) Soit (ak) ⇢ R. Il existe f 2 C1(R) telle que pourtout k, f (k)(0) = ak.

Application 2 Tout fonction C1 sur un compact de R se prolonge en une fonctionC1 sur R.

Proposition 2 Si f est Ck avec k > 1 et f(0) = 0, alors x 7! f(x)x

se prolonge defaçon Ck�1 sur R.

Exemple 3 x 7! sin xx

est C1 sur R.

2 Prolongement par densité et applications

2.1 Le prolongement par densité

Théorème 1 Si deux applications continues coïncident sur une partie dense, alorselles sont égales.

1

291

Analyse 207

Application 3 En prolongeant une égalité valable sur L2, on peut montrer que pourp 2]0,1[, le dual topologique de Lp([0,1]) est Lq([0,1]) où q est l’exposant conjuguéde p.

Théorème 2 Soient E,F métriques avec F complet ; A ⇢ E dense, f : A ! F uni-formément continue. Alors il existe une unique application g continue qui prolongef sur E. De plus, g est uniformément continue.

Remarque 3 C’est ce théorème qui permet de prolonger la transformée de Fourierdéfinie sur L1(R) à L2(R).

2.2 Construction de l’intégrale de Riemann

Définition 1 Soient f 2 E (]a,b[,R) (en escaliers), � = (�0, . . . ,�n) une subdivision

de ]a,b[ adaptée à f , et ⇣i 2]�i,�i+1[. On définitZ b

a

f :=n�1X

i=0

(�i+1 � �i)f(⇣i).

Proposition 3 Ce nombre ne dépend pas de la subdivision choisie.

Proposition 4 f 2 (E , k.k1) 7!R b

af 2 (R, |.|) est linéaire C0.

Remarque 4 D’après le th 2, on peut donc définir cette application sur E , l’adhé-rence de E .

Remarque 5 Toute application C0 p.m. est réglée, on a donc construit l’intégralepour les fonctions continues par morceaux.

Remarque 6 On ne peut pas intégrer 1Q avec notre intégrale.

2.3 Applications linéaires et théorème de Hahn-Banach

Théorème 3 (de Hahn-Banach) Soient E normé et F un sev de E. Si f 2Lc(F,K), alors il existe un prolongement linéaire continu de f , de norme égale àcelle de f .

Application 4 Soit F un sev de E normé. Alors F est dense si, et seulement si,toute forme linéaire continue qui s’annule sur F s’annule sur E.

3 Séries entières et fonctions holomorphes

3.1 Prolongement des séries entières

Proposition 5 Soit f développable en série entière en a, avec un rayon de conver-gence R > 0. Alors f est développable en série entière en tout point de D(a,R).

Théorème 4 (d’Abel angulaire) SoitP

anzn une série entière de rayon de conver-

gence > 1 telle queP

an converge. On note f sa somme, et on fixe ✓0 2 [0,⇡/2[.Alors : lim z!1

z2�✓0

f(z) =P

n>0 an, où �✓0 est le secteur angulaire défini page 4.

2

292

Analyse 207

Application 5 • Pn>0(�1)n

2n+1= limx!1� Arctan(x) = ⇡/4

• Pn>1(�1)n

n= limx!1� � log(1 + x) = � log 2

Remarque 7 La réciproque du th 4 est fausse : lim(�1)nzn = lim 11+z

= 12, maisP

(�1)n diverge. On a cependant une réciproque si an = O(1/n).

Théorème 5 (taubérien fort d’Hardy-Litllewood – DEV 1) Si (bn) ⇢ R telleque bn = O(1/n) et telle que limx!1� bnx

n = `, alorsP

bn converge et sa sommevaut `.

3.2 Prolongement des fonctions holomorphes

Théorème 6 (principe du prolongement analytique) Si f,g 2 H (U) avec U ⇢C ouvert connexe coïncident sur D ⇢ U ayant un point d’accumulation, alors f = gsur U .

Exemple 4 z 7!Pn>0

zn

n!est l’unique fonction entière qui prolonge l’exponentielle

réelle.

Application 6 On a 8z 2 C, cos2 z + sin2 z = 1.

Remarque 8 La grande différence avec le cas réel réside dans le fait que le prolon-gement holomorphe est nécessairement unique.

Remarque 9 Cependant, l’existence du prolongement n’est pas toujours acquise ;par exemple pour la fonction ln.

Théorème 7 (du prolongement de Riemann) Soient U ⇢ C ouvert non vide,a 2 U , f 2 H (U \{a}). Si f est bornée au voisinage épointé de a, alors f se prolongeen une fonction holomorphe sur U .

Théorème 8 (des zéros isolés) Si f holomorphe non identiquement nulle sur Uouvert connexe, alors l’ensemble des zéros de f est localement fini.

Application 7 Soit U ⇢ C ouvert. Alors U est connexe si, et seulement si, l’anneauH (U) est intègre.

Exemple 5 (DEV 2) La fonction � d’Euler se prolonge de façon méromorphe àC, avec des pôles simples en les entiers négatifs.

Exemple 6 La fonction ⇣ de Riemann se prolonge de façon holomorphe à C \ {1}.Ceci permet d’énoncer une des plus célèbres conjectures en mathématiques.

3

293

Analyse 207

4 En théorie des équations différentielles

4.1 Autour du lemme des bouts

Théorème 9 (lemme des bouts) Soient f 2]a,b[⇥Rn ! Rn 2 C1 et (x,]↵,�[)une solution maximale au problème de Cauchy y0 = f(t,y). Alors � = b, ou � < bet limt!�� kx(t)k = +1.

Application 8 Si f est bornée, toute solution maximale est globale.

Application 9 (théorème de Hadamard-Lévy) Soit f : Rn ! Rn 2 C2. Alorsf est un C1 difféomorphisme global si, et seulement si, f est propre et le déterminantde son jacobien est partout non nul.

4.2 Deux équations aux dérivées partielles

Théorème 10 (problème de Dirichlet dans le demi-plan) Soit f 2 L1(R) \C0(R). Alors il existe une unique application u 2 C2(R ⇥ R+) qui prolonge f surR ⇥ {0}, et qui vérifie : �u = 0 et supy>0

R|u(x,y)| dx < +1.

Théorème 11 (équation de la chaleur sur un anneau) Soit u0 : R ! R nonnulle, continue, C1 p.m. et 2⇡-périodique. Alors il existe une unique applicationu : R+⇥R ! R continue, C1 sur R⇤

+⇥R, 2⇡-périodique en x, et vérifiant : @u@t

= @2u@x2

et pour tout x 2 R, u(0,x) = u0(x).

Sur la quatrième page, on peut illustrer ce qu’est un prolongement par continuité,illustrer le prolongement de x 7! exp(1/x)1]0,+1[(x), illustrer une fonction réglée, etbien sûr définir le fameux secteur angulaire �✓0.

Développements� Prolongement de � ([3] p.312 + [9] p.82)� Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood ([1] p.289)

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] El Haj Laamri. Mesures, Intégration, Convolution et Transformée de Fourier


2013.[4] Karine Madère. Leçons d’Analyse. Ellipses, 2012.[5] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,

2006.

4

294

Analyse 207




edition, 2005.

5

295

Analyse 208

Espaces vectoriels normés, applications linéairescontinues. Exemples


1 Généralités

1.1 Les espaces vectoriels normés

Définition 1 Un espace vectoriel normé (evn) est un espace vectoriel muni d’unenorme.

Remarque 1 Un espace vectoriel normé est un espace métrique : d(x,y) = kx � yk.

Exemple 1 (R, |.|) et (C, |.|) sont des evn.

Exemple 2 Soit K = R ou C, et ↵ > 1. Alors kxk↵ = (Pn

i=1 |xi|↵)1/↵ est une normesur Kn.

Exemple 3 k.k1 = supni=1 |xi| est une norme sur Kn.

Définition 2 Un evn est dit de Banach s’il est complet.

Exemple 4 En anticipant, on peut dire que (Lp, k.kp) est de Banach pour p > 1.

Définition 3 k.ka et k.kb sont dites équivalentes si : 9↵,� > 0, 8x 2 E, ↵ k.ka 6k.kb 6 � k.ka.

Exemple 5 k.k1 et k.k1 sont équivalentes sur Cn.

1.2 Les applications linéaires continues

Théorème 1 Soient E et F deux K-evn et f 2 L (E,F ). Alors on a équivalenceentre :

(i) f est continue sur E ;(ii) f est continue en 0 ;(iii) f est bornée sur la sphère unité ;(iv) 9M > 0, 8x 2 E, kf(x)k 6 M kxk.

1

296

Analyse 208

Définition 4 On note Lc(E,F ) l’ensemble des applications linéaires continues.

Proposition 1 Lc(E,F ) est un evn en posant kfk = supkxk=1 kf(x)k.

Lemme 1 Cette norme est une norme d’algèbre.

Théorème 2 Si F est de Banach, alors Lc(E,F ) l’est aussi.

Définition 5 On note E 0 = Lc(E,K) le dual topologique de E.

Remarque 2 D’après le th 2, E 0 est de Banach car K est complet.

Exemple 6� : C([0,1]) �! R

f 7�!R 1/2

0f �

R 1

1/2f

est continue et k�k = 1.

Remarque 3 Cette norme n’est jamais atteinte.

1.3 Une application des applications linéaires continues

Théorème 3 Si F est de Banach et que A ⇢ E est dense. Alors toute applicationlinéaire continue A ! F admet un unique prolongement g à E. De plus, g estcontinue.

Application 1 On peut définir grâce au théorème 3 l’intégrale des fonctions conti-nues par morceaux, car les fonctions en escaliers sont denses dans les fonctions C0

p.m.

Application 2 Ce théorème permet aussi de prolonger la transformée de Fourierde L1(R) à L2(R).

2 Séries d’endormorphismes et topologie matricielle

2.1 Séries dans un espace de Banach

Proposition 2 Lc(E) est une algèbre normée, et si E est un espace de Banach,alors Lc(E) est un espace de Banach.

Corollaire 1 Toute série de Lc(E) absolument convergente est convergente.

Remarque 4 La réciproque est vraie.

Application 3 Si E est de Banach et u 2 Lc(E) tel que kuk < 1, alors id � u estinversible d’inverse

Pun.

Application 4 On peut définir l’exponentielle d’un endomorphisme comme exp u =Pun/n!.

2

297

Analyse 208

2.2 Utilité de la topologie matricielle

Lemme 2 Sur Mn(R), on a kMk2 =p⇢(tMM), où ⇢ est le rayon spectral et

kMk2 = (P |mi,j|2)1/2.

Remarque 5 On a alors sur Sn(R) : kMk2 = ⇢(M).

Application 5 L’exponentielle réalise un homéomorphisme de Sn(R) sur S++n (R).

Remarque 6 L’étude de Mn(R) est facilitée par les propriétés topologiques de cetevn. Par exemple :

Lemme 3 O(n) est un sous-groupe compact de Mn(R).

Application 6 (décomposition polaire) La multiplication matricielle induit unhoméomorphisme : O(n) ⇥ S++

n (R) ⇠= GLn(R).

3 Le cas particulier de la dimension finieSoit E un evn de dimension finie.

Théorème 4 Dans un evn de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Contre-Exemple 1 Sur C([0,1]), k.k1 et k.k1 ne sont pas équivalentes.

Proposition 3 On a L (E,F ) = Lc(E,F ).

Contre-Exemple 2 P 7! P 0 n’est pas continue sur (R[X], k.k1).

Contre-Exemple 3 P 7! P (0) n’est pas continue sur (R[X], k.k1).

Proposition 4 E est complet.

Remarque 7 On verra qu’un evn de dimension infinie à base dénombrable n’estjamais complet.

Proposition 5 Tout sev de dimension finie d’un evn est fermé.

Proposition 6 Les compacts de E sont les fermés bornés.

Contre-Exemple 4 {(�jk)j2N, k 2 N} est fermé et borné, mais n’est pas compactdans `1(N).

Théorème 5 (de Riesz) La boule unité de F evn est relativement compacte si,et seulement si, dim F < 1.

Remarque 8 Les normes d’endomorphismes peuvent aussi servir à calculer desdifférentielles.

Exemple 7 On a dM det(H) = Tr(t com(M)H).

Exemple 8 Soit A0 2 Sn(R), posons ' : M 2 Mn(R) 7! tMA0M 2 Sn(R). On adIn'(H) = A0H + t(A0H).

Remarque 9 L’exemple 7 est à la base de la démonstration du lemme de Morse.

3

298

Analyse 208

4 Et en dimension infinie ?

4.1 Quelques exemples et une application des normes

Exemple 9 kfk1 =R 1

0|f | est une norme sur C([0,1]), mais (C([0,1]), k.k1) n’est pas

complet.

Exemple 10 E = (C0([�a,a]), k.k1) est un espace de Banach.

Remarque 10 La structure d’evn permet d’utiliser le théorème du point fixe dePicard, modulo le choix d’une norme qui rend l’application voulue contractante.

Application 7 On s’intéresse à (P)

(y0 = x2 + y2

y(0) = 0.On définit :

F : E �! E

f 7�! [x 7!R x

0(t2 + f(t)2)dt].

Soit f 2 B(0,r). Alors pour a suffisamment petit, (F n(f)) converge uniformémentvers la solution de (P).

4.2 Utilisation de la complétude

Théorème 6 (de Baire) Soit E un espace métrique complet. Alors toute inter-section d’ouverts denses de E est dense dans E.

Application 8 (théorème de Banach-Steinhaus – DEV 1) Soient X de Ba-nach et Y normé ; soit ('n) ⇢ Lc(X,Y ). Alors si pour tout x 2 X, supn k'n(x)k <+1, alors supn k'nk < 1.

Application 9 Une limite simple d’applications linéaires continues est linéaire conti-nue.

Application 10 Il existe des fonctions continues différentes de leur série de Fourier.

Application 11 (DEV 1, suite) Un espace vectoriel normé de dimension infinieà base dénombrable n’est pas complet.

Exemple 11 K[X] n’est jamais complet.

Théorème 7 (de l’application ouverte) Soit T une surjection linéaire continueentre deux espaces de Banach. Alors T est bijective, et T�1 est continue.

Théorème 8 (du graphe fermé) Soient T : E ! F linéaire entre deux espacesde Banach, et de graphe fermé. Alors T 2 Lc(E,F ).

Application 12 Soient E de Banach et F un sev fermé de E. Alors il existe uneprojection linéaire continue p : E ! F si, et seulement si, F admet un supplémen-taire fermé.

4

299

Analyse 208

4.3 Utilisation de la structure hilbertienne

Exemple 12 A2(⌦) = L2(⌦) \ H (⌦) sur ⌦ ouvert borné de C est un espace deHilbert.

Théorème 9 (de projection sur un convexe fermé) Soient H un espace de Hil-bert et C ⇢ H un convexe fermé. Pour tout x 2 H, il existe un unique y 2 C telque kx � yk = infz2C kx � zk.Application 13 Un sev F de H est dense si, et seulement si, F? = {0}.

Remarque 11 C’est en général ce critère qui permet de montrer le caractère totald’une potentielle base hilbertienne.

Théorème 10 (de représentation de Riesz) Pour tout ' 2 H 0, il existe ununique a 2 H tel que pour tout x 2 H, '(x) = ha,xi.Remarque 12 Le th 10 permet de définir l’adjoint d’un endomorphisme.

Application 14 (DEV 2) Soit 1 < p < 2 et q l’exposant conjugué de p. Alors(Lp)0 ' Lq où Lp = Lp([0,1]).

Sur la quatrième page, on peut illustrer le théorème de projection, ou les quelquescontre-exemples donnés.

Développements� Théorème de Baire + Banach-Steinhaus + evn à base dénombrable n’est pas

complet ([1] p.397 + [9] p.32)� Dualité dans les Lp ([2] p.216)








5

300

Analyse 209

Approximation d’une fonction par des polynômeset des polynômes trigonométriques. E et A

1 Approximation par des polynômes

1.1 Approximation locale

• Taylor-Lagrange• App : Méthode de Newton• Appp : Calculer une racine carrée• Inégalité de Taylor-Lagrange• App : Inégalités classiques du genre x � x2

26 log(1 + x) 6 x � x2

2+ x3

3

• Taylor-Young• Taylor avec reste intégral

1.2 Approximation globale

• Polynômes d’approximation de Bernstein• Théorème de Weierstrass• App : Théorème taubérien fort• Une fonction R ! R limite uniforme de polynômes est. . .un polynôme• Def fonction poids, produit scalaire• Polynômes de Hermite• Polynômes de Legendre• Meilleure approximation uniforme polynomiale et remarque orale sur l’oscillation• Ex : solution approchée de l’équa diff y0 = x2 + y2

2 Interpolation polynomiale• Rq (oral) : intérêt de l’interpolation de Lagrange• Interpolation de Lagrange (avec les `i)• Unicité de la solution en degré optimal• Majoration de l’erreur

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301

Analyse 209

• Rq (oral) : explication de ce qui peut augmenter l’erreur• App : Décomposition polaire• App : exp: Sn(R) ! S++

n (R) est un homéo• Phénomène de Runge (dessin !)

3 Approximation par des polynômes trigonométriques• Def polynôme trigonométrique• Equivalent du th de Weierstrass pour les polynômes trigo• Séries de Fourier• Cv en moyenne• Cv ponctuelle• App : calculs de ⇣(2), ⇣(4)

• App : Equation de la chaleur• App : Formule sommatoire de Poisson• Appp : Formule pour une fonction ✓

• Phénomène de Gibbs (dessin !)

Développements� Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood ([1] p.289)� Solution approchée d’une équation différentielle ([5] p.191)



tries, volume 1. Calvage & Mounet, 2013.[4] Jean Pierre Demailly. Analyse Numérique et Equations Différentielles. EDP

Sciences, 2006.[5] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


edition, 2005.

2

302

Analyse 213

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. E et A

1 Généralités et premières propriétés• Def espace de Hilbert (c’est la généralisation de la dimension finie)• Ex : `2(N), L2

• Si (H,h.,.i) est un Hilbert et a est une forme bilinéaire symétrique coercive, alorsa est un produit scalaire (donc (H,a) est un Hilbert) et les deux normes associéessont équivalentes

• Def orthogonal d’une partie• Propriétés de l’orthogonal de F si F est une partie fermée• Un sev F est dense ssi F? = {0}• Def base hilbertienne, def espace de Hilbert séparable• Ex : (ein·) base hilbertienne de L2(R/2⇡Z) et la décomposition sur cette base

correspond à la décomposition en série de Fourier• Ex : Base hilbertienne de BL2 et théorème d’échantillonnage de Shannon• Existence de base hilbertienne• Propriétés découlant de la base hilbertienne• En pratique : on vérifie que la famille est orthonormée, et on vérifie que (en)? =

{0}

2 Quelques premières applications• Théorème de représentation de Riesz• App : Def de l’adjoint• App : Isométrie entre H et son dual• Inégalité de Cauchy-Schwarz (dans un préhilbertien)• App : Continuité de l’adjoint, et même ku⇤k = kuk• Hahn-Banach géométrique• App : Soit D une partie convexe fermée d’un espace de Hilbert, alors D est égale

à l’intersection des demi-espaces le contenant• Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt (dessin !)• App : Construire une base hilbertienne• Ex : Polynômes de Legendre

1

303

Analyse 213

3 Projection sur un convexe fermé• Théorème de projection sur un convexe fermé• App : Projection sur un sous-espace fermé• C-Ex si l’espace n’est pas fermé : `2(N) et les suites presque nulles• Appp : Critère de densité (pour étudier les bases hilbertiennes notamment)• Appp : Existence d’une supplémentaire dans un espace de Hilbert

4 Opérateurs compacts dans un espace de Hilbert• Définition• Un opérateur compact est limite d’opérateurs de rang fini• Si (en) famille orthonormale et f op cpct, alors lim f(en) = 0

• Si � est un vp de f op cpct, ker (f � �id) est de dim finie• L’ensemble des vp d’un op cpct est au plus dénombrable• Les opérateurs auto-adjoints compacts sont diagonalisables dans un Hilbert séparé• L’ensemble des opérateurs compacts sur un Banach est fermé dans les opérateurs

continus

Développements� Espace de Bergman (doc manuel so far)� Dualité dans les Lp ([2] p.216)


2013.[3] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

2

304

Analyse 214

Théorème d’inversion locale, théorème desfonctions implicites. E et A en analyse et géométrie

Rq (oral) : tout l’intérêt du calcul diff se retrouve ici (très bien expliqué dans leRouvière).

1 Théorème d’inversion locale

1.1 Enoncé du théorème et ses variantes

• Def de la matrice jacobienne• Ex (préliminaire) : détermination d’un ouvert connexe maximal U ⇢ R2 tel que

f(x,y) = (x + y,xy) soit un difféo de U ! f(U)

• Th d’inversion locale (dessin !)• La preuve utilise le théorème du point fixe. On veut résoudre f(x) = y, et on pose

F (x) = x � da(f)�1(f(x) � y). On considère alors xn = F (xn)

• Ex : avec x 7! x2

• L’hypothèse daf inversible est nécessaire• Th d’inversion locale Ck

• Th d’inversion locale holo• C-Ex : L’hypothèse f injective est essentielle, comme on peut le voir avec f(x,y) =

(x2 � y2,2xy) qui est un difféo local au voisinage de tout point, mais pas un difféoglobal

• C-Ex : f(x) = x + x2 sin(⇡/x), f(0) = 0 (fonction dérivable sur R mais pas C1 en0)

1.2 Applications

• Théorème du changement de coordonnées• Ex : coordonnées polaires• App : Calcul de l’intégrale de Gauss• Th d’inversion globale• Théorème de Hadamard-Lévy• App : les racines d’un polynômes sont fonction C1 de ses coefficients• App : logarithme d’une matrice• App : lemme de Morse

1

305

Analyse 214

2 Théorème des fonctions implicites

2.1 Enoncé

• Théorème des fonctions implicites (dessin !)• Pour la preuve, on utilise le TIL avec g(x,y) = (x,f(x,y)). La fonction implicite

est alors donnée par la seconde composante de g

• Rq (oral) : expliquer ce que veux dire concrètement ce théorème• Ex : x2 + y2 � 1 = 0

• Avec un système d’équations• Différentielle de '

• Retour sur l’exemple du cercle• La fonction implicite f(x)� y = 0 donne la fct inverse x = f�1(y), ainsi TIL ()

TFI• On peut de même donner un TFI version Ck ou version holomorphe

2.2 Applications

• App : Régularité des racines simples d’un polynôme• Appp : l’ensemble des polynômes scindés simple est un ouvert de Rn[X]

• Lien avec les équas diff (ce fut historiquement la première preuve du TFI !)• L’équation du 3ème degré• Th des extremas liés• App : moyenne arithmético-géométrique

3 Introduction aux sous-variétés• Ex (introductif) : aplatir une parabole• But : classifier les courbes, les surfaces. . .• Def d’une sous-variété• Des contre-exemples pas lisses• Def d’un vecteur tangent, de l’espace tangent• Sous-variété définie implicitement• Ex : S2

• Théorème des sous-variétés ?• App : les variétés SLn et On

• App : la variété des matrices de rang donné

2

306

Analyse 214

Développements� Théorème de Hadamard-Lévy ([2] p.399)� Lemme de Morse ([4] p.354-209)





edition, 2005.

3

307

Analyse 215

Applications différentiables définies sur un ouvertde Rn. E et A

1 Généralités sur la différentiabilité

1.1 Un morceau de théorie

• Def d’une application différentiable, def de la différentielle• Unicité de la différentielle sous réserve d’existence, on la note daf

• Rq (oral) : au voisinage de a, f se comporte comme l’application affine x 7!f(a) + daf(x � a)

• Lien avec la dérivée usuelle R ! R• Def dérivée directionnelle, def des dérivées partielles• Différentiable =) dérivées partielles• C-Ex : la réciproque est fausse : f(x,y) = xy

x2+y2 , f(0,0) = (0,0)

• C-Ex : on peut même avoir f non continue là où elle admet des dérivées partiellesdans toutes directions ! f(x,y) = y2/x si x 6= 0 et f(0,y) = 0

• On a équivalence entre les dérivées partielles sont continues et la fonction est declasse C1

• Def matrice jacobienne• Différentielle d’une somme, différentielle de fonctions composées

1.2 Exemples de calculs de différentielles

• Ex : Différentielle d’une application constante (et réciproquement !... on verra çabientôt)

• Ex : Différentielle d’une application linéaire• Ex : Différentielle d’une application quadratique• Ex : Différentielle de l’inverse• Ex : Différentielle de l’exponentielle• Ex : Différentielle du déterminant

1

308

Analyse 215

2 Accroissements finis• Egalité des accroissements finis sur R• C-Ex : ça ne marche déjà plus de R ! R2 avec f(t) = eit

• Inégalité de la moyenne• Sur un ouvert convexe l’application est k-lip• Sur un ouvert connexe, on retrouve ce qui était annoncé : une application à la

différentielle nulle est constante sur l’ouvert• App : une suite dense sur le cercle• App : différentielle d’une limite• Appp : l’exponentielle est de classe C1 sur Mn(R)

3 Autour des théorèmes d’inversion

3.1 Théorème d’inversion locale

• Th d’inversion locale (dessin !)• Théorème du changement de coordonnées• Ex : coordonnées polaires• App : Calcul de l’intégrale de Gauss• Th d’inversion globale• Théorème de Hadamard-Lévy

3.2 Théorème des fonctions implicites

• Théorème des fonctions implicites (dessin !)• Rq : TIL et TIF sont équivalents• App : Régularité des racines simples d’un polynôme• Appp : l’ensemble des polynômes scindés simple est un ouvert de Rn[X]

4 Différentielles d’ordre supérieur

4.1 Généralités

• Où vit la différentielle, où va vivre la différentielle seconde• Def de la différentielle seconde, de la hessienne• Th de Schwarz• C-Ex : si on a seulement les dérivées partielles seconde (ceci est une fonction C1

mais non C2 !) : g(x,y) = xy x2�y2

x2+y2 et g(0,0) = 0

• Def différentielle k-ième, def fonction de classe Ck, fct de classe C1

• Formule de Taylor-Young

2

309

Analyse 215

4.2 Applications, optimisation

• Lemme de Morse• Lien entre extremum et différentielle (du premier et du second ordre)• C-Ex : il est nécessaire de supposer l’ouvert... ouvert (x 7! x sur [0,1])• Théorème des extrema liés• App : Inégalité arithmético-géométrique• App, : Emballage le plus économique• Extrema locaux et notations de Monge• Ex : f(x,y) = x4 + y4 � 2(x � y)2

• Méthode du gradient à pas optimal

Développements� Théorème de Hadamard-Lévy ([3] p.399)� Méthode du gradient à pas optimal ([1] p.189)






edition, 2005.

3

310

Analyse 218

Applications des formules de Taylor

1 Les formules de Taylor• Formule de Taylor-Lagrange• Formule de Taylor-Young• Formule de Taylor avec reste intégral• Rq : la formule avec reste intégral est la plus précise

2 Quelques applications en analyse réelle

2.1 Diverses applications

• Inégalités classiques comme x � x2/2 6 log(1 + x) 6 x � x2 + x3/3

• Une fonction dont les dérivées sont bornées par un polynôme est nulle• Si f vérifie f(0) = f 0(0) = f 0(1) = 0 et f(1) = 1, alors il existe x tq |f 00(x)| > 4

• Théorème de Darboux• Inégalité de Kolmogorov• Méthode de Laplace• App : équivalent de la fonction � d’Euler

2.2 Développements limités

• Si f est n fois dérivable, alors on a un DL à l’ordre n

• C-Ex : la réciproque est fausse f(x) = x3 sin(1/x) admet un DL à l’ordre 2 maisn’est pas 2 fois dérivable

• App : limite de coscot2 en 0

• App : majoration de l’erreur d’approximation de e par les factoriels

3 Séries entières• Si une fct est DSE, elle est égale à sa série de Taylor• Pour qu’elle soit DSE, il suffit que le reste cv simplement vers 0

1

311

Analyse 218

• Ex : e�1/x2 n’est pas DSE quand bien même la série de Taylor a un rayon de cvnon nul

• Théorème de Bernstein sur les séries entières• Théorème de réalisation de Borel

4 En plusieurs variables• Etude affine locale d’une courbe plane• Lemme de Morse• Application aux extremums• Etude affine locale d’une surface• Th d’Hadamard-Lévy

5 Méthodes d’approximation• Méthode de Newton• Méthode des trapèzes• Méthode du gradient à pas optimal

Développements� Méthode de Newton ([6] p.152)� Méthode du gradient à pas optimal ([1] p.189)


tion, 1982.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[4] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,




Analyse Tome 1. Cassini, 2007.

2

312

Analyse 219

Extremums : existence, caractérisation, recherche.E et A

1 Existence et unicité d’un extremum

1.1 Généralités

• Quitte à changer f en �f on peut n’étudier que les maximums• Def d’un maximum global, maximum local

1.2 Compacité, fonctions convexes

• Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes• App : th de Rolle en dimension n

• Minimum et fonction convexe

1.3 Sur un Hilbert

• Projection sur un convexe fermé• App : existence et continuité de l’opérateur de projection• App : Projection sur un sous-espace fermé• Appp : critère de densité• Forme coercive sur un espace de Hilbert

1.4 Fonctions holomorphes

• Principe du maximum• App : unicité d’une solution au pb de Dirichlet• App : fonction holo f tq |f | constante sur le bord d’un disque admet un zéro dans

ce disque

2 Caractérisation et propriétés locales

2.1 Différentielle et lemme de Morse

• Lien avec la différentielle

1

313

Analyse 219

• App : théorème de Rolle• Lien avec la différentielle du second ordre• C-Ex : il est nécessaire de supposer U ouvert : x 7! x sur ]0,1[

• C-Ex : la différentielle peut s’annuler sans qu’il y ait d’extremum : x 7! x3

• Ex : f(x,y) = x2 + y4

• Etude du point critique avec la hessienne• Lemme de Morse• App : pour avoir un extremum, il faut être de signature (0,n)

• App : Notations de Monge et leur application à la caractérisation des extremums

2.2 Extrema liés

• Théorème des extrema liés• Def des multiplicateurs de Lagrange• Rq : interprétation géométrique (dessin !)• Ex : de minimisation de la distance FM + F 0M , on parle de l’ellipse et de sa

tangente• App : inégalité arithmético-géométrique• App : emballage optimal

3 Méthodes numériques• Méthode des moindres carrés (dessin !)• Méthode de Newton (sur f 0 !)• Méthode du gradient à pas optimal• Vitesse de convergence de la méthode du gradient

Développements� Méthode du gradient à pas optimal ([2] p.189)� Lemme de Morse ([5] p.354-209)


2009.[2] P. G. Ciarlet. Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle. Masson, 3e edi-

tion, 1982.[3] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.

2

314

Analyse 219

[4] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,2006.



edition, 2005.

3

315

Analyse 220

Equations différentielles X 0 = f (t,X). Exemplesd’étude des solutions en dimensions 1 et 2

1 Généralités

1.1 Quelques premières généralités

• Def d’une solution, solution globale, solution maximale• Def du problème de Cauchy• Def de localement lipschitzienne• Une fonction dérivable est localement lip• Lemme de Gronwall• App : Si q : R+ ! R est C1, positive et strict croissante, alors les solutions de

y00 + q(t)y = 0 sont bornées sur R+

1.2 Théorie locale

• Théorème de Cauchy-Lipschitz• Rq : le temps d’existence ne dépend pas de la constante de Lipschitz• Ex : X 0 = X2

• Th d’Arzela-Péano (on conserve l’existence mais on perd l’unicité)• Ex (où on perd l’unicité) : X 0 = 3X2/3 et X(0) = 0

• Ex : problème du sceau percé (dessin !)

1.3 Théorie globale

• Th d’unicité globale• Existe d’une solution maximale• Th de sortie de tout compact (critère de prolongement)• App : Toute solution de X 0 = X2

1+X2 est globale• App : Toute solution de X 00 + X + X3 = 0 est globale

1

316

Analyse 220

1.4 Quelques autres exemples

• Ex : X 0 = AX

• Ex : équations de Bernoulli• Ex : équations de Ricatti• Ex : Solutions DSE et équation xy0 = x + y2

• Ex : solutions approchées de y0 = x2 + y2

2 Etude qualitative

2.1 Généralités

• Ex : y0 log y = y sin x (dessin livre Sage !)• Def système différentiel autonome• Si f(x0), les courbes intégrales sont à difféo près des droites parallèles• Def point d’équilibre (ou point critique) : si f(x0) = 0

• Rq (oral) : pourquoi cela s’appelle un point d’équilibre• Def stabilité (asymptotique) / instabilité d’un point d’équilibre (dessins !)• Liapounov pour les systèmes linéaires• App : Th de Liapounov

2.2 Etude en dimension 1

• Petits mouvements du pendule• Ex : y0 = ↵

py � x (dessin !)

• Ex : Equation de Hill-Mathieu

2.3 Etude en dimension 2

• Système différentiel X 0 = AX où A 2 M2(R), on distingue les cas selon les valeurspropres de A, et on trace des dessins des portraits de phase !

• Système proie-prédateur de Lotka-Voleterra

2.4 Systèmes non linéaires

• Th de linéarisation• Ex : système non linéaire du Zuily

3 Applications• Théorème de Hadamard-Lévy• Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur• Famille libre d’applications

2

317

Analyse 220

Développements� Théorème de Hadamard-Lévy ([3] p.399)� Solution approchée d’une équation différentielle ([6] p.191)

Références[1] Calcul Mathématique avec Sage. Creative Commons, 2013.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,





3

318

Analyse 221

Equations différentielles linéaires. Systèmesd’équations différentielles linéaires. E et A

1 Existence, unicité et structure des solutions

1.1 Généralités

• Def solution, solution globale, solution maximale• Problème de Cauchy• Def fct localement lip• Th de Cauchy-Lipschitz• Lemme de Gronwall• Principe de sortie de tout compact

1.2 Equations différentielles linéaires

• Def d’une équa diff linéaire d’ordre p

• On peut toujours la ramener à une équa diff d’ordre 1

• Def système linéaire• Def wronskien• Des solutions forment une base de l’espace des solutions ss’il existe t0 tq leur

wronskien ne s’annule pas• Principe de superposition

1.3 Structure des solutions

• L’ensemble des solutions de l’équation homogène est un sev de dimension n

• L’ensemble des solutions de l’équation Y 0 = AY + B est un espace affine dedimension n

2 Trouver une solution explicite

2.1 Généralités

• Résolution de l’équa diff linéaire d’ordre 1 sur K

1

319

Analyse 221

• Méthode de variation de la constante pour résoudre l’équation inhomogène• Résolution d’un système linéaire d’ordre 1

• Equa diff linéaire à coeff constants et exponentielle de matrices• Lien avec la réduction• Résolution de l’équa diff linéaire d’ordre 2 sur K

• Méthode : chercher des solutions DSE• Ex : (2x � x2)y0 + (x � 1)y � 1 = 0

2.2 Exemples

• Ex : y0 + y = sin t

• Ex (problème de recollement de solutions) : (1 � t2)y0 + ty = 0

• Ex (problème de recollement de solutions) : xy0 = y + x

• Ex : y00 + 2y0 + y = tet

• Ex (variation de la constante) : y00 + y0 = 1sin(x)

• Ex : sytème différentiel (Gourdon)• Rq (oral) : on observe un beau lien avec la réduction !

3 Etude qualitative• Def point d’équilibre (ou point critique) : si f(x0) = 0

• Rq (oral) : pourquoi cela s’appelle un point d’équilibre• Def stabilité (asymptotique) / instabilité d’un point d’équilibre (dessins !)• Liapounov pour les systèmes linéaires• App : Th de Liapounov• Système différentiel X 0 = AX où A 2 M2(R), on distingue les cas selon les valeurs

propres de A, et on trace des dessins des portraits de phase !• Th de linéarisation• Ex : système non linéaire du Zuily

4 Applications et exemples• Circuit RLC• Oscillateur harmonique amorti• Petits mouvements du pendule• Equation de Hill-Mathieu• Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur• Formule sommatoire de Poisson + Application à ✓

• Familles libres d’applications

2

320

Analyse 221

Développements� Familles libres d’applications ([6] p.280)� Equation de Hill-Mathieu ([3] p.410)








3

321

Analyse 222

Exemples d’équations aux dérivées partielleslinéaires

1 Brève introduction théorique• Def d’une EDP linéaire, def de l’ordre• Rq (oral) : il n’y a pas de théorie générale connue, et c’est très peu probable qu’il

en existe une à cause de la variété des problèmes modélisés par les EDP• Ex : L’équation d’Helmholtz (ou équation des valeurs propres) : ��u = �u

• Ex : L’équation de Schrödinger : i@u@t

+ �u = 0

• Ex : L’équation du télégraphe : @2u@t2

+ d@u@t

� @2u@x2 = 0

• Ex : L’équation d’Airy : @u@t

+ @4u@x4 = 0

• Def d’un problème bien posé• Rq (oral) : pourquoi un problème bien posé est important• Rq (oral) : les difficultés principales des PDE

2 L’équation de transport• L’équation de transport : @u

@t+ b gradx u = 0

• Dessin ! (Objectif Agrégation)• En supposant u 2 C1, on montre qu’en connaissant u sur des points particuliers

on connaît u partout• Résolution du pb avec condition initiale• Résolution dans le cas non-homogène• Rq : on a transformé l’EDP en ODE

3 L’équation de Laplace

3.1 Généralités

• L’équation de Laplace : �u = 0

• Rq : une fonction satisfaisant à l’équation de Laplace est appelée harmonique• Quelques propriétés des fonctions harmoniques

1

322

Analyse 222

• Les domaines physiques dans lesquels cette équation intervient• Cas n = 1 : on primitive deux fois• Cas n = 2 : Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur (méthode avec la

TF)

3.2 Solutions fondamentales

• Méthode : chercher des solutions explicites, puis les assembler pour former dessolutions plus compliquées (car on travaille avec des équations linéaires)

• Comme l’équation est invariante par rotations, on cherche des solutions radiales• Les solutions fondamentales de l’équation de Laplace

4 L’équation de la chaleur

4.1 Avec les séries de Fourier

• L’équation de la chaleur : @u@t

��u = 0

• Interprétations physiques• Rq (oral) : c’est pour cette EDP que les séries de Fourier ont été introduites• Résolution de l’équation de la chaleur avec les séries de Fourier

4.2 Avec les solutions fondamentales

• On remarque que l’équation est invariante par dilatation• Les solutions fondamentales

4.3 Avec la transformée de Fourier

• Méthode avec la transformée de Fourier

5 L’équation des ondes

• L’équation des ondes : @u2

@t2��u = 0

• On peut réécrire ceci avec le d’Alembertien : ⇤u = 0

• Interprétation physique• App (de l’interprétation physique) : on spécifie deux conditions initiales• Cas n = 1 : on se ramène à l’équation de transport• Idée pour n > 2

• Méthode de résolution de l’équation des cordes vibrantes avec la TF (n = 1)

2

323

Analyse 222

6 Autres méthodes• Méthode du changement de coordonnées, application à (y � z)@f

@x+ (z � x)@f

@y+

(x � y)@f@z

• Méthode du système différentiel caractéristique, application à l’équation de Bur-gers

• Les séries de Fourier permettent de résoudre l’équation de Schrödinger

Développements� Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur ([2] p.268)� Equation de la chaleur ([3] p.106, [5] p.49)

Références[1] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations, volume 19 of Graduate Stu-

dies in Mathematics. American Mathematical Society, 1998.[2] El Haj Laamri. Mesures, Intégration, Convolution et Transformée de Fourier




Analyse Tome 4. Cassini, 2012.[6] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.[7] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

3

324

Analyse 223

Suites numériques. Convergence, valeursd’adhérence. E et A.

1 Définitions et propriétés• Def suite numérique, def cv, def div, def suite extraite, def bornée, def suite de

Cauchy• Espace vectoriel des suites cv• Une ss-suite d’une suite convergente cv vers la même limite• Ex : 1/n, (�1)n

• Toute suite cv est bornée, et la réciproque est fausse en générale• Ex : sin(n)/n, (�1)n

• Toute suite cv est de Cauchy, on a la réciproque dans un espace complet (commeR ou C)

• Def majorée et minorée, suite croissante maj ou décroissante min, théorèmes decomparaison

• Def suites adjacentes• Deux suites adjacentes cv vers la même limite• Ex : � 1

n6 sin n

n6 1

n

2 Des suites remarquables• Def suite récurrente, def suite arithmétique, def suite géométrique• un = f(un�1, . . . ,un�h), si u cv vers ` et que f est C0 en (`, . . . ,`), alors ` vérifie

l’équation à la limite• Monotonie des suites réelles récurrences d’ordre 1

• Récurrence linéaire à coefficients constants• Moyenne de Césaro• Suite de Fibo• Suite des nombres harmoniques, développement asymptotique

1

325

Analyse 223

3 Autour des valeurs d’adhérence• Def valeur d’adhérence• Théorème de Bolzano-Weierstrass dans le cas réel• Def limite sup et limite inf• Ex : (�1)n

• Passage à la limite sup/inf dans une inégalité• Limite sup/inf et cv• La limite inf est la plus petite v.a. et la limite sup la plus grande• App : Si u est une suite de réels ss-additive, alors un

ncv dans R+

4 Applications

4.1 Diverses

• Caractérisation de la continuité• Méthode de Newton• Méthode du gradient à pas optimal

4.2 Sommes des termes d’une suite numérique

• Sommes de Riemann• Théorème taubérien fort

Développements� Méthode du gradient à pas optimal ([1] p.189)� Méthode de Newton ([5] p.152)





de l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.

2

326

Analyse 224

Exemples de développements asymptotiques desuites et de fonctions

Rq (oral) : moralité des DA

1 Développements asymptotiques de fonctions• Def développement asymptotique (rapide)

• Ex :R x

2dt

log t= x

log x+ 1!x

log2 x+ 2!x

log3 x+ · · · + (n�1)!x

logn x+ o(x/ logn x)

• On a unicité du DA s’il existe• Def développement limité• Ex : ex = · · · , 1

1+x= · · ·

• Un DL est un DA (on a donc unicité du DL s’il existe)• App : si f admet un DL à l’odre 1 en x0, alors f est dérivable en x0

• C-Ex : faux pour une dérivée n-ième si n > 2 : f(x) = 1 + x + x2 + x3 sin(1/x2)et f(0) = 1

• Si f est n fois dérivable, la formule de TL donne un DL à l’ordre n

• App : déterminer une limite : limx!0tan x�xsin x�x

= �2, et limx!0+(cos x)cot(x2) = 1/p

e

2 Développements asymptotiques et intégrales• Intégration d’un DL• C-Ex : ne marche pas pour la dérivation• App : DL de Arctan

• App : DA de f(x) =R1

xe�t2dt

• Méthode de Laplace• App : équivalent de � (formule de Stirling)• App :

R ⇡

0xt sin(x)dx ⇠

t!1⇡t+2

t2

• Ex : on aR1

0e�xt

1+tdt =

PNn=0

(�1)nn!xn+1 + o( 1

xN+1 )

1

327

Analyse 224

3 Développements asymptotiques de suites et séries

3.1 Suites récurrentes

• Equivalent de un+1 = sin un

3.2 Séries numériques

• Th sur les équivalences de séries et de restes• Comparaison série-intégrale• App : DA des nombres harmoniques : Hn = log n + � + 1

2n� 1

12n2 + o( 1n2 )

• Appp : en posant kn := min{k, Hk > n}, on a lim kn+1/kn = e

• Appp : DL de ⇣ et prolongement de ⇣

• App : formule de Stirling• Ex : DA de un = sin(

p1 + n2⇡2) pour étudier la cv de

Pun

3.3 Formule d’Euler-Mac Laurin

• Nombres de Bernoulli• Formule d’Euler-Mac Laurin• App : DA de la série harmonique d’ordre quelconque

3.4 Méthodes numériques

• Méthode de Newton• Méthode du gradient à pas optimal• Solution approchée de l’équa diff y0 = x2 + y2

Développements� Solution approchée d’une équation différentielle ([6] p.191)� Développement asymptotique de la série harmonique ([4] p.156)


tion, 1982.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence et



2

328

Analyse 224



3

329

Analyse 226

Suites vectorielles et réelles définies par unerelation de récurrence un+1 = f (un). Exemples.

Applications à la résolution approchée d’équations

1 Généralités et suites particulières• Def suite vectorielle, suite numérique, suite définie par récurrence• Monotonie des suites réelles récurrentes d’ordre 1

• Suites arithmétiques et géométriques• Récurrences homographiques• Récurrence linéaire à coefficients constants

2 Autour d’un théorème du point fixe• Equation à la limite• Théorème du point fixe et vitesse de convergence• Contres-exemples du th du pt fixe sous de plus faibles hypothèses• Méthode du gradient• Attraction et répulsion d’un point fixe (dessins !)

• Ex : ' =

q1 +

p1 +

p1 + · · · = 1 + 1

1+ 11+···

• App : Moyenne AG

3 Applications à la résolution approchée d’équa-tions

• Méthode de Newton• Méthode du gradient à pas optimal• Structure de groupe sur une conique• App : Equation de Pell-Fermat

1

330

Analyse 226



tion, 1982.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géomé-



edition, 2005.

2

331

Analyse 228

Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’unevariable réelle. E et A.


1 Continuité des fonctions d’une variable réelle

1.1 Différentes définitions et premiers exemples

Définition 1 Une application f est dite continue en a 2 R, si pour tout voisinage W def(a), il existe un voisinage V de a tel que f(V ) ⇢ W .

Proposition 1 De façon équivalente, f est continue en a si, et seulement si, 8" >0, 9⌘ > 0, 8x 2 R, |x � a| 6 ⌘ =) |f(x) � f(a)| 6 ".

Exemple 1 x 7! ex, x 7! sin(x), x 7! 1/x et x 7! |x| sont continues en tout point deleur ensemble de définition.

Exemple 2 x 7! bxc, x 7! sgn(x) et 1Q ne sont pas continues.

Proposition 2 De façon équivalente, f continue sur A si, et seulement si, l’image réci-proque de tout ouvert/fermé est un ouvert/fermé.

Exemple 3 Les applications constantes sont continues mais ne sont pas ouvertes.

Exemple 4 f : x 7! x1+|x| 2 C0 mais f(R) =] � 1,1[ non fermé.

Proposition 3 De façon équivalente, f continue en x si, et seulement si, pour toute suite(xn) ⇢ R, xn ! x =) f(xn) ! f(x).

Exemple 5 x 7!(

x si x 2 Q0 sinon

est définie sur R mais n’est continue qu’en 0.

Exemple 6 x 7!(

x si x 2 Qx + 1/2 � bx + 1/2c sinon

est une bijection de [0,1] sur [0,1]

discontinue partout.

Proposition 4 Le graphe d’une application continue est fermé.

Exemple 7 La réciproque est fausse : x 7!(

1/x si x > 0

0 sinon.

Proposition 5 La continuité est stable par convergence uniforme.

Exemple 8 Faux pour une convergence simple : x 7! xn sur [0,1].

1

332

Analyse 228

1.2 Théorèmes de continuité

Proposition 6 Soit A ⇢ R non vide, alors C0(A,R) est une R-algèbre.

Théorème 1 (des valeurs intermédiaires) L’image continue d’un intervalle est un in-tervalle.

Application 1 Si f 2 C0([a,b]) telle que f(a)f(b) < 0, alors f admet un zéro dans ]a,b[.

Exemple 9 L’équation ex + x = 0 admet une solution sur R.

Exemple 10 x 7!(

cos(1/x) si x 6= 0

1 sinonvérifie le TVI mais n’est pas continue.

Remarque 1 Le TVI permet de faire de la dichotomie (algorithme en page 4).

Théorème 2 Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

2 Dérivabilité des fonctions d’une variable réelle

2.1 Généralités

Définition 2 Soit f : I 3 a ! R. Si limt!at 6=a

f(t) � f(a)

t � aexiste, on dit que f est dérivable en

a ; on note f 0(a) cette limite.

Définition 3 Si f est dérivable sur I, x 2 I 7! f 0(x) 2 R est appelée application dérivéeet notée f 0.

Exemple 11 x 7! ex, x 7! sin(x) et x 7! 1/x sont dérivables sur leur ensemble dedéfinition.

Exemple 12 x 7! |x| n’est pas dérivable en 0.

Exemple 13 x 7!(

x2 sin(1/x) si x 6= 0

0 sinonest dérivable sur R mais n’est pas de classe

C1.

Proposition 7 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Exemple 14 La fonction W de Weierstrass : W (t) =P

n>0cos(6nt)

2n est continue sur Rmais n’est dérivable nul part.

Proposition 8 Si f et g sont dérivables, alors f +g, fg, f �g, f/g et f�1 sont dérivablessous réserve de bonne définition.

Théorème 3 (de Baire) Dans un espace métrique complet, toute intersection d’ouvertsdenses est dense.

Application 2 (DEV 1) Une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense.

2

333

Analyse 228

2.2 Les théorèmes de la dérivabilité

Théorème 4 (de Rolle) Si f 2 C0([a,b]) dérivable sur ]a,b[ telle que f(a) = f(b), alorsil existe c 2]a,b[ tel que f 0(c) = 0.

Application 3 Soit P 2 R[X] scindé, alors P 0 l’est aussi.

Exemple 15 Il n’y a pas de théorème de Rolle si f n’est pas à valeurs dans R : t 2[0,2⇡] 7! eit 2 C.

Théorème 5 (des accroissements finis) Soit f 2 C0([a,b]) dérivable sur ]a,b[. Alorsil existe c 2]a,b[ tel que f 0(c) = f(b)�f(a)

b�a.

Application 4 Jean fait le voyage de Lyon à Lille en train à vitesse constante. Matthieu,qui voyage en voiture, sait qu’à un instant Jean et lui iront à la même vitesse.

Application 5 Soit f dérivable. Alors f est croissante si, et seulement si, f 0 > 0, etconstante si, et seulement si, f 0 ⌘ 0.

Théorème 6 (de Taylor-Lagrange) Si f 2 Cn([a,b]) telle que f (n+1) existe sur ]a,b[,alors il existe c 2]a,b[ tel que

f(b) =nX

k=0

1

k!(b � a)kf (k)(a) +

(b � a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(c).

Application 6 On a 8x 2 R+, x � x2

26 log(1 + x) 6 x � x2

2+ x3

3.

Application 7 (th de Bernstein) Si f 2 C1(] � a,a[) telle que pour tout k > 0,f (2k) > 0, alors f est développable en série entière sur ] � a,a[.

3 Applications et illustrations

3.1 La méthode de Newton

Théorème 7 (de Newton) Soit f 2 [c,d] ! R 2 C2 telle que f(c) < 0 < f(d) etf 0 > 0. Alors la suite récurrente xn+1 = xn�f(xn)/f 0(xn) converge quadratiquement versl’unique zéro de f pour x0 suffisamment proche de a.

Remarque 2 Si f 00 > 0, alors tout x0 à droite de a convient.

Application 8 On peut calculer manuellementp

2 ⇡ 1.4142 grâce à f(x) = x2 � 2.

3.2 Une application en algèbre

Définition 4 On appelle chemin une application continue sur [0,1].

Théorème 8 Grâce à des considérations de chemins et au TVI, on peut montrer que legroupe SO(3,R) est simple.

3

334

Analyse 228

3.3 Applications aux équations différentielles

3.3.1 Equation différentielle linéaire

Théorème 9 (DEV 2) Les translatées d’une application f : R ! R dérivable engendrentun espace vectoriel de dimension finie si, et seulement si, f est solution d’une équationdifférentielle linéaire homogène à coefficients constants.

3.3.2 Equation différentielle non linéaire

Remarque 3 Une proposition précédente donne que (C0([�a,a]), k.k1) est un espacecomplet.

Application 9 La solution au problème de Cauchy y0 = x2 + y2 et y(0) = 0 est dé-veloppable en série entière au voisinage de 0, et on peut trouver une suite explicite depolynômes qui converge uniformément vers cette solution.

3.3.3 Equation aux dérivées partielles

Remarque 4 Le but ici va être de traiter l’équation de la chaleur qui modélise la diffusionde chaleur dans une barre métallique, mais pour cela nous avons d’abord besoin de lacontinuité dans quelques cas spéciaux.

Proposition 9 Si f : (x,t) 7! f(x,t) est continue en la variable x, et telle qu’il existe gintégrable telle que |f(x,t)| 6 g(t) pour tous x,t. Alors x 7!

Rf(x,t)dt est continue.

Proposition 10 Si f est 2⇡-périodique et de classe C1, alors f est somme de sa série deFourier en tout point.

Proposition 11 Si (fn) suite de fonctions continues telle queP

fn converge normale-ment, alors

Pfn est continue.

Théorème 10 Soit u0 : R ! R non nulle, continue et 2⇡-périodique. Alors il existe uneunique solution u : R+⇥R ! R continue, C1 sur R⇤

+⇥R et 2⇡-périodique en x à l’équation

de la chaleur :

(@u@t

= @2u@x2

8x 2 R, u(0,x) = u0(x).

Définition 5 Une approximation de l’identité est une suite de fonctions (gy)y>0 vérifiant :gy > 0,

Rgy = 1 et

R|y|>a

|gy| ��!t!0

0 pour tout a.

Lemme 1 Si f 2 L1(R) et (gy) est une approximation de l’identité, alors f ⇤ gy tend versf partout où f est continue.

Remarque 5 Ceci nous mènerait à résoudre le problème de Dirichlet dans le demi-plan

supérieur ; moralement

(�u = 0

u(0,x) = f(x).

Une fois n’est pas coutume, nous incluons la quatrième page produite pendant la phase depréparation.

4

335

Analyse 228

5

336

Analyse 228

Développements� Familles libres d’applications ([6] p.280)� Théorème de Baire (une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense) ([1] p.397)

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] El Haj Laamri. Mesures, Intégration, Convolution et Transformée de Fourier des

fonctions. Dunod, 2 edition, 2007.[3] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[4] Karine Madère. Leçons d’Analyse. Ellipses, 2012.[5] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence et de

l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.[6] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Algèbre

Tome 1. Cassini, 2001.[7] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques. Analyse

Tome 4. Cassini, 2012.

6

337

Analyse 229

Fonctions monotones. Fonctions convexes. E et A.

1 Généralités• Def monotonie (stricte), convexité/concavité (stricte) (dessins !)• Ex : x3, ln, ax, kxk2

• Convexe si l’épigraphe est convexe (au sens topo)• Def convexité en terme d’application taux d’accroissement croissante• Autres def convexité si f dérivable (une ou deux fois)• Def log-convexité• Ex : Fonction �

2 Quelques applications de la convexité et de la mo-notonie

• La stricte monotonie implique l’injectivité• La composée de deux fcts convexes l’est, le sup (s’il existe) d’un ensemble de fcts

convexes l’est (dessin !)• App : L’application qui à une matrice symétrique réelle fait correspondre sa plus

grande vp est convexe• App : Triple inégalité de convexité (dessin !)• Inégalité de convexité• App : Inégalités AG, Hölder (qui donne Schwarz), Minkowski• Si f est une fonction positive décroissante, alors

Pf et

Rf ont même nature

• Si f est une fonction positive décroissante, alorsP

(�1)nf(n) cv• Une suite dense sur le cercle• Equation de Pell et structure de groupe sur une conique

3 Régularité• L’ensemble des points de discontinuité d’une fonction monotone est au plus dé-

nombrable• Une fonction convexe est continue et dérivable partout à g et à d• Une fonction monotone est réglée car C0 p.m.• Fonctions à variations bornées

1

338

Analyse 229

4 Convexité sur Rn

• Def convexité sur une partie convexe de Rn

• Une fonction numérique sur un ouvert U ⇢ Rn convexe est convexe ssi D2f estune f.q. def pos

• Si f est convexe, alors les ensembles de niveau {f 6 a} sont convexes (réciproquefausse, dessin !)

• Une fonction strictement convexe admet un et un seul minimum• App : Unicité du point de Fermat minimisant x 7! kx � x1k+kx � x2k+kx � x3k• Une fonction numérique sur un ouvert U ⇢ Rn convexe telle que Df(a) = 0 admet

un min global en a

• Fonctions strictement monotones sur un espace euclidien



tion, 1982.[2] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,




edition, 2005.

2

339

Analyse 230

Séries de nombres réels ou complexes.Comportement des restes ou des sommes partielles

des séries numériques. E.

1 Définitions, généralités et exemples• Def série, somme partielle, convergence/divergence, absolue cv, semi-cv• Définition du reste d’une série cv (reste tend vers 0)• Cv d’une série complexe () P< et

P= cv• Ev des séries cv• Critère de Cauchy pour un corps K complet• Ex : a�n, 1

n↵ , séries de Riemann, de Bertrand

2 Séries à termes positifs• Cv () suite des sommes partielles est bornée• Relations de comparaisons : 6, O, ⇠• Equivalence des restes en cas de cv, de sommes partielles en cas de div• Application : 1

n⇠ log

�1 + 1

n

�donc

P1/n ⇠ log n

• Comparaison série-intégrale• un+1

un> vn+1

vn). . .

• DA de la série harmonique

3 Séries numériques quelconques

• Règle de Cauchy : ` = lim sup np

un ; Ex :�

nn+1

�n2

• Règle de d’Alembert ; Ex : zn

n!

• Def série alternée• Critère pour les SA ; Ex : (�1)n

n↵

• Application :P

(�1)nn�1 = ln 2

• cos(1) est irrationnel

1

340

Analyse 230

• Pour une SA : |Rn| 6 an+1

• Transformation d’Abel• Application : critère d’Abel• Critère de Raab-Duhamel• Théorème de Mertens (série produit)• Def commutativement convergente• Commutativement cv () absolument cv (dans un Banach)• S série semi-cv, on peut permuter S pour avoir S = � 2 R• Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood

4 Utilisation de séries de Fourier• Formule sommatoire de Poisson• App : Identité sur la fonction theta• Appp (lointaine) : formule de Jacobi

Développements� Développement asymptotique de la série harmonique ([2] p.156)� Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood ([1] p.289)


2013.[3] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.

Analyse Tome 1. Cassini, 2007.[4] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.

2

341

Analyse 233

Méthodes itératives en analyse numériquematricielle

1 Calculs inexactes en algèbre linéaire• Def norme matricielle• Lien entre la norme 2 et le rayon spectral• Lien entre une norme subordonnée et le rayon spectral de tAA

• Def conditionnement• Lien entre conditionnement et vp• Ex : conditionnement de la matrice de Hilbert, croissance extrêmement rapide⇡ e7n/2

• Estimation de l’erreur pour la résolution d’un système linéaire• Ex : estimation de l’erreur pour une petite perturbation de la matrice de Hilbert• Rq : si on travaille avec des flottants on n’a même pas besoin d’introduire ma-

nuellement d’erreur• Rq (oral) : toute les méthodes itératives en analyse numérique matricielle sont

affectées par le conditionnement

2 Résolution de systèmes linéaires• Rq : la plupart des pbs d’algèbre linéaire se ramènent à résoudre un système

linéaire, d’où l’importance fondamentale de cette partie• Rq : pour ce qui est non linéaire, on utilise généralement la méthode de Newton...

qui se ramène là encore à un pb de système linéaire• Il ne faut pas utiliser les formules de Cramer (complexité + estimation du temps

de calcul dans le cas n = 20)• Méthode de Gauss (il faut bien choisir le pivot pour éviter les erreurs d’arrondi)• Méthode : pour résoudre Ax = b, on factorise A = M1M2 puis on résout M1y = b

et M2x = y

• Ex : factorisation LU en O(n3) (intérêt : résoudre plusieurs systèmes linéaires avecla même matrice A)

• Ex : pour les matrices de S++n (R), on peut utiliser la décompo de Cholesky, le

coût est alors divisé par 2 par rapport à LU

1

342

Analyse 233

• Méthode du gradient à pas optimal• Vitesse de convergence en fonction du conditionnement• Méthode du gradient conjugué• Rq : en pratique on préconditionne avant de résoudre• App (des systèmes linéaires) : méthode de Newton pour résoudre F (x) = 0 né-

cessite de résoudre des systèmes linéaires• Méthode de Jacobi• Méthode de Gauss-Seidel

3 Résolution approchée d’équations différentielles

3.1 Des outils

• Th du point fixe dans un espace de Banach• Méthodes d’intégration numérique par interpolation (dessin !) : rectangles, tra-

pèzes• Formule de Simpson

3.2 Résolution numérique d’équations différentielles

• Méthode de résolution à 1 pas• Rq : parallèle avec la méthode des rectangles pour l’intégration• Estimation de l’erreur• Méthode de Runge-Kutta• Résolution approchée de y0 = x2 + y2

• Rq sur la vitesse de convergence• Algorithme !

4 Retour à l’algèbre linéaire

4.1 Valeurs propres, vecteurs propres

• Rq : Le fait qu’on ne puisse pas résoudre directement les équations de degré > 5implique qu’il ne peut y avoir de méthode directe, on va donc utiliser des méthodesitératives

• Méthode de la puissance itérée (algo !)• La méthode QR

2

343

Analyse 233

4.2 Matrices creuses

• Résolution numérique de l’équation de Poisson : fait intervenir des matrices creuses• Les calculs sur matrices creuses sont plus efficaces car ils prennent moins de place

en mémoire

Note personnelle : le plan est dans Sage, et on peut trouver les détails techniquesdans le Picasso.

Développements� Vitesse de convergence de la méthode du gradient ([2] p.53)� Méthode du gradient à pas optimal ([3] p.189)

Références[1] Calcul Mathématique avec Sage. Creative Commons, 2013.[2] Jean Baptiste Hiriart Urruty. Optimisation et Analyse convexe. EDP Sciences,


tion, 1982.[4] Marco Picasso Jacques Rappaz. Introduction à l’Analyse Numérique. Presses

polytechniques et universitaires romandes, 2004.[5] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.


3

344

Analyse 234

Espaces Lp, 1 p +1

1 Généralités et premières propriétés• Def Lp(X), norme, produit scalaire• Ex : ln 2 Lp(]0,1[)

• Def L p

• Lp muni de k.kp est complet• Théorème de Fischer• En général, Lp 6⇢ Lq

• Ex : x�↵ 2 Lp(]0,1[) () 1 6 p < 1/↵ et x�↵ 2 Lp(]1,1[) () p > 1/↵ > 0

• Théorème de Riesz-Fischer : Lp est complet• Lp est séparable• Inégalité de Hölder

• App : Si µ(⌦) < 1, Lp(⌦) ⇢ Lq(⌦) si p > q, en fait kukp 6 µ(⌦)1p� 1

q kukq

• Inégalité de Minkowski

2 Convolution et régularisation• Si (f,g) 2 Lp(R) ⇥ Lq(R) avec 1/p + 1/q = 1, alors kf ⇤ gk1 6 kfkp kgkq

• (L1(R),⇤) est une algèbre normée• Inégalité d’interpolation• Convolution et dérivation• App : Régularisation (dessin !)• Si f,g 2 L1(R), alors f ⇤g 2 L1(R), et si (f,g) 2 Lp(R)⇥Lq(R) avec 1/p+1/q = 1,

alors f ⇤ g 2 L1(R)

3 Un peu de Fourier• L2(T) est un espace de Hilbert (la décomposition sur la base hilbertienne corres-

pond à la décomposition en série de Fourier)• F : L2(T) ! `2 est une isométrie bijective.

1

345

Analyse 234

• Les en (base de Fourier) sont des vecteurs propres pour les opérateurs de convo-lution �f : g 7! f ⇤ g

• F : (L1(R), + , ⇤ , k.k1) ! (S0, + , · , k.k1) est un morphisme d’algèbres injectif,continu et de norme 1

• Inégalité de Hanner

Développements� Espace de Bergman (doc manuel so far)� Dualité dans les Lp ([1] p.216)

Références[1] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.[2] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e


2

346

Analyse 235

Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales

Leçon "vrai oral blanc" préparée en 3h sous les conditions de l’examen. Le jury abeaucoup apprécié ce plan.

Remarque 1 Les interversions ne sont pas toutes licites. Prenons fn(x) = 1/n, onaR1

0lim fn = 0 6= +1 = lim

R10

fn.

1 Interversion de sommes et de limitesThéorème 1 (d’Abel angulaire) Soit

Pbnz

n une série entière de rayon de conver-gence > 1 telle que

Pbn converge. Notons f sa somme sur D(0,1). Soit ✓0 2 [0,⇡/2[

et �✓0 le secteur angulaire défini page 4. Alors limz2�✓0!1 =

Pn>0 bn.

Application 1 • Pn>0(�1)n

2n+1= limx!1� Arctanx = ⇡

4

• Pn>1(�1)n

n= � log 2

Remarque 2 SiP

bn converge absolument, le résultat est immédiat carP

bnzn

converge normalement.

Contre-Exemple 1 La réciproque est fausse : limz!1�(�1)nzn = lim 11+z

= 12,

maisP

(�1)n diverge.

Remarque 3 On a tout de même une réciproque si bn = O(1/n).

Théorème 2 (taubérien fort, d’Hardy-Littlewood, DEV 1) Si (bn) 2 RN vé-rifie bn = O(1/n) et limx!1�

Pbnx

n = `, alorsP

bn converge etP

n>0 bn = `.

2 Dans le cadre de l’intégrale de Riemann

2.1 Autour du théorème de Fubini

Théorème 3 Si (am,n) est une suite double complexe, alorsP

n

Pm |am,n| =

Pm

Pn |am,n|.

Si de plusP

n

Pm |am,n| < +1, alors

Pn

Pm am,n =

Pm

Pn am,n.

Contre-Exemple 2 Ceci est faux sans hypothèse : am,n =

8><>:

1 si m = n

�1 si n = m + 1

0 sinon.

Théorème 4 Le theoreme 3 reste vrai en remplaçantP

parR

.

Application 2 On peut calculer l’intégrale de Gauss :R

R e�t2dt =p⇡, ce qui nous

servira par la suite.

1

347

Analyse 235

2.2 Vers la formule de Poisson

Proposition 1 Si fn ! f uniformément, et que les fn sont continues en x0, alorsf est continue en x0.

Corollaire 1 SiP

fn converge uniformément, alors f =P

fn est continue si les fn

le sont.

Corollaire 2 Sous les hypothèses de la proposition 1, on aR b

alim fn = lim

R b

afn.

Corollaire 3 De même,R b

a

Pn fn =

Pn

R b

afn si

Pfn converge uniformément.

Contre-Exemple 3 fn(x) = e�nx � 2e�2nx. On a alors :R1

0

Pn fn = log 2 6= 0 =P

n

R10

fn.

Théorème 5 (formule sommatoire de Poisson) Soit F 2 L1(R) \ C0(R) tellequ’il existe M > 0 et ↵ > 1 tels que |F (x)| 6 M(1+ |x|)�↵ ; et

Pn2Z

��F (n)�� < +1.

AlorsP

n2Z F (n) =P

n2Z F (n).

Application 3 En appliquant la formule de Poisson, et grâce à l’intégrale de Gauss,on a pour tout s > 0 :

Pn2Z e�⇡n2s = 1p

s

Pn2Z e�⇡n2/s.

3 Dans le cadre de l’intégrale de Lebesgue

3.1 Premiers théorèmes d’interversion

Théorème 6 (de convergence monotone ou de Beppo-Levi) Soit (fn) une suitecroissante de fonctions mesurables positives. Alors

Rlim fn = lim

Rfn.

Application 4 Si 1 < p < 2 et que q est l’exposant conjugué de p, alors Lp([0,1])0 'Lq([0,1]).

Lemme 1 (de Fatou) Si les fn sont seulement mesurables, alorsR

lim inf fn 6lim inf

Rfn.

Application 5 Si f 2 C0(R) 2⇡-périodique telle que ses coefficients de Fouriercn(f) soient > 0, alors

Pcn(f) < +1.

3.2 Autour du théorème de convergence dominée

Théorème 7 (de convergence dominée) Si (fn) est une suite de fonctions me-surables telle que fn ! f presque partout ; et telle qu’il existe g intégrable telle quepour tout n, |fn| 6 g presque partout. Alors lim

Rfn =

Rf .

Application 6 limn!1R1

0Arctan(nx)e�xn

dx = ⇡2.

Remarque 4 On déduit du théorème de convergence dominée les théorèmes derégularité sous le signe intégral.

2

348

Analyse 235

Application 7 La transformée de Fourier d’une fonction intégrable est continue.

Application 8 (équation de la chaleur) Soit u0 : R ! R non nulle, continue,C1-par morceaux et 2⇡-périodique. Alors il existe une unique solution u : R+ ⇥ Rcontinue, C1 sur R⇤

+ ⇥ R et 2⇡-périodique en x au problème

(C )

(@u@t

= @2u@x2

8x 2 R, u(0,x) = u0(x).

3.3 Derniers résultats

Proposition 2 Si fn ! f uniformément et que µ(E) < +1, alorsR

E|fn � f | ! 0.

Contre-Exemple 4 Ceci est faux si µ(E) = +1 : fn = 1n1[0,n].

Proposition 3 Dans le cadre de l’intégrale de Lebesgue, si les fn sont positifs,on adirectement que

R Pfn =

PRfn.

Application 9R 1

01xx dx =

Pn>1

1nn .

4 En théorie de l’holomorphieThéorème 8 (d’holomorphie sous le signe intégral) Soit U un ouvert de C etX ⇢ R mesurable. Soit f 2 U ⇥ X ! C, posons F (z) =

RX

f(z,t)dt. Alors si :(i) 8z, f(z,·) est mesurable ;(ii) pour presque tout t, f(·,t) est holomorphe ;(iii) pour tout K compact, il existe g intégrable telle que pour tout z 2 K, |f(z,t)| 6

g p.p. en t.Alors F est holomorphe, et on peut dériver sous le signe intégral.

Théorème 9 (de Weierstrass) Soit U un ouvert de C, soit (fn) une suite defonctions holomorphes qui converge uniformément vers f sur tout compact de U .Alors f est holomorphe sur U .

Corollaire 4 Soit (fn) une suite de fonctions méromorphes. On suppose que pourtout compact K, il existe NK tel que pour tout n > NK , fn n’a pas de pôle dans K.On suppose aussi que

Pn>NK

fn converge uniformément vers f sur tout compactK. Alors f est méromorphe.

Application 10 (DEV 2) La fonction d’Euler : �(x) =R1

0e�ttx�1dt définie sur

]0, + 1[, se prolonge de façon méromorphe à C \ (�N), avec des pôles simples enles entiers négatifs.

Remarque : sur la page 4, on peut dessiner le secteur angulaire �✓0 de la premièrepartie, ou encore le graphe de la fonction � d’Euler sur R⇤

+.

3

349

Analyse 235

Développements� Prolongement de � ([3] p.312 + [7] p.82)� Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood ([1] p.289)






edition, 2005.

4

350

Analyse 236

Illustrer par des exemples quelques méthodes decalcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs

variables

1 Premières règles pour une variable réelle• On se place dans le cadre de l’intégrale de Lebesgue• Si N est de mesure nulle, alors

RE

f =R

E\Nf

• Ex :R 1

01Q = 0

• Théorème fondamental de l’analyse• Ex :

R10

11+x2 dx = ⇡

2

• Intégration par parties• Ex : Calcul d’une primitive de ln

• Avec une relation de récurrence• Ex : Intégrales de Wallis• Changement de variables• L’intégrale d’une fonction T -périodique est inchangée pour toute intégration sur

un intervalle de longueur T

• Dérivation sous le signe intégrale• Ex : Calcul de l’intégrale de Gauss• Ex :

R10

sin(xt)t

e�tdt = Arctan(x)

2 Intégrales multiples• Théorème de Fubini• Changement de variable• Ex : Calcul de l’intégrale de Gauss

• Ex :R

Dx cos

⇣px2 + y2

⌘dx = �

p2⇡ où D := {(x,y) 2 R2, x > y > 0 et x2 +

y2 6 ⇡}• Ex :

R10

sin xx

dx = ⇡2

1

351

Analyse 236

3 Théorie de Fourier• Transformée de Fourier• Ex :

R10

cos x1+x2 dx = ⇡

2e

• Théorème de Plancherel• Ex :

RR sinc2(⇡x)dx = 1

• App : Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur• Formule sommatoire de Poisson• App : Fonction ✓

4 Plus exotique• Méthode de Laplace• Ex : Formule de Stirling généralisée• Théorème des résidus• Ex :

R 2⇡

0d✓p

5+sin ✓= ⇡

• InterversionP

-R

• Ex :R1

1

Pn>1 ne�nxdx = 1

e�1

• Ex :R 1

0dxxx =

P1n=1

1nn

Développements� Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur ([2] p.268)� Formule sommatoire de Poisson + Application à ✓ ([3] p.96 + [1] p.273)



2013.[4] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.

2

352

Analyse 239

Fonctions définies par une intégrale dépendantd’un paramètre. E et A

1 De la régularité• Théorème de continuité sous le signe intégral• C-Ex : [à corriger] f(x,t) = xe�xt en 0 n’est pas C0 (alors que f l’est !)• Théorème de dérivation sous le signe intégral• Ex : La fonction � d’Euler est de classe C1

• Ex : Calcul de l’intégrale de Gauss• Ex : I(x) =

R10

sin(xt)t

e�tdt = Arctan(x)

• App : Identité sur ✓ avec la formule de Poisson• Méthode de Laplace• App : Formule de Stirling généralisée• Ex : Comportement asymptotique de I(t) =

R10

x�↵xtxdx

• Holomorphie sous le signe intrégral• App : Prolongement méromorphe de �

2 Convolution• Def convolution• Régularité de la convolution, on peut faire porter la dérivée où on veut• Tout fonction continue sur un compact est limite uniforme de fonctions C1

• Théorème de Weierstrass par la convolution

3 Transformée de Fourier• Def transformée de Fourier• La TF est bien def, C0, uniformément bornée• Formule pour la TF de la dérivée• Formule d’inversion de Fourier• App : Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur

1

353

Analyse 239

4 Applications• Séries de Fourier• App : Equation de la chaleur

Développements� Prolongement de � ([4] p.312 + [7] p.82)� Formule sommatoire de Poisson + Application à ✓ ([4] p.96 + [1] p.273)


des fonctions. Dunod, 2 edition, 2007.[3] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[4] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,




edition, 2005.

2

354

Analyse 240

Produit de convolution, transformation de Fourier.Applications

Outdated

1 Convolution et régularisation• Def convolution (c’est commutatif)• Si u,v sont à support compact, alors ku ⇤ vk1 6 kuk1 kvk1

• Principe de la convolution pour régulariser (dessin !)• App : Principe de la preuve du théorème de Weierstrass• Si f,g 2 L1(R) alors f ⇤ g 2 L1(R)

• App : (L1(R), + ,.,⇤) est une algèbre normée (sans neutre)• Si f 2 Lp(R) et g 2 Lq(R) avec 1/p+1/q = 1, alors f ⇤ g 2 L1(R). De plus, f ⇤ g

est bornée et uniformément continue, kf ⇤ gk1 6 kfkp kgkq, et f ⇤ g tend vers 0en ±1

• Si f 2 L1(R) et que g est bornée, de classe C1 et de dérivée bornée, alors (f ⇤g)0 =f ⇤ g0

• App : La convolée d’une fonction L1 par une fonction C1 à support compactdonne une fonction C1

• Ex : Avec une fonction plateau• Si f 2 L1(R) et que g est intégrable, de classe C1 et de dérivée intégrable, alors

(f ⇤ g)0 = f ⇤ g0

• Convoler avec une Gaussienne pour obtenir une fonction C1

• Si f et g sont C1 et à supp cpcts, alors on peut faire porter la dérivée (f ⇤ g)0 surf ou g indifféremment

• Def identité rapprochée• Théorème d’approximation avec les identités rapprochées

1

355

Analyse 240

2 Transformée de Fourier et liens avec la convolu-tion

• Def transformée de Fourier• Ex : Transformée de Fourier d’une Gaussienne• Ex : F (1]�1/2,1/2[)(⇠) = sinc(⇠/2)

• Transforme produit en dérivation et inversement• App : Equas diffs• La décroissance de la transformée de Fourier traduit la régularité de la fonction•R

uv =R

uv

• Egalité de Plancherel : kfk2 = ||f ||2• App :

Rsinc2(⇠/2)d⇠ = 1

• La TF est un morphisme de (L1(R),⇤) dans (C0,.) les fonctions qui tendent vers0 à l’infini

• La TF est injective mais pas surjective

3 Quelques applications de la transformée de Fou-rier

• Théorème d’échantillonnage de Shannon• Formule d’inversion de Fourier• App : En considérant f(t) = |t|, on peut calculer

P1/(2n + 1)2 = ⇡2/8

• Formule sommatoire de Poisson• Relation fonctionnelle pour une fonction ✓

Développements� Théorème d’échantillonnage de Shannon (doc manuel + [4] p.128)� Relation fonctionnelle pour une fonction ✓ ([2] p.385)

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[3] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.[4] Michel Willem. Analyse Harmonique Réelle. Hermann, 1995.

2

356

Analyse 241

Suites et séries de fonctions. E et CE

1 Généralités• Def cv simple, cv unif• Ex : Si une suite de polynômes cv unif sur R vers f , alors f est un polynôme• Cv unif =) cv simple• Réciproque fausse : (x 7! xn) sur [0,1]

• Intuition géométrique de la cv uniforme• Caractérisation de la cv unif avec k.k1 en regardant les fonctions comme des

points de B(X,E)

• Def série de fonctions, cv simple, cv unif• On a CU de la série de fonctions ssi la suite des restes cv vers 0

• Def convergence normale• Cv normale =) cv unif• Réciproque fausse : (�1)n x

n2+x2

• App :P

n>11n!

R x

0(ln t)ndt = (x � 1)2/2

• Ex (de suite de fcts) : Les polynômes orthogonaux de Legendre• Formule sommatoire de Poisson• App : Identité pour la fonction ✓

2 Quelques théorèmes spécifiques de suite et sériede fonctions

• Préservation de la continuité par CU sur tout voisinage• Théorème pour que f 0 = lim f 0

n

• C-Ex : |x| est limite unif de polynômes sur [�1,1]

• Théorème d’inversion de deux limites• C-Ex : fn(x) = Arctanx

n

• Interversion lim etR

(sur un cpct) en cas de CU• C-Ex : 1

n1[1,n]

• Idem que précédemment, continuité de la somme, dérivabilité de la somme, inter-version série-intégrale

1

357

Analyse 241

• Théorème de cv monotone• Lemme de Fatou• Théorème de cv dominée• Th de Baire• App :Théorème de Banach-Steinhaus• App : Une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense

3 Séries entières• Def série entière• Lemme d’Abel• Théorème taubérien fort d’Hardy-Littlewood• Produit et somme de deux séries entière• Une série entière est intégrable• Une série entière est C1

• Fonction développable en série entière• Ex : 1/(1 � z), ez

• Série de Mac-Laurin• Si on peut borner uniformément les dérivées de f , alors f est développable en

série entière• App : Résolution d’équations différentielles• Def développement en série de Laurent

4 Approximations de fonctions• Def polynômes de Bernstein• Théorème de Weierstrass• Def coefficients de Fourier, série de Fourier• Egalité de Parseval• Théorème de Jordan-Dirichlet (cv de la série de Fourier)• Coefficients de Fourier de la dérivée• Si f est 2⇡-périodique et C1 par morceaux, on a cv normale de la série de Fourier• Ex : La série de Fourier de 1 � x2

⇡2 permet de calculer diverses sommes• Curiosité : Phénomène de Gibbs• App : approximer des fcts dans le but de mq (Lp)0 ' Lq

• App : solutions approchées d’une équation différentielle y0 = y2 + x2

2

358

Analyse 241

5 Théorie de l’holomorphie• Une fonction holomorphe est développable en série entière• Théorème de Weierstrass pour les suites de fcts holo• App : Caractères holo d’une série de fcts holo• App : Espace de Bergmann• Série de fcts méromorphes• App : Prolongement de �

Développements� Théorème de Baire (une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense) ([1]

p.397)� Prolongement de � ([3] p.312 + [6] p.82)

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[3] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,



edition, 2005.

3

359

Analyse 243

Convergence des séries entières, propriétés de lasomme. E et A

1 Généralités• Def série entière• Lemme d’Abel• Def disque de convergence• Une série entière cv normalement sur tout compact contenu dans son disque ouvert

de cv• Attention : la cv n’est en général pas unif sur le disque ouvert de cv tout entier• Produit et somme de deux séries entière, multiplication par un scalaire• Formule de Hadamard• Règle de d’Alembert : si (|an+1/an|) a une limite `, alors R = 1

`

• Ex :P

n↵z1 a un rayon de cv égal à 1

• Rayon de cv de la série somme, et de la série produit• Ex :

Pzn et

Pz�n ont 1 pour rayon de cv, mais leur somme a un rayon de cv 1

• Une série entière est intégrable, avec même rayon de cv• Ex : DSE de ln(1 + t)

• Une série entière est C1, avec même rayon de cv• Fonction développable en série entière• Ex : 1/(1 � z), ez

• Série de Mac-Laurin• Unicité du DSE• La somme et le produit de fcts développables en série entière le restent, l’inverse

aussi, la composée aussi• Si on peut borner uniformément les dérivées de f , alors f est développable en

série entière• App : Résolution d’équations différentielles• Une fraction rationnelle est DSE avec pour rayon de cv le min etc• Egalité de Parseval• Def de l’exponentielle complexe• Propriétés de l’exponentielle complexe

1

360

Analyse 243

2 Fonctions analytiques• Def fonction analytique• Théorème de Bernstein• Une série entière de rayon de cv R est analytique sur tout D(0,R), avec pour tout

x un rayon de cv égal à |x| � R

• Principe du prolongement analytique• Attention : On peut avoir f (n)(a) = 0 pour tout n et f 6= 0 sur tout voisinage de

a si f pas DSE (f(x) = e�1/x2)• Principe des zéros isolés• Les fonctions analytiques et les fonctions holomorphes ne forment qu’une unique

classe de fonctions. Les résultats sur les fonctions holomorphes s’appliquent doncaux fonctions analytiques

• Formule de Cauchy• App : Inégalité de Cauchy• Appp : Théorème de Liouville• Apppp : Théorème de d’Alembert-Gauss

3 Sur le bord du disque• Théorème d’Abel• Ex :

P (�1)n+1

n= ln(2)

• Ex :P (�1)n

2n+1= ⇡

4

• Théorème taubérien faible• Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood• Def un point est dit singulier pour f si f n’admet pas de prolongement en série

entière au voisinage de ce point• Il existe toujours un point singulier sur le bord du disque de cv• Ex :

Pzn diverge sur tout le bord du disque de cv, la série

P1n2 z

n cv sur tout lebord du disque de cv

• Ex : Equivalent au bord du disque de cv.P

ln(n)xn ⇠x!1

� ln(1�x)1�x

4 Applications des séries entières• Dénombrement du nombre de solutions d’une équation diophantienne• Solution approchée d’une équation différentielle

Développements� Solution approchée d’une équation différentielle ([4] p.191)� Théorème taubérien d’Hardy-Littlewood ([1] p.289)

2

361

Analyse 243

Références[1] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[2] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[3] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edition,



edition, 2005.

3

362

Analyse 244

Fonctions développables en série entière, fonctionsanalytiques. Exemples

Outdated

1 Le début de l’histoire

1.1 Au commencement, il y avait...

Définition 1 On appelle série entière toute série de fonctions de la formeX

[z 7! anzn]

où la variable est complexe (ou réelle).On abrégera en

Panz

n, qui est une notation plus pratique.

Proposition 1 Il existe un unique R 2 R+ [ {1} tel que

• pour |z| < R, la sérieP

anzn converge absolument,

• pour |z| > R, la sérieP

anzn diverge très grossièrement.

On appelle R le rayon de convergence et D(0,R) le disque de convergence.

Exemple 1 Quant au bord du disque... il reste très mystérieux. Pour s’en convaincreon pourra regarder

Pzn

nen z = i et z = 1.

Proposition 2 La somme d’une série entière de rayon de convergence R est declasse C1 sur D(0,R).De plus, si f(z) =

Panz

n, alors

8z 2 D(0,R), 8p 2 N, f (p)(z) =1X

n=0

(n + p)!

n!an+pz

n.

Définition 2 On dit qu’une fonction f est développable en série entière au voisinagede z0 s’il existe une série entière

Panz

n de rayon de convergence R > 0 telle que

8z 2 D(z0,R), f(z) =1X

n=0

an(z � z0)n.

1

363

Analyse 244

Exemple 2 • L’application z 7! (1 � z)�1 est développable en série entière en 0,avec R = 1.

• L’application t 7! ln(1 + t) est développable en série entière en 0, et

8t 2] � 1,1[, ln(1 + t) =1X

n=1

(�1)n+1

ntn.

• Une fraction rationnelle n’ayant pas 0 pour pôle est développable en série entièreen 0.

1.2 Tombèrent les premiers fruits

Définition 3 On appelle série de Taylor de f 2 C1 en a la somme de la série

1X

n=0

f (n)(a)

n!(z � a)n.

Théorème 1 Si f est développable en série entière en a, alors il existe un voisinagede a sur lequel f est indéfiniment dérivable. L’application f est égale à la somme desa série de Taylor sur un voisinage de a.

Corollaire 1 • Sous réserve d’existence, le développement en série entière est unique.• La somme et le produit de deux fonctions développables en série entière le sont.

Proposition 3 Une application f est développable en série entière en a si le restede sa série de Taylor converge simplement vers 0 sur un intervalle ouvert contenanta.

Exemple 3 • Une fonction de classe C1 en a n’est généralement pas développableen série entière en a. Par exemple la fonction f(x) = e�1/x2 prolongée par conti-nuité est de classe C1 en 0, mais n’est pas développable en série entière en 0 carsa série de Taylor est nulle contrairement à f .

• Une fonction peut aussi ne pas être développable en série entière car le rayon deconvergence de sa série de MacLaurin est nul. On peut considérer en 0 :

x 7!Z 1

0

e�t

1 + x2tdt.

Proposition 4 (Égalité de Parseval) Soit f(z) =P

anzn une fonction dévelop-

pable en série entière sur D(0,R) avec R > 0. Alors pour tout r 2]0,R[, la sérieP |an|2 r2n converge, et

1X

n=0

|an|2 r2n =1

2⇡

Z 2⇡

0

��f�rei✓��2 d✓.

Application 1 Si f est développable en série entière sur D(0,1) avec des coefficientsan 2 Z, et que f est bornée sur D(0,1), alors f est une fonction polynomiale.

2

364

Analyse 244

1.3 Le ciel est sombre à l’horizon

Définition 4 Soit f une fonction analytique sur D(a,R). Un point de C(a,R) est ditrégulier si f admet un prolongement analytique au voisinage de a, singulier sinon.

Exemple 4 La fonction z 7! (1�z)�1 analytique sur D(0,1) admet 1 comme uniquepoint singulier.

Proposition 5 L’ensemble des points singuliers est ouvert dans le bord du disquede convergence.

Théorème 2 Une fonction analytique de rayon de convergence R 2]0,1[ admettoujours un point singulier.

2 Les fonctions analytiques

2.1 Mais qu’est-ce donc ?

Définition 5 Une fonction est dite analytique sur un ouvert U de R ou C si elle estdéveloppable en série entière en tout point de U .

Définition 6 D’après les propriétés sur les sé-ries entières, l’ensemble des fonctions analy-tiques sur un ouvert U est un anneau. On lenote A (U).

Exemple 5 Les polynômes sont analytiques.

Théorème 3 Considérons une série entièrede rayon de convergence R > 0. Sa somme estalors analytique sur D := D(0,R), avec pourrayon de convergence en x, d(x,CD).

2.2 À variable réelle

Proposition 6 Une fonction analytique non identiquement nulle ne peut être àsupport compact.

Proposition 7 Soit f : ]� r,r[! R une application de classe C1. Si les dérivées def sont uniformément bornées, alors f est développable en série entière en 0.

Théorème 4 (Bernstein) (Développement 1)Soient a > 0 et f : ] � a,a[! R une application de classe C1 telle que pour toutk 2 N, f (2k) > 0. Alors f 2 A (] � a,a[).

Application 2 La fonction tangente est développable en série entière sur ]�⇡/2,⇡/2[.

3

365

Analyse 244

2.3 À variable complexe

Exemple 6 La fonction analytique complexe la plus classique est sans contestel’exponentielle, définie comme

exp: z 7!1X

n=0

zn

n!.

Théorème 5 (Développement 2)La fonction exponentielle induit un homomorphisme de groupes (C,+) ! (C⇤,⇥)continu, surjectif mais non injectif. L’application ei· induit quant à elle homomor-phisme de groupes (R,+) ! (U,⇥) aussi continu, surjectif mais non injectif.

Théorème 6 (Principe des zéros isolés) Soient U ⇢ C un ouvert connexe etf 2 A (U) \ {0}. Alors tout compact K b U ne contient qu’un nombre fini de zérosde f .

Théorème 7 (Principe du prolongement analytique) Soient U ⇢ C un ou-vert connexe et (f,g) 2 A (U)2 tel que f et g coïncident sur un sous-ensemble de Ucontenant un point d’accumulation. Alors f = g.

Application 3 Il n’existe pas de fonction analytique non identiquement nulle surun voisinage de 0 vérifiant

f

✓1

n

◆= f

✓� 1

n

◆.

Corollaire 2 Si U ⇢ C est un ouvert connexe non vide de C si, et seulement si,l’anneau A (U) est intègre.

Théorème 8 (Admis)Soit U ⇢ C ouvert. Alors A (U) = H (U) où H (U) est l’ensemble des fonctionsholomorphes sur U .On remarque que c’est l’inclusion H (U) ⇢ A (U) qui est difficile... et aussi claire-ment fausse sur R où H = C1 ! Si I ⇢ R est un ouvert non vide, nous avons déjàvu que A (I) C1(I).

Proposition 8 (Formule de Cauchy) Soient U ⇢ C ouvert, f 2 A (U), a 2 Uet r tel que D(a,r) ⇢ U .Alors

f(a) =1

2i⇡

Z

C(a,r)

f(z)

z � adz.

Application 4 Cette formule est fondamentale en analyse complexe. Citons en unecharmante application.Soit ⌦ ⇢ C ouvert, alors l’espace de Bergman A2(⌦) := A (⌦)\L2(⌦) est un espacede Hilbert.

4

366

Analyse 244

Proposition 9 (Inégalités de Cauchy) SoitP

anzn une série entière de rayon

de convergence R > 0, on note f sa somme. Alors

8r 2]0,R[, 8n 2 N, |an| 6 r�n sup|z|=r

|f | .

Théorème 9 (Liouville) Si f 2 A (C) et f bornée, alors f est constante.

Application 5 (d’Alembert - Gauss) Tout polynômes à coefficients complexesest scindé sur C.

Proposition 10 Une application analytique non constante définie sur un ouvertconnexe de C est ouverte.

Exemple 7 La proposition 10 est mise en défaut sur R. Considérons par exemplef : x 7! x2 et f(] � 1,1[) = [0,1[.

Développements� Propriétés de l’exponentielle complexe comme morphisme ([3] p.43-45)� Théorème de Bernstein sur les séries entières ([1] p.250)


2013.[3] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.[4] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

5

367

Analyse 245

Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. E et A

Dans toute la suite, U est un ouvert de C, z0 2 U et f : U ! C.

1 Au commencement il y avait...Définition 1 On dit que f est dérivable en z0 si le quotient

f(z0 + h) � f(z0)

h

a une limite quand h tend 0. On note alors cette limite f 0(z0).On dit que f est holomorphe sur U si f est dérivable en tout point de U . On noteraH (U) l’ensemble des fonctions holomorphe sur U .

Proposition 1 On a les mêmes règles de dérivation que pour les fonctions réelles.Ainsi, H (U) forme un anneau. Mieux, il est stable par composition si les ensemblesde départ et d’arrivée correspondent.

Exemple 1 • Les polynômes en z 2 C sont des fonctions holomorphes.• Mieux : une série entière en a 2 C de rayon de convergence R > 0 est holomorphe

sur D(a,R). Par exemple l’application exponentielle est holomorphe sur C.• La fonction z 7! 1

zest holomorphe sur C \ {0}, de dérivée z 7! � 1

z2 .• Les fonctions z 7! z, z 7! R(z) et z 7! |z| ne sont holomorphes sur aucun ouvert.

Proposition 2 (Conditions de Cauchy-Riemann) Si l’application f : x+iy 7!P (x,y) + iQ(x,y) avec P,Q 2 (R2)R est R-différentiable, alors f est holomorphe si,et seulement si,

✓@f

@y= i

@f

@x

◆()

✓@P

@x=

@Q

@yet

@P

@y= �@Q

@x

◆

() 8z 2 C, dzf est C-linéaire () 8z 2 C, dzf est une similitude directe.

Application 1 On a z 7! ln |z| + iArctanR(z)I(z)

2 H ({z 2 C, R(z) > 0}).

Proposition 3 (Inversion locale) Si f 0(z0) 6= 0. Alors f est un difféomorphismelocal, f�1 est holomorphe et f�1 = 1/f 0 � f�1.

Exemple 2 On a alors que exp est un difféomorphisme local en tout point de C.

1

368

Analyse 245

2 Une terre arableOn suppose désormais f 2 H (U).

Définition 2 Un chemin � est une application de classe C1 par morceaux de [a,b] ⇢R dans C. On dit que � est un lacet si �(a) = �(b).Sous ces notations, on définit l’intégrale de f sur � par

Z

�

f :=

Z b

a

(f � �)�0.

Proposition 4 On définit l’indice d’un lacet � en z /2 Im � comme

Ind(�,z) :=1

2i⇡

Z

�

d⇣

⇣ � z2 Z.

Géométriquement, c’est le nombre (algébrique) de tours que fait � autour de z. Onadmet ceci, et cela a l’immense intérêt de nous permettre de calculer des indices "àvue".

Proposition 5 (Développement 1)Si f est continue sur U , alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) L’application f admet une primitive sur U .(ii) Pour tout lacet � dans U ,

R�f = 0 (vrai en particulier si U est étoilé).

Application 2 En intégrant sur un rectangle bien choisi, on montre que la trans-formée de Fourier d’une gaussienne G↵ pour un paramètre ↵ > 0 vérifie

cG↵ =

r⇡

↵G 1

4↵.

Théorème 1 (Formule de Cauchy) Soient � un lacet de U connexe et z 2 U \Im �. Alors

1

2i⇡

Z

�

f(⇣)

⇣ � zd⇣ = f(z) Ind(�,z).

Théorème 2 Les fonctions holomorphes sont développables en série entière en toutz 2 U , avec pour rayon de convergence R = d(z0, C \ U).

Remarque 1 Cette impressionnante régularité des fonctions holomorphes est bienpropre à celles-ci. En effet les fonctions de classe C1 sur R ne sont que rarementanalytique. Il suffit pour s’en convaincre de regarder x 7! e�1/x2 prolongée parcontinuité en 0.

Exemple 3 La fonction z 7! z/(ez � 1) prolongée par continuité en 0 est dévelop-pable en série entière en 0 avec un rayon de convergence R = 2⇡ et en notant Bn len-ième nombre de Bernoulli,

z

ez � 1=

1X

n=0

Bn

n!zn.

2

369

Analyse 245

3 Tombèrent les premiers fruitsThéorème 3 (Principe du prolongement analytique) Si f est nulle sur X ⇢U connexe, tel que X possède un point d’accumulation dans U , alors f ⌘ 0 sur U .

Application 3 On définit sur C\R� une fonction ln comme la fonction holomorphevérifiant exp ln = id. En vertu de la proposition 5, on définit L sur C \R� comme laprimitive de z 7! 1/z valant 0 en 1. Ces deux applications coïncident sur R⇤

+, doncpar le principe du prolongement analytique, ln = L.

Théorème 4 (Principe des zéros isolés) Si f 6⌘ 0 sur U connexe, alors l’en-semble des zéros de f est une partie localement finie de U .

Application 4 L’anneau H (U) est intègre si, et seulement si, U est connexe.

Proposition 6 (Inégalités de Cauchy) Si f est holomorphe au voisinage de 0,il existe donc R > 0 tel que f soit développable en série entière sur D(0,R). On notean les coefficients de cette série. On a pour tout r 2]0,R[

an =1

n!f (n)(0) =

1

2i⇡

Z

C(0,r)

f(z)

zn+1dz,

donc

|an| 6 r�n sup|z|=r

|f(z)| .

Théorème 5 (Liouville-Cauchy) Si f 2 H (C) bornée, alors f est constante.

Application 5 (d’Alembert-Gauss) Si P 2 C[X], alors P est scindé sur C.

Proposition 7 (Principe du maximum) Si f est non constante, alors |f | ne pos-sède pas de maximum local. Donc si U est borné, |f | atteint son maximum sur @U .

Théorème 6 (Weierstrass) Soit (fn)n2N 2 H (U)N telle que (fn)n2N convergeuniformément sur tout compact vers f . Alors f 2 H (U), et pour tout k la suite desdérivées k-ièmes converge uniformément vers f (k).

Application 6 Soit (f (n))n2N une suite de fonctions holomorphes qui converge uni-formément sur tout compact. Alors il existe k tel que f = k exp.

Application 7 (Espace de Bergman) (Développement 2)Considérons l’espace A2(U) := H (U)\L2(U). Alors A2(U) est un espace de Hilbert.

Théorème 7 Soit (X,µ) un espace mesuré et f : U ⇥ X ! C. Si

(i) 8z 2 U, f(z,.) 2 L1(X),(ii) pour presque tout x 2 X, f(.,x) est holomorphe sur U ,(iii) pour tout compact K b U , il existe g 2 L1(X) positive telle que |f(z,.)| 6 g

presque partout, alors

3

370

Analyse 245

F (z) =R

f(z,x)dµ(x) est holomorphe sur U et

F 0(z) =

Z@f

@z(z,x)dµ(x).

Application 8 (Prolongement holomorphe) (Développement 3)La fonction spéciale

�(x) 7!Z 1

0

e�ttx�1dt

se prolonge holomorphiquement à C \ Z�.

4 Le pouvoir de l’anneauProposition 8 Soit A(a,r1,r2) un anneau, et f 2 H (A(a,r1,r2)). Alors il existeune unique suite (an)n2N 2 CZ (développement en série de Laurent) telle que

8z 2 A(a,r1,r2), f(z) =X

n2Z

an(z � a)n.

Les an vérifient les mêmes expressions que pour le développement en série entière.

Définition 3 On appelle cette décomposition le développement en série de Laurent.Le coefficient a�1 est appelé résidu de f en a et noté Res(f,a).

Définition 4 L’application f est dite méromorphe s’il existe A ⇢ U localementfinie telle que f 2 H (U \ A), et que tous les points de A soient des pôles de f .

Proposition 9 SoitP

fn une série de fonctions méromorphes telle que pour toutcompact K b U il existe NK tel que les fn n’ont pas de pôle dans K pour n > K.On suppose aussi que

Pn>NK

converge uniformément sur K. Alors la somme decette série est méromorphe sur U .

Théorème 8 (des Résidus) Soient f holomorphe sur V := U \ {zj}nj=1 étoilé et

� un lacet de V . Alors

1

2i⇡

Z

�

f =nX

j=1

Ind(�,zj) Res(f,zj).

Application 9Z 2⇡

0

d✓p5 + sin ✓

= ⇡.

4

371

Analyse 245

Développements� Espace de Bergman� Prolongement de � à C \ Z�.

Références[1] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.[2] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[3] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence et

de l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.[4] Patrice Tauvel. Analyse Complexe pour la Licence 3. Dunod, 2006.[5] Gabriel Peyré Vincent Beck, Jérôme Malick. Objectif Agrégation. H&K, 2e

edition, 2005.

5

372

Analyse 246

Séries de Fourier. E et A

1 Généralités et aspect hilbertien• La théorie des SF étudie la cv des suites de polynômes trigo sur R/2⇡Z. On

cherche à représenter une fonction C0 comme une superposition d’oscillations deplus en plus rapides

• Def du tore T = R/2⇡Z, def des normes• Def coeffs de Fourier, def sommes partielles• Peut-on reconstruire f à partir de ses coeffs de Fourier ? Quel est le comportement

de ces coefficients ?• Les coeffs de Fourier s’expriment comme des produits scalaires• La famille (en) est une famille orthonormale de L2(T)

• Conséquence géométrique : cn(f)en est la projection orthogonale sur la droite enC• La famille (en) est totale, elle forme donc une base hilbertienne de L2(T)

• La théorie des espaces de Hilbert donne alors qu’on peut reconstruire f 2 L2(T)grâce à ses coefficients de Fourier

• Attention : L’égalité n’est valable que dans L2(T)

• Egalité de Parseval

2 Convergence de la série de Fourier• Les en sont des vecteurs propres pour l’opérateur de convolution• Convolution et séries de Fourier• Lemme de Riemann-Lebesgue• Def noyaux de Dirichlet et de Fejér• Principe de ces noyaux• Lien avec la convolution• Théorème de Fejér• Théorème de convergence pour SN

• Théorème de Dirichlet• Application

Pn>1 sin(na)/n = 1

2(⇡ � a)

• Convergence normale dans le cas C1 p.m.• Dessins !• Th de Banach-Steinhaus• App : Existence d’une fct continue différente de sa série de Fourier

1

373

Analyse 246

3 Quelques applications• Formule cn(f 0) = cn(f)

• App : Equas diffs• Lemme des moyennes circulaires• App : une fonction holomorphe est analytique• Calcul de ⇣(2), ⇣(4)

• Formule pour la cotangente grâce au développement d’une exponentielle apério-dique

• Formule de Poisson• App : Sommes de Gauss• Inégalité isopérimétrique• Equation de la chaleur

Développements� Equation de la chaleur ([2] p.106, [4] p.49)� Formule sommatoire de Poisson + Application à ✓ ([2] p.96 + [1] p.273)





edition, 2005.

2

374

Analyse 250

Transformation de Fourier. Applications.

1 Transformée de Fourier dans L1(R)

1.1 Généralités et premières propriétés

• Def transformée de Fourier, produit de convolution, L1(R)

• Si f 2 L1, f est bien définie et est uniformément continue, f tend vers 0 en ±1• La TF est linéaire• Ex : F (1]�1/2,1/2[)(⇠) = sinc(⇠/2)

• Ex : F (e�ax1]0,+1[)(⇠) = (a + 2i⇡⇠)�1

• Calcul de la transformée de Fourier d’une gaussienne par le théorème des résidus

• [f ⇤ g = f g

• App : Il n’existe pas de neutre pour la convolution• App : Résolution de f ⇤ f = f

• Si de plus f ,g 2 L1, alors fg 2 L1 et F (fg) = f ⇤ g

• Si f continue et C1 p.m. F (f 0) = 2i⇡⇠F (f)

• C-Ex : On ne peut pas appliquer le th à 1[�1,1]

• Si de plus f est Cm p.m. et que toutes les dérivées sont dans L1 alors F (f (k)) =(2i⇡⇠)kF (f)

• App : Plus f régulière avec des dérivées intégrables, plus f tend vite vers 0

1.2 Inversion de la TF

• Formule d’inversion Si f,f 2 L1 alors f(x) =R

R f(⇠)e2i⇡x⇠d⇠ pour presque tout x,et f est continue et tend vers 0 à l’infini

• Rq : Cela exclut de fait les fonctions non C0 tendant vers 0 à l’infini• Cela revient à F (F (f)) = f presque partout• Si f est C0 en x0, f(x0) = F�1(F (f))(x0), si f n’est que C0 p.m., alors F�1(F (f))(x0) =

12(f(x+) � f(x�))

• App :R1

0cos(!x)1+x2 dx = ⇡

2e�|!|

• App : Les fonctions x 7! e�⇡x2 et x 7! ⇡xe�⇡x2 sont des vecteurs propres de Fassociés aux vp 1 et �i

1

375

Analyse 250

2 Transformée de Fourier dans L2(R)

• Def L2(R)

• L2(R) est un espace de Hilbert• Théorème de Plancherel• Théorème de Plancherel-Riesz• Relation de Plancherel-Pareseval• App : Calcul de

RR

1(x2+a2)(x2+b2)

dx

• Attention : si f 2 L2 \L1, la fonction x 7! f(x)e�2i⇡x⇠ n’est intégrable pour aucun⇠, on ne peut donc pas utiliser la formule intégrale

• Si pour presque tout ⇠,R A

�Af(x)e�2i⇡x⇠dx converge vers g(⇠) quand A ! 1, alors

F (f) = g-pp• La TF est auto-adjointe• Propriétés analogues pour la convolution et la dérivée

• Ex : Calcul deR

Rsin2(⇡x)⇡2x2 dx

• Ex : L’équation f ⇤ f = f a une infinité de solutions dans L2

• Si f,f 2 L1, alors f 2 L2

3 Quelques Applications• Formule sommatoire de Poisson• App : Relation fonctionnelle pour une fonction ✓

• Appp : Prolongement de la fonction ⇣ de Riemann• Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur

Développements� Formule sommatoire de Poisson + Application à ✓ ([3] p.96 + [1] p.273)� Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur ([2] p.268)



2013.[4] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.

2

376

Analyse 253

Utilisation de la notion de convexité en analyse

1 Ensembles convexes, fonctions convexes

1.1 Ensembles convexes

• Def ensemble convexe• Ex : sea, [0,1] ⇥ [2,3], Sn

• Ex : dans R, les convexes sont les intervalles• Rq : en général ce sont des ensembles simples (ex : le pb du carré inscrit a été

prouvé dans le cas des courbes délimitant un ensemble convexe)• Def enveloppe convexe• Th de Carathéodory• App (de la partie) : Un convexe non fermé contient une demi-droite• App (de la partie) : Une partie convexe dense de Rn est Rn

• C-Ex : faux en dimension infinie : les fonctions continues sur [0,1] avec k.k1 (ona Weiestrass)

1.2 Fonctions convexes

• Def fct (strictement) convexe• Les différentes caractérisations de la convexité• Caractérisation si f dérivable• C-Ex : on peut être convexe sans être dérivable : x 7! |x| (elle n’est même pas

obligée d’être continue ! – dessin)• Les ensembles de niveau d’une fonction convexe sont convexes (la réciproque est

fausse – dessin !)• Une fonction mid-convexe continue est convexe, mais la réciproque est fausse• Def fct convexe sur Rn

• Caractérisation avec la différentielle• App : minimisation de

R b

a

p1 + f 02

• Avec la différentielle seconde• Une fct convexe sur un convexe de Rn est continue

1

377

Analyse 253

1.3 Inégalités de convexité

• Inégalité arithmético-géométrique• App : mise en boîte à peu de frais• Inégalité de Hölder• App : Inégalité de Minkowski (! donne l’inégalité triangulaire pour les normesk.kp)

• App(p) : Dualité dans les Lp

• On peut remplacer l’IT d’une "norme" (en devenir) par la convexité de la bouleunité

• App : k.k1/2 n’est pas une norme• Ex : k.k1 n’est pas strictement convexe• Inégalité de Kantorovitch• App : méthode du gradient à pas optimal et vitesse de convergence

2 Dans les espaces de Hilbert• Th de projection sur un convexe fermé• C-Ex : partie convexe fermée dans un complet sans élément de norme minimale• Caractérisation angulaire de la projection• Opérateur de projection• App : Hahn-Banach géométrique• Appp : l’enveloppe convexe fermée de D est l’intersection des demi-espaces qui

contiennent D

• Projection sur un sous-espace fermé• App : th de représentation de Riesz• Appp : (Lp)0 ' Lq

• App : critère de densité• Appp : aux bases hilbertiennes

3 Extremums, points fixes et optimisation

3.1 Extremums

• Inégalité d’Euler• Fonction convexe, différentiabilité et extremum• Si une fonction est strictement convexe, on a unicité du minimum• App : Point de Fermat• App : Unicité de la meilleure approximation au sens de k.k1

2

378

Analyse 253

3.2 Points fixes

• Th du point fixe dans un compact convexe• Rq : plus généralement on a le th de Brower• Si la norme est euclidienne, l’ensemble des points fixes est un compact convexe• C-Ex : si la norme n’est pas euclidienne• App : si x et y sont des points fixes de f , alors il existe z point fixe de f tqkx � zk = ky � zk = 1

2kx � yk

• Méthode de Newton

Développements� Méthode du gradient à pas optimal ([2] p.189)� Méthode de Newton ([5] p.152)



tion, 1982.[3] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[4] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[5] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence et



edition, 2005.

3

379

Maths Géné A savoir

Ce qu’il faut savoir pour réussir Maths Géné

1 Groupes• Le noyau ker (f) d’un morphisme de groupes. Attention à la loi !• Théorème 1 (de factorisation) Si f : G→ G′ est un morphisme, alors

G/ker (f) ' Im f.

• H est distingué dans G ssi

∀h ∈ H, ∀g ∈ G, ghg−1 ∈ H.

On peut alors quotienter H par G et on conserve la structure de groupe, et

a = b dans G/H ⇐⇒ ∃h ∈ H, a = hb.

• Théorème 2 (Lagrange) Soit H 6 G, G groupe fini. Alors

CardH | CardG.

On a pour tout x ∈ G, x|G| = 1.• Les générateurs de (Z/nZ,+) sont les a tels que pgcd(a,n) = 1.

2 Algèbre linéaire• Les énoncés sur la base et la dimension.• Si f : E → F linéaire, alors E/ker (f) ' Im f .

Théorème 3 (du rang)

dim ker f + rg f = dimE.

Si dimE = dimF ,

f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f bijective.

1

380


• Si E est un ev, on dit que les sev E1, . . . ,Er sont en somme directe ssi

∀(x1, . . . ,xr) ∈ E1 × · · · × Er,r∑

i=1

xi = 1 =⇒ ∀i, xi = 0.

Alors

F =r⊕

i=1

Ei =

{r∑

i=1

xi, (x1, . . . ,xr) ∈ E1 × · · · × Er

}.

Deux espaces E1,E2 sont en somme directe ssi E1 ∩ E2 = {0}.• Théorème 4 (Cayley-Hamilton) Le polynôme caractéristique est un polynôme

annulateur.• Théorème 5 (de décomposition de noyaux) Soient P1, . . . ,Pn des polynômes

deux à deux premiers entre eux. Alors

n⊕

i=1

ker (Pi(f)) = ker

((n∏

i=1

Pi

)(f)

).

• Un endormorphisme est diagonalisable ss’il existe un polynôme unitaire scindésimple qui l’annule.• Un endormorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé• Si le polynôme caractéristique est scindé, un endomorphisme admet une décom-

position sous forme de Jordan :

Jk1(λ1). . .

Jkr(λr)

où Jk(λ) =

λ 1

λ 1. . . . . .

λ 1

λ

∈Mk

• Théorème 6 (Décomposition de Dunford) Un endormorphisme u admet unpolynôme minimal scindé ss’il s’écrit u = d+n avec d diagonalisable, n nilpotent,et d et n qui commutent. On a alors unicité de la décomposition.• Propriétés de base du déterminant, développement par rapport à une ligne/co-

lonne, detAB = detA detB, et

A−1 =1

detAt com(A).

3 Algèbre quadratique• Un ev euclidien est un ev réel muni d’un produit scalaire.

2

381


• Une matrice A est orthogonale si tAA = In.Par exemple

(cos θ − sin θ

sin θ cos θ

).

Attention : Ne pas confondre avec les matrices de déterminant ±1.Une matrice est orthogonale ssi ses lignes/colonnes forment une b.o.n. pour le p.s.canonique sur Rn.• Une matrice est symétrique si M = tM .

Théorème 7 (Décomposition spectrale) Si A est symétrique réelle, alors ilexiste P orthogonale et D diagonale à coeffs réels telles que

A = PDP−1 = PDtP.

• Une matrice est unitaire si MM∗ = In où M∗ = tM .Elle est hermitienne si M = M∗.

Théorème 8 La matriceM est diagonalisable dansMn(C) siMM∗ = M∗M (ondit que M est normale).

M est unitaire ssi ses colonnes/lignes forment une b.o.n. pour le p.s. hermitien〈x,y〉 =

∑xiyi.

4 Polynômes et corps• Si k est un corps, l’anneau de polynômes k[X] est principal.• Un polynôme est irréductible sur k s’il n’est ni nul, ni inversible, ni produit de

deux polynômes non inversibles à coefficients dans k.• P est irréductible ssi k[X]/(P ) est un corps (appelé corps de rupture).

dimk(k[X]/(P )) = degP.

• Si L ⊂ K ⊂M corps, alors

[M : L] = dimLM = [M : K][K : L].

3

382

Liste Livres

Références[1] Calcul Mathématique avec Sage. Creative Commons, 2013.[2] Daniel Lines Alain Jeanneret. Invitation à l’Algèbre. Cépaduès, 2008.[3] Michèle Audin. Géométrie. EDP Sciences, 2006.[4] Jean Baptiste Hiriart Urruty. Optimisation et Analyse convexe. EDP Sciences,

2009.[5] P. G. Ciarlet. Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle. Masson, 3e

edition, 1982.[6] Pierre Colmez. Eléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres).

Les éditions de l’école Polytechnique, 2e edition, 2016.[7] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations, volume 19 of Graduate

Studies in Mathematics. American Mathematical Society, 1998.[8] E.M. Wright G.H. Hardy. Introduction à la Théorie des Nombres. Springer,

5ème edition, 2007.[9] Xavier Gourdon. Analyse. Ellipses, 2e edition, 2008.[10] Xavier Gourdon. Algèbre. Ellipses, 2e edition, 2009.[11] Ivan Gozard. Théorie de Galois. Ellipses, 1997.[12] Joseph Grifone. Algèbre Linéaire. Cépaduès, 4e edition, 2011.[13] El Haj Laamri. Mesures, Intégration, Convolution et Transformée de Fourier

des fonctions. Dunod, 2 edition, 2007.[14] Bertrand Hauchecorne. Les Contre-Exemples en Mathématiques. Ellipses, 2007.[15] Claude Zuily Hervé Queffélec. Analyse pour l’Agrégation. Dunod, 4ème edition,

2013.[16] Marco Picasso Jacques Rappaz. Introduction à l’Analyse Numérique. Presses

polytechniques et universitaires romandes, 2004.[17] Frédéric Laroche. Escapades Arithmétiques. Ellipses, 2010.[18] Karine Madère. Leçons d’Algèbre. Ellipses, 1998.[19] Karine Madère. Leçons d’Analyse. Ellipses, 2012.[20] Ivan Nourdin. Agrégation de Mathématiques Epreuve Oral. Dunod, 2ème edi-

tion, 2006.[21] Daniel Perrin. Cours d’Algèbre. Ellipses, 1996.

1

383

[22] Gabriel Peyré. L’algèbre discrète de la transformée de Fourier. Ellipses, 2004.[23] Jérôme Germoni Philippe Caldero. Histoires hédonistes de groupes et de géo-


métries, volume 2. Calvage & Mounet, 2015.[25] Jean Pierre Demailly. Analyse Numérique et Equations Différentielles. EDP

Sciences, 2006.[26] Jean Pierre Serre. Cours d’Arithmétique. Presses Universitaires de France, 4e

edition, 1994.[27] François Rouvière. Petit Guide de Calcul Différentiel à l’Usage de la Licence

et de l’Agrégation. Cassini, 4e edition, 2010.[28] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.





Analyse Tome 2. Cassini, 2e edition, 2009.[33] Serge Nicolas Serge Francinou, Hervé Gianella. Exercices de Mathématiques.




Agrégation CRCG

Table des matièresIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Petit retour sur l’année . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Le contenu de ce livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Liste des développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Liste des développements par leçon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Développements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Anneau principal non euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Vitesse de convergence de la méthode du gradient . . . . . . . . . . . .25Un critère de nilpotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Trace, crochet de Lie et matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Théorème taubérien fort d’Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . .32Théorème des deux carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Théorème de Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Théorème de structure des groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . 38Théorème de Gauss-Lucas et App . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Théorème de Frobenius-Zolotarev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Théorème d’Hadamard-Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Théorème d’Erdös-Ginzburg-Ziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Solution approchée d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . 51Simplicité de SO(3,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Sn et S++

n sont homéomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Prolongement de la fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Problème de Dirichlet dans le demi-plan supérieur . . . . . . . . . . . 62Méthode du gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Lemme de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Irréductibilité des polynômes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Groupes d’isométries d’un tétraèdre régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Formule de Poisson et App . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Familles libres d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Espace de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81Equation de Pell-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Autour de l’équation de Pell-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Equation de Hill-Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Dualité dans les Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Théorème de Dirichlet version faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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Diagonalisation des endomorphismes normaux . . . . . . . . . . . . . . . 96Développement asymptotique de la série harmonique . . . . . . . . .99Cardinal de SO2(Z/pZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps

fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Décomposition de O(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Constructions à la règle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111Caractères d’un groupe abélien fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Théorème de Baire et App . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

Conseils Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Exemple production Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Leçons d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Leçons d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Fiche écrit maths géné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

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