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Le khi-2 ou khi-carré
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Teste la similitude de 2 ou plusieurs distributions
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Exemple d’application
3 études 3 traitements 3 échantillons
Pour que la comparaison des traitements soit valide, il faut que les 3 échantillons soient semblables
Le X² va permettre de comparer la distribution d’un caractère chez les différents échantillons
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Les étapes du test
1. Énoncer les hypothèses H0 et H12. Définir des classes et calculer les fréquences observées3. Calculer les fréquences théoriques espérées4. Calculer le X²5. Comparer le X² calculé avec le X² de la table
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H0 et H1
H0 : Il n’existe aucune différence entre les fréquences d’occurrence (ou pourcentage) observées chez les groupes étudiés.
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Définition de classes
204520> 28°
25453024< � <28°
354050< 24 °
Etude 3Etude 2Etude 1Angle �
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Les fréquences espérées
TotalGrandcolonneTotalligneTotalfe .
).().( ×=
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Le tableau de contingence
Grand Total31080130100
Totaux Colonnes
852021.94
4535.65
2027.42
� > 28°
1002525.81
4541.94
3032.26
24°<�<28°
1253532.26
4052.42
fo= 50fe= 40.32
� < 24°
Totaux Lignes
Groupe 3Groupe 2Groupe 1�
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Le X² calculé
�−= fe
fefoX )²(²
Ici le X² calculé est de 10.539à comparer avec le X² théorique
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Les X² théoriques
Distributions du X² pour différents DDLMoyenne = nombre de DDLMode = nombre de DDL -2
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Les degrés de liberté
)1()1( −⋅−= colonneslignesDDL
C3C2C1Totaux colonnesL3###(3)L2#dc(2)L1#ba(1)
Totaux lignes(3)(2)(1)
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Régions d’acceptation et rejet
1. Accepter H0 si le X² calculé < au X² théorique2. Rejeter H0 si le X² calculé > au X² théorique
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Table de X² et résultat
10.539 > 9.488donc H0 est rejetée auseuil 0.005
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L’ajustement analytique
Pour déterminer si un échantillon suit une distribution particulière.
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Exemple des attaches
300TOTAL
70E
70D
45C
65B
50A
Nombre de décollements
Modèles
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Les hypothèses
H0 : Le modèle n’influe pas sur le décollement.Avec pour chacun des 5 modèles une espérance de 60 décollements (300/5), la distribution est dite uniforme.
H1 : Le modèle influe sur le décollement et donc la distribution n’est pas uniforme.
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Le calcul du X²
X²=9.1680300300Sommes
1.667100106070E
1.667100106070D
3.750225-156045C
0.4172556065B
1.667100-106050A
(fo-fe)²/fe(fo-fe)²fo-fefedécollements (fo)Modèle
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Comparaison des X²
1. DDL = 42. Seuil � = 0.053. X² théorique = 9.488
Comme 9.168 > 9.488 on accepte HO
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Tableau de contingence 2 x 2
Destinés à tester l’indépendance de 2 facteurs:
Plusieurs approches statistiques:1. Par le calcul des probabilités2. Par le Chi-deux
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Exemple des naissances
20010595Total
1548569>=3kg
462026< 3kg
TotalMultiparesPrimiparesPoids à la naissance
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Les degrés de liberté
FixéFixéFixé
FixéDéduitDéduit
FixéDéduitCalculé
Donc un seul degré de liberté
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Le calcul simplifié
0.2134.15154-73.15= 80.85852 -2
0.2354.1595-21.85= 73.15692 - 1
0.7134.1546-21.85= 24.15201 - 2
0.7884.1521.85261 - 1
(fo-fe)²/fefo-fefefoCase
949.1)²(² =−=� fefefoX
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La significativité
Le X² théorique pour 1 DDL au seuil 0.05 = 3.841
Comme 1.949 < 3.841
Ho est accepté
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Introduction à l’interaction
Si Ho est rejetée, il n’y a pas d’indépendance des facteurs.
Alors toutes les analyses statistiques (corrélation, régression ...) doivent se faire par ligne ou par colonnes