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in 2010 with funding fromUniversity of Ottawa

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TRAITED E

MCANIQUE CLESTE

TRAITED E

MCANIQUE CLESTE^PAR P. S. LAPLACE,

Membre de riiistitiit national de France , et du Bureaudes Longitudes.

TOME SECOND.

DE L'IMPRIMERIE DE CRAPELET.

A PARIS,Chez J. B. M. DUPRAT, Libraire pour les Mathmatiques,

quai des Augustins.

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10

TRAITED E

MCANIQUE CLESTE.

LIVRE III.DE LA FIGURE DES CORPS CELESTES.

xu A figure des corps clestes dpenct de la loi de la pesanteur leur surface , et cette pesanteur tant elle-ninje le x'sultat desattractions de toutes leurs parties

,elle dpend de leur figure ; la

loi de la pesanteur la surface des corps clestes , et leur figure ont

donc entre elles,une liaison rciproque qui rend la connoissance

de l'une , ncessaire la dtermination de l'autre : leur recherclieest ainsi trcs-pineuse , et semble exiger une analyse toute parti-

culire. Si les plantes toient entirement solides , elles pour-roient a*^oir des figures quelconques; mais si , coiinne la terre,elles sont recouvertes d'un fluide; toutes les parties de ce fluide

doivent se disposer de manire qu'il soit en quilibre, et la figurede;sa surface extrieure dpend de celle du noyau qu'il recouvre,eWs forces qui l'animent. Nous supposerons gnralement tousles corps clestes recouverts d'un fluide , et dans cette hypothse

JVICAN. cu Tome II. A

2 MCANIQUE CLESTE,qui a lieu pour la terre , et qu'il parot naturel d'tendre aux autres

corps (lu sjstme du monde , nous dterminerons leur figure etla l(ji de la pesanteur leur surface. L'analyse dont nous ferons

usage, est une application singulire du calcul aux diflcrenccspartielles

,qui par de simples dilTrentiations , va nous conduire

des rsultats trs-tendus que l'on ne peut obtenir que difficile-

ment par la voie des intgrations.

PREMIERE PARTIE, LIVRE III.

CHAPITRE PREMIER.Des altractions des sphrodes Jiomogms termins par des

surfaces du second ordre.

1. JNous allons d'aborJ cllerminer raltraclion des corps d'unefigure donne. Nous avons dj dtermin dans le second Livre

,

11. 11,celle altraction relalivemenl la sphre

,et une couche

sphrique : considrons maintenant , l'attraction des sphrodestermins par des surfaces du second ordre.

Soient .r, y, z, les trois coordonnes rectangles d'une molculedu sphrode; en dsignant par dM, cette molcule, et prenantpour unil, la densit du sphrode que nous supposerons homo-gne

,on aura

c?Jf= dx . dy . dz.Soient a, i, c, les coordonnes rectangles du point attir par lesphrode, et dsignons par ^, 5, C, les attractious du sph-rode

,sur ce point , dcomposes paralllement aux axes des x

,

des y et des z, et diriges vers l'origine des coordonnes. Il estais de voir par le n". ii du second Livre

,

que l'on a,

(hy) .dx. dy . dzB ^fff-{Ca-x/+ ih-yr-\- (c~zfY

r _ fff(cz).dx.dy.dz

^

{^^a-xrJr(h-yr^-ic-zrY

toutes ces triples intgrales devant tre tendues la masse entire

du sphrode. Les intgrations offrent sous cette forme, de grandesdifficults que l'on peut souvent applanir

,en transformant d'une

A -2

4 MECANIQUE C E I. E S T E

,

manire convenable , les diffrentielles : voici le principe gnralde ces transfonnations.

Considrons la fonction diffrentielle P.dx.dj. dz^P tant unefonction quelconque de x

, y ^ z. Nous pouvons supposer x fonc-tion des variables y ^\. z ^ et d'une nouvelle variable p : soit(p(y , z, p) , cette fonction ; dans ce cas , on aura , en regardant yet z comme constans

,dx= . dp, C tant fonction de y, z

et p. La diffrentielle prcdente deviendra ainsi , C.P .dp.dy.dz ;et pour rintgrer , il faudra substituer dans P, au lieu de x , savaleur (p(y, z, p). .- . -Nous pouvons supposer pareillement, dans cette nouvelle diff-

rentielle, y^=ip'(z,pjq), q tant une nouvelle variable, et0'(^,jy, q) tant une fonction quelconque des trois vai'iables ir, pet q. On aura, en regardant z ei p comme constans, dy^=C'.dq

,

C tant fonction de z,p, q; la diffrentielle prcdente prendi'aainsi cetle nouvelle forme

,CC .P.dp.dq.dz

,et pour l'intgrei-,

il faudra substituer dans fP, au lieu de j' , sa valeur (p'(z, jj, q).Enfin, on peut supposer z gal (f>"(p-, q -, '''>) > '" tant une nou-

velle variable,et 9 (fp, q-, r) tant une fonction quelconque de

/> , (^ 5 r- On aura , en regardant^j et q comme constans , dz= " .dr,C" tant fonction de p, q, r; la' diffrentielle prcdente deviendraainsi, C.' ." .P.dp.dq.dr, et pour l'intgrer, il faudra substituerdans C. ^'.P, au lieu de z, sa valeur ".(p, q, r). La fonction diff-x'entielle propose est par-l

,transforme dans une autre relative

trois nouvelles variables p, q , r, qui sont lies aux prcdentes ,.par les quations

.T = ? (y , z, p) i y = ?'C- , 7^, q) i -2^ =

i'REMIRE PARTIE, LIVRE HT. 5regardant p et z comme constans ; on aura donc S\ en diffren-liantjK, dans la supposition dep constant, et en liminant d/-, anmoyen de la dillerentielle de z

,

prise en supposant p constant , etgale zro; on aura ainsi, les deux quations,

ce qui donne r ...-,', i.. -,-,

ity

iiqp^t~ '\Jr)

partint

,,_\Jq)'\dr)~\Jr)'\dq)

jrMi-.-.-

Enfin , C est le cocfFicient de dp , dans la diffi'entielle de x, prisf;en regardant j/ et 2 , comme constausj ce qui donne les troisquations suivantes ; '

Si l'on fiiit

\dp)\dqj\dr) \dp)\drj'\dq//dx\ /dy\ /^\ fdr_\ /d^\ /dz\\dj\drj\dp) \dg)\dpj'\jrj{if\ f\ f\ _ fifL\ f'^A f'h\\drj\dp)\dj \d,j\dqj\dpj'

+ 1

+ 1

MECANIQUE CLESTE,on aura

dxze.(1p

" fdy\ fdz\\dqj'\drj

-mmce qui donr.e

s

1

-

('yyc-A f'iy\ c-s

partant, S.C' .C" z=i^et la difrrentielle P.dx.dj.dz est trans-

foinie tlans celle-ci, i.P.dp.dq.dr ; P tant ici ce que devient P,lorsque Fou y substitue pour x

, j , z , leurs valeurs en p, q, r.Tout se rduit donc ;i choisir les variables p , q -, r, en sorte queles intgrations deviennent possibles.

Transformons les coordonnes x, y, z, dans le rayon mendu point attir

, la molcule , et dans les angles que ce rayon

forme avec des droites ou avec des plans donns. Soit r, ce rayon ;p , l'angle qu'il forme avec une droite mene par le point attir,paralllement l'axe des x ; soit q, l'angle que forme la projectionde ce rayon sur le plan Acsy et des z

,avec l'axe des_y , on aura

x = a r.cos.p; jK = 6 r.s'in.p.cos.q ; z= c r.sin.p.sin. y ;

on trouve ra , cela pos , s= /'* . sin.;; ; la diffrentielle dx .dj.dzsera ainsi transfoi'me dans r'^. siu.p. dp. dq. dr : c'est l'expres-sion de la molcule dJlI, et comme cette expression doit ti'epositive, il faut, en considrant sin.p, dp, dq, d?-, comme po-sitifs

,changer son signe, ce qui revient changer celui de s, et

^supposer t = r\ sin.p.Les expressions de ^, B, Cdeviendront ainsi

-^ =y^/yV/ r

.

dp .dq.sin.p.coH.p; .

13 =jyfdr.dp.dq.siu^p.cos.q;C 7=zffJ'dr. dp .d q. sin. u . sin.q.

Il est facile de parvenir d'ailleurs ces expressions,en obser-

vant que la molcule dM peut tre suppose gale un paralll-pipde rectangle dont les trois dimensions sont dr , rdp , etr.dq.bin.p

,et en obsei-^^ant ensuite que l'attraction del mole-

PREMIERE PARTIE, LIVRE 1 1 L 7cille, paiulllemeiit aux Irois axes des a;, des j' et des z, est

M dM.

dM.

.cos.p ; ^.sm.p.cos.q, et -^.sm.p.sm..

Les triples intgrales des expressions de ^, B, C, doivents'tendre la masse entire du sphrode : les intgrations relatives 7-, sont faciles ; mais elles sont diffrentes , suivant que le pointattir est dans l'intrieur

,ou au-deliors du sphrode ; dans le

premier cas,la di'oile qui passant par le point attir , traverse le

sphrode, est divise en deux parties, par ce point; et si l'onnomme /-et r' ces parties , on aura

^ =ff(r+r').dp.dq.sin.p.cos.p ;B =ff(r+r ). dp. dq,s,m..''p. COS. q , [,C =/y(r +!'). dp. dq.sin.''p. sin. q ;

les intgrales relatives kp eth q, devant tre prises depuis/ et qgaux zro

,

jusqu' j9 et q gaux deux angles droits.Dans le second cas , si l'on nomme r, le rayon son entre dans

le sphrode , et / ce mme rayon , sa sortie , on aura

^^=ff(r' r).dp).dq.sm.p).cos.p ;B =^ff(r' r). dp. dq.sin.^p. COS. q ; 'C z=ff(r' r).dp.dq.s\.\\.''p.i\\\.q;

les limites des intgrales relatives p et y , devant tre fixes auxpoints o l'on a r' r= o

,c'est--dire , o le rayon / est tangent

la surface du sphrode.

1, Appliquons ces rsultats , aux sphi'odes termins jiar dessurfaces du second ordre. L'quation gnrale de ces surfaces

,

rapporte trois coordomies orthogonales .r,j' , z , est

o=A+B.x^C.y\E.z+ F.x''-^H.xy-\-L.y''-\-Bl.xz-\-N.yz-^ 0.z\Le changement de l'origine des coordonnes introduit tx'ois aibi-Iraires

;puisque la position de cette nouvelle origine par rapport

la premire , dpend de trois coordonnes arbitraires. Le chan-gement de la position des coordonnes autour de leur origine,introduit trois angles arbitraires; en faisant donc changer -la-fois

,

dans l'quation prcdente,les coordonnes d'origine et de posi-

8 MCANIQUE CELESTE,tion

,on aura une nouvelle quation du second degr , dont les

coefficiens seront fonctions des prcdens , et de six arbitraires.Si l'on gale ensuite zro, les premires puissances des coor-donnes

,et de leurs produits deux deux ; on dterminera ces

arbitraires, et l'quation gnrale des surfaces du second ordreprendra cette foi'me trs-simple, "

c'est sous celte forme que nous allons la considrer.Nous n'aurons gard, dans ces reclierclies

,

qu'aux solides ter-

mins par des surfaces finies , ce qui suppose m et ii positifs. ]3ansce cas, le solide est un ellipsode dont les ti'ois demi-axes sont teque devieinient les variables x ,j , z , lorsque Ton suppose deuxd'cnti-e elles

,gales zro ; on aura ainsi , k, =- , --

,

pour ces

trois demi-axes rspectivcment parallles aux .r, aux j' et aux z. La

solidit de l'ellipsode sera ;: ^zzr , en dsignaul toujours par ^,^ y m n

le rapport de la demi-circonfrence au rayon.Maintenant , si dans l'quation prcdente, on substitue au lieu

ex,j, z, leux"s valeurs enp, q^ r, dojuics dans le n". prc-dent ; on aura

/''.{ cos. p+ OT . sin.'/7 . cos.'

PREMIERE PARTIE, LIVRE III. gce qui donne relativement aux points intrieurs du sphrode

,

^ y^clp .dq .1 .fin.p .cof p^^'^'Jj L >y- /^y^dp.dq.l.i^in.-p.cn?q^ =^'JJ 1

'

/^/^dp.dq.l.sia.'p.sin.q

et relativement aux points extrieurs,

^^ fdp .d q .i'xn.p .c.os.p .\/k..4^~2.jJ

^^

,-

.

/-> ^dp.dq.w.'^p.QOi.q.}/!?'^ =^'JJ 1 \-,

r-r-dp.dq.sm.'^p.^^n.q.^R_

^

ces trois dernires intgrales devant tre prises entre les deuxlimites qui correspondent ^= o.

3. Les expressions relatives aux points intrieurs,tant les

plus simples ; nous commencerons par les considrer. Nous obser-verons d'abord que le demi-axe k du sphrode n'entre point dansles valeurs de /et de L; les valeurs de ^, 5, C, en sont, parconsquent, indpendantes; d'o il suit que l'on peut augmenter volont

,les couches du sphrode

,suprieures au point attir

,

sans changer l'attraction du sphrode sur ce point,

pourvu queles valeurs de m et de , soient constantes. De-l rsulte le tho-rme suivant :Un point plac au-dedans d'une couche elliptique dont les sur-

faces intrieure et extrieure sont semblables et semblablementsitues , est galement attir de toutes parts.Ce thorme est une extension de celui que nous avons dmon-

tr dans le second Livre , n". 12,relativement une couche sj)li-

rique.

Reprenons la valeur de .A. Si l'on y substitue au lieu de Jet de L,leurs valeurs ; elle devient

,

,^j^dp.dq.sin.p.cos.p. (a.cos.p-\-m.b.sin.p.cos.q-^n.c.sin.p.s\n.q\JJ cos.-p + 7n.sin.''p.cos.'^-t- "sin.''p sin.'t/

ftliCiV^'. CKii. Tome II. B .

lo MECANIQUE CELESTE,Les intgrales relatives p et ^ , devant ti-e prises depuis pet q gaux zio , jusqu' p et q gaux deux angles droits ; ilest clair que l'on a gnralement y^Pc^/j.cos.jrj =o

,P tant une

fonction rationnelle de sin.p et de cos.'p , parce que la valeur deptant prise gale distance au-dessus et au-dessous de l'angle droit,les valeurs correspondantes de P.cos.p sont gales, et de signecontraire on aura ainsi

dp .dq .sin.p CO!'.' pJ J cos/cos/jj

-f- m.sin.''^ .cos.+ /i.sin.^p .siii.

PREMIRE PARTIE, LIVRE III. iichanger clans Texpression de ^ , a en Z, k en k', ou =r, ot dans,

et n dans ; ce qui donne

B = '

J t/{i+r'-);..x=}-[i+('"-p^).^^-|Soit

on aura

x=

3bM r* ^'^^

^~yi\

12 MCANIQUE CELESTE,intsrale dfinie , elle a cependant toute la difficult des intgi'aleS

indfinies , lorsque ^ et ^' sont indtermines ; car si Toa repr-

sente cette intgrale dfinie, prise depuis x= o, jusqu' x = \^pur ?('a%a'^,- il est ais de voir que l'intgrale indfinie sei-a

a;^.? ('^07, f^'\x') ; en sorte que la premire tant donne, la secondeTesl pareillement. L'intgrale indfinie n'est possible en elle-mme,

que lorsque l'une des quantits a et h' est nulle , ou lorsqu'elles

sont gales : dans ces deux cas , le sphrode est un ellipsode dervolution, ei k sera son demi-axe de rvolution , si a et a' sont

gaux. On a dans ce dernier cas,

/-. x''dx 1 .^F= = .{a ang.tans. aLJ i+ A^x A^ *- & & J

(d.tF\ /d.K'F\

Pour en conclure les diflrences partielles ( --77- ) et I ), qui

entrent dans les expressions de B et de C; on observera quedK /d.hF\ dh! /d.h'F\ ^ \ ;sP.^- \ ^ ^ 1 + A'j

^ 5c.M ( A 1c =

-TT,. { anc.tang. a ; .

t n

PREMIRE PARTIE, LIVRE Iir. i54. Considrons prsentement , l'attraction des sphrodes , sur

un point extrieur. Celle reclierclie prsente de plus grandes diffi-

cults que la prcdente, cause du radical y/M qui entre dans lesexpressions dillcrentielles , et qui rend sous cette forme, les int-

grations impossibles. On peut les rendre possibles,

par une trans-

formation convenable des variables dont elles sont fonctions ; mais

au lieu de ce moyen j j'ai fait usage de la mthode suivante, uni-quement fonde sur la diferentiation des fonctions.

Si l'on dsigne par /^, la somme de toutes les molcules du sph-rode, divises par leurs distances respectives au point attir, et

que l'on nomme x,j^, z, les coordonnes de la molcule dMdnsphrode, et a, b, c, celles du point attir 3 on aura

^= r"

-

,

J ^(a-xr-+(b-y)^+(c-z)^En dsignant ensuite, comme pi-cdemraent

,

par ^, B, C, lesattractions du sphrode, paralllement aux axes des x, des y etdes z

,et diriges vers leur origine ; on aura/t (a-v).dM

__/'^^A

{(a-xr+(b-yr+(c-z)^y , V'^yOn aura pareillement, ... -,,..!

V,

d'o il suit que si l'on conuot /^, il seia facile d'en conclure par laseule diffrentiation

,l'attraction du sphrode paralllement

Une droite quelconque , en considrant cette droite,comme une

des coordonnes rectangles du point atlirj remarque que nous'avons dj faite dans le second Livre , n. 11.La valeur prcdente de /^ rduite en sr'ie, devient

|2 ax4- t2.by-\-2cz x*

y' z"}dM y ' ' a^^b^+c-"+ b'+c'' j , {sax+a&j + acz a:-^j'' z'}'J \/a'

&c.^

C^tte srie est ascendante relativement aux dimensions du sph-rode, et descendante relativement aux coordonncsdupoiut adir.

/

i4 MCANIQUE CELESTE,Si Ton n'a gard qu' son premier terme, ce qui suffit, lorsque lepoint attire est une trs-grande distance ; on aura .

,

M tant la niasse entire du sphrode. Cette expression sera plusexacte encore

,si l'on place l'origine des coordonnes au centre de

gravit du sphrode; car on a par la proprit de ce centre

,

fx.dM=o; fy.clM^o ; fz,d3I=o;

en sorte que si l'on considre comme une ti-spetite quantit dupremier ordre , le rapport des dimensions du sphrode

, sa

distance au point attir ; l'quation

sera exacte aux quantits prs du troisime ordre. Nous allons pr-sentement chercher une expression lgoureuse de /^, relativementaux sphrodes elliptiques.

O . Si l'on adopte les dnominations du n. i , on auraj Tlf"

V=f =fffrdr. dp.dq. sn.p = ^ .//("/'' r') .dp.dq. s'm.p.En substituant au lieu de r et de /', leurs valeurs trouves dansle i\. 1 j on aura

jy__ p pdp .dq.n.p .l.\/ R

Reprenons les valeurs de ^, B , C, relatives aux points ext-rieurs, et donnes dans le n". 2, ,,

_

'dp.dq.sm.p.cos.p.i/'R

L

ILL

jj n pdp .dq .am.-p .COS. q.\/^R

', /- p dp .dq.n.'' p.s\a.q.\/^R

Puisqu'aux limites des intgrales, on a /i?= o, il est facile deA oir qu'en prenant les premires diffrences de ^, ^, B, C, par

PREMIRE PARTIE, LIVRE TTT. i5rapport l'une quelconque des six quantits a , Z> , c, k, f?i ei n

,

on peut se dispenser d'avoir gard aux variations des limites , eusorte que l'on a

,

par exemple

,

-

Vd^j ^--JJ ''P '^ ^ ^"^-^^ ) -\ 'V. (la j

,,. ,pdp .^\n.p .\/~R ,. . , . ,

car 1 intgrale / est, vers ces limites, a trcs-pcu

1prs proportionnelle 7?', ce qui rend nulle, sa diflerentielle ceslimites. Cela pos

,il est ais de s'assurer par la diirenliation

,

que si pour abrger , on fait

a.^+ b.B-\-c.C F }on aui'a enti'C les quatre quantits B , C, F et P^, rquation sui-vante diflerences partielles.

On peut liminer de cette quation, les quantits B, Cet F, an

moyen de leurs valeurs-('^)." (^). ^t -(^) -^- (^)

f

) ;on aura ainsi une quation aux diffrences partielles c

en /^ seul. Soit doncy 1.3

O . \/ nin

M tant par le n". i , la masse du sphrode elliptique ; et au lieudes variables meln, introduisons celles-ci , et sr, qui soient tellesque l'on ait

i6 MCANIQUE CLESTE,sei-a la difFrence du quarr de l'axe du sphrode, parallle aux y,

au quarr de l'axe parallle aux x ; tu sera la diffrence du quarrde l'axe des z

,au quarr de l'axe des x , en sorte que si l'on prend

pour l'axe des x,le plus petit des trois axes du splirode

;\/l et \/^

seront ses deux excentiicits. Ou aura ainsi.

/^ tant considr dans les premiers membres de ces quations,comme l'onction de (7

, , c, /t, m ci 71} et f^ tant considr dansleurs seconds membres, comme fonction de a, , c, , w et A.Si l'on fait,

on aura F= ^IQ > et l'on aura les valeurs de k . ( - ) , ( )\dk/ \d,nj(-\ ], en cliangeaiit dans les valeurs prcdentes de

^{-fr),/dy\ /dr\( - ) ^M ~r~ ) > ^ dans Q. De plus, p^ et i^sont des fonctions

homognes eu a,b

, c , k,^/7 et \/^ , de la seconde dimension ;

car f^ tant la somme des molcules du sphrode,divises par-

leurs distances avi point attir,

et chaque jnolcule tant de troisdimensions; /^est ncessairement de deux dimensions, ainsi que Fqui a le jnme nombre de dimensions que /^; v et Q sont donc desfondions homognes des mmes quantits

,de la dimension 1;

ainsi l'on aura par la nature des fonctions homognes,

''(5:>*-(s)+

PREMIERE PARTIE, LIVRE IIl. 17On aura pareillement

,

cela pos ; si dans l'quation (1) , ou substitue au lieu de T^et de F,et de leurs diffrences partielles

,leurs valeurs prcdentes; si de

plus, on y substitue 7 -, au lieu de ^/z , et -; aulieude^,

on aura

6. Concevons la fonction v rduite dans une srie ascendantej)ar rapport aux dimensions k, ^/Tet ^A?, du sphrode , et parconsquent, descendaiile relativement aux quantits a, b , c : cellesuite sera de la forme suivante

,

t. = /() + f7(';+Z7(')+Z7(')-i- &c.;

U^\ U'''\ Z7^'), &c., tant des fonctions homognes de a, b, c, k, y/^et v^5 t, ^et v/^, et par consquent, s' 1 , sa dimension en a, , c; sil'on considre ensuite que par la naUuc des fonctions homognes,on a

Mcan. cu Tome II. C

i8 MCANIQUE CLESTE,/f?f'co\ /dm-)\ /ciu.)=/_(-s+i;.^'.('ii!i''\_!ilL'.('9+j.i/ii) ),. (3)\ \^ ciw / z l

f-f+i;.i.(-^)-r+o.o..())5 .

-.(a +0 -\- c'J3

Cette quation donne la valeur de U'^''^'\ au moyen de C/^'- et deses dilTrences partielles y or on a

7(0) =:-,

puisqu'eii n'ayant gard qu'au premier terme de la srie, nousavons trouv dans le n". 4

,

MF'=

rn substituant donc cette valeur de Z7'^ dans la formule prc-dente

,on aura celle de /''),- au moyen de celle de U^'\ on aura

celle de U^'^^ et ainsi de suite. Mais il est remarquable qu'aucune deces quantits ne renferme k ^ car il est clair par la formule (5),que C/(^ ne renfermant point k, Z7^'' ne le renfermera pas; que

i/^'^ ne le renfermant ponit, Z7''^ ne le renfermera pas, et ainsi

du reste; en sorte que la srie entire i7(^ + t/^''+ Z7'"^+ &c.

,

.,

,

. . ^

/ dv\est uKlpcudante de A, ou, ce qui revient au mme, ( 1 ^o.

Les valeurs de f, ( 1

, ( l, 1 -r K sont donc les mmes\da)' \db)' \dcj'pour tous les splirodes elliptiques semblablemeut situs , et qui

PREMIRE PARTIE, LIVRE III. vjont les nrmcs cxcenliicilcs ^/Tet v/^ ; or M.[^j,3I.( ],M. ( -7- ) expriment par le n. 4, les attractions du splirode

paralllement ses trois axes; donc les attractions de diffrenssplix-odes elliptiques qui ont le mme centre, la mme positiondes axes

,et les mmes excentricits , sur vui point extrieur , sont

entre elles comme leurs masses.

Il est ais de voir par la formule (3), que les dimensions deIA\ U'''\ U^'^ &;c. , en ^/a et \/^ , croissent de deux en deuxunits, en sorte que s= 2 i , s'= 2 i-i-2 ; ou a d'ailleurs

,

par lanature des fonctions homognes

,

cette formule deviendra donc

(')

(i+i).(2i + 5).(a'+b-+c^)

On avira, au moyen de cette quation, la valeur de p, dans unesrie qui sera trs-convergente, toutes les fois que les excen-ti'icits ^/T et j/ , seront fort petites , ou lorsque la distanceVa'+ i^+ c" du point attir au centre du sphrode, sera fortgrande relativement aux dimensions du sphrode.

Si le sphrode est une sphre , on aura = o , et '?!r= o, ce quidonne U^'^=o, t/(*)= o, &c.

;partant

\/ a' + b'-\-c*

et

. J^=1/ c'^ + fc + c"

d'o il suit que la valeur de /^est la mme que si toute la massede la sphre toit runie son centre , et qu'ainsi , une sphre

attire un point quelconque extrieur, comme si toute sa masse

C L,

20 MCANIQUE CLESTE,toit runie son centre; rsultat auquel nous sommes dj par-venus dans le second Livre , n". 12.

n , Laproprit de la fonction v, d'tre indpendante de l; fourni tmi moyen de rduire sa valeur, la forme la plus simple dont elleest susceptible; car puisque l'on peut faire varier volont l~, sansclianger cette valeur

,

pourvu que l'on conserve au sphrode, lesmmes excentricits ^/Tet \/^ ; on peut supposer k tel que lesphrode soit infiniment applati , ou tel que sa surface passe par lepoint attir. Dans ces deux cas, la recherche des attractions dusphrode se simplifie ; mais comme nous avons dtermin pr-cdemment, les attractions des sphrodes elliptiques, sur des pointsplacs leur surface ; nous supposerons k tel que la surface dusphrode passe par le point attir.

Si l'on nomme k', m', n relativement ce nouveau sphi'ode

,

ce que nous avons nomm k,m

,n

,dans le n. 1

,

par rapport au

sphrode que nous avons considr jusqu'ici ; la condition quee point attir est sa surface , et qu'ainsi

,o , b , c , sont les

coordonnes d'iui point de cette surface,donnera

a' + m' . b' -\- n' . c'' = k'^ ;

et puisque l'on suppose que les excentricits ^/Tct \/^ restentles mmes, on aura

(^)-.r. = j,. 1-11.4'. = ,,d'o l'on tire

mh'^ + ' k'^+.,'

on aura donc pour dterminer k', l'quation

il est ais d'en conclure qu'il n'y a qu'un sphrode dont la sur-face passe par le point attir , 9 et ^ restant les mmes. Car sil'on suppose

,ce que l'on peut toujours faire

,

que fl et -s^ soient posi-tifs

;il est clair qu'en faisant crotre dans l'quation prcdente,

k \ d'une quantit quelconque, que nouspouvons considrercomme

PREMIERE PxYRTIE, LIVRE III. 21une partie aliquote de k'- , chacun des ternies du premier membrede cette quation , cx'Otra dans un rapport moindre que k'-; doncsi dans le premier tat de k'"", il y avoit galit entre les deuxmembres de cette quation , cette galit ne subsistera plus dansle second tat ; d'o il suit que k'"" n'est susceptible que d'une seulevaleur relle et positive.

Maintenant, soit M' la masse du nouveau splirode ; soient ^',JB',C', ses attractions paralllement aux axes des a , des et des c;si l'on fuit

I m' 1 n'

/ \/(i +A^a:'-;.|fl^-A'^x';on aura par le n". 3

,

^, 3a.MT _,, 3b. M' /d.KF\ _3c.M' /d.K'F\

En changeant dans ces valeurs de ^', B\ C, M' en M; on aurapar le n. prcdent, les valeurs de ^ , B , C, relatives au pre-mier sphrode ; or les quations

c-^y='^ (^''=-''

donnent ,.. ..

k'* tant donn par l'quation (5),

que Ton peut mettre sous cete

forme

,

o=A'=-('a^4-Hc'-9-^;./t'^-{('a'+c=;J+('a'+5'';.^-8^)./i-''-a\?r;

on aura donc

.3a. 3f ^ 3h.M /c.>F\ 3c.M /d.K'F\

Ces valeurs ont lieu relativement tous les points extrieurs au

sphrode ; et pour les tendre ceux de la surface , et mme auxpoints intrieurs , il suffit d'y changer k' eu i.

22 MCANIQUE CELESTE,Si le sphrode est de rvolution, en sorte que 6= '^^ l'qua-

tion (5) donnera

et l'on aura par le n". 5,

ou. 1)1^ = -7;

~. { ^ tmff. tauff.

^ ocJtf f A )C = - . { ans. tans, k ;

.

Nous voil donc parvenus une tliorie complte des attractionsdes sphrodes elliptiques ; car la seule chose qui reste dsirer

,

est rintgration de l'expression diffrentielle de F^ et cette int-gration dans le cas gnral , est impossible

,non-seulement par les

mthodes connues,mais encore en elle-mme. La valeur de i^ne

peutpas tre exprime en termes finis, au moyen de quantits alg-briques

,logai'ithmiques ou circulaires , ou ce qui revient au

mme, par une fonction algbrique de quantits dont les exposanssoient constans

,nuls ou variables. Les fonctions de ce genre tant

les seules que l'on puisse exprimer indpendamment du signe f;toutes les intgrales qui ne peuvent pas tre ramenes des fonc-tions semblables

,sont impossibles en termes finis.

Si le sphrode elliptique n'est pas homogne , et s'il est composde coviches elliptiques variables de position, d'excentricits et dedensit, suivant une loi quelconque; on aura l'attraction d'unede ses couches , en dterminant par ce qui prcde , la difterencedes attractions de deux sphrodes elliptiques ho)nognes de mmedensit que cette couche , dont l'un auroit pour surface , la sur-face extrieure de la couche

,et dont l'autre auroit pour surface,

la surface intrieure de cette mme couche. En sommant ensuitecette attraction diffrentielle, on aura l'attraction du sphrodeentier.

PREMIRE PARTIE, LIVRE HT. 2.:>

CHAPITRE ILDu dveloppement en srie , des atti-actions des sphrodes

quelconques.

8. Cjossidrons gnralement les attractions des spirodcsquelconques. Nous avons vu dans le n". 4, que l'expression f^de la somme des molcules du sphrode

, divises par leurs dis-tances au point attir

,a l'avantage de donner par sa diffrentia-

tion , l'attraction de ce sphrode paralllement une droite quel-conque. Nous verrons d'ailleurs

,en traitant de la figure des

plantes, que l'attraction de leurs molcules se prsente sous cetteforme, dans l'quation de leur quilibre ; nous allons ainsi , nousoccuper particulirement de la recherche de f^.Reprenons l'quation du n". 4.

dMJ V"(a:.xj- + (b-y)^ + (e z)'-

a,b, c, tant les coordonnes du point attir; x, y, z, tant cellesde la molcule dM, du sphrode; l'origine des coordonnes tantdans l'intrieur du sphrode. Cette intgrale doit tre prise rela-tivement aux variables x,j, z, et ses limites sont indpendantesde a, b, c/ on trouvera cela pos, par la difrentiation

,

quation laquelle nous sommes dj parvenus dans le secondLivre, n. ii.

Transformonsles coordonnes, en d'autres plus commodes. Pourcela, soit r, la distance du point attir, l'origine des coordon-nes ; S l'angle que le raj^on r fait avec l'axe des a ; -^ l'angle que leplan form par le rayon et par cet axe , fait avec le plan des axesdes a et des b ; on aura

G=7-.cos. 9,- i= r.sin. 9.C0S. T ; c=: r.sin. S.sin. sr.

24 M C A N I Q U E C E L E s T E,Si l'on nomme pai-eillement i? , 9' et j^', ce que deviennent r, 9 et 2^-,

relativement la molcule clM du spliiode j on aura

.T= i?.cosJ'; j^= i.sin. S'.cos. V; ^ := i?.sin. '.sin.'^'.

D'ailleurs, la molcule dM du sphrode est gale un paralll-pipde rectangle dont les dimensions sont dR, Rd(>',Rdv' .smJi',et par consquent elle est gale p.R^.dR.dy .d-^'.sin.^', p tantsa densit ; on aura ainsi ,

J J J Vr^2rR. (cCOS. 9 .cos.'-|-sin. .sin.^'.cos.(''a'v)\ -\-R^l'intgrale relative R devant tre prise depuis i? = o

,

jusqu' lavaleur de i, la surface du sphrode; l'intgrale relative s^',devant tre prise depuis ty'= o

,

jusqu' ^' gal la circonfi'ence;et l'intgrale relative 9', devant tre prise depuis 9' =o

,

jusqu' 9'

gal la demi - circonfrence. En difTrentiant cette expressionde y, on trouvera

/dd F\/ddV\ cos. /dV\ \T^) /dd.rV\ , \

quation qui n'est que l'quation f]^ transforme.

Si l'on fait cos.9 = //, on peut lui donner cette forme,

( di^ ) 1 />./>'. \ dr' J ^ ''

Nous sommes dj parvenus ces diverses quations, dans le secondLivre, n". ii.

n. Supposons d'abord le point attir, extrieur au splirode.

Si l'on rduit /^en srie, elle doit tre dans ce cas , descendantepar rapport aux puissances de r , et par consquent de cette forme

,

/C) /CO /W f/C3);-=_+_+-^++ &c.En substituant cette valeur de /^dans l'quation (5) du n". pr-cdent , la comparaison des mmes puissances de r, donnera, quelque soit i

,

PREMIKRE PARTIE, LVRE III. 26

V du } 1 /i^/>c

Il est clair par la seule expression intgrale de f^, que U^''^

est une fonction rationnelle et entire de /m, Vi //.' . sin. sr^et Kl

i^'.cos.-sr, dpendante del nature du sphrode. Lorsquei= o, cette fonction se rduit une constante 3 et dans le cas de

i= 1 , elle est de la forme

H.}^-\-H' . V 1 />t-.sin. 3-+J'". V 1

iW.%cos.-

/

Hy H', H" tant des constantes.-Pour dterminer gnralement t/^'^, nommons Tle radical

1

X/f" air. {c(j.. COS. '+sin..sin.'. COS. Cw' '3-)}-l-jR- ,

nous aurons

t d^/. } 1

u^ \ dr"- J

Celte quation subsisteroit encore, en y changeant 9 en 9', -sr en '^\Et rciproquement

;parce que T est une pareille fonction de 6' et

de ^'j que de 9 et de -sr.

Si l'on rduit T, dans une suite descendante relativement /;

on aura

Q^') tant, quel que soit i, assujti cette quation,

( , f /^Q'^'M "i /ddQ

26 MCANIQUE CLESTE,jode il fiuit aloi's dvelopper l'expression intgrale de f^, dansnne suite ascendante par rapport /, ce qui donne pour ^, une

srie de cette forme

,

v^') tant une fonction rationnelle et entire de//, V i u'.sin.'s-,

et V^ 1 //'-.cos.'sr, qui satisfait la mme quation aux difierencespartielles que U^'\ en sorte que Ton a

^\d.\^0-l.,).y-^j^ry-~dv''->\]-^ /ddv

PREMIERE PARTIE, LIVRE III. nnle cas de la Hciturc- , o ;2= -2, elle devient f~^, et nous l'avonspai'eillement exprime par /^, dans les n"". picdcns. La fonc-tion /^a lavanlagc de donner par sa diffrenliation

,l'attraction

du splirode, paralllement une droite quelconque; car enconsidrant /, comme une fonction de trois coordonnes du pointattir, perpendiculaires entre elles, et dont l'une soit parallle cette droite ; si l'on nomme r, cette coordonne j l'attraction du

splirode suivant r, et dirige vers son origine , sersif.f" ( t: ) ^-^^f1 /cl V\

elle sera par consquent gale ;.(-77 j , ce qui dans le cas de

la nature, se rduit ("J")^ conformment ce que nous

avons trouv prcdemment.Supposons maintenant que le splirode diflre trs-peu d'une

sphre du rayon a, dont le centre soit sur le rayon r perpendi-culaire la surface du sphrode, l'origine de ce rayon tant sup-pose arbitraire

,mais trs-prs du centre de gravit du sphrode;

supposons de plus que la sphre touche le sphrode,et que le

point attir soit au point de contact des deux surfaces. Le sphrodeest gal la sphre plus l'excs du sphrode sur la sphre

;

or on peut concevoir cet excs,comme tant form d'un nombre

infini de molcules rpandues sur la surface de la sphre , cesmolcules devant tre supposes ngatives, par-tout o la sphreexcde le sphrode ; on aura donc la valeur de /^, en dtermi-nant cette valeur , 1. relativement la sphre ; 2. relativement ces diverses molcules.

Par rapport la sphre,P^ est une fonction de a

,

que nousdsignerons par ^ : si l'on nomme ensuite dm

,une des mole

cules de l'excs du sphrode sur la sphre, et y, sa distance aupoint attir ; la valeur de /^relative cet excs , sera, f./""^' .dm ;ou aura donc pour la valeur entire de P^, relative au sphi'ode,

^=^+f.f^\dm.Concevons que le point attir s'lve de la quantit infiuiincnt

Ijctitc dr, au-dessus de la surface du sphrode et de la sphre,JJ 2

28 MCANIQUE CLESTE,sur le prolongement de r ou de a; la valeur de ^relative cette

nouvelle position du point attir, deviendra y-\-i-\.dr; ^

augmentera d'une quantit proportioniielle dr ^ et que nousreprsenterons par ^' .dr. De plus, si l'on nomme y , l'angle formpar les deux rayons mens du centre de la sphre , au point attiret la molcule dm ^ la distance y de cette molcule au pointattii-

,sera dans la premire position de ce point , gale

y :ia'.(i COS. 3/^; dans la seconde position, elle cra

V (a-\-dry-2a.(a-\- dr) .co?,.y-\-a'^

ou y. ( 1 H ] ; l'intgrale f-f""^' dm , deviendra ainsi

,

on aura donc

(^)-""=^'"'-+(^)4-/-/--"""-en substituant au lieu de f.f"*'' .dm, sa valeur/^-

PREMIERE PARTIE, LIVRE m. 39position , toujours la mme , aux quantits prs de l'ordre duquarr de l'excentricit du sphrode.

11. Reprenons maintenant, l'expression gnrale de i^, dun". g , relative un point attir extrieur au sphrode

,

^/C) Z7CO /CO

la fonction XJ^'^ tant, quel que soit i y assujtie l'quation auxdiffrences partielles.

On aura , en dilrentiant la rleur de V, par rapport r,

Reprsentons par a.(\-\-t-y)^

le raj^on men cTe roiigine de ? la surface du sphrode, a tant un trs-petit coefficient cons-tant, dont nous ngligerons le quarr et les puissances suprieureset jj' tant une fonction de [>. et de z^, dpendante de la naiure du

sphrode. On aura aux quantits prs de l'ordre et, /^=^ .d'o il suit que dans l'expression prcdente de J^^ \. hi quan-

3

tit V^'^ est gale ;; ,

plus une trs-petite quantit de l'or-

dre a, et cj[ue nous dsignerons par U'^'''^ ; 2". les quantits /f'^t/^"', &c., sont trs-petites de l'ordre a. En substituant a.(\ +oij)au lieu de r, dans les expressions prcdentes de ^el de (

)

et en ngligeant les quantits de l'ordre s%- ou aura relativement un point attir plac a la surface

,

0.(1 2ti^ i'.a^

c.

3o ]M C A N I Q U E CLESTE,Si l'on substitue ces valeurs, dans l'quation (2) du n. prcdent;on aura

u'(-^ 3.iK') ^.m^') y.t.'C) :^^7T.a.j= +; H j+ r-+ Sec;a a^ a' a^

Il suit dc-l que la fonction j est de cette forme

,

les quantits Y^\ Y^'\ Y^'\ &c., tant ainsi que m\ U^'\ U^'\ &c.,assujclies cette quation aux diffrences partielles,

,oJ"-Ir.-..;.(-"-aj f^)celte expression de j' n'est donc point arbitraire, mais elle drivedu dveloppement en srie , des attractions des sphrodes. Onverra dans le n". suivant

,

que jy ne peut se dvelopper ainsi,

qued'une seule manire ; on aura donc gnralement , en comparantks fonctions semblables,

2 1+1d'o l'on lire

,

quel que soit /

,

Il ne s'agit donc plus, pour avoir P^, que de rduire y , sous lafor)ne que nous venons de lui supposer ; nous donnerons dans lasuite , une mthode fort simple pour cet objet.

Si l'on avoit y =Y'^'\ la partie de /^relative l'excs du sph-rode sur la sphre dont le rayon esta, ou, ce qui revient aumme , relative une couche sphrique dont le rayon est a , et,, . . 4 '' ^ '"^^ '^^'^1 paisseur a-ay, seroit : , cette valeur scroit

,

par

consetjuent,proportionnelle ixy ; et il est visible que ce n'est que

dans ce cas, que cette propoi'tionalit peut avoir lieu.

12. On peut simplifier l'expression Y'^^-\-Y^'^JrY^''^+ &c.

,

de j', et en laire disparotre les deux premiers termes, en prenantpour a, le rayoxi d'ujie sphre gale en solidit, au sphrode,

PREMIRE PARTIE, LIVRE ITT. 5iet en fixant l'origine arbitraire de r , au centre de gravit du spli-rode. Pour le faire voir , nous observerons que la masse M dusphrode suppos homogne, et d'une densit reprsente parl'unit, est par le n". 8, gale kfR'.dR.d'^.d^ , ou h.\.fR'^ .dij-uh

,

R' tant le rayon R prolong jusqu' la surface du sphrode. Easubstituant pour R\ sa valeur a.(i-{-a.y)

,on aura

V -^ 3M = '_" + * a^.fj de- . f/^.

Enes'agit doncquc de substituer pourj, savaleur 1'^'^+ F'^+ &c.,et d'cfiectuer ensuite les intgrations. Voici pour cet objet, unthorme gnral et fort utile dans cette analyse.-

Si y^' et Z^'^ sont des fonctions rationnelles et entires de ,

" V\ /^'.sin.-a-, et V 1

/^A^cos.'sr, qui satisfont aux quations suivantes,

0=

52 M C A N I Q U E C L E s T E,or on a, en intgrant j)ar parties relativement //,

et il est clair que si l'on prend l'intgrale depuis f* = i , jusqvi'/y.= 1

,le second membre de cette quation se rduit son der-

nier terme. On a pareillement, en intgrant par parties, relative^ment sr,

/ddY^'y\ /dV-'^X . /dZ

PREMIERE PARTIE, LIVRE I H. 53si l'on pouvoit dvelopper j dans nne ai^lre srie, Y}'^+Yy>-{:1^/"^+ &c. , de la mac forme j on auroit

parlant

or il est facile de voir que si Ton prend pour Z'-'^ , la fonction la

plus gnrale de son espce, l'quation prcdente ne peut sub-

sister que dans le cas o Y}'^ = Y^''>; la fonction y ne peut donc sedvelopper ainsi, que d'une seule manire.

Si dans l'intgrale fjdiJ^.d^^ , on substitue pour j/, sa valeuryCo)^2^(.)+2^W4.&c.5 on aura gnralement, o =fY^''Kdi^.dr^,i tant gal ou plus gi-and que l'unit ; car l'unil qui multipliedu.dTT, est cojnprise dans la forme Z'^"\ qui convient toute quan-tit constante, ou indpendante de jjl et de -sr. L'intgrale fy,dy-.d'sse rduit donc kfY^''^diJ..d^, et par consquent 4^.1'^'^,- on adonc

ainsi , en prenant pour a , le rayon de la sphre gale en solidit,

au sphrode; on aura l^^^ = o, et le terme Y^"^ disparotra del'expression de y.

La distance de la molcule f/iJ/, ou R^'.dR.df^.d'v, au plan dumridien d'o l'on compte l'angle 3- , est gale H. V i^t'.sin.-sr,-la distance du centre de gravit du sphrode ce j^lan , seradonc fR dR.d'j-.d^. V i/-'".sin.'sryet en intgrant par rapportai?,elle sera ^.fR^.di^.d'^. V i[/.''. s,m. ^ , R' tant le rayon R pro-long jusqu' la surface du sphrode. Pareillement, la distancede la molcule d3I

,au plan du miidien perpendiculaire au pr-

cdent,tant i?. V 1 ".COS. -sr; la distance du centre de gravite

du sphrode, ce plan, sera -^.fR'^,diJ-.d^. V i /*''.cos.'sr. Enfinla distance de la molcule d 31 , au plan de l'quateur, tant (j.;la dislance du centre de gravit du sphrode , ce plan , sera

\.f S'' .(i-.djj., d^. Les fonctions [^ , V ifs" sin, '^, et V i/*" . cos, v^

JMicAN. th. Tome II, E

54 MCANIQUE CLESTE,sont de la forme Z^'^,Z^'^ tant assujti l'quation aux diffrence,partielles, '

i-K-"^-(-)]^ mdix ) 1

j(/f/.

Si Ton conoit i'' dvelopp dans la suite iV^ + iV^'^+ A^t' + Stc.

,

N'^'^ tant une fonction rationnelle et entire de i^., V'

\

/^'.sin.Ty,

^1

.w.cos.'3r, assujtie l'quation aux diffrences partielles

,

"{f^-(^F)); (^)

les distances du centre de gravit du sphrode , aux trois plansprcdons, seront en vertu du thorme gnral qiie nous venonstie dmontrer

,

^./N'-'Kdix.d^. V/if^'.sin.'^/-./N'- ' ^ . dy. .d-n.V 1 (Li' . COS. ^ ,

^,.fm'Kt^.d!J..d^.

iV^'' est par le n". 9, de la forme ^.(j.-\-B.V\ (j.'^.sin.'w+ C.V1 ^".cos.^, ^, B, C tant des constantes; les distances

pi'ecederites deviendront ainsi , ,B, ^-C, . ^. La position

du centre de gravit du sphrode , ne dpend ainsi que de lafonction iV^'^y ce qui donne un moyen trs-simple pour la dter-miner. Si l'origine du rayon R est ce centre ; cette origine tantsur les trois plans prcdons

,les distances du centre de gravit

ces plans, seront nulles, ce qui donne ^^o, =0, C=-o,parlant iV^'^^^o.

Ces rsultats ont lieu, quel que soit le sphrode .-lorsqu'il esttrs-peu diffrent d'une sphre, on a R=^a.(i + aj), etR'' = a\(i+ci,ay) ; ainsi, jK tant gal r(^)+r(')4 Y'^'^+ hc;on a iV^')=4aa^rC')y la fonction T''^ disparot donc de l'ex-pression de j , lorsque l'on fixe l'origine de B!, au centre de gra-vit du sphrode.

P R E ISI I E R E P A R T I E , L I V R E 1 1 F. 551 .'). Concevons maintenant le point attire , dans l'intrieur du

splirode : nous aurons par le n. g ,

;^=i,i')+ r.v^'^+ r.p'-'^ + r\^'^+ &c.;

J R-'

Supposons que cette valeur de P^ soit relative une couche dontla surface intrieure soit splirique et du rayon a

,et dont le rayon

de la surface extrieure soit a. ('i + y^ ; l'paisseur de cette couchesera a ay. Si l'on dsigne par jy', ce que devient y ? lorsque l'on ychange 9 et 'Z'^ , dans ' et j^',- on pourra, en ngligeant les quantits

de l'ordre a% changer r en a, et dR en o-ay'^ dans l'expressionintgrale de v^'^; on aura ainsi, . .

v''= --^.y>'.rf^'.^fl'.sin.9'.0^'').

Relativement un point plac l'extrieur du sphrode , on a parle n". 9

,

L'C) Z/C) L''CO T^ = +-^+-^+&c.;

r r^ r-'

U^') =fIi'+\dR.d'^' .dS' .sin. 'j'. Q'^ ;si l'on suppose cette valeur de /^, rela! ive une couche dont le

rayon intrieur est a, et dont le rayon extrieur est a. Ci + aj), ouaura

i7W= cL.a^^'.fy.d'^'.dS'.sinJ'. Q^^.partant

on a par le n". il,

donc/')

,

2f + 1

4T.yco

C2/-J- i).a'~''ce qui donne

;^=/iT.a\[r'"'+^.r(')+^.r()+&c.|.Il IHul ajouter celte valeur de /^, celle qui est relative la couche

E 2

36 - ]VI E C A N I Q U E CLESTE,splicrique, de rpaisseui* a 7-, qui enveloppe le point attir,

plus celle qui est relative la splire du rayon r, et qui est au-dessous du mme point. Si l'on fait 03.9'= "-', on aura par rap-port la premire de ces deux parties de /^,

,.,^dR.d^'.cu.'.0

PREMIERE PARTIE, LIVRE III. 07fi 4-

58 MCANIQUE CLESTE,htrognes

,

quelle que soit la loi de la variation de la figure , et de

la densit de leurs couches. Pour cela , soit a.(i \-'ty) , le rayond'une des couches d'un sphrode htrogne , et supposons que ysoit sous cette forme

,Y^"^ + r(')+ y(') + jr^''+ &c. ; les coefliciens

qui entrent dans les quantits Y^\ Y'^'\ Y^^\ &c. , tant des fonc-tions de a , et par consquent variables d'une couche l'autre.Si l'on diffrentie par rapport a

,la valeur de /^ donne par la

formule (3 ) du n. 1 1 , et que l'on nomme p, la densit de la couchedont le rayon est a.(i-[-tty)

,p tant une fonction de a seul; la

valeur de ^correspondante celte couche, seia pour un pointattir extrieur,

il.p.^.".+lI:Z.j f,,^r(o)+^.r(.) + ^.r^)+ &c.|,.or r ( 3 r 5 r J

cette valeur sera donc, relativement au sphrode entier,

3r '(. S'' 5' 7 ' i

les intgrales tant prises depuis a^=o, jusqu' la valeur de a,qui a lieu la siji'face du sphrode, et que nous dsigneronspar a.Pour avoir la partie de P^ relative un point attir intrieur

au sphrode; on dterminera d'abord la partie de cette valeur,relative toutes les couches auxquelles ce point est extrieur.

Cette premire partie est donne par la formule (5), en pre-nant l'intgrale depuis a= o, jusqu' a =a, a tant relatif lacouche sur laquelle se trouve le point attir. On dterminerala seconde partie de /^, relative toutes les couches dans l'in-

trieur desquelles ce point se trouve , en diffrentiant la for-

mule (4) du n". prcdent,

par rapport a ; en multipliant ensuite

cette diffrentielle par p , et en prenant l'intgrale , depuis a= a,jusqu' a = a : la somme de ces deux parties de /^ sera sa valeurentire relative un point intrieur , et l'on aura pour cette

somme

,

5) ^^ r -^^ [ 3r 5r' yr^ J

^

L 3 p 7.0 J

PREMIERE PARTIE, LIVRE III. 69les (eux premires intgrales tant prises depuis a= o, jusqu'a= a, et les deux dernires tant prises depuis a= a, jusqu'c= cl j il faut de plus , aprs les intgrations , substituer a au lieu

de r, dans les tenues multiplis par *, et ^ , au lieu de -, dans

le terme ./p.r/. b\

l5. Considrons prsentement , les sphrodes quelconques.La recherche de leur attraction, se rduit par le n. 9, formerles quantits t/"^'' et p'^'^ : on a par le mme n*.,

les intgrales devant tre prises depuis i?= o, jusqu' sa valeur la surface, depuis /^'= 1

,

jusqu' f*'= i, et depuis t^'^^o,jusqu' '3r'= 2 7r. Pour dterminer cette intgrale, il faut con-notre Q^'K Cette quantit peut se dvelopper dans une fonctionfinie de coshuis de l'angle '^ V, et de ses multiples. SoitC.cos.n('T^^-'nr')

,le terme de Q'-'\ di>endant de eos.^.^^^r ir'^,

ftant une fonction de /wetde i^.' : si l'on substitue au lieu de Q^'^,

sa A'aleur, dans l'quation aux diflerences partielles eu QW jy^n. 9 ; on aura, en comparant les terines multiplis par cos.n. (w-'w'Jj

celte quation aux diffrences ordinaires,

jA!!r'!ii)}- j^ + i.(l+l}.C;R'

Q^''> tant le coefficient de -^^ , dans le dveloppement du radical

Le terme dpendant de cos. n.('w tr'^ , dans le dveloppement dece radical, ne peut rsulter que des puissances de cos fw r'),

gales n , n + 2, 7i+i, &c. j ainsi, cos. ('s? -sr'^ ayant pour fac-

teur V^x

^t', 'doit avoir pour facteur (i 1^")^. Il est facile de

voir par la considration du dveloppement du radical,

que 'eslde cette forme

,

4o MCANIQUE CELESTE,Si Ton substitue cette valeur dans l'quation diffrentielle en ?,la comparaison des puissances semblables de [j.^ donnera

^j/fs^^ a~nis^^).ii-nisArx) ^^^^^_^^ _Si. ('ai 25 + 1^ '

d'o l'on tire , en faisant successivement 5 = 1, 5 = 2, &c. , lesvaleurs de ^^'\ ^^"), &c. , et par consquent

,

i-_

(ln).(ini)._^_^ (in)

.

(ini).

(l-no.).

(in5)^j__^

^

/ 2.(2ii) '^' 2.4.(aii).(2i5),r2 . ( l// J \ (in).(ini).(inz).(in--5).(i-7t4).(in-?>)

.__5,y- "t-CxC.

z.4.6.(2ii).(2i5).(2ib)

^ est une fonction de i>! indpendante de [j. ; or ij- et ^! entrant dela mme manire dans le radical prcdent , ils doivent entrer dela mme manire dans l'expression de Q ^ on a donc

/ ^" f , (i n).(in 1) , ")

\ 2.(211) J

y tant un coefficient indpendant de y- et de .a' , partant

,

l 3-(2l l) J ' ^ { Q.(2l) )

On voit ainsi que C se partage en trois facteurs ; le premier ind-pendant de iJ- et de /^' ; le second , fonction de i^' seul ; et le troi-sime, fonction semblable en y.. Il ne s'agit plus que de dterminer y.Pour cela, nous observerons que si i 71 est pair j on a, en

supposant ^u= o , et jw'= o,

y. (1.2. 3 (in)]^ y. {i.5.S....(ini). 1.5-5 (i-\-n i)]'\2.4....(in)T('^i).(-2i-3)....(l+n+i)}^

"""

{1.3.5. ...faf-i;}

Si i 71 est impair, on aura, en ne conservant que la premirepuissance de y. et de //',

> ./././>l'. [1.2.3. . .(in)]'' y.tj..u'. {1 .o.5...('inj. 1 .3.5.... fZ+n '") '""

(ii.4 (i-^ni).[-iii').(2l'5) (i-\-n-\-2)] - (i.3.5 (2ii)]'-

Le radical prcdent devient, en ngligeant les quarrs de y. etde /,

(r'2/ir,cos.(':r^'; + i?'}~^ + ^'-./V. {7'''2rR,coa.(r!^') + R']~~' ; (/)Si

Q^^-

PREMIRE PARTIE, LtVRE III. 4iSi l'on subsliUie, au lieu de cos.fTr ^'J), sa valeur en exponen-

tielles imaginaires, el si l'on nomme c, le nombre dont le loga-rithme liyperboliq^ue est l'unit ; la partie indpendante de ;"

,

devient

he coefficient de . Z- \ , onr-^' l 2 )

de .cos.n(-^ '^'), dans le dveloppement de celte fonction,

est2.1 .3.5 (l -^ni). 1.3-3. -(i ni)

2.4.6. . . ^+n).2.4.6. . ..(i-n) *

c'est la valeur de C , lorsque / n est pair. En la comparant celle que nous venons de trouver dans le mme cas , on aura

/1.0.5 ("s/ lA" i.{i \) (i n-Y'^)

''~^'V 1.2-3.... / 7'-t-i;Ti+2;----r^>)"

Lorsque /z= o , il ne faut prendre que la moiti de ce coefficient,

el alors on a

(1.3.5. .2/ i\

i...3....r

Pareillement , le coefficient de - ..M.f-'.cos. tz C^y ^^9) tians la

fonction (/), est

z.\.Z.'h....ii-^n).\.Z.h....{in)

2.4.6 fi-j-re ij.2.4.6 {in \)^

c'est le coefficient de /u/^', dans la valeur de ", lorsque l'on nglige

les quarrs de i^ et de /x', et lorsque i n est impair. En le com-parant l'expression que nous venons de trouver pour ce coeffi-

cient dans le mme cas,on aura

_

/1.5. 5 {ii \)\^ i,(i i)....(in + i)^'^'\ 1.2.3. ...i / '(i+i).(i+2) (i + n)'

expression qui est la mme que dans le cas de in paii'. Si 7Z= o,on aura encoi-e,

/ i.?.5 (^QJlA '

'""V 1.2.3. ...i J'Mkcan. cl. Tonie II. F

42 \I C A N I Q U E CLESTE,16. De ce qui prcde, nous pouvons conclure la forme

gnrale des fonctions Z^'' de i^. , V i//t^sin. ^j et V^if^^.cos. ^^qui satisfont l'quation aux diffrences partielles

En dsignant par C, le coefficient de ^iin.n^, ou de cos. ^^j dansla fonction l'^'^y on aura

'"-'^ " ' +;.c/+o-f-diJ. 1

1J.1A

n

"031 gal (\ ('(j-)'^ nmllipli par une fonction rationnelle et

tnlire de y.,et dans ce cas , on a par le n. prcdent

,

(^Q..[21\) J

^' '^ tant une arbitraire ; ainsi , la partie de Y^'^ dpendante del'angle n^^

,est

(-1 ,,,,j'i[^^-"_ ^'~"^-^'~"TJ^.^,^-"-'+8^c.'|.(^W.sin.7Zzr+.BW.cos.n-r];

^'"^ et ^^"' tant deux ai-bitraires. Si l'on fait successivement danscette fonction

,77 =0 , ?z^ 1 , 77= 2 ... . 77 ^ /; la somme de toutes

les fonctions qui en rsidteront , sera l'expression gnrale de 1^^'\

et cette expression renfermera 2 i'+i arbitraires 2?'^, ^^'', 5^'',

^4^'\ B^^\ &c.Considrons maintenant , une fonction 6" , rationnelle et entire

de l'ordre s, des trois coordonnes orthogonales x,j, z. Si l'onreprsente par R

,la distance du point dtermin par ces coordon-

nes, leur origine : par S,l'angle form par H, et par l'axe des a;;

et par nr, l'angle que le plan des x et des j/ , forme avec le plan pas-sant par i?

,et par l'axe des x , on aura

x^=Ry-S j^=R.V^i u'.cos.'T^ ; z=:R.Vi y^.siu.'^.En substituant ces valeurs dans S, et en dveloppant cette fonc-

PREMIRE PARTIE, LIVRE HT. 45(ion, en sinus et cosinus de l'angle "o- et de ses multiples ; si S e$l lafonction la plus gnrale de l'ordre s, alors sin.ti'^ et cos.n^,seront multiplis par des fonctions de la forme

ainsi la partie de S , dpendante de l'angle rmr,renfermera

2. (sn-hi) constantes indtermines. La partie de S , dpen-dante de l'iingle a- et de ses multiples

,renferraei-a donc s.(s+ i )

indtermines : la partie indpendante de sr, en renfermera s+i;

tS" renfermera donc (s+i)" constantes indtermines.La fonction !'()+ r^')+r^=> + 1"^') renferme pareillement

(s+ i)'' constantes indtermines, puisque la fonction V-^^ eurenferme 2/+ i; on peut donc transformer 6", dans vme fonctionde cette forme , et voici la manire la plus simple d'excuter cettetransformation.

Ou prendra, par ce qui prcde, l'expression la plus gnralede 1 '^^ ; on la retranchera de S, et Fou dterminera les arbitrairesde Y^^'>

,de manire que les puissances et les produits de y. et de

V 1 /^//, de l'ordre s, disparoissent de la diffrence S 2"^')y cettediffrence deviendra ainsi une fonction de l'ordre s 1

,

que nousdsignerons par S'. On prendra l'expression la plus gnrale deV '~'^ ; on la retrancliera de S' , et l'on dterminera les arbitrairesde Y^^~'\ de manire que les puissances et les produits de /-c et deV i

/^, de l'ordre s 1 , disparoissent de la diffrence iS"

Y''^~'\

En continuant ainsi, on dterminera les fonctions Y^^\ Y''^~'\Y^^~''\ &c. , dont la somme forme S. - - '- .

17. Reprenons maintenant , l'quation du n. i5,

Supposons R fonction de //.', jt', et d'un paramtre a, constantpour toutes les couches de mme densit, et variable d'une couche l'autre. La dillrence ilR tant prise en supposant //.' et -sr' cons-

tans, on aura r/7?= ( ].(/, parlant,

Y 2

44 MCANIQUE CLESTE,Concevons li''^^ dvelopp dans une suite de celte forme j

Z''-'' tant,

quel que soit / , une fonction rationnelle et entire de [^',

\/ j /\sin. 7/, et \/i

iJ.'\ COS. 7i:\ qui satisfait l'quation auxdiflcrences partielles

,

+ i.(i-bi)Z'^'ld/j.' J 1

IJ-'

La diffrence de Z''^'^ prise par rapport a , satisfait encore cette

quation, et par consquent elle est de la niuie forme; on ne

doit donc, en vertu du tliorme gnral du n". 12, considrerque le terme Z' ^'^ dans le dveloppement de i'"^^ , et alors on a

U^') =.-^.fp.(^^^ ).da. di^! . dy. ^').i -\~3 ' \ da J

Lorsque le spliroide est homogne et peu dilfrcut d'une sphre,on peut supposer p= 1 , et i= a. (f 1 + a-j) ; on a alors , en int-grant par rapport a

,

De plus, si l'on suppose j'' dvelopp dans une suite de la forme

Y' ^'^ satisfaisant la mme quation aux diffrences partielles queZ"-''^ i on aura , en ngligeant les quantits de l'ordre *%Z"-'^ = (i-ro).a..d'^'\Y'^'^ ; on aura donc

Si l'on dsigne par r^'\ ce que devient Y'^'\ lorsque l'on y change

y! et -nr', dans // et 2? , on a par le n. 11,

2 / + 1

ou a donc ce rsultat remarquable,

Celte quation ayant lieu, quel que soit Z'

pre:\[iere partie, livre m. 45dure gnralement que la double intgration de la fonctionfZ"''^td(j-'.d^'. Q''-*, prise depuis fj-' ^= i, jusqu' /^'= i, et depuis

2-' = o,

jusqu' '3r'= 2 X, ne fait que transformer Z''-'^ dans -. ;

^^'^ tant ce que devient Z'^''' , lorsque l'on y change i^' cl ar' dansy- et 3f j- on a donc

4^t/to= .

/ P

;

\.cla ;

et la triple intgration dont dpend /'-'\ se lduit inie seuleintgration prise par rapport a, depuis =

,jusqu' sa valeur

la surface du sphrode;L'quation (1) oftre un moyen trs-simple d'intgrer la fonction

/I^*-'\^'^'\f/i".c?ir, depuis />t= 1,

jusqu' ;u = i,et depuis 3r= o,

j usqu' r= a's-. En effet, la partie de Y^'^ dpendante de l'angle a-,est, par ce qui prcde, de la foi-me k. {^^"\sin.3^+ iS*^"\cos./i3-},A tant gal

" f . (i n).(i n 1) "1

l a.fsi 1; yon aura donc

Z'^'^= A'.{^^"\sin.n*'+5c").cos.V};

a' tant ce que devient a, lorsque y se change en y.'. La partie de Q''^

dpendante de l'angle /z^r, est par le n. prcdent, >.AA'.cos.C^-'3r'^jou >a'.a. (cos. ran- . COS. 72 3r' + sin. 72 3-. sin. 77 sr'j; aiusi la partie del'intgrale /y^'^ (/.a'. c?i!r'.Q'-'-' dpendante de l'angle n--^, sera

>^ . sin. 77:7 ./a" . il/ . c?57'. sin. 771?'. { .^'^"^ . sin. n'^'+ ^"""^ . cos. n~' }4->A.COS.7Z3r.y>."'.f/,w'.f/3r'.COS.77-'. {^^Z*^"^. sin.72 3r'-|- ^:''>. COS.77tr']

.

En excutant les intgrations relatives -sr', cette partie devient>A.T. (^^''\sin.77'Sr+-B

4G MCANIQUE CLESTE,lleprseiitoiis maintenant, par a. {^'^"\&in.'3r+ i3'^"\cos.7 t),

la partie de Z'-'^ dpendante de l'angle 7z a-. Celte partie doit seulectre combine avec la partie correspondante de 1'*^'^; parce queles ternies dpendans des sinus et cosinus de Fangle zs- et de ses -'

multiples,

disparoissent par l'intgration , dans la fonction

fY'^'^.Z^'^.d^-.d-^, intgre depuis -sr= o,

jusqu' t3-= 2^; on auraainsi , en n'ayant gard qu' la partie de l'*-'^ dpendante de l'an-gle n-Tn

,

fK\dy..d^. (^^"\sin.n^+i?^"\cos.;z^] . {-r^'^"\sin.WJJ+i?'^"lcos.72^}

En supposant donc successivement dans le dernier membre, 7= o,7i = I

,77 = 2 , . . . . 77= i ; la sonniie de tous ces termes, sera la

valeur de l'intgrale /l^'^'\Z'^'\Ji.f/^.

Si le splirodc est de rvolution , en sorte que l'axe avec lequelle rayon R forme l'angle -a- , soit l'axe mme de rvolution ; l'angle irdisparolra de l'expression de Z^'^, qui devient alors de cette forme,

1.2.3. ...i { 2..(-2i-i)' .1.4.(21i). (ai5) ]'

..^ '-' tant une fonction de a. Nommons >S'^, le coefEcient de ^^'\dans cette fonction : le produit

(^1-3.5 (-2/

i,)Y f i-(iV , : ) . 1 : -+ &C.

1.2.0 i / l Z.(2l [)

R'est parle n. prcdent, le coefficient de - dans le dveloppe-

ment du radical

,

\?-'2Rr{iJiy.'+\/iy.\V^i!y.'\COS.(^^')] +iO"S-

lorsque l'on y suppose y. et i^.' gaux l'unil. Ce coefficient est alorsgal 1 ; on a donc

1.2.3. ...f t'~a-(2t-i; j"''' -

PREMIRE PARTIE, LIVRE III. 47c'est--dire que fS''^ se rtluiL l'unit, lorsque ft= i. On a ensuite

(i+ ).(2i-\-l) -"^ \da JRelativement ;i l'axe de rvolution

,

;i/= ] , et par consquent

,

donc si Ton suppose que relativement un point plac sur le pro-longement de cet axe

,on a

^^ fiC) 5CO 5CO

r r"" r"'

on aura la valeur de /^relative un autre point plac la mmedistance de l'origine des coordonnes

,mais sur un rayon qui fait

avec l'axe de rvolution, un angle dont /^ est le cosinus ; en mul-tipliant les termes de celte valeur, respectivement par ^S\ fS'^>S'\ &c.

Dans le cas o le sphrode n'est point de rvolution, cette

mthode donnera la partie de /^indpendante de l'angle -sr ; oudterminera l'autre partie de cette manire. Supposou:-;

,pour sim-

plifier,le sphrode tel qu'il soit partag en deux parties coules et

semblables, soit par l'quateur, soit par le mridien o l'on fixel'origine de l'angle 'J!-, soit par le mridien qui lui est perpendi-culaire. Alors /^ sera fonction de /*', sin.^'jr, et cos.^-sr, ou, cequi revient au mme, il sei-a fonction de //.', et des cosinus del'angle u ^ et de ses multiples; [/'-''' sera donc nul, lorsque / estimpair

, et dans le cas o il est pair , le terme dpendant de langle2ra^, sera de la forme

^lA ^ xn f ,_. (izn).(izn I) . l

t 2.(211) J

Relativement un point attir, situ dans le plan de l'quateuro ^=: G

,la partie de /^, dpendante de ce terme , devient

,

CW i.5.Z....(i 2n i)^2Z '

,

, COS. ^ 71 '^ '/-""' 2.(i-\-zn-\-l).(i->r2n-\-z) (zi i)

d'o il suit qu'ayant dvelopp F, dans une srie ordonne par

48 M C A N I Q U E C L E S T E

,

rapport aux cosinus de l'angle 2 w , et de ses multiples , lorsque

le poinl altii est situ dans le plan de l'quateur; il suffira, pour

tendre celle valeur un point quelconque attir, de multiplierCOS. 271 'Sr

les termes dpendans de

^

,

par la lonctxou

1.3.5 (i-'2n-l) ^ " y l' '^.{ii-\) j'

on aura donc ainsi la valeur entire de /^, lorsque celte valeursera dtermine en srie, pour les deux cas o le point attir estsitu sur le prolongement de l'axe du ple , et o il est situ dansle plan de l'quateurj ce qui simplifie beaucoup la reclierclie docette valeur.

Le sphrode que nous venons de considrer, comprend l'ellip-solde. Relativement un point attir situ sur l'axe du ple

,

que

nous supposerons tre l'axe des x, on a pur le n". a, 6 =0, c :!=o,et alors l'expression de /^du 11. 5, est intgrable par rapport Ixp.Relativement un point situ dans le plan de l'quateur , on aa=:o , et la mme expressiou de /^devient encore parles mthodesconnues, intgrable par rapport ^ , en y faisant tang. q ^=t. Dansces deux cas, fintgiale tant prise par rapport une de ces varia-bles dans ses limites , elle devient ensuite possible par rapport fautre , et l'on trouve que 31 tant la masse du splirode , la valeur

V.

de est indpendante du demi-axe k du sphrode, perpendi-

culaire l'quateur, et ne dpend que des excentricits de l'ellip-V

sode. En multipliant donc les diffrens termes des valeurs de

relatives ces deux cas ,et l'duites en sries ordonnes suivant les

puissances de -,

par les facteurs dont nous venons de parler, pour

avoir la valeur de relative un point quelconque attir; la

fonction qui en rsultera, sera indpendante de >t, et ne dpendraque des excentricits

; ce qui fournit une nouvelle dmonstrationdu thorme que nous avons dmontr dans le n". G.

Si le point attir est plac dans l'intrieur du splirode , rat-traction

PREMIRE PARTIE, LIVRE II r. 4.)traction qu'il prouve, dpend, comme on l'a tu dans le n". 9,de la fonction '~'\ et l'on a par le n. cit

,

*''-/

w^. >'

cjuation que l'on peut mettre sous cette forme,

Supposons i2^"' dvelopp dans une suite de la forme

Z'^"^ satisfaisant l'quation aux diffrences partielles,

Si de plus, on nonnne z^''> , ce que devient z'^'^ lorsque l'on ychange ^' en y-, et w' en -s- ; on aura par ce qui prcde,

p^'^=,

, w -^'fP'{3 )'da;(21+1). (21) ^ \ du Jon aura donc ainsi , l'exjuession de /^relative toutes les couchesdu sphrode qui enveloppent le point attir. La valeur de f^relative aux couches par rapport auxquelles il est extrieur , sedterminera , comme ou vient de le voir.

MCAK. CL. Tome II.

5o MCANIQUE CLESTE;

CHAPITRE III.De la figure cViine masse fluide homogne en cquiUhre ,

et cloue cVun mouvement de rotation.

18. Apres avoir expos dans les deux Chapitres prcdens ,la lliox'ie des attractions des spliroides ; nous allons considrer

la figure qu'ils doivent prendre en vertu de l'action mutuelle de

leurs parties , et des autres forces qui les animent. Nous clierclie-

rons d'abord la figure qui satisfait l'quilibre d'une masse fluide

homogne doue d'un mouvement de rotation , et nous donneronsrme solution rigoureuse de ce problme.

Soient , Z>, c, les coordonnes rectangles d'un point quelconquede la surface de cette masse, et P, Q, /?, les forces qui le solli-citent paralllement ces coordonnes , ces forces tant supposes

tendre les diminuer. Il rsulte du n. 54 du premier Livre, que

pour fquilibre de la masse fluide , il suflit que Ton ait

o= P.

PREMIERE PARTIE, LIVRE II T. 5il- sera le demi-axe de rvolution, et si l'on nomme M,, la massede l'ellipsode, on aura par le n^. a

,

4-r.c.P3I--

p tant la densit du Huidc. Si l'on fait, comme dans le n". 5,1 m I

^'^'j on auxa rn= -, et par consquent,

3

quation qui donnera le demi-a:se &,lorsque ^ sera dtermin.

Soit

^,^4l:^^M-2.r,_,g.iang..};

B' = ~. {(i +^';.ang.tang.x a) ;

on aura par le n. 3, en n'ayant gard qu' l'attraction de la massefluide

,

P=A'.a ; Q=B'.b ; R = B'.c.Si l'on nomme g, la force centrifuge la distance i de l'axe de

rotation; cette force la distance Vb^+ c', du mme axe, serag.V b' -^-c" : en la dcomposant pai'alllement aux coordonnes bet c, il en rsultera dans Q , le terme gb , et dans R, le terme ffC} on aura ainsi , en ayant gard toutes les forces qui animentles molcules de la surface

,

P^A'.a ; Q = (B'-g).b ; E= (B'-g).c j '

l'quation prcdente de l'quilibre dcAendra donc(B'g)

o= ada-\ ^.{b.db+ c.dc].A '

L'quation diffrentielle de la surface de l'eliipsodc est, en y subs-

tituant pour m, sa valeur , ;

h.db -\-c -de0=0 a a -\ ; .G -i

5i M C A N I Q U E C E L E S T E,eu la comparant la prcdente , on anra

(i^K').(B'-g)= ^'; (i)

si Ton substitue pour ^' etB' leurs valeurs , et si l'on fait -

=c/;

on aura

0=:'^ ' anff.tang.'; (2)

en dterminant donc a, par cette quation qui est indpendantedes coordonnes a,,c, on feracoincider l'quation de l'quilibre,avec celle de la surface de l'ellipsode ; d'o il suit que la figure ellip-

tique satisfait l'quilibre , du moins , lorsque le mouvement derotation est tel que la valeur de a' n'est pas imaginaire , ou lors-

qu'tant ngative,

elle n'est pas gale ou plus grande que l'unit.Le cas de a' imaginaire donneroit un solide imaginaire ; celui dea" =; 1

,donneroit un parabolode , et celui de k^ ngatif et plus

grand que l'unit, donneroit un liyperboloule.

1 . Si l'on nomme p , la pesanteur la surface de l'ellipsode;on aura

Dans l'intrieur de l'ellipsode,les forces P, Q, jR, sont propor-

tionnelles aux coordonnes a , b, c; car on a vu dans le n. 3,que les attractions de l'ellipsode, paralllement ces coordon-nes, leur sont respectivement proportionnelles

,ce qii a gale-

ment lieu pour la force centrifuge dcompose paralllement auxmmes coordonnes. Il suit de-l

,

que les pesanteurs aux diverspoints d'un rayon men du centre de l'ellipsode sa surface

,ont

des directions pai'allles , et sont proportionnelles aux distances ce centre ; en sorte que si l'on connot la pesanteur sa surface

,

on aura la pesanteur dans l'intrieur du sphrode.Si dans l'expiession de p , on substitue pour P, Q, M, leurs

valeurs donnes dans le n". prcdent , on aura

p r= V'^'^a^ + CBgr.Cb^ + c^) ;d'o l'on tire, en vertu de l'quation (1) du n. prcdent

,

*^ (1-fA"/ '

PREMIRE PARTIE, LIVR III. 53mais lequaliou de la surface de l'ellipsode donne

^

- = /t' c%-

on aura donc

a est gale Z- au ple , il est nul l'quateur ; d'oi il suit que la

pesanteur au polo , est la pesanteur l'quateur , comme V \ -{>?est l'unit

,cl j)ar consquent , comme le diamtre de l'quateur

est l'axe du ple.Nommons t, la perpendiculaire la surface de l'ellipsode

,pro-

longe ;jusqu' la rencontre de l'axe de rvolution j on aura

partant

A' .t

ainsi la pesanteur est proportionnelle t.

Soit 4 le complment

54 M C A N I Q U E C E L E S T E

,

ce qui donne 4^f=

^. Le rayon oscillateur du mridien elliptique,

est,; en nommant donc c , la grandeur du degr ^ la

latitude 4> on aura

(i-i-A').r7 .h= '200.C.

Cette quation combine avec la prcdente, donne,

200.f. (i+a'.cos. 4) 7-

j

on aura ainsi,

fx ang.tang. ^"} la.'rrn= 200.C. f i+a'.cos.-4) . '^ 'TF,

Soit l , la longueur du pendule simple qui fait une oscillation danslUie seconde de temps; il rsulte du 11". 11 du premier Livre

,

que

n^T^./; eu corapai'aut ces deux expressions dep, on auia

5400 c {^ ang . tang. A I . | i -f- /.'' . COS.-4

}

^./. T'.K^(4)

cette quation et l'quation ( 2 ) du u. prcdent , feront connotreles valeurs de q et de a, au moyen de la longueur /du pendule secondes et de la grandeur c du degr du mridien, observesl'une et l'autre , la latitude 4-

Supposons ]-=^bo'^, ces quations donneront

Roo.c / 800. c \=

les observations donnent, connue on le verra dans la suite

,

c= 1 00000"' ; /= o' , 74 1 608 j

on a de plus T'^-qfjyav ; on aura ainsi ,-^^o, oo544g57 ; a" = 0, 00868767.

TiC rappoii de l'axe de l'quateur, celui du ple, tant k i + a',il devient dans ce cas , i,oo43544i j ces deux axes sont fort peu

PREMIRE PARTIE, LIVRE III. 55prs dans le rapport de 201,7 '^ ^^0,7 , et par ce qui prcde, lespesanteurs au ple et l'quateur sont dans le mme rapport.Ou aura le demi-axe k

,du ple , au moyen de l'quation

2oo.c.('i+4->'"-J"' 200.

c

...PI : -

ce qui dorme

A= 6552534"". ' :'

'

Pour avoir l'attraction d'une sphre du rayon ^, et d'une densitquelconque ; on observera qu'une sphre du rayon h et de la den-sit

p ,agit SLir un point plac sa surfiice, avec une force gale

jTf,.i, et par consquent, en vertu de l'quation (5), gale x^.p. r/i + f /. , < , o T f>

,ou a p. [1 75.'- + eic. ) , ou enhn a

3.Ci-i-A=';.('Aang.tang.^;

0,998697 .p , p tant la pesanteur sur le parallle de So". De-lil est ais de conclure la force attractive d'tuie phrc d'un rayonet d'une densit quelconque , sur un point plac au-deliors ou

dans son intrieur.

10. Si l'quation (2) du n. 18 ctolt susceptible de plusieursracines relles

;plusieurs figures d'quilibre conviendroient au

mme mouvement de rotation ; voyons donc si cette quation aplusieurs racines relles. Pour cela , nommons 9 , la fonction

;p-^ aug.tang. A, dont lgalit a zro, produit 1 qua-

tion (2). Il est facile de voir qu'en faisant crotre a, depuis zrojusqu' l'infini, l'expression de ? commence et finit par tre posi-tive; ainsi, en imaginant une courbe dont a soit l'abscisse, et dont(psoit l'ordonne

,cette courbe coupera son axe

,lorsque a=:o ; les

oi'donnes seront ensuite positives et croissantes; parvenues leur

maximum,elles diminueront ; lu courbe coupera une seconde fois

son axe , un point qui dterminera la valeur de a correspondante l'tat d'quilibre de la masse fluide; les ordonnes seront ensuitengatives, et puisqu'elles sont positives, lorsque a= co, il estncessaire que la courbe coupe une troisime fois son axe , ce quidtermine une seconde valeur de a qui satisfait c l'quilibie. On

56 MCANIQUE CLESTE,voit ainsi que pour une mme valeur de q , ou pour un mouve-ment de rotation donn, il y a plusieurs figures avec lesquelleslequilibre peut subsister.

Pour dterminer le nombre de ces figures , nous observeronsque l'on a

La supposition de c/? =o, donne o^^ qh.''-\-(\oq 6^.^''+ 9'/

d'o l'on tire , en ne considrant que les valeurs positives de ;.

,

^^=-i-^G-0-^'Ces valeurs de k dterminent les maxima et les minima de l'or-donne (p ; il n'y a donc que deux ordonnes semblables , du ctdes abscisses positives , ce qui exige que dece ct , la courbe necoupe son axe qu'en trois points , en y comprenant l'origine

;

ainsi le nombre des figures qui satisfont fquilibre, se rduit. deux.

La courbe, du ct des abscisses ngatives , tant exactement lamme que du ct des abscisses positives , la diffi'ence prs dusigne des ordonnes 3 elle coupe son axe de chaque ct , dans despoints correspondans quidistans de l'origine des coordonnes ; lesvaleurs ngatives de a qui satisfont l'quilibre, sont donc ausigne prs , les mmes que les valeurs positives ; ce qui donneles mmes figures elliptiques

,

puisque le quarr de a. entre seuldans la dtermination de ces figures ; il est par consquent inutilede considrer la courbe, du ct des abscisses ngatives.

Si l'on suppose q fort petit , comme cela a lieu pour la terrejon pourra satisfaire l'quation (2) du 11. 18 , dans les deux hypo-thses de h" fort petit , et de h" fort grand. Dans la premire , on apar le n". prcdent

,

Pour avoir la valeur de k" dans la seconde hypothse ; nous obser '

verons qu'alors, ang.tang. a diffre trs-peu de ~t, en sorte quesi

PREMIRE PARTIE, LIVRE III. 67si l'on suppose a=? ^S est dans le

cas du sphrode trs-appldli , gal 680, 4(j.La valeur de 5- a une limite au-del de laquelle l'quilibre est

impossible avec une figure elliptique. Supposons, en effet, que

la courbe ne coupe son axe qu' son origine , et qu'elle ne fasse

que la toucher ailleurs ; on aura ce point de contact , 9 = 0, et

correspondante q , n'tant jamais

ngative,

quel que soit a,la mme fonction correspondante q +/,

est constamment positive,et ne peut jamais devenir nulle ; Fcqui-

JMkcan. ckl. Tome II. II

58 M C A N I Q U E C L E S T E,libre est donc alors impossible. Il rsulte encore de cette analyse,

qu'il n'y a qu'une seule valeur relle et positive de q^ qui satis-

fasse aux deux quations (?= o, et f/a o. Ces quations donnent

les suivantes

,

7^'+3o.A^+27.\o- ang. tang. k

La valeur de k qui satisfait cette dernire quation , est ^= 2,5292 ;d'o Ton tire y= 0,557007 ; la quantit V i + a=, qui exprimele rapport de l'axe de l'quateur celui du ple, est dans ce cas,gale ^,7197.La valeur de q relativement la terre , est gale 0,00544907.

Cette valeur rpond une dure de rotation de o' ,99727 5 or on a

gnralement q = -^^ , en sorte que par rapport aux masses de

mme densit, q est proportionnel la force centrifuge g du mou-vement de rotation , et par consquent en raison inverse du quarrdu temps de la rotation ; d'o il suit que relativement une massede mme densit que la terre , le temps de la rotation qui rpond ^= 0,557007, est de G' ,10090. De-l rsultent ces deux thormes :

Toute masse fluide homogne d'une densit gale la moyenne)i densit de la terre , ne peut pas tre en quilibre avec une figure

elliptique ; si le temps de sa rotation est moindre que o'-,ioo90.)> Si ce temps est plus considrable; il y a toujours deux figures elliptiques et non davantage

,

qui satisfont l'quilibre.)) Si la densit de la masse fluide est diffrente de celle de la

1) terre ; on aura le temps de la rotation , dans lequel l'quilibre cesse)) d'tre possible avec une figure elliptique; en multipliant o'-,ioo90,

par la racine quarre du rapport de la densit moyenne de la terre

, celle de la jnasse fluide .

Ainsi relativement une masse fluide dont la densit ne seroitqu'un quart de celle de la terre

,ce qui a lieu -peu-prs pour le

soleil, ce temps seroit de o', 20i84; et si la densit de la terresuppose fluide et homogne, toit environ 98 fois moindre que

PREMIERE PARTIE, LIVRE Iir. 69sa densit actuelle

,la ligure qu'elle cevroit prendre

,

pour satis-faire son mouvement actuel de rotation

,scroitla limite de toutes

les figures elliptiques aveu lesquelles l'quilibre peut subsister. Ladensit de Jupiter tant environ cinq fois moindre que celle dela terre, et la dure de sa rotation tant de o'-, 4i577; on voit quecette dui'e est dans les limites de celles de l'quilibre.On pourroit croire que la limite de q^ est celle o le fluide

commenceroit se dissiper, eu vertu d'un mouvement de rotationtrop rapide ; mais il est facile de se convaincre du contraire , euobservant que par le n. ig , la pesanteur l'quateur de l'ellip-

sode,est la pesanteur au ple , dans le rapport de l'axe du ple

celui de l'quateur, rapport qui dans ce cas est celui de 1

2,71975 l'quilibre cesse donc d'tre possible, parce qu'avec unmouvement de rotation plus rapide , il est impossible de donner la jnasse fluide

,une figure elliptique , telle que la rsultante de

son attraction et de la force centrifuge , soit perpendiculaire la

surface.

Nous avons suppos jusqu'ici, a positif, ce qui donne des sph-

rodes applatis vers les ples 5examinons prsentement si l'quilibrepeut subsister avec une figure allonge vers les ples. Soit alors

,

A*= x'",- A." doit tre positif et moindre qvie l'unit , autrement,l'ellipsode se cliangeroit en liyperbolode. La valeur prcdente

de d

6o MCANIQUE CLESTE,de (/, il ne faut pas en conclure qu'elle ne peut pas tre en quilibrr:

"avec une figure elliptique ; car on conoit qu'en s'applatissant de

plus en plus , elle prendra un mouvement de rotation , de moinsen moins rapide ; en supposant donc qu'il existe, comme dans tousles fluides connus

,une force de tnacit entre ses molcules

,cette

masse aprs un grand nombre d'oscillations, pourra enfin par-venir un mouvement de rotation , compris dans les limites del'quilibre

,et se fixer cet tat. Mais cette possibilit n'est encore

qu'un apperu qu'il est intressant de vrifier; il est galementintressant de savoir s'il y a plusieurs tats possibles d'quilibre;car ce que nous venons de dmontrer sur la possibilit des deuxtats d'quilibre

,correspondans un mme mouvement de rota-

tion,n'entrane pas la possibilit de deux tats d'quilibre cor-

respondans une mme force primitive ; puisque les deux tatsd'quilibre relatifs un mme mouvement de rotation, exigentdeux forces primitives diffrentes

,ou diffremment appliques.

Considrons donc une masse fluide , agite primitivement pardes forces quelconques , et ensuite abandonne elle-mme , et l'atti-action mutuelle de toutes ses parties. Si par le centre de gra-

A'it de cette masse suppose immobile , on conoit un plan parrapport auquel la somme des aires dcrites sur ce plan, par chaquemolcule

,et nuilliplies respectivement parles molcules corres~

pondantes,soit l'origine du mouvement, un maximum ^ ce plan

jouira constamment de cette proprit, par les n^ 21 et 22 dupremier Livre, quelle que soit la manire dont les molcules agissentles unes sur les autres

,soit par leur tnacit, soit par leur attrac-

tion,et leur clioc nuituel , dans le cas mme o il y auroit des

pertes de mouvement, brusques et finies dans un instant; ainsilorsqu'aprs un grand nombre d'oscillations

,la masse fluide pren-

dra un mouvement de rotation uniforme, autour d'un axe fixe,cet axe sera perpendiculaire au plan dont nous venons de parler,qui sera celui de fquateur, et le mouvement de rotation sera telque la somme des aii'es dcrites pendant l'instant dt

^

par les mol-cules projetes sur ce plan , sera la mme qu' l'origine du mouve-ment ; nous dsignerons par E.dt , cette dernire somme.Nous observerons ici

,que l'axe dont il s'agit, est celui par

PREMIRE PARTIE, LIVRE III. Cirapport auquel la somme des momens des forces primitives dusystme, toit un uiaximum. Il conserve cette proprit, pendantle mouvement du systme, et devient enfin l'axe de rotation

; car,

ce que nous avons dmontr dans les n\ cits du premier Livre,sur le plan du maxinwr?i des aires projetes, s'applique l'axe duplus grand moment des forces

;puisque l'aire lmentaire deciitc

par la projcclion du rayon vecteur d'un corps sur un plan,et iiuiltiplie par sa masse , est videmment proportionnelle aumoment de la force finie de ce corps

,

par l'apport l'axe perpen-diculaire ce plan.

Soit comme ci-dessus, g la force centrifuge due au mouvementde rotation

, la distance i de l'axe ; y^ sera la vitesse angulaire

de rotation ; nommons ensuite k , le demi-axe de rotation de la

masse fluide, et A. V i-f-^^, le demi-axe de son quateur. Il estfacile de s'assurer que la somme des aii-es dcrites pendant l'ins-tant dt

,

par toutes les molcules projetes sur le plan de l'qua-teur , et multiplies respectivement par les molcules correspou-

dantes, est -^.fi+A'/.X-^c/^. ^/^; on aura donc10

En nommant ensuite 77/ la masse fluide, on aura

la quantit,

que nous avons nomme q, dans le rC. 18, de-

vient ainsi, q' . ( \ + >^'' ) ^, en dsignant par q' la fonction

. L'quation du mme n^. devient

ang.fang. k9+ 3aCette quation dt&rminera a ,- on aura ensuite k, au moyen defexpression prcdente de 31.Nommons

63 MECANIQUE CLESTE,qui doit tre gale zro

,

par la condition de l'quilibi-e : cette

fonction commeiice par ti'e positive , lorsque a est trs-petit , etfinit par tre ngative , lorsque a ei-t infini; il existe donc entreA=: o, et A infini, une valeur de a, qui rend cette fonction nulle,et par consquent , il y a toujours

,

quel que soit q\ une figureelliptique , avec laqvielle la masse iluide peut tre en quilibre.

On peut mettre la valeur de (p , sous cette forme intgrale,

9=2/- f/A. |!Zi-+ i8./ {^'a'+i8.(i + a=; = } If9 + 3A/.Ci + A=J'

Lorsqu'elle devient nulle, la fonction

A

a dj pass par zro,pour devenir ngative ; or ds l'instant o

cette fonction commence tre ngative , elle continue de l'tre 27 Q

mesure que a augmente; parce que la partie positive 1- i8 '',z

diminue, tandis que la partie ngative, {''a+ i8.('i-f a'"^' j

augmente; la fonction ip ne peut donc pas devenir deux fois nulle;d'oii il suit qu'il n'y a qu'une seule valeur relle et positive de a

qui satisfasse l'quation de l'quilibre , et par consquent , lefluide ne peut tre en quilibre, qu'a.vec vme seule figuix elliptique.

PREMIERE PARTIE, LIVRE m. 65

CHAPITRE IV.De la figure d'un sphrode trs-peu diffrent d*une sphre

et recouvert d'une couche de fluide en quilibre.

11, JNous avons considr dans le Chapitre prcdent, l'qui-libre d'une masse fluide liomogne, et nous avons trouv que laCgure elliptique satisfoit cet quilibre; mais pour avoir unesolution complte de ce problme, il faudroit dterminer priori

,

toutes les ligures de l'quilibre, ou s'assurer que la figure ellipti-que est la seule qui en remplisse les conditions; d'ailleurs, il esttrs-probable que les corps clestes no sont pas des masses homo-gnes

,et qu'ils sont plus denses vers le centre, qu' la surface;

on ne doit donc pas dans la recherche de leur figure , se boi'ncrau cas de Thomognit : mais alors, cette recherche prsente degrandes difficults. Heureusement, elle se simplifie par la consi-dration du peu de diffrence qui existe entre la figure sphri-que , et celles des plantes et des satelhtes; ce qui permet de ngli-ger le quari de cette diffrence et des quantits dont elle dpend.Malgr ces simplifications, la recherche de la figure des plantesest encore trs-complique. Pour la traiter avec la plus grandegnralit, nous allons considrer l'quilibre d'une masse fluidequi recouvre un corps form de couches d'une densit variabledou d'un mouvement de rotation , et sollicit par l'attraction decorps trangers. Pour cela , nous allons rappeler les loix de l'qui-libre des fluides

,

que nous avons dmontres dans le jiremierLivre.Si l'on nomme p , la densit d'une molcule fluide ; n , la pression

qu'elle prouve ; F, F', F", &c., les forces dont elle est anime;df, df, df", &c. , les lmens des directions de ces forces ; l'qua-tion gnrale de l'quilibre de la masse fluide, sera par le n. 17 dupremier Livre

,

= F. df-[- F' . df+ F", df + &c.

4 MCANIQUE CLESTE,Supposons que le second membre de cette quation , soit une dif-frence exacte ; en dsignant par dp , cette diffrence

,p sera n-

cessairement fonction de n et de ip ; l'inlgrale de cette quationdonnera ? , en fonction de n 5 on pourra donc l'cduire f , n'trefonction que de n , d'o l'on tirera n en fonction de p ; ainsi ,relativement aux couches de densit constante, on aura fZn= o,

et par consquent,

o F.df+F'.df' + F\df"+ &ic.;quation qui indique que la force tangentielle la surface de cescouches

,est nulle

,et par consquent

,

que la rsultante de toutes

les forces F, F', F", &c. , est perpendiculaire cette surface; ensorte que ces couches sont en mme temps couches de niveau.La pression n tant nulle la surface extrieure, p doit y ti-e

constant, et la rsultante de toutes les forces qui animent chaquemolcule de cette surface , lui est perpendiculaire. Cette rsultanteest ce que l'on noramepesanteur.ljes conditions de l'quilibred'unemasse fluide sont donc, 1. que la direction de la pesanteur soitperpendiculaire chaque point de la surface extrieure; -2". que

dans l'intrieur de la masse , les directions de la pesanteur de

chaque molcule , soient perpendiculaires la surface des couchesde densit constante. Comme on peut dans l'intrieur d'une massehomogne

,

prendre telles couches que l'on veut,

pour couches

de densit constante ; la seconde des deux conditions prcdentesde l'quilibi-e , est toujours satisfaite, et il suffit pour l'quilibre,que la premire soit remplie ; c'est--dire que la rsultante detoutes les forces qui animent chaque molcule de la surface ext-rieure

,soit perpendiculaire cette surface.

20. Dans la thorie de la figure des corps clestes ; les forcesF, F', F", &c. , sont produites par l'atlracLion de leurs molcules,parla force centrifuge due leur mouvement de rotation, et parl'attraction des corps trangers. Il est facile de s'assurer que ladiffrence F. df-^- F' . df+ &ic. , est alors exacte ; mais on le verraclairement par l'analyse que nous allons faire de ces diffrentesibrces,en dtei-minant la partie de l'intgrale/. (F. df-\- F' . df'+&LC.)qui est relative chacune d'elles,

Si

PREMIRE PARTIE, LIVRE 1 1 f. 65Si l'on nomme dM, une molcule quelconque du sphrode,

ety sa distance la molcule attire ; son action sur cette dernire

sera -zr-. En multipliant cette action , par l'lment de sa direc-

tion,

qui est df, puisqu'elle tend diminuer y, on aura rela-

tivement l'action de la molcule d3I, fFdfz= ; d'o il suit

que la partie de l'intgrale f(F.df+ F'.df+ &c.j) qui dpendde l'attraction des molcules du sphrode , est gale la sommede toutes ces molcules divises par leurs distances respectives

la molcule attire. Nous reprsenterons cette somme par /-'",

comme nous l'avons fait prcdemment.

On se propose , dans la thoiie de la figure des plantes , dedterminer les loix de Tquilibre de toutes leurs parties , autourde leur centre commun de gravit ; il faut donc transporter ensens contraire , la molcule attire , toutes les forces dont cecentre est anim en vertu de l'action rciproque de toutes les par-ties du sphrode ; mais on a vu dans le n. 20 du premier Livi-e,que par la proprit de ce centre , la rsultante de toutes ces ac-

tions sur ce point , est nulle ; il n'y a donc rien ajouter /^,pour avoir l'effet total de l'attraction du sphrode sur la molculeattire.

Pour dterminer l'effet de la force centrifuge ; nous supposerons

la position de la molcule, dtermine par les trois coordonnesrectangles x',j\ z', dont nous fixerons l'origine, au centi-e de gra-vit du sphrode. Nous supposerons ensuite que l'axe des x' estl'axe de rotation , et que g exprime la force centrifuge due lavitesse de rotation, la distance 1 de l'axe. Cette force sera

nulle dans le sens des x,et gale gy' ei gz' dans le sens desj''

et des z , eu multipliant donc ces deux dernires foixes , respec-tivement par les lmens dj' et dz de leurs directions, on aurag-.0'"+ 2'V, pourla partie de l'intgrale /Ci^.c?/'+/".c//"'+ &c.;,qui est due la force centrifuge du mouvement de rotation.

Si l'on nomme comme ci dessus,r la distance de la molcule

attire,au centre de gravite du sphrode ; 6 l'angle qije le rayon r

forme avec l'axe des x; et w Faugle que forme le plan qui passe par

Mjcan. cl. Tome II, I

66 MCANIQUE CELESTE,l'axe de x' et par cette molcule, avec le plan des x' et des j';enfin, si l'on fait cos. =^/"; on aura

.r'= 7'.,"; y= r,ViiM^.cos. s- ; z'= r.Vi//^.sln.w-;d'o l'on lire

Nous mettrons cette dernire quantit , sous la forme suivante,

pour assimiler ses termes, ceux de l'expression de /^, que nous

avons donne dans le Chapitre II; c'est--dire, pour leur donnerla ju-opri