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Índice General

1 Transformada de Laplace 5

1.1 Funciones continuas a trozos.  Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . ..  5

1.2 Defi nición de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  6

1.2.1 Defi nición y primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  6

1.2.2 Dominio de defi nición de la Transformada de Laplace . . . . . . . .. 

1.! "ropiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . ..  #

1.!.1 Linealidad.......................................................................................................1$

1.!.2  Transformada de la derivada...................................................................11

1.!.!  Transformada de la inte%ral .....................................................................12

1.!.&  Transformada de la convolución.............................................................1!

1.!.5 "rimer Teorema de Traslación..................................................................1&

1.!.6 'e%undo Teorema de Traslación..............................................................151.& "ropiedades de la función Transformada de Laplace...................................16

1.&.1 Deriva(ilidad de la Transformada de Laplace....................................16

1.&.2  Teoremas del  valor inicial ..........................................................................1)

1.&.!  Teorema del  valor fi nal ...............................................................................1

1.5  Transformada de Laplace inversa.......................................................................1#

1.5.1 *nyectividad de la Transformada de Laplace......................................1#

1.5.2  Transformada de Laplace inversa...........................................................2$

1.5.! Fórmula de inversión compleja...............................................................2$

2 Aplicaciones 23

2.1 +na primera apro,imación al  pro(lema...........................................................2!

2.2 +so de la convolución............................................................................................. 2&

2.! 'istemas de ecuaciones........................................................................................2&

2.& "ro(lemas con funciones discontinuas.............................................................26

2.5 Funciones de impulso.............................................................................................2)

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Índice general

2.6 +na aplicación concreta.........................................................................................2#

2.) Funciones de transferencia. -sta(ilidad y control de sistemas elctricos .. . !$

3 Aplicaciones Reales de la transformada de Laplace al estudio de las vibraciones en una viga

3.1 Introduccion al estudio de las ibraciones!!!!!!!!!!!!!!!!!..3"

3.2 An#lisis del problema!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!..3$

3.3 Tensiones % &sfuer'os!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.3(

3.) *esarrollo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)1

3.5 ibraciones longitudinales de una viga!!!!!!!!!!!!!!!!!!...)2

3." ibraciones Transversales de una viga!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)3

3.$ +onclusi,n!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!...)5