This article was downloaded by: [ical ical]On: 06 January 2015, At: 18:56Publisher: RoutledgeInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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La recherche en didactique mise profitdans la formation lenseignementdes mathmatiques: le cas du cours Raisonnement proportionnel et conceptsassocis lUniversit du Qubec MontralCaroline Lajoie a & Mireille Saboya aa Universit du Qubec Montral , Montral , Qubec , CanadaPublished online: 28 Feb 2013.

To cite this article: Caroline Lajoie & Mireille Saboya (2013) La recherche en didactique mise profitdans la formation lenseignement des mathmatiques: le cas du cours Raisonnement proportionnelet concepts associs lUniversit du Qubec Montral, Canadian Journal of Science, Mathematicsand Technology Education, 13:1, 49-69, DOI: 10.1080/14926156.2013.758327

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CANADIAN JOURNAL OF SCIENCE, MATHEMATICSAND TECHNOLOGY EDUCATION, 13(1), 4969, 2013Copyright C OISEISSN: 1492-6156 print / 1942-4051 onlineDOI: 10.1080/14926156.2013.758327

La recherche en didactique mise a` profit dans la formationa` lenseignement des mathematiques: le cas du cours Raisonnement proportionnel et concepts associes

a` lUniversite du Quebec a` MontrealCaroline Lajoie et Mireille Saboya

Universite du Quebec a` Montreal, Montreal, Quebec, Canada

Resume: La recherche en education devrait avoir davantage decho dans la formation initiale desenseignants (voir par exemple Debien, 2010). La question se pose toutefois a` savoir comment cetteformation peut concre`tement prendre appui sur les avancees de la recherche dans ce domaine. Dans cetarticle, nous analysons notre pratique de formatrices dans le cadre dun cours intitule Raisonnementproportionnel et concepts associes en vue de degager a` la fois les diverses manie`res dont noustirons profit de la recherche en didactique des mathematiques et les intentions de formation qui nousame`nent a` proceder ainsi.

Abstract: Educational research should have greater resonance in early teacher training (see Debien,2010, for example). The question remains as to how such training can, in concrete ways, benefit fromthe advances made in educational research. In this article, we analyse our framework for trainingeducators in the course Proportional reasoning and related concepts in order to discern the variousways we take advantage of didactical research in mathematics and the training objectives which leadus to do so.

INTRODUCTION

En 2001, le Ministe`re de l Education du Quebec invoque le fait quil est desormais possible, graceaux avancees de la recherche en education, de mieux comprendre la nature et la pertinence decertaines pratiques enseignantes pour recommander que la professionnalisation de lenseignementprenne appui sur les donnees de la recherche en education (MEQ, 2001, p. 217). Ainsi, toujourssuivant le meme document, la recherche en education devrait occuper une place importantedans la formation des enseignants et ses resultats devraient y etre reinvestis (p. 28). Se pose alorsla question de savoir comment la professionnalisation de lenseignement, a` laquelle contribue laformation initiale, peut concre`tement prendre appui sur la recherche en education. Cette questionnous interpelle doublement, a` la fois comme formatrices soucieuses dameliorer la formationinitiale a` lenseignement des mathematiques, mais aussi comme chercheures en didactique des

Address correspondence to Caroline Lajoie, departement de mathematiques, Universite du Quebec a` Montreal, CP8888, succursale Centre-Ville, Montreal, QC H3C 3P8, Canada. E-mail: lajoie.caroline@uqam.ca

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mathematiques interessees a` mieux comprendre comment la formation initiale peut sarticuler a`la recherche.

Nous presenterons, dans cet article, une analyse de notre propre pratique de formatricessous langle de linfluence de la recherche sur cette pratique. En utilisant lexemple du coursRaisonnement proportionnel et concepts associes, un des cours obligatoires du Baccalaureaten enseignement secondaire, concentration mathematiques de lUniversite du Quebec a` Montreal(UQAM), nous degagerons differentes manie`res dont nous tirons profit de la recherche en didac-tique des mathematiques, de meme que les motivations qui les sous-tendent1. Cette reflexiondans laquelle nous nous engageons peut etre vue comme une source dapprentissage pournous mais aussi pour tout formateur-chercheur preoccupe par la formation a` lenseignementdes mathematiques. Elle sinscrit dans une demarche de developpement professionnel (le notre)mais aussi dans une volonte, en tant que chercheures, de mieux comprendre comment la recherchedans notre domaine peut contribuer a` la formation initiale.

Au depart de cette reflexion, nous choisissons deliberement de ne recourir a` aucun cadredanalyse de notre pratique defini a priori. Nous preferons degager, petit a` petit, au fil de notreecriture, nos differentes manie`res de recourir a` la recherche, ces manie`res etant demeurees,jusqua` ce jour, implicites. Dans la conclusion, nous verrons quel eclairage supplementairecertaines recherches actuelles en education peuvent apporter a` notre analyse.

Plusieurs travaux de recherche a` travers le monde, en particulier en France et au Quebec,ont contribue au cours des 40 dernie`res annees a` de considerables avancees sur lapprentissageet lenseignement du raisonnement proportionnel. Les travaux dont il sera question ici portentprincipalement sur lanalyse (sous differents angles) de proble`mes sollicitant le raisonnementproportionnel, sur les procedures personnelles mises en uvre par les ele`ves dans le traitementdes proble`mes proportionnels avant tout enseignement de la proportionnalite, sur les difficultesqui caracterisent lapprentissage de la proportionnalite ou encore sur les pratiques denseignementde la proportionnalite. Toutefois, nous ne nous limiterons pas a` ces travaux puisque lapport de larecherche dans notre cours ne sarrete pas la`. Nous pourrions par exemple faire ressortir plusieurscadres, concepts et outils theoriques developpes par la recherche en didactique des mathematiques(non specifiquement rattachee a` lapprentissage et lenseignement du raisonnement proportionnel)qui trouvent echo dans notre cours. Nous nous limiterons plutot a` lessentiel. Ainsi, nous verronscomment les notions de registre de representations et de variable didactique, issues toutesdeux de la recherche en didactique des mathematiques sont mises a` profit. Enfin, nous nousrefererons au courant constructiviste en education, qui influence sans contredit notre pratique deformation, en particulier en ce qui a trait au statut que nous attribuons a` lerreur.

LA PERSPECTIVE CONSTRUCTIVISTE DE LAPPRENTISSAGE:UNE POSITION EPIST EMOLOGIQUE QUI SEXPRIME DE DIFF ERENTES

MANI `ERES DANS NOTRE PROPRE PRATIQUE DE FORMATION

Il nous apparat important de glisser de`s maintenant quelques mots sur la pratique educative miseen avant par les formateurs intervenant dans la formation didactique des futurs enseignants demathematiques du secondaire a` lUQAM. Au sein de lequipe, nous nous appuyons en general, demanie`re plus ou moins implicite, sur un cadre de reference qui guide notre pratique, tant au niveaudes taches que nous proposons a` nos futurs enseignants quau niveau de lapproche generale que

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nous privilegions dans notre enseignement. Ce cadre de reference, qui peut etre resume commesuit, puise ses fondements dans la perspective constructiviste de lapprentissage2:

Dans cette formation, les grandes theories de la didactique des mathematiques ne sont pas exposees,il ne sagit pas denseigner la didactique, mais de former le futur enseignant a` lintervention enmathematiques par la didactique, celle-ci sert en quelque sorte de cadre de reference a` nos interventionscomme formateurs. Nous ne tenons pas un discours sur laction a` faire en classe, mais nous faisonsen sorte que letudiant se construise les connaissances qui lui permettent daborder cette intervention.(Bednarz, Gattuso et Mary, 1995, p. 20)

Ainsi, le cours de didactique dont il sera question ne vise pas a` former les etudiants a` la didactique(a` ses objets, ses concepts, ses manie`res de concevoir et de parler de lapprentissage et delenseignement) mais plutot par la didactique. Dans ce cours, en coherence avec notre postureepistemologique, les connaissances issues des theories de la didactique des mathematiques nesont pas exposees (formation a` la didactique) mais plutot mises en pratique (formation par ladidactique) a` travers les situations proposees aux futurs enseignants. Cette nuance nous apparatimportante en ce sens que ce choix a des repercussions sur notre pratique, en particulier sur lesmanie`res dont nous pouvons tirer profit de la recherche.

CONSTRUCTION DE CERTAINES CONNAISSANCES PAR LESETUDIANTS EUX-M EMES: UNE PR ESENCE CONTINUE MAIS

G EN ERALEMENT IMPLICITE DE LA RECHERCHE SURLAPPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT PROPORTIONNEL

Au debut de notre cours (de 45 heures au total), nous demandons a` nos etudiants de composerdes proble`mes dits proportionnels, et de les resoudre par ecrit de deux manie`res differentespour examiner, dune part, ce qui constitue pour eux un bon proble`me proportionnel, et pouridentifier, dautre part, les moyens quils mettent en uvre pour les resoudre. Ce travail prealablenous permet par la suite de susciter une reflexion sur le choix de proble`mes et contextes pertinentspour introduire ou donner du sens a` la proportionnalite, en amenant les etudiants, entre autreschoses, a` mesurer la difficulte a` composer de bons proble`mes et a` identifier les facteurs quicreent cette difficulte.

La classification des differents types de proble`mes sollicitantle raisonnement proportionnel

En general, a` cette etape, les principaux types de proble`mes qui ressortent sont des proble`mes deproportionnalite simple (un des quatre termes de la proportion est le nombre 1) et de recherchedune quatrie`me proportionnelle (trois termes dune proportion sont connus et le quatrie`meest recherche), aussi appeles proble`mes de re`gle de trois. Les proble`mes de proportionnaliteinverse ou de re`gle de trois inverse, les proble`mes de comparaison, de double proportionnalite,a` plusieurs couples, etc. sortent rarement a` cette etape. Une premie`re analyse collective desproble`mes composes par les etudiants permet de faire ressortir differents types de proble`mes,permettant par le fait meme de rejeter certains des proble`mes proposes (comme les proble`mes deproportionnalite simple) parce que le raisonnement proportionnel ny est pas reellement sollicite.

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Au moment de nommer ces differents types de proble`mes, nous nous appuyons sur la classificationque lon retrouve dans les ecrits en didactique des mathematiques, en particulier chez Vergnaud(1991).

`A propos des strategies de resolution de proble`mes dits proportionnels

En ce qui concerne les procedures utilisees par nos etudiants pour resoudre leurs propresproble`mes, elles correspondent generalement a` des techniques ou methodes apprises a` lecole,que les etudiants nomment eux-memes, parfois indistinctement ou avec beaucoup de confusion,proportion, produit croise, produit en croix, re`gle de trois ou encore methode du pois-son! Souvent, en fait, ils prefe`rent ne pas les nommer puisquils ne se souviennent pas du nomexact. Les etudiants sont dailleurs toujours surpris que, pour une procedure donnee, il ny ait pasdans la classe de consensus sur le nom devant lui etre attribue3. Les productions suivantes illus-trent differentes manie`res de nommer une meme methode visant a` trouver la valeur manquantedans une proportion etablie a` partir dun proble`me de recherche dune quatrie`me proportionnelle.

FIGURE 1 Differentes productions dele`ves presentant la nomenclature de la methode utilisee.4 (color figure availableonline)

Les futurs enseignants reconnaissent rapidement ne pas etre en mesure de donner du sens a`ces techniques, quils conside`rent eux-memes comme des recettes a` suivre mais qui save`rentefficaces dans la plupart des cas5. `A ce stade, nous voulons convaincre les etudiants quil y adautres moyens de resoudre des proble`mes de proportionnalite qui save`rent plus porteurs desens.

Les procedures personnelles mobilisees avant lenseignement duraisonnement proportionnel

Un des resultats de recherche qui alimente une partie du cours Raisonnement proportionnelet concepts associes et qui a un impact majeur sur celui-ci est le fait quavant tout enseignementformel, les ele`ves ont recours a` une panoplie de strategies quils mobilisent dans la resolution deproble`mes proportionnels. Plusieurs chercheurs a` travers le monde font ce constat, et ce depuis

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plus de 35 ans (par exemple Charnay, 19971998; Cote et Noelting, 1971; Julo, 1982; Karplus,Karplus et Wollmann, 1974; Levain, 1992; Oliveira, 2000, 20086; Pfaff, 2003; Tournaire, 1986).Puisque de nombreux travaux de recherche realises dans des contextes varies montrent que lesele`ves mobilisent des procedures personnelles de resolution de proble`mes de proportionnaliteavant tout enseignement formel de la proportionnalite, il nous apparat important que, dune part,les futurs enseignants soient conscients que les ele`ves ne partent pas de zero lorsquils abordenten classe letude du raisonnement proportionnel et que, dautre part, ils connaissent ces diversesprocedures. Ainsi, ils seront mieux prepares a` prendre ces procedures en consideration dans leurenseignement, voire meme a` en tirer profit. Nous y reviendrons plus loin.

Etant donne que la panoplie des procedures personnelles mises en uvre par les ele`ves pourresoudre des proble`mes de proportionnalite est bien documentee par la recherche en didactique desmathematiques, nous aurions pu choisir de presenter ces procedures aux etudiants, les illustrera` laide dexemples bien choisis, les analyser, etc. Nous avons plutot choisi7 damener nosetudiants, dans un premier temps, a` identifier eux-memes ces procedures a` travers une premie`reexperimentation (realisee par eux) aupre`s de personnes de leur entourage. De`s lors, et pendantune partie importante du cours, nous les placons eux-memes en quelque sorte en pleine demarchede recherche.

Nous proposons dans un premier temps une serie de trois proble`mes proportionnels aux futursenseignants, soit deux proble`mes de recherche dune quatrie`me proportionnelle et un proble`mede comparaison. Chaque etudiant a comme mandat de demander a` au moins trois personnesde son entourage de les resoudre par ecrit en laissant toutes les traces de leur demarche. Lespersonnes choisies pour resoudre doivent etre des ele`ves a` qui le raisonnement proportionnel napas encore ete enseigne de manie`re formelle8 ou des adultes nayant pas etudie les mathematiquesau cours des dernie`res annees. Les proble`mes proposes aux etudiants a` cette etape proviennentdune banque elaboree au fil des ans a` partir de divers travaux portant sur la proportionnalite(dont en particulier Boisnard, Houdebine, Julo, Kerboeuf et Merri, 1994). `A titre dexemple, lestrois proble`mes pourraient etre ceux que lon retrouve a` la figure 2.

Le lecteur averti aura devine que le choix des proble`mes nest pas anodin et que certainesvariables didactiques ont fait lobjet dun choix judicieux, lidee derrie`re ce choix etant deprovoquer chez les volontaires le plus de procedures personnelles possibles, dont des procedureserronees, et deviter le plus possible le recours a` des methodes enseignees. Le jeu sur ces variablesdidactiques fera lobjet dune discussion approfondie avec les etudiants a` une etape subsequente(voir section 4.1). `A cette etape-ci, rien nest mentionne aux etudiants relativement au choix desproble`mes.

Les productions des participants a` cette premie`re experimentation nous sont par la suiteremises. Nous compilons toutes les solutions, incluant celles qui sont incomple`tes ou erronees,et les remettons aux etudiants. Des solutions variees, parfois surprenantes pour les etudiants,apparaissent, et ceux-ci doivent les decortiquer, les analyser, et se prononcer sur leur validite.La methode suivante (utilisee pour resoudre le proble`me 3 de la Figure 2), par exemple, suscitegeneralement une vive discussion lorsquelle apparat dans les copies, les etudiants netant plusfamiliers avec lexpression a est a` b ce que c est a` d.

Rapidement, les etudiants repe`rent des ressemblances et des differences entre les solutions,puis les classent selon la procedure mise en uvre. Une discussion a lieu par la suite pourcomparer les differentes procedures reperees, et pour confronter les differentes interpretationslorsque ces dernie`res ne concordent pas. Par la suite, une video (Henry, Bednarz, Morand et

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Problme 1(Mazout):

En 7 heures, une installation de chauffage consomme 35 litres de mazout. Combien consomme-t-

elle en 21 heures ?

Problme 2(Orangeade):

Nadine et Simon sont invits une fte. Ils ont dcid de prparer de lorangeade. Nadine a

utilis 20 verres deau ptillante et 16 verres de jus dorange. Simon a utilis 16 verres deau

ptillante et 12 verres de jus dorange. Quel mlange gotera le plus le jus dorange ? Celui de

Nadine ou celui de Simon ?

Problme 3(Distance parcourue):

Catherine et Martin quittent la maison la mme heure tous les matins pour se rendre lcole.

Catherine a remarqu quelle parcourt 3,5 mtres alors que Martin en parcourt 5. Si, aprs un

certain temps, Martin a parcouru 6 mtres, quelle distance Catherine a-t-elle parcourue ?

FIGURE 2 Un exemple de trois proble`mes utilises dans la premie`re experimentation.

Rene de Cotret, 1988)9 dans laquelle on peut voir une classe dele`ves quebecois avoir recours a`des procedures personnelles pour resoudre des proble`mes proportionnels avant enseignementformel est presentee. Des noms sont alors proposes pour les diverses procedures. Les etudiantsdoivent donc tenter de nommer les procedures reperees dans les productions des participants a` la

FIGURE 3 Une solution au proble`me 3 (distances parcourues par Catherine et Martin).

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premie`re experimentation a` partir de la terminologie presentee dans la video. Puis, un paralle`leest fait avec la terminologie utilisee par le Ministe`re de leducation, des loisirs et des sports dansle Programme de formation de lecole quebecoise (MELS, 2003). `A partir de ce moment, lesetudiants sont encourages a` utiliser cette dernie`re puisquelle a cours dans la majorite des manuelsscolaires quebecois actuels.

Les differentes procedures que nos etudiants sont ainsi invites a` etudier sont essentiellementcelles que lon retrouve dans les differents travaux de recherche setant attardes a` la resolutionde proble`mes proportionnels (mentionnes precedemment). Dans un souci de coherence avec leprogramme de formation de lecole quebecoise (MELS, 2003), nous les nommons comme suit10:

Recherche du rapport ou du coefficient de proportionnalite[procedure fonctionnelle]; Recherche dun facteur de changement[procedure scalaire]; Retour a` lunite; Recherche dune valeur [grandeur] intermediaire; Procede additif [addition iteree, procedure additive] ou procede mixte [procedure lineaire].

`A partir de ce moment, il est a` noter que nous encourageons nos etudiants a` utiliser un tableaude proportionnalite, qui nest pas une procedure de resolution mais simplement un supportpermettant danalyser les differentes procedures. Nous utiliserons dailleurs ce support dans lasuite du present article. Par exemple, la production precedente sera representee par le tableausuivant.

Distance parcourue par Catherine (m) Distance parcourue par Martin (m)

0,7

3,5

? (= 3,5 + 0,7)

1

5

6 (= 5 + 1)

5 5

FIGURE 4 Un exemple de tableau de proportionnalite.

`A linstar dHersant (2005), nous considerons ce tableau de proportionnalite comme un registrede representation au meme titre que le registre verbal, symbolique, visuel, schematique, etc.Suivant Duval (1988, 1993), Janvier (1993) et Hitt (2003), la comprehension dun conceptmathematique emerge de la coordination entre differents registres de representation. Dans lecours, laccent est mis sur le discours (soit le registre verbal), sur le registre tableau, et sur lacoordination entre ces deux registres. Nous insistons en particulier sur le fait que la verbalisationpermet un jeu dexplicitation des relations entre les nombres. Dans le cas du proble`me dela distance parcourue, par exemple, nous encouragerons une verbalisation telle que: QuandMartin parcourt 5 me`tres, Catherine en parcourt 3,5. Quand Martin parcourt un me`tre de plus,soit une distance 5 fois plus petite que precedemment, Catherine parcourt elle aussi une distance5 fois plus petite que precedemment, soit 0,7 me`tre. Quand Martin parcourt 6 me`tre, Catherineen parcourt donc 3,5 plus 0,7, soit 4,2 me`tres.

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Ce nest qua` la suite de la classification des diverses procedures reperees dans les productionsecrites des participants que nous faisons explicitement reference a` la recherche. Nous visonsalors a` informer les etudiants que lobservation quils font (a` leffet que les ele`ves disposent deprocedures personnelles de resolution de proble`mes proportionnels avant enseignement) nest pasexceptionnelle, en ce sens quelle a ete faite dans differents contextes, et a` valider leur classifica-tion des procedures puisque celle-ci correspond grosso modo a` celle que permettrait de faire unesynthe`se des recherches effectuees dans le domaine. Advenant le cas ou` certains elements que nousjugeons importants (comme par exemple certains types de proble`mes, certaines procedures. . .)ne ressortent pas naturellement, nous introduisons ces elements en precisant quils sont ressor-tis dans certains contextes documentes par la recherche en didactique des mathematiques. Larecherche vient alors completer, enrichir les conclusions tirees par les etudiants.

EVALUATION DIAGNOSTIQUE: PR EPARATION, PASSATION, ANALYSEET PLANIFICATION DE LENSEIGNEMENT

Une question se pose generalement assez rapidement au sein des groupes: Pourquoi nous interesserautant aux procedures personnelles des ele`ves puisque de toutes facons, au bout du compte, nousleur enseignerons une technique plus efficace? Nous en profitons alors pour prendre clairementposition: sachant que les ele`ves peuvent mobiliser avec succe`s des procedures personnelles dansla resolution de proble`mes de proportionnalite, lenseignement doit tabler sur ces proceduresplutot que de les ignorer. La recherche en didactique des mathematiques peut alors venir nouspreter main-forte puisquelle permet de semer le doute chez les etudiants. En effet, des travauxayant porte sur lanalyse des strategies mobilisees par les ele`ves avant et apre`s enseignement dela proportionnalite a` lecole via les algorithmes usuels sugge`rent que les ele`ves, apre`s enseigne-ment, sont centres sur les donnees numeriques et commettent des erreurs liees a` une utilisationnon controlee des algorithmes enseignes (Dupuis, 1981; Oliveira, 2000, 2008; Sokona, 1989).En particulier, le recours systematique a` lalgorithme du produit croise save`re peu propiceau developpement par les ele`ves du controle sur les situations non proportionnelles (Oliveira,2008).

En vue de preparer nos etudiants a` enseigner eventuellement le raisonnement proportionnelen prenant appui sur les procedures naturelles utilisees par les ele`ves, nous les invitons a`elaborer une evaluation diagnostique sur le raisonnement proportionnel. Le travail mene lorsde la premie`re experimentation prepare le terrain pour levaluation diagnostique. Les etudiantsdoivent a` ce stade transformer les trois proble`mes de la premie`re experimentation, ou en composerde nouveaux, quils soumettront a` des ele`ves dune classe de debut secondaire. Ils analyseront parla suite les resultats ainsi recueillis et proposeront des pistes pour lenseignement du raisonnementproportionnel dans cette classe. Cette evaluation diagnostique, qui consiste elle aussi en troisproble`mes proportionnels, vise essentiellement a` determiner les procedures de resolution deproble`mes proportionnels deja` en place chez les ele`ves avant toute forme denseignement, et a`voir comment un enseignant pourrait se preparer a` enseigner le raisonnement proportionnel dansun tel contexte (voir Saboya [2010] pour plus de details). Ce faisant, pour employer les mots deScallon (1988), levaluation diagnostique place lenseignant dans un etat dalerte au momentdentreprendre lenseignement du raisonnement proportionnel dans sa classe.

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Le jeu sur les variables didactiques

Les etudiants remarquent rapidement a` travers lanalyse des productions ecrites des participants a`la premie`re experimentation quune meme personne peut avoir recours a` une certaine procedurepersonnelle pour resoudre un proble`me donne, alors quelle peut avoir recours a` une autreprocedure pour resoudre un autre proble`me. Ce constat que font nos etudiants va dans le memesens que celui fait par divers chercheurs (dont Julo, 1982 et Oliveira, 2008), a` leffet que les ele`vessont capables de passer dune procedure a` lautre dependamment des situations, faisant preuvedune grande flexibilite dans la resolution de proble`mes proportionnels. Les etudiants emettentrapidement une hypothe`se qui concorde, sans quils en soient conscients, avec une conclusiondes chercheurs evoques precedemment, a` leffet que ce va-et-vient dune procedure a` lautre estattribuable en grande partie au choix des nombres dans le proble`me propose, plus particulie`rementaux relations numeriques en jeu. Cest a` ce moment que le concept de variable didactique estpropose de manie`re explicite aux futurs enseignants.

Dans la recherche en didactique des mathematiques, la notion de variable didactique estgeneralement definie comme suit:

Un champ de proble`mes peut etre engendre a` partir dune situation par la modification des valeurs decertaines variables qui, a` leur tour, font changer les caracteristiques des strategies de solution (cout,validite, complexite. . . etc.) [. . .] Seules les modifications qui affectent la hierarchie des strategies sonta` considerer (variables pertinentes) et parmi les variables pertinentes, celles que peut manipuler unprofesseur sont particulie`rement interessantes: ce sont les variables didactiques. (Brousseau, 1982a)Ces variables sont pertinentes [. . .] dans la mesure ou` elles commandent des comportements differents.Ce seront des variables didactiques dans la mesure ou` en agissant sur elles, on pourra provoquer desadaptations et des regulations: des apprentissages. (Brousseau, 1982b)

Nos etudiants sont familiers avec cette notion de variable didactique, un outil issu de la rechercheen didactique des mathematiques en France. En effet, de`s leur premier cours de didactiquedes mathematiques, les variables didactiques leur sont presentees comme etant les elementsdune situation que lenseignant change consciemment et judicieusement de facon a` provoquerdifferents comportements (par exemple lapparition de diverses procedures de resolution) chezlele`ve. Dans le cours Raisonnement proportionnel et concepts associes, la notion de variabledidactique save`re utile. Les etudiants doivent eux-memes jouer sur certaines variables didactiquesen anticipant leffet de ce jeu sur les procedures des ele`ves et ce, principalement a` deux reprisespendant la session: au moment de preparer levaluation diagnostique et au moment de planifierlenseignement.

Quelles variables didactiques pour les proble`mes proportionnels?Une question ayant fait lobjet de plusieurs recherches

De manie`re generale, dans le cours Raisonnement proportionnel et concepts associes, lesvariables didactiques que repe`rent les etudiants en analysant les proble`mes quils construisent etceux que nous leur proposons, paralle`lement aux procedures personnelles quils mobilisent et a`celles mobilisees par les participants, sont:

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Familiarite du domaine de reference de lenonce11; Nature des grandeurs (grandeurs homoge`nes si de meme nature, heteroge`nes

autrement); Permanence du lien multiplicatif entre les deux grandeurs en presence, qui peut etre plus

ou moins explicite (pour les proble`mes de recherche dune quatrie`me proportionnelle); Presentation du proble`me (texte, tableau, dessin), manie`re de communiquer le taux ou le

rapport; Nature des nombres impliques (nombres petits ou grands, entiers ou non); Nature des rapports et/ou taux entre les donnees (nombres entiers ou non); Nature du nombre recherche (pour les proble`mes de recherche dune quatrie`me proportion-

nelle).

Si cette liste non-exhaustive de variables didactiques provient des etudiants, elle correspondgrosso modo a` celle que lon pourrait construire a` partir des variables identifiees ou prises encompte par la recherche en didactique des mathematiques (par exemple El-Assadi, 2008; Fenichelet Pfaff, 2005; Julo, 1982; Oliveira, 2008; Rene de Cotret, 1991; Sokona, 1989). Les etudiantsfont ressortir deux-memes (a` travers une analyse des proble`mes realisee en paralle`le avec celledes procedures sollicitees), plusieurs variables didactiques prises en compte dans le choix destrois proble`mes. Pour le proble`me de la distance parcourue, par exemple, ils remarquent que lesgrandeurs sont homoge`nes (dans les deux cas, il sagit dune distance parcourue); que lecart entre3,5 et 5, comme celui entre 5 et 6, est petit; que le lien multiplicatif entre 3,5 et 5, tout comme celuientre 5 et 6, nest pas immediat, dautant plus quune des donnees est un nombre decimal. Lesetudiants emettent alors lhypothe`se que ce choix de variables didactiques a pousse une grandepartie des participants a` percevoir une structure additive, ce qui les a amenes a` commettre uneerreur (du type de celles qui seront presentees a` la Figure 5).

Apre`s avoir repere les differentes variables didactiques avec les futurs enseignants, nous leurdemandons de modifier les valeurs des variables et danticiper les effets que ces modificationspourraient avoir sur les procedures des ele`ves, sur les erreurs provoquees ainsi que sur le degrede difficulte des proble`mes proposes. Le but est doutiller les etudiants pour le choix ou laconstruction de trois bons proble`mes (meilleurs12 que ceux de la premie`re experimentationsi possible) pour levaluation diagnostique, qui permettra detablir les differentes procedurespouvant etre mobilisees par les ele`ves avant que le raisonnement proportionnel nait fait lobjetdun enseignement formel.

Une prise de position necessaire sur le statut de lerreur dans la construction desconnaissances

Comme nous lavons precise precedemment, les futurs enseignants sont confrontes de`s la premie`reexperimentation a` des procedures erronees. Nous sentons donc le besoin, assez rapidement,de porter une attention particulie`re a` lerreur, plus precisement au statut de lerreur dans laconstruction des connaissances.

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Les erreurs les plus courantes dans la resolution de proble`mesproportionnels Resultats de recherche en didactique des mathematiquesportant sur lanalyse des erreurs frequentes

Les erreurs courantes commises par les ele`ves en contexte de resolution de proble`mes pro-portionnels sont largement documentees par la recherche en didactique des mathematiques(Brousseau, 1981; Cote et Noelting, 1971; Noelting, 1978; Vergnaud, 1983; Karplus, Puloset Stage, 1983; Oliveira, 2008; Rene de Cotret, 1991). Les chercheurs les attribuent en general a`des difficultes de passage des structures additives aux structures multiplicatives. Dans les produc-tions ecrites des participants a` lexperimentation decrite precedemment (au point 3), les etudiantssont confrontes essentiellement a` deux types derreurs provoquees par le jeu sur les variablesdidactiques, en particulier par le choix des proble`mes proposes. Comme pour les strategies nonerronees, differentes terminologies sont utilisees dans les recherches:

lerreur additive ou le procede additif errone la procedure lineaire erronee ou le procede mixte errone

`A titre dexemple, le proble`me Pas a` pas (ci-dessous), lorsquil est propose, provoquegeneralement les erreurs suivantes.

Problme Pas pas: Quand mon pre avance de 3 pas, jen avance de 5. Si javance de 11 pas,

combien de pas mon pre fait-il ?

Exemple d'erreur additive Exemple de procd mixte erron

Pre avance de 3 pas, javance de 5 pas, je fais

donc 2 pas de plus.

Si je fais 11 pas alors mon pre fait 2 pas de

moins que moi donc 9 pas.

Papa Moi

3 5

? (= 7) 11

x2 +1 x2 +1

FIGURE 5 Le proble`me Pas a` pas et les deux erreurs les plus frequentes quil provoque.

Dans le cas de lerreur additive, lele`ve applique une structure strictement additive entre lesdeux grandeurs en presence, en se concentrant sur la difference entre le nombre de pas du fils etcelui du pe`re (comme cest le cas dans la partie gauche de la Figure 5), ou entre deux valeursdune meme grandeur, en procedant comme si une difference de 6 pas chez lenfant se traduisaitnecessairement par une difference de 6 pas chez le pe`re. Lerreur additive derive du choix desvariables didactiques. Par exemple, dans le cas de lerreur additive presentee a` la Figure 5, ladifference de 2 entre les nombres 3 et 5, labsence de lien multiplicatif facilement perceptible

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entre 3 et 5, de meme quentre 5 et 11, et le fait quil sagisse dans les deux cas dun nombre depas, pousse lele`ve a` voir un lien additif entre ces nombres. Dans le cas du procede mixte errone,lele`ve napplique pas quune structure strictement additive entre les deux grandeurs en presence.La procedure presentee a` la Figure 5, par exemple, consiste a` considerer que si lenfant fait ledouble de pas (que le nombre de ses pas a` un instant donne) plus 1, alors le pe`re fera lui aussile double de pas (que le nombre de ses pas au meme instant) plus 1. Cest au moment de fairecorrespondre un pas de plus chez lenfant a` un pas de plus chez le pe`re que lele`ve commetune erreur. Encore une fois, cette erreur derive du choix des variables didactiques. Labsence dunlien multiplicatif facilement perceptible entre 3 et 5, et entre 5 et 11, de meme que le fait quele nombre 11 soit pre`s dun multiple de 5, guident lele`ve a` appliquer directement le lien quilpercoit entre les deux distances parcourues par le fils (le double de pas plus 1 pas) aux nombresde pas du pe`re (le double de pas plus 1 pas, soit 11 pas).

`A partir du moment ou` ils se rendent compte que le choix des proble`mes et le jeu surles variables didactiques sont susceptibles de provoquer de telles erreurs, les etudiants posentgeneralement une question qui suscite a` chaque fois un debat anime dans la classe: Est-ilsouhaitable de provoquer lerreur dans une evaluation diagnostique ou ne devrait-on pas plutotchercher a` eviter le plus possible que cette erreur ne se produise? Par ailleurs, il est a` noter quecette question save`re tre`s importante pour la suite du cours puisquelle ne tarde jamais a` depasserle cadre de levaluation diagnostique. En effet, la question que se posent rapidement nos etudiantsest: Doit-on, dans notre enseignement, provoquer lerreur ou eviter le plus possible quelle ne seproduise?

Les futurs enseignants ont souvent comme idee quapprendre consiste a` combler un videde connaissance ou a` remplacer une connaissance erronee par une connaissance correcte(Lajoie, 2010). Ne reconnaissant pas la fecondite de certaines erreurs, ils ont plutot tendancea` vouloir eviter lerreur, tant dans le contexte dune evaluation diagnostique que dans celuide lenseignement en general, plutot que de la provoquer. Ainsi, plusieurs de nos etudiants, aumoment de preparer levaluation diagnostique, proposeront de jouer sur les variables didactiquesde manie`re a` eviter les erreurs de type additif au lieu de les faire ressortir. En ce qui nous con-cerne, a` linstar de plusieurs didacticiens des mathematiques, nous percevons lerreur comme unesource de connaissance (Charnay, 2002), tant pour les ele`ves que pour les enseignants. Nousla considerons comme une etape normale de lapprentissage, comme un element revelateur duparcours privilegie par lele`ve dans la resolution dun proble`me donne. Ainsi, pour nous, lerreurne doit pas etre evitee. Elle doit plutot etre provoquee, pour ensuite etre exploitee pour aiderlele`ve a` progresser dans ses apprentissages. Lerreur doit donc etre prise comme point dappuipour lenseignement13.

Analyse des resultats de levaluation diagnostique (deuxie`me experimentation)et retour sur les proble`mes proposes: reinvestissement de tout ce qui prece`de

Les concepts didactiques construits en classe et confirmes en quelque sorte par la recherchefournissent a` cette etape un cadre danalyse pour le futur enseignant. `A ce stade, les etudiantssont amenes a` faire une analyse comparative entre les procedures qui etaient attendues lors delevaluation diagnostique et celles effectivement mises en uvre par les ele`ves participant a`cette evaluation. Les etudiants sont ainsi amenes a` sexprimer autour des proble`mes quils ontretenus ou construits pour lexperimentation: Quel diagnostic de la classe permettent-ils detablir?

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Etaient-ils adequats? Etaient-ils susceptibles de faire ressortir toutes les procedures en place chezles ele`ves? Devraient-ils etre modifies sils devaient etre utilises dans une autre classe?

Un questionnement sur les pratiques denseignement favorisant le developpement du raison-nement proportionnel est necessaire a` ce stade. Ce questionnement vise a` preparer les futursenseignants a` lenseignement du raisonnement proportionnel de manie`re generale. Au regard deleur travail comportant une evaluation diagnostique, il vise aussi a` les aider a` proposer des pistesdintervention en fonction des resultats obtenus.

LENSEIGNEMENT DE LA PROPORTIONNALIT E:QUELLES PRATIQUES PRIVIL EGIER?

En ce qui a trait au raisonnement proportionnel, les principales erreurs qui pourront servir depoint dappui pour lenseignement sont les erreurs citees precedemment, soit lerreur additiveet la procedure mixte erronee. Nous examinons ces deux types derreurs avec nos etudiants,en paralle`le avec les proble`mes susceptibles de les provoquer, et nous voyons ensuite commenttirer profit de ces erreurs a` partir de deux situations distinctes, soit Pas a` pas (voir lenonce aupoint 4.2) et Puzzle (Brousseau, 1981).

Interventions sur les principales erreurs: recours a` des situations classiques dela didactique des mathematiques

Dans le cours, nous nous interessons aux interventions que les futurs enseignants pourraientfavoriser aupre`s des ele`ves ayant commis les deux types derreurs mentionnes precedemment.La recherche en didactique des mathematiques, soit en particulier les travaux de Rene de Cotret(1991) et de Brousseau (1981), est de nouveau mise a` profit, mais cette fois de manie`re plusexplicite.

Le proble`me Pas a` pas ou le recours a` un troisie`me couple

Une fois les deux types derreurs mis a` jour, nous demandons aux futurs enseignants quellesinterventions ils privilegieraient pour amener des ele`ves qui auraient commis ces erreurs a` lesdetecter. `A ce stade, plusieurs etudiants sont portes a` enseigner, soit a` dire aux ele`ves quilsont commis des erreurs et a` leur expliquer comment obtenir la solution attendue. Nous insistonsalors sur le fait que nous sommes plutot a` la recherche dinterventions susceptibles damenerles ele`ves a` se questionner sur la validite de leurs strategies, susceptibles aussi de les amener a`reflechir par eux-memes au sens de leurs reponses. Une des interventions generalement proposeesse rapproche de celle presentee par Rene de Cotret (1991). Ainsi, dans le proble`me Pas a` pas,les futurs enseignants proposent generalement de rajouter un troisie`me couple, soit celui dont lenombre de pas effectues par le fils est 10. Le raisonnement elabore est le suivant: comme le pe`refait 3 pas quand le fils en fait 5, si le fils fait deux fois plus de pas (soit 10), le pe`re parcourra luiaussi deux fois plus de pas (soit 6). La question se pose alors de savoir sil est possible que pourun pas de plus de lenfant (soit 11), le pe`re en parcourt quant a` lui 3 de plus (soit 9), amenantainsi lele`ve a` douter de la vraisemblance de sa reponse.

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Nombre de

pas du pre

Nombre de

pas du fils

3

6

9

5

10

11

x2 x2

+1 +3?

FIGURE 6 Une intervention possible face aux erreurs en raisonnement proportionnel.

Comme le precise Rene de Cotret (1991), lajout dun troisie`me couple peut aider les ele`vesa` preciser la proportionnalite des proble`mes et a` les orienter vers des solutions justes. Les ele`vespeuvent ainsi passer des procedures additives aux procedures proportionnelles. Avec des donneessupplementaires, lele`ve est porte a` verifier la pertinence de la procedure quil a utilisee, letroisie`me couple lui permettant ainsi de valider sa procedure.

Ainsi, les procedures additives sont contrariees par ce troisie`me couple de deux facons, soit de facondirecte en revelant les ecarts differents, la difference entre les donnees netant pas constante duncouple a` lautre, la procedure additive devient alors difficile a` utiliser; soit de facon indirecte enrevelant le mode`le proportionnel, les ecarts peuvent amener lele`ve a` reconnatre la proportionnalitequils sous-entendent. Le troisie`me couple peut preciser la proportionnalite du proble`me. De cefait, les procedures additives (et les fausses en general) sont abandonnees en faveur des proceduresproportionnelles, ce qui provoquera par le fait meme une augmentation du taux de reussite. (Rene deCotret, 1991, p. 45)

Le Puzzle: une situation a` retroaction

Une situation bien connue de la recherche en didactique des mathematiques est celle duPuzzle elaboree par Brousseau (1981) et utilisee a` maintes reprises par Brousseau lui-memeainsi que plusieurs autres chercheurs. Notre intention en presentant cette situation dans le cours

Consigne : voici des puzzles, vous allez en fabriquer des semblables, plus grands que les modles, en respectant la rgle suivante : le segment qui mesure quatre centimtres sur le modle devra mesurer sept centimtres sur votre reproduction. Je donne un puzzle par quipe de 5 ou 6, mais chaque lve fait au moins une pice ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mmes figures quavec le modle. (Brousseau, 1981, p.70)

FIGURE 7 Le Puzzle.

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est damener les etudiants a` reconnatre son potentiel, et a` la percevoir comme moyen a` privilegierpour faire ressortir une variete de procedures de resolution de proble`mes proportionnels (erroneesou non) et pour intervenir face aux principales erreurs liees a` la resolution de tels proble`mes.

Dans un premier temps, les etudiants sont places dans le role dele`ves qui ont a` effectuer latache suivante.

Rares sont les etudiants qui appliquent le mode`le additif rapporte par Brousseau (1981).Toutefois, le fait de devoir construire le casse-tete agrandi ame`ne les etudiants a` sinterroger surla portee de cette situation, sur son potentiel, et les place donc face a` leur role de futur enseignant.

Le puzzle est une situation classique et plusieurs chercheurs en didactique des mathematiquesreconnaissent son potentiel puisquelle a ete eprouvee a` plusieurs reprises. Elle est effectivementinteressante, tant pour le chercheur que pour lenseignant, et ce pour plusieurs raisons14. Dabord,elle permet aux ele`ves dy entrer de differentes manie`res, en particulier avec des connaissancesinadequates. Ainsi, differentes procedures personnelles peuvent etre mobilisees, dont la proceduremixte erronee et lerreur additive. Ensuite, et cest la` que la situation devient particulie`rementinteressante, la validation est apportee par la situation elle-meme. En effet, comme les ele`vesdoivent agencer leurs morceaux agrandis pour reconstituer le casse-tete, ils peuvent constatereux-memes la reussite ou lechec de leurs procedures. Ainsi, par exemple, les ele`ves sont amenesa` constater que lerreur additive (qui consiste ici a` ajouter 3 centime`tres a` toutes les dimensions)ou la procedure mixte erronee (qui consiste a` multiplier par 2 chacune les differentes dimensionset a` soustraire 1) me`nent directement a` une erreur, le casse-tete ainsi agrandi etant impossible a`assembler.

`A defaut dapporter des solutions cles en main, ce quapporte la recherche a`lenseignement du raisonnement proportionnel

Dans les travaux de recherche qui ont porte sur lapprentissage ou lenseignement de la proportion-nalite, on qualifie dusuelle une pratique denseignement de la proportionnalite qui se resumeessentiellement a` lenseignement des techniques de la re`gle de trois. Ainsi, lenseignement dela notion de proportionnalite passe souvent par un apprentissage prealable de certains outilsmathematiques comme la multiplication, la division, la re`gle de trois, le produit en croix,etc. (Gros, 2001). On presente en quelque sorte des recettes de cuisine mathematique enesperant que la comprehension suivra. Les chercheurs qui se sont interesses a` lapprentissage oua` lenseignement de la proportionnalite remettent generalement en question ces pratiques usuellesdenseignement. Brousseau (2009), par exemple, les qualifie de pataudes (p. 4), affirmant deplus que les produits en croix ne peuvent avoir aucun sens pour les ele`ves qui ne connaissentpas lalge`bre (p. 7). Julo (1982), quant a` lui, souligne que linefficacite de lenseignement de laproportionnalite provient du fait que celui-ci ne prend pas en compte la facon dont lele`ve analysela situation qui lui est proposee.

Une fois que les futurs enseignants sont sensibilises aux consequences possibles dun en-seignement usuel de la proportionnalite, que leur propose-t-on? Somme toute, peu de recherchesont porte sur les pratiques usuelles denseignement du raisonnement proportionnel au moment delintroduction de ce concept et sur les effets reels de ces pratiques sur les ele`ves (Oliveira, 2008).Ainsi, a` ce chapitre, on doit sattendre a` ce que la recherche napporte pas autant de reponsesquon pourrait le souhaiter. La recherche sugge`re cependant quelques lignes directrices, de meme

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que quelques conduites a` eviter. En ce sens, elle peut amener les etudiants a` remettre en questiondiverses pratiques qui pourraient leur etre proposees (par exemple dans les manuels).

Cest dans cette optique que nous avons alors recours, explicitement, a` une the`se de doctoratrealisee en contexte quebecois et intitulee Exploration de pratiques denseignement de la pro-portionnalite au secondaire en lien avec lactivite mathematique induite chez les ele`ves dans desproble`mes de proportion (Oliveira, 2008). Nous reprenons en fait les exemples de Maurice etde Jacques, les deux cas analyses par Oliveira, qui save`rent des cas contrastes dont aucun nepourrait etre considere comme un cas exemplaire. En effet, tel quillustre dans les extraits suiv-ants, les pratiques denseignement du raisonnement proportionnel mises en place par Maurice etJacques comportent toutes deux des limites.

Dans le cas de Maurice et dune pratique denseignement tre`s structuree, laissant peu de place a`lele`ve, fortement organisee autour du savoir, les ele`ves sapproprient ce savoir et certaines manie`resde faire des mathematiques a` propos de ce savoir. On retrouve alors dans leurs productions ecritesles traces dune notation et dune procedure qui a ete privilegiee en classe. Lemphase mise sur unecertaine manie`re de faire cause des difficultes chez les ele`ves, ces derniers attribuant peu de sens a`cette demarche lorsquon sort des proble`mes de proportion usuels. On percoit bien dans ce cas leslimites, sur le plan de lactivite mathematique induite chez les ele`ves, dun enseignement qui cherchea` faire en sorte que les ele`ves soient en controle sur un certain savoir par le biais de lintroductionde marches a` suivre et de mises en garde. Les ele`ves ont ici peu de chance de sapproprier le savoiret de comprendre en quoi et pourquoi ce quils font conduit a` une erreur. (Oliveira, 2008, p. 528)Dans le cas de la pratique de Jacques, ce dernier ne sattarde pas a` lutilisation dune procedureprivilegiee en classe, mais ouvre sur differentes procedures de resolution possibles venant des ele`ves.Pourtant, les ele`ves dans ce cas ne presentent pas de traces dun changement/dune evolution quantaux procedures utilisees au test final, cest-a`-dire, quils gardent, de manie`re generale, les memesprocedures que celles utilisees avant enseignement. On trouve aussi la presence des memes difficultes.On percoit bien dans ce cas les limites dun enseignement qui part des procedures des ele`ves sansstatuer sur celles-ci, sans travailler a` la validation de ces dernie`res, aux liens qui permettraient dallerplus loin. (Oliveira, 2008, p. 528529)

Ces resultats tires de la the`se dOliveira montrent bien que lenseignement de la proportionnaliteest complexe. Ils sugge`rent aussi que toute pratique denseignement comporte des limites. Ainsi,plutot que dimposer aux etudiants une pratique particulie`re, nous leur presentons plusieursoptions. Nous les invitons par la suite, toujours dans loptique de leur travail comportant uneevaluation diagnostique, mais aussi dans loptique de leur pratique eventuelle en classe, a` choisirparmi ces options ou encore a` composer a` partir de celles-ci.

Une de ces options est essentiellement celle proposee par Boisnard et al. (1994). Suivantcelle-ci, lenseignant incite ses ele`ves a` resoudre les proble`mes a` leur manie`re, en sassuranttoutefois (contrairement a` ce que fait Jacques) de faire evoluer ces manie`res de proceder et deguider les ele`ves vers la matrise de procedures nouvelles (par exemple celles de leurs pairs)auxquelles ils nauraient pas acce`s sans un apprentissage specifique. Une autre option, assezproche de la premie`re, consiste a` faire evoluer les procedures personnelles des ele`ves vers desmethodes ou techniques institutionnalisees, comme par exemple celles decrites par Hersant (2005)et repertoriees dans des manuels scolaires anciens ou actuels. Dans les deux cas, le defi consiste a`convaincre les futurs enseignants que, si une certaine automatisation des procedures comportedes avantages en terme de temps, cette automatisation doit etre adoptee deliberement par lele`ve

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alors quil se trouve deja` en controle de la proportionnalite, et non imposee de manie`re artificiellepar lenseignant (comme cela semble etre le cas dans ce que fait Maurice).

CONCLUSION

En redigeant le present article, nous nous sommes engagees dans une demarche danalyse denotre propre pratique de formation, sous langle de linfluence de la recherche en didactique desmathematiques sur cette pratique. Cette demarche a permis de rendre explicite ce qui, jusque-la`,etait demeure pour nous de lordre de limplicite. Ainsi, nous avons pu cerner plusieurs desintentions qui nous ame`nent a` recourir a` la recherche dans notre enseignement, et nous avons eteen mesure de faire ressortir differentes manie`res dont nous avons recours a` la recherche, tant a`ses resultats qua` ses concepts, outils, etc.

Notre analyse eclaire lapport de la recherche en didactique des mathematiques a` notre pro-pre pratique de formation, mais aussi de manie`re plus generale son apport a` la formation desfuturs enseignants. Bien entendu, un choix different de travaux de recherche a` la base du coursdans lequel nous intervenons aurait certainement une influence non negligeable sur leclairageapporte.

Tout dabord, la recherche save`re pour nous, en tant que formatrices, une source dinspirationconstante, un support a` la mise en place de bonnes conditions pour la construction de con-naissances par nos etudiants. En particulier, nous avons vu comment le courant constructivisteen education et les travaux sur les registres de representations influencent au jour le jour notrepratique de formation. De plus, du fait que les etudiants du cours Raisonnement proportionnelet concepts associes sont de futurs enseignants de mathematiques, nous cherchons, a` traversles situations proposees dans le cours, a` les sensibiliser a` leur tour aux rudiments dune theoriede lapprentissage inspiree du courant constructiviste (en ce qui a trait plus particulie`rement a`des considerations sur le statut de lerreur dans la construction des connaissances, sur la prise encompte des procedures personnelles des ele`ves, etc.) de meme qua` limportance du discours et dela coordination entre celui-ci et le tableau de proportionnalite (soit dune manie`re plus generaleentre les representations discursives et en tableau).

La recherche est mise a` profit aussi de manie`re plus ponctuelle, et souvent de manie`re plusexplicite, avec comme principale intention de soutenir nos interventions. Ainsi, la recherche estmise a` profit pour:

Renforcer, confirmer des hypothe`ses et des constats formules par les etudiants a` proposdes difficultes que pourraient rencontrer des ele`ves, a` propos de procedures (erronees ounon) que ceux-ci pourraient mettre en uvre, a` propos aussi des variables didactiques a`considerer dans la construction de proble`mes proportionnels, etc.

Confirmer des propositions emanant des futurs enseignants a` propos dinterventions pos-sibles (comme par exemple lapport dun troisie`me couple pour contrer lerreur additivedans un proble`me de recherche dune quatrie`me proportionnelle).

Confronter, infirmer des hypothe`ses, semer le doute, provoquer la reflexion et la discus-sion, en particulier quand les resultats de recherche evoques vont a` lencontre de ce queles etudiants pourraient avoir comme idees sur lenseignement et lapprentissage du raison-nement proportionnel. Ainsi, par exemple, les resultats de la recherche peuvent etre le point

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de depart dun questionnement sur les pratiques courantes denseignement du raisonnementproportionnel et de certains concepts qui lui sont associes.

Informer, suggerer, orienter, completer, enrichir, . . .

La recherche nous fournit aussi, et elle fournit (souvent) indirectement a` nos etudiants, un largerepertoire de ressources pour lenseignement du raisonnement proportionnel:

Des mots pour des objets construits dans laction par les etudiants, par exemple pour destypes de proble`mes, des procedures de resolution (erronees ou non), . . .;

Des concepts, des outils theoriques, comme celui de variable didactique, qui peuventsaverer utiles pour le travail de lenseignant (en particulier pour la conception de proble`mes)et devenir en quelque sorte des mode`les pour regarder, des cadres danalyse du fonc-tionnement dune classe, des cadres de reflexion (Rene de Cotret, 2000).

Des outils plus pratiques, comme par exemple des proble`mes-types (Mazout, Cafe-cre`me, Orangeade. . .) ou des situations (le Puzzle de Brousseau) qui ont ete developpeset eprouves par la recherche. Les etudiants ont loccasion danalyser le potentiel de cesoutils en classe et meme (dans certains cas du moins) de les mettre a` lepreuve.

Enfin, la recherche est aussi pour nous une demarche a` faire vivre aux etudiants eux-memes. Eneffet, la demarche devaluation diagnostique dans laquelle sengagent nos etudiants sapparenteen plusieurs points a` une demarche de recherche. La recherche ny est toutefois pas vue commeune fin en soi puisque nous ne cherchons pas a` former nos etudiants a` la recherche mais plutotcomme un moyen de contribuer a` leur formation a` lenseignement.

Notre analyse met en evidence le fait que plusieurs des connaissances sur lesquelles nousnous appuyons en tant que formatrices (pour la construction de situations, pour le choix desproble`mes, etc.), de meme que celles que nos etudiants sont appeles a` construire a` linterieurde notre cours, sont, pour plusieurs du moins, derivees de la recherche en didactique desmathematiques. Le lecteur familier avec le mouvement de recherches portant sur les connais-sances pour lenseignement y aura reconnu un type particulier de connaissances de cet ordre. PourShulman (2007, p. 105), par exemple, ces connaissances seraient de lordre de la connaissancepedagogique du contenu (Pedagogical Content Knowledge, PCK), definie comme etant cetteforme particulie`re de connaissance du contenu qui inte`gre [embodies] les aspects du contenules plus lies a` son enseignabilite (p. 105). La recherche vient donc contribuer ici, souvent im-plicitement, au developpement chez les etudiants dun bagage de connaissances necessaire pourlenseignement, ce que Shulman (2007) designe par le savoir pedagogique necessaire. Il nousapparat toutefois important de revenir sur le fait que ces connaissances ne sont pas presenteesaux etudiants mais plutot construites a` travers les differentes situations que nous leur proposons.

Si cette manie`re de faire decoule de notre propre conception de lenseignement et delapprentissage, elle a toutefois pour consequence que lapport de la recherche peut passerinapercu. Elle peut donc amener les futurs enseignants a` terminer leur cours sans avoirlimpression que la recherche y a ete reinvestie. En tant que chercheures, ce constat nouspreoccupe. Bien entendu, ce cours, et de manie`re plus generale le programme de formation dontil fait partie, ne vise pas a` diffuser les resultats de la recherche en didactique des mathematiques,pas plus quil ne vise a` initier les etudiants a` la recherche dans ce domaine. Il vise plutot a` lespreparer a` enseigner le raisonnement proportionnel de manie`re reflechie, en etant a` lecoute de

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leurs ele`ves, sensibles a` leurs comprehensions et incomprehensions. La recherche, en ce sens, visedavantage a` nous informer, comme formatrices, et elle vient appuyer notre pratique. Ainsi, onpourrait croire quil nest pas utile dexpliciter davantage les liens avec la recherche. . . Mais alors,comment esperer, dans un tel contexte, que nos etudiants soient amenes a` considerer la recherchecomme une des ressources possibles pour leur enseignement. `A envisager quils peuvent tirereux-memes profit de la recherche en didactique des mathematiques dans leur propre pratique?Devrions-nous etre plus explicites? Cette question demeure pour le moment sans reponse, ou dumoins sans reponse simple! Nous devrons nous y pencher dans un avenir proche.

NOTES

1. Il sera question dans cet article de notre pratique de formation. Il est a` noter cependantquau fil des ans, plusieurs didacticiens de lUQAM se sont impliques dans ce cours, dontBernadette Janvier, qui a fait un travail colossal au niveau de la mise en place de plusieursdes activites de formation auxquelles nous ferons reference.

2. Cette pratique educative a ete decrite a` maintes reprises et illustree a` laide de diversexemples (Bednarz, 2001; Bednarz, Gattuso et Mary, 1995; Dufour-Janvier et Hosson,1999; Janvier, C., 1996; Saboya, 2010 : Tanguay, 2003).

3. Nous avons constate en preparant le present article que le flou au niveau de la termi-nologie utilisee pour parler du raisonnement proportionnel na rien dexceptionnel. Lelecteur interesse pourra lire a` ce sujet Comin (2002).

4. Nous avons retranscrit les productions des etudiants pour preserver leur anonymat.5. Ces methodes sont travaillees ulterieurement dans le cours (en faisant un lien entre les

aspects syntaxique et semantique).6. Letude dOliveira de 2000 a ete effectuee aupre`s dele`ves au Bresil et celle de 2008

aupre`s dele`ves du Quebec.7. Ce qui est en accord avec notre position constructiviste.8. Lenseignement formel du raisonnement proportionnel commence generalement au

Quebec au cours de la deuxie`me annee du premier cycle du secondaire, soit vers lage de13 ans.

9. Video produite a` des fins de formation par Eric Henry, Nadine Bednarz, Jean-CharlesMorand et Sophie Rene de Cotret.

10. Nous nous en tenons ici quaux procedures non erronees. Nous traiterons des procedureserronees au point 4.1.2. Aussi, nous indiquons entre crochets des expressions equivalentesqui peuvent etre trouvees dans divers ecrits en didactique des mathematiques.

11. Cette variable peut sembler anodine mais il nen est rien. Dans sa the`se de doctorat, Renede Cotret (1991) a constate que certains the`mes etaient plus facilement percus par lesele`ves comme proportionnels.

12. Dans ce contexte-ci, des proble`mes seront consideres meilleurs que dautres sils fontressortir une plus grande variete de procedures (erronees ou non) chez les participants.

13. Nous reviendrons sur cet aspect au point 5.14. Brousseau (APMEP, no457, p. 218219) fait ressortir plusieurs autres caracteristiques de

cette situation.

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