1 Interpolare polinomial 1. Introducere Exemple: (Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8th ed., pages 104105, ISBN 0534392008.) 2 Care a fost populaia n 1996, care va fi populaia n 2000? 3 (Steven C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 3rd ed, ISBN-13:978-0-07-340110-2 , pag 336) Variaia densitii aerului 4 Fie datele obinute prin metode experimentale date n tabelul de coresponden t (min) 151015 17203040 C(t)24,5 10,30 8,50 7,8 7,70 7,45 7,30 7,25Reprezentarea grafic a datelor din acest tablou este Evoluiaconcentraiei) (t C (mg/L) n funcie de timpul t. 0510152025300 10 20 30 40 50t (mi n)C(t)5 Noiuneadeinterpolares-aintroduspentrunevoiadegsioestimareaunei funciifntr-unpunctxpentrucareexperimantalnus-apututrealiza.Graficse poate da o estimare dar aceasta poate conine erori semnificative. Interpolare liniar Interpolarea liniar presupune c variaia dintre dou puncte experimentale este de natur liniar. Fie funcia f msurat experimental n dou puncte a i a+h cu pasul h foarte mic, fieh a x a + < < . Atunci valoarea f(x) se poate aproxima prin ha f h a fa x a f x f) ( ) () ( ) ( ) ( + + (7.5) Din definiia derivatei unei funcii ntr-un punct putem scrie ha f h a fa f) ( ) () ( ' +Prin urmare putem scrie ) ( ' ) ( ) ( ) ( x f a x a f x f + 6 Exemplu:Considernddateleexperimentaleprezentatenexemplul1estimai C(7) prin formula interpolrii liniare. Soluie:Pentruaestimavaloareat=7sau8enecesarsacunoatemvaloarea concentraiei n dou puncte a i a+h cuh a t a + < < Avem10 7 5 < < , prin urmare5 = asi5 = h L mgC CC C / 58 , 9530 , 10 5 , 82 30 , 105) 5 ( ) 10 () 5 7 ( ) 5 ( ) 7 ( =+ = + Avem10 8 5 < < , prin urmare5 = asi5 = h L mgC CC C / 22 , 9530 , 10 5 , 83 30 , 105) 5 ( ) 10 () 5 8 ( ) 5 ( ) 7 ( =+ = + ha C h a Ca t a C t C) ( ) () ( ) ( ) ( + + 7 Interpolare parabolic Interpolareaparabolicpresupunecvariaiantretreipuncteexperimentaleeste de tip parabolic. O funcie f dat experimental n trei puncte a-h, a i a+h cu pasul h foarte mic. Fie h a x h a + < < , atunci f (x) este dat de22) ( ) ( 2 ) (2) (2) ( ) () ( ) ( ) (hh a f a f h a f a xhh a f h a fa x a f x f + + + + + (7.6) Exemplu:Considernddateleexperimentaleprezentatenexemplul1estimai C(7) prin formula interpolrii parabolice. Soluie:EstenecesardeacunoatevalorileexperimentalealefuncieiCntrei punctenvecinateluit=7,pentrucareh a t h a + < < ,adic) ( h a C ,) (a C i ) ( h a C .Lum a = 10 i h = 5 atunci8 25) 5 ( ) 10 ( 2 ) 15 (2) 10 7 (10) 5 ( ) 15 () 10 7 ( ) 10 ( ) 7 (2C C C C CC C+ + + L mg C / 45 , 9253 , 10 ) 5 , 8 ( 2 8 , 72) 3 (103 , 10 8 , 73 5 , 8 ) 7 (2+ + 25) 5 ( ) 10 ( 2 ) 15 (2) 10 8 (10) 5 ( ) 15 () 10 8 ( ) 10 ( ) 8 (2C C C C CC C+ + + L mg C / 088 , 9253 , 10 ) 5 , 8 ( 2 8 , 72) 2 (103 , 10 8 , 72 5 , 8 ) 8 (2+ + 9 Interpolare liniar i parabolic 10 ngeneralcndsedauunnumrdepuncteininformaiireferitoarelaaceste puncte(valorialeuneifuncii,i/sauvalorialederivatelorfunciilornpunctele respective)putemconstruiunpolinomdegradn-1numitpolinomdeinterpolare ce va trece prin acele puncte. Exemplu:Fiepunctelex1ix2ivalorilecunoscutef(x1),f(x1)if(x2).Atunci putem construi polinomul P(x) de grad 2 ce trece prin punctele x1 i x2 rezolvnd sistemul cu necunoscutele a,b,c: P(x1) = a x12 +b x1+c = f(x1) P(x1) =2 a x1+b = f(x1) P(x2) = a x22 +b x2+c = f(x2) 11 2. Interpolare Lagrange (R. Trmbia, 2005, Analiza numerica. O introducere bazata pe MATLAB, Presa Universitar Clujean) 12 13 14 15 Exemplu (Ward Cheney, David Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth edition, 2008) 16 17 18 3. Interpolare Hermite (R. Trmbia, 2005, Analiza numerica. O introducere bazata pe MATLAB, Presa Universitar Clujean) 19 20 21 22 Derivnd i aplicnd formula lui Leibniz se obine: iar n final avem: 23 (Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8th ed., pages 104105, ISBN 0534392008.) 24 Exemplu: Aflai f(1.5) folosind interpolarea Hermite: 25 26 3. Erorile polinoamelor de interpolare 27