LABORATORIO2 algebralineal

8/18/2019 LABORATORIO2 algebralineal

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Tarea 2

Algebra Lineal, MAT 1203 Lunes 21 de Marzo de 2015

Fecha de Entrega: Hasta Lunes 4 de Abril 15:30

Nombre Integrante 1: Vicente De La Carrera

Nombre Integrante 2: Samuel Billikopf

Nombre Grupo: Sasko

Sección e Laboratorio: ! "

Observaciones:

Ud. puede ocupar Wolfram-Alpha o Mathematica para calcular escalonadas

reducidas o realizar cálculos matriciales incluyendo con copy/paste los comandosINPUT y los resultados !UTPUT" en el informe. #in em$ar%o ud. de$e sa$er

realizarlos con lapiz y papel como preparaci&n para la I'. (sta tarea es

preparaci&n para la I'"

Problemas

Problema 1) )esuel*a los pro$lemas del te+to

a" Pro$lema , secci&n '.

a" 0 No puede ser inconsistente ya 1ue siempre ha$rá al menos una soluci&n 2+'0 +,03+n4 5 6

$" 0 Para 1ue sea no tri*ial0 al menos una entrada tiene 1ue ser distinta de 60 no necesariamentetodas.

c" 0 el efecto de sumar p a un *ector es mo*er a * en una direcci&n paralela a la recta 1ue pasa por

p y 6.

d" 7 ya 1ue al multiplicar el *ector 6 por la matriz A o$tendremos el *ector $ 5 60 por lo 1ue elsistema es homo%8neo.

$" Pro$lema ',0 secci&n '.9

:'5,6

:,5+;,6

:


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Por lo tanto0 para 1ue el flu>o de +


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A5

1 2 0 0

0 0 0 0

0 2 0 1

0 1 0 −1

"

%" Pro$lema 'F #ecci&n ,.' Demuestre"1. #upon%a 1ue la tercera columna de G es la suma de las dos primeras columnas. Hu8 se puede

decir acerca de la tercera columna de AGJ HPor 1u8J

ue es la suma de la primera y se%unda columna de AG.Por1ue AG5

A 2$'0 $,0 $';$,4 5

A$'0 A$,0 A2$';$,4 5

A$'0 A$,0 A$';A$, 5 AGh" Pro$lema ,' #ecci&n ,.'. Demuestre"

#on linealmente dependientes ya 1ue

(a bc d )(e f g h)=(ae+bg af +bhce+dg cf +dh) 0 es decir0 cada una de las columnas de A soncom$inaciones de las restantes

i" Pro$lema #ecci&n ,.'

>" Pro$lema '6 secci&n ,.,

a" also0 esas operaciones corresponden a la in*ersa de A

$" also0 A−1

eslainversa y no A . Distinto seria si di>era Kla in*ersa de A−1

L

c" also0 es el producto de sus in*ersas en orden apuesto

d" 70 ya 1ue + representara las operaciones a realizar para lle%ar a la matriz identidad0 lo 1ue se

llama A in*ersae" 70 ya 1ue las operaciones representadas por las operaciones elementales representarán a la

in*ersa.

" Pro$lema ,6 secci&n ,.,


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a" (s in*erti$le ya 1ue por propiedad0 el producto de dos matrices in*erti$les tam$i8n es

in*erti$le

$" :0 A son in*erti$les por1ue nos dice el enunciado y G por el pro$lema a

( A – AX )−1 5 X −1

G /A-A:" por la iz1uierda

I 5 A-A:" X −1

G 5

I 5 A X

−1G- AIG/ A

−1 por la iz1uerda 5

A−1

I 5 I X −1

G - I 2

G / B−1

por la derecha 5

A−1

I B−1

5 I X −1

I - I 3

/ I −1

por la derecha 5

A−1

I B−1

I −1

- I 2

5 I X −1

/ I −1

por la iz1uerda 5

I −1

A−1

I B−1

I −1

- I 3

5 X −1

/ ¿−1

5

X =¿ I −1

A−1

I B−1

I −1

- I 3

¿−1

l" Pro$lema


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a" 7 los dos enunciados son *erdaderos

$" 70 los dos enunciados son *erdaderos

c" 0 el primer enunciado no implica el se%undod" 70 los dos enunciados son *erdaderos

e" 70 los dos enunciados son *erdaderos.

a. Pro$lemas ,? #ecci&n ,.<

n" Pro$lemas ,? #ecci&n ,.<

(+iste un W tal 1ue AB−1 5 W

Por lo tanto

AG W5IA GW" 5 I

Por lo tanto la in*ersa de A es GW" y 1ueda demostrado.

Problema 2) #ea A= [⃗a1 ⃗a2 ⃗ a3 ⃗a4 ] una matriz con columnas ⃗ai , i=1,2,3,4 tales 1ue

⃗a1+2⃗ a

2−3⃗ a

3+⃗a

4=0

.

a. Determine infinitas soluciones para la ecuaci&n homo%8nea

A ⃗ x=

0

0denota al *ector nulo"

$. Determine infinitas soluciones para el sistema

A ⃗ x=2⃗ a1+⃗a2+4⃗ a3−⃗a4

#oluci&n


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a" A [

1

2

−31 ] 56 A ∝ [

1

2

−31 ] 56 A+56 tiene como soluci&n a ∝[

1

2

−31 ] .

$" A [ 2

1

4

−1]+ A∝[ 1

2

−31 ]=2⃗ a1+⃗a2+ 4⃗ a3−⃗a4

sol [ 2

1

4

−1]+∝[

1

2

−31 ]

Problema 3) #ea A

matriz de3 ×3

tal 1ue

A [ 1

−11 ]=[

2

1

2] , A [

0

1

1]=[

−10

1 ]

a. Determine a lo menos un *ector ⃗x

1ue satisfa%a A⃗ x=[

8

4

8]

$. Determine a lo menos un *ector ⃗x

tal 1ue A ⃗ x=[

7

2

1] ayudaprimero escri$a

[ 7,2,1 ]T como com$inaci&n lineal de [ 2,1,2 ]T

y [−1,0,1 ]T

"

c. #i0 además

A [

1

1

4]=[

0

0

0] ,

#in encontrar A ,

determine infinitas soluciones de A ⃗ x=[

7

2

1]

#oluci&n


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a" A [

1

−11 ]=[

2

1

2] / O A [

1

−11 ]=[

8

4

8] por propiedades de la matriz A [

1

−11 ] 5 A

[ 4

−44 ]

Por lo tanto0 A [ 4

−44 ] 5 [

8

4

8]

$" #i [2

1

2] O, - [

−10

1 ] O-< 5 [

7

2

1]

Por lo tanto

A 2, [ 1

−11 ] < [

0

1

1] 45 A [

2

−5−1]

⃗x=[ 2

−5−1]

c" A [

1

1

4]=[

0

0

0]

Por lo tanto

x=[ 2

−5−1] ; Q [

1

1

4]

Problema !) Demuestre 1ue si A

satisface

A [ 1

−11 ]=[

2

1

2] , A [

0

1

1]=[

−10

1 ] , A [

1

1

4]=[

0

0

0]


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entonces A [

1 0 1

−1 1 11 1 4

]=[2 −1 01 0 0

2 1 0] . De a1u concluya 1ue

A=

[2 −1 0

1 0 02 1 0] [

1 0 1

−1 1 11 1 4]

−1

y o$ten%a A .

#oluci&n $asta con reordenas las filas y columnas y escri$ir la matriz como una trasformaci&n0 lue%o0

Al tener esto A=[

2 −1 01 0 0

2 1 0] [

1 0 1

−1 1 11 1 4

]−1

Gasta con multiplicar a la derecha por [ 1 0 1

−1 1 11 1 4

]−1

R o$tenemos AI5 [2 −1 01 0 0

2 1 0] [

1 0 1

−1 1 11 1 4

]−1

#implificando A5 [2 −1 01 0 0

2 1 0] [

1 0 1

−1 1 11 1 4

]−1

Problema ") Sonsidere el sistema de ecuaciones A ⃗ x=b , donde

⃗b=[−11−3

3 ] 0 ⃗x=[ x

1

x2 x

3

x4

x5]

tal 1ue la forma escalonada reducida de la matriz ampliadaC =[ A b ]

es

RowReduce [ C ]=¿

a" (scri$a la escalonada reducida de la matriz ampliada[ A ⃗0 ]

.


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$" (scri$a la soluci&n %eneral de la ecuaci&n homo%8nea Ax=0

en forma param8trica

*ectorial.

c" (scri$a la soluci&n %eneral de A ⃗ x=b en forma param8trica *ectorial.

d" Determine si⃗a

4 es com$inaci&n lineal o no de las otras columnas de A

0 y si lo es

escr$ala e+plcitamente.

e" Determine si⃗a

5 es com$inaci&n lineal o no de las otras columnas de A

0 y si lo es

escr$ala e+plcitamente.

#oluci&n

a" (scri$a la escalonada reducida de la matriz ampliada[ A ⃗0 ]

.

[1 2 0 −1 0 00 0 1 −1 0 00 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0]

$" +' ; +, +


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c" A [ 1

−1+ β β

β

0] 5 b

d" ⃗a

4 n

o es com$inaci&n lineal de las demás columnas de la matriz A

e" ⃗a

5 n

o es com$inaci&n lineal de las demás columnas de la matriz A

Problema #) #eaT

una transformaci&n lineal de R2

en R2

tal 1ue

T [21]=[−12 ],T [11]=[ 2−3 ] 0

calculeT

[

5

6

]

#oluci&n

T [56 ]=7 T [11]−T [21]=7 [ 2−3]−[−12 ]=[ 15−23] ,

Tam$i8n0 puede resol*erse usando la matriz estándar de transformaci&n (a bc d ) .

(a b

c d

)[2

1

]=

[−1

2

](a bc d )=[11]=[ 2−3]

,a;$5-' a5-<,c;d5, $5

a;$5, c5

c;d5-< d5-=


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(−3 55 −8)[56]=[ 15−23]

Problema $) #ea

S el plano

x− y+2 =1 en

R3

. #ea

A=[1 0 1

2 1 1

2 −1 2] . Demuestre 1ue A (S )= !u"ue#re $ue ecuacir"inar una rec#a facenla ecuaciayinfini#as "aneras de ha

es tam$i8n un plano y determine su ecuaci&n cartesiana

#oluci&n

[1 0 1

2 1 12 −1 2]

[1+ y−2

y ]

5

+' 5 ';y-z5 6

+, 5 ,';y-,z" ;y ; z5 6 +, +< ;+' 5 ';


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d. #i las columnas de AB

son linealmente independientes entonces las columnas de

B son linealmente independientes.

7erdadero0 ya 1ue al hacer un proceso in*erso al anterior0 y acorde al enunciado0

o$tenemos

:'A$'";+,A$,";+


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I − A 3=( I − A ) ( A2+ A+ I ) %

¿ I A2+ IA+ I 2− A 3− A2− AI

¿ A2+ A+ I − A3− A 2− AI

¿ I − A 3 % ueda entonces demostrado 1ue I − A3=( I − A ) ( A 2+ A+ I ) %

Ba in*ersa de I − A

si A3=0 es ( A

2+ A+ I ) , usandola de"os#raci)nan#erior %

I − A 3=( I − A ) ( A 2+ A+ I ) %Co"o A3=0,

I =( I − A ) ( A 2+ A+ I ) %

Ba in*ersa de de I − A

si A4=0 es A

2+ A+ I ya 1ue0

I − A 3=( I − A ) ( A 2+ A+ I ) /¿ Multiplicamos por A a la derecha

IA− A 4=( I − A ) ( A3+ A2+ A )

A= ( I − A ) ( A 3+ A 2+ A )/"ul#i'lica"os A−1 por la derecha

I =( I − A ) ( A 2 I + AI + I )

I =( I − A ) ( A 2+ A+ I )

Problema 11) Demuestre 1ue si A3+2 A 2+3 A−4 I =0 entonces A tiene in*ersa.

(ncu8ntrela en t8rminos de A

.

A3+2 A2+3 A−4 I =0/ A−1

A2+2 A 1+3=¿ A

−1 A

−1 5

A2+2 A1+3

4 por lo tanto A posee

in*ersa

Problema 12)

a-. #i A , B

son matrices cuadradas y A B2

es la in*ersa deB

. Demuestre 1ue B3

tiene

in*ersa y 1ue ( B3 )−1= A % Demuestre además 1ue necesariamente se tiene 1ue AB=BA .


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I =B ( A B2 )

I =BA B2 Por demostraci&n anterior AG5GA si am$as son de n+n0 es el caso"

I = A B 3

ueda entonces demostrado 1ue A es la in*ersa de B3

0 y por ende0 1ue B3

tiene in*ersa.

$-. #i BT

es la in*ersa de A2

0 entoncesB

es la in*ersa de ( AT )

2

BT

A2= I / ( )

#

A2

#

B= I por propiedad0

A

(¿¿ # )2= A2#

¿

A

(¿¿ # )2 B= I ¿

ueda demostrado 1ue si BT

es la in*ersa de A2

0 entoncesB

es la in*ersa de ( AT )2

c-. Una matriz real A

se dice unitaria si AT = A−1 % Demuestre 1ue el producto de matrices

unitarias es unitaria.

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