Laboratorijska_vjezba_6

8/17/2019 Laboratorijska_vjezba_6

1/7

1

Elektrotehnički fakultet

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za automatiku i elektroniku

Studijska 2013./2014. godina

Predmet : Identifikacija sistema

Laboratorijska vježba 6. Parametarska identifikacija linearnih modela dinamičkih procesa u realnom vremenu

(online)

Rekurzivna metoda najmanjih kvadrata

U okviru ove laboratorijske vježbe koristiti će se modifikacija rekurzivne metode

najmanjih kvadrata koja je data u Lekciji 6.2. Modifikacija polazi od pretpostavke da je

diferentna jednačina sistema oblika:

1 1ˆ ˆˆ ˆ1 ... 1 ... ,a bn a n b y k a y k a y k n b u k b u k n

odnosno, kada je prenosna funkcija data sa:

1 2

1 2

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ...

ˆ ˆ ˆ1 ...

b

b

a

a

n

n

n

n

b z b z b z G z

a z a z a z

pri čemu je.

a bn n

Algoritam estimacije parametara modela datih sa

1 2 1 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ... ...a b

T

n nk a k a k a k b k b k b k

sastoji se od sljedećih koraka:

1. Odaberu se pogodne početne vrijednosti:

ˆ1 , 0 , 0 0, P I θ 0

gdje je 21

0u .

2.

Novi podaci u k i y k se uzorkuju u trenutku k , 1k .

3. Na osnovu prethodnih vrijednosti estimacije parametara ˆ 1k θ , vektor kolone

faktora korekcije 1k , dovoljnog broja prethodnih vrijednosti ulaza i izlaza te

novih podataka, računaju se nove estimacije parametara ˆ k θ na sljedeći način:

Računa se greška predikcije u trenutku k kao

ˆ1 2 ... u 1 u 2 ... u 1a be k y k y k y k y k n k k k n k θ

Računaju se nove estimacija parametara po formuli ˆ ˆ 1 1 .k k k e k θ θ


2/7

2

4. Na osnovu prethodne vrijednosti matrice k P , dovoljnog broja ulaza i izlaza te novih

podataka, računa se najprije nova vektor kolona faktora korekcije k a zatim i nove

vrijednosti matrice 1k P na sljedeći način:

Formira se regresor u trenutku 1k :

1 1 ... 1 u u 1 ... u 1T a bk y k y k y k n k k k n ψ

Računa se vektor kolona i po formuli 1k k i P ψ .

Računa se skalar j po formuli 1 .T j k ψ i

Računa se vektor kolona novih korekcionih faktora po formuli 1

.1

k j

i

Računa se nova matrica P po formuli 1 T k k k P P i .

5. Sve dok postoje novi podaci koji se mogu uzorkovati algoritam se vraća na korak 2.

Napomena: Primijetimo da se između dvije iteracije algoritma (jedna iteracija obuhvata

korake 2-4) “prenose“ samo podaci 1k P , k i ˆ k θ koji u sljedećoj iteraciji postaju

k P , 1k i ˆ 1k θ pa ih ne treba memorisati kao nizove. Osim toga, treba prenijeti i

dovoljan broj zakašnjelih vrijednosti ulaza i izlaza

, 1 , ..., 1 , u , u 1 , ... , u 1a b y k y k y k n k k k n koji u idućoj iteraciji

postaju 1 , 2 , ..., , u 1 , u 2 , ... , ua b y k y k y k n k k k n . Za uspješnu

implementaciju algoritma, pokazuje se da je dovoljno pretpostaviti nultim sve prethodne

vrijednosti ulaza i izlaza kojima nemamo pristup.

Zadatak 1.

U MATLAB-u napisati funkciju koja izvršava jednu iteraciju rekurzivne metode najmanjih

kvadrata kako je prethodno opisano.

Funkcija treba da ima sljedeći prototip:

function [ theta_novo , P_novo , gamma_novo , u_nova , y_nova , e ] = ...rekurzivna_ls_metoda_iteracija( theta_staro , P_staro , gamma_staro ,...u_stara , y_stara , u_k , y_k )

%theta_staro-vrijednosti estimiranih parametara iz prethodne iteracije

ˆ 1k θ %P_staro- prethodna vrijednost matrice P P k %gamma_staro- prethodna vrijednost vektor kolone korekcionih parametara

1k

%u_stara-vektor red zakašnjelih vrijednosti ulaza u 1 , u 2 , ... , u bk k k n

%y_stara-vektor red zakašnjelih vrijednosti izlaza 1 , y 2 , ... , y a y k k k n %u_k- vrijednost ulaza uzorkovana u trenutku k


3/7

3

%y_k- vrijednost izlaza uzorkovana u trenutku k

%theta_novo –nove vrijednosti estimiranih parametara ˆ k θ %P_novo- nova vrijednost matrice P P 1k koja će se koristiti za sljedećuiteraciju

%gamma_novo- nova vrijednost vektor kolone korekcionih parametara k kojaće se koristiti za iduću iteraciju%u_nova- vektor red zakašnjelih vrijednosti ulaza koji će se koristiti za

sljedeću iteraciju u , u 1 , ... , u 1bk k k n %y_nova- vektor red zakašnjelih vrijednosti izlaza koji će se koristiti za

sljedeću iteraciju , y 1 , ... , y 1a y k k k n

Iskoristiti ovu funkciju za određivanje ARX modela rekurzivnom metodom najmanjihkvadrata koja daje okvir algoritma opisanog u uvodu, postavljanjem početnih vrijednosti

i provođenjem dovoljnog broja iteracija. Funkcija je data u nastavku:

function [a, b, a_historija, b_historija, e_historija] =

rekurzivna_ls_metoda(u, y, na, nb)%Pocetne vrijednostitheta_staro = zeros(na+nb,1);gamma_staro = zeros(na+nb,1);y_stara = zeros(1,na);u_stara = zeros(1,nb);P_staro = 100 .* eye(na+nb);%Varijable za prikaz promjene parametara i greske estimacije kroz iteracijea_historija = zeros(na,length(u));b_historija = zeros(nb,length(u));e_historija = zeros(1, length(u));

%Iteracijefor k = 1 : length(u)

u_novo = u(k);y_novo = y(k);[theta_novo, P_novo, gamma_novo, u_nova, y_nova, e] =

rekurzivna_ls_metoda_iteracija(theta_staro, P_staro, gamma_staro, u_stara,y_stara, u_novo, y_novo);

a_historija(:,k) = theta_novo(1:na);b_historija(:,k) = theta_novo(na+1:na+nb);e_historija(k) = e;theta_staro = theta_novo;gamma_staro = gamma_novo;

P_staro = P_novo;

u_stara = u_nova;y_stara = y_nova;end%Vrijednosti parametara modela nakon posljednje iteracijea = [1;theta_novo(1:na)];b = [0;theta_novo(na+1:na+nb)];

end

Ispravnost koda možete povjeriti korištenjem poznatog seta podataka dryer2 pozivajući

sljedeći dio koda:

%Podaci

load dryer2u2 = u2';y2 = y2';


4/7

4

%Red modelana = 5;nb = 5;%Rekurzivna metoda najmanjih kvadrata[a, b, a_historija, b_historija, e_historija] = rekurzivna_ls_metoda(u2,y2, na, nb);

%Parametri modelaab%Prikaz promjene parametara i greske estimacije kroz iteracijesubplot(3,1,1)plot(a_historija');subplot(3,1,2)plot(b_historija');subplot(3,1,3)plot(e_historija);

Zadatak 2.

Na slici 1. je pokazano kako se rekurzivna metoda najmanjih kvadrata može koristiti za

određivanje parametara ARX modela u realnom vremenu. U okviru ovog zadatka je

potrebno napisati s-funkciju unutar podsistema Estimacija parametara u realnom

vremenu. Blok koji se opisuje ima dva ulaza, u i y koji predstavljaju uzorkovane

vrijednosti ulaza i izlaza, i tri izlaza , ia b e , koji redom predstavljaju koeficijente u

nazivniku i brojniku prenosne funkcije (uključujući vodeću jedinicu, odnosno, nulu) i

trenutnu grešku estimacije. Portovi u , y i e su skalari a portovi ia b vektori dužine

1 i 1a b

n n , respektivno.

Slika 1. Estimacija parametara modela u realnom vremenu rekurzivnom metodom najmanjih kvadrata

(Simulink)

Za pisanje s-funkcije koristiti sljedeći šablon:

function sfun_rekurzivna_ls_metoda(block)

%Ne mijenjati sadrzaj ove funkcije, a ime postaviti kao i ime fajlasetup(block);


5/7

5

end%% Podesavanje ulaznih i izlaznih portova, parametara s-funckije i sl.function setup(block)% Broj ulaznih i izlaznih portovablock.NumInputPorts = 2;block.NumOutputPorts = 3;

% Broj parametara s-funckijeblock.NumDialogPrms = 2; %Parametri modela su na i nb

% Ako su svi ulazni portovi skalari stedi pisanje dodatne funkcije za% dinamicku konfiguraciju dimenzija ulaznih portovablock.SetPreCompPortInfoToDefaults;

%Konfiguracija ulaznih portova%Ulazni port "u"block.InputPort(1).Dimensions = 1; %Ulazni port je skalarblock.InputPort(1).DatatypeID = 0; %Tip podataka je doubleblock.InputPort(1).Complexity = 'Real'; %Podatak je realan brojblock.InputPort(1).DirectFeedthrough = true; %Postoji direktno dejstvo

%ulaza na izlaz%Ulazni port "y"

block.InputPort(2).Dimensions = 1; %...block.InputPort(2).DatatypeID = 0;

block.InputPort(2).Complexity = 'Real';block.InputPort(2).DirectFeedthrough = true;

%Konfiguracija izlaznih portova

%Dimenzije izlaznih portova zavise od parametara s-funkcijena = block.DialogPrm(1).Data;nb = block.DialogPrm(2).Data;%Izlazni port "a"block.OutputPort(1).Dimensions = na+1; %Izlazni port je vektor duzinena+1block.OutputPort(1).DatatypeID = 0; %...block.OutputPort(1).Complexity = 'Real';%Izlazni port "b"block.OutputPort(2).Dimensions = nb+1;block.OutputPort(2).DatatypeID = 0; % doubleblock.OutputPort(2).Complexity = 'Real';%Izlazni port "e"block.OutputPort(3).Dimensions = 1;block.OutputPort(3).DatatypeID = 0; % doubleblock.OutputPort(3).Complexity = 'Real';

%Vrijeme sempliranja se naslijeduje iz ulaza u blok

block.SampleTimes = [-1 0];

block.SimStateCompliance = 'DefaultSimState';

%Registracije ostalih funkcija koje su opisane kasnije

block.RegBlockMethod('PostPropagationSetup', @DoPostPropSetup);block.RegBlockMethod('Start', @Start);block.RegBlockMethod('Outputs', @Outputs); % Neophodnablock.RegBlockMethod('Terminate', @Terminate); % Neophodna

end

%% Podesavanje diskrenih stanja s-funkcije

function DoPostPropSetup(block)%Diskretna stanja s-funkcije se koriste za prenosenje podataka izmedju


6/7

6

%dvije iteracije. Ukoliko se ne prenose nikakvih podaci, ova funkcije se%moze izostavitina = block.DialogPrm(1).Data;nb = block.DialogPrm(2).Data;%Broj diskretnih stanja sistemablock.NumDworks = 5;

%Konfiguracija diskretnih stanja jako je slicna konfiguraciji ulazni i%izlaznih portova s-funckijeblock.Dwork(1).Name = 'theta1';block.Dwork(1).Dimensions = na+nb; %%thetablock.Dwork(1).DatatypeID = 0;block.Dwork(1).Complexity = 'Real';block.Dwork(1).UsedAsDiscState = true;

block.Dwork(2).Name = 'gamma1';block.Dwork(2).Dimensions = na+nb; %%gammablock.Dwork(2).DatatypeID = 0;block.Dwork(2).Complexity = 'Real';

block.Dwork(2).UsedAsDiscState = true;

block.Dwork(3).Name = 'y1';block.Dwork(3).Dimensions = na; %%y

block.Dwork(3).DatatypeID = 0;block.Dwork(3).Complexity = 'Real';block.Dwork(3).UsedAsDiscState = true;

block.Dwork(4).Name = 'u1';

block.Dwork(4).Dimensions = nb; %%ublock.Dwork(4).DatatypeID = 0;block.Dwork(4).Complexity = 'Real';block.Dwork(4).UsedAsDiscState = true;

block.Dwork(5).Name = 'P1';block.Dwork(5).Dimensions = (na+nb)*(na+nb); %%Pblock.Dwork(5).DatatypeID = 0;block.Dwork(5).Complexity = 'Real';block.Dwork(5).UsedAsDiscState = true;

%Diskretna stanja mogu biti samo vektori, a ne matrice. Zbog toga, ako je%potrebno sacuvati matricu kao diskretno stanje, ona se treba%transformisati u vektor koristenjem funckije reshape, i obrnuto ako je%hocemo kasnije koristiti kao matricu.

%...

end

%% Inicijalizacija diskretnih stanja sistema na pocetku izvrsavanjafunction Start(block)

%Ova funkcija poziva se na pocetku izvrsavanja simulacije i moze se%koristiti za postavljanje pocetnih vrijednosti diskretnih stanja%s-funkcije. Ako to nije potrebno ili se stanja ne koriste, ova funkcija se%moze izostaviti.

%Vrijednostima diskretnih stanja pristupa se na sljedeci nacin:% block.Dwork(1).Data=[0 0 0 0]

% ***** OVDJE PISATI VAS KOD ZA DEFINISANJE ULAZA*****


7/7

7

end

function Outputs(block)%% Generisanje izlaza pri svakoj iteraciji% Ova funkcija je obavezna i u njoj se obicno obavlja vecina posla. Na% osnovu trenutnih vrijednosti ulaza (kojima pristupamo preko

% block.InputPort(1).Data i td.) i trenutnih vrijednosti diskrenih stanja% generisu se vrijednosti izlaza (koje se upisuju u% block.OutputPort(1).Data i td.) i osvjezavaju se vrijednosti diskrenih% stanja.

% ***** OVDJE PISATI VAS KOD ZA OBAVLJANJE LS-a I FORMIRANJE IZLAZA

end

%% Oslobadjanje resursa ili druge operacije po zavrsetku simulacijefunction Terminate(block)% Nista.%end Terminate

end

Laboratorijska_vjezba_6

Documents

Transcript of Laboratorijska_vjezba_6