UNIVERSIDAD SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

FACULTAS DE INGENIERIA CIVIL

PRACTICA DE LABORATORIO DE ALGEBRA LINEAL

CURSO : ALGEBRA LINEAL

ALUMNNO: YEFER QUISPE PUCHO

CODIGO : 100497-F

SEMESTRE: 2011-I

1.- Para cada uno de los sistemas siguientes, llame A a la matriz de coeficientes y B a la matriz columna de términos independientes. Forme la matriz ampliada y use la

función rrefpara encontrar la forma escalón reducida por filas. Muestre que cada uno de estos sistemas tiene solución única y que la solución está contenida en la última columna de la forma reducida de la matriz ampliada. Use la notación de submatrices para asignar la variable X a la solución.

a)12x+3 y−3 z=1

4 x+0 y−z=−1

5 x−13y+ 2

5z=−1

72x−3 y+2 z=−2

>> % AHORA INTRODUCIMOS LA MATRIZ DE COEFICIENTES "A" :>> A=[1/2 3 -3;4 0 -1;5 -1/3 2/5;7/2 -3 2]A = 0.5000 3.0000 -3.0000 4.0000 0 -1.0000 5.0000 -0.3333 0.4000 3.5000 -3.0000 2.0000>> % AHORA INTRODUCIMOS LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES "B":>> B=[1;-1;-1;-2]B = 1 -1 -1 -2

>> % LA MATRIZ AMPLIADA SERA "X=(A|B)":>> X=[1/2 3 -3 1;4 0 -1 -1;5 -1/3 2/5 -1;7/2 -3 2 -2]X =

0.5000 3.0000 -3.0000 1.0000 4.0000 0 -1.0000 -1.0000 5.0000 -0.3333 0.4000 -1.0000 3.5000 -3.0000 2.0000 -2.0000>> % AHORA ENCONTRAREMOS LA FORMA ESCALON REDUCIDA POR FILAS DE "X":>>rref(X)ans = 1.0000 0 0 -0.1795 0 1.0000 0 0.6451 0 0 1.0000 0.2818 0 0 0 0>> % UNA VEZ OBTENIDA LA FORMA REDUCIDA Y VIENDO QUE TIENE UNA UNICA SOLUCION, PODEMOS AFIRMAR QUE:>> X=-0.1795X = -0.1795>> Y=0.6451Y = 0.6451>> Z=0.2818Z = 0.2818

b) x+4 y−z+3w=102 x+2 y−14 z+0w=44

x+8 y+4 z−8w=35 x+17 y−5 z+13w=44

>> % PARA EL EJEMPLO b COMENZAMOS INTRODUCIENDO LA MATRIZ DE CIEFICIENTES "A":>> A=[1 4 -1 3;2 2 -14 0;1 8 4 -8;5 17 -5 13]A = 1 4 -1 3 2 2 -14 0 1 8 4 -8 5 17 -5 13>> % LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES SERA "B":>> B=[10;44;3;44]B = 10 44 3 44>> % AL FORMAR LA MATRIZ AMPLIADA OBTENDREMOS "X=(A|B)":>> X=[1 4 -1 3 10;2 2 -14 0 44;1 8 4 -8 3;5 17 -5 13 44] X = 1 4 -1 3 10 2 2 -14 0 44 1 8 4 -8 3 5 17 -5 13 44>> % LLEVANDO LA MATRIZ X A SU FORMA ESCALON REDUCIDA POR FILAS OBTENDREMOS:>>rref(X) % CON LO CUAL OBTENDREMOS LOS VALORES DE LAS VARIABLES.ans = 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 2

0 0 1 0 -3 0 0 0 1 0>> % DE DONDE OBTENEMOS QUE:x=-1y=2z=-3w=02.-Para cada uno de los siguientes sistemas dé la matriz ampliada y use la función rref para encontrar la forma escalón por filas. Concluya que ninguno tiene solución.

a) 2 x−3 y=−22 x+ y=13 x+2 y=1

>>% SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y "B" LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES,TENDREMOS:>> A=[2 -3;2 1;3 2], B=[-2;1;1]

A =

2 -3 2 1 3 2

B =

-2 1 1>>% ENTONCES HALLAMOS LA MATRIZ UNMENTADA "X=(A|B)":>> X=[2 -3 -2;2 1 1;3 2 1]

X =

2 -3 -2 2 1 1 3 2 1

>>% AHORA UTILIZAMOS EL COMANDO rref PARA HALLAR LA REDUCIDA DE LA MATRIZ "X":>>rref(X)

ans =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

>>% OBSERVANDO EL RESULTADO PODEMOS CONCLUIR QUE EL SISTEMA a) NO TIENE SOLUCION, ADEMAS PODEMOS COMPROBAR ESTO HALLANDO LOS RESPECTIVOS RANGOS:>>rank(A)ans = 2>>rank(X)ans = 3>> % VIENDO QUE LOS RANGOS SON DISTINTOS, RECALCAMOS QUE EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION.

b) x−2 y+z−4w=1x+3 y+7 z+2w=2x−12 y−11 z−16w=5

>> % LLAMAREMOS "A" A LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y "B" A LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES:>> A=[1 -2 1 -4;1 3 7 2;1 -12 -11 -16] , B=[1;2;5]A = 1 -2 1 -4

1 3 7 2 1 -12 -11 -16B = 1 2 5>> % CON LAS DOS MATRICES FORMAREMOS LA MATRIZ AUMENTADA "X=(A|B)":>> X=[1 -2 1 -4 1;1 3 7 2 2;1 -12 -11 -16 5]X = 1 -2 1 -4 1 1 3 7 2 2 1 -12 -11 -16 5>> % AHORA PROCEDEREMOS A HALLAR LOS RANGOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y LA MATRIZ AUMENTADA:>>rank(A) , rank(X)ans =2ans = 3>> % COMO LOS RANGOS SON DIFERENTES EL SISTEMA NO TIENE SOLUCION, LO QUE COMPROBAREMOS CON LA FORMA ESCALON REDUCIDA DE "X".>>rref(X)ans = 1.0000 0 3.4000 -1.6000 0 0 1.0000 1.2000 1.2000 0 0 0 0 0 1.0000

3.-Las matrices siguientes son matrices ampliadas de sistemas de ecuaciones que tienen más de una solución, para cada matriz use la función rref. Para obtener el conjunto solución de estos sistemas necesitara papel y lápiz.

a) (9 27 3 3 , 129 27 10 1, 191 3 5 9 , 6 )

>>% SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y "B" LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES OBTENEMOS:>> A=[9 27 3 3;9 27 10 1;1 3 5 9] , B=[12;19;6]

A =

9 27 3 3 9 27 10 1 1 3 5 9

B =

12 19 6

>>% ADEMAS SEA "X" LA MATRIZ AUMENTADA "X=(A|B)" :>> X=[9 27 3 3 12;9 27 10 1 19;1 3 5 9 6]

X =

9 27 3 3 12 9 27 10 1 19 1 3 5 9 6

>>% AHORA PARA SABER SI EL SISTEMA TIENE UNA SOLUCION HALLAMOS LOS RANGOS:>>rank(A)

ans = 3

>>rank(X)

ans =

3>>% COMO LOS RANGOS SON IGUALES EL SISTEMA TIENE SOLUCION.>>% ADEMAS n=# de variables>>% r=rango de la aumentada>>% ENTONCES LA SOLUCION TENDRA:>>% n-r parámetros=1>> % AHORA HALLAMOS LA ESCALONADA REDUCIDA DE X:>>rref(X)ans = 1 3 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0>> % DE LA MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA OBTENEMOS LAS SIGUIENTES ECUACIONES:x+3 y=1 si y=t →x=1−3 t ; t ϵ Rz=1w=0

b) (1 0 1 −2 7 , −41 4 21 −2 2 , 53 0 3 −6 7 , 2 )

>> % SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y "B" LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES, ENTONCES TENDREMOS:>> A=[1 0 1 -2 7;1 4 21 -2 2;3 0 3 -6 7] , B=[-4;5;2]A = 1 0 1 -2 7

1 4 21 -2 2 3 0 3 -6 7B = -4 5 2>> % ADEMAS SEA "X" LA MATRIZ AUMENTADA "X=(A|B)" :>> X=[1 0 1 -2 7 -4;1 4 21 -2 2 5;3 0 3 -6 7 2]X = 1 0 1 -2 7 -4 1 4 21 -2 2 5 3 0 3 -6 7 2>> % AHORA PARA VER SI EL SISTEMA TIENE SOLUCION HALLAMOS LOS RANGOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES Y LA MATRIZ AUMENTADA.>>rank(A)ans = 3>>rank(X)ans = 3>> % VIENDO QUE LOS RANGOS HALLADOS SON IGUALES ENTONCES EL SISTEMA TIENE SOLUCION>> % Y COMO n=# de variables>> % VIENDO QUE LOS RANGOS HALLADOS SON IGUALES ENTONCES EL SISTEMA TIENE SOLUCION>> % Y COMO n=# de variables>> % r=rango de la aumentada>> % ENTONCES LA SOLUCION TENDRA:

>> % n-r parametros=2>> % AHORA HALLAMOS LA ESCALONADA REDUCIDA DE X:>>rref(X)ans = 1 0 1 -2 0 3 0 1 5 0 0 1 0 0 0 0 1 -1>> % DE DONDE OBTENEMOS LAS SIGUIENTES ECUACIONES:x+z−2w=3y+5 z=1v=−1Si hacemos quez=t ,w=sentonces la solución del sistema será.x+t−2 s=3→x=3+2 s−t ; s , t ϵ Ry+5 t=1→ y=1−5 t ; t ϵ Rv=1

4.-Suponga que se quieren resolver varios sistemas de ecuaciones en los que las matrices de coeficientes son las mismas pero tienen términos independientes diferentes. Formando una matriz ampliada más grande se podrán resolver todos los sistemas al mismo tiempo. Suponga que A es la matriz de coeficientes, que B, C y D son las matrices columnas de los términos independientes. Asigne Am=[A B C D] y encuentre rref(Am) para resolver simultáneamente los siguientes sistemas.

2x+3 y−4 z=1 x+3 y−4 z=−1 x+3 y−4 z=1x+2 y−3 z=0 x+2 y−3 z=−1 x+2 y−3 z=2

−x+5 y−11 z=−7 −x+5 y−11 z=−6 −x+5 y−11 z=−7

>>% SUPONGAMOS QUE "A" ES LA MATRIZ DE COEFICIENTES, ENTONCES TENDREMOS:>> A=[2 3 -4;1 2 -3;-1 5 -11]

A =

2 3 -4 1 2 -3 -1 5 -11

>>% AHORA "B","C" Y "D" SON LAS MATRICES COLUMNAS DE LOS TERMINOS INDEPENDIENTES:>> B=[1;0;-7] , C=[-1;-1;-6] , D=[1;2;-7]

B =

1 0 -7

C =

-1 -1 -6

D =

1 2 -7

>>% AHORA FORMAREMOS LA MATRIZ AUMENTADA Am=[ABCD]:>> Am=[2 3 -4 1 -1 1;1 2 -3 0 -1 2;-1 5 -11 -7 -6 -7]

Am =

2 3 -4 1 -1 1 1 2 -3 0 -1 2 -1 5 -11 -7 -6 -7

>>% AHORA RESOLVEREMOS LOS SISTEMAS SIMULTANEAMENTE USANDO rref>>rref(Am)

ans =

1 0 1 2 1 0 0 1 -2 -1 -1 0 0 0 0 0 0 1>>% DEL RESULTADO SE OBSERVA QUE SE HA HALLADO LAS SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS EXCEPTUANDO LA TERCERA, LA CUAL LA DEMOSTRAMOS A CONTINUANCION>>% SEA X LA MATRIZ AUMENTADA X=(A|D)>> X=[2 3 -4 1;1 2 -3 2;-1 5 -11 -7]

X =

2 3 -4 1 1 2 -3 2 -1 5 -11 -7

>>% LA MATRIZ A DE COEFICIENTES ES:>> A=[2 3 -4;1 2 -3;-1 5 -11]

A =

2 3 -4 1 2 -3 -1 5 -11

>>% ENTONCES PARA COMPROBAR SI TIENE SOLUCION PROCEDEMOS A HALLAR Y COMPARA LOS RANGOS:>>rank(A)

ans =

2

>>rank(X)

ans =

3

>>% COMO LOS RANGOS SON DIFERENTES EL TERCER SISTEMA NO TIIENE SOLUCION.

5.-Analice si los siguientes sistemas homogéneos son determinados o indeterminados. Resuelva el ejercicio empleando:

a) la función rrefb) la función Rankc) indique cuál de las dos formas es la más conveniente en este caso y explique los alcances y limitaciones de ambas funciones.

a) x+2 y−z+3w=02 x+4 y−2 z+6w=03 x+6 y−3 z+9w=0x+3 y+ z+2w=0

>>% SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA>> A=[1 2 -1 3;2 4 -2 6;3 6 -3 9;1 3 1 2]

A =

1 2 -1 3 2 4 -2 6 3 6 -3 9 1 3 1 2

>>% ADEMAS SEA "B" LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES DEL SISTEMA:>> B=zeros(4,1)

B =

0 0 0 0

>> % ENTONCES LA MATRIZ AUMENTADA SERA X=(A|B):>> X=[1 2 -1 3 0;2 4 -2 6 0;3 6 -3 9 0;1 3 1 2 0]

X =

1 2 -1 3 0 2 4 -2 6 0 3 6 -3 9 0 1 3 1 2 0

>>% USANDO LA FUNCION rref TENDREMOS:>>rref(X)

ans =

1 0 -5 5 0 0 1 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

>>% DE LO CUAL CONCLUIMOS QUE EL SISTEMA ES INDETERMINADO, LO CUAL SE ENTENDERA MUCHO MEJOR USANDO LA FUNCION rank:>> % USANDO LA FUNCION rank TENDREMOS:>>rank(A)

ans =

2

>>rank(X)

ans =

2

>>% COMO SE SABE DE ANTEMANO LOS RANGOS SON IGUALES, ENTONCES EL SISTEMA TENDRA UNA SOLUCION CON 2 PARAMETROS, ES DECIR SERA INDETERMINADO.b) −4 x+2 y+0 z−2w=0

2 x+0 y−3 z+2w=0x+3 y−4 z+3w=0−x+0 y+4 z−4w=0

>>% SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA HOMOGENEO:>> A=[-4 2 0 -2;2 0 -3 2;1 3 -4 3;-1 0 4 -4]

A =

-4 2 0 -2 2 0 -3 2 1 3 -4 3 -1 0 4 -4

>>% Y SEA "B" LA MATRIZ DE COEFICIENTES NULAS DEL SISTEMA>> B=zeros(4,1)

B =

0 0 0 0

>>% ENTONCES LA MATRIZ AUMENTADA PARA EL SEGUNDO SISTEMA HOMOGENEO ES X=(A|B):>> X=[-4 2 0 -2 0;2 0 -3 2 0;1 3 -4 3 0;-1 0 4 -4 0]

X =

-4 2 0 -2 0 2 0 -3 2 0 1 3 -4 3 0 -1 0 4 -4 0

>>% USANDO LA FUNCION rref TENDREMOS:>>rref(X)

ans =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

>>% SI ANALIZAMOS EL RESULTADO CONCLUIREMOS QUE EL SISTEMA ES COMPATIBLE DETERMINADO.>>% USANDO LA FUNCION rank TENDREMOS:>>rank(A)

ans =

4

>>rank(X)

ans =

4

>>% CON EL RESULTADO DE LOS RANGOS COMPROBAMOS LO ANTES SEÑALADO.6.-Sea A=(1 2 3

2 5 41 −1 10)

Forme R=[A eye(3)]

a) Halle la forma escalón reducida por filas de R. Utilice la notación “:” para asignar el nombre de la variable S a la matriz que consiste en las tres últimas columnas de la forma escalón reducida por filas de R.

>>% PRIMERAMENTE HALLAMOS LA MATRIZ R=[A eye(3)]>> R=[A eye(3)]

R =

1 2 3 1 0 0 2 5 4 0 1 0 1 -1 10 0 0 1

>>% AHORA PROCEDEMOS A HALLAR LA MATRIZ ESCALON REDUCIDA DE R A LA CUAL LLAMAREMOS “E”:>> E=rref(R)E = 1 0 0 54 -23 -7 0 1 0 -16 7 2 0 0 1 -7 3 1

>> % AHORA HALLAMOS LA MATRIZ "S" QUE ESTA FORMADA POR LAS TRES ULTIMAS COLUMNAS DE rref(R)=E:>> S=E([1:3],4:6)S = 54 -23 -7

-16 7 2 -7 3 1b) Halle S*A y A*S. Describa la relación entre A y S.

>> % AHORA INTRODUCIMOS LAS MATRICES "A" Y "S":>> A=[1 2 3;2 5 4;1 -1 10] , S=E([1:3],4:6)A = 1 2 3 2 5 4 1 -1 10S = 54 -23 -7 -16 7 2 -7 3 1>> % Y PROCEDEMOS A MULTIPLICAR:>> S*Aans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1>> A*Sans = 1 0 00 1 0 0 0 1>> % LOS RESULTADOS SON IGUALES Y ADEMAS SON MATRICES IDENTIDAD DE ORDEN 3.>> I=A*S

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1>> % ENTONCES LA RELACION ENTRE LAS DOS MATRICES ES: LA MATRIZ "S" ES LA INVERSA DE "A".

7.- La función inv(A) devuelve la inversa de una matriz cuadrada invertible. Para cada una de las siguientes matrices aplique la función inv, observe que ocurre en cada caso y extraiga conclusiones. En los casos que sea posible verifique que inv(A)*A=A*inv(A)=I.

a) A=magic(5)

>>% PROCEDEMOS A INTRODUCIR LOS COMANDOS DE LAS MATRICES QUE USAREMOS EN EL EJERCICIO:>> A=magic(5)

A =

17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

>>% AHORA PROCEDEMOS A CALCULAR LA "INVERSA DE A"=M UTILIZANDO LA FUNCION inv :>> M=inv(A)

M =

-0.0049 0.0512 -0.0354 0.0012 0.0034 0.0431 -0.0373 -0.0046 0.0127 0.0015 -0.0303 0.0031 0.0031 0.0031 0.0364 0.0047 -0.0065 0.0108 0.0435 -0.0370 0.0028 0.0050 0.0415 -0.0450 0.0111

>>% COMO B ES LA INVERSA DE A, ENTONCES SE CUMPLE LA PROPIEDAD A*M=M*A=I

>>% PRIMER CASO (A*M)>> I=A*M

I =

1.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0 0.0000 0 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

>>% SEGUNDO CASO (M*A)>> I=M*A

I =

1.0000 -0.0000 0 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0 0.0000 0.0000 0 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

b) B=rand(2,3)>> % PROCEDEMOS A INGRESAR LA MATRIZ B:>> B=rand(2,3)B = 0.8147 0.1270 0.6324 0.9058 0.9134 0.0975>> % AHORA HALLAMOS LA INVERSA DE LA MATRIZ CON EL COMANDO inv:>> N=inv(B)>> % COMO ES LOGICO NO SE PUEDE CALCULAR LA INVERSA DE B, PUESTO QUE B NO ES UNA MATRIZ CUANDRADA.

c) C=rand(6)>> % INGRESAMOS LA MATRIZ C:>> C=rand(6)C =

0.2785 0.9572 0.7922 0.6787 0.7060 0.6948 0.5469 0.4854 0.9595 0.7577 0.0318 0.3171 0.9575 0.8003 0.6557 0.7431 0.2769 0.9502 0.9649 0.1419 0.0357 0.3922 0.0462 0.0344 0.1576 0.4218 0.8491 0.6555 0.0971 0.4387 0.9706 0.9157 0.9340 0.1712 0.8235 0.3816>> % AHORA PROCEDEMOS A CALCULAR LA "INVERSA DE C"=O USANDO LA FUNCION inv:>> O=inv(C)O = -0.7564 -0.5025 0.2668 0.7103 0.5118 0.4780 2.4408 8.5446 1.2366 -3.6177 -11.3020 -1.3030 -1.3171 -0.9872 -0.3545 -0.1324 2.7323 0.9718 1.2107 -0.7428 -0.9851 1.7666 1.4375 -0.9467 0.0420 -5.9201 -1.6573 2.8747 6.6943 1.0138 -1.3437 -3.7025 1.2402 0.2031 4.0421 0.3900>> % COMO LA INVERSA DE C EXISTE Y ES IGUAL A O, SE DEBE CUMPLIR C*O=I, O*C=I :>> % PRIMER CASO (C*O)>> I=C*OI = 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000>> % SEGUNDO CASO (O*C)>> I=O*CI = 1.0000 0 -0.0000 -0.0000 0 0.0000 0 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0

0 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 1.0000d) D=[1:4;-2:1;ones(2,4)]>> % INTRODUCIMOS LA MATRIZ D:>> D=[1:4;-2:1;ones(2,4)]

D = 1 2 3 4 -2 -1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1>> % AHORA PROCEDEMOS A CALCULAR LA "INVERSA DE D"=P USANDO LA FUNCION inv:>> P=inv(D)Warning: Matrix is singular to working precision. P =InfInfInfInfInfInfInfInfInfInfInfInfInfInfInfInf>> % DEL RESULTADO OBTENEMOS QUE D ES UNA MATRIZ NO INVERTIBLE, ES CUADRADA PERO SU DETERMINATE ES CERO, ENTONCES D ES UNA MATRIZ SINGULAR.

8.-La función det calcula el determinante de una matriz cuadrada. Proponga diversas matrices y calcule su determinante a fin de poder determinar si son o no invertibles.

a) >>% PARA ESTE EJERCICIO CREAMOS UNA SERIE DE 4 MATRICES:>> A=[7 56 45 12;6 47 2 14;9 6 5 0;78 13 25 1]

A =

7 56 45 12

6 47 2 14 9 6 5 0 78 13 25 1

>> B=[12 45 0 36;12 36 0 47;1 2 0 3;47 2 0 5]

B =

12 45 0 36 12 36 0 47 1 2 0 3 47 2 0 5

>>% AHORA CREAMOS 2 MATRICES CON LA AYUDA DE COMANDOS:>> C=magic(6)

C =

35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11

>> D=hilb(7)

D =

1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909

0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769

>>% AHORA PROCEDEMOS A CALCULAR LAS DETERMINANTES DE CADA UNA DE LAS MATRICES:>>det(A)

ans =

-1.9072e+005

>>% ENTONCES A ES INVERTIBLE.>>det(B)

ans =

0

>>% COMO det(B)=0, ENTONCES B NO ES INVERTIBLE.>>>>det(C)

ans =

-8.0495e-009

>>% COMO det(C)<0, ENTONCES C ES INVERTIBLE.>>det(D)

ans =

4.8358e-025

>>% COMO det(D)>0 , D TIENE INVERSA.9.-Por análisis de ejemplos estudie la posible validez de las siguientes propiedades:

a) Inv(I)=I>> % CREAMOS UN MATRIZ IDENTIAD DE CUALQUIER ORDEN:>> I=eye(5)

I = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1>> % AHORA HALLAMOS LA INVERSA DE LA MATRIZ:>>inv(I)ans = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1>> % EL RESULTADO ES IGUAL A LA PRIMERA MATRIZ, CON LO CUAL SE DEMUESTRA LA PROPIEDAD a).

b) Si A es invertible, inv(inv(A))=A>> % CREAMOS UNA MATRIZ CUYA DETERMINANTE SEA DIFERENTE DE CERO.>> A=[54 -23 -7;-16 7 2;-7 3 1]A = 54 -23 -7 -16 7 2 -7 3 1>> % CALCULAMOS LA DETERMINANTE DE LA MATRIZ:>>det(A)ans = 1.0000>> % COMO det(A)>0, CALCULAMOS SU INVERSA=B:

>> B=inv(A)B = 1.0000 2.0000 3.0000 2.0000 5.0000 4.0000 1.0000 -1.0000 10.0000>> % AHORA CALCULAMOS LA inv(inv(A))=inv(B):>>inv(B)ans = 54.0000 -23.0000 -7.0000 -16.0000 7.0000 2.0000 -7.0000 3.0000 1.0000>> % EL RESULTADO ES IGUAL A LA MATRIZ "A", CON LO QUE SE DEMUESTRA LA PROPIEDAD b):

c) Si A y B son invertibles, A*B es invertible e inv(A*B)=inv(B)*inv(A)>> % PROCEDEMOS A ESCRIBIR DOS MATRICES DEL MISMO ORDEN:>> A=hilb(3)A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000>> B=[54 -23 -7;-16 7 2;-7 3 1]

B = 54 -23 -7 -16 7 2 -7 3 1

>> % PARA SABER SI EL A*B ES INVERTIBLE,BASTARA CON HALLAR SU DETERMINATE.>> A*Bans = 43.6667 -18.5000 -5.6667 19.9167 -8.4167 -2.5833 12.6000 -5.3167 -1.6333>>det(A*B)ans = 4.6296e-004>> % AHORA CALCULAREMOS LA INVERSA DE A*B, LA CUAL LLAMAREMOS Z:>> Z=inv(A*B)Z = 1.0e+003 * 0.0270 -0.1920 0.2100 -0.0420 0.1680 -0.1200 0.3450 -2.0280 2.0100>> % AHORA CALCULAMOS LA INVERSA DE A Y B>>inv(A) , inv(B)ans =9.0000 -36.0000 30.0000 -36.0000 192.0000 -180.0000 30.0000 -180.0000 180.0000ans = 1.0000 2.0000 3.0000 2.0000 5.0000 4.0000 1.0000 -1.0000 10.0000

>> % AHORA CALCULAMOS inv(B)*inv(A):>>inv(B)*inv(A)ans =1.0e+003 * 0.0270 -0.1920 0.2100 -0.0420 0.1680 -0.1200 0.3450 -2.0280 2.0100>> % OBTENIENDO ASI inv(A*B), CON LO QUE SE DEMUESTRA LA PROPIEDAD c).

d) Si A es invertible, À es invertible e inv(À)=inv(A)`>> % PRIMERO FORMAMOS LA MATRIZ "A":>> A=[54 -23 -7;-16 7 2;-7 3 1]A = 54 -23 -7 -16 7 2 -7 3 1>> % CALCULAMOS SI A ES INVETIBLE.>>det(A)ans = 1.0000

>> % COMO det(A)=1, ENTONCES A ES INVERTIBLE, ADEMAS:>> A'ans =

54 -16 -7 -23 7 3 -7 2 1>>det(A')ans = 1.0000>> % CON ESTE RESULTADO A' ES INVERTIBLE.>> % AHORA VERIFIQUEMOS SI SE CUMPLE LA PROPIEDAD:>>inv(A')ans = 1.0000 2.0000 1.0000 2.0000 5.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 10.0000>>inv(A)'ans = 1.0000 2.0000 1.00002.0000 5.0000 -1.0000 3.0000 4.0000 10.0000>> % AMBAS MATRICES SON IGUALES, ENTONCES LA PROPIEDAD d) SE CUMPLE.

e) Si A es invertible, det(A−1) = 1det (A)

>> % CREAMOS LA MATRIZ CON LA QUE TRABAJAREMOS:>> A=[-7 -23 1;54 3 -7;-16 7 2]

A =

-7 -23 1 54 3 -7 -16 7 2>> % AHORA CALCULAMOS LA INVERSA DE "A":>> B=inv(A)B = -1.0784 -1.0392 -3.0980 -0.0784 -0.0392 -0.0980 -8.3529 -8.1765 -23.9412>> % CALCULAMOS LAS DETERMINANTE DE LAS MATRICES:>>det(B)ans = -0.0196>>det(A)ans = -51.0000>> % MULTIPLICAMOS LOS RESULTADOS, Y EL PRODUCTO DEBE SER IGUAL A 1.>>det(B)*det(A)ans =1.0000

10.-Se pueden resolver sistemas cuadrados AX=B en los cuales la matriz de coeficientes es invertible realizando X=inv(A)*B (teorema de cramer).Confeccione una archivo-M de función que resuelva, cuando sea posible, los siguientes sistemas cuadrados.

>>% SEA "A" LA MATRIZ DE COEFICIENTES DE SISTEMA >> A=[1 1 -3 1;2 -1 1 -1;1 -2 4 -2;3 1 2 -1]

A = 1 1 -3 1 2 -1 1 -1 1 -2 4 -2 3 1 2 -1>>>>% PARA COMEZAR A RELOVER EL SISTEMA PRIMERO ANALIZAMOS SU DETERMINANTE.>>det(A)ans = 2.1094e-015>>% Y SEA "B" LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES>> B=[-6;5;-6;8]B = -6 5 -6 8>>% AHORA HALLAMOS LA INVERSA DE "A">>inv(A)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.204187e-018. ans = 1.0e+015 * 1.8963 -1.8963 1.8963 -0.0000 -2.3703 2.3703 -2.3703 0.0000 2.8444 -2.8444 2.8444 0 9.0072 -9.0072 9.0072 -0.0000>>% PARA HALLAR LOS VALORES DE LAS INGOGNITAS VASTARA LA RELACION DE PRODUCTO inv(A)*B>> X=inv(A)*BWarning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 6.204187e-018. X = 1.0e+017 * -0.3224 0.4030 -0.4835 -1.5312

a) A1=(2 1 −23 2 25 4 3 )B1=(10

14 )

>>% INTRRODUCIMOS LA MARTRIZ DE COEFICIENTES "A1" DEL SISTEMA>> A1=[2 1 -2;3 2 2;5 4 3]A1 = 2 1 -2 3 2 2 5 4 3>>det(A1) % AHORA VEREIFICAMOS SU DETERMINANTEans = -7.0000>>% CALCULAMOS LA INVERSA DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES>>inv(A1)ans = 0.2857 1.5714 -0.8571 -0.1429 -2.2857 1.4286 -0.2857 0.4286 -0.1429

>>% AHORA INTRODUCIMOS LA QUE DEBERIA SER LA MATIZ DE TERMNOS INDEPENDIENTES>> B1=[10;1;4]B1 = 10 1 4>>% PARA HALLAR LOS VALORES DE LAS INGOGNITAS UTILIZAREMOS EL PRODUCTO inv(A)*B>>inv(A1)*B1ans = 1.0000 2.0000 -3.0000

c) A2=rand(10) , B2=[1:10]`>>% INTRODUCIMOS "A2", LA QUE DEBERIA SER LA MATRIZ DE COEFICIENTES>> A2=rand(10)A2 = 0.8147 0.1576 0.6557 0.7060 0.4387 0.2760 0.7513 0.8407 0.3517 0.0759 0.9058 0.9706 0.0357 0.0318 0.3816 0.6797 0.2551 0.2543 0.8308 0.0540 0.1270 0.9572 0.8491 0.2769 0.7655 0.6551 0.5060 0.8143 0.5853 0.5308 0.9134 0.4854 0.9340 0.0462 0.7952 0.1626 0.6991 0.2435 0.5497 0.7792 0.6324 0.8003 0.6787 0.0971 0.1869 0.1190 0.8909 0.9293 0.9172 0.9340 0.0975 0.1419 0.7577 0.8235 0.4898 0.4984 0.9593 0.3500 0.2858 0.1299 0.2785 0.4218 0.7431 0.6948 0.4456 0.9597 0.5472 0.1966 0.7572 0.5688

0.5469 0.9157 0.3922 0.3171 0.6463 0.3404 0.1386 0.2511 0.7537 0.4694 0.9575 0.7922 0.6555 0.9502 0.7094 0.5853 0.1493 0.6160 0.3804 0.0119 0.9649 0.9595 0.1712 0.0344 0.7547 0.2238 0.2575 0.4733 0.5678 0.3371>>% AHORA INTRODUCIMOS B2 QUE ES LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ FILA Y QUE ADEMAS DEBERIA SER LA MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES>> B2=[1:10]'B2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>> % DESPUES DE ELLO HALLAMOS LA INVERSA DE "A2">>inv(A2)ans = -0.1581 0.1738 -0.6040 0.4464 0.2110 -0.3426 0.2700 -1.0023 0.6642 0.3911 -2.3353 0.3929 -0.1244 -0.0102 1.0263 1.2578 -0.9585 -0.8087 1.5330 0.0429 0.0973 1.0164 0.7621 1.3889 -0.0861 -0.3265 -1.2910 0.7414 0.7051 -3.1092 -0.4578 -0.8702 -0.9094 -0.7294 0.4259 0.6386 0.3978 0.4223 0.6698 0.6511 1.3226 -0.6984 0.4810 -0.1216 -1.3598 -0.1493 0.2314 1.1785 -1.4306 1.1818 -0.3972 0.1664 0.3766 -0.1609 -0.1985 -0.4601 1.4478 -2.0807 0.2055 1.0160 -0.8970 0.2620 -0.4392 -0.0476 0.4973 1.5573 -0.2672 -1.0516 -0.0987 0.9021 1.3615 -0.4529 0.7615 -0.6772 -0.0791 -0.9783 0.3022 -0.1792 -0.5083 0.4859 2.5645 0.8955 0.2204 -0.0717 -0.8343 -0.8211 -0.5525 3.6297 -1.9223 -2.3277 -1.1465 -1.6626 -0.6432 -0.3926 0.7876 -0.2922 1.8013 -1.5649 0.4024 2.4661>>% OBTENIDA LA INVERSA DE "A2" PROCEDMOS A MULTIPLICAR inv(A2)*B2 PARA RESOLVER EL SISTEMA

>> X2=inv(A2)*B2X2 = 2.9227 11.7630 -20.2694 16.8191 3.1782 2.1669 7.7981 -5.2681 -19.7751 22.5863

d) A3= magic(7) , B3=eye(7,1)>> % INTRODUCIMOS LA MATRICES DE LA PARTE d) DEL EJERCICIO>> A3=magic(7) , B3=eye(7,1)A3 = 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20

B3 = 1 0 0 0 0 0 0>> % AHORA HALLAMOS LA DETERMINANTE DE A3 Y HALLAMOS SU INVERSA, SI EXISTE>>det(A3) , inv(A3)

ans =-3.4805e+011ans = 0.0008 0.0008 0.0212 -0.0195 -0.0021 0.0041 0.0004 -0.0021 0.0241 -0.0195 0.0012 0.0004 0.0008 0.0008 0.0212 -0.0191 0.0004 -0.0021 0.0037 0.0008 0.0008 -0.0170 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0187 0.0008 0.0008 -0.0021 0.0037 0.0012 0.0207 -0.0195 0.0008 0.0008 0.0012 0.0004 0.0212 -0.0224 0.0037 0.0012 -0.0025 0.0037 0.0212 -0.0195 0.0008 0.0008>> % MULTIPLICAMOS inv(A3)*B PARA HALLAR LOS VAORES DE LAS INCOGNITAS>> X3=inv(A3)*B3X3 = 0.0008 -0.0021 0.0212 -0.0170 0.0008 0.0008 0.0012