UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FISICA IIFACULTAD DE INGIENERIA Y ARQUITECTURA CICLO II/2012UNIDAD DE CIENCIAS BASICASDEPARTAMENTO DE FISICA

LABORATORIO Nº 4“MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE”

INSTRUCTOR:ING. SALVADOR ATILIO PANIAGUA PÉREZ

INTEGRANTES: CARNET: FIRMA:

Nº DE MESA: 5

GRUPO DE LABORATORIO: 34

CIUDAD UNIVERSITARIA, 24 DE ABRIL DE 2012

1

Índice

RESUMEN....................................................................................................................................................2

INTRODUCCION TEORICA............................................................................................................................3

PROCEDIMIENTO.........................................................................................................................................5

ANALISIS DE RESULTADOS.........................................................................................................................11

CUESTIONARIO..........................................................................................................................................14

CONCLUSIONES.........................................................................................................................................15

ANEXOS.....................................................................................................................................................17

2

RESUMEN

La práctica realizada nos permitió cumplir los objetivos propuestos del trabajo al aplicar la ecuación lineal Y ═ aF + b en donde pudimos encontrar el valor de la pendiente, de la grafica Y vrs F, que luego al calcular su valor inverso pudimos obtener el valor correspondiente a la constante de resorte. Además se calculó el periodo con diez oscilaciones para distintas masas con

dos distintos métodos, uno con la ecuación teórica T=2 π √ mk

y otra por medio del método de

los mínimos cuadrados el cual nos permitió obtener la ecuación general T = 1.24 m0.49; los resultados obtenidos son:

Contante de resorte: 22.07 N/mPara una masa de 400g:

Periodo ecuación teórica: 0.84 s Periodo ecuación particular: 0.88 s

Además se obtuvo las distintas ecuaciones que describen el movimiento desde la ecuación de posición, obtenida a partir de la amplitud y la frecuencia angular, con ello se obtuvieron la velocidad, aceleración, energía potencial y energía cinética máximas, además de la energía mecánica del sistema. Los resultados obtenidos fueron:

f = 1.13 Hz

ω = 7.14 rad/s φ = π Um = 9.93 ×10−3J

Km = 9.15 ×10−3J

E = 9.93 ×10−3J

3

INTRODUCCION TEORICA

Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico.

El ejemplo típico es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.

Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).

Se denominará m a la masa e a la distancia entre la posición de la masa y la posición de equilibrio. Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio:

(ley de Hooke). es la fuerza y la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando es positiva la fuerza está dirigida hacia las negativas.

4

La segunda ley de Newton nos dice:

Remplazando la fuerza obtenemos:

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es inmediata: las únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el signo invertido son seno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemos arbitrariamente "coseno". La solución se escribe:

es la amplitud, que depende de las condiciones iniciales. es la pulsación (o frecuencia angular) y la frecuencia. es el tiempo. es la fase inicial (para ).

Es fácil comprobar que el valor de es:

El período de oscilación es:

Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilación la energía potencial se transforma en energía cinética. Durante otro cuarto, la energía cinética se transforma en energía potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la posición en función del tiempo (curva de arriba), la velocidad en función del tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).

5

PROCEDIMIENTO

PARTE A: DETERMINACION DE LA CONSTANTE ELASTICA DEL RESORTE

1) Disponer el sistema como se muestra en la figura 1.

2) Establezca sus coordenadas y su nivel de referencia para el movimiento.

3) Determine con la balanza la masa conjunta del porta-pesa y la masa. Observe que al combinar el porta-pesa con las diferentes masas se obtienen diferentes valores de masa. Ordene las diferentes combinaciones de masa de mayor a menor y traslade a la tabla 1.

4) Coloque en el extremo libre del resorte, la menor de las masas y mida su elongación; haga lo mismo con la siguiente masa y termine sucesivamente sus mediciones con una masa de 400 g. Anote estos valores experimentales en la tabla 1.

TABLA 1: VALORES EXPERIMENTALES Y – F

Masa Medida (g) Fuerza (N) Elongación (m)200 1.95 0.076250 2.44 0.105300 2.93 0.128400 3.42 0.151500 3.91 0.176

5) Use papel milimetrado para elaborar el grafico Y(m) vrs. F(N)

6

7

PARTE B: DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LA RELACION ENTRE EL PERIODO Y LA MASA.

1) Use los mismos valores de masa de la parte A.

2) Coloque la menor de las masas (considere masa y porta-pesa) en el extremo libre del resorte y ponga el sistema a oscilar con una amplitud menor o igual a 3 cm.

3) Mida el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones completas, repita este procedimiento dos veces más y traslade las mediciones a la tabla 2.

4) Repita con el siguiente valor de masa los pasos 2 y 3; hasta completar la tabal numero 2.

TABLA 2: DATOS EXPERIMENTALES T-m

Masa Medida (g) Tiempo de 10 oscilaciones. (s)

Tiempo medio, t (s) Periodo, T= t

10 (s)

301.0 6.16 6.35 6.18 6.23 0.623350.1 7.12 7.19 7.12 7.14 0.714400.5 7.75 7.81 7.70 7.75 0.775450.0 8.16 8.19 8.37 8.24 0.824501.1 8.93 8.82 8.91 8.88 0.888

5) Use papel milimetrado para elaborar el grafico Y(s) vrs. m(kg)

8

9

PARTE C: DETERMINACION DE LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN EL MOVIMIENTO.

1) Utilizando de nuevo el sistema con la masa de 400 g, hágalo oscilar soltándolo desde una deformación de unos tres centímetros a partir de su punto de equilibrio, asigne al instante en que lo suelta el tiempo cero (t = 0) y determine los valores de la amplitud y periodo del mismo, traslade esta información a la tabla 3.

TABLA 3: VALORES DE AMPLITUD Y PERIODO PARA LA MASA DE 500 g.

Masa Medida (g)

Amplitud (m)

Periodo (s) Frecuencia (Hz)

Frecuencia Angular ( rad/s)

Angulo de fase (rad)

400 3.00 0.88 1.13 7.14 π

2) Calcule el valor de la constante de fase de acuerdo a las condiciones iníciales (coordenadas para t=0).

3) Tomando un tiempo igual a un periodo, elabore el grafico que indica posición en cualquier instante (Y vrs. t)

10

11

ANALISIS DE RESULTADOS

PARTE A: DETERMINACION DE LA CONSTANTE ESLATICA DEL RESORTEDel grafico Y vrs. F, en papel milimetrado:

1. Observe la grafica. ¿Es de forma lineal? R/ Si

2. Sale del origen:R/ NoSi no sale del origen, ¿Cuál es el valor del intercepto? (con unidades): R/ -0.039 m

3. Escriba la ecuación general que relaciona a estas dos variables:R/ Y ═ aF + b, donde a es la pendiente de la recta y b es el intercepto con en el eje de las Y.

4. Evalué la pendiente de la grafica, usando la ecuación del literal 3; para cada uno de los pares ordenados y obtenga el valor promedio.R/ Pendiente (con unidades): 0.045 m/ N

5. Obtenga el inverso del valor de la pendiente: R/ 22.07 N/m

6. ¿Qué representa el valor encontrado en el numeral 5? R/ La constante elástica del resorte.

PARTE B: DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LA RELACION ENTRE EL PERIODO Y LA MASA.

1. De acuerdo a los datos experimentales y según la grafica elaborada, en papel milimetrado, determine la ecuación que relaciona a T y m de la forma T = Cma (Curva potencial). Indique el valor de las constantes con sus respectivas unidades.

Valor de la constante C = 1.39

Valor de la constante a = 0.49

Ecuación Particular: T = 1.39 m0.49

12

2. Calcule el periodo del sistema con una masa oscilante de 400 g, usando la ecuación particular obtenida y compare con el valor teórico del periodo que se obtiene al usar la ecuación (2).

Según ecuación particular (T = 1.24 m0.49 ¿: T = 0.88 s

Según ecuación (T=2 π √ mk

): T = 0.84 s

PARTE C: DETERMINACION DE LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN EL MOVIMIENTO.

Una vez conocidas las constantes de éste movimiento, escriba:

1. Ecuación de la posición con sus constantes: Y = (0.03) cos (7.14 t + π) m

2. Ecuación de velocidad: V = -0.21 sen (7.14 t + π) m/s

3. Ecuación de la aceleración: a= -1.53 cos (7.14 t + π) m/s2

4. Velocidad Máxima de la masa: V m = ± 0.21 m/s

5. Aceleración Máxima de la masa: am = ± 1.53 m/s2

6. Energía potencial máxima: Um = 9.93 ×10−3J

7. Energía cinética máxima: Km = 9.15 ×10−3J

8. Energía Mecánica Total: E = 9.93 ×10−3J

13

CUESTIONARIO

1. El ignorar la masa del resorte, ¿tiene algún efecto cuando se calcula la constante del resorte? (Explique). R/ No, ya que si el resorte pesa más o menos no varían los resultados, debido a que la constante de resorte no depende de la masa sino que depende de la fuerza de restitución y la elongación.

2. El movimiento que se ha analizado, se asume que es MAS; ¿Qué efecto tienen las fuerzas de fricción en los resultados obtenidos del periodo? (Explique)

R/ El movimiento armónico simple es un modelo idealizado en el que no existen las fuerzas de fricción en el resorte. En el experimento realizado las fuerzas de fricción en el resorte oscilante actúa en sentido contrario a la fuerza restauradora haciendo que el movimiento se retarde y el periodo sea mayor llegando a un punto en el que el sistema deja de oscilar y el periodo se vuelve 0, si no existieran las fuerzas disipativas el sistema oscilaría siempre. Pero en este caso para calcular datos, incluyendo al periodo, se considera que es MAS ya que si tomáramos en cuenta estas fuerzas el trabajo para obtener los resultados seria más dificultoso.

¿Qué otras causas pudieron influir en los resultados?R/ Otras causas que pudieron influir en los resultados son: la fricción que hace el aire al sistema, errores al momento de tomar el tiempo de cada oscilación y el deterioro de los instrumentos.

3. Si la masa oscilante fuera de 1.35 kg; ¿Cuál sería el valor del periodo? Resultado con la ecuación deducida por mínimos cuadrados (T = 1.39 m0.49):

T = 1.61 s

Resultado con la ecuación teórica del Periodo (T=2 π √ mk

):

T= 1.55 sSi el periodo fuera T = 1 s; ¿A qué masa oscilante correspondería?

Resultado con la ecuación deducida por mínimos cuadrados (T = 1.39 m0.49):

M = 0.51 kg

Resultado con la ecuación teórica del Periodo (T=2 π √ mk

):

M = 0.56 kg

14

CONCLUSIONES

1. Para determinar la constante elástica del resorte se debe encontrar primeramente una ecuación que relacione las constantes de enlongacion Y y la fuerza F para nuestro experimento, la cual se deduce que es Y = aF + b, en donde a es la pendiente y b es el intercepto, calculamos el intercepto el cual da -0.039 m, con este valor podemos despejar a y obtener el valor de la pendiente y sustituimos los valores para cada pare ordenado (F, Y) los sumamos y dividimos entre cinco observaciones realizadas y así obtenemos el valor medio de la pendiente (a), al tener este valor medio calculamos su inversa a−1 y el valor que se obtiene representa la constante elástica del resorte, la cual nos da:

a=0.045 m / Na−1=22.07 N /m

2. Se determino experimentalmente que el periodo de oscilación en un sistema masa resorte es proporcional a la masa del objeto oscilando, elevada esta a un exponente, por lo tanto, al determinar sus constantes por el método de mínimos cuadrados la ecuación resulta de la siguiente manera: T = 1.39 m0.49, de la cual se puede decir que es una ecuación potencial; con esta ecuación podemos obtener el valor del periodo para cualquier masa:Masa de 0.40 kg.

T = 1.39 (0.40)0.49

T = 0.88s

3. La frecuencia es el número de ciclos que completa una masa por segundo, la cual está

dada por la formula f = 1T

; esta frecuencia no es la misma a la frecuencia angular ya que

esta consiste en el cambio angular del desplazamiento en unidad de tiempo, cuya fórmula es ω=2 πf . En nuestro experimento calculamos estos dos conceptos mencionados con una masa de 400g cuyo periodo de 0.88s donde obtenemos:

f = 1

0.88 s ω=2 π (1.1363 Hz)

f = 1.13 Hz ω=¿ 7.14 rad/s

Con el valor de la frecuencia angular podemos desarrollar una ecuación de posición en función del tiempo que describen el movimiento del sistema, dicha ecuación queda de la siguiente manera: Y = (0.03) cos (7.14 t + π) m.

15

4. Teniendo la ecuación de posición podemos determinar otras dos ecuaciones para el cuerpo oscilante en cualquier instante:

La ecuación de velocidad que se obtiene derivando la ecuación de posición con respecto al tiempo, se tiene: V = -0.21 sen (7.14 t + π) m/s

La ecuación de aceleración la cual se determina derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo: a= -1.53 cos (7.14 t + π) m/s2

5. La energía cinética es máxima en un movimiento armónico simple cuando la masa que esta oscilando pasa por su posición de equilibrio donde la velocidad es máxima en ese

punto (Km=12

m v2) y la energía potencial es máxima cuando la masa oscilante llega a

los puntos máximos de la trayectoria (Xmáx) donde la velocidad es cero (

Um=12

k Y m2), aplicando estos dos conceptos de energía en nuestro experimento con una

masa de 400g se tiene:

Km=12

m v2=9.15 ×10−3J

Um=12

k Y m2=9.93 ×10−3

16

ANEXOS

CÁLCULOS REALIZADOS EN EL DESARROLLO DEL INFORME

Procedimiento - Calculando fuerzas de tabla 1:

F = mg

m1= 200 g ×1 kg

1000 g = 0.20 kg

F= (0.20 kg) (9.78 m/s2 ¿

F = 1.95 N

m2 = 250 g ×1 kg

1000 g = 0.25 kg

F= (0.25 kg) (9.78 m/s2 ¿

F =2.44 N

m3 = 300 g ×1kg

1000 g = 0.30 kg

F= (0.30 kg) (9.78 m/s2 ¿

F = 2.93 N

m4 = 350 g ×1kg

1000 g = 0.35 kg

F= (0.35 kg) (9.78 m/s2 ¿

F = 3.42 N

m5 = 400 g ×1 kg

1000 g = 0.40 kg

17

F= (0.40 kg) (9.78 m/s2 ¿

F = 3.91 N

Análisis de Resultados Parte A.- Calculando el valor del intercepto:

Escogiendo dos puntos de la tabla 1P1 (1.95, 0.076)P2 (2.44, 0.105)

a = Y 2−¿Y 1

X2−¿ X 1¿¿

a = (0.105m )−¿(0.076m )

(2.44 N )−¿(1.95N )¿¿

a = 0.059 m/N pendiente

Sustituyendo un punto y el valor de la pendiente en la ecuación:

Y ═ aF + bb ═ Y – aFb ═ (0.076m) – (0.059m/N) (1.95N)

b ═ -0.039 m intercepto

- Calculando el valor de la pendiente:Y ═ aF + b

a ═ Y−b

F

a1=0.076 m−(−0.039)m

1.95 N = 0.05897 m/N

18

a2=0.105 m−(−0.039)m

2.44 N = 0.05901 m/N

a3=0.128 m−(−0.039 m)

2.93 N = 0.05699 m/N

a4=0.151 m−(−0.039 m)

3.42 N = 0.05555 m/N

a5 ═0.176 m−(−0.039)m

3.91 N = 0.05498 m/N

a=∑a5

=0.22653 m5 N

=0.045 m /N

- Calculando el valor inverso de la pendiente.

a−1=∑a−1

5= 5 N

0.22653 m=22.07 N /m

Parte B.- Regresión potencial para encontrar las constantes de la ecuación T = Cma; las

ecuaciones para resolver por el método de mínimos cuadrados son:

∑ logT=n logC+a ∑ logm (1)∑ logm log T=log C ∑ logm+a ∑¿¿ (2)

N° de observación

m (kg) T (s) Log m Log T Log T. Log m

( logm)2

1 0.20 0.623 -0.698970 -0.205511 0.143646 0.488559

2 0.25 0.714 -0.602059 -0.146301 0.088082 0.362476

3 0.30 0.775 -0.522878 -0.110698 0.057881 0.273402

4 0.35 0.824 -0.455931 -0.084072 0.038331 0.207873

5 0.40 0.888 -0.397940 -0.051587 0.020528 0.158356

∑ = -2.677778 -0.598169 0.348468 1.490666

Sustituyendo en (1) y (2):

19

-0.598169 = 5 log C + a (-2.677778) (2.677778) 0.348468 = log C (-2.677778) + a (1.490666) (5)

Resolviendo se obtiene:

-1.601763 = 13.38889 log C + (-7.170495) a 1.74234 = -13.38889 log C + 7.45333 a

Haciendo la suma:

0.140577 = 0.282835 a

a = 0.1405770.282835

a = 0.497028

a ≅ 0.49

Sustituyendo el valor de a en la ecuación (1):

-0.598169 = 5 log C + (0.49) (-2.677778)-0.598169 + 1.312111 = 5 log C

C = log−1( 0.7139425 )

C ≅ 1.39

Por lo que la ecuación particular queda de la siguiente forma:

T = 1.39 m0.49

- Calculando el periodo con masa oscilante de 0.40 kg:

Según ecuación particular:

T = 1.24 (0.40)0.49

T = 0.88s

20

Según ecuación teórica:

T=2 π √ mk

T = 2 π √ (0.40kg)27.01N /m

T = 0.84 s

Parte C.- Determinación de algunos valores de la tabla 3:

Frecuencia:

f = 1T

f = 1

0.88 s

f = 1.13 Hz

Frecuencia angular:

ω=2 πf

ω=2 π (1.1363 Hz)

ω=¿ 7.14 rad/s

Angulo de fase:

Y = Y m cos (ωt+φ ) Para t = 0 tenemos:

Y = Y m cos ( φ )

21

(φ )=cos−1( YY m

)(φ )=cos−1(−0.03 m

0.03m ) φ=cos−1 (−1 ) φ=π

- Cálculos para la obtención de la grafica Y vrs t

T=t y utilizando la ecuación Y=Y mCos (wt+ϕ )

Para t=0.623s

Y=(0 . 03 m)Cos ((7 .14rad

s)(0 . 623 s )+π rad )=0 .0078 m

Para t=0.714s

Y=(0 . 03 m)Cos ((7 .14rad

s)(0 . 714 s )+π rad )=−0 . 011m

Para t=0.775s

Y=(0 . 03 m)Cos ((7 .14rad

s)(0 . 775 s )+π rad )=−0 .022m

Para t=0.824s

Y=(0 . 03 m)Cos ((7 .14rad

s)(0 . 824 s )+π rad )=−0 . 027m

Para t=0.888s

Y=(0 . 03 m)Cos ((7 .14rad

s)(0 . 888 s )+π rad )=−0 . 029m

- Encontrando los valores máximos:

Velocidad máxima de la masa:

22

vm=± ωY m=±(7.14rad

s)(0.03 m)=± 0.214 m /s

Aceleración máxima de la masa:

am=± ω2 Y m=± (7.14rad

s )2

(0.03 m)=±1.53m / s2

Energía potencial máxima:

Um=12

k (Y ¿¿ m)2=12¿¿J

Energía cinética máxima:

Km=12

m v2=12

(0.40kg )(0.214ms )

2

=9.15 ×10−3J

Energía mecánica total:

E=12

k (Y ¿¿m)2¿

E=12

¿J

Cuestionario

- Calculando el periodo con masa de 1.35 kg

Ecuación particular:

T = 1.39 m0.49

T = 1.39 (1.35 kg)0.49

T = 1.61 sEcuación teórica:

T=2 π √ mk

23

T=2 π √ 1.35kg22.07 N /m

T=¿ 1.55 s

- Calculando la masa con un periodo de T = 1s:

Ecuación particular:

T = 1.39 m0.49

m=0.49√ T1.39

=0.49√ 1 s1.39

=0.51kg

Ecuación teórica:

T=2 π √ mk

m=T 2k

4 π 2=(1 s )2(22.07

Nm

)

4 π2 =0.56 kg

24