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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA

LABORATORIO DE SISTEMAS DE COMUNICACIÓN DIGITAL

Tema: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES

Alumnos:

Rojas Bautista, José Antonio 10190222

2014

DIG

ITA

LIZ

AC

ION

DE

SE

ÑA

LE

S

1


DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES

Simulación de señales y muestreo.

FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO (DELTA DE DIRAC)

La función impulso unitario juega un papel determinante en la teoría de la comunicación de señales y en concreto en el teorema del muestreo. Se define como:

δ (t 0)

t 0

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Y cumple que:

{∫−∞

∞

δ (t )dt=1 si t=0

0 resto

Es decir, que aunque se trate de un pulso infinitamente estrecho, tiene un área de 1 porque posee una amplitud infinita. Por el mismo motivo se tiene, por definición, que

∫−∞

∞

δ ( t ) f (t)dt=f (0 )∫−∞

∞

δ (t ) dt=f (0)

y de la misma forma, que

∫−∞

∞

δ (t−t 0 ) f (t)dt=f (t 0)

En virtud de estas definiciones podremos decir que la función impulso unitario es capaz de calcular el valor de una función en el punto en que aquella (la delta) se define.

Obtención de la función impulso unitario

La función impulso unitario es una función físicamente imposible de generar y que se obtiene en el límite de otras funciones:

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A partir de una función rectangular:

hτ (t )={1τ

si|t|< τ2

¿0 resto

Tomando

limτ → 0

hτ( t)=δ (t)

A partir de la función seno cardinal normalizado:

δ (t )=lima → 0

1a

SincN( ta)… (α)

Nótese que cuando ’a’ disminuye, la función muestreo se compacta en t=0.

Dónde:

SENO CARDINAL MATEMÁTICO DIG

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Sinc (t )={Sen (t)t

, t ≠ 0

1 , t=0

SENO CARDINAL NORMALIZADO

SincN ( t )={Sen(πt )πt

, t ≠ 0

1 , t=0

A continuación, trabajaremos con esta señal en el MATLAB

Generamos una base de tiempos.

t=-10:0.01:10;

Generamos el seno cardinal matemático.

x=sin(t)./t;

Generamos el seno cardinal normalizado.

y=sin(pi*t)./pi*t;

Generamos el seno cardinal con el comando de MATLAB.

z=sinc(t);

Graficamos, generando una matris de grado 3 ×1.

subplot(3,1,1)

plot(t,x)

grid on

legend('Seno Cardinal matemático') DIG

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subplot(3,1,2)

plot(t,y,'r')

grid on

legend('Seno Cardinal normalizado')

subplot(3,1,3)

plot(t,z,'g')

grid on

legend('Seno Cardinal generado por MATLAB')

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

Seno Cardinal matematico

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

Seno Cardinal normalizado

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

Seno Cardinal generado por MATLAB

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Se puede concluir de la gráfica, que el seno cardinal generado por el MATLAB representa al seno normalizado.

Para poder obtener una función impulso que se pueda utilizar en la práctica, se recurre a la expresión (α ).

Para a= 1 , 0.5 , 0.25 y 0.1

t=-10:0.001:10;

f1=(1/1)*sinc(t/1);

f2=(1/0.5)*sinc(t/0.5);

f3=(1/0.25)*sinc(t/0.25);

f4=(1/0.1)*sinc(t/0.1);

subplot(4,1,1)

plot(t,f1)

grid on

legend('Para a=1')

subplot(4,1,2)

plot(t,f2,'g')

grid on

legend('Para a=0.5')

subplot(4,1,3)

plot(t,f3,'r')

grid on

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subplot(4,1,4)


plot(t,f4,'m')

grid on


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1

Para a=1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1

0

1

2

Para a=0.5

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

Para a=0.25

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-5

0

5

10

Para a=0.1

Se puede observar en la gráfica, que mediante el valor de ‘a’ tiende a cero, la gráfica de la función se aproxima a la del impulso unitario. Tal como lo representa la expresión (α ).

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El siguiente paso del laboratorio consiste en determinar el área de la función seno cardinal normalizado, para diferentes valores del parámetro ‘a’. Antes de ello, primero obtenemos el área total teóricamente:

AT=∫−∞

∞

SincN( f )df

Pero, se sabe:

F {Π ( t)}=SincN( f )

Seno cardinal normalizado

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Por tanto:

F−1 {SincN ( f )}=Π (t )

∫−∞

∞

SincN (f ) e i2 πft df =Π (t )

Evaluamos t=0 , para esta última expresión:

∫−∞

∞

SincN (f )e i 2 πft df|t=0=Π ( t )|t=0

AT=∫−∞

∞

SincN ( f ) df =Π (0 )=1

∴ AT=1a∫−∞

∞

SincN( ta )dt=1

Esto nos indica, que no importa qué valor se asigne a el parámetro ‘a’ , siempre el área total nos resulta la unidad.

Π (t ) FunciónRectangular

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Nos recomiendan obtener el área del lóbulo mayor, para representar el área total.

Ahora, verifiquemos el valor del área de la función, para cada valor de ‘a’.

Figura(1)

Obtenemos el área de la figura, con el siguiente programa:

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Mientras más reducido sea el valor de ' τ ' , más precisión tendrá el resultado.

Con τ=0.001

Para a=1:

A=0;for t=-1:0.001:1;A=A+(1/1)*(sinc(t/1))*0.001;End

INICIO

t=−a : τ : a

A=A+(1/a )∗sinc ( t /a )∗τ

A=0

A FIN

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A

∴ Aa=1=1.1790

Para a=0.5:

A=0;for t=-0.5:0.001:0.5;A=A+(1/0.5)*(sinc(t/0.5))*0.001;endA

∴ Aa=0.5=1.1790

Para a=0.25:


∴ Aa=0.25=1.1790

Para a=0.1:


∴ Aa=0.1=1.1790

Con τ=0.0001

Para a=1:

A=0;for t=-1:0.0001:1;A=A+(1/1)*(sinc(t/1))*0.0001;endA

∴ Aa=1=1.1790 DIG

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Para a=0.5:


∴ Aa=0.5=1.1790

Para a=0.25:


∴ Aa=0.25=1.1790

Para a=0.1:


∴ Aa=0.1=1.1790

También se puede usar el comando int (integral definida):

Para a=0.5:

syms t

f=(1/0.5)*sinc(t/0.5);

A=int(f,-0.5,0.5) DIG

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∴ Aa=0.5=1.1790

Para a=0.25:

syms t

f=(1/0.25)*sinc(t/0.25);

A=int(f,-0.25,0.25)

∴ Aa=0.25=1.1790

Para a=0.1:

syms t

f=(1/0.1)*sinc(t/0.1);

A=int(f,-0.1,0.1)

∴ Aa=0.1=1.1790

Podemos notar de los resultados obtenidos en el programa, que el valor del área excede en un 17.9% del valor ideal, lo cual es un error significativo.

Ahora, verifiquemos el valor del área del lóbulo mayor matemáticamente.

A=∫−a

a1a

SincN( ta )dt=2

a∫0

asen (πt /a)

πt /adt=2∫

0

asen (πt /a)

πtdt … (φ)

Se sabe, que el seno se puede representar mediante la serie de Taylor, el cual es:

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senx=∑n=0

∞ (−1)n x2n+1

(2n+1 ) !

→ sen ( πta )=∑

n=0

∞ (−1 )n π2 n+1 t2n+1

(2 n+1 ) !a2 n+1 …(ω)

Reemplazando (ω) en (φ) :

A=2∑n=0

∞

∫0

a (−1 )n π2 n t2 n

(2n+1 ) !a2 n+1 dt=2∑n=0

∞ (−1 )n π2 nt 2 n+1

(2n+1 ) (2 n+1 )! a2 n+1|0

a

¿2∑n=0

∞ (−1 )n π2 n a2n+1

(2n+1)(2n+1 ) !a2 n+1=2∑n=0

∞ (−1 )n π2 n

(2n+1) (2 n+1 )!

A=2[1− π2

3∗3 !+ π4

5∗5 !− π 6

7∗7 !+ π8

9∗9!− π 10

11∗11!+… ]

A=2 (1−0.5483+0.1623−0.0272+0.0029−0.0002+…)

∴ A ≈ 1.179

Con esto último, afirmamos que el área del lóbulo mayor es fijo, no importa que valor tenga el parámetro ’a’.

Nuestros resultados obtenidos en el MATLAB son correctos. Ahora nos centraremos en justificar el exceso de área.

≈ 0

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Una hipótesis a considerar seria que el resultado del área de los demás lóbulos tendría que ser negativo.

Esto se puede verificar fácilmente, mediante el siguiente programa.

Con τ=0.0001

Para a=1:

A=0;for t=1:0.0001:1000; %Considerando un infinito practico. A=A+(1/1)*(sinc(t/1))*0.0001;endAr=2*A %Área restante al lóbulo mayor.

∴ ARa=1=−0.1792

Para a=0.5:

A=0;for t=0.5:0.0001:1000; %Considerando un infinito practicoA=A+(1/0.5)*(sinc(t/0.5))*0.0001;endAr=2*A %Área restante al lóbulo mayor.

∴ ARa=0.5=−0.1791

Para a=0.25:


∴ ARa=0.25=−0.1790 DIG

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Para a=0.1:


∴ ARa=0.1=−0.1790

Se puede notar que mediante ‘a’ se aproxima a cero el valor del área resultante se aproxima mas a -0.1790, el cual es lo ideal para obtener un área total igual a la unidad, como estamos considerando un infinito practico y considerando el hecho que el área de la función está más concentrado en las proximidades del origen cuando ‘a’ está más próximo a cero, entonces este valor es lo más preciso posible al valor del área restante real para diferentes valores del parámetro.

Finalmente con este resultado, se confirma que el área total es la unidad. Y llegando a la conclusión que no es muy recomendable considerar el lóbulo mayor como el área total, pues existe un error considerable.

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CONCLUSIONES

La función impulso unitario es ideal y solo puede ser aproximada en la práctica.

El comando sinc en Matlab representa al seno cardinal normalizado.

La función 1a

SincN( ta) se aproxima al impulso unitario, cuando

‘a’ se acerca a cero, pues el área de la función se va concentrado en las proximidades del origen.

El seno cardinal tiene un área total igual a la unidad, para cualquier valor de ’a’.

El área debajo del lóbulo mayor es 1.179, sin importar que valor tenga el parámetro ’a’.

El resto de lóbulos nos da un área resultante negativo igual a -0.179.

Considerar el área total como el área del lóbulo mayor es poco práctico, pues existe un error del 17.9 % que es considerable.

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