LA INTEGRAL DEFINIDA

Cuando estudiamosel problema del reay elproblema de la distanciaanalizamos que tanto el valor del rea debajo de la grfica de una funcin como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el lmite de una suma.

[f(x0) + f(x1) + f(x2) + + f(xn1)]x

(se utiliza el valor de la funcin en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

[f(x1) + f(x2) + f(x3) + + f(xn)]x

(se utiliza el valor de la funcin en el extremo derecho de cada subintervalo)

[f(t1) + f(t2) + f(t3) + + f(tn)]x

(se utiliza el valor de la funcin en cualquier punto de cada subintervalo)

Este tipo de lmites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una funcin positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notacin a este tipo de lmites.

Definicin 1: Si f es una funcin continua sobre el intervalo [a, b], entonces laintegral definida de fdeaab,que se indicaes el nmero:

[f(x0) + f(x1) + f(x2) + + f(xn1)]x o bien

donde x0= a, xn= b yx.

(la funcin se evala en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi1, xi] con i = 1, .., n)

Definicin 2: Si f es una funcin continua sobre el intervalo [a, b], entonces laintegral definida de fdeaab, que se indicaes el nmero:

[f(x1) + f(x2) + f(x3) + + f(xn)]x

donde x0a, xnb yx.

(la funcin se evala en el extremo derecho de cada subintervalo [xi1, xi] con i1, .., n)

Definicin 3: Si f es una funcin continua sobre el intervalo [a, b], entonces laintegral definida de fdeaab, que se indicaes el nmero:

[f(t1) + f(t2) + f(t3) + + f(tn)]x

donde x0a, xnb yx.

(la funcin se evala en cualquier punto tide cada subintervalo [xi1, xi] con i1, .., n)

El nmeroaes el lmite inferior de integracin y el nmerobes el lmite superior de integracin .

Notacin y terminologa:

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e vala la integral.

La continuidad asegura que los lmites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor dees el mismo independientemente de cmo elijamos los valores de x para evaluar la funcin (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definicin ms general.

Definicin de integral definida: Sea f una funcin continua definida para axb. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual anchox. Sean x0a y xnb y adems x0, x1, ...., xnlos puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto tien estos subintervalos de modo tal que tise encuentra en el i-simo subintervalo [xi1, xi] con i1, .., n.

Entonceslaintegral definida de fdeaabes el nmero.

La integral definida es un nmero que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definicin bsicamente tiene su motivacin en el problema de clculo de reas, se aplica para muchas otras situaciones. La definicin de la integral definida es vlida an cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la grfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el nmero resultante no es el rea entre la grfica y el eje x.

Observacin: La sumaque aparece en la definicin de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemtico alemn Bernahrd Riemann. Su definicin inclua adems subintervalos de distinta longitud.

Definicin de las sumas deRiemann:Sea f una funcin definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una divisin (particin) arbitraria de dicho intervalo ax0x1x2x3.........xn1xnb dondexiindica la amplitud o longitud del i-simo subintervalo. Si ties cualquier punto del i-simo subintervalo la suma, xi1tixisellama suma de Riemannde fasociada a la particin .

Si bien la integral definida haba sido definida y usada con mucha anterioridad a la poca de Riemann l generaliz el concepto para poder incluir una clase de funciones ms amplia. En la definicin de una suma de Riemann, la nica restriccin sobre la funcin f es que est definida en el intervalo [a, b]. (antes suponamos que f era no negativa debido a que estbamos tratando con el rea bajo una curva).

Una pgina interesante para ampliar sobre las sumas de Riemann y visualizar animaciones resultahttp://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/

Ejemplo:Halle

Como f(x)x3es continua en el intervalo [2, 1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitudy para el clculo de la integral consideramos el extremo derecho de cada subintervalo ti.

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

Observacin: Esta integral definida es negativa, no representa el rea graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.

Surgimiento del smbolo

Leibniz cre el smboloen la ltima parte del siglo XVII. Laes una S alargada de summa (palabra latina para suma). En sus primeros escritos us la notacin "omn." (abreviatura de la palabra en latn "omnis") para denotar la integracin. Despus, el 29 de octubre de 1675, escribi, "ser conveniente escribiren vez de omn., as comoen vez de omn.l ...". Dos o tres semanas despus mejor an ms la notacin y escribien vez desolamente. Esta notacin es tan til y significativa que su desarrollo por Leibniz debe considerarse como una piedra angular en la historia de la matemtica y la ciencia.

La notacin de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El smbolohace referencia al hecho de que una integral es un lmite de una suma de trminos de la forma "f(x) por una pequea diferencia de x". La expresin dx no se considera por separado sino que forma parte de la notacin que significa "la integral deuna determinada funcincon respecto a x". Esto asegura que dx no tiene significado por si mismo sino que forma parte de la expresin completa. De todos modos, desde un punto de vista totalmente informal e intuitivo algunos consideran que la expresin dx indica "una porcin infinitesimalmente pequea de x" que se multiplica por un valor de la funcin. Muchas veces esta interpretacin ayuda a entender el significado de la integral definida. Por ejemplo, si v(t) (positiva) es la velocidad de un objeto en el instante t entonces v(t) dt se podra interpretar, segn la consideracin hecha, como velocidad . tiempo y esto sabemos que da por resultado la distancia recorrida por el objeto durante un instante, una porcin de tiempo muy pequea dt. La integralse puede considerar como la suma de todas esas distancias pequeas que como ya analizamos da como resultado el cambio neto en la posicin del objeto o la distancia total recorrida desde ta hasta tb.

Esta notacin permite adems determinar qu unidades se deben usar para su valor. Como sabemos los trminos que se suman son productos de la forma "f(x) por un valor muy pequeo de x". De esta manera la unidad de medida dees el producto de las unidades de f(x) por las unidades de x. Por ejemplo:

*si v(t) representa la velocidad medida eny t es el tiempo medido en horas, entonces latiene por unidades. hkm. La unidad obtenida es kilmetros y es lo que corresponde porque es valor de la integral representa un cambio de posicin.

*si se grafica yf(x) con las mismas unidades de medida de longitud a lo largo de los ejes coordenados, por ejemplo metros, entonces f(x) y x se miden en metros y

tiene por unidad m . mm2. Esta unidad es la esperada dado que, en este caso la integral representa un rea.

Es importante tener en cuenta el teorema enunciado a continuacin.

Teorema:

Si una funcin f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo .

Si f tiene un nmero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta slo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

QU SON Y PARA QU SIRVEN LAS INTEGRALES Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES (E.D.)?

ABR0520136 COMENTARIOSESCRITO PORMARIANO IRIARTE

Cuando hace unos meses escrib sobre la derivada en este mismo blog, lo haca para avanzar en la idea de que el sistema educativo no ha utilizado elsentir, elobservary elimaginarde los nios y de los jvenes para ayudarles a construir en sus cabezas los conceptos bsicos de las ciencias. Como saba que mucha gente ha estudiado la derivada y que ha hecho muchos ejercicios con muchas derivadas pero que no ha entendido el concepto, lo utilic para demostrar que si se utiliza el sentir, y el imaginar se entiende el concepto de derivada sin hacer ninguna derivada.

El resultado es que he recibido cometarios llenos de halagos que me confirman que al menos, para ellos, mi escrito les ha ayudado a entender una derivada.

As que, los comentarios que he recibido me han animado a escribir sobre el concepto de lasintegralesy de lasecuaciones diferenciales.Es ms difcil, pero intentar mantener, a lo largo del escrito, como lo hice en el anterior, la idea de que es muy importantevisualizareimaginarpara entender el concepto como fase previa a la conceptualizacin.

INTEGRALES Y DERIVADAS: VISUALICEMOS

Conviene recordar la visualizacin que hacia sobre la derivada en el artculo anterior cuando utilizaba el ejemplo de los tablones: la evolucin de la inclinacin de los tablones era la derivada.

Figura 1

Es decir que la relacin entre lo que se avanzaba y lo que se suba en altura nos daba un coeficiente que podramos llamar en el caso aquel de las escaleras ndice de inclinacin o ndice angular.

Figura 2

Figura 3

La derivada es la evolucin de esos coeficientes directores o la evolucin de la inclinacin de los tablones (figura 2). Como la inclinacin se va reduciendo a medida que subimos por los tablones, la funcin derivada describe una curva que se va reduciendo, acercando a cero en el eje de abscisas y que sera en el punto de la escalera en que se ha llegado al rellano final de la escalera. As, si tenemos una funcin primitiva (una banda continua en lugar de tablones sobre la escalera) podemos deducir la derivada y si tenemos la derivada (figura 3) podemos encontrar la primitiva (figura 2), una constante ms o menos porque perdemos cierta informacin.

Profundicemos ahora en esta visualizacin de la relacin que hay entre una derivada y suprimitivao entre una funcin y su derivada, que es lo mismo pero a la inversa. Para ello vamos a utilizar otra imagen. Es la imagen de la relacinque existe entre el flujo de agua de un grifo que abrimos ms o menos a lo largo del tiempo(derivada) y la cantidad de agua que vamos recogiendo en un jarro o en un recipiente(primitiva).

As que vamos a visualizar esto haciendo dos operaciones.

Tenemos un grifo que est abierto de modo constante y que no modificamos a lo largo del tiempo: tenemos un flujo de agua que se mantiene igual desde el inicio hasta al cabo detsegundos, por ejemplo es un flujo de: 0,5 litros / segundo. Sabemos que un flujo es unvolumen / tiempo, que escribimos:

Imaginamos ahora que el grifo no permanece igual sino que lo vamos abriendo ms y ms, haciendo que el flujo vaya creciendo medio litro por segundo. Este flujo lo escribimos:

La diferencia con el anterior flujo es que mientras el primero se mantiene igual a lo largo de toda la lnea del tiempo, en el segundo caso va creciendo medio litro por cada unidad de tiempo, de manera que con el primer flujo en el octavo segundo ser de 0,5 litros. El segundo flujo ser de 4 litros por segundo.

Figura 4

Pero hay algo magnfico y bello que, en paralelo, Newton y Leibniz encontraron y que es la base de todo el clculo diferencial. Fijaros en el grfico de la recta en color azul y contad el nmero de cuadros que se han rellenado al cabo de 8 segundos: el flujo con una tasa de 0,5 l/s ha rellenado 8 mitades de rectngulo, es decir 4 litros. Vaya! Es un volumen (en el grfico una superficie) que coincide con el resultado (el volumen) de la otra funcin al cabo de 8 segundos: ya que si multiplicamos 8 segundos por 0,5 nos da tambin 4 litros. Hagamos el mismo ejercicio con otro punto del grfico y veremos que la superficie cubierta por la primera lnea paralela al eje del tiempo y el resultado de la funcin de la recta rojal(x) = 0,5 tes el mismo.Lo cual nos lleva a decir que la superficie cubierta entre dos lmites o bornes de la funcin derivada, en azul, y el eje X o eje de abscisas es la misma que el resultado de la funcin primitiva (en rojo) a una constante ms o menos.

Figura 5

La integracin es pues la operacin que nos permite, partiendo de la derivada, encontrar la primitiva o el resultado de superficie entre dos bornes de la derivada, y la derivacin de una funcin continua sera la operacin inversa. Hay una formula general para, partiendo de la funcin primitivay = xn, pasar a su derivada:y (x)= nxn-1, de manera que si tomamos como funcin primitiva la recta roja del grficol(t)=0,5 t, su derivada ser la recta azull'(t) = 0,5. Y del mismo modo, existe otra frmula general para realizar el proceso inverso, es decir para ir de una funcin a su primitiva. Si partimos de una funcin y'(x)= nxn-1y queremos encontrar a su primitiva, tendramos que utilizary(x) = (1/n+1)xn+1, para llegar ay = xn, bueno, no exactamente, llegaramos a la misma solucin ms una constante:y = xn+c, La constanteCpodra ser conocida sabiendo la posicin del conjunto de la curva respecto al eje de la ordenada

Vemos que en este caso la misma funcin considerada al inicio como un flujodl/dt= 0,5t, ya no es un flujo sino que es un cmulo de litros:l(t)= 0,5ten el quel'(t)=0,5 es su derivada. Es decir la recta roja que antes habamos presentado como un flujo ahora representa una acumulacin de litros (jarra) y es la primitiva de la funcinl(t)=0,5.

De manera que una misma funcin puede ser considerada como un flujo cuando representa la evolucin de la tasa de crecimiento que nos informa sobre la evolucin de su primitiva o que puede ser considerada como acumulacin (primitiva) cuando de ella deducimos la derivada.

Figura 6

Conociendo la relacin que se establece entre las funciones continuas y sus derivadas o las funciones continuas y sus primitivas, podemos ir de la una a la otra. Y esto es bonito, ya que como deca Newton: Si esto pudiera ser hecho cualquier cosa podra ser resuelta.

As que, volviendo a nuestro ejemplo, si conocemos la funcin de un flujo y su evolucin en el tiempo podemos conocer la cantidad acumulada, o si conocemos la funcin de acumulacin podremos conocer la funcin de flujo.

Para ir de una a otra existen adems de las formulas generales, otras frmulas de derivacin o de integracin, que conoceris. Pero lo importante no es conocer la frmula. Eso lo encontris en cualquier documento de matemticas. Lo importante es conocer el concepto de la relacin y lo primero es visualizar dicha relacin.

A Leibniz se le ilumin la mente al estudiar los clculos realizados por Pascal con eltringulo caractersticoutilizado para explicar su aproximacin a la resolucin dela cuadratura aritmtica del crculo. Leibniz se dio cuenta de que dicho tringulo, aplicado por Pascal al crculo para hallar la misma rea en un cuadrado, podra ser aplicado a cualquier funcin continua y que en toda funcin continuapodra deducirse la evolucin de la relacin entre la ordenada (y) y la abscisa (x) en cada punto de la funcin. Es en esa relacin que se encuentra toda la base del anlisis matemtico, del clculo diferencial y de la fsica.

La figura 5 representa el paso de una derivada a su primitiva y viceversa y las frmulas generales de derivacin y de integracin.

Ahora visualicemos lo mismo yendo un poco ms lejos. Retomemos la recta roja. Ya no es una jarra en nuestra mente, ahora esta recta es considerada como al inicio, como el grifo que vamos abriendo cada vez ms y cuya funcin de flujo esdl/dt= 0,5t.

Conociendo esta recta y su expresin matemtica, podemos conocer el rea comprendida, por ejemplo, entre 0 y 8 segundos, o lo que es lo mismo en nmero de litros acumulados en la jarra en ese espacio de tiempo. Podemos calcular los litros acumulados contando el nmero de rectngulos cubiertos completamente entre los bornes 0 y 8 (ver figura 7) y componiendo el resto de rectngulos no cubiertos en su totalidad con parte de los tringulos rectngulos cubiertos. Esto nos hara 16 rectngulos o 16 litros.

Tambin los podemos calcular integrando a partir de la derivada, lo cual nos permitira encontrar la primitiva que sera la curva naranja y que nos indica en cada segundo el nmero de litros acumulados en el recipiente, siendo el nmero de litros 16.

Figura 7

Para integrar utilizamos la forma general de integracin:Ntese que siempre que se integra debe aadirse una constante de integracin que permite identificar condiciones iniciales de nivel (litros de agua en la jarra antes de aplicar la funcin).

Este concepto de grifo o flujo y de almacenamiento o jarro puede aplicarse a diferentes dominios (en electricidad el concepto de intensidad es el de un flujo que se escribe dQ/dt y la cantidad de electricidad utilizada seria los columbios (litros recogidos en el recipiente o en la jarra). La velocidad puede ser considerada como un flujo (dl/dt) o el grifo que se abre ms o menos y la distancia recorrida como la cantidad de kilmetros acumulados en la jarra). Ahora vamos a ir ms lejos y vamos a ver como visualizamos las ecuaciones diferenciales aplicados en algunos problemas de crecimiento que vamos a mostrar en lo que sigue.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Imaginemos un grifo pero que tiene la peculiaridad de que se abrir tanto ms cuanto ms cantidad haya en el depsito. Este flujo lo modelizamos de la siguiente forma:Figura 8

donde k es un tasa fija ,Llos litros que se almacenan en la jarra, de manera que a ms litros acumulados, ms grande es el flujo. Podramos haber procedido a la inversa: a ms litros acumulados, menos flujo.

Esta es unaecuacin diferencial ordinaria(EDO). Se aplica, en su principio, con algunas modificaciones segn el modelo estudiado, a muchos problemas de crecimiento (biologa, medicina, economa, gestin de flujos de materiales, psicologa). Por ejemplo para los que hayan ledo el famoso libro la meta de Eliyahu Goldratt, que sepan que el principio de la resolucin de los cuellos de botella en los flujos de produccin, aunque no lo dice, se basa en la dinmica de sistemas que tienen en su base la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias.Voy a intentar visualizar una ecuacin diferencial y su solucin a travs de un tema de crecimiento de litros en un recipiente y posteriormente a un tema de aprendizaje.

Seguimos con la visualizacin del grifo y el recipiente. La apertura del grifo ser cada vez ms grande si el depsito siguiera llenndose; la curva de la derivada ser una exponencial.

En la medida que el flujo depende de la cantidad de litros acumulados, la solucinl(t)que vamos a resolver no consiste en encontrar una solucin numrica. Se trata de realizar una integracin no solo de las variables independientes (t) sino tambin de las variables dependientes (L) paraencontrar una funcin que sea solucin.

Es decir cuando se busca resolver una ecuacin de la forma 2x2-1 = 0, se busca una solucin numrica. En esta ecuacin las soluciones son 0,5 y -0,5. Sin embargo cuando se busca resolver una ecuacin diferencial como en nuestro ejemplo, no se busca una solucin numrica sino quese busca encontrar como solucin una funcin.

La solucin, en funcin de la definicin de las condiciones particulares, puede designar una curva, o una familia de curvas cuando se definen condiciones particulares o incluso un nmero infinito de curvas debido a los valores que pueden ir tomando sus constantes de integracin.

Figura 9

Las diferentes imgenes de la figura 9 muestran diferentes tipos de soluciones de las ecuaciones diferenciales: desde una curva en la que se conocen las condiciones iniciales hasta un espacio vectorial con infinidad de curvas solucin.

Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecuacin diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la funcin desconocida debe satisfacer y que soncondiciones inicialesocondiciones de frontera.

Para resolver la ecuacin diferencial del ejemplo procedemos integrando por partes:kcon relacin adt y la inversa de L con relacin adlde manera que:

Ces la constante arbitraria que representa los litros con los que el depsito cuenta al inicio, es decir ent= 0. De modo que si tenemos 10 litros a t=0, con una tasak= 0,05, a t= 14 tendramos 20,14 litros.

As, con la resolucin de la ecuacin diferencial hemos conseguido encontrar una funcin solucin que integra lo que se llama un bucle de retroalimentacin: en este caso positivo a ms cantidad de agua en el depsito mas se abre el grifo y ms se abre el grifo ms agua hay en el depsito. Este principio de retroalimentacin resuelto con ecuaciones diferenciales est en la base, por ejemplo, de la ciberntica.

Muchos de los fenmenos fsicos, sociales, econmicos, a partir de la observacin, de la experimentacin o de la intuicin, son traducidos en ecuaciones diferenciales y modelos matemticos. Estos modelos son aproximaciones de la realidad, validos en ciertas condiciones y lmites.

Para ilustrar para qu sirven las ecuaciones diferenciales voy a continuar con la misma ecuacin diferencial anterior pero aplicada a un trabajo que estoy haciendo con varias comunidades de aprendizaje en el Pas Vasco. El modelo solo es vlido a ttulo de ejemplo. Lo que quiero es construir un modelo que en funcin de ciertas condiciones iniciales pueda anticipar su evolucin y medir el aprendizaje de estas comunidades. Esta medicin la quiero comparar con la medicin (cuestionario) que ser hecha al final y que ha sido hecha al inicio del comienzo de estas comunidades. Lo cual me permitir ven si mi modelo se aproxima o no a la realidad.

Para establecer el modelo:

1 Hay que identificar el tipo de curva o funcin que puede ser representada por el modelo:

Es un modelo de crecimiento que puede expresarse con una curva de crecimiento exponencial o con una curva logstica (en forma de S).

2 Hay que identificar las variables y su relacin:

Las comunidades de aprendizaje desarrollan su aprendizaje si el nivel de ciertas variables es apropiado. Las variables esenciales que he identificado son:la pasin (P)o el inters de los componentes del grupo por el tema de aprendizaje, elnivel de competencias (Co)de los componentes en relacin con la complejidad del tema abordado, elcontexto social y material(M) y los medios de los que disponen para abordar el tema.

Se considera que estas variables tienen una relacin multiplicadora:PxCoxM, ya que si uno de ellos tiende a cero, el producto tiende a cero. Establecemos:r=PxCoxM.

Por otro lado estas variables individuales crecen si el nivel de aprendizaje colectivo crece, luegorxA, siendoAel nivel de aprendizaje.

3 Finalmente hay que establecer el modelo y los parmetros:

Como la evaluacin realizada al inicio de la experiencia tiene una horquilla de 0 a 10, el modelo propuesto tiene tambin una escala de 0 a 10 de modo que 10 es el lmite o un desarrollo ideal; ello nos obliga a establecer una ecuacin diferencial que tienen la forma siguiente: dA/dt = r A(1-A/K)

donder=(PxCoxM)/1000para obtener una tasa de 0 a 1 ya que los valores deP, deCoo deMvan de 0 a 10, Ael nivel de aprendizaje yKes el lmite que hemos establecido a 10 (establecimiento arbitrario).

Con todo ello ya podemos proceder a la integracin por partes:

Una vez realizada la integracin se obtiene la ecuacin buscada:As por unos valores deP=10,Co=5 yM=8 y por un nivel inicial de C=1 se alcanza un nivel optimo al cabo de 17 meses (ver figura 10):

Figura 10

CONCLUSIN

Las ecuaciones diferenciales utilizan en su ncleo de clculo la relacin que existe entre una derivada y su primitiva.

La solucin encontrada no es una solucin numrica sino una solucin en forma de ecuacin que describe diferentes curvas segn los parmetros iniciales utilizados.

Las ecuaciones diferenciales se aplican en una gran cantidad de reas y campos: mecnica, electricidad, electrnica, economa, arquitectura, biologa, teora de sistemas, investigacin de operaciones, psicologa

Establecer modelos matemticos y en particular el uso de las ecuaciones diferenciales podra ser un arte sencillo si a esta tarea nos hubiesen entrenado y hubisemos comprendido su sentido y sus elementos bsicos.

Espero que esto haya ayudado a comprender mejor el mundo de las integrales y de las ecuaciones diferenciales.

Tambin espero que este artculo sirva para demostrar que, pedaggicamente, es imprescindiblevisualizareimaginarpara que los conceptos se entiendan y permanezcan en nuestra memoria y que muchos de aquellos que arrastran el complejo de ser malos en matemticas sepan que no son ellos los malos sino el mtodo con el que les han enseado: Un metodo centrado en el aprendizaje abstracto y muy poco en el aprendizaje a partir de la experiencia, de la imaginacin, de la visualizacin y de la emocin.