KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA - pmf.unsa.ba · Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi...

KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA

Those who are not shocked when they first come across quantum theory cannot

possibly have understood it.

(Niels Bohr on Quantum Physics)

Kvantna mehanika

• Njutnova mehanika- opisuje kretanje tijela pod uticajem sila i dobra je u makrosvijetu

• Kvantna mehanika opisuje mikrosvijet

• Njutnova mehanika- aproksimacija QM za makroskopski svijet

• U kvantoj mehanici elektron je predstavljen kao 3D talas koji okružuje jezgro

• Ne možemo više govoriti o tačno definisanim elektronskim orbitama već o vjerovatnostima nalaženja elektrona na nekom mjestu oko atoma

Modeli prije QM

• Modeli prije kvantno-mehaničkog (QM) modela atoma nisu imali puno uspjeha u potpunom tumačenju spektara zračenja

• Bor- objašnjava samo spektar H i uvodi kvatnizaciju, postulira da se elektron kreće po tačno definisanim kružnim orbitama oko jezgra

• Wilson-Sommerfeldova pravila poopštavaju kvantizaciju na sve periodične sisteme

• Objašnjavaju tzv “finu strukturu” vodika

• Uvode eliptične umjesto kružnih putanja elektrona

• Ipak nema objašnjenja za atome sa više elektrona

QM model atoma

• Luis de Broglie (elektron ima valna svojstva)

• Werner Heisenberg (Princip neodreñenosti)

• Erwin Schrdinger (matematički aparat za opisivanje QM sistema koristeći valnu funkciju)

Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi talasi

• 1924. godine Luis de Broglie postavlja hipotezu o valnim osobinama materijalnih čestica

• Analogija sa čestičnim svojstvima valova

• Ranije je uvedeno za foton:

• Energija fotona E=hν=ћω

• Impuls fotona p=hν/c=h/λ

• Prema tome je valna dužina fotona λ=h/p

Luis de Broglie1929. godine Nobelova nagrada


• Da li se dualnost može uvesti na sve čestice, one sa nultom masom mirovanja kao što je foton i one sa konačnom masom mirovanja?

• Za nerelativističke, slobodne čestice, talasna dužina λ materijalne čestice koja ima količinu kretanja p=m0v, gdje je m0 masa mirovanja čestice, a v brzina čestice, prem de Broglieu je:

• Za relativističke čestice:

0

h h

p m vλ = = De Broglieva relacija

Eksperimentalni dokaz? Postoji

h h

p mvλ = =

0

2

21

mm

v

c

=

−


• Primjer. Proračunati “de Broglievu” valnu dužinu za:• a) lopticu mase 0.2 kg koja se kreće brzinom 15 m/s.• b) elektron koji je ubrzan potencijalnom razlikom 100 V a)

b)

m/s

• Kako ispitati talasna svojstva?• Eksperimenti interferencije i difrakcije

• Valne dužine dobijene u prethodnom primjeru:• a) 2,2*10-34 m- premala valna dužina• b) 1,23*10-10 m - odgovara redu veličine atoma i udaljenosti atoma

u kristalnoj rešetki

• Dakle, kristalna rešetka bi nam mogla poslužiti kao difraciona mrežica za elektrone.

• Ako su elektroni valovi oni će da pokazuju valna svojstva (interferencija i difrakcija)


Da se podsjetimo....

Braggov zakon

Davisson-Germer-ov eksperiment

• Eksperimentalni dokaz za valna svojstva elektrona

Braggov zakon refleksijeprvi put upotrebljen za valove materije

De Broglie-va relacija

DD ϕ

Eksperimentalna relacija sa prethodne slike detaljnije

sin 2 sinD Dλ α ϕ= =

ϕ- ugao izmeñu upadnogi raspršenog snopa elektronaD- poznato iz difrakcije X-zrakana niklu

Opis eksperimenta:1. Užarena katoda emituje elektrone koji se ubrzavaju i rasijavaju na

kristalu nikla2. Tamo gdje je zadovoljen Braggov uslov difrakcije opaža se

maksimum (na 50º)3. Valna dužina koja se dobije odgovara valnoj dužini koja se dobije

iz de Broglieve relacije4. Ovim je potvrñeno da elektroni imaju valna svojstva5. Nobelova nagrada za fiziku 1937. godine

Davisson-Germer-ov eksperiment

[1] C. J. Davisson and L. H. Germer, Nature (London) 119, 558 (1927).[2] G. P. Thomson and A. Reid, Nature (London) 119, 890 (1927). C. Davisson and L. H. Germer Phys. Rev. 30, 705(issue of December 1927)

Kakva korist od valova elektrona?Rezolucija- mogućnost razdvajanja sitnih detalja koja odreñuje kvalitet slikeRezolucija naših očiju je oko 0.1-0.2 mm. Svaki instrument koji nam može otkriti detalje finije od 0.1 mm možemo zvati mikroskopom

•Ograničenja mikroskopa koji koristi vidljivu svjetlost zbog difrakcije na kružnim

otvorima mikroskopa

Što je manja valna dužina to je veći broj detalja vidljin na slici- bolja rezolucija

Koristiti elektrone? Zašto da ne- elektronski mikroskop

Slike pojedinačnih atoma na STM-u

• Dodatno obojeni izgled atoma joda koji su adsorbovani na površini kristala platine.

• Ovdje žuti spot pri dnu slike predstavlja mjesto gdje nedostaje atom

Krug prečnika 14 nm kojeg čine atomi željeza na bakarnoj površini: slika sa STM-a (Scanning

Tunneling Microscope)

Valovi materije- valovi vjerovatnosti

• Danas je poznato da elektroni nisu jedine čestice za koje je dokazano da imaju talasna svojstva. To su još i neutroni,a tomi pa čak i molekule

• Šta su ustvari de Broglievi talasi materije?

• U slučaju valova vode, zvuka ili svjetla znamo koje veličine se mijenjaju. (animacija) https://phet.colorado.edu/en/simulations/category/physics

• Šta se to mijenja u slučaju valova materije?

• Veličina koja se mijenja u slučaju valova materije je valna funkcija (amplituda talasa materije) čije je simbol Ψ. Vrijednost valne funkcije koja se pripisuje tijelu na odreñenom mjestu x,y i z i u odreñenom vremenu je vezana za vjerovatnost nalaženja tijela na tom mjestu u tom trenutku.

Valovi materije- valovi vjerovatnosti

• Ova veličina nema fizikalni smisao i ne može se eksperimentalno odrediti.

• Vjerovatnost da je nešto na odreñenom mjestu u odreñeno vrijeme se mijenja izmeñu 0 (objekat nije tamo) i 1 (objekat je tamo).

• Veličina Ψ tj. amlituda svakog vala može biti i negativna i pozitivna tako da ne može biti opservabilna

• Ono što ima fizikalni smisao je veličina l Ψ l2, tj. kvadrat apsolutne vrijednosti valne funkcije koja predstavlja gustoću vjerovatnosti.

• Veliko l Ψ l2 znači da je vjerovatnost nalaženja objekta velika

• Sve dok god l Ψ l2 nije jednako nuli postoji šansa tj. vjerovatnost da se objekat može naći na tom mjestu

( )

2 *

2 1

2

2

V

i kr t

dV dV

Ae

k

k

h h

k p mv

ω

ρ ψψ

ρ

πλπλ

+∞

−∞

−

= Ψ =

= Ψ =

Ψ =

=

= = =

∫ ∫

��

�

Gustoća vjerovatnosti (da česticu nađemo na

nekom mjestu)

Normiranje

jednačina ravnog vala u tri dimenzije- kompleksna

veličina (pažnja-može se napisati i preko funkcije

sin ili cos)

Valni vektor

Valni broj

Valna dužina (posljednja jednakost vrijedi samo za

čestice sa m različito od nule.

ψ* : kompleksno konjugovana (tj., z = x + iy and z* = x - iy)

Heisenbergove relacije neodreñenosti (nepouzdanost mjerenja kompelemnarnih veličina)

The more precisely the position is determined, the less precisely the momentum is known in this instant, and vice versa.--Heisenberg, uncertainty paper, 1927

Heisenbergove relacije neodreñenosti (nepouzdanost mjerenja kompelemnarnih veličina)

• Dualizam val-čestica- simetrija prirode• Niels Bohr (princip komplemnatrnosti)-Valna i čestična slika su

komplementarne• Werner Heisenberg 1927. godine- relacije neodreñenosti

• Govore o nepouzdanosti istovremenog mjerenja tzv. komplementarnih veličina

• Komplementarne veličine:• Položaj (x) Impuls( px)• Energija (E) Vrijeme (t)

• Ugao (ϕ) Ugaona količina kretanja (L)

• Rezultat su interakcije mjernog ureñaja i objekta u procesu mjerenja

Heisenbergove relacije neodreñenosti

2

2

x p

E t

∆ ⋅ ∆ ≥

∆ ⋅ ∆ ≥

ℏ

ℏ

Pošto je vrijednost h jako mala, ovaj fenomen se manifestuje na nivou atoma

Heisenbergove relacije neodreñenosti

Čestični pristup objašnjenja Heisenbergovih relacija

Da bismo vidjeli elektron, moramo ga osvijetlitiSvjetlošću koja se sastoji od fotona implusa h/ λ.

Sudarom fotona i elektrona, impuls elektrona se mijenja. Promjena je reda veličine ≈ h/ λ

Minimalna nesigurnost mjerenja ograničena jevalnom dužinom fotona tj.

∆x ≥ λ

Kombinujući ove relacije

∆p ∆x ≥ h što je konzistentno sa Heisenbergovim relacijama

Sam talasni karakter materije je uzrok ove neodreñenosti o čemu će više biti govora u kvantnoj mehanici

2x p∆ ⋅ ∆ ≥ ℏ

Primjer 1Pobuñeni atom emituje foton odreñene frekvencije. Vrijeme koje proñe izmeñu

pobuñenja atoma i emitovanja fotona je 10-8 s. Naći neodreñenost frekvencije emitovanog fotona.

3427

8

6

21,054 10

5,3 102 2 10

8 10

E t

JsE J

t sE

Hzh

ν

−−

−

∆ ⋅ ∆ ≥

⋅∆ ≥ = = ⋅∆ ⋅

∆∆ = ≥ ⋅

ℏ

ℏ

Talasna funkcija i kvatnizacije energije

• Klasična mehanika (opisuje talase na žici, akustičke talase), Maxwellove jednačine (opisuju EM valove)

• Opisivanje kretanja elektrona u atomu- valna jednačina- valna mehanika (kvantna)

• Da se podsjetimo.....

• Ψ- valna funkcija (amplituda vala koji je povezan sa česticom)-nema fizikalno značenje

• Kvadrat amplitude predstavlja vjerovatnost da se čestica nañe na nekom mjestu

2 *Ψ = ΨΨ

• Razmotrićemo kretanje elektrona mase m izmeñu dva neprobojna zida razmaknuta za L (slika a)

• Kretanje elektrona je opisano

valnom funkcijom Ψ• Analogni problemi u Njutnovoj

mehanici (zategnuta žica uklještena na krajevima, slika b) i u Maxwellovoj elektrodinamici (EM zračenje izmeñu dva ogledala, slika c)


L x


• Rješenje ovog problema dobijamo iz valne jednačine (ovo je za 1D slučaj):

2 2

2 2 2

1

f

y y

x v t

∂ ∂=∂ ∂

1

2

f

Fv

µ =

vf- fazna brzina, F- sila zatezanja u žici, µ- masa po jedinici dužine

'

2( 0, ) sin sin

( , ) sin ( ) sin

( , ) sin 2

( , ) sin( )

m m

m m

m

m

y x t y t y tT

xt

vx

y x t y t t y tv

x ty x t y

T

y x t y kx t

πω

ω ω

πλω

= = =

′ =

= − = ±

= ±

= ±

Razdvajanem gornje jednačine na dva vala koji se kreću na desno i na lijevo dobijamo dva rješenja. Princip superpozicije kaže da je njihova kombinacijarješenje valne jednačine

( ) ( ) ( )( ) ( )

, sin sin

2 sin cos

m m

m

y x t y kx t y kx t

y kx t y x y t

ω ωω

= − + + =

= = Jednačina stojećeg talasa

λπ2=k

• Kod stojećih talasa čvorovi ne osciluju- u tim tačkama vrijedi uslov:

• kx=π, 2π, 3π,....

• x=λ/2, λ, 3λ/2, 2 λ,....

• Žica može oscilovati samo sa diskretnim vrijednostima valnih dužina (frekvencija):

• λ=2L/n n=1,2,3,........, kvantizacija frekvencije ν=v/ λ=n v/2L

• Napišimo izraz za amplitudu i uvrstimo λ:

• n=1,2,3,........( ) max sinn

n xy x y

L

π=

• Analogno dobivamo za amplitudu električnog polja za stojeće EM valove

• n=1,2,3,........

• Za valnu funkciju elektrona

• Kvantizacija energije:

• n=1,2,3,........

( ) max sinn

n xE x E

L

π=

( ) max sinn

n xx

L

πΨ = Ψ

22 22

2

1

2 2 8n

p h hE n

m m mLλ = = =

Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina

• Do nje se može doći polazeći od klasične valne jednačine i de Broglieve relacije da elektron ima valna svojstva

• Krećemo od klasične 1D valne jednačine

2 2

2 2 2

1

f

y y

x v t

∂ ∂=∂ ∂

.. Je uvedena 1926.g. kako bi se uveo elektron kao de Broglie-v talas :

• U valnoj mehanici Schrödingera y je valna funkcija Ψ(x,t)• Uzmimo nerelativistički sistem energije E koja je konstantna

ν=E/h

• Rastavimo valnu funkciju na dva nezavisna dijela: prostorni (1D) i vremenski:

Ψ(x,t)=ψ(x)ϕ(t)

• Pošto nam je frekvencija konstantna (precizno odreñena) uzmimo da se vremenski dio mijenja periodično sa vremenom:

ϕ(t)=cosωt=cos2 πνt

Vremenski nezavisna Schrödingerova jednačina

( ) ( )2 2

2 2 2

, ,1

f

x t x t

x v t

∂ Ψ ∂ Ψ=

∂ ∂

( ) ( ) ( )22

20

2

d xE V x

m dx

ψψ+ − =ℏ

Izvedeno na tabli

1D, vremenski nezavisna, nerelativistička Schrödingerova jednačina

Ukoliko znamo potencijalnu energiju kao funkciju položaja čestice možemo lakoizračunati dozvoljene valne funkcije i energije sistema

Vremenski nezavisna (stacionarna)Schrödinger-ova jednačina

E : vlastita vrijednost energije ψ : talasna funkcija

ψ 2 = ψ*ψ

ψ* : kompleksno konjugovana (tj., z = x + iy and z* = x - iy)

operator

de Broglie-ev val

ψ 2 = 1: normiranje

Vjerovatnost nalaženja čestice

( )

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 22

2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ2

ˆ

2ˆ

20

20, 0

H E

H T V Vm x

E it

V im tx

H E

mE V

x

mE k

x x

Ψ = Ψ∂= + = − +∂

∂=∂

∂ Ψ ∂Ψ− + Ψ =∂∂

Ψ = Ψ∂ Ψ + − Ψ =∂∂ Ψ ∂ Ψ+ Ψ = + Ψ =∂ ∂

ℏ

ℏ

ℏℏ

ℏ

ℏ

Nerelativistička Schrödingerova jednačina

Za slobodnu česticu V=0

•

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger(1887-1961)

Nobelova nagrada (1933)

Talasna funkcija i vjerovatnoća

Valna funkcija- nema fizikalno značenje

1925 Max Born je doprinio razvoju kvantne mehanike jer je pokazao da se Schrödingerova valna funkcija može interpretirati kao statističko predviñanje varijabli- je mjera vjerovatnosti da se čestica nalazi na tom mjestu

ψ 2 = ψ*ψ

Max Born (1882–1970)

Nobelova nagrada (1954)

( ) max sinn

n xx

L

πΨ = Ψ

( )2 2 2max sinn

n xdP x dx dx

L

π= Ψ = Ψ

Gdje možemo naći elektron 0<x<L?

Vjerovatnost nalaženja elektrona izmeñu dvije ravni koje su na položajima x i x+dx je jednaka:

Vjerovatnost nalaženja elektrona izmeñu 0 i L jednaka je:

( )2

0 0

1L L

nP dP x dx= = Ψ =∫ ∫

Napomena: kad imamo razmatranje u 3D tada govorimo o vjerovatnosti po jedinici zapremine


• Predstavimo grafički funkciju

n=1,2,3,....

Klasična teorija predviñasvuda istu vjerovatnost (horizontalna linija na Slici)Za n=1 vidimo veću vjerovatnostNalaženja elektrona u sredini nego na krajevimaZa veće n=15 vidimo da se kvantnateorija približava klasičnoj- u skladu saBorovim principom korespondecije

( )2 2 2max sinn

n xx

L

πΨ = Ψ


Elektron koji se kreće oko jezgra

• Razmotrimo sad isti problem za elektron koji se kreće oko jezgra po osnovnoj putanji Borove teorije:

• Energija tog elektrona je izvedena prije i iznosi:

4

2 208em e

Ehε

= −

Valna funkcija osnovnog stanja (n=1) atoma hidrogena je iz kvantne mehanike(ovo će se detaljno obrañivati i izvoditi na kursu Kvantne mehanike):

( ) 1

31

1r

rr erπ

−Ψ =

r1 =0,53 A- Borov radijus

• Ovdje r1 ne znači isto što i u Borovoj teoriji, jer kvantna mehanika ne poznaje orbite kao takve. Ovde je r1 dogovorena jedinica mjere, kao 1m u svakodnevnom svijetu, r1 je jedinica dužine u svijetu atoma

• Vjerovatnost po jedinici zapremine da će se elektron naći unutar zapremine dV koja je na udaljenosti r od jezgra atoma je po analogiji sa ranijim razmatranjem jednaka:

( ) 1

22

31

1r

rr erπ

−Ψ =

Radijalna gustoća P(r)dr je vjerovatnost da će se elektron nalaziti izmeñu sfernihljuski radijusa r i r+dr

Zapremina tankog omotača ljuske je

dV=4πr2dr

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

2 2 2

22 2 2

31

4

44

r

r

P r dr r dV r r dr

P r r r r er

π

π−

= Ψ = Ψ

= Ψ =

Nacrtajmo grafik funkcije P(r) (ja sam koristila program Mathematica)

Uočimo da je najvjerovatnija radijalna komponenta (P(r)=1) ona koja odgovara Borovom radijusu prve orbite (r=r1)- to je po kvantnoj mehanici mjesto gdje elektron može biti prije nego na bilo kojem drugom mjestu

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/r1

P(r

) A

-1

Kvantno-mehanički model atoma• Po ovom modelu atoma elektroni ne

postoje u jasno definiranim kružnim orbitama kao u Bohr-ovom modelu.

Radi svoje valne prirode elektron

predstavlja oblak negativnog naboja. Veličina i oblik elektronskog oblaka

može da se izračuna za dato stanje

atoma. Za osnovno stanje atoma vodonika elektronski oblak je sferno

simetričan. Elektronski oblak ugrubo

odreñuje “veličinu” atoma; ali baš kao što oblak nema preciznu granicu, tako

ni atomi nemaju jasnu granicu niti

dobro definiranu veličinu. Meñutim, nemaju svi elektronski oblaci sferni

oblik.

Elektronski oblak

Kvantno-mehanički model atoma�Prema kvantno-mehaničkom pristupu, u atomu položaj elektrona se ne može potpuno sigurno odrediti, već se može govoriti samo ovećoj ili manjoj vjerovatnoći nalaženja elektrona u nekom delu prostora oko jezgra.

�Položaj elektrona se uobičajeno predstavlja oblakom vjerovatnoće, čija se gustina mijenja postepeno od tačke do tačke.

a0

Elektronski oblak• Elektronski oblak može da se interpretira bilo kao čestica ili kao talas.

Čestica je nešto što mislimo da je lokalizovano u prostoru – ima tačno definirani položaj u svakom momentu. Nasuprot tome, talas je nešto što se

širi negdje u prostoru i elektronski oblak može tako da se interpretira.

• Meñutim, elektronski oblak može da se interpretira i kao raspodjela

vjerovatnih položaja čestice. Ako bismo napravili 500 različitih mjerenja položaja elektrona posmatrajući ga kao česticu, većina rezultata bi pala u

tačke velike vjerovatnosti (oblast veće gustine tačaka).

• Ovdje ne možemo odrediti putanju po kojoj bi se elektron kretao. Samo

možemo odrediti vjerovatnost njegovog nalaženja u raznim tačkama.

Matematička vrijednost ove vjerovatnosti leži izmeñu 0 i 1. Ovdje 0 znači “nikad”, a 1 znači “uvijek”. Na primjer ako je vjerovatnost nalaženja

elektrona u okviru nekog radijusa 0,4, to znači 40% mogućnosti da se

elektron nañe u tom prostoru.

Kvantno-mehanički model atoma

• Pojedinačni elektron može u raznim

trenucima biti detektovan bilo gdje u ovom oblaku vjerovatnosti; on čak ima

i izvjesnu, mada veoma malu,

vjerovatnost da se nañe unutar jezgra. Meñutim, najčešće se kroz proračun

vjerovatnosti njegovog nalaženja na

nekom mjestu, detektuje na mjestima koja su nagomilana oko udaljenosti od

jezgra koja odgovara prvom Bohr-

ovom radijusu i tu je elektronski oblak vodikovog atoma u osnovnom stanju

najgušći. Elektronski oblak

Kvantno-mehanički model atoma

• Ova teorija se uspješno bavila spektrima koje emituju složeni atomi čak i u sitnim detaljima. Ona objašnjava i relatvni intenzitet spektralnih linija kao i to kako atomi formiraju molekule. Toliko je bila uspješna u svim mogućim objašnjenjima do tada “neobjašnjivih”fenomena da je postala opće prihvaćena fundamentalna teorija koja leži u osnovi svakog fizikalnog procesa.

KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA - pmf.unsa.ba · Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi...

Documents

Transcript of KVANTNO-MEHANIČKI MODEL ATOMA - pmf.unsa.ba · Talasni vid materijalnih čestica. De Broglievi...